Tesi - Procedimiento Para Encontrar Derivadas

Matemáticas administrativas

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR DERIVADAS.

NOTACIONES DE LA DERIVADA.

La derivada de la función y= f (x) puede denotarse por cualquiera de las siguientes maneras:

dydx

,ddx

[ f ( x ) , y❑' , f (x )]

La derivada de y= también puede escribirse de la siguiente manera y´= 3 .

dydx

=3 x2−4

REGLA DE UNA CONSTANTE

Si f(x) =k donde k es cualquier número real entonces la derivada de F´(x)=0

y=f (x )

y=9

y=0

REGLA DE LA POTENCIA

Si f (x) = xn para cualquier número real diferente a cero entonces

y=x2+5

dydx

=2x


ERIKA HERNANDEZ CANO 4101

EJERCICIO 1

Si y= t−3

dydx

=−3 t−4

dydx

=−3t 4

EJERCICIO 2

Si encuentre la derivada .

y= 3√ x=x31

y= 13

x31−33= x

−233

1

dydx

=13

x−23= 1

3 x32= 1

33√ x2

EJERCICIO 3

Encuentre la derivada de la siguientes funciones:

y= 6 x3+15 x2


y= 182+30 x


53√ x2+4 x2 +7

5 x32−8 x−3

103

−138 x−3

10

3x31−8 x−3

10

3 3√x−1−8 x−3

CONSTANTE

Sea que un número real. Si g´(x) existe entonces la derivada de f(x)=k*g(x)

Y= k*g(x)

Y= k*g´(x)



REGLA DEL PRODUCTO 01/DIC/10

f ( x )=U ( x )∗V (x)

f ´ ( x )=U ´ ( x )∗V ´ ( x )

f ( x )=U (V ´ )∗V (U ´ )

EJEMPLO

U=3x2+5 x+6U ´=6 x2+5

V=2x3+4 x+2V ´=6 x+4

f ´ ( x )=(3 x2+5 x+6) (6 x2+4 )+(2 x3+4 x+2)(6 x+5)

f ´ ( x )=18 x4+30 x3+36 x2+12x2+20 x+24 ¿+(12 x4+24 x2+12 x+10 x2+20 x+10)

f ´ ( x )=18 x4+30 x3+48 x2+20 x+24¿+(12x4+10 x3+24 x2+32x+10)

f ´ ( x )=30 x4+40 x3+72 x2+52x+34

EJERCIO 1

U=3x2+5 x+6

V=2x3+4 x+2

f ( x )=U ( x ) V (x)

f ( x )=(3 x2+5 x+6) (6 x2+4 )+(2 x3+4 x+2)(6 x+5)

f ( x )=18 x4+30 x3+36 x2+12x2+20 x+24+12 x4+24 x2+12x+10 x2+20 x+10

f ( x )=30 x4+40 x2+72 x2+52x+34


ANALUISA GALICIA MORALES 4101

EJERCICIO 2

Y=(√ x+3)(x2−5 x )

Y=(x1/2+3)( x2−5x )

Y=( x12+3) (2 x−5 )+x2−5 x (1

2x12 )

Y=2x2−5 x2+6 x−15+ 12

x3/2−52

x1/2

Y=52

x3 /2−152

x1 /2+6 x−15

Y=52

x3 /2−152

x1 /2+6 x−15

Y=52

❑√ x−152

√ x+6 x−15

EJERCICIO 3

Y=(−3√ x+6)(4 √x−2)

Y=(−3 x1/2+6)(4 x1 /2−2)

Y ´=−3x12+6(2x

−12 )+(4 x

12−2)¿)

Y ´=−6+12 x12+(4 x

12−2)(−3

2x

−12 )

Y ´=−6+12 x−12 −6+3 x

−12 ¿

Y ´=−12+15x−1 /2


Y ´=−12+ 15√X


EJERCICIO 4

Y=(2 x−3)(√ x−1)

Y=(2 x−3)(x1/2−1)

Y ´=2x−3 (12 x−12 )+x

12−1(2 x)

Y ´=1 x−1 /2−32

x−12 +2 x1 /2−2

Y ´=3x1 /2−32

x−1 /2−2

Y ´=3√x− 3

2√x−2



REGLA DEL COCIENTE 06/DIC/10

Si f ( x )= U ( x ) NumeradorV ( x ) Denominador

V (x )≠0

f ´ ( x )=V ( x )U ´ ( x )−U ( x )V ´ (x)

[V (x )]2

La derivada de un cociente es el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador, ejemplo.

Si f ( x )=2 x−14 x+3

UY24

Encuentre la derivada del cociente

f ´ x=(4 x+3 ) (2 )−(2 x−1)(4 )

[4 x+3 ]2

f ´ x=(8 x+6 )−8 x−4

[4 x+3 ]2= 10

[4 x+3 ]2

EJERCICIO 1

Encuentre Dx( x−2 x2

4 x2+1 )U ´=1−4 xV ´=8 x


4 x2+1 (1−4 x )−(x−2 x2)(8x )(4 x2+1)2

=4 x2+1−16 x3−4 x−(8 x2−16 x3)

(4 x2+1 )2

¿ 4 x−16 x3+1−4 x−8 x2+16 x3

(4 x2+1 )2

¿ 4 x2−4 x+1(4 x2+1 )2


EJERCICIO 2

Dx(3 x−1)(4 x+2)

2 xU ´=(12x2+6 x−4 x−2)

V ´=12x2+2 x−2

(12 x2−6 x−4 x−2)2x

=12x2+2 x−22x

=24 x+2

(12 x2−6 x−4 x−2)2x

=12x2+2 x−22x

=24 x+2

Dx=Vx (U ´ )−U (x )(Y ´ )

(V (x ))2=2 x (24 x+2 )−(2 x2+2x−2)(2)

2 x2

D ´=(48x2+4 x )−(24 x2+4 x−4)

(2 x )2

D ´= 48x2+4 x−24 x2−4 x+4(2x )2


D ´=−24 x2−4(2x )2


EJERCICIO 3

Dx ¿

(2 x+1) ( x−1 )=2 x2−2 x+x−1=(2 x2−x−1 )=V ´=4 x−1

D ´=V ( x ) (U ´ )−U (x )(V ´ )

(Vx)2=

(2 x2−x−1 ) (10x )−(5 x2)(4 x−1)2x2−x−1

¿20x3−10 x2−10 x−(20 x3−5x2)

2x2−x−1

¿ 20x3−10 x2−10 x−20 x3−5 x2

2 x2−x−1

¿ −5 x2−10x

(2x2−x−1 )2


EJERCICIO 4

Dx( (3−4 x)(5 x+1)7 x−9 )U ´=−40 x+11

Y ´=7

15x+3−20 x2−4 x(7 x−9)2

=−20 x2+11 x+37 x−9

=U ´=−40 x+11

V ( x ) (U ´ )−U (x)(x ´ )(V ( x ))2

=(7 x−9 ) (−40 x+11 )−(−20 x2+11 x+3)(7)

(7 x−9)2

¿−280 x2+77 x+360 x−99−(−140 x2+77 x+21)

(7 x−9)2

¿−280 x2+77x+360 x−99+140x2−77 x−21¿ ¿(7 x−9)2

¿−140 x2+360x−120¿ ¿(7 x−9)2


EJERCICIO 5

f ( t )= t 2+tt−1

U ´=−2t+1V ´=1

f ( t )=( t−1 ) (2t +1 )−(t2+t )(1)

(t−1)2

f (t )=2 t+t−2 t−1−(t 2+t )(t−1)2

f ( t )=2 t+t−2 t−1−t 2−t(t−1)2

f ( t )= t 2

( t−1)2


EJERCICIO 6

Y=9−7 x1−x

U ´=−7V ´=−1

Y ´ ( x )=(1−x ) (−7 )−(9−7 x )(−1)

(1−x )2

Y ´ ( x )=−7+7 x−(9−7 x )(1−x)2

Y ´ ( x )=−7+7 x+9−7 x

(1−x )2

Y ´ ( x )= 2

(1−x )2


Tema: Costo promedio

Suponga que Y = C(x) da el costo total de fabricar x artículos. El costo promedio por articulo se encuentra al dividir el costo total entre el numero de artículos. La razón de cambio del costo promedio llamado el costo marginal promedio es la derivada del costo promedio.

COSTO PROMEDIO: Si el costo total de fabricar X artículos esta dado por C(x) entonces el costo promedio por articulo es:

C(x)= c (x)

x

COSTO MARGINAL PROMEDIO: Es la derivada del costo promedio


C(x)

El costo total en miles de dólares de fabricar X generadores eléctricos esta dado por C (x) donde c(x)= -x3+15x2+1000

a) Encuentre el costo promedio por generador b) Encuentre el costo promedio marginal

C(x)=−x3+15 x 2+1000

x

C(X)=−(1 ) (1 ) x3−1+15 (2 ) x 2−1

x

C(X)= -3x2+30x

C(X)=x (−3 x2+30 x )−(−x 3+15 x2+1000 )(1)

x 2

C(x)=−3x 3+30 x2+x 3−15 x 2−1000

x2

C(X)=−2x 3+15 x2−1000

x2

Suponga que el costo en dólares de fabricar X 100 de artículos esta dado por C(X)=3x2+7x+12

A) Encuentre el costo promedioB) Encuentre el costo promedio marginalC) Encuentre el costo marginalD) Encuentre el nivel de producción para el cual el costo promedio marginal es “0” haga

la derivada C(x)=0 y despeje XE) Si el costo estuviera dado por C(x)=x2+10x+16. Encuentre el nivel de producción para el

cual el costo promedio marginal es igual a “0”

BARRIOS HERNÁNDEZ NANCY ARIANA

C(X)= 3x 2+7 x+12

x C(x)=

x (cx )−cx (1)x2

C(X)=3 (2 ) x 2−1+7 (1 ) x 1−1

x =6 x+7

x

C(X)=x (6 x+7 )−(3x 2+7 x+12 )(1)

x 2

C(X)=6 x2+7 x−(3 x2+7 x+12)

x 2


C(X)=6 x2+7 x−3 x 2−7 x−12

x2

b) C(x)=3x 2−12

x 2 =0

C(x)= 3x2+7x+12

c) C(x)= 6x+7 Costo marginal

d) C(X)= 3x 2−12

x 2 = 0

C(X)= 3x2-12=0(x2)

3x2-12=0

3x2=12

X2=123

X2=4

X=√ 4 = x=2

e) C´(X)=x2+10 x+16

x

C´(x)= 2 (1 ) x2−1+10 (1 ) x1−1

x =2x+10

x

C´(x)=x (2 x+10 )−( x2+10 x+16 )(1)

x 2

C´(x)= 2x 2+10x−x2+10 x+16

x2

C´(x)= 2x 2+10x−x2−10 x−16

x2 =

x2−16x 2

C Marginal

f)x2−16

x =0

c ´ ( x )= y 2−16=0 ( x ) X2=16X=√16=x=4

El costo totalen cientos de dólares de producir X unidades de perfumes es: c(x)=3x+2x+4

Encuentre el costo promedio para cada uno de los siguientes niveles de produccióna) 10 unidadesb) 20 unidadesc) X unidadesd) Encuentre la función de marginal


c(x)=3x+2x+4

C(x)= 3x+2x+4

= 3 x+210x+40

= 3 (10 )+210 (10 )+40

= 30+2100+40

= 32140

101

a) = 22.85

C(x) = 3x+2x+4

= 3 x+220x+80

= 3 (20 )+220 (20 )+80

= 60+2400+80

= 62480

=0.129

201

C(x)=3x+2x+4 = 3x+2

x1

C ( x )= 3 X+2X+4 X

=C ´ ( X )=31

C ( x )=

3 X+2X+4 X

X=3 x+2x2+4 x

=3

4 x+4

c (x )=( x2+4 x ) (3 )−(3 x+2 )(2 x+4)

¿¿¿

C (x)=3 x2+12x−(6 x+4 x+2 x+8)

¿¿

C ´ (x)=3 x2+12 x−6 x2−4 x−12 x−5¿¿

C ´ (x)=3 x2−4 x−8¿¿



Después de (t) horas de instrucción un estudiante típico de mecanografía puede escribir

N(t)= 70 t 2

23+t 2 palabras por minuto

a) Encuentre la razón N´ (t) a la que el estudiante esta mejorando después de T horas b) B) a que razón esta el estudiante mejorando después de T horas, 5,10,15c) C) describa el proceso del estudiante durante las primeras horas de instrucción

N (t )= 70 t 2

30+ t2

N ´ (t )=(30+t 2) (140 t )−(70 t 2) (t)

(30+ t2)

N ´ (t )=(420 t ) (140t 3 )− (140 t3 )

(30+t 2)

N ´ (t )=420 t

N ´ (t )=4200 (5 )30+(5 ) 2

=21,0003,025

=6.94

N ´ (t )=4200 (3 )30+(3 ) 2

=12,6001,521

=8.28

El costo total de producir X artículos esta dado por

C ( x )=0.48 X+120,000X

+1.500

¿Cuantas unidades deberá producir el fabricante para minimizar el costo?

C ( x )=0.48 X+(x ) (0 )− (120,000 ) (1 )+0

x2

C ´ ( x )=0.48+ 0−120,000x2


0=0.48 0−120,000x2

−0.48=0−120,000x

BARRIOS HERNÁNDEZ NANCY ARIANNA

( x2 ) (−0.48 )=−120,000

−0.48 x2=120,000−0.48

x2=250,00

x=√250,000 =500

Si la función de utilidad total para un fabricante esta esperada por

V= 5x2

√ x2+3=5000 obtener la utilidad marginal para 25 unidades

V=( X21+3) (10 X )−(5 x2 )¿¿

V=10 x2+30 X−10 x2

¿¿

V=30 X¿¿



Regla de la cadena 13-12-10

El costo total de producir x artículos esta dado por ∁ (×)=0.48+ 120000x

+1500

1. Cuantas unidades deberá producir el fabricante para minimizar el costo.

∁ (×)=0.48×+ 120000×2

+1500

∁ (×)=0.48−120000×2

0=0.48−120000×2

×2=120000−48

×2=250000×=√250000×=500

2. Si la función de utilidad total del fabricante esta expresada por:

U= 5×2

√×2+3+500

Obtener la utilidad marginal para 25 unidades

U= 5×2

√×2+3+500

U= 10×

√×22+3

+0

U=(×22+3) (10× )−(× ) (5×2+500 )

¿¿


U=10×2−10×−5×3−500×¿¿

U=10×2−490×−5×3

¿¿

ANGELICA ACEVEDO PEÑA 4101

Regla De la potencia generalizada 15-12-10

n×U n−1 (U 1 )

EJEMPLOS:

y=(3+5×)2

y1=2(3+5×)2.1

y1=10 (3+5× )

y1=30+50×

y1=(3+5× )4−3

y¿=−34

(3+5×)4

−3

−44

y1=−154

(3+5×)4

−3

−74

EJERCICIOS:

y=2¿¿


y1=(4 )2¿¿

y1=8¿¿

y1=112× ¿¿


y=12¿¿y1=(5)12¿¿y1=60¿¿y1=¿120×¿¿

y=8(4×2+2)23

y1=328¿¿

y1=12¿¿y1=96×(4×2+2)2

1

y=√9×+2

y1=(9×+2)21

y1=12(9×+2)

2−¿122(9)¿

y1=92(9×+2)−¿2

1 ¿

y¿¿¿


y1=(3 ) (2×+1 )2(2)=6¿y1=(3 )y1=(3×)(6)¿¿y1=(18×)¿¿


Calculo integral. 20-12-10

Es la razón de cambio cuando la cantidad total es conocida para obtener una función de la magnitud total de la cantidad.

La anti derivada de una función se define como f 1 (× )=f (×) , entonces

f 1(×)es la anti derivada.

1. Ejemplo :sif (× )=10× entonces f 1(×)=10 , por lo que f 1(×)=10es la anti

derivada de f (× )=10×.

2. A f (×)=×5encontrar primera derivada y después su anti derivada.

Derivada ¿ f 1(×)=5×4


Anti derivada ¿×5

ANGELICA ACEVEDO PEÑA

Integral indefinida. 20-12-10

1. Si f 1 (× )=f ( × )entonces∫ f ( x ) dx=f (× ) +c

Para cualquier numero real c.2. Regla de potencia para anti derivada.

Para cualquier numero real n diferente de −1 la integral de

×n= 1n+1

×n+1+c

EJEMPLO:

Encuentre cada anti derivada.

∫×3dx= 13+1

×3+1+C

∫×3dx=14

×4+C

∫ 1

t 2dx=∫1 t−2dx= 1

−2+1t−2+1+C

AB

=A B−1=∫ 1−1

t 11+C

AB

=A B−1=∫−1 t−1+C

AB

=A B−1=∫−1t

+C

Encuentre la derivada de la raíz de:


∫√U dx=¿¿

∫U 21dx= 1

12+1

U 21+1+C

∫U12dx= 1

32

U+C

∫U12dx=2

3U+C


∫1dx= 10+1

×0+1+C

∫1dx=11

×1+C

∫1dx=1×1+C

∫1dx=×+C

∫×5dx= 15+1

×5+1+C

∫×5dx=16

×6+C

∫❑

3

√× dx

∫×32dx= 1

13+1

×13+1

+C


∫×32dx= 1

43

×43+1+C

∫×31dx=3

5×43+C

∫5dx=5∨×0+1

0+1+C

∫5dx=5∗1×1+C

∫5dx=5×1+C

∫5dx=5×+C


Regla de suma. 20-12-10

Si todas las anti derivadas existen ∫ k∗f (×) dx=k∫ f (× )dx

Para cualquier número real k .

EJEMPLO:

∫2∨×3dx=¿

2∫ 14 ×4+C

2∫ 1×4

4+C

∫(3Z ¿¿2−4 Z+5)dz ¿

3∫ 22dx−4∫ zdx+5∫dx

3∨ 12+1

−4∨¿



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Tesi - Procedimiento Para Encontrar Derivadas