TFA A059Didattica della Matematica 230 Marzo 2015

Alcune cose che si possono impararecontando

Ivan D'Annibale

Sommario

● A mo' di giustificazione

● Rigidità

● La forma degli alcani

● Il mistero della corona

● Parlerò di cose che non conosco.

● Contare: dove inizia (e, per molti, finisce) la matematica.

● Si possono fare affermazioni interessanti utilizzando matematica “elementare”.

● “Ma non ti annoi a spiegare sempre le stesse cose?”

I nostri (?) studenti e le cose che scopriranno da grandi.

A mo' di giustificazione

Da una ricerca su Google Immagini con la chiave “Emma Castelnuovo”

Rigidità

● Il triangolo è rigido, il quadrato no. Perché?

● E la figura qui sotto? Possiamo deformarla?

(Nel piano e senza barare.)

● E questa?

● Un altro esempio

● Possiamo immaginare figure arbitrariamente complicate.

● Vorremmo dire se sono rigide senza costruirle e provare.

● Contiamo!

S = # snodi

B = # barrette

Gradi di libertà. Ogni snodo può essere posizionato arbitrariamente nel piano → 2 coordinate. Ogni barretta introduce un vincolo (distanza fissata).

Gradi di libertà (bis) 2S – B

● Ogni figura ha almeno 3 gradi di libertà: può essere traslata (2 numeri) e ruotata (1 numero).

● Rigida se ha solo 3 gradi di libertà.

S B 2S - B Rigido/Non rigido

Triangolo 3 3 3 Rigido

Quadrato 4 4 4 Non rigido

5 7 3 Rigido

7 10 4 Non rigido

9 15 3 Rigido

● 2S – B > 3 → Non rigida ?

● 2S – B ≤ 3 → Rigida?

● Sembrerebbe funzionare, ma...

...possiamo sempre aggiungere vincoli ridondanti.

S = 6

B = 9

2S – B = 3

La figura è chiaramente deformabile.

S' = 5

B' = 8

2S' – B' = 2 < 3

Non può essere il numero dei gradi di libertà. Una delle barrette è ridondante.

E' già rigida.

Se ripetiamo il conto con una barretta in meno, otteniamo la risposta giusta (2S – B = 4).

● L'idea di contare i gradi di libertà (2S – B) per determinare la rigidità di una struttura è stata di James Clerk Maxwell.

On Reciprocal Figures and Diagrams of Forces (1864)

A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (1869)

● Per ogni struttura, abbiamo ottenuto la seguente ricetta:

1) Identifichiamo le sottostrutture che hanno vincoli (barrette) ridondanti (B' > 2S' – 3);

2) Eliminiamo i vincoli (barrette) ridondanti;

3) Ripetiamo il conto di Maxwell.

● La ricetta è un teorema.

(Gerard Laman, 1970)

Sia G un grafo avente esattamente n vertici e e = n – 3 spigoli.Allora G è genericamente rigido nel piano se, e solo se, si ha e' = 2n' – 3 per ogni sottografo di n' vertici e e' spigoli.

● “genericamente”? Escludere configurazioni accidentali: snodi allineati, barrette parallele, … che si risolvono perturbando leggermente le lunghezze delle barrette, ad esempio.

Possiamo studiare la rigidità, contando snodi e barrette e dimenticandoci delle lunghezze delle barrette e delle posizioni degli snodi nel piano.

Ma l'analogo in 3 dimensioni (B > = < 3S – 6) non vale.

S = 8

B = 18 = 3S – 6

Non ci sono vincoli ridondanti, ma possiamo deformarla.

Il problema è ancora aperto. Uno dei “nostri” studenti?

(2) La forma degli alcani

● Cominciamo da una molecola di metano

● E contiamo gli atomi di ciascun tipo. 1 atomo di carbonio (nero). 4 atomi di idrogeno (bianco).

● Ovviamente non è un caso. Contiamo le colonne nella tavola periodica.

● Se sappiamo che una molecola deve essere formata soltanto da atomi di carbonio e di idrogeno, possiamo dire dove questi si trovano (possiamo dimenticare le etichette). Contiamo i legami.

● Possiamo escludere che una molecola sia formata soltanto da carbonio e idrogeno. Contiamo i legami.

● Valenza, grado

● Contiamo ancora i legami. Somma dei gradi = 12, 10. Numero dei legami = 6, 5

● La somma dei gradi dei vertici di un grafo è uguale al doppio del numero degli spigoli.

● Il numero di vertici di un grafo che hanno grado dispari è pari.

Botanica dei grafi

● Alcuni grafi (connessi) hanno soltanto un cammino che congiunge una qualsiasi coppia di vertici fissata.

● In altri, i cammini possono essere più d'uno. Ciò equivale a possedere un cammino chiuso.

Chiamiamo alberi i grafi del primo tipo.

● Un albero con n vertici possiede n – 1 spigoli.

(per induzione, eliminando un vertice e uno spigolo)

● Una foglia è un vertice di grado 1. Un albero possiede (almeno due) foglie.

(preso un cammino di lunghezza massima, gli estremi sono foglie.)

● Un grafo (connesso) che possiede n vertici e n – 1 spigoli è un albero.

(per induzione, come sopra. Possiamo eliminare una foglia e il gambo associato. Ipotesi induttiva. Aggiungendo foglia e gambo eliminati, non possiamo ottenere un ciclo.)

La forma degli alcani (quasi)

● Cosa diavolo è un alcano?

Un composto di carbonio e idrogeno (un idrocarburo) in cui la proporzione carbonio/idrogeno è fissata.

● Formula grezza: CnH

2n + 2

● Ovviamente non è solo questione di composizione, ma anche di struttura (isomeri)

I due isomeri di C4H

10

n (CnH

2n + 2) (#) isomeri

1 (1) metano

2 (1) etano

3 (1) propano

4 (2) n-butano, isobutano

5 (3) pentano, isopentano, neopentano

6 (5) esano, 2-metilpentano, 3-metilpentano, 2,2-dimetilbutano, 2,3-dimetilbutano

...

12 (355)

32 (27'711'253'769)

60 (22'158'734'535'770'411'074'184)

● Che cosa sappiamo dire della struttura di tutti questi composti? Contiamo!

● Un alcano CnH

2n + 2 ha un numero totale di atomi uguale a

n (carbonio) + 2n + 2 (idrogeno)

Un grafo che rappresenta la molecola ha 3n + 2 vertici.

● Il carbonio ha valenza (grado) 4, l'idrogeno ha valenza (grado) 1. La somma dei gradi è

4n + 1(2n+2) = 4n + 2n +2 = 2(3n+1),

che è il doppio del numero dei legami.

Perciò il grafo possiede 3n + 1 spigoli.

● Il numero di spigoli è uguale al numero dei vertici meno uno.

La forma degli alcani (finalmente)

● → Ogni alcano è un albero. La molecola di un alcano non contiene cicli (in particolare, niente legami doppi, tripli...)

Lo stesso vale per ciascuno dei 22'158'734'535'770'411'074'184 isomeri di C

60H

122

Se conosciamo la struttura...

● … possiamo dimenticarci degli atomi di idrogeno (bianco) e guardare solo lo scheletro di carbonio (nero).

● Per ogni coppia di atomi di carbonio, calcoliamo la lunghezza del cammino più breve tra i due (distanza). Prendiamo la somma di tutte queste distanze (indice di Wiener, w).

(Ancora) i due isomeri di C4H

10

w = 10

w = 9

● Proprietà che dipendono dalla struttura

● en.wikipedia sull'indice di Wiener

Relation to chemical properties [edit]

Wiener showed that the Wiener index number is closely correlated with the boiling points of alkane molecules. [2] Later work on quantitative structure–activity relationships showed that it is also correlated with other quantities including the parameters of its critical point, [10] the density, surface tension, and viscosity of its liquid phase, [11] and the van der Waals surface area of the molecule. [12]

(Harry Wiener, 1947)

E allora?

w = 10Punto di ebollizione: – 1 °C

w = 9Punto di ebollizione: – 13 °C

Laghi/mari di idrocarburi (Kraken > Ligeia > Punga)

(Titano, visto da Cassini)

On September 3, 2014, NASA reported studies suggesting methane rainfall on Titan may interact with a layer of icy materials underground, called an "alkanofer," to produce ethane and propane that may eventually feed into rivers and lakes.

● Titan's methane cycle is viewed as an analogy to Earth's water cycle, although at a much lower temperature. [– 179.5 °C]

● “People ask me if you could bring it to Earth, and that's a dumb idea on many levels. But what you might not realize is that there simply wouldn't be enough oxygen here to burn it all.” – Randy Kirk, U.S. Geological Survey

● Uno dei “nostri” studenti?

(3) Il mistero della corona

● Sappiamo già cosa fare. Ancora una volta, con sentimento...

● contiamo... gli incroci!

Ad ogni incrocio, un tubo si trova davanti all'altro.

Ciascun tubo è dotato di un verso di percorrenza.

● Fissiamo una convenzione.Chiamiamo positivo un incrocio in cui il tubo che passa sopra può essere allineato al tubo che passa sotto, facendolo ruotare in senso antiorario.Chiamiamo negativo un incrocio in cui lo stesso può essere fatto con una rotazione in senso orario.

● Con questa convenzione...

N+ = 4

N– = 2

● Possiamo definire un numero medio di incroci, L = (N+ – N–) / 2

● Nel nostro caso, L = 1

● Se deformiamo i due tubi, o se li osserviamo da una posizione diversa, i numeri N+ e N– cambiano, ma L rimane costante.

● L'unico modo di cambiare L sarebbe di far passare un tubo attraverso l'altro.

+

+

+

+

– – –

Linee di campo (alcune immagini classiche)

N.B

. N

ien

te è

in s

cala

!

Osservazioni

● Le linee di campo sono linee “chiuse”.

● Le linee di campo hanno un verso.

● Le linee di campo si addensano vicino a poli. In generale, dove il campo è più intenso.

Il Sole, più da vicino

● Il Sole è una palla di plasma in continuo movimento (gli elettroni liberi sono in grado di condurre elettricità).

● Correnti elettriche variabili producono campi magnetici variabili. Il campo magnetico solare è complesso e mutevole.

● Le linee di campo magnetico del Sole si originano al suo interno.

● I punti in cui una linea di campo attraversa la superficie vengono trascinati avanti e indietro dai movimenti del plasma.

● → Il campo magnetico solare in prossimità della superficie diventa intrecciato.

17.1 nm, extreme UV(Solar Dynamics Observatory)

Due osservazioni1) La fotosfera (“superficie del Sole”) e la corona

(“l'atmosfera del Sole”) hanno temperature assai differenti.

en.wikipedia, “Sun”

Temperature Center (modeled): 1.57×10^7 KPhotosphere (effective): 5,778 KCorona: ≈5×10^6 K 

2) Il campo magnetico solare non si trova nel suo stato di energia minima.

● L'esatto meccanismo del riscaldamento della corona è ancora dibattuto. Le due cose sembrano collegate.

● Ma perché il campo magnetico solare non “rilassa” verso l'equilibrio?

● Come dovrebbero evolvere le linee di campo?

● In un fluido conduttore perfetto

(Hannes Alfvén, 1943)

● Le linee di campo si muovono col fluido. Sono “congelate” nel fluido.

● Se due elementi di plasma sono connessi da una linea di campo ad un certo istante, devono continuare ad essere collegati a ogni tempo successivo...

...anche quando i movimenti del plasma distorcono e aggrovigliano le linee.

● Come dovrebbero evolvere le linee di campo? (2)

● Consideriamo un insieme di linee di campo che passano per una linea chiusa, un tubo di flusso.

● Le linee di campo vorrebbero allontanarsi (memo: linee dense → maggiore energia), ma...

● E, per il teorema di flusso congelato, le linee non possono spezzarsi!

● In particolare, il numero di linking L, per ogni coppia di tubi di flusso, è costante. C'è un'intera famiglia di invarianti che si oppone al rilassamento del campo.

Ma le cose non sono così semplici

● Il plasma non è un conduttore perfetto (no flusso congelato).

● Le linee di campo possono spezzarsi e riconnettersi. I numeri di linking non sono costanti.

(la violazione dell'ipotesi avviene, in pratica, solo localmente. Ma ciò è sufficiente.)

● Allora che cosa impedisce che il campo raggiunga lo stato di energia minima?

● Magari funziona soltanto “in media”...

● Il caso di tre tubi di flusso

● Definiamo H = (2L12 F1 F2 + 2L13 F1 F3 + 2L23 F2 F3) / 3

● Per un conduttore perfetto, H è chiaramente costante.

● Quando la resistività è non nulla, H è “quasi conservato”. Si può dare una limitazione di |dH/dt|. Il cambiamento di H è abbastanza lento da consentire aimovimenti del plasma di intrecciare di nuovo le linee di campo.

Uno dei “nostri” studenti?

Grazie per l'attenzione!

Bibliografia● "Rigidité et percolation", Julien Barré

- http://images.math.cnrs.fr/Rigidite-et-percolation.html

● Clerk Maxwell, J. (1864), On reciprocal figures and diagrams of forces. Philosophical Magazine (4th Series), Vol. 27, pp. 250–261.

● Laman, G. "On Graphs and Rigidity of Plane Skeletal Structures." J. Engineering Math. 4, 331-340, 1970.

● "Mathematics and Chemistry", Joseph Malkevitch - http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2014-09

● Wiener, H. (1947), "Structural determination of paraffin boiling points", Journal of the American Chemical Society 1 (69): 17–20

● Topology in Chemistry: Discrete Mathematics of Molecules, D.H. Rouvray, R.B. King, eds., Horwood Publishing (2002)

● "Magnetic Tangles", Anthony Yeates - https://plus.maths.org/content/magnetic-tangles

● “Magnetic Field Topology”, Anthony Yeates -http://www.maths.dur.ac.uk/~bmjg46/ary-topology-sem2013.pdf

Immagini e riconoscimenti● Le immagini alle pagine 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14 provengono da:

http://images.math.cnrs.fr/Rigidite-et-percolation.html

● Le immagini alle pagine 15, 16 (tavola periodica), 20, 23, 24 provengono da:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Methane-CRC-MW-3D-balls.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Periodic_Table_overview_(wide).svghttp://perso.numericable.fr/vincent.hedberg/organic/alkanes_formulas.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Butane_3D_ball.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Isobutane-3D-balls.png

● Le immagini alle pagine 27, 28, 36 provengono da:http://www.ciclops.org/view/7768/Lakes-Through-the-Haze?js=1http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PIA17655_crop_Titan_north_polar_seas_and_lakes.jpghttp://sdo.gsfc.nasa.gov/

● Le immagini alle pagine 29, 30, 31, 32, 40, 42 provengono da: https://plus.maths.org/content/magnetic-tangles

● Lo screen-shot di pagina 43 proviene da: https://royalsociety.org/events/2014/coronal-heating/

● L'immagine di pagina 44 proviene da: https://www.flickr.com/photos/94778197@N03/8631936157

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