LA SPINTA DELLE TERRE

Per spinta della terra si intende la pressione che un determinato masso di terra esercita contro un’opera di

sostegno.

Se con una tramoggia si versa su un piano della terra incoerente (vedi figura), forma un cumulo conico, la

superficie del cono forma un angolo f rispetto al piano orizzontale, dovuto all’attrito tra le particelle di terra le

une sulle altre. Ogni tipo di terreno ha il suo valore caratteristico, nella tabella sottostante sono riportati alcuni

valori.

Nel caso di terre umide e argillose (coerenti) tali resistenze dipendono anche dalla coesione che è una forza di

adesione tra i grani di terra.

Se si considera un prisma adagiato su una superficie piana di terra inclinata di un angolo f rispetto al piano

orizzontale, il peso P del prisma applicato nel baricentro ammette due componenti una normale N al piano di

scorrimento e una tangenziale T. La componente N è equilibrata dalla reazione -N del terreno; mentre al componente T, che può provocare uno scorrimento del prisma sul piano inclinato viene contrastata ed equilibrata dall'attrito To

Quando il piano di scorrimento è inclinato di un

angolo a> f il prisma di terra può scorrere

essendo T>T0

attrito di resistenza0 tgNT

a > f il prisma può scorrere

a = f il prisma è in equilibrio ( al limite)

a < f il prisma è stabile

Se si volesse considerare la resistenza di attrito per unità di superficie chiamando con A l'area della superficie di contatto la resistenza di attrito per unità di superficie di contatto, si ha

tg0

Tipo di terra Angolo di attrito interno f

Asciutta Umida Bagnata

Argilla, marna 45° 35° 23°

Argilla mista a sabbia o ghiaia

50° 40° 30°

Ghiaia 40° 35° 30°

Pietrame e ciottoli 48° 43° 38°

Sabbia fine 26° 32° 22°

Sabbia fine argillosa 35° 35° 20°

Sabbia grossa 32° 33° 28°

Terreno vegetale 40° 35° 25°

Piano di natural declivio

P

NT

Prisma di terra adagiato

sulla superficie piana di

terra inclinata

-NT0

nel caso di terre coerenti, se è nota la coesione c, la resistenza allo scorrimento è espressa secondo Coulomb

dalla equazione : tgc 0

Raramente si tiene conto della coesione perchè non sempre è di facile determinazione, essendo variabile per una stessa terra in relazione allo stato di tensione dell'acqua nei pori. La resistenza d’attrito dipende dal peso P

del prisma di scorrimento e dall’angolo di attrito interno f ovvero il coefficiente di attrito tg , Il peso del

prisma dipende dal peso specifico t

Teoria di coulomb

Ricordiamo che per spinta delle terre s’intende la risultante delle pressioni esercitata da un prisma di terra contro un’opera di sostegno. L’angolo formato dalla scarpa di un volume di terra, naturalmente stabile, rispetto

ad un piano orizzontale è definito angolo d’attrito interno . Tutte le superfici inclinate sull’orizzontale di un

angolo > costituiscono probabili piani di scorrimento del volume di terra sovrastante, che può scivolare a valle. Per impedire che ciò accada è necessario sostenere la terra franante con opere capaci di riportare l’equilibrio: tali opere sono i muri di sostegno.

La teoria di Coulomb è basata sulle seguenti premesse e ipotesi:

1) Il masso di terra spingente è incoerente e privo di coesione, che è una forza di adesione tra le particelle di terra dipendente dalle loro proprietà chimiche e granulometriche, la resistenza dell’adesione vale quindi c=0

2) Il muro subisce un piccolo cedimento no appena è caricato dal terrapieno traslando orizzontalmente o ruotando rispetto al punto B. Questo cedimento porta una considerevole riduzione della spinta dal valore di quiete alla spinta attiva Sa. Lo spostamento medio utile per raggiungere il valore limite

inferiore della spinta è stato valutato da terzaghi nella misura di h2000

1

A

B

Piano di natural declivio

h

Muro di sostegno

Superficie di scorrimento

Cedimento h/200 o rotazione rispetto al punto B

3) La superficie di scorrimento del prisma di terra è piana, che in realtà è curva, in particolare per i terreni coesivi, ciò risulta vantaggiosa per la stabilità.

4) La superficie del terreno è orizzontale ed il paramento del muro di sostegno è verticale.

5) Coulomb trascura l’attrito tra terra e muro. Questa ipotesi è a vantaggio della stabilità del muro, perché

la spinta è perpendicolare al paramento del muro.

A

B

Piano di natural declivio

h

2) Il muro subisce un piccolo cedimento

3) Superficie di scorrimento

4) La superficie del terreno è orizzontale ed il

paramento del muro di sostegno è verticale.5) Coulomb trascura l'attrito tra

terra e muro

1) Superficie di scorrimento è piana

Consideriamo un terrapieno con superficie orizzontale sostenuto da un paramento verticale.Tracciamo il piano

di natural declivio, inclinato dell’angolorispetto all’orizzontale, si considera qualsiasi prisma di terra compreso

tra il paramento del muro ed un piano inclinato > con una profondità di 1 m,

h

B

M

Piano di n

atura

l decli

vio

1 m

A X

Il peso P è dato dal volume per il peso specifico t

t

hAXP

2 dove )90( tghAX , quindi t

htghP

2

)90(

ossia ttgh

P )90(2

2

Il muro, compie un piccolo cedimento in avanti di traslazione o di rotazione e, di conseguenza anche il prisma di terra è soggetto ad uno scorrimento. La spinta iniziale o di quiete S0 contro il paramento si riduce notevolmente, questa viene chiamata spinta attiva Sa e rappresenta la spinta che il muro deve contrastare

attivamente nella situazione di stabilità.

Sulla base di queste ipotesi, al fine di determinare la spinta, Coulomb si prende in esame un terrapieno con superficie orizzontale che grava su un muro con paramento interno verticale. Si traccia il piano di natural

declivio BM, inclinato dell’angolo rispetto all’orizzontale, poi si considera un generico prisma di terra racchiuso

tra il paramento del muro ed il piano di scorrimento BX inclinato di un angolo >, il tutto per una profondità di muro pari a 1 metro.

Supponendo che il muro non abbia ancora subito il cedimento iniziale, il vettore P incontra il piano di scorrimento BX nel punto C, in cui può essere scomposto in una componente S0, perpendicolare al paramento del muro, e in una componente N, perpendicolare al piano di scorrimento BX:

- la componente S0 rappresenta la spinta di quiete perpendicolare alla parete prima del cedimento, in quanto, come detto nelle ipotesi, non si considera l’attrito tra terra e paramento del muro;

- la componente N è la pressione che agisce sul terreno sottostante, il quale reagisce con un vettore N.

Rappresentiamo il vettore P , scomponiamo nel vettore S0 e nel vettore N,

h

A

B

M

Piano di n

atura

l decli

vio

x

P

S0

G

C

NP

La spinta di quiete S0

tgPS 0

h

A

B

M

Piano di n

atura

l decli

vio

x

P

Sa

G

C

-N

T

C

-N

r

T0

P P

Sa

P

C

R

r

Sa C

-N

r

T0

-R

-Sa

r

Dal momento in cui il muro cede lungo il piano di scorrimento le resistenze d’attrito è dato da

tgNT 0 .

Componendo tale forza tangenziale al piano di scorrimento ed applicata al punto C con la reazione –N si ottiene

la reazione effettiva –R del terreno, agendo lungo una retta d’azione r inclinata dell’angol rispetto alla normale

alla superficie di scorrimento.

Pertanto, una volta che sia avvenuto il cedimento del muro, il peso P deve essere scomposto nelle direzioni r e

quella normale al paramento del muro: quest’ultima componente fornisce la spinta attiva Sa della terra contro il

muro

)( tgPSA

Il peso P del prisma di terra di traccia ABX, applicato nel baricentro G, vale:

t

hAXP

2 in cui )90( tghAX

Per tutti i prismi terra ne esiste uno al quale corrisponde la massima spinta contro il muro, chiamato prisma di

massima spinta che corrisponde alla bisettrice dell’angolo formato dai piani natural declivio e del paramento del

muro e vale:

2

90

sostituendo

)90(2

2

tghP t

Supponendo che il muro non abbia ancora subito il congruo cedimento (istante iniziale), il vettore P incontra il

piano di scorrimento BX nel punto D, in cui può essere scomposto in una componente S0, perpendicolare al

paramento del muro, e in una componente N, perpendicolare al piano di scorrimento BX:

- la componente S0 rappresenta la spinta di quiete, prima del congruo cedimento, perpendicolare alla parete in

quanto, come detto nelle ipotesi, non si considera l’attrito tra terra e paramento del muro;

- la componente N è la pressione che agisce sul terreno sottostante, il quale reagisce con un vettore –N.

Rappresentiamo il vettore P con il segmento 0-1, e lo scomponiamo nel vettore S e nel vettore N, rappresentati

rispettivamente dai segmenti 0-2 e 2-1.

determinazione grafica della spinta di quiete S0 e della spinta attiva Sa

La spinta di quiete S0, rappresentato dal segmento 0-2, vale

tgPS 0

Appena avviene il cedimento del muro per effetto della spinta S0, il prisma di terra ABX scivola lungo il piano BX

e qui, a causa del movimento, si sviluppano resistenze d’attrito che valgono:

tgNT

Questo perché, ricordando dalla Fisica il comportamento di un corpo su un piano inclinato:

NfT

in cui N è la componente normale al piano inclinato di scorrimento ed f, coefficiente d’attrito, è dato dalla

tangente dell’angolo d’attrito tra i due materiali a contatto.

Componendo le reazioni T e –N, si ottiene la reazione complessiva R, rappresentata dal segmento 1-2”, ruotata

dell’angolo rispetto al vettore N. Questo perché, essendo T = Ntg, T e N risultano cateti di un triangolo

rettangolo in cui l’ipotenusa è rappresentata da R.

Dopo il cedimento del muro, quindi, il peso P deve essere scomposto in una componente perpendicolare al

paramento e in una componente avente la direzione della risultante R. Il segmento 0-2’ rappresenta la spinta

sulla parete, dopo il congruo cedimento, definita spinta attiva, e vale:

)( tgPSa

sostituendo l’espressione del peso P ; )90(2

2

tghP t , otteniamo:

)()90(2

2

tgtghS ta

L’angolo può variare nell’intervallo:90 e in particolare risulta 0S e per e per

90 ; gli

infiniti valori di compresi in tale intervallo forniscono valori della spinta S che presentano una variazione

abbastanza simile a quella parabolica, però solo a uno corrisponde la spinta massima.

Coulomb, per via sperimentale, ha determinato che il valore di tale angolo è:

2

90

ossia il prisma di terra che fornisce la spinta massima è delimitato dal piano di scorrimento, con traccia

BX, bisettore dell’angolo formato dal piano costituente il fronte del terrapieno, con traccia AB, e da quello di

naturale declivio, con traccia BM per tale motivo la teoria di Coulomb viene anche detta teoria del prisma di

massima spinta.

Sostituendo

)()90(2

2

tgtghS ta

)2

90()

2

9090(

2

2

tgtghS t

a

)2

290()

2

90180(

2

2

tgtghS ta

)2

90()

2

90(

2

2

tgtghS ta

)2

45()2

45(2

2 tgtghS t

a

[ Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi

prodotti notevoli. Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con

facilità ai fattori che li compongono tra cui : )()(22 yxyxyx ]

)2

45()2

45(2

2 tgtgtgtghS t

a

)2

45(2

222 tgtghS t

a

)2

45(2

22 tghS t

a

Ossia

ABX terradi prisma generico del Spinta 2

90

2

22

tghS ta

Formula fondamentale della Spinta di Coulomb in un terrapieno senza sovraccarico

La retta d’azione della spinta, se si trascura l’attrito terra muro, è normale al paramento del muro ed è applicata

ad un terzo della sua altezza a partire dalla B del muro: il punto C di incontro della retta d’azione del peso P del

prisma triangolare col piano di scorrimento tale che 3

1BXCB e poiché la forza P l’abbiamo scomposta

nel punto di contatto C nella direzione di reazione del terreno r ed in quella di spinta contro il muro normale allo

stesso.

La proiezione verticale a CB, ovvero la distanza della spinta dal punto B, vale 3

1h a partire dalla base.

La spinta Sa è la risultante di tutte le pressioni unitarie che la terra esercita nell’intero paramento murario, dalla

base B alla sommità A: queste pressioni unitarie variano secondo un diagramma di ripartizione triangolare la cui

ordinata minima, ovvero nulla, cade nel punto di sommità A:

mentre l’ordinata massima Smax, cade nel punto di base.

Calcolata la spinta Sa risultante di detto diagramma, si calcola l’ordinata massima Smax imponendo che l’area del

diagramma triangolare dev’essere uguale alla sua risultante Sa si quindi:

2

max hSSa

Da cui 2

max

hSS a daN/m

LA SPINTA DI COULOMB NEL CASO DI UN TERRAPIENO CON SOVRACCARICO

h

A

B

M

Piano di n

atura

l decli

vio

x

P

S

n

r

Q

Q

P+Q

h1

y0

A'

h

La risultante del peso proprio P e del sovraccarico Q vale:

h

hhAXhAXhAXQP t

tt 1

1

21

22

Poiché

2

90 tghAX

Sostituendo si ricava

(10) 2

12

90

2

12

h

htghQP t

Dal triangolo delle forze (vedi figura) si ricava

2

90)(

tgQPS

Inserendo al poso di P+Q si ricava il valore fornito nella (10):

2

9021

2

90

2

12 tg

h

htghS t

h

htghS t 122 2

12

90

2

Che del tutto simile a quella della spinta di un terrapieno senza sovraccarico, a parte il fattore

h

h121

Dopo aver calcolato la spinta tracciamo il diagramma trapezio delle pressioni unitarie lungo l’intera altezza del

paramento murario; il baricentro del diagramma definisce l’altezza ove posizionata la risultante della spinta

contro il paramento del muro.

Vogliamo, appunto, determinare i valori della pressione alla base e in sommità del muro, nonché la distanza y0

della spinta Sa dalla base. Essendo due le incognite (Smin e Smax), occorre risolvere un sistema in cui si pone la

spinta uguale all’area del diagramma delle pressioni trapezoidale e cioè :

nella prima equazione si pone la spinta uguale all’area del diagramma delle pressioni;

nella seconda equazione si scrive la proporzione tra triangoli simili rappresentativi delle pressioni su

un muro altezza h’ e l’altro h+h’

h

A

B

h1

y0

A'

Smax

Smin

Smin

h1

Smin

S

1

1

max

min

maxmin

2

hh

h

S

S

ShSS

;

1

11

min

maxmin

maxmin

2

h

hhh

S

SS

h

SSS

sostituendo nella seconda equazione la somma Smin + Smax che appare nella prima equazione

1

1

min

maxmin

2

2

2

h

hh

S

h

S

h

SSS

;

1

1min

maxmin

2

2

2

hh

h

h

SS

h

SSS

si sostituisce il valore di Smin nella prima equazione e si ricava Smax

1

1min

1

1max

2

2

2

22

hh

h

h

SS

hh

h

h

S

h

SS

;

1

1min

1

1max

2

2

21

2

hh

h

h

SS

hh

h

h

SS

eseguendo il minimo comune multiplo all’interno della parentesi tonda nella prima equazione

1

1min

1

11max

2

2

2

22

hh

h

h

SS

hh

hhh

h

SS

;

1

1min

1

1max

2

2

2

2

hh

h

h

SS

hh

hh

h

SS

Ottenendo, così, i valori della pressione in sommità e alla base del muro.

Ricaviamo ora la posizione della spinta S, come distanza del baricentro del diagramma trapezoidale delle

pressioni dalla base maggiore. Ricordiamo la formula del baricentro del trapezio:

1

10

2

3

bb

bbhy

sostituendo b con il valore di Smax e b1 con il valore di Smin

1

1

1

1

1

1

1

1

0

2

2

2

2

2

22

2

2

3

hh

h

h

S

hh

hh

h

S

hh

h

h

S

hh

hh

h

S

hy

mettendo in evidenza )2(

2

1hhh

S

al numeratore e al denominatore

)()2(

2

)2()2(

2

3

11

1

11

10

hhhhhh

S

hhhhhh

S

hy

semplificando, infine, si ottiene

1

10

2

3

3

hh

hhhy

distanza della spinta Sa dalla base del muro

OPPURE

h

SbSh

bb

2b cui da

21

1

Per la proporzionalità dei due triangoli con base b e b1 cioè:

11

1

hh

b

h

b

Da cui

1

11

hh

hbb

sostituendo b1 nella prima equazione

h

S

hh

hbb

2

1

1

Ricaviamo b

h

S

hh

hbhhb

2

1

11

h

S

hh

hbhbbh

2

1

11

h

S

hh

hhb

2

2

1

1

1

1

2

2

hh

hh

h

Sb

Dalla seconda equazione si ricava b1

Ricaviamo ora la posizione della spinta S, come distanza del baricentro del diagramma trapezoidale delle

pressioni dalla base maggiore. Ricordiamo la formula del baricentro del trapezio:

Il baricentro del diagramma del trapezio analiticamente ottenendo la distanza y0 mediante la formula

1

10

2

3

3

hh

hhhy