1

Termodinà micà

Problemes Tema – 4 Cognoms, Nom: Paneque Linares, Xavier

1. Una màquina tèrmica funciona entre dos focus calents a i i un sol focus

fred a la temperatura del medi ambient que és de . Les potències calorífiques

subministrades a la màquina són de i de des del focus a i

, respectivament. La potència de la màquina i la calor cedida al focus fred poden

adquirir els següents valors, respectivament:

Cas A: i

Cas B: i

Digueu:

a. Si la màquina funciona en algun d’aquests casos. En els casos que funcioni,

digueu si ho fa reversiblement o irreversiblement. Trobeu el rendiment tèrmic

Per tal de comprovar en quin cas funciona, la màquina ha de complir el primer i el segon

principi de la termodinàmica. Tinguem en compte que les màquines treballen en cicles, la

variació d’energia interna és nul·la. Així doncs el primer principi ens diu

( )

( )

Veiem que tots dos casos compleixen el primer principi, comprovem el segon

∫

⇒ ∮

Així doncs s’ha de complir

( ) ∑

( ) ∑

Veiem que el cas no compleix el segon principi i per tant, la màquina no existeix.

En el cas podem veure que la variació d’entropia és negativa i diferent de 0, per tant la

màquina és irreversible i el seu rendiment és

2

b. Trobeu en quines condicions la màquina treballaria reversiblement i trobeu el

seu rendiment tèrmic. Vegeu que sempre és inferior el rendiment irreversible

que el reversible.

En una màquina reversible es compleix

∮

I per tant, tenim

∑

Pel primer principi tenim

El rendiment queda

2. Una màquina frigorífica té una potència de i refreda la temperatura d’una

cambra frigorífica des de a en un temps de , quan el focus calent de la

màquina es manté a una temperatura constant de . La capacitat calorífica total

de la cambra frigorífica és de . Calculeu:

a. En la màquina real:

i. La quantitat de calor que s’ha de treure de la cambra frigorífica en les

dues hores de funcionament

Apliquem la capacitat calorífica de la màquina frigorífica

∫

( ) ̇

ii. La quantitat de calor transferida al focus calent

Pel primer principi tenim

iii. El coeficient d’eficiència (COP)

El coeficient d’eficiència ve donat per

| |

b. Si la màquina funcionés reversiblement, calculeu:

i. La potència necessària

3

Si la màquina funciona reversiblement, s’ha de complir que

∮

∫

Que en termes de potència queda

Per tant la potència necessària queda

ii. La quantitat de calor transferida al focus calent

La calor ja calculada queda

iii. El coeficient d’eficiència (COP)

El coeficient d’eficiència ve donat per

| |

3. Un enginyer dissenya una màquina frigorífica per refredar una cambra frigorífica des

de fins a . El focus calent de la màquina és el medi ambient que es manté

constant a . La capacitat calorífica de la cambra frigorífica és de . Aquest

enginyer afirma que el treball necessari per realitzar aquest refredament és de .

És possible o no? Justifiqueu numèricament la resposta. Quin és el coeficient

d’eficiència (COP) màxim d’aquesta màquina frigorífica?

Cal comprovar que aquesta màquina frigorífica compleixi el primer i el segon principi de la

termodinàmica. Vegem-ho

( )

La calor cedida surt negativa la qual cosa ens diu que compleix les condicions d’una màquina

frigorífica. Calculem el coeficient d’eficiència

| |

En cas de que sigui reversible, tenim

∮

∫

I per tant el treball és

4

El coeficient d’eficiència resulta

| |

Veiem que es compleixen tots dos principis i que el treball necessari en el cas de reversible és

menor, per tant la màquina pot ser real.

4. Suposem una màquina tèrmica que funciona entre dos focus a les temperatures i

(considerats el focus fred i el focus calent, respectivament). Aquesta màquina

absorbeix unitats de calor del focus calent, dóna unitats de calor al focus fred, i

produeix un treball . El seu rendiment és . Completeu la taula següent per les

diferents condicions de funcionament que es donen:

Per al primer cas tenim

Pel rendiment sabem que

Per tant la calor transferida és

Com el procés és reversible tenim

Per al segon cas tenim

Pel primer principi resulta

El rendiment resulta

Pel segon principi tenim

Per al tercer cas tenim

Pel primer principi

E rendiment ve donat per

5

Pel segon principi tenim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tipus de procés

Reversible

No reversible

Impossible

5. De les següents màquines tèrmiques, digueu si són reversibles, irreversibles o

impossibles

a.

Vegem si compleix el primer principi

Sí que el compleix, vegem ara el segon principi

∮

∑

b.

Vegem si compleix el primer principi

Sí que el compleix, vegem ara el segon principi

∮

∑

6. Una màquina tèrmica que treballa amb un focus calent a i un focus fred a

té un rendiment que és el del seu rendiment teòric. El focus fred està refrigerat

mitjançant aigua d’una torre de refrigeració. La potència total de la màquina en el

funcionament normal és de .

A conseqüència d’una aturada perllongada al hivern, es congela part de l’aigua del

refrigerant, formant-se de gel. Suposant que la relació entre el rendiment

real i el teòric es manté constant i igual a , i que la quantitat de calor absorbida del

focus calent també és la mateixa, contesteu el següent per a la posada en

funcionament de la màquina

6

a. Determineu si el rendiment real augmentarà o disminuirà respecte al que té

en funcionament normal

El rendiment real serà

( ) (

)

Donat que la temperatura del refrigerant disminueix, la diferència de temperatures entre les

dues fonts augmenta i per tant el rendiment augmentarà.

(

) (

)

b. Calculeu la potència de la màquina mentre hi hagi gel en el refrigerant.

Considereu que la temperatura dins del refrigerant és sempre homogènia

Calculem la calor aplicant el rendiment en funcionament normal

Com el calor és el mateix, tenim que la potència queda

c. Calculeu el temps necessari per fondre tot el gel. El calor latent de fusió del gel

és de

Calculem la calor que la màquina tèrmica cedeix

Així doncs el temps serà

7. Es pretén utilitzar una màquina tèrmica de Carnot amb un focus calent que està a

per accionar una màquina frigorífica de Carnot amb un focus fred a . El

focus fred de la màquina tèrmica i el focus calent de la màquina frigorífica estan

constituïts pel mateix corrent d’aigua, que està a . Tota la potència que s’obté de

la màquina tèrmica s’utilitza per accionar la màquina frigorífica.

a. En un comportament normal de la instal·lació, la màquina frigorífica absorbeix

del focus fred. Determineu la quantitat de calor absorbida per la

màquina tèrmica i la quantitat total de calor que ambdues màquines cedeixen

a l’aigua de refrigeració

7

Determinem el rendiment de la màquina frigorífica

Així doncs el treball (negatiu) que realitza és

La qual és la potència que dóna la màquina tèrmica. Pel seu rendiment tenim

| |

La calor cedida al focus fred pel refrigerador i la màquina tèrmica respectivament és

Per tant la calor total serà

b. Suposant que el refrigerant es bloqueja i queden aïllats d’aigua, que

pel funcionament normal de les màquines s’escalfa a pressió constant fins a

, on es para el conjunt, determineu la quantitat de calor que la màquina

frigorífica extreu del focus fred durant aquest període i la quantitat de calor

que la màquina tèrmica absorbeix del focus calent. Utilitzeu ⁄

per a l’aigua de refrigeració

Donat que les màquines segueixen sent reversibles, s’ha de complir que

𝑇 𝐾

𝑇

𝑇 𝐾

𝑊

𝑄

𝑄 𝑄

𝑄 𝑘𝑊

8

∫

∫

Per altra banda tenim pel primer principi

{

Com el treball és el mateix per les dues màquines tenim

∫

( ) ( )

Per tant la calor absorbida per la màquina frigorífica queda

( )

( )

I la calor absorbida per la màquina tèrmica queda

( )

8. Una màquina tèrmica treballa absorbint calor d’un focus calent i cedint calor a focus

freds. Les quantitats de calor absorbides i cedides (per unitat de temps), i la potència

obtinguda, s’indiquen en el següent esquema. Contesteu el següent:

a. Aquesta màquina pot funcionar o no? En el supòsit que funcioni, indiqueu si és

reversible o irreversible

Apliquem el primer principi

9

Vegem si aquest resultat és real a partir del segon principi

∮

∑

b. Si la màquina no pot funcionar, determineu (per unitats de temps) i

(potència) perquè el seu funcionament sigui reversible. Determineu així mateix

el rendiment tèrmic del cicle. Se suposa que les temperatures del focus i les

quantitats de calor cedides es mantenen constants.

Per tal que sigui reversible, s’ha de complir

∮

∑

Aplicant el primer principi resulta

∑

Així doncs el rendiment resulta

| |