Embed Size (px)
Citation preview
ME AHT
Termodinamika elméleti alapjai
oktatási segédlet
dr. Karaffa Ferenc
TÁMOP 4.2.1.B-10/2/KONV-0001-2010 projekt keretében Miskolc 2011
1. Termodinamikai alapfogalmak A termodinamikai vizsgálatok céljára valóságos vagy képzeletbeli fallal elkülönített anyagmennyiséget termodinamikai rendszernek nevezzük. Az az anyagmennyiség, amitől az elkülönítés történt és amelyet érinthet a termodinamikai rendszerben lezajló változás, a környezet. Ha egy folyamat során a rendszer és a környezet között anyagcsere van, a termodinamikai rendszer nyitott, ha nincs, akkor pedig zárt. Ha sem anyagcsere, sem energiacsere nincs közöttük, akkor a rendszer szigetelt. A termodinamikai rendszer pillanatnyi energia- és tömegeloszlását állapotnak nevezzük. Az állapot leírása állapotjelzők segítségével történik. Az állapotjelzőkkel szemben támasztott követelmények a következők: - mérhető mennyiség legyen, - egy adott állapothoz egy értéke tartozzon (egyértékű függvény legyen),
- az értékében bekövetkező változás független legyen attól a folyamattól, amely során a rendszer az új állapotba került (teljes differenciál legyen).
A termodinamikai állapotjelzők rögzített értékeivel egy-egy termodinamikai állapot definiálható. Ha egy környezettől elszigetelt rendszer állapotjelzőiben semmiféle változás nem következik be, akkor a rendszer termodinamikai egyensúlyban van. Egy egyensúlyban lévő zárt rendszer termodinamikai állapotának leírására (ha az egyszerű folyadékot tartalmaz) két állapotjelző szükséges és elégséges. A termodinamikai állapot leírására hat állapotjelző közül választhatók ki a szükségesek. Az osztályozásuk egyik szokásos módja szerint két csoportba sorolhatók: - termikus állapotjelzők: nyomás [ ]( )Pap , hőmérséklet [ ]( )KT és térfogat [ ]( )3mV , - kalorikus állapotjelzők: belső energia [ ]( )kJU , entalpia [ ]( )kJH és entrópia [ ]( )KkJS / . Az állapotjelzők egy másik osztályozás szerint lehetnek: - extenzív állapotjelzők: értékük függ a rendszer méretétől (tömegétől), - intenzív állapotjelzők: értékük független a rendszer méretétől. A gyakorlatban gyakran használják az egységnyi tömegre vonatkoztatott extenzív állapotjelzőket, melyeket fajlagos állapotjelzőknek neveznek. A fajlagos állapotjelzők intenzív állapotjelző tulajdonságokkal rendelkeznek. Ezeket a továbbiakban a megfelelő kisbetűkkel
jelöljük (pl. [ ]kgkJmHh /= fajlagos entalpia, [ ]KkgkJ
mSs /= fajlagos entrópia, stb).
A rendszer állapotának leírására választott független állapotjelzők ismeretében a további állapotjelzők meghatározhatók. Az állapotjelzők közötti kapcsolat megadható algebrai egyenlet formájában vagy táblázatok segítségével.
A termikus állapotjelzők közötti kapcsolatot a termikus állapotegyenlet adja meg. Ennek általános alakja a következő: ( ) 0,, =TvpF A kalorikus állapotegyenletek egy kalorikus állapotjelzőnek két termikus állapotjelző segítségével felírt függvénykapcsolatát jelentik. Ezek általános alakjai: ( )vpuu ,= , ( )Tpuu ,= , ( )vTuu ,= , ( )vphh ,= , ( )Tphh ,= , ( )vThh ,= , ( )vpss ,= , ( )Tpss ,= , ( )vTss ,= . Nyitott rendszer esetén nem hagyható figyelmen kívül az, hogy a munkavégző közeg mozgásban van. Emiatt ugyanis a rendszer a termodinamikai állapot mellett mechanikai állapottal is rendelkezik. Ennek leírása mechanikai állapotjelzőkkel történik, melyek a rögzített rendszerhatárhoz viszonyított sebesség és egy vonatkoztatási szinttől mért geodetikus magasság. A két mechanikai állapotjelző független egymástól és a termodinamikai állapotjelzőktől. Tehát a mechanikai állapot anélkül szuperponálható a termodinamikai állapotra, hogy az a termodinamikai állapotjelzők közötti kapcsolatot megzavarná. Az egyensúlyban levő zárt rendszer állapota - ha a felületi feszültségtől, a kémiai, az elektromos és a mágneses hatásoktól eltekintünk - két ok miatt változhat meg:
- valamely külső erő hatására elmozdul a rendszerhatár vagy annak egy része. Ekkor munkavégzés történik, melyet - mivel a térfogatváltozással kapcsolatos - térfogatváltozási munkának nevezünk. A definíciója pedig a következő:
∫−=′2
1
12
V
V
VdpW . (gyakori a ∫−=′2
112 VdpW írásmód).
- a rendszer és a környezet közötti – hőmérséklet különbség hatására - végbemenő hőcsere következtében.
Ha a rendszer határának elmozdulását előidéző külső erő és a belső - folyadéknyomásból származó - erő közötti különbség infinitézimálisan kicsi, s ugyanez igaz a rendszer és a környezete közötti hőmérsékletkülönbségre is, akkor a rendszer és a környezet eredeti állapota bármikor visszaállíható. Ekkor ugyanis nincs a folyamatban kitüntetett irány, azaz nincs nyomás- és hőmérsékletgradiens sem. Az ilyen folyamatokat megfordítható vagy reverzibilis folyamatoknak nevezik. Ha a fenti feltételek nem teljesülnek, a folyamat nem megfordítható, azaz irreverzibilis. A természetes folyamatok az utóbbi csoportba tartoznak. Ennek ellenére a termodinamikai számítások során nagyon gyakran élnek a reverzibilis a folyamat feltételezésével. S az ezzel kapott eredmények aztán ún. izentrópikus hatásfokok segítségével számíthatók át a valóságos, irreverzibilis folyamatra. Ha egy folyamat során a közbenső állapotok egyensúlyi állapotok, akkor a folyamat kvázistatikus. Ez lassú folyamatok esetén következhet be. A kvázistatikus folyamatok a különböző állapotsíkokon (pl. vp− vagy sT− ) ábrázolhatók. A véges idő alatt lejátszódó folyamatok esetén a közbenső állapotok nem lesznek egyensúlyi állapotok. Ezek a nem-statikus folyamatok. Azonban ekkor is feltételezzük, hogy a folyamat kezdő- és végállapota egyensúlyi állapot (pl. az átömlési folyamat).
Egy zárt rendszerrel térfogatváltozás nélkül is közölhető munka, pl. keveréskor a tengelyen át. Mivel a folyamatot ekkor a súrlódás jelensége kíséri, súrlódási vagy disszipációs munkának hívják. Jelölése: 12,súrlW , illetve wsúrl ,12 . Nyitott rendszerrel a tengelyen nemcsak közölhető munka, hanem nyerhető is. Ez a technikai munka és jelölése: 12,tW , illetve wt ,12 . A munka és a hő nem állapotjelzők, hanem folyamatjellemzők. Változásuk ugyanis nemcsak a folyamat kezdő és végállapotától függ, vagyis nem teljes differenciálok. A hő és a munka előjeles mennyiségek. A megállapodás szerint a rendszerbe táplált hő és munka pozitív előjelű, míg a rendszer által leadott pedig negatív. A súrlódási munka mindig pozitív előjelű, ugyanis csak közölhető a zárt rendszerrel. A gyakorlatban nagyon sokszor használt feltételezés az olyan rendszerhatár, amely lehetetlenné teszi a rendszer és a környezet közötti hőcserét. Ekkor a rendszert ún. adiabatikus fal határolja.. A hőcserét lehetővé tevő rendszerhatár a diatermikus fal.
2. A termodinamika főtételei A termodinamika főtételei tapasztalati törvények. Nem vezethetők le más természeti törvényekből és a bizonyíték a bennük megfogalmazott állítások igaz voltára az, hogy nincs velük ellentétes tapasztalat az érvényességi tartományukban.
2. 1. Nulladik főtétel Ha két rendszer külön-külön termikus egyensúlyban van egy harmadikkal, akkor egymással is termikus egyensúlyban vannak. Ez a főtétel az alapja a hőmérsékletmérésnek.
2. 2. Első főtétel Első főtétel nyugvó zárt rendszerre A termodinamika első főtétele az energiamegmaradást fejezi ki, ez a fizikai tartalma. Eszerint minden zárt rendszernek van egy állapotjelzője, a belső energia, mely az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: - az adiabatikus rendszerbe bevezetett munka megegyezik a belső energia növekedésével, azaz ( ) 1212 UUW ad −= Ez egyúttal a belső energia definíciója.
- Nem-adiabatikus rendszereknél pedig a munka és a hő összege egyenlő a belső energia változásával, azaz
121212 UUWQ −=+ . Fajlagos mennyiségekkel felírva: 121212 uuwq −=+ .
Zárt rendszer esetén a munka, illetve a fajlagos munka:
12,
2
112,1212 súrlsúrl WdVpWWW +−=+′= ∫
w w w pdv wsúrl súrl12 12 121
2
12= ′ + = − +∫, ,
Reverzibilis esetben:
( ) ∫−=′=2
11212 VdpWW rev , ugyanis ekkor 012, =súrlW .
A munkára felírt kifejezéseket felhasználva a termodinamika I. főtétele nyugvó, zárt rendszerre a következőképpen írható fel:
∫+−=+2
11212,12 dVpUUWQ súrl
∫+−=+2
11212,12 dvpuuwq súrl
Első főtétel nyitott rendszerre
( ) ( ) ( )
−+−+−=+ 12
21
22121212 2
1 zzgcchhmPQ ,
illetve fajlagos mennyiségekkel
( ) ( )1221
221212,12 2
1 zzgcchhwq t −+−+−=+ .
Az utóbbi egyenletben a fajlagos technikai munka
mPwt
1212, = ,
míg a fajlagos entalpia h u pv= + , ahol pv szorzat a térfogatkiszorítási munka fajlagos értékét jelenti. A fajlagos entalpia fenti kifejezését felhasználva a nyugvó, zárt rendszerre felírt első főtétel egy másik alakja a következő:
∫+−=+2
11212,12 vdphhwq súr .
2. 3. Második főtétel A második főtétel szempontjából vizsgálva a folyamatokat, az a gyakorlati tapasztalat, hogy a reverzibililitás feltételei - melyek lehetővé tennék, hogy a rendszer és a környezete az eredeti állapotba visszajuttatható legyen - nem teljesülnek. Vagyis a természetes folyamatok irreverzibilisek. Ez a termodinamika második főtételének egyik megfogalmazása. Az irreverzibilitásnak két jelenség: a súrlódás vagy disszipáció és a véges hőmérsékletkülönbség melletti hőcsere az oka. A második főtétel Clausius által megfogalmazott következménye, hogy lehetetlen olyan berendezést létrehozni, melyben a rendszer körfolyamatot végezve a hőt az alacsonyabb hőmérsékletű helyről a magasabb hőmérsékletű helyre szállítja anélkül, hogy rajta a környezet munkát végezne. A termodinamika második főtételének mennyiségi megfogalmazása posztulátumok segítségével történik. Ezek szerint: - minden termodinamikai rendszernek van egy extenzív állapotjelzője, amely az entrópia. - A rendszer entrópiája az alábbi folyamatok során változik: - a hő transzportja a rendszerhatáron (entrópiatranszport a hővel), - anyagáram a rendszerhatáron, - irreverzibilis folyamatok a rendszer belsejében (entrópiaprodukció). - A rendszerhatáron a hővel átlépő entrópia
TQdSd Q = ,
ahol T az univerzális, nem negatív termodinamikai hőmérséklet. - Az irreverzibilis folyamatok során a rendszer belsejében keletkező entrópia sohasem negatív és csak a rendszer reverzibilis folyamatai során tűnik el.
A zárt rendszer entrópiamérlege a 2. posztulátum alapján írható fel, mely alapján az entrópiaáram:
irrQ SSd
SdS +==τ
,
ahol az QS az entrópiatranszport-áram, az irrS az entrópiaprodukció-áram és τ az idő. Adiabatikus rendszer esetén az entrópiaáram: 0≥= irrSS . Tehát adiabatikus rendszerek irreverzibilis folyamatai esetén az entrópia nő, adiabatikus rendszerek reverzibilis folyamatai során nem változik, míg adiabatikus rendszerek lehetetlen folyamatainál csökken. Az adiabatikus rendszerekben lejátszódó reverzibilis folyamatokat izentrópikus folyamatoknak nevezik. Nem adiabatikus rendszerek esetén a rendszer és a rendszerben zajló változás által érintett környezet, mint alrendszerek egyesítése révén hozható létre egy adiabatikus rendszer, melyre már érvényesek lesznek a fenti megállapítások. ( ) 0.12 ≥∆+− kšadmen sss A termodinamika I. és II. főtétele között az összefüggés a következő: VdpdHpdVdUdWdQTdS súrl −=+=+= A véges határok között lejátszódó állapotváltozás esetén az entrópiaváltozás:
∫∫∫−
=+
=+
=−2
1
2
1
2
112 T
VdpdHT
pdVdUTdWdQ
SS súrl
Nyitott rendszer entrópiamérlege:
( ) ∫ +=−2
112 irrS
TQdssm
,
amelyből a nyitott rendszer fajlagos entrópiaváltozása a következőképpen számítható:
irrsTqdss +=− ∫
2
112 ,
melyre ismét fennáll, hogy 0≥irrs .
2. 4. Harmadik főtétel A harmadik főtétel szerint nem lehetséges véges számú lépésben egy termodinamikai rendszer hőmérsékletét az abszolút nulla fokra csökkenteni. Ez a főtétel a nullapont definiálásának aszimptotikus voltát is kifejezi.
3. Tiszta közegek termodinamikai tulajdonságai
3.1. A termikus állapotegyenlet kísérleti felvétele
Ha a termikus állapotegyenlet nem adható meg egyszerű algebrai egyenlet formájában, akkor az állapotjelzők meghatározása méréssel történik. A termikus állapotjelzők meghatározásakor az ( ) 0,, =TvpF térbeli görbének egy-egy síkmetszetét, azaz a .állp = , a .állv= és a .állT= görbéket határozzák meg. A mérési eredményeket pedig táblázatokban foglalják össze. A termikus állapotegyenletek kísérleti felvételekor a fázisváltozás jelensége is előfordul. Az egyik fázisváltozás az olvadás (vagy fagyás) a szilárd-folyékony fázisok közötti átmenet, míg a másik a párolgás (vagy lecsapódás) pedig a folyékony-gőznemű fázisok közötti átmenetet jelenti. A műszaki gyakorlatban elsősorban az utóbbi fontos, mivel a nedves gőz és a túlhevített gőz fontos munkavégző közegek, pl. a hőerőművekben. A fázisváltozás során - tehát a kétfázisú tartományban - a hőmérséklet és a nyomás nem független állapotjelzők. Az összetartozó értékeik az adott közeg tenziógörbéjét jelentik. A nedves gőzállapot megadásához a nyomáson vagy hőmérsékleten kívül egy másik független állapotjelző is szükséges. Ez a fajlagos gőztartalom, melynek definíciója a következő:
mm
mx′′+′
′′= ,
ahol m ′′ a gőz tömegét, míg m′ pedig folyadék tömegét jelenti nedves gőzben. A fajlagos gőztartalom értéke 10 ≤≤x között változhat. Az 0=x a közeg telített folyadékállapotát, míg 1=x pedig száraz telített gőzállapotát jelenti. A kettő közötti kétfázisú tartományban a nedves gőz állapota a nyomás vagy a hőmérséklet és a fajlagos gőztartalommal egyértelműen megadható.
A további állapotjelzők gőztáblázat segítségével határozhatók meg. Ebből a nyomás vagy a hőmérséklet függvényében kikereshetők a telített folyadék és a száraz telített gőz állapotjelzői. Ezek ismeretében pedig az állapotjelzők az alábbi összefüggések segítségével határozhatók meg: ( )vvxvv ′−′′+′= , ( )hhxhh ′−′′+′= , ( )ssxss ′−′′+′= . Az egy vesszős értékek - a tömegnél használt jelöléshez hasonlóan - a telített folyadék, míg a két vesszős értékek a száraz telített gőz állapotjelzőjét jelentik. A túlhevített gőz tartományban már újra használható a nyomás és a hőmérséklet, mint két független állapotjelző. A további állapotjelzők pedig - szintén a gőztáblázatból - a nyomás és a hőmérséklet függvényében kereshetők ki. A gőztáblázatokban közvetlenül nem található értékek lineáris interpolációval számíthatók. Az állapotjelzők gyors, de természetszerűen nem pontos meghatározása gőzdiagramok segítségével is történhet. A műszaki gyakorlatban a sT − , a sh − és - főleg a hűtéstechnikában - a hp − diagramok használatosak. A sT − diagramban folyadék, nedves gőz és túlhevített gőz állapotok találhatók. Az 0=x alsó határgörbe (forrásgörbe) és az 1=x felső határgörbe (kondenzációs görbe) a KT kritikus hőmérsékletnél találkoznak, ahol vízszintes érintőjük van. E két határgörbe alatt található a nedves gőz mező. Ebben a mezőben a .állp = vonalak egyenesek, ugyanis a telítési hőmérséklet is az, .állTtel = Az alsó határgörbétől balra eső folyadék- és a felső határgörbétől jobbra eső túlhevített gőz mezőben a .állp= vonalak már görbültek. A folyadékmezőben nagyon közel esnek az alsó határgörbéhez és egymáshoz is, ezért léptékhelyes rajzon csak nagyobb nyomások esetén különböztethetők meg. A diagram tartalmazza a .állv= vonalakat is. Ezek a nedves mezőben enyhén emelkednek, míg a túlhevített mezőben meredekebbek a .állp= görbéktől. A nedves mezőben megtalálhatók még az .állx= vonalak. Végül említést érdemelnek még a
.állh= görbék, melyek a túlhevített mezőben aszimptotikusan közelítenek a vízszinteshez. Ez azt jelenti, hogy a felső határgörbétől távolodva a közeg az ideális gáz állapothoz tart. A h s− diagramban a határgörbék erősen eltorzulnak, a kritikus pont a tetőponttól balra tolódik el. A nedves mezőben a .állp= és .állT= vonalak emelkedő egyenesek és egybeesnek. A felső határgörbén a izobár vonalak törés nélkül, míg az izotemák töréssel haladnak át. Az utóbbiak emelkedése ezt követően egyre csökken, majd ismét a vízszinteshez közelítenek. A nedves mezőben itt is megtalálhatók az .állx= , valamint a .állv= vonalak. Az izochor görbék szintén törés nélkül haladnak át a felső határgörbén és meredekebbek az izobár vonalaknál. A műszaki gyakorlatban általában csak egy részét használják a diagramnak. A hp − diagram is tartalmazaza mindhárom mezőt, szintén kicsit torzult formában. Jellegzetes vonalai az izotermák, melyek a nedves gőz mezőben vízszintesek és az állandó entrópia vonalak.
3. 2. Ideális gáz A közegek másik csoportjánál a termikus állapotegyenlet egyszerű algebrai egyenlet formájában adható meg. Ezen közegek egyike az ideális gáz, melyre TRvp = , mRTpV = , TRnVp 0= . alakban írható fel. A fenti összefüggések szigorúan véve csak 0→p esetén teljesülnek, azonban a gyakorlatban - közelítésként - ettől eltérő esetekben is használhatók. A termikus állapotegyenletben n az anyagmennyiség (molszám), [ ]KkgJR / az illető gázra jellemző gázállandó, míg 0R az univerzális gázállandó, melynek értéke minden gázra azonos:
KkmolkJR /3147,80= .
A két gázállandó közötti kapcsolat a következő egyenlettel adható meg:
MRR 0= ,
ahol [ ]kmolkgM / a gáz moltömege. Ideális gáz esetén a kalorikus állapotegyenletek száma is csökken, mert a belső energia és az entalpia csak a hőmérséklet függvénye, vagyis ( )Tuu= és ( )Thh= . A fajlagos értékeik változása pedig: ( )1212 TTcuu v −=− és ( )1212 TTchh p −=−
ahol
Kkg
kJcv az állandó fajtérfogaton, míg
Kkg
kJc p az állandó nyomáson vett fajhő.
A harmadik kalorikus állapotjelző fajlagos értékének változása a következő összefüggésekkel számítható:
1
2
1
212 lnln
ppc
vvcss vp +=− ,
1
2
1
212 lnln
vvR
TTcss v +=− ,
1
2
1
212 lnln
ppR
TTcss p −=− .
Az egyenletekben szereplő fajhők és gázállandók között fennáll az alábbi két összefüggés:
Rcc vp =− és κ=v
p
cc
,
ahol a κ az izentrópikus kitevő.
A fajhők a hőmérséklet függvényei. Bizonyos esetekben ettől el lehet tekinteni és állandó fajhők (jelölésük: 0,pc és 0,vc ) használhatók, melyek értékei táblázatból vehetők. Az ideális gázok esetén is szokás diagramokat használni, mégpedig a sT − , a sh − diagramokat. A diagramokban a .állp= , a .állv= görbék exponenciális görbék, melyek közül az utóbbiak a meredekebbek.
4. Állapotváltozások zárt rendszerekben
4. 1. Izobár állapotváltozás
Az állapotváltozás során a nyomás nem változik, azaz .állp= . Ebben az esetben a fajlagos térfogatváltozási munka:
( )12
2
121 vvpvdpw −−=−=′ ∫ .
Ha a munkavégző közeg ideális gáz, akkor a TRvp = termikus állapotegyenlet segítségével az állapotegyenlet ( .állp= ) a
.állvT= ,
míg a fajlagos térfogatváltozási munka pedig a
( ) ( ) ( )121212
2
121 ttRTTRvvpvdpw −=−=−−=−=′ ∫
alakban is felírható.
4. 2. Izochor állapotváltozás
Az állapotváltozás során a térfogat (fajtérfogat) állandó marad, azaz .állv= . Ebben az esetben a térfogatváltozási munka nulla. Ideális gáz esetén az állapotegyenlet másik alakja:
Tp
á llandó= .
4. 3. Izotermikus állapotváltozás
Az izotermikus állapotváltozás állandó hőmérséklet mellett végbemenő folyamatot jelent. Az állapotegyenlet .állT= . Ideális gáz esetén az állapotegyenlet: .állvp = , míg a fajlagos térfogatváltozási munka:
2
1
1
22
121 lnln
ppTR
vvTRvdpw −=−=−=′ ∫
4. 4. Izentrópikus állapotváltozás
Az állapotváltozás során az entrópia állandó marad. Az állapotegyenlet .álls= . Ideális gáz esetén ezt az ún. Poiosson-egyenleteket jelenti, melyek a következők
.állvp =κ , .1 állvT =−κ és .1
állpT =−κκ
.
A fajlagos térfogatváltozási munka pedig:
( ) ( )12
1
211221 1
11TTc
ppTRTTRw v −=
−
−=−
−=′
−κκ
κκ.
Gőz izentrópikus állapotváltozása esetén közelítő összefüggésként használható a .állvp =κ egyenlet. Az izentrópikus kitevő értéke pedig a következőképpen választható meg: x01035,1 +=κ , ha a kezdőállapotban 0,17,0 ≤≤ x ,
135,1=κ , ha a folyamat kezdetén a gőz száraz telített vagy kissé túlhevített állapotban van és a folyamat a nedves gőz tartományban zajlik.
30,1=κ , ha a folyamat nagy része a túlhevített tartományban zajlik.
4. 5. Politrópikus állapotváltozás Ezen állapotváltozás során egyetlen állapotjelzőre sincs semmiféle kikötés. Az állapotegyenlet: .állvp n= , ahol az n a politrópikus kitevő. A fajlagos térfogatváltozási munka:
( )
−
−=−
−=
−−
=′
−
1111
1
2112
112221
nn
pp
nTRTT
nR
nvpvpw .
Ideális gáz esetén a további állapotegyenletek, valamint a fajlagos térfogatváltozási munka az izentrópikus állapotváltozásra felírt egyenletekből kaphatók meg n=κ helyettesítéssel.
Ideális gáz politrópikus állapotváltozása esetén az I. főtétel egy speciális alakban is felírható.
Felírva a politrópikus állapotváltozás egyenletének és az ideális gáz termikus állapotegyenletének differenciális alakjait
állandópvn = ⇒ 01 =+ − dvvnpdpv nn ⇒ 0=+ pdvnvdp RTpv= ⇒ RdTpdvvdp =+
és a felső egyenletből kivonva az alsó egyenletet
( ) RdTpdvn −=−1 ⇒ dTn
Rpdv1−
−=
adódik. Ezt behelyettesítve az I. főtételbe
=+=+−=+ ∫ ∫∫2
1
2
1
2
11212,12 pdvdTcdvpuuwq vsúrl
∫ ∫ ∫ ∫ −==−−
=
−
−−=
−
−=2
1
2
1
2
112
2
1
)(11
11
1TTcdTcdT
nncdT
ncc
cdTn
Rc nnvv
p
vvκ
Az I. főtétel ideális gáz politrópikus állapotváltozása esetén az alábbi alakba írható ( )1212,12 TTcwq nsúrl −=+ ,
ahol 10 −
−=
nncc vnκ az ún. "politrópikus fajhő" (ez csak elnevezés)
A fajlagos entrópiaváltozás is felírható a politrópikus fajhő segítségével.
=−
−=+=+
==TdT
nR
TdTcdv
Tp
TdTc
Tpdvdu
Tdq
ds vvrev
100
=
−
−−=
−
−−=
−
−=TdT
ncc
cTdT
ncc
cTdT
nRc v
p
vvp
vv 1
11
110
0
000
00
TdTc
TdT
nnc
TdT
nnc
TdT
nc nvvv =
−−
=−
+−−=
−−
−=11
11111 000
κκκ
Elvégezve a véges határok közötti integrálást
1
212 ln
2
1
2
1TTc
TdTc
TdTcss n
T
Tn
T
Tn ===− ∫∫
5. Folyamatok nyitott rendszerekben
5. 1. Hőcsere
A folyamat során hőcsere játszódik le a nyitott rendszer (kazán, kondenzátor, elpárologtató, stb.), valamint a környezet között. A folyamatra fennállnak az alábbi feltételek :
012, =tw , ( ) 021 2
122 ≅− cc , ( ) 012 =− zzg .
Ezek figyelembevételével az első főtétel a következő alakú lesz: 1212 hhq −=
5. 2. Adiabatikus áramlásos folyamatok (olvasmány) A folyamat célja a munkavégző közeg gyorsítása vagy lassítása. Az erre szolgáló eszközök a diffúzor és a konfúzor. Mivel a folyamatok gyorsan játszódnak le, feltételezhető, hogy nincs idő hőcserére a rendszer és a környezet között. A feltételek: 012, =tw , ( ) 012 =− zzg , 012 =q Így az első főtétel a következő alakot ölti:
( )21
2212 2
10 cchh −+−=
Az egyenletből meghatározható a kilépés sebessége: ( )21
212 2 hhcc −+=
Az irreverzibilitás miatt az adiabatikusnak tekintett rendszerben lejátszódó folyamat során nő az entrópia. Emiatt a folyamatok végállapota eltér a reverzibilis, azaz izentrópikusnak tekintett folyamat végállapotától. Ezért az izentrópikus végállapotot '2 , míg az irreverzibilis végállapotot 2 indexxel különböztetjük meg. Így az izentrópikus állapotváltozás során létrejövő sebesség: ( )21
212 2' ′−+= hhcc
A fúvókában lejátszódó folyamat során nő a munkavégző közeg sebessége. Ezért ezeket a folyamatokat gyorsított áramlási folyamatoknak nevezik. Jellemzésére az izentrópikus áramlási hatásfok használatos, melynek definíciója a következő:
( )( )21
21
2121
22
22
. 22
2121
′′
−+−+
==hhchhc
c
cáziη
Egy másik jellemző, mellyel az irreverzibilitás figyelembe vehető, a sebességtényező: 22 ′= cc ϕ A fenti két egyenlet alapján az izentrópikus áramlási hatásfok és a sebességtényező között az alábbi összefüggés áll fenn: áiz.ηϕ= A gyakorlati számítások során először az izentrópikus esethez tartozó sebességet számítják, majd ebből a tapasztalati adatok alapján rendelkezésre álló sebességtényező vagy izentrópikus áramlási hatásfok segítségével meghatározható a valóságos sebesség. A diffúzorban lejátszódó folyamatok során a munkavégző közeg sebessége csökken. Ezért a folyamatokat lassított áramlási folyamatoknak nevezzük. A jellemzésére az izentrópikus diffúzor hatásfok szolgál, mely a következő hányadost jelenti:
12
12
hhhh
d −−
= ′η
A számítás a fúvóka kapcsán elmondottakkal azonosan történik.
5. 3. Adiabatikus munkafolyamatok A két nyitott rendszerben (turbina és kompresszor) lejátszódó folyamat olyan gyorsnak tekinthető, hogy feltételezhető, hogy nincs idő hőcserére a rendszer és a környezet között. A feltételek:
( ) 012 =− zzg 012 =q ( ) 021 2
122 ≅− cc
Ezekkel a termodinamika első főtétele az alábbi alakra egyszerűsödik: 1212, hhwt −= A fúvókában és a diffúzorban lejátszódó folyamatokhoz hasonlóan itt is megkülönböztethető az izentrópikus és az irreverzibilis folyamat. Az izentrópikus esethez tartozó munka a 1221, hhwt −= ′′ összefüggéssel számítható. Az adiabatikus munkafolyamatok a két munka arányával jellemezhetők. A turbinában lejátszódó expanzió esetén az izentrópikus turbina hatásfok használatos, melynek definíciója:
21,
12,.
′
=t
ttzi w
wη
A kompresszorban végbemenő kompressziónál az izentrópikus kompresszor hatásfok definiálható:
21,
12,.
′
=t
tkzi w
wη
A gyakorlati számítások során itt is először izentrópikus folyamatot feltételezve történik a turbina-, illetve kompressziómunka meghatározása, majd az izentrópikus hatásfokok segítségével számíthatók a valóságos folyamat munkái.
5. 4. Fojtás (izentalpikus) állapotváltozás Az állapotváltozás során a munkavégző közeg entalpiája nem változik, vagyis 21 hh ≅
6. Körfolyamatok
Ha zárt rendszerben a munkavégző közeg állapotváltozások sorozatán megy keresztül úgy, hogy visszajut az eredeti kiinduló állapotba, körfolyamatot végez. Ha a forgásirány az óramutató járásával megegyező, akkor munkanyerő körfolyamatokról beszélünk. Ebben az esetben a hőközlés magasabb hőmérsékleten történik, mint a hőelvonás és közeg munkát végez a környezeten, munkát ad le.
Azokat a berendezéseket, amelyekben a munkavégző közeg körfolyamatot végez, a
környezetből hőt vesz fel és a környezet felé munkát ad le, hőerőgépeknek nevezzük. A környezet azon része, mely a magasabb hőmérséklet miatt hőt szolgáltat a hőerőgépnek, a
hőforrás. A környezet azon része pedig, mely az alacsonyabb hőmérséklet miatt a hőerőgépből vesz fel hőt, a hőnyelő.
A körfolyamat egyes szakaszaira felírhatjuk a termodinamika I. főtételét. Legyen pl. egy négy szakaszból álló körfolyamat. Ennek egyes szakaszaira a főtétel a következő: 121212 uuwq −=+ 232323 uuwq −=+ 343434 uuwq −=+ 414141 uuwq −=+ . A négy egyenletet összeadva: 04134231241342312 =+++++++ wwwwqqqq A jobboldalon állapotjelzők változásai szerepelnek. Mivel az állapotjelzők változása független az úttól, csak a kezdő- és végállapot függvénye, körfolyamat esetén a változás nulla, hisz a kezdő- és végállapot azonos. A fajlagos hők összege:
elvbei
ik qqqqqqq +=+++=∑=
41342312
4
1
.
Emlékeztető: a pozitív előjelű hő (és munka) a bevezetett, míg a negatív előjelű a leadott vagy elvont. Ez a megállapodás, akár az ellenkezője is lehetne.
A fajlagos munkák összege:
wwwwwwi
ik =+++=∑=
41342312
4
1
.
Vagyis a körfolyamatból nyerhető fajlagos munka:
)(4
1
4
1elvbe
i iikik qqqww +−=−==∑ ∑
= =
Megállapítható, hogy lehetetlen olyan hőerőgépet szerkeszteni, mely anélkül szolgáltatna munkát, hogy a környezetből hőt venne fel. Tehát elsőfajú perpétum mobile nem létezik. Reverzibilis esetben (általában ezt feltételezzük) a fajlagos munka megegyezik a fajlagos térfogatváltozási munkák összegével:
∑ ∫=
−===4
1
'
iikrev pdvwww .
A körfolyamat jellemzésére használt mennyiségek:
termikus hatásfok: be
t qw
−=η ,
munkaarány: ewwr = ,
ahol ew a fajlagos expanzió munka (ez a negatív előjelű, leadott munka). A munkaarány azt mutatja meg, hogy egy körfolyamat mennyire érzékeny az
irreverzibilitásokra. Az a jó, ha érzéketlen, vagyis minél közelebb van az egyhez a munkaarány értéke.
Az I. főtétel szerint a termikus hatásfok 1 is lehetne. A II. főtétel viszont kimondja, hogy ez mindig kisebb 1-nél, vagyis a hő sohasem alakítható át teljes egészében munkává. Tehát lehetetlen olyan hőerőgépet szerkeszteni, melyben a munkavégző közeg körfolyamatot végez, a környezetből hőt vesz fel és vele egyenértékű munkát szolgáltat. Vagyis a másodfajú perpétum mobile sem létezik. Ha a munkavégző közeg egymás után elhelyezett nyitott rendszereken áramlik át úgy, hogy visszajut az eredeti kezdőállapotába, akkor szintén körfolyamatot végez.
Ez esetben is, ha az óramutató járásával megegyező forgásirányú a körfolyamat, akkor munkanyerő körfolyamat játszódik le. A körfolyamatok azonban fordított irányban is végbemehetnek. Ekkor a hőfelvétel történik az alacsonyabb, a hőleadás pedig a magasabb hőmérsékleten, miközben a munkát a munkavégző közeg veszi fel. Ezek a hűtő- és hőszivattyú körfolyamatok. Nyitott rendszerek esetén a főtételt felírva pl. egy négy szakaszos munkanyerő körfolyamatra (ez azt jelenti, hogy négy egymás után helyezett nyitott rendszeren keresztül áramlik a munkavégző közeg ):
( ) ( )1221
221212,12 2
1 zzgcchhwq t −+−+−=+
( ) ( )2322
232323,23 2
1 zzgcchhwq t −+−+−=+
( ) ( )3423
243434,34 2
1 zzgcchhwq t −+−+−=+
( ) ( )4124
214141,41 2
1 zzgcchhwq t −+−+−=+ .
Összeadva a négy egyenlete: 041,34,23,12,41342312 =+++++++ tttt wwwwqqqq A fajlagos hők összege:
elvbei
ik qqqqqqq +=+++=∑=
41342312
4
1
.
A fajlagos technikai munkák összege:
ttttti
ikt wwwwww =+++=∑=
41,34,23,12,
4
1, .
Vagyis a körfolyamatból nyerhető fajlagos technikai munka:
∑ ∑= =
−==4
1
4
1,
i iikiktt qww
és a termikus hatásfok:
be
tt q
w−=η .
7. Exergia és anergia
A termodinamika II. főtételéből következett az a megállapítás, hogy a hő és a munka az átalakíthatóság szempontjából nem azonos értékű energiák. A különböző energiafomák összehasonlíthatása érdekében feltételezzük, hogy a minden energia két részből áll: exergiából és anergiából, melyek közül azonban az egyik nulla is lehet. Az exergia az energiának másik energiává korlátlanul átalakítható részét jelenti, míg az anergia az egyáltalán át nem alakítható részét. Az energiák azon csoportját, melyekben az exergia és az anergia is különbözik zérustól, korlátozottan átalakítható energiáknak nevezik. Ezek közé tartozik a hőenergia is. A hő exergiája az alábbi egyenlettel határozható meg:
ahol a Carnot-tényező, a hőnyelő hőmérsékletét, a pedig a hőforrás hőmérsékletét jelenti. A hő anergiája:
A hőnyelő hőmérséklete a legkedvezőbb esetben a környezet hőmérsékletével azonos. Az exergia kifejezéséből megállapítható, hogy minél magasabb hőmérsékleten áll rendelkezésre a hő, annál értékesebb, hisz nagyobb az exergia tartalma. Az exergia és az anergia segítségével megfogalmazható a termodinamika első és második főtétele is. Az első főtétel szerint az exergia és az anergia összege (vagyis az energia) állandó. A második főtétel pedig azt fejezi ki, hogy minden irreverzibilis folyamatnál exergia anergiává alakul, a reverzibilis folyamat során az exergia nem változik, míg a lehetetlen folyamat során anergia alakul(na) át exergiává. Az irreverzibilitás miatt anergiává alakuló exergiát exergiaveszteségnek nevezik.
E d Q TT
d Q Q T d QTQ C= = −
= −∫ ∫ ∫η1
20
1
2
12 01
2
1
η C T0 T
A T d QTQ = ∫0
1
2
Tkö
A hőenergia átalakításának jellemzésére a termikus hatásfok helyett célszerűbb az exergetikai hatásfokot használni, melynek definíciója:
. Ebben a hatásfokban a nevező csak az elméletileg átalakítható energiarészt tartalmazza.
8. Technikai körfolyamatok
A mechanikai munka előállításának egyik leggyakoribb formája, hogy a munkavégző közeg - mely általában gőz vagy gáz - hőerőgépekben körfolyamatot végez.
8. 1. Gőzkörfolyamatok
A gőzkörfolyamat munkavégző közege gőz, kivéve a körfolyamat egy szakaszát, ahol a közeg folyadék állapotban van. A körfolyamat minden szakaszára felírható a termodinamika I. főtétele. Az egyenleteket összeadva a körfolyamatból nyerhető fajlagos technikai munkára a következő kifejezés adódik: ∑∑ =−=−
iki
ikitt qww , .
Az energia átalakítás jellemzésére a termikus hatásfok használatos:
eb
tt q
w−=η ,
ahol a nevezőben a fajlagos bevezetett hő ( )ebq szerepel. Mivel a hő korlátozottan átalakítható energia, ezért helyesebb a termikus hatásfok helyett az exergetikai hatásfok használata. Ez az alábbi hányadost jelenti:
q
txe e
w−=η ,
ahol a nevezőben a hő fajlagos exergiája - vagyis az energiának elméletileg átalakítható része - szerepel. A körfolyamat irreverzibilitásokkal szembeni érzékenységét a munkaarány jellemzi, melynek definíciója a következő:
et
tw w
wr = ,
A nevezőben lévő etw a fajlagos expanziómunkát jelenti.
Fontos jellemzője még a körfolyamatnak a fajlagos gőzfogyasztás, mely az 1 kWteljesítmény előállításához keringtetendő munkavégző közeg tömegáramát adja meg. Definíciója:
===
skWkg
wwmm
Pmg
tt
1
vagy
=
hkWkg
wg
t
3600
Ez az erőmű méretére jellemző mennyiség.
ηext
q
q q ve s zt
q
we
e ee
= − =− , .
8. 1. 1. Carnot körfolyamat A Carnot körfolyamat a nedves mezőben játszódik le. A körfolyamat szakaszai a következők: 1 - 2: izentrópikus kompresszió ( ).álls= , 2 - 3: izotermikus (izobár) hőközlés ( ).állT= , 3 - 4: izentrópikus expanzió ( ).álls= , 4 - 1: izotermikus (izobár) hőelvonás ( ).0 állT = . A nedves mezőben a hőmérséklet és a nyomás nem független állapotjelzők, az összetartozó értékeiket a tenziógörbe ábrázolja. A körfolyamat egyes szakaszaira felírt I. főtétel az alábbi egyenleteket jelenti: 1
'1221, hhhhwt −=−= ,
rhhhhq =−=−= '"2332 ,
"43443, hhhhwt −=−= ,
4114 hhq −= . A körfolyamatból nyerhető fajlagos munka: ∑∑ =−=−
iki
ikitt qww , .
A fajlagos hők felírhatók még a termodinamika I. és II. főtétele közötti összefüggés segítségével is, azaz: ( )2332 ssTq −= és ( ) ( )23041014 ssTssTq −−=−= . Ezekkel a körfolyamat fajlagos munkája: ( )( )230 ssTTwt −−=− . A termikus hatásfok:
Ct
eb
tt T
TTTT
qw
qw
ηη =−=−
=−=−= 00
32
1 ,
melyet Carnot hatásfoknak is neveznek. A hatásfok javítása a hőközlés hőmérsékletének növelésével és a hőelvonás hőmérsékletének csökkentésével javítható. A hőmérséklet növelésének az ún. metallurgiai határ szab gátat, ami jelenleg Ct xam
650600÷= . A hőelvonási hőmérséklet csökkentését pedig a környezeti hőmérséklet és a hőcseréhez szükséges hőmérséklet-különbség befolyásolja. Ezért ennek értéke Ct 30250 ÷= .
A munkaarány:
43,
43,21,
t
ttet
tw w
wwww
r+
== .
A gyakorlatban a Carnot körfolyamat nem használható a kompresszió nehézségei és alacsony munkaaránya miatt.
8. 1. 2. Rankine-Clausius körfolyamat
A hőerőművekben lejátszódó leggyakoribb körfolyamat. A Carnot körfolyamathoz képest az egyik eltérés az, hogy a kompresszió egy tápszivattyúban történik, ahová a munkavégző közeg telített folyadékállapotban lép be. A hőközlés pedig egy kazánban állandó nyomáson (kazánnyomáson) lejátszódó folyamat, mely sokszor a túlhevített mezőben - egy adott túlhevítési hőmérséklet elérésekor - fejeződik be. Így a körfolyamat szakaszai a következők: 1 - 2: izentrópikus kompresszió ( )..álls= , 2 - 5: izobár hőközlés ( )p á l l= . ,
5 - 6: izentrópikus expanzió ( )s á l l= . ,
6 - 1: izotermikus (izobár) hőelvonás ( )p á l l0 = . . A közölt hő három részre bontható, mégpedig 2 - 3: folyadékhő, 3 - 4: párolgáshő, 4 - 5: túlhevítési hő (ennek közlése a túlhevítőben történik). A termodinamika I. főtétele az egyes szakaszokra a következő alakokat ölti: w h h h ht ,
'12 2 1 2 0 0= − = − ≅ (vagyis a tápszivattyú munkája elhanyagolható),
q h h h h h h2 5 5 2 5 1 5 0= − ≅ − = − ' , w h ht ,56 6 5= − ,
q h h h h6 1 1 6 0 6= − = −' . A körfolyamatból nyerhető fajlagos munka - a tápszivattyú munkáját elhanyagolva - azonos a fajlagos turbinamunkával: w w h ht t= = −,56 6 5 . A körfolyamat termikus hatásfoka:
η tt
b e
twq
wq
h hh h
= − = − =−
−25
5 6
5 0' .
A munkaarány:
rwww
t
te= ≅ 1.
A körfolyamat ún. közepes hőközlési hőmérséklete (a sT − diagramban a 2-5 közötti - változó hőmérsékleten lejátszódó - hőközlés területét egy téglalap területté alakítva, a téglalap magassága lesz a hőközlés közepes hőmérséklete):
Th hs s
h hs s
=−
−≅
−
−5 2
5 2
5 0
5 0
'
' .
Ezzel a termikus hatásfok:
η tTT
= −1 0 ,
vagyis a Carnot körfolyamat termikus hatásfokához hasonló összefüggéssel határozható meg a "carnotizált" körfolyamat hatásfoka. Értéke mindig kisebb a Carnot tényezőtől. Ezt a hátrányát azonban az egyszerűség, a munkaarány egyhez közeli értéke és az alacsonyabb fajlagos gőzfogyasztás ellensúlyozza. A termikus hatásfok javítását célozza már a túlhevített gőz alkalmazása is. Ezzel ugyanis nő a közepes hőbetáplálási hőmérséklet és így a termikus hatásfok is, a csak száraz telített gőzzel dolgozó körfolyamathoz képest.
A termikus hatásfok további javítása a kazánnyomás és/vagy a túlhevítési hőmérséklet növelésével, valamint a kondenzátornyomás csökkentésével történhet. Természetesen a metallurgiai határ, valamint a környezet állapota és a hőcseréhez szükséges hőmérséklet-különbség ezeket a lehetőségeket behatárolja. Hatásfokjavulást eredményezhet még a közbenső túlhevítés is. Ennek azonban elsődlegesen az a célja, hogy a turbinából kilépő gőz fajlagos gőztartalmát növelje és annak értéke lehetőleg x kg kg6 0 88≥ , / legyen. Ezért az expanziót egy közbenső nyomáson megszakítják, a gőzt állandó nyomáson újra felhevítik (vagy az eredeti vagy más túlhevítési hőmérsékletig) és ezt követően expandáltatják a kondenzátornyomásig. A közbenső túlhevítés akkor eredményez hatásfokjavulást is, ha az újrahevítés közepes hőközlési hőmérséklete nagyobb, mint az eredeti körfolyamaté. A hatásfok javításának egy gyakori módszere a megcsapolásos tápvízelőmelegítés. Ekkor a turbinából meghatározott nyomáson a gőz egy részét elvezetik. Ezt követően egy hőcserélőbe kerül, ahol a másik közeg a kondenzátort elhagyó telített folyadék. A hőcsere következtében a folyadék entalpiája megnő, vagyis a kazánban közlendő hő legkedvezőtlenebb része - a
folyadékhő - csökken. Természetesen a fajlagos turbinamunka is kevesebb lesz, hisz a gőz egy része csak a megcsapolási nyomásig expandál. Ezért legfeljebb csak kettő vagy három fokozatú megcsapolásos tápvízelőmelegítést lehet alkalmazni.
8. 2. Gázkörfolyamatok A gázkörfolyamatok esetében ún. elméleti összehasonlító körfolyamatokat vizsgálnak. Ez azt jelenti, hogy a munkavégző közeg ideális gáznak tekintett levegő, melynek az összes fizikai jellemzője állandó. Tehát eltekintenek a munkavégző közeg összetételének körfolyamat közbeni változásától.
8. 2.1. Joule (vagy Brayton) körfolyamat Ez egy gázturbina körfolyamatot jelent, melynek szakaszai a következők: 1 - 2: izentrópikus kompresszió, 2 - 3: izobár hőközlés, 3 - 4: izentrópikus expanzió, 4 - 1: izobár hőelvonás. A termodinamika I. főtételét alkalmazva az egyes szakaszokra, az alábbi összefüggéseket kapjuk: ( )w h h c T Tt p,12 2 1 0 2 1= − = − ,
( )q h h c T Tp2 3 3 2 0 3 2= − = − ,
( )w h h c T Tt p,34 4 3 0 4 3= − = − ,
( )q h h c T Tp41 1 4 0 1 4= − = − . Ezek segítségével a körfolyamatból nyerhető fajlagos technikai munka: ( )w w w q qt t t= + = − +, ,12 34 23 41 A körfolyamat termikus hatásfoka:
η tt
b e
wq
T TT T
TT
TTTT
= − = − = −−
−= −
−
−1 1 1
1
1
41
23
4 1
3 2
1
2
4
1
3
2
.
A két munkafolyamatra felírhatók az izentrópikus állapotváltozás egyenletei:
T p T p4 4
1
3 3
1− −
=κ
κκ
κ
T p T p1 1
1
2 2
1− −
=κ
κκ
κ . Mivel p p p4 1 0= = és p p p2 3= = , a két egyenletet egymással elosztva:
TT
TT
4
1
3
2= →
TTTT
4
1
3
2
1
11
−
−= ,
míg az izentrópikus kompresszióra felírt egyenletből:
TT
pp
pp
1
2
2
1
1
0
11
11
=
=
= =
− −−
−
κκ
κκ κ
κκκ
π
π
.
Ezeket felhasználva a körfolyamat termikus hatásfoka:
η
πκκ
t = −−
1 11 .
A körfolyamat munkaaránya:
rww
ww
T TT T
TT
TT
TT
wt
te
t
t= = + = +
−
−= −
−
−1 1 1
1
1
12
34
2 1
4 3
1
3
2
1
4
3
,
,.
Az izentrópikus expanzióra felírt állapotváltozási egyenletből:
TT
pp
pp
4
3
3
4
1
0
11
11
=
=
= =
− −−
−
κκ
κκ κ
κκκ
π
π
.
Felhasználva az izentrópikus kompresszióra már korábban felírt egyenletet is, a munkaarány:
rTT
TTw = −
−
−= −
−
−
−
1 1
1 1 11
3
1
1
1
3
1π
π
π
κκ
κκ
κκ .
A Joule-körfolyamat esetén az erőmű fajlagos méretére jellemző mennyiségként a fajlagos technikai munka szolgál. Ha rögzítjük a körfolyamat két szélső hőmérsékletét ( T1 és T3 ) és feltételezzük, hogy
T T2 3→ , akkor π
κκ
ma xTT
=
−3
1
1,
illetve T T2 1→ , akkor π mi n = 1. A fajlagos technikai munka értéke mindkét esetben zérus lesz. A maximális értéke szélsőérték számítással kereshető meg. Ehhez fel kell írni a ( )πtt ww = függvényt: ( ) ( ) ( ) ( )w w w h h h h c T T c T Tt t t p p= + = − + − = − + − =, ,12 34 2 1 4 3 0 2 1 0 4 3
= −
+ −
= −
+ −
−
−c T
TT
cTT
c T c Tp p p p0 12
10
4
30 1
1
0 3 11 1 1 1 1π
π
κκ
κκ
.
Ezután pedig meghatározható a nyomásviszony ( )π szerinti differenciálja:
d wd
c T c Ttp pπκκ
π κκ
πκκ
κ= =−
−−−
−
0 1 10 1
1
0 3
1 2
.
Ebből a fajlagos technikai munka maximális értékéhez tartozó optimális nyomásviszony:
( )
π π
κκ
o p t ma xTT
=
=
−3
1
2 1.
Egy adott teljesítmény esetén ekkor szükséges a legkisebb tömegáramú munkavégző közeg.
A Joule körfolyamat termikus hatásfokának javításakor regeneratív hőcserélővel bővítik a berendezést. Ebben a turbinából távozó magas hőmérsékletű füstgázok (természetesen ideális gáznak tekintett levegőként), valamint a komprimált levegő képezik a hőcsere két közegét. Ennek eredményeként mind az elvonandó, mind a betáplálandó hő csökken, ami javítja a hatásfokot.
Feltételezve, hogy a komprimált levegő Tx hőmérsékletig melegszik fel, míg a füstgázok Ty hőmérsékletig hűlnek le és teljesül a következő két egyenlőség: T Tx = 4 és T Ty = 2 , a betáplált fajlagos hő: ( ) ( )q q h h c T T c T Tbe x x p x p= = − = − = −3 3 0 3 0 3 4
és az elvont fajlagos hő: ( ) ( )q q h h c T T c T Tel v y y p y p= = − = − = −1 1 0 1 0 1 2 . A regenerációval javított Joule körfolyamat termikus hatásfoka:
η πκκ
t re l v
bew
T TT T
TT
r= − = −−
−= = − =
−
1 1 12 1
3 4
1
3
1
.......... ,
azaz megegyezik a munkaaránnyal.
8. 3. Hűtőkörfolyamatok
A körfolyamatok fordított irányban is végbemehetnek. Ekkor a hőfelvétel történik az alacsony, a hőleadás pedig a magas hőmérsékleten, miközben a munkát a munkavégző közeg veszi fel. Ezek a hűtő- és hőszivattyú körfolyamatok. Az utóbbi két körfolyamat elve azonos, egy berendezés akár mindkét feladatra alkalmazható. A különbség a körfolyamat céljában van. Ugyanis a hűtőkörfolyamatok feladata egy adott térből a hő eltávolítása, vagyis a tér hűtése, míg a hőszivattyú alkalmazásának elsődleges célja a hő magasabb hőmérsékletre való szállítása. A hűtőberendezések egyik osztályozása a folyamat fenntartása érdekében felhasznált energia alapján történik. Eszerint megkülönböztethető: mechanikai energia, hőenergia és villamos energia segítségével működő hűtőberendezés. Az alkalmazott hűtőközeg fajtája szerint pedig gáznemű és gőznemű hűtőközeggel dolgozó berendezések különböztethetők meg. A mechanikai munkát igénylő folyamatokat megvalósító berendezések a kompresszoros hűtőberendezések, amelyek gőz- és légnemű közeggel egyaránt dolgozhatnak. A folyamat fenntartásához szükséges energiát a kompresszorban lejátszódó kompresszió során vezetik be. A közvetlen hőenergiát igénylő folyamatokat megvalósító berendezések a szorpciós hűtőberendezések (abszorpciós és reszorpciós), valamint a gőzsugárkompresszoros hűtőberendezés. A szorpciós berendezésekben a munkaközeg kétkomponensű oldat (hűtőközeg és oldószer elegye), melynek koncentrációja változik a folyamat során. A közvetlen villamos energiát igénylő folyamatokat megvalósító berendezés a termoelektromos hűtőberendezés. A gőznemű hűtőközegek a hűtőkörfolyamatban fázisváltozáson mennek keresztül (hőfelvételkor folyadék fázisból gőzfázisba, hőleadáskor pedig gőzfázisból folyadék fázisba kerülnek). Kritikus hőmérsékletük magasabb a hőleadás jellemző hőmérsékleténél. A gáznemű hűtőközegek nem szenvednek fázisváltozást a hűtőkörfolyamat során, végig gázfázisban maradnak. Kritikus hőmérsékletük általában kisebb a hűtőkörfolyamat legkisebb hőmérsékletétől.
8. 3. 1. Fordított Carnot körfolyamat
A fordított Carnot körfolyamat szakaszai a következők: 1 - 2 : izentrópikus kompresszió ( ).llás = , 2 - 3 : izotermikus hőleadás ( ).lláT = , 3 - 4 : izentrópikus expanzió ( ).llás = ,
4 - 1 : izotermikus hőfelvétel ( ).0 lálT = . Az izotermikus hőfelvétel és hőleadás "gőznemű" hűtőközeg alkalmazása esetén izobár kondenzációval és izobár elpárologtatással is megoldható. Ezért a nedves gőzzel dolgozó fordított Carnot körfolyamat szakaszai a következők lesznek: 1 - 2 : izentrópikus kompresszió ( ).llás = , 2 - 3 : izobár hőleadás ( ).lláp = , 3 - 4 : izentrópikus expanzió ( ).llás = , 4 - 1 : izobár hőfelvétel ( ).0 lláp = . A termodinamika I. főtételét, valamint az I. és a II. főtétel közötti összefüggést felhasználva a fajlagos hő, valamint a fajlagos munka értékei a következők lesznek: 12,12, hhww ktt −== ( )232323 ssThhqq −=−== 34,34, hhww ett −== ( ) ( )23041041041 ssTssThhqq −−=−=−== A körfolyamatba befektetendő fajlagos munka: ( ) ( )( )2300,, ssTTqqwww etktt −−−=+−=+= A hűtőkörfolyamat jellemzésére használt fajlagos hűtőteljesítmény:
0
00
TTT
wq
t −==ε .
A hőszivattyú körfolyamatot a fajlagos fűtőteljesítmény jellemzi, melynek definíciója a következő:
Ct TT
Twq
ηα 1
0
=−
=−=
Vagyis mindkét fajlagos jellemző csak a hőmérsékletek függvénye, a hűtőközeg jellemzői nem befolyásolják azokat. A két fajlagos mennyiségre fennáll az alábbi összefüggés: 1=− εα . A gyakorlatban ez a körfolyamat megvalósíthatatlan.
8. 3. 2. Kétfázisú (folyadék - gőz) hűtőközeggel dolgozó körfolyamat
8. 3. 2. 1. Egyfokozatú, fojtásos, száraz ciklusú hűtőkörfolyamat
A körfolyamat abban különbözik a fordított Carnot-ciklustól, hogy az expanziós gépet - mely a hűtőközeg nyomását hivatott csökkenteni - egy egyszerű fojtószeleppel helyettesítik. Ugyanis a nedves gőzzel dolgozó expanziós gép üzembiztonság és élettartam szempontjából kedvezőtlen, a valóságban kinyerhető munka pedig jelentéktelen. Az expanziós gép elhagyása következtében csökken a fajlagos hűtőteljesítmény, értéke mindig alatta marad az azonos hőmérséklet-határok között dolgozó fordított Carnot ciklusnak és a fojtás miatt - mivel az irreverzibilis folyamat - a hűtőkörfolyamat is irreverzibilissé válik. Emiatt a fajlagos hűtőteljesítmény már nem lesz független a hűtőközeg típusától. A fordított Carnot körfolyamattól való másik eltérés az, hogy a kompresszor száraz telített vagy kissé túlhevített gőzt szív be. Ennek az oka az, hogy a hűtőközeg teljes elpárologtatással jobban kihasználható, több hőt képes felvenni. Ráadásul ha a kompresszor a gőzzel együtt folyadékot is szív, akkor egyrészt az ún. "folyadékütés" miatt veszélybe kerülhet a dugattyús kompresszor szerkezete, másrészt a folyadék a kompresszor belsejében párolog el és ez nagy mértékben lecsökkenti a szállítási fokot. A kompresszió végén a hűtőközeg túlhevített gőz állapotba kerül és így lép be a kondenzátorba. Ezért az izobár hőelvonás egy ideig - a száraz telített gőz állapotba kerülésig - a hőmérséklet csökkenésével is jár. A körfolyamat szakaszai a következők: 1 - 2 : izentrópikus kompresszió ( ).álls= , 2 - 3 : izobár hőelvonás ( ).állp= , 3 - 4 : izentalpikus expanzió ( ).állh= , 4 - 1 : izobár hőfelvétel ( ).0 állp = . Az elpárologtatóban felvett fajlagos hő: 3141041 hhhhqq −=−== , a kondenzátorban leadott fajlagos hő pedig: 2323 hhqq −== . A fajlagos munka megegyezik a fajlagos kompressziómunkával, mert a fojtószelepen nincs munkavégzés: ( ) 120, hhqqww ktt −=+−== A fajlagos hűtőteljesítmény:
tw
q0=ε .
A volumetrikus hűtőteljesítmény:
1
00 v
qq v =
A 0Q hűtőteljesítmény létrehozásához keringtetendő hűtőközeg tömegárama:
0
0
m
=
és térfogatárama: 1vmV = . A kompresszor hajtásához szükséges teljesítmény: twmP = , A kondenzátorban leadott hőteljesítmény: qmQ = .
8. 3. 2. 2. Egyfokozatú, fojtásos, száraz ciklusú, utóhűtéses hűtőkörfolyamat
A fajlagos hűtőteljesítmény javítása érdekében a kondenzátor után egy további hőcserélőt alkalmaznak, melyben izobár módon továbbhűtik a most már telített folyadék állapotban lévő hűtőközeget a ut < t hőmérsékletig. Így az elpárologtatóba kisebb fajlagos gőztartalommal érkezik a hűtőközeg és ezért egységnyi tömege több hőt képes felvenni, mint utóhűtés nélküli esetben. Néha a kondenzátor is elláthatja ezt a feladatot, de általában külön hőcserélőt, ún. utóhűtőt alkalmaznak erre a célra. A körfolyamat a szakaszai az alábbiak lesznek: 1 - 2 : izentrópikus kompresszió, 2 - 3 : izobár hőelvonás (kondenzáció), 3 - 4 : izobár hőelvonás folyadék állapotban (utóhűtés), 4 - 5 : izentalpikus állapotváltozás, 5 - 1 : izobár hőfelvétel (elpárologtatás). Az elpárologtatóban felvett fajlagos hő: 4151,051 hhhhqq u −=−== , a kondenzátorban leadott fajlagos hő: 2323 hhqq −== és az utóhűtőben elvont fajlagos hő pedig: 3434 hhqq u −== . A fajlagos munka értékét az utóhűtés nem befolyásolja: ( ) 120, hhqqww ktt −=+−== A fajlagos hűtőteljesítmény:
t
uu w
q ,0=ε .
Az utóhűtés a fajlagos hűtőteljesítmény javításán kívül azért is előnyös, mert azonos feltételek mellett azonos 0Q hűtőteljesítményhez kisebb hűtőközeg-tömegáram szükséges ( um < m ), tehát
a kompresszor kisebb térfogatáramot ( ukV < kV ) szállít, miközben a felvett teljesítménye is kisebb ( ukP , < P ).
Az egyfokozatú kompresszoros hűtőkörfolyamatban az elpárolgási és a kondenzációs hőmérsékletek közötti különbség növekedésével csökken a fajlagos hűtőteljesítmény, nő a
kompresszorral elszállítandó térfogatáram, az áthidalandó nyomásviszony, a kompresszió véghőmérséklete és az elpárolgási hőmérséklet különbsége. Ezek a fajlagos energiafogyasztás növekedése, a megvalósíthatóság, az üzembiztonság és a gazdaságosság révén korlátozzák az egyfokozatú körfolyamatok alkalmazhatóságát. Általában az alkalmazhatóság határát a
870
÷≤=ppπ
nyomásviszony jelenti.
9. Áramlástani alapfogalmak
Az áramlástan a fizika tudományterületéhez tartozik. A cseppfolyós és gáznemű közegek (fluidumok) mozgásának leírásával, e mozgások törvényszerûségeinek feltárásával, az áramló közegek és a szilárd testek egymásra hatásának vizsgálatával foglalkozik. A folyadékok és gázok mindig felveszik az őket tartalmazó edény alakját. Az alakváltozással szemben csekély ellenállást fejtenek ki. Ez azt jelenti, hogy a fluidumok egyensúlyi állapota nem függ a részecskék egymáshoz képest elfoglalt helyzetétől, az a részecskék bármely eloszlása mellett létrejöhet. A folyadékokat és a gázokat kontinuumnak tekintjük, így vizsgálatuk makroszkópikus méretekben történik. A kontinuum-szemléletből következik, hogy a legkisebb ∆ V térfogatelembe zárt folyadék- vagy gáztömeg is homogén, mert ennek méretei a molekulák méreteinél nagyságrendekkel nagyobbak. A kontinuumnak tekintett fluidum sűrűsége a következőképpen definiálható:
ρ =→
lim∆
∆∆V
mV0
,
ahol ∆ m a ∆ V térfogatelembe zárt tömeg. A sűrűség általában a helynek és az időnek függvénye. A cseppfolyós közegeket összenyomhatatlannak (a sűrűség állandó), míg a gázneműt pedig összenyomhatónak (a sűrűség változó) tekintjük. Az utóbbiaknak jellemzője még, hogy nem képeznek szabad felszínt. A fluidumok mozgásának leírásakor egy előre megadott rögzített koordinátarendszer minden pontjában megadjuk a mozgás jellemzőit (sűrűség, nyomás, hőmérséklet, sebesség) az idő függvényében. Vagyis a mozgásjellemzők az áramlási tér pontjaihoz rendeltek. Ezt az ún. Euler-féle leírásmódnak nevezik. Ha egy térben pontról pontra változó sebességű folyadékáramlás megy végbe, akkor a
( )trcc ,= vektor-vektor függvénnyel egy sebességtér határozható meg. A sebességtér
instacionárius, ha a sebesség függ az időtől és stacionárius, ha független tőle. A sebességtér ezen tulajdonsága a koordinátarendszer választásától is függ. A sebességtér áramvonalakkal szemléltethető. Ezek olyan görbék, melyeknek pontjaiban a sebességvektorok érintőlegesek. Az áramvonalakkal egybe nem eső zárt görbére illesztett áramvonalsereg áramfelületet alkot. Az áramfelületen át nincs folyadékáramlás, mert a sebességvektorok az érintő síkba esnek. Ha a sebességtér rotációja nulla, vagyis 0
=×∇= ccrot ,
akkor a sebességtér örvénymentes. Ekkor a sebesség előállítható egy ( )tr ,Φ skalárfüggvény gradienseként, azaz Φ∇=Φ=gradc .
A ( )tr ,Φ függvényt potenciálfüggvénynek nevezik és az örvénymentes áramlást pedig potenciálos áramlásnak. Ha a sebességtér rotációja nem nulla, akkkor az áramlás örvényes és a tér minden pontjához hozzárendelhetõ az
crot
21
=ω
egyenlettel definiált szögsebességvektor. Ez a sebességtérhez hasonlóan ugyancsak egy vektor-vektor függvény és az áramlási tér pontjaiban egy örvényteret határoz meg.
10. Kontinuitási egyenlet A fluidumok mozgásának egyik alapegyenlete a folytonosság (kontinuitás) egyenlete. Ez a tömegmegmaradást fejezi ki. Ha egy változó keresztmetszetű csővezetékben történő stacionárius áramlást vizsgálunk, akkor a kontinuitási egyenlet: állandóAcm ==ρ , ahol m a tömegáram, ρ a sűrűség, c az adott keresztmetszet átlagos sebessége és A pedig az áramlási keresztmetszet. Ha a közeg összenyomhatatlan, akkor a kontinuitási egyenlet a Q c A á llandó= = alakot ölti, ahol Q a térfogatáram. A jelölés nem következetes, mivel V lenne a helyes. Ennek ellenére az áramlástechnikában mégis a Q használatos.
11. Bernoulli-egyenlet
A Bernoulli-egyenlet az energiamegmaradást fejezi ki. Stacionárius, örvénymentes áramlás esetén az ideális (azaz súrlódásmentes) folyadék mechanikai energiája (a helyzeti, a nyomási és a mozgási energiák összege) egy áramvonal mentén állandó:
g z c d p á llandóp
p
+ + =∫2
20ρ
.
Az egyenletben a
( )P d ppp
p
= ∫ ρ0
nyomáspotenciál, mely olyan összenyomható közegre definiálható, amelynek a sűrűsége csak a nyomásnak függvénye. Az ilyen közeget barotróp közegnek nevezzük. A nyomáspotenciál kifejezésében szereplő p0 egy tetszőlegesen választható nyomásszint. A gyakorlatban a gázok állapotváltozása izotermikus, izentrópikus és politrópikus lehet. A nyomáspotenciál ezekben az esetekben a következő lesz:
állandóp=
ρ ⇒ ∫ ==
p
p pppdpP
0 00
0 lnρρ
állandóp=κρ
⇒ ∫
−
−==
p
p
ppdpP0 0
0
1 ρρκκ
ρ
állandópn =ρ
⇒ ∫
−
−==
p
p
ppnndpP
0 0
0
1 ρρρ
Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve a Bernoulli-egyenletbe, a következő egyenletek adódnak a fenti három állapotváltozás feltételezésével:
állandóp=
ρ ⇒ állandó
pppczg =++
00
02
ln2 ρ
.
állandóp=κρ
⇒ állandópczg =−
++ρκ
κ12
2
.
állandópn =ρ
⇒ állandópn
nczg =−
++ρ12
2
.
Az izentrópikus és a politrópikus állapotváltozás feltételezésével felírt Bernoulli-egyenletben a
00 / ρp állandó lévén a jobboldalon álló konstanshoz volt csatolható. Ha a közeg összenyomhatatlan, akkor a Bernoulli - egyenlet az alábbi alakban írható:
állandópczg =++ρ2
2
.
Valóságos folyadék áramlása esetén a súrlódás és más áramlási veszteségek miatt már nem teljesül az energia állandósága, hanem az áramlás irányában csökken.
g z c P g z c P g h112
1 222
22 2+ + = + + + ′ ,
illetve
g z c p g z c p g h112
12
22
2
2 2+ + = + + + ′
ρ ρ.
Az egyenletben szereplő g h′ a nyomási energiaveszteség, míg a ′h pedig a veszteségmagasság. Ha a folyadék az L hosszúságú és D átmérőjű csővezetékben áramlik, akkor a keletkező veszteségmagasság:
′ =h LD
cg
λ2
2,
ahol λ a csősúrlódási tényező. A csősúrlódási tényező számítását az áramlás jellege befolyásolja. A valóságos folyadék áramlásának két típusa különböztethető meg. Az egyik a lamináris áramlás, melynél a folyadékrészecskék az áramvonalak mentén anélkül mozognak, hogy egymással keverednének. Ha a szomszédos folyadékrészecskék között folyamatos keveredés van, akkor az áramlás turbulens. A műszaki gyakorlatban a csővezetékek túlnyomó részében ez utóbbi áramlás alakul ki. Lamináris áramlás csak pl. nagy viszkozitású folyadék kis keresztmetszetű csőben vagy résben történő áramlásakor alakul ki. Az áramlás jellege a
Reynolds - szám segítségével dönthető el. Ez egy dimenziónélküli szám, mely a következőképpen definiálható
Re= c lν
.
Az egyenletben szereplő l egy jellemző geometriai méret, mely pl. csőáramlások esetén a D csőátmérőt jelenti. A ν pedig a folyadék kinematikai viszkozitása, mely a belső súrlódás mértékéül szolgáló, a hőmérséklettől és a nyomástól függő anyagállandó. Használatos még az η dinamikai viszkozitási tényező is. A két viszkozitási tényező között a kapcsolat a következő:
ν ηρ
= .
Körkeresztmetszetű, egyenes csővezetékben történő áramlás esetén ha Re≤2320 , akkor az áramlás lamináris, ha Re≥2320 , akkor pedig turbulens az áramlás. Ha a csővezetékben lamináris az áramlás, akkor a csősúrlódási tényező csak a Reynolds-szám függvénye:
λ =64Re
.
Turbulens áramlás viszont a Reynolds-szám mellett a csőfal felületének minősége is befolyásolja a csősúrlódási tényező értékét. A meghatározása különböző tapasztalati összefüggések vagy diagram segítségével történhet a Reynold-szám és az ún. relatív érdesség ( )R k/ függvényében. Egyenes, de nem kör keresztmetszetű csővezeték esetén a veszteségmagasság az alábbi összefüggéssel számítható:
′ =h LR
cgH
λ4 2
2,
ahol a RH a hidraulikai sugár. A hidraulikai sugár a következőképpen definiálható:
R AKH
F
F= .
Az AF a folyadékkal kitöltött keresztmetszetet jelenti, míg a KF a folyadék által nedvesített kerületet. A csővezetéki szerelvények (szűrők, tolózárak, fojtócsappantyúk, szelepek, csapok, stb.) a súrlódás, az irányelterelés, a leválások, stb. miatt szintén áramlási veszteségeket okoznak . Ezek meghatározása kísérleti úton történik. A szerelvényeken létrejövő nyomási energiaveszteség
g h p c′ =
′=
∆ρ
ς2
2
összefüggéssel számítható. A ς az adott szerelvény kísérleti úton meghatározott veszteségtényezője. Az összefüggésben azt is meg kell adni, hogy a c sebesség melyik értéket - az elem előttit vagy utánit - jelenti. Az egyenes csőszakaszokból és szerelvényekből álló csővezeték nyomási energiavesztesége az alábbi összefüggéssel számítható:
g h LD
c ci
i
i
ij
j
j
m
i
n′ = +
==∑∑λ ς
2 2
11 2 2.
Szokás az egyenértékű csőhosszt is meghatározni. Ez egy olyan d átmérőjű egyenes csővezeték hosszát jelenti, melynek a nyomási energiavesztesége az eredetivel megegyezik.
g h LD
c c Ld
ci
i
i
ij
j
j
m
i
ne′ = + =
==∑∑λ ς λ
2 2
11
2
2 2 2.
11. 1. A Bernoulli-egyenlet alkalmazása: tartályból való stacionárius kiömlés
Abban az esetben, ha a kiömlőnyílás keresztmetszete jóval kisebb, mint a tartályé, feltételezhető, hogy a tartály felszínén a sebesség elhanyagolható a kifolyónyílásban uralkodó sebességhez képest (nagyméretű a tartály). A folyadékfelszín (1) és a kiömlőnyílás keresztmetszete (2) között felírt Bernoulli-egyenlet a következő lesz: Összenyomhatatlan közeg esetén:
2
22
2
2
1
1 cppgh +=+ρρ
,
ahol h a folyadék magassága a tartályban. A fenti egyenletből a kiömlési sebesség:
−+==
ρ21
2 2 pphgcc
Ha a tartály nyitott, vagyis 21 pp = , akkor a kiömlési sebesség a Toricelli-képlettel számítható:
hgc 2= . Összenyomható közeg izentrópikus állapotváltozását feltételezve a folyadékfelszín (1) és a kiömlőnyílás keresztmetszete (2) között felírt Bernoulli-egyenlet a fajlagos potenciális energia elhayagolása mellett az alábbi alakot ölti:
211
22
2
2
1
1 cpp+
−=
− ρκκ
ρκκ .
Ebből kiömlési sebesség a nyomásviszony segítségével a következő lesz:
−
−==
−κ
κ
ρκκ
1
1
2
1
12 1
12
pppcc .
A gázokban a hang terjedési sebessége
ρ
κρ
pddpa == .
Ezzel a fenti összefüggés:
−
−==
−κ
κ
κ
1
1
212 1
12
ppacc .
ahol 1a a tartálybeli hangsebesség. Vákuumba történő kiömlés esetén ( )02 =p a fenti összefüggés szerint a sebesség
1
21
21
1
1max −
=−
=κρκ
κ apc
lenne. A valóságban azonban állandó vagy szűkülő keresztmetszetű kiömlőnyílás estén a sebesség csak a hangsebességig növelhető. Ezt a sebességet kritikus sebességnek is nevezik és ∗v jelőlést használnak. Ezzel a Bernoulli-egyenlet:
211
2221 ∗∗ +
−=
−vva
κκ,
Amelyből a kritikus sebesség:
1
212 +
==∗ κaav .
Ezt a sebességet csak Laval-fúvóka (mely egy szűkülő és egy bővülő részből áll) alkalmazásával lehet meghaladni.
12. A hidrosztatika alapegyenlete
A hidrosztatika alapegyenlete az ideális folyadékra felírt Bernoulli-egyenletből származtatható a sebesség zérus voltának feltételezésével. Összenyomhatatlan közeg esetén:
állandózgp =+ ρ . Összenyomható közeg esetén pedig
állandópdzgp
p
=+ ∫0ρ
.
Az utóbbi egyenlet alkalmazható például a légkör nyomáseloszlásának meghatározására. A Földet körülvevő levegőréteg első 11 km vastagságú része a troposzféra. Ebben a rétegben – mivel a hőmérséklet változik – a légkör egyensúlya politrópikus állapotváltozás feltételezésével határozható meg. Felírva a hidrosztatika egyenletét a Föld felszíne és egy tetszőleges pont között:
ρρp
nnzg
pn
nzg11 0
00 −
+=−
+ .
Mivel a Föld felszínén 00 =z , a nyomáseloszlás
−−= zg
nnp
p 1
0
0
ρρ
Felhasználva, hogy
nn
pp
0
0
ρρ= ⇒
n
pp
1
00
= ρρ ,
Behelyettesítés és rendezés után a politrópikus légkör nyomáseloszlása:
1
0
00
11−
−−=
nn
pzg
nnpp
ρ.
A 11-30 km közötti sztratoszférában a légkör izotermikusnak tekinthető. Ekkor a hidrosztatika egyenlete az következőképpen írható:
0lnln00
0
0
0
0
00 =+=+
ppp
zgppp
zgρρ
.
Ebből a nyomáseloszlás izotermikus légkör esetén az alábbi:
−==
−
0
000 exp0
0
pzg
pepp pzg
ρρ
13. Hőközlés
A műszaki gyakorlatban fontos szerepet játszanak azok a folyamatok, melyek során
hőközlés történik. A hő áramlása hőmérséklet-különbség hatására megy végbe és önmagától mindig a magasabb hőmérsékletű helyről az alacsonyabb hőmérsékletű hely felé történik (termodinamika II. főtétele). A hőközléssel kapcsolatos feladatok két csoportba sorolhatók:
- az adott folyamat által igényelt hőmennyiség biztosításához szükséges minimális felület és hőmérséklet-különbség meghatározása,
- a hőterjedés megakadályozása, azaz a hőszigetelés. A hőközlésnek három formája különböztethető meg: hővezetés, hőátadás és hősugárzás.
A hővezetés során az energia szállítása molekuláris méretekben történik. Az anyag makroszkópikus részei nem mozdulnak el egymáshoz képest.
A hőátadáskor a hőmérséklet-különbség egy szilárd fal és egy mozgó, áramló folyadék vagy gáz között létezik. Az érintkező felületek közötti energiaeloszlás átrendeződése részben a hővezetés, részben pedig a folyadék mozgása, áramlása miatt következik be. Ha a folyadék mozgását a benne kialakuló sűrűségkülönbség okozza, akkor a hőátadást természetes vagy szabad konvekciónak hívják. Ha pedig a folyadék áramlása külső erőforrás hatására megy végbe, kényszer konvekcióról van szó.
A hőközlés harmadik formája, a hősugárzás esetében nincs szükség közvetítő közegre. A hő elektromágneses hullámok formájában terjed, amelyet minden, az abszolút nulla fok fölötti hőmérsékletű anyag képes kibocsájtani.
A valóságban egyik hőközlési forma sem fordul elő tisztán, hanem különböző kombinációival lehet találkozni. A kombinált hőközlés egyik nagyon fontos formája a hőátszármaztatás, mely során hővezetés és hőátadás is lejátszódik.
13. 1. Hõvezetés A hővezetés alapvető egyenlete egy - Fourier által 1822-ben közölt - tapasztalati összefüggés. Eszerint egy homogén, izotróp anyag izotermális felületeire merőleges irányban az egységnyi felületén időegység alatt átáramló hő (hőáramsűrűség) és a hőmérsékleti gradiens között az alábbi kapcsolat áll fenn:
( ) ( )τλτ ,, rtgradrq −=
A negatív előjel arra utal, hogy a hő az alacsonyabb hőmérsékletű hely felé áramlik. A t - a gyakorlatban használtaknak megfelelően - egy T0 vonatkoztatási hőmérséklethez viszonyított hőmérséklet értéket jelent. Az egyenletben szereplõ q a hőáramsűrűség-vektor és a t hőmérséklet általános esetben a helynek ( )r és az időnek ( )τ , míg a λ hővezetési tényező pedig a helynek és a hőmérsékletnek lehet függvénye. Az utóbbi, mint anyagjellemző, nagyon sokszor állandónak értékűnek tekinthető. A hővezetési folyamatok során kialakuló hőmérséklet-eloszlás meghatározására a Fourier-féle differenciálegyenlet szolgál. Ennek általános alakja egy álló, homogén, izotróp testre, melyben hőforrások, illetve hőnyelők is létezhetnek, a következő:
( ) ( )[ ] ( )ττλτ∂τ∂ρ ,,, rgrtrtcp
+∇∇= .
Az egyenletben a már ismert mennyiségeken kívül ρ az anyag sűrűsége, cp az állandó nyomáson vett fajhője, ( )τ,rg pedig a hőforrás (vagy hőnyelő) térfogategységre jutó erőssége. A Fourier-féle parciális differenciálegyenlet megoldásához kezdeti és peremfeltételek szükségesek. A kezdeti feltétel a hőmérséklet-eloszlást jelenti a kezdeti időpillanatban, azaz ( ) ( )rtrt
00, = . A peremfeltételek pedig a testet határoló felület(ek)en jelentenek különbözőképpen megadott előírást. Három lineáris típusa van: elsőfajú peremfeltétel: ( )τ,,1 rft iAi
= ,
másodfajú peremfeltétel: ( )τ∂∂ ,,2 rf
nt
iAi
= ,
harmadfajú peremfeltétel: ( )τα∂∂λ ,,3 rft
nt
iAiA
ii
i
=+ .
A harmadfajú peremfeltétel newtoni hőátadási törvényként is ismert. Az egyenletben szereplő mennyiségek közül az α a konvektív hőátadási tényező, az n pedig a felületből kifelé mutató normális. A peremfeltételt jelentő egyenletek jobboldalán lévő függvények lehetnek csak a
helynek vagy csak az időnek függvényei, valamint állandók, közöttük akár nulla értékűek is. Az utóbbi esetben az adott peremfeltételt homogénnek nevezzük.
13. 1. 1. Egydimenziós, stacionárius, hõforrásmentes hõvezetés Ha a hővezetés stacionárius és hőforrásmentes, valamint a hővezetési tényező állandó, akkor a Fourier-féle differenciálegyenlet a Laplace-egyenletté egyszerűsödik, vagyis ∆ t =0 . A gyakorlat szempontjából nagy jelentőségűek azok az esetek, amikor a hőmérséklet csak egyetlen koordinátának a függvénye, azaz egydimenziós a hővezetési feladat.
13. 1. 1. 1. Sík fal Derékszögű Descartes koordinátarendszerben a Laplace-egyenlet egydimenziós alakja a következõ:
d td x
2
2 0= ,
ahol az x az izotermális felületekre merőleges távolság. Ez az egyenlet a két irányban végtelen kiterjedésű sík fal hővezetési feladatát jelenti. Ha a fal felületi hőmérsékletei ismertek, akkor az elsőfajú peremfeltételek a következőképpen írhatók fel: t tx x=
=1 1 és t tx x=
=2 2 .
A differenciálegyenletet kétszer integrálva a hőmérséklet-eloszlás: t C x C= +1 2 . A két integrációs állandó a peremfeltételek segítségével határozható meg. A peremfeltételeket behelyettesítve a megoldásba, a következő két egyenlet adódik: t C x C1 1 1 2= + és t C x C2 1 2 2= + . Ebből a két integrációs állandó:
Ct tx x1
1 2
1 2=
−
− és C t
t tx x
x2 11 2
1 21= −
−
−.
Az integrációs állandókat a megoldásba visszahelyettesítve a hővezetési feladat megoldásaként adódó hőmérséklet-eloszlás - mely egy líneáris függvénnyel írható le - a következõ:
( ) ( )t x t t t x xx x
= − −−−1 1 2
1
2 1.
A sík fal vastagságára gyakran használják az x x2 1− =δ jelölést is, valamint a koordinátarendszer kezdőpontját úgy veszik fel, hogy az x1 0= legyen. A hőmérséklet-eloszlás ismeretében meghatározható a hőáramsűrűség is, mely
( ) állandóttxdtdq =−=−= 21δ
λλ .
Többrétegű sík fal esetén - rétegenként állandó hővezetési tényezőt feltételezve - a hőáramsűrűség az alábbi egyenlettel számítható:
∑=
−=
n
i i
i
ttq
1
21
λδ
,
ahol t1 és t2 ezúttal a két szélső réteg felületi hőmérsékleteit, míg az n pedig a rétegek számát jelenti. Az adott felületen időegység alatt átáramló hőmennyiséget (az ún. hőteljesítményt) pedig a következő egyenlet szolgáltatja:
AqQ = 13. 1. 1. 2. Vastag falú csõ (olvasmány)
Ha egy L hosszúságú vastag falú csőben a hőmérséklet változása a hossz mentén elhanyagolható, akkor a henger koordinátarendszerben megfogalmazott hővezetési feladata hengerszimmetrikus hőmérséklet-eloszlás esetén szintén egydimenziós lesz. A Laplace-egyenlet ekkor a következő alakban írható fel:
ddr
r d td r
=0 .
Ha a vastag falú cső r1 belsõ és r2 külső sugarain ismertek a hőmérsékletek, akkor a hővezetési feladat megfogalmazásához szükséges elsőfajú peremfeltétel a következő egyenletekkel adható meg:
t tr r= =1 1 és t tr r= =
2 2 .
A differenciálegyenletet ismét kétszer integrálva, a hőmérséklet-eloszlás: t C r C= +1 2ln . A peremfeltételeket behelyettesítve a megoldásba, a két integrációs állandó számítására szolgáló egyenlet: t C r C1 1 1 2= +ln és t C r C2 1 2 2= +ln . A két egyenletből az integrációs állandókra az alábbi kifejezés adódik:
Ct t
rr
11 2
2
1
= −−
lnés C t
t trr
r2 11 2
2
2
1= +−
lnln .
Az integrációs állandókat a megoldásba visszahelyettesítve a hőmérséklet-eloszlás a következő:
( )t r t t trr
rr
= −−
11 2
2
1
1lnln .
A hőáramsűrűség ezúttal nem állandó, ugyanis
( ) állandórqr
rrtt
rdtdq ≠=
−=−=
1
ln1
2
21λλ .
Viszont a hőteljesítmény állandó lesz és a következőképpen számítható:
( )
1
2
21
ln
22
rr
ttLLrqAqQ
−===
λππ .
Ha többrétegű a vastag falú cső, pl. szigeteléssel látják el, akkor a hőteljesítmény számítása az alábbi összefüggéssel történik:
( )
∑=
−= n
i bi
ki
i rrttL
Q
1 ,
,
21
ln12
λ
π .
Az egyenletben t1 és t2 a két szélső réteg felületi hőmérsékleteit, az ri k, és az ri b, az i -edik réteg külső, illetve belső sugarát, míg az n pedig a rétegek számát jelöli.
13. 2. Hõátadás A hőközlés ezen formája nagyon bonyolult, mert a leírása mind a hő-, mind a folyadékáramlás vizsgálatát igényli. Az átadódó hő mennyiségét pedig minden olyan jellemző befolyásolja, amely érinti a hő- és folyadékáramlást. A jelenséget leíró differenciálegyenletek (mozgás-, energia-, kontinuitási és a Fourier egyenlet) egzakt megoldásai csupán néhány egyszerű esetben határozhatók meg. Ezért nagy jelentősége van a különböző közelítő eljárások alkalmazásának. Az alkalmazott közelítő eljárások egyike a hőteljesítmény számításához felhasználja a sebességi és a hőmérsékleti határréteg közötti analógiát. A feltételezés szerint a falra tapadó folyadékban a hőközlés vezetéssel történik és nem átadással. Ezért a módszer célja a fal közvetlen közelében lévő folyadékban a hőmérsékletgradiens meghatározása. Ennek ismeretében pedig a hőteljesítmény meghatározható:
falyd
tdAQ
−= λ ,
ahol y a falra merőleges koordinátát jelenti. Egy másik közelítő eljárás a határrétegben végbemenő folyadéksúrlódás és hőátadás közötti hasonlóságot használja fel. Ha létezik a hasonlóság, akkor a hőteljesítmény a folyadék és a fal közötti csúsztatófeszültség mérése révén számítható.
A harmadik - és talán a leggyakrabban használt - eljárás a dinamikai hasonlóság elvén alapszik és a dimenzióanalízist alkalmazza a modellkísérletekkel nyert eredményekkel való megfeleltetéshez. Kényszerkonvekció esetén a dinamikai hasonlóság akkor létezik, ha a két vizsgált test és határai geometriailag hasonlók, valamint hasonló a határok körüli sebesség- és
hõmérsékleteloszlás is. Ez utóbbiak teljesülését a Re= c lν
Reynolds-szám és a Pr = νa
Prandt-
szám azonossága biztosítja. Ha tehát fennáll a dinamikai hasonlóság mindhárom feltétele, akkor
az Nu l=αλ
Nusselt-szám is azonos lesz mindkét testre és létezik az alábbi függvénykapcsolat:
( )Nu f= Re, Pr
Ez azt jelenti, hogy a hőátadási tényező a Nusselt-számon keresztül bármilyen geometria esetén kifejezhető a Reynolds- és Pradtl-szám függvényeként dinamikailag hasonló folyamatokra. A kísérleteket a kismintákon elvégezve, azok átvihetők a legkülönbözőbb méretű berendezésekre. A definíciókban szereplő mennyiségek közül c sebesség, l jellemző geometriai méret, ν kinematikai viszkozitás, a hőmérsékletvezetési tényező, α pedig a konvektív hőátadási tényező. Ez utóbbi azonban nem anyagjellemző, hanem a hőközlési folyamat számos más jellemzőjének a függvénye. Ezért a közelítő eljárások alapvető célja a konvektív hőátadási tényező meghatározása. A közelítő összefüggések általában az átlagos Nusselt számra vonatkoznak, mert a definíciós egyenletében az adott geometriára vonatkozó átlagos konvektív hőátadási tényező szerepel. Sok esetben a folyadék anyagjellemzői nem állandók, hanem a hőmérséklet függvényei. Ekkor az alábbi összefüggés használható:
Nu fTT
fal=
∞
Re, Pr , ,
ahol a T∞ a folyadék hőmérséklete a zavartalan áramlás esetén. A dimenziótlan jellemzők számításához szükséges anyagjellemzőket nagyon gyakran az áramló közeg ún. fílmhőmérsékletének függvényében határozzák meg, mely a következőképpen számítható:
TT T
filmfal=+ ∞
2 .
A szabad konvekció esetén a hőátadási tényezőt tartalmazó Nusselt-szám más dimenziótlan jellemző segítségével fejezhető ki. A felírható függvénykapcsolat lamináris áramlás esetén ( )Nu f Gr= . Pr , míg turbulens esetben pedig: ( )Nu f Gr= . Pr 2 .
ahol a
Gr g l T=β ρ
µ
2 3
2∆
Grashof-szám és a hőmérsékletkülönbség ∆T T Tfal= −∞ . A további - korábban még nem szerepelt - mennyiségek pedig β térfogati tágulási együttható, ρ sűrűség, µ dinamikai viszkozitás ( )µ ρ ν= . A Prandtl- és Grashof számok szorzata Rayleigh-szám néven is ismert, azaz Ra = Re.Pr . Bizonyos esetekben - elsősorban kis Reynolds-számok esetén - a szabad és kényszerkonvekció együttesen is megjelenhet. A viszonylag kevés számú kisérleti adat alapján a a Nusselt-számra az alábbi függvénykapcsolat írható fel: ( )Nu f Gr= Re, Pr, Ugyancsak a kísérleti eredmények alapján határozhatók meg a hőátadási tényezők fázisváltozással kísért folyamatok (kondenzáció, forrás) esetén. A műszaki gyakorlat egyszerűbb, időben állandónak tekinthető folyamatai során szokásos a hőteljesítményt a következőképpen kifejezni: ( )falfolyadék ttAQ −= α
ahol A a hőátadó felület. Látható tehát, hogy ha sikerül a hőátadási tényezőt valamely egzakt vagy közelítő eljárással meghatározni, akkor a hőteljesítmény már egyszerűen számítható.
13. 3. Hősugárzás (olvasmány) Egy test felületére érkező sugárzás részben visszaverődik, részben pedig behatol a testbe, melyet aztán az elnyel (abszorbeál), vagy átereszt. Ezért ha a test felületére érkező sugárzás intenzitására vonatkoztatva r a visszavert, d az átengedett és a az elnyelt hányadot jelenti, akkor érvényes a következő összefüggés: r d a+ + = 1 . Az abszorpció és az áteresztő képesség a test anyagától, a sugárzás formájától és hullámhosszától függ. Szilárd anyagok esetén az átengedett hányad általában elhanyagolható. Azokat a testeket, melyek a rájuk eső sugárzást teljes egészében elnyelik, fekete testeknek nevezik. A gyakorlatban ilyen test nincs, de egy igen kis nyílással ellátott üreg jó közelítéssel annak tekinthető. Azokat a testeket, amelyeknek sugárzása kizárólag a hőmérsékletüktől függ, hőmérsékletsugárzóknak hívják. Adott hőmérsékleten a fekete test képes a legnagyobb energiamennyiséget kisugározni. A kisugárzott energia azonban nem egyenletesen oszlik meg, hanem intenzitása függ a hullámhossztól is. Ezt a kapcsolatot a Planck-törvény írja le, mely szerint
( ) ( )I T cc Tλ λ
λλ
,exp /
=−
−1
5
2 1 ,
ahol c kWm120 237 4 10= −, . és c mK2 0 01439= , .
Egy adott hőmérsékleten a fekete test által a teljes hullámhossz-tartományban időegység alatt kisugárzott, felületegységre vonatkoztatott energia a Stefan-Boltzmann törvény segítségével határozható meg, mely szerint
( ) 4
0
, TdTIq f σλλλ∫∞
== .
Az egyenletben σ = −56 7 10 12 2 4, . /kW m K a Stefán-Boltzmann állandó. A gyakorlati számítások során sokszor használják a
4
100
=
TCq ff
alakban is, ahol a C kW m Kf = −56 7 10 4 2 4, . / . Az intezitásmaximum a hőmérséklet növekedésekor a kisebb hullámhosszak felé tolódik el. Ezt a Wien-féle eltolódási törvény fejezi ki, mely szerint λ max ,T cmK=0 00290 . Az egyenletben szereplő λ max az intenzitás maximumához tartozó hullámhossz.
13. 4. Hőátszármaztatás Kombinált hőközlési forma, mely hővezetésből és hőátadásból áll. Egy szilárd fal vagy vastag falú cső két oldalán lévő folyadék vagy gáz között ez a hőközlés formája. Nagy jelentőségű a különböző tipusú hőcserélőkben lezajló folyamatok vizsgálatakor.
13. 4. 1. Sík fal Ha a sík falban lejátszódó hővezetés stacionárius, hőforrásmentes és egydimenziós, valamint a hővezetési tényező állandó, akkor a hőáramsűrűség a következőképpen írható fel:
( ) ( ) ( )22221111 ttq −=−=−= ϑαϑϑδλϑα .
Az egyenletben a t1 és t2 a fal két oldalán áramló közegek (folyadék vagy gáz) hőmérsékletét, ϑ 1 és ϑ 2 a felületi hőmérsékleteket, míg α 1 és α 2 az áramló közeg és a fal közötti konvektív hőátadási tényezőt jelentik. A hőáramsűrűség fal két oldalán lévő közegek hőmérsékleteivel a következőképpen írható fel: ( )21 ttkq −= , ahol a k hőátszármaztatási tényező:
k =+ +
11 1
1 2αδλ α
Többrétegű sík fal esetén a hőáramsűrűség:
( ) ( )2121
21
111 ttkttq
i i
i−=−
++=
∑ αλδ
α
,
ahol a δ i a rétegvastagság, míg a λ i pedig az állandónak tekintett hővezetési tényező. A fenti összefüggésből a hőátszármaztatási (hőátbocsátási) tényező többrétegű sík fal esetén:
ki
ii
=+ +∑
11 1
1 2αδλ α
A fenti esetben azt feltételeztük, hogy az érintkező felületek hőmérséklete azonos, így közöttük nincs hőátadás.
13. 4. 2. Vastag falú cső (olvasmány) Ha egy D átmérőjű és L hosszúságú vastag falú cső belsejében, valamint a csövön kívül áramló közeg van, akkor a két közeg között lejátszódó hőközlés formája szintén hőátszármaztatás. A vastag falú csőben lejátszódó stacionárius, egydimenziós és hőforrásmentes hővezetés vizsgálatakor megállapítottuk, hogy a hőáramsűrűség nem állandó, hanem csak a hőteljesítmény. Ezért ebben az esetben is a hőteljesítmény írható fel, mely:
( ) ( ) ( )2222
1
2
211111
ln
2 ϑϑπαϑϑλπϑπα −=−
=−= LD
DD
LtLDQ
A höteljesítményt a vastag falú cső két oldalán lévő közegek hőmérsékleteivel felírva, a ( )2111 ttLDkQ −= π , illetve a ( )2122 ttLDkQ −= π összefüggések adódnak. Az egyenletekből látható, hogy a vastagfalú cső esetén a hőátszármaztatási tényező függ a hőközlés felületétől. A gyakorlatban általában a belső vagy a külső palástfelületre vonatkozó hőátszármaztatási tényezőt használjuk, melyek a következőképpen definiálhatók:
k D DD
DD
1
1
1 2
1
1
2 2
11
21
=+ +
α λ αln
,
illetve
k DD
D DD
22
1 1
2 2
1 2
11
21
=+ +
α λ αln
.
Többrétegű vastag falú cső esetén - az egyes rétegek közötti hőátadást elhanyagolva - a hőteljesítmény a következőképpen írható fel:
( )21
22,
,
11
1ln2
111 tt
LDDD
LLD
Q
i bi
ki
i
−++
=
∑ απλπαπ
.
Ebből a belső palástfelületre vonatkoztatott hőátszármaztatási tényező:
kD D
DDDi
i k
i bi
1
1
1 1
2 2
11
21
=+ +∑α λ α
ln ,
,
,
míg a külső palástfelületre vonatkoztatott pedig:
kDD
D DDi
i k
i bi
22
1 1
2
2
11
21
=+ +∑α λ α
ln ,
,
,
ahol a Di k, és Di b, az egyes rétegek külső és belső átmérőjét, a λ i pedig a hővezetési tényezőjét jelenti. A fenti hőátszármaztatási tényezőkkel a hőteljesítmény: ( ) ( )21222111 ttLDkttLDkQ −=−= ππ .
13. 5. Hőcserélők A gyakorlatban sokszor lejátszódó folyamat az, hogy az egymástól szilárd fallal elválasztott két áramló folyadék között megy végbe hőcsere. Az erre szolgáló berendezéseket hőcserélőknek nevezik. Az áramló folyadékok egymáshoz viszonyított áramlási irányától függően, egyen-, ellen- és keresztáramú hőcserélők különböztethetők meg. A két folyadék közötti hőközlés módja hőátszármaztatás. Egyen- és ellenáramú hőcserélőket vizsgálva, egy elemi dA felületen átszármaztatott elemi Qd hőteljesítmény: ( ) AdttkQd 21−= . Ugyanez az elemi hőteljesítmény a termodinamika I. főtételét felhasználva is felírható. Veszteségmentes hőcserét feltételezve, egynáramú hőcserélő esetén: 111 tdcmQd −= és 222 tdcmQd = . Az egyenletekből kifejezve az elemi hőmérsékletváltozást és a két egyenletet kivonva:
( )
+−=−=−
22112121
11cmcm
Qdttdtdtd
Bevezetve a
( )d t t d1 2− = ϑ és 2211
11cmcm
K neyge +=
jelöléseket, az egyenlet a következő alakban írható: neygeKQdd −=ϑ Ellenáramú hőcserélő esetén az elemi hőteljesítmények: 111 tdcmQd −= és 222 tdcmQd −= . Az előzőekhez hasonló lépések után az elemi hőmérsékletváltozás az ellenáramú hőcserélőkben: nelleKQdd −=ϑ ahol
2211
11cmcm
K nelle −= .
Tehát az elemi hőmérsékletváltozás mindkét hőcserélőre érvényes alakja: KQdd −=ϑ A fenti egyenletet a hőcserélő hossza mentén integrálva: QKh
−=− 0ϑϑ . Ebből
QK h
0ϑϑ −
−= .
Másrészt az elemi hőmérsékletváltozásra felírt egyenletből:
KdQd ϑ
−= .
Mivel a hőcserélőkben a hőközlés formája hőátszármaztatás, az elemi hőteljestményre felírt korábbi alakot behelyettesítve:
− =dK
k d Aϑ ϑ .
A változókat szétválasztva:
d k Kd Aϑϑ
=− ,
majd az egyenletet integrálva:
l n k K Ahh
ϑϑ 0
= − .
A
Q
K h
0ϑϑ −
−=
összefüggést behelyettesítve és az egyenletet rendezve a hőteljesítmény:
khh
hh tAk
nlAkQ ∆=
−=
0
0
ϑϑϑϑ
A fenti egyenlet a hőcserélők alapegyenlete (a megelőző levezetés olvasmány), melyben a
0
0
ϑϑϑϑ
h
hk
nlt
−=∆
mennyiséget logaritmikus hőmérsékletkülönbségnek nevezik. A hőcserélők alapegyenletét általában a szükséges hasznos hőcserélő felület meghatározására használják. Ennek értéke azonos hőteljesítmény esetén ellenáramú hőcserélő esetén lesz kisebb.
