La generacioacuten y uso de instrumentos para la praacutectica de ensentildear

matemaacuteticas en Educacioacuten Primaria

Salvador Llinares Departamento de Innovacioacuten y

Formacioacuten Didaacutectica Universidad de Alicante (e-mail sllinaresuaes)

Texto Paralelo por Yessica Garciacutea

YESSICA CAROLINA GARCIA MENDEZ

GUATEMALA AGOSTO DEL 2012

INSTITUTO GUATEMALTECO AMERICANO

PRAacuteCTICA DOCENTE EN ESPANtildeOL

PROFA BETTY GRACIacuteA

Iacutendice

bull Introduccioacuten

bull Contenido ndash LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

ndash Comentario

bull Conclusiones

bull Bibliografiacutea

Introduccioacuten

Como es propio en la ensentildeanza de las matemaacuteticas se requiere de una praacutectica vivencial

maacutes que teoriacutea En el presente texto paralelo hablaremos de la importancia de aplicar los instrumentos efectivos para la ensentildeanza-

aprendizaje de las matemaacuteticas en el aacuterea de educacioacuten primaria Asiacute mismo daremos a conocer

casos comunes que se dan en estaacute aacuterea con soluciones y comentarios que promueven un

aprendizaje constructivo

Contenido

LA GENERACIOacuteN Y USO DE

INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA

DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS

EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y aprender a ensentildear

matemaacuteticas Construyendo una nueva manera de entender la formacioacuten de maestros

La nocioacuten de instrumento y aprender a ensentildear matemaacuteticas

Los recientes desarrollos de las teoriacuteas sobre el aprendizaje inciden en la relacioacuten esencial entre el conocimiento y los contextos de uso (Greeno et al 1996 Putnam amp Borko 2000) Desde esta relacioacuten se ve el aprendizaje como la participacioacuten en entornos interactivos con un grado creciente de conocimiento y uso de los instrumentos caracteriacutesticos de la praacutectica (Resnick 1991) Esta suposicioacuten se apoya en la idea de que las personas pensamos y actuamos ayudados por instrumentos El significado del teacutermino instrumento como ldquocualquier medio cosa o

persona de que alguien se sirve para un finrdquo (Diccionario de uso del Espantildeol de Mariacutea Moliner) ldquo(fig) lo que sirve de medio para hacer una cosa o conseguir un fin Aquello de lo que nos servimos para hacer una cosardquo (Diccionario de la Lengua Espantildeola RAE Espasa Calpe) conlleva la idea de un objeto disentildeado y empleado para ampliar el poder de las acciones del individuo Las perspectivas situadas de la cognicioacuten ampliacutean el significado dado al teacutermino instrumento como un objeto fiacutesico para incluir tambieacuten conceptos formas de razonar formas de generar un discurso entre otras que condicionan y permiten las interacciones dentro de las comunidades de praacutectica Asiacute en el dominio semaacutentico del

teacutermino ldquoinstrumentordquo podemos considerar para el caso particular de la

praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria lo siguiente

bull instrumentos teacutecnicos necesarios para realizar la ldquopraacutecticardquo como por ejemplo materiales didaacutecticos

bull bloques multibase geoplanos

bull software didaacutectico ndash como el Cabri-Geoacutemetre Logo

bull matrices para la evaluacioacuten de los procesos de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria y teacutecnicas para gestionar los debates y puestas en comuacuten de los procedimientos y respuestas a diferentes problemas e

bull instrumentos conceptuales como por ejemplo conocer los

diferentes tipos de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura aditiva las diferentes estrategias de

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y

aprender a ensentildear matemaacuteticas Construyendo

una nueva manera de entender la formacioacuten de

maestros

Siendo las matemaacuteticas una de mas materias

elementales de la primaria los futuros docente

deben prepararse en esta aacuterea Deben de

aprender a ensentildear aprender a desarrollar el

pensamiento ayudar y aportar mediante la

participacioacuten activa de los estudiantes utilizando

como medio activo su entorno inmediato a fin de

obtener una perspectiva amplia sobre las bases

fundamentales que se necesitan para tener un

pensamiento basado en la loacutegica y la solucioacuten de

problemas Servimos cono docentes pero al mismo

tiempo somos los mediadores que propician un

medio faacutecil interactivo y didaacutectico para que los

estudiantes puedan obtener la superacioacuten propia a

partir de instrumentos

Es importante mencionar estos instrumentos

bull Material manipulativo

bull Software didaacutectico

bull Matrices de evaluacioacuten

bull Estrategias como debates puestas en comuacuten

y demaacutes

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

YESSICA CAROLINA GARCIA MENDEZ

GUATEMALA AGOSTO DEL 2012

INSTITUTO GUATEMALTECO AMERICANO

PRAacuteCTICA DOCENTE EN ESPANtildeOL

PROFA BETTY GRACIacuteA

Iacutendice

bull Introduccioacuten

bull Contenido ndash LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

ndash Comentario

bull Conclusiones

bull Bibliografiacutea

Introduccioacuten

Como es propio en la ensentildeanza de las matemaacuteticas se requiere de una praacutectica vivencial

maacutes que teoriacutea En el presente texto paralelo hablaremos de la importancia de aplicar los instrumentos efectivos para la ensentildeanza-

aprendizaje de las matemaacuteticas en el aacuterea de educacioacuten primaria Asiacute mismo daremos a conocer

casos comunes que se dan en estaacute aacuterea con soluciones y comentarios que promueven un

aprendizaje constructivo

Contenido

LA GENERACIOacuteN Y USO DE

INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA

DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS

EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y aprender a ensentildear

matemaacuteticas Construyendo una nueva manera de entender la formacioacuten de maestros

La nocioacuten de instrumento y aprender a ensentildear matemaacuteticas

Los recientes desarrollos de las teoriacuteas sobre el aprendizaje inciden en la relacioacuten esencial entre el conocimiento y los contextos de uso (Greeno et al 1996 Putnam amp Borko 2000) Desde esta relacioacuten se ve el aprendizaje como la participacioacuten en entornos interactivos con un grado creciente de conocimiento y uso de los instrumentos caracteriacutesticos de la praacutectica (Resnick 1991) Esta suposicioacuten se apoya en la idea de que las personas pensamos y actuamos ayudados por instrumentos El significado del teacutermino instrumento como ldquocualquier medio cosa o

persona de que alguien se sirve para un finrdquo (Diccionario de uso del Espantildeol de Mariacutea Moliner) ldquo(fig) lo que sirve de medio para hacer una cosa o conseguir un fin Aquello de lo que nos servimos para hacer una cosardquo (Diccionario de la Lengua Espantildeola RAE Espasa Calpe) conlleva la idea de un objeto disentildeado y empleado para ampliar el poder de las acciones del individuo Las perspectivas situadas de la cognicioacuten ampliacutean el significado dado al teacutermino instrumento como un objeto fiacutesico para incluir tambieacuten conceptos formas de razonar formas de generar un discurso entre otras que condicionan y permiten las interacciones dentro de las comunidades de praacutectica Asiacute en el dominio semaacutentico del

teacutermino ldquoinstrumentordquo podemos considerar para el caso particular de la

praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria lo siguiente

bull instrumentos teacutecnicos necesarios para realizar la ldquopraacutecticardquo como por ejemplo materiales didaacutecticos

bull bloques multibase geoplanos

bull software didaacutectico ndash como el Cabri-Geoacutemetre Logo

bull matrices para la evaluacioacuten de los procesos de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria y teacutecnicas para gestionar los debates y puestas en comuacuten de los procedimientos y respuestas a diferentes problemas e

bull instrumentos conceptuales como por ejemplo conocer los

diferentes tipos de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura aditiva las diferentes estrategias de

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y

aprender a ensentildear matemaacuteticas Construyendo

una nueva manera de entender la formacioacuten de

maestros

Siendo las matemaacuteticas una de mas materias

elementales de la primaria los futuros docente

deben prepararse en esta aacuterea Deben de

aprender a ensentildear aprender a desarrollar el

pensamiento ayudar y aportar mediante la

participacioacuten activa de los estudiantes utilizando

como medio activo su entorno inmediato a fin de

obtener una perspectiva amplia sobre las bases

fundamentales que se necesitan para tener un

pensamiento basado en la loacutegica y la solucioacuten de

problemas Servimos cono docentes pero al mismo

tiempo somos los mediadores que propician un

medio faacutecil interactivo y didaacutectico para que los

estudiantes puedan obtener la superacioacuten propia a

partir de instrumentos

Es importante mencionar estos instrumentos

bull Material manipulativo

bull Software didaacutectico

bull Matrices de evaluacioacuten

bull Estrategias como debates puestas en comuacuten

y demaacutes

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Iacutendice

bull Introduccioacuten

bull Contenido ndash LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

ndash Comentario

bull Conclusiones

bull Bibliografiacutea

Introduccioacuten

Como es propio en la ensentildeanza de las matemaacuteticas se requiere de una praacutectica vivencial

maacutes que teoriacutea En el presente texto paralelo hablaremos de la importancia de aplicar los instrumentos efectivos para la ensentildeanza-

aprendizaje de las matemaacuteticas en el aacuterea de educacioacuten primaria Asiacute mismo daremos a conocer

casos comunes que se dan en estaacute aacuterea con soluciones y comentarios que promueven un

aprendizaje constructivo

Contenido

LA GENERACIOacuteN Y USO DE

INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA

DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS

EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y aprender a ensentildear

matemaacuteticas Construyendo una nueva manera de entender la formacioacuten de maestros

La nocioacuten de instrumento y aprender a ensentildear matemaacuteticas

Los recientes desarrollos de las teoriacuteas sobre el aprendizaje inciden en la relacioacuten esencial entre el conocimiento y los contextos de uso (Greeno et al 1996 Putnam amp Borko 2000) Desde esta relacioacuten se ve el aprendizaje como la participacioacuten en entornos interactivos con un grado creciente de conocimiento y uso de los instrumentos caracteriacutesticos de la praacutectica (Resnick 1991) Esta suposicioacuten se apoya en la idea de que las personas pensamos y actuamos ayudados por instrumentos El significado del teacutermino instrumento como ldquocualquier medio cosa o

persona de que alguien se sirve para un finrdquo (Diccionario de uso del Espantildeol de Mariacutea Moliner) ldquo(fig) lo que sirve de medio para hacer una cosa o conseguir un fin Aquello de lo que nos servimos para hacer una cosardquo (Diccionario de la Lengua Espantildeola RAE Espasa Calpe) conlleva la idea de un objeto disentildeado y empleado para ampliar el poder de las acciones del individuo Las perspectivas situadas de la cognicioacuten ampliacutean el significado dado al teacutermino instrumento como un objeto fiacutesico para incluir tambieacuten conceptos formas de razonar formas de generar un discurso entre otras que condicionan y permiten las interacciones dentro de las comunidades de praacutectica Asiacute en el dominio semaacutentico del

teacutermino ldquoinstrumentordquo podemos considerar para el caso particular de la

praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria lo siguiente

bull instrumentos teacutecnicos necesarios para realizar la ldquopraacutecticardquo como por ejemplo materiales didaacutecticos

bull bloques multibase geoplanos

bull software didaacutectico ndash como el Cabri-Geoacutemetre Logo

bull matrices para la evaluacioacuten de los procesos de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria y teacutecnicas para gestionar los debates y puestas en comuacuten de los procedimientos y respuestas a diferentes problemas e

bull instrumentos conceptuales como por ejemplo conocer los

diferentes tipos de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura aditiva las diferentes estrategias de

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y

aprender a ensentildear matemaacuteticas Construyendo

una nueva manera de entender la formacioacuten de

maestros

Siendo las matemaacuteticas una de mas materias

elementales de la primaria los futuros docente

deben prepararse en esta aacuterea Deben de

aprender a ensentildear aprender a desarrollar el

pensamiento ayudar y aportar mediante la

participacioacuten activa de los estudiantes utilizando

como medio activo su entorno inmediato a fin de

obtener una perspectiva amplia sobre las bases

fundamentales que se necesitan para tener un

pensamiento basado en la loacutegica y la solucioacuten de

problemas Servimos cono docentes pero al mismo

tiempo somos los mediadores que propician un

medio faacutecil interactivo y didaacutectico para que los

estudiantes puedan obtener la superacioacuten propia a

partir de instrumentos

Es importante mencionar estos instrumentos

bull Material manipulativo

bull Software didaacutectico

bull Matrices de evaluacioacuten

bull Estrategias como debates puestas en comuacuten

y demaacutes

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Introduccioacuten

Como es propio en la ensentildeanza de las matemaacuteticas se requiere de una praacutectica vivencial

maacutes que teoriacutea En el presente texto paralelo hablaremos de la importancia de aplicar los instrumentos efectivos para la ensentildeanza-

aprendizaje de las matemaacuteticas en el aacuterea de educacioacuten primaria Asiacute mismo daremos a conocer

casos comunes que se dan en estaacute aacuterea con soluciones y comentarios que promueven un

aprendizaje constructivo

Contenido

LA GENERACIOacuteN Y USO DE

INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA

DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS

EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y aprender a ensentildear

matemaacuteticas Construyendo una nueva manera de entender la formacioacuten de maestros

La nocioacuten de instrumento y aprender a ensentildear matemaacuteticas

Los recientes desarrollos de las teoriacuteas sobre el aprendizaje inciden en la relacioacuten esencial entre el conocimiento y los contextos de uso (Greeno et al 1996 Putnam amp Borko 2000) Desde esta relacioacuten se ve el aprendizaje como la participacioacuten en entornos interactivos con un grado creciente de conocimiento y uso de los instrumentos caracteriacutesticos de la praacutectica (Resnick 1991) Esta suposicioacuten se apoya en la idea de que las personas pensamos y actuamos ayudados por instrumentos El significado del teacutermino instrumento como ldquocualquier medio cosa o

persona de que alguien se sirve para un finrdquo (Diccionario de uso del Espantildeol de Mariacutea Moliner) ldquo(fig) lo que sirve de medio para hacer una cosa o conseguir un fin Aquello de lo que nos servimos para hacer una cosardquo (Diccionario de la Lengua Espantildeola RAE Espasa Calpe) conlleva la idea de un objeto disentildeado y empleado para ampliar el poder de las acciones del individuo Las perspectivas situadas de la cognicioacuten ampliacutean el significado dado al teacutermino instrumento como un objeto fiacutesico para incluir tambieacuten conceptos formas de razonar formas de generar un discurso entre otras que condicionan y permiten las interacciones dentro de las comunidades de praacutectica Asiacute en el dominio semaacutentico del

teacutermino ldquoinstrumentordquo podemos considerar para el caso particular de la

praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria lo siguiente

bull instrumentos teacutecnicos necesarios para realizar la ldquopraacutecticardquo como por ejemplo materiales didaacutecticos

bull bloques multibase geoplanos

bull software didaacutectico ndash como el Cabri-Geoacutemetre Logo

bull matrices para la evaluacioacuten de los procesos de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria y teacutecnicas para gestionar los debates y puestas en comuacuten de los procedimientos y respuestas a diferentes problemas e

bull instrumentos conceptuales como por ejemplo conocer los

diferentes tipos de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura aditiva las diferentes estrategias de

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y

aprender a ensentildear matemaacuteticas Construyendo

una nueva manera de entender la formacioacuten de

maestros

Siendo las matemaacuteticas una de mas materias

elementales de la primaria los futuros docente

deben prepararse en esta aacuterea Deben de

aprender a ensentildear aprender a desarrollar el

pensamiento ayudar y aportar mediante la

participacioacuten activa de los estudiantes utilizando

como medio activo su entorno inmediato a fin de

obtener una perspectiva amplia sobre las bases

fundamentales que se necesitan para tener un

pensamiento basado en la loacutegica y la solucioacuten de

problemas Servimos cono docentes pero al mismo

tiempo somos los mediadores que propician un

medio faacutecil interactivo y didaacutectico para que los

estudiantes puedan obtener la superacioacuten propia a

partir de instrumentos

Es importante mencionar estos instrumentos

bull Material manipulativo

bull Software didaacutectico

bull Matrices de evaluacioacuten

bull Estrategias como debates puestas en comuacuten

y demaacutes

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Contenido

LA GENERACIOacuteN Y USO DE

INSTRUMENTOS PARA LA

PRAacuteCTICA

DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS

EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y aprender a ensentildear

matemaacuteticas Construyendo una nueva manera de entender la formacioacuten de maestros

La nocioacuten de instrumento y aprender a ensentildear matemaacuteticas

Los recientes desarrollos de las teoriacuteas sobre el aprendizaje inciden en la relacioacuten esencial entre el conocimiento y los contextos de uso (Greeno et al 1996 Putnam amp Borko 2000) Desde esta relacioacuten se ve el aprendizaje como la participacioacuten en entornos interactivos con un grado creciente de conocimiento y uso de los instrumentos caracteriacutesticos de la praacutectica (Resnick 1991) Esta suposicioacuten se apoya en la idea de que las personas pensamos y actuamos ayudados por instrumentos El significado del teacutermino instrumento como ldquocualquier medio cosa o

persona de que alguien se sirve para un finrdquo (Diccionario de uso del Espantildeol de Mariacutea Moliner) ldquo(fig) lo que sirve de medio para hacer una cosa o conseguir un fin Aquello de lo que nos servimos para hacer una cosardquo (Diccionario de la Lengua Espantildeola RAE Espasa Calpe) conlleva la idea de un objeto disentildeado y empleado para ampliar el poder de las acciones del individuo Las perspectivas situadas de la cognicioacuten ampliacutean el significado dado al teacutermino instrumento como un objeto fiacutesico para incluir tambieacuten conceptos formas de razonar formas de generar un discurso entre otras que condicionan y permiten las interacciones dentro de las comunidades de praacutectica Asiacute en el dominio semaacutentico del

teacutermino ldquoinstrumentordquo podemos considerar para el caso particular de la

praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria lo siguiente

bull instrumentos teacutecnicos necesarios para realizar la ldquopraacutecticardquo como por ejemplo materiales didaacutecticos

bull bloques multibase geoplanos

bull software didaacutectico ndash como el Cabri-Geoacutemetre Logo

bull matrices para la evaluacioacuten de los procesos de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria y teacutecnicas para gestionar los debates y puestas en comuacuten de los procedimientos y respuestas a diferentes problemas e

bull instrumentos conceptuales como por ejemplo conocer los

diferentes tipos de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura aditiva las diferentes estrategias de

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y

aprender a ensentildear matemaacuteticas Construyendo

una nueva manera de entender la formacioacuten de

maestros

Siendo las matemaacuteticas una de mas materias

elementales de la primaria los futuros docente

deben prepararse en esta aacuterea Deben de

aprender a ensentildear aprender a desarrollar el

pensamiento ayudar y aportar mediante la

participacioacuten activa de los estudiantes utilizando

como medio activo su entorno inmediato a fin de

obtener una perspectiva amplia sobre las bases

fundamentales que se necesitan para tener un

pensamiento basado en la loacutegica y la solucioacuten de

problemas Servimos cono docentes pero al mismo

tiempo somos los mediadores que propician un

medio faacutecil interactivo y didaacutectico para que los

estudiantes puedan obtener la superacioacuten propia a

partir de instrumentos

Es importante mencionar estos instrumentos

bull Material manipulativo

bull Software didaacutectico

bull Matrices de evaluacioacuten

bull Estrategias como debates puestas en comuacuten

y demaacutes

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

LA GENERACIOacuteN Y USO DE INSTRUMENTOS PARA LA PRAacuteCTICA DE ENSENtildeAR MATEMAacuteTICAS EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y aprender a ensentildear

matemaacuteticas Construyendo una nueva manera de entender la formacioacuten de maestros

La nocioacuten de instrumento y aprender a ensentildear matemaacuteticas

Los recientes desarrollos de las teoriacuteas sobre el aprendizaje inciden en la relacioacuten esencial entre el conocimiento y los contextos de uso (Greeno et al 1996 Putnam amp Borko 2000) Desde esta relacioacuten se ve el aprendizaje como la participacioacuten en entornos interactivos con un grado creciente de conocimiento y uso de los instrumentos caracteriacutesticos de la praacutectica (Resnick 1991) Esta suposicioacuten se apoya en la idea de que las personas pensamos y actuamos ayudados por instrumentos El significado del teacutermino instrumento como ldquocualquier medio cosa o

persona de que alguien se sirve para un finrdquo (Diccionario de uso del Espantildeol de Mariacutea Moliner) ldquo(fig) lo que sirve de medio para hacer una cosa o conseguir un fin Aquello de lo que nos servimos para hacer una cosardquo (Diccionario de la Lengua Espantildeola RAE Espasa Calpe) conlleva la idea de un objeto disentildeado y empleado para ampliar el poder de las acciones del individuo Las perspectivas situadas de la cognicioacuten ampliacutean el significado dado al teacutermino instrumento como un objeto fiacutesico para incluir tambieacuten conceptos formas de razonar formas de generar un discurso entre otras que condicionan y permiten las interacciones dentro de las comunidades de praacutectica Asiacute en el dominio semaacutentico del

teacutermino ldquoinstrumentordquo podemos considerar para el caso particular de la

praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria lo siguiente

bull instrumentos teacutecnicos necesarios para realizar la ldquopraacutecticardquo como por ejemplo materiales didaacutecticos

bull bloques multibase geoplanos

bull software didaacutectico ndash como el Cabri-Geoacutemetre Logo

bull matrices para la evaluacioacuten de los procesos de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria y teacutecnicas para gestionar los debates y puestas en comuacuten de los procedimientos y respuestas a diferentes problemas e

bull instrumentos conceptuales como por ejemplo conocer los

diferentes tipos de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura aditiva las diferentes estrategias de

Ensentildear matemaacuteticas conocimiento necesario y

aprender a ensentildear matemaacuteticas Construyendo

una nueva manera de entender la formacioacuten de

maestros

Siendo las matemaacuteticas una de mas materias

elementales de la primaria los futuros docente

deben prepararse en esta aacuterea Deben de

aprender a ensentildear aprender a desarrollar el

pensamiento ayudar y aportar mediante la

participacioacuten activa de los estudiantes utilizando

como medio activo su entorno inmediato a fin de

obtener una perspectiva amplia sobre las bases

fundamentales que se necesitan para tener un

pensamiento basado en la loacutegica y la solucioacuten de

problemas Servimos cono docentes pero al mismo

tiempo somos los mediadores que propician un

medio faacutecil interactivo y didaacutectico para que los

estudiantes puedan obtener la superacioacuten propia a

partir de instrumentos

Es importante mencionar estos instrumentos

bull Material manipulativo

bull Software didaacutectico

bull Matrices de evaluacioacuten

bull Estrategias como debates puestas en comuacuten

y demaacutes

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

resolucioacuten de los PAErsquos aditivos empleadas por los nintildeos o diferentes niveles de dificultad de dichos problemas Es decir conceptos y construcciones teoacutericas que se han generado desde las investigaciones en Didaacutectica de las Matemaacuteticas que permiten comprender y tratar la realidad (situaciones en las que se ensentildea y aprenden matemaacuteticas) En este contexto cabe preguntarse iquestcuaacutel es el significado de ldquopraacutecticardquo Una manera de

aproximarse a una respuesta a esta pregunta y a lo que significa ldquoaprender una praacutecticardquo es considerar la nocioacuten de praacutectica como

bull realizar unas tareas para lograr un fin

bull hacer uso de unos instrumentos y

bull justificar su uso

Al considerar la ensentildeanza de las matemaacuteticas como una praacutectica que tiene que ser comprendida y aprendida podemos identificar algunas tareas que la articulan y las habilidades profesionales que permiten realizarlas como por ejemplo

bull diagnosticar - dotar de significado a las producciones de los alumnos-

bull planificar ndashdeterminar planes de accioacuten-

bull evaluar ndash tomar decisiones sobre coacutemo doacutende y queacute hacer con la informacioacuten

bull gestionar debates ndash formular preguntas que permitan vincular concepciones

previas con lo nuevo subrayar y valorar las diferentes aportaciones - Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se puede entender como un proceso de introduccioacuten en una comunidad constituida por la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la ensentildeanza Primaria Una comunidad que comparte tareas y la generacioacuten y uso de determinados instrumentos (Lave amp Wegner 1991) Es decir llegar a ser un maestro desde la perspectiva de la ensentildeanza de las matemaacuteticas significa llegar a comprender la ensentildeanza de las matemaacuteticas y aprender a realizar las tareas y usar y justificar los instrumentos que la articulan en un contexto institucional como es la Educacioacuten Primaria (Kleinfeld 1992)

El conocimiento de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas visto desde esta perspectiva supone no solo poseer los instrumentos considerados como elementos teacutecnicos y conceptuales que permiten desarrollarla sino tambieacuten tener la capacidad de construir nuevo conocimiento desde la praacutectica Los instrumentos conceptuales y teacutecnicos desempentildean diferentes papeles en la caracterizacioacuten de las tareas que definen la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Mientras los instrumentos conceptuales permiten poseer unas determinadas referencias para interpretar las situaciones de la praacutectica condicionando lo que se ve y coacutemo se ve los instrumentos teacutecnicos permiten tener los medios para hacer ldquodeterminadas cosasrdquo en la praacutectica En conjunto el uso y generacioacuten de los instrumentos condiciona las interacciones generadas en el desarrollo de la praacutectica y por tanto la propia praacutectica

Como primera dificultad en el aacuterea de matemaacuteticas podemos mencionar la interaccioacuten o relacioacuten previa con esta materia Lo que se ensentildeoacute y se aprendioacute en antildeos anteriores trae consecuencias que el nuevo maestro debe y tiene el reto de superar para cumplir la competencia de ldquoaprender una praacutecticardquo Esto solo se realiza mediante un previo diagnostico y un plan de ensentildeanza Este proceso se desarrolla por medio de

bull Diagnostico

bull Planificacioacuten

bull Evaluacioacuten

bull Aplicacioacuten Interactiva

Desde esta perspectiva la formacioacuten de maestros se transforma en un aprendizaje a la ensentildeanza de una clase constructiva y no magistral Es decir ser un maestro no solo significa practicar una ensentildeanza diaria en una institucioacuten educativa esto implica realizar tareas usar y justificar instrumentos mediante los cuales el

conocimiento que se transmite defina un nivel de inteligencia superior en el aacuterea de primaria para obtener estudiantes deseosos del saber de siempre ir maacutes allaacute de lo que se les solicita

Los instrumentos que utilizan los maestros toman diferentes roles unos teacutecnico y otros conceptuales

bull Teacutecnicos Se refiere a desempentildeo de la utilizacioacuten y la practica

bull Conceptuales Como la misma palabra lo dice son conceptos el texto en siacute que propone la teoriacutea basarse para luego experimentar

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Los dos aspectos considerados en la forma de concebir el conocimiento necesario para ensentildear es decir conocer la praacutectica y ser capaz de generar conocimiento desde la praacutectica son indisolubles y plantean cuestiones sobre la relacioacuten teoriacutea-praacutectica en la articulacioacuten de los procesos de formacioacuten de profesores (Llinares 1998) Las dos caracteriacutesticas del conocimiento necesario para ensentildear vistas desde la perspectiva del

proceso de aprendizaje del maestro

bull poseer-usar-generar y

bull la relacioacuten teoriacutea-praacutectica

imponen condiciones cuando hay que disentildear oportunidades ndash entornos de aprendizaje- para que los estudiantes para maestro lleguen a generar conocimiento necesario para ensentildear y capacidad para seguir aprendiendo desde la praacutectica Es decir aprender a ensentildear supone aprender a usar y generar nuevo conocimiento desde

la praacutectica Unas cuestiones que plantea esta manera de ver el aprendizaje de los estudiantes para maestro son determinar - iquestqueacute conocimiento necesario para ensentildear puede ser generado fuera de las situaciones reales de ensentildeanza y - iquestcual es la naturaleza del conocimiento generado en la Universidad en relacioacuten al conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en las aulas de Primaria (Grimmett amp MacKinnon (1992)

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

Los casos Una aproximacioacuten a las respuestas de las preguntas anteriores consiste en adoptar una perspectiva analiacutetica en relacioacuten al disentildeo de oportunidades para que los estudiantes para maestro aprendan de y sobre

la praacutectica a traveacutes de ldquoactividades autenticasrdquo (Brown Collins amp Duguid 1989) Una hipoacutetesis que ha fundamentado el trabajo de disentildear implementar y evaluar estas oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro desarrollado durante los uacuteltimos antildeos en la Facultad de Ciencias de la Educacioacuten de la Universidad de Sevilla por los profesores del grupo de investigacioacuten GIEM4 es la posibilidad de ayudar a los estudiantes para maestro a construir conocimiento necesario para ensentildear matemaacuteticas en el contexto de la praacutectica (Garciacutea et al 1994 2000 Llinares 1993 1994 1999 a b Saacutenchez et al 3Teacutecnico - relacionado con la aplicacioacuten de la ciencia a la obtencioacuten de objetos o resultados ldquopraacutecticosrdquo Preparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividad (Diccionario de uso del espantildeol de Mariacutea Moliner) En el contexto de formacioacuten de maestros se entiende por ciencia el contenido de la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico por resultado aprender a ensentildear matemaacuteticas Y ldquopreparado con los conocimientos teoacutericos y praacutecticos necesarios para determinada actividadrdquo hay que entenderlo como que los casos son disentildeados por los formadores de profesores DESDE su conocimiento teoacuterico y praacutectico de la actividad de formacioacuten de maestros

Ambos aspectos influyen en el conocimiento tanto del estudiantes como del maestro Como Se preguntaraacuten Pues muy sencillo actualmente es obvia la participacioacuten de los estudiantes en el ambiente escolar pero tal participacioacuten le da informacioacuten necesaria a los maestros quieacutenes se encargan de recolectarla y hacer uso de ella Como por ejemplo un nintildeo que es extrovertido agradable con don de liacuteder al que todos sus compantildeeros agrada puede ser una muy buena ayuda para la explicacioacuten o trabajos en grupos Ya que estos alumnos son una ayuda increiacuteble en el aula se

puede contar con ellos para reforzar y darle entusiasmo al grupo entero a ser mejores cada diacutea

Es proceso de ensentildeanza se debe de dar en conjunto para no dejar a ninguacuten estudiante atraacutes Para esto es necesario poseer un conocimiento usarlo o aplicarlo y luego generar resultados efectivos Esta relacioacuten siempre daraacute el resultado deseado por los docentes

El disentildeo de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros

La oportunidades de los estudiantes conforme el aprender de una u otra manera son infinitas pero solo las ldquoactividades autenticasrdquo sugieren una hipoacutetesis de actividades significativas que marcan la vida del estudiante para afianzar el conocimientoPorsupuesto hay que entender que los conocimientos teoricos descritos hasta el momento deben llevarse a la praacutectica Nada sirve proponer si las determinacioacuten al momento de hacerlo son un equivalente a cero

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

1996 1997 2000) Desde esta perspectiva aprender a ensentildear matemaacuteticas supone para los estudiantes para maestro la generacioacuten y caracterizacioacuten de una serie de instrumentos teacutecnicos y conceptuales concretaacutendose en - aprender conocimiento procedente de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico (instrumentos conceptuales y teacutecnicos) relativos a los diferentes dimensiones de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Ensentildeanza Primaria

- desarrollar meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten que permitan argumentar iniciativas pedagoacutegicas con fundamentos (razonamiento pedagoacutegico) y adoptar posiciones criacuteticas sobre la relacioacuten entre sus creencias y conocimiento y la perspectivas de accioacuten y praacutectica generadas

El desafiacuteo planteado es el de disentildear entornos de aprendizaje que permitan a los estudiantes para maestro construir conocimiento y desarrollar al mismo tiempo formas de generarlo Ademaacutes hay que considerar que esta forma de concebir el proceso de aprender se apoya en el aprendizaje de

- ver

- interpretar

- escuchar y

- disentildear

perspectivas de accioacuten vinculadas a la praacutectica Ademaacutes hay que tener en cuenta que los estudiantes para maestro deben tener acceso a lo que ya es conocido asumido y usado Es decir ideas y nociones destiladas desde la Didaacutectica de la Matemaacutetica como dominio cientiacutefico Desde la perspectiva de la relacioacuten entre el conocimiento teoacuterico y el praacutectico entre el uso del conocimiento y la generacioacuten de nuevo conocimiento se plantea la necesidad de articular medios - entornos de aprendizaje - para fomentar la capacidad de indagacioacuten sistemaacutetica de los estudiantes para maestro como una forma de aprender (Llinares 1998) De esta manera los instrumentos conceptuales y teacutecnicos se ven vinculados al anaacutelisis detallado de las situaciones praacutecticas

Esta aproximacioacuten a la formacioacuten de maestro no deja de lado el hecho de que los procesos de dotar de significado que los estudiantes para maestro pueden generar estaacuten determinados por lo que ellos ya conocen y creen sobre la ensentildeanza aprendizaje El que ldquoUno ve lo que puede verrdquo estaacute determinado por las referencias previas de los individuos En el proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas esta caracteriacutestica del proceso de aprendizaje se aborda potenciando la capacidad de los estudiantes para maestro de llegar a problematizar las situaciones para que lleguen a cuestionarse lo que inicialmente puede ser asumido como evidente o ldquolo que tiene que serrdquo Una hipoacutetesis que subyace a la cuestioacuten de ldquoproblematizar lo evidenterdquo se apoya en el papel que pueden desempentildear los diferentes instrumentos conceptuales usados para analizar la evidencia procedente de la praacutectica Estas referencias generales plantean sin embargo cuestiones sobre coacutemo deben ser los materiales - es decir los elementos teacutecnicos - usados en el programa de formacioacuten y queacute y coacutemo los estudiantes para maestro aprenden con ellos (Es decir considerando de la misma manera la formacioacuten de maestros como una praacutectica que debemos comprender y aprender)

Desde la perspectiva de aprender a ensentildear se supone la vocacioacuten de lo s maestros hacia su rol de maestros Como consecuencia un maestro con vocacioacuten posee una actitud propositiva que busca meacutetodos cada vez mas nuevos para la didaacutectica de las matemaacuteticas Hablando propiamente de esta materia se espera que el estudiante de primaria

bull Desarrolle meacutetodos de anaacutelisis e interpretacioacuten

bull Fundamente sus razones en conocimientos validos

bull Desafieacute su conocimiento en busca de maacutes

bull Genere nuevo conocimiento

Hay que considerar que esto se lleva a cabo del ver interpretar escuchar y disentildear perspectivas propias que favorezcan su aprendizaje individual y colectivo

Hay que tomar en cuenta los conocimientos previos lo asumido y usado para implementar

Esto no quiere decir llenar a los estudiantes de conocimientos como si fueran cilindros vaciacuteos Ellos ya conocen y creen sobre su propia experiencia Lo que uno como maestro ve no es lo mismo a la pura realidad que ellos viven y el nivel que tienen como estudiantes Esto conlleva a utilizar su contexto su forma de vida materiales accesibles elementos significativos para ellos teacutecnicas nuevas que llamen la atencioacuten pero que sean productivas y eficaces Estos referentes plantean cuestiones sobre los elementos o instrumentos a ser utilizados en el aula con una dosificacioacuten acorde a las necesidades

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

La generacioacuten de nuevas maneras de concebir la formacioacuten de maestro considerada como una praacutectica implica - disentildear nuevos materiales y tareas y - concebir una manera de usarlas que permita crear oportunidades para el aprendizaje de los estudiantes para maestro La conjuncioacuten de las tareas disentildeadas y la concepcioacuten de una determinada manera de usarlas incluyendo el papel del formador de profesores y documentos adicionales es lo que hemos denominamos ldquoentornos de aprendizajerdquo Tres son los ejes sobre los que deberiacutea articularse esta manera de concebir la formacioacuten de maestros - alrededor de investigaciones sobre las matemaacuteticas considerados como entornos de aprendizaje matemaacutetico a traveacutes de la resolucioacuten de problemas de matemaacuteticas (Garciacutea et al 1994) - alrededor de investigaciones sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden las

matemaacuteticas (Llinares 1994 Llinares 1999b) y - alrededor de investigaciones sobre la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas a los alumnos de Primaria (Saacutenchez amp Llinares 1996)

En las proacuteximas secciones de este trabajo se caracterizaraacute el camino seguido y la toma de decisiones realizada durante los uacuteltimos antildeos en la Universidad de Sevilla por nuestro grupo de investigacioacuten al desarrollar entornos especiacuteficos - en forma de casos (Sykes amp Bird 1992) ndash en los que se usa como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro ldquoel aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primariardquo Se describiraacute una manera en la que los casos han sido usados y se apuntaraacuten direcciones para determinar lo que parece que los estudiantes para maestro estaacuten aprendiendo desde la perspectiva de la generacioacuten y uso de instrumentos de la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas en la Educacioacuten Primaria Ademaacutes se describe el proceso de adquisicioacuten de diferentes habilidades profesionales mediante la caracterizacioacuten de diferentes aspectos de las transiciones que realizan los estudiantes para maestro El aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro

Un proceso de disentildeo y elaboracioacuten de instrumentos teacutecnicos en la formacioacuten de maestros La reforma de la ensentildeanza de las matemaacuteticas ha colocado un gran eacutenfasis en la forma en que los alumnos de Primaria aprenden los conceptos y procedimientos matemaacuteticos como referente para la toma de decisiones del maestro

- en la planificacioacuten en la interaccioacuten y en el anaacutelisis de lo realizado por los alumnos de Primaria

- El desafiacuteo para el formador de maestros estaacute en decidir

- iquestqueacute es lo que queremos que los estudiantes para maestro aprendan del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria

Hoy en diacutea los estudiantes de magisterio reciben una educacioacuten muy completa conforme los nuevos desafiacuteos que enfrentaran en la realidad guatemalteca sin embargo es necesario seguir reforzando esto con oportunidades disentildeadas para la conjuncioacuten de tareas ejercicios y formacioacuten para apoyar las formas de aprendizaje de los estudiantes Las investigaciones sobre las matemaacuteticas de este documento estaacuten basadas en datos propios de la Universidad de Sevilla Lo cual desarrolla un entorno especifico completamente opuesto a la realidad guatemalteca Estos casos son sumamente importantes estudiarlos ya que de esta manera nos podemos dar cuenta que las matemaacuteticas conllevan una suma importante de desafiacuteos en comuacuten que no solo se ven en nuestro paiacutes sino alrededor del mundo

El proceso de la adquisicioacuten de la matemaacuteticas se enfatiza en aprender conceptos procedimientos y resolucioacuten de problemas Por tanto se puede decir que las matemaacuteticas son un tanto tradicionalistas al utilizar las mismas bases para todos los estudiantes de primaria El cambio se daraacute en la capacidad de razonamiento y loacutegica que se desarrolla por los problemas planteados

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Intentar responder a esta pregunta considerando el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un contexto para que los estudiantes para maestro puedan estudiarlo fue el fundamento para el disentildeo y la realizacioacuten de la serie de videos ldquoElementos del conocimiento base para la ensentildeanza de las matemaacuteticasrdquo (Llinares Saacutenchez 1993) El objetivo de la realizacioacuten de esta serie de videos fue incorporar evidencia empiacuterica del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria a la formacioacuten de maestros en al Universidad Para ello recogimos y analizamos ejemplos paradigmaacuteticos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de toacutepicos matemaacuteticos especiacuteficos y articulamos parte del curriacuteculum de la formacioacuten de maestros alrededor suyo Asiacute conseguir las grabaciones de los alumnos resolviendo diferentes tareas que constituiacutea el material empiacuterico fue el primer paso Posteriormente el anaacutelisis de los protocolos obtenidos ndashtrascripciones literales de los videos - nos permitioacute identificar elementos conceptuales que daban cuenta de caracteriacutesticas relevantes del aprendizaje de las matemaacuteticas por los alumnos de Primaria en diferentes dominios del contenido matemaacutetico del curriacuteculo Estos elementos conceptuales son considerados en la dimensioacuten de ldquolo que debiacutean conocer los estudiantes para maestro en relacioacuten al aprendizaje matemaacuteticordquo De esta manera los diferentes ejemplos del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes toacutepicos matemaacuteticos recogidos en los videos se constituyeron en la evidencia empiacuterica para ayudar a los estudiantes para maestro a pensar sobre coacutemo los alumnos de Primaria aprenden los toacutepicos matemaacuteticos En Llinares amp Saacutenchez (1998) se describe el proceso seguido en la elaboracioacuten de los videos como medio en el que se integran la evidencia empiacuterica del aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y elementos conceptuales procedentes de la Didaacutectica de la Matemaacuteticas como dominio cientiacutefico y se caracterizan las diferentes alternativas metodoloacutegicas en la formacioacuten de maestros como diferentes itinerarios de formacioacuten teniendo en cuenta las implicaciones de considerar el proceso de aprender a ensentildear como un aprendizaje situado A partir de este momento una de las perspectivas que potencia el poseer los videos es el de usar este material en el disentildeo de otro tipo de tareas para el programa de formacioacuten de maestros Es decir habiacutea que tomar decisiones sobre dos aspectos - producir materiales curriculares ndash tareasactividades - considerando el aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como contexto de indagacioacuten para los estudiantes para maestro y - desarrollar formas de usar estas tareas para que los estudiantes para maestro pudieran tener oportunidades de generar e integrar en su toma de decisiones los instrumentos conceptuales y teacutecnicos necesarios para ensentildear pudiendo llegar a producir aproximaciones criacuteticas en la generacioacuten de sus perspectivas de accioacuten (Garciacutea 2000 Llinares 1999) Uno de los aspectos a potenciar a traveacutes del uso de los videos fue la aproximacioacuten a la formacioacuten de maestros a traveacutes de los casos (Llinares 1993 Llinares amp Saacutenchez 1998) En esta nueva fase en el desarrollo del curriacuteculum de formacioacuten de maestros definimos como objetivo el disentildeo implementacioacuten y anaacutelisis de tareas - los elementos teacutecnicos - que permitieran a nuestros estudiantes para maestro indagar sobre el proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria y que les permitiera construir conocimiento como instrumento conceptual y generando formas de razonamiento pedagoacutegico (Llinares amp Saacutenchez 1998) El objetivo era desarrollar una aproximacioacuten al proceso de aprender a ensentildear matemaacuteticas que se apoyara en parte en la implicacioacuten de los estudiantes para maestro en el estudio del proceso de aprendizaje matemaacutetico

A todo esto nos podemos cuestionar la pregunta que esperamos de los maestros y que esperamos de los alumnos Esta incoacutegnita se responde de la siguiente manera De los maestros esperamos que rompan el paradigma que se vive actualmente en Guatemala clases tradicionalistas y magistrales que aparentan ser constructivistas o colaborativas solo por el hecho de hacer trabajos en equipos o parejas Utilizar elementos relevantes que sean de suma importancia y valides para propiciar un aprendizaje por medio de la elaboracioacuten Pensar sobre como los tiacutepicos estudiantes de primaria aprenden las bases de las matemaacutetica y esto en que los influencia yo ayuda en su vida diaria Seguido de esto de los estudiantes se espera un buen uso de los materiales y esfuerzo de los maestros El dominio cientiacutefico de las alternativas metodoloacutegicas Aprender a partir de las herramientas dadas por los maestro pero lo mas importante ldquocomprometerse a educarse y aplicar el nuevo conocimiento en su vida diariardquo Es decir la toma de decisiones no depende solamente del maestro tambieacuten del estudiante y su responsabilidad con bull Tareas y actividades bull Oportunidades de generar su conocimiento bull Integrar su nueva perspectiva de vida

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

El formato de casos de algunas de las tareas en las que se integra material textual y videos es el punto de arranque en la constitucioacuten de los entornos de aprendizaje que intentan implicar a los estudiantes para maestro en el anaacutelisis del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria (Llinares 1993 1999a 1999b) Este tipo de casos permite construir unas situaciones iniciales desde las que los estudiantes para maestro pueden empezar a desarrollar los aspectos relativos al proceso de razonamiento pedagoacutegico por ejemplo - anaacutelisis y interpretacioacuten del proceso de dotar de sentido a las nociones matemaacuteticas que los alumnos de Primaria generan - generacioacuten y prediccioacuten para realizar la tarea de planificar la ensentildeanza El formato video-texto proporciona una caracteriacutestica especial de algunos entornos y permite a los estudiantes para maestro ver y escuchar varias veces lo que los alumnos de Primaria dicen y hacen cuando resuelven problemas de matemaacuteticas especiacuteficos En cierta manera el caso permite ldquocongelar un trozordquo del proceso de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria permitiendo a los estudiantes para maestro observar predecir criticar generar o analizar sin la presioacuten del contexto real

1048713 Una aproximacioacuten al uso de unos instrumentos teacutecnicos especiacuteficos en la formacioacuten de maestros Las caracteriacutesticas de la forma en que estas tareas son usadas en el programa de formacioacuten constituyen otra de las decisiones a adoptar Si aceptamos que aprender a ensentildear se apoya en la interaccioacuten entre los estudiantes para maestro para dotar de significado a las situaciones planteadas analizando e interpretando los procesos de aprendizaje de los alumnos de Primaria y disentildeando perspectivas de accioacuten esta suposicioacuten previa debe determinar la forma de uso de las tareas (Brown Collins amp

Duguid 1989) Los casos se conciben como el ldquomediordquo para que los estudiantes para maestro analicen e interpreten los procesos de aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria como un aspecto de su futura labor profesional Desde los casos diferencias en las creencias y el uso del conocimiento entre los estudiantes para maestro pueden llegar a constituirse en dinamizadores del aprender a ensentildear (Llinares 1999b) El proceso de anaacutelisis e interpretacioacuten conjunta del caso la elaboracioacuten de informes relativos al anaacutelisis del caso y las posibles perspectivas de accioacuten fundamentadas en el conocimiento conceptual se constituyen en referencias para el aprendizaje vinculados a la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas (Llinares 1994) El entorno de aprendizaje asiacute concebido puede ayudar a que los estudiantes para maestro aprendan a plantear e interpretar cuestiones y problemas desde la praacutectica - en particular en relacioacuten al aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria- Es decir llegar a problematizar la praacutectica usando los propios instrumentos conceptuales para generar este proceso de problematizacioacuten Por ejemplo planteando cuestiones y preguntas que no tendraacuteian sentido para los estudiantes para maestro sin los instrumentos conceptuales

Al hablar de las tareas se debe tomar en cuenta los

materiales que se vana utilizar Si estos son propicios

para el aprendizaje y si estaacuten al alcance de todos

los estudiantes Mediante esto el maestro puede

desarrollar los aspectos relativos al razonamiento

de anaacutelisis e interpretacioacuten para darle sentido al

conocimiento El formato es esencial desde el

momento que se planifica hasta que se lleva a

cabo

Estas tareas constituyen las decisiones de adoptar

la propia formacioacuten de los maestros Ya que se han

dado casos de maestros que no hacen tareas o

actividades con un nivel mas alto porque ellos no lo

poseen y no se sienten capaces de llevarlas a

cabo Los casos se conciben desde las creencias

(lo que el maestro cree que sabe) y el

conocimiento real de lo que se debe de ensentildear y

profundizar El entrono del aprendizaje de las

matemaacuteticas llega a incrementar la rapidez

mental la practica de ejercicios de aritmeacutetica y

geometriacutea sin contar el factor de razonamiento

loacutegico

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

El cuadro siguiente recoge uno de los casos disentildeados con estas referencias previas y centrado en las estructuras multiplicativas (Llinares 1993) y cuyo disentildeo ha sido analizado en Garciacutea amp Saacutenchez (2001)

Cuadro 1 Caso ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

He estado mucho tiempo ensentildeando en segundo y tercer curso de ensentildeanza Primaria y siempre he tenido dificultades en ayudar a mis alumnos a que relacionaran sus procedimientos informales de resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales de estructura multiplicativa con la aritmeacutetica formal (las cuentas) Yo habiacutea introducido la idea de multiplicacioacuten como suma de sumandos iguales Uno de los ejemplos que habiacutea utilizado era si tengo tres bolsas y en cada bolsa hay cinco caramelos iquestCuaacutentos caramelos tengo en total Mis alumnos eran bastante efectivos resolviendo problemas de multiplicar con esta misma estructura Yo pensaba que ellos sabiacutean resolver problemas de multiplicacioacuten Ademaacutes habiacuteamos estado haciendo muchas cuentas de multiplicar con dos nuacutemeros de un diacutegito y la mayoriacutea de la clase no teniacutea excesivas dificultades Sin embargo este antildeo estando en cuarto a principio de curso puse en la pizarra el siguiente problema Tengo 3 camisas y 4 pantalones iquestDe cuaacutentas maneras diferentes puedo vestirmeldquo Mientras el resto de la clase lo estaba resolviendo me acerqueacute a Santiago me senteacute junto a eacutel y le pregunteacute coacutemo estaba haciendo el problema

S una camisa con

M Puedes dibujarlo si tuacute quieres

S Cuatro (contestando al mismo tiempo que se le indicaba que podiacutea hacer dibujos)

M Puedes hacer un dibujo

S (realiza el siguiente dibujo) cuatro

M (pidieacutendole que se lo explique)

S Tienes esa camisa (sentildealando la camisa dibujada) y si tienes 4 pantalones ese pantaloacuten te puedes poner con otra camisa

Dejeacute a Santiago pensando su problema Por la tarde estaba en una clase de quinto y le propuse a Joseacute Manuel el mismo problema que habiacutea puesto en mi clase por la mantildeana Le pregunteacute coacutemo resolviacutea el problema y me contestoacute dibujando lo siguiente

Si distinguimos el nivel en que los estudiantes estaacuten se pueden dar varios ejercicios para fortalecer el mismo y prepararlos para el siguiente con valentiacutea y entusiasmo De lo contrario puede ocurrir un caso como el siguiente

Caso 1 ldquoSi multiplico 5 cosas por 3 cosas iquestPor queacute no me sale una de las cosas que teniacutea iquestPor queacute a veces la multiplicacioacuten no es repetir una cantidad de cosas n vecesrdquo (Llinares 1993 pp 266-268)

Esta nota supone

Tema multiplicacioacuten

Grado segundo o tercero primaria

Edad de los alumnos 8 ndash 9 antildeos

Problema Falta de comprensioacuten de la operacioacuten matemaacutetica

Esto quiere decir que los estudiantes se encuentran con una dificultad de la multiplicacioacuten ya que si se enfatiza la repeticioacuten de los nuacutemeros por la cantidad que se solicita es un pensamiento abstracto que los estudiantes deberiacutean de haber desarrollado a esta edad Sin Embargo estos estudiantes necesitan de una instruccioacuten y contenido del cual aferrarse para resolver la incoacutegnita Esta instruccioacuten es una herramienta que a la misma vez se observa como un instrumento que

facilita y conforma el proceso de comprensioacuten del problema

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

luego contoacute las liacuteneas que uniacutean las camisas y los pantalones y respondioacute 12 -iquestPor queacute pareciacutea que Santiago teniacutea dificultades en resolver el problema

-iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta teniacutean dificultades en resolver esta situacioacuten -iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar -iquestDeberiacutea haberle puesto a Joseacute Manuel un problema con la misma estructura pero con nuacutemeros mayores -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que ampliacuteen su idea de la multiplicacioacuten - Deberiacutea haber explicado a los nintildeos como se resuelven este tipo de problemas antes de proponeacuterselo -iquestSeriacutea bueno colocar a los nintildeos en grupos para que resolvieran problemas parecidos -iquestQueacute clase de actividades adicionales deberiacutea proponer para que superaran sus dificultades iniciales -iquestCoacutemo puedo ayudar a mis alumnos a que lleguen a comprender que la operacioacuten aritmeacutetica 5 x 3 puede estar vinculada a diversas situaciones y diversos procesos de solucioacuten Un aspecto de este caso lo constituye la relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el proceso de resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la aritmeacutetica en la ensentildeanza Primaria La experiencia de los estudiantes para maestro como aprendices de matemaacuteticas en la escuela normalmente estaacute caracterizada por el eacutenfasis sobre las cuentas (procedimientos y algoritmos) y con un significado dado a la resolucioacuten de problemas en el sentido de aplicacioacuten de los algoritmos para las cuentas previamente aprendidos Este caso proporciona oportunidades a los estudiantes para maestro para ayudar a superar estas creencias previas sobre la ensentildeanza-aprendizaje de la Aritmeacutetica de los estudiantes para maestro ampliar su comprensioacuten de las estructuras de los problemas aritmeacuteticos elementales de los procesos de resolucioacuten subrayar el papel de la resolucioacuten de los problemas aritmeacuteticos en la ensentildeanza Primaria y estudiar el papel que diferentes sistemas de siacutembolos (modos de representacioacuten) desempentildean en el proceso de resolucioacuten de los problemas En el disentildeo de este caso se une la descripcioacuten de procesos reales de aprendizaje matemaacutetico por parte de alumnos de Primaria con la formulacioacuten de unas preguntas que intentan dirigir la atencioacuten de los estudiantes para maestro hacia los instrumentos conceptuales Asumiendo que los estudiantes para maestro interpretan las situaciones presentadas tomando como referencias previas sus propias concepciones lo que puede ser aprendido en estos entornos puede depender de las cuestiones planteadas y de la forma en que la evidencia presentada es interpretada En el ejemplo propuesto las cuestiones previas estaacuten vinculadas a los instrumentos conceptuales que fundamentan este caso

En el texto original se plantea un problema que

consiste en las incoacutegnitas o preguntas que puede

tener un alumno e primaria hacia la multiplicacioacuten

Para esto la maestra utilizo una imagen para

corresponder la cantidad de nuacutemeros que se

deben de repetir para obtener la respuesta sin

embargo todo es consecutivo y siguen las dudas

Un aspecto propio de los estudiantes

La relacioacuten entre el aprendizaje de las cuentas y el

proceso de resolucioacuten del problema proporciona

oportunidades a los estudiantes para superar sus

creencias previas tanto de los estudiantes como

de los maestros

Asumiendo que dirigir a los estudiantes hacia la

respuesta es un instrumento los estudiantes a

maestro deben aprender las metodologiacutea

correctas para interpretar situaciones presentadas

en un contexto matemaacutetico para evidenciar ante

los estudiantes una solucioacuten valida que estaacute

vinculada en todo sentido

Se deben de dar razones que vinculan situaciones

hacia problemas y soluciones

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

- diferentes estructuras en los PAEs

- diferentes estrategias para resolver un PAE determinado

- formas instruccionales de conectar las estrategias informales a la aritmeacutetica formal y

- uso de diferentes sistemas de siacutembolos en el proceso de resolucioacuten de problemas (proceso de simbolizar) y las preguntas

-iquest cuaacutel es el papel de los dibujos y los graacuteficos en el proceso de resolucioacuten de PAEs

-iquest cuaacutel es el papel de la resolucioacuten de problemas en la ensentildeanza de la Aritmeacutetica

-iquest Queacute significa resolver problemas en la ensentildeanza Primaria

El referente teoacuterico para las tareas del estudiante para maestro de diagnosticar y planificar vinculadas a este caso lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas en el dominio cientiacutefico de la Didaacutectica de las Matemaacuteticas y centradas en la multiplicacioacuten y divisioacuten como modelos de situaciones (Greer 1992)5 Las reflexiones sobre la complejidad psicoloacutegica de las situaciones de multiplicar y dividir como contenido de la Aritmeacutetica de la ensentildeanza Primaria se aborda desde el anaacutelisis de la evidencia especiacutefica proporcionada por el caso Ademaacutes se considera el entorno de aprendizaje generado como el medio desde el cual empezar a dotar de significado a los instrumentos conceptuales dado por las diferentes perspectivas teoacutericas que describen las situaciones de multiplicar y dividir (Nesher 1992)6 La construccioacuten de significado de las situaciones de multiplicar y dividir muestra la complejidad de dichas situaciones como objetos de ensentildeanza aprendizaje y el papel que desempentildea el proceso de simbolizacioacuten mostrando coacutemo el desarrollo del significado para dichas situaciones debe tener en cuenta las diferentes formas de representacioacuten disponibles por el aprendiz (Cobb 2000)7 El desafiacuteo para el formador de maestros yace en que los entornos de aprendizaje disentildeados permitan a los estudiantes para maestro conocer estos instrumentos conceptuales de manera que puedan ser uacutetiles para funcionar en su praacutectica futura Es decir los entornos de aprendizaje disentildeados (tarea en forma de casos y la forma de usarla) pretende entrelazar la indagacioacuten sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas en los alumnos de Primaria con la aproximacioacuten criacutetica y el desarrollo de conocimiento teoacuterico relevante en la praacutectica (Llinares 1998) El uso de los casos en la formacioacuten de maestros (Llinares 1993 Garciacutea 2000) proporcionan a los estudiantes para maestro

El estudiante lo constituye el contenido de las reflexiones y resultados de las investigaciones realizadas Estos estudiantes han aprendiz a sobrellevar un aprendizaje en la matemaacuteticas basado en puntos en calificaciones en notas para ganar el curso y esto es algo maacutes que eso La construccioacuten de un significado independientemente de si es multiplicacioacuten divisioacuten suma o resta todos estos complementan situaciones que son objetos de ensentildeanza aprendizaje Todo lo anteriormente descrito se presenta disponible para el aprendiz

El desafiacuteo para el formador o maestro yace en relacionar el entorno de Guatemala en temas tan complejos como ecuaciones plano cartesiano y muchos otros tan complejos que tienen las matemaacuteticas Si los formadores consideran el entorno del aprendiz se generaraacute un ambiente de seguridad y comodidad para hacer preguntas indagar trasformar y sugerir nuevas respuestas que lleven hacia un mismo resultado

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

oportunidades para hacer puacuteblicas sus interpretaciones -que suelen permanecer en el aacutembito privado en los contextos reales de la escuela - y situarlas en el centro del debate

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver maacutes allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Llegar a problematizar la evidencia empiacuterica proporcionada en los casos para generar un anaacutelisis que supere lo obvio dependeraacute de los instrumentos conceptuales a traveacutes de los cuales se desarrollan los procesos interpretativos De esta

manera el desafiacuteo para los formadores de maestros radica en que lo que deben aprender los estudiantes para maestro no es evidente para ellos y que su propia experiencia previa puede convertirse en un freno a su aprendizaje

Aprendiendo sobre el aprendizaje de las matemaacuteticas de los alumnos de Primaria las estructuras multiplicativas como dominio de indagacioacuten El anaacutelisis de lo realizado por los estudiantes para maestro en las tareas de - diagnosticar (desde el punto de vista de dotar de significado a las producciones de los alumnos de Primaria) y - planificar (desde el punto de vista de ldquoque hacer a continuacioacutenrdquo) se contextualiza en el ejemplo que estamos considerando en el aacutembito de las estructuras multiplicativas y se ejemplifica desde los protocolos de estudiantes para maestro en una asignatura de Didaacutectica de la Matemaacutetica organizada utilizando casos

El anaacutelisis del caso como una tarea-actividad del curso de formacioacuten proporciona una oportunidad a los estudiantes para maestro para aprender a interpretar las respuestas de los alumnos -diagnosticar- y construye el

contexto para introducirse en el disentildeo de actividades teniendo en cuenta las respuestas de los alumnos - planificar- Sin embargo los procesos de construccioacuten de significado por parte de los estudiantes para maestros de los instrumentos conceptuales vinculados a este tipo de tareas y contexto pone de manifiesto dos cosas

a) la influencia de lo ldquoaprendido por observacioacutenrdquo a lo largo de la permanencia en la escuela de los estudiantes para maestro que determina el contenido de sus creencias - es decir la historia personal del estudiante para maestro como aprendiz de matemaacuteticas - y

b) b) la diferencia entre ldquoconocerrdquo los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo y ldquousarlosrdquo en la realizacioacuten de las tareas que caracterizan la praacutectica de ensentildear (en el caso de diagnosticar y planificar)

1048713 Proceso de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica el papel de las creencias y el significado de los instrumentos conceptuales Lo que el estudiante para maestro ldquocree que saberdquo y sus creencias sobre las matemaacuteticas escolares el aprendizaje la ensentildeanza y el papel del profesor se convierten en condicionantes del significado dado a los instrumentos conceptuales

Desde la perspectiva del formador de maestros ayudar a los estudiantes para maestros a ver mas allaacute de lo obvio y realizar un anaacutelisis no superficial de la evidencia empiacuterica es un desafiacuteo Depende no solo de los instrumentos utilizados si no de los procesos interpretativos que se utilicen en el mismo La experiencia previa es elemental y necesaria para convertir un freno de aprendizaje a un incentivo para el mismo

El anaacutelisis para el maestro radica en

bull Diagnosticar como estaacuten los estudiantes

bull Y planificar que hacer con esta situacioacuten

Introducir la nueva planificacion debe ser frozada a propocionar actividades que den respuesta a incognitas de los maestros Pero estas ponen en manifiesto dos cosas

La influencia de lo aprendido por observacioacuten

La diferencia entre conocer los onceptos y usarlos

Al momento de obtener las respuestas tomando en cuenta ambos apectos se procede al proceso de interpretacioacuten conforme las creencias y el significado de los instrumentos conceptuale Se refiere a lo que se sabe lo que se cree saber lo que se ve y lo que se

deberaacute saber

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

vinculados a estas tareas Es decir condicionando lo que se ldquoverdquo desde la evidencia

empiacuterica y por tanto determinando los procesos de interpretacioacuten Por ejemplo en la

tarea de diagnosticar algunos estudiantes para maestro indicaba en su informe de esta

situacioacuten

ldquoEl planteamiento del problema puede ocasionar confusioacuten ya que no existe ninguacuten dato en el

enunciado del problema que pueda ayudar a saber queacute operacioacuten debe realizarse para su

resolucioacutenrdquo (G-E)

ldquoLe costaba entender el problema de la multiplicacioacuten porque no era capaz de resolverlo

formalmente (con cuentas) sino que tuvo que hacerlo con dibujos y despueacutes de haberlo

pensado detenidamente en su casa y porque solo era capaz de entender la multiplicacioacuten

como suma de sumandos iguales (de combinacioacuten)rdquo (g-A)

ldquo no entiende la multiplicacioacuten como un problema de combinacioacuten sino como suma de

sumandos igualesrdquo (g-A)

La primera idea expresada en estos protocolos pone de manifiesto la creencia sobre el

aprendizaje en el sentido de que la ldquocomprensioacutenrdquo de las situaciones de multiplicar

puede estar vinculada a la capacidad de usar cuentas (operaciones aritmeacuteticas) Esta

creencia estaacute vinculada a otra en la que las matemaacuteticas escolares se identifican con

los algoritmos de la aritmeacutetica Estos estudiantes para maestro posiblemente no

identifican el proceso de dotar de significado a una situacioacuten de multiplicar que un

alumno de Primaria desarrolla realizando dibujos u otras formas de simbolizar para

mostrar las cantidades y las relaciones entre las cantidades y que configuran el

problema que el maestro le ha presentado

En los otros protocolos el uso de instrumentos conceptuales por parte de los

estudiantes para maestro puesto de manifiesto con la identificacioacuten de dos estructuras

de situaciones de multiplicar diferentes -suma de sumandos iguales y combinacioacuten-

viene ldquointegradardquo con una manera de ver el aprendizaje de las problemas de multiplicar

dado por su creencia de que la comprensioacuten se manifiesta con la realizacioacuten de las

cuentas (operaciones aritmeacuteticas) que ldquoresuelvenrdquo el problema Esta integracioacuten entre

los significados dados a los instrumentos conceptuales y las creencias mantenidas se

manifiesta en los siguientes protocolos de G-E

ldquo[iquestPor queacute si habiacutea estado haciendo cuentas con nuacutemeros maacutes grandes de manera correcta

tenia dificultades en resolver esta situacioacuten ] Porque este modo de resolver la multiplicacioacuten no

corresponde al modelo de suma repetida sino que este tipo de problemas implica multiplicar

dos cantidades de dos magnitudes diferentes para obtener una tercera cantidadrdquo

[iquestJoseacute Manuel veiacutea este problema como un problema de multiplicar] Si porque ya no ve la

multiplicacioacuten como una suma de sumandos iguales sino que tambieacuten la considera una

operacioacuten entre dos cantidades para obtener otrardquo

Es decir que desde la evidencia de lo que el

maestro observa y conoce se determinan procesos

que indican una mejora continua

En el texto original se dan unos pensamientos que

comprenden las ideas de los maestros hacia el

Caso 1 propuesto anteriormente

Las ideas expresadas posiblemente identifican el

proceso de dotar de significado a una situacioacuten de

multiplicar como una repeticioacuten llevando cuentas

sin embargo la multiplicacioacuten es una operacioacuten

mas compleja que conlleva mas que repeticioacuten

sino una suma repetitiva seguacuten indiquen las partes

Esta integracioacuten de los significados dados a los

instrumentos conceptuales y la creencias

mantenidas se manifiestan en los siguientes

protocolos

bull La multiplicacioacuten la consideran una operacioacuten

entre dos cantidades para obtener otra

bull Si la considera operacioacuten necesita un

proceso

bull Puede ser considerado una caracteriacutestica pero

lleva una estructura

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

El papel desempentildeado por las creencias en los procesos de interpretacioacuten del

aprendizaje matemaacutetico de los alumnos de Primaria generados por los estudiantes para

maestro puede ser considerado una caracteriacutestica del proceso de aprender a ensentildear

En este sentido los estudiantes para maestro utilizaban la idea de diferentes estructuras que modelan la situacioacuten multiplicativa (instrumento conceptual) para proporcionar su

interpretacioacuten de la manera en la que los alumnos de Primaria pareciacutean estar

resolviendo el problema planteado

Considerados globalmente estos protocolos muestran de queacute manera

- los instrumentos conceptuales y

- las creencias

son dos referentes diferentes en el proceso de interpretar la evidencia empiacuterica que

proporciona el caso a traveacutes del video En la medida en la que los instrumentos

conceptuales empiecen a sustituir a las creencias en el proceso de interpretar la

realidad la praacutectica del futuro profesor se aproximaraacute a una dimensioacuten maacutes profesional

Es por ello por lo que el proceso de criacutetica de las creencias mantenidas debe realizarse

con la incorporacioacuten de los instrumentos conceptuales que pueden ayudar a que los

estudiantes para maestro lleguen a cuestionarlas Por otra parte una caracteriacutestica

similar puede ser identificada si analizamos el uso que de los instrumentos

conceptuales se realiza en el disentildeo por parte de los estudiantes para maestro de

instrumentos teacutecnicos para la ensentildeanza Estas caracteriacutesticas seraacuten analizadas en las

proacuteximas secciones

1048713 Uso de instrumentos conceptuales y su justificacioacuten en dotar de significado al

proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico

En la redaccioacuten por parte de los estudiantes para maestro del informe vinculado al

caso se pone de manifiesto la presencia de los instrumentos conceptuales en el

ldquodiscurso escritordquo Sin embargo los instrumentos conceptuales no son utilizados para

dotar de sentido al proceso de resolucioacuten del problema generado por los alumnos es

decir diagnosticar Esta caracteriacutestica entre el uso discursivo de un instrumento

conceptual pero sin ser usado en el proceso de interpretacioacuten se muestra en el

protocolo siguiente

ldquoUn problema aritmeacutetico elemental es un problema de encontrar Se nos pide que bajo ciertas

condiciones se determine una cantidad a partir de otras que nos proporcionan (datos) el

objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos

que le ayuden a resolver el problema Normalmente son 4 pasos

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentidordquo

La diferencia entre el uso discursivo de los instrumentos conceptuales y su uso en el

desarrollo de la tarea de diagnosticar pone de manifiesto la diferencia entre ldquoconocerrdquo y

ldquousarrdquo los elementos conceptuales como instrumentos para analizar la evidencia

empiacuterica proporcionada por el caso Esta situacioacuten pone de manifiesto la necesidad de

determinar los dominios semaacutenticos que los estudiantes para profesor asocian a las

ldquopalabrasrdquo que ayudan a describir los instrumentos conceptuales en un nivel discursivo

Considerando los problemas que se plantean al hablar de los conflictos entre lo que el maestro supone se notan totalmente los

bull Instrumentos conceptuales

bull Las creencias

En la medida de que los conceptos empiecen a sustituir a las creencias el futuro profesor de aproxima a una dimensioacuten mas profesional Este debe de estar bajo las condiciones de una constante evaluacioacuten para verificar la mejora del grupo sus debilidades y fortalezas y aunque sea poco obvio su auto evaluacioacuten como maestro Si su labor docente es propia y completamente efectiva para los estudiantes

El objetivo no es fastidiar ni darle una carga al maestro es fortaleces y afianzar una educacioacuten optima en el aacuterea de matemaacuteticas y porque no en la otras tambieacuten El objetivo curricular no es el de hacer cuentas sino que el alumno llegue a identificar los pasos que le ayuden a resolver el problema los cuales se dividen en 4

1 Comprender el problema

2 El alumno debe intentar trazar un plan

3 Llevar a cabo

4 Ver si tiene sentido

Esto propicia el conocer y hacer uso

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

En relacioacuten a esta uacuteltima reflexioacuten el propio informe de los estudiantes para maestro

algunas veces puede aportar indicaciones de la manera en la que intentan dotar de

significado a los instrumentos conceptuales y de usarlos en la tarea de diagnosticar

Asiacute por ejemplo un grupo de estudiantes para maestro indicaba

ldquo (en relacioacuten a la respuesta de Santiago) la maestra se fijo en los cursos anteriores en una

misma estructura de problemas El nintildeo quizaacutes se acostumbroacute a resolver problemas de

multiplicar para una determinada estructura o con una misma idea suma de sumandos iguales

Ahora cuando se le plantea un problema de multiplicacioacuten pero con la idea de combinacioacuten

nueva para eacutel no sabe como resolverlo El problema posee una estructura diferente a la que eacutel

conoce y su respuesta por lo tanto es espontaacutenea no loacutegica(G-B)

La interpretacioacuten de los procesos de resolucioacuten de la situacioacuten multiplicativa

desarrollada por este grupo de estudiantes para maestro muestra el uso del

conocimiento de diferentes estructuras de las situaciones multiplicativas para dotar de

sentido a las dificultades que los alumnos teniacutean A diferencia de otros grupos en los

que la dificultad de los alumnos de Primaria en el proceso de resolucioacuten era

interpretada desde el punto de vista de dificultades con la comprensioacuten de la operacioacuten

de multiplicar en este grupo los estudiantes para maestro identifican la estructura de la

situacioacuten multiplicativa como el origen de las dificultades Sin embargo la interpretacioacuten

de este mismo grupo de si desde la respuesta de Joseacute Manuel (uno de los alumnos del

caso) podiacutea inferirse cierta comprensioacuten de la multiplicacioacuten indican

ldquoNo se limita a contar las liacuteneas dibujadas Conoce la idea de combinacioacuten entre pantalones y

camisas pero no la aplica en la multiplicacioacuten es decir no asocia la relacioacuten establecida

mediante liacuteneas con la idea de repeticioacuten

1 camisa - 4 pantalones 1 camisa- pantalones 1 camisa-4pantalones

3camisas x 4 pantalones 12 formas de vestir diferentesrdquo (G-B)

Aunque hay un uso del instrumento conceptual en la interpretacioacuten del proceso de

resolucioacuten existe al mismo tiempo una manifestacioacuten de la creencia de que el

aprendizaje es ldquoun absolutordquo del tipo ldquose sabe o no se saberdquo El reconocimiento de la

construccioacuten del conocimiento como un proceso conlleva la aceptacioacuten de ldquoformas de

conocer relativasrdquo que los estudiantes para maestro deben aprender a reconocer desde

la respuesta de los alumnos de Primaria Sin embargo aunque podamos suponer que

estos estudiantes para maestro conciben el significado dado a la idea aritmeacutetica de

multiplicar como un absoluto y no reconozcan inicialmente la posibilidad de aceptar

como una variable en la interpretacioacuten de las respuestas de sus alumnos la idea de

ldquoconstruccioacuten del conocimientordquo este tipo de respuesta en los informes elaborados por

los estudiantes para maestro tambieacuten son caracteriacutestico de ldquosu proceso de construccioacuten

del conocimientordquo Es en este tipo de situaciones en las que los formadores de

maestros debemos tambieacuten poner en juego la idea de la ldquoconstruccioacuten del

conocimientordquo en relacioacuten al proceso de aprendizaje de nuestros alumnos

En relacioacuten a la ultima reflexioacuten la interpretacioacuten

de los procesos debe de ser el mismo en todos los

estudiantes Con el fin de solucionar un problema

los patrones son repetitivos y seguros La diferencia

es la dificultas de resolucioacuten al punto de vista de la

comprensioacuten y el origen de la dificultad Pero

siendo honestos los problemas matemaacutetico son y

seraacuten para desarrollar un pensamiento que

decodifica y hace entender mas allaacute de lo que se

ve y se tiene Los problemas que se plantean en la

primaria son para tener bases solidas sobre las

cuales se construiraacuten futuros empresarios para el

Paiacutes Pro tan razoacuten es muy importante la creencia

de que el aprendizaje es un absoluto del tipo ldquose

sabe o no se saberdquo Sin embargo muy pocos

docentes tienen el coraje y la capacidad para

desarrollar este tipo de inteligencia que deberiacutea

de ser la mas importante en la primaria Al no

priorizar la matemaacutetica como el centro de la

educacioacuten los maestros ponen en juego la idea de

construccioacuten de conocimiento a la deriva de la

nada Es cierto que la matemaacutetica necesita de

otras materias como lenguaje y Sociales para

relacionarlas a su entrono inmediato pero hay que

tomar en cuenta que la base de la educacioacuten se

constituye en sistemas de razonamiento y loacutegica

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

1048713 Uso y justificacioacuten de instrumentos conceptuales y teacutecnicos en el disentildeo de la

ensentildeanza

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten que proporcionan

para la tarea de los estudiantes para maestro de disentildear sus propios instrumentos

teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear Algunas de las tareas de la praacutectica de ensentildear

son

- la planificacioacuten y

- la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por

los alumnos de Primaria

En relacioacuten a la tarea de disentildear algunas respuestas producidas por los estudiantes

para maestro pueden venir justificadas por el uso de ciertos elementos conceptuales

vinculados a este aspecto especiacutefico de la praacutectica de ensentildear Asiacute por ejemplo un

grupo de estudiantes para maestro despueacutes de identificar ejemplos de problemas con

diferentes estructuras en las situaciones multiplicativas (usando los teacuterminos suma de

sumandos iguales reparto medida combinacioacuten) indicaba en relacioacuten a un ldquoguioacuten

para la ensentildeanzardquo

ldquoRealizaremos algunos ejemplos de los propuestos en la pizarra a modo de gran grupo de

forma que a traveacutes de nuestra ayuda sean los alumnos los que iraacuten resolviendo el problema

paso a paso para despueacutes realizarlo individualmente Es conveniente que se tenga en cuenta

todas las ideas y propuestas de los alumnosas ya que es posible que un mismo problema

pueda ser resuelto de distintas formas

CUESTIONES GENERALES

- implican la comprensioacuten del problema

- orienta a los alumnos

- identificar cual es la cuestioacuten del problema queacute datos tenemos y que nos falta

- reflexionar si con los datos disponibles es posible resolver el problema o nos falta algo

- identificar la operacioacuten u operaciones que tenemos que realizar y preguntar a los

alumnos porqueacute han escogido precisamente ese tipo y si creen que es adecuado

- pedir a los alumnos que comprueben si el resultado que obtienen es acorde con los

datos proporcionadosrdquo

El guioacuten propuesto no es especiacutefico de las situaciones multiplicativas y en particular no

refleja lo que estas situaciones aportan de dificultad a los alumnos de Primaria Sin

embargo refleja a un nivel discursivo algunos de las caracteriacutesticas de los instrumentos

conceptuales de la tarea de ensentildear resolucioacuten de problemas (eg posibilidad de

reconocer la existencia de diferentes procedimientos de resolucioacuten la identificacioacuten de

un tiempo en la secuencia de ensentildeanza para la justificacioacuten por parte de los alumnos

de los procedimientos seguidos y la posibilidad de analizar la relacioacuten entre la

estructura de la situacioacuten y la operacioacuten elegida para resolverla)

Otro ejemplo del inicio del uso de los instrumentos conceptuales en la elaboracioacuten de

criterios de evaluacioacuten como elementos de la praacutectica del maestro se da cuando los

estudiantes para maestro disentildean sus instrumentos de evaluacioacuten para el aprendizaje

del proceso de resolucioacuten de problemas de los alumnos de Primaria Como en el

informe elaborado por uno de los grupos indicaba

El uso de los instrumentos conceptuales radica en la justificacioacuten Los estudiantes necesitan respuestas a lo que estaacuten haciendo para coacutemo cuaacutendo y doacutende lo usaraacuten

Algunas de las tareas de la practica a ensentildear son

bull la planificacioacuten y

bull la elaboracioacuten de criterios de evaluacioacuten del aprendizaje matemaacutetico por los alumnos de Primaria

Un ejemplo del uso de los instrumentos se puede observar en el texto original al dar ordenes o instrucciones de lo que un maestro deberiacutea de ejercer al momento de utilizar instrumentos matemaacuteticos Empieza desde la comprensioacuten del problema hasta comprobar si el resultado es correcto o no

Estas instrucciones son correctas y tienen muchos puntos validos hacia el proceso de la ensentildeanza de las matemaacuteticas sin embargo la praacutectica es quien hace al maestro asiacute que nada sirve enumerarlos si no se comprueba que sea eficaz para los estudiantes de un cierto grupo Todos los estudiantes son distintos por eso es tan importante tomar en cuenta las inteligencias muacuteltiples al momento de planificar una clase implementando los pasos descritos anteriormente

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

ldquoLos criterios a tener en cuenta son

- si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

- si manipula representa y resuelve los problemas

- si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si

tiene validez con lo que se le ha preguntado

- claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

- anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacutenrdquo (G-B)

Asiacute mismo otro grupo indica diferentes niveles de comprensioacuten en el disentildeo de su

instrumento de evaluacioacuten explicitando claramente diferentes niveles de comprensioacuten

que se pueden tener en cuenta

ldquoNIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

(G-D)

El disentildeo de instrumentos de la praacutectica como es el establecimiento de criterios de

evaluacioacuten del proceso de resolucioacuten de problemas de estructuras multiplicativas

empieza a mostrar coacutemo los estudiantes para maestro se separan de lo especiacutefico de

la situacioacuten mostrada en el caso para empezar a generar aproximaciones maacutes

generales a la praacutectica

Caracterizando el aprendizaje de los estudiantes para maestro Referencias para

el desarrollo de una teoriacutea de aprender a ensentildear

El disentildeo tecnoloacutegico que supone la elaboracioacuten de los casos y el anaacutelisis de su

implantacioacuten en las aulas de la formacioacuten de maestros descritos en este trabajo puede

ser visto como un intento de concebir el aprender a ensentildear llevando la evidencia

empiacuterica de la praacutectica de ensentildear a la Universidad En el caso especifico descrito se

usa la evidencia del aprendizaje de los alumnos de Primaria de la estructura

multiplicativa El caso permite a los estudiantes para maestro estudiar la situacioacuten con

detalle y sin la dificultad de la presioacuten del contexto real La negociacioacuten de los

significados atribuidos a los diferentes instrumentos conceptuales que pueden ser

aplicados en el anaacutelisis del aprendizaje de los alumnos de Primaria de diferentes

aspectos de la estructura multiplicativa puede ser realizada en el contexto de las aulas

universitarias pero desde la evidencia empiacuterica de la praacutectica

Esta aproximacioacuten al curriacuteculum de la formacioacuten de maestros permite difuminar la

disputa entre dos posiciones antagoacutenicas definidas por el aprendizaje en contextos

praacutecticos - las aula de las escuelas- y por el aprendizaje realizado en las aulas

universitarias (Garciacutea en prensa) El uso de los casos permite aproximarnos al aprendizaje de una praacutectica - la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas -en el contexto de la

Universidad Sin embargo tambieacuten tiene como objetivo capacitar a los estudiantes para

maestro para aprender por ellos mismos desde la praacutectica De ahiacute la importancia de los

instrumentos conceptuales y de la generacioacuten del haacutebito de problematizar lo evidente

que deberiacutea ser generado durante su formacioacuten inicial

Como todo buen maestro es importante resaltar los criterios que deben ser tomados en cuenta como una ley del aula

bull si el alumno interpreta y dota de significado a la situacioacuten que se le propone

bull si manipula representa y resuelve los problemas

bull si actuacutea coherentemente en las operaciones concretas y con los resultados obtenidos ver si tiene validez con lo que se le ha preguntado

bull claridad y limpieza en la realizacioacuten de los problemas

bull anotacioacuten de los datos antes de resolver la situacioacuten

Por supuesto estos se deben de adaptar de acuerdo al nivel de inteligencia

El texto original describe 4 que son los siguientes

NIVEL A comprender el problema y llevar acabo estrategias de resolucioacuten con eficacia

y es capaz de explicar el proceso de resolucioacuten

NIVEL B Iacutedem pero no es capaz de expresar el porqueacute de la resolucioacuten aunque no

necesita modelar sus actuaciones

NIVEL C entiende el problema pero necesita modelar sus acciones para llevar a cabo

la resolucioacuten del problema

NIVEL D aunque lleva a cabo modelaciones de las acciones no es capaz de alcanzar

la comprensioacuten del problema y por tanto no usa ninguna estrategia de resolucioacuten

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

La aportacioacuten que se realiza desde esta manera de entender la formacioacuten de maestros radica en articular la toma de decisiones de los formadores de maestros desde una perspectiva antropoloacutegica de la praacutectica de ensentildear que considera dos dimensiones

- uso y

- generacioacuten

de instrumentos de la praacutectica ndash conceptuales y teacutecnicos ndash y conocimiento como ejes alrededor de los cuales desarrollar la praacutectica de ensentildear

Como nuestro anaacutelisis de los informes de los estudiantes para maestro indica el proceso por el cual los estudiantes para maestro dotan de significado a los

instrumentos conceptuales vinculados a las situaciones de la praacutectica viene

determinado por sus creencias previas y en cierta medida el uso que se realiza de estos instrumentos conceptuales en las tareas de disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas empiezan a mostrar la diferencia entre un uso retoacuterico y la propia fundamentacioacuten de sus acciones Posiblemente las ldquopraacutecticas de ensentildeanzardquo (el practicum) puedan ayudar a discriminar mejor si los entornos de aprendizaje disentildeados e implementados desde una perspectiva situada del proceso de

aprender a ensentildear matemaacuteticas ayudan a que los estudiantes para profesor generen los recursos necesarios para aprender desde la praacutectica Sin embargo desde el anaacutelisis realizado podemos empezar a suponer que existe un intento de los estudiantes para maestro por separarse de lo especiacutefico de la situacioacuten para construir argumentos desde el uso de los instrumentos conceptuales que pueden ser generalizables a otras situaciones Pero otras cuestiones quedan por responder como es la

capacidad de aprender desde la praacutectica que puedan generar estos estudiantes para maestro Finalmente el anaacutelisis realizado ha mostrado las caracteriacutesticas de la transicioacuten en la capacitacioacuten docente que los estudiantes para maestro generan en los entornos de aprendizaje que se han puesto de manifiesto en - los procesos de interpretacioacuten de los elementos de la praacutectica explicitados mediante los papeles desempentildeados por las habilidades profesionales de diagnosticar en el papel de las creencias y lossignificados de los instrumentos conceptuales y en su uso en dotar de significado el proceso de construccioacuten del conocimiento matemaacutetico de los alumnos de Primaria y

- en la generacioacuten de la habilidad profesional desarrollada para la tarea de

disentildear instrumentos teacutecnicos para la praacutectica de ensentildear matemaacuteticas

en la educacioacuten Primaria

Aprender a ensentildear ha sido el tema de todo el

texto haciendo uso correcto de los instrumentos

didaacutecticos necesarios para la matemaacutetica

Capacitar estudiantes de magisterio para una

educacioacuten que propicie estudiantes proactivos con

deseos de aprender y superase diacutea con diacutea La

aportacioacuten no solo depende el maestro tambieacuten

del estudiante sus conceptos y creencias que

forman parte de su ser pero se iraacuten modificando

con el paso del tiempo y el nuevo conocimiento

Como mi anaacutelisis va reflejado en la educacioacuten de

Guatemala y no en la de Sevilla como lo es en el

texto original debo agregar que la educacioacuten

podriacutea ser mejor si maacutes maestros tuvieran acceso a

la preparacioacuten necesaria para impartir las

matemaacuteticas de una manera interactiva y

entusiasta que motivara al estudiante y no lo

dejara con un vaciacuteo existencial sobre lo poco

inteligente o capaz que es Finalmente las

caracteriacutesticas del maestro y el estudiante

guatemalteco debe cambia para bien solo asiacute lo

procesos de razonamiento podraacute cambiar y

transformaraacute la sociedad hacia respuestas

concretas y eficaces en todo sentido

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Conclusiones

1 El maestro juega un papel importante en la ensentildeanza aprendizaje de las matemaacuteticas

2 Los estudiantes requieren de procesos concretos que verifiquen su validez ante operaciones matemaacuteticas

3 Para conocer las verdaderas necesidades de los estudiantes se debe de hacer un diagnoacutestico previo para planificar futuras clases en base a necesidades

4 Los instrumentos utilizados en la ensentildeanza de las matemaacuteticas tales como material didaacutectico manipulable estrategias y metodologiacutea son esenciales tanto para el maestro como para el estudiante

5 El entorno marca una gran influencia en el conocimiento previo del estudiante hacia temas nuevos y su aplicacioacuten en el futuro

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115

Bibliografiacutea

bull S Llinares Generacioacuten y uso de

instrumentos de la praacutectica

bull Publicado en (2004) UNO Revista de

Didaacutectica de las Matemaacuteticas nordm 36

pp 93-115