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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE BBUUEENNOOSS AAIIRREESS
Facultad de Ingeniería
TTEESSIISS DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA
Presentada por:
Juan Facundo GONZALEZ
DDIISSPPOOSSIITTIIVVOO PPAARRAA MMEEDDIICCIIÓÓNN DDEE PPEEQQUUEEÑÑOOSS
FFLLUUJJOOSS EENN SSOOLLUUCCIIOONNEESS AACCUUOOSSAASS
Director:
Dr. Ing. Guillermo ARTANA
Diciembre de 2003
DISPOSITIVO PARA MEDICIÓN DE PEQUEÑOS FLUJOS EN SOLUCIONES ACUOSAS
Alumno: JUAN FACUNDO GONZALEZ Padrón: 75.836 Lugar de Trabajo: Laboratorio de Mecánica de Fluidos,
Dto. de Ingeniería Mecánica y Naval, Facultad de Ingeniería. UBA. Director: Dr. Ing. GUILLERMO ARTANA. Fecha de Presentación: Informe final aprobado por: __________________________ _____________________________ Alumno __________________________ _____________________________
Director _____________________________
CONTENIDOS
1
Contenidos
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................6
1- GENERALIDADES SOBRE GOTAS Y EL FENÓMENO DE “GOTEO”......................................9
1.1 – INTRODUCCIÓN ................... ............................................................................................................10
1.2 – MECÁNICA DEL CRECIMIENTO DE LAS GOTAS. ................... ..................................................11
1.3 – EQUILIBRIO DE UNA GOTA PENDIENDO EN EL EXTREMO DE UN TUBO ..........................14
1.4 – SISTEMA DE PRODUCCIÓN DE GOTAS EN RÉGIMEN DE “DRIPPING” O “GOTEO”...........15
1.4.1 – Gotas de tamaño uniforme ....................................................................................................16
1.4.2 – Gotas cargadas eléctricamente ..............................................................................................17
1.5 – VOLUMEN DE LAS GOTAS PRIMARIAS ......................................................................................18
1.6 – GENERACIÓN DE GOTAS SATÉLITE ............................................................................................18
1.7 – EFECTO DE LA PARED DEL TUBO EN LA FORMACIÓN DE LAS GOTAS .............................20
1.8 – ELONGACIÓN Y DESPRENDIMIENTO DE UNA GOTA .............................................................21
1.9 – LONGITUD LIMITE DE LA GOTA ..................................................................................................23
1.10 – VARIACIÓN DEL VOLUMEN Y LONGITUD LÍMITE CON EL CAUDAL ...............................26
1.11 – COMPORTAMIENTO DE LAS GOTAS AL CAER. ......................................................................28
1.11.1 – Velocidad terminal de las gotas. .........................................................................................28
1.11.2 – Forma de las gotas al caer. ..................................................................................................30
1.12 - CONCLUSIONES. ..................................................................... .......................................................32
REFERENCIAS....................................................................... .....................................................................34
2- APLICACIONES BIOMÉDICAS DEL FENÓMENO DE GOTEO...............................................36
2.1 – INTRODUCCIÓN. ...................................................................... ........................................................37
2.2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS BÁSICOS. .........................................................................................38
2.3 – MEDICION DEL VOLUMEN DE LAS GOTAS................................................................................39
2.3.1 - CAUDALIMETRO INDICADOR.........................................................................................40
2.3.2 - TIEMPO DE PASAJE DE LA GOTA ..................................................................................40
2
Contenidos
2.3.3 – CAPACITANCIA .................................................................................................................42
2.4 - MEDICION DE LA MASA DE LA GOTA .........................................................................................43
2.4.1 – MÉTODO DEL DESPLAZADOR DEL HAZ .....................................................................43
2.4.2 - CAMBIOS EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO .........................................................45
2.5 – CONCLUSIONES. ....................................................................... .......................................................48
REFERENCIAS ............................................................................................................................................49
3- COMPORTAMIENTO DE LA LUZ EN PRESENCIA DE PARTÍCULAS .................................51
3.1 – INTRODUCCIÓN. ...............................................................................................................................52
3.2 –TEORÍAS DE DISPERSIÓN DE LA LUZ. .........................................................................................53
3.2.1 – Características generales. ......................................................................................................53
3.2.2 – Dispersión de Rayleigh..........................................................................................................55
3.2.3 – Dispersión de Rayleigh-Ganz. ..............................................................................................56
3.2.4 – Teoría de Mie. .......................................................................................................................57
3.3 – DISPERSIÓN EN PARTÍCULAS DE GRAN TAMAÑO. .................................................................59
3.3.1 – Dispersión en esferas de gran tamaño. .................................................................................61
3.4 – CONSIDERACIONES PARA EL PRESENTE TRABAJO. ..............................................................61
3.5 – CONCLUSIONES. .............................................................................................................................. 63
REFERENCIAS.............................................................................................................................................64
4- MONTAJE EXPERIMENTAL ...........................................................................................................65
4.1 – INTRODUCCIÓN....................................................................... .........................................................66
4.2 – SISTEMA FLUIDO DINÁMICO DE GENERACIÓN DE GOTAS. .................................................67
4.2.1 – Subsistema de regulación y alimentación de agua. ..............................................................67
4.2.2 – Subsistema de generación de gotas y drenaje. ......................................................................70
4.3 – SISTEMA ÓPTICO DE MEDICIÓN. .................................................................................................75
4.4 – SISTEMA DE AMPLIFICACIÓN Y ADQUISICIÓN DE DATOS. ..................................................80
4.5 – ESTIMACIÓN DE LA ESCALA TENSIÓN-LONGITUD. ...............................................................82
4.6 – ESQUEMA Y VISTA DEL MONTAJE EN CONJUNTO. ................................................................84
3
Contenidos
REFERENCIAS ............................................................................................................................................86
ANEXO 4.1 ...................................................................................................................................................87
ANEXO 4.2 ...................................................................................................................................................90
5- DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE MEDICIÓN ...........................................................................92
5.1 – INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................93
5.2 – DESCRIPCIÓN GENERAL DEL SISTEMA DE MEDICIÓN...........................................................94
5.3 – LÍMITES EXPERIMENTALES. .........................................................................................................95
5.4 – ESTABILIDAD DE LA SEÑAL TRANSMITIDA: TRANSITORIO DEL LÁSER. ....................... 96
5.5 – TRATAMIENTO DE LA SEÑAL........................................................................................................97
5.5.1 - Análisis de la incidencia del haz en el fotodiodo. .................................................................97
5.5.2 - Análisis de la señal sin procesar. .........................................................................................100
5.5.3 - Primera corrección a la señal. ..............................................................................................101
5.5.4 - Variación del radio instantáneo de la gota. ........................................................................ 102
5.5.5 - Selección de los datos que pertenecen a la gota. .................................................................103
5.5.6 – Resolución temporal. ..........................................................................................................104
5.5.7 - Escala de tiempos y constante de tiempo del circuito de adquisición. ................................105
5.6 – CÁLCULO DEL VOLUMEN DE LA GOTA. ..............................................................................107
5.6.1 - Reconstrucción de la gota. ...................................................................................................107
5.6.1.1 - Reconstrucción del radio instantáneo de la gota. ................................................107
5.6.1.2 - Reconstrucción del eje axial de la gota. ..............................................................110
5.6.2 – Cálculo del volumen de la gota. ..........................................................................................115
5.7 – AJUSTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN. ...................................................................................116
5.8 – CONTRASTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN. .............................................................................117
5.8.1 – Sistema desarrollado Vs. Cronómetro y pipeta. .................................................................117
5.8.2 – Contraste de la reconstrucción de la gota. ..........................................................................119
5.9 – CONCLUSIONES. .........................................................................................................................121
REFERENCIAS.......................................................................................................................................... 122
4
Contenidos
ANEXO 5.1 ...............................................................................................................................................123
ANEXO 5.2 ................................................................................................................................................125
6- ANÁLISIS DE RESULTADOS EXPERIMENTALES ..................................................................129
6.1 – INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................130
6.2 – RESULTADOS EXPERIMENTALES. ............................................................................................ 131
6.2.1 – Sistema con cámara abierta. ...............................................................................................131
6.2.2 – Sistema con cámara cerrada. ...............................................................................................134
6.3 – RELACIÓN ÁREA/VOLUMEN DE LAS GOTAS. .........................................................................138
6.4 – PÉRDIDA DE POTENCIA EN LA GENERACIÓN DE LAS GOTAS. ..........................................140
6.5 – CONCLUSIONES...............................................................................................................................144
REFERENCIAS. .........................................................................................................................................146
CONCLUSIONES GENERALES .........................................................................................................147
5
INTRODUCCIÓN
6
Introducción
La formación de gotas líquidas desde tubos capilares o pequeñas toberas ha sido siempre un tema
de interés por su ocurrencia en un amplia variedad de aplicaciones ingenieriles, tales como: pulverización
de pesticidas, pulverización de pinturas, atomización de combustibles, impresión a chorro de tinta y
aplicaciones biomédicas, entre otras.
En la actualidad, existe una creciente demanda dentro del campo de la medicina sobre la medición
de bajos caudales, especialmente para líquidos fisiológicos y en el control de caudales de infusión de
varias drogas y fluidos.
Actualmente, solo se dispone de una pequeña cantidad de sensores de medición de bajos caudales
basados en principios térmicos. Algunas investigaciones han sido llevadas a cabo con sensores de flujo
microfabricados, pero ellos no son adaptables para aplicaciones medicinales.
Debido a esto, los flujos son controlados por dispositivos que reúnen volúmenes conocidos con
anterioridad y desplazamientos controlados (por ejemplo: bombas peristálticas, a jeringas, etc.), pero en
ellos los caudales no son verdaderamente medidos.
Los contadores de gotas son muy comunes en la medición de sistemas de infusión. Estos
dispositivos miden el caudal sensando el pasaje de gotas de volumen presupuesto que caen dentro de una
cámara. Sin embargo, el volumen de las gotas que se desprenden varía en función de distintos parámetros
caudal, temperatura, período de goteo, tipo de líquido, entre otros, por lo que la medición de caudales solo
a partir del conteo de gotas puede conducir a errores importantes. Debido a esto es que se requiere
alcanzar mejoras en el sistema de medición.
Teniendo en cuenta esta necesidad, este trabajo se plantea con un doble objetivo:
- Desarrollar un sistema de medición de pequeños flujos de soluciones acuosas (1-150
ml/h) que escurren por gravedad en condiciones similares a las que se encuentran en los
dispositivos convencionales utilizados para realizar infusiones parenterales.
7
Introducción
- Estudiar el fenómeno de formación de gotas en el régimen se escurrimiento llamado de
“goteo”y su relación con las distintas componentes del circuito hidráulico aguas arriba y
aguas abajo del capilar donde se produce la formación de las mismas.
El presente trabajo se encuentra organizado de la siguiente manera:
En el Capítulo 1 se brinda un marco teórico conceptual resumido sobre la mecánica de formación
de gotas y analizan las distintas variables que juegan un rol importante durante su formación en el
régimen de dripping o goteo. Se pone énfasis en la identificación de aquellas variables que modifican el
volumen de las gotas asi como su relación con el caudal. Finalmente se hace un breve análisis sobre el
comportamiento de la gota en su caída luego de ser desprendida.
La descripción de algunos dispositivos que han sido preparados para mejorar la precisión de la
medición de pequeños caudales en aplicaciones biomédicas es presentada en el Capítulo 2.
En el Capítulo 3 se presentan en forma simplificada una descripción de las distintas teorías que
describen el comportamiento de la luz al incidir sobre partículas de distinto tamaño. Intentamos aquí
contextualizar una parte de nuestro trabajo ya que el sistema de medición propuesto comprende la
utilización de un plano láser atravesando una gota de agua.
En el capítulo siguiente se describe el dispositivo experimental utilizado para desarrollar el
sistema de medición, y se presenta el rango de mediciones posibles a realizarse en el mismo.
En el capítulo 5 se realiza un descripción del procesamiento de la señal obtenida con el sistema de
medición y la calibración del mismo.
La presentación de los resultados experimentales junto con el análisis de los mismos es realizada
en el capítulo 6.
Esta Tesis concluye realizando un análisis global del sistema de medición desarrollado. Además
son presentadas algunas consideraciones que podrán ser tenidas en cuenta en estudios futuros.
8
CAPITULO I
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
9
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.1 – INTRODUCCIÓN.
Un método común para dispersar un líquido en un ambiente fluido, quieto e inmiscible es hacerlo
fluir constantemente a través de una tobera o un orificio plano desde el cual emerja hacia éste y rompa en
gotas. A bajos caudales, el líquido siendo impulsado sale desde la tobera como gotas discretas por su
propio peso. En el caso de caudales elevados, el líquido es impulsado desde la tobera como un chorro que
subsecuentemente rompe en pequeñas gotas debido a la inestabilidad de Rayleigh [1]. Estos dos modelos
de formación de gotas son a veces convenientemente referidos como el modo de dripping y el modo de
jetting respectivamente. En este capítulo analizaremos el modo de dripping, ya que es el que se encuentra
presente al momento de realizar las mediciones.
Comenzaremos presentando la dinámica de la formación de gotas en el extremo de una tobera
vertical en la forma de tubo capilar de sección circular en aire para el régimen de bajos caudales. Luego
caracterizaremos al fenómeno en su conjunto, presentando los distintos factores que influyen tanto en la
formación de las gotas como en el volumen final de las mismas. Buscaremos además la relación de
algunas variables con el caudal que se encuentra circulando. Finalmente analizaremos el comportamiento
que tienen las gotas al caer.
Algunos análisis teóricos del régimen a bajos caudales han sido basados en el balance de fuerzas
macroscópicas, y han separado a la formación de las gotas en dos etapas: la primera correspondiente al
crecimiento puro de la gota, que termina con la pérdida del equilibrio de las fuerzas dando lugar a una
segunda etapa cuando se visualiza la formación del cuello y el desprendimiento de la gota. Estos estudios
han concluido en que el volumen de las gotas formadas de esta manera dependen no sólo del tamaño de la
tobera y de las propiedades del líquido, como es el caso de gotas suspendidas y estáticas, [2] sino también
del caudal del líquido a través de la tobera.
10
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.2 – MECÁNICA DEL CRECIMIENTO DE LAS GOTAS.
Consideremos como sistema a una gota de un líquido incompresible y newtoniano formándose
inmersa en aire quieto desde el extremo de un tubo capilar vertical, cilíndrico circular cuyos radios
interno y externo son Ri y R respectivamente, y por el cual circula un caudal constante Q según muestra la
figura 1.1
Fig. 1.1: esquema de la formación de una gota a través de un tubo a caudal constante por acción de la gravedad.
El fluido ambiente ejerce un presión uniforme y una resistencia aerodinámica despreciable. En el
presente desarrollo trabajaremos con un sistema de coordenadas cilíndricas r,z,θ donde r es la
coordenada radial, z la coordenada axial y θ el ángulo azimutal.
Un flujo isotérmico de un líquido de viscosidad µ y densidad ρ dentro de una gota en crecimiento
es gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes. Adimensionalizándolas, usando R como escala de
longitudes y 2RQu⋅
≡π
como la escala de velocidades obtenemos:
11
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
0'=⋅∇ vρ
(1)
zeCaGTvv
tv
+⋅∇=
∇⋅+ '''
''Re
ρρδδ (2)
donde,
, es la velocidad adimensionalizada 'v
' , es el tensor de tensiones adimensionalizado T
' , es el tiempo adimensionalizado t
ez, representa el versor de la dirección z, cuyo sentido se indica en la Fig. 1.1.
Re, es el número de Reynolds, que mide la importancia de las fuerzas de inercia respecto a las
fuerzas viscosas
µρ Ru ⋅⋅
=Re
G, es el número de Bond, que mide la importancia relativa de las fuerzas gravitacionales frente a
las fuerzas de tensión superficial
σρ gRG ⋅⋅
=2
siendo σ la tensión superficial de la interfaz líquido-gas
Ca, es el número capilar, que mide la importancia de las fuerzas viscosas frente a las fuerzas de
tensión superficial.
σµ uCa ⋅
=
En la línea de contacto de las tres fases (tubo, aire, líquido) se verifica:
1=Rr , en 0=
Rz
Aguas arriba del extremo del tubo, el flujo se encuentra totalmente desarrollado, entonces:
0' =rv ,
−⋅
⋅=
22
12'ii
z Rr
RRv a medida que −∞→
Rz , para 10 ≤≤
iRr
12
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
donde es la componente radial de la velocidad y v la componente axial. A lo largo de las
superficies donde el líquido y el tubo están en contacto, el líquido obedece las condiciones de no resbalar
y no penetrar, entonces:
rv z
0=v , en 0=Rz , para 1≤≤
Rr
RRi
en 1=iR
r , para −∞>≥Rz0
A lo largo de la interfaz líquido-aire, la conservación de la cantidad de movimiento requiere que,
'21' HCa
T ⋅⋅⋅=⋅ nn (3)
donde n es el versor normal con sentido hacia fuera de la gota y es la curvatura de la interfase local 'H
adimensionalizada. Si no hay transferencia de masa por la interfaz liquido-aire, la condición cinemática
es,
( ) 0=−⋅ svvn (4)
donde el subíndice s simboliza la velocidad en los puntos de la interfase.
Por lo tanto, la mecánica del fluido en la formación de gotas es gobernada por 4 adimensionales:
Re, Ca, G y la relación Ri/R.
Cuando la cantidad, 132
3* <<
⋅=
RVGG , siendo V el volumen de la gota, la forma de las gotas
que se encuentran suspendidas del extremo del tubo capilar de forma estática son secciones de esferas [2].
En el crecimiento de las gotas existen distintas fuerzas en oposición que gobernarán el perfil de la
misma. Este fenómeno se da entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión superficial, fuerzas
relativizadas por el número de Weber, We = Re . Ca, y entre fuerzas viscosas y fuerzas de tensión
superficial, relativizadas por el número capilar. Cuando la gota crece desde un tubo capilar fino y el
caudal líquido es relativamente bajo tal que G*, We, Ca << 1, la tensión superficial hace que durante la
primer etapa de formación mantenga siempre la forma de una esfera.
Como se anticipó en la figura 1.1, en el desarrollo del presente capítulo adoptamos llamar:
13
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
• L, a la longitud instantánea de la gota medida a lo largo del eje del tubo,
• “a”, al radio instantáneo del cuello en su sección más angosta,
• Ld a la longitud L medida en el momento en que la gota está a punto de desprenderse,
• t al tiempo medido desde el instante en que la gota previa fue desprendida, y
• Td al período de goteo.
1.3 – EQUILIBRIO DE UNA GOTA PENDIENDO EN EL EXTREMO DE UN TUBO.
En nuestro análisis del comportamiento de una gota que pende en equilibrio, tomamos como
sistema un tubo que tiene una columna de líquido dentro del mismo y del cual pende una gota en su
extremo inferior. En la figura 1.2, PQ es el eje de simetría del sistema, siendo P el centro del menisco que
se forma en la parte superior de la columna líquida y Q el punto mas bajo de la gota. A la distancia PQ la
llamamos h, y en P al radio principal de curvatura de la superficie, lo llamamos R. El líquido en P tiene
una presión de acuerdo con la ecuación de Laplace-Young,
RRRσσ 211
=
+⋅ (5)
Fig. 1.2: a) Equilibrio de una gota que pende del extremo de un tubo; b) Detalle de la sección de una gota en equilibrio donde se ven las fuerzas presentes.
b) a)
14
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Si consideramos la sección contenida en una altura “y” por encima de Q (ABQ en la Fig 1.2 “b”),
la presión diferencial en el líquido entre el plano AB y Q está dada por,
ρ . g . (h – y) (6)
donde ρ = ρliquido - ρaire
Por lo tanto considerando las ecuaciones 5 y 6 podemos decir que la presión del líquido en B viene
dada por,
( )R
yhgp σρ ⋅−−⋅⋅=
2 (6)
Las fuerzas que actúan en la gota debajo de la sección AB son:
a) Fuerza de tensión superficial actuando tangencialmente al perímetro de la superficie.
b) Fuerza debido a la presión producida por la columna líquida por sobre la sección.
c) Peso de la porción de líquido delimitado por ABQ, de volumen V.
La fuerza de tensión superficial tiene una componente vertical que balancea a las otras dos fuerzas
cuyas direcciones son verticales y de igual sentido que la aceleración gravitatoria.
Finalmente el equilibrio de fuerzas viene dado por
( ) VgxR
yhgx ⋅⋅+⋅⋅
⋅
−−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ρπσρθσπ 22)cos(2 (7)
donde,
x: distancia de B al eje de simetría
θ: ángulo respecto a la vertical de la tangente en B
1.4 – SISTEMA DE PRODUCCIÓN DE GOTAS EN RÉGIMEN DE “DRIPPING” O “GOTEO”.
Las gotas pueden ser formadas por un gran número de dispositivos diferentes, algunos de los
cuales son extremadamente complejos. En muchas investigaciones dedicadas al estudio de generación de
dispersiones heterogéneas que resultan de las rupturas de chorros, se han realizado esfuerzos para
determinar el efecto de distintos aspectos como la tensión superficial y de las fuerzas aerodinámicas. Otro
grupo de trabajo, basados en teorías de inestabilidad, buscó definir estrategias para la producción de gotas
15
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” de tamaño uniforme. En este último caso se han desarrollado un gran número de dispositivos. Nuestro
estudio se limita a uno de los mas simples que detallamos a continuación.
1.4.1 – Gotas de tamaño uniforme.
El método más simple de producir gotas individuales de tamaño conocido es hacer uso del
mecanismo de formación de gotas desde el extremo de un tubo de sección circular dispuesto en forma
vertical. Si el mismo tiene un diámetro uniforme, y la frecuencia de goteo es baja, el peso de una gota más
sus gotas satélites se mantienen constante siempre que no varíe la temperatura, y podría ser calculado,
considerando el tamaño del tubo, con la expresión,
⋅⋅⋅⋅=⋅
ARfRgm σπ2
donde R es el radio externo del tubo circular, σ es la tensión superficial del líquido, y A es la raíz
cuadrada de la llamada constante capilar, g⋅ρ
σ2 .
En el curso de su trabajo, Harkins y Brown (1919) [7], hicieron una determinación muy
aproximada de los valores de la función f(R/A), pesando las gotas formadas desde el extremo de tubos de
distintos radios y usando líquidos de conocida tensión superficial. Sus resultados pueden ser usados para
calcular el tamaño de una gota y sus gotas satélites para un determinado tubo y para cualquier líquido que
no sea muy viscoso. Si se desea conocer el tamaño de una gota, una calibración experimental debe ser
hecha sobre un rango de tamaños de gotas; la relación entre el tamaño de gotas satélites y la gota principal
no ha sido derivada teóricamente [8].
En otro aspecto, se ha encontrado dificultades para producir tubos de tamaño tal que permitan
obtener gotas de diámetros menores a 1 mm, y otros métodos deben ser utilizados. Un esquema simple ha
sido propuesto por Lane (1947) [9] quien ha desarrollado una microbureta para producir gotas de un
tamaño conocido y uniforme del orden de los 0,1 mm de diámetro. Las gotas se formaban en el extremo
de una aguja hipodérmica pero eran sopladas de su extremo por una corriente de aire antes de llegar a
tener el tamaño que tomaría en condiciones normales. La corriente de aire, que era direccionada de forma
vertical descendente y paralela al eje de la aguja, asiste a la gravedad para superar la tensión superficial
16
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” que causa que la gota se adhiera al extremo del tubo. De esta manera, el tamaño de la gota obtenido puede
ser variado en un amplio rango, modificando la velocidad de la corriente del aire.
1.4.2 – Gotas cargadas eléctricamente.
Las gotas cayendo desde un tubo capilar finamente fabricado, se hacen más chicas cuando un alto
potencial es aplicado al líquido. Cuando éste alcanza algunos miles de Volts las gotas son muy pequeñas
y son expulsadas desde el extremo del capilar a tal velocidad que parecen formar un chorro delgado y
continuo. La superficie de una gota esférica de radio r, con una carga eléctrica q, experimenta una presión
externa de 4
2
8 rq
⋅⋅π [8] la cual, en oposición a la tensión superficial, hace que la gota se desprenda con
anterioridad.
Si el potencial aplicado es suficientemente alto, un rocío de gran cantidad de finas gotas se verán
desprenderse desde el extremo del capilar. Este es indudablemente un ejemplo de la inestabilidad de la
superficie de un líquido electrificado. Para una gota esférica de radio r en aire, la ecuación de equilibrio
es,
08
22
2
=⋅⋅
−−⋅
rVp
r πσ
donde p es la presión en la gota, r el radio de la misma y V el potencial aplicado.
El equilibrio comienza a ser inestable cuando un pequeño decaimiento en r resulta en una gran
presión externa que puede ser contrabalanceada por la tensión superficial.
Cuando las fuerzas eléctricas en la superficie de un líquido alcanzan un valor crítico, la superficie
se torna inestable y cualquier perturbación es amplificada. Este valor crítico depende de la tensión
superficial del líquido y del radio de curvatura de la superficie. Esta condición es inicialmente alcanzada
en el punto mas bajo de la gota donde la intensidad eléctrica es mayor y en el líquido es inducida la
formación de un cuello fino que romperá en pequeñas gotas que forman una nube tipo pincel.
17
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.5 – VOLUMEN DE LAS GOTAS PRIMARIAS.
Un número de predicciones empíricas ó semiteóricas del volumen de gotas primarias desprendidas
desde un tubo han sido analizadas en distintos trabajos. Schele y Meister [16], por ejemplo, obtuvieron la
siguiente relación empírica para gotas líquidas formándose en aire,
⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅
−⋅
⋅⋅⋅⋅=
31
2
22
2
2
14,73
42ρ
σπρ
σπg
RQgR
Qg
RFV
Donde F es el factor de corrección de Harkins-Brown a considerar por el hecho de que parte de la
gota queda en el tubo cuando una gota es desprendida. La ecuación presentada considera la contribución
del volumen de la gota debido a la gravedad, tensión superficial, inercia del fluido, y el volumen sumado
durante el período de formación del cuello y desprendimiento de la gota. Es importante destacar, que el
dispositivo utilizado experimentalmente para obtener tal relación empírica, tenía la característica de poder
variar la presión a la salida del tubo para forzar la circulación de un caudal determinado.
Además podemos agregar que el volumen de las gotas primarias creado durante la formación de
las mismas en el modo de dripping, aumenta con el radio del tubo R. Además, a medida que la tensión
superficial disminuye, el volumen de las gotas primarias disminuye también [6].
1.6 – GENERACIÓN DE GOTAS SATÉLITE.
La creación de gotas satélite son observadas en muchos trabajos como resultado del corte que se
produce en el cuello de la gota en formación al momento de ser desprendida. En la formación de gotas a
bajos caudales, el cuello que se forma en el líquido se estrecha debido al peso de la misma. Aquellas
secciones que unen, el cuello con la gota en formación aguas abajo del mismo, y por otro lado, la sección
que une el cuello con el cono líquido que se forma hacia el tubo aguas arriba del cuello, se contraen a
medida que el cuello se estrecha. Sin embargo, la forma del cuello no es simétrica respecto a un plano
horizontal que divida a éste en dos partes de igual longitud. Cuando el cuello es conectado a una gota de
gran volumen por un lado y a un pequeño cono líquido por el otro, una gran curvatura es desarrollada en
la parte inferior del cuello comparado con el resto de las curvaturas a lo largo de toda la superficie. De
18
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” esta manera el cuello se rompe en este lugar debido a la gran presión capilar que se desarrolla por la gran
curvatura, cf. Stone et al [13]. Inmediatamente luego del corte, la superficie que quedó libre en el cuello
se acelera debido al desbalanceo que se produce con la tensión superficial [14].Luego, el cuello tiende a
enrollarse y se generan ondas superficiales que se propagan a lo largo del mismo. De manera similar al
primer corte, el cuello se corta nuevamente en aquélla sección donde se unía con el cono líquido superior,
generando de esta manera una gota satélite.
Una vez creada, la gota satélite tiende a seguir al líquido remanente que se dirige hacia el tubo
llevado por las fuerzas de tensión superficial que se encuentran desbalanceadas.
El comportamiento de las gotas satélites dependen de dos factores: por un lado de la deformación
inicial del cuello en el momento de realizarse el primer corte, y por otro lado, el tiempo de interacción,
que es el intervalo de tiempo entre los dos cortes sucesivos. Este tiempo es del orden de los milisegundos
o aún mas chicos. Cuando el radio externo del tubo es lo suficientemente pequeño, las fuerzas
desbalanceadas de tensión superficial en el cuello después del primer corte es lo suficientemente fuerte
como para conducir a liquido residual hacia el tubo, y el tiempo que toma el cuello para enrollarse luego
de su primer corte es pequeño comparado con los tiempos de interacción.
Cuando un cuello puede tener una elongación muy grande (comparada con el radio del tubo donde
se forma la gota) y un gran tiempo de interacción, las fuerzas de tensión superficial desbalanceadas en la
gota satélite es lo suficientemente grande como para conducirla hacia arriba a una velocidad de tal
magnitud que impacta y se une nuevamente al líquido que pertenecía al cono superior. Esto ocurre
usualmente cuando el radio es pequeño o la viscosidad del líquido es lo suficientemente grande como
para obtener una elongación muy pronunciada.
Si el radio del tubo es muy pequeño, la elongación relativa del cuello es tan grande y el tiempo en
el cual el cuello tiende a subir es tan corto que el segundo corte de cuello desaparece, eliminando de esta
manera la generación de gotas satélites [6].
De esta manera estamos en condiciones de afirmar que si R < 0,5 mm para gotas de agua, no se
observarán gotas satélite.
19
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
En contraste, si la elongación relativa del cuello es lo suficientemente pequeña y el tiempo de
interacción muy corto, la gota satélite que se forma se mueve directamente hacia abajo siguiendo a la gota
primaria.
Por lo que podemos decir que si R > 2 mm para gotas de agua, se producirán gotas satélite.
En aquellos casos donde el valor de R esté entre 0,5 y 2 mm, deberá realizarse un análisis
particular de la situación en cuestión y es difícil efectuar predicciones al respecto.
1.7 – EFECTO DE LA PARED DEL TUBO EN LA FORMACIÓN DE LAS GOTAS.
En la física de formación de gotas, el espesor de la pared del tubo, o la relación Ri/R juega un rol
importante. La figura 1.3 muestra la variación de Ld y del volumen V de gotas de agua con Ri/R obtenido
en un capilar de R = 0,8 mm y donde circulaba un caudal Q = 1 ml/min. Los resultados mostrados en
dicha figura fueron obtenidos haciendo seis mediciones de Ld y V para cada valor de Ri/R y
promediándolos. Si Q y R son mantenidos fijos, la velocidad media Q/(π.Ri2) en el tubo aumenta como la
relación Ri/R disminuye. A medida que disminuye Ri/R la elongación de la gota en el momento de su
desprendimiento aumenta y su volumen, o lo que se denomina volumen de la gota primaria, disminuye.
La figura 1.3 muestra también que el efecto del tamaño del radio interno del tubo disminuye a medida que
Ri/R aumenta y se transforma en despreciable cuando esta relación excede un valor crítico. Cuando Ri/R
> 0,2 , cambiando el espesor de pared en un 50% el volumen de la gota formada cambia menos que el
0,04 % (valor que puede ser asociado a un error experimental en la medición del volumen).
20
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Fig. 1.3: variación del volumen adimensional de las gotas primarias, V/R3, y la elongación límite adimensionalizada de las mismas, Ld/R, respecto a la relación entre radio interno y externo. Para R = 0,8 mm, gotas de agua, y Q = 1mL/min
1.8 – ELONGACIÓN Y DESPRENDIMIENTO DE UNA GOTA.
Inicialmente, a medida que el volumen de una gota en crecimiento aumenta, ésta se deforma
lentamente en largo y en ancho. Luego, la misma alcanza un determinado volumen tal que el incremento
de las fuerzas gravitatorias sobre las de tensión superficial causa que la gota caiga casi instantáneamente
en el tiempo que hemos adoptado llamar Td. La porción holgada del líquido que conecta a la gota con el
resto del líquido suspendido desde el extremo del tubo, se elonga rápidamente y la gota mantiene
virtualmente un radio constante. El tiempo durante esta última etapa es mucho menor que en la primera y
depende débilmente del caudal [6].
A pesar de que el tiempo del proceso de formación de gotas o la frecuencia de producción de las
mismas, depende fuertemente del caudal del líquido, la elongación adimensional de la gota aumenta sólo
lentamente con el aumento de caudal, como se ve en la figura 1.4 [6].
21
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Fig. 1.4: Evolución de la longitud adimensional de gotas de agua en función del tiempo, creciendo desde el extremo de un tubo de radio R = 1,6 mm a varios caudales
Observando las figura 1.4 distinguimos dos etapas diferentes en la formación de la gota, la primera
relativamente larga y caracterizada por pequeños cambios en la topología de la interfase, y la segunda
relativamente corta y caracterizada por grandes cambios que finalizan con el desprendimiento de la gota.
En la figura 1.5 puede verse como varía la longitud de la gota en formación en función del tiempo,
y su relación con el radio externo del tubo.
22
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Fig. 1.5: evolución temporal de la longitud adimensional de gotasde agua, L/R creciendo en el extremo de tubos de distintos radios a un caudal Q = 1 mL/min
1.9 – LONGITUD LIMITE DE LA GOTA.
En la formación de gotas, la tensión superficial controla el tamaño, el volumen, y la forma de la
misma. Incrementando la tensión superficial se refuerza el período en que la gota se mantiene esférica
durante la primer etapa de crecimiento, y en la segunda etapa, aumenta el volumen de la gota que se
desprenderá y la tendencia a ser esférica. La viscosidad, por otro lado, juega un rol importante en la
estabilización del crecimiento de la gota. Hace posible mayores elongaciones por su amortiguamiento, y
además produce la eliminación de las oscilaciones en la interfase. Sin embargo, esto no tiene efecto sobre
el tamaño de la gota [11]. Asimismo, el efecto disipativo de la viscosidad amortigua las oscilaciones en la
interfase producidas en la porción remanente después del desprendimiento de la gota anterior [12]. Por
motivos análogos, se observa que esta propiedad juega un rol importante en la conservación de la forma
esférica de la gota primaria una vez desprendida del tubo.
23
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
En la figura 1.6 vemos la variación de la longitud límite de la gota adimensionalizada Ld/R como
función del número capilar para dos caudales distintos Q = 0,1 ml/min y Q = 1 ml/min, en un tubo de
radio externo R = 1,6 mm.
Fig. 1.6: Longitud límite adimensional de las gotas, Ld/R, para distintos caudales en función del número capilar, para gotas de agua creciendo desde el extremo de un tubo de radio R = 1,6 mm
En la figura 1.7 se grafica en función del número de Ohnesorge, que se define como
RCaOh
⋅⋅==
σρ
υRe
siendo ρµ
υ = la viscosidad cinemática.
En la misma vemos que la longitud límite adimensionalizada de la gota aumenta a medida que el
número de Weber aumenta. Este crecimiento es más fuerte para altos números de Ohnesorge (por
ejemplo en gotas hechas con soluciones de alta concentración de glycerol). La diferencia en los valores de
Ld de dos gotas idénticas creciendo a dos valores distintos de We es más grande cuando el Oh es alto que
cuando éste es bajo.
24
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Fig. 1.7: Longitud límite adimensional de las gotas, Ld/R, en función del número de Ohnesorge para distintos valores de número de Weber de gotas creciendo en el extremo de un tubo de R = 1,6 mm
A medida que el caudal aumenta, la presión a la salida del tubo y la masa de líquido acumulada en
el cono que se forma encima del cuello aumentan rápidamente. Esto se debe en parte al aumento de la
cantidad de movimiento lineal del líquido y también a la resistencia que ejerce el cuello sobre la gran
cantidad de líquido que existe en el tubo durante el período de formación del mismo y desprendimiento de
la gota. En la figura 1.8 podemos ver la variación de la longitud límite adimensionalizada con el caudal,
para gotas de agua, y una solución de glycerol al 85 % formándose desde un tubo de radio constante R =
1,6 mm.
Fig. 1.8: longitud límite adimensional de gotas de agua y de soluciones al 85% de glicerol en función del caudal. El radio externo se ha mantenido constante en R = 1,6 mm
25
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
En la figura 1.9 observamos como el volumen de la gota de agua desprendida, adimensionalizada
con el cubo del radio externo del capilar, varía con R para un caudal líquido constante e igual a 1 ml/min.
Evidentemente, V/R3 aumenta considerablemente a medida que el radio del tubo disminuye, lo que tiene
algunas implicancias prácticas para obtener gotas muy pequeñas utilizando tubos de radio muy pequeños.
Además, a medida que R tiende a 0, para alcanzar una reducción de 10 veces en el radio de la gota es
requerida una reducción de 1000 veces en el radio del tubo. Además de la dificultad inherente en la
fabricación de tubos de diámetros muy pequeños, éstos son de una fragilidad considerable y pueden ser
obstruidos con facilidad con cualquier partícula que acarree el líquido.
Fig. 1.9: Variación del volumen adimensional de gotas primarias de agua en función del radio externo del tubo para un caudal Q = 1 mL/min
1.10 – VARIACIÓN DEL VOLUMEN Y LONGITUD LÍMITE CON EL CAUDAL.
Algunos trabajos de análisis de formación de gotas fueron realizados utilizando dispositivos que
imponen la presión necesaria para hacer circular un caudal determinado. Uno de ellos fue el realizado por
Zhang y Basarán (1995) en cuyos resultados puede observarse que tanto la longitud límite como el
volumen adimensionalizados con el radio externo del capilar, aumentan a medida que lo hace el caudal.
Estos resultados pueden verse en las figuras 1.10 y 1.11.
26
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Fig. 1.10: volumen adimensional de las gotas primarias de agua y soluciones de Triton en función del caudal cuando el radio externo del tubo vale R = 1,6 mm.
Fig. 1.11: longitud límite adimensional de gotas de agua y soluciones de Triton en función del caudal cuando el radio externo del tubo vale R = 1,6 mm.
27
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” Puede verse también en las figuras 1.10 y 1.11 que fueron realizadas experiencias agregando un
surfactante al agua donde se ve que el volumen que se obtiene de las gotas es menor a medida que sube
la concentración del mismo. Esto se debe a la reducción de la tensión superficial que sufre la solución en
presencia del surfactante.
1.11 – COMPORTAMIENTO DE LAS GOTAS AL CAER.
1.11.1 – Velocidad terminal de las gotas.
Si se deja caer una gota desde el equilibrio en aire, la misma se acelerará hasta alcanzar una
velocidad constante y conocida como velocidad terminal.
El movimiento de las gotas cayendo libremente a través del aire puede ser dividido en dos tipos
dependiendo si la misma es lo suficientemente pequeña o demasiado grande como para comportarse
como una esfera.
Se ha observado experimentalmente que gotas de distintos líquidos cayendo a través de aire, sufre
una deformación que es despreciable cuando el parámetro σ
ρ gdl ⋅⋅ 2
es menor que 0,4. En este
parámetro adimensional, d es el diámetro de la gota y ρl es la densidad del líquido. Para líquidos
ordinarios, el valor límite está en las gotas de 1 a 1,5 mm de diámetro, y bajo cualquier condición
atmosférica, gotas menores a estas pueden ser consideradas como esferas en el momento de calcular su
velocidad terminal.
Las velocidades terminales de gotas de diámetro mayor a 1mm, son menores que la de las esferas
rígidas de igual volumen. Este decaimiento se debe principalmente a la deformación que sufre la gota
como consecuencia del desbalanceo de presiones entre su parte frontal y trasera, generando un incremento
de la sección transversal y así aumentando la resistencia del aire. Por otro lado, la circulación del líquido
dentro de la gota genera una reducción del Drag, pero a su vez aumenta la sección transversal de la gota
debido a las fuerzas centrífugas que este genera, aumentando el Drag.
28
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Fig. 1.10: velocidades terminales de esferas por unidad de dnsidad y de gotas de agua cayendo en aire a 20ºC y 750 mmHg de presión.
Un cálculo exacto de la velocidad terminal en gotas de gran tamaño no es de fácil resolución, pero
mediciones de velocidades terminales de gotas cayendo a través de aire han sido realizadas por distintos
autores como Porton y Davis (1939), Laws (1941) y Gunn y Kinzer (1949).
Tabla 1.1: Velocidades terminales de gotas de agua en aire a 20ºC y 750 mmHg de presión
29
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” 1.11.2 – Forma de las gotas al caer.
El motivo por el cual la pendiente de la curva que se presentó en la figura 1.10 decrece
rápidamente, se debe principalmente al aplastamiento que sufren las gotas de gran tamaño, lo que
incrementa la sección transversal y así su resistencia con el aire. La forma que adopta una gota al caer
puede ser determinada midiendo sus dimensiones en fotografías como se muestra en la figura 1.11. Estas
han sido tomadas en gotas de agua cayendo aproximadamente a la velocidad terminal, y las dimensiones
que adoptaron pueden verse en la tabla siguiente, Best 1947 [15].
Fig 1.11: Forma de gotas de agua cayendo a la velocidad terminal. Tabla: dimensiones en mm de gotas de agua cayendo según Best, 1947. D = diámetro de la esfera equivalente calculado a igual volumen. D1 = (l.d2)1/3 e1 y e2 son las excentricidades de las semielipses superior e inferior respectivamente.
30
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
Comparando los valores de “a” con los de d/2, puede verse que la mitad superior de la gota difiere
de ser una hemiesfera hasta que D alcanza un valor de 4 mm. Por otro lado, los bajos valores de b
muestran el aplastamiento que sufre la gota.
31
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
1.12 - CONCLUSIÓN.
A lo largo del capítulo pudimos realizar una caracterización de los factores que consideramos mas
relevantes referidos al modo de “dripping” o “goteo”, ya que será el que estará presente al momento de
realizar nuestras experiencias.
Comenzamos analizando la física del crecimiento de una gota bajo la hipótesis de líquido
incompresible y newtoniano formándose inmersa en ambiente fluido calmo desde el extremo de un
capilar vertical de sección circular. Pudo concluirse que este fenómeno es gobernado por 4
adimensionales: Re, Ca, G y Ri/R. Asimismo se estudió el equilibrio de una gota pendiendo del extremo
de un tubo, donde se vio que una componente de la fuerza de tensión superficial es la que balancea a la
producida por el peso de la columna de agua por encima de la gota y el peso de la gota misma.
Se analizó el comportamiento de una gota cuando se la carga eléctricamente al momento de su
formación, y se vio que la misma experimenta una presión en oposición a la tensión superficial que hace
que la gota se desprenda con anterioridad.
Observamos que el radio externo del capilar es de gran importancia en el momento de prever la
formación de gotas satélite. En los casos donde R < 0,5 mm y utilicemos agua como fluido de trabajo
podremos asegurarnos que no se formarán gotas satélite. Surge asimismo que aquellos capilares cuyos
radio externo se encuentre en el intervalo entre 0,5 y 2 mm, deberán ser analizados en detalle y es difícil
realizar predicciones. Finalmente, si utilizamos tubos de R > 2 mm (empleando agua como fluido de
trabajo) se formarán gotas satélites luego del desprendimiento de la gota primaria.
Se señaló que existen dos etapas diferentes en la formación de la gota, la primera donde la gota
crece en volumen rápidamente, relativamente larga, y la segunda relativamente corta que empieza con el
estrechamiento del cuello y finaliza con el desprendimiento de la gota.
Se puso en relieve la influencia de la pared del tubo en la formación de las gotas, donde se vio que
manteniendo el radio externo del capilar donde se forman las mismas, cuando la relación Ri/R > 0,2, el
espesor de pared deja de ser un factor que incida en el volumen de la gota primaria que se forma.
32
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo” En el trascurso del capítulo se analizaron también algunos parámetros importantes donde pudo
verse que:
- La longitud límite en la formación de las gotas disminuye con la relación Ri/R hasta cierto
valor y luego permanece constante; aumenta a medida que lo hace el Ca; permanece constante
hasta cierto valor de Oh y luego comienza a aumentar, y aumenta con Q. Este parámetro fue
tenido en cuenta en el momento de diseñar el dispositivo experimental.
- El volumen de la gota aumenta a medida que lo hace R y luego permanece constante. Además,
aumenta con el caudal. Este parámetro y su relación con el caudal son importantes para
relacionarlos con los obtenidos con nuestro sistema de medición.
Es conveniente resaltar que los resultados presentados fueron realizados en un dispositivo que
impone la presión necesaria para hacer circular un caudal constante requerido, dispositivo que difiere en
cierta medida con el que nosotros consideraremos (presión constante y caudal variable).
Finalizamos este capítulo analizando el comportamiento de las gotas en su caída. De esta manera
se conoció bajo que condiciones puedo analizar la caída de una gota comportándose mecánicamente
como una esfera. Se analizó cual es la velocidad terminal que logran alcanzar, y pudo verse que las gotas
de diámetros mayores al milímetro sufren un aplastamiento debido a la distribución de presiones
alrededor de la misma que hace que aumente su sección transversal y así su resistencia con el aire. De
esta manera, su velocidad terminal se ve disminuida comp. Rada con una esfera de igual volumen.
33
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
REFERENCIAS
1. R. Clift, J. R. Grace, and M. B. Weber, “Bubbles, Drops and Particles”, Academic Press, New
York, (1978)
2. D. H. Michael, “Meniscus Stability”, Annu. Rev. Fluid Mech. 13, 189, (1981)
3. G. F. Schele and B. J. Meister, “Drop formation at Low velocities in liquid-liquid systems: Part I.
Prediction of drop volumen”, AIChe J. 14, 9, (1968)
4. P. M. Heertjes, L. H. De Nie, and H. J. De Vries, “Drop formation in liquid-liquid systems – I
Prediction of drop volumens at moderate speed of formation”, Chem. Eng. Sci. 26, 441, (1971)
5. P. M. Heertjes, L. H. De Nie, and H. J. De Vries, “Drop formation in liquid-liquid systems - II.
Testing of the considerations in Pat I, from drop volumens below the jetting velocity and criterion
for the jetting velocity” Chem. Eng. Sci. 26, 451, (1971)
6. Xiaoguang Zhang and Osman A. Basaran, “An experimental study of dynamics of drop
formation”, Phys. of Fluids, 7 (6), 1185, (1995)
7. E. V. L. Narasinga Rao R. Kuman, and N. R. Kuloor, “Drop formation studies in liquid-liquid
system”, Chem Eng. Sci. 21, 867, (1966)
8. W. R Lane and H. L. Green, “The Mechanics of drops and bubbles”, in Surveys in Mechanics, by
Batehelor G. & Davis C., Cambridge Univ. Press, (1956)
9. J. Zeleny, “On the conditions of inestability of electrified drops”, Proc Camb. Phil. Soc., 18, 71
(1916)
10. X. Zhang, M.T. Harris, and O. A. Basaran, “Measurement of dynamic surface tension by a
growing drop technique”, J. Colloid Interface Sci., 168, 47, (1994)
34
Generalidades sobre gotas y el fenómeno de “goteo”
11. H. A. Stone, B. J. Bentley, and L. G. Leal “An experimental study of transient effects in the
breakup of viscous drops”, J. Fluid Mech. 173,131, (1986)
12. D. H. Peregrine, J. Shoker and A. Symon, “The bifurcation of liquid bridges””, J. Fluid. Mech.
212, 25, (1990)
13. CYRIL ISENBERG, “The science of soap films and soap bubbles”, Dover Publications Inc., New
York, (1992)
35
CAPITULO II
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de “goteo”
36
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
2.1 – INTRODUCCIÓN.
En este capítulo presentamos algunas alternativas de medición utilizadas para la determinación del
volumen y de la masa de la gota. Estos dispositivos permiten mejorar la precisión de los contadores de
gotas convencionales utilizados para medir caudales en los sistemas de infusión.
En líneas generales los métodos que serán presentados están basados en algunas especificaciones
en común:
1- La velocidad de flujo es menor a 200 ml/h
2- Los líquidos típicos son el agua y las soluciones para infusión
3- Los métodos de medición deben trabajar con cámaras de sistemas de infusión estándar o con pequeñas
modificaciones.
37
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
2.2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS BÁSICOS.
El caudal Q de un líquido fluyendo a través de una tubería, es definido como la relación de un
volumen V, por un tiempo t :
tVQ = (1)
Esta ecuación puede también escribirse de la siguiente manera :
fVQ ⋅= (2)
donde f es la frecuencia en la que un volumen V se encuentra circulando (caso de flujos pulsantes como
puede ser el que se ve circular en los sistemas convencionales de infusión a través de la cámara cuenta
gotas).
La ecuación (3) expresa la definición de caudal másico, m&, y su relación con el caudal
volumétrico:
Qfmtmm ⋅=⋅== ρ& (3)
A veces es más ventajoso usar el caudal másico en lugar del caudal volumétrico, por ejemplo para
aplicaciones analíticas o dosis. Observando las ecuaciones (2) y (3) es evidente que para la medición del
flujo es necesario conocer el volumen o la masa de cierta cantidad de líquido. Esa cantidad de líquido
puede ser retenido en una cámara o tanque.
Para la determinación del flujo a través de la cámara de gotas, el volumen Vdr de las gotas debe ser
considerado. En este caso, la ecuación para el caudal volumétrico es:
fVt
VQ dr
dr ⋅== (4)
Y el caudal másico a través de una cámara de gotas puede escribirse de la siguiente manera:
fmt
mm dr
dr ⋅==& (5)
donde mdr es la masa de la gota.
38
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
El volumen (o masa) de las gotas depende de la viscosidad, de la tensión superficial del líquido y
además, del tipo de líquido. La temperatura y el caudal también influyen en el volumen en forma directa o
indirecta.
2.3 – MEDICION DEL VOLUMEN DE LAS GOTAS
La medición del volumen de una gota es una técnica común para la determinación de la tensión
superficial de los líquidos. Este tipo de mediciones han sido realizadas desde fines del siglo pasado y han
demostrado que los errores en las mediciones son grandes si los caudales son calculados con un volumen
asumido con anterioridad [1]. Así, los errores pueden ser reducidos a través de mediciones del volumen o
la masa de las gotas. Con este propósito pueden distinguirse dos métodos:
1- El volumen o masa de la gota es conocido previamente. El volumen o masa de la gota debe ser
medido como una función del caudal. Así, el volumen o masa de la gota puede predecirse para el
mismo líquido si la temperatura se mantiene constante.
2- El volumen o masa de la gota debe ser medido. Es posible medir el volumen o masa de una gota antes
de ser liberada o a medida que cae.
Es posible recolectar un cierto número de gotas y medir su volumen o masa promedio y así
determinar la variación del mismo respecto al caudal circulante. El volumen típico de una gota que cae en
la cámara de gotas convencional utilizada en los sistemas de infusión está en el rango de 30 a 60 µlitros.
Este método no es independiente del medio y ni de otros factores. Debido a que el segundo método no
tiene estas desventajas, es que se presentan distintas maneras de medir a las gotas.
Existen algunos estudios donde fue medido el tamaño de las gotas al caer. Éstas fueron observadas
con una cámara de alta velocidad la que mostró que el perfil de la gota no es constante mientras cae. Las
gotas oscilan a lo largo de un eje paralelo a la dirección de la gravedad, de manera que sus formas
alternan entre una esfera y un elipse. Esta oscilación ha sido conocida por algún tiempo, como lo presenta
39
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo Bouasse en su trabajo [3], y fue considerada muy regular. Algunos experimentos realizados por Gotz
Schnell [4] mostraron que la oscilación no es muy regular, lo cual es debido, probablemente, a la
excitación de la cámara de gotas por pequeñas vibraciones. Estos efectos también fueron observados en
otros estudios.
2.3.1 - CAUDALIMETRO INDICADOR
Una posibilidad para la medición del volumen de la gota es capturarla en un pequeño tubo que
actúe como cámara de gotas [5]. A medida que las gotas caen dentro del tubo, el nivel del mismo sufrirá
una variación y conociendo las dimensiones del tubo podríamos determinar el volumen de la gota. Así, la
cámara de gotas se convierte en un tipo de caudalímetro indicador. El volumen de la gota, Vdr, puede ser
calculado usando:
lAVdr ⋅= (6)
donde A es la sección transversal del tubo, y L es la longitud de la columna de líquido en el tubo.
2.3.2 - TIEMPO DE PASAJE DE LA GOTA
Si la velocidad de la gota que cae es conocida, es posible medir el volumen de la misma, midiendo
el tiempo requerido para viajar entre dos puntos. El volumen de la gota (asumiendo una forma esférica)
puede ser calculada usando:
48
3 ep
dr
tvV
⋅⋅=π
(8)
En esta ecuación, v es la velocidad promedio de la gota y tp es el tiempo de pasaje entre los dos
puntos en cuestión. La velocidad puede ser determinada por calibración o a través de una segunda
medición.
El diseño de un sensor basado en este principio, es similar al contador de gotas utilizado en los
sistemas de infusión, como se puede ver en la Fig. 2.1
40
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
Fig. 2.1: disposición del sensor de gotas para medir tiempos de pasaje. 1) Diodo emisor de luz; 2) Lente; 3) Fotodiodo diferencial con barrera de luz.
El sensor consiste en una barrera de luz con un fotodiodo diferencial y un sistema óptico. Las
áreas del fotodiodo están separadas una distancia de 0,08 mm. Frente al fotodiodo se encuentran dos
ranuras de 0,02 mm de ancho. Cuando la gota pasa frente a las ranuras, es detectada por los fotodiodos.
La señal de salida del fotodiodo cambia cuando la gota empieza a atravesar la barrera de luz y luego
cambia nuevamente cuando la gota abandona la misma. El tiempo que tarda la gota en pasar por los dos
fotodiodos es luego computado.
La fig. 2.2 muestra el diagrama de los errores relativos que fueron obtenidos con este sistema para
cada volumen el volumen de la gota, en el trabajo de Schnell [4]. El volumen es un promedio de 10 gotas
de agua, y las mediciones fueron hechas con una balanza de precisión como referencia. La
reproducibilidad de este método es pobre porque depende del tipo de cámara de gotas usado. La señal de
salida depende de la inclinación del sensor. Todos los sensores ópticos de gotas son sensibles a cualquier
golpe y la forma de la gota en una posición definida no puede predecirse. Por lo tanto no puede lograrse
una precisa calibración.
41
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
Fig. 2.2: Errores relativos en mediciones de tiempo de pasaje, frel (%) Vs volumen de gota (ml)
2.3.3 – CAPACITANCIA
La medida del volumen de una gota puede obtenerse también, haciendo uso del alto valor de
constante dieléctrica que tiene las soluciones acuosas. Si εo es la constante dieléctrica, εr la permitividad,
y C la capacitancia, el volumen de la gota (asumiendo una esfera) se puede calcular como:
220
2
3
48 rdr
CVεεπ ⋅⋅⋅
= (9)
Una cámara de gotas convencional debe ser modificada para obtener esta medición. El líquido es
inducido a fluir a través de un tubo de metal donde las gotas están eléctricamente cargadas con 30V
aproximadamente. Luego, las gotas caen sobre un electrodo donde son descargadas y la señal resultante
es amplificada. La Fig.2.3 muestra el sensor electrostático de gotas. Para evitar perturbaciones, una jaula
de Faraday puede ser colocada alrededor de la cámara de gotas donde serán realizadas las mediciones. El
sensor debe estar calibrado ya que la forma de la gota no es exactamente una esfera, y los parámetros
eléctricos del líquido no son conocidos con precisión.
42
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
Fig. 2.3: Disposición del sensor de gotas electrostático. 1) Tubo metálico, 2) Electrodo, 3) Pantalla
La señal de salida depende del tipo de líquido, pero la diferencia de la señal de salida para
distintos líquidos es pequeña.
2.4 - MEDICION DE LA MASA DE LA GOTA
Además de la medición del volumen de la gota, existen investigaciones en la medición de la masa
de la gota. Como no existe un método para medir la masa de la gotas usando cámaras de gotas estándar,
son necesarios nuevos diseños de cámaras para tal finalidad.
2.4.1 – MÉTODO DEL DESPLAZADOR DEL HAZ
A medida que se genera, la masa de la gota puede ser medida utilizando una balanza de alta
resolución. Con tal motivo se utiliza una cámara de gotas especialmente diseñada que dispone de un tubo
de entrada dispuesto en forma horizontal. Esto hace posible la medición del cambio de masa en el
extremo del tubo debido al crecimiento de la gota. La masa de la gota, mdr, es función de su peso ó fuerza
gravitatoria FG, y de la aceleración gravitatoria, g:
43
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
gF
m Gdr = (10)
El dispositivo de medición, tiene un diseño muy simple, como se muestra en la Fig.2.4. El fluido
fluye a través de un tubo de silicona de aproximadamente 40mm de longitud y un diámetro externo de
5mm. El mismo está diseñado para actuar como un elemento donde se refleje un haz láser que se
encuentra apuntándolo constantemente. Este haz es reflejado en la superficie del tubo de silicona y
captado con un elemento óptico.
Fig. 2.4: disposición del sensor de masa de gotas. 1) Cámara de gotas con tubo de siliconas, 2) Sensor de posición.
La gota crece al final del tubo de silicona lo cual provoca que éste se incline, con un
desplazamiento máximo al final del tubo de 80 µm. Cuando el tubo de silicona se inclina, el haz láser es
reflejado hacia otra posición sobre la superficie del sensor e incidiendo sobre éste con otro ángulo.
Usando la geometría, este cambio de posición es utilizado para calcular el desplazamiento al final del
tubo. Los sensores utilizados en estos casos [4] tienen un rango de medición de 2 mm y una resolución de
0,5µm. Utilizando el desplazamiento del haz, se calcula posteriormente la masa de la gota.
La señal de salida del sensor de posición también es utilizada para determinar la relajación del
tubo. Sin embargo, algunos estudios no observaron ninguna relajación del tubo durante un período de
varios días, probablemente debido a la pequeña inclinación. Sin embargo, un algoritmo de recalibración
puede ser implementado para eliminar estos corrimientos en el software.
La ecuación para la inclinación del haz está dada por:
44
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
( )44
3
364
dDElgmdr
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=π
χ (11)
donde,
mdr = masa de la gota
g, es la constante gravitacional
l = longitud del tubo
E = módulo de Young
D = diámetro externo del tubo
d = diámetro interno del tubo.
Como la constante gravitacional es el único parámetro en el cálculo de la masa de la gota (ec.10),
este tipo de medición es independiente del tipo de líquido. Sin embargo, la inclinación del dispositivo
influye en la señal de salida, así como las perturbaciones causadas por oscilaciones mecánicas. Pueden
utilizarse sensores de buena linealidad, con una diferencia entre los valores y su línea de regresión menor
al 3%, y lograrse una reproducibilidad es mejor al 95%. La rigidez del tubo, sin embargo, depende de la
temperatura. Este problema puede resolverse en parte mediante calibración mientras se realiza la
medición para determinar la nueva posición de comienzo con un algoritmo como se mencionó
anteriormente.
2.4.2 - CAMBIOS EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La medición de la fuerza causada por el cambio en la cantidad de movimiento cuando la gota es
liberada en una situación similar a la anterior también fue estudiada en el trabajo de Scnell [4]. Si un tubo
flexible es preparado en condiciones similares a las mostradas en el caso anterior, y la gota es liberada, el
tubo oscila. La amplitud de la oscilación depende de la masa de la gota. El dispositivo puede ser llevado a
cabo también como se mostró en la Figura 2.4. El mismo combina la medición de la masa de la gota por
la fuerza gravitacional con la masa determinada por la fuerza causada por el cambio en la cantidad de
45
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo movimiento. La Figura 2.5 muestra la señal de salida del sensor de posición. En ella puede verse la señal
resultante que se obtiene de las oscilaciones del tubo luego de que la gota ha sido liberada y la inclinación
del haz causada por el crecimiento de una nueva gota.
Para una primera aproximación, el desplazamiento al final del tubo, χ (l), puede expresarse como:
−
−⋅⋅−
⋅⋅⋅
=⋅⋅−
2
'1
21 1
)cos(1)(
1
α
ψψχ
α twewm
gml
tw
t
dr (12)
Con,
Sen(ψ) = α
mdr = masa de la gota
g = constante gravitacional
mt = masa del tubo
w1 = primer modo de la frecuencia de vibración
α = coeficiente de amortiguamiento (damping)
w’1 = frecuencia de camping
El método fue probado de la misma forma que los otros: un valor promedio de 40 gotas
comparado con aquellos obtenidos con una balanza de precisión. El error en linealidad de este método fue
menor al 2% y el error de reproducibilidad fue menor al 5%. La amplitud de la primera (máxima)
oscilación del tubo vs la masa de la gota es mostrada en la Fig. 2.6 para el agua. La medición depende del
líquido. Si el medio tiene alta viscosidad (aceite), las oscilaciones al final del tubo son muy pequeñas. Sin
embargo, es muy dificultoso utilizar el cambio en la cantidad de movimiento para medir la masa de la
gota de estos líquidos. La influencia de temperatura sobre la rigidez del tubo debe ser considerada
también.
46
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
Fig. 2.5: Desplazamiento del final del tubo, l (mm) e función del tiempo t (s) seguido del crecimiento de una nueva gota.
Fig. 2.6: Amplitud de la oscilación máxima a (mV) en función de la masa de la gota (mg) siguiendo el crecimiento de la gota.
47
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
2.5 – CONCLUSIONES.
En este capítulo, presentamos distintas alternativas propuestas para mejorar la precisión en la
medición de caudales que existen en los sistemas de infusión convencionales. En líneas generales, todos
los métodos presentados estuvieron basados en algunas especificaciones generales, como velocidad de
flujo menor a 200 ml/h, los líquidos típicos fueron el agua y las soluciones para infusión. Además
presentaron la característica de que trabajaban con cámaras de sistemas de infusión estándar o con
algunas modificaciones.
Como veremos en capítulos siguientes, el método de medición de volumen que se caracteriza bajo
el nombre “tiempo de pasaje de la gota” nos servirá como base para el desarrollo de nuestro sistema de
medición.
48
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
REFERENCIAS
1. P.A. Guye, F.L. Perrot, “Etude experimentale sur la forme et le poids des gouttes statiques et
dynamiques”, Archives des sciences physiques et naturelles 15, 132-188, (1903)
2. M.R. Hillman, “The prediction of drop size from intravenous infusion controllers”, Journal of
Medical Engineering & Technology 13, pp. 166-176, (1989)
3. H . Bouasse, “Jets, tubes et canaux”, Librairie Delagrave, Paris, (1923)
4. Gotz Schnell, “Medical Flow measurements with drop counters. Methods for improving
accuracy”, IEE Engineering in Medicine and Biology, pp. 72-76, January/Febrary, (1997).
5. A. Reinhart, “Das Verhalten fallender Tropfen”, PhD-Thesis, Zurich, (1964)
6. G.A. Dawe, “Volumetric drop detector”, United States Patent 4, 432, 761 Feb. 21, (1984)
7. P.J.D. Wickham, R. Harding, “Flowmeter for slow-flowing physiological liquid”,
Medical&Biological Engineering and Computing 22, 406-410, (1984)
8. H.J. Boer, “Liquid-flow. Liquid mass flow meter/controller”, Solid State Technology, p149,
(1996)
9. J. Lotters, “New generation of liquid flow sensors, Sensor 03, Nuremberg,Germany, (2003)
49
Aplicaciones biomédicas del fenómeno de goteo
10. T.S.J. Lammerink et al., “Micro-liquid flow sensor”, Eurosensors VI.: A 4, 6 , Oct 5-7, (1992)
11. C. Yang, M. Kummel, H. Soeberg, “A self-heated thermistor flowmeter for small liquid flow in
microchannels”, Sensors and Actuators. 15: 51-62, (1988)
50
CAPITULO III
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
51
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
3.1 – INTRODUCCIÓN.
En el presente capítulo describiremos en forma simplificada el comportamiento que tiene la luz al
encontrarse con partículas de distinto tamaño durante su propagación.
Comenzamos presentando las distintas teorías que estudian a su dispersión, así como su
atenuación y su absorción. De esta manera, estudiaremos cual es el comportamiento que tiene la luz en las
condiciones que se presentan para nuestras experiencias.
52
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
3.2 –TEORÍAS DE DISPERSIÓN DE LA LUZ.
En el presente apartado presentaremos algunas teorías para el análisis de la dispersión de la luz al
incidir sobre una partícula.
3.2.1 – Características generales.
El objetivo de este apartado es resaltar las propiedades y características generales de la luz y su
dispersión al encontrarse con una partícula.
Definimos:
a) La dirección de dispersión se caracteriza principalmente por el ángulo θ (como puede
verse en la figura 3.1) conocido como ángulo de scattering ó dispersión, y por su ángulo
azimutal φ (ver la figura 3.3 para visualizar los ángulos de dispersión y azimutal en el
mismo gráfico).
Fig. 3.1: Definición de ángulo de dispersión. La luz incide desde debajo de la figura.
b) La distribución de la intensidad de la luz dispersa a una distancia r medida desde la
partícula viene dada por:
220 ),(
rkFI
I⋅
⋅=
ϕθ
donde,
53
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
I0: es la intensidad de la luz que incide sobre la partícula.
F(θ,φ), es una función adimensional que depende de la dirección pero no de la
distancia a la partícula.
λπ2
=k , es el número de onda, donde λ es la longitud de onda de la luz.
c) La energía total dispersa en todas direcciones es igual a la energía de la onda incidente
sobre el área CSCA, donde:
( ) ωϕθ dFk
CSCA ⋅= ∫ ,12
y el elemento de ángulo sólido, dω = sen (θ) . dθ . dφ
De la misma forma se define un área característica CABS para relacionar la energía que
absorbe la partícula con la intensidad del haz que incide sobre la misma.
La energía total removida de la luz incidente puede ser también caracterizada por un área
Cext, con la misma propiedad que las anteriores, que por conservación de la energía se cumple:
CEXT = CSCA + CABS
Las cantidades CEXT, CSCA y CABS, se denominan secciones transversales de la partícula referidas a
la atenuación, dispersión y absorción respectivamente.
d) Los factores de eficiencia para la atenuación, dispersión y absorción vienen dados por la
relación de sus secciones transversales características con la sección transversal
geométrica. De esta manera:
geom
extext C
CQ =
geom
scasca C
CQ =
geom
absabs C
CQ =
54
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
Para una esfera,
4
2DGCgeom⋅
==π , siendo D el diámetro de la esfera
e) Finalmente definimos:
λπ aakx ⋅
=⋅=2
parámetro muy utilizado que en una esfera da la relación entre la longitud de la circunferencia y la
longitud de onda de la luz que incide sobre la misma, siendo “a” el radio de la esfera.
3.2.2 – Dispersión de Rayleigh
La teoría de dispersión de Rayleigh se desarrolló para aquellos casos donde se está en presencia de
partículas de tamaño pequeño comparado con la longitud de onda de la luz que incide sobre la misma. Por
lo tanto, puede ser aplicada en los casos donde,
a) Long. característica <<πλ⋅2
b) m . Long. característica <<πλ⋅2
donde m es el índice de refracción entre la partícula y el medio donde se propaga la luz
Si se cumple únicamente la condición “a” (ej. si m→ la condición “b” no sería cumplida) hay
que hacer consideraciones particulares [1].
∞
De acuerdo con la Teoría de dispersión de Rayleigh, la distribución de la intensidad viene dada
por:
02
242
2))(cos1(
Ir
kI ⋅
⋅
⋅⋅+=
αθ
y la sección transversal para la dispersión,
24
38 απ ⋅⋅= kCSCA
donde α proviene de,
55
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
0Epρρ ⋅=α
siendo pρel vector momento dipolar inducido en la partícula, y 0Eρ
el vector campo eléctrico.
Esta teoría ha tenido diversos usos, entre otros la determinación del número de Avogadro desde la
luz dispersa de un gas ideal (ej. aire) de conocido índice de refracción. Además, para la determinación del
peso molecular de algunos polímeros y de simples moléculas por el Método de Debye.
3.2.3 – Dispersión de Rayleigh-Gans.
Las condiciones para utilizar esta teoría son:
a) (m – 1) << 1
b) Long. característica << 1−m
λ
c) QEXT << 1
De acuerdo con la Teoría de Rayleigh-Gans, la dispersión total viene dada por:
)(1 2 xmQSCA ϕ⋅−=
donde,
( )∫ ⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅=
π
θθθθϕ0
224 )()(cos12
294)( dsensenxGxx
y la distribución de la intensidad,
( ) 02
2
2
242
,2
12
)(cos1 IRmr
VkI ⋅⋅
−⋅
⋅⋅
+= ϕθ
πθ
donde V es el volumen de la partícula y ( ) ∫ ⋅= dVeV
R iδϕθ 1,
Esta teoría es aplicada en la dispersión en pequeños ángulos de Rayos-X, dispersión generada por
un tipo de vidrios, etc.
3.2.4 – Teoría de Mie.
56
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
La teoría de Mie nos brinda un conjunto de ecuaciones deducidas a partir de la ecuaciones de
Maxwell que caracterizan al campo electromagnético de la luz incidiendo sobre una partícula en
cualquier punto dentro y fuera de la misma. De esta manera dice,
)()cos( 2 φϕωθ Se
kriE tiikr ⋅−= +− ,
)()( 1 φϕωϕ Ssene
kriE tiikr ⋅−=− +−
donde las funciones S1(φ) y S2(φ) representan las componentes de la función amplitud de la
partícula en función del ángulo de dispersión y vienen dadas por,
∑ +++
=∞
=1nnnnn1 )cos(b)cos(a
)1n(n1n2)(S θτθπθ
∑ +++
=∞
=1nnnnn2 )cos(a)cos(b
)1n(n1n2)(S θτθπθ
donde,
)(')()()(')(')()()('
xynxyxynxy
annnn
nnnnn ςψςψ
ψψψψ⋅−⋅⋅−⋅
=
)(')()()(')(')()()('
xyxynxyxyn
bnnnn
nnnnn ςψςψ
ψψψψ⋅−⋅⋅−⋅
=
Siendo ψn y ζn funcions de Ricatti-Bessel.
Y las funciones πn y τn pueden verse a continuación en la figura 3.2
57
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
Las componentes perpendicular y paralela del campo eléctrico y de la onda incidente son,
E0r = sen(φ), E0l = cos(φ)
Y aquellas de las ondas dispersas,
Er = -Eφ El = Eθ
Fig. 3.3: descomposición del vector eléctrico de la onda incidente y
La formulación de Mie, para el caso en que x → , admite una distinción entre luz reflejada,
refractada y difractada.
∞
58
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
Brinda además un riguroso patrón de dispersión para esferas de cualquier tamaño, inclusive
aquellas en las cuales el parámetro λπ ax ⋅
=2 es muy grande (estas fórmulas pueden ser utilizadas cada
vez que la validez de la óptica de rayos se ponga en duda [1]).
3.3 – DISPERSIÓN EN PARTÍCULAS DE GRAN TAMAÑO.
Cuando hablamos de partículas de gran tamaño lo hacemos comparando sus dimensiones con la
longitud de onda de la luz que incide sobre la misma.
Para poder analizar la dispersión de la luz de la forma en que la describimos en este apartado,
además de la condición de gran tamaño, que se explicita como x >> 1, el factor ρ = 2.x.(m – 1) debe ser
grande también (ρ>>1).
El análisis óptico que se debe realizar en las grandes partículas difiere considerablemente de
aquellas que tienen un tamaño comparable con la longitud de onda. El hecho fundamental es que el haz
de luz incidente, el cual forma un frente de onda plano de extensión infinita, puede pensarse constituido
por un conjunto de rayos de luz independientes que siguen su propio camino. Una pequeña parte de un
frente de onda amplio puede ser considerado como un rayo que se comporta, para una determinada
longitud, de manera independiente respecto del resto del frente de onda.
El comportamiento de los rayos en este caso están gobernado por dos fenómenos que en su
conjunto los podemos llamar como scattering (dispersión).
1) Reflexión y refracción. Los rayos que inciden sobre la superficie de una partícula son
parcialmente reflejados y parcialmente refractados. La luz refractada puede salir de la
partícula luego de otra refracción, posiblemente luego de varias reflexiones internas. La
luz que emerge de la partícula y la luz reflejada directamente de la superficie externa,
contribuyen al scattering de la partícula. La energía que no emerge de la partícula
queda absorbida en la misma. La cantidad de energía absorbida o la energía dispersa, y
la distribución angular de la luz dispersa, dependen fuertemente de la forma y
59
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
composición de la partícula y de la condición de su superficie. En la Fig. 3.4 se
encuentra representado este comportamiento de la luz en un esfera.
2) Difracción. Los rayos pasando a través de la partícula forman un frente de onda plano
del cual una parte, en la forma y tamaño de la sombra geométrica de la partícula, es
perdida. Este frente de onda incompleto da lugar a una determinada distribución
angular de la intensidad debido al principio de Huygens (a distancias muy largas),
conocido como el patrón de difracción de Fraunhofer.
Fig. 3.4: pasaje de un rayo de luz a través de una esfera de acuerdo con la óptica geométrica.
3.3.1 – Dispersión en esferas de gran tamaño.
Si consideramos un esfera de gran tamaño, sólo la mitad de la dispersión total de la luz es debida
a refracciones y reflecciones a través de la misma. La otra mitad proviene de la difracción alrededor de la
esfera bajo la forma de difracción de Fraunhofer. Los rayos incidentes sobre una esfera de gran tamaño
dan un patrón idéntico en intensidad y fase que el encontrado con la óptica geométrica [1].
60
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
El patrón de óptica geométrica es amplio y de intensidad moderada, proviniendo de reflecciones y
refracciones de rayos que impactaron sobre la esfera. El patrón de difracción es angosto, de gran
intensidad, y concentrado cerca de la dirección de la luz. La radiación total contenida en ambos patrones
(para esferas no absorbentes) iguala a la energía incidente en la sección transversal geométrica, π.a2. La
teoría de Mie nos brinda un riguroso patrón de los dos efectos combinados.
Es importante aclarar, que cerca del ángulo de scattering de 0º existe una muy intensa difracción
de Fraunhofer que hace despreciables cualquier otro efecto.
El lugar de incidencia de un determinado rayo es caracterizado por su ángulo azimutal φ y por su
distancia al eje. El mismo puede ser escrito como a.cos(τ), donde “a” es el radio de la esfera y τ el ángulo
entre el rayo incidente y la superficie. De esta manera, un ángulo τ = 90º caracteriza a un rayo central y
τ = 0º caracteriza a un rayo razante.
La energía es dividida debido a las sucesivas reflexiones y refracciones. En la figura 3.5 pueden
verse las distintas reflexiones y refracciones de un rayo, caracterizadas con la letra “p” dependiendo del
orden en que abandonan la esfera (p = 0, 1, 2, 3, etc. ).
3.4 – CONSIDERACIONES PARA EL PRESENTE TRABAJO.
En el trabajo que nos encontramos describiendo, utilizamos gotas de agua que, de considerarlas
esféricas, tienen radios del orden del milímetro. Las mismas atraviesan un plano láser (como se verá en el
capítulo siguiente) cuya longitud de onda es λ = 637,4 . 10-9 m.
De esta manera, calculando el parámetro x obtenemos que:
4102≅
⋅=⋅=
λπ aakx
Con lo que podemos asegurar que estamos frente a un caso de partículas muy grandes comparadas
con su longitud de onda, y por lo tanto podemos utilizar la óptica geométrica y el análisis de la difracción
de Fraunhofer para describir el comportamiento del plano láser al incidir sobre las gotas.
Consideraciones más específicas serán realizadas en el capítulo 5 cuando se analice en particular
la imagen que se forma detrás de la gota cuando ésta atraviesa al plano láser.
61
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
62
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
3.5 – CONCLUSIONES.
En el presente capítulo hemos podido presentar las distintas formas en que la luz se dispersa al
incidir sobre una partícula. De su análisis, podemos decir que la óptica geométrica puede ser utilizada
cuando las dimensiones características del objeto de estudio sea muy grande comparado con la longitud
de onda de la luz que incide sobre el mismo. En los demás casos, debemos tener presente el
comportamiento de la luz como onda electromagnética y emplear las deducciones de Rayleigh, Rayleigh-
Gans o directamente la Teoría de Mie para prever su comportamiento.
Finalmente, y como surgirá en el desarrollo de los capítulos sucesivos, podemos afirmar que
debido a las dimensiones de las gotas en estudio en este trabajo, en nuestras experiencias podemos
efectuar el análisis óptico basándonos en la óptica geométrica y en la difracción que se da en el momento
en que las gotas inciden sobre el plano láser.
63
Comportamiento de la luz en presencia de partículas
REFERENCIAS
1. H.C. Van De Hulst, “Light Scattering by Small Particles”, Dover Publications Inc., New
York, (1981)
2. M.K. Choi And J.R. Brock, “Light Scattering and absorption by a radially inhomogeneous
sphere: application of a hybrid numerical method”, J. Opt. Soc. Amb. B/Vol 14, 3, (1997)
3. Gerhard Gobel et al, “Monte Carlo simulation of Light Scattering by Inhomogeneous
spheres”, Proceedings of the second International Symposium on Radiation Transfer,
Kusadasi, Turkey, (1997)
4. J.A. Stratton, “Electromagnetic Theory”, McGraw-Hill Book Co, New York, (1941)
5. G.N. Watson, “Theory of Bessel Functions”, p 403, Cambridge Univ. Press, (1922)
6. A. Guinier and G. Fournet, “Small-Angle Scattering of X-Rays”, John Wiley&Sons, New
York, (1955)
7. P.M. Morse and H. Freshbach, “Methods of Theoretical Physics”, par, part II, pp 1381 and
1955, McGraw-Hill Book Co, New York, (1953)
64
CAPITULO IV
Montaje experimental
65
Montaje Experimental
4.1 – INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se describe el montaje experimental diseñado y construido para realizar las
mediciones.
Podrán verse dos tipos de dispositivos utilizados para la generación de gotas y su medición. En el
primero se generan las gotas en una cámara abierta a la atmósfera, y en el otro se produce en una cámara
cerrada herméticamente a la atmósfera donde la presión depende de otros parámetros del sistema
hidráulico.
El líquido utilizado en las experiencias fue, en todos los casos, agua destilada.
La presentación del montaje experimental es dividido en las siguientes partes a los fines de su
descripción:
• Sistema fluido dinámico de generación de gotas.
• Sistema óptico de medición.
• Sistema de codificación de señal y adquisición de datos.
A continuación se detallan cada uno de los sistemas recientemente nombrados. Posteriormente se
presentará el cálculo para la determinación de la constante que relaciona tensión con longitudes
utilizada como uno de los factores necesarios en el cálculo del volumen de las gotas.
En el Anexo 4.1 que se presenta al final de este capítulo se incluyen las especificaciones mas
relevantes de algunos de los elementos que forman parte del montaje experimental así como los planos de
las piezas diseñadas para el dispositivo experimental.
66
Montaje Experimental
4.2 – SISTEMA FLUIDO DINÁMICO DE GENERACIÓN DE GOTAS.
El sistema fluido dinámico de nuestro dispositivo experimental encargado de generar las gotas que
serán medidas puede dividirse a su vez en dos subsistemas desde el punto de vista funcional:
- Subsistema de regulación y alimentación de agua.
- Subsistema de generación de gotas y drenaje.
4.2.1 – Subsistema de regulación y alimentación de agua.
Un esquema del mismo que se presenta a continuación en la Fig. 4.1:
3
2
9
8 47
65
1
1- Recipiente con agua. 6- Reductor 2- Tornillo de ajuste 7- Accesorio “T” 3- Plataforma de apoyo 8- Accesorio “Y” 4- Guías 9- Válvula reguladora de flujo 5- Escala graduada
Fig. 4.1: Subsistema de regulación y alimentación de agua.
67
Montaje Experimental
El líquido es almacenado en un recipiente de vidrio (1), que tiene una capacidad de
almacenamiento de aproximadamente 2 litros, a presión atmosférica. Esta capacidad, para los caudales
medios utilizados, resulta en una autonomía al dispositivo de funcionamiento de más de 20 hs. Sin
embargo, debido a que durante el vaciamiento del recipiente se modifica la altura de carga del líquido en
el sistema, la autonomía de funcionamiento para una variación de un 3% de la altura de carga se reduce a
1,5 hs.
El recipiente es ubicado sobre una plataforma (3) a una altura determinada para conseguir de esta
manera la energía que inducirá al escurrimiento del fluido por el sistema. La plataforma consta de una
base plana donde se apoya el recipiente contenedor del líquido sostenida por una armazón de hierro que
se fija a unas guías (4) por medio de dos tornillos de ajuste (2). De esta forma, la altura en la que se
dispone el recipiente puede ser regulada desajustando los tornillos y deslizando la plataforma por las
guías hasta la altura deseada.
En la Fig. 4.2 puede verse una foto del recipiente con la base del mismo.
Fig. 4.2: A) Recipiente contenedor del líquido; B) Accesorio “Y”.
B)
A)
Debido a que el diámetro de la manguera que se coloca en la boca de salida del recipiente
contenedor del líquido de es de 15mm y el diámetro de entrada de la válvula reguladora de caudal (9) es
68
Montaje Experimental
de 8mm, fue necesario colocar un reductor (6) para adaptar las mangueras que comunican los distintos
componentes del sistema.
Para poder conocer a que altura se encuentra la superficie libre del líquido dentro del recipiente
respecto al capilar donde se formarán las gotas, se colocó una escala graduada en milímetros (5) fija en la
pared. En la misma se referencia la distancia respecto al primer plano láser (ver sistema óptico de
medición). Luego, conociendo a que distancia se encuentra el capilar respecto al plano láser, fue posible
realizar mediciones modificando la altura de carga del líquido durante la formación de las gotas. Para
poder realizar la medición de la altura, se dispuso de una bifurcación en “T” (7) desde donde salía una
manguera que era fijada a la derecha de la escala, como se muestra en la Fig. 4.1. Por la propiedad que
tienen los vasos comunicantes, la medición realizada sobre dicha manguera refleja la altura de la
superficie libre del líquido que se encuentra dentro del recipiente.
A)
Fig. 4.3: A) Corte de la válvula reguladora de flujo. B) Curva de respuesta en caudal, respecto al caudal máximo que puede circular por el sistema, en función de la lectura en la válvula.
B)
69
Montaje Experimental
Pasando la bifurcación en “T”, se colocó una válvula reguladora de caudal (9) para controlar en
algunos casos el flujo que circulaba en el sistema. En la Fig. 4.3 puede verse un corte de dicha válvula y
la curva que representa la respuesta de la misma.
Finalmente, antes de acceder al dispositivo donde se formarán las gotas, se colocó un accesorio,
“Y”, a los fines de poder retirar cualquier burbuja de aire que ingrese al sistema. El mismo puede verse en
la Fig. 4.2 .
4.2.2 – Subsistema de generación de gotas y drenaje.
En nuestro sistema de medición hemos trabajado con dos dispositivos para generar las gotas y
donde se realiza el drenaje correspondiente. En el primero, las gotas se generan en lo que hemos adoptado
llamar “cámara abierta”. En éste la formación de las gotas es producida contra una presión igual a la
atmosférica. En el segundo caso, las gotas se generan en lo que adoptamos llamar “cámara cerrada”,
donde la formación de las mismas se produce en una cámara sellada herméticamente de forma tal que la
presión en la misma es regulada por el sistema fluido dinámico en su totalidad y depende de las
características del mismo. En la Fig. 4.4 puede verse como está constituido el sistema de generación de
gotas del tipo “cámara abierta”.
70
Montaje Experimental
Fig. 4.4: Dispositivo de generación de gotas y drenaje del tipo “cámara abierta”.
desde la alimentación
al drenaje 9
8
7
6543
2
1
1- Capilar
2- Porta capilar
3- Anillo
4- Tapa de la estructura de la cámara
5- Estructura de la cámara
6- Anillo de bronce
7- Base de estructura
8- Anillo soporte.
9- Tubo de drenaje
Este dispositivo tiene como fin primordial la generación de las gotas que serán medidas. Con ese
motivo se utilizó un capilar plástico (1) cuyas dimensiones, al igual que la de las demás piezas
componentes, puede verse en el Anexo 4.2 que se encuentra al final de esté capítulo. El capilar es
sujetado por un porta capilar (2) fabricado de teflón y cuyas dimensiones le permiten al capilar
mantenerse fijo y estático en su posición para mantener inmóvil en todo momento la ubicación de su eje
axial en el espacio. Una vez determinada la posición que debía tener el capilar dentro de la cámara, se
desplazó el porta capilar por el orificio de la tapa de la estructura de la cámara (4) con el fin de establecer
su posición. Además, para evitar cualquier pequeño desplazamiento que pudiera producirse
ocasionalmente, el porta capilar fue fijado utilizando un anillo de goma (3).
Una base de teflón (7), además de servir de alojamiento para el anillo de bronce y de permitir su
aislamiento respecto del medio, es utilizado como base para la estructura que forma la cámara (5) por
donde caerán las gotas y donde serán medidas. Además, se lo utiliza para sujetar el tubo de drenaje (9)
por donde finalmente circulará el agua. El anillo soporte (8) fue fabricado de acrílico y tiene dos
71
Montaje Experimental
funciones: ser el elemento mediante el cual todo el dispositivo generador de gotas se fija al dispositivo
soporte, y ser la base donde se fija el porta electrodo.
En la Fig. 4.5 puede verse como está constituido el sistema de generación de gotas del tipo
“cámara cerrada”. Es preciso recalcar que para este caso se realizaron mediciones modificando el caudal
que se encontraba en circulación con la válvula presentada en el subsistema de regulación y alimentación
de agua aguas arriba (como se presentó en el esquema) y aguas debajo de la cámara.
desde la alimentación
Fig. 4.5: Dispositivo de generación de gotas y drenaje del tipo “cámara cerrada”.
al drenaje
5
4
3
2
1
1- Capilar
2- Porta Capilar
3- O’Ring
4- Cuerpo de la cámara
5- Capuchón
Al igual que para el sistema de cámara abierta, al final del capítulo en el Anexo 4.2 se presentan
los planos de cada una de las piezas que forman al sistema de cámara cerrada.
En la Fig. 4.5 puede verse que fue utilizado el mismo capilar (1) que el utilizado en el caso
anterior. Puede verse además como fue constituido el porta capilar (2), que en este caso es de un material
plástico. El capilar era introducido en el mismo y era sellada la unión entre capilar y porta capilar en su
extremo superior para evitar el ingreso de líquido por fuera del mismo. Además, a la salida del orificio
que tiene el porta capilar es colocado un o’ring (3) que se utiliza para centrar el capilar y que de esa
72
Montaje Experimental
manera éste mantenga su eje axial siempre fijo y coaxial con el eje del resto del dispositivo. Cubriendo al
mismo se inserta y ajusta con una abrazadera la manguera que proviene de la alimentación de agua. Al
porta capilar se le suelda el cuerpo de la cámara (4) que está constituido por un tubo delgado de material
plástico transparente de 14,5 mm de diámetro externo y de espesor iguala a 0,5 mm. A tal efecto fue
utilizado ciclohexanona para obtener un aislamiento total del medio por su parte superior. Y para terminar
de sellar la cámara del medio, se soldó al tubo un capuchón (5) también con ciclohexanona de donde sale
la manguera que dirige al flujo hacia el drenaje.
Para ambos tipos de cámaras, el drenaje del líquido fue producido a través de una manguera de
aproximadamente 4mm de diámetro externo y 3 mm de diámetro interno.
Ambos sistemas de generación de gotas se colocan en un dispositivo soporte compuesto por
distintos accesorios que nos permiten ajustar el lugar en el espacio en el que se encontraría el eje central
del dispositivo y por donde luego caerían las gotas. En la Fig. 3.6 puede verse un esquema del soporte
utilizado.
∆Φ
∆Y
∆X
Fig. 4.6: Esquema del dispositivo usado como soporte del dispositivo generador de gotas.
1- Soporte del dispositivo
generador de gotas
2- Parante
3- Mesa giratoria con escala
4- Accesorio para regulación
de altura gradual.
5- Mesa de laboratorio.
2
3
4
5
1
En la figura pueden destacarse 5 accesorios como los principales del dispositivo representado. En
primer lugar se tiene al accesorio que es utilizado para sostener al dispositivo generador de gotas (1). El
73
Montaje Experimental
mismo está compuesto de un anillo de acero con tres tornillos centradores que nos permite ajustar al
anillo plástico exterior que se representó en el dispositivo generador de gotas. Este anillo está unido a un
cilindro que le permite ser desplazado en forma horizontal de acuerdo a su eje. Además, el mismo está
unido a un parante (2) que permite una regulación de la altura respecto a la mesa giratoria (3). Esta mesa
permite ser girada a voluntad y tiene una escala graduada en grados donde es posible establecer el giro
que se requiera. La mesa giratoria está unida a un accesorio que permite la regulación de la altura de la
misma (4). De esta manera logramos poder ajustar la ubicación del soporte en cualquier punto del
espacio. Finalmente todo el soporte está unido mediante un tornillo de fijación a la mesa de laboratorio
(5), y ésta se encuentra sobre cuatro apoyos de goma de altura variable para poder fijar la mesa en un
plano horizontal y eliminar cualquier inclinación que posea.
En la Fig. 4.7 que se presenta a continuación pueden verse algunos de los accesorios empleados en
el dispositivo que nos encontramos describiendo.
Fig. 4.7: A) Mesa giratoria con escala graduada; B) Base con regulación de altura gradual; C) Parantes; D) Base para parantes con tornillos de ajuste; E) Anillo con tornillos centradores.
E) B)
D) C) A)
74
Montaje Experimental
4.3 – SISTEMA ÓPTICO DE MEDICIÓN.
Para describir mejor al sistema óptico utilizado en el sistema de medición que nos encontramos
describiendo, se presenta un esquema del mismo en la Fig 4.8.
Fig. 4.8: esquema del sistema óptico de medición.
1- Láser y generador de plano.
2- Ranura
3- Filtro
4- Fotodiodo
VISTA EN PLANTA
2 3
2 3 4
4
1
1
Como puede verse en el esquema presentado, el sistema óptico de medición está compuesto
fundamentalmente por dos subsistemas “mellizos”. A cada subsistema lo componen un láser, un accesorio
encargado de abrir al haz en un plano láser, una ranura horizontal, un filtro y un fotodiodo. Como se
observa en el esquema, la disposición de los mismos es tal que los ejes ópticos de cada uno de estos
subsistemas se encuentran desplazados 90º en el plano horizontal ó plano paralelo a la mesa de
laboratorio. A su vez, estos subsistemas se encuentran corridos en altura una distancia h determinada
experimentalmente según se detalla en el capítulo 4.
El punto de intersección de los dos ejes que pueden verse en la figura 4.8 determinan el punto por
donde pasará el eje axial del dispositivo generador de gotas, y por ende, por donde caerán las gotas a ser
medidas.
75
Montaje Experimental
A continuación haremos una descripción de la función que cumple cada uno de las componentes
presentados. El conjunto formado por el láser y su accesorio incorporado proveen un plano láser que será
atravesado por la gota al caer desde el capilar. A medida que la gota atraviesa el plano láser, se proyectará
una sombra de la misma que irá variando instante a instante. A continuación la ranura nos permite tomar
de todo el plano láser una determinada porción del mismo en ancho y alto. Luego el filtro solo deja pasar
algunas longitudes de onda correspondientes a su rango espectral que está compuesto por los rayos X
hasta 1150 nm. El fotodiodo actúa como trasductor generando una corriente determinada proporcional a
la energía total del láser que incide sobre el mismo.
Tanto el fotodiodo como el filtro fueron encapsulados dentro de una armazón metálica para evitar
de esta manera que ruidos externos perturben la señal generada por el fotodiodo. El conexionado del
fotodiodo fue realizado también dentro del encapsulado, de forma tal que de él salga únicamente una
ficha BNC para la conexión del cable que transmitirá la señal para ser tratada. En la Fig. 4.9 puede verse
una fotografía del encapsulado con su conexión externa y puede verse la disposición de la ranura respecto
al encapsulado.
Fig. 4.9: Encapsulado del filtro y fotodiodo.
B)
A)
76
Montaje Experimental
El encapsulado fue montado sobre un parante y éste a su vez fue introducido en una base en la que
pudimos regular la altura del mismo (ver Fig. 4.7 C y D). Además, se le agregó al parante (como en casi
todos los casos) un anillo de ajuste para poder hacer girar libre al encapsulado hasta encontrar el ángulo
correcto sin modificar la altura del mismo. En la Fig. 4.10 puede verse una foto de este anillo.
Fig. 4.10: Anillo para giro libre.
Las ranuras utilizadas fueron realizadas con dos planchas delgadas de acero inoxidable adheridas a
una planchuela de bronce mas gruesa para darle rigidez a las mismas. Las dimensiones de las ranuras son
de 5 x 0,24mm, la del plano láser 1 (superior, primero que intercepta la gota), y 5 x 0,26mm la del plano
láser 2. Las mismas fueron dispuestas sobre una delgada guía vertical que nos permitió regular la altura
de la ranura al plano medio del plano láser. Además, el parante de esta guía por donde se pudo regular la
altura de las ranuras podía ser desplazado para regular la distancia a la que se pondría la ranura respecto al
filtro. Se le puso también otro anillo como el presentado en la Fig. 4.10 para poder, de esta manera,
buscar que la ranura quede paralela al fotodiodo.
77
Montaje Experimental
Fig. 4.11: A) Guía para ranura; B) Plano de la guía para ranura; C) Desplazador regulado por tornillo.
B)
C)
A)
El láser fue montado de manera tal de poder regular que el plano que este genera quede paralelo a
la mesa de laboratorio y previendo que el eje óptico del mismo incida en el eje central del dispositivo
generador de gotas y en el centro del fotodiodo. Para tal fin, además de los accesorios esenciales, se le
monto al pie de la base un accesorio para realizar pequeños desplazamientos (se lo puede ver en la Fig.
4.11). En las Fig. 4.12 y Fig. 4.14 pueden verse dos vistas distintas de la disposición del sistema óptico y
el dispositivo generador de gotas.
78
Montaje Experimental
Fig. 4.12: Sistema óptico y el dispositivo generador de gotas.
Fig. 4.13: láser utilizado en las experiencias.
79
Montaje Experimental
Fig. 3.14: Vista superior del sistema óptico y el dispositivo generador de gotas.
4.4 – SISTEMA DE AMPLIFICACIÓN Y ADQUISICIÓN DE DATOS.
Como hemos dicho el fotodiodo genera una señal de corriente proporcional a la intensidad del
láser que incide sobre el mismo. La salida del fotodiodo es conectada a una amplificador, cuyo circuito
puede verse en la Fig. 4.15, que traduce dicha señal de corriente en una señal en tensión. La ranura fue
calibrada de forma tal que la señal a la salida del amplificador se mantenga en valores de entre 4 y 6 Volts
cuando el fotodiodo se encuentra en su estado de máxima excitación para las condiciones de la
experiencia. El amplificador consta de dos salidas para la señal de cada láser. Las salidas fueron
conectadas en paralelo una a un osciloscopio, para visualizar la señal a medida que la gota atravesaba el
plano láser, y la otra a una placa de adquisición de datos en la PC.
80
Montaje Experimental
Fig. 4.15: circuito del amplificador utilizado en la experiencia.
La forma en que almacenamos los datos que era adquiridos por la placa de adquisición, fue
realizada mediante el uso de un software que desarrollamos el cual nos brindaba, entre otras, las
siguientes posibilidades:
- Encender/apagar los láser.
- Adquirir la señal correspondiente a un canal de adquisición o a los dos.
- Visualizar la señal una vez adquirida.
- Contar la cantidad las gotas que caen en un intervalo de tiempo.
- Calcular el período de goteo promedio de 2,5,20 o 50 gotas consecutivas (con un error de 50
mseg.)
- Variar la frecuencia de muestreo.
- Modificar la escala del gráfico donde se visualiza la señal
- Modificar el tamaño del buffer de datos
81
Montaje Experimental
Fig. 4.16: Software utilizado como interfaz para la adquisición de datos
De esta manera fue posible manipular fácilmente las distintas opciones que nos daba la placa de
adquisición de acuerdo a los requirimientos que teníamos.
4.5 – ESTIMACIÓN DE LA ESCALA TENSIÓN-LONGITUD.
Es necesario poder conocer la relación que existe entre el valor de tensión a la salida del
amplificador y la longitud del segmento de luz que se encuentra incidiendo sobre el fotodiodo para el
cálculo del volumen de la gota, según se verá en el capítulo 5 del presente trabajo.
A continuación describimos la estrategia utilizada para su determinación.
82
Montaje Experimental
Fig. 4.17: Longitudes características utilizadas para la determinación de la relación Volt/mm
Según puede verse en la Fig. 4.17, cuando el fotodiodo se encuentra en su estado de máxima
excitación para las condiciones de la experiencia, incide sobre el mismo un segmento de longitud D.
Teniendo en cuenta las longitudes características de nuestra experiencia, geométricamente pudimos
determinar la longitud máxima del segmento que podía incidir en el fotodiodo:
1L
LAD ⋅=
Siendo,
A: longitud de la ranura.
L: distancia entre el punto de emisión del láser y el fotodiodo.
L1: distancia entre el punto de emisión del láser y la ranura.
De esta manera, leyendo cual es el valor de tensión a la salida del amplificador para estas
condiciones, podemos determinar el valor de la constante:
=
mmVolts
DUC
83
Montaje Experimental
4.6 – ESQUEMA Y VISTA DEL MONTAJE EN CONJUNTO.
A modo de conclusión de lo expresado en el presente capítulo, se incluyen a continuación una
representación esquemática general y una fotografía del montaje experimental.
1
1
8
10
6
9
21
4
3
5
2
12
1
17 13
7
18
11
14
16 19
20
15
Fig. 4.18: 1) Recipiente con agua; 2) Soporte del recipiente; 3) Reductor; 4) Accesorio “T”; 5) Escala graduada; 6) Válvula reguladora de caudal; 7) Accesorio “Y”; 8) Manguera de alimentación; 9) Osciloscopio; 10) Amplificador; 11) Conjunto Filtro y fototiodo; 12) Ranuras; 13) Conjunto Filtro y fototiodo; 14) Soporte del dispositivo generador de gotas; 15) Dispositivo generador de gotas; 16) Láser; 17) Láser; 18) Controlador; 19) Manguera de drenaje; 20) Vaso de precipitados; 21) PC.
84
Montaje Experimental
Fig. 4.19: Foto general del montaje experimental
85
Montaje Experimental
REFERENCIAS
1. H. TAUB, “Investigation of nonlinear waves on liquids jets, Physics of Fluids 19, 1124-
1129, (1976) 2. G. WETSEL, “Capillary oscillations on liquid jets”, Journal of Applied Physics 51 (7),
3586-3592, (1980)
3. DESIMONE G., Estudio experimental de la modificación del escurrimiento alrededor de un cilindro circular a través de la electroconvección, Tesis de Grado, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires, (2000)
4. SÁNCHEZ L.H., Propagación de perturbaciones pulsantes en flujos convectivos sometidos
a fuerzas eléctricas, Tesis de Grado, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires, (2001)
86
ANEXO 4.1
87
Anexo 4.1
ESPECIFICACIONES TÉCNICAS DE EQUIPOS
Láser.
• Longitud de onda: 634,7 nm
• Potencia: 5 mW
• Distribución de intensidad: Uniforme (no gauseana) a lo largo, gauseana a lo ancho
• Ángulo de Fan: 30º
• Peso: 65 g
• Temperatura de operación: -10ºC – 48ºC
• Corrimiento de la longitud de onda: 0,25 nm/ºC
88
Anexo 4.1
Filtro.
• Transmisión de línea láser: 80% mínimo (típico: 85%)
• Fuera de banda de transmisión: 0,001% (atenuación de 50db)
• Rango espectral: Rayos X hasta 1150 nm
• Índice de efectividad: 2,1
• Temperatura de operación: -20ºC a 80ºC
• Diámetro: 25,4 mm
• Espesor: 4mm +/-0,25
Fotodiodo
• Área: 44 mm2
• Respuesta: 0,65 A/W
• Capacitancia (0 –10V): (700 ; 130 pF)
• Corriente a oscuras: 1 nA
• Voltaje de corte: 30V
• Rise Time: 24 nseg
• Temperatura de operación: -40º a 100ºC
89
ANEXO 4.2
90
Anexo 4.2
Planos de las piezas componentes del dispositivo generador de gotas tipo cámara abierta
Porta electrodo / Base de estructura
O’Ring Electrodo
Base del porta electrodo
Capilar Porta Capilar Tapa de la estructura de la cámara
90
Anexo 4.2
Estructura de la cámara Tubo de drenaje
Planos de las piezas componentes del dispositivo generador de gotas tipo cámara cerrada
Capilar O’Ring
Cuerpo de la cámara
Capuchón
Porta Capilar
91
CAPITULO V
Descripción del Sistema de Medición
92
Descripción del Sistema de Medición
5.1 – INTRODUCCIÓN
El presente capítulo tiene como objeto la descripción general del sistema de medición, el
procesamiento de la señal obtenida y la calibración que hemos efectuado del mismo.
En una primera parte consideramos las hipótesis consideradas para la medición del volumen de la
gota. Luego se determinarán los límites del sistema de medición y seguidamente se realiza un análisis de
los efectos transitorios del mismo. Posteriormente, se describen las distintas correcciones que se le hacen
a la señal y los criterios para discriminar entre señal y ruido. La señal con que se cuenta es una señal
amplificada de corriente del fotodiodo (o tensión) a lo largo del tiempo.
Luego de este procesamiento, para el cálculo del volumen de la gota, se procederá entonces a la
reconstrucción de la misma, proceso que consiste en transformar la señal a un espacio R2. Con tal motivo,
se calcularán algunas constantes y se validarán las hipótesis efectuadas. Finalmente se presentará el
cálculo del volumen de las gotas y la forma en la que se ajustaron todas las variables en consideración.
Con el volumen de gota medido, en un mismo proceso de “goteo” y con el período de goteo
promedio se puede determinar el caudal que se encuentra circulando. Un primer contraste de nuestra
medición se efectúa en caudal determinando el tiempo que tarda en circular un volumen conocido de
agua.
Un segundo contraste de nuestra medición se realiza en forma fotográfica, contrastando la forma
reconstruida con fotos de gotas obtenidas con una cámara ultrarrápida.
93
Descripción del Sistema de Medición
5.2 – DESCRIPCIÓN GENERAL DEL SISTEMA DE MEDICIÓN
El sistema de medición de volumen de gotas que se describe en el presente trabajo se implementó
bajo la hipótesis de que la geometría de las mismas tiene simetría axial. Además, para el cálculo de su
volumen se considerará a las gotas como una sucesión continua de discos de altura infinitesimal cuyos
radios varían con la posición relativa al eje axial, según puede verse en la Fig. 5.1 .
Fig. 5.1: Forma de considerar a la gota para el cálculo de su volumen.
De esta manera, el volumen de la gota se podrá calcular integrando las sucesivas áreas A(x) de los
mismos a lo largo del eje axial de la gota:
∫ ⋅= dxxAV )(
Por lo tanto, el sistema tendrá que identificar el valor de cada uno de los diámetros de los
sucesivos discos (a los que denominaremos diámetros instantáneos) para calcular así su área (o área
instantánea). Luego se representará a tales áreas a lo largo del eje axial de la gota para poder finalmente
realizar la integral.
94
Descripción del Sistema de Medición
5.3 – LÍMITES EXPERIMENTALES.
En este apartado se discuten las limitaciones del estudio experimental asociadas con el tamaño de
las gotas a ser medidas y el caudal máximo permitido en nuestro dispositivo para realizar las mediciones.
Haciendo un análisis geométrico del dispositivo experimental utilizado, se distinguió en primer
lugar su limitación en lo que respecta al diámetro de las gotas a ser medidas. Basándonos en la teoría de la
óptica geométrica se puede determinar que la limitación geométrica del dispositivo experimental utilizado
nos acotaba el diámetro de las gotas a medir a 4 mm.
Fig. 5.2: Limitación del tamaño máximo de la gota a medir debido a la geometría del dispositivo experimental.
195
110
Fotodiodo Gota Punto de emisión del laser
Diámetro máximo = 4 mm
10
Ranura l = 5 mm
139
Vista en Planta (fuera de escala)
PlanoLaser
Asimismo, otra limitación está dada por el caudal máximo que puede fluir durante la medición.
Superados los 150 ml/h, el régimen de goteo que se visualiza estable y uniforme comienza a tener signos
de inestabilidad donde el desprendimiento de la gotas se realiza de forma tal que las mismas al
desprenderse se desplazan del eje axial del capilar. De esa manera, parte de las gotas no caen dentro del
campo detectado por el sistema óptico y se pierde información fundamental para la reconstrucción de la
gota. Además, para valores de caudal de aproximadamente 170 ml/h se comenzó a visualizar un chorro
continuo.
Considerando los efectos ópticos producidos entre el plano láser y la gota al atravesarlo, si la gota
tuviera dimensiones del orden de los micrones debiéramos cambiar la forma de interpretar a la señal y
95
Descripción del Sistema de Medición
basarnos en la teoría de Rayleigh [1]o utilizar la Teoría de Mie. Es por eso que en nuestro sistema de
medición no se podrán medir gotas de ese orden de magnitud.
Aún más, debido al proceso de filtrado del ruido que se acopla en la señal del sistema, que se
explicará más adelante, no será posible distinguir diámetros instantáneos de aproximadamente 0,015 mm.
Por lo tanto, esto nos trae la limitación de no poder medir gotas de diámetro menor a 0,3 mm porque se
estaría desechando una gran cantidad de datos que nos ofrecen información muy valiosa para la
reconstrucción de la gota.
5.4 – ESTABILIDAD DE LA SEÑAL TRANSMITIDA: TRANSITORIO DEL LÁSER.
Con la finalidad de obtener una señal que se mantenga estable en el tiempo y por lo tanto
mantener al sistema de medición en esa condición, se midió la estabilidad del sistema óptico en función
de la señal que se obtenía con la placa de adquisición. Se pudo observar que la señal tenía una leve
variación en función del tiempo originada por transitorios térmicos de los distintos componentes
electrónicos, como puede verse en la Fig. 5.3 .
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4.500
-4.495
-4.490
-4.485
-4.480
-4.475
-4.470
-4.465
-4.460
-4.455
-4.450
-4.445
-4.440
-4.435
Frecuencia de muestreo: 100KHz
660 seg (11 min)
Señal estable
Val
or m
edio
de
la s
eñal
(Vol
ts)
Tiempo (seg.)
Fig. 5.3: Análisis Transitorio del sistema óptico.
De esta manera determinamos el tiempo necesario que debemos dejar transcurrir para que el
sistema se vuelva estable y garantizar así el resultados de nuestras mediciones. Ese tiempo es
aproximadamente de 11 minutos.
96
Descripción del Sistema de Medición
5.5 – TRATAMIENTO DE LA SEÑAL
En este apartado trataremos de explicar el tratamiento previo que debemos realizarle a la señal que
obtenemos de la placa de adquisición para dejarla en condiciones de poder reconstruir a la gota originaria
de tal señal.
5.5.1 - Análisis de la incidencia del haz en el fotodiodo.
Como puede verse en la Fig. 5.4, la pequeña abertura de la ranura limita a los rayos del plano láser
que luego de incidir en la gota alcanzan al fotodiodo. De acuerdo con la teoría de la óptica geométrica que
dice que la luz se propaga en forma de haces rectos [2], los únicos rayos que luego de incidir sobre la gota
alcanzarán al fotodiodo, serán los que tengan un ángulo de scattering de 0º, o sea los que salgan con
dirección paralela al plano láser.
Fig. 5.4: Vista lateral del sistema óptico.
Ahora bien, si analizamos cuales son los rayos que pueden salir luego de reflecciones y/o
refracciones internas de la gota con dicho ángulo (ver Fig. 5.5 y Fig. 5.6), vemos que ocurre para un
ángulo de incidencia de 0º, caso en el que el rayo incide en forma rasante, y para un ángulo de incidencia
de 90º, o sea cuando el área de la gota en la que incide el plano láser tenga una normal paralela al mismo
[1]. Por lo tanto, en el único momento en que podrían llegarle al fotodiodo haces del láser que hayan
97
Descripción del Sistema de Medición
pasado por la gota, es en el momento en que su mayor diámetro transversal es atravesado por el láser. De
todas maneras, al observar las señales obtenidas no se ven distorsiones en el máximo de la misma, lo que
nos dice que la fracción del haz de luz que podría atravesar la gota en su totalidad es absorbida por la
misma o posee una intensidad despreciable para los valores de la señal (esto puede observarse en
cualquiera de las señales que serán presentadas posteriormente).
Fig. 5.6: Ángulo de scattering en función del ángulo de incidencia para p<4.
Fig. 5.5: pasaje de un rayo de luz a través de una esfera de acuerdo con la óptica geométrica.
Asimismo, debido a que sobre la gota no es cubierta en su totalidad por el láser sino que sobre ella
incide únicamente una línea, y además distancia que existe entre la gota y el fotodiodo es pequeña, es que
no se observan fenómenos de difracción dentro del área de detección de luz.
Teniendo en cuenta el ancho de la ranura, podríamos pensar en la aparición de fenómenos de
difracción en la misma que afecten también a la medición. Pero analizando la difracción que se produce a
través de una ranura delgada según Fraunhofer, los efectos son totalmente despreciables para nuestra
experiencia [2] (ver cálculos en anexo 5.1).
98
Descripción del Sistema de Medición
En la Fig. 5.7 presentada a continuación podemos ver un esquema que describe como se ve la
incidencia del haz láser en el fotodiodo y la señal que a la salida del amplificador se genera a medida que
la gota atraviesa el haz láser.
0
Fig. 5.7: Esquema representativo de la variación de la señal a medida que la gota atraviesa el plano láser.
Tensión (V)
datos
• Variación de la señal en función del pasaje de la
gota
• Distintas etapas de la gota incidiendo en el plano láser
• Variación de la luz que incide sobre el
fotodiodo
Plano láser
gota
sombra
Haz láser que incideen el fotodiodo
Área de incidencia del Fotodiodo
En el fotodiodo se genera una corriente proporcional a la intensidad de la luz que incide sobre el
mismo y al área en que esta incide. Como el área de incidencia siempre permanece constante debido a la
invariabilidad de la geometría de la experiencia, el fotodiodo estará suministrando una salida en corriente
proporcional a la intensidad del haz que incida sobre el mismo. La única razón por la cual la intensidad
del láser que inicialmente incidía en el fotodiodo se ve disminuida, se debe a la gota que se interpone en
el camino libre del haz. Como el amplificador genera una salida en tensión proporcional a la entrada de
corriente, se estará generando en todo momento una variación de la tensión de salida del mismo
equivalente al segmento de sombra que genere la gota. Asimismo, como el espesor del haz láser que
incide en el fotodiodo es despreciable frente a su longitud (por la geometría de la ranura), una variación
de área puede considerarse una variación de su longitud. De esta manera, una variación en tensión de la
99
Descripción del Sistema de Medición
salida del amplificador, simbolizará una variación de lo que hemos adoptado llamar como “diámetro o
radio instantáneo” de la gota.
Continuando nuestro análisis, antes de que la gota incida por primera vez en el haz láser, el
fotodiodo se encuentra en su máxima excitación para las condiciones de la experiencia. De esta manera,
en el fotodiodo impacta una línea de luz de intensidad constante y puede leerse a la salida del
amplificador un potencial negativo prácticamente invariable en el tiempo. En el momento en el que la
gota comienza a atravesar el haz láser, parte de la línea de luz que incidía en el fotodiodo comienza a
desaparecer debido a que el plano láser se absorbe, refleja y refracta al incidir en la gota. Por consiguiente
se genera un segmento de sombra que nace en el centro y va aumentando de tamaño hacia los laterales a
medida que la gota continúa su movimiento descendente.
5.5.2 - Análisis de la señal sin procesar.
El software desarrollado para la adquisición nos devuelve un conjunto de valores de tensión
correspondiente a los dos canales de adquisición utilizados (según se determinaron los parámetros de
entrada del software) correspondientes a cada uno de los subsistemas láser/ranura/filtro/fotodiodo. La
señal así adquirida se ve como lo muestra la Fig. 5.8 .
Fig. 5.8: Señal típica sin procesar.
100
Descripción del Sistema de Medición
Puede verse en la señal que los niveles de tensión iniciales para sendos subsistemas son distintos.
Cabe señalar que como estos tienen funciones diferentes, el primer láser la de obtener la señal que luego
será procesada y analizada, y el segundo la de obtener la información del momento en que incide y se
aparta la gota únicamente, no era necesario ajustarlos al mismo nivel de tensión. De todas maneras las
diferencias entre estos valores responden a distintos motivos, como ser diferencia de potencia emitida por
los láser ó diferencias dimensionales de los componentes de los subsistemas (ranuras, distancias relativas
entre componentes, etc.).
5.5.3 - Primera corrección a la señal.
Debido a que lo que se desea obtener finalmente es una medida del radio instantáneo de la gota, y
ya que el valor de tensión inicial es un valor independiente de la gota en cuestión, deberemos normalizar
la salida de tensión de forma tal que cuando al fotodiodo le llegue el haz de luz en su totalidad, la señal
sea nula y que muestre un máximo cuando al fotodiodo le llegue el segmento de sombra de mayor
magnitud. De esta manera, estaremos pasando de tener una señal proporcional a la luz que incide en el
fotodiodo a una señal proporcional a la sombra que genera la gota al atravesar el plano láser.
Para llevar a cabo lo antedicho, se toman como referencia los primeros valores adquiridos de cada
señal, y se lo restan a cada dato que compone nuestra señal. En el caso ejemplificado que se ve en la Fig.
5.4 estos valores son:
A1 = -5,26 V (láser 1)
A2 = -4,44 V (láser 2)
Para verificar el hecho de haber escogido el primer valor de la señal como parámetro para
desplazar a la misma, se realizó para todos los casos un chequeo que constó en calcular el error porcentual
cometido debido a la variación de los valores antes de que la gota incida en el plano láser. En todos los
casos, la relación entre la desviación estándar de tales valores y el módulo del primer dato (valor
adoptado) variaba entre el 0,1 y el 0,2 %.
Realizando este corrimiento, la señal queda desplazada como lo muestra la Fig. 5.9 .
101
Descripción del Sistema de Medición
Fig.5.9: Corrimiento de la señal.
5.5.4 - Variación del radio instantáneo de la gota.
De la manera en que quedó la señal, podemos interpretarla como una variación del diámetro
instantáneo de la gota a medida que se desplaza a través del plano láser. Como el valor que se requerirá
para su procesamiento es el radio instantáneo, se procede a dividir a cada uno de los datos por dos para
obtener la variación del radio instantáneo.
Fig. 5.10: Interpretación de la señal en función del radio instantáneo.
102
Descripción del Sistema de Medición
5.5.5 - Selección de los datos que pertenecen a la gota.
El paso siguiente es tomar únicamente los datos que corresponden a la gota para poder realizar su
correspondiente análisis. Para reconocer que datos corresponden a la gota y cuales no se realizó un
análisis que pasaremos a detallar.
Detalle A 0 50
Detalle B
150
Fig. 5.11: Visualización del ruido de la señal.
La necesidad de generar un método que automatice todo el procesamiento en nuestro sistema de
medición, hizo que introduzcamos este paso dentro del algoritmo que finalmente calcula el volumen de la
gota.
Para reconocer de todos los datos cuales pertenecen a la gota, lo que se hizo fue asignarle un valor
de 0Volt a aquellos datos que identifiquemos que no pertenecen a la misma. Con esta disposición serán
fácilmente identificables los datos que pertenecen a la gota para cualquier algoritmo. Para esta parte del
proceso tuvimos en cuenta lo siguiente:
- Como se puede ver en la Fig. 5.11, en la señal se acopla otra señal de ruido que si bien no nos
trae problemas en el cálculo del volumen de la gota, nos trae algunos inconvenientes en el momento de
decidir a partir de que dato y hasta cual de ellos se considera que pertenecen a la gota. Debido a esto es
103
Descripción del Sistema de Medición
que en primer lugar se aplica un filtro de forma tal que si el valor de tensión es menor que 0,025V se lo
considera ruido y se le asigna un valor de 0 V.
- Pero como puede verse, existen valores esporádicos que sobrepasan dicha banda de filtrado.
Tales valores serían considerados erróneamente como parte de la gota, por lo que es necesario
reconocerlos y anularlos como parte del ruido de la señal. Por lo tanto se procedió de la siguiente manera:
si existe un dato o grupo de hasta 6 datos que se encuentran entre dos valores de 0Volt, se lo/s
considerará/n un pico de ruido fuera del límite que encierra la banda de filtrado, y por lo tanto se le asigna
el valor de 0Volt.
5.5.6 – Resolución temporal.
Como los datos se obtienen a una frecuencia determinada inicialmente, y la frecuencia que se fija en
el software corresponde a la de adquisición para ambas señales, se puede calcular el intervalo de tiempo
entre dos datos consecutivos de la siguiente manera:
FNCt
⋅=∆
1000
Donde:
NC: número de canales utilizados.
F: frecuencia de muestreo en kHz
En las mediciones que hemos realizado, en todos los casos adoptamos el mayor valor de
frecuencia de adquisición que nos permitía la placa y siempre adquirimos en dos canales para tener las
señales correspondientes a sendos subsistemas láser-fotodiodo.
De esta manera, el intervalo de tiempo entre dos datos era:
seg. 1021001000
2 5−⋅=⋅
=∆t
104
Descripción del Sistema de Medición
5.5.7 - Escala de tiempos y constante de tiempo del circuito de adquisición.
En nuestro análisis hemos adoptado al primer dato correspondiente a la señal del primer láser
como dato adquirido en t = 0 seg. y los siguientes se relativizaron a éste.
Fig. 5.12: señal de la gota en función del tiempo real.
Tiempo [10-5 seg]
El análisis de la señal permite observar que tanto al inicio de la misma como al final, existe un
cambio de concavidad que suponemos inicialmente que no se debe a la geometría de la gota, sino a la
constante de tiempo del circuito de adquisición.
La constante de tiempo pudo ser determinada mediante el método geométrico de cálculo de
respuesta temporal de un sistema lineal frente una entrada de rampa unitaria por tener características
similares a esta [3].
Fig. 5.13: Cálculo de la constante de tiempo del sistema de adquisición.
Tensión
Datos
105
Descripción del Sistema de Medición
De esta manera, gráficamente determinamos la constante de tiempo del sistema de adquisición:
τ = 0.52 mseg
Ahora teniendo el valor de la constante de tiempo y conociendo el intervalo de tiempos entre los
cuales fueron tomados los distintos datos, se pueden corregir los datos que caen dentro del intervalo de la
constante de tiempo ya que la información que darían respecto a la forma de la gota sería errónea.
Al momento de corregir estos datos, y procurando un método que sea independiente del tamaño y
forma de la gota, probamos inicialmente descartando los datos que caían dentro de la constante de tiempo
y los resultados fueron positivos. El error cometido al no considerar estos datos en el cálculo del volumen
de la gota era despreciable y entonces adoptamos truncar la señal .
Cantidad de datos a no considerar en el cálculo:
CP = Int(τ / Ut) + 1
Donde:
Int: es la función que devuelve un valor entero.
Ut: es el intervalo de tiempo entre dato y dato.
De esta manera, la señal nos queda:
Tiempo [10-5 seg]
Fig. 5.14: Corrección de la señal debido a la constante de tiempo del circuito de adquisición.
106
Descripción del Sistema de Medición
En el Anexo 5.2 del presente capítulo puede verse el error cometido al despreciar estos valores si
considerásemos a la gota como una esfera.
De esta manera queda lista la señal para poder utilizarla en la reconstrucción de la gota y para el
posterior cálculo de su volumen.
5.6 – CÁLCULO DEL VOLUMEN DE LA GOTA.
En el presente apartado explicaremos como se procedió para el cálculo del volumen de la gota que
atravesó el plano láser una vez que la señal adquirida fue tratada según se explicó en el punto 5.5 del
presente capítulo. Con tal motivo, se describirá inicialmente la manera de reconstruir a la gota y luego la
forma en que se calcula su volumen.
5.6.1 - Reconstrucción de la gota.
Como fue previsto en la introducción del presente capítulo, reconstruiremos el perfil de la gota
que ha atravesado nuestro plano láser. Para tal motivo, es necesario trabajar en los dos ejes del plano
donde se monta la señal que tenemos a nuestra disposición, tensión-tiempo, para pasar al plano con ejes
espacio-espacio donde podremos apreciar la forma de la gota en cuestión.
En primer lugar deberemos obtener una lectura del radio instantáneo de la gota en milímetros en
lugar de Volts, y en segundo lugar, tendremos que reconstruir el eje axial de la gota.
5.6.1.1 - Reconstrucción del radio instantáneo de la gota.
En el capítulo 3 hemos calculado cual era la relación que existe entre el valor de tensión a la salida
del amplificador y su correspondiente valor de longitud iluminada en el fotodiodo, a la que llamamos
constante “C”. Debido al corrimiento que hemos explicado como primer corrección de la señal en el
punto 5.5.3 del presente capítulo, tal constante puede ser utilizada en forma directa para obtener la
longitud de sombra proyectada sobre el fotodiodo.
107
Descripción del Sistema de Medición
Fig. 5.15: Representación de los segmentos de luz y sombra que inciden sobre el fotodiodo.
b) Segmentos de luz y de sombra que
inciden sobre el fotodiodo
a) Segmento de luz que
incide sobre el fotodiodo
Tensión a la salida del amplificador: U1
Tensión a la salida del amplificador: U0
LUC 0=Según se estableció en el capítulo 3:
De esta manera para la situación “b” de la Fig. 5.16:
CUdL 1=−
)(110
1 UUCC
ULd −⋅=−=
CUd ∆
=Donde el ∆U representa el corrimiento que se le hizo a la señal inicialmente.
De esta manera estamos obteniendo el valor de la longitud del segmento de sombra proyectado
sobre el fotodiodo. Como se explicó en el punto 5.5.4 de este capítulo, al dividir previamente el valor de
tensión de la señal por dos, estaríamos obteniendo la longitud de medio segmento de sombra. Pero como
Fig. 5.16: Segmento de sombra proyectado sobre el fotodiodo.
108
Descripción del Sistema de Medición
queremos obtener el valor del radio instantáneo de la gota, debemos multiplicar por otro factor
geométrico determinado por la siguiente relación:
21
LLer ⋅=
21)()(
LLtetr ⋅= e : ver Fig.5.16 ó
De esta manera podemos simplificar los cálculos en la siguiente ecuación:
*2
121)(
00 CUUL
LL
UU
LL
CUtr
⋅∆
=⋅⋅∆
=⋅∆
=
Factor geométrico denominado preconstante. LL
LC⋅
=1
2*
mm1
Donde se ve que teniendo la señal procesada como se la ha descrito hasta el momento, el valor de
radio instantáneo depende del valor de tensión inicial U0 y de un factor geométrico C* que hemos
llamado preconstante.
Es debido destacar que el valor de la preconstante fue calculado según las dimensiones
geométricas del dispositivo experimental y fue ajustado mediante la medición del volumen de esferitas de
acero de diámetro conocido, según se describe en el punto 5.7 del presente capítulo.
De esta manera, como pudo verse en el análisis realizado, multiplicando este valor de preconstante
con el valor de tensión inicial para cada caso, se puede obtener la relación entre Volts y milímetros del
radio instantáneo. De esta manera, podemos realizar una lectura del valor de radio instantáneo en mm en
función del tiempo en el que fueron adquiridos los datos, restándonos únicamente la reconstrucción del
eje axial de la gota.
109
Descripción del Sistema de Medición
5.6.1.2 - Reconstrucción del eje axial de la gota.
Para la reconstrucción del eje axial de la gota adoptamos las siguientes dos hipótesis:
a) La gota se comporta como un sólido indeformable en su paso entre los dos planos láser
(tiempo del orden de los 10 mseg).
b) En el momento de la adquisición la cinemática de la gota se reduce a un movimiento
lineal de aceleración constante o uniformemente acelerado.
A continuación discutiremos la validez de estas dos hipótesis:
1) Para poder corroborar la hipótesis “a”, pasamos a calcular cual es la frecuencia de vibración
natural de la gota [4] para compararla con los tiempos característicos de pasaje por los planos láser.
F
8 γ⋅
3 π⋅ m⋅:=
F: frecuencia de vibración natural de las gotas
γ: tensión superficial
m: masa
Para gotas de 1,5 mm de radio y a una temperatura de 20ºC, la frecuencia toma uo valor de:
F = 66,11 Hz
Y considerando:
NC = F . tL
Donde tL es el tiempo total medio del paso de la gota por el plano láser y NC el número de ciclos
que se completan a lo largo del tiempo tL.
Si,
tL = 9 mseg
NC = 0.595
110
Descripción del Sistema de Medición
Por lo que se puede ver que en el lapso en que la gota traspasa en su totalidad el plano láser, se
desarrolla medio período de la vibración natural de la misma.
1º Plano láser
Fig. 5.17: Visualización del perfil de la gota en sucesivas posiciones al caer desde el capilar hasta atravesar el plano láser.
Sin embargo, en la Fig. 5.17 puede verse que en el momento en que la gota atraviesa el primer
plano láser (últimas cuatro fotos), la variación del diámetro medido en la dirección del desplazamiento de
la gota es del 1%. De esta manera, debido a que el segundo plano láser se encuentra muy próximo al
primero en comparación con la distancia entre el capilar y el primer plano láser, podemos concluir en la
aceptación de la hipótesis “a”.
2) Como la gota se encuentra desplazándose inmersa en un fluido, además de la fuerza gravitatoria
la gota está sometida a otras fuerzas. La ecuación diferencial general para una partícula esférica que se
encuentra desplazando en línea recta a través de un medio resistente a bajos Re [5], viene dada por:
∫ −−−−=
x
gg xtdx
dxdVrrV
dtdVrtF
dtdVm
0
23 6632)( πηγπηπγ
Donde:
V: velocidad
γg: densidad del medio (gas)
η: viscosidad del medio
r: radio de la esfera
m: masa de la esfera
111
Descripción del Sistema de Medición
El primer término del miembro de la derecha, son las fuerzas externas que actúan sobre la
partícula que en general varían en función del tiempo. El segundo término es la resistencia de un fluido
ideal al movimiento acelerado de una esfera. Es equivalente a un incremento de masa de la esfera de la
mitad de la masa del medio desplazado; debido a la baja densidad del medio comparada con la de la
partícula, este término puede ser despreciado. El tercer término es la resistencia del medio para una
velocidad constante e igual al valor instantáneo de la velocidad de la partícula. El término integral de la
ecuación también ha sido despreciado en muchas publicaciones de aerosoles sin dar a conocer ningún
argumento para justificar la simplificación [5].
De esta manera, cmo en la ecuación que gobierna el comportamient de la gota al caer no
aparecen términos donde la aceleración dependa del tiempo o de la distancia, podemos dar como válida la
hipótesis “b”.
Aceptando estas dos hipótesis pasaremos a definir los tiempos característicos del pasaje de la gota.
Para su correcta comprensión presentaremos un esquema con las escalas de tiempos correspondientes
para cada señal:
Fig. 4.18: Distribución de los datos adquiridos.
Referencias: d- Datos correspondientes a la gotas adquiridos con el sistema láser-fotodiodo 1 e- Datos correspondientes a la gotas adquiridos con el sistema láser-fotodiodo 2 f- Datos adquiridos por el sistema láser-fotodiodo 2 mientras la gota atravesaba alláser 1 sin alcanzar al láser 2 g- Datos adquiridos por el sistema láser-fotodiodo 1 mientras la gota atravesaba alláser 2 sin interferir en el haz del láser 1
112
Descripción del Sistema de Medición
Por lo tanto, sea:
T11 = tiempo en que la gota comienza a interferir con el láser 1.
T11 = 0 (se le asigna ese valor para tomarlo como referencia)
T12 = tiempo en que la gota incide por primera vez en el láser 2
T12 = f . Ut
T21 = tiempo en que la gota abandona el láser 1
T21 = (d . Ut) - τ
T22 = tiempo en que la gota abandona el láser 2
T22 = [(f + e) . Ut] - τ
Una vez determinada la distancia entre ambos planos láser (ver 5.7 ajuste del sistema de
medición), estamos en condiciones de determinar las velocidades y aceleración características para así
calcular cual fue la distancia barrida por la gota en el tiempo que transcurre entre dos datos consecutivos.
De esta manera se determinaron las velocidades medias características, a saber:
11121 TT
hV−
=
21222 TT
hV−
=
h: diferencia de alturas entre los dos láser
V1: velocidad media a la que la primer partícula se desplazo en el camino comprendido entre los
dos planos láser.
V2: velocidad media a la que la última partícula traspaso el camino comprendido entre los dos
planos láser.
113
Descripción del Sistema de Medición
Se calculan los tiempos T01 y T02 en los que las respectivas velocidades medias cortan la recta de
V(t):
21112
01TT
T+
=
2
222102
TTT
+=
Fig. 5.19: Representación de los parámetros cinemáticos característicos.
De esta manera, considerando la explicación previa en la validación de la hipótesis “b”, no
podemos conocer a priori la aceleración con la que se desplazará la gota. Teniendo en cuenta las hipótesis
previamente realizadas, el próximo paso será determinar la aceleración con que la gota atraviesa ambos
planos láser:
0102
12
TTVV
dtdva
−−
==
Se calcula además la variación de velocidad de la primer velocidad media y de la segunda, ∆V1 y
∆V2:
∆V1 = a . (T01 - T11)
∆V2 = a . (T02 - T21)
V01 = V1 - ∆V1
V02 = V1 + ∆V1
114
Descripción del Sistema de Medición
Conociendo de esta manera la velocidad que la gota tenía al incidir en el primer láser y la
aceleración con la que la gota lo atravesó, estamos en condiciones de otorgarle a cada uno de los datos
adquiridos una posición determinada respecto al eje axial de la gota y de esa manera reconstruir así el
perfil de la misma.
La posición relativa de cada uno de los datos adquiridos respecto al eje axial será determinada en
función de las variables que se determinaron con anterioridad. A continuación se presenta la forma en que
se distribuirán los datos:
Fig. 5.20: Forma de distribuir a los datos adquiridos.
X1(t) = V0.t + a.t2 / 2 X2(t) = 2.V0.t + 2.a.t2
X3(t) = 3.V0.t + 9.a.t2 / 2
5.6.2 – Cálculo del volumen de la gota.
Una vez reconstruido el perfil de la gota, el paso siguiente para la determinación de su volumen es
el cálculo del área de esos discos. Tales elementos pueden ser considerados de sección circular debido a
la hipótesis de simetría axial previamente presentada.
De esta manera, para cada valor de radio instantáneo se calcula el área del disco correspondiente:
A(x) = π . r(x) 2
115
Descripción del Sistema de Medición
Una vez calculada el área de cada uno de los discos A(x) que conforman la gota, se pasa a realizar
la integración de las áreas a lo largo del eje axial de la gota:
∫ ⋅= dxxAV )(
Determinando de esta forma el volumen de la gota.
5.7 – AJUSTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN.
Una vez montado el dispositivo experimental, fue necesario ajustar las constantes utilizadas en el
proceso de reconstrucción de la gota que fueron determinadas en forma geométrica para minimizar los
errores producidos en su cálculo. Las variables en cuestión eran la preconstante C*, la diferencia de
alturas entre los planos láser h y la constante de tiempo del circuito de adquisición τ. Con tal motivo, se
realizaron mediciones con tres esferitas de acero de forma y dimensiones conocidas como patrón de
medición.
Las esferitas de acero utilizadas fueron medidas utilizando un durómetro “IBERTEST” que nos
permitió ver el perfil de las esferitas con una amplificación de 100 veces. En el mismo se hicieron
mediciones rotando a las mismas a 8 posiciones distintas cada una para identificar posibles
deformaciones, determinando de esa manera los siguientes valores:
Variación del
diámetroEsferita 1 2.015 mm 0.49%Esferita 2 2.007 mm 0.53%Esferita 3 2.019 mm 0.11%
Diámetro
Para realizar tales mediciones, se dejaron caer las 3 esferitas desde 3 alturas distintas y se
recogieron las señales obtenidas de las mismas. Las alturas fueron desde las cuales las esferitas se dejaban
caer fueron 17, 20 y 24 mm respecto al primer plano láser.
Una vez procesadas las señales, comparando la longitud del eje axial de la esfera reconstruida
ajustamos el valor de h; el valor de C* fue ajustado comparando el valor del máximo de la señal
116
Descripción del Sistema de Medición
reconstruida con el valor del radio de la esferita, y finalmente comparando la señal de la esfera
reconstruida con la forma real de una esfera de iguales dimensiones ajustamos el valor de τ previamente
determinado.
Realizados los ajustes correspondientes, el error producido en el cálculo de volumen de las
esferitas con nuestro sistema de medición en todos los casos fue menor al 3,5 %.
5.8 – CONTRASTE DEL SISTEMA DE MEDICIÓN.
En el presente apartado se destaca una comparación del sistema de medición desarrollado en el
presente trabajo con otro sistema de medición convencional, y una comparación de la reconstrucción de la
gota con una foto tomada con la cámara ultrarrápida presentada en el Capítulo 3.
De esta manera se busca garantizar la validez del sistema de medición que se presenta, así como la
validez de los hipótesis que fueron realizadas en el desarrollo del mismo.
5.8.1 – Sistema desarrollado Vs. Cronómetro y pipeta.
El software utilizado como interfaz entre la placa de adquisición y el usuario tenía la posibilidad
de devolvernos además un valor medio del período de goteo calculado con 10 gotas consecutivas. El
sistema de adquisición de datos utiliza funciones que devuelven el valor del período de goteo con una
discrepancia máxima de 50mseg. Por lo tanto, teniendo el valor medio del período de goteo y el valor de
los tamaños de las gotas que se desprendían, pudimos calcular el caudal que se encontraba fluyendo
durante la medición. Este valor de caudal era fácilmente contrastable contra el sistema convencional de
medición de caudal por pipeta y cronómetro.
Para este contraste, se utilizó una pipeta de 5 ml con divisiones de 0,1 ml y un cronómetro cuya
menor división era la centésima del segundo. Dado que el error que puede producirse en la medición del
tiempo es despreciable frente al producido en la del volumen, estaremos contrastando nuestra medición
contra un sistema cuyo error es de aproximadamente 2%.
117
Descripción del Sistema de Medición
Se trabajó con 5 alturas de columna de agua distintas y se actuó sobre el caudal para tener un
contraste que abarque una amplia gama de caudales. De esta manera, se obtuvo:
Alturas de columna de agua sobre el orificio
del capilar:
H1 = 15 cm H2 = 13 cm H3 = 10 cm H4 = 7,5 cm H5 = 5 cm
Fig. 5.21: Contraste del sistema de medición desarrollado contra el sistema convencional de medición de caudal.
Fig. 5.22: Diferencia porcentual entre los sistemas de medición contrastados en la figura 5.21
-10.00%
-8.00%-6.00%
-4.00%
-2.00%0.00%
2.00%
4.00%
6.00%8.00%
10.00%
0 5 10 15 20 25 30
Mediciones
%
118
Descripción del Sistema de Medición
5.8.2 – Contraste de la reconstrucción de la gota.
A continuación presentamos una comparación de la reconstrucción de la gota que se realiza para
calcular su volumen y una foto de la misma tomada con una cámara ultrarrápida en el momento en que el
plano medio de la gota se encuentra atravesando el láser.
capilar
A)
Esc.: 1mm
Incidencia del plano láser
B)
Gota
C)
Fig. 5.23: A) Foto tomada en el momento en que el plano central de la gota incidía en el plano láser; B) Reconstrucción de la gota con el sistema presentado; C) A y B superpuestas
119
Descripción del Sistema de Medición
Una vez obtenida la foto de la gota, se puede calcular su volumen interpretándola como formada
de infinitos discos de espesor infinitesimal de manera similar a como pensamos a la gota en nuestro
sistema de medición. Se pueden discretizar un conjunto de puntos y medir el valor del radio instantáneo
en cada caso.
De esta manera pudimos determinar el valor del volumen de acuerdo a la imagen que adquirimos
con la cámara ultrarrápida y compararlo con el volumen de la gota según nuestro sistema de medición.
Las diferencias encontradas fueron de aproximadamente el 3 % en defecto.
120
Descripción del Sistema de Medición
5.9 – CONCLUSIONES.
En este capítulo se analizó el sistema de medición de volumen de gotas y su variante como
caudalímetro de pequeños flujos, cuyo desarrollo es uno de los objetivos del presente trabajo.
Identificando las limitaciones del dispositivo experimental utilizado, hemos determinado que en
nuestro estudio sobre el fenómeno de “dripping”o “goteo” no podemos superar el caudal de 150ml/h.
Debido a que cada uno de los pasos necesarios para procesar la señal obtenida de cada gota son de
carácter general y usan como variables a los datos que provienen de la señal, los mismos pueden ser
integrados en un algoritmo que automatiza el procesamiento de las señales de forma tal que lee la señal
I(t)y devuelve el volumen de la gota.
Considerando grupos de 10 gotas se converge a un valor medio que difiere como máximo en un
2,5%, por lo que tomamos como válido adoptar el valor de 10 gotas como número de muestras que
representen a una condición determinada en el análisis del fenómeno de “dripping”. como
Finalmente, hemos realizado dos contrastes a nuestro sistema de medición:
1) Contrastamos nuestro sistema de medición contra otro de medición de caudal cuyo error
de medición es del 2%, y encontramos que la mayor diferencia entre estos es del 4%.
2) Obtuvimos una foto con una cámara ultrarrápida de la gota en el momento de su caída
sobre el plano láser. A partir de la foto, reconstruimos a la gota y calculamos su
volumen. En este caso, el volumen que obtuvimos con nuestro sistema de medición
difería con el de la foto en aproximadamente un 3%.
121
Descripción del Sistema de Medición
REFERENCIAS.
1. H.C. VAN DE HULST, Leiden Observatory, Light Scattering by Small Particles, Dover Publications Inc., New York, (1981)
2. FEYNMAN, FISICA, VOL I, Mecánica, radiación y calor, Ed. Addison-Wesley
Iberoamericana (1987)
3. OGATA K, Ingeniería de Control Moderna, 3º Edición, Prentice-Hall, (1998)
4. RONAY M., “Determination of the dynamic surface tension of liquids from the instability of excited capillary jets and from the oscillation frequency of drop issued from such jets”, I.B.M. T.J. WatsonResearch Center, New York, USA, (1977)
5. FUCKS N.A., The Mechanics of aerosols (1964)
6. GORAZD PLANINSIC, “Water-Drop Proyector”, The Physics Teacher, 39, Feb (2001)
122
ANEXO 5.1
123
Anexo 5.1
DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN LA RANURA.
Examinando para el primer mínimo,
Resolviendo para y,
Usualmente se usa la siguiente aproximación:
Para cualquier mínimo, la condición de mínimo se obtiene, y ~= . D . m / a
Para nuestro caso, las condiciones en que se da la difracción en la ranura, los dos primeros
mínimos se obtienen en:
a = 246 µm l = 634,7 nm
m = 1 D = 5,5 cm
y = 0,01419 cm θ = 0.148º
a = 246 µm l = 634,7 nm
m = 2 D = 5,5 cm
y = 0,02838 cm θ = 0.296º
124
ANEXO 5.2
125
Anexo 5.2
CÁLCULO DEL ERROR COMETIDO AL DESPRECIAR LOS DATOS CORRESPONDIENTES A
LA CONSTANTE DE TIEMPO DEL CIRCUITO DE ADQUISICIÓN.
ACLARACIÓN: se trabajará en forma adimensional debido a que se busca la relación porcentual del
volumen que se pierde al no considerar parte de los datos adquiridos.
Las hipótesis a considerar serán las siguientes:
a) Elemento a considerar: esfera de diámetro 10-2 (correspondiente al tiempo equivalente al pasaje de
una gota promedio a través del plano láser en segundos)
b) Parte a despreciar: casquete esférico correspondiente a una flecha de longitud equivalente a la
constante de tiempo del circuito de adquisición σ = 7 . 10-4.
126
Anexo 5.2
Para el análisis, calcularemos el volumen del casquete que se desprecia, el volumen de la esfera
total y de esa manera calcularemos el porcentaje del volumen que nos encontramos despreciando.
Para tales cálculos, realizaremos integrales de volumen en coordenadas esféricas.
En el caso del volumen del casquete los límites de integración serán:
Θ: 0 → 2π
Φ: 0 → cos-1(4,3/5) ~ π/6
r: 4,3/cos(Φ) → 5
Entonces:
Vcasquete0
2 π⋅
Θ
0
π
6Φ
4.3
cos Φ( )
5
rr2 sin Φ( )⋅⌠⌡
d⌠⌡
d
⌠⌡
d:=
V casquete = 7.321
En el caso de la esfera los límites de integración serán:
Θ: 0 → 2π
Φ: 0 → π
r: 0 → 5
Y el volumen de la esfera:
Vesfera0
2 π⋅
Θ0
π
Φ0
5
rr2 sin Φ( )⋅⌠⌡
d⌠⌡
d⌠⌡
d:=
127
Anexo 5.2
V esfera = 523.6
Por lo tanto el error:
ErrorVesfera 2Vcasquete−( ) Vesfera−
Vesfera:=
Error = -2.79%
128
CAPITULO VI
Análisis de Resultados Experimentales
129
Análisis de Resultados Experimentales
6.1 – INTRODUCCIÓN.
El presente capítulo tiene como objeto la presentación de los resultados experimentales obtenidos
mediante el montaje experimental anteriormente descrito. Se realizará entonces un estudio experimental
del fenómeno de goteo en el dispositivo desarrollado para el presente trabajo.
Serán presentados los resultados que se obtuvieron de la sucesivas mediciones para dos casos
particulares: aquel en que el desprendimiento de la gota se hace en un ambiente a presión atmosférica
(caso de cámara abierta) y el que el desprendimiento de la gota se hace dentro de una cámara cuya presión
depende de las condiciones del sistema hidráulico (cámara cerrada). Asimismo, para ambos casos se
analiza la inferencia sobre el volumen de la gota de parámetros tales como altura de carga, período de
goteo, caudal ó el lugar dentro del sistema donde se hace la regulación de la presión para ver como
interactúan con el volumen de las gotas.
Luego se presentan resultados acerca de la relación área/volumen de las gotas que se generan en
cada situación.
Finalmente, se hace un análisis particular de la potencia que necesita el sistema para poder generar
las gotas y la relación que mantiene con el caudal que circula por el mismo.
130
Análisis de Resultados Experimentales
6.2 – RESULTADOS EXPERIMENTALES.
En el presente apartado presentamos los resultados de las mediciones realizadas con el sistema de
medición desarrollado. En primer lugar se hará una diferenciación entre las mediciones realizadas con
cámara abierta a la atmósfera, donde la contrapresión a vencer por la gota en formación es la atmosférica,
y aquellas que fueron realizadas con cámara cerrada, donde la contrapresión dependerá de las condiciones
del resto del sistema.
En sendos casos, se analizará el cambio del volumen de las gotas con el período de goteo, con el
caudal circulante y la relación que existe entre el caudal que circula por el sistema y el período de goteo.
Además, se presentará cual es el rango de reproducibilidad de sucesivas mediciones para ambos casos.
Es preciso destacar que para obtener finalmente el resultado del volumen de las gotas medidas, se
procedió a la medición de 10 gotas de las cuales se tomó su valor medio como volumen de gota para tales
condiciones. En todos los casos, sea bureta abierta o bureta cerrada, la dispersión de los valores de
volumen obtenidos no superaba los 2 ó 2,5 %.
6.2.1 – Sistema con cámara abierta.
Como se anticipó previamente, se presentarán los resultados obtenidos de las mediciones
realizadas a cámara abierta. Estos casos tendrán todos en común la contrapresión que se opone a la
formación de la gota que será siempre la atmosférica.
Los resultados son presentados en un conjunto de gráficos en los que se contrastará la variación
del volumen de la gota de agua en función de distintos parámetros, a saber: altura de columna de agua por
sobre el orificio del capilar, frecuencia o período de goteo y caudal circulante. Asimismo, se presentará un
gráfico en el que se podrá analizar el grado de variabilidad en la medición de sucesivas gotas en iguales
condiciones.
131
Análisis de Resultados Experimentales
Fig. 6.1: Variación del caudal en función del período de goteo para el caso de cámara abierta a la atmósfera.
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120
140
160
Curva de aproximación
Q(T) = -2,41 + 195,14.e- (T / 0,364) + 49,76.e- (T / 3,192)
[ ]
Cau
dal (
ml/h
)
Período de goteo T (seg.)
Altura de columna de agua por sobre el orificio del
capilar:
H = 25 cm
En la figura 6.1 puede verse la relación que existe entre período de goteo y el caudal que circula
por el sistema. En la misma se destaca la gran sensibilidad que tiene el caudal frente a un cambio en el
período de goteo para frecuencias de goteo elevadas, o períodos de hasta T = 1 seg. A partir de ese valor,
se va perdiendo la sensibilidad de forma tal que frente a un cambio en el período de goteo, no se percibe
una gran variación en el caudal.
Mediante la ecuación que se presenta en la misma figura, podemos estimar la respuesta en caudal
que tendrá el sistema midiendo únicamente el período de goteo T.
132
Análisis de Resultados Experimentales
Fig. 6.2: Variación del volumen de las gotas en función del caudal que se encuentra circulando por el sistema para cámara abierta a la atmósfera.
0 20 40 60 80 100 120 140 1600123456789
101112131415
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Caudal (ml/h)
Altura de columna de agua por sobre el orificio del
capilar:
H = 25 cm
Fig. 6.3: Variación del volumen de las gotas en función del período de goteo para el caso de cámara abierta a la atmósfera.
0 20 40 60 80 100 120 140 1600123456789
101112131415
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Caudal (ml/h)
Altura de columna de agua por sobre el orificio del
capilar:
H = 25 cm
Las figuras 6.2 y 6.3 muestran la variación del volumen de las gotas en función del caudal que se
encuentra circulando y en función del período de goteo. Puede verse que el volumen de las gotas tiende a
disminuir a medida que aumenta el caudal que circula por el sistema y tiende a aumentar a medida que lo
hace el período de goteo, o lo que es lo mismo, a medida que se reduce la frecuencia de goteo.
En las figuras pueden verse 3 valores que se alejan de la tendencia pero este fenómeno se atribuye
a errores experimentales.
133
Análisis de Resultados Experimentales
6.2.2 – Sistema con cámara cerrada.
En este apartado se presentarán los resultados obtenidos de las mediciones realizadas a cámara
cerrada. A diferencia del caso anterior, donde la contrapresión que sufrían las gotas en su formación era
constante e igual a la atmosférica en todos los casos, aquí dependerá de las condiciones del sistema: altura
de carga, regulación aguas abajo o aguas arriba de la cámara ó del capilar, etc.
A continuación son presentados un conjunto de gráficos en los que se estudia la variación del
volumen de la gota de agua en función de distintos parámetros, a saber: altura de columna de agua por
sobre el capilar; regulación aguas arriba o aguas abajo del capilar; frecuencia o período de goteo; caudal
total circulando.
En la Fig. 6.4 puede verse para tres alturas de columna de agua por sobre el capilar, como varía el
volumen de la gota que se forma en función del período de goteo, según la posición relativa de la válvula
de regulación respecto a la cámara ó al capilar. En los tres casos presentados, puede verse que para
frecuencias de goteo bajas (períodos de goteo elevados), si la regulación se hace aguas arriba el volumen
de la gota que se encuentra cayendo es mayor en todos los casos. Esta misma tendencia se cumple para
frecuencias mas elevadas (ó períodos mas bajos) en los casos en que la altura de columna de agua por
sobre el orificio del capilar es H > 5 cm.
134
Análisis de Resultados Experimentales
Fig. 6.4: Comparación del volumen de las gotas para distintos períodos de goteo según sea la regulación aguas abajo o aguas arriba respecto al capilar.
0.1 16
7
8
9
10
11
12
13
14
Altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar
H = 13 cm
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Período de goteo (seg.)
Regulación Aguas Arriba Regulación Aguas Abajo
0.1 16
7
8
9
10
11
12
13
14
Altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar
H = 17 cm
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Período de goteo (seg.)
Regulación Aguas Arriba Regulación Aguas Abajo
0.1 16
7
8
9
10
11
12
13
14
Altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar
H = 5 cm
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Período de goteo (seg.)
Regulación Aguas Arriba Regulación Aguas Abajo
En la figura 6.5 puede verse la variación del volumen de las gotas con el período de goteo. De la
misma se desprenden distintas conclusiones. En primer lugar es notorio que para períodos de goteo bajos
(o lo que es lo mismo frecuencias elevadas) de hasta 0,5 seg. el tamaño de las gotas son muy sensibles a
una variación del mismo. Esta sensibilidad se atenúa fuertemente para frecuencias de goteo bajas,
períodos de goteo del orden de los 1,75 seg., tendiendo a mantenerse estable alrededor de un valor
constante que depende de la altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar. Estos valores en
135
Análisis de Resultados Experimentales
los que se estabiliza el volumen de las gotas para distintos períodos de goteo dependen de la altura de
columna de agua por sobre el capilar, siendo mayores cuanto mayor sea dicha altura.
Fig. 6.5: Variación del volumen de las gotas con el período de goteo para distintas alturas de columna de agua por sobre el capilar y cuya regulación se hace aguas arriba del capilar.
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14Regulación Aguas Abajo del capilar
Alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Período de goteo (seg.)
H = 25cm H = 17cm H = 13cm H = 5cm
En la figura 6.6 se puede ver como varía el volumen de las gotas en función del caudal que se
encuentra fluyendo a través del sistema cuando la regulación se hace aguas abajo del capilar. En la misma
notamos que existe una relación entre ambas variables de forma tal que a medida que aumenta el caudal
que circula por el sistema, el volumen de las gotas que se desprenden disminuye. Además, se cumple en
la mayoría de los casos que para un caudal determinado, cuanto mayor es la altura de carga en el capilar
donde se forman las gotas, el volumen de las mismas es mayor.
136
Análisis de Resultados Experimentales
Fig. 6.6: Variación del volumen de gota con respecto al caudal que circula por el sistema para el caso de cámara cerrada.
0 20 40 60 80 100 120 1400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar
Regulación Aguas Abajo del capilar
H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm H = 25 cm
Volu
men
de
gota
(10-3
. m
l)
Caudal (ml/h)
Fig. 6.7: Variación del caudal con el período de goteo para el caso de cámara cerrada y regulación aguas abajo de la cámara.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.50
20
40
60
80
100
120
140
Alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar
Curva de aproximación
y = 43.x-0,8 R2=0,98
Regulación Aguas Abajo del capilar
Cau
dal (
ml/h
)
Período de goteo (seg.)
H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm H = 25 cm
137
Análisis de Resultados Experimentales
De la Fig. 6.7 se desprende la existencia de una fuerte dependencia entre el caudal que circula por
el sistema y el período de goteo como pasaba también en el caso de cámara abierta. De manera similar,
puede verse que para altas frecuencias de goteo, o períodos de goteo bajos, la variación del caudal es muy
sensible a una variación de este parámetro. Sin embargo, para períodos de goteo superiores a T = 1,5 seg.,
una variación de este parámetro no afecta demasiado al caudal que circula.
6.3 – RELACIÓN ÁREA/VOLUMEN DE LAS GOTAS.
En el presente apartado se pretende analizar cual es la relación que existe entre la superficie
externa de las gotas y su volumen. Con este motivo representaremos el área en función del volumen para
las distintas condiciones estudiadas en las figuras 6.8 a 6.10
CÁMARA ABIERTA
9 10 11 12 13 14 15 1617
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Supe
rfici
e de
la g
ota
[mm
2 ]
Volumen de gota (mm3)
Superficie(mm2)
Aproximación lineal
Y = 5.41+1,28 . X3
Fig. 6.8: relación entre superficie exterior y volumen de las gotas que se forman desde el capilar con una altura de columna de agua de H = 25 cm por sobre el orificio del capilar . Cámara abierta a la atmósfera.
138
Análisis de Resultados Experimentales
139
Fig. 6.10: relación entre superficie exterior y volumen de las gotas que se forman desde el capilar para distintas alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar . Cámara cerrada regulación aguas arriba.
Fig. 6.9: relación entre superficie exterior y volumen de las gotas que se forman desde el capilar para distintas alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar . Cámara cerrada regulación aguas abajo.
7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0
14.014.515.015.516.016.517.017.518.018.519.019.520.020.521.021.5
CÁMARA CERRADAREGULACIÓN AGUAS ABAJO
Alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar
Supe
rfici
e de
la g
ota
(mm
2 )
Volumen de la gota (mm3)
H = 25 cm H = 30 cm H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm Y = 4,98 + 1,19 . X
6 7 8 9 10 11 12 13 1412
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Alturas de columna de agua por sobre el orificio del capilar
CÁMARA CERRADAREGULACIÓN AGUAS ARRIBA
Supe
rfici
e de
la g
ota
(mm
2 )
Volumen de la gota (mm3)
H = 17 cm H = 5 cm Y = 4.87 + 1.23 . X
En los tres casos presentados puede verse una relación lineal entre superficie y volumen de la gota.
Analizando las rectas con las que se aproximó tal relación puede verse que la pendiente de las mismas es
en los tres casos prácticamente la misma (su diferencia puede atribuirse a errores experimentales). Así
mismo, los dos casos que se presentan para cámara cerrada tienen una muy parecida ordenada al origen.
Análisis de Resultados Experimentales
De esta manera, la relación Area/Volumen de las gotas si bien no permanece constante para todos los
caudales, se mantiene acotada dentro de un entre rango que va desde 1,64 hasta 1,75 1/mm para cámara
abierta, desde 1,57 hasta 1,82 1/mm para cámara cerrada con regulación aguas abajo del capilar y desde
1,61 a 1,84 1/mm para cámara cerrada con regulación aguas arriba del capilar.
6.4 – PÉRDIDA DE POTENCIA EN LA GENERACIÓN DE LAS GOTAS.
Analizamos en este apartado algunos aspectos termodinámicos y su relación con la dinámica del
fluido del proceso de formación de gotas en un sistema como el que estudiamos nosotros.
Es intuitivo que el fenómeno de formación de gotas requiera que el sistema realice o aporte un
trabajo adicionalal que sería necesario si no existiese formación de superficie alguna. Este trabajo se
puede estimar [Defay] con:
dτ = p’dV’ + p’’ dV’’ – σ dΩ
donde,
p’: presión de la fase 1
p’’: presión de la fase 2
dV’: variación del volumen de la fase 1
dV’’: variación del volumen de la fase 2
σ: tensión superficial
dΩ: variación del área
En todo sistema se puede expresar que la variación de entropía vale,
TdQ
TdQds '
+=
donde el primer término representa la variación de entropía por intercambio de calor con el medio,
en tanto que el segundo representa la entropía creada en el sistema por los fenómenos irreversibles que
toman lugar en el mismo. La diferencia existente de entropía entre las partículas fluidas que están en la
superficie y a aquellas que están en el seno del fluido.
140
Análisis de Resultados Experimentales
El segundo principio de la termodinámica establece que dQ’>0.
Además, en la generación de gotas se cumple que:
Ω⋅−= ddTd
TdQ σ
Para líquidos tiene siempre signo positivo (para el caso del agua a 293K es igual a 0,595σ) por lo
que una expansión de la superficie es un fenómeno que absorbe calor del medio.
En el fenómeno de formación de la gota dQ’ representa las pérdidas por fricción que ocurren por
procesos como la circulación del fluido en el interior de la gota en el proceso de formación de la misma o
la fricción con el aire circundante.
La variación de la energía interna total, partiendo de la primera Ley de la Termodinámica, se
puede expresar entonces de la siguiente forma,
τddQdei −=
'''''' dVpdVpdQddTdTddei ⋅−⋅−+Ω
−Ω⋅=σσ
A continuación realizaremos las siguientes consideraciones,
1) dQ’ < dτ
2) dτ ≈ – σ dΩ
Bajo estas condiciones el trabajo dτ o la potencia (dτ * frecuencia de goteo) es el que se requiere
del circuito hidráulico superior para formar las gotas y actúa en forma análoga a una “pérdida localizada”
en un circuito hidráulico.
Asi podemos expresar,
AdAEA
⋅=⋅= ∫ σσ0
donde,
141
Análisis de Resultados Experimentales
E: energía de generación de superfice
σ: tensión superficial y
A: área de la gota
Y conociendo la frecuencia con la que se forman las gotas, podemos obtener la potencia necesaria
para la generación de la superficie de las gotas.
fETEP ⋅==
donde,
P: potencia de generación de las gotas
T: período de goteo
f: frecuencia de goteo
A continuación se presentan en tres gráficos la variación de la potencia necesaria para la
generación de la superficie de las gotas en función del caudal que se encuentra circulando, de acuerdo a
las distintas condiciones que fueron presentadas en el presente trabajo.
CÁMARA ABIERTA
Fig. 6.11: Variación de la potencia necesaria para la generación de gotas en función del caudal circulante. Bureta Abierta
0 20 40 60 80 100 120 140 1600.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
Altura de columna de agua por encima del orificio del capilar
Pote
ncia
(10-6
. W
)
Caudal (ml/h)
H = 25 cm
142
Análisis de Resultados Experimentales
CÁMARA CERRADA
Fig. 6.12: Variación de la potencia necesaria para la generación de gotas en función del caudal circulante. Bureta Cerrada y Regulación aguas abajo del capilar.
0 20 40 60 80 100 120 140
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
REGULACIÓN DE CAUDAL AGUAS ABAJO DEL CAPILAR
Altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar
Pote
ncia
(10-6
. W
)
Caudal (ml/h)
H = 5 cm H = 13 cm H = 17 cm H = 25 cm H = 30 cm
0 20 40 60 80 100 120 140 1600.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
Altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar
REGULACIÓN DE CAUDALAGUAS ARRIBA DEL CAPILAR
Pote
ncia
(10-6
. W
)
Caudal (ml/h)
H = 17 cm H = 5 cm
Fig. 6.13: Variación de la potencia necesaria para la generación de gotas en función del caudal circulante. Bureta Cerrada y Regulación aguas arriba del capilar.
En las figuras 6.11 a 6.13 pueden verse las distintas situaciones bajos las cuales se realizaron
mediciones en el presente trabajo: cámara abierta, cámara cerrada con regulación de caudal aguas abajo
del capilar y cámara cerrada con regulación de caudal aguas arriba del capilar. En los tres casos, se
presenta una relación lineal entre la potencia que el sistema utiliza para la generación de la superficie de
las gotas y el caudal que se encuentra circulando. De esta manera, el sistema debe incurrir en un mayor
gasto de energía, por unidad de tiempo, a medida que se requiere que un mayor caudal circule por el
mismo. Por lo tanto, estamos frente a un tipo de pérdida de carga que es variable y lineal con el caudal.
Este hecho diferencia alas pérdidas localizadas frentre a otras donde habitualmente la dependencia es con
el caudal al cuadrado, Q2.
Podemos recalcar además que prácticamente no se ven diferencias notorias entre los tres gráficos,
con lo que podemos concluir que la recta de variación que se presenta en los tres gráficos muestra una
característica del sistema en sí, o particularmente, una característica del capilar como componente
primordial en la generación de las gotas que nos encontramos midiendo.
143
Análisis de Resultados Experimentales
6.5 – CONCLUSIONES
El presente capítulo tuvo como objetivo caracterizar de esta manera al fenómeno de dripping o
goteo en nuestro sistema. Los resultados se analizaron tanto para el caso de cámara abierta como para
cámara cerrada, distinguiéndose para el último los casos de regulación aguas arriba y regulación aguas
abajo del capilar. La diferencia de estos dos casos radica en que en el primero, caso de regulación aguas
arriba del capilar, la presión tanto a la salida del capilar como en la cámara será menor que en el caso en
que la regulación se haga aguas abajo del capilar para iguales condiciones de altura de columna de agua
del sistema.
En los distintos gráficos de resultados que se presentaron, pudimos observar una variación del
volumen de las gotas medidas entre 6 y 14 ml (ó mm3) aproximadamente. Esto se corresponde con gotas
de entre 1,13 y 1,49 mm de radio si se las supone como esferas.
Tanto en los casos de cámara abierta como cámara cerrada se observó que el volumen de las gotas
aumentaba con el período de goteo. Esta variación resulta más notoria para valores de períodos bajos
(T<1 seg) pero a períodos mayores existe una tendencia a mantenerse constante alrededor de un cierto
valor. Este valor depende de la altura de columna de agua por sobre el orificio del capilar, siendo mas
grande para valores de H mayores. Si la cámara se encuentra cerrada, el valor tiende a ser mayor si la
regulación se hace aguas arriba del capilar.
Asimismo, pudo verse también que en los dos casos el volumen de las gotas creadas tendía a
disminuir a medida que aumentaba el caudal. Este resultado en particular difiere del obtenido por Zhang y
Basaran donde el volumen de las gotas adimensionalizado con el radio externo del capilar al cubo,
aumenta con el caudal. Esta diferencia la atribuimos a que el dispositivo en el que los investigadores
realizaron sus experiencias disponía de una bomba que forzaba a circular un caudal determinado por su
sistema de medición, mientras que en nuestro dispositivo experimental regulamos una altura de columna
de agua por sobre el capilar, fijamos la válvula en una posición determinada y permitimos al sistema
adoptar su configuración de escurrimiento.
144
Análisis de Resultados Experimentales
El estudio de la variación del caudal con el período de goteo indica que si bien la relación no es
exactamente igual en los casos de cámara abierta y cámara cerrada, ambos muestran una variación del
tipo hiperbólica, que varía con 1/x. A priori podríamos pensar que esta información puede llegar a servir
para predecir el caudal midiendo únicamente el período de goteo. Sin embargo se debe considerar que
solo hemos probado que esto se cumple exclusivamente en las condiciones que se realizaron los
experimentos.
La relación Superficie/Volumen de las gotas creadas, para los casos de cámara abierta y cámara
cerrada, presenta una relación lineal cuya recta de aproximación tiene una pendiente que resulta
prácticamente independiente de la altura de columna líquida y de la cámara considerada.
Estos resultados pueden ser analizados en términos de la potencia necesaria para la generación de
la superficie de las gotas y del caudal que se encuentra circulando en el sistema. Existe una fuerte
linealidad entre estas dos variables y surge del análisis que al aumentar el caudal circulante por el sistema,
el mismo debe suministrar una mayor potencia para poder generar la superficie de las gotas. La potencia
consumida en la generación de superficie, actúa de manera análoga a una pérdida de carga localizada en
el circuito hidráulico. El valor de esta pérdida resulta en todos los casos lineal con el caudal y es función
de una constante que en un principio depende del tipo de capilar utilizado y de las propiedades físicas del
fluido en cuestión.
Este resultado resulta de interés en las distintas áreas de la ingeniería donde los procesos de goteo
se encuentran presentes (desalinizadores, destiladores, infusiones parenterales, etc.).
145
Análisis de Resultados Experimentales
REFERENCIAS.
1. R. DEFAY and PRIGOGINE I., “Tension superficielle et adsorption”, Editions Desoer 21,
rue Ste-Véronique Liége, (1951)
146
CONCLUSIONES GENERALES
147
Conclusiones
A lo largo del presente trabajo se describió un método para realizar mediciones de gotas con radio
del orden del milímetro. Este método resultó de probada eficiencia y en consecuencia resulta adecuado en
todas aquellas aplicaciones donde se requiera medir gotas de ese orden de magnitud.
La determinación del volumen de gotas junto con su período permite realizar mediciones de
pequeños caudales de soluciones acuosas similares a los usados en infusiones parenterales. Para el estudio
del fenómeno de “dripping” o “goteo”, este sistema permite una automatización y tratamiento de los datos
muy simple que permite considerar un gran número de muestras y con ello disminuir errores de
procedimiento. Esto facilita fuertemente el estudio de la interdependencia de las distintas variables y
particularmente de la influencia de parámetros vinculados al circuito hidráulico.
Así, el sistema desarrollado nos permitió establecer fehacientemente la potencia consumida en la
generación de superficie de las gotas. Este fenómeno actúa de manera análoga a una pérdida de carga
localizada en el circuito hidráulico y el valor de esta pérdida resulta en todos los casos lineal con el
caudal. Es función de una constante que en un principio depende del tipo de capilar utilizado y de las
propiedades físicas del fluido en cuestión. Por lo que este resultado es de interés en las distintas áreas de
la ingeniería donde los procesos de goteo se encuentran presentes (desalinizadores, destiladores, etc.).
A los efectos de dar una mayor generalidad a nuestros resultados, consideramos que desde el
punto de vista experimental trabajos futuros podrían orientarse a determinar la influencia de parámetros
físicos en el fenómeno considerado y del tipo de capilar en la pérdida de carga localizada existente en el
fenómeno de “goteo”. Algunas variantes serían el agregado de surfactantes al agua para modificar su
tensión superficial, la consideración de otros líquidos y capilares de distintos espesores de pared y de
diámetros diferentes.
148