Upload
habip-taylan
View
1.045
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
1
PORTFÖY OPTİMİZASYONU
Habip TAYLAN
Abdülfettah UYGUR
Danışman:
Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU
KÜTAHYA-2012
2
T.C.
DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ
MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
İSTATİKSEL ANALİZ PROJESİ
PORTFÖY OPTİMİZASYONU
Habip TAYLAN
Abdülfettah UYGUR
Danışman:
Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU
KÜTAHYA-2012
3
KABUL ve ONAY SAYFASI
Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100
tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur.
Danışman : ..................................................................................
Jüri Üyesi : ...................................................................................
Jüri Üyesi : ....................................................................................
4
PORTFÖY OPTİMİZASYONU
ÖZET
Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiyle
birlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Buna
enflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi de
eklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırım
araçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçları
seçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler.
Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hisse
senedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bu
belirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri için
daha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiri
dengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hisse
senedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföy
seçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföy
oluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansı
verilir.
Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel Yöntemlerle Portföy Optimizasyon
i
5
TEŞEKKÜR
Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç bir
zaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman her
konuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.
ii
6
İÇİNDEKİLER
Sayfa
iii
7
iv
8
TABLOLAR DİZİNİ
Sayfa Tablolar
v
9
ŞEKİLLER DİZİNİ
vi
Sayfa Şekiller
10
KISALTMALAR DİZİNİ
Kısaltmalar : Açıklamalar
ADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A)
AKENR ....................................................................................................................Ak Enerji
ATEKS ................................................................................................................ Akın Tekstil
AKSA .............................................................................................................................. Aksa
ALARK .......................................................................................................... Alarko Holding
ALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent Teltaş
ANACM ............................................................................................................ Anadolu Cam
AYEN ................................................................................................................... Ayen Enerji
BANVT ........................................................................................................................ Banvit
BOYNR ..................................................................................................... Boyner Mağzacılık
BURVA ............................................................................................................ Burçelik Vana
BUCIM ............................................................................................................ Bursa Çimento
CRDFA ................................................................................................... Creditwest Factoring
CELHA .................................................................................................................. Çelik Halat
DERİM ...................................................................................................................... Derimod
DITAS ................................................................................................................. Ditaş Doğan
DGZTE ....................................................................................................... Doğan Gazetecilik
ECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı Yapı
ESCOM ......................................................................................................... Escort Teknoloji
FFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir.
IHGZT ........................................................................................................... İhlas Gazetecilik
IZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir Çelik
KLMSN ..............................................................................................................Klima Sanayi
KORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol
vii
11
KOZAA ........................................................................................................ Koza Madencilik
LINK................................................................................................................ Link Bilgisayar
MUTLU .................................................................................................................. Mutlu Akü
PINSU ........................................................................................................................ Pınar Su
PIMAS ........................................................................................................................... Pimaş
SANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama
viii
12
1.GİRİŞ
Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeli
Doğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarından
birisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıyla
Nobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyine
ulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindeki
portföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini
karşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır.
Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüş
ve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarca
kişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazip
gelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirler
elde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısı
kadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ek
olarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarının
fiyatları da değişmektedir.
Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırım
enstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırım
yapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımı
yapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedefler
doğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür.
En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırım
araçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 li
yıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler ve
bilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir.
En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırım
enstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerin
çözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok
13
üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarının
alım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgari
sınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsal
kısıtların modellerde içerilememesidir.
Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap haline
getirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisinin
başlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslar
matrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü ise
elde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir.
Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları, T x ve CxT olarak ifade edilir.
Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi ve
minimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuza
değişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Daha
sonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için 푑 x doğrusal ifadesi de
eklenmiştir.(Pogue 1970)
N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak bu
analizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modelleri
değiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıca
senaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton ve
Gruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur.
Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçek
hayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue
1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayan
çalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. Yine
Francis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediği
makaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerine
anlamlı bir çalışmadır.
Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırı
bulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla
14
başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan Von
Hohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğer
algoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşın
optimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler.
Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryans
matrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir,
ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinin
tümü simpleks kökenli algoritmalardır.
Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılan
en kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyans
modelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993,
Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatı
daha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çok
önemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde de
yapılmaktadır.
Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramları
açıklayarak, bu kavramlar;
Dönemlik simetri
Beklenen getiri
Varyans
Standart sapma
Yarı varyans
Kovaryans
Korelasyon
Vektör ve Matris gösterimleri
Portföyün beklenen getirisi
Portföy varyansı sayılabilir
Daha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;
15
Standart ortalama varyans portföy seçim modeli
Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli
Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli
Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli
Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli
Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama
varyans portföy seçim modeli
Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi
Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri
Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz
üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel
hem de lingoda çözümler yapılacaktır.
2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlar
açıklanacaktır. Bu kavramlar ;
2.1.Dönemlik Getiri:
Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar
DBD
DBDKPDSDGD
[ 1],[ 2 ]
DG : Dönemlik Getiri,
DBD : Yatırım dönem başı değeri,
DSD : Yatırımın dönem sonu değeri,
KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )
16
Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık baza
indirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit,
bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir.
2.2.Basit getiri hesaplaması:
Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğini
varsayar.
DBD
DBDKPDSDt
basitGD .1 [ 1],[ 2 ]
basitGD : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,
T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,
2.3.Bileşik getiri hesaplanması:
Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekrar
yatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar.
Nt
D DBDDBDKPDSDNbileşilG
.1
.
[ 1],[2 ]
G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,
t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,
N : Bir yıl içindeki dönem sayısı
17
Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuz
sayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, ana
para ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır.
DBD
KPDSDt
sürekliGD .ln1 [ 1],[2 ]
2.4.Beklenen Getiri:
Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir;
][GE
N
iii GO
1. [ 1],[2]
µ : Beklenen getiri, E[G],
Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı,
Gi : i senaryosunun beklenen getirisi,
N : olası senaryo sayısı,
Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, bu
varlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır.
Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı
Senaryo Olasılık Getiri
1 1/3 50%
2 1/3 30%
3 1/3 16%
][GE %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32
Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; iki
getirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşit
olmasıdır.
18
211
221
11
221
1121
).().(
)..(][
N
iii
N
iii
ii
N
iii
GOGO
GOGOGGE [ 3],[4]
İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirinin
beklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır.
N
iii
N
iii sGOsGOGsE
11.).(.).(].[ [ 3],[4]
2.5. Sapma Ölçütleri: i. Ortalama mutlak sapma:
Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar için
çok uygun bir hesaplama değildir.
).(1
N
iii GOOMS [3],[4]
Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır.
Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri
1 1/3 50%
2 1/3 30%
3 1/3 16%
OMS 1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|= . . . = 0.12
19
ii. Varyans ve Standart Sapma:
Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ile
hesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarak
genellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır.
2
1
2 .)(
i
N
ii GOGVar [ 3],[4]
Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.
2 1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195
Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiri
serisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir.
)var()( GGsVar [ 3],[4]
Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serinin
varyansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir.
)var(.).( 2 GsGsVar [ 3],[4 ]
20
iii. Yarı Varyans:
Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleri
toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyansla
orantılıdır.
N
iii GOGYarı
1
2,0min.)var( [ 4],[5]
Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır.
Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.0087
2.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri:
i. Kovaryans:
İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütü
kovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir.
221
112,1 ..
i
N
iii GGO [ 3],[4]
Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yönde
olursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların
ortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklar
arasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır.
Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksa
da, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
21
İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyansları
ve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir.
212121 ,var.2varvar)( GGkoGGGGVar [ 3],[4]
2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı:
Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesi
sonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareket
etmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse,
çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematik
olmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktan
oluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıkların
ortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğü
gibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıkların
getirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklar
kombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir.
Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonu Dönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B)
1 14 -11 9
2 9 9 9
3 4 29 9
Ortalama Getiri 9 9 9
Varyans 25 400 0
Standart sapma 5 20 0
22
3.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ
Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama-
Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkin
varlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’in
çalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959).
Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak,
ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusunda
oluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacak
ve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır.
Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyon
modellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümde
değinilecektir.
3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli:
Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli,
oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldeki
fonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesine
ulaşılması kısıtlardır.
Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır:
i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir.
ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile
orantılıdır.
iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını
model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.
23
iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri
düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de
ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir.
Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum
varyanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonu
yukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekilde
gösterilir.
N
iijj
N
ji xxMin
1 1
. [ 7],[8],[9]
Bu matematiksel ifadede,
N : Mevcut varlık sayısını,
ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N),
ix , jx : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır.
Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacak
olursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halinde
daha rahat yorumlanabilir.
1
1 1
2
1
2 2..N
i
N
ijijjii
N
ii xxxMin [7],[8],[9]
Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklar
arası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaç
fonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra,
birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye de
gidilmektedir.
Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi,
hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematiksel
ifadedir.
24
Rx i
N
ii
1
. [7],[8],[9]
Burada;
i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N),
R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır.
Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıkları
toplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir.
N
iix
11 [7],[8],[9]
Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel
model elde edilir.
,10
1
.
..
...
1
1
1 1
i
N
ii
N
iii
N
i
N
jijji
x
x
Rx
ts
xxMin
[8],[9]
Burada,
N : Mevcut varlık sayısı,
i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N),
ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),
: i=j için i varlığının varyans değeri,
25
R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
ix : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),
Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlama
formundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tipteki
modellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafından
geliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır.
Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesini
temel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temel
elde etmektedir.
3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği:
Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitz
portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve
çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10
dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir.
Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi.
Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000
Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800
Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300
Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000
Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400
Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500
Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300
Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900
Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500
Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
26
Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen 퐆퐃 =퐃퐒푫 퐃퐁퐃
퐃퐁퐃
formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen
N
iii GOGE
1. formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu
hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir.
Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri. Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
Dönem 1
Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0
Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4
Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3
Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0
Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1
Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6
Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3
Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1
Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0
Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2
Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri
ikinci bölümde verilen 2
1
2 .var
i
N
ii GOG formülü ile ve kovaryans
değerleri de yine ikinci bölümde verilen 2,21,11
2,1 .
ii
N
ii GGO [10] formülü
kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.
27
Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri.
Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını,
diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisin
diagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır.
Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri ve
varyans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’luk
getiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur.
Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142
X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ²
Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10
X + X + X + X + X = 1
X ,X ,X ,X ,X ≥ 0
Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindeki
oranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisinden
oluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getiri
kadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasını
sağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları model
eklenerek model tamamlanmıştır.
Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de
modellenmiştir.
Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323
28
Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi
B C D E F G H
2
3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
4 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000
5 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800
6 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300
7 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000
8 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400
9 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500
10 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300
11 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900
12 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500
13 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
14
15 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
16 Dönem 1
17 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0
18 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4
19 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3
20 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0
21 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1
22 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6
23 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3
24 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1
25 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0
26 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2
27
28 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
29 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
30 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
31 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
32 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
33 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323
34 Toplam
35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
36
37 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 0
38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0
39
29
C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde
=(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tüm
yatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.
C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde
=AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde
edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığına
kopyalanmıştır.
C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29
hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için
beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29
satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülü
kullanılarak yapılmıştır.
Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarların
hesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ile
optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’e
eşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine
=SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıt
da, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır.
Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde ki
hedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine
=SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrı
vektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur.
Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamaları
Aralık Tanım
C4:G13 Kapanış Değerleri
C17:G25 Aylık Getiriler
C26:G26 Ortalama Getiriler
C29:G33 Varyans-Kovaryans Matrisi
C35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki Payı
H35 Portföy Payları Toplamı
D37 Portföy Getirisi
D38 Hedeflenen Getiri
H37 Portföy Varyansı
H38 Portföy Standart Sapması
30
Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüller Hücre Formül
C17 =(C5-C4)/C4
C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.
C26 =AVERAGE(C17:C25)
C26:G26 aralığına kopyalanmıştır.
C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25)
C29:G29 aralığına kopyalanmıştır.
C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25)
C30:G30 aralığına kopyalanmıştır.
C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25)
C31:G31 aralığına kopyalanmıştır.
C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25)
C32:G32 aralığına kopyalanmıştır.
C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25)
C33:G33 aralığına kopyalanmıştır.
H35 =SUM(C35:G35)
D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35)
H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35)
H38 =SQRT(H37)
Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’de
görülmektedir.
Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde,
=SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir.
Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38
hücresinde,
=SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır.
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.
31
Şekil 3.1. Solver parametreleri
“Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipi
maksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda risk
minimize edilmektedir.
“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin
değerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints
(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak
kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan
H35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karar
değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model
Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim
modeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10
hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.
32
Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü
Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun
%23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da
4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırım
yapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarak
minimize edilmiştir.
3.3. Etkin Sınır:
Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeli
çözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir.
Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerin
varyansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleri
birleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğin
farklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo
3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’de
oluşturulmuştur.
B C D E F G H
3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
34 Toplam
35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %100
36
37 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.005354
38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172
33
Tablo 3.8. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıkları
Hedeflenen
Getiri
Portföy
Varyansı
Hisselerin Portföydeki Ağırlıkları
Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
%5.3 0.007179 1.000
%5.5 0.005889 0.970 0.030
%6.0 0.003642 0.879 0.077 0.045
%6.5 0.002010 0.782 0.119 0.095 0.004
%7.0 0.000989 0.685 0.161 0.144 0.010
%7.5 0.000580 0.588 0.203 0.193 0.016
%8.0 0.000749 0.477 0.222 0.041 0.246 0.015
%8.5 0.001324 0.352 0.222 0.117 0.301 0.008
%9.0 0.002280 0.228 0.222 0.192 0.356 0.001
%9.5 0.003618 0.104 0.221 0.267 0.408
%10.0 0.005354 0.235 0.329 0.436
%10.5 0.008169 0.333 0.328 0.339
%11.0 0.012440 0.428 0.326 0.238 0.008
%11.5 0.018167 0.522 0.323 0.137 0.017
%12.0 0.025349 0.617 0.320 0.036 0.027
%12.5 0.034189 0.757 0.243
%13.0 0.045745 0.924 0.076
%13.2 0.051944 0.998
34
Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği
Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyi
azaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföy
varyansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından A
noktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için C
noktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı risk
düzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanın
nedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki
Rx i
N
ii
1
. [13]
Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırda
istenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında bu
yaklaşım izlenmiştir.
Rx i
N
ii
.1
[13],
Hedeflenen Getiri
Risk (Portföy Varyansı) %4.0
0.01 0.02 0.03 0.04
%6.0
%8.0
%10.0
%12.0
%14.0
-0.01 0 0.05
C B
A
35
Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyi
gözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerinde
karşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse
5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş ve
portföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur.
Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi 34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 1
36
37 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.006651
38 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.081552
39
%7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyü
belirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve model
çözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyü
belirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksek
getirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belli
olduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarak
yer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimize
edilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan model
çözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Bu
portföy A ile aynı varyansa sahiptir.
36
Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması.
Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması
Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ile
karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarak
arttırmaktadır.
HedeflenenGetiri
Risk (Portföy Varyansı) 0.04
0.01 0.02 0.03 0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-0.01 0 0.05
A
B
C
7.7
10.3
X1=0.55 X2=0.22 X3=0.0 X4=0.21 X5=0.02
0.000588
X1=0.5 X2=0.0 X3=0.0 X4=0.0 X5=0.5
X1=0.0 X2=0.29 X3=0.33 X4=0.38 X5=0.0
0.0066
HedeflenenGetiri Risk (Portföy Varyansı)
0.04
0.01 0.02 0.03 0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-0.01 0 0.05
Hisse 1
Hisse 3 Hisse 5
Hisse 4
Hisse 2
37
3.4. LINGO ile Modelleme:
Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans
portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda
da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük
ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek
sağlayabilmesidir.
LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili
kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy
seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer
alan bileşenler açıklanmıştır.
MODEL:
! Standart Markowitz Portföy Modeli;
SETS:
HISSE/1..5/: ORT, X;
KOVMAT(HISSE,HISSE): V;
ENDSETS
DATA:
! Veri Setleri;
! Hisse senetlerinin beklenen getirisi;
ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;
! Kovaryans matrisi;
V =
0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;
! Portföyün hedeflenen getirisi;
GETIRI = 0.10;
ENDDATA
! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;
[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));
! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;
[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI;
! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı;
[YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END
38
3.5.Model ile İlgili Açıklamalar:
Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen
HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)
elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır.
Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hisse
senetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelin
karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), i
hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir.
Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç
fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18]
Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki
gibi gösterilmiştir.
@SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18]
Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki
ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerinin
portföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır.
@SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18]
Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hisse
senetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ün
üzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.
39
4. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ
Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyans
portföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işlemin
belli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerde
yatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek için
model bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içeren
model tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini de
içerecek şekilde çözülecektir.
4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi:
Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yeni
değişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföye
alınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranları
da modelde mi ile gösterilecektir.
İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılan
varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması
kısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken,
portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-gider
korunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir.
01.1.11
N
iiai
N
iisi mxmx [20], [21]
Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri elde
edilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş ve
bunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıda
görülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.
40
Ni
xxbx siaiii
,...,10
[20], [21]
Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını, 푥
şlemlerden sonra elde kalan oranını, 푥 ve 푥 ’de i varlığından alınan ve satılanların
oranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir.
00
01.1.
.
..
...
11
1
1 1
i
siaiii
N
iiai
N
iisi
i
N
ii
ij
N
ij
N
ji
xxxbx
mxmx
Rx
ts
xxMin
[20], [21]
Burada,
N : mevcut varlık sayısı,
µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N),
ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N),
: i = j için i varlığının varyans değeri,
R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
ib : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N),
ix : karar değişkenleri,
: i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N),
six : karar değişkenleri,
: i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ six ≤ 1), (i = 1,..,N),
aix : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ aix ≤ 1),
(i = 1,..,N),
im : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),
41
4.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği:
Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5
adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitz
portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve
çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5
hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleri
yapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık hali
aşağıda görülmektedir.
Min. 0.0072X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519X ² +
0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111X ² +
0.0070 X .X + 0.0323 X ²
Kısıtlar,
0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10
0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X –
1.01X ≥ 0
X – 0.30 - X + X = 0
X – 0.10 –X + X = 0
X – 0.10 – X + X = 0
X – 0.20 – X + X = 0
X – 0.30 –X + X = 0
X ,X , X ,X , X ≥ 0
Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçim
modeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklı
olarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarak
eklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıkların
oranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.
42
Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin Excel’de gösterimi
B C D E F G
2
3 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
4 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2
5 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.0
6 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.0
8
9 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
10 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
11 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
12 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
13 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
14 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323
15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3
17 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0
18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7
19 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.0
20
21 Portföy Getirisi %10.0
22 Hedeflenen Getiri %10.0
23
24 Portföyden Satışlar %58.7
Portföy Varyansı 0.0058
25 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.0759
26 Nakit Akış Dengesi %-0.0
C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin
1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse
1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıç
portföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşit
olması sağlanmıştır.
C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye
alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresinde
portföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1-
C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan
43
alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17)
formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25
formülüyle elde edilmiştir.
Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’de
görülmektedir.
Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül
C4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16
C19:G19 aralığına kopyalanmıştır.
C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18)
C6:G6 Başlangıç Portföy
Yapısı
C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16)
C10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17)
C16:G16 Portföyden
Çıkanlar
(Karar D.)
C26 =C24-C25
C17:G17 Portföye Alınanlar
(Karar D.)
G24 =SUMPRODUCT
(MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18)
C18:G18 Yeni
Portföy (Karar D.)
G25 =SQRT(G24)
C19:G19 Denge Eşitlikleri
C21 Portföy Getisi
C22 Hedeflenen Getiri
C24:C26 Nakit Akış Dengesi
G24 Portföy Varyansı
G25 Portföy Standart
Sapması
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.
44
Şekil 4.1. Solver parametreleri
“Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi
minimizasyon olarak belirtilir.
“By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin
değerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints
(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacak
kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0,
portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklara
ödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını
sağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan
C16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır.
Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak
portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içeren
Markowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10,
0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.
45
Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü
Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamen
satılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı
%15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla
%32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahip
olmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföy
içerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir.
Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğu
fark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetleri
nedeniyle yok olmasıdır.
4.3. LINGO ile Modelleme:
Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans
portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda
da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük
ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek
sağlayabilmesidir.
LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili
kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy
seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer
alan bileşenler açıklanmıştır.
B C D E F G
15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3
17 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0
18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7
46
MODEL:
! Standart Markowitz Portföy Modeli;
SETS:
HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X;
KOVMAT(HISSE,HISSE): V;
ENDSETS
DATA:
! Veri Setleri;
! Hisse senetlerinin 1 dönem sonraki beklenen getirisi;
ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;
! Kovaryans matrisi;
V =
0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;
! İşlem maliyetleri;
MLYT = 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01;
! Portföyün başlangıç durumu;
START = 0.30 0.10 0.10 0.20 0.30;
! Portföyün hedeflenen getirisi;
GETIRI = 0.10;
ENDDATA
! Model;
! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;
[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));
! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;
[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT(ı) * X(ı)) >= GETIRI;
! Bütçe Kısıtı: Satislar, alimlar ve islem maliyetlerini karsilamali;
@SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) >= 0;
!Her hisse icin denge esitlikleri;
@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I););
END
4.4.Model ile ilgili açıklamalar:
Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen
HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
47
HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)
elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır.
Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. START
başlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren kara
değişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karar
değişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenen
getirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmak
için tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım
yüzdesine karşılık gelmektedir.
Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç
fonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25]
Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı
aşağıdaki gibi gösterilmiştir.
@SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25]
Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki
ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların,
alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır.
@SUM(HISSE(I):
SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25]
Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir.
@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25]
Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır.
Modelin çözümü ektedir.
48
5. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSK ÖLÇÜTLERİ
Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları göz
önünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si),
yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getiri
listesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adet
senaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir.
Şekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu.
Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryoları
belirlemesi gerekmektedir. Her bir js senaryosu n adet enstrümanın o senaryo
doğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla ijr i varlığının j senaryosuna göre
getirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya da
bunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföy
optimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.
Fiyat Düzeyi
Portföy kararı
Rassal Getiriler
Senaryo 1
Senaryo 2
Senaryo m t t +1 Dönem
Senaryo 3
49
5.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu:
Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföy
getirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir js senaryosunun gerçekleşmesi sonucu elde
edilecek portföy getirisi, jr , o senaryo altında varlıkların getirileri, ijr , ile varlıkların
portföy ağırlıklarının ix çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir.
jr =
N
iiij xr
1
. (j = 1,…,M) [26]
Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici,
gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını bir
değişken olarak modele dahil etmelidir. Bu jd değişkenlerinin her bir senaryo için
senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdaki
gibi oluşturulur.
jd = jr – R (j = 1,…,M) [26]
Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda jd negatif
değer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır.
Bu nedenle jd değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır.
Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, jr , ile gerçekleşme olasılıklarının, jp ,
çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen bir
diğer kısıttır.
M
jjj rp
1
. R [26]
50
Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı da
aşağıdaki şekilde oluşturulur.
N
iix
1
= 1 [26]
Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesi
olarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenen
getiriden sapmasını gösteren jd değişkenleri ile senaryoların gerçekleşme
olasılıklarının, jp , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaç
fonksiyonu olarak gösterilebilir.
Min.
M
jjj dp
1
2).( [26]
Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel
model elde edilir.
Min.
M
jjj dp
1
2).(
s.t.
jr =
N
iiij xr
1
. (j = 1,…,M)
jd = jr – R (j = 1,…,M)
N
iix
1
= 1 [26], [27]
M
jjj rp
1
. R
51
ix 0, i = 1,…,N
jd , sınırsız j = 1,…,M
Burada,
N mevcut varlık sayısı,
M senaryo sayısı,
jp j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),
jr r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),
ijr i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),
R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
ix i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),
jd senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j =
1,…,N)
Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaç
fonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ile
kolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin her
biri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföy
optimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynı
çıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföy
seçim modelinin farklı bir gösterimdir.
5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği:
Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adet
hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her
biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak
Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.
52
Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda,
senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryoların
gerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt her
bir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarının
çarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıt
ise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındaki
fark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1
olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasını
sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenen
getirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsız
olarak tanımlanmıştır.
Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üst
sınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir.
Min. 0.111 2
1d + 0.111 2
2d + 0.111 2
3d + 0.111 2
4d + 0.111 2
5d + 0.111 2
6d + 0.111 2
7d + 0.111
28d + 0.111
29d
Kısıtlar,
1r – ( 0.10 1x + 0.20 2x + 0.10 3x + 0.014 4x + 0.20 5x ) = 0
2r – ( 0.036 1x + 0.146 2x + 0.152 3x – 0.07 4x – 0.104 5x ) = 0
3r – ( 0.14 1x - 0.273 2x - 0.132 3x + 0.167 4x + 0.163 5x ) = 0
4r – ( -0.077 1x + 0.475 2x + 0.212 3x + 0.039 4x + 0.28 5x ) = 0
5r – ( 0.117 1x + 0.085 2x + 0.075 3x – 0.063 4x – 0.141 5x ) = 0
6r – ( -0.03 1x + 0.156 2x – 0.116 3x + 0.267 4x – 0.036 5x ) = 0
7r – ( 0.154 1x - 0.189 2x + 0.289 3x + 0.158 4x + 0.113 5x ) = 0
8r – ( -0.067 1x + 0.40 2x + 0.122 3x + 0.091 4x + 0.441 5x ) = 0
9r – ( 0.10 1x + 0.19 2x + 0.218 3x + 0.125 4x + 0.00 5x ) = 0
1d - 1r = -0.10
2d - 2r = -0.10
3d - 3r = -0.10
53
4d - 4r = -0.10
5d - 5r = -0.10
6d - 6r = -0.10
7d - 7r = -0.10
8d - 8r = -0.10
9d - 9r = -0.10
1x + 2x + 3x + 4x + 5x = 1
0.111 1r + 0.111 2r + 0.111 3r + 0.111 4r + 0.111 5r + 0.111 6r + 0.111 7r + 0.111 8r + 0.111 9r 0.10
1x , 2x , 3x , 4x , 5x 0
1r , 2r , 3r , 4r , 5r , 6r , 7r , 8r , 9r 0
1d , 2d , 3d , 4d , 5d , 6d , 7d , 8d , 9d , sınırsız
Tablo 5.1’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de
modellenmiştir.
Tablo 5.1. Senaryo optimizasyon modelinin Excel’de gösteri
B C D E F G H I J K
2 Senaryo Senaryo Hedeften Denge
3 Senaryolar Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi Fark Kısıtları
4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %-1.4 0%
5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %11.1 %5.3 %-4.7 0%
6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %11.1 %-3.5 %-13.5 0%
7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %11.1 %19.9 %9.9 0%
8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %11.1 %1.7 %-8.3 0%
9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %11.1 %11.5 %1.5 0%
10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %11.1 %12.0 %2.0 0%
11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %11.1 %17.4 %7.4 0%
12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %11.1 %17.1 %7.1 0%
54
13
14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%
16
17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535
18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir.
Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9
H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15)
I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4
K4:K12 aralığına kopyalanmıştır J4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen
Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)
H15 =SUM(C15:G15)
K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar
Değişkeni) K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12)
H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17) D17 Portföy Getirisi D18 Hedeflenen Getiri K17 Portföy Varyansı K18 Portföy Standart Sapması
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.
55
Şekil 5.2. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi
minimizasyon olarak belirtilir.
“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının
hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların
hesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)”
bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1,
hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını,
senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karar
değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model
Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim
modeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin
%10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir.
Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H I J K
14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%
16
17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535
18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
56
Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşit
alındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ile
aynıdır.
5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski:
Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryoların
beklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysa
senaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir risk
unsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenen
getirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımda
amaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek iki
ölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf
(downside) riskidir.
Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan jd sapma değişkeni,
hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. jd
hedeften pozitif yönde sapmayı, jd ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir.
Dolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir.
jd = jd +
jd [19]
Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçim
modelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.
57
Min. 2
1
).(
jj
M
jj ddp [19]
Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanın
altındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir.
Min. 2
1
).(
j
M
jj dp [19]
Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur.
Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır.
Min.
j
M
jj dp .
1
[19]
Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen
getirinin farkı olduğunu gösteren jd = jr - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir.
jj dd = jr - R (j=1,…,M) [19]
Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsız
olarak tanımlanması gerekmektedir.
Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryo
tabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeli
istediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir.
Min. 2
1
).(
jj
M
jj ddp ya da
58
Min. 2
1
).(
j
M
jj dp ya da
Min.
j
M
jj dp .
1 [20],[23], [24]
kısıtlar
jr =
N
iiij xr
1
. (j = 1,…,M)
jj dd = jr - R (j=1,…,M)
N
iix
1
= 1
M
jjj rp
1
. R [20],[23], [24]
ix 0, i = 1,…,N
jd 0, i = 1,…,M
Burada,
N mevcut varlık sayısı,
M senaryo sayısı,
jp j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),
jr r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),
ijr i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),
R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
ix i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),
jd senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni)
(j = 1,…,N) jd senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni)
(j = 1,…,N)
59
5.4. Farklı Risk Ölçütleri ile Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği:
Bu kısımda, ele alınacak hisse senetleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse
senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri,
gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak
Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Amaç fonksiyonu olarak ise
yarı varyans kullanılmıştır. Karar verici alt taraf riskini de amaç fonksiyonu olarak
tanımlayabilir.
Min. 0.111 21 )( d + 0.111 2
2 )( d + 0.111 2
3 )( d + 0.111 24 )( d + 0.111
25 )( d + 0.111
26 )( d +
0.111 2
7 )( d + 0.111 2
8 )( d + 0.111 2
9 )( d
Kısıtlar,
1r – ( 0.10 1x + 0.20 2x + 0.10 3x + 0.014 4x + 0.20 5x ) = 0
2r – ( 0.036 1x + 0.146 2x + 0.152 3x – 0.07 4x – 0.104 5x ) = 0
3r – ( 0.14 1x - 0.273 2x - 0.132 3x + 0.167 4x + 0.163 5x ) = 0
4r – ( -0.077 1x + 0.475 2x + 0.212 3x + 0.039 4x + 0.28 5x ) = 0
5r – ( 0.117 1x + 0.085 2x + 0.075 3x – 0.063 4x – 0.141 5x ) = 0
6r – ( -0.03 1x + 0.156 2x – 0.116 3x + 0.267 4x – 0.036 5x ) = 0
7r – ( 0.154 1x - 0.189 2x + 0.289 3x + 0.158 4x + 0.113 5x ) = 0
8r – ( -0.067 1x + 0.40 2x + 0.122 3x + 0.091 4x + 0.441 5x ) = 0
9r – ( 0.10 1x + 0.19 2x + 0.218 3x + 0.125 4x + 0.00 5x ) = 0
11 dd - 1r = -0.10
22 dd - 2r = -0.10
33 dd - 3r = -0.10
44 dd - 4r = -0.10
55 dd - 5r = -0.10
66 dd - 6r = -0.10
60
77 dd - 7r = -0.10
88 dd - 8r = -0.10
99 dd - 9r = -0.10
1x + 2x + 3x + 4x + 5x = 1
0.111 1r + 0.111 2r + 0.111 3r + 0.111 4r + 0.111 5r + 0.111 6r + 0.111 7r + 0.111 8r + 0.111 9r 0.10
1x , 2x , 3x , 4x , 5x 0
1r , 2r , 3r , 4r , 5r , 6r , 7r , 8r , 9r 0
1d ,
2d ,
3d ,
4d ,
5d ,
6d ,
7d ,
8d ,
9d ≥ 0
1d ,
2d ,
3d ,
4d ,
5d ,
6d ,
7d ,
8d ,
9d ≥ 0
Tablo 5.4’te senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de
modellenmiştir.
61
Tablo 5.4. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyonun Excel’de gösterimi
Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.5’te görülmektedir.
B C D E F G H I J K L
2 Senaryo Senaryo Hedeften Fark Denge
3 Senaryo Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi (+) (-) Kısıtları
4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %1.1 - 0%
5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %4.1 %5.3 - %5.9 0%
6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %-2.0 %-3.5 - %12.0 0%
7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %21.5 %19.9 %11.5 - 0%
8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %1.0 %1.7 - %9.0 0%
9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %9.2 %11.5 - %0.8 0%
10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %9.3 %12.0 - %0.7 0%
11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %21.1 %17.4 %11.1 - 0%
12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %14.7 %17.1 %4.7 - 0%
13
14 Portföy Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
15 Dağılım %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 100%
16
17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00601
18 Hedeflenen Getiri 10% Portföy Yarı-Varyansı 0.0029
19 Portföy AltTaraf Riski 0.03163
62
Tablo 5.5. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9
H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15)
I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri L4 =I4-$D$18-J4+K4
L4:L12 aralığına kopyalanmıştır J4:K12 Senaryo Getirilerinin
Hedeflenen Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)
H15 =SUM(C15:G15)
L4:L12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı
(Karar Değişkeni) L17 =SUMPRODUCT(((J4:J12)+(K4:K12))^2,H4:H12)
H15 Portföy Payları Toplamı L18 =SUMPRODUCT(H4:H12,(K4:K12)^2) D17 Portföy Getirisi L19 =SUMPRODUCT(H4:H12,K4:K12) D18 Hedeflenen Getiri L17 Portföy Varyansı L18 Portföy Yarı Varyansı L19 Portföy Alt Taraf Riski
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 5.3’da Solver parametreleri görülmektedir.
Şekil 5.3. Solver parametreleri
“Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırlandığı L18 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi
minimizasyon olarak belirtilir.
63
“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının
hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların
hesaplanacağı J4:K12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)”
bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan
H15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo
sapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren L4:L12 = 0 ve karar
değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 ve J4:K12 ≥ 0
kısıtlarıdır.
Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak
portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.5’de senaryo tabanlı portföy
optimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için farklı risk ölçütleri ile
çözümünün sonuçları görülmektedir.
Tablo 5.6. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyon modelinin çıktıları Amaç Fonksiyonu Portföy Ağırlıkları
Kriteri Değeri Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Varyans 0.005354 - %23.5 %32.9 %43.6 -
Yarı-Varyans 0.002898 %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 Alt Taraf Riski 0.028227 %6.5 %28.1 %30.4 %35.0 -
5.5. LINGO ile Modelleme:
Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Senaryo optimizasyon
modeli portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama
platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel
motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha
etkin destek sağlayabilmesidir.
LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili
kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Senaryo optimizasyon modeli portföy
seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer
alan bileşenler açıklanmıştır.
64
MODEL:
! Senaryo optimizasyon modeli;
SETS:
SENARYO/1..9/: OLASI, R, USTS, ALTS;
HISSE/1..5/: X;
SXH( SENARYO, HISSE): SE;
ENDSETS
DATA:
HEDEF = 0.10;
! Senaryo Getirileri;
SE =
0.10 0.20 0.10 0.01 0.20
0.04 0.15 0.15 -0.07 -0.10
0.14 -0.27 -0.13 0.17 0.16
-0.08 0.48 0.21 0.04 0.28
0.12 0.08 0.08 -0.06 -0.14
-0.03 0.16 -0.12 0.27 -0.04
0.15 -0.19 0.29 0.16 0.11
-0.07 0.40 0.12 0.09 0.44
0.10 0.19 0.22 0.13 0.00
! Tüm senaryoların olasılıkları birbirine eşittir;
OLASI= 0.11111;
ENDDATA
! Ortalama getiri;
ORT = @SUM( SENARYO: OLASI * R);
! Hedef getirinin sağlanması kısıtı;
ORT >= HEDEF;
! Senaryo getirileri;
@FOR( SENARYO (J): R(J) = @SUM( HISSE(I): SE(J;I) * X(I)));
! Denge Kısıtları;
@FOR( SENARYO (J): USTS(J) – ALTS(J) = R(J) – ORT);
! Bütçe Kısıtı;
@SUM( HISSE: X) = 1;
! Risk Ölçütleri;
[VARYANS] VAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (USTS + ALTS)^2);
[SVARYANS] SVAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (ALTS)^2);
[ALTBRISK] ALTRISK = @SUM( SENARYO: OLASI * ALTS);
! Amaç Fonksiyonu;
[AMAC] MIN = SVAR;
END
Model LINGO çözücüsünde yarı varyansı minimize edecek şekilde çözüldüğünde
aşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Modelin çözümü ektedir.
65
6. MATERYAL ve METOD
6.1. Materyal
6.1.1. İMKB’de Hisse Senedi Endeksleri ve Hisse Senetleri Endeksleri
Borsanın Sermaye Piyasası Kanununa ve İMKB Teşkilat Görev ve Çalışma
Esasları Yönetmeliği hükümlerine göre çeşitli tanımları yapılabilir. Sermaye piyasası
araçlarının işlem göreceği borsalar, özel kanunlarında yazılı esaslar çerçevesinde
teşkilatlanarak, menkul kıymetlerin ve diğer sermaye piyasası araçlarının güven ve
istikrar içinde, serbest rekabet şartları altında kolayca alınıp satılabilmesini sağlamak ve
oluşan fiyatları tespit ve ilan etmekle yetkili olarak kurulan kamu tüzel kişiliğine haiz
kurumlardır.
Ayrıca başka bir tanımda İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB), Menkul
Kıymetler Borsaları hakkında 91 sayılı KHK ile kuruluş yetkilerini kendi sorumluluğu
altında bağımsız olarak kullanan ve Sermaye Piyasası’nın gözetim ve denetimi altında
olan tüzel kişiliği haiz kamu kurumlarıdır. Menkul kıymet borsalarının kuruluşu,
SPK’nın önerisi üzerine Maliye Bakanlığı’nın iznine bağlıdır. Menkul kıymetler
borsaları SPK’nın gözetim ve denetimine tabidir. Borsaların malı devlet malı
hükmündedir.
İMKB Hisse Senedi Pazar Endeksleri, Borsa’da işlem gören hisse senetlerinin
fiyat ve getirilerinin bütünsel ve sektörel baz da performanslarının ölçülmesi amacıyla
oluşturulmuştur. İMKB fiyat endeksleri tüm seans süresince, getiri endeksleri ise sadece
seans sonunda hesaplanmakta ve yayınlanmaktadır.
66
6.1.2.İMKB Ulusal 30 Endeksi’nde Optimum Portföy Oluşturma
Vadeli işlemler Pazarı’nda kullanılmak üzere menkul değer yatırım ortaklıkları
hariç Ulusal Pazar’da işlem gören ortaklıklardan, hisse senetlerinin seçim ölçütlerine
göre seçilen 30 pay senedinden oluşmaktadır. .
Endeks, birçok veriyi dikkate alarak hızlı ve doğru bir şekilde sonuca
ulaşılmasını sağlayan indikatör olarak tanımlanabilir. Bir veya daha fazla değişkenin
hareketlerinden ibaret olan oransal değişimi ölçmeye yarayan bir göstergedir. Karmaşık
olayların tek bir rakama indirgenmesini sağlayan, olaylar ve sonuçları hakkında
yaklaşık bilgi verebilen bir araç olan endeks değerleri kullanılırken kapsamı, temsil
yeteneği, hesaplama yöntemi ve sıklığı, avantajları, dezavantajları ile endeks üzerine
yansımayan diğer faktörlerin neler olduğu iyi bilinmelidir. Endeksi “belirli bir kollektif
olayın aldığı değerlerde zaman süresince veya mekan içinde meydana gelen değişmeleri
göstermek amacıyla hesaplanan oransal bir ölçü” şeklinde tanımlayabiliriz. Farklı
zaman dilimi içindeki iki veya daha fazla değişkeni karşılaştırma imkanı veren
endeksler, içerisine dahil olan değişken ve değişkenlerin yönü, değişimi ve gidişatını
belirlemede bize yardımcı göstergelerdir ve bu sebeple tahmin aracı olarak da
kullanılmaktadırlar. Endekslerden; üretim, fiyatlar, geçim, işçi gündelikleri, dış ticaret
ve borsa gibi daha pek çok alanda yararlanılmaktadır. Yukarıdaki tanımlamalarda da
belirtildiği gibi endeksler farklı zaman dilimleri içinde veya farklı mekanlarda bulunan
bir veya birden fazla değişkeni mukayese etme imkanı sağlayan göstergelerdir. Gerekli
mukayese ve tahmin çalışmalarını sağlıklı bir şekilde yapabilmemiz için endeksleri
oluştururken bazı noktalara dikkat edilmelidir;
• Temsil etmesi hedeflenen değişkenler iyi tanımlanmalıdır.
• Endeksleri hesaplamada kullanılacak verilerin sürekliliği ve
karşılaştırılabilirliğine özen gösterilmelidir. Böylece, hesaplanan endekslerin
zaman içinde sürekliliği sağlanmış olur.
• Kapsama alınacak örnekler endeksin amacıyla uyumlu olacak ve değişkenleri
hedeflenen şekilde temsil edecek örnekler olmalıdır.
• Endeksler, serideki değerlerden birini baz alıp, diğerlerinin bu baza göre değişim
oranını gösterdiği için baz döneminin tesbiti önemlidir.
67
• Endeksi oluşturan değerlere verilmesi gereken ağırlıkların seçimi ve zaman
içinde değiştirilmesi veya sabitliği de önemlidir.
• Endeksin hesaplama yöntemi, serideki değişimleri doğru göstermesi bakımından
endeksin başarısını etkiler.
Çalışmamızda bizi yakından ilgilendiren Hisse Senedi Endeksleri olacaktır.
Hisse senedi piyasasının genel bir göstergesi olan hisse senedi endeksleri fiyatlar baz
alınarak oluşturulmakta ve genellikle piyasanın anlık durumu hakkında bize fikir
vermektedir. Oluşturulan bu endekslere "Fiyat Endeksleri" denmekte ve menkul kıymet
borsalarına kote olan şirketlerin oluşturdukları endüstri ve sektör gruplarının
performansının ölçülmesine yardımcı olmaktadır. 1884 yılından beri kullanılmakta olan
hisse senedi endeksleri (stock indexes and averages) dünyadaki çeşitli yatırım
kuruluşları ve borsalar tarafından farklı farklı hesaplanmaktadır.
6.1.3. Amaç, Kapsam ve Varsayımlar
Bu uygulamanın amacı Ocak 2011- Haziran 2011 ve Ocak 2011- Ocak 2012
dönemleri içerisinde İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetlerinden farklı beklenen
getiri ve risk düzeylerinde, Markowitz’in ortaya koymuş olduğu etkinlik sınırı üzerinde
yer alan farklı portföy bileşimleri elde etmektir. İMKB 30 endeksinde yer alan hisse
senetleri belirli dönemlerde değişiklik göstermektedir. Bu değişiklikler İMKB
tarafından duyurulmaktadır. Uygulamada kullanılan hisse senetleri, çalışmanın son
dönemi olan Ocak 2012 itibariyle İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleridir.
Çalışmanın varsayımları şunlardır:
1. Yatırım İMKB 30 endeksiyle sınırlıdır.
2. Yatırımcılar riskten kaçma eğilimindedir. Aynı beklenen getiri düzeyinde en düşük
riski, aynı risk düzeyinde ise en yüksek getiriyi seçecektir.
3. Portföyde yer alan hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı 1’dir.
68
4. Hisse senedi getirileri ile ilgili vergiler, alım-satım komisyonları ve transfer
maliyetleri sıfırdır.
5. Tüm yatırımcılar için risksiz faiz oranı aynıdır.
6. Yatırımcılar bilgiye anında ve serbestçe ulaşabilmektedir.
7. Yatırımcılar homojen beklentilere sahiptir.
8. modelin uygulanmasında açığa satışın olmadığı varsayılmıştır.
6.2. METOD
Rasyonel davranan yatırımcılar en yüksek getiriyi en düşük risk ile elde etmek
isterler. Fakat beklenen getiri düzeyinin yükseldiği durumlarda riskde yükselecektir.
Yatırımcı kendine öyle bir nokta seçmelidir ki; bu noktada getiri en yüksek ve risk en
düşük düzeyde olsun. Bu oluşumu sağlayacak noktalar bütünü bizi etkin sınıra
ulaştıracaktır. Etkin sınır üzerinde yatırımcının seçeceği nokta kendisinin fayda eğrisine
bağlıdır. Bu eğrilerin kişilerin tercihlerine göre değişebileceğini düşünürsek optimum
portföyü oluşturacak noktaların da kişiden kişiye değişebileceği sonucuna ulaşabiliriz.
Optimum portföylerin oluştukları noktalar birbirlerinden farklı olabilir. Ancak temelde
bütün tercih sahipleri getiri-risk ilişkisini ve tercih edecekleri senedin pazar
hareketlerine ne yönde tepki gösterdiğini dikkate alır. Bu noktadan hareketle optimum
portföyü oluştururken iki farklı yöntem kullanılacak. Birincisi getiri-risk ilişkisi diğeri
ise beta faktörüdür.
6.2.1. Getiri Risk İlişkisi
Optimum portföyü getiri-risk ilişkisini kullanarak oluşturmayı denersek,
ulaşmamız gereken bir takım değerler vardır. Öncelikle optimum portföyü oluşturacak
kıymetlerin getirileri ve bu getirilerin ortalama Pazar getirisinden ne kadar sapma
69
gösterdikleri (riskleri) bulunacaktır. Bir getiri değerine ulaşılabilmesi için en az iki
dönem arasında ki fiyat değişimlerinin bilinmesi gerekir. Bunun için bir tam yıl iki eşit
parçaya bölünmüştür. Oluşturulan üç tarih noktasında İMKB-30 Endeksi’nde bulunan
hisse senetlerin fiyatları belirlenmiştir. 21.06.2011 tarihiyle başlayıp 21.12.2011
tarihiyle son bulan aralık birinci dönemi, 21.12.2011 tarihiyle başlayıp 21.06.2012
tarihiyle son bulan aralık ise ikinci dönemi oluşturmaktadır.
Tablo 6.1’de İMKB-30 Endeksini oluşturan hisse senetlerinin iki dönemlik
getirileri aşağıda verilen formüllere bağlı olarak hesaplanmıştır.
Pazarın riski= Bütün risklerin ortalamasıdır. [ 21 ], [ 28]
Pazarın beklenen getirisi= tüm ortalama getirilerin toplamı / ortalama getirilerin sayısı
[ 21] , [ 28]
Risksiz faiz oranı= Eğer enflasyon beklenmiyorsa, geri ödenmeme riski olmayan hazine
bonolarının faiz oranı.
Ortalama getiri = (1.dönem getiri + 2.dönem getiri)/2 [21], [28]
70
Tablo 6.1: Hisse senetleri kapanış verileri ve hesaplanan getiri değerleri Sayı Şirket
Kodları 21.06.2011 21.12.2011 21.06.2012 1.Dönem Getiri 2.Dönem Getiri Ortalama Getiri
1 ADANA 5.70 4.63 3.64 -0.187719298 -0.213822894 -0.200771096 2 AKENR 3.11 3.75 2.09 0.205787781 -0.442666666 -0.118439442 3 ATEKS 3.50 5.01 3.85 0.431428571 -0.231536926 0.099945822 4 AKSA 3.79 5.56 4.51 0.467018469 -0.18884892 0.139084774 5 ALARK 3.49 3.45 3.16 -0.011461318 -0.086705202 -0.04908326 6 ALCTL 3.12 4.08 3.07 0.307692307 -0.247549019 0.030071644 7 ANACM 3.18 3.95 2.97 0.242138364 -0.248101265 0.0029814505 8 AYEN 3.02 2.86 1.27 -0.052980132 -0.555944055 -0.304462093 9 BANVT 4.91 4.36 3.08 -0.112016293 -0.293577981 -0.2022870455 10 BOYNR 3.74 3.68 2.82 -0.01604278 -0.233695652 -0.124869216 11 BURVA 3.04 3.34 4.27 0.09868421 0.278443113 0.188563661 12 BUCIM 4.82 5.16 4.37 0.070539419 -0.153100775 -0.041280678 13 CRDFA 3.04 3.90 3.02 0.282894736 -0.225641025 0.028626855 14 CELHA 3.82 4.56 3.27 0.193717277 -0.282894736 -0.044588729 15 DERIM 4.19 4.69 3.31 0.119331742 -0.29424307 -0.087455664 16 DITAS 3.22 3.40 2.76 0.055900621 -0.188235294 -0.066167336 17 DGZTE 3.20 2.65 1.66 -0.171875 -0.373584904 -0.272729952 18 ECYAP 3.05 3.20 3.02 0.049180327 -0.05625 -0.0035348365 19 ESCOM 4.97 8.60 6.92 0.730382293 -0.195348837 -0.195348837 20 FFKRL 3.45 3.78 3.85 0.095652173 0.018518518 0.018518518 21 IHGZT 4.59 2.78 1.52 -0.394335512 -0.45323741 -0.423786461 22 IZMDC 4.30 3.84 3.74 -0.106976744 -0.026041666 -0.066509205 23 KLMSN 3.34 4.07 2.43 0.218562874 -0.402948402 -0.092192764 24 KORDS 3.62 4.76 3.76 0.314917127 -0.210084033 0.052416547 25 KOZAA 4.33 4.83 3.82 0.115473441 -0.20910973 -0.046818144 26 LINK 4.65 5.82 3.82 0.251612903 0.251612903 -0.046014854 27 MUTLU 4.61 5.20 4.40 0.127982646 -0.153846153 -0.012931753 28 PINSU 4.59 4.80 3.47 0.045751633 -0.2770833333 -0.11566585 29 PIMAS 4.17 3.56 4.17 -0.146282973 0.171348314 0.01253267 30 SANKO 4.72 4.82 3.80 0.02118644 -0.211618257 -0.095215908 Σ 117.28 129.09 101.84
Bu hesaplama yapılırken iki tarihte oluşan fiyatlar arasında ki fark, ilk tarihteki
fiyata bölünmüştür. Bunu 1 numaralı hisse senedimiz olan ADANA ÇİMENTO‘nun
üzerinde örnekleyelim.
21.06.2011 tarihli fiyat = 5,70
21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63
1.DÖNEM GETİRİ = (4,63-5,70)/5,70
=-0,187 Yaklaşık %19’luk azalış
71
21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63
21.06.2012 tarihli fiyat = 3,64
2.DÖNEM GETİRİ = (3,64-4,63)/4,63
= -0,213 Yaklaşık % 21’lik bir azalış
İki döneme ait getiriler hesaplandıktan sonra her bir senedin pazar getirisinden
ne kadar sapma gösterdiklerini bulmaya sıra geliyor. Bu sapmayı bulabilmek için ilk
önce pazarın ortalama getirisine ihtiyacımız olacak. Pazarın ortalama getirisi, kendisini
oluşturan hisse senetlerinin getirilerinin ortalamasıdır. Hisse senetlerine ait bulduğumuz
getirilerin ortalaması alınarak tek bir getiri değerine ulaşılmıştır.
ADANA ÇİMENTO Hisse Senedinin ortalama getirisi aşağıdaki gibi hesaplanır;
Ortalama Getiri = (1.Dönem Getiri+2. Dönem Getiri)/2
= (-0,187+(-0,213))/2
=-0,200 Yaklaşık % 20 azalış
Diğer hisse senetlerinin ortalama getirileri de aynı şekilde bulunarak tablo 6.1’de
gösterilmiştir.
Tablo 6.1‘de gösterildiği gibi 1.dönem getiriler ve 2.dönem getiriler
hesaplandıktan sonra, hesaplanan bu getiriler yardımıyla Tablo 6.2’ de Risk değerleri
daha sonraki aşamalarda portföy seçiminde hisse senetlerinin getirilerini
belirleyebilmede kullanmak için hesaplanmıştır. Risk değerleri aşağıdaki formüle göre
hesaplanmıştır.
Risk tanımı= (1.dönem getiri – 2.dönem getiri)/2 [ 21], [ 28]
72
Tablo 6.2: Hisse senetlerinin hesaplanan ortalama getiri ve risk değerleri
Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk
1 ADANA -0.200771096 0.013051798
2 AKENR -0.118439442 0.324227223
3 ATEKS 0.099945822 0.331482748
4 AKSA 0.139084774 0.327933694
5 ALARK -0.04908326 0.037621942
6 ALCTL 0.030071644 0.277620663
7 ANACM 0.0029814505 0.245119814
8 AYEN -0.304462093 0.251481961
9 BANVT -0.2022870455 0.090780844
10 BOYNR -0.124869216 0.108826436
11 BURVA 0.188563661 -0.089879451
12 BUCIM -0.041280678 0.111820097
13 CRDFA 0.028626855 0.25426788
14 CELHA -0.044588729 0.238306006
15 DERIM -0.087455664 0.206787406
16 DITAS -0.066167336 0.122067957
17 DGZTE -0.272729952 0.100854952
18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163
19 ESCOM 0.267516728 0.462865565
20 FFKRL 0.057085345 0.057085345
21 IHGZT -0.423786461 0.029450949
22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539
23 KLMSN -0.092192764 0.310755638
24 KORDS 0.052416547 0.26250058
25 KOZAA -0.046818144 0.162291585
26 LINK -0.046014854 0.297627757
27 MUTLU -0.012931753 0.140914399
28 PINSU -0.11566585 0.161417483
29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643
30 SANKO -0.095215908 0.116402348
73
6.2.2. Beta’nın Hisse Senetleri Getirileri Üzerindeki Etkisi
Piyasadaki değişmelerin ışığında hisse senedi seçiminde Beta katsayılarından
yararlanılır. Daha öncelerde de ayrıntılı bir biçimde incelediğimiz risk, bir hisse senedi
getirisinin piyasa portföyünde ki dalgalanmalara duyarlılığı ile ölçülebilir.
Bu duyarlılık hisse senedinin betasıdır. Piyasada bir yükselme bekleniyorsa en
büyük beta katsayısına sahip hisse senetleri, piyasada bir düşme bekleniyorsa en küçük
Beta katsayısına sahip hisse senetleri portföye alınmalıdır. Şimdi ayrı ayrı İMKB-30
endeksine tabi hisse senetlerinin betalarını bulmaya çalışacağız.
Bulduğumuz bu beta değerlerini sermaye pazarı doğrusu formülünde yerine
koyarak beklenen getiri oranlarını bulacağız. Beklenen getiriyi bulduktan sonra
optimum portföyümüzü oluşturmamız sadece kişisel tercihimize kalacak. Hangi risk
değeri için ne kadar bir beklenen getiri istiyoruz. İşte bunun cevabı bizim optimum
portföyümüzü oluşturacaktır.
Betanın tanımı= ortalama getiri/pazarın riski [ 27]
74
Tablo 6.3: Hisse senetlerin beta değerlerinin hesaplanan değerleri
Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk Beta
1 ADANA -0.200771096 0.013051798 -1,251240138
2 AKENR -0.118439442 0.324227223 -0,738135054
3 ATEKS 0.099945822 0.331482748 0,62287962
4 AKSA 0.139084774 0.327933694 0,866800328
5 ALARK -0.04908326 0.037621942 -0,305895351
6 ALCTL 0.030071644 0.277620663 0,187411678
7 ANACM 0.0029814505 0.245119814 0,018580914
8 AYEN -0.304462093 0.251481961 -1,897460337
9 BANVT -0.2022870455 0.090780844 -1,260687798
10 BOYNR -0.124869216 0.108826436 -0,778206515
11 BURVA 0.188563661 -0.089879451 1,175161296
12 BUCIM -0.041280678 0.111820097 -0,257268313
13 CRDFA 0.028626855 0.25426788 0,178407503
14 CELHA -0.044588729 0.238306006 -0,277884658
15 DERIM -0.087455664 0.206787406 -0,545038799
16 DITAS -0.066167336 0.122067957 -0,412366263
17 DGZTE -0.272729952 0.100854952 -1,699700155
18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 -0,022029711
19 ESCOM 0.267516728 0.462865565 -1,217447684
20 FFKRL 0.057085345 0.057085345 0,115410601
21 IHGZT -0.423786461 0.029450949 -2,641110402
22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 -0,41449685
23 KLMSN -0.092192764 0.310755638 -0,574561224
24 KORDS 0.052416547 0.26250058 0,326668971
25 KOZAA -0.046818144 0.162291585 -0,291778757
26 LINK -0.046014854 0.297627757 -0,2867725515
27 MUTLU -0.012931753 0.140914399 -0,080592917
28 PINSU -0.11566585 0.161417483 -0,720849549
29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 0,078105763
30 SANKO -0.095215908 0.116402348 -0,59340198
75
7. BULGULAR
Daha önceden bulmuş olduğumuz hisse sentlerine ait risk değerlerini pazarın
riskine oranladığımızda beta katsayılarına ulaşabilmekteyiz. Betalar daha önceleri de bir
çok kez üzerinde durduğumuz gibi pazarın genelinde meydana gelen bir değişiklikten
bir tek hisse senedinin nasıl etkilendiği sorusunun cevabıdır. Risk alabilirliği yüksek
olan bir yatırımcı, portföyünü betası 1’den büyük olan senetlerden oluşturacaktır. Oysa
tam tersi karakterdeki bir yatırımcı 1,8, 9, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 26 numaralı gibi betası
negatif olan senetleri tercih edecektir.
İMKB-30 Endeksinde ki senetlerin tek tek beklenen getirilerini bulalım. Bunun
için risksiz faiz oranını % 20 kabul ederek şirketlerin hisse sentlerinin dönem getirileri,
riskleri ve betalarını (hisse senetlerinin portföydeki dalgalanmalarının duyarlılığı) göz
önüne alınarak hisse senetleri getirileri hesaplanmıştır.
1. ADANA ÇİMENTO (A) = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.25) = 0.95
2. AK ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0,73) = 0.638
3. AKIN TEKSTİL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.62) = -0.172
4. AKSA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.86) = -0.316
5. ALARKO HOLDİNG = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.30) = 0.38
6. ALCATEL LUCENT TELETAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.18) = 0.092
7. ANADOLU CAM = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.01) =0.194
8. AYEN ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.89) =1.334
9. BANVİT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.26) = 0.956
10. BOYNER MAĞAZACILIK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.77) = 1.262
11. BURÇELİK VANA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(1.17) = -0.502
76
12. BURSA ÇİMENTO = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.25) = 0.35
13. CREDITWEST FAKTORING = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.17) = 0.098
14. ÇELİK HALAT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.27) = 0.362
15. DERİMOD = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.54) = 0.524
16. DİTAŞ DOĞAN = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446
17. DOĞAN GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.69) = 1.214
18. ECZACIBAŞI YAPI = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.02) = 0.202
19. ESCORT TEKNOLOJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.21) = 0.926
20. FİNANS FİN. KİR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.11) = 0.134
21. İHLAS GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-2.64) = 1.784
22. İZMİR DEMİR ÇELİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446
23. KLİMASAN KLİMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.57) = 0.542
24. KORDSA GLOBAL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.32) = -0.008
25 KOZA MADENCİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.29) = 0.374
26. LİNK BİLGİSAYAR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.28) = 0.368
27. MUTLU AKÜ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.08) = 0.248
28. PINAR SU = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.72) = 0.632
29. PİMAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.07) = 0.158
30. SANKO PAZARLAMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.59) = 0.554
77
Görüldüğü gibi risksiz faiz oranı pazarın ortalama getirisinden yüksek olduğunda ya da
başka bir deyişle endeksin ortalama getirisi risk almadan elde edilebilecek getiri
düzeyinin altında kaldığında (pazar düşüşte olduğunda zaman) betası negatif olan hisse
senetlerinin getirileri risk almaya değer gözükmektedir. Oysa pazar yükselişte olsa idi
beta katsayıları pozitif olan senetler risksiz faiz oranının üzerinde getiri sağlayacaktı.
Buradan hareketle diyebiliriz ki son 1 yıllık verileri göz önüne aldığımız da optimum
portföyü oluştururken en fazla getiri sağlayan dokuz tane şirketlerin hisse sentleri
çoktan aza doğru sıralanmıştır. AYEN ENERJİ, BOYNER MAĞAZACILIK, DOĞAN
GAZETECİLİK, İHLAS GAZETECİLİK, ADANA ÇİMENTO, BANVİT, ESKORT
TEKNOLOJİ, AK ENERJİ, PINAR SU ile oluşturabiliriz.
78
8. SONUÇ VE ÖNERİLER
Portföy yönetim tekniklerinden geleneksel yaklaşımda, portföyde yer alan hisse
senedi sayısının arttırılması ve bu şekilde yalın çeşitlendirme yoluyla portföy riskinin
azaltılabileceği anlayışı hakimdir. Oysa Markowitz’in temellerini attığı modern portföy
teorisinde, sadece yalın çeşitlendirme yoluyla riskin azaltılamayacağı, portföy içinde yer
alan hisse senetlerinin aralarındaki ilişkilerinde risk üzerinde etkili olduğu ortaya
konmuştur. Markowitz’in modelini ortaya koymasının ardından Sharpe, Mossin,
Lintner’in çalışmalarıyla bu modele alternatifler geliştirilmiştir. Daha önceleri de
üzerinde durulduğu gibi Markowitz’in modelinde ortaya çıkan çok sayıda verinin
hesaplanmasının güçlüğü Finansal Varlık Fiyatlama Modeli ve Arbitraj Fiyatlama
Modeli gibi alternatif modellerin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Ancak gelişen teknoloji
sayesinde bu hesaplama güçlüğü ortadan kalkmıştır. Bunun yanında alternatif
modellerin geçerliliği çok güçlü varsayımlara bağlıdır. İşte sayılan bu nedenlerden
Markowitz modeli geçerliliğini yitirmemiştir.
Bu çalışmanın amacı, portföy çeşitlendirmesinin ve optimizasyonunun İMKB’de
çalışabilirliğini test edebilmektir. Çalışmada İMKB 30 endeksi hisse senetlerinin
sistematik riskleri (beta katsayıları) ve beklenen getirileri hesaplanmış ve yatırımcının
karını maksimum düzeye getirmeye çalışılmıştır. Çeşitlendirilmiş portföyler yatırımın
riskini en aza indirmeye yararken karşılığında yüksek getiri sağlamaya çalışırlar. Burada
amaç portföy oluştururken en iyi çeşitlendirmeyi yapabilmektir. İyi çeşitlendirme ise
Markowitz’in Modern Portföy Teoremi ve etkin sınırdaki optimal portföyün seçimiyle
olacaktır. Risk altında yatırımcının karar vermesi oldukça güçtür. Hisse senedi
piyasasında her yatırımcının amacı düşük riskle yüksek getiri elde etmektir. Yatırımcı,
kendi portföyünü oluştururken çesitli kişisel kriterler ortaya koyar. Yatırım yapmadan
önce hisse senedi piyasasını bir şekilde değerlendirir. Bu değerlendirme bir gözlem
olabilir, bir araştırma olabilir veya bir analiz olabilir. Özellikle gelişmekte olan ülkelerin
hisse senedi piyasalarında çeşitli hesaplar ve analizlerle seçilen portföyler her zaman
mükemmel getiriler sağlamayabilir. Genellikle ülke ekonomisi ve siyasetinin pozitif
yönde eğilim göstermesi hisse senedi piyasalarına da pozitif olarak yansımaktadır. Aynı
şekilde ülke ekonomisinin negatif yöne doğru gidişi, hisse senedi piyasasında negatif
olarak algılanır.
79
2011 yılı İMKB için iyi bir yıl olmuş borsa endeks bazında yılı karla
kapatmıştır. Sonuç olarak hisse senetlerine yapılan yatırımlar bu yıl yüksek getiriyle
sonuçlanmıştır. Optimizasyon zararın olduğu durumlarda çalışacağı gibi karın olduğu
durumlarda da kendini gösterecektir. Sonuçta Markowitz Portföy Teoremi ve
Optimizasyon, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası’nda ki hisse senetlerine yapılacak
yatırımlarda portföy oluşturmak için seçilen hisseler için kullanılabilecek en iyi
yöntemdir. Böylece hem bireysel yatırımcılar, hem de kurumsal yatırımcılar optimize
edilmiş portföylerini oluşturduklarında oldukça yüksek getiri sağlamış olacaklardır.
Markowitz, portföy riskinin portföyü oluşturan varlıkların riskinden daha az
olabileceğini ve sistematik olmayan riskin sıfır olabileceğini göstermiştir. Bunun
yanında, menkul kıymet seçiminde kullanılmak üzere etkin sınırı bulmuş, bu sınırın
karesel programlama ile elde edilebileceğini göstermiştir. Ancak yaklaşımı başarılı
sonuçlara ulaştırmanın temel şartı yatırımcının içinde faaliyet gösterdiği ekonomik ve
endüstriyel çevrenin sürekli olarak incelenmesi ve portföy analizi ile devamlı olarak
gözden geçirilmesidir. Çalışmadan çıkarılabilecek en önemli sonuç, risk ile getiri
arasında aynı yönlü güçlü bir ilişkinin olduğudur. Yatırımcının portföy içinde
çeşitlendirme yaparak portföyün riskini azaltması mümkündür. Bireysel ve kurumsal
yatırımcılar açısından optimize edilmiş portföyler sağlanabildiği ölçüde yüksek getiri
elde etmek mümkün olacaktır.
80
KAYNAKLAR DİZİNİ
[1] AKMUT, O., Sermaye Piyasasý Analizleri ve Portföy Yönetimi, Ankara,.36-52,92-
103, 1989.
[2] AKKAYA, O., “Ortalama Varyans Yöntemi ile Portföy Optimizasyonu”, Yüksek
Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 21-40 (1996).
[3] CEYLAN, Ali , “Borsada Uygulamalı Portföy Yönetimi” ,BURSA, 12-31, 1995.
[4] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve
İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri
Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005.
[5] DAĞLI Hüseyin, Sermaye Piyasası ve Portföy Analizi, Derya Yayıncılık, Trabzon,
2000.
[6] DING Yuanyao, “Portfolio Selection Under Maximum Minimum Criterion”,
Quality & Quantity, 40, 2006.
[7] KONURALP Gürel, Sermaye Piyasaları Analizler, Kuramlar ve Portföy Yönetimi,
Alfa Yayınları, İstanbul, 2005, s.314.
[8] JEFF GROVER, Angeline M. LAVIN, “Modern Portfolio Optimization: A
Practical.
[9] KANALICI Hülya, Hisse Senedi Fiyatlarının Tespiti ve Tesir Eden Faktörler, SPK
Yayınları, Yayın No:77, Ankara, 1997.
[10] KARAN Mehmet Baha, Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi, Gazi Kitabevi,
2004.
[11] OĞUZ, Y., (2001), Portföy Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
81
[12] DEMİRTAŞ Ö., GÜNGÖR Z., “ Portföy Yönetimi ve Portföy Seçimine Yönelik
Uygulama”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt:1, Sayı:4, Temmuz
2004, s.104.
[13] PUELZ, Amy V., (2001), "Value-at-Risk Based Portfolio Optimization",
Stochastic Optimization: Algorithms and Applications, Uryasev,S. ve Pardalos,P.M.
editör, Kluwer Academic Publishers, s. 279–302.
[14] RUBINSTEIN Mark, “Markowitz’s Portfolio Selection: A Fifty-Year
Retrospective”, The Journal Of Finance, Vol:VLII, No:3, June 2002.
[15] SİMON Z. BENNINGA, Financial Modeling, (Massachusetts Institute Of
Technology Press Published, 2000), s.161.
[16] ULUCAN, A., “Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Model nin,
Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün Elde
Edilmesinde Kullanımı”, Hacettepe Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi
Dergisi, 20:141-153(2002).
[17] YERLİKAYA İ., Ö., (2001), Portföy Analizi, Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir
Uygulama, Yüksek Lisans Tezi, T.C. Dokuz Eylül Üniversitesi, Sosyal Bilimler
Enstitüsü, İşletme Anabilim Dalı, İzmir.
[18] ZHİDONG BAI, Huixia LIU, Wing-Keung WONG, “Making Markowitz’s
Portfolio Optimization Theory Practically Useful”, 2006, s.2Approach Using an Excel
Solver Single-Index Model” The Journal Of Wealth Management, Summer 2007,
s.61.
[19] ALAKURT Zeynep; Portföy Seçim Modelleri ve İMKB’ye Bir Uygulama,
Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans
Tezi, İstanbul : 2002
[20] ALAN Mehmet Ali, YEŞİLYURT Cavit; Doğrusal Programlama Problemlerinin
Excel İle Çözümü, Cumhuriyet Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi
Dergisi Cilt 5 Sayı 1
82
[21] ALGÜR Birol; Farklı Risk Ölçümlerine Göre Portföy Seçimi, Marmara
Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi,
İstanbul : 2003
[22] ATAN Murat; Karesel Programlama İle Portföy Optimizasyonu, Ankara : 2005
[23] BEYAZIT Mehmet Fuat; İMKB Betaları, Korelasyon Tahmini ve Değişkenlik,
Doğuş Üniversitesi Dergisi, İstanbul : 2005
[24] BOZDAĞ Nihat, ALTAN Şenol, DUMAN Sibel; Minimaks portföy Modeli ile
Markowitz Ortalama Varyans Portföy Modelinin Karşılaştırılması, Gazi Üniversitesi,
İ.İ.B.F.,Ekonometri Bölümü, Ankara
[25] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve
İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri
Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005
[26] EROĞLU E., KIYILAR M.; Tek Endeks Modeli ve Modelin İMKB’de uygulanışı,
2004
[27] KÜÇÜKKOCAOĞLU Güray; Optimal Portföy Seçimi ve İMKB Ulusal 30
Endeksi Üzerine Bir Uygulama, Ankara : Eylül-Ekim 2002
[28] ULUCAN Aydın; Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim
Modelinin Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün
Elde Edilmesinde kullanılması, Hacettepe Üniversitesi, Ankara : 2004
[29] YALÇINER Kürşat, ATAN Murat, BOZTOSUN Derviş; Markowitz Karesel
Programlama İle Portföy Seçim Modelinin İMKB 100 Endeksine Uygulanması,
Endeks İle Aynı Getiriye Sahip Portföy Oluşturulması, Ankara : 2004
[30] YERLİKAYA Özgür; Portföy Analizi Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir
Uygulama, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Bölümü Yüksek
Lisans Tezi, İzmir:2001
[31] http://www.akbank.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)
[32] http://www.borsadirekt.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)
83
[33] http://www.capital.com.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012)
[34] http://www.imkb.gov.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012)
[35] http://www.riskglossary.com (Erişim Tarihi: 23.02.2012)
[36] http://www.spk.gov.tr (Erişim Tarihi: 24.02.2012)
[37] http://www.tspakb.org.tr (Erişim Tarihi: 29.02.2012)
84
EKLER
3.6. Modelin Çözümü:
Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosu
elde edilmiştir.
Local optimal solution found. Objective value: 0.5410777E-02 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 X( 1) 0.000000 0.1362886E-02 X( 2) 0.2380340 0.000000 X( 3) 0.3266793 0.000000 X( 4) 0.4352867 0.000000 X( 5) 0.000000 0.3224834E-03 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5410777E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4245479
85
YUZDEYUZ 0.000000 0.3163323E-01
Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan
0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X , %23.8 X , %32.7X , %43.5
X ve %0.0 X kompozisyonundan oluşmuştur.
4.5.Modelin Çözümü:
Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda ki gibi bir tablo oluşacaktır.
Local optimal solution found. Objective value: 0.5820165E-02 Infeasibilities: 0.1387779E-16 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 START( 1) 0.3000000 0.000000 START( 2) 0.1000000 0.000000 START( 3) 0.1000000 0.000000 START( 4) 0.2000000 0.000000 START( 5) 0.3000000 0.000000 AL( 1) 0.000000 0.7438410E-03 AL( 2) 0.1545109 0.000000 AL( 3) 0.2205568 0.000000 AL( 4) 0.2021829 0.000000 AL( 5) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 1) 0.3000000 0.000000 SAT( 2) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 3) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 4) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 5) 0.2889123 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 MLYT( 1) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 2) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 3) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 4) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 5) 0.1000000E-01 0.000000 X( 1) 0.000000 0.2562708E-02 X( 2) 0.2545109 0.000000 X( 3) 0.3205568 0.000000 X( 4) 0.4021829 0.000000 X( 5) 0.1108775E-01 0.000000 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000
86
V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5820165E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4875800 3 0.000000 -0.3719205E-01 4 0.000000 0.3682013E-01 5 0.000000 0.3756397E-01 6 0.000000 0.3756397E-01 7 0.000000 0.3756397E-01 8 0.000000 0.3682013E-01
4.6.Model ile ilgili açıklamalar:
Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan
0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X %25.4 X , %32.05 X , %40.2
X ve %11.08 X kompozisyonundan oluşmuştur.
5.6. Lingo ile Çözümü:
Local optimal solution found. Objective value: 0.2865172E-02 Infeasibilities: 0.1339467E-13 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost HEDEF 0.1000000 0.000000 ORT 0.1000000 0.000000 VAR 0.6500488E-02 0.000000 SVAR 0.2865172E-02 0.000000 ALTRISK 0.3341467E-01 0.000000
87
OLASI( 1) 0.1110000 0.000000 OLASI( 2) 0.1110000 0.000000 OLASI( 3) 0.1110000 0.000000 OLASI( 4) 0.1110000 0.000000 OLASI( 5) 0.1110000 0.000000 OLASI( 6) 0.1110000 0.000000 OLASI( 7) 0.1110000 0.000000 OLASI( 8) 0.1110000 0.000000 OLASI( 9) 0.1110000 0.000000 R( 1) 0.1186089 0.000000 R( 2) 0.2761530E-01 0.000000 R( 3) 0.000000 0.4751429E-01 R( 4) 0.2198686 0.000000 R( 5) 0.000000 0.4569090E-01 R( 6) 0.9468841E-01 0.000000 R( 7) 0.7666322E-01 0.000000 R( 8) 0.2300853 0.000000 R( 9) 0.1333712 0.000000 USTS( 1) 0.1860887E-01 0.000000 USTS( 2) 0.000000 0.1606940E-01 USTS( 3) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 4) 0.1198686 0.000000 USTS( 5) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 6) 0.000000 0.1179173E-02 USTS( 7) 0.000000 0.5180766E-02 USTS( 8) 0.1300853 0.000000 USTS( 9) 0.3337121E-01 0.000000 ALTS( 1) 0.000000 0.000000 ALTS( 2) 0.7238470E-01 0.000000 ALTS( 3) 0.1000000 0.000000 ALTS( 4) 0.000000 0.000000 ALTS( 5) 0.1000000 0.000000 ALTS( 6) 0.5311591E-02 0.000000 ALTS( 7) 0.2333678E-01 0.000000 ALTS( 8) 0.000000 0.000000 ALTS( 9) 0.000000 0.000000 X( 1) 0.8494465E-01 0.000000 X( 2) 0.2678628 0.000000 X( 3) 0.1590336 0.000000 X( 4) 0.2999648 0.000000 X( 5) 0.1881942 0.000000 SE( 1, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 2) 0.2000000 0.000000 SE( 1, 3) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 4) 0.1000000E-01 0.000000 SE( 1, 5) 0.2000000 0.000000 SE( 2, 1) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 2, 2) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 3) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 4) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 2, 5) -0.1000000 0.000000 SE( 3, 1) 0.1400000 0.000000 SE( 3, 2) -0.2700000 0.000000 SE( 3, 3) -0.1300000 0.000000 SE( 3, 4) 0.1700000 0.000000 SE( 3, 5) 0.1600000 0.000000 SE( 4, 1) -0.8000000E-01 0.000000 SE( 4, 2) 0.4800000 0.000000 SE( 4, 3) 0.2100000 0.000000 SE( 4, 4) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 4, 5) 0.2800000 0.000000 SE( 5, 1) 0.1200000 0.000000 SE( 5, 2) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 3) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 4) -0.6000000E-01 0.000000
88
SE( 5, 5) -0.1400000 0.000000 SE( 6, 1) -0.3000000E-01 0.000000 SE( 6, 2) 0.1600000 0.000000 SE( 6, 3) -0.1200000 0.000000 SE( 6, 4) 0.2700000 0.000000 SE( 6, 5) -0.4000000E-01 0.000000 SE( 7, 1) 0.1500000 0.000000 SE( 7, 2) -0.1900000 0.000000 SE( 7, 3) 0.2900000 0.000000 SE( 7, 4) 0.1600000 0.000000 SE( 7, 5) 0.1100000 0.000000 SE( 8, 1) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 8, 2) 0.4000000 0.000000 SE( 8, 3) 0.1200000 0.000000 SE( 8, 4) 0.9000000E-01 0.000000 SE( 8, 5) 0.4400000 0.000000 SE( 9, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 9, 2) 0.1900000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.3834170 2 0.000000 -0.4502463 3 0.000000 0.4255929E-01 4 0.000000 0.5862869E-01 5 0.000000 0.1122736 6 0.000000 0.4255929E-01 7 0.000000 0.1104502 8 0.000000 0.4373846E-01 9 0.000000 0.4774005E-01 10 0.000000 0.4255929E-01 11 0.000000 0.4255929E-01 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.1606940E-01 14 0.000000 0.2220000E-01 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.2220000E-01 17 0.000000 0.1179173E-02 18 0.000000 0.5180766E-02 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.3929429E-01 VARYANS 0.000000 0.000000 SVARYANS 0.000000 -1.000000 ALTBRISK 0.000000 0.000000 AMAC 0.2865172E-02 -1.000000