PROCESSOS ESTOCASTICOS2002/03

1o Teste9 de Novembro de 2002

LMAC

Duracao do Exame: 1h 45m Justifique todas as respostas

Uma maquina produz componentes electronicas segundo um processo de Poisson a taxa de 10componentes por hora. Seja N(t) o numero de componentes produzidas ate ao instante t h.

(a) Determine a probabilidade de serem produzidas pelo menos 8 componentes na primeira hora (3.0)

dado que uma inspeccao efectuada duas horas apos o inıcio da producao detectou que tinhamsido produzidas 20 componentes ate esse instante.

(b) Atraves da derivacao de uma equacao de tipo renovamento e do uso do teorema fundamental (4.0)

do renovamento, derive a distribuicao limite da idade do processo de renovamento associadoa producao de componentes pela maquina.

Nota: Se nao conseguir derivar uma equacao de tipo renovamento, obtenha a distribuicao limite daidade do processo por um metodo alternativo.

Imediatamente apos ser produzida, cada componente e testada durante x h. Diz-se que a com-ponente sobrevive (falha) se a sua duracao e superior (inferior ou igual) a x h. As duracoes (h) dasdiferentes componentes sao v.a. contınuas i.i.d. a Y , com f.d.p. fY (.) e f.d. FY (.).

Seja N?f (t) o numero de componentes que tendo sido produzidas ate ao instante t h falham o

teste no intervalo [0 h, t h].

(c) Conclua que N?f = {N?

f (t), t ≥ 0} e um processo de Poisson nao-homogeneo com funcao media (4.0)

{Λ?

f (t) = 10∫ t

0FY (min(x, s)) ds, t ≥ 0

}.

(d) Determine a f.d. do numero de horas que decorrem desde o instante t h ate a falha seguinte de (4.0)

uma componente (i.e., do tempo de vida residual de N?f no instante t) e determine a respectiva

distribuicao limite.

Cada componente que falha durante o teste produz um prejuızo de c1 euros. Por outro lado, sea n-esima componente produzida sobrevive ao teste produz um lucro positivo de Rn euros, sendoas v.a. Rn i.i.d. a R com valor esperado de c2 euros.

Seja L(t) (L?(t)) o lucro potencial (efectivo) obtido ate ao instante t h, i.e., L(t) (L?(t)) e o lucroobtido com as componentes produzidas (testadas) ate ao instante t h.

(e) Determine limt→+∞ E[L(t)]/t, a taxa de lucro potencial esperado por unidade de tempo a (3.0)

longo prazo.

(f) Qual e a relacao entre limt→+∞ E[L(t)]/t e limt→+∞ E[L?(t)]/t? (2.0)

Sugestao: Argumente que L(t)−∑N(t)n=N(t−x)+1 Rn ≤ L?(t) ≤ L(t)+ c1[N(t)−N(t−x)], para t ≥ x.

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Instituto Superior Tecnico – Processos EstocasticosFormulario do 1o Teste – 1o Semestre 2002/03

Distribuicao de X P (X = k) µX = E[X] σ2X = Var[X] E[zX ]

Uniforme ({1, 2, . . . , n}) 1/n (n + 1)/2 (n2 − 1)/12 z(1−zn)n(1−z)

Binomial (n, p)(nk

)pk(1− p)n−k np np(1− p) (1− p + pz)n

Geometrica (p) (1− p)k−1p 1/p (1− p)/p2 pz1−(1−p)z

Binomial Negativa (r, p)(k−1r−1

)pr(1− p)k−r r/p r(1− p)/p2

(pz

1−(1−p)z

)r

Poisson (λ) e−λλk/k! λ λ e−λ(1−z)

Distribuicao de X fX(x) µX = E[X] σ2X = Var[X] E[e−sX ]

Uniforme (a, b) 1b−a (a + b)/2 (b− a)2/12 e−as−e−bs

s(b−a)

Exponencial (λ) λe−λx 1/λ 1/λ2 λλ+s

Erlang (n, λ) λe−λx (λx)n−1

(n−1)! n/λ n/λ2(

λλ+s

)n

Normal (µ, σ2) 1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 µ σ2 e−µs+(sσ)2

2

f(t) TL(f) = f?(s) =∫∞0 e−stf(t) dt g(t) g?(s) =

∫∞0 e−stg(t) dt

1 1/s af(t) + b h(t) af?(s) + b h?(s)

tn n!/sn+1 df(t)dt sf?(s)− f(0)

tn−1e−at

(n−1)! 1/(s + a)n e−atf(t) f?(s + a)

sin(at) a/(s2 + a2)∫ t0 f(u)du f?(s)/s

e−at−e−bt

b−a 1/[(s + a)(s + b)] tnf(t) (−1)n dn

dsn f?(s)

Processo de Poisson nao-homogeneoN = {N(t), t ≥ 0} ∼ PPNH({Λ(t), t ≥ 0}); Sn = inf{t ≥ 0 : N(t) ≥ n}, n ∈ IN0.

• [(S1, S2, . . . , Sn)|N(t) = n] d= (Y1:n, Y2:n, . . . , Yn:n) com FY (y) = Λ(y)Λ(t) , 0 ≤ y ≤ t.

• Para mecanismo de registo de Bernoulli com probabilidade p(s, t) de registo individual ate aoinstante t de um evento ocorrido no instante s e sendo Nr(t) o numero de eventos registados nointervalo [0, t]:

Nr = {Nr(t), t ≥ 0} ∼ PPNH({

Λr(t) =∫ t

0p(s, t) dΛ(s), t ≥ 0

}).

Processo de Renovamento com SIR {Sn, n ∈ IN}, f.dist. TRS F com val. esp. µ.ETR: H(t) = D(t) +

∫ t0 H(t− x)dF (x)

• |D(t)| < ∞⇒ H(t) = D(t) +∫ t0 D(t− x)dM(x).

• TFR: F aperiodica, D e diferenca de duas funcoes monotonas e∫∞0 |D(t)| dt < ∞

limt→+∞H(t) =

∫ ∞

0D(t) dt

/µ.

• Fe(x) =∫ x0 F (u) du/µ, x ≥ 0.

• R(t) =∑N(t)

n=1 Rn e {(Sn − Sn−1, Rn), n ∈ IN} iid∼ (X, R):

limt→+∞

R(t)t

= limt→+∞

E[R(t)]t

=E[R]

µ.

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