1

Declaración del autor.

El documento que sigue a continuación ha sido realizado por el �rmante del mismo, no ha sidoaceptado previamente como ningún otro trabajo �n de grado y todo el material que ha sido tomadoliteralmente de cualquier fuente, ha sido citado en las referencias bibliográ�cas y se ha indicadoentre comillas en el texto.

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Resumen.

Abstract.

We begin with the de�nition of ion channels, that allow the di�usion of ions through the cellmembrane following the electrochemical potecial. We see that the ion di�usion generates, accord-ing to the equation of Goldman-Hodgkin-Katz, the membrane potential . Next we present theequivalent circuits, for both passive and active properties, if excitable cells, of the cell membrane.We continue with the de�nition and characteristics of the action potential, and description of ex-perimental methods and mathematical model of the action potential of Hodgkin and Huxley. Wepresent a two variables simpli�ed mathematical model, called fast-slow model and derive from thisthe FitzHugh-Nagumo model. Finally we perform simulations of FitzHugh-Nagumo model in thephase space, using the mathematical program Maple, to check that complies with the same featuresas the original model of Hodgkin and Huxley.

Resumen.

Comenzamos con la de�nición de los canales iónicos, que permiten la difusión de iones a través dela membrana celular, según su potecial electroquímico. Vemos que la difusión de iones genera elpotencial de membrana, según la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz. A continuación exponemoslos circuitos equivalentes tanto para propiedades pasivas, como activas en caso de células excitables,de la membrana celular. Seguimos con la de�nición y características del potencial de acción, yla descripción de los métodos experimentales y el modelo matemático del potencial de acciónde Hodgkin y Huxley. Presentamos una simpli�cación a dos variables del modelo matemático,llamada modelo rápido-lento y derivamos de esta simpli�cación el modelo de FitzHugh-Nagumo.Finalmente realizamos simulaciones del modelo de FitzHugh-Nagumo en el espacio de las fases,mediante el programa matemático Maple, para comprobar que cumple las mismas característicasque el modelo de Hodgkin y Huxley original.

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1 Introducción.

1.1 Estructura y función de la neurona.

Las neuronas son células especializadas en la transmisión de señales. La estructura típica deuna neurona consiste en un cuerpo celular del que emergen rami�caciones. La rami�cación másimportante se llama axón y las secundarias reciben el nombre de dendritas.

Figure 1.1: Neurona.

El cuerpo celular, o soma, gobierna la neurona y procesa todas las señales. Las dendritas recibenlas señales de otras neuronas y el axón envía las señales generadas por el soma hacia otras neuronas.Las neuronas interactúan en unos lugares llamados sinapsis, en los que las dendritas y las ter-

minales axónicas están su�cientemente cercanas como para transmitir señales químicas.

1.2 Estructura y función de la membrana celular.

La membrana celular es una bicapa fosfolipídica, con otros compuestos incrustados como proteinasy carbohidratos. Contiene el citoplasma y regula el trá�co de iones y moléculas entre el interiory el exterior celular. Posee la propiedad que llamamos permeabilidad selectiva, de forma que enfunción de las condiciones del entorno facilita o di�culta la entrada o salida de diferentes elementos.La bicapa fosfolipídica es permeable a ciertas moléculas, pero impermeable, entre otros, a losiones. Así, para que exista un �ujo de iones a través de la membrana celular son necesarias unasestructuras que abran camino a través de ella. Estas estructuras se llaman canales iónicos. Elhecho de ser impermeable a los iones causa que la membrana se comporte como una capacitanciaal separar las cargas del citoplasma y el líquido extracelular.

Figure 1.2: Membrana celular.Fuente:[8].

1.2.1 Los canales iónicos.

Los canales iónicos son compuestos proteicos que atraviesan la membrana celular, y permiten elpaso de los iones por difusión, sin consumo de energía, aprovechando la energía del potencialelectroquímico. Pueden ser activados mediante diferentes mecanismos, y son selectivos respecto al

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1 Introducción.

tipo de ión que dejan pasar. Hay canales que se mantienen abiertos, lo que ocasiona un pequeño�ujo de iones según el potencial electroquímico, o abrirse y cerrarse en función de factores externos,como puede ser una variación en el potencial de membrana. Para el estudio de la transmisión dela señal nerviosa nos interesan los canales de los iones de sodio y potasio.

Figure 1.3: Canales iónicos y bomba de iones.

1.2.2 Bomba de iones.

Para transportar iones en contra del potencial electroquímico, existen lo que llamamos 'bombasiónicas'. Realizan transporte activo con consumo de energía que obtienen de la desfosforilación delATP. En particular, para nuestro estudio nos interesa la bomba Na+/K+.

1.3 Potencial de reposo de la membrana.

Sabemos, por mediciones experimentales, que existe una diferencia de potencial entre las partesinterior y exterior de la membrana celular, que llamamos potencial de reposo , y lo de�nimos comoigual al potencial interior menos el potencial exterior:

Vr = Vi − Ve (1.1)

Para entender el origen del potencial de reposo debemos estudiar las características de la mem-brana plasmática respecto a la permeabilidad de los iones, y cómo se distribuyen estos a amboslados de la membrana.El potencial de membrana es debido a una distribución asimétrica de iones a ambos lados. Ya

hemos dicho que la bicapa fosfolipídica es impermeable a los iones, y que existen unas estructurasproteicas llamadas canales iónicos que permiten el paso de los iones. En el transporte de ionesintervienen el gradiente químico (debido a la variación de la concentración), y el potencial eléctrico(debido a la variación de carga). Los iones tienden a desplazarse hacia las zonas de menor concen-tración y se alejan de las zonas donde se acumula su mismo signo de carga. A la combinación deestos dos parámetros la llamamos potencial electroquímico.Decimos que el potencial de reposo, Vr, es debido a una distribución asimétrica de cargas, sin

embargo también asumimos como cierto el principio de electroneutralidad, según el cual la cargatotal, tanto intracelular como extracelular, es cero. Así, ¾qué mecanismo genera el potencial demembrana?. Para contestar a esta cuestión vamos a estudiar, de más simple a más complejo, trescasos de generación de potencial a ambos lados de una membrana que separa diferentes disolucionesde iones. Empezamos con el potencial de Nernst, continuamos con el potencial de Gibbs-Donnany terminaremos con el potencial de difusión y la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz.

1.3.1 Potencial de Nernst.

Supongamos que tenemos dos compartimentos separados por una membrana (Figura 1.4). In-troducimos en ambos compartimentos una disolución de una sal, P+I−, tal que la membrana espermeable al catión P+e impermeable al anión I−. Si en ambos compartimentos tenemos la mismaconcentración, no existe gradiente de concentración ni de potencial y el sistema está en equilibrio.Pero si en el compartimento 1 aumentamos la concentración de sal respecto al 2, entonces el iónP+tenderá a difundirse hacia el compartimento 2 debido al potencial químico y al mismo tiempo elpotencial eléctrico genera una fuerza para mantenerlo en el compartimento 1. Al igualarse ambospotenciales se alcanza la situación de equilibrio, que resulta en una asimetría de carga entre amboscompartimentos. Esta asimetría de cargas genera una diferencia de potencial entre ambos lados

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1 Introducción.

de la membrana. La diferencia de potencial en función de las concentraciones viene dada por laecuación de Nernst:

V1 − V2 = −RTzF

ln

([P+]1[P+]2

)(1.2)

Figure 1.4: Potencial de Nernst.

1.3.2 Potencial de Gibbs-Donnan .

Es este caso, en el compartimento 1 introducimos una disolución de una sal, P+P−, a la que lamembrana es permeable tanto para el catión como el anión . En el compartimento 2 introducimosuna sal, P+I-, cuyo catión es el mismo que en el compartimento 1, pero la membrana es imper-meable al anión I− (Figura 1.5). Para la explicación podemos suponer la misma concentracióninicial de sal en ambas disoluciones. El anión P−, es empujado hacia el compartimento 2 debidoal gradiente de concentración. Pero para cumplir con electroneutralidad arrastra al catión P+, locual va en contra de su gradiente de concentración. Cuando los potenciales químico y eléctrico seigualan llegamos a la situación de equilibrio. El resultado es una distribución asimérica de los ionesP+y P−que genera una diferencia de potencial, llamado potencial de Gibbs-Donnan. A partir dela ecuación de Nernst tenemos:

V1 − V2 = −RTzF

ln

([P+]1[P+]2

)(1.3)

V1 − V2 =RT

zFln

([P−]1[P−]2

)(1.4)

Lo que nos da la siguiente relación entre las concentraciones de los iones permeables:([P+]1[P+]2

)=

([P−]2[P−]1

)(1.5)

Como vemos, el potencial de Gibbs-Donnan se ocasiona debido a que la membrana es imperme-able a uno de los iones.en equilibrio la concentración de iones es mayor en el compartimento 2 que en el 1, lo que genera

diferencia de presión osmótica que, en el caso de la célula, ocasiona la rotura de la membranacelular.

Figure 1.5: Potencial de Gibbs-Donnan.

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1 Introducción.

1.3.3 Potencial de Difusión. Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz.

Los dos potenciales anteriores se consiguen cuando el sistema llega al equilibrio y permanecen asíinde�nidamente mientras no realicemos ningún cambio. Pero en una célula viva la distribucióniónica no está en equilibrio. El potencial de difusión es un potencial de no equilibrio, que comovermos explica el potencial de reposo de la membrana celular. Cuando el sistema llega al equilibrio,se extingue el potencial.La situación inicial es una disolución de una sal, P+P−, con sus dos iones pemeables, pero con

diferente coe�ciente de permeabilidad, en el compartimento 1. En el compartimento 2 tenemosla misma sal a menor concentración (Figura 1.6). Supongamos que la permeabilidad es mayorpara el catión. En ese caso el catión se difunde hacia el compartimento 2, debido al gradientede concentración, más rápido que el anión. Esto ocasiona un balance de carga positivo en elcompartimento 2 mientras dure la difusión, hasta que se alcanza la misma concentración de ionesen ambos compartimentos, momento en que desaparece la diferencia de potencial. La ecuación deGoldman-Hodgkin-Katz nos da el potencial en función de las concentraciones y permeabilidadesde cada ión:

V1 − V2 = −RTzF

ln

(∑ni=1 pi+

[P+i

]2

+∑ni=1 pi−

[P−i]1∑n

i=1 pi+[P+i

]1

+∑ni=1 pi−

[P−i]2

)(1.6)

donde pi+−son las permeabibilades de los diferentes iones y[P+−i

]1,2

son las concentraciones en

cada uno de los compartimentos.

Figure 1.6: Potencial de difusión.

1.3.4 Potencial de la membrana celular.

El potencial de la membrana celular es un potencial de difusión. Para el caso que nos interesa, elaxón de la neurona, en el potencial de membrana intervinen básicamente 3 iones: Na+, K+y Cl−.Teniento en cuenta estos iones, la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz queda:

Vint − Vext = −RTFln

(pNa [Na+]int + pK [K+]int + pCl [Cl

−]extpNa [Na+]ext + pK [K+]ext + pCl [Cl−]int

)(1.7)

donde pxhace referencia a la permeabilidad del ión x, y los su�jos int y ext hacen referencia alinterior y exterior de la célula.De hecho, esta ecuación es similar a la ecuación de Nernst, pero ponderando para cada ión su

permeabilidad. En el caso de la membrana celular en reposo, las permeabilidades al sodio y elcloro son mucho menores que al potasio de forma que el potencial de reposo se acerca al potencialque genera el potasio debido a su gradiente de concentración. Como [K+]int > [K+]ext, tenemosque Vr < 0. De hecho valores típicos están en torno a Vr ≈ −70 mV .Pero hemos visto que el potencial de difusión se extingue cuando se llega al equilibrio. Entonces es

preciso que exista algún mecanismo que mantenga los gradientes de concentración de los diferentesiones, para evitar llegar a la situación de equilibrio. Esta misión la cumple la bomba de Na+/K+.En cada ciclo expulsa de la célula 3 cationes de Na+e introduce 2 cationes de K+. El esquema defuncionamiento lo vemos en la Figura 1.7.En resumen, el potencial de reposo se genera a partir de una distribución de iones que no están

en equilibrio y con diferentes permeabilidades, de forma que el gradiente de concentración es laenergía que ocasiona la difusión. Para mantener el desequilibrio es necesario un mecanismo queactúa en contra del gradiente, y por tanto consume energía. Esta función la cumple la bombaNa+/K+.

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1 Introducción.

Figure 1.7: Esquema de funcionemiento de los canales iónicos y la bomba de iones.

1.4 Circuito equivalente.

1.4.1 Circuito para propiedades pasivas de la membrana.

Si aplicamos a una membrana celular un pulso cuadrado de intensidad, la respuesta es un pulsocon una subida y bajada de potencial exponenciales. Esto concuerda con un circuito RC (Figura1.8). Entonces es posible pensar en el comportamiento de la membrana celular como en un circuitoeléctrico, en el que la fuerza electromotriz es el gradiente de concentración, la conductividad es lapermeabilidad a los iones, y la capacitancia es la bicapa fosfolipídica que es impermeable al pasode los iones.La ecuación que modela este circuito es:

CmdVmdt

= −Iion(V, t) + Iap(t) (1.8)

Si la corriente aplicada es cero y el potencial de membrana es constante, tenemos que Iion = 0.

Figure 1.8: Propiedades pasivas de la membrana celular.

1.4.2 Circuito equivalente para el potencial de acción. Propiedades activasde la membrana.

Adelantamos aquí un concepto que surge a partir de las investigaciones de Hodgkin y Huxley, queson explicadas en el punto 1.7.Las corrientes eléctricas a través de la membrana celular son debidas principalmente a 3 iones:

Na+, K+ y Cl−. Teniendo esto en cuenta, el circuito equivalente consta de una capacitancia, yvarias conductividades (permeabilidades) y fuerzas electromotrices (potencial electroquínico) enparalelo, correspondientes a los diferentes iones. Las conductividades del sodio y el potasio sonvariables. Más adelante, cuando estudiemos los trabajos de Hodgkin y Huxley, quedará justi�cadoeste circuito, y veremos que las conductividades dependen del potencial de membrana (Figura 1.9).La ley de Ohm nos permite calcular las corrientes iónicas que pasan por las conductancias de

cada ión.

Ix = gx(E − Ex) (1.9)

Siendo Ix,gx, la intensidad y conductividad de ión x, y Exel potencial eléctrico debido al gradientede concentración, según la ecuación de Nernst :

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1 Introducción.

Figure 1.9: Circuito equivalente de una membrana excitable.

Ex = −RTzF

ln

([x]i[x]e

)(1.10)

En estado estacionario, con Vm constante, la intensidad debido a la capacitancia es cero, entonces:

Ik + INa + ICl = 0 (1.11)

Por convenio tomamos Ix > 0 para corriente saliente de cationes, e Ix < 0 en caso contrario. Enlos trabajos de Hodgkin y Huxley a los que haremos referencia, el convenio de signos es el opuesto.

1.5 Descripción del potencial de acción.

Hemos visto que si aplicamos a una membrana no excitable un pulso cuadrado de intensidad,la respuesta corresponde a un modelo de circuito RC, con una subida y bajada exponenciales.Estas son las propiedades pasivas de la membrana. Si experimentamos con membranas de célulasexcitables, como el axón de una neurona, observamos que si el pulso tiene una intensidad mayorde un determinado valor, que llamamos umbral, entonces la respuesta tiene forma de espiga, es loque conocemos como potencial de acción. El primer registro de la forma del potencial de acción loconsiguieron Hodgkin y Huxley, en 1939, sobre el axón gigante del calamar (Figura 1.10).

Figure 1.10: Primer registro directo de un potencial de acción sobre el axón gigante del calamar.Fuente: Nature, 1939 144, pag 710.

1.5.1 Características del potencial de acción.

Experimentalmente, jugando con la señal de entrada a diferentes frecuencias, intensidades, etc, seobserva que el potencial de acción tiene las siguientes características:1.- Todo o nada: quiere decir que la espiga del potencial de acción, cuando se genera, llega

siempre a la misma altura.

9

1 Introducción.

2.- Umbral: solo se consigue generar el potencial de acción a partir de una señal mínima deentrada, que llamamos umbral. Si no llegamos al umbral, la membrana responde como un circuitoRC.3.- Período refractario: después de la espiga, hay un tiempo durante el que no responde a un

nuevo estímulo. El periodo refractario se divide en absoluto y relativo4.- Es regenerativo: se propaga sin pérdida de señal.5.-Otra característica es la acomodación a una señal que aumenta lentamente.En la �gura 1.11 podemos observar algunas de estas características.

Figure 1.11: Características del potencial de acción.

El potencial de acción se divide en las siguientes fases (�gura 1.12). Cuando se alcanza el umbralcomienza una fase ascendente, de despolarización, que puede continuar, según el tipo de célula,con una meseta, y después una fase descendente. Esta fase descendente pasa de largo del potencialde reposo, hiperpolarización, y se recupera gradualmente el potencial de reposo.

Figure 1.12: Potencial de acción. Etapas. Fuente: [9]

Ya sabemos cómo es el potencial de acción y sus características generales, pero no tenemos unaexplicación de su origen.Inicialmente, según la teoría de Bernstein, se pensaba que la membrana era permeable solo al

K+, de forma que el potencial de membrana en reposo era prácticamente el potencial del potasiosegún la ley de Nernst, y que el potencial de acción se debía al incremento de permeabilidadrepentino de todos los iones, lo cual debía ocasionar un valor pico de 0 V. Pero al observar que elpotencial de acción alcanzaba valores mayores que cero, la hipótesis de Bernstein quedó descartaday era necesario buscar una nueva explicación.Era necesario idear un método experimental que permitiera �jar el voltaje de membrana y medir

la intensidad de los diferentes iones que circulaban, de esta forma se podría relacionar Vmconintensidades, y por tanto permeabilidades.

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1 Introducción.

1.6 Técnica de pinzamiento de voltaje. Observaciones

experimentales en el axón gigante del calamar.

1.6.1 Pinzamiento de voltaje.

Desarrollada por Marmont, Cole, Katz, Hodgkin y Huxley en 1949. Mediante la técnica de pinza-miento de voltaje se consigue mantener el potencial de membrana constante para un valor deseado.Al mantener el voltaje constante eliminamos la componente capacitiva de la corriente, y nos quedansolo las componentes iónicas, tal y como necesitamos para realizar las mediciones. Para ello seutiliza un sistema realimentado de corriente, que compara el valor de potencial con el deseado yen función de la diferencia varía la intensidad (Figura 1.13). Se utilizan dos pares de electrodos,uno para medir el potencial de membrana y otro para inyectar la corriente.Por otra parte es necesario asegurarse que las corrientes circulen radialmente a través del axón, y

no longitudinalmente, técnica que se conoce como pinzamiento espacial. Para conseguir este efectose insertan los electrodos longitudinalmente a lo largo de todo el axón gigante.

Figure 1.13: Esquema técnica de pinzamiento de voltaje. Fuente: [10]

1.6.2 Resultados experimentales obtenidos mediante la técnica depinzamiento de voltaje.

Hodgkin y Huxley utilizaron el axón gigante del calamar para realizar sus experimentos, y es-tablecer su teoría matemática del potencial de acción. El descubrimiento de este axón facilitóla investigación, debido a que su gran diámetro facilita la introducción de los electrodos para elpinzamiento de voltaje.Hodgkin y Huxley siguieron en sus trabajos un convenio de signos contrario al convenido ac-

tualmente. El convenio actual es el siguiente: una corriente entrante de cationes se considera designo negativo y una corriente saliente de cationes de signo positivo. El potencial de membranase de�ne como voltaje interior menos exterior, Vm = Vint − Vext, de forma que hiperpolarizar lamembrana es hacer su voltaje más negativo, y despolarizarla hacerlo más positivo. En los grá�cosque presentaremos obtenidos de los artículos de Hodkin y Huxley, el convenio de signos es contrarioal actual. Sin embargo, en grá�cos obtenidos de publicaciones recientes el convenio es el actual.En los grá�cos que tengamos el convenio antiguo se irá indicando.La Figura 1.14-a muestra la corriente a través de la membrana en un experimento de pinzamiento

de voltaje. Vemos que hay un primer pico que corresponde a la corriente capacitiva, la cualdesaparece ya que el potencial de membrana se mantiene constante. A continuación aparece unacorriente entrante temprana (según convenio actual, intensidad negativa corresponde a cationesentrantes e intensidad positiva a cationes salientes del axón), y posteriormente una corriente salientetardía, que alcanza un valor asintótico.Si variamos la altura del potencial de membrana tenemos diferentes curvas para la intensidad

(Figura 1.14-b). Hay un valor de potencial a partir del cual desaparece la corriente entrante, quecoincide con el potencial de Nernst del Na+para las concentraciones dadas. Esto nos da la pistaque la corriente entrante es de cationes de Na+.Así tenemos un método para medir las corrientes de sodio y potasio independientemente. Si

variamos las concentraciones de sodio y ajustamos el pinzamiento de voltaje a su valor de potencialde Nernst, tenemos la corriente debida al potasio. Si restamos esta corriente de potasio a la corrientetotal para este potencial con una concentración normal de sodio, obtenemos la corriente debida alsodio (Figura 1.15). El sodio tiene un máximo de corriente entrante, y luego decae a cero, mientras

11

1 Introducción.

(a) (b)

Figure 1.14: Pinzaamiento de voltaje. Fuente:[10]

que el potasio tiende a un máximo asintótico. Otra técnica para medir independientemente lasdiferentes corrientes iónicas sería mediante inhibidores de los canales de los diferentes iones.

Figure 1.15: Método para medir las corriente de sodio y potasio. Fuente: [10]

Una vez conocidas las curvas de intensidad, en función del tiempo, para diferentes valores depinzamiento de voltaje, mediante la aplicación directa de la ley de Ohm, podemos calcular lascurvas de conductividad en función del tiempo (Figura 1.18-a y b).Pero antes, Hodgkin y Huxley comprobaron que realmente es aplicable la ley de Ohm. Para ello

diseñaron un experimento en el que aplicaban una despolarización muy breve a un determinadovoltaje, para llevarlo bruscamente de nuevo al potencial de reposo (Figura 1.16-a). En el momentoen que se corta la despolarización hay una discontinuidad en la intensidad y la corriente entrantedecae exponencialmente, mientras que con un pinzamiento continuo decae más suavemente, comose ha visto en los grá�cos anteriores.A continuación realizaron otro experiento que consistió en despolarizar la membrana al potencial

del sodio, y volver al potencial de reposo bruscamente (Figura 1.16-b). Durante el pinzamiento lacorriente es cero, ya que el voltaje aplicado coincide con el potencial del sodio, pero en el momentoque se vuelve al potencial de reposo hay un pico de intensidad entrante que decae exponencialmente.La explicación es que en el momento en que dejamos de aplicar el potencial todavía están abiertos

12

1 Introducción.

los canales de sodio, de forma que el potencial electroquímico genera una corriente hacia el interiorde la membrana. Pero como ya no hay despolarización los canales se van cerrando y la intensidaddisminuye.

(a) (b)

Figure 1.16: Experimento para comprobar la aplicabilidad de la ley de Ohm. Convenio de signosantiguo. Fuente: [3]

Si se calcula la conductividad aplicando la ley de Ohm,

gNa =INa

(V − VNa)(1.12)

y se reliza una grá�ca, vemos que la discontinuidad de la intensidad desaparece (Figura 1.17-a).Estos resultados parecen indicar que la membrana sigue la ley de Ohm, si medimos la intensidadinmediatamente después de aplicar cambio brusco de potencial de membrana.Pero para asegurar este hecho, Hodgkin y Huxley prepararon un experimento en el que siempre

despolarizaban la membrana a un mismo valor inicial, durante un periodo muy corto, y a con-tinuación cambiaban bruscamente el valor de la despolarización. Entonces medían la intensidadinmediatamente en ese cambio de potencial. La relación entre potencial e intensidad resulta serlinel, tal y como se espera (Figura 1.17-b).

(a) (b)

Figure 1.17: Corriente instantánea. Ley de Ohm. Convenio de signos antiguo. Fuente: [3]

Queda así comprobado el comportamiento de la corriente entrante de sodio. Para estudiar elcomportamiento de la corriente saliente de potasio, realizaron los mismos experimentos pero contiempos de despolarización más largos, ya que la corriente saliente de potasio es más tardía. Losexperimentos con�rmaron también la relación lineal entre intensidad y potencial para el potasio.Una despolarización brusca por encima del valor umbral aumenta la conductividad del sodio,

y más lentamente la del potasio. La conductividad del potasio se mantiene mientras dure ladespolarización, y cae exponencialmente cuando cesa (Figura 1.18-a).La conductividad del sodio aumenta mucho más rápidamente y decae después de un tiempo,

aunque el pulso de potencial se mantenga. Al proceso que origina el decaimiento lo llamamosinactivación (Figura 1.18-b).

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1 Introducción.

(a) (b)

Figure 1.18: Conductividad del potasio (a) y del sodio (b) en función del tiempo, para diferentespotenciales de membrana. Fuente: [5]

Las máximas conductancias para el sodio y potasio, en función del potencial de membrana,tienden a un valor asintótico. Esto es lógico, una vez se han activado todos los canales iónicos, nopuede aumentar más la conductividad (Figura 1.19-a y b )

(a) (b)

Figure 1.19: Máxima conductividad para el sodio (a) y potasio (b) en función del potencial demembrana. El pinzamiento de voltaje es negativo, según el convenio de signos utilizadopor Hodgkin y Huxley en sus trabajos. Fuente: [2]

De las mediciones experimentales se observa una rápida apertura de los canales de sodio seguidapor su cierre. Hodgkin y Huxley realizaron unos experimentos para entender la inactivación de loscanales de sodio. El experimento consistía en llevar el potencial de membrana a un valor subumbral,tal que no se abran los canales de sodio, durante diferentes intervalos de tiempo. Seguidamente sepinza el potencial por encima del valor umbral y se observa cómo varía la grá�ca de la intensidaden función del tiempo para los diferentes intervalos de potencial subumbral (Figura 1.20-a). Se veclaramente que a medida que aumenta el intervalo subumbral, el máximo de la corriente entrantede sodio disminuye, hasta un mínimo del cual no baja aunque se aumente el intervalo.También experimentaron con el caso contrario, primero hiperpolarizar la membrana durante

diferentes intervalos de tiempo y a continuación despolarizar la membrana por encima del umbral.Cuanto mayor es el intervalo de hiperpolarización, mayor es el máximo de intensidad de sodioentrante, hasta llegar a un valor asintótico (Figura 1.20-b) .Para despolarizaciones se incrementa la inactivación, y por tanto la máxima intensidad de sodio

es menor. Para hiperpolarizaciones disminuye la inactivación, con el efecto contrario en la corrientede sodio.La �gura 1.20-c representa los máximos de los picos de intensidad de sodio en función del tiempo

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1 Introducción.

de aplicación para diferentes voltajes iniciales. Para cada uno de los voltajes se llega a un valorasintótico a partir de un determinado tiempo.Según estos experimentos, la activación e inactivación del sodio son sucesos independientes. La

inactivación se produce como resultado a una despolarización, sin necesidad de llegar al umbral.Pero como la inactivación es más lenta que la activación, da tiempo a que aparezca la espiga delpotencial de acción.

(a) (b) (c)

Figure 1.20: Inactivación de los canales de sodio.Convenio de signos antiguo. Fuente: [4]

1.6.3 Mecanismo del potencial de acción.

En vista de los resultados experimentales obtenidos por Hodgkin y Huxley, se puede dar unaexplicación al potencial de acción. Inicialmente, antes del estímulo, la conductividad del potasio(gk) es pequeña, pero la conductividad del sodio (gNa) es mucho más pequeña, de forma queel potencial de reposo de la membrana es cercano al potencial de Nernst del potasio. Cuandola membrana recibe un cambio de potencial, con un valor mínimo por encima del umbral, loscanales de sodio se abren, lo cual genera un pico de potencial debido a la diferencia de potencialelectroquímico del sodio entre el interior y el exterior de la membrana, tal y como nos indicala ecuación de Goldman. Inmediatamente después de alcanzar el valor máximo, los canales desodio se cierran. Antes de terminar de cerrarse los canales de sodio, ya han comenzado a abrirse,aún más que en estado de reposo, los canales de potasio, lo que ocasiona la salida más rápidade estos cationes y la repolarización de la membrana, llegando incluso a producirse una ligerahiperpolarización. El trabajo de la bomba de Na+/K+se encarga de restablecer el potencial dereposo (Figura 1.21). La propagación del potencial de acción a través de la membrana (potencialregenerativo), se explica porque el pico de potencial estimula la apertura de los canales cercanosque generan un nuevo pico, y no vuelve hacia atrás debido a que la inactivación de los canales depotasio (periodo refractario) impiden una nueva estimulación inmediata en la misma posición.

Figure 1.21: Mecanismo del potencial de acción. Fuente:[9].

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1 Introducción.

1.7 Modelo matemático de Hodgkin y Huxley.

Los experimentos llevados a cabo mediante la técnica de pinzamiento de voltaje permitieron aHodgkin y Huxley proponer un circuito equivalente de membrana. Consideraron que los �ujosiónicos a través de la membrana eran independientes entre sí, y que las conductividades de losdiferente iones eran variables, lo que les llevó a proponer un circuito equivalente como el de la�gura 1.9. Hoy sabemos que la hipótesis del circuito paralelo es válida gracias a la especi�cidadde los canales iónicos.El modelo matemático es una combinación de hipótesis teóricas y ajuste de las curvas experi-

mentales de la conductividad del sodio y el potasio (Figura 1.18-a y b).La corriente iónica total, Ii, se expresa mediante la siguiente ecuación:

Ii = INa + Ik + IL (1.13)

La ley de Ohm relaciona conductividades con intensidades y voltajes:

Ix = gx(E − Ex) (1.14)

donde x representa los diferentes iones.Para el desarrollo que sigue es más cómodo expresar las corrientes iónicas de la siguiente forma:

Ix = gx(V − Vx) (1.15)

donde:

V = E − Er (1.16)

Vx = Ex − Er (1.17)

siendo Er el potencial en reposo de la membrana.Según el circuito equivalente considerado, la intensidad total, Im, a través de la membrana

obedece la siguiente ecuación:

Im = CmdE

dt+∑x

(V − Vx)gx (1.18)

1.7.1 La conductancia del potasio.

Para ajustar con un error razonable las curvas experimentales de la conductancia del potasio (�gura1.18-a), Hodgkin y Huxley vieron que necesitaban una ecuación de orden cuatro. Pensaron en unsistema en el cual gK es proporcional a la cuarta potencia de una variable dependiente del tiempo,n(t), que obedece una ecuación diferencial de primer orden. Tenemos el siguiente sistema:

gK = gK · n4 (1.19)

dn

dt= αn(1 − n) − βnn (1.20)

donde:gKes la conductancia máxima, que se alcanza cuando n = 1.n es una variable adimensional con valor entre 0 y 1.αny βnson constantes de transición, que dependen del voltaje y se miden en [tiempo]−1.Si consideramos n(t = 0) = n0, la solución de la ecuación (1.20) es:

n = n∞ − (n∞ − n0) · e−t/τn (1.21)

con:

n∞ =αn

αn + βn(1.22)

τn = (αn + βn)−1 (1.23)

La expresión de la conductividad queda:

16

1 Introducción.

gK = gK [n∞ − (n∞ − n0) · e−t/τn ]4 (1.24)

La �gura 1.22 corresponde a la grá�ca de los valores experimentales de αn y βn en función delvoltaje. A partir de estos datos, obtuvieron las siguientes ecuaciones:

αn =0.01(V + 10)

exp(V+1010 ) − 1

(1.25)

βn = 0.125 · exp(V

80

)(1.26)

Figure 1.22: Constantes de transición para el potasio. Convenio de signos antiguo. Fuente: [5]

1.7.2 La conductancia del sodio.

La conductancia del sodio requiere ajustar las curvas de la �gura 1.18-b. Para ello necesitamos dosvariables, una que nos da la activación y otra la inactivación. Las llamaremos m y h . Hodgkin yHuxley plantearon el siguiente sistema de ecuaciones:

gNa = m3hgNa (1.27)

dm

dt= αm(1 −m) − βmm (1.28)

dh

dt= αh(1 − h) − βhh (1.29)

donde:gNa es el valor máximo de la conductividad.αm, βm, αh y βhson funciones dependientes solo del voltaje.Si se toman como valores iniciales m(t = 0) = m0, h(t = 0) = h0, las ecuaciones (1.28) y (1,29)

tienen las siguientes soluciones, similares a la del potasio:

m = m∞ − (m∞ −m0) · e−t/τm (1.30)

h = h∞ − (h− h0) · e−t/τh (1.31)

con:

m∞ =αm

αm + βm(1.32)

h∞ =αh

αh + βh(1.33)

τm = (αm + βm)−1 (1.34)

τh = (αh + βh)−1 (1.35)

17

1 Introducción.

La expresión de la conductividad queda:

gNa = gNa[m∞ − (m∞ −m0) · e−t/τm ]3[h∞ − (h− h0) · e−t/τh ] (1.36)

La �gura 1.23-a-b corresponde a la grá�ca de los valores experimentales de αm, βm,αh y βh enfunción del voltaje. A partir de estos datos, obtuvieron las siguientes ecuaciones:

αm =0.1(V + 25)

exp(V+2510 ) − 1

(1.37)

βm = 4 · exp(V

18

)(1.38)

αh = 0.07 · exp(V

20

)(1.39)

βh =1

exp(V+3010 ) + 1

(1.40)

(a) Constantes de transición de activación para el sodio. Conveniode signos antiguo. Fuente: [5]

(b) Constantes de transición de inactivaciónpara el sodio. Convenio de signos antiguo.Fuente: [5]

Figure 1.23

1.8 Modelo rápido-lento.

Ya hemos visto que el modelo de Hodgkin y Huxley describe bien las características de la membranaexcitable, pero al ser un modelo con cuatro variables resulta complicado desde el punto de vistamatemático. Sería interesante poder simpli�carlo a un modelo de dos dimensiones que mantengalas propiedades del modelo original.En la �gura 1.29 vemos que el parámetro de activadión del sodio, m(t) tiene una dinámica muy

rápida, lo cual nos permite aproximarlo a su valor asintótico constante:

m = m∞. (1.41)

Además la suma de n(t) y h(t) es aproximadamente constante cercana a 1. Esto supone unanueva simpli�cación:

h(t) = 1 − n(t) (1.42)

Con estas simpli�caciones, el modelo de Hodgkin y Huxley queda reducido a dos variables:

CmdV

dt= −gNam3

∞(v)(1 − n)(V − VNa) − gKn4(V − VK) − gL(V − VL) (1.43)

dn

dt= αn(1 − n) − βnn (1.44)

18

1 Introducción.

(a) Variables de activación-desactivación del modelo deHodgkin y Huxley.

(b) Constantes de tiempo en de las vari-ables de activación-desactivacióndel modelo de Hodgkin y Huxley.

Figure 1.24

1.9 Modelo de Fitzhugh-Nagumo.

FitzHugh observó que en el modelo rápido-lento la isoclina-v se podía aproximar con un polinomiocúbico, y la isoclina-n se podía aproximar con una recta. Presentó un sistema de ecuaciones comoel siguiente:v = −v3 + (a+ 1)v2 − av − w + iw = ε(v − γw)donde v representa el potencial, w es una variable de recuperación, e i es la corriente aplicada.Posteriormente Nagumo ideó un circuito eléctrico cuyo comportamiento era modelado por las

ecuaciones de FitzHugh. El esquema del circuito se representa en la �gura 1.25.

Figure 1.25: Circuito equivalente del modelo de FitzHugh-Nagumo. Fuente: [7].

19

2 Objetivos.

Pretendemos veri�car el modelo de Fitzhugh-Nagumo, comparando las simulaciones realizadascon este modelo respecto al modelo de Hodgkin y Huxley, que ya fue validado con los resultadosexperimentales.

20

3 Métodos.

Como modelo de Fitzhugh-Nagumo tomamos el siguiente sistema:v = −v3 + (a+ 1)v2 − av − w + iw = ε(v − γw)con estos valores para las constantes:a = 0.139ε = 0.008γ = 2.54Utilizaremos el programa Maple para la resolución matemática y representación grá�ca en el

espacio de las fases.En primer lugar analizaremos la estabilidad del sistema en su punto �jo a partir de las ecuaciones

de las isoclinas nulas. Para ello calculamos la matriz jacobiana y sus valores propios en el punto�jo, que será función de la intensidad, i. Así que los valores propios también serán función de laintensidad. Gra�caremos la parte real de los valores propios en función de la intensidad, y segúnsea su signo sabremos para que estímulos el sistema es estable, o por el contrario se hace inestable,entra en un ciclo límite, y genera potenciales de acción.Después haremos una representación, en el espacio de las fases, de las isoclinas nulas y el diagrama

de vectores. Esta grá�ca nos dará información de las condiciones iniciales bajo las que el sistemagenera o no un potencial de acción.A continuación gra�caremos en el espacio de las fases y en el espacio tiempo la respuesta del sis-

tema para las diferentes zonas de estabilidad e inestabilidad, para comprobar los cálculos anterioresde los valores propios.Además experimentaremos con pulsos cuadrados de intensidad de diferentes alturas.Por último aplicaremos un estímulo negativo.Con esto habremos caracterizado gran parte de las propiedades del modelo.

21

4 Resultados.

En este capítulo exponemos los resultados de los cálculos, realizados con el programa Maple,siguiendo el guión de trabajo expuesto en el capítulo anterior.

4.0.1 Estudio de la estabilidad.

Comenzamos por realizar el análisis de estabilidad del sistema. Para ello planteamos las ecuacionesde las isoclinas nulas y calculamos el punto �jo, que se obtiene a partir de la igualación de lasecuaciones:w = −v3 + (a+ 1)v2 − av + i (isoclina v)w = v/γ (isoclina w)−v3 + (a+ 1)v2 − av + i = v/γDe esta ecuación obtenemos una expresión para el punto �jo en función de iCalculamos la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones:

Y a partir de la matriz jacobiana calculamos la ecuación característica, en la cual sustituimos vpor la expresión del punto �jo. De ahí obtenemos una ecuación de los valores propios en funciónde la intensidad. La �gura 4.1 es la representación grá�ca de la parte real de los valores propios.Vemos que, en función del estímulo i aplicado, la parte real de los valores propios pasa de sernegativa, a positiva, y de nuevo negativa.

Figure 4.1: Representación de las partes reales de los valores propios de la matriz jacobiana enfunción de la intensidad aplicada.

Podemos calcular los valores de la intensidad que hacen cero los valores propios:i1 = 0.0351i2 = 0.1505

22

4 Resultados.

4.0.2 Isoclinas con i = 0 y diagrama de vectores. Evolución del sistema condiferentes condiciones iniciales.

(a) Isoclinas y diagrama de vectores (b) Codiciones iniciales en el ladoizquierdo del tramo ascendente de laisoclina v.

(c) Condiciones iniciales en el lado dere-cho del tramo ascendente de la iso-clina v

Figure 4.2: Isoclinas con i = 0 y diagrama de vectores. Trayectorias con diferentes condicionesiniciales.

A continuación representaremos los diagramas de fase, y las grá�cas del potencial v(t), para valoresde intensidad constantes, mayores y menores de i1e i2. Las isoclinas en color negro correspondena i = 0, y en color verde a i = i1e i = i2.

4.0.3 Intensidad constante.

Intensidad i < i1.

(a) Espacio de las fases. (b) Potencial en función del tiempo.

Figure 4.3: Intensidad constante , i = 0.0331 , menor que i1.

Intensidad i < i1.

(a) Espacio de las fases. (b) Potencial en función del tiempo.

Figure 4.4: Intensidad constante, i = 0.0341 , menor que i1.

23

4 Resultados.

Intensidad i2 > i > i1.

(a) Espacio de las fases. (b) Potencial en función del tiempo

Figure 4.5: Intensidad constante, i = 0.0371 , mayor que i1 y menor que i2.

Intensidad i > i2.

(a) Espacio de las fases. (b) Potencial en función del tiempo

Figure 4.6: Intensidad igual a, i = 0.1705 , mayor que i2.

4.0.4 Pulsos de intensidad .

A continuación, en vez de aplicar un estímulo de intensidad constante, aplicaremos diversos pulsoscuadrados de intensidad, de diferente alturas. Las �guras 4.7, 4.8 y 4.9 contienen las grá�cas delpulso, del espacio de las fases y del potencial en función del tiempo.

(a) (b) (c)

Figure 4.7

24

4 Resultados.

(a) (b) (c)

Figure 4.8

(a) (b) (c)

Figure 4.9

4.0.5 Pulso de intensidad negativa.

También podemos ver qué sucede si aplicamos un pulso de intensidad negativa.

(a) Pulso de altura 8 y duración 5 (b) Pulso de altura 12 y duración 5 (c) Pulso de altura 8 y duración 10

Figure 4.10: Diferentes respuestas con estimulación negativa.

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5 Análisis de resultados.

En este capítulo vamos a comentar cada una de las diferentes secciones del capítulo anterior.Sección 4.0.1 Estabilidad.Del estudio de estabilidad (�gura 4.1) ya podíamos prever que para valores i < i1e i > i2el

sistema es estable, ya que los dos valores propios de la matriz jacobiana son negativos. Y paravalores i1 < i < i2el sistema es inestable porque los valores propios son positivos.

Sección 4.0.2 Condiciones iniciales.Si desplazamos las condiciones iniciales a la zona entre la rama central ascendente y la izquierda

descendiente de la isoclina-V, no se genera disparo, es una zona pasiva. Pero el espacio entre larama central y la derecha de la isoclina es activa, y si desplazamos a esa zona las condicionesiniciales, sí generamos un disparo. Situando las condiciones iniciales cerca de la rama central sepuede o no generar un disparo, así que no tenemos un umbral bien de�nido.

Sección 4.0.3. Estímulo de intensidad constante.

Siguiendo las grá�cas, aumentamos la corriente desde un valor por debajo de i1, que correspondea la zona de punto �jo estable, hasta un valor por encima de i2que vuelve a ser zona estable, pasandoentre medias por la zona inestable. Aplicar una corriente constante representa desplazar la isoclina-v hacia arriba. Como la isoclina-w está inclinada, el punto �jo va entrando en la rama central del laisoclina cúbica, lo que supone inestabilizar el sistema y aparecen los ciclos límite. Para una pequeñacorriente se genera una trayectoria muy corta y un pulso muy pequeño. Al acercarnos a la zonainestable, pero fuera de ella, se genera un disparo y vuelve al punto �jo. Cuando aplicamos unacorriente entre i1e i2, dentro de la zona inestable, se genera un ciclo límite y tenemos una secuenciade disparos que no cesa hasta que desaparezca el estímulo. Por último, cuando aumentamos laintensidad lo su�ciente para llegar a la otra zona estable, hay una trayectoria que va desde el punto�jo original en (0,0) hasta el nuevo punto �jo, y el potencial de membrana queda despolarizadopermanentemente.

Sección 4.0.4. Pulsos de intensidad.

Para pulsos pequeños aparecen espigas pequeñas y a medida que aumenta la altura del pulsoaumenta la altura de la espiga. Así pues, para pulsos de intensidad no tenemos un umbral biende�nido.

Sección 4.0.5. Pulsos negativos.

Vemos que no solo in�uye la altura del pulso, sino también la duración. Cuanto más se aumentala intensidad, más se aleja la isoclina del origen, así que si el pulso no dura su�ciente tiempo latrayectoria no llega a la isoclina para generar el potencial de acción.

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6 Conclusiones.

Las simulaciones realizadas sobre el modelo de FitzHugh-Nagumo re�ejan una gran similitud conel comportamiento del modelo de Hodgkin y Huxley, el cual fue contrastado con los resultadosexperimentales, dándole por ello gran validez. Esto permite realizar experimentos virtuales, paraentender mejor las características del sistema físico, sin necesidad de tanto potencial de cálculo.Además, al ser un sistema en dos dimensiones, se puede estudiar en el espacio de las fases, y aplicarlas teorías de estabilidad, lo cual da una información muy intuitiva de la dinámica del sistema.

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