Texto Unidad 2

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"DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO ARITM-TICO EN EDUCACIN BSICA: NMEROS Y SUOPERATORIA".

Unidad 2

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El cardinal de un conjunto es el nmero de elementos que tiene.

A los nmeros con que expresamos los cardinales de los conjuntos los llamamos Nme-

ros Naturales y los nominamos con la letra N.

Histricamente se ha considerado al conjunto (1, 2, 3) como el conjunto de los

naturales. En los programas escolares y en algunos textos de matemtica que se usan en el

pas, no se incluye el cero en el conjunto de los nmeros naturales. En la presente unidad

llamaremos conjunto de los nmeros naturales al conjunto de los cardinales finitos.

Si en el conjunto de todos los conjuntos finitos establecemos una relacin "tiene

tantos elementos como", se obtiene clases de conjuntos equivalentes y cada una de ellas

define un nmero cardinal finito. El conjunto de todos estos cardinales finitos forma el

conjunto de los naturales.

N = (0, 1, 2, 3)

Orden de los cardinales.

Una vez establecido el conjunto de nmeros cardinales finito es posible ordenarlos.

Esta propiedad de los nmeros naturales se llama propiedad de orden.

Para ordenar los cardinales se comparan los conjuntos, estableciendo correspondencia

uno a uno entre 2 conjuntos cualesquiera.

A = (a, b, c, d)

B = (*, O, #, &)

Dos conjuntos tales como A y B son equivalentes, puesto que puede establecerse una

correspondencia biunvoca entre sus elementos.

1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS CARDINALES Y EL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES.

s a

b

c

p

q

r

C D

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Como el cardinal de C es 3 y el cardinal de D es 4 diremos que: 3 < 4.

Procediendo de este modo es posible ordenar los cardinales de menor a mayor y

presentar el conjunto ordenado.

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,).

Cuando los nmeros naturales estn inscritos en orden es fcil constatar que cada

nmero es menor que cualquier nmero que le sucede en la secuencia.

De este modo:

1 b

ste es el llamado principio de tricotoma.

EJERCICIOS

Resuelva los siguientes ejercicios referidos a determinar orden en los naturales.

1. Ubicacin en recta numrica:

Cul es el antecesor de 738921?___________________________________

Cul es el sucesor de 738921?_____________________________________

2. Si n es un nmero cardinal cualquiera. Cmo determina el sucesor de n?, Cmo

determina el antecesor de n?

3. Si n + 1 es un nmero cardinal cualquiera. Cmo determina el sucesor de n+1?, Cmo

determina el antecesor de n + 1?

4. Indique si son verdaderas o falsas las proposiciones siguientes:

a) Si 13800 es sucesor de n, n es 13801

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b) Si 5990798 es antecesor de n, el sucesor de n es 5990800

c) Si 743000 es antecesor de n, n es 742999

1.1 PROPIEDADES DE LOS NMEROS NATURALES.

Nmeros pares y nmeros impares.

Un nmero natural que es producto de cualquier nmero natural por dos se llama par.

Ejemplo: 2 x 0 = 0, 2 x 1 = 2, 2 x 2 = 4, 2 x 3 =, etc.

Los nmeros pares se definen tambin en trminos de divisin por dos.

Todos aquellos nmeros que no son pares son nmeros impares.

Factores y mltiplos.

Se llama mltiplo de un nmero natural al nmero que resulta de multiplicar ese

nmero por otro natural.

De acuerdo a la definicin, los mltiplos de 9 son:

9 x 1 = 9, 9 x 2 = 18, etc.

La expresin 9 x 2 es una representacin del nmero 18; 9 y 2 se llaman los factores

de 18. Decir que 9 es factor de 18 equivale a decir que 18 es mltiplo de 9. Otros pares de

nmeros que son factores de 18 son: 1 y 18, 6 y 3.

Todo factor de un nmero es un divisor exacto del nmero.

Conocer la lista de factores de un nmero natural facilita su escritura como producto

de sus factores de distintas maneras.

Al escribir 18 = 2 x 9 estamos expresando 18 como producto de dos factores. Tambin

podemos escribirlo como el producto de 3 factores: 18 = 2 x 3 x 3.

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Factorizar un nmero es expresar dicho nmero en forma de producto.

Se llama factor comn de 2 o ms nmeros dados al nmero que es factor de cada uno

de los nmeros dados.

Ejemplo: 12 = 4 x 3, 28 = 4 x 7, 4 es factor comn de 12 y 28

III. Actividad de aprendizaje y transferencia al aula.

1. Descomponga en producto de dos factores las siguientes cantidades:

2. Busque los mltiplos de 32 comprendidos entre 700 y 800.

3. Escriba todos los pares de nmeros cuyo producto es 100.

4. Responda justificando sus respuestas.

a) Es 765 mltiplo de 5?, b) 819 de 52?

5. Busque entre estos nmeros los mltiplos de 2, los de 3, los de 5, los de 7 y de 13.

Nmeros primos y nmeros compuestos.

Nmeros primos: se llama nmero primo a todo nmero natural que puede expresarse

como producto de dos factores de una sola manera y con dos factores distintos.

Ejemplos: 7 = 7 x 1, 29 = 1 x 29, 101 = 101 x 1, etc.

Nmeros Mltiplos

Mltiplos de 2

Mltiplos de 3

Mltiplos de 5

Mltiplos de 7

Mltiplos de 13

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Esto es equivalente a decir que un nmero es primo cuando slo tiene dos divisores

distintos. Cada uno de estos nmeros tiene como factores 1 y el propio nmero, de

acuerdo con esta definicin el 1 no es un nmero primo.

1 = 1 x 1.

El 1 se ha factorizado de una sola manera, pero sus factores son iguales.

Tcnica para obtener la sucesin de nmeros primos menores que uno dado.

Esta tcnica se conoce con el nombre de "criba de Eratstenes". Para encontrar los

nmeros primos menores que un cierto n se escriben todos los nmeros naturales hasta n.

Se tacha el 1 porque no es un nmero primo. El primer nmero que queda sin tachar es el 2

que s es primo. Se recuadra y se tacha su cuadrado, 4, y, a partir de l, se cuentan los

nmeros de dos en dos y los que ocupan el segundo lugar se tachan. Una vez finalizado el

recuento de dos en dos se toma el primer nmero que queda sin tachar a partir del 2: ser

el 3. Se recuadra, se tacha su cuadrado, 9 y, a partir de l, se cuentan los nmeros de tres

en tres y cada tercer nmero se tacha. A continuacin se toma el primer nmero que queda

sin tachar a partir del 3 que ser el 5. Se tacha su cuadrado, 25, y contando de cinco en

cinco se tachan los nmeros que ocupan el quinto lugar. Se prosigue este proceso hasta

llegar a un nmero primo cuyo cuadrado sea mayor que n momento en el que el proceso

habr terminado. Los nmeros recuadrados formarn la sucesin de nmeros primos meno-

res o iguales que n. Un ejemplo con los nmeros hasta el 100 se muestra debajo:

Criba de Eratstenes (Godino J. 2004)

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Nmeros compuestos: Un nmero natural distinto de 0 y 1 que no sea primo, se llama

nmero compuesto. Ej. 18, 25, 49, 4 son nmeros compuestos.

Propiedades.

- Todo nmero mayor que 1 es primo o producto de nmeros primos.

- Existen infinitos nmeros primos.

- Todo nmero natural mayor que 1 y no primo puede expresarse como producto de

nmeros primos de manera nica. (Teorema fundamental de la aritmtica).

Representacin de un nmero como producto de Nmeros primos.

Un nmero compuesto puede expresarse por varios productos.

Ejemplo: 12 = 4 x 3, 12 = 6 x 2, 12 = 2 x 3 x 2, 12 = 12 x 1.

Representar un nmero en forma factorizada es expresarlo como producto de nme-

ros naturales, lo que es equivalente a la expresin "factorizar un nmero".

De los diferentes productos de 12, la factorizacin: 2 x 3 x 2 se llama factorizacin

prima de 12.

Entonces, factorizar un nmero en sus factores primos significa expresar ese nmero

como producto de nmeros primos.

Todo nmero compuesto puede representarse como producto de factores primos.

Para obtener la factorizacin prima de un nmero existen distintos procedimientos.

Ejemplo; 84 = 6 x 14. Sabemos que 6 = 2 x 3, y 14 = 2 x 7.

Entonces; 84 = 6 x 14 puede expresar como 2 x 3 x 2 x 7 que es un producto de

factores primos. 84 = 6 x 14, 84 = 2 x 3 x 2 x 7, 2 x 3 x 2 x 7 es la factorizacin completa

de 84.

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1. Descomponga en factores primos.

2. Escriba todos los nmeros primos mayores de 25 y menores de 45.

3. Separe los nmeros primos de los compuestos.

4. Descomponga en factores primos:

Mximo comn divisor.

Si un nmero es divisor de dos o ms nmeros se dice que es el comn divisor de esos

nmeros. Ejemplo: Dados los nmeros 24 y 30 el conjunto de sus divisores es:

- Divisores de 24 = (1, 2, 3, 4, 6, 8 12, 24)

- Divisores de 30 = (1, 2, 3, 5, 6, 15, 30).

- Divisores comunes de 24 y 30 = (1, 2, 3, 6).

Podemos observar que el 1, 2, 3 y el 6 son divisores comunes de ambos nmeros y que

el mayor de los divisores comunes es el 6, por lo tanto, 6 es el mximo comn divisor de 24

y 30.

Se llama mximo comn divisor, m, c, d, de dos o ms nmeros al mayor nmero por

el cual se pueden dividir ambos.

EJERCICIOS

32 180 225

392 468 1260

a)36 b) 40 c) 76 d) 135 e) 126 f) 180

g) 252 h) 264 i) 315 j) 330 k) 588 l) 900

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Si A y B representan los conjuntos de factores o divisores de dos o ms nmeros

naturales, el mximo comn divisor de esos nmeros es el mayor nmero que pertenece a A

y B.

Mnimo comn mltiplo.

Si un nmero es mltiplo de dos o ms nmeros, se dice que es mltiplo comn de esos

nmeros. Ejemplo:

- Mltiplos de 3 = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33)

- Mltiplos de 5 = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)

- Mltiplos comunes de 3 y 5 = (15, 30, 45)

Podemos observar que 15, 30, 45 y otros nmeros son mltiplos comunes de 3 y 5. El

comn de los mltiplos comunes de 3 y 5 es 15, por lo tanto, 15 es el mnimo comn mltiplo

de 3 y 5.

Se llama mnimo comn mltiplo, m, c, m de dos o ms nmeros al menor nmero

que es mltiplo de dichos nmeros.

Si C y D representan los conjuntos de mltiplos de 2 nmeros naturales, el mnimo

comn mltiplo de esos nmeros es el menor nmero que pertenece a C y D.

IV. Actividad de aprendizaje y transferencia al aula.

1. Razone si existe relacin de divisibilidad entre:

a) 20 y 300 b) 13 y 195 c) 38 y 138

d) 15 y 75 e) 23 y 203 f) 117 y 702

2. Busque los divisores de:

a) 10 b) 18 c) 20 d) 24

e) 30 f) 39 g) 45 h) 50

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3. Sustituya cada letra por una cifra, para que el nmero resultante sea divisible entre 3.

4. Calcule el mximo comn divisor de a y b en cada caso:

5. Resuelva el siguiente problema:

- Seleccione a simple vista:

a) Los mltiplos de 10. b) Los mltiplos de 14.

c) Los mltiplos de 15. d) Los mltiplos de 18.

e) Uno que es mltiplo de 13. f) Uno que es mltiplo de 30.

6. Calcule:

7. Resuelva los siguientes problemas:

a) "Un grupo de 60 nios, acompaados de 36 padres, acuden a un campamento en la

montaa. Para dormir, acuerdan ocupar cada cabaa con el mismo nmero de perso-

nas. Adems, cuantas menos cabaas ocupen menos pagan. Por otro lado, ni los padres

quieren dormir con los nios ni los nios con los padres. Cuntos entrarn en cada

cabaa?

b) "El autobs de la lnea A pasa por cierta parada cada 9 minutos y

el de la lnea B, cada 12 minutos. Si acaban de salir ambos a la

vez, cunto tardarn en volver a coincidir?

a) a = 63 b) a = 105 c) a = 165 b = 84 b = 120 b = 198

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c) Los participantes en un desfile pueden agruparse, para desfilar, de 3 en 3, de 5 en 5 o

de 25 en 25, pero no pueden hacerlo ni de 4 en 4 ni de 9 en 9. Cul es el nmero de

participantes, si sabemos que est entre 1000 y 1250?

d) Cul es el lado del menor cuadrado que se puede formar uniendo baldosas rectangula-

res de 6 cm por 15 cm?

1.2 OPERATORIA EN LOS NMEROS NATURALES.

Operaciones definidas en el conjunto de los naturales.

Una operacin, en aritmtica, es la manera de asociar un par ordenado de nmeros

con un tercero especificado. Los dos elementos del par se combinan a travs de una regla

(Ley de composicin) para obtener un tercer elemento. Si este tercer elemento pertenece

al mismo conjunto, se dice que la ley de composicin es interna. Desde el punto de vista

matemtico:

- Una operacin entendida como funcin es una correspondencia uno a uno; "a todo par

de nmeros (a,b) perteneciente a los naturales le corresponde a un elemento c que

pertenece tambin a N".

- El concepto de operacin como un operador, una accin que trasforma un estado en

otro estado, es tambin un ejemplo de este enfoque.

Adicin.

Se relaciona con la unin de conjuntos disjuntos.

# (A) + # (B) = #(A U B)

Trminos de la adicin: sumandos y suma.

Propiedades: conmutatividad - asociatividad.

Elemento neutro: Si "a" es un nmero natural cualquiera.

a + 0 = 0 + a = a

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Sustraccin.

Se relaciona con la separacin de un conjunto en dos subconjuntos disjuntos.

Trminos de la sustraccin: Minuendo, sustraendo, diferencia o resta.

La sustraccin no siempre tiene solucin en los cardinales.

Propiedad de la sustraccin: En una sustraccin, la diferencia no vara si al minuendo y al

sustraendo se le suma un mismo nmero.

Ejemplo: 34 -5 = 29

+10 +10 =

44 - 15 = 29

Multiplicacin.

Se relaciona con la unin de conjuntos equivalentes disjuntos y con el producto carte-

siano de conjuntos.

# A x # B = #(A x B)

Trminos de la multiplicacin: Factores y productos.

Propiedades: Conmutatividad, asociatividad, distributividad de la multiplicacin con respec-

to a la adicin.

Elemento neutro; si "a" es un nmero natural cualquiera.

a x 1 = 1 x a = a

Divisin.

Se relaciona con la particin de un conjunto en subconjuntos equivalentes y disjuntos.

Trminos de la divisin: dividendo, divisor, cuociente.

Propiedad de la divisin exacta: si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor de una

divisin exacta por un mismo nmero, el cuociente no vara.

Propiedades de la divisin inexacta: En cualquier divisin el dividendo es igual al producto del

divisor por el cuociente, ms el resto.

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V. Actividades de aprendizaje y transferencia al aula.

1. Calcule:

a) 22 - 15 + 3 b) 22 - (15+3)

c) 30 - 18 - 8 d) 30 - (18-8)

e) 45 - 30 + 15 f) 45 - (30 + 15)

2. Calcule:

3. Calcule:

4. En una divisin, el resto por exceso es 5 y el resto por defecto es - 2.

Cul es el divisor?


a) Anbal trabaja en una fbrica que est a 18 km. de su casa. Cuntos kilmetros

recorre a la semana, sabiendo que libra los sbados y los domingos?

b) Un parque de atracciones recibe una media de 8.600 personas al da en primavera,

15.400 en verano, 6.200 en otoo y 1.560 en invierno. Cuntos visitantes tienen en un

ao?

c) Se desea plantar rboles, con una separacin de 20 metros, a lo largo de un sendero que

tiene una longitud de dos kilmetros. Cuntos rboles se necesitan?

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Los nmeros enteros aparecen en situaciones en

las que es necesario indicar la relacin de ciertas me-

didas con un valor determinado que se toma como

referencia y al que se le asigna el cero.

El conjunto de los nmeros enteros se simboliza

por la letra Z

Z = {,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,}

Y se representan en la recta numrica de la siguiente manera:

Los nmeros enteros precedidos por el signo - se denominan enteros negativos:

Z = {, - 4, -3, -2, -1}

Y los procedidos por el signo +, enteros positivos. Cuando un nmero es positivo el signo +

no se escribe.

Z+ = {1, 2, 3, 4,}

El conjunto de los nmeros enteros positivos se identifica con el conjunto de los

nmeros naturales, N. El cero no se considera ni positivo ni negativo.

Valor absoluto: se llama valor absoluto de un nmero entero al nmero de unidades que

dista del cero.

El valor absoluto de un nmero coincide con el nmero natural que resulta de prescin-

dir del signo del nmero entero.

2. CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROSY SUS OPERACIONES.

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Relacin de orden en Z.

Observe que los nmeros enteros positivos se hacen mayores conforme se van "distan-

ciando" del cero. En cambio, los nmeros enteros negativos se hacen mayores segn se

"acercan" al cero.

Dados dos nmeros enteros a y b, siempre se verifica una de las tres relaciones

siguientes: a < b ; a = b ; a > b

Dados dos nmeros enteros, uno positivo y el otro negativo. Siempre es mayor el

positivo.

Dados dos nmeros enteros negativos, es mayor el que menor valor absoluto tenga.

Dados dos nmeros enteros representados geomtricamente, es mayor el que est

ms a la derecha.

OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS.

Suma y resta.

Se suman por separado los positivos y los negativos, luego se pone el signo del resulta-

do mayor y se resta del mayor o menor.

3 - 5 + 6 - 4 - 6 + 5 + 12 - 15 = 26 - 30 = - 4

Relacin de orden Ejemplos Comprobacin

a es menor que b b a > 0 -3 < 5 5- (-3) = 8 > 0

a es mayor que b a b > 0 6 > 2 6 2 = 4 > 0

a es menor o igual que b a b

b a 0 - 7 -4 -4 (-7) = 3 > 0

a es menor o igual que b

a b

a b 0 7 7 7 7 = 0 0

-3 -1 0 2 5

-3 < -1 < 0 < 2 < 5

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Con la calculadora:

El opuesto de un nmero entero es oto nmero entero tal que al sumar ambos da

cero. a + op(a) = 0

Dicho de otra forma, el opuesto de un nmero entero es el nmero que tiene el mismo

valor absoluto y signo contrario:

op (-3) = 3 -3 + 3 = 0

op (7) = -7 7 + (-7) = 0

Recuerde que para restar dos nmeros enteros se suma el minuendo el opuesto del

substraendo.

5 - 3 = 5 + (-3) = 2

a - b = a + (op(b)) 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

Multiplicacin y divisin.

Tanto al multiplicar como al dividir dos nmeros, el signo es positivo si ambos tienen el

mismo signo y es negativo si son de distinto signo.

Si se tiene un producto de varios factores, el resultado es positivo si el nmero de

signos negativos es par y es negativo si es impar.

-2 x (-3) x 5 x (-4) x (-1) = 120

3 x (-2) x 7 x (-3) x (-1) = -126

Jerarqua de las operaciones.

Cuando en una expresin aparecen varias clases de operaciones se debe considerar

que el orden de realizacin de las mismas viene determinado por la siguiente regla de

jerarqua:

1. Primero se efectan las multiplicaciones y divisiones.

2. Despus las sumas y las restas.

3. En caso de tener alguna preferencia, se comienza por la izquierda.

3 - 5 + 6 - 4 - 6 + 5 + 12 - 15 = -4

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2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14

24 : 4 : 3 = 6 : 3 = 2

Si se desea "romper" ese orden, se debe indicar en la expresin utilizando el smbolo

del parntesis. Cuando aparecen parntesis, lo primero que hay que efectuar son las opera-

ciones incluidas en su interior.

(2 + 3) x 4 = 5 x 4 = 20

Con la calculadora.

Se introducen los nmeros y las operaciones en el mismo orden que aparecen; si hay

parntesis se ponen tambin.

Propiedad distributiva.

a(b + c) = a x b + a x c 3(x + 2) = 3x + 6

Extraer factor comn

a x b + a x c = a (b + c) 6x - 4ax + 8abx = 2x(3x - 2a + 4ab)

Divisibilidad en el conjunto de los nmeros enteros.

La mayora de las definiciones relativas a la divisibilidad en el conjunto de los nmeros

enteros son similares a las de los nmeros naturales. En el siguiente cuadro resumen se

exponen las mismas:

3 + 5 x 4 + 6 8 : 4 =

3 + 5 x 4 + 6 - 8 : 4 = 27

8 7(3 + 4) + 9 : (7 - 4) =

8 - 7 x ( 3 + 4 ) + 9 : ( 7 - 4 ) = -38

a y b nmeros enteros Definicin Ejemplo

a mltiplo de b Si existe un nmero entero c

tal que:

a = b x c

- 6 mltiplo de 2

- 6 = 2 x (-3)

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VI. Actividades de aprendizaje y transferencia al aula.

1. Exprese con la notacin de los nmeros enteros, como se hace en el ejemplo:

Antonio gana $5.000 repartiendo propaganda en la calle + (+5.000) = +5.000

a) A Rosa le llega una factura de telfono de $37.000.

b) Por no hacer la tarea, pierdo los dos positivos que tena en Matemticas.

c) He resuelto un problema complicado. El profesor me quita los dos negativos que tena.

2. Escriba el opuesto de cada uno de los siguientes nmeros:

a)+6 b)-9 c) 0 d) +8 e) -13

3. Encuentre el valor de estas expresiones:

a) -2 + 6 b) -4 + 7 c) -1 + 9

d) -7 + 2 e) -8 + 5 f) -10 + 8

g) -12 + 5 h) -15 + 6 i) -15 + 14

4. Quite parntesis y opere:

a) (+3) - (+8) b) (-9) + (-6) c) (-7) - (-7) - (+7)

d) (-11) + (+8) - (-6) e) (+15) - (- 12) - (+11) + (-16)

f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8) g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11)

b divisor de a Si existe un nmero entero c

tal que:

a = b x c

- 5 divisor de -10

- 10 = -5 x 2

a primo Si sus nicos divisores son el 1,

el -1, l mismo y su opuesto

-3 es primo D(-3) = {1;3}

a compuesto Si tiene ms divisores que el 1,

el -1, l mismo y su opuesto.

6 es compuesto

D(6) = {1; 2; 3; 6}

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5. Calcule:

a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)] b) (-8) + [(+7) - (- 4) + (-5)]

c) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)] d) [(+6) - (-8)] - [(- 4) - (-10)]

e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]

6. Opere estas expresiones:

a) 35 + 7 (6 - 11) b) 60 : (8 - 14) + 12

c) (9 - 13 - 6 + 9) (5 - 11 + 7 - 4)

d) (6 + 2 - 9 - 15) : (7 - 12 + 3 - 6)

e) -(8 + 3 - 10) [(5 - 7) : (13 - 15)]

7. Calcule, paso a paso, como en el ejercicio anterior:

a) (-3) [(-9) - (-7)] b) 28 : [(- 4) + (-3)] c) [(-9) - (+6)] : (-5)

d) (-11) - ( - 2) [15 - (+11) e) (+5) - (-18) : [(+9) - (+15)]

f) (- 4) [(- 6) - (-8)] - (+3) [(-11) + (+7)] g) [(+5) - (+2)] : [(-8) + (-3) - (-10)]


a) En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 C, y

en el interior del almacn frigorfico, de 15 C bajo cero. Cul es la diferencia de

temperatura entre la nave y la cmara?

b) Un da de invierno amaneci a dos grados bajo cero. A las doce del medioda la tempe-

ratura haba subido 8 grados, y hasta las cinco de la tarde subi 3 grados ms. Desde las

cinco a medianoche baj 5 grados, y de medianoche al alba, baj 6 grados ms. A qu

temperatura amaneci el segundo da?

c) Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a

6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes:

a) Baja 20 metros para dejar material.

b) Baja 12 metros ms para hacer una soldadura.

c) Sube 8 metros para reparar una tubera.

d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma.

Cuntos metros ha subido en su ltimo desplazamiento hasta la plataforma?

d) Alejandro Magno, uno de los ms grandes generales de la historia, naci en 356 a.C. y

muri en 323 a.C. A qu edad muri? Cuntos aos hace de eso?

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Una potencia es un smbolo que expresa una multiplicacin en la que todos los factores

son iguales.

Sea a un nmero cualquiera y n un nmero natural, entonces: an, representa el

producto de n factores iguales a a y se lee a elevado a n.

Los planteamientos anteriores, en potencias, seran:

La base, que es el factor que se repite y el exponente, que indica las veces que se

multiplica la base.

Se lee: "cinco elevado a cuatro" o "cinco a la cuarta". Se calcula resolviendo una

multiplicacin: en este caso,

reas de cuadrados

El rea de un cuadrado se expresa como la potencia al cuadrado de uno de sus lados.

Ejemplo 4 o 4 = 42 y se lee como "cuatro elevado a dos" o "cuatro elevado al cuadra-

do".

3. POTENCIAS DE NMEROS ENTEROS.

Para toda Potencia de base racio-

nal y exponente entero positivo la ex-

presin an significa que la base a se re-

pite n veces como factor.

1 1 = 1 = 12

2 2 = 4 = 22 3 3 = 9 = 32 4 4 = 16 = 42

, 5 5 5 5 = 625

- 58 -

Las situaciones expresadas en el prrafo anterior las podemos plantear tambin de

este modo a travs de la siguiente tabla. Compltela:

Crecimiento y decrecimiento exponencial.

Las potencias tienen esencial aplicacin en situaciones de crecimiento y decrecimiento

exponencial, se debe tratar de percibir las diferencias entre este tipo de crecimiento o

decrecimiento y el que se produce, por ejemplo, por adiciones.

Tenemos 2 padres (un padre y una madre).

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2 o 2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2 o 2 o 2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2 o 2 o 2 o 2 = 16 tatarabuelos.

Medida del lado (cm)123456789

rea (cm2)

149

Potencia12

22

37

Clculo1 12 23 3

.

.

.

Aplicaciones de las Potencias rbol genealgico

- 59 -

Haga una tabla y anote sus resultados:

PROPIEDADES DE LA OPERATORIA CON POTENCIAS.

Multiplicacin de Potencias de igual base.

a5 a3 = a a a a a a a a = a8, segn definicin.

Teorema I. Para multiplicar potencias de igual base, se eleva la base a la suma de los

exponentes.

Como una igualdad subi al cambiar el orden de sus miembros, resulta del teorema

anterior que:

am+n = am an; luego se puede formular un nuevo teorema.

Teorema II. Una potencia cuyo exponente es una suma, es igual a un producto de potencias

de igual base que tienen de exponentes los sumandos.

Divisin de Potencias de igual base.

PersonaPapas

AbuelosBisabuelos

Tatarabuelos

Operacin1 + 12 2

2 2 2

Resultado248

Potencia21

22

23.

. .

. . . . . . . .

.

- 60 -

Teorema III. Para dividir potencias de igual base se eleva la base a la diferencia de los

exponentes.

Del teorema anterior resulta: a3 = a8-5 = a8 : a5 y am-n = am : an

Teorema IV. Una potencia cuyo exponente es una diferencia, es igual a un cuociente de

potencias de igual base, en el cual el dividendo tiene como exponente el minuendo y el

divisor el sustraendo.

Potencias de exponente cero y de exponente negativo.

En las aplicaciones del teorema III, expresado por la relacin:

am : an = am-n

Se pueden presentar tres casos, segn la relacin entre exponentes m y n.

1 Caso: m > n. La diferencia m - n es un nmero entero y positivo; satisface las condicio-

nes del exponente.

2 Caso: m = n. La diferencia m - n es igual a cero (0). Una potencia de exponente cero no

se puede explicar por la definicin de elevacin a potencia.

Como el cero proviene de la diferencia de dos cantidades iguales, por ejemplo, m - n

= 0, se puede escribir.

a0 = am-n

= am : am = 1 (Teor. IV).

- 61 -

Un nmero negativo proviene de restar un nmero de otro mayor, por ejemplo:

- 3 = 0 - 3;

- p = 0 - p.

Una potencia de exponente negativo es igual al valor recproco de la base elevado al

mismo exponente positivo.

El mismo resultado se obtiene de:

am a0 = am+0 = am (Teor. I)

De donde: a0 = am : am = 1; luego:

Una potencia de exponente cero es igual a la unidad positiva.

3 Caso: m < n. La diferencia m - n es un nmero negativo; no satisface las condiciones del

exponente.

- 62 -

Multiplicar potencias de igual exponente y elevar a potencia un producto

a3 b3 = a a a b b b

= (a b) (a b) (a b)

= (a b)3

En general

am bm = aaaa (m veces) bbb b (m veces)

= (ab) (ab) (ab) ....(ab) (m veces)

= (ab)m; luego

Teorema V.- Para multiplicar potencias de igual exponente, se eleva el producto de las

bases al exponente comn.

Del teorema V resulta:

(ab)3 = a3 b3

y (ab)m = am bm; luego

Teorema VI.- Para elevar a potencia un producto, se eleva cada uno de los factores y se

multiplican las potencias que resultan

Dividir potencias de igual exponente y elevar a potencia un cuociente o una fraccin

a3 : b3 = (Def.)

= (Producto de fracciones)

= (Def.)

En general, a : b = ,

Teorema VII.- Para dividir potencias de igual exponente, se eleva el cuociente de las bases al

exponente comn.

(Def.)

(Multiplicar fracciones)

a

b(

(

a

b(

(

mm m

aaa

bbb

a

b

a

b

a

b

3

a

b

a

b

a

b

3a

b(

(

=

aaa

bbb

a

b=

3

3

.:

- 63 -

Anlogamente: ; luego

Teorema VIII.- Para elevar a potencias un cuociente o una fraccin, se eleva cada uno de

sus trminos y se dividen las potencias que resultan en el mismo orden.

Elevar una potencia a potencia

(a4)3 = a4 a4 a4 (Def.)

= a4 + 4 + 4 (Teor. I)

= a12

En general,

(am)n = am am am am (n veces)

= am m m m (n veces)

= amn ; luego

Teorema IX.- Para elevar una potencia a potencia, se eleva la base al producto de los

exponentes.

Cambiando el orden de los miembros de la tesis del teorema anterior, resulta:

a12 = (a4)3 = (a3)4

amn = (am)n = (an)m; luego

Teorema X.- Para elevar un nmero a un exponente que es un producto, se eleva sucesiva-

mente a cada uno de los factores en cualquier orden.

Signo de una potencia

Toda potencia de un nmero positivo debe ser positiva, segn la definicin.

Para potencias de base negativa se distinguen dos casos:

1 potencias de exponente par;

2 potencias de exponente impar.

a

b(

(

m

=a

b

m

m

+ + + +

:

- 64 -

1 caso. Un nmero par se expresa por la frmula 2n, siendo n un nmero entero.

Como el cuadrado de un nmero relativo es siempre positivo, puesto que es el producto

de dos nmeros de un mismo signo, resulta:

Toda potencia de exponente par y base negativa el resultado es positivo.

2 caso. Un nmero impar se expresa por la frmula 2n+1.

Observaciones:

1 Los teoremas sobre potencias de exponentes positivos subsisten para potencias de

exponente negativos, lo que se demuestra fcilmente aplicando la definicin de

potencias con exponente negativo, y en seguida el teorema correspondiente de

potencias con exponentes positivos.

2 Si todos los trminos de una proporcin se elevan a una misma potencia, resulta una

nueva proporcin.

Si a : b = c : d es una proporcin, lo es tambin: an : bn = cn : dn

- 65 -

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y TRANSFERENCIA AL AULA.

1.- Calcule mentalmente:

a) 24 b) 63 c) 35 d) 204 e) 300

2.- Calcule en forma escrita:

a) 55 b) 95 c) 110 d) 153 e) 164

3.- Calcule de la forma ms sencilla:

4.- Reduzca a una nica potencia:

5.- Calcule:

6.- Reduzca a una sola potencia y despus, calcule:

7.- Calcule y compare:

- 66 -

Qu observa?

8.- Cuntas losas de un metro cuadrado se necesitan para cubrir un patio cuadrado de

22m de lado?

9.- Cuntos padres y madres tenan entre todos sus tatarabuelos?

10.-Calcule el nmero de cubitos de una arista que caben en un cubo de arista de 10

unidades.

Cuadrados perfectos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos.

Calcule los cuadrados de los primeros 15 nmeros naturales y complete la siguiente

tabla:

Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cuadrado

Cubos perfectos

Las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos.

Calcule los cuadrados de los primeros 15 nmeros naturales y complete la siguiente

tabla:

Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cubo

- 67 -

EJERCICIOS

1.- Calcule.

a) El cuadrado de 60. b) El cubo de 12.

2.- Calcule el valor de a en cada caso.

a) a2 = 81 b) a2 = 100 c) a2 = 441

Potencias de 10

Ejemplos

El nmero 3800000000000 escrito usando potencias de 10 puede ser:

El nmero 3800000000000= 3,8 1012

3800000000000= 38 1011

3800000000000= 380 1010

3800000000000 = 0,38 1013, y as sucesivamente

Notacin cientfica

Se dice que un nmero est en notacin cientfica cuando se escribe como un nmero

entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Por ejemplo, 376 puede escribirse

como 3,76 x 100 = 3,76 x 102, ya que 102 = 10 x 10 = 100. Una ventaja de esta notacin

es su compacidad. 376.000.000 puede escribirse como 3,76 x 108. Se observa que el

exponente 10 es el nmero de lugares que la coma decimal ha de desplazarse hacia la

derecha. Anlogamente, 0,0000376 = 3,76 x 0,00001 = 3,76 x 10-5. Aqu el nmero del

exponente negativo indica cuntos lugares ha de desplazarse la coma decimal hacia la

izquierda.

La notacin cientfica facilita muchos tipos de clculos numricos. Es especialmente til

en manipulaciones que intervengan nmeros muy grandes o muy pequeos.

- 68 -

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y TRANSFERENCIA AL AULA

1.- Escriba con todas sus cifras:

a) 102 b) 106 c) 1010 d) 1012 e) 1016

2.- Escriba como una potencia de 10:

a) Cien b) Cien millones c) Cien billones d) Cien mil billones

3.- Exprese con todas sus cifras:

a) 13 x 107 b) 34 x 109 c) 62 x 1011

4.- Utilice notacin cientfica para expresar los siguientes nmeros:

a) 5.000 b) 1.700.000 c) 4.000.000.000

Raz de un nmero.

La operacin inversa de elevar un nmero al cuadrado, al cubo u a otro exponente, se

llama raz. Extraer la raz de un nmero consiste en encontrar otro nmero que elevado

al ndice de la raz d el nmero con que se empez la operacin.

Elementos de la raz:

a) Radical , signo que representa la operacin de radicacin.

b) ndice (en el ejemplo (2)), indica el tipo de raz que se busca.

Nota.

En las races cuadradas se omite el ndice:

c. Radicando o subradical (16): Nmero al que se le va a extraer la raz indicada

d. Raz (4): Resultado de la radicacin: Nmero que multiplicado por s mismo (4) las

veces que indica el ndice (2) nos da el radicando (16).

- 69 -

Races cuadradas.

Son aqullas que su ndice es 2.

- Races cuadradas exactas. Aqullas cuyo resto es 0. Por ejemplo: 6 es la raz cuadrada

de 36, 5 la de 25 y 9 la de 81, etc.

- Races cuadradas enteras. Aqullas en las que el resultado no es exacto y, al igual que

en la divisin, tiene un resto. Puede expresarse con parte entera y parte decimal.

En caso de expresarse sin parte decimal, el resultado ser la raz del mayor cuadrado

perfecto contenido en radicando.

Resto de la raz cuadrada de un nmero es la diferencia entre dicho nmero y el

cuadrado de su raz cuadrada entera.

Ejemplo:

Si queremos ubicar la raz cuadrada de 46 nos encontramos que no es un cuadrado

perfecto, ya que es mayor que 36 (62) y menor que 49 (72). La raz de 46 tendr una

parte entera, 6 y una parte decimal.

En este caso al cuadrado de 6 (36) le faltan 10 para llegar a 46. 46 -36 = 10. El nmero

10 se llama resto.

EJERCICIOS

1.- Copie y complete como en el ejemplo:

2.- Calcule el valor de m en cada caso:

3.- Una finca cuadrada tiene una superficie de 900 metros cuadrados. Calcule la

longitud de su lado.

4.- Se ha enlosado una habitacin cuadrada con 2.209 baldosas, tambin cuadradas.

Cuntas filas forman las baldosas?

- 70 -

4. FRACCIONES Fracciones y razones.

Nos encontramos con frecuencia situaciones en las

que es preciso dividir un todo en partes, repartir un

conjunto de objetos en partes iguales o medir una

cierta cantidad de una magnitud que no es mltiplo

de la unidad de medida. Para resolver estas

situaciones prcticas, tenemos necesidad de

expresar el cociente de dos nmeros naturales (en

los casos en que no es un nmero natural). Ello nos lleva a la idea de fraccin y tras un

proceso de abstraccin a la introduccin de los nmeros racionales.

En este tema comenzaremos analizando las situaciones prcticas que nos llevan a la

idea de fraccin y estudiaremos los nmeros racionales y sus operaciones.

Situaciones de uso de fracciones y razones 5.1 Situaciones de reparto

5.1.1 Particin de un todo

Se trata de situaciones en las que un todo constituido por uno o ms objetos se divide

en partes iguales y se toman o consideran algunas de esas partes. Cuando decimos que

una parte es a/b del total queremos decir que el total se ha dividido en b partes iguales

y que el trozo al que hacemos referencia est formado por un nmero a de dichas

partes. Si el todo est compuesto por un nmero de elementos iguales, que a su vez es

mltiplo de b, la particin consiste en formar b subconjuntos disjuntos del mismo

nmero de elementos y tomar a de ellos. El todo puede ser continuo o discreto.

Ejemplo (todo continuo): Si repartimos una tarta entre tres personas

decimos que cada una de ellas recibe 1/3.

Ejemplo (todo discreto): En una urna hay 5 bolas blancas y 3 negras. Decimos que la

probabilidad de obtener una bola blanca es 5/8, porque los casos favorables son 5 de los

8 posibles.

5.1.2 Reparto equitativo en las que el nmero de objetos a repartir no es mltiplo del

nmero de individuos entre los que se efecta el reparto.

Los objetos pueden ser divididos en partes sin que pierdan sus propiedades bsicas. En

este caso la existencia de un resto obliga a dividir en partes iguales la unidad de reparto

para poder seguir repartiendo el resto de forma igualitaria entre los individuos. Por

tanto, si cada individuo recibe a/b objetos significa que cada uno de los objetos a

repartir ha sido dividido en b partes iguales y se ha entregado a de ellas a cada

- 71 -

individuo. Ejemplo: Se desea repartir, de manera equitativa, 5 tartas entre 8 nios.

Cada tarta se divide en ocho porciones iguales y se dan 5 de ellas a cada nio. El

resultado del reparto se expresa con la escritura, 5/8.

5.1.3 Reparto proporcional de una cierta cantidad en partes que guardan una cierta

relacin.

En las sociedades jerarquizadas existen repartos o contribuciones que no son

equitativos, sino que los individuos reciben o contribuyen en funcin de su jerarqua

social y econmica. La relacin entre las cantidades repartidas puede ser de tipo aditivo

o de tipo multiplicativo segn que lo que se mantenga constante sea la diferencia entre

las cantidades a repartir o el cociente.

Si se efecta un reparto en que uno de los individuos tiene que recibir 3 unidades ms

que otro (relacin aditiva), si el segundo recibe 2 unidades, el primero recibir

5; y si el segundo recibe 20 unidades, el primero recibir 23.

Si en un reparto un individuo recibe 3 veces ms que otro (relacin multiplicativa),

recibir 6 unidades si el segundo recibe 2, o 60 unidades si el segundo recibe 20. En este

caso, decimos que el reparto se hace en la razn 3 a 1. Si el reparto se hace en la razn

a:b o a --- b (que son las dos maneras de denotar las relaciones multiplicativas), por

cada a objetos o cantidades que reciba el primer individuo el segundo debe recibir b

objetos o cantidades.

Ejemplo: Este tipo de reparto se usa en el muestreo proporcional. Por ejemplo, si en

una poblacin electoral la proporcin de jvenes es el 30% del total de votantes, al

elegir una muestra de 1000 personas se incluir en la misma 300 jvenes.

5.2 Situaciones de medida.

5.2.1. Por fraccionamiento de la unidad

En estas situaciones existe una cantidad de magnitud a medir que no equivale a la

unidad o alguno de sus mltiplos. Para precisar ms la medida se divide la unidad en

partes iguales y si una cantidad de magnitud mide a/b unidades quiere decir que

dividiendo la unidad en b partes iguales la cantidad de magnitud a medir equivale a un

nmero a de dichas partes.

Ejemplo: Cuando decimos que un botelln de coca cola tiene 250/1000 litros.

5.2.2. Por commensurabilidad

Situaciones de medida en las que se comparan dos cantidades de una magnitud,

estableciendo cuntas veces tiene que ser repetida cada una de ellas para obtener dos

cantidades iguales.

En este caso, dadas dos cantidades de magnitud A y B (por ejemplo, dos varillas de

longitudes A y B), decimos que estn en la razn a : b si repitiendo b veces la cantidad

de magnitud A y a veces la cantidad de magnitud B, se obtienen dos cantidades de

magnitud iguales, es decir, bA = aB. Si la cantidad de magnitud B se toma como unidad

- 72 -

de medida se dice entonces que a : b es la medida de A respecto de la unidad B. Este

proceso de medida se llama "medida por conmensurabilidad" (medida comn).

Los pares de nmeros naturales a : b, o separadas por un guin a ---- b, que aparecen en

este segundo tipo de situaciones suelen recibir el nombre de razones y tienen todos

ellos la particularidad de que si dos cantidades de magnitud A y B estn en la razn a : b

se cumple que bA = aB. Al primer nmero del par se le llama "antecedente" o primer

trmino de la razn y al segundo "consecuente" o segundo trmino de la razn.

Las situaciones de comparacin multiplicativa de los cardinales de dos conjuntos es un

caso particular de medida por conmensurabilidad en el que las magnitudes son

discretas.

En algunas ocasiones se establecen relaciones multiplicativas entre dos conjuntos con

efectos de comparacin, o se comparan cantidades de diferentes magnitudes discretas.

En este uso se supone que los dos conjuntos son partes de un conjunto global y se

comparan las partes entre s, y no las partes con el todo.

Ejemplo: Cuando decimos que en una Facultad hay 3 hombres por cada 7 mujeres. La

razn entre el nmero de hombres y mujeres es 3/7.

La similitud con la conmensurabilidad se ve teniendo en cuenta que si tomamos 7 grupos

de 3 hombres obtenemos la misma cantidad de personas que si tomamos 3 grupos de 7

mujeres. En ambos casos se obtiene 21 personas.

5.3. Situaciones de trueque, en las que dos individuos intercambian mercancas de

distintos tipos.

Un trueque se efecta en la razn a: b si por cada a objetos de un tipo que el primer

individuo le entrega al segundo, este ltimo le entrega al primero b objetos de otro

tipo.

Ejemplo: Cuando compramos una bolsa de naranjas de 3 kilos por 4

euros. En este caso podemos decir que el trueque es 4: 3 euros el kilo o,

alternativamente que el precio unitario del kilo de naranjas es 4/3 de

euros.

5.4. Situaciones de transformacin

En el estudio del cambio de un objeto, un conjunto de objetos o una cantidad de

magnitud, cuando se compara un estado actual con otro pasado o futuro tambin se

utilizan fracciones. En este caso la fraccin tiene un uso como funcin u operador que

se aplica sobre una cantidad inicial para encontrar una cantidad final.

Ejemplo: Cuando se dice que el crecimiento de la poblacin es del 10 por ciento o que

el precio de unas acciones se ha reducido a los 3/4 de su valor.

- 73 -

5.5. Situaciones de divisin no entera

En el contexto algebraico, la solucin de la ecuacin a = bx, con a y b enteros y cuando

b no es un divisor de a y distinto de 0, se expresa mediante la fraccin a/b, dejando

indicado el cociente entre los nmeros a y b.

En el proceso de solucin de las situaciones anteriores puede haber una fase (con

frecuencia implcita) en la que las cantidades que aparecen se reducen a sus respectivas

medidas (nmeros enteros). Con ello se pasa de una situacin emprica a otra formal

(algebraica) en la que la fraccin expresa el cociente indicado de los nmeros

correspondientes.

Los distintos tipos de situaciones de uso de las fracciones y razones que hemos descrito

proporcionan sentidos (o significados pragmticos) diferentes de estos objetos

matemticos, poniendo en juego acciones e informaciones contextuales diferentes. El

objeto matemtico "nmero racional", que se presenta en la siguiente seccin, debe ser

abstrado de toda esta variedad de situaciones y operaciones concretas.

Distincin entre fracciones y razones

En los ejemplos que hemos introducido las razones utilizadas son

siempre entre nmeros enteros y se poda pensar que la razn es

equivalente a una fraccin. Sin embargo, en algunas situaciones

el uso que se hace del trmino razn es ms amplio que el de

fraccin, por lo que algunos autores diferencian entre estos dos

trminos. Estas situaciones son las siguientes:

Cuando se comparan los tamaos de colecciones de objetos de naturaleza diferente, y

no tiene sentido pensar en un conjunto global que los contenga. Por ejemplo, cuando se

dice que en una ciudad hay 2 automviles por cada 5 habitantes.

Las razones se pueden expresar mediante smbolos diferentes de fracciones: 4: 7, o 4

7; el smbolo de la fecha indica bien el aspecto de correspondencia de una razn, como medio de comparar cantidades.

Las razones pueden tener un cero como segunda componente. En una bolsa la razn

de bolas rojas a verdes puede ser de 10 a 0, si no hay ninguna verde. En las fracciones

el denominador siembre debe ser distinto de cero. Definicin e interpretaciones.

Una fraccin es un nmero que se escribe:

a

b

Siendo a y b nmeros enteros con b distinto de 0,

a es el numerador y b el denominador. 3/4

- 74 -

Esta fraccin puede expresar:

- De b partes iguales en que se divide la unidad; consideramos a partes.

- La divisin de a entre b. Al cociente de esta divisin se le llama expresin

decimal de la fraccin.

3 : 4 = 0,75 expresin decimal

Los porcentajes o tantos por ciento son fracciones cuyo denominador es 100. Para

representarlos se utiliza el smbolo %.

Lectura de fracciones.

Al leer una fraccin, se lee primero el numerador como nmero natural, despus se lee

el denominador aplicando la siguiente nomenclatura segn el nmero.

2 se lee medios 3 se lee tercios 4 se lee cuartos

5 se lee quintos 6 se lee sextos 7 se lee sptimos

8 se lee octavos 9 se lee novenos 10 se lee dcimos

Cuando el denominador es mayor que 10, se aade al nombre del nmero la terminacin

AVO.

11 se lee onceavo 12 se lee doceavos 13 se lee treceavos, etc.

Tipos de Fracciones.

Fracciones propias.

En las fracciones propias el numerador es menor que el denominador. Su valor est

comprendido entre cero y uno.

Ejemplo: 2, 3, 7

3 5 10

Fracciones impropias.

Las fracciones impropias son aqullas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su

valor es mayor que 1.

Ejemplo: 5, 7, 13

3 5 10

Nmeros mixtos o fraccin mixta.

Este tipo de fracciones estn compuestas por una parte entera y otra fraccionaria.

- 75 -

Para pasar de nmero mixto a fraccin impropia, se deja el mismo denominador y el

numerador es la suma del producto del entero por el denominador ms el numerador,

del nmero mixto.

Para pasar una fraccin impropia a nmero mixto, se divide el numerador por el

denominador. El cociente es el entero del nmero mixto y el resto el numerador de la

fraccin, siendo el denominador el mismo.

Fraccin unidad.

Este tipo de fracciones se caracterizan por tener igual numerador y denominador. Su

valor numrico es igual a 1.

6 , 4 , 13

6 4 13

Fracciones unitarias.

Estas fracciones llevan en su numerador la unidad.

1 , 1 , 1

2 7 18

Fracciones decimales.

Es tipo de fracciones tienen en su denominador una potencia de 10.

18 , 54 , 9

100 1000 10

Fracciones equivalentes.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte del entero:

La equivalencia de expresa por: a = c

b d

Ejemplo:

Existen varios procedimientos para averiguar si dos fracciones son equivalentes. Por

ejemplo, si:

- Se obtiene la misma superficie al representarlas grficamente.

- 76 -

- Su representacin en la recta numrica es el mismo punto.

- Al realizar la divisin indicada, se obtiene el mismo cociente:

3 : 4 = 0,75 ; 6 : 8 = 0,75

- Los productos cruzados son iguales:

3 x 8 = 6 x 4

- El numerador y denominador de una de ellas se obtiene multiplicando o

dividiendo el numerador y denominador de la otra por el mismo nmero.

6 = 3 x 2

8 = 4 x 2

Puesto que un conjunto de fracciones equivalentes expresa la misma cantidad, a ese

conjunto se le llama nmero racional. El conjunto de todos los nmeros racionales se

representa por la letra Q.

En la prctica, nmero racional y fraccin se utilizan como sinnimos.

Simplificacin y Amplificacin de fracciones.

Simplificar una fraccin consiste en calcular otra equivalente, dividiendo su numerador

y denominador por un mismo nmero. Cuando una fraccin no se puede simplificar, se

dice que es irreductible.

15 = 15 : 3 = 5

24 24 : 3 8

Dada una fraccin cualquiera, se puede calcular su fraccin equivalente irreductible,

dividiendo sucesivamente el numerador y el denominador por sus divisores comunes,

pero es ms rpido si se dividen directamente por su mximo comn divisor.

Divisiones sucesivas: 42 = 42 : 2 = 21 = 21 : 3 = 7

30 30 : 2 = 15 = 15 : 3 = 5

- 77 -

Amplificar una fraccin consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el

mismo nmero distinto de cero.

2 = 4 2 x 2 = 4

3 6 3 x 2 = 6

Ordenacin de fracciones Podemos mencionar variados procedimientos para ordenar un conjunto de fracciones.

La eleccin del ms adecuado depende, como vamos a ver, de las caractersticas de las

mismas:

- Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor

numerador.

9 > 5

4 4

- Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor

denominador:

6 > 6

7 11

- Si los denominadores y numeradores son distintos, se puede:

a) Calcular la expresin decimal de cada fraccin y compararlas.

5 < 3 ya que: 0,625 < 0,75

8 4

b) Representar las fracciones en la recta y observar el orden de los puntos

obtenidos.

- Calcular fracciones equivalentes a las dadas, de manera que las equivalentes

tengan el mismo denominador. Ser mayor la que tenga mayor numerador.

Operaciones con fracciones Se debe recordar que para cualquiera de las operaciones siguientes son vlidas las

siguientes reglas:

1.- Antes de operar, hay que simplificar.

- 78 -

2.- Hay que simplificar el resultado.

Adicin y sustraccin de fracciones.

La adicin o sustraccin de dos fracciones que tiene el mismo denominador es otra

fraccin con el mismo denominador que tiene por numerador la suma o diferencia de los

numeradores.

5 + 2 = 7 7 11 = 4

9 9 9 3 3 3

Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se calculan primero fracciones

equivalentes que tengan el mismo denominador y despus se efecta la operacin segn

lo dicho anteriormente. Una manera de obtener esas fracciones equivalentes es:

- Considerar como denominador el mnimo comn mltiplo (m.c.m) de los

denominadores.

- El numerador se obtiene dividiendo el m.c.m. entre cada denominador y

multiplicando el resultado por cada numerador.

m.c.m. (8, 12, 4) = 24

7 2 + 13 5 = 21 48 + 26 30 = 47 78 = 31

8 12 4 24 24 24

Multiplicacin de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fraccin que tiene como numerador el producto de

los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

4 x 2 = 4 x 2 = 8 ; 3 x 4 = 12

3 5 3 x 5 15 5 5

La inversa de una fraccin es aqulla que al multiplicarla por la dada resulta de la

unidad.

La inversa de 2 es 3 ya que 2 x 3 = 1

3 2 3 2

Para calcular la inversa de una fraccin, basta con intercambiar numerador y

denominador, y dejar el mismo signo.

Divisin de fracciones.

Para dividir una fraccin entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la

segunda.

6 : 12 = 6 x 5 = 6 x 5 = 30 = 30 : 6 = 5

7 5 7 12 7 12 84 84 6 14

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1.- Qu fraccin se ha coloreado en cada figura?

2.- Coloree en cada tringulo la fraccin indicada.

3.- Calcule mentalmente las siguientes fracciones de un nmero:

4.- Calcule:

5.- Transforme en cada fraccin a nmero decimal:

6.-Exprese cada decimal como fraccin:

7.- Ordene de menor a mayor:

8.- Escriba tres fracciones equivalentes en cada caso:

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9.- Simplifique:

10.- Calcule el valor de x en cada caso.

11.- Resuelva mentalmente.

a) Qu fraccin de los dados son rojos?

b) Qu fraccin de los azules estn apilados en columna?

c) Qu fraccin de la semana son tres das?

d) En una clase de 24 alumnos, 8 juegan al tenis. Qu fraccin juega al tenis?

e) El 25% de las flores de un jardn son rosas. Qu fraccin son rosas?

12.- Qu fraccin de hora son 15 minutos?, Y 10 minutos?, Y 12 minutos?

13.- Doce de cada veinte personas que van al circo son nios. Qu fraccin de los

asistentes al circo son nios?

14.- Con un bidn de 20 litros se llenan 200 frascos de agua de colonia. Qu fraccin de

litro entra en cada frasco?

15.- En una estantera hay 30 libros. Cinco sextas partes son novelas. Cuntas novelas

hay en la estantera?

16.- De un bidn de aceite de 40 litros se han extrado 3/8. Cuntos litros se han

extrado?

17.- Julia compr un queso de 2 kilos y 800 gramos, pero ya ha consumido dos quintos.

Cunto pesa el trozo que queda?

18.- En una parcela de 800 metros cuadrados, se ha construido una casa que ocupa 2/5

de la superficie y el resto se ha ajardinado. Qu superficie ocupa la casa?, Y el jardn?

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19.- De un piln de riego de 45.000 litros, se han consumido siete octavas partes.

Cuntos litros quedan en el depsito?

20.- Un hotel tiene 80 habitaciones, de las que el 20% estn vacas. Qu fraccin de las

habitaciones estn vacas?, Cuntas estn vacas?

5. NMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES.

Distincin entre expresin decimal y nmero decimal La expresin 0,75 designa un nmero decimal, que tambin se

puede escribir en forma de fraccin, 75/100, la cual a su vez es

equivalente a la fraccin irreducible .

Son tres formas de escribir y de hablar sobre un nmero decimal

particular.

La expresin o notacin decimal con un nmero finito de cifras

decimales se puede usar en todos los racionales que pueden ser

representados por una fraccin cuyo denominador es una potencia de diez. Este

subconjunto (D) de nmeros racionales (Q) recibe el nombre de conjunto de los

nmeros decimales (D Q).

Los nmeros decimales, y la notacin decimal con la que se expresan son de gran

importancia en las matemticas y sus aplicaciones prcticas debido a una propiedad

importante: se trata de un conjunto denso en Q y en R (nmeros reales), lo que quiere

decir que cualquier nmero real x se puede acotar por medio de nmeros decimales tan

prximos a x como se desee (existe un nmero decimal cuya diferencia con x es tan

pequea como se quiera).

Observacin:

Se tiene tendencia a llamar 'nmero decimal' a un nmero cuya expresin tiene una

parte decimal visible. Pero los nmeros naturales son tambin nmeros decimales,

simplemente su parte decimal (la escrita a la derecha de la coma) se reduce a 0 (o

tambin a '9999...), y no se escribe. Por otro lado, existen racionales no decimales.

Se llama nmero decimal a aquellos racionales que tienen una fraccin

representante con denominador potencia de 10 (fracciones decimales).

Todos los nmeros decimales son racionales, pero no todos los racionales son

decimales.

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No obstante, cualquier racional no decimal se puede expresar en notacin decimal,

aunque el nmero de cifras a la derecha de la coma es infinito, con cifras que se

repiten.

El nmero de cifras decimales es una caracterstica de la expresin decimal (numerales)

no de los nmeros, ya que un mismo nmero se puede representar mediante diferentes

expresiones decimales: 34,1 = 34,10 = 34,100,... = 34,0999...

Los nmeros decimales se pueden expresar tambin en forma polinmica, con

potencias de base 10 (si se usa dicho nmero como base del sistema de numeracin)

usando exponentes positivos y negativos. Por ejemplo:

Que se lee, dos dece-

nas, 3 unidades, 7 dcimas y 5 centsimas.

La notacin decimal para expresar los nmeros racionales es importante, ya que es ms

fcil trabajar con ella que con la notacin de fraccin. Por ejemplo, al comparar dos

racionales es ms rpido comparar las expresiones decimales que las fracciones:

Ejemplo: Para comparar 7/8 con 22/25 hay que reducir las fracciones a comn

denominador y comparar los numeradores. Sin embargo, si los expresamos en notacin

decimal, 7/8 = 0,875, y 22/25 = 088, vemos en seguida que 22/25 es mayor.

La notacin decimal es tambin cmoda para encontrar un nmero racional

comprendido entre otros dos dados. La mayor ventaja es en la realizacin de

operaciones aritmticas, ya que se pueden usar algoritmos similares a los desarrollados

para trabajar con nmeros enteros.

Expresiones decimales y fracciones.

Se puede demostrar que, al realizar la divisin indicada en cualquier fraccin, siempre

nos encontramos con alguno de los casos siguientes:

El resto es cero: en ese caso el cociente es una expresin decimal con un nmero

limitado de cifras y se llama exacta. Esto slo ocurre cuando el denominador es

un producto de potencias de 2 de 5. 2/5 = 0,4

El resto nunca es cero: se pueden presentar dos casos.

- Que el cociente aparezca inmediatamente despus de la coma, un grupo de

cifras que se repite indefinidamente.

El grupo de cifras que se repite se llama perodo y la expresin decimal peridica

pura. Por ejemplo; 27/11 = 2,4545452,45

- Que en el cociente aparezca un perodo, pero no inmediatamente despus de la

coma.

El grupo de cifras que hay entre la coma y el perodo se llama anteperodo, y la

expresin decimal, peridica mixta.

Luego, la expresin decimal de una fraccin es exacta o peridica pura o

peridica mixta.

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Dada una expresin decimal exacta o peridica siempre existe una fraccin que se

corresponde con ella.

Si la expresin decimal es exacta.

La fraccin tiene:

- Por numerador, el numerador sin coma.

- Por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras hay despus de

la coma. Por ejemplo: 4,125 = 4.125 = 33

1.000 8

Si la expresin decimal es peridica pura.

La fraccin tiene:

- Por numerador, la parte entera seguida del perodo menos la parte entera.

- Por denominador, el nmero formado por tantos nueves como cifras tenga el

perodo. Por ejemplo: 43,25 = 4.325 43 = 4.282

99 99

Si la expresin decimal es peridica mixta.

La fraccin tiene:

- Por numerador la parte entera seguida del anteperodo y del perodo menos la

parte entera seguida del anteperodo.

- Por denominador el nmero formado por tantos nueves como cifras tenga el

perodo seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo. Por ejemplo:

7,243 = 7.243 724 = 6.519 = 2.173

900 900 300

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Transformaciones de decimal a racional.

Con esta tabla est en condiciones de transformar cualquier nmero decimal a forma racional escrita como fraccin. Los nmeros que tienen infinitos decimales y no presentan perodo, no corresponden a los nmeros racionales y se les conoce como IRRACIONALES.

Los Nmeros Irracionales. El conjunto de los nmeros irracionales se representa por I y est formado por todos los nmeros decimales cuya parte decimal tienen infinitas cifras no peridicas, es decir, por todos los nmeros que no se pueden representar por el cociente de dos nmeros enteros. Ejemplos de nmeros irracionales.

(pi) Es un nmero irracional muy conocido. Se han calculado ms de un milln de cifras decimales y siguen descubrindose otras. Los primeros son stos:

3.1415926535897932384626433832795

El nmero e (el nmero de Euler) es otro nmero irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningn patrn. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527

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- Averige junto a sus estudiantes otros nmeros irracionales famosos.

Operaciones con nmeros Decimales

Adicin. La adicin de nmeros decimales se efecta como la de nmeros enteros, colocando los nmeros de tal manera que las comas queden debajo de las comas, los dcimos bajo los dcimos, etc. Si uno de los nmeros tiene menos cifras decimales que el otro, se reemplazan mentalmente por ceros las cifras decimales que faltan.

La comprobacin de la adicin se efecta sumando de nuevo, pero en sentido inverso, es decir, de abajo hacia arriba.

Sustraccin La sustraccin de nmeros decimales se efecta como la de nmeros enteros, colocando los nmeros de manera que las comas queden debajo de las comas, los dcimos bajo los dcimos, etc. Si uno de los nmeros tiene menos cifras decimales que el otro, se reemplazan mentalmente por ceros las cifras decimales que faltan:

La comprobacin de la sustraccin se efecta sumando el sustraendo y la resta. El resultado de la suma debe ser igual al minuendo.

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Multiplicacin. Para efectuar una multiplicacin de nmeros decimales, se ejecuta la operacin como si fuesen nmeros enteros; pero en el producto se separan tantas cifras, desde la derecha, como cifras decimales haya en los dos factores reunidos: Ejemplo:

Si el nmero de cifras decimales es mayor que el nmero de cifras que consta el

producto, se agregan ceros a la izquierda a fin de separar el nmero exacto de

decimales:

Divisin Primer Caso: Dividir un nmero decimal por un entero. Para dividir un nmero decimal por un nmero entero, se divide la parte entera por el divisor, y antes de bajar la primera cifra decimal, se escribe la coma al cociente. Se contina enseguida la divisin:

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Segundo Caso: Dividir un nmero entero por un decimal. Para dividir un nmero entero por un decimal se multiplica dividendo y divisor por una potencia de diez que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, se borra la coma de dividendo y se dividen como nmeros enteros. Tercer Caso: Dividir un nmero decimal por otro. Para dividir un nmero decimal por otro, se multiplica tanto el dividendo como el divisor por una potencia de diez que tenga tantos ceros como decimales tenga el divisor, de tal forma que ste (divisor) se transforme en un entero, luego se puede presentar nuevamente el primer caso o simplemente una divisin entre nmeros enteros. Orden en los decimales. Para determinar cul es mayor de varios nmeros decimales se tomar en cuenta lo siguiente: 1. Comparamos las partes enteras y el mayor ser el que tenga la mayor parte entera.

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2. Si las partes enteras son iguales se compararn las partes decimales cifra por cifra a partir del punto decimal y al encontrar la primer cifra diferente el nmero mayor ser el que tenga la mayor cifra.

25.2345 < 25.2366 Aproximacin de nmeros decimales. En la prctica, los nmeros decimales se usan aproximados. El nmero de cifras decimales depende del problema del cual trate. Por ejemplo: Si se trata de pesos ($), el resultado de cualquier operacin se aproxima, dejndola sin decimales. Lo mismo cuando se trata de seres vivos, no se puede decir, por ejemplo, haba 34,2 personas en el estadio. En el caso de medidas, donde el clculo implica operaciones con nmeros irracionales, es necesario aproximar a uno o ms decimales. Las tcnicas usadas con estos decimales son dos: Aproximacin por redondeo. Aproximacin por truncamiento.

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y TRANSFERENCIA AL AULA. 1.- Escriba como se leen los siguientes nmeros decimales:

2.- Escriba con cifras:

3.- Observe la siguiente tabla y conteste:

4.- Exprese en dcimas: 5.- Ordene de menor a mayor en cada caso: 6.- Calcule mentalmente:

7.- Realice estas operaciones:

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8.- Opere las expresiones siguientes:

9.- Obtenga el resultado usando la calculadora:

10.- Multiplique:

11.- Calcule el cociente con dos cifras decimales, si las hay:

12.- Calcule el cociente (no saque ms de dos cifras decimales):

13.- Multiplique y divida por la unidad seguida de ceros:

14.- Opere:

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15.- Problemas.

a) Con una cinta de 20 metros se han confeccionado 25 lazos iguales. Cunto mide el trozo de cinta que lleva un lazo?

b) Cuntos litros de perfume se necesitan para llenar 1.000 frascos de 33

mililitros?

c) Cuatro tazas pesan lo mismo que cinco vasos. Si cada taza pesa 0,115 kg, Cunto pesa cada vaso?

6. RAZONES Y RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD.

Las relaciones proporcionales estn presentes ampliamente en situaciones cotidianas y en las ciencias. En el contexto financiero, por ejemplo, las variaciones proporcionales y porcentuales juegan un papel fundamental, proyectndose esta aplicacin a distintos mbitos de las ciencias.

Al enfrentar a los alumnos y alumnas al anlisis y resolucin de situaciones

y problemas en los que hay una relacin proporcional entre las magnitudes involucradas, se insiste en la organizacin de la informacin mediante tablas, para ayudarles a identificar la forma en que los valores van variando, esto no quita derecho a darles a los estudiantes la oportunidad de desarrollar sus propias estrategias para enfrentar la situacin.

Forma parte de nuestra experiencia cotidiana la capacidad de reconocer

cuando dos objetos "de una misma naturaleza", en el sentido de alguna de sus caractersticas tales como longitud o peso, son equivalentes o no, y en este ltimo caso, cul es ms grande respecto de la caracterstica observada. De igual modo, si observamos un diseo y su ampliacin o su reduccin somos capaces de distinguir alguna distorsin, en el sentido del respeto a las proporciones del objeto original.

Si procedemos a medir cada una de las dimensiones del objeto reducido o ampliado - operacin que a veces solicitamos a una fotocopiadora para efectos de elaborar material para una clase- y comparamos dividiendo de a pares, las

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medidas de cada parte correspondiente al objeto original respecto del modificado, constataremos que se obtiene un mismo valor.

A este valor se le llama la "escala" de la reproduccin. En matemticas este

hecho se expresa diciendo que una reproduccin presenta una "razn" de paso de una figura a la otra y este valor se le llama "razn externa".

Por su parte, si comparamos dividiendo de a pares, partes del mismo

objeto en el original y luego en el modificado, obtenemos un mismo valor en cada caso. En matemticas se expresa esa situacin sealando que las "razones internas" se preservan en un diseo a escala.

Dicho de otro modo, hay una relacin entre la existencia de una razn externa y la conservacin de las razones internas: por un lado, una reproduccin a escala respeta las proporciones, las formas. Por otro lado, una reproduccin que respeta las proporciones es necesariamente una reproduccin a cierta escala. Razones. Qu informa una razn?

Una razn es una manera de comparar dos magnitudes. En trminos generales, una razn informa la comparacin por divisin de dos nmeros o de las medidas de dos cantidades. Hay razones que comparan partes de un todo. Por ejemplo, el nmero de estudiantes mujeres (24) respecto del nmero de estudiantes hombres (12) de un curso. Otras razones comparan partes de un todo respecto del todo. Por ejemplo, el nmero de estudiantes mujeres (24) respecto del total de alumnos del curso (36). Cmo se leen y escriben las razones? Hay varias maneras de escribir razones: como una fraccin, como una divisin, o, usando las palabras "es a" o "por cada" entre los valores que se comparan. En cualquiera de las notaciones anteriores, las razones se leen usando las palabras "es a" o "son a" entre las magnitudes que se comparan. Muchas veces en la vida diaria y en las Ciencias se necesitan comparar medidas y cantidades. Ejemplo: - Comparemos el dinero que reciben dos personas, sabiendo que la primera obtiene $ 3.000 y la segunda $ 1.500. Las cantidades se pueden comparar por su diferencia o por el cuociente entre ambas.

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Por diferencia; 3.000 - 1.500 = 1500. Es decir, la primera recibe $ 1500 ms que la segunda. Por cuociente: 3.000 = 2 1.500 Significa que la primera tiene 2 veces lo que tiene la segunda.

Ejemplo: En un curso mixto, el nmero de nios es 18 y el de nias es 20. Podemos calcular la razn entre el nmero de nios y nias: 18 : 20 , se indica que 18 nios es a 20 nias.

Debemos hacer notar que las razones son iguales, ya que describen la misma comparacin. Elementos de una razn: - Toda razn tiene un cuociente, denominado valor de la razn.

- Los conceptos de razn y de fraccin no son idnticos, a pesar de que las razones se expresen a veces como fracciones. Una fraccin es un nmero, en cambio, una razn es una comparacin por cuociente de dos nmeros. El valor de la razn es slo un nmero, por lo tanto, es independiente de toda unidad en

que estn expresados los trminos de la razn.

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Ejemplo:

- Consideremos una razn cuyo antecedente es 24 y cuyo valor es 2. Calculemos su

consecuente.

- Designamos como x al consecuente, y formamos la igualdad ;

entonces: x = 12.

Ejemplo:

- Luis y Mara ganan $18.000 en un concurso, los cuales se los distribuyen en la razn 2:

3 Cunto dinero le correspondi a cada uno?

Solucin: Sea K el valor de la razn, entonces:

2k + 3k = 18000

5k = 18000

k = 18000: 5

k = 3600

Entonces a Luis le corresponde 2 3600 = 7200

A Mara le corresponde 3 3600 = 10800

Si sumamos estos valores tenemos 7200 + 10800 = 18000, que es el dinero que se tena

que distribuir.

Proporciones.

Se llama proporcin a la igualdad de dos razones.

Una proporcin se expresa de las siguientes formas:

Y se lee: a es a b como c es a d.

Ejemplo:

- Consideremos las razones 36 : 72 y 2 : 4. Ambas razones tienen el mismo valor de 0,5.

En una proporcin, distinguimos trminos medios, trminos extremos, antecedentes y

consecuentes.

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Teorema fundamental de las proporciones.

Ejemplo

Propiedades de las proporciones. Consideremos la proporcin . De ella se pueden obtener otras proporciones, aplicando las siguientes propiedades.

a. Alternando los trminos extremos.

Demostracin:

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b. Alternando los trminos medios Demostracin:

c. Invirtiendo las razones

Demostracin:

d. Permutando la proporcin

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Demostracin: e. Componiendo las proporciones con respecto al antecedente de cada razn

Demostracin:

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f. Componiendo la proporcin con respecto al consecuente de cada razn.

(por teorema fundamental)

g. Descomponiendo la proporcin con respecto al antecedente de cada razn.

Demostracin:

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i. Componiendo descomponiendo la proporcin.

Demostracin:

Ejemplo de aplicacin de proporciones. La diferencia entre la edades de dos personas es de 42 aos y estn en la razn 14 : 8. Calcularemos la edad de cada persona. Designemos por p y q las edades:

Se sabe que: descomponiendo con respecto al consecuente, tenemos.

Reemplazando p - q = 42 en la proporcin, resulta: Aplicando el

teorema fundamental, se tiene: 6 q = 42 8 6 q = 336 q = 56 p = 98 Respuesta: Las personas tienen 98 y 56 aos, respectivamente.

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Tipos de proporciones El nfasis del trabajo con proporciones est puesto en la determinacin de variaciones proporcionales directas o inversas, cuando corresponde, ms que en el clculo de valores de una proporcin. Existen proporciones directas, inversas y compuestas. Proporcionalidad Directa:

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas cierto nmero de veces, la otra tambin aumenta el mismo nmero de veces.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al disminuir una de ellas cierto nmero de veces, la otra tambin disminuye el mismo nmero de veces.

Ejemplo: Un automvil gasta 8 litros de bencina cada 100 km. recorridos. Si quedan slo 7 litros en el estanque. Cuntos kilmetros podr recorrer sin cargar bencina nuevamente? Solucin: Si razonamos con menos litros de bencina podr recorrer menos kilmetros. Por lo tanto, las magnitudes son directamente proporcionales. Planteamos entonces...

Aplicando propiedad fundamental

Luego, el automvil, podr recorrer 87,5 km. La respuesta es lgica, pues tena solamente 7 litros. Por lo tanto, el nmero de kilmetros debera resultar menor que 100. Pero si la persona quisiera tener un panorama ms completo del recorrido versus gasto

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La representacin grfica de una proporcionalidad directa es una Lnea Recta. Proporcionalidad inversa:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas cierto nmero de veces, la otra magnitud disminuye el mismo nmero de veces.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al disminuir una de ellas cierto nmero de veces, la otra magnitud aumenta el mismo nmero de veces.

Ejemplo: Para realizar una fiesta un grupo de 8 jvenes requieren cierta cantidad de bebidas, las cuales consumen en 4 horas. Si a esta fiesta llegarn dos nuevos integrantes para cuntas horas le durara la misma cantidad de bebidas?

Luego la misma cantidad de bebida slo les durara 3 hrs. 12 minutos. La representacin grfica de una proporcionalidad inversa es una LNEA Curva, llamada Hiprbola.

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Proporcionalidad Compuesta (tres o ms magnitudes) En los problemas de proporcionalidad compuesta intervienen ms de dos magnitudes. Se resuelven como dos o ms problemas separados. 1 Consideremos una de las magnitudes y la relacionamos con la incgnita. 2 Resolvemos el problema y encontramos el primer valor de la incgnita. 3 Relacionamos el primer valor encontrado con la magnitud que an no habamos considerado. 4 Si en el problema intervienen ms de tres magnitudes, se contina considerando una a una y utilizando el valor precedente de la incgnita. Ejemplo: En este problema intervienen tres magnitudes: nmero de estudiantes, tiempo y dinero. La incgnita es la cantidad de dinero.

Primera respuesta parcial: 6 estudiantes en 10 das gastarn $ 52.500

Segunda respuesta parcial, en este caso, final: 6 estudiantes en 15 das gastarn $ 78.750.

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1.- Indique los pares de magnitudes que son directamente proporcionales (D), los que son inversamente proporcionales (I) y los que no guardan proporcionalidad (X). a) El tiempo que est encendida una luz y la cantidad de energa que gasta. b) El nmero de pginas de un peridico y su precio. c) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en ir de Santiago a Talca. d) El peso de un queso y su coste. e) El caudal de una fuente y el tiempo que tarda en llenar un recipiente. f) El nmero de asas de un jarro y su capacidad. 2.- Complete esta tabla de valores directamente proporcionales:

3.- Complete esta tabla de forma que los pares de valores sean inversamente proporcionales: 4.- Calcule, en cada caso, el trmino desconocido:

5.- Problemas de proporcionalidad. a) Dos jardineros siegan un parque en 3 horas. Cunto tardara uno solo? Y tres jardineros? b) Un ciclista, a 20 km/h, tarda 30 minutos en cubrir cierto recorrido. Cunto tardar una moto a 60 km/h?

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c) Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 kg. Cunto pesarn cinco cajas iguales a las anteriores? d) Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 minutos. Cuntos litros arrojar en 15 minutos? e) Dispongo de tres grifos iguales para llenar un depsito. Si abro uno, el depsito se llena en 12 minutos. Cunto tardar en llenarse si abro dos grifos? Y si abro los tres? f) Cuatro segadores cortan un campo de heno en tres horas. Cunto tardar un solo segador? Y seis segadores? g) En una bodega con dos mquinas embotelladoras se envasa la cosecha de vino en 15 das. Cunto se tardara, teniendo una mquina ms? h) En un taller de confeccin se han fabricado 5.880 vestidos en 21 das. Si se mantiene el ritmo de produccin, cuntos vestidos se fabricarn en los prximos 15 das? i) Un jardinero necesita 20 macetas para sembrar los bulbos que tiene si coloca 3 de ellos en cada maceta. Cuntas necesitara si colocase 4 bulbos en cada una? j) Un autobs de lnea, a 80 km/h, tarda 25 minutos en cubrir la distancia entre dos pueblos. Cunto tardara si fuera a 100 km/h? K) En el plano de una casa, el saln mide 10 cm de largo por 7 cm de ancho. Si en la realidad el largo es de 5 m, cul es la anchura del saln? l) Dos ciudades A y B separadas 85 km en la realidad, estn a 34 cm de distancia en un plano. Cul ser la distancia real entre otras dos ciudades M y N separadas 12 cm en el plano? m) Con un depsito de agua, se abastece una cuadra de 20 caballos durante 15 das. Cunto durara el depsito si se vendieran 8 caballos? n) Un jardinero, con su mquina cortacsped, siega una parcela de 200 metros cuadrados en 18 minutos. Qu superficie puede segar en hora y media?

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o) Un grifo, con un caudal de 12 litros por minuto, ha tardado tres cuartos de hora en

llenar un depsito. Cul deber ser el caudal para llenar el mismo depsito en 20

minutos?

TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE

La notacin de porcentajes y el razonamiento de

proporcionalidad que se pone en juego cuando uno de los

trminos que intervienen en las proporciones toma el valor

100 se utiliza en una amplia variedad de situaciones de la

vida diaria. La expresin x % es una manera alternativa de

expresar la fraccin x/100, pero el concepto de porcentaje proviene de la necesidad de

comparar dos nmeros entre s, no slo de manera absoluta (cual de los dos es mayor),

sino de una manera relativa, es decir, se desea saber qu fraccin o proporcin de uno

representa respecto del otro. En estas situaciones se suele utilizar el nmero 100, que

es bien familiar, como referencia. Al situarlo como denominador de una fraccin, su

numerador nos indica qu porcin de 100 representa.

Clculo de un porcentaje de cierta cantidad

Calcular el 20 % de $ 6.500

La cantidad total o primitiva corresponde al 100%

El 20 % de $ 6.500 es $ 1.300

Qu porcentaje es una cantidad de otra?

Qu porcentaje es $1.300 de $ 6.500

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La cantidad total o primitiva corresponde al 100% Dado un porcentaje, cul es la cantidad total? Si el 20 % de una cantidad es $1.300, cul es el total?

La cantidad total o primitiva corresponde al 100%

Si el 20 % es $ 1.300, la cantidad total es $ 6.500. Inters Simple En la publicidad de un banco se dice: "Le damos un inters simple de 6 % anual".

Si ingresamos $ 200.000, Cunto dinero podremos retirar al final del ao?

El dinero ingresado es la cantidad primitiva y corresponde al 100 %.

La cantidad final se obtiene sumando el 6 %, es decir, el 106 %.

Respuesta: Al final del ao podremos

retirar $ 212.000

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Frmula para el clculo del inters simple Qu inters simple (i) producir un capital (C) durante t aos al r % anual?

Inters Compuesto. La aplicacin del inters compuesto es la ms usada comercialmente. Se llama inters compuesto, pues al final de cada perodo se suma el inters parcial obtenido al capital inicial y a este nuevo capital total, se le aplica el inters del segundo perodo, y as sucesivamente. Clculo de inters compuesto Apliquemos el 5 % de inters compuesto mensual por 8 meses, a un capital inicial de $200.000

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Frmula para el clculo directo del inters compuesto. Se ha obtenido una frmula para el clculo directo del inters compuesto sin tener que calcular perodo por perodo.

Ejemplo Apliquemos el 7 % de inters compuesto mensual por 9 meses a un capital inicial de $550.500.

12.- Actividades de aprendizaje y transferencia al aula. 1.- Calcula mentalmente. a) 10% de 340 b) 10% de 4 800 c) 50% de 68 d) 50% de 850 e) 25% de 40 f) 25% de 2 000 g) 20% de 45 h) 20% de 500 i) 32% de 50 j) 80% de 50 2.- Calcule con lpiz y papel y, despus, compruebe con la calculadora. a) 15% de 360 b) 11% de 3.400 c) 8% de 175 d) 60% de 1.370 e) 45% de 18 f) 84% de 5.000 g) 150% de 80 h) 120% de 350 3.- Calcule y, si el resultado no es exacto, redondee a las unidades.

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a) 16% de 470 b) 14% de 288 c) 57% de 1.522 d) 7% de 3 640 e) 6% de 895 f) 92% de 2.630 g) 115% de 94 h) 120% de 751 4.- Complete cada casilla con un nmero decimal y, despus, calcule el resultado:

5.- Complete con el porcentaje adecuado en cada caso:

6.- Calcule mentalmente. a) El 50% de un nmero es 16. Cul es el nmero? b) El 25% de un nmero es 9. Cul es el nmero? c) El 75% de un nmero es 15. Cul es el nmero? d) El 20% de un nmero es 7. Cul es el nmero? Problemas de porcentajes 1.- En mi clase somos 30, el 40% chicos y el 60% chicas. Cuntos chicos y cuntas chicas hay en mi clase? 2.- En una caja hay cuatro docenas de bombones, de los que el 25% estn envueltos en papel de plata. Cuntos van envueltos? 3.- Un barco pesquero ha capturado dos toneladas de pescado, de las que el 35% es merluza. Cuntos kilos de merluza lleva el barco? 4.- El camin de reparto deja en el supermercado 580 cajas de leche. El 15 % son de leche descremada. Cuntas cajas de leche descremada se han recibido? 5.- El banco me hace esta oferta: si deposito 400.000 euros durante un ao, me dan un 4,5% de intereses. Qu beneficio obtendra en la operacin?

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6.- Un equipo de baloncesto ha ganado esta temporada el 65% de los encuentros disputados. Sabiendo que ha ganado 52 partidos, cuntos encuentros ha jugado en total? 7.- Marisa ha tirado 20 veces a canasta y ha metido 12. Cul es su porcentaje de a

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Texto Unidad 2