Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi ...rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/4056/1/Silva-Reus-Jose-Angel.pdf · tados de estática comparativa reflejan el buen portamiento

Existencia de soluciones semipositivas para sistemas lineales y no lineales vinculados a Modelos de Leontief. José Ángel Silva Reus

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1984

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UNIVERSIDAD DE ALICANTE

F A C U L T A D

D E

C I E N C I A S

EXISTENCIA DE SOLUCIONES SEMIPOSITIVAS

PARA SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES

VINCULADOS A MODELOS DE LEONTIEF

Memoria presentada por

JOSE ANGEL SILVA REUS

para optar al grado de

Doctor en Ciencias

Sección de Matemáticas

p



CARMEN HERRERO BLANCO, PROFESORA TITU-

LAR DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EM-

PRESARIALES DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE,

CERTIFICA : Que la presente Memoria : "EXISTENCIA DE

SOLUCIONES SEMIPOSITIVAS PARA SISTEMAS

de Estadística y Econometría de la Facul-

tad de Ciencias Económicas y Empresaria-

les de la Universidad de Alicante, por el

Licenciado en Ciencias Matemáticas, D .

.

José Angel Silva Reus, y constituye su

Tesis para optar al Grado de Doctor en

Ciencias, Sección de Matemáticas .

Y para que conste, en cumpli-

miento de la legislación vigente, presento

ante la Facultad de Ciencias de la Univer

sidad de Alicante la -referida Tesis Docto-

ral, firmando el presente certificado en

Alicante, a quince de Noviembre de mil no

vecientos ochenta y cuatro .

LINEALES Y NO LINEALES VINCULADOS A

MODELOS DE LEONTIEF", ha sido realiza-

da bajo. su dirección en el Departamento



Quiero hacer constar mi más sincero agra-

decimiento a la profesora Carmen Herrero, no sólo por

haber dirigido esta Memoria, sino también por todo el

entusiasmo que pone en su dedicación a la Universi-

dad, siendo un ejemplo constante para todos nosotros .

Así, mismo, agradezco a Josep Peris su

constante apoyo y sugerencias y, en general, a todos

mis compañeros de los Departamentos de Matemáticas,

Teoría Económica y Estructura, por el aliento conti-

nuo que me han proporcionado .

Finalmente, destacar mi agradecimiento a

Antonio Villar por sus valiosas aportaciones y suge-

rencias, sobre todo en el capitulo IV (Referencias Eco

nómicas) .

No obstante lo anterior, la responsabilidad

de los errores que puedan encontrarse en el texto me

corresponden exclusivamente .

Alicante, a quince de Noviembre de mil

novecientos ochenta y cuatro .



I N D I C E

11 .5 Unicidad y positividad de las solucio

Pag .

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CAPITULO I . UN MODELO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . 14

I .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 .2 Sistema (S) . Resultados convencionales

acerca de su resolubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a

la resolubilidad de (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


nes de (S) . Estática comparativa . . . . . . . . 31

CAPITULO II . UN MODELO DIFERENCIABLE . . . . . 36

11 .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 .2 El sistema (S') . Primeros resultados

sobre resolubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

I1 .3~ Nuevas condiciones de resolubilidad

para el sistema (S') . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11 .4 Una nueva propiedad que se vincula

a la resolubilidad de (S') : la produc

tivida d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



II . Extensión del teorema de Perron-Frobe

nius a operadores continuos homogéneos

11

Pag .

nes . Estática comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CAPITULO III . UN MODELO CONTINUO . . . . . . . . . . 72

III .l Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

111 .2 El sistema (S'') . Primeros resultados

de resolubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

111 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a

la resolubilidad de (S'') . . . . . . . . . . . . . . . 81

111 .4 La condición (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

111 .5 Productividad de los operadores y

su relación con la resolubilidad . . . . . . . . 97


nes . Estática comparativa . . . . . . . . . . . . . . . 102

CAPITULO IV . REFERENCIAS ECONOMICAS . . . . . . 105

IV .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

IV .2 El marco económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

IV .3 Los modelos económicos implícitos . . . . . . . . 115

IV .4 Significado de los resultados . . . . . . . . . . . . 126

AP ENDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

I . Introducción . Los teoremas de Perron-

Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138



Pag.

de grado 1 . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

III . Extensión al caso de operadores conti

nuos subhomogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

IV . Un resultado para operadores conti-

nuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . .

150



Concedamos que los modelossean inevitables, ¿por qué pretenderque representan la realidad?

M .Bunge (Teoría y realidad, 1975)



I N T R 0 D U C C ION



Una de las formas habituales de modelizar

relaciones múltiples, en el campo de la Economía Ma-

temática, consiste en el empleo de sistemas de ecua-

ciones simultáneas . Desde este punto de vista hay dos

cuestiones que, tradicionalmente, han constituido el

núcleo de la discusión : por una parte, la existencia,

unicidad y no negatividad de las soluciones de tales

sistemas (en los que las variables suelen ser precios

o cantidades) ; por "otra, la comparación de solucio-

nes asociadas a sistemas alternativos (o bien, a sis-

temas en los cuales se producen alteraciones en los

parámetros) . A la primera de estas cuestiones aludi-

remos, en general, con el término "resolubilídad", en-

tendido como existencia de solución no negativa (la

no negatividad es un requisito derivado del signifi-

cado económico de las variables) ; el segundo problema

suele inscribirse bajo el rótulo de "estática compara-

tiva", o bien, "análisis de sensibilidad" .

En el análisis de los modelos tipo Leon-

tief, tanto lineales como no lineales, estas cuestiones

se vienen discutiendo desde! los años cincuenta (estan

do asociadas a los nombres de autores como Metzler,

Morishima, etc.) . Recientemente, se han obtenido al-



gunos resultados relevantes a este respecto en relación

con las propiedades de las M-matrices y de ciertas

funciones que dejan invariantes conos en espacios eu-

clídeos . En este sentido, merece la, pena citar los tra-

bajos de SIERKSMA (1979) ; ELSN ER, JOHNSON & NEUMANN

(1982) ; ELSNER & SUN (1982) ; FUJIMOTO, HERRERO &

VILLAR (1984a), para el caso lineal y SANDBERG(1973)

LAHIRI

(1976) ;

LAHIRI

&

PYATT

(1980) ;

FUJIMOTO

(1979)(1980) ;

CHANDER

(1983) ;

FUJIMOTO,

HERRERO

&

VILLAR (1984b, c), para el caso no lineal .

Desde esta perspectiva surge de una for-

ma natural la discusión de condiciones generales de

resolubilidad y propiedades comunes de estática com

parativa para los diversos sistemas matemáticos que

soportan los modelos económicos mencionados . Tal es

el objeto de este trabajo . Para ello, tomaremos como

referencia un sistema de ecuaciones lineales cuya ma-

triz de coeficientes es una N-matriz (que se corres-

ponde con el modelo inicial de Leontief) ; para este

tipo de sistemas existe una colección bien definida

de condiciones equivalentes de resolubilidad (véase

WOODS

(1978) ;

TAKAYAMA

(1974),

HERRERO

(1984)

y

HERRERO, SILVA & VILLAR (1984», al tiempo que pre-



senta un comportamiento muy regular con respecto a

las alteraciones en los parámetros . Siguiendo este

planteamiento, el objeto de la investigación, consiste

en la extensión de los resultados del modelo lineal

a otros más generales (que se corresponden con las

modelizaciones no lineales más conocida del modelo

de Leontief), preservando la regularidad del compor-

tamiento del sistema lineal .

El hilo conductor de esta memoria viene

dado por el intento de rea.lizar un análisis unificado

del problema de la resolubilidad y la estática compa

rativa en tres tipos de sistemas, un sistema lineal

y dos generalizaciones del mismo de naturaleza dife-

rente (que denominaremos modelos diferenciable y con-

tínuo, respectivamente) . Ello nos lleva a articular

los capítulos destinados al estudio de estos modelos

mediante un esquema común, que recoge los siguien-

tes elementos :

- Planteamiento del sistema .

- Referencia al modelo económico de base .

- Referencia a los resultados conocidos sobre resolu-

bilidad .



- Nuevas condiciones de resolubilidad y equivalencia

entre ellas .

- Discusión de la unicidad y positividad de las solu-

ciones .

- Estática comparativa .

sistema

El capítulo I se dedica a la discusión del

Bx = c

(S)

c E R+ ; dicho sistema se

con el modelo lineal de cantidades

de precios de producción de

de condiciones equivalentes

donde B es una N-matriz y

corresponde, tanto

de Leontief, como con el

Sraffa . Al amplio

(frecuentes en la

tivas) que garantizan la

se añade una nueva, la

que resulta ser también

la resolubilidad . Parte

condiciones equivalentes

gue, en la pauta que va

solubilidad de sistemas

los capítulos II y III .

servir de guía, se cierra el capítulo

ción de los resultados convencionales

grupo

literatura sobre matrices semiposi-

resolubilidad del sistema (S)

no inversión de signo (NIS),

necesaria y suficiente para

de este grupo ampliado de

se constituye, en lo que si-

a dirigir el análisis de re--

más generales, efectuado en

Con este mismo propósito de

con una exposi-

en torno a las



propiedades de estática comparativa .

Merece la pena destacar dos aspectos im-

portantes del tratamiento efectuado para

lineal . Por una parte,

la disponibilidad de un

nativas equivalentes de

utilizado como lista de

tados de estática comparativa reflejan el buen

portamiento (entendido como regularidad) de este tipo

de sistemas . En las generalizaciones de este modelo

que se presentan en los capítulos 11 y 111, no sólo

se consigue ofrecer un conjunto de condiciones equi-

valentes igualmente operativo, sino que se preserva

la regularidad del caso lineal .

El capítulo 11 (denominado genéricamente

"un modelo diferenciable") analiza el sistema

x

-

q(x)

=

c

;f (x)

=

c

(S')n

donde

c

e

R+,

q,(x)

=

jE1

qij (xj ),

con

qij

e

C1 ;

qij (0)

=

0

y

qij (0)

> qij (xj )

> 0

Y- xj e R+ .

El

sistema

(S') está asociado a la generalización realizada por

SANDBERG (1973) del modelo de Leontief .

el sistema

presenta un interés notable

conjunto de condiciones alter-

resolubilidad, que pueda ser

chequeo . Por otra, los resul-

com-



Por su parte, el capítulo 111 (denominado

"un modelo continuo") se dedica al análisis del siste-

ma '

x

-

q(x)

=

c

f(x)

=

c

(SI

)

donde c e R+ y q es un operador semipositivo, conti

nuo,

monótono

y

subhomogéneo .

El

sistema

(S" )

se

corresponde con la generalización de LAHIRI (1976) y

LAHIRI & PYATT (1980) .

Del amplio grupo de condiciones equivalen-

tes que garantizan la resolubilidad del sistema lineal

una de ellas, la condición (P)*, se extiende al sis

tema (S') , pero carece de sentido en el sistema (S' ' ) .

Para el sistema diferenciable, la condición (P) se

transcribe en la forma "J f (0) es una P-matriz", y la

equivalencia entre esta condición y el que (S') posea

solución semipositiva para todo c e Rn , ya aparece en

el trabajo inicial de Sandberg .

Por otra parte, la equivalencia entre las

condiciones

(FR)

El sistema posee solución x > 0 V- c > 0 (reso-

*

(S)

verifica .(P)

cuando

la matriz de coeficientes,

Bes una P-matriz .



lubilidad fuerte) .

(DR)

El sistema posee solución x > 0 para un cierto

c > 0 (resolubilidad débil) .

(NIS)

f no invierte el signo de los elementos de R+ .

(C)

l~

x > 0

1

lim

qn(x )

=

0

(q

es

convergente) .

se constituye en el elemento central de análisis de

los capítulos II y 111 . Es interesante destacar que

las pruebas ofrecidas de las equivalencias entre es-

tas condiciones son completamente distintas en cada

uno de los sistemas estudiados, dándose la circuns-

tancia de que los elementos que diferencian las dos

extensiones del sistema lineal constituyen la clave de

las pruebas en cada caso . Así, la prueba de la equi-

valencia entre estas condiciones gira en torno a la

condición (P), para el sistema diferenciable, mientras

que la subhomogeneidad de q, junto con el procedi-

miento de inducción, son los elementos cruciales de

las pruebas para el caso continuo .

Por su parte, la condición (Pr) presenta

otras peculiaridades . En el caso lineal (S) verifica

(Pr) cuando

X*(A) < 1, siendo

X*(A) la raíz de Frobe

nius de la matriz semipositiva A. La extensión de la



condición (Pr) a los sistemas contínuo y diferenciable,

resulta ser, en ambos modelos, de naturaleza análoga .

La generalización de la condición (Pr), por una par-

te, obliga a la búsqueda, para operadores semipositi-

vos, de "autovalores" que amplíen el concepto de raíz

de Frobenius para el caso no lineal, y que sean ma-

nejables, tanto para el sistema (S') como para el sis-

tema (S'') .

Las generalizaciones conocidas de los teo-

remas de Perron-Frobenius permiten, en principio, una

extensión de la propiedad (Pr) a operadores subhomo-

con el caso analizado

resultan aplicables al operador

q del sistema diferenciable . Además, existe

cultad con la extensión conocida del teorema de Pe-

operadores subhomogeneos : la

seguro que cumpla la pro-

resulta clave en el análisis de resolubi-

en módulo a cualquier otra raíz .

con la obtención

nuevo (que puede considerarse también una extensión

géneos* (que se

en (S''», pero no

corresponderían

rron-Frobenius para

raíz allí encontrada no es

piedad que

lidad : acotar

dificultad se obvia

Véase teorema A-2, Apéndice . FUJIMOTO (1979) .

una difi-

Esta

de un teorema



del de Perron-Frobenius, para operadores semipositi-

vos que únicamente se anulen en el origen y que pue-

de ser empleado simultáneamente para el análisis de

resolubilidad del sistema (S') y del (S''), sin reque-

rir el supuesto de subhomogeneid,ad . Este teorema,

junto con una recopilación de los resultados conocidos

sobre Perron-Frobenius y extensiones, se ofrece en el

Apéndice .

Hasta el momento, la única cualificación

que hemos asociado a la noción de resolubilidad es

la de la existencia de solución no negativa . No obs

tante, hay dos propiedades adicionales (en parte in-

terrelacionadas) que son discutidas también para los

diversos sistemas : la unicidad de las soluciones y la

estricta positividad de las mismas . Esta segunda

cuestión queda asegurada siempre que el término in-

dependiente sea estrictamente positivo, o bien, siendo

c > 0, cuando el sistema es indescomponible . Mayor in-

terés tiene el tema de la unicidad de la solución .

Tanto para el sistema lineal como para el diferencia-

ble, la existencia y unicidad de solución semipositiva

se aseguran conjuntamente ; no es éste el caso del sis-

tema continuo, en el cual sólo se puede asegurar la

-10-



unicidad de la solución si c > 0, o bien, si el sistema

es indescomponible .

El interés que tiene garantizar la unicidad

de las soluciones se deriva de resultar un requisito

indispensable para proceder a la discusión de la es

tática comparativa . En efecto, sólo si para cada con-

junto de parámetros podemos asegurar que existe una

solución única, podemos pasar a comparar esta solu-

ción con la asociada a un conjunto de parámetros di-

ferentes .

A este respecto, señalemos que la regula-

ridad de comportamiento que presenta el sistema li-

neal, se conserva para el sistema continuo, sin más

que garantizar la positividad estricta de la solución .

No ocurre lo mismo con el modelo diferenciable, en

el que, dada la posibilidad de comportamientos errá-

ticos en los coeficientes del sistema*, es preciso in-

troducir una condición de r , ;)notonía sobre q para po-

der mantener el resultado del caso lineal .

Véase sección 11 . 4



E i

último

capítulo

de

esta

memoria

posee

un carácter marcadamente diferente de los tres ante-

riores . En él no se incorporan nuevos resultados, sino

que se procede a discutir los modelos económicos que

han servido de base, tanto en relación con los resul-

tados obtenidos, como con el conjunto de supuestos

que los sustentan .

Terminemos esta introducción con dos bre-

ves observaciones . En primer lugar, señalemos que

únicamente se ha procedido a incluir las pruebas de

aquellos lemas, proposiciones y teoremas originales,

limitándonos a enunciar y referencias aquellos resul-

tados previamente establecidos que se emplean .

Finalmente, por lo que respecta a la sim-

bologia empleada, toda ella es standard, y tan sólo

vale la pena precisar que, en relación con la compa

ración de vectores, se ha empleado la siguiente con-

vención :

x > y

para

x,y e Rn,

significa xi >y, Y i ;

- 1 2-



x > y significa x > y pero x ~ y ; x > y significa

xi > yi para todo i .

Análoga interpretación tienen los mismos

símbolos en relación con la comparación de matrices .



I .1 Introducción .

C A P I T U L 0

I

U N

M 0 D E L 0

L I N E A L

I .2 Sistema (S) . Resultados convencionales acerca de suresolubilidad .

1 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a la resolubili-dad de (S) .

1 .4 Unicidad y positividad de las soluciones de (S) . Es-tática comparativa .

- 14-



1 .1 INTRODUCCION

El tratamiento de modelos económicos desagre-

gados, se halla vinculado originalmente a su formulación

en términos lineales . Recordemos, por ejemplo,las especi

ficaciones de WALRAS (1874) y CASSEL (1923) de equilibrio

general, el tratamiento de tales modelos en términos de

programación lineal de KUHN (1956) y DORFMAN, SAMUELSON

y SOLOW (1958) o los modelos de análisis de actividades

de KOOPMANS ( 1957) .

Un grupo específico de modelos lineales son los

que se suelen asociar a los nombres de LEONTIEF (1941),

VON-NEUMANN - (1945)

y

SRAFFA

(1960) .

Estos modelos

se

caracterizan por el enfoque reproductivo de la producción

y el intercambio, por el tratamiento explícito de los pro-

blemas de la distribución y acumulación, y por considerar

una conceptualización de la competencia que comporta la

igualación de los tipos de beneficios sectoriales .

El sistema abierto de Leontief, junto con el de

precios de producción de Sraffa, proporciona una modeli-

zación simple y manejable de una economía cerrada y sin

sector público, que produce mercancías por medio de mer-

cancías y trabajo homogéneo (Véase en el Cap . IV más de-

talles acerca de las hipótesis empleadas, etc . ) .

_ 15_



Supuesto que prevalecen rendimientos constan-

tes a escala, las posibilidades de producción de nuestra

economía quedan especificadas mediante urca matriz semi-

positiva, A (matriz input-output, donde ai] es la cantidad

de mercancía i-ésima requerida para producir una unidad

de

mercancía j-ésima) y por un vector a > 0 (cuya j-ésima

componente, a,J

designa la cantidad de trabajo por unidad

de j) .

Si x representa el vector de outputs brutos totales

(x1 es el output bruto de la mercancía j-ésima), la dife-

rencia x-Ax reflejará las producciones netas de cada sec-

tor . Designemos por d al vector de demandas finales ; en

estas condiciones el equilibrio en el sistema de cantidades

vendrá dado por

Por otra parte, siendo w la tasa de salario

y r la tasa de beneficio uniforme, un vector p > 0 cons-

tituirá la solución de equilibrio del sistema de precios,

cuando

p = (1 + r) (pA + wa)

(2)

Si se pueden predecir la demanda final d y

el valor de las variables distributivas (w, r), se plantea

el problema, para el sistema (1) , de determinar los ni

veles de output (x) de equilibrio , y para el sistema (2)

determinar el vector de precios de equilibrio ; por otra

-16-



parte, tanto la solución de (1) como la de (2), han

de tener significado económico, lo que supone reque-

rir su semipositividad .

donde

i) B es una N-matriz

ii) c > 0 .

Características comunes a los sistemas (1)

y (2) son las siguientes :

i )

Tienen el mismo n-°

de

ecuaciones que de incóg-

nitas .

ii) La matriz de coeficientes del sistema es una

N-matriz (los términos fuera de la diagonal

principal son no positivos) .

iii)

Los vectores de términos independientes son se-

mipositivos .

De este modo, si consideramos el sistema

los sistemas (1) y (2) son casos particulares de (S) :

para el sistema (1) se tiene que B = (1 - A), donde

A > 0, mientras que para el sistema (2) B=(1-(l+r)A' )

(1 + r) A' > 0, por lo cual, una manera alterna-

_1 7_



tiva de escribir el sistema (S) será

,(1 - A) x = c

con

i) A > 0

ii) c > 0

Este capítulo se dedica a realizar un aná-

lisis de condiciones bajo las cuales se puede asegurar

la resolubilidad (entendida como existencia de solución

x > 0) para sistemas de la forma (S) .

El análisis de condiciones que garantizan

la resolubilidad de un sistema de este tipo, está vin-

culado a diversos tópicos de la teoría de matrices se

mipositivas . En la sección 1 .2 se recopilan aquellas

condiciones frecuentes en la literatura, vinculadas

a este problema . En la sección 1 .3 se introduce una

condición inédita (la no inversión de signo para los

elementos de Rn por parte de la N-matriz B), que re-

sulta ser también . _necesaria y suficiente para la reso-

lubilidad de (S) .

El amplio grupo de condiciones equivalen-

tes encontradas sobre el sistema (S), que se resumen

en el teorema 1 .3 sirve de pauta para dirigir el aná-

-18-



lisis sobre resolubilidad de sistemas más generales,

realizado en los capítulos 11 y 111 .

Cierra el capítulo la sección 1 .4, en la

que se recogen algunos resultados referentes a positi-

vidad estricta y unicidad de las soluciones, así como

un teorema de estática comparativa del cual se obtie-

nen como casos particulares, los resultados habituales

en la literatura .



1 .2 SISTEMA (S) . RESULTADOS CONVENCIONALES ACER-

CA DE SU RESOLUBILIDAD

El sistema standard asociado al modelo li-

neal, presentado en I .1, es el siguiente :

Bx = c ;

[I -. A] x = c

(S)

donde se verifica :

i) B y A matrices de orden n, siendo A semipositiva

y

B

una

N-matriz

(es

decir,

bij

<

0

para

todo

i

~

j),

de

modo

que

B

=_ 1

-

;A .

ii) c E Rn ,

c > 0 .

El problema que tratamos de estudiar en

este capítulo es el análisis de resolubilidad (o exis-

tencia

de

solución

semipositiva) para

el

sistema

(S) .

En este sentido, comenzamos enunciando las dos defi-

niciones siguientes :

Definición

1 .1

Diremos

que

el

sistema ~ (S)

es "débil

mente resoluble" si, para un cierto c > 0, existe x > 0

tal que Bx = c .

-20-



Definición 1 .2

El sistema (S) se dice "fuertemente re-

soluble" si para todo c > 0 existe solución x > 0 .

La definición 1 .2 especifica lo que se en-

tiende, en este trabajo, por "resolubilidad del sistema

(S)", es decir, la existencia de solución semipositiva

para cualquier c > 0 .

En el teorema 1 .1 se presentan las condi-

ciones, más habituales en la literatura, que garanti-

zan la "resolubilidad" de un sistema lineal del tipo

(S) . Estas condiciones se agrupan en dos bloques :

en el primero se recopilan propiedades sobre la N-

matriz del sistema B, para asegurar la resolubilidad

de (S) ; un segundo grupo recoge propiedades que debe

cumplir la matriz semipositiva A, (B = I-A), con este

mismo fin .

A continuación se presenta un conjunto de

definiciones que serán utilizadas en el enunciado del

teorema 1 .1 .

Definición 1 .3 Diremos que una N-matriz, B, verifica

la condición HAWKINS-SIIvïON

(abreviadamente ( H-S» ,

* HAWKINS-SIMON (1949) .

-2 1-



sí¡ todos los menores principales superiores

de B, son positivos" .

Definición 1 .4 Se dice que una matriz cuadrada, C,

de orden n es P-matriz sí¡ todos sus menores princi-

pales son positivos .

Definición 1 .5 Diremos que

C=

(cij ) ij=

1 . . .n,

tieneJ. J.

sentido de MCKENZIE)

damente "C tiene

2, . . . .

n,

tales

que

d . 1 c . . 1

j=

1,

2, . . . ,

n .

Si

cjjdiremos que C posee d .d . positiva .

Definición 1 . 6 Se dice que una

es convergente sí¡ lim AP =

0 .p ~~

timas filas y columnasdet B > 0 .

diagonal dominante

izquierdos

una matriz cuadrada

(en .el

y lo designaremos abrevia-

d .d .", si existen.

números d .i > 0, i=1,

-22-

>

di l c . .1

para

todoiwj 1JJ Jj

> 0 para todo j= 1, 2, . . . .

n,

matriz A, semipositiva

Esto es, los menores que se obtienen suprimiendo las úl-

l bll b 12de B :b11 > 0 ;det1b

b

> 0 ; . . . ;21 22

Se entiende por menor principal de una matriz C, cual-quier menor obtenido suprimiendo en C las filas y co-lumnas que se deseen, con la única condición de que,cada vez que se ha suprimido una fila, se suprima tam-bién la columna que posee el mismo índice, y recípro-camente .

MCKENZIE (1960) . Existen otros conceptos de dominan-cia de diagonal, véase TAKAYAMA (1974, ch .4) y WOODS(1978, ch .1) .



Definición 1.7 Una matriz cuadrada A semipositiva

diremos que es productiva sí¡ su raíz de Frobenius*,

X* (A), es menor que la unidad .

Teorema 1.1 Para el sistema (S) las condiciones si-

guientes son equivalentes** :

(DR)

El sistema (S) es débilmente resoluble .

(FR)

El sistema (S) es fuertemente resoluble .

(H-S)

La matriz B verifica la condición de HAWKINS-

SIMON .

(P)

B es una P-matriz .

(I)

Existe B-1 y B-1 > 0 .(d .d .) B posee diagonal dominante positiva .

(C)

La matriz A es convergente .

(Pr)

La matriz A es productiva .

NOTA - Las condiciones (DR) y (FR) se refieren a la

resolubilidad del sistema (S) . Es interesante

destacar el hecho de que para un sistema dP

Ver apéndice, FROBENIUS(1909,1912) PERRON(1907,1929) .

La equivalencia entre (DR) (FR) (H-S) y (P) apareceen el trabajo de HAWKINS-SIMON (1949) . La condición(d .d .) y su vinculación a la resolubilidad de (S) sedebe a MCKENZIE (1960) . La condición (Pr) aparece vin-culada al resto por DEBREU & HERSTEIN (1953), y la (C)aparece en NIKAIDO (1970) . Pruebas de la equivalenciaentre todas las condiciones dadas se encuentran en TA-KAYAMA (1974) y HERRERO-SILVA-VILLAR (1984) .

-23-



la forma (S), el poseer solución semipositiva para un

cierto c > 0, implica que va a existir solución se-

mipositiva para cualquier c > 0 . El grupo [(H - S),

(P), (1), (d . d .) ] son condiciones sobre la matriz B .

Las condiciones (1) y (P) aseguran la unicidad de

solución para cada c > 0 . Por último, las condicio-

nes [ (C) y (Pr) ] son relativas a la matriz A.

La-1convergencia

de A,

obliga . a la existencia de B

=

(1 - A) -1 por ser la serie 7 An convergente* .n=0

Ver HERRERO-SILVA-VILLAR (1984), pp . 158-159 .

-24-



1 .3 "LA CONDICION (NIS) .

de no inversión de signo

una función vectorial, que

nueva condición sobre la

solubilidad de (S) .

RESOLUBILIDAD DE(S) .

-25-

SU VINCULACION A LA

La presente sección introduce el concepto

de los elementos de Rn para

será utilizado para dar una

matriz B que asegure la re-

Tras la definición de la no inversión de

signo de los elementos de Rn (Definición 1 .8),

el teorema 1 .2 que caracteriza a las P-matri-

en términos de dicha definición . Este teorema se

para demostrar (Proposición 1 .1) que la con-

enun-

ciamos

ces

utiliza

dición

(NIS) B no invierte el signo de los elementos de R+,

es necesaria y suficiente para que una N-matriz sea

P-matriz . Finaliza la sección enunciando el teorema

1 .3, en el cual se incluye la condición (NIS) con las

dadas en el teorema 1 .1, para asegurar la resolubi-

lidad de (S) .

Definición

1 .8

Sea

f:

Rn

_>

Rn .

Se

dice

que

f( x )

no

invierte el signo de los elementos de Rn cuando :

x i yi < 0

para todo i= 1, . n

=> xi= 0



siendo y = f(x) .

Definición ,1 .9 Diremos que una matriz cuadrada C

no invierte el signo de los ° elementos de Rn sí¡ la

aplicación lineal asociada no los invierte .

Teorema 1.2* Una matriz A de orden n, es P-matriz

sí¡ A no invierte el signo de los elementos de Rn .

Proposición 1 .1 Sea B una N-matriz . B es una P-

matriz sí¡ B no invierte el signo de los elementos de

R+

(es

decir

xiyi < 0

-

xi? 0

para

todo

i=

1, 2, . . . . n

=> x1= 0,

siendo y = Bx) .

Demostración .

Necesidad . Inmediata por teorema 1 .2 .

Suficiencia . Veremos que si una N-matriz, B, no in-

vierte el signo de los elementos de R+, entonces B no

invierte el signo de los elementos de Rn , con lo cual,

por el teorema 1 .2, B es una P-matriz .

Por ser B una N-matriz, se puede expresar

en la forma

* GALE-NIKAIDO (1965) .

-26-



a) x <0

b) x E RnUR+.

bl

-a12

-a1nB

--a21

b2

.

.-a 2n

-an1

siendo aij ? 0 para i~j .

y

-an2

-27-

bn

Sea

{ el , . . . en}

la base canónica de Rn.

Como el E R+ para

todo

i =

1,2, . . . . n y,

por otra

parte

Be . = B11

la no inversión de signo para los elementos de R+ por

la matriz B, obliga a que bi > 0 para todo i=1,2, . . ,n .

Por tanto, la diagonal principal de la N-matriz B es

estrictamente positiva .

Razonando por reducción al absurdo, su-

pongamos que B invierte el signo de algún x E Rn ,

x ~ R+ . Dividimos el análisis en los dos casos posi-

bles .

b) x E RnURn

a) Si x < 0, se obtiene trivialmente que :

(- xi ) [B(-x) ] i

<

0

para

todo

i=1,2, . . . . n .

Con

lo cual se llega a una contradición, pues B invier

te el signo de -x > 0 en contra de la hipótesis .



Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que :

xi > 0

para ¡E: K= {1,2, . . ., K }

xi

< 0

para i

E S={ K+1, . . . , K }

se verifica que :

Sea y = Bx ; si B invierte el signo de x,

x iyi < 0 para todo i = 1, 2, . . ., n .

Por lo que y i < 0

para todo i E K, es decir :

b .x . -a . .x . -

.-~ a . .x .

< 0

para todo i E K .1

1

j E K ~{i 1

13

3

3 E S

13

3

Como xj < 0

para i E S, se tiene que

luego

ya que

É'S a . . x . > 0

b . x . -a. . x . < 0 para todo ¡E: K

[311

1

j E 7--{ i} 1 3

3 -

Si consideramos el vector xt donde xt

1

xi = 0

Y- i E S . Se obtiene que

z = Bx t < 0

z.=b .x . -

_

a. . x .

< 0 para i E K por [3 ]1 1 1 j E K-{¡} 13 3

z .

a. . x . < 0 para i E S1

1 3

3 -

-28-

y



Con lo cual, B invierte el signo de xf e R+, xt0,

en contra de la hipótesis .

En consecuencia, B no invierte el signo

de los elementos de Rn y aplicando el teorema 1 .2,

se obtiene que B es una P-matriz .

El resultado obtenido en la proposición 1 .1

motiva la siguiente definición

Definición

1 .10

Sea f:

Rn .

Rn.

Diremos que f(x)

ve-

rifica la propiedad (NIS) sí¡ f no invierte el signo

de los elementos de R+, es decir :

xlf1(x)

<

0

^

xi>

0

para

todo

i=1,2, . . .n,

=> xi=0

La proposición 1 .1 afirma que la condición

(NIS) B no invierte el signo de los elementos de R+,

es equivalente (cuando B es una N-matriz) a la con

dición (P) del teorema 1 .1 y por ello, a cualquiera

de las condiciones listadas en el mismo . Ello permi-

te enunciar el teorema siguiente :

-29-

C .0 .D .



Teorema 1 .3 Para el sistema (S) las condiciones si-

guientes son equivalentes

(DR) El sistema (S) es débilmente resoluble .

(FR) El sistema (S) es fuertemente resoluble .

(H-S) La N-matriz B verifica la condición (H-S) .

(d .d .) B posee diagonal dominante positiva .

(P) B es una P-matriz .

(I) Existe B-1 y B-1 es semipositiva .

(NIS) B no invierte el signo de los elementos de R+ .

(C) La matriz A es convergente .

(Pr) A es productiva .



1 .4 UNICIDAD Y POSITIVIDAD DE LAS SOLUCIONES DE

(S) . ESTATICA COMPARATIVA

Como ya fue observado en la nota que si-

gue al enunciado del teorema 1 .1, la verificación por

parte del sistema (S) de cualquiera de las condicio

nes equivalentes allí listadas (y asimismo, de la con-

dición (NIS),' vinculada al grupo en el teorema 1 .3),

garantiza,

no sólo la existencia de

solución x >0 pa-

ra

cada

c >0,

sino

la

unicidad

de

tal

solución .

En

efecto, la condición (I) supone la existencia de la

inversa de B, B-1 , por lo que, cuando se verifica

cualquiera de las condiciones equivalentes, ;S) resul-

ta ser un sistema de Cramer, que posee solución (se-

mipositiva siempre que c sea semipositivo) única .

Otra cuestión de interés es el analizar ba-

jo qué condiciones podemos asegurar que la solución

semipositiva x del sistema (S) es estrictamente positi-

va .

En primer lugar, es evidente que cuando c > 0,

al darse la igualdad x = Ax + c > c > 0, podemos

concluir que la solución asociada a un tal c, x > 0 .

En general, sin embargo, no puede concluirse que

V c > 0 la solución asociada x sea x > 0 . No obs-

tante, cuando la matriz A (o lo que es equivalente,

_31_



la matriz B)

es

indescomponible* , '"'" '" ,

puede asegurar-

se la posibilidad estricta de la solución x asociada

a cada c > 0 . Lo anterior es un resultado inmediato

de la propiedad recogida en la proposición siguiente :

Proposición 1 .2 Si para el sistema (S), débilmente

resoluble, la matriz B es indescomponible, entonces

existe B-1 y se tiene que B-1 > 0*** .

El problema a que se dedica el resto de

esta sección se refiere a la posibilidad de establecer

comparaciones entre las soluciones de dos sistemas al

ternativos del tipo (S) parcialmente coincidentes (es

decir, cuando tales sistemas tienen en común algunos

de los parámetros recogidos, bien en la matriz del

sistema, bien en el vector de términos independientes,

i .e, si no es posible encontrar una matriz de- permuta~A A

ción

, tal que Tr -l A T=i

101

A12 , donde All, A12 son

matrices cuadradas .

22

En algunos textos se utiliza el término"irreducible" .Véase GANTMACHER (1959) o BERMAN & PLEMMONS (1979) .

Una prueba de la proposición 1 .2 puede verse en HERR_ER0, SILVA & VILLAR (1984) .

-32-



(S) :

de tal forma que BT

o ambos) . Presentamos un teorema del cual se obtie-

nen como corolarios los resultados más frecuentes en

la literatura sobre estática comparativa .

Antes de presentar el teorema, especifica-

mos algunas notaciones que serán empleadas en él :

consideramos

el

conjunto

de

índices { 1, 2, . . . . n }

divi

dido

en

dos

partes,

S

=

{ 1,2, . . . . s }

y

T

=

{ s+l, . . , n } .

Designamos por B S a la

sxn

matriz formada por las

s

primeras

filas

de

B,

BT

a

la

(n-s) xn

matriz,

for

mada

por

las

restantes

filas

de

B ;

cS es

el

s-vector

formado por las s primeros componentes de c, cT el

(n-s)-vector formado por las restantes componentes ;

xT , xS se interpretan

de manera análoga .

Consideramos entonces dos

B'x = c' ;

[I - A' Ix = cl

Bt x = c t ;

[I - At ] x = ct

= BT y cT = cT (esto es,

trices de ambos sistemas coinciden en

mas filas, y los vectores de

coinciden en sus (n-s) últimas

mente, AT = A,tr también . En el

-33-

sistemas tipo

las ma-

sus (n-s) últi-

términos independientes

componentes . Obvia-

teorema que sigue se



plantea una condición suficiente para poder asegurar

que

la

solución

x°

del

sistema

[ 4 ] y

la

solución

xt

del sistema

[SI

, son tales que x° > x . Además, en

el caso en que ambas sean positivas, se localiza la

variación relativa mayor entre las coordenadas corres-

pondientes a los parámetros en que ambos sistemas

se diferencian (esto es, en S) :

Teorema 1 .4 *

Sean [ 4 ] y [ 5 ] dos sistemas resolubles

tipo (S), tales que BT = B Tt� cT = cZt, . Sean x°, xt ,

las soluciones de [4 ] y [ 5 ], respectivamente, y supon

gamos que

BS x° >c S.En estas condiciones

i)

x°

> x't

(dándose

además xS

> xS)

ii)

Si x t >O, se verifica además

x° x°

Del teorema 1 .4 se obtiene una serie de corolarios de

interés** .

Este teorema fue presentado por FUJIMOTO, HERRERO &VILLAR(1984a) y generaliza varios resultados anterio-res de estática comparativa para sistemas de estas características . Véase MORISHIMA (1964,ch .4) y METZLER(1951) .

Respecto a las interpretaciones económicas de estoscorolarios,confróntese el capítulo IV de esta memoria .

-34-



Corolario

1*

Si S =

{ 1 }y se verifica

Bl x o > cl,a

a

entonces x° > x

y además

Corolario 2

Si

T

= 0 y

se verifica B tx° > c t => x° > xt

Obsérvese que el corolario 2 establece un criterio su-

ficiente para poder comparar las soluciones de dos

sistemas completamente diferentes .

Corolario 3**

Sean

B =

Bt .

Si c, > C S,

entonces

i)

x°

>

xt

(siendo

x S >

x~)

x . x .ii)

max

i

>

x3

Y j E Ti E S

x .

x .1

3

NOTA - A partir del teorema 4 .1 pueden obtenerse

algunas propiedades interesantes de las M-matrices .

Confróntese, en este sentido, el trabajo de FUJIMOTO,

HERRERO & VILLAR (1984a) .

Resultado obtenido por HERRERO, JIMENEZ-RANEDA & VI-LLAR (1980) .

La relación del corolario 3 con las clásicas leyes deHICKS (Véase MORISHIMA (1964),ch .1) es clara . Confrón-tese cap . IV .

-35-



C A P I T U L 0

1 I

U N

M O D E L O

D I F E R E N C I A B L E

II .1 Introducción .

11 .2 El sistema (S') . Primeros resultados sobre resolu-bilidad .

11 .3 Nuevas condiciones de resolubilidad para el siste-ma (S') .

11 .4 Una nueva propiedad que se vincula a la resolubili-dad de (S') : la productividad .

11 .5 Unicidad y positividad de las soluciones . Estáticacomparativa .

-3 6-



11 .1 INTRODUCCION

La modelización en términos lineales de

las relaciones de producción e intercambio de una

economía no resultan plenamente satisfactorias en la

mayor parte de los casos* ; no obstante, las ventajas

del análisis lineal (simplicidad, potencia de los re-

sultados, etc.) hacen de esta aproximación un punto

de partida de considerable interés . El paso siguiente

consiste, como es obvio, en la eliminación de la, hi-

pótesis de linealidad y en la modelización de sistemas

más generales que, a ser posible, conserven las bue-

nas propiedades del caso lineal, pero permitan el

análisis de casos no contemplados en aquél .

El presente capítulo de esta

como el capítulo 111,

de el punto de vista

mas correspondientes,

ralización distinta del modelo

a extender a dichos sistemas

solubilidad y estática comparativa, analizados en el

-37-

memoria, así

están dedicados a analizar (des

matemático), dos tipos de siste-

cada uno de ellos, a una gene-

económico de Leontief, y

los resultados sobre re-

Véase capítulo IV, sección IV .2, comentarios acercade rendimientos variables .



capítulo 1, para el sistema lineal (S) .

El sistema objeto de estudio en este capi-

tulo está inspirado en la generalización del modelo

de Leontief, presentada por SANDBERG (1973), cuyas

características fundamentales se resumen en los si-

guientes puntos :

n

a)

La

aplicación

lineal . A (x)

=

(2:aijx j )

del

modelo

de Leontief*, se reemplaza por una funciónn

q (x)

(~qij (xj)) i=l , . . . . n

' donde

gij (xj )

representa

la cantidad de mercancía i-ésima necesaria para

producir xj unidades de mercancía j-ésima .

b) El comportamiento de la función q queda determi-

nado por las hipótesis que se realizan sobre las

funcionesqij,

i, j=1, . . . , n . Se suponen las qii con-

tinuamente diferenciables .

c) El sistema asociado a este modelo se puede' aproxi-

mar, en cada punto, por un sistema lineal del ti-

Donde a . son los coeficientes de la matriz input-out-put de ~~ economía .

-38-



po (S) .

En la sección 11 .2 presentamos el sistema

standard (S') asociado al modelo de Sandberg, así

como el primer resultado sobre resolubilidad del sis

tema

(S' ),

que aparece en el trabajo inicial de 1973 .

En la sección 11 .3 se obtiene un extenso

grupo de condiciones, equivalentes a las dadas en

la sección 11 .2, inspiradas en las obtenidas para el

modelo lineal .

En el punto 11 .4 se generaliza el concepto

de productividad de un operador lineal, a cualquier

operador continuo semipositivo que únicamente se anu-

la en cero . Incluyendo esta propiedad entre las que

ha de verificar el operador q, se obtiene que la pro-

ductividad es una condición necesaria para que el

sistema (S') sea resoluble, siendo suficiente en el ca-

so

de que la matriz jacobiana de q en el origen,

sea

una matriz indescomponible .

La sección 11 .5 analiza la unicidad y po-

sitividad estricta de las soluciones del sistema (S') .

-39-



Finalmente, se obtiene una extensión de los resultados

de estática comparativa estudiados para el caso li-

neal en la sección 1 .4 .



11 .2 EL SISTEMA (S') . PRIMEROS RESULTADOS SOBRE

x

-q (x)

=

c

;f (x)

=

c

(SI)

(siendo f(x)

= x - q (x)) ,y

donde

se

verifica

cumpliéndose, para todo

supuestos

RESOLUBI? IPAD

El sistema standard asociado al modelo no

lineal de Sandberg, es del siguiente tipo :

(S .1)

qij (0)

= 0

i,j=l, . . .,n,

(S .2) qij (xj ) es continuamente diferenciable

(S .3)

qij(0)

>qij (xj ) > 0

para

todo xj e R +

los siguientes

NOTA .- El supuesto (S .3) indica el carácter créciente,

para

los

xj e R+ de las

funciones

qij (xj ) ;

por su par-

te,

al

ser

qij (0)

=

0,

(supuesto

(S.1)) ,

se

tiene

que

qij (xj ) > 0 para todo xj £ R + ,

esto es

qij

(y consecuen

temente q) son semipositivos . Por otra parte, los su-



puestos (S .1), (S .2), (S .3) implican que, si para al-

gún

xj>0,

se

tiene

que

qij (xj )=0,

entonces

qij (xj)=0

para todo x~ E R+ (evidentemente, gij (x~)=0

para todo

0

< xj

<x3 .

Por

ser,

por

otra

parte,

gij (0)

=

0,

en

este caso, se obtiene la anulación deqi.j

en todo

x~ E R+ ) .

Observemos,

finalmente,

que el sistema

(S)

analizado en ~el capítulo 1 es un caso particular de

(S'),

en

el

cual

qij (xj )

es

lineal,

qij (xj )=a ijx j ,

don

de aij son los coeficientes de la matriz semipositiva

A[B=I-A ].

El teorema siguiente (SANDBERG (1973»,

afirma la equivalencia entre la resolubilidad fuerte

del

sistema

(S' )

y el que la jacobiana

de

f

en el

origen, J f (0),_ sea una P-matriz :

Teorema 2.1 Para el sistema (5') se verifica que :

a)

Para todo c >0 existe un

único x > 0 ,tal que f(x)=c

b)

fl (c)=Mc

+

6(c),

de

modo

que

lim

116(C)11

=

0

11 c 11 -o 1I c1siendo M una matriz cuadrada de orden n,

-42-



si, y sólo si

c) J f (0) es una P-matriz .

NOTA 1 .- La vinculación entre la condición a) del

teorema 2 .1, y la condición (FR) para el sistema li-

ne,al, es clara . La aparente diferencia entre ambas

(que se concreta en la unicidad de la solución exigi-

da en a)) queda subsanada por el hecho de que para

el sistema (S) la verificación de (FR) supone que la

solución del sistema es única* .

NOTA 2 .- Si consideramos la función f(x)= [I-A ]x aso-

ciada al sistema lineal (S), es inmediato deducir que

la condición (P) del teorema 1 .1 se puede reformular

diciendo que la matriz jacobiana de f, (I-A), es una

P-matriz para todo x E R+ . Por verificarse para el mo-

delo

de

Sandberg

que

Jf (0)

< Jf(x)

para

todo

x E R+

(siendo ambas N-matrices), es fácil ver (lema 2 .2),

que si Jf(0) es P-matriz, también J f (x) es P-matriz,

para todo x E R+ . Ello indica, simplemente, que la

condición (c) del teorema 2 .1 es u~a generalización

Véase sección 1 .4 .

-43-



de la condición (P) del teorema 1 .1, para el modelo

dado por el sistema (S') .



11 .2 NUEVAS CONDICIONES DE RESOLUBILIDAD PARA

EL S I STEMA

(S')

Nos ocupamos en esta sección de extender

al sistema (S') las condiciones de resolubilidad (DR),

(FR), (P), (C) y (NIS) presentadas, para el sistema

lineal (S) en el teorema 1 .2 . La equivalencia entre

este grupo de condiciones se obtiene en el teorema 2 .2

en cuya prueba necesitamos del empleo de una "serie

de lemas que se presentan a continuación .

Lema 2 .1*

Sea 'f contïnuamente diferenciable, f : R+ -,. Rn

de tal modo que J f (x) es una P-matriz para todo

x c R+ . Si f(0)=0, entonces

f(x) < 0

x > 0

=> x = 0

Lema 2 .2** Sean A y B dos N-matrices, verificando

A < B . En estas condiciones, si A es una P-matriz,

entonces B es también una P-matriz .

Este lema es una versión del teorema 20 .3 (NIKAIDO(1968, ch .7)), debido a GALE & NIKAIDO (1965) .

WOODS (1978) pp . 72 . Puede verse una prueba de estelema en HERRERO, SILVA & VILLAR (1984) .

-45-



NOTA 1 .- Los dos lemas analizados permiten realizar

una conclusión interesante sobre los sistemas del tipo

(S') que son resolubles (en el sentido de verificar

la condición a) del teorema de Sandberg, t5! 2 .1) . En

efecto, las hipótesis (S .2), (S .3) sobre (S'), junto

con el que Jf(0) sea una P-matriz, aseguran (lema

2 .2) que J f (x) es también una P-matriz para todo

x >O . Por otra parte, (S .1) implica que f(0) = 0, en-

tonces, según el lema 2 .1, podemos concluir que

f(x) 0 para todo x > 0, es decir, la función

f : R+ -" Rn , se anula en el origen y solamente en él .

NOTA 2 .- Es interesante observar que puede obtener-

se, asimismo, resolubilidad fuerte para sistemas veri-

fícando (S .1) y (S .2), y en los que (S .3) se sustitu-

ye por una condición alternativa : Jf(x) es una P-ma-

triz para todo x >O .

Los dos lemas que se presentan a conti-

nuación se refieren a sistemas de la forma (S), pero

en los cuales no se exige más que la continuidad de

la función q (y, por tanto, de la f) .

Lema 2.3 Sea el sistema f(x) = c, f(x) = x-q(x),

-46-



verificando :

i )

q :

Rn

-> Rn

,

caxit_inua .

ii)

q creciente

(es decir, q (x) <q(y)

si x <y) .

iv)

para un cierto c° > 0 existe x° > 0,

tal que :

Entonces, para todo c tal que 0 < c < c°,

existe un x > 0, -tal

que

f(x)

=

c .

Demostración

Sea 0 < c < c° . Planteamos la sucesión :

x (°) = x0

x (1) = q[xO ]+ c < q(x°) + c° = xO

x(i+1) = 9. [x(i) ]+ c <

x(i)

La

sucesión

{x(i)}ie

N

así

construida,

es

monótona decreciente y acotada inferiormente, ya que

x (1)

> 0 para

todo

i e M,

con

lo cual

posee

límite

x > 0 .

-47-

Por la continuidad de q se obtiene que

x=q(x)

+ c

y por

ser

c >0,

se

tiene

que

x > 0.



Al ser la sucesión decreciente, x < x° (es-

to es, el limite n,o es mayor que el primer término

de la sucesión) .

C.Q .D .

NOTA .-

En

el

lema

anterior,

si

0 < c < c°

y

f(x)

=

c,

entonces x >0 .

Por

otra

parte,

si

c < c°

y

f(x)

=

c,

obvia

mente x <x°.

Lema 2 .4

Sea

f(x)

definida

como en el lema anterior

y verificando i), ii), iii), iv), y, de tal modo que

v)

f(0)

=

0 y f no

se

anula

para

0 < x < x` .En

estas

condiciones, dada una sucesión :

c° >c l >c2 > . . . > cp > . . . > 0

tal que lim cp = 0, puede encontrarse una sucesiónp ->m

x° > a > x2 > . . . > xp > . . . > 0,

tal que f(xl ) =' cl ,

pa-

ra todo i, y lim xl = 0 .p -+=

Demostración Las conclusiones y construcción del le-

ma anterior permiten asegurar que, dada la sucesión

-48-



c° > cl > . . . > cp > . . . > 0, es posible encontrar

x° > x1 > x2 > . . . > xp > . . . > 0, de tal modo que

f(xl )

=

clpara

todo

i .

Al ser la sucesión x° > x1 > . . . > xp > . . . .

monótona decreciente y acotada inferiormente, posee

límite

x

y

se

tiene

[ 0 < x < x° ] .

La continuidad

de

f

implica

que

f(x)

=

lim

f(xl)

=

lim

cl=

0,

y

como

f(x)

~ 0 para

todo

x

tal

que 0 < x < x",se

sigue

que

x = 0 .

Presentamos a continuación el teorema 2 .2,

en el cual vinculamos, para el sistema (S') un pri-

mer grupo de condiciones que serán necesarias y su

ficientes para su resolubilidad, condiciones que son

extensión de las analizadas para el modelo lineal .

Antes de dar el enunciado de este teorema, y tenien-

do

en cuenta

las

observaciones

recogidas en la nota 1

tras el lema 2 .2, añadiremos un nuevo supuesto al

sistema (S') :

(S .4)

f(x)

~

0

si

x > 0.

-49-

C .Q .D .



Definición 2.1 Diremos que el sistema (S') es fuerte-

mente

resoluble

si,

y

sólo

si,

para

todo

c

> 0

existe

un

único

x >0,

tal

que

f(x)

=

c .

Definición 2 .2

Diremos que el sistema (S') es débil-

mente resoluble si, y sólo si, para un cierto c > 0

existe x >O, tal que f(x) = c .

Definición 2.3

Un operador q : R+ , Rn , diremos que

es convergente si, y sólo si, existe un x > 0 para el

cual,

lim qn(x) = 0,

siendo qn la aplicación reiteradan -.m

de q, n veces .

Teorema 2 .2

Para el sistema (S')

verificando [(S .1) -

(S .4) ] las condiciones siguientes son equivalentes :

(FR)

(S') es fuertemente resoluble .

(DR)

(S') es débilmente resoluble .

( P)

Jf(0)

es una

P-matriz .

(NIS)

f no invierte el signo de los elementos de Rn .

(C)

q es convergente .

Demostración La prueba se realizará siguiendo el si-

guiente esquema :

-50-



(FR) ~̀=Z* (P) <~ (NIS)

(FR) ~ (P)

está contenida en el teorema 2.1

(FR) => (DR)

es trivial

(P) *=>(NIS)

El supuesto (S .3) implica que J f (x) es

una P-matriz para todo x e Rn (véase nota tras el

lema 2 .2), por lo que se, verifican las hipótesis del

lema 2.1 .

Sea

S

= { x > 0

xif i (x) < 0

Y i=1, . . . . n} ,

esto es, formado por los elementos de R+ a los que

f

invierte

el

signo .

Si

probamos

que

S

=

{ 0 },

estará

visto que f no invierte el signo de los elementos de

R+, con lo que f verificará la condición (NIS) .

Sea x e S,

x W 0 . Si x > 0, se verificará

f(-,-c) < 0, y x > 0, en contradicción con el lema 2 .1 .

Si x > 0, x v 0, construimos los conjuntos de índices

K

= {ï l

xi > 0 }

,

T

= {i

1

xi

=

0 } .



V- i E K . Por otra parte, si i E T, se tiene

fi (X)

=

X .

-

Z %.(X .)

-Z%.(X)

=

-Zq. .

j(X)

1

j

E K

lj

j

j

E T

jlj

j EK

lj

como

según

(S.1),

(S .3)sabemos

que

qij (xj )

> 0,

se tiene que fi (x) < 0

-Y i E T . Por tanto, fi (x) < 0,

para

todo

i

=

1, . . . . n,

x > 0,

que

es

de

nuevo

una

contradicción con el lema 2 .1 .

En consecuencia,

S= {0 } .

Y9

(NIS) a (P) Sea h(x) una extensión de f al conjun-

to U = {x E Rn / x > - a , a > 0 }, a arbitrario*, verifi-

cando**

en 0, se tiene

Como x E S,

ha de verificarse que fi (x) < 0

nhi(x) = xi - 57 hij (x j ) i=l, . . .,n

j=1

hij (xj )

=

qij(xj )

V

xj

> 0

hij (xj ) = gij(0)

-Y xj E (- aj , 0)

Desarrollando la función, h, por Taylor

a= (al, . . .Ian) .Véase WOODS (1978), ch .6- .

-52-



donde :

h(x) = Jh (0)x + . E(Ilxll)

lim

E 0 1 x 1 1)

=

0I1XI 1 -0

11xI I

Para x > 0, por la construcción de h, se tiene

h(x) = f(x) = Jf(0)x +e(1Ix11)

J f (0)

es

una

N-matriz,

ya

que

fij (0)

=-qij (0)

< 0

[ i~j ] .

Por tanto, para probar que J f (0) es una P-matriz,

basta ver que Jf(0) no invierte el signo de los ele-

mentos

x E R+'" .

Si Jf (0) invierte el signo de algún x > 0,

es

posible

hallar un

a > 0,

>, E R,

tal

que

en

[ 1 ] ,

los

signos

de Jf(0) ( ax)

prevalezcan sobre

E(11Xxil) .Ello sig-

nifica que f invierte el signo de ax (para un cierto

a >O) , a x E R+, en contra de la hipótesis .

(DR)

>

(C)

Por

la

condición

(DR) ,

existe x > 0,

tal

Véase Proposición 1 .1, sección 1-2 .

-53-



que

f(x)

=

c

> 0 .

Entonces,

x

-

q(x)

=

c

> 0,

por

lo

que, 5¿ >q(X) >0 .

Y?

Por ser q creciente*, obtenemos

q (x)

> q

[ q(x) ]

=

q2(x)

>0

en

general,

qn(x)

> qn+1 (x)

> 0 .

En

consecuencia,

la

sucesión

{ qn ( :,»

ñ E PJ es decreciente y acotada infe-

riormente

(puesto

que

qn ( x)

> 0

Y

n),

por

lo

que

existe lim

qn(x)

= x t > 0 .

La continuidad de q condu-n -.m

-

ce a :

lim

qn+1 (x)

=

lim

q

[ qn( X) ]

=

q(x t)

=

xtn-. . n, .

y por (S .4), xt = 0 .

(C) _> (P) Supongamos que existe x >O, tal que

Condición (S .3) .

lim qn (x) = 0n-..

Por el carácter creciente de q, es inmediato comprobar

que

si 0 < x < :Z,

se

tiene también que lim

qn(x)

= 0 .

La condición lim qn(x) = 0, junto conn -"-

qn(x) >O, permite afirmar que

K E N, para el cual

-54-



La desigualdad [ 2 ] indica que :

existe ;~ >0 tal que x - qK (x) = c>0.

Observemos, por otra parte, que si x< :!, y se tuvie-

ra x - qK (x) = 0, entonces x = 0 (ya que si x=qK (x),

se

tiene

q2 K (x)

=

x, . . . .qs K

(x)

=

x . . . , V-

s E N

y

como

lim

qn(x)

= 0,

se

tendría

x

= 0) .n -"-

X >qK (x) >0

[2 ]

Por tanto,

q K . verifica

la

hipótesis

del le-

ma 2 .3, por lo que cualquiera que sea c / 0 < c < c°,

es

posible

encontrar

un x

de modo que c=x-q K(x),

y

x <R .

Aplicando ahora el lema 2 .4, podemos en-

contrar x tan próximo a cero como queramos, x > . 0,

de

tal

forma

que x - qK (x)

>0 .

Considerando, para (x - q' (x» (de modo

análogo a como se hizo para f en la prueba (NIS) =>

=> (P», una extensión conveniente, y desarrollando

por Taylor, se obtiene :

x - qK (x) = [I - JgK. (0) ]x + E:(x) para x >O .

-55-



Tomemos x >0 tan próximo a cero como sea

necesario,,

de

tal

forma

que

x

-,q K (x)

> 0

y se veri

fique que signo (1 - JqK (0))

x

= signo [ x - qK (x) ] .

Entonces, para dicho x,

(1 - JgK (0)) x > o

x >0

[3 ]

ma

Pero la desigualdad [3 ]indica que el siste-

## Véase WOODS (1978), ch .2, ex .13 .

(I - JgK (0))x = c

[4] .

es debilmente resoluble . Por otra parte, y puesto que

[4]es un sitema lineal tipo (S), ya que JqK (0) es una

matriz sémipositiva, obtenemos que JqK (0), ha de ser

productiva*, esto es a*[J q(0)] < 1, siendo a*[JgK (0) ] la

raíz de Frobenius de la matriz JqK (0) .

Ahora bien, a*[JgK(0)]= [>'*(Jq (0))]K <,-L

por

lo

que

también

a*(Jq(0))

< 1,

y

por

el

teorema

1 .1 J f (0) = I - Jq(0) es una P-matriz, esto es, el sis-

tema (S') verifica la condición (P) .

-56-

C .Q .D .

Véase teorema 1 .1, equivalencia entre las condiciones(DR) y (Pr) .



11 .4 UNA NUEVA PROPIEDAD QUE SE VINCULA A LA RE-

SOLUBILIDAD DE (S') : LA PRODUCTIVIDAD

i)

q es continua .

de modo que`

Sea q : R n -, Rn , verificando las condicio-

nes siguientes

ii)

q(x)

> 0

si

x > 0 ;

q(0)

=

0 .

En estas condiciones, es posible encontrar

un

*>0, y un vector xt > 0, xi + x2 + . . . + x t = 1,

a)

q(xt

).= a* xt

b)

Si a > a* no existe ningún x > 0, x1+x2+ . . .+xn=1,

de modo que q(x) = ax .

El resultado anterior lleva a introducir,

para

aquellos operadores

semipositivos

verificando

i)

* Una prueba de este resultado, generalización débil delos teoremas de Perron-Frobenius, se ofrece en el Apé_ndice, Teorema A .3 .



e ii), una generalización del concepto de productivi-

dad* .

' x

Definición 2.4

Sea

q :

Rn + Rn verificando q (x) conti

nuo y q(x) > 0

si x > 0 ; q(0)=0 . Diremos que q es

productivo síi a <l .

El operador q del sistema (S') verifica

trivialmente la condición de continuidad, además de

q(0)=0 . Para poder hablar de productividad de tal

operador necesitamos que éste verifique una condición

adicional .

(S .5)

q(x) > 0

si

x > 0 .

Esto es, no solamente q es semipositivo,

sino que no se anula en ningún x E R+, x ~ 0 .

En esta sección vinculamos la productivi-

dad del operador q, (cuando (S') verifica [(S .1)-(S .5»]

con

la

resolubilidad

de

(S')_-- - .EL .teorema

siguiente

afirma que la productividad de q es una condición

necesaria de resolubilidad .

# Si q es lineal, q(x)=Ax con A semipositiva . En estascondiciones, a* no es más que A* (A), raíz de Frobeniusde A .

-58-



Teorema

2.3

Para

el

sistema

(S' ) ,

verificando

los

supuestos [(S .1) - (S .5)],-cualquiera de las condiciones

equivalentes (FR), (P), (NIS), (DR), (C), del teorema

2 .2, implica (Pr) q es productivo .

Demostración Basta ver que (NIS) => (Pr) .

Razonando por reducción al absurdo, supo-

nemos que x*> 1, entonces sea xt , x t >O, x1+ . . .+xñ=1,"tal que q(x t ) = Mixt .

Por ser x* > 1,

se obtiene que

q(xt) - ~* x t >x t

con

lo

cual

f(xt )

=

x t

-

q(x t ) < 0,

y

al

ser

xt > 0,

f invierte el signo de xt , lo cual es una contradic-

ción con (NIS) .

NOTA .- La condición (Pr) no es suficiente, en el caso

general, para poder asegurar la resolubilidad del

sistema (S'), como demuestra el siguiente ejemplo :

-59-

C.Q .D .



Sea : 0'2 si 0 <x, < 0'4

4~/ i5 V 10 - 0'08 si x 1 > 0'4

dos

los

supuestos

[ (S . 1) - (S .5) ] ;

g12(x2) = 03x2

822 (x2 ) = 5x2

gll (x 1 ) + gl2(x2)La función q(x 1 , x2 ) =

verifica

to-+ 822(x2)

porpor

otra

parte,

se

tiene que q(1,

0)

= a (1,

0) ,

con

0< a =

4

- 0'08 < 1 . Siendo además

a = a*5 l0

0'8 --0'3Sin embargo J f (0) =

que, obvia-0 _4

mente no es una P-matriz, y por tanto, por el teorema

2.1,

el

sistema

x

-

q(x)

=

c

(S'),

no és

resoluble .

Cuando Jf(0) es indescomponible, se obtiene

la equivalencia entre la condición (Pr) y el grupo

de condiciones (C), (DR), (FR), (P), (NIS), para un

-60-



sistema (S'), verificando [(S.1) - (S .S)]. El resultado

se recoge en el teorema 2 .4, cuya prueba es una con-

secuencia inmediata de la proposición siguiente :

Proposición

2 .1

Sea

q:

Rn +

Rn ,

q>i (x)

=

1

qij (xj ) ,

verificando (S .1), (S .2), (S .3), y tal que Jq (0) sea

indescomponible .

Si

para

un X

> 0 y un

x >0,

se ve-

rifica

xx

-q (x)

> 0

=>

x

>O .

Demostración

Sea x > 0

y a >0,

tales que a x-q(x) > 0 .

Sin pérdida de generalidad, suponemos que xi > 0

i

= . 1, . . .,

K ,

xi

=

0

para

i

=

K+1,

. . .,

n.

La condición

a x - q(x) > 0 implica

-

q,(x)

>

o

para

i

=

K+l, . . . . n,

por

lo

que

(al

ser

q(x) > 0

para

x > 0),

se

tiene

que

q, (x)

= 0,

para

to-

do

i

=

K+l, . . . n .

Por otra parte,

K

n

K

qi(x) = 2 gij (xj ) + 2. gij(xj )=G.q.ij (xj ) = 0j=1

j= K+l

j=1

para todo

i = K+1, . . . . n .

y

como

qij(xj )

> 0

Y-

xj> 0,

se

tiene

que

qij (xj )=0

-61-



tonces

i = K+ 1, . . .,n .

Las hipótesis (S .1) y (S .3) implican, en-

gij (0)

= 0

j

=

1, . . . . K

,es decir, Jq(0) es descomponible, en contra de la hi-

p6tesis .

De la proposición 2.1 se obtiene el siguien

te corolario, acerca de la positividad estricta de la

solución en el caso indescomponible

i = K+l, . . .,n

C .Q .D .

Corolario

Sea

(S' )

fuertemente

resoluble y tal

que

Jq(0) sea indescomponible . En estas condiciones, para

todo

c

> 0

la

solución

x

de - (S')

es

x > 0.

Demostración Se obtiene inmediatamente de la propo-

sición 2 .1, haciendo x=1 y x solución de (S') para

c>0 .

-62-

C.Q .D .



Teorema 2.4

Sea el sistema (S') verificando [(S .1) -

y

tal

que

Jq(0)

sea indescomponible .

Las condiciones

siguientes son equivalentes

(FR) (S') es fuertemente resoluble .

(DR) (S') es débilmente resoluble .

(P)

Jf (0) es una P-matriz .

(NIS) q no invierte el signo de los elementos de R+ .

(C)

q es convergente .

(Pr) q es productiva .

Demostración Como por el teorema 2.3 se tiene que

el conjunto de condiciones (FR), (DR), (P), (NIS),

(C), implican (Pr), basta comprobar que (Pr) implica

cualquiera de dichas condiciones . Probaremos que (Pr)

implica (DR) .

Sea

x t >O,

xi +

. . .

+

x t

=

1

y

tal

que

q(x t )

=

a*

x .

Por la proposición 2 .1,

x t

> 0,

y

al

ser

q

productivo,

X*-

<

1,

de

donde

se

obtiene

q(x fi ) < x t

,

esto

es,

f(x t ) > 0,

con

lo

que

se

verifica (DR) .

-63-

C.Q .D .



II . 5

UNICIDAD

Y

POSITIVIDAD

DE

LAS

SOLUCIONES .

ESTATICA COMPARATIVA

La unicidad de la solución para el sistema

(S'), cuando éste verifica cualquiera de las condicio-

nes equivalentes que garantizan su resolubilidad, es-

tá asegurada por el teorema 2 .1 (Sandberg) .

Si (S') es resoluble para todo c > 0 y x

es la solución obtenida para un cierto c > 0 como

x

=

q( :7,)

+ c , es

inmediato

que

x > 0 .

En el caso general, no se puede asegurar

la positividad estricta de las soluciones para todo

c > 0 . Sin embargo, cuando Jq(0) es una matriz indes-

componible, se garantiza la estricta positividad de

la solución para todo c > 0, por el corolario de la

proposición 2 .1 .

En el resto de esta sección nos dedicare-

mos al problema de comparar las soluciones de dos

-64-



sistemas de tipo

(S' )

parcialmente coincidentes,

gene-

ralizando, en lo posible, los resultados obtenidos a

este respecto, para sistemas lineales tipo (S) en la

sección I .4 .

Es de resaltar que las hipótesis

(S .1) (S .2)

(S .3) del sistema (S') permiten comportamientos anóma-

los sobre las componentes de la función f . Interpreta-

do desde e~l punto de vista económico,

fj(x)

= xj-qj (x)

representa la producción neta de mercancía j cuando

el sistema opera a un nivel de actividad determinado

por el vector x. Lo habitual (y entre otras cosas es-

perable desde el punto de vista económico del funcio-

namiento del sistema), es que mayores niveles de ac-

tividad produzcan mayores outputs netos en todos los

sectores (esto es, si x < y, entonces f(x) < f(y)) ; sin

embargo, esto no queda asegurado para los sistemas

resolubles

del

tipo

(S') .

A

continuación

se

presenta

un ejemplo de este comportamiento anormal .

Sea q : R2 - " R2,gi(x)=gil(xl)+9.12(x2)

i=1,2

gll (x 1 ) = 0'3 xl ; g12 (x2 ) ='0'5 x2

-65-



q21(x1) = O'002 x1 ; g22(x2) = 0'5 x2 - 0'25 L(x2+1)

Las funciones q . . (x .)

i,j=1,2,

verifican los1J J

supuestos (S .1) (S .2) (S .3) y (S .4) ; por otra parte,

el sistema es resoluble . Si el sistema (S') opera con

un nivel de actividad 1=300, x2=1, se obtienen como

outp uts

netos

ci=209 .5

y

c2=

0 .0733 .

Sin embargo,

si

opera con niveles de actividad x1=700 y x2=2, los out-

puts netos obtenidos son c=489 y c= 0.0024 . Con lo1

2

cual, un aumento en el nivel de actividad (xi < x1)

genera una disminución del output neto obtenido para

la mercancía 2 .

Las posibilidades de tal comportamiento

anómalo para el sistema (S') hacen que no sea gene-

ralizable en todos los casos el apartado ii) del teo

rema 1 .4 a tales sistemas . No obstante, en el caso

en que f sea monótona

(es decir, cuando x < y => f(x)

<

<

f(y)) ,

sí que

es

posible

obtener. dicho

resultado

de

estática comparativa para sistemas (S') .

Consideremos ahora dos sistemas resolubles

de la forma (S') :

-66-



x = q° (x)

+ c°

[ 5 ]

x

= ; qt (x)

+

ct [6 ]

.

tales

que c°,

ct >0 .

En

estas

condiciones

[ 5 ],

[ 6 ]po-

seen solución única sem.i positiva x°,xt> 0, respectivamente .

Tratamos de establecer criterios que permitan compa-

rar las soluciones x°

fix

,

de

los

sistemas

[ 5 ]y [ 61

Análogamente a como se hizo en la sección

1 .4,

dividamos el conjunto de índices N={1,2, . . . . n}

en

dos

partes

y

designemos

S

={1,2, . . . . s }

y

T---6+1, . . .'n}

Cualquier vector y E Rn se divide asímismo,

en dos partes, y=(yS

,YT)

, dondeyS es el s-vector

formado por las s primeras componentes de y ;yT es

el

(n-s) -vector formado por las restantes componentes

de y .

Una función q :

Rn, Rn puede descomponer-

se de manera análoga . Para cada x, q',(x), es un

vector

de

R s formado

por las s primeras componentes

de q (x) ;

qT (x)

se interpreta análogamente .

7-



esto es

Hay que observar que qS : Rn -" Rs , y

-' R(n-s) .

Sean

q°

y

qt

(en

las

ecuaciones

[ 5 ]

y[6 ] )

tales que coincidan en sus (n-s) últimas componentes,

qO (x) = qfiT (x)

para todo x E R+

[71

Nos interesa comparar las soluciones de

[51y[61

cuando

q°,

qfi

verifican

[ 7 ]

y,

además,t

cT = cT . Los resultados a este respecto se recogen

en la proposición siguiente :

Proposición 2.2

Sean

[ 5 ] y [6 ] dos sistemas resolubles

tipo

(S'),

tales

que

qO(x)=q tf (x)

para

todo

x

e R+,

cT=ctf

.

Sean

x° ,

x t,

las

soluciones

de

[5]y[6],

y

su-

pongamos que xs-qt (x°) >cS .

En estas condiciones :

i)

x° > xt

(además

xS > xS )ii)

Si

f t

es

creciente

y

xt >

0,

se

verifica

además

x° x°max

t > t

Y-

j E Ti E S

x.

x .1

-68-



Demostración

i) De la condición x.'-qS(x°) > cS se sigue (por la

igualdad entre cT y ctr ), que x° > qt (x°) + ct .

Realicemos entonces la iteración

x (°) = x~

x (1) = qt (x°) + c t < x o

x(i+1)

=

qt (x (i) )

+c t

<x (i)

De esta manera

se obtiene una sucesión { x(i) } .1 E 1{

monótona decreciente, acotada inferiormente (x (i )> 0

i), cuyo límite ha de ser xt por la continuidadt

fide q . Por construcción, x < x° (verificándose

trivialmente la desigualdad estricta para las com-

ponentes en el subconjunto S) .

ii) Supongamos que existe un j E T, tal que

Sea m

para todo i=l, . . .,n

> 1

por la condición i) ;

se verifica

-69-



entonces xt < x° < mxt . El carácter creciente de

qt

permite

afirmar

que

qJK (x K) <

qJK (m xt ) .

escribir :

cJ = xj - gj (x t ) = xj -

qj(x') =

Al

ser . j

e T,

co=c t,

por

lo

que

podemos

n

x t )K

> m xfi - :-57 q° (m xt ) = m xfi - qf(m xt )j

,,=1

j K

K

j

j

En definitiva,

f~ (x t) > f t (m xt )

siendo xt > 0, m > l,

que con-

tradice la monotonía de f t .

-70-

C .Q .D .*

* La prueba de la parte ii) de esta proposición sigueuna sugerencia debida al profesor L . ELSNER .

x .j

txj

~-

K=l j

x° n x°txj- q°. KK (

xJK. -1 3 x t

n



A partir de la proposición 2.2, pueden ob-

tenerse corolarios análogos a los presentados en la

sección 1 .4 .



III .l Introducción .

111 .4 La condición (C) .

C A P I T U L 0

I I I

U N

M 0 D E L 0

C 0 N T I N U 0

111 .2 El sistema (SI') . Primeros resultados de resolubi-lidad .

111 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a la resclubi-lidad de (S'') .

111 .5 Productividad de los operadoresla resolubilidad .

111 .6 Unicidad y positividad de las soluciones . Estáticacomparativa .

-7 2-

y su relación con



111.1

INTRODUCCION

Presentamos en este capítulo una nueva

generalización del sistema lineal, estudiado en el ca-

pítulo I . Esta modelización alternativa está inspirada

en el sistema presentado inicialmente por LAHIRI (1976)

y posteriormente desarrollado por LAHIRI & PYATT

(1980) en un intento de modelizar una economía tipo

Leontief, � admitiendo rendimientos crecientes a esca-

la* .

Es interesante observar que las modeliza-

ciones de Sandberg (que da origen al sistema diferen-

ciable (S') del capítulo II) y de Lahiri (presentada

en este capítulo), son generalizaciones independien-

tes del modelo lineal de Leontief ; con la palabra "in-

dependientes" queremos significar que el tipo de ren-

dimientos variables que admiten cada uno de los mo-

delos son, en general, de distinta naturaleza, lo que

implica que los supuestos bases de cada uno ' de ellos

resulten incomparables** .

Véase capítulo IV, sección IV .2 .

Véase en el punto III .1 un ejemplo que prueba que lageneralización del modelo lineal presentada en el ca-pítulo II no es un caso particular del estudiado aquí .

-73-



Las características fundamentales de la

modelización

de

Lahiri .. pueden

resumirse

en

los

sï-

guientes puntos

na)

La

función

A(x)

=

( .15- aij

xj )

del

sistema

lineal,

1

ql (x)es

sustituida por

q :

Rn -> Rn ,

q(x)

=

q2(x)

donde

I qn(x) 1qi(x) representa la cantidad del bien i necesaria

para producir (x l , x2 , . . . , xn ) cantidades de los

bienes 1, 2, . . . . n respectivamente .

b) El operador q es semipositivo, continuo y subhomo-

géneo .

En el punto 111 .2 se presenta el sistema

standard asociado al modelo de Lahiri (S"), así como

el primer resultado de--resolubilidad : equivalencia en-

tre resolubilidad fuerte y débil, aparecido en el tra-

bajo de LAHIRI & PYATT (1980) .

En el punto 111 .3 se estudia la condición

-74-



(NIS) de no inversión de signo y su relación con la

resolubilidad del sistema (S' ') . En primer lugar, se

obtiene que la condición es suficiente para asegurar

la resolubilidad fuerte del sistema . Incluyendo un su-

puesto adicional, la anulación únicamente en el ori-

gen de f, la condición de no inversión de signo re

sulta necesaria para Ja resolubilidad de (S' ' )

(Teore-

ma 3 .3) .

La sección 111 .4 vincula la resolubilidad

de (S'') a la

en sentido análogo al

Definición 2 .3) . Por su

la productividad de q (en el

capítulo 11, Definición

lución semipositiva de (S'') . Al igual que ocurría con

el sistema (S'), la productividad de q es condición

necesaria de resolubilidad, pero sólo resulta suficien-

te cuando se supone q indescomponible .

El capítulo

sección 111 .6,

garantizada la unicidad y

soluciones obtenidas, por

presentando una extensión

convergencia del operador q (entendida

presentado en el capítulo II,

parte, el punto III .S relaciona

sentido definido en el

2 .4), con la existencia de so-

concluye analizando, en la

las condiciones bajo las cuales está

posítividad estricta de las

una parte, y, por otra,

de los resultados de está-

-75-



tica comparativa de la sección 1 .4 .



111 .2

EL SISTEMA (S'') . PRIMEROS RESULTADOS SOBRE

SU RESOLUBILIDAD

El sistema standard asociado al modelo no

lineal, estudiado por Lahiri & Pyatt es el siguiente :

i)

c > 0

ii)

(A.1)

q:

Rn -> Rn'

continua

x

-q (x)

=

c

;f (x)

=

c

(sit)

(siendo f(x)

= x - q(x)) ;

y

donde

se verifica

que

(A .2)

q

es

monótona

(es

decir

q(x) < q(y)

si

x <y)

(A .3) q es subhomogénea (es decir, q(kx) < kq(x)

si k >1) .

NOTA .- Se comprueba inmediatamente que el sistema

lineal (S) del capítulo I es generalizado por el sis-

tema (S'') . Sin embargo, el sistema (S') del modelo

diferenciable no es generalizado por (S'') "como se

comprueba con el siguiente ejemplo :

Sea q : R -y R

q(x)

=

0'5

x2-

0'25

L(x2+

1)

-77-



Las gráficas de q y q' se recogen en la

figura siguiente :

q (X)

0ql(X)

0'5

Es fácil ver que q verifica la hipótesis

del capitulo 11, pero q no es subhomogénea, como se

comprueba, considerando x = 0'001 y k= 200, obtenien

do q(200x0'001) = 0'09019 > 200 x q(0'001) = 0'0095 .

-78-



El siguiente teorema (LAHIRI & PYATT

(1980», asegura la equivalencia entre la resolubili-

d.a d fuerte y débil del sistema (S - ) .

Teorema

3 .1

Para

el

sistema

(S' ' )

las

condiciones

siguientes son equivalentes :

a)

3x > 0

/

f(x) > 0 .

b)

V-

c >0

x

> 0

/

f(x)

=

c .

La condición b) del teorema anterior ex-

presa, en términos de (S''), la idea de resolubilidad

débil del sistema . Por su parte, la condición b) ex

presa la idea de resolubilidad fuerte del mismo . Pre-

cisando, si consideramos las definiciones :

Definición 3.1 (S'') se dice débilmente resoluble sí

existe un c > 0 para el cual es posible hallar

x

> 0 ;

de modo que

f(x)

= c.

Definición 3.2

(S'' )

se dice fuertemente resoluble si

-79-



Y- c >0

existe

un

x >0,

de

modo

que

f(x)

=

c .

el teorema 3 .1 afirma la equivalencia entre

las condiciones (DR) y (FR) para (S'') .



111 .3 LA CONDICION (NIS) . SU VINCULACION A LA RE-

condición

(NIS)

(f

no

tos de R+) y a su relación con la

sistemas del tipo (S') .'

A diferencia de lo que

temas (S) y (S'), en

resulta ser únicamente

dad de (S'') . Es preciso

al sistema continuo para conseguir la

entre la resolubilidad y la verificación

ción de no inversión de signo .

Teorema 3.2

SOLUBILIDAD DE (S'.')

Dedicamos esta sección al análisis de la

invierte el signo de los elemen-

resolubilidad de

sucede en los sis-

este caso, la condición (NIS)

suficiente para la resolubili-

añadir supuestos adicionales

equivalencia

de la condi-

Para el sistema (S'') la condición

(NIS)

f(x)

no invierte el signo de

los elementos

R+

implica, cualquiera de las condiciones .

El sistema (S" ) es fuertemente resoluble .

El sistema (S'') es débilmente resoluble .

(FR)

(DR)

Demostración Realizaremos la prueba por inducción

sobre el número de ecuaciones del sistema (S'') .

-81-

de



Para n = l ., inmediato :

En efecto, si x > 0, se tiene, por la condición (NIS)

que xf(x) ~ 0 y, por tanto, f(x)> 0 .

Supuesto que la condición es válida para

sistemas con (n-1) ecuaciones, veremos que también

lo es para sistemas con n ecuaciones .

Sea q :R+ ;R+ verificando (A .1) (A .2) (A .3)

y tal que f(x) no invierte el signo de los elementos

de Rn.

n-1

n-Construimos q: R + -r R+ ldel siguiente modo :

- 1 q . (0 :

x) jq(x)

2

, Y x E R+-1 , donde g2 , . . .,gn son1 qn(0, x) 1

componentes de q : R+ . R+ .

La

función

f(x_)

=

x

-

q(x_)

no

invierte

el

signo de ningún elemento x de R+-l , pues de ser así,

f invertiría el signo de (0, x) E R+ .

Aplicando la hipótesis de inducción_, pode-

-82-

mos

encontrar

á

E R+-1 ,

á

=

(a2 , . . . , an ),

ai > 0,

para

todo

i

=

2, . . . . n,

tales

que



ai

-

qi

(0,

a2 ,

. . . ,a n )

> 0

V-

i=

2,

. . . .n .

Por la continuidad de los qi , podemos en-

contrar al > 0 suficientemente pequeño tal que

ai - qi (al ,a2 , . . ., an ) > 0

i= 2, . . ., n [1]

Razonando de forma análoga, podemos cons

truir otra función

n-1 n-1q . R+

R+

del siguiente modo :

A

cada

x

E R+-l ,

x

=

(x1,x2

, . . . ,

xn-1 )

le

asociamos

un

x E R+

x =

(x1,0,

x2

, . . . ,

xn-1) ,

y definimos

q1 (x)

q (x) = q3 (x)

qn (x)

este modo, aplicando la hipótesis de inducción y la

continuidad

de

q1

q3, . . .,

qn,

podemos

encontrar

b

=

(b1 , b2, . . ,

bn ) > 0

(con b2suficientemente peque-

ño) tal que

-83-

q verifica (en Rn-1 ) las mismas hipótesis (A .1) (A .2)

y (A .3) y f(x) = x - q(x) no invierte el signo de los

x E R+-1(si

f

no invierte el signo de los x E R+) .

De



bi - gi(bl

,b2 ,b3, . . . , bn ) > 0

Elegimos al < b1 ,

y b2 < a2 .

bMultiplicando

[ 1 ] por á1

> 1 y en virtud de (A .3),1

obtenemos :

c i-

gi(b1

,c2

, . . .,

cn )

>

0

i=2,3, . . . . n

[3]

siendo ci = a a i .

i=1,3, . . .,n [2 ]

Sea

di=

min

{bi,

ci}

i=3, . . . . n,

dl=b1 .

Se verifican, entonces, las siguientes desigualdades :

di

d1

-

g1 (d1

9b2

,

d3

, . . . ,

dn ) >

0

[ 4

]

c2-q 2(d1

,

e2

,

d3

, . . . ,

dn)

>

0

[ 5

]

gi(d 1

,

b2

,d 3

" . . .,

,dn) > 0

i=3, . . . . n

[6 ]

Las

desigualdades

[ 4 ] y [ 5 ]

se

verifican

debido

a

[ 2 ] y [3 ]

respectivamente,

y

a

la

monotonía

creciente de q .

Las desigualdades [ 6 ] se verifican

debido

a

que

di< bi ,

di < ci ,

para

todo

i=3, . . . . n

y

utilizando [ 2 ]y[3 ] .

Construimos a continuación los conjuntos :

A= {x e R+ /3k :~1 : di-gi(kd1,kx,kd3 , -,kdn) >0 pa-

-84-



ra todo i = 1, 3, . . . . n } .

B= {x E R+/3 k >1 :

kx-g2 (kd1kx,

kd3 ,, . . . . kdn) > 0 } .

Por

[ 4 ]y [ 6 ]

se

tiene

que

A

0

(tomando

k= 1, x = b2) .

Por

[ 5 } se

tiene

que

B

A¿' 0

(tomando k =

1,

A contiene un intervalo de la recta real

no acotado superiormente, ya que b2 E A, y por la sub

homogeneidad de q,

si x E A,

kx E A

-Y k >1 .

Un razonamiento semejante nos lleva a que

B contiene también un intervalo de la recta real no

acotado superiormente .

Podemos

entonces

elegir

x E A (i B,

verifi

cando

3K1 > 1

/ K1d i-gi(K 1d1 ,K1x,K1d3' '*' ' K 1 dn ) > 0

para todo i=1,3 . . . . n por pertenecer x a A.

K2>1

/

K2x-q2 (K2d1 ,K2x,K2d3 , . . .,K2dn ) >

0

por

pertenecer x a B .

_85-



Por la subhomogeneidad de q, y llamando

K = K1 . K2 , obtenemos que

Kdi-

qi (Kdl ,

K!,

. . . .

Kdn ) >

0

-Y

i=1,3 . . . . n

Kx - g2 (Kd l , Kx, Kd3 , . . ., Kdn ) > 0

esto es,

llamando x=(Kdl ,

Kx,

Kd3, . . . .

Kdn),

tenemos

que f(x) = x - q(x) > 0 y, por tanto, se verifica la

condición (DR) .

C.Q .D .

NOTA .- Acabamos de ver que la no inversión del sig-

no de los elementos de Rn por parte de f es una con-

dición suficiente para la resolubilidad (débil y fuer-

te) de (S'') . Tal condición, sin embargo, no resulta

necesaria, como prueba el siguiente ejemplo :

Sea q : R+ ; R+ , tal que q(x) = a> 0, para

todo x . Consideremos el sistema f(x)=x-a=c .

Este

sistema

es

del

tipo

(S' ' )

ya

que

se

verifican (A .1) (A .2) y (A .3) . Además, es fuertemente

resoluble . Sin embargo, f invierte el signo de los

-86-



x e R+ , tales que 0 < x < a .

El ejemplo analizado anteriormente muestra,

para sistemas del tipo (S' , ), la compatibilidad entre

su resolubilidad y la inversión del signo de algunos

elementos de R+ . No obstante, para estos sistemas es-

tá bien delimitado el conjunto de elementos de R+ en

los que puede presentarse una inversión de signo ; tal

especificación se obtiene en el siguiente lema :

Lema

3.1

Sea

f(x)

=

c

un

sistema

tipo

(S' ' ) débil-

mente

resoluble,

y

sea

x > 0,

tal

que f(x) > 0 .

Enton-

ces :

a) f no invierte el signo de los x > x .

b) f no invierte el signo de los x > 0 ; x ~ 0 tales que

._,_. .xi, ..> xi siempre que xi0 .

Demostración

a) Sea x > x. Sin pérdida de generalidad, podemos

-87-



suponer :xlx ixi > xi para 1=1,2 . . .,p

;

x= ,

max

x. > 11

.,p i

xi

=

xi

para

i=

p+1, . . . . n

Si multiplicamos la desigualdad

x - q(x l ,x2 , . . ., Xn ) > 0xlpor K = x > 1, se obtiene en virtud de la subhomoge-

1neidad de q que :

x1-

gl (x1,kx2, . . .,kxp,

X-p+1

, . . .,

xn) > 0

Por otra parte :

k x .1 .

> x1

.

para

i

=

2,

. . . ,

p

[ 8 1-con lo cual,

utilizando

[ 71 [81

y por ser q creciente,

se obtiene que

x1-

ql (x1, x2, . . . , xp,

xp+1

, . . . .

xn ) >

0

es

decir,

fl (x) > 0,

y por tanto f no invierte el signo

de x (ya que x1 f1 (x)> 0) .

b) Sea ahora x > 0, x :> 0, de modo que :

xi > x i

-F i E SC { 1, 2,

. . ., n}

xL

.=0-YiES

_88-

y

Construimos

el vector z=(z 1 , . . . . zn )

del

si-

guiente modo :



Si i E S => Z . = X.1 1

Si i 1 S => Z . = X1

En estas condiciones, z > x, y por el

apartado a) de este lema, sabemos que f no invierte

el signo de z . Además, si j es el índice tal quez .

Z .

-~- = max

(--1 ) >

1,

sabemos quex j xi

que

al

ser zj=

xj ,

se

tendrá

zj - qj (z) > 0 .

Por otra parte, forzosamente j E S, por lo

pero, puesto que x < z, la monotonía de qjobliga a

que

por lo que f no invierte el signo de x .

C .Q .D .

NOTA .- El lema anterior delimita aquellos x E R+ a

los que la f de un sistema (S' ') resoluble podría in-i

vertir el signo ; serían 'los x E Rn tales que 0 < x < x,

donde

f(x) > 0 .

-89-



La justificación de la compatibilidad entre

la resolubilidad del sistema y la posible existencia

de elementos de R+ a los que f invierte el signo, es

triba

en

el

hecho

de

que

de los supuestos sobre(S" )

no se deduce la anulación en el origen de la función

f, a diferencia de lo que sucedía tanto para el caso

lineal, como para el diferenciable .

Añadiendo

a

los

supuestos

(A.l) (A .2) (A .3)

el supuesto adicional

-

(A .4)

f(0)

=

0

y

f(x)

~

0

si

x > 0

es posible obtener la equivalencia entre las condicio-

nes (NIS) (DR)(FR) para (S") .

Teorema

3.3

Sea

el

sistema

(S' ' )

verificando [ (A . l)-

(A .4)] . Las condiciones : siguientes son equivalentes :

(FR)

El sistema (S' ) es fuertemente resoluble .

(DR)

El sistema (S' ') es débilmente resoluble .

(NIS)


Demostración Por los teoremas 3 .1 y 3 .2, basta de-

mostrar que (DR) _> (NIS) .

Las funciones q(x) y f(x) = x - q(x) ve-

rifican las hipótesis de los lemas 2.3 y 2 .4 y, por

-90-



tanto,

es posible encontrar x > 0, tan próximo a 0 co-

mo se quiera, para los cuales f(x) > 0 .

Así, dado un x > 0 arbitrario, siempre es

posible encontrar x > 0 tal que 0 < x < x, de modo que

f(x) > 0 .

Rn+'

Según el lema 3 .1, f no cambia el signo

de x, esto es, f no invierte el signo de ningún x> 0 .

Sea ahora x > 0, x ;~ 0 . Podemos encontrar

un x > 0 tal que xi < xi ,

para aquellos i / xi ~ 0,

y

de modo que f(x) > 0 .

Aplicando el apartado b)

del

lema

3.1,

tenemos

que f no invierte el signo de x > 0

con lo que f no invierte el signo de los elementos de

C .Q .D .



111 .4 LA CONDICION (C)

Dedicamos esta sección a probar la equi-

valencia de la convergencia* del operador q con la

resolubilidad (débil y fuerte) del sistema (S'') y la

condición de no inversión de signo estudiada en las

secciones anteriores .

A lo largo de este punto, consideraremos

sistemas (S'') verificando los supuestos (A .l) (A .2)

(A .3) y (A .4) .

Teorema 3.4 Para el sistema (S'') las

condiciones siguientes son equivalentes

(FR)

(S- ) es fuertemente resoluble .

(DR)

(S'') es débilmente resoluble .

(NIS) f no invierte el signo de los elementos de R+ .

(C)

q es convergente .

Demostración

Por el teorema 3 .3 basta comprobar. . la

equivalencia entre (C) y (DR) .

Véase Definición 2 .3, operadores semipositivos con-vergentes .

-92-



(DR) --> (C)

(C) => (DR)

n�y el sistema es

(DR) .

-93-

Compruébese que la prueba (DR) --> (Ç) pa-

ra el sistema diferenciable (S') (Teorema 2.2) puede

reproducirse íntegramente, ya que sólo se utiliza el

carácter creciente de q, junto con el hecho de que

f sólo se anula en 0, hipótesis que se siguen verifi-

cando en este modelo .

Realizaremos la prueba por inducción so-

bre el número de ecuaciones del sistema (S' '),K .

Para

K =1,

sea

q:

R+ - R+,

verificando

(A .1) - (A .4) , entonces para x > 0 tal que

lim qn (x) = 0 se verifica por (A .4) que x ~ q(x) .

Razonando por el absurdo, supongamos que

q(x) > x, por (A .3) se obtiene que

q2 (x) >

q(x) > x > 0

y, en general, que

qn(x) > qn-l (x) > . . .

>q(x)> x> 0

lo que contradice lim qn(x) = 0, y por tanto, x > q(x)



Supuesta válida la implicación para sis-

.temas ., con( K- . 1) ecuaciones, comprobamos que se ve-

rifica para sistemas con K -ecuaciones .

Sea q :

R++

RK ,

verificando (A .1) (A .2) (A .3)

(A .4)

y

tal

que

existe

x > 0

con

lim

qn(x)

= 0 .

Si

consideramos

y =

(0,

x2

, . . . ,

xK ) < x,se tiene, por ser q creciente, que :

del siguiente modo :

lim

qn(y) = 0

[ 9 ]n�

Sea la función q : R+ -1 ' R+ -1 , definida

q2 (0, x)q3 (0, x)

Por

[ 9 ]

existe

y

=

( x2

, . . . ,

x K ) > 0

para

el

cual

lim qn (y)

= 0 .

Aplicando la

hipótesis

de

in-n�

ducción,

podemos

encontrar a=(a2, . . . , aK ) > 0,

tal

que

a > q(a) ,

es

decir

a ¡ >

qi(0,

a2, . . . ,

aK )

para

todo

i=2, . . . . K .

Razonando de modo análogo, podemos en-

-94-



contrar

un

b >

0

b=(b 1 . ,b3

,b4

,

. . . ,

b K )

.

bi

> qi(bl

,0

b3

, . . . ,

bK )

para

i

=

1,

3,

4,

. . . . K .

Por ser qi continua para todo i, existe

6 > 0 suficientemente pequeño ( 6 < b1 ) de modo que

ai > q,(8, a2 , . . ., aK ) para i = 2, . . . . K .

[10]

b l > gi(bl , d , b3 ,-,bK ) para i= 1, 3, . . ., K 111]

bMultiplicando [ l0 ] por sl > 1,

y

debido

a

la subhomogeneidad de qi , se obtiene :

ci > qi (b 1 , c2 , . . ., c )

i= 2, . . ., K .

[12]b

siendo ci = 81 a i i= 2,3,9 K .

Si definimos d1

i= 3,

. . . , K ;

se obtiene*

Ver prueba Teorema 3 .2 .

-95-

= b1 y di = min(ci , bi )

di > gi(d1

d3

, . . .,d K )

i=1,3, . . .,K

[131

c2 .> q2 (d 1

,c 2

,d 3

, . . . ,

dK )

_

[141

Llamamos A = { x e R+ / -~ K > 1, verificando

Kd1 > gi(Kd lKx,

Kd3

, . . . , . KdK )

i=1,3, . . . . K} .

B=(x e R+/3K > 1,

verificando

Kx > q2(Kdl , Kx,Kd3

, . . , KdK ) }



Es inmediato comprobar que[ 6 , -) C: A y

[ c2 , .)C: B por la subhomogeneidad de q, con lo cual

A() B

~

0 .

Por lo que 3d2 > 0 tal que d2 E A(1 B,

verificando

K'di > gi(K'dl

,K'd2 ,K'd3 , . `K'd K ),

K' > 1 1151

K"d2 > q2(K"dl,K''d2

,K"d3, . . .,K''dK ), K'' > 1[ 161

Multiplicando

[ 151 por

K' '

y

[ 16 J

por

K'

y según la subhomogeneidad de q obtenemos :

z = (K' K ' d i )

i = 1, 2, . . .,K

tal que

zi > q, (z)

i=

1

, . . . . K

es decir, el sistema (S' ' ) es (DR) .

C.Q .D .



111-5 LA CONDICION DE PRODUCTIVIDAD Y SU RELA-

CION CON LA RESOLUBILIDAD DEL SISTEMA (S'')

Cuando q : Rn -. Rn era un operador que

verificaba las condiciones

i) q es continuo .

ii)

q(x)

> 0

si

x > 0 ;

q(0)

=

0 .

era posible encontrar un número real a# >0,

y un vec-

tor x e R+, x1 + -S . . + xn = l, de modo que*

a)

q(x)

=

x*

x .

b)

Si a > a#,

no es posible encontrar x >0,

xl+ .. .+xn=1,

de

tal

forma

que

q(x)

= X x .

El resultado anterior permite definir la

productividad de aquellos operadores semipositivos

continuos que únicamente se anulan en el origen** .

En esta sección, añadiendo a los supues-

tos (A .1) (A .2) (A .3) (A .4) sobre el sistema (S'') la con-

dición

(A .5)

q(x) > 0

si

x> 0.

Véase Apéndice, Teorema A .3 .

## Confróntese capítulo II, sección 11 .4, Definición 2 .4 .

-97-



(condición que nos permite analizar la productividad

del operador q), estudiamos la relación entre la re-

solubilidad de (S'') y el hecho de que q sea un ope-

rador productivo .

En primer lugar y realizando una prueba

totalmente análoga a la . del teorema 2 .3, se obtiene

ahora :

Teorema 3.5 Para el sistema (S'') verificando los

supuestos (A .1)(A .2)(A .3)(A .4)(A .5), cualquiera de las

condiciones equivalentes

(DR)

(S' ') es débilmente resoluble .

(FR)

(S' ') es fuertemente resoluble .

(NIS)


(C)

q es convergente .

implican

(Pr)

q es productivo .

NOTA .- Al igual que sucedía con el sistema (S') del

modelo diferenciable la condición (Pr) no es suficien-

te, en general, para asegurar la resolubilidad del

sistema (S'') ; el mismo ejemplo que se dió en el ca-

pítalo II (sección 11 .3) sirve como prueba .

-98-



Para obtener que (Pr) es suficiente para

garantizar la resolubilidad de sistemas del tipo (S'°') ,

se ha de añadir la condición de que el operador q

sea indescomponible . Definimos a continuación este

concepto .

Definición 3 .1

Un operador semipositivo q : Rn -> Rn

se dice indescomponible si, -F S subconjunto propio

del

conjunto

de

índices

N

= {1,2, . . . . n } y

todo

par

de

vectores x,y E Rn , tales que

xi = yiparatodo ¡E: S

xi > yiparatodo i E N-S

se

verifica

que

q,(x) > q, (y)

V-

i E S,

dándose

la

de-

sigualdad estricta para al menos una componente .

La prueba de la suficiencia de

(Pr) (cuan-

do q es indescomponible) para la resolubilidad de

(S' ' ) (teorema 3.6)

es consecuencia del lema que sigue :

Lema 3.2

Sea q:

R+ } R+,

verificando

(A .1) (A'.2) (A .3 )

y q indescomponible . Si para un a > 0 y un x > 0, se

verifica a x-q (x )?.0,

entonces x > 0 .

Demostración

Suponemos que para x > 0 3a> 0, tal que

_99_



q(x) =ax, con x>0 pero x ?~ 0 .

Sea

R= {i E N

/xi

=

0 }

Construimos

y E R+, � tal que yi = 0 Y i E R

e yi < xi

Y- i E N-R.

Por ser q : R+ _>. R+ y creciente, obtenemos

que

qi(y)

=

0

-Y

¡E:

R

(por

ser

q,(x)

=

0

para

i E

R,

y < x) . Pero según la indescomponibilidad de q, ten-

dríamos que para algún i E R, qi(x) > 0, en contra

de

la

hipótesis

de

ser

xi=

0

y _cumplirse

que qi (x )=

= x xi=0 . En consecuencia, x>0.

Corolario Sea (S'') resoluble y tal que q es indes-

componible . Entonces, Y- c > 0 la solución x del sis-

tema (S'') es x>O .

El teorema siguiente afirma la equivalen-

cia,

para

el

sistema

(S''),

cuando 'q es indescompo

nible, del grupo de condiciones

(FR) (DR) (NIS) (C)y(Pr) .

Teorema 3.6

Para el sistema

(S' ' ) verificando

[ (A .1)

-

(A .5) ], y tal que q es indescomponible,

las condiciones siguientes son equivalentes :

-100-



(FR)

(S' ' ) es fuertemente resoluble .

(DR)

(S'') es débilmente resoluble .

(NIS)


(C)

q es convergente .

(Pr)

q es productivo .

Demostración Por los teoremas 3 .4 y 3 .5, basta com-

probar que (Pr) implica cualquiera de las otras con-

diciones .

Realizaremos la prueba de (Pr) => (DR)

Sean 1>x#>0 y x > 0 con x1+x2+ . . .+Xn=1,

tales que q(x ) _ ~# x > 0 . Al ser q indescomponible,

aplicando el lema 3.2, x > 0 . Con lo cual, al ser

a#> 1

:> f(x

)

=

x

- q(x) > 0,

y

por

tanto,

se

verifica

(DR) .

C.Q .D .



111 .6 UNICIDAD Y POSITIVIDAD DE LAS SOLUCIONES .

siendo

q

es tesoluble .

ESTATICA COMPARATIVA

La unicidad de la solución de sistemas del

tipo (S'') está garantizada para valores estrictamen-

te positivos de c* .

Para c > 0 pero c ~ 0, no se puede garan-

tizar la unicidad de la solución, como demuestra el

siguiente ejemplo

Sea

q(x) :R,

R,

-(x)

=

(gl (x),g+

+

2(x))

ql (x) =~ O'3xl + O'2x2

q2(x) =

verifica los supuestos

[ (A .1)-(A .4) J , y el sistema

(Si 1 J xl-

03x1

- 0'2x2

=

cl

-10 2-

x2 -g2 (xl

'x2 ) = c2

Una prueba de esta afirmación puede verse en FUJIMOTO,HERRERO & VILLAR (1984b) .



Para c°

todas � las de la forma

(1 + 0'2x2

0'7

, x2 ) con x2 <l .

La igualdad x = q(x) + c indica que, si

el sistema (S'') es resoluble, para todo c > 0 la solu-

ción

de

(S' )

es

estrictamente

positiva .

Si

c > 0

y

c ~ 0 no se puede asegurar que la solución asociada

sea estrictamente positiva, a no ser que q(x) sea in-

descomponible, como se obtiene del corolario del lema

3.2 .

Para finalizar esta sección, estudiamos la

posibilidad de establecer comparaciones entre las so-

luciones

de

dos

sistemas

alternativos

del

tipo

(S' ' )

parcialmente coincidentes . Se obtiene una Proposición

que generaliza el resultado obtenido en el Teorema

-103-

obtienen como soluciones



1 .4 para el modelo lineal . La notación utilizada es

igual a la utilizada_ en la sección 11 .5 del capítulo

II :

Sean los sistemas del tipo (S'')

x - q°(x) = c°

[17]

x - q (x) = c

[181

siendo ambos resolubles . Se obtiene la siguiente pro-

posición* .

Proposición. -3 . 1

Sean [ 17 1y [ 18 ]

dos

sistemas

resolubles

tipo (S''), tales que qT = qtT , c,1, = c,It, . Sean x° y

xtlas

soluciones, de

[ 17 ]y [ 18 ]

,

respectivamente,

y

supongamos que qS(x°)> cS .

En estas condiciones

i)

x° > xt (cumpliéndose, además xS > xS )ii) Si x > 0, se verifica además que

x . x .max

1> J, para todo j E T .

Véase FUJIMOTO, HERRERO & VILLAR (19840-) .

-104-



R E F E R E N C I A S

E C 0 N 0 M I C A S

C A P I T U L 0

I V

IV .1 Introducción .

IV .2 El marco Económico .

IV .3 Los modelos económicos implícitos .

IV .4 Significado de los resultados .

-105-



IV .1 INTRODUCCION

El conjunto de relaciones de producción

e intercambio de un sistema económico sólo puede cap-

tarse adecuadamente mediante una modelización en

términos desagregados . Los modelos económicos multi-

sectoriales constituyen, sin duda, uno de los instru-

mentos analíticos más poderosos, tanto dentro del cam-

po de la economía teórica (teoría del valor, de la

distribución, del crecimiento, etc .), como del campo

de la economía aplicada (análisis de la estructura

industrial, contabilidad nacional, programación econó-

mica, etc .) . Comparativamente con los modelos agre-

gados, los modelos multisectoriales poseen una mayor

profundidad analítica, en la medida que no atienden

al comportamiento del sistema económico como una uni-

dad simple, desprovista de estructura ; ello nos per-

mite analizar la secuencia de repercusiones y los im-

pactos relativos en las diferentes unidades del siste-

ma económico, y no sólo su efecto final . En pocas

palabras, en los modelos multisectoriales salta a pri-

mer plano una de las características fundamentales

de todo sistema : la interdependencia de sus componen-

tes ; interdependencia a través de la cual se desarro-

lla la interacción de las variables del sistema como

-106-



un proceso complejo y no como una relación simple

que liga de forma inmediata y directa cualquier _"cau-

sa" inicial con algún "efecto" final .

Un grupo de modelos multisectoriales, con

características específicas, son los desarrollados a

partir de los trabajos de Leontief y Sraffa . Elemento

común a estos modelos es el poseer una cierta "orien-

tación clásica" en el sentido de que los problemas que

aborden están próximos a los tratados en las obras

de los economistas etiquetados bajo tal adjetivo (fi-

siócratas, Ricardo, Marx, etc .) . El enfoque que pre-

side tal orientación se puede concretar en los siguien

tes puntos

La economía de referencia coloca en primer plano

los aspectos productivos y distributivos, relegando

en buena medida la teoría del consumo .

La producción se concibe como un proceso de trans-

formación de bienes y recursos primarios en bienes .

Se considera que en una economía industrial la ma-

yor parte de los bienes resultan reproducibles, mien

tras que los no reproducibles sólo son una pequeña

-107-



parte .

En

el

extremo,

este

planteamiento

lleva

a

la consideración de un único input primario : el tra-

bajo .

- La noción de competencia común a estos modelos

puede caracterizarse por la consideración de que

no existen barreras a la entrada en las distintas

industrias, de modo que resulta una tendencia a

la igualación de la rentabilidad obtenida por los

diferentes sectores .

Los sectores productivos constituyen las unidades

básicas de producción y se modelan de forma que

cada sector produce una única :mercancía (produc-

ción simple) .

En general, el supuesto

asociado al del empleo

circulante . No obstante,

la consideración deen

se

lo que sigue procedemos a la discusión del signifi-

deprecian a una tasa

Véase, por ejemplo, PASINETTI (1973) .

- 108-

de producción simple está

de capital exclusivamente

no hay ninguna diferencia

bienes de capital fijo que

constante conocida* . En



cado económico de los resultados obtenidos en los

capítulos I , I I y 111, así como de los supuestos que

caracterizan los diferentes modelos . Para ello, co-

menzamos, en la sección IV .2, con la,. descripción

de una economía por medio de una tabla de transac-

ciones intersectoriales ; la sección IV .3 explica el

mundo económico vinculado a los supuestos de cada

uno de los modelos presentados ; la discusión e in-

terpretación del significado económico de los resul-

tados obtenidos, se desarrolla en la sección IV .4,

que concluye con un par de comentarios finales de

orden general .



IV .2 EL MARCO ECONOMICO

Una forma inmediata de visualizar las re-

laciones de producción e intercambio en una economía

con las características apuntadas anteriormente es me-

diante la "tabla de transacciones intersectoriales" .

En cada casilla del cuerpo central de la

intercambio efectuado entre dos sec

la fila i-ésima refleja (en valores

la mercancía i efectuadas

tabla

tores productivos ;

corrientes) las ventas de

por el sector i-ésimo a los diversos sectores, más las

se recoge el

La tabla de transacciones

\iene\Sectores TOTA,1 2 . . . n DF filas

1 Pl xll Pl x12 "' Plxln Pl dl pi xi

2 P2x21 P2x22 ".' P2x2n P2 d2 P2d2

n pnxnl Pnxn2 ' . . Pnxnn Pndn Pn xnVA VA 1 VA2 . . . VAn

TOTAL columnas plxl P2x2 . . . pnxn



ventas de la mercancía¡ destinadas a usos finales .

La suma por filas anos da , el valor total de, la produc-

ción, como suma de las ventas . La columna j, recoge

las compras de mercancías 1,2, . . . .n, efectuadas por

el sector i-ésimo, más el pago de los factores prima-

rios ; el total por columnas refleja el valor total de

la producción como suma de las compras interindus-

triales y del valor añadido VA . .

Si se considera la transformación :

x 1

VA.

a ij

-

x .V i

=

-x i

la información contenida en la tabla puede resumirse

en las dos identidades vectoriales siguientes

Ax + d

=_ x

[ 1 ]

pA + v

=

p

[ 2 ]

Para poder pasar de las identidades [ 1 ] y

[2 ] a sistemas de ecuaciones (que sean la expresión

de un modelo de análisis jeconómico), necesitamos es-

tablecer alguna hipótesis acerca del comportamiento

de la relación :



0, dicho en otros términos, debemos enunciar supues-

tos específicos sobre los rendimientos de escala preva-

lecientes en los diversos sectores (es decir, hay que

determinar cómo varía

aij

al cambiar xj ) . Si aij per-

manece constante al variar xj Y- i, diremos que en el

sector j-ésimo prevalecen rendimientos constantes a

escala ;

por

el contrario,

si

aij

varía con xj ,

enton-

ces hablaremos de rendimientos de escala variable,

para el sector j-ésimo . Si a ij disminuye al crecer

xj , para todo i, hablaremos de rendimientos crecien-

tes a escala ;

si aij crece 'con xj ,

entonces hablaremos

de rendimientos decrecientes .

La literatura en torno al tipo de rendi-

mientos que prevalecerán en los distintos sectores de

una economía, asocia diversas causas a cada una de

las posibilidades . La presencia de rendimientos cre-

cientes puede explicarse en base a tres tipos de fenó-

menos

a) La existencia de indivisibilidades para algunos in-



Finalmente, los rendimientos

nen su explicación

de replicar los procesos, además de que

puts hace que existan tramos en los cuales mejora

la

relación

entre

inputs

y

outputs

hasta el . nivel

en que se utilizan plenamente los inputs indivisi-

bles .

b) La especialización de los inputs derivados de la

división del trabajo posibilitada por unos mayores

vol menes de output .

c)

La

naturaleza

de

ciertos

procesos

en

relación con

las leyes físicas (tridimensionalidad del espacio*) .

Por su parte, los rendimientos decrecientes

se vinculan a la presencia de inputs limitativos (que

pueden impedir el uso de las combinaciones más efi

cientes de inputs para cualquier nivel de output) .

Todos los procesos que implican utilizar superficiespara obtener volúmenes, hacen que el crecimiento delos materiales requeridos sea siempre proporcionalmen-te inferior al del volúmen conseguido .

constantes tie-

más inmediata en la posibilidad

constituyen



siempre una buena aproximación cuando se consideran

pequeñas variaciones en el output .

Históricamente, el énfasis en los rendimien

tos crecientes puede asociarse a la figura de Adam

Smith, quien los relacionaba con la división del tra

bajo y la extensión del mercado ; los rendimientos de-

crecientes surgen en el contexto de la explicación de

la "renta de la tierra", cuyo análisis fue desarrolla-

do por David Ricardo . Los rendimientos constantes han

sido utilizados al desarrollarse las formulaciones li-

neales de modelos desagregados (Walras-Cassel, Leon-

tief, Sraffa, etc .), y han sido propuestos como una

base microeconómica adecuada desde los años 20* .

Véase SRAFFA (1925-26) (1926) .



IV-3 LOS MODELOS ECONOMICOS IMPLICITOS

Los tres sistemas analizados en los capí-

tulos 1, 11 y 111 de esta memoria constituyen el so-

porte matemático de tres modelos económicos de las

características apuntadas en la sección anterior . Nos

ocuparemos ahora de analizar los rasgos específicos

de cada uno de estos modelos, comenzando por él caso

lineal, que discutiremos con un cierto detalle ya que

los otros dos modelos pueden considerarse variaciones

del mismo .

Consideramos una economía cerrada y sin

sector público que produce n mercancías mediante mer-

cancías y trabajo homogéneo, en base a procesos pro-

ductivos que verifican los siguientes supuestos

1 .

Cada

proceso productivo produce - una única mer-

cancía (producción simple) . Todo el capital em-

pleado es capital circulante .

2 . El trabajo (que suponemos homogéneo) constituye

el único input primario de la producción, cuya



participación se requiere en todos los procesos .

Consideramos . que prevalecen condiciones competi-

tivas en el mercado de trabajo, de modo que el

salario es uniforme .

3 . Prevalecen rendimientos constantes a escala .

4 .

Cualquier número real 'no negativo puede represen.

tar cierta cantidad de cualquier mercancía (divi-

sibilidad de los bienes) .

5 . Sólo hay disponible un proceso para la producción

de cada mercancía .

6 . Las condiciones competitivas hacen que el tipo

de beneficio de equilibrio sea uniforme en todos

los sectores productivos .

Un proceso productivo constituye una espe-

cificación de los diferentes inputs requeridos para

producir cierta cantidad de mercancía determinada ;

teniendo en cuenta los supuestos establecidos, podemos

escribir para la mercancía j-esima :

(a lj ,

a2j , . . . ,

anj ) ;

aj- "

1

unidad

de

j



donde aij > 0, es la cantidad de mercancía i-ésima

requerida para

producir

una

unidad

de mercancía

. ,

i, j

=

1, . . . . n ;

y

donde

aj> 0

representa

la

cantidad

de trabajo por unidad de j .

El conjunto de métodos (o procesos) pro-

ductivos definen la técnica del sistema económico, que

viere descrita por el par,

(A, a)

donde A es la matriz de los coeficientes técnicos de

producción,

es

decir,

A

=

(aij ) ,

i,j=l , . . . . n

y

a=(aj ),

j=l, . . . .n

es

el

vector

fila de cantidades de trabajo .

Se verifica, según los supuestos anteriores, que A es

semipositiva, y a >O .

Si llamamos x . al output del sector j, yJx=

(xj ),

j=l, . . . . n

al

vector

columna

de

outputs

tota-

les, entonces Ax representa las cantidades de cada

una de las mercancías requeridas como inputs para

la producción de x ; á.nalogamente, el escalar "ax"

representa la cantidad total de trabajo directo nece-

sario para la producción de x .

Sea

d

=

(d3 )

j

=

1, . . . , n

el

vector

de

de-



mandas finales ; entonces, el equilibrio en el sistema

de cantidades vendrá dado por la igualación de las

producciones netas a las demandas finales, es decir,

(1-A)x=d

[4]

donde x constituye el vector de producciones brutas .

sector como

Con respecto al sistema de precios, adviér-

tase que de acuerdo con el supuesto (2), el trabajo

constituye el único input primario de la producción ;

en consecuencia, el valor añadido unitario de cada

sector estará constituido únicamente por dos componen-

tes :

salarios

y

beneficios

(vj

=

wj+

,r j ,

j=1,2, . . . . n) .

Además, las especificaciones de (2) permiten expresar

el volumen de salarios por unidad de producto de un

w . = w a .J

J

donde w es el salario unitario y aj el coeficiente de

trabajo (cantidad de trabajo por unidad de producto) .

El coste de producción unitario del sector

j-ésimo podemos expresarlo entonces como

nkj =

aij pi + w aji=1



y, consecuentemente, el beneficio unitario vendrá dado

tal avanzado", por

Podemos escribir entonces,

ITj = pj - kJ

y

la

tasa

de

beneficio,

rj ,

que

es

la

variable

que

refleja la rentabilidad obtenida en relación al "capi-

pj

=

(1

+

rJ )

kJ

De acuerdo con el supuesto (6), en equi-

librio tendremos pues que r 1 = r2 = . . . = rn = r,

siendo r la tasa de beneficio uniforme, por tanto,

p j=

(1

+

r)

k j

j=l, . . . . n

y, en términos matriciales, el sistema de precios de

equilibrio vendrá dado por,

p = (1 + r) (pA + wa)

siendo p el vector fila de los n precios, A la matriz

de coeficientes técnicos, a el vector (fila) de coefi-

cientes de trabajo y w, r, las tasas de salario y be-

neficio, respectivamente .

[5



La diferencia fundamental entre el modelo

lineal analizado en el capítulo 1 y los modelos no li-

neales estudiados en los capítulos 11 y 111 estriba

en la eliminación, en la economía de referencia, del

supuesto (3) acerca de rendimientos constantes a es-

cala . Por lo demás, en ambos modelos se mantienen

los supuestos (1), - relativo - a producción simple, (2),

referente a la consideración del trabajo como único

input primario y a la uniformidad del salario, (4),

acerca de la perfecta divisibilidad de los bienes, (5),

disposibilidad de un único proceso para la producción

de cada mercancía y (6), sobre la competitividad, que

conlleva un tipo de beneficio uniforme para todos los

sectores .

La modelización que inspira el sistema di-

ferenciable analizado en el capítulo 11 se debe a

SANDBERG (1973) . En ella cada término a . . x . con-1J. J

sumo de input i-ésimo requerido para producir xj

unidades del bien j es sustituido por una función,

no necesariamente linealqij

(xj ), con lo que la ecua-

ción

[ 4 ] se reemplaza por

nxi

- 2

qij

(xj )

=

di

n

[ 6j=1

-120-



(S .1)

qij(0) = 0

(S .2)

qij(xj ) E C1

El comportamiento de las funciones de em-

pleo

de

inputs

qij

(xj )

i=1 . . . n,

j=1 . . .n

queda espe-

cificado en los supuestos siguientes :

(S .3)

qij

(0) >qij

(xj ) > 0

Y

xj

E R+

El supuesto (S .1) significa simplemente que

cuando no se produce nada no se requiere el empleo

de ningún input ; el supuesto (S .2) de que las funcio-

nes qij sean continuamente diferenciables es un su-

puesto operativo que permite utilizar los instrumentos

del cálculo (sin ninguna significación esencial en

cuanto a la descripción de la economía de referencia) .

Finalmente, el supuesto (S .3) implica, por un lado,

que los requerimientos de inputs crecen al crecer el

output

(q' .

(x . )

> 0)

y,

por

otro

lado,

coloca una

li-1J J _

mitación a la variación marginal de dichos requeri-

mientos .

La acotación qij (0) > qij (xj ) indica que

la variación marginal del requerimiento de inputs en

el origen es mayor que en cualquier otro punto .

La siguiente figura ilustra que ello nos



permite admitir rendimientos, tanto crecientes como

decrecientes, pero siempre que se respete la acotación

definida porqij

(0) .

q.

J

.

~

OA = rendimientos crecientes .

AB = rendimientos constantes .

BC = rendimientos decrecientes .

-122-

Xi

xj

0 iq' a

11 i

i -o-



Es interesante resaltar que, análogamente

al modelo lineal, en el modelo de Sandberg los su-

puestos tecnológicos tienen carácter sectorial (q 1] sólo

depende de xj ), a diferencia de lo que ocurre con la

variación del modelo lineal representada por el mode-

lo continuo .

El sistema base que se ha empleado para

la modelización continua a la que se dedica el capí-

tulo 111, está inspirado en los trabajos de LAHIRI

(1976)

y

LAHIRI

& PYATT

(1980) ;

en él se establecen

supuestos tecnológicos a nivel de la economía en su

conjunto, para lo cual se utilizan como variables de

referencia las cantidades totales de mercancía i-ésima

empleada como input por toda la economía para pro-

ducir un vector x = (x j ) j=l . . . n de outputs brutos .

Así pues, ahora, el sistema de cantidades se expresa

en la forma

donde q (x) = (gl(x)9__ . . ., qn (x)), y cada q . (x)

es

una función que depende de la producción de todos

los sectores y que recoge el empleo de mercancía i

-12 3-



como input en la producción de x.

Los supuestos del comportamiento tecnologi-

co establecidos sobre la economía descrita por [7] ,

son, además de la continuidad de q (supuesto (A .1),

los siguientes

(A .2)

q es

monótona

i .e .

q(x) < q(y)

si x ~y

(A .3)

q es subhomogénea

i.e . q(kx) < kq(x) Y k > 1 .

El supuesto (A .2) de monotonía, implica

el crecimiento de requerimientos de inputs al crecer

el output (resulta análogo a la condición qij > 0 en

el modelo diferenciable) . El supuesto (A .3) especifica

las posibilidades de rendimientos a escala que el mo-

delo admite ; en particular, indica que la economía

en su conjunto debe presentar rendimientos no decre-

cientes, pero no exige que ello ocurra en cada sector .

Como observa-_ión firal, señalaremos que

la no comparabilidad (desde el punto de vista del gra-

do de !generalidad) de los modelos continuo y diferen

ciable, se deriva del distinto ámbito de referencia

de los supuestos tecnológicos : sectores individuales

-124-



para el caso diferenciable y para el continuo, la eco-

nomía en su conjunto ; ello se ilustra claramente por

el hecho de que, para el modelo diferenciable, la

economía en su conjunto puede presentar tramos de

producción en los que prevalezcan rendimientos decre-

cientes .



IV .4 SIGNIFICADO DE LOS RESULTADOS

En esta sección se pretende dar una inter-

pretación (desde el punto de vista económico) de los

resultados obtenidos para los modelos analizados en

los

capítulos

I ,

II

y

111 .

El tema central estudiado en cada uno de

dichos modelos es el de su resolubilidad . En este

sentido, el resultado más relevante consiste, sin du

da, en la equivalencia entre la resolubilidad débil

(DR) y resolubilidad fuerte (FR) . Ello implica que

si un sistema económico efectivo (que puede ajustarse

a alguna de las modelizaciones presentadas) ha fun-

cionado en un cierto periodo, seguirá pudiendo alcan-

zar el equilibrio cuando cambie el vector de demandas

finales . Esto es, el hecho de que se haya producido

la igualdad entre oferta y demanda para un determi-

nado vector de demanda final, comporta que, al va-

riar el vector de demandas finales, podremos seguir

encontrando niveles de producción de equilibrio .

Respecto al resto de condiciones analiza-

das, nos limitaremos a dar una interpretación de las

-126-



que son comunes a los tres modelos, es decir, (Pr),

(C) y (NIS) .

neto

idéntica

-127-

R`

La condición (Pr), o de productividad de

la tecnología empleada, supone el exigir a dicha tec-

nología que sea capaz, a

dades (que sería el dado

proporcionar un producto

vista, puede parecer

la

de la condición

(DR) ;

sin

zaciones que la diferencian :

que x no es necesariamente estrictamente positivo,

hay una traducción directa de (Pr) a (DR) ; en segun-

do lugar, es interesante enfatizar el hecho de que

el que la economía genere un producto neto positivo

para un determinado nivel de actividad, no implica

que lo genere para otros niveles diferentes, mientras

que si la economía satisface un nivel determinado de

demandas finales, es capaz, asimismo, de satisfacer

cualesqui.era otros .

__,_ . . .

un nivel concreto de activi~

por el vector propio x), de

positivo . A primera

esta interpretación a

embargo, hay dos mati-

por una parte, y dado

no

La condición (C) de convergencia, indica

simplemente que existe un requerimiento finito de in-

puts totales (directos e indirectos) para satisfacer



cualquier vector de demanda final . Ilustremos esta

idea con el caso lineal . La solución del sistema [4]

puede expresarse como

x= (I -A) -1d= (I +A+A2 + . . .)d=d+Ad+A2d+ . . .

la suma de la serie d + Ad +, A2 d +

. . . ,

que indica

las cantidades de producto requeridas para satisfacer

la demanda d, muestra lo siguiente : el primer térmi-

no (d) indica que habrá que producir lo demandado ;

el segundo (Ad) refleja los requerimientos de inputs

directos necesarios para poder producir d ' (como out-

put bruto), el tercer término (A2 d) indica las canti-

dades de inputs necesarios para poder producir Ad,

etc . La suma de todos ellos no es otra cosa que los

requerimientos directos e indirectos de inputs necesa-

rios para obtener un producto neto igual a d .

Finalmente, la condición (NIS) de no in-

versión de signo, podería ser interpretada ztn términos

de una "productividad débil" . Con ello queremos se

ñalar que lo que tal condición indica es que para

todo x > 0 existe siempre un output neto positivo para

alguna mercancía ; es decir, que cualquiera que sea

el nivel de actividad, si bien no está garantizada

-128-



la existencia de producto neto positivo para todos los

sectores, sí lo está, al menos, para un sector [x > 0

=> x - q(x) ~ 0}.

Hasta ahora hemos interpretado las condi-

ciones de resolubilidad únicamente haciendo referencia

al sistema de cantidades . En lo que respecta al sis-

tema de precios, cabrían interpretaciones en todo aná-

logas, siempre que tal sistema verificara los -supuestos

de cada uno de los modelos .

En términos generales, el sistema de pre-

cios de equilibrio asociado a un cierto nivel de de-

manda final dl, puede describirse como

p(x°)

-

[ g(p,

x°)

+

w(x°)

]

(1

+

r)

[8]

donde x° es la solución del sistema de cantidades que

representa el nivel de . output bruto que satisface &

y que debe interpretarse como un vector de parámetros

(recogiendo así la posibilidad de que los coeficientes

-129-



de producción sea variables) ; g(p, x°) es el n-vec-

tor de .precios medidos en términos del salario (toman-

do el salario igual a la unidad) y w(x°) es el n-

vector de coeficientes de trabajo ; cada gi (p, x°) +

wi (x°) representa el coste de producción unitario del

proceso i cuando la economía produce un output

bruto dado por x° . Finalmente, r representa el tipo

de

beneficio

uniforme .

Nótese

que

la

ecuación

[ 8 ]

no es

más

que la expresión general del

sistema

[ 5

cuando admitimos rendimientos variables .

Por otra parte, la cuestión que tiene inte-

rés respecto al tema de la resolubilidad es la de

vincular la resolubilidad de los sistemas de cantida

des y de precios para una misma economía . ' En este

sentido, es fácil comprobar que siempre que un siste-

ma económico sea resoluble desde el lado de las can-

tidades, podemos encontrar, por cada nivel de deman-

da final, un vector semipositivo solución de equili-

brio del sistema

de precios

[ 8 ] .

Puesto que, fijo x°, los coeficientes de

producción resultan constantes, la discusión sobre re-

solubilidad simultánea de sistemas de cantidades y

-130-



precios, puede circunscribirse al caso lineal .

En és-

te, la resolubilidad del sistema de cantidades exige la

productividad

de A;

es decir,

a* (A) < 1 . En estas con-

diciones, siempre que

r

sea tal que 0 < rX lA

- 1,

está asegurada la existencia de solución p > 0 para

el sistema [ 5 ] . (Nótese que la condición a*(A) < 1

implica la posibilidad de encontrar valores de r po

sitivos ,

verificando la acotación anterior ) .

junto a la resolubilidad, una característi-

ca destacable en los tres modelos analizados es la un¡

cidad y positividad de las soluciones, cuando los

vectores de términos independientes son positivos . El

carácter estrictamente positivo del vector

independientes significa,

cantidades,

términos de

en el caso

te, que el

procesos productivos .

términos independientes es una condición suficiente

de términos

en el caso del sistema de

que todos los bienes son "deseables" en

usos

finales

(consumo

e

inversión neta) ;

del sistema de precios indica, sencillamen-

trabajo es un input necesario en todos los

La positividad del vector de



para obtener la positividad estricta de las soluciones ;

no obstante, las mismas conclusiones pueden obtener-

se cuando d (o bien

es indescomponible .

implica que cada

directa o indirectamente, en la producción de todos

los demás* .

w) son semipositivas y el sistema

La noción de indescomponibilidad

es utilizada como input,mercancía

El carácter único de las soluciones obteni-

das constituye un requisito mínimo para poder efectuar

análisis de sensibilidad .

El teorema central sobre estática compara-

se presenta en los modelos analizados, pro-

condición suficiente que permite, por una

tiva que

porciona una

parte, afirmar el crecimiento (o decrecimiento) del vec

for solución y, por otra, localizar la variación rela-

tiva mayor, cuando cambian los parámetros . El compor

tamiento del sistema de cantidades, en términos de

estática comparativa, aparece descrito en el corolario

3 : si el vector de demandas finales crece, entonces

el vector de outputs brutos también crecerá (estricta-

A las merc.ancias que verifican tal condición se lesllama básicas . Véase SRAFFA (1960) .

-132-



mente al menos para aquellas mercancías cuya deman-

dw final ha aumentado), y el crecimiento relativo ma-

yor se encontrará entre aquellas mercancías cuya de-

manda final ha variado .

ye aquél en que sólo se incrementa la demanda fi-

nal de la mercancía j-esima (dt >d', d~ >d?

di = di

Entonces, se tiene

i)

xt >x 0

(x~ >x~)

dt _ doJ J

Un caso particular de interés lo constitu-

(El punto iii) indica que la elasticidad de la produc-

ción de la mercancía j con respecto a la variación

en la demanda final de la mercancía j no puede supe-

rar a la unidad) . Todo lo anterior indica que los

resultados de estática comparativa obtenidos en rela-

ción al sistema de cantidades constituyen una genera-

rendiientos variables, por una parte : no requiere

-13 3-

lización de

SHIMA (1964,

las leyes de

ch . l , Temas

Hicks,

6 y7) ;

discutidas

dicha

en MORI-

generalización

extiende los resultados del caso lineal al caso de



de supuestos de indescomponibilidad,

por otra ; y final

mente, permite tomar en consideración cambios en más

de una componente en el vector de demandas finales .

La interpretación más directamente vincu-

lada al teorema central sobre análisis de sensibilidad

(T51 1 .4, Prop .2 .2-3 .1) puede ofrecerse en_ relación con

el sistema de precios . En efecto, consideremos dos tecno

logias alternativas (la tecnología en uso que designare-

mos por, (t) y una alternativa que denotaremos por o),

tales que difieren en los s primeros procesos produc

tivos . Los respectivos sistemas de precios para un

nivel de producción dado y una cierta tasa de bene-

ficio r, son :

pt =[gt(pt) + wt ] (1 + r)

p° = [g°(p °) + w°] (1 + r)

[10]

-134-

La condición

del teorema 1 .4 v Dropos .2 . 2-3.1, nos dice

que

si

gi(pt )

+

wi > pi

i=1, . . . . s

(es decir,

si

evalua-

mos los costes de producción de los nuevos procesos

a los precios vigentes y resultan menores a los costes

de

los

procesos en uso),

entonces pt > p°

(es

decir,

el nuevo vector de precios resultará inferior si adop-



tamos la nueva tecnología) ; además el

mayor

decreci-

miento relativo de precios se presentará en alguna.:

de las industrias cuyo proceso de producción se ha

modificado .

OBSERVACIONES FINALES

ñ ~C BC

En relación con la modelización desarrolla-

da, hay dos ideas que vale la pena resaltar, para

concluir este capítulo .

La primera de ellas se refiere al interés

que presenta la disponibilidad de una colección de

condiciones alternativas equivalentes de resolubilidad .

Tal conjunto de condiciones equivalentes puede funcio-

nar a modo de lista de chequeo, de suerte que basta,

en cada caso particular, comprobar la verificación

(o el incumplimiento) de una condición que resulte

manejable .

La segunda de ellas tiene que ver con el

"buen comportamiento" de los modelos analizados . En

-135-



este sentido debe destacarse, por una parte, que las

generalizaciones obtenidas del caso lineal se caracte-

rizan por mantener todas las propiedades básicas en

cuanto a existencia, unicidad, positividad y comporta-

miento regular de las soluciones*, y, por otra parte,

que se ha conseguido mantener las condiciones equi-

valentes de mayor interés (aquellas que no dependen

de la especificación particular de las funciones) de

entre las presentadas para el caso lineal .

La única excepción en este sentido, que aparece en elanálisis de estática comparativa para el sistema (S'),se debe a las posibilidades de comportamiento erráticode tales sistemas, pudiendo aparecer sectores en losque, a mayor nivel de actividad, la producción netasea menor .

-136-



A P E N D I C E

T E 0 R E M A S

D E

P E R R 0 N - F R 0 B E N I U S

Y

G E N E R A L I Z A C I 0 N E S

I .

Introducción . Los teoremas de Perron-Frobenius .

II .

Extensión del teorema de Perron-Frobenius a opera-dores continuas homogéneos de grado 1 .

III .

Extensión al caso de operadores continuos subho-mogéneos .

IV .

Un resultado para operadores continuos .

-137-



1 . INTRODUCCION . LOS TEOREMAS DE PERRON-

FROBENIUS

Las condiciones (Pr) que aparecen en los

distintos sistemas analizados (lineal, diferenciable

y continuo) en los capítulos 1, II y 111 de esta me-

moria, se vinculan a la acotación por la unidad de

un cierto escalar, asociado a cada uno de los opera-

dores semipositivos que aparecen en los diversos ca-

sos .

Centrándonos en el modelo lineal analizado

en el capítulo 1, la condición (Pr) se verifica cuando

a* (A)

< 1,

siendo

x* (A)

un

autovalor

especial

de

la

matriz semipositiva A, cuyo nombre habitual en la li-

teratura es raíz de Frobenius de A. Este autovalor

especial (y los autovectores asociados a él) posee

propiedades específicas notables que lo convierten en

una potente arma analítica . Presentamos, en este

Apéndice, las propiedades más relevantes c,~ este &u-

tovalor, recogidos en lo que comúnmente se denominan

"teoremas de Perron-Frobenius" y la generalización

del mismo a operadores semipositivos no necesariamen-

te lineales . Comencemos enunciando los teoremas ini-

ciales de Perron-Frobenius y comentando, en este pun-

-13g-



to, los diversos métodos de prueba empleados en su

obtención . La sección II recoge la extensión de SOLOW

& SAMUELSON (1953) y MORISHIMA (1961) para operado-

res semipositivos continuos homogéneos

la sección III se dedica a la extensión

operadores subhomogéneos presentada

(1979) . Concluye el Apéndice

para operadores semipositivos

se anulen en el origen que

manipulaciones realizadas

de la condición (Pr) y la

mas (S') y (SI'),

III .

de grado 1 ;

al caso de

por FUJIMOTO

con un resultado inédito

continuos que únicamente

resulta suficiente en las

acerca de la vinculación

resolubilidad de los siste-

estudiados en los capítulos II y

El primer resultado acerca de las peculia-

ridades del espectro de una matriz cuadrada positiva

se debe a PERRON (1907) . Posteriormente, FROBENIUS

(1909) obtuvo las mismas conclusiones para matrices

semipositivas indescomponibles . Los enunciados de

Perron y Frobenius se ofrecen a continuación :

- 139-



Teorema de Perron Una matriz cuadrada positiva

A > 0, posee siempre un valor propio positivo, a* (A),

simple, que excede en módulo a los restantes valores

propios de A . A este valor propio "maximal", X* (A),

le corresponde un vector propio x* , con todas sus

componentes positivas .

Teorema de Frobenius Sea A una matriz cuadrada se-

mipositiva indescomponible . En estas condiciones,

i )

A posee un valor propio

a* (A) ,

positivo .

ü)

a* (A) es simple .

iii) a*(A) crece cuando alguna componente de A au-

menta .

iv)

El módulo de los restantes autovalores de A no

excede a a*(A) .

v)

Asociado

a

X* (A)

existe

un

autovector x* . ,

con

todas sus componentes positivas .

vi)

Si

x es otro autovalor de A, X ~ a * (A),

no exis-

te ningún autovector asociado a X con todas sus

componentes del mismo signo .

El teorema de Perron es un caso particu-

lar del teorema de Frobenius, con la única salvedad

-140-



de que, cuando A > 0, no existen otros autovalores de

A cuyo módulo coincide con � a* (A), ya que, al ser

A > 0, es primitiva* .

Tanto la prueba inicial de PERRON (1907),

como la de FROBENIUS (1909), son elementales pero

tediosas . Más tarde WIELANDT (1950) probó estos teo

remas de un modo más simple, aplicando el teorema

del punto fijo de Brouwer . La prueba de Wielandt es

la más popular entre los economistas, pues fue divul-

gada en el trabajo de DEBREU & HERSTEIN (1953) .

Posteriormente, KARLIN (1959) y NIKAIDO (1968), pro-

baron el teorema por otros procedimientos, sin emplear

teoremas de punto fijo . La prueba ofrecida en el li-

bro de ARROW & HAHN (1971) es análoga a la de Kar-

lin . Por su parte, otra prueba presentada por MURATA

(1972) es, en cierto sentido, del estilo de la prueba

inicial de Frobenius .

Cuando se considera la posibilidad de que

la matriz A sea descomponible, se obtiene un resulta-

Sobre el concepto de°primitividad, véase HERRERO, SIL-VA & VILLAR (1984, sección II .1) .



do más débil :

Teorema de Perron-Frobenius para matrices descompo-

nibles Sea A una matriz cuadrada semipositiva . En

estas condiciones,

i)

A posee un valor propio,

X * (A) ? 0 .

ii)

Asociado a

a *(A) ,

existe un autovector x*? 0 .

iii)

X* (A)

? 1

X

1 ,

para

cualquier

valor

propio de

A.

iv)

Si

A > B > 0,

entonces

x*(A)

>

>,*(B 1 .



II . EXTENSION DEL TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS

A OPERADORES CONTINUOS HOMOGENEOS DE GRADO 1

La primera extensión de los teoremas de

Perron-Frobenius a operadores no lineales se realizó

por SOLOW & SAMUELSON (1953), considerando aplica

ciones de Rn en sí mismo continuas, semipositivas y

homogéneas de grado 1 . Cuando el operador es indes-

componible, se conservan ., todas las propiedades inte-

resantes de la raíz de Frobenius para matrices indes-

componibles : positividad y unicidad (de la dirección)

del autovector asociado y acotación en módulo de los

restantes autovalores . Ofrecemos a continuación el teo-

rema de Solow y Samuelson :

Teorema A-1

Sea q :

Rn ->. Rn ,

verificando

a)

q continuo y

q(x) ?0

si

x :10 .

b)

q homogéneo de grado 1

(es

decir,

q(ax = aq (x) ,

para todo a>0, x>0).

c)

q es monótono (es decir,q(x) > q(y) si x > y) :

d)

q es indescomponible "" .

El concepto de indescomponibilidad de q es el dado enla definición 3 .1 .

-143-



En estas condiciones, se verifica :

i)

; q(x) >0

para

x >O .

1

1

.

ii)

La ecuación q(x )=

ax posee solución a*(q) > 0, x*> 0 .

iii) x*>0 es único, salvo un factor de proporcionali-

dad.

La prueba inicial del teorema fue afinada

por MORISHIMA (1961), utilizando una generalización

del método de Wielandt para el caso lineal . Más ade

lante, MORISHIMA & FUJIMOTO (1974) proporcionan una

prueba alternativa del teorema, así como otra prueba

diferente, muy sencilla, utilizando el teorema de

Kuhn-Tucker, cuando suponen una hipótesis adicional

sobre el operador q : la diferenciabilidad .



III . EXTENSION AL CASO DE OPERADORES CONTINUOS

SUBHOMOGENEOS

Relajando la condición de homogeneidad

del operador q a subhomogeneidad, se obtiene el re-

sultado siguiente

Teorema A-2

Sea q : Rn -~ Rn , verificando

a )qes continua .

b)

q(x) > 0

si

x >0 ;

q(0)

= 0 .

En estas condiciones

i)

3

X* > 0,

x* > 0,

x* e K(siendo

K=fx > 01 xl+ . . +x n=1}) ,

tal

que

q(x *)

=

a * x* .

Si además :

c)

q es indescomponible .

d)

q es subhomogénea (es decir, q(kx) < kq(x) para

todo k > 1, x >O) .

Entonces se obtiene

ii)

existen

a * > 0,

x *

>

0,

x*

e

K

de

modo

que

q(x*) = a*x* .

-14 5-



iii)

Si 0 < a < X', no

es

posible

encontrar

ningún

x e K, verificando q(x) = Xx .

El teorema A-2 es una particularización,

cuando F(x,a) = ax - q(x) de un resultado presentado

por FUJIMOTO (1979) . Es interesante señalar que la

prueba presentada por Fujimoto para este teorema es

una extensión de la presentada para el teorema A-1

en el trabajo de MORISHIMA & FUJIMOTO (1974) .



IV . UN RESULTADO PARA OPERADORES CONTINUOS

Finalizamos este Apéndice presentando un

resultado que afina el contenido en el teorema A-2

para el caso más débil, esto es, cuando al operador

q se le exigen únicamente las condiciones a) y b) del

teorema A-2 .

Teorema A-3

Sea q : Rn i Rn , verificando

a)

q es contínua .

b)

q(x) > 0

si

x > 0 ;

q(0)

= 0 .

Demostración

En estas condiciones :

i)

La ecuación q(x)

=

ax posee solución

x*> 0,

x *> 0

x* E K .

ii)

Si

a > a* , no existe ningún x E K, tal que

q(x) = xx .

i)

Sea

p(x) :

K -" K,

definida

a

partir

de

q

del

si-

guiente modo

p(x)

=

n

1

q(x)

-F

x E K .

111

-147-



Por verificarse b)

i-~

qi(x) > 0Y x e K .

La

función p(x)

está definida del compac-

to convexo K en sí mismo y, por tanto, podemos apli-

car el teorema del punto fijo de Brouwer, con lo cual,

existe x e K, tal que

nSea

X

= Z

qi (x) > 0,

se obtiene inmedia-

tamente de [1] que

p(X)

=

X

Consideramos el conjunto J\= {

a >0

1 3 x e K ver¡

ficando q(x) = a x } .

Por [2]A~ 0 .

Demostraremos que A está acotado supe-

riormente y su supremo,

a* , pertenece a A .

La función q (x)

es contínua en K (compac-

to)

por

tanto,

1 1 q(x) 11

posee

máximo,

M,

en

K,

luego,

si

a E:A

entonces1a I <

M

siendo q (x )= ax .:II x I~

Con lo cual, 1\ está acotado superiormente, sea

-148-



Por la continuidad de la función F(x,X) =

=ax - q(x) y por ser K u^ conjunto compacto, se ob-

tiene inmediatamente que q x t E K, verificando

con lo cual, a*

E A . Y, obviamente, se verifica ii) .

C .Q .D .



R E F E R E N C I A S

B. I B L I 0 G R A F I C A S

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