tfi_prezentari

8/17/2019 tfi_prezentari

1/218

Tehnica frecvenelor înalte se refer la studiul i aplicareametodelor de generare, transmisie, prelucrarei m surarea câmpului electromagnetic, la proiectarea iimplementarea sistemelor electronice cu frecvene deoperare 300Mhz 1 GHz, sau pân la 100 GHz - ingineriamicroundelor

Termenul de microunde oarecum impropriu:Lungimea de und corespunztoare microundelor - îndomeniul 1mm (f=300 GHz) - 30 cm (f = 1 GHz)

> lungimea de und ptr. f de THz < lungimea de und ptr. f radio

Limita dintre RFi Microunde, este incert i în transformarecontinu pe m sur ce tehnologia i metodele deproiectare evolueaz

Cursul 1

Coninutul cursuluiUnda planecua ia undei, ortogonalitatea componentelor Ei H,câmpurile fizice, puterea transportat, viteza de faz ide grup, reflexiai transmisia, cazuri particulareClasificarea mediilor de propagare

Aspecte ale propagrii undei în mediul liber-polarizarea undei, unde de suprafa, ionosferice,troposferice, efectul de umbrire, efectele precipitaiilorTeoria liniilor de transmisie-propagarea undelor electromagnetice pe linii cu si farapierderi, parametrii liniilor de transmisie, regimul deadaptare, undele de tensiune si de curent, cazuriparticulare ale liniilor lungi-adaptarea si acordul impedanelor, utilizarea diagrameiSmith-transformatoare de adaptare, rezonana serie i paralel

http://www.pdfcomplete.com/cms/hppl/tabid/108/Default.aspx?r=q8b3uige22


2/218

Ghiduri de und -solutiile generale pentru modurile TEM, TE, TM-Ghidul de unda rectangular, modurile TE si TM,campurile fizice, puterea transportat, lungimea deund , viteza de faz i de grup-Ghidul coaxial (linia coaxial) modul TEM si modurilesuperioare-Ghidul circular, modurile TE si TM.-Ghidul plat ( stripline si microstrip), constantadielectrica efectiva-Comportarea ghidurilor sub frecvena critic Dispozitive pasive-Cuplajul inductiv, capacitivi prin fante-Cuploare

-Diafragma inductiv i capacitiv -Fereastra rezonant i desc rc torul cu gaz-Comutatoare de anten ptr. gama undelor centimetricei milimetrice

Obiective însu irea cunotin elor i abilit ilor pentru:

a face distincia între problematica circuitelor de joasfrecven si a celor de microundea în elege care sunt problemele curentei tendinele înpropagarea undelor în mediul libera aplica teoria propagrii in cazul structurilor depropagare, liniii ghiduri, utilizate in practica face identificarea componentelor pasive de microundea în elege semnificaia parametrilor componentelor

pasive din domeniul frecventelor inaltea în elege principiile de masurcaracteristice domeniuluifrecventelor înaltea dezvolta aplicaii ale undelor de foarte înaltfrecventa.



3/218

CerineDorina de a înv aPrezen efectiv (nu doar fizic la curs i laborator)Minte deschisSeriozitateS v str dui i s comunicai corect cu cadrul didactic,pornind de la premiza c el chiar vrea s v învee cevautil

Ce s nu faceiS nu dormii în timpul orelor

S nu facei altceva decât vi se cereS nu încercai s fraierii cadrul didacticS nu (v ) mini i

Premize



4/218

Rezultatea teptate

Bibliografie selectiv

1.Casian-Botez, Irinel, Microunde ,Editura Lumen, Ia i, 2006,2.D.Cojoc Amplificatoare de frecven înalt i tranzistoare,

Ed.Cantemir,1994, Bucure ti3. E. Holzman, Essentials of RF and microwave grounding, Artech

House on Demand, 20064. Erik L. Kollberg, Microwave and milimeter-wave mixers, New York,

Institute of Electrical and Electronics Engineers, 19845. G. Lojewschi, Microunde.Dispozitive i circuite, Ed.Teora 19956. M.Naforni , I.Naforni , Microunde, Ed Politehnica, 20027.T.Palade Tehnica microundelor, Ed.Genesis, Cluj Napoca, 19978. G.Rulea, Tehnica microundelor, Ed.Didactic i pedagogic ,19839. D. M Sazonov, Microwave circuits, Mir Publishers, Moscow, 19826.10. E. Tebeanu, Oscilatoare de microunde, Ed. Tehnic Bucure ti,

1990

11.The RF and microwave handbook, CRC Press, 200112 Microwave principles, Naval education and training professionaldevelopment and technology center, USA Navy, 1998



5/218

Evoluia f r precedent a telecomunicaiilor din ultimuldeceniu i noile descoperiri tehnologice au impulsionatdezvoltarea ingineriei microundelor, care era cuprec dere un domeniu al apr rii.

Industria microundelor a fost revoluionat de cerereaascendent a sistemelor de comunicaii pentru aplicaiica: Telefonia mobil Televiziunea prin satelit Reelele de comunicaii prin satelit bazate pe serviciile

BISDN ce includ transmisiile la distan de imagine,de voce i de date (telemedicina, multimedia,videoconferina, înv mântul la distan )

C utare i transmisie de date - Wireless paging Sisteme de poziionare global Global positioningsystem GPSi Galileo Radarele automatizate de evitare a coliziunilor aeriene

Dou tipuri de arhitecturi pentru sistemele de transmisie prin satelit



6/218

Comunicaiile viitorului necesit:band larg pentru transmisiile multimedia(videoconferine, telemedicin, televiziune de înalt definiie)capacitate mare de transmisie, pentru a face fa unuinum r tot mai mare de utilizatori, cu un trafic tot mairidicat, cu solicitri crescânde de transfer de informaie

Tehnologia microundelor este adecvat atât ptr. aplicaiilerecent ap rute în comunicaii cât i ptr. radiolocaie,deoarece permite:

utilizarea unui mare numr de canale independenteo l ime de band semnificativ ptr. comunicaiile demare vitez

Microundele ofer o band absolut larg defrecven men inând relativ redus variaia benziiraportate la frecvena purt toarei .

Aceasta permite transmisia mai multor canale dedate i de voce decât ar fi fost posibil cu opurt toare de frecven mai redus sautransmisia în banda de baz.



7/218

Michael Faraday (1791 - 1867) are meritul de a fiintrodus conceptul de câmpi cel de aciune, dinaproape în aproape, cu vitez finit .

James Clerk Maxwell (1831 - 1879) a dezvoltat conceptulde câmp, a aplicat ideile lui Faraday în domeniulelectromagnetismului, aparin lui. În 1864 Mawell adezvoltat ecuaiile matematice pentru descriereafenomenelor electromagnetice prin abstractizareaigeneralizarea unor legi experimentale descoperiteanterior de Coulomb, Faraday, Gauss1864 Existenaundelor elmg. prezisde Maxwell prin ec. sale

Heinrich Rudolf Hertz (1857 - 1894) a construit în1888 un aparat care demonstreaz existena undelorelectromagnetice

Spectrul de frecven al undelor electromagneticei lungimile de und asociate

Domeniul microundelor:UHF ultrahigh frequency 0,3 GHz -3 GHzSHF-super high frequency 3 GHz -30 GHzEHF extremely high frequency 30 GHz -300 GHz



8/218

Deasupra frecvenei de 300 GHz absorbia radiaieielectromagnetice de atmosfera pmântului este atât de

mare încât aceasta poate fi considerat opac Atmosfera devine din nou transparent în domeniulinfrarou i optic.

Orientate iniial înspre aplicaii militare RFi microundelecunosc în prezent o tripl expansiune în aplicaii:comerciale

tiinificepentru utilizatori individuali

Aplicaiile i-au pus amprenta i asupra definirii benzilorde frecven

Ca o consecin a variatelor aplicaii , terminologiai definirea benzilor defrecven nu sunt pe deplin standardizateExist diferene semnificative între notaii atât în literatur, cât i practice.

Atribuirea IEEE (de la L la W) are în prezent o larg r spândire în tehnic i practic, în timp ce cea a armatei americane (de la A la N) nu a

câ tigat popularitate înafara comunitii militare.

Pentru banda K exist 2 definiii în uz:18 GHz26,5GHz10,9 GHz36 GHz

Banda L are atribuiri diferite de frecven în opinia IEEEia aplicaiilor militare US:0,39 GHz2 GHz40 GHz60 GHz



9/218

Atribuirea benzilor de frecven a) industrial i IEEE;zonele haurate indic variaii g site în literatur, zonele

înnegrite indic frecvenele ptr. care exist un consenslarg;S ge ile indic definiiile curente IEEE

Atribuirea benzilor de frecven în armata american



10/218

Tendine

Reorientarea de la înalta performan (aplicaii militare)indiferent de preul implicat înspre fezabilitate (ptr.aplicaii comerciale) i pre de cost minim în condiiileunei performane acceptabile

Diversitatea aplicaiilor i mediilor operaionale,acompaniat de o producie de mas au împins tot maisus limitele performanelor produselor de microunde, laun cost din ce în ce mai redus.

Reorientarea de la producia mic la producia de mas

Aceasta a atras dup sine reducerea costului deimplementare a serviciilor cu firi f r fir în RF imicrounde.

Dac primele sisteme prin satelit erau în banda C (2,4-4,2GHz), proiectarea curent este orientat spre bandaK (Ku i Ka).

Aceasta a permis i r spândirea terminalelor cu apertur redus i în zonele în care sistemele celulare nu exist,implementarea lor fiind prea scump.

Utilizarea unor tehnologii noi cu mare eficien spectral .

De exemplu utilizarea unei modulaii de amplitudine în

cuadratur 256-QAM în sistemul Spaceway în loculmodulaiei QPSK ar duce la creterea vitezei detransmisie la 400Mb/s de la 100Mb/si la o capacitatetotal de 17,6 Gb/s, fa de 4,4 Gb/s în prezent adic de4 ori mai mare pentru o aceeai band ocupat ca înprezent.



11/218

Este de a teptat pe viitor s se utilizeze frecvenedin ce în ce mai mari pe msur ce spectrul defrecven devine tot mai redus.

Frecvenele înalte vor permite utilizarea unorterminale mai redusei potenial obinerea uneimobilit i mai mari.

Aplicaii :

1. -istoric,militare de radiolocaie Lungimile de und micipermit realizarea unor fascicole înguste, ce pot fidirecionate practic cu antene de dimensiuni suficient demici, generând o rezoluie adecvat a locaiei intei

2.-comunica iile terestre la mare distan cît i celeprin satelit, pentru voce i imagini :

-comunicaiile f r fir de voce i de date, atât spre utilizatoriindividuali câti dinspre acetia;

-protocoalele reelelor LAN, ex Bluetooth lucreaz în banda de2,4 GHz

-servicii de internet wireless-protocoalele reelelor MAN metropolitan area networks , ca deex. WIMAX (world wide interoperability for microwave acces) îndomeniile de 2,5 GHz i 3,5 GHz

-protocoale care permit accesul mobil f r fir pe suprafee mariwide area mobile broadband wireless acces MBWA ,



12/218

-comunicaiile prin cablu, inclusiv sistemele prin cablu coaxial ptr.distribuie video i acces digital de band larg ;-comunicaiile prin fibr optic ptr. mare i mic distan ;-sistemele hibride, ca de exemplu cele fibr optic -coaxial ;-computere personale

3-sisteme radar :-în radiolocaia i urm rirea intei-evitarea aerian automat a coliziunilor-monitorizarea meteorologic

4-aplicaii de înclzire dielectric bazate prin trecerearadiaiei de microunde prin diferii dielectrici, inclusivalimente:-sisteme industriale (de obicei la f 900 MHz) de uscarei tehnici deprocesare a semiconductoarelor care utilizeaz microundele pentrugenerarea plasmei-consum casnic (cuptorul cu microunde f 2450 MHz)

5-transmiterea puterii la distan mare transmitereaenergiei solare captate pe satelii înspre pmânt

6-medicin tratamente

Propagarea undeiConceptul de propagare se refer la modul în care unda

electromagnetic se deplaseaz de la antena de emisiela recepie.

-mijlocul de transport al energiei de la emitor la receptor.

Transmisia informaiei analogice sau digitale de la un punctla altul este cea mai rspândit aplicaie în microunde.

Propagarea undei-prin mediul liberi structuri ghidate:-Linii de transmisie-Ghiduri



13/218

Avantajele propag rii undelor la frecvenelemicroundelor :

Microundele , datorit frecvenelor înalte permit benzi largi defrecven , f r problemele ridicate de interferenele în domeniulfrecvenelor joaseO singur purt toare poate manipula o cantitate uria deinformaieMicroundele se propag de-a lungul unei linii drepte ca razele delumin i nu sunt curbate de ionosfer. Propagarea în linie dreapt face posibil transmisia prin satelii. Satelit de comunicaii- staie deretransmisie în microunde care leag 2 sau mai multe emitoare ireceptoare terestre.Este posibil proiectarea unor sisteme cu antene de dimensiunirezonabileComparativ cu undele elmg. de joas f. energia microundelor estemai u or de controlat, concentrat, direcionat- util în gtit, uscat ifizica diatermic.

În ingineria frecvenelor înalte, practica curent utilizeaz

modelul empiric, bazat pe msur tori rezultat din ec. luiMaxwell.

Ingineria mu i RF trateaz cazuri speciale ale fiziciiparticulelor încrcate electric i interaciunilor dintre eleprin intermediul undelor electromagnetice. Ramuratiinei care descrie fizica particulelor electrice-

electromagnetismul.Electromagnetismul se ocup cu fora electromagnetic i este bazat pe conceptul vectorilor intensitate a

câmpului electric E(x,y,z,t), respectiv, magneticintensitateH(x,y,z,t), introdui ptr. a rezolva aciunea ladistan a sarcinilor electriceEc. Lui Maxwell descriu câmpul în funcie de surse sarcinii curenii asociai.



14/218

Reprezentarea în domeniul timp aecua iilor lui Maxwell

În cinstea lui J.C. Maxwell, formele locale ale legilorgenerale ale fenomenelor electromagnetice suntdenumiteecua iile lui Maxwell .

Studiul microundelor se bazeaz pe conceptul vectorilorintensitate a câmpului electricE(x,y,z,t) respectivintensitate a câmpului magneticH(x,y,z,t)

conform teoremei lui Helmholtz orice vector al unuicâmp poate fi unic definit prin rotoruli divergena sa

Rotorul câmpului electric se noteazcui se calculeaz în coordonate carteziene cu relaia:

Divergena câmpului electric, notat Ñ ×E, are în coordonate cartezieneexpresia:

Ñ este simbolul operatorului matematic denumit "nabla" este vector iare expresia formal:

E´Ñ

÷÷ ø ö

ççè æ

¶¶-

¶¶

+÷ ø öç

è æ

¶¶-

¶¶+÷÷ ø

öççè æ

¶¶

-¶

¶=¶¶

¶¶

¶¶=´Ñ

yE

x

Ek

xE

zE

jz

E

yE

i

EEEzyx

k jixyzxyz

zyx

E

z y x ¶¶+

¶¶+

¶¶=Ñ k ji

z

E

y

E

x

Ezyx

¶¶

+¶

¶+

¶¶

=×Ñ E



15/218

M rimile de stare locale ce caracterizeaz câmpul sunt:

intensitatea câmpului electricE, cu unitatea[V/m].inducia magnetic B, cu unitatea [T].inducia electric sau deplasarea electric D, cuunitatea [C/m2].intensitatea câmpului magneticH, cu unitatea[A/m].

M rimile de stare locale ce caracterizeaz corpurile sunt:

e este sarcina electric m este sarcina magnetic Je este densitatea curentului electricJm este densitatea curentului magnetic



16/218

Legea induciei electromagneticesau (1.1)

Legea circuitului magneticsau (1.2)

Legea fluxului electricsau (1.3)

Legea fluxului magnetic

sau (1.4)

Aceste relaii arat c variaiile în timp ale unui câmpreprezint sursa celuilalt

eD r=×Ñ eDdiv r=

mB r=×Ñ mBdiv r=

t ¶¶+=´Ñ D

eJH

t ¶¶+= D

eJHrot

t ¶

¶--=´Ñ Bm

JE

t ¶

¶--= B

mJErot

Ecuaiilelui Maxwell ptr.vidED 0e= m/F10.842,81036

1 1290

-@p

@e

H B om=

t ¶¶m--=´Ñ H

mJE

0

t ¶¶e+=´Ñ E

eJH

0

0er=×Ñ eE

0mr=×Ñ mH

m/H10.566,1210..4 77o-- @p=m



17/218

Undele electromagnetice sunt o solu ie special a ec luiMaxwell, pe care se bazeaz ingineria microundelor.f(z vt) se deplaseaz sau se propag în timp cu sensulaxei z, cu viteza v.

Un fenomen fizic descris de o astfel de func iepoart denumirea de "und ".

În inginerie, dependent de tehnologie diferite circumstane ale electromagnetismului :La un capt al spectrului sunt dispozitivele în staresolid , unde legile electromagnetismului se aplic unuinr. restrâns de sarcini, împreun cu mecanica cuantic.

Aici forele aplicate sarcinilor individuale sunt importanteLa cellat cap t- aplicaii în care lungimea undelorelmg.


18/218

Dup postularea teoriei speciale a relativitii nu este necesar nici omodificare a ec. lui Maxwell.

Viteza luminii, derivat din aceste ec. este o constant ptr. toate

sistemele ineriale de referin .De obicei se restrânge investigarea ecuaiilor lui Maxwell la cazul în care

variaiile în timp ale câmpului electrici magnetic sunt armonice

M rimi vectoriale si fazorii atasati lorForma de variaie în timp i în spaiu a unui câmp electric

monocromatic cu frecvena w poate fi pus sub forma (1.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )zz

yyxx

tcosz,y,xEk

tcosz,y,xE jtcosz,y,xEit,z,y,x

f+w+

+f+w+f+w=E

Se prefer funciile de tip exponenial complex:(1.6)

Vectorului cu componente realeE din rel (1.5) i se poateata a vectorulE cu componente complexe:

(1.7)

Între vectoriiE i E exist rela ia evident [vezi i relaia (1.6)]:

(1.8)

(1.9)

( ) ( ) ( ) 1 j sin jcose j -=f+w+f+w=f+w t t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )zyx

tz

ty

tx

j

j j

ez,y,xEk

ez,y,xE jez,y,xEit,z,y,xEf+w

f+wf+w

+++=

( ) ( ){ }t,z,y,xERet,z,y,x =E

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz jy jx eez,y,xEk ez,y,xE jez,y,xEit,z,y,xE zyx wfff ×+×+×=



19/218

Se introduc notaiile:

(1.10)

cu ajutorul crora (1.7) se rescrie sub forma:

(1.11) Vectorul din paranteza dreapt a rela iei (1.10) are componentele

complexe i este un vector complex, nu depinde de variabila timp ti se noteaz cu E(x,y,z) :

(1.12)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) z

yx

jzz

jyy

jxx

ez,y,xEz,y,xE

;ez,y,xEz,y,xE ;ez,y,xEz,y,xEf

ff

×D×D×D

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ez,y,xEk z,y,xE jz,y,xEit,z,y,xE t jzyx w++=

( ) ( ) ( ) ( ) z,y,xEk z,y,xE jz,y,xEiz,y,xE zyx ++=

Vectorul complex , definit prin relaia (1.12), poart denumirea defazor ata at câmpului electric (cuintensitatea E (x,y,z,t )) . Spredeosebire de câmpul electricE, câmp fizic, fazorul nu depinde devariabila timp

(1.13)

Vectorului H i se ataeaz fazorul astfel :

(1.14)


( ) ( ){ }t z y xt z y x je,,Re,,, w= EE

( ) ( ){ }t z y xt z y x je,,Re,,, w×= HH



20/2182

În regim armonic, monocromatic, se pot obine formemodificate ale ecuaiilor lui Maxwell, în care intr fazorii

ata a i m rimilor vectoriale

i dup simplificarea cu , posibil deoarecerezult forma complex a ecua iei (1.1),

scris pentru fazori:

t

¶¶-=´Ñ

BE ( ){ } ( ){ }t t z y x

t z y x j j e,,Re

e,,Re BE

¶¶-=´Ñ

( )[ ]{ } ( )

( )[ ]{ }t

t t

z y x

t z y x z y x

j

j j

e,, jRe

e

,,Ree,,Re

B

BE

w-=

=þýü

îíì

¶¶-=´Ñ

( )[ ] ( )[ ] t t z y x z y x j j e,, je,, BE w-=´Ñ

0e j ¹wt t je w

O form simplificat de scriere a fazorilor este f r precizareaargumentelor spaiale x, y i z.

inand cont i de existena densit ilor de sarcin electric, respectivmagnetic Je, Jm:

(1.15) (1.17)

(1.16) (1.18)

Ecuaii- valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvena .Ele sunt reprezentarea în domeniul frecven a ecua iilor lui Maxwell

( ) ( ) z y x z y x ,, j,, BE w-=´Ñ

BE jw-=´Ñ

DJH jw+=´Ñ e

er=×Ñ D

mr=×Ñ B

BJ mE j- w-=´Ñ



21/2182

Avantajul utilizrii fazorilor în locul vectorilor reali estefaptul c derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.

Vom verifica, mai întâi, c divergena rotorului unui vector oarecare A este nul :

( )

÷÷ ø ö

ççè æ

¶¶-

¶¶

¶¶+÷÷ ø

öççè æ

¶¶-

¶¶

¶¶+÷

÷ ø ö

ççè æ

¶¶-

¶¶

¶¶=

=¶¶

¶¶

¶¶×Ñ=´Ñ×Ñ

y

A

x

A

z x z y z

x x y x x y z

z y x

A A A z

A

A A A z y x

k ji

A



22/218

Legea induciei electromagneticesau (1.1)

Legea circuitului magneticsau (1.2)

Legea fluxului electricsau (1.3)

Legea fluxului magnetic

sau (1.4)

Aceste relaii arat c variaiile în timp ale unui câmpreprezint sursa celuilalt

eD r=×Ñ eDdiv r=

mB r=×Ñ mBdiv r=

t ¶¶+=´Ñ D

eJH

t ¶¶+= D

eJHrot

t ¶

¶--=´Ñ Bm

JE

t ¶

¶--= Bm

JErot

Cursul 2

Ecuaiilelui Maxwell ptr.vidED 0e= m/F10.842,81036

1 1290

-@p

@e

H B om=

t ¶¶m--=´Ñ H

mJE

0

t ¶¶e+=´Ñ E

eJH

0

0er=×Ñ eE

0mr=×Ñ mH

m/H10.566,1210..4 77o-- @p=m



23/218

Undele electromagnetice sunt o solu ie special a ec luiMaxwell, pe care se bazeaz ingineria microundelor.f(z vt) se deplaseaz sau se propag în timp cu sensulaxei z, cu viteza v.

Un fenomen fizic descris de o astfel de func iepoart denumirea de "und ".

În inginerie, dependent de tehnologie diferite circumstane ale electromagnetismului :La un capt al spectrului sunt dispozitivele în staresolid , unde legile electromagnetismului se aplic unuinr. restrâns de sarcini, împreun cu mecanica cuantic.

Aici forele aplicate sarcinilor individuale sunt importanteLa cellat cap t- aplicaii în care lungimea undelorelmg.


24/218

Dup postularea teoriei speciale a relativitii nu este necesar nici omodificare a ec. lui Maxwell.

Viteza luminii, derivat din aceste ec. este o constant ptr. toate

sistemele ineriale de referin .De obicei se restrânge investigarea ecuaiilor lui Maxwell la cazul în care

variaiile în timp ale câmpului electrici magnetic sunt armonice

M rimi vectoriale si fazorii atasati lorForma de variaie în timp i în spaiu a unui câmp electric

monocromatic cu frecvena w poate fi pus sub forma (1.5)

) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )z

yx

+tcoszy,x,k +

++tcoszy,x, j++tcoszy,x,i=zy,x,

z

yx

E

EEE

Se prefer funciile de tip exponenial complex:(1.6)

Vectorului cu componente realeE din rel (1.5) i se poate ataa vectorulE cu componente complexe:

(1.7)Între vectoriiE i E exist rela ia evident [vezi i relaia (1.6)]:

(1.8)

(1.9)

( ) ( ) ( ) 1 j sin jcose j -=f+w+f+w=f+w t t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyx +tz+t

y+t

x j j j ez,y,xk +ez,y,x j+ez,y,xi=t,z,y,xE fw

fwfw EEE

) ( ){ }t,z,y,xERe=t,z,y,xE

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz jy jx eez,y,xk +ez,y,x j+ez,y,xi=t,z,y,xE zyx wfff EEE



25/218

Se introduc notaiile:

(1.10)

cu ajutorul crora (1.7) se rescrie sub forma:

(1.11) Vectorul din paranteza dreapt a rela iei (1.10) are componentele

complexe i este un vector complex, nu depinde de variabila timp ti se noteaz cu E(x,y,z) :

(1.12)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ez,y,xEk z,y,xE jz,y,xEit,z,y,xE t jzyx w++=


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) z

yx

jzz

jyy

jxx

ez,y,xz,y,xE

;ez,y,xz,y,xE ;ez,y,xz,y,xEf

ff

D

DD

E

EE

Vectorul complex , definit prin relaia (1.12), poart denumirea defazor ata at câmpului electric (cuintensitatea E (x,y,z,t )) . Spredeosebire de câmpul electricE, câmp fizic, fazorul nu depinde devariabila timp

(1.13)

Vectorului H i se ata eaz fazorul astfel :

(1.14)


( ) ( ){ }t jez,y,xERe=t,z,y,x wE

( ) ( ){ }t jez,y,xHRe=t,z,y,x wH



26/218

În regim armonic, monocromatic, se pot obine formemodificate ale ecuaiilor lui Maxwell, în care intr fazorii

ata a i m rimilor vectoriale

i dup simplificarea cu , posibil deoarecerezult forma complex a ecua iei (1.1),

scris pentru fazori:

t

¶¶-=´Ñ

BE ( ){ } ( ){ }t t z y x

t z y x j j e,,Re

e,,Re BE

¶¶-=´Ñ

( )[ ]{ } ( )

( )[ ]{ }t

t t

z y x

t z y x z y x

j

j j

e,, jRe

e

,,Ree,,Re

B

BE

w-=

=þýü

îíì

¶¶-=´Ñ

( )[ ] ( )[ ] t t z y x z y x j j e,, je,, BE w-=´Ñ

0e j ¹wt t je w

O form simplificat de scriere a fazorilor este f r precizareaargumentelor spaiale x, y i z.

inand cont i de existena densit ilor de sarcin electric, respectivmagnetic Je, Jm:

(1.15) (1.17)

(1.16) (1.18)

Ecuaii- valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvena .Ele sunt reprezentarea în domeniul frecven a ecua iilor lui Maxwell

( ) ( ) z y x z y x ,, j,, BE w-=´Ñ

BE jw-=´Ñ

DJH jw+=´Ñ e

er=×Ñ D

mr=×Ñ B

BJ mE j- w-=´Ñ



27/218



( )

÷÷ ø ö

ççè æ

¶¶-

¶¶

¶¶+÷

÷ ø ö

ççè æ

¶¶-

¶¶

¶¶+÷

÷ ø ö

ççè æ

¶¶-

¶¶

¶¶=

=¶¶

¶¶

¶¶×Ñ=Ñ́×Ñ

y A

x A

z x z y z

x x yzxyz

zyx

AAAy

A

AAAzyx

k ji

A



( )

÷÷ ø

öççè

æ

¶

¶-

¶

¶

¶¶+÷÷ ø

öççè

æ ¶

¶-

¶

¶

¶¶+÷

÷ ø

öççè

æ ¶

¶-

¶¶

¶¶=

=¶¶

¶¶

¶¶×Ñ=´Ñ×Ñ

y

A

x

A

z x z y z

x x y x x y z

z y x

A A A

z

A

A A A

z y x

k ji

A



28/218

Efectuând calculele se gse te imediat c:

inând seam de proprietatea de inversare a divergenei i derivrii, cu A = D ob inem:

Aplicm proprietatea anterioar rela iei (1.2):

( ) AA "º´Ñ×Ñ 0,

( )AA ×Ñ¶¶=÷

ø öç

è æ

¶¶×Ñ

t t

( ) 0DeJ =×Ñ¶¶×Ñt

+

0)tD

J()H( e =¶¶+Ñ=´ÑÑ

inand cont de relaiile dintre vectorii fazorii corespunztori obinem:

În mod similar, din relaia (1.1) obinem:

Aceste relaii se numescecua ii de continuitateDe menionat c :

0eJ =wr×Ñ

e j+

0)tB

-J()E( m =¶¶-Ñ=´ÑÑ

( ) 0BmJ =×Ñ¶¶×Ñ

t +

ED=e= HB

=m=



29/218

Unda plan - model idealizat pentru und, (când emi torul este dedimensiuni mult reduse în comparaie cu distana de la acesta pân lapunctul în care se investigheaz câmpul).

-dimensiunile considerate în planul perpendicular pe direcia depropagare s fie mult reduse în comparaie cu aceeai distan .

Sensul de propagare al energiei este dat devectorul Poynting

Prin tradiie, ca ax de propagare se alege axa z.Câmpul nu prezint modificri în spaiu dup axele x i y(deoarece frontul de und este plan) i deci operatorii

i sunt identic nuli.

*= ExH21

S

¶¶ x¶

¶ y

(1.20)



30/218

Fie mediul de propagare caracterizat dee i m iconductivitateas . Existena unei conductiviti nenuledetermin apari ia unor cureni de conducie.

Se reamintete c operatorul Laplacian,Ñ2, notat i ,are în coordonate carteziene expresia:

Fie ecuaia (1.15) în care considerm Jm zero.(1.21)

2

2

2

2

2

22

z y x ¶¶+

¶¶+

¶¶==Ñ

EJ e = s

HE mw=´Ñ -j

Aplicm rotorul în ambii membrii ai ecuaiei:

În absena sarcinilor libere adic iinând cont de relaia (1.16) obinem:

Ecuaia (1.21) se poate deci rescrie sub forma:

sau:

( ) ( ) ( )xH jEExEx 2 Ñwm-=Ñ-ÑÑ=ÑÑ

0=esr 0E =×Ñ

0= j+ 22 EEE msw-mewÑ

0=

j1+ 22 EE ÷ ø öçè

æ ew

s-mewÑ

( )E j jE2 s+wewm=Ñ



31/218

Se noteaz :(1.22)

Constanta k se numete "num r de und "Obinem astfel :

(1.23)

Ecuaia este cunoscut sub numele deecua ia undei .

În mod similar din ecuaia (1.16) se obine

(1.24)

j1= 22 ÷ ø öç

è æ

ews-mewk

0=+ 22 EE k Ñ

0=+ 22 HH k Ñ

În lipsa pierderilor i

În vid unde = 0 i = 0 ob inem

Se definete constanta de propagareg prin relaia:

(1.25)i deci:

(1.26)

Constantaa , m surat în [Np/m] sau [dB/m], se numeteconstant de atenuare . Constantab, m surat în[rad/m], se numete constant de faz .

s = 0 mew= 22k

00k mew= 022

j1== 222 ÷ ø öçè

æ ew

s-mew--g k

j1= j+= 2 ÷ ø öçè

æ ew

s-mew-bag



32/218

Fie:

Având în vedere c i deci i

Ecuaia (1.23) se scrie sub forma:

Ecuaia vectorial este echivalent cu urm toarele treiecua ii scalare:

2

2

2

2

2

22

z y x ¶¶+

¶¶+

¶¶==Ñ

0=

= y x ¶

¶¶¶ 0=

=

2

2

2

2

y x ¶¶

¶¶

0=+ 22 EE k Ñ

( ) ( )Ek E jEiEk E jEiz zyxzyx

=

22

2

++g++¶¶

zz

yy

xx E

zE

Ez

EE

zE 2

2

22

2

22

2

2

=

=

=

g¶¶g

¶¶g

¶¶

;;

Soluiile celor trei ecuaii sunt:

z z

zzz

z y

zyy

z

x0

z

xx

E= EE

+ E= EE

eEEE

g-g-

g-g-

g-g-

0

+0

0

+0

+

o

e+e

ee

+e=

Dar i deci ,

scade o dat cu cre terea valorii coordonatei z, z > 0.Unda corespunztoare este unda direct.

Deoarece sau valoare ce crete

odat cu cre terea valorii coordonatei z, z > 0.Unda corespunztoare este unda invers ce apare datorit reflexiei.

z z z jee=e b-a-g- z z e=e a-g-

z z z jee=e bag z z e=e ag



33/218

Prima ecuaie a lui Maxwell, (1.15) poate fi rescrissub forma:

dezvoltând determinantul din membrul stâng rezult

În mediul de propagare infinit, omogeni izotrop, nu apar

reflexii, i soluiile sunt

:(1.26)

z z0z

z y0y

z x0x EEEEEE

e= e= e= g-g-g- ;;

( )zyxzyx

Hk H jHi

EEE

z

k ji

j00xE ++mw-=¶¶=Ñ

j=0 j= j= zyx

xy HH

z

E H

z

Emw-mw-

¶¶mw-

¶¶- ;;

Derivând expresiile (1.26) rezult:

(1.28)

Se poate deduce, prin împr ire cu Hx, respectiv cu Hy,din (1.28):

0= j= j= zyxxy HHEHE ;; mwgmw-g

j ==

gmw-

x

y

y

x

H

E

H E

(1.29)



34/218

A doua ecuaie a lui Maxwell, (1.16), se scrie sub formaparticular:

Singura relaie interesant ce se deduce este:

( )( )+ j=

0

00xH zyx

yx

Ek E jEi

HH

z

k ji

++swe¶¶=Ñ

0=zE (1.30)

ObservaiiDeoarece i ambele componentesunt perpendiculare pe axa de propagare 0z.

O astfel de und, ale c rei componente Ei H sunttransversale pe direcia de propagare se numete und TEM transversal electromagnetic sau mod depropagare TEM.Unda plan este deci o und TEM.Câmpurile Ei H sunt ortogonale nu numai pe direciade propagare , ci i între ele.Din (1.29) rezult:

(1.31)

0=zE 0=H z

0=yyxx H+ EHE



35/218

Cum , relaia (1.31) este echivalent cu:

În unda plan componentele E i H alecâmpului electromagnetic sunt ortogonale.Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x s fieparalel cu E, iar axa 0y s fie paralel cu H.

0=HE ×



36/218

Cum , relaia (1.31) este echivalent cu:

În unda plan componentele E i H alecâmpului electromagnetic sunt ortogonale.Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x s fieparalel cu E, iar axa 0y s fie paralel cu H.

0=HE ×

Avem deci:

Raportul se exprim în

i deci are dimensiunea unei impedane.Impedan a intrinsec a mediului este:

z jz0 eeiEE

b-a-=z jz

0 ee jHH b-a-=

=AV

= A/mV/m Wúû

ùêëé

úûù

êëé

yx HE

b+amw

gmw

jHE

=Zy

xm

j =

j =

j-1

1 =

ews

×em=

HE

HE

=Z0

0

y

xm



37/218

În cazul mediilor f r pierderi =0 i deci =j . i deci:

Componentele de câmp ale undei planedevin:

Cu Y m s-a notat admitana intrinsec a mediului

=mZ em

z j0eiEE

b-=z j

mo eY jEH b-=

mm Z

1 =Y

Impedana intrinsec a vidului are valoarea:

(1.35)

Pentru a determina câmpurile fiziceE i H aleundei plane vom considera pentru simplificare c E0 ,H0i Y m sunt m rimi reale.

În conformitate cu relaiile (1.8) respectiv (1.9) obinem:

indic descre terea cu axa z, deci este constanta deatenuare

W@pem

377120==0

00m

Z

)(cose= 0

z t z b-wa-E iE

)(cose= 0 z t Y z

m b-wa-E jH



38/218

Reprezentarea repartiiei spaiale a câmpurilor fizice poatefi realizat doar la un moment de timp specificat. Pentru

t = 0 rezult z z cose=E 0 ba-E i zY j zm cose=H

0

baE

Componentele E x i H y ale unei unde plane care sepropag f r a fi atenuate

Termenul e-az indic descre terea de-a lungul axei z,motiv ptr carea este constanta de atenuare

Dac a = 0 unda este neatenuat în lungul axei z, aacum se arat în figura



39/218

pentru relaia (1.36) conduce la:

÷ ø öçè æ b-p= a- z z x 3cose

0E E

wp=

3

2t

Lungimea de und l

-distana m surat pe axa z între dou treceri consecutiveale câmpului prin zero, în acelai sens

( ) [ ] 0=cos=cos lb-b-wb-w z t z t

( ) ( ) ( )[ ] 0=+cose=cose +0

0

lb-w×b-w la-a- z t z t z z E E

( )p-aa 2cos=cos bp

l2

=



40/218

Ptr. un mediu f r pierderi -ca distan între

dou maxime consecutive.ca distan m surat pe axa z dup caremodificarea de faz a câmpului este de 2p, la unmoment de timp t dat.Lungimea de und în vid se noteaz cu l o iinând cont de relaiile

este egal cu0

02 =k pl

002

00002 = j== mewmew-g k k ; == 000 wb k

Viteza luminii în vid este dat de :

Pentru un mediu oarecare, f r pierderi =0, cu = 0 r i= 0 r , lungimea de und va fi diferit de 0 din vid,

egal cu:

Termenul se numete factor de scurtare

Se utilizeaz i o relaie de calcul adaptat domeniuluimicroundelor (domeniu numiti centimetric ):

[ ] [ ] GHz= cm= 30 = ;00

f f

ll

r r r r r r k mel=

mep=

memevp=

emvp=b

p=l 0000

2222

m/s1031

= 8

00×@c

Termenul

r r

1me

vT =l 00001f 2

T2

v me=meww

=bw

=bp

=bp

=



41/218

Unda plan în vid

Relaiile ce permit calculul expresiilorfazorilorE i H în vid sunt:

i deci, expresiile câmpurilor fizice devin:

z k E 0 j0

e= -iE0

0 j

00

1 =e j= 0

mm

z k m Z

Y E Y ;-H

) zk -tcosi0

EE0

=

)zk -tcosY 0m00E j=H

Viteza de faz i viteza de grup

Viteza de faz este, prin definiie, viteza cu care ar trebuis se deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaifaz a undei.

În cazul propagrii undei plane printr-un mediu omogeni izotrop, f r pierderi (s = 0),viteza de faz, într-un mediu omogen, izotropi f r pierderi, nu depinde de frecvena w.

z t t =)( b-wf

0=d d= d z t b-wf

bw

=dd

=t

z v

f

= mewb

1

= me f v



42/218

În vid relaia devine:

Viteza de grup este viteza de propagare a energiei.Considerând expresia vectorului Poynting, ea reprezint energia transportat de und în unitatea de timp, prinunitatea de suprafa .

Viteza de grup poate fi calculat i cu relaia:

În vidSe observ c pentru unda plan în vid . În concluzie,pentru unda plan în vid

m/s103==

1 = 8

00

×me cv f

d d1

= d d

=

wbb

w g v

= 00 mewb

c1

dd =wb

În concluzie, pentru unda plan în vidadic viteza luminii c

Puterea transportat de unda plan printr-osuprafa normal pe direc ia de propagare

ixj=k

c= vv f g =

*= ExH21

S



43/218

z220m2

1*z jzm0

z jz0 eEkY)eeY jE(x)eeiE(2

1S a-b-a-b-a- ==

( )ïïþ

ïïýü

ïïî

ïïíì

×´=ïþïýü

ïîïíì

ò òò òD

D-

D

D-D D yd xdk

21

RekSdxdyRe=P2

x

2x

2y

2y

*yx

x y

HE

Puterea activ P transportat de und printr-o suprafa DS=(Dx). (Dy), normal pe direc ia de propagare este

Se substituie Ex i Hy i se obine:

dde 21

Re= 2*2

2

2

2

*00 ï

þ

ïýü

ïî

ïíì

a-

D

D-

D

D-ò ò y xY E E P z m x

x

y

y

=2

0*00

E E E } { }mm Y Y Re=Re *

{ } { } SeYRe2

E=y xeYRe2

E =P z2m

20z2

m

20 DDD a-a-



44/218


45/218


46/218

Pentru cazul particular al dielectricilor ideali cu mr = 1,lungimea de und se calculeaz cu relaia:

1

2

=

1

2 =

2

=2

=000 r r r r

k mep

me×mewp

mewp

bpl

= 0

r r mel

l

0 1

= lel r

mewbmemew

wbw

1

=dd1

= 1

= == g f vv

Mediile pentru care viteza de faz nu este funciede frecven p streaz forma unei unde compusedin mai multe componente armonice- nedispersive

Mediile pentru care viteza de faz este o funciede frecven , forma undei compuse nu se maip streaz ca urmare a propagrii. Aceste mediide propagare se numesc dispersive .



47/218

2) Dielectricii cu pierderi mici k m


48/218

4) Conductorul ideal s® ¥ i k m® ¥

a = ¥ , b = ¥ adâncimea de ptrundere estenul , d = 0.În conductorul ideal câmpul electromagnetic nupoate p trunde.Impedana conductorului ideal este nul.Conductorul ideal este un scurtcircuit idealpentru câmpul electromagnetic

3.) Conductori reali au conductivitateas foarte marefiind caracterizai de 1


49/218

ExempluPentru cupru cus@57,8×106 W 1×m 1 i mr = 1 la frecvena

f = 1 GHz :

Adâncimea de p trundere d a câmpuluielectromagnetic este distan a pentru care câmpulse atenueaz de e = 2,1783 ori .

Factorul de atenuare este e a z, înlocuind z =d aveme a z = e 1 :

Pentru cupru, la f = 1 GHz adâncimea de ptrundere este

4769

1047,8 2

1041057,8102 = ×@×p××××p=ba

-

smwad 2

=1

=

m2,1=m102,1m1047,8

1 = 64- m×@×d -

Pentru 10d câmpul este practic nul, fiind atenuatcu

Pentru cazul considerat în exemplul numeric 10d @21[mm]Impedana intrinsec a unui mediu conductor Zmc

Zmc la f = 1 GHz pentru un conductor de cupru

Mediul conductor poate fi considerat practic ca un"scurtcircuit" pentru câmpul electromagnetic.

( ) ; 104,54e 510 -d×a- ×@

( ) j+1 2

= j

= j1

j11

= smw

smw

-×

em@

-×

em

mmm c k k

Z

( ) ( )

[ ] [ ]WW×@×@××

×p××p

- m11,7=101,17

j+1100,83 j+11057,82104102

=

2

2-

6

-79

mc

mc

Z

Z



50/218

02=2

= ¾® ¾ dpbpl

smw

2 = f

v

smw

22= g v

Mediul conductor este dispersivdeoarece vf este funcie defrecven

Pentru cupru @47,8.104 i l @13.10 6 [m] =13 [mm].



51/218

Observa ii-Materialele pentru care k m Î (0,1 ¸ 10)- semiconductoare-Acela i mediu poate avea comport ri diferite înfunc ie de frecven .

Comportarea pmântului uscat la diferite frecvene

dielectric4,5×10 -31GHz

semiconductor 4,51MHz

conductor 45001kHz

Clasificarek mf

4@er 1@mr s = 10 3[W 1m 1]

Apa de mare are s @4 [W 1m 1], i

La frecvena de 1 MHz valoarea constantei k m este:

Apa de mare este la aceast frecven , un conductordestul de bun.

Adâncimea de ptrundere corespunztoare ested @25 [cm].

La frecvena de 10 Hz adâncimea de ptrundere înapa de mare este de

ori mai mare i este de ~ 79 [m].

80@er 1=mr

1>>900=8010

361

102

4 =

96 ××p

××p -mk

56 10=/1010



52/218

Reflexia i transmisia undei plane

Componentele undei directe, reflectatei transmise alecâmpului electric, respectiv magnetic (luând în considerarei sensul de propagare al energiei)



53/218

Componentele Ei H tangente la suprafaa de

separare sunt continue

Coeficientul de reflexiela suprafaa de separare

Coeficientul de transmisie prin suprafaa de separare

E=+ t0r 0i0 EE

( ) 2mt0r 0i01m YE EEY =-

i0

r 0

EE=G

i0

t0

EE

T =

Ecuaiile de continuitate ale componentelor tangente (z=0)

În absena pierderilor i Aplicând succesiv inegalitile cunoscute din operaiile cu

module se deduce valoarea maxim a câmpului electric în mediul 1

T1 =G+2m1m TY)1(Y =G-G

12

12

21

21 =mm

mm

mm

mm

+ Z Z Z Z

=+ Y Y

Y Y --G

12

2

21

122

mm

m

mm

m

+ Z Z

Z =

+ Y Y

Y T =

11 j= bg

22 j= bg



54/218

Valoarea minim a câmpului în mediul 1

În mediul 1 apare o aa numit und sta ionar . Unda

sta ionar este caracterizat de existena unormaxime (ventre) i minime (noduri) de oscilaie alecâmpului electromagnetic, de valoarei amplasare fixepe axa z.

) ( )+1=e+e e+eE= 0 j j01 j1 j01 GG£G bb-bb- i z z i z z i E E E

( ) +1E=E i0max1 Gi0max1

E2E £

( )1=1=

= ee e +e=

00

j j0

j+ j01

G-G-

G-³G bb-bb-

ii

z z i

z z i

E E

E E E

( ) 01=0min1 ³G-i

E E

Raportul de und sta ionar

RUST sau din limba englez SWR (stationary - wave ratio).

min1

max1

E

E =S

1 1

+1 ===

min1

max1

min1

max1 £GG-G

,H

H

E

ES

[ )¥Î 1,S



55/218

Impedan a de und :

Aplicând inegalitile cunoscute de la operaiile cu module sepoate demonstra c:

Minimelor câmpului electric le corespund minime aleimpedanei de und , respectiv maximelor câmpului

electric le corespund maxime ale impedanei de und .Când avem o und ce se propag , numit i und progresiv, impedana de und este egal cu impedanaintrinsec a mediului

z z

z z

m z z

z z

im

i

y

x Z E Y

E H E Z j j

j j

1 j j

j j

01

0

1

11 e e

e +e =e ee +e == bb-

bb-

bb-

bb-

G-G

G-G

111

1mm

S Z Z Z S

££

Cazuri particulare

1. Medii adaptateDou medii de natur diferit care au Zm1= Zm2.Rezult =0 i T=1

Unda incident ajunge integral în mediul 2, astfel încât nuse formeaz o und sta ionar . Exist doar o und progresiv.

2. Mediul 2 este un conductor ideal (cazul scurtcircuitului)2 (Zm2=0)

Din continuitatea componentelor tangeniale i inând contde valorile coeficienilor de reflexiei de transmisie seob ine:

0T ; 1 @-@G

0TE)1(EEEE i0i0r 0i001 ==G+=+=



56/218

La suprafa a unui conductor ideal , componentatangen ial a câmpului electric este nul .Deci liniile de for ale câmpului electric sunt normale lasuprafaa unui mediu conductor ideal.Din expresia intensitii câmpului magnetic în mediul 1ob inem:

În mediul 1 apare o und sta ionar având câmpuriledate de relaiile:

Aplicând relaiilor anterioare formulele lui Euler obinem:

( ) 0YE2EEY=H 1mi0r 0i01m01 ¹=G-

( ) ( ) z z im y z z i x E = Y H = E E bb-bb- - j j01 j j0 e+e; ee

cos2 = ; sin j2=010

z E Y H z E E im yi x

bb-

Câmpurile fizice corespunztoare fazorilorEx

iHy sunt

:

unde pentru simplificare am considerat c E0i este om rime real i mediul 1 f r pierderi, adic Y m1 estem rime real.

{ } ( ){ }t t z E z E it i x sin j+cossin j2Re=esin j2Re= 0 j0 wwb-b- wE

t z E Y t z E im yi x

coscos2 = ; sinsin2 =010

wbwb H E

} { } cos2Recos2Re = 0101 )sin(cosHy t jt z E Y e z E Y imt jim w+b=b w



57/218



58/218

Aspecte ale propagrii undeiPolarizarea undei

Polarizarea este specificundelor transversalePolarizarea este legat de modul în care direcia deoscilaie se modific în timp

Tipuri de polarizareLiniar sau planCircularEliptic

AleatoarePentru polarizarea liniar orientarea câmpului esteconstant în timp i spa iu.

Vectorul câmp electricE oscileaz în fiecare punct de pedirecia de propagare pe o direcie constant în timp.

Dac UEM se propag în vid sau în mediu omogeni izotrop

f r sarcini libere, oscilaia se face pe aceeai direcie înorice punct de pe direcia de propagare(practic înatmosfera de joas altitudine.)

Unde cu polarizare liniar:- unde cu polarizare vertical în cazul în care vectorulEr mâne tot timpul perpendicular pe suprafaa de referin ,care este, de obicei, pmântul-unde cu polarizare orizontal, în cazul în care vectorulEr mâne tot timpul paralel cu suprafaa de referin

Dac se observ unda în direciade propagare , vectorul câmpuluielectric se deplaseaz de-a lungulunei linii, de undei denumirea.



59/218

Pentru polarizarea liniar diferen a de faz între componentele pe axa x, respectiv pe axa y trebuie s fie un multiplu de :

} )cos(EeERe 0x) j(0xx x z t z t E x +-== +-

{ } )cos(EeERe 0y) j(0yy y z t z t E y +-== +-

Nnnxy Îp=f-f=fD

Fie dou unde ortogonale care se propag în direcia axei z.

( ) ( ) ( )[ ] t j jy jx eez,y,xE jez,y,xEit,z,y,xE yx wff ×+×=



60/218

Se demonstreaz c între dou unde cu polarizareortogonal, nu apare nici o interaciune (interferen ),

chiar dac au o aceea i frecven w. Astfel încât dou unde ortogonale având o aceeai frecven pottransporta informaii distincte, f r a se perturbareciproc. Fie un mediu f r pierderi:

eYE= eYE=

eE= eE=z j

m0y2z j

m0x1

z j0y2

z j0x1

b-b-

b-b-

- iH jH jEiE

Unda rezultat prin suprapunerea celor douunde cupolarizare diferitare componentele date de relaiile:

Deoarece

( ) ( ) eYE j+Ei=H eE j+Ei=E z jm0y0xz j0y0x b-b- -;

( ) ( )÷ ø öçè

æ

-´´ bb-

2

0y

2

0x

z jm

*0x

*0y

z j0y0x

*

E+E21

=

= eYE+EeE+E=21

k

ji jiHE

m

2

0xz j

m*0x

z j0x

*11 YEk 2

1 =eYE j eEi21 =HE

21 bb- ´´

( ) m2

0yz j

m*0y

z j0y

*22 YEk 2

1 =eYEieE j

21

=HE21 bb- -´´



61/218

Prin integrarea ultimei expresii se obine concluzia c Pputerea transportat de unda rezultant se exprim prinsuma puterilor P1 i P2, corespunztoare celor dou undecomponente cu polarizare ortogonal:

Deoarece în acest expresie nu apare o putere deinteraciune dintre unde, nu exist influen reciproc(interferen ).O und cu polarizare liniar poate fi generat cu oanten simpl , ca de ex. un dipol, sau cu lasere.

* *

2211*

21

+21

=21

HEHEHE ´´´

21 + PP = P

Undele polarizate circular au o amplitudine constant acâmpului electric i orientare a acestuia ce se rotete

într-un plan transversal pe direcia de propagare.

Componentele Ex respectiv Ey au aceea i amplitudineE0x= E0y i un defazaj multiplu impar de /2

Nnn221

xy Îp+±=f-f=fD )(



62/218

Cele dou componente ale câmpului electric se rotesc în jurul axei de propagare în timpi spa iu.

Oscilaia rezultant este constant în orice moment dardirecia de oscilaie se rote te cu viteza ; vectorulcâmpului electric descrie un cerc adic proiecia curbeidescris de vârful vectoruluiE pe planul x0y este uncerc.Dac vectorul rezultant se rotete în sens trigonometric,polarizarea circular se nume te pozitiv Dac vectorulrezultant se rotete în sens invers trigonometric,polarizarea circular se nume te negativDac se are în vedere faptul c unda se propag înlungul axei z cu viteza de faz vf constant , vârfulvectorului câmp electric descrie în spaiu o elice

înf urat pe un cilindru cu seciunea circular.

Undele polarizate circular pot fi generate de antene elicoidale sau de2 surse liniare orientate perpendicular una pe cealalt i alimentatecu curent defazat cu 90 grade.



63/218

O und polarizat eliptic are un câmp electromagnetic ce traseaz oelips în plan transversal, x-y pe m sur ce variaz în timp. Ound polarizat eliptic are amplitudinea i undefazaj multiplu impar de /2 oyox EE ¹

Nn)n221

(xy Îp+±=f-f=fD

Vârful vectorului câmp electric descrie în spaiu oelice înf urat pe un cilindru cu seciuneaeliptic.Polarizarea liniar i circular sunt cazuriparticulare ale polarizrii elipticePolarizrile prezentate sunt deterministe, adic câmpul electric poate fi descris ca o funcie detimp i spa iu. Dac câmpul electromagnetic estealeatoriu, polarizarea se numete aleatoare.

Ex sunt undele radiate de soarei stele.



64/218

Propagarea în atmosfer

Propagarea undei are loc arareori în condiiile idealepresupuse anterior.

Analiza comunicaiilor în microunde trebuie s in cont deprezenap mântuluiionosfereiprecipitaiilor atmosferice ca ceaa, ploaia, zpada igrindinaCele dou straturi ale atmosferei importante ptr.propagarea undelor radio sunt troposferai ionosfera.Troposferaeste regiunea atmosferei neionizat, ce se

întinde de la suprafaa p mântului pân la 15 km. La f.radar (100MHz-300GHz) troposfera influeneaz semnificativ propagarea undelor.Ionosfera este stratul superior al atmosferei, de laaltitudinea de 50 km pân la raza p mântului, aprox 6370km. Aici ionizarea influeneaz propagarea.



65/218

Undele se pot propaga deasupra pmântului în mai multemoduri ilustratei în figur:

unde de suprafa sau terestre (surface wave) -radiate orizontal, care se propag de-a lungul suprafeeiP mântului, în pturile inferioare ale atmosfereiunde radiate sub un unghi oarecare fa de suprafaap mântului,care la rândul lor, se subîmpart în:

unde troposferice , (space wave) care sepropag prin troposfer respectând legea variaieicâmpului electromagnetic cu distanaunde ionosferice , (sky wave) care sunt puinabsorbite în pturile puin ionizate ale atmosfereii ajung la ionosfer unde în anumite condiii, într-

un interval limitat de frecvene (aprox.0-50 MHz)se produce refracia lor

Moduri de propagare ale undelor



66/218

Undele de suprafase propag la frecvene joase (2-5MHz aprox)i suntdirecionate de-a lungul suprafeei pe care se propag Intensitatea variaz cu frecvena i în funcie decaracterul suprafeei de propagare.Pentru o frecven dat , unda electromagnetic sepropag mai departe la suprafaa m rii (2 MHz/0,5Kw/800 km) decât deasupra pmântului (2 MHz/0,5Kw/320 km).Odat cu cre terea frecvenei, curenii de valori miciindu i în mediu cresc, pierderile de cldur cresc i ele,iar unda se propag la distan mai mic.Unda terestr este polarizat vertical, adic câmpul eielectric este perpendicular pe suprafaa P mântului.

Componenta orizontal este absorbit datoritconductibilitii P mântului.Deoarece propagarea undelor de suprafa depinde deconductivitatea pmântului, unda este mai puternicatenuat decât în mediul liber.

Undele ionosfericesunt direcionate c tre ionosfer.sunt absorbite slab în pturile puin ionizate aleatmosferei i ajung la ionosfer care le retransmite ctrep mânt în anumite condiii i într-un domeniu defrecven limitat (0-50MHz aprox)Propagarea lor este puternic dependent de condiiileionosferei (de nivelul de ionizare)i de frecvenasemnaluluiDeoarece în ionosfer, ionizarea i r variaz treptat,calea undelor radio prezinto curbur lin i nu o liniefrânt . Cu cât este mai mare i cu cât ionizarea estemai puternic, cu atât mai curbat va fi traseul undei.undele nu sunt numai refractate, dari absorbite,absorbia crescând odat cu .



67/218

în l imea i gradul de ionizare ale pturilorionosferei variaz funcie de zi, noapte,anotimpuri, drumul undelor spaiale variaz i el,ceea ce explic fenomenul de extincie alsemnalului (fenomenul de fading ).Din diagramele de propagare se poate trageconcluzia c pentru emisiile radio din cursulnop ii trebuie folosite frecvene joase. Pentruemisiile din cursul zilei, pentru aceleai distane,frecvena trebuie mrit .

Atenuarea în atmosfer variaz aleator în timpde la zero în atmosfer ideal (limpede) pân la

zeci dedB . Nivelul semnalului recepionat sufermodificri, fluctuaii rapide, numite scintilaii ilente (fading).

Apare depolarizarea determinat de rotirea planului depolarizare al oscilaiilor UEM la trecerea prin mediiionizate (efect Faraday)i prin zone cu ploaiei cristalede ghea .



68/218

Atenuarea i depolarizarea sunt determinate deinteraciunea UEM cu particulele componente aleatmosferei: electroni i ioni liberi, atomi imolecule, vapori de ap, pic turi de ap (ploaie,cea ), particule de ghea , particule însuspensie (fum, freon) etc.

Aceste interaciuni depind mult de frecvenaUEM, devenind deosebit de intense peste10GHz , cu excepia efectului Faraday.

Atenu ri datorate absorb iei moleculareO parte din energia UEM este absorbitde

moleculele diverselor gazei de ap (vapori) dinatmosfer .

La anumite frecvene apar fenomene de rezonani absorbia cre te foarte mult. Exist:- absorbii de rezonan cu moleculele de ap

(vapori) apar la circa22.235GHz ;- absorbii de rezonan cu moleculele de oxigen

apar între56.5GHz i 65.2GHz ;- alte absorbii de rezonan apar la peste

100GHz .

In afara frecvenelor de rezonan absorbiile pot fineglijate, determinând atenuri sub1dB .

Evident, frecvenele de rezonan sunt cu maregrij evitate.



69/218

Scintila iile ionosferice

La unghiuri de elevaie mici, de ordinul a 5º,

UEM parcurg trasee foarte lungi în ionosfer,zon cu mari concentraii de electroni liberi i îngeneral turbulent. In ionosfer se producvariaii rapide ale indicelui de refracie i decidireciile de propagare se modific, astfel încât:-se modific câ tigul pe direcia de propagare,deci nivelul semnalului recepionat, deoareceantenele sunt directive-apar interferene între semnalele defazate (careau parcurs drumuri diferite) cu consecine învariaii ale amplitudinii i fazei oscilaiei lareceptor.

Turbulena ionosferic determin i variaiirapide ale absorbiei de energie.Consecina acestor fenomene este cputerea semnalului demodulat prezintvariaii rapide, scintilaii ionosferice deordinula multipli de 0.1dB . Aceste scintilaii sunt cu atât mai mari cucât antenele sunt mai directive iunghiurile de elevaie mai mici.Ca urmare, se evit recep ia sub elevaiimici sau se realizeazproiecte speciale.



70/218


71/218


72/218

Efectul p mântului

Propagarea undei pe cimultiple (multipathpropagation)

îndep rteaz semnificativcondiiile de propagarede cazul ideali se refer la posibilitatea propagriiundei pe diferitetraiectorii de la emitorla receptor.

Exist 2 c i de propagare aundei:

direct prin atmosfer indirect prin reflexie irefracie la suprafaa deseparare între atmosfer i p mânt

Componentele reflectatei refractate sunt uzual separate în:Componenta coerent bine definit din punctul

de vedere al amplitudinii, fazeii direciei deinciden .

respect legea de reflexie a lui Snell care cere caunghiul de inciden i reflexie s fie egale icoplanare.Este o und plan i deci este unic specificat prindirecia sa

Componenta difuz sau incoerent estedeterminat de natura aleatorie a suprafeei dedispersie,care este deci nedeterminist.

Nu este o und plan nu respect legea de reflexie a lui Snell.



73/218

Se definete factorul de atenuare care evideniazdiferenele fa de condiiile propagrii în mediulliber

este coeficientul de reflexie Fresnel- careinecont de propriet ile electrice ale suprafeeip mântului

Acesta depinde de:- permitivitatea complex a suprafeei c- unghiul de inciden - tipul de polarizare al undei, respectiv polarizareorizontal sau vertical

D-qrG+= js eDS1F )(

s

este coeficientul de rugozitateine cont de faptul c p mântul nu este suficient de neted

pentru a produce o reflexie coerent decât la un unghide inciden foarte mic. Suprafaa p mântului aredealuri, vegetaie, p duri , oceane cu valuri. Uzualdistribuia diferitelor obstacole pe suprafaa p mântuluieste gaussian.

D este factorul de divergen este semnificativ la unghiuri de inciden foarte mici iine cont de împr tierea razelor reflectate datorit

curburii pmântului în raport cu o suprafaa plat .



74/218

)R R R (2

d21 -+lp=D

Geometria reflexiei sferice la suprafaa p mântului

este diferena de faz între unda direct i ceareflectat :

Efectul de umbrire la o inciden sub un unghi

S( ) este o funcie deumbrire

important la un unghi deinciden mic i aparedatorit efectului deumbrire geometric - undaincident nu poate iluminapor iunile umbrite deobiecte înalte



75/218

Efectele precipita iilor

Particulele de praf din atmosfer i precipitaiileinflueneaz propagarea undelor electromagnetice.-neneglijabil la frecvene sub 10GHz-esen ial la frecvene mai mari de 10 GHz.Ploaia este factorul dominant -determin atenuare,diferene de faz , distorsionarea traiectoriei idepolarizarea undelor electromagnetice.

Ptr. semnalele analogice -influen în special peste 10GHz, ptr cele digitale sub 3 GHz.Ploaia afecteaz leg turile terestre i cele p mânt satelit

Atenuarea determinat de ploaie:

R intensitatea ploii (rainfall rate) cantitatea de ap care cade pe unitatea de suprafa în unitatea de timp(m surat în kg/m2s) sau

în l imea stratului de ap colectat în unitatea de timp

exprimat înmm/or (ploaie slab R = 0.25mm/or, la una intens R =20mm/or)

(R) atenuarea specific (pe unitatea de lungime)m surat în dB/km, la o intensitate R a ploii;

)()()( R pR lR L em g=



76/218

le este distana caracterizat prin ploaie de intensitateR ;p(R) probabilitatea de distribuie cumulativ - procentulde timp dintr-un an în care se realizeaz R mai maredecât o valoare dat (curba excedentului)-dependent de cantitatea total de ap colectat într-unan (media pe muli ani) i de raportul de apariie afurtunii.Global, pe arii extinse -ploaia se caracterizeaz princurbe de egal intensitate i egal probabilitate (curbecare unesc punctele în care o intensitate dat dep e teun procent de timp pe an (de exemplu 0.01%). Aceste curbe sunt rezultatul medierii rezultatelorobservaiilor pe muli ani.

Calculele riguroasein cont de distribuia m rimiipic turilor de ploaie, de viteza picturilor i de indicele derefracie.O formul empiric:

baR R =g )(a i b sunt constante tabelate (CCIR, Report 564-2, 1982)idifer pu in în funcie de polarizarea=6,9.10-5f 2,03 pentru f


77/218

Propagarea undei electromagnetice prinstructuri ghidate - linii de transmisie i

ghiduri de undla f mari dimensiunile circuitelor devin comparabile culungimea de und (100 MHz - =300 cm)Localizarea L,C,i R"pure" nu mai este posibil, aparelementele de circuit "parazite".Elementele "distribuite" în lungul structurii de transmisie.2 concepte de abordare:

teoria liniilor de transmisie - propagareaunidimensional , fiec rei poriuni infinitezimale decircuit i se asociaz un circuit cu parametriconcentrai, cu valori infinit miciteoria ghidurilor- propagarea trididimensional,pornind de la ec.lui Maxwell

Utilizarea segmentelor de linie :

-circuite selective rezonante, filtre-circuite de adaptare-cuploare

Linia bifilar simetricuzual ZC=300

Linia coaxialuzual ZC=50 sau ZC=75

Linia planparalel (microstripasimetric)



78/218

Ecua iile liniei de transmisie omogene înregim armonic

Linia este caracterizat de:rezistena liniar pe unitatea de lungime R [W /m];inductivitatea pe unitatea de lungime, L [H/m];conductana pe unitatea de lungime, G

[Siemens/m];capacitatea pe unitatea de lungime, C [F/m]

Linia omogen are R, G, L, C,, i dimensiunileconstante de-a lungul su - axa z

Fie o linie omogen, fiind date U i I într-un punct alliniei de transmisie se pune problema determinriiacestor variabile într-un punct oarecare pe linie,cunoscând parametrii linieii frecvena generatorului.

( ) ( ) ( ) ( ) tzCzGtzLzR U

d +U d =Id ; I

d +Id =d ¶¶

-¶¶

- U

} { }tt zz ItzUtz j j e Re =),(I ; e Re =),(U )()(

Se asociaz în regimul armonic monocromatic cu frecvena w,tensiuniiU (z, t) i curentuluiI (z, t), fazorii :

( ) ( ) ( ) ( )tdU

zCdUzGt

zLzR

)U ( d +)(U d =Id ; I d +Id =d ¶+¶+-

¶¶- U



79/218


80/218

Impunând condiiile iniiale în ecuaiile (1) obinem:

Se rezolv sistemul anterior de ecuaii cu necunoscutele C1 ¸ C4 ise ob in soluiile:

( ) ( )

( ) ( ) 00=

4

3

00=

2

1

j+= e +e

j+= eC +e

U C GC C

I L RC

z

z z

z

z z

wgg--

wgg--

gg-

gg-

j+

j+ = ; j+

j+ =

j+

j+ 21 = ;

j+ j+ +

21 =

2413

002001

L R

C GC C

L R

C GC C

I C G

L RU C I

C G

L RU C

ww=-

ww=

÷÷ ø

öççè

æ ww-÷÷ ø

öççè

æ ww

Se define te impedan a caracteristic a liniei i se noteaz cuZ

c expresia:

C G

L R Z

c j+ j+

=ww

Înlocuind în expresiile constantelor C1 ¸ C4 impedana caracteristic

Substituind soluiile C1 ¸ C4 în expresiile I(z) i U(z)ob inemecua iile liniilor de transmisie sub form exponen ial :

c

c

c

ccc

Z

I Z U C

Z

I Z U C

I Z U C

I Z U C

2 = ;

2

+ = ;

2 = ;

2 = 00

400

300

200

1

--

-+

z c z c I Z U I Z U

z U 0000 e2

+e2

+ =)( gg-

-

z

c

c z

c

c

Z

I Z U

Z

I Z U z I 0000 e

2 e

2

+ =)( gg-

--

(7):



81/218

Ecuaiile subforma hiperbolic :

2ee

zshzz g-g -=g

zshzch=)( 00 gg I Z U z U c-

zsh zch =)(00

gg cc Z U

Z

U z I

-

2ee

zchzz g-g +=g



82/218

Linia de transmisie de lungime infinitSe fixeaz originea într-un punct arbitrar în care tensiunea

se noteaz cu Ui i curentul IiSe calculeaz U(z) i I(z) aplicând relaiile (7),U0 i I0 se înlocuiesc cu Ui i Ii

Cursul 6

Se evideniaz partea real respectiv partea imaginar aconstantei de propagareg:

Termenii ce descresc odat cu cre terea distanei zcorespund undelor directe.Termenii ce descresc de la sarcin spre generatorcorespund unor unde inverse, care apar datorit reflexiilor de pe sarcin

z z

c

ici z z

c

ici

z z ici z z ici

Z

I Z U

Z

I Z +U z I

I Z U I Z U z U

j j

j j

ee 2

ee 2

=)(

ee2

+ ee2

+ =)(

bab-a-

bab-a-

÷÷ ø

öççè

æ --÷÷ ø

öççè

æ

÷÷ ø ö

ççè æ -

÷÷ ø ö

ççè æ

(9):



83/218

Dac linia este infinit lung, nu exist und invers iegalând cu zero termenul corespunztor rezult (10) :

0= I Z U ici - ci

i Z = I

U

În consecin impedana de intrare a liniei de lungimeinfinit, m surat spre dreapta în planul AA' -Zc.Substituind (10) în ecuaiile (9) rezult:

z z

c

i z z i Z

U z I U z U j j ee =)( ; ee=)( b-a-b-a- (11)

Z z I z U

c= )()(

(12)

CONCLUZII1) O linie infinit lung prezint la intrarea sa o impedan egal cu impedana caracteristic.2) O linie terminat pe impedana caracteristic prezint laintrarea sa, indiferent de lungime,. o impedan egal cuimpedana caracteristic



84/218

Linia de transmisie de lungime l

Se consider originea în sarcinSe calculeaz U(z) i I(z) pentru z = lconsiderând în ecuaiile (7):

U0 = Us, I0 = Is i z = l.

( ) l I Z +l U =e I Z U

+ I Z +U

= sc s

l sc sl sc s shch2

e2

lU g-g -

( ) l Z

U +l I =

Z

I Z U

Z

I Z +U =l I

c

s s

l

c

sc sl

c

sc s shche2

e2

g-g --

Se consider o linie f r pierderi, adic R = 0 i G = 0. Din rela ia (6)

LC = = wbg j jC L

= Z c

( ) l I Z +l U = I Z U

+ I Z +U

=l U sc sl sc sl sc s b- b-b sin jcose

2e

2 j j

( ) l Z

U +l I =

Z

I Z U

Z

I Z +U =l I

c

s s

l

c

sc sl

c

sc s bb-- b-b sin jcose2

e2

j j

(13)

(14)

În aceste condi ii rela ia (13) devine



85/218

Impedana de intrare, vzut spre dreapta, a segmentului

de linie B-B '¸ C-C ' este:

Deoarece Us / Is = Zs

( ) ( )( ) ltgIU

j+Z

ltgZ j+IU

Z=

lsinZU

j+lcosI

lsinIZ j+lcosU =

lIlU

=lZ

s

sc

cs

s

c

c

ss

scs

b

b

bb

bb

Se înlocuiesc impedanele cu admitane Y(l) = 1/ Z(l), Y c = 1/ Zc i Y s = 1/ Zs

( )l Y +Y

l Y +Y Y =l Y

sc

c s c b

btg j

tg j

(15)

(16)

tg j+

tg j =)(

l Z Z

l Z Z Z l Z

sc

c sci b

b+

Parametrii secundari ai liniei

C jG

+ L j

R + C L=

wwwg 11 j

( ) ( ) j+= j+ j= baww+g C G L R

La frecven e mari, deoarece1


86/218

C L LC

R+C L

G w+÷÷

ø

öçç

è

æ @g j21

C L

C G

L R

C L

C G

L R

C L

C G L

R

C L

C G L R

Z c

@÷÷ ø ö

ççè æ

w-

w+@

@÷÷ ø ö

ççè æ

w+÷÷ ø

öççè æ

w+@

w+

w+

=ww

j j1

j1:

j1

j1

j1

j+

j+ =

( ) L C + R Y G Z

L C R Y G Z cc

cc ,2 ; j++21

w@b@aw@g

Dac este satisf cut condi ia:

C G =

L R

L C R Y L C LC

R L

R L C c j+= j+= j

+1 j=2

ww÷÷ ø ö

ççè æ

wwg

G R= RG R=

LC R=Y R c

L C R G L C R G = , = ; j+= wbawg

j1

j1

j+

j+ =

C L

L R

L R

C L

C G L R

Z c =

w+

w+

=ww



87/218

Regimul de adaptare

Fie o linie de transmisie de lungime infinit (pe care nu poate s apar

unda invers). Exist numai undele directe de tensiunei curent.Punând în (11) condiia de linie de lungime infinit, rezult :

Expresiile tensiuniii curentului pe linie, ca funcie de z i t sunt:

(17)

z z c

z z Y U z I U z U j0

j0

ee=)( ; ee=)( b-a-b-a-

În absen a pierderilor a = 0, Y c este pur real i cele dou rela ii se simplific la:

( ) z t U t z cos=),(0

b-wU

(18)( ) z t Y U t z c cos=),( 0 b-wI

Relaiile (18) corespund regimului de und "progresiv" sau de "adaptare".

{ } ( )ztcoseU=eeeURe=)t,z(U z0t jz jz0 b-wa-wb-a-

{ } ( )ztcoseYUeeeIRe=)t,z( zc0t jzz0I b-wa-wb-a-

Viteza de faz

Viteza de grup

r r f

c =LC

1 ==v meb

w

r r g LC

v mebw c

=1

=dd

=

Lungimea de und pe linie, l , se determin cu rela ia:

r r r r

c

LC me

l

me×

w

p

w

p

b

pl 0 =1 2 =

2 =

2 =

Dac dielectricul dintre conductorii liniei are 1=r m

0

1 = l

el

r

Termenul r e1/ Este "factorul de scurtare".



88/218

Undele de tensiune i curentpe linia de transmisie

Fie o linie de lungime finit, terminat pe impedana desarcin Zs, luând originea în sarcin U0=US ; I0=IS , rela iile(7) devin:

z z

c

sc s z z

c

sc s

sc s z z

Z

I Z U

Z

I + Z U z I

I Z U z U

j j

z jz jscs

ee 2

ee 2

=)(

ee2

+ ee2

IZ+U =)(

bab-a-

bab-a-

--

-

(19)

Se noteaz :

-- 0

+0

=2

; U=2

U I Z U I + Z U sc s sc s

---

0

0+

0

+0 ==

2 ; ==

2 I

Z

U

Z

I Z U I

Z

U

Z

I + Z U

cc

sc s

cc

sc s

( ) ( )

( ) ( )z

0 z+

0

z0

z+0

eI=zI ;eI=zI

;eU=zU ;eU=zUg--g-+

g--g-+



89/218


90/218

Se noteaz coeficientul de reflexie la z = 0,0În absena pierderilor, tensiuneai curentul pe linie rezult din particularizarea relaiilor (20)

DeoareceCoeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii este:

( ) ( ) ( )ee=)( ; e+e= j0

j+0

j0

j+0

z z z z I z I U z U bb-bb- G-G

U / I = Z s s s

( ) sc s

c s

sc s

sc s

+ Z Z

Z Z

I + Z U

I Z U G--GG-

===U

U =0= +

0

0

0

( ) z

s z z

c s

c s

+ Z Z

Z Z z j2 j2

0 j2 e=e=e= bbb GG

-G

(26)

(25)

În absena pierderilor, tensiuneai curentul pe linie rezult din particularizarea relaiilor (20)

S-a notat coeficientul de reflexie la z = 0,0.deoareceCoeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii:

( ) ( ) ( )ee=)( ; e+e= j0 j+0 j0 j+0 z z z z I z I U z U bb-bb- G-G

U / I = Z s s s

( ) sc s

c s

sc s

sc s

+ Z Z

Z Z

I + Z U

I Z U G--GG-

===U

U =0= +

0

0

0

( ) z

s z z

c s

c s

+ Z Z

Z Z z j2 j2

0 j2 e=e=e= bbb GG

-G



91/218

Deoarece

Modulul coeficientului de reflexie nu se modific înlungul liniei, ci doar faza acestuia.

Maximele i minimele tensiunii i curentului pe linie

1=e j2 z b ( ) =z sGG

( ) ( ) max+0 =+1 U U z U sG£ ( ) ( ) min+0

=1 U U z U sG-³

( ) ( ) max+0 =+1 I I z I sG£ ( ) ( ) min

+0 =1 I I z I sG-³

Se definete raportul de und sta ionar

Cazuri particulare1) Linia terminat pe impedan a caracteristic . Din

(26) se ob ine:

Regimul liniei este cel de undprogresiv ca i la linia delungime infinit, adic de adaptare.

2) Linia terminat în scurtcircuit

Unda direct se reflect integral, schimbându-i faza cu 180° (adicschimb semnul).

[ )¥ÎG-G+

=== ,11

1

min

max

min

max

s

s

I

I

U

U S

0=0 s

G=G

1==0

-GG s



92/218

Rezult din relaiile (25)

Tensiunea pe linie, U(z,t) i curentul pe linie, I(z,t), devin:

z Y U z I z U z U c cos2=)( ; sin j2=)(+0

+0 bb-

( ) ( ) t z Y U t z t z U t z c coscos2=, ; sinsin2=,+0

+0

wbwb I U

3) Linia terminat în gol

Fazorii de tensiune i curent pe linie se obin înlocuind :

Undele de tensiune i curent de pe linie

Exist maxime i minime de tensiune i curent. În dreptul

golului din sarcinavem întotdeauna un nod de curent(nul) i un ventru de tensiune.Distana dintre dou noduri de tensiune sau de curent

consecutive estel /2TEM : Reprezentarea tensiuniiU i curentuluiI

1=

lim==0 Z + Z

Z Z Z c s

c s

s s

-¥®GG

1==0 s

GG

z Y U z I z U z U c sin j2=)( ; cos2=)(+0

+0

b-b

t z Y U t z t z U t z c sinsin2=),( ; coscos2=),(+0

+0

wbwb I U



93/218

Impedan a de intrare a liniei de transmisie

Tangenta este periodiccu perioada p :

i rezult

tg j+

tg j =)(

l Z Z

l Z Z Z l Z

sc

c sci b

b+

( ) ( ) l+ltg=l+l tg)ltg(ltg DbbDb=p+b=bpDb =l plb 2= /2= lDl

( ) ( ) n lY=2

n+lY ; lZ=2

n+lZ iiii Î"÷ ø

öçè

æ l÷ ø

öçè

æ l

Un segment de linie de lungime /2 p streazvaloarea impedan ei conectat la ie irea sa, darinverseaz faza tensiunii i a curentului din sarcin .

( ) a-pa cos=+cos ( ) a-pa sin=+sinDeoarece



94/218

Coeficientul de reflexie poate fi scris ca o funciede lungimea l, punând în (26) z=-l

Cazuri particulare1) Segmentul de linie terminat în scurtcircuit

Impedana caracteristic este în absena pierderilor (sau înprezena unor pierderi foarte mici), o mrime real

( ) ( )c s

c s s s

l s + Z Z

Z Z l l l -Gb-bGGG b- = ; 2sin j 2cos=e= j2

( ) ( )l l =/2+ GlG

)¥= 0= s s Y Z

( ) ÷ ø öç

è æ

lpb l 2tgZ j=ltgZ j=lZ cci

,

0>i X

Pentru

Pentru

0X i <

caracterinductiv

caractercapacitiv

÷ ø öçè

æ lllÎ4

+2

,2

k k l

÷ ø öçè

æ llllÎ2

+2

,4

+2

k k l



95/218

Dac rezult

Un segment de linie de lungime /4 terminat prinscurtcircuit are impedana de intrare infinit.

( ) N ,4

1+2= Îl k k l ¥=i Z

( )

( ) ÷ ø öçè

æ l

p-b-

b-

l2ctg=ctg=

ctg j=

cci

ci

Y l Y l B

l Y l Y



96/218

2) Segmentul de linie terminat în golTrecând la limit în rela ia (15) pentru

/8= ll cici Y Y Z Z j= ; j= -

¥® s Z

( )

)l( jXl

2ctgZ

lctgZ j=lZ

ic

ci

=÷ ø öç

è æ

lp-=

=b-

( ) l Y l Y ci tg j= b

Pentru segmentul de lungime terminat în scurcircuit

3) Varia ia impedan ei de intrare a liniei, la varia ii reduse Dl ale lungimii l 0 . 1


97/218

4) Varia ia impedan ei de intrare a liniei la varia ii

reduse / 0


98/218

)(+

)( =

+)(

)( =)( ;

+)(

)( =)( l Y Y

l Y Y

Z l Z

Z l Z l

Z z Z

Z z Z z

ic

ic

ci

ci

ci

ci --

G-

G

)(+1

)(1 =

1+)(

1)( =)( l Y

l Y

l Z

l Z l

i n

i n

i n

i n --

G

Deci coeficientului de reflexie nu se modific prin normalizareaimpedan elor. El este invariant la normalizare.Normalizarea lungimilor l se ob ine prin împ r irea acestora culungimea de und l .

)(1)(+1

= j +=)(l l

X Rl Z iii G-G

l l j2e=)( b-GGSe noteaz :

lp-b-j l 4=2= l

Se înlocuiesc coordonatele polare (, ) cu coordonatelecarteziene (x, y)i se noteaz :

( )

( )

sin j+cos1

sin j+cos+1 =X j +R ii

jjG-

jjG (39)

jGjG sin= ; cos= y x

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 22

22

+1

j2+1 =

j+1 j1 j+1 j++1

=

= sin j+cos1

sin j+cos+1 = j +

y x

y y x y x y x y x y x

X R ii

---

----

jjG-jjG

(40)

( ) ( ) 222222

+1

2 = ; +1

1 = y x

y X y x

y x R ii --

--

( ) ( )

2222

22

22

Documents

tfi_prezentari