الرياضياتللفضوليني

الرياضياتللفضوليني

هيجنز م. بيرت تأليف:

الشبكي حسن محمد إنتصارات أ.د./ ترجمة:بيومي إبراهيم بيومي أ.د./ مراجعة:

Mathematics for the Curious للفضوليني الرياضياتPeter M. Higgins هيجنز م. بيرت

١٤٣٢ھ-٢٠١١م الثالثة الطبعةISBN 978 977 6263 16 1

والنرش للرتجمة عربية كلمات للنارش محفوظة الحقوق جميعمحدودة) مسئولية ذات (رشكة

والنرش للرتجمة عربية كلماتوأفكاره املؤلف آراء عن مسئولة والنرشغري للرتجمة عربية كلمات إن

مؤلفه آراء عن الكتاب يعرب وإنماالقاهرة نرص، مدينة زهراء ،٢١٩٠ رقم عقار ،٤ رقم مكتب

العربية مرص جمهورية+٢٠٢ ٢٢٧٠٦٣٥١ فاكس: +٢٠٢ ٢٢٧٢٧٤٣١ تليفون:kalimatarabia@kalimatarabia.com اإلليكرتوني: الربيد

http://www.kalimatarabia.com اإلليكرتوني: املوقع

م. بيرت هيجنز،٢٠٠٨ والنرش، للرتجمة عربية كلمات : القاهرة - . هيجنز م. بيرت / للفضوليني الرياضيات

١٤,٥×٢١,٠سم ٢٥٦ص،٩٧٨ ٩٧٧ ٦٢٦٣ ١٦ ١ تدمك:

الرياضيات -١العنوان أ-

٥١٠

ميكانيكية، أو إليكرتونية أو تصويرية وسيلة بأية الكتاب هذا من جزء أي استعمال أو نسخ يمنعوسيلة أية استخدام أو أقراصمضغوطة أو عىلأرشطة والتسجيل الفوتوغرايف التصوير ذلك ويشمل

النارش. من خطي إذن دون واسرتجاعها، املعلومات حفظ ذلك يف بما أخرى، نرش

Arabic Language Translation Copyright © 2008 Kalimat ArabiaMathematics for the Curious was originally published in English in 1998.This translation is published by arrangement with Oxford UniversityPress.باالتفاق الرتجمة ونرشتهذه ،١٩٩٨ عام اإلنجليزية باللغة أوال للفضوليني» «الرياضيات نرشكتاب

أوكسفورد. جامعة مطبعة مع© Peter M. Higgins 1998.All Rights Reserved.

املحتويات

7 مقدمة9 وإجاباتها أسئلة عرشة -١35 الكسور حول الحقيقة -٢69 الهندسة بعض -٣93 األعداد -٤113 الجرب -٥135 وإجابتها كثرية أسئلة -٦161 املتسلسالت -٧187 الفرص وألعاب الفرص -٨211 الذهبية النسبة -٩233 الشبكات -١٠

مقدمة

أن — القارئ عزيزي — فلك ثم ومن االستمتاع، هو الكتاب هذا غرض إنسابقة، ألشياء إشارات آلخر حني من سرتد أنه ومع تشاء، كيفما تتصفحهنفس تجد قد أنك غري القراءة. وتابعت تجاهلتها إذا الكثري يفوتك فلنويف مرتبة، غري أو مرتبة الكتاب موضوعات تصفحت إذا املتعة من القدرالرياضيات. داريس معظم نهج فإنه النظام، إىل يفتقر ربما هذا أن حني

العاملني من سواء الكتاب، مسودات بقراءة ساهم من كل أشكر أن أودوأشكر أكسفورد، جامعة بمطبعة أسماؤهم تذكر لم الذين القراء أوDr Tim ليفرز تيم والدكتور Genevieve Higgins هيجينز جينيفياف

القيمة. وملحوظاتهم ملراجعتهم Lavers

هيجنز م. بيرت١٩٩٧ يوليو/تموز كولشيسرت،

وإجاباهتا أسئلة عرشة

األول الفصل

هي الرياضيات ووظيفة ريايض، جانب لها العالم يف األشياء من كثريبشكل األمور هذه يف والتفكري األشياء، طبيعة من الجانب هذا فهم محاولةمحرية، أو غامضة ظلت وإال يفرسها ما غالبا الريايض) (املنطق ريايض

يعرض. عندما فهمه السهل من يكون املتضمن التعليل وأحياناذلك، إثبات بهدف األمثلة من مجموعة من التمهيدي الفصل هذا يتكوناالستمرار متابعة إىل فأدعوكم تصفحها بعد حكمة أكثر أنكم شعرتم فإذاخالله من آمل ولكني الرياضيات، يف التعمق يدعي ال الكتاب هذا القراءة. يفلتوضيح استخدامه يمكن كما الحديثة، الرياضيات نكهة إليكم أنقل أندائم كنت الذي الحساب وحتى املدرسية، والهندسة الجرب جوانب بعضأي إمكان يف أنه املؤكد من املثال، سبيل عىل ما. حد إىل لصعوبته القلقاملتخصص، الرياضيات عالم يفهمها كما فيثاغورث نظرية فهم شخصمبعثرة صور لعبة تجميع صعوبة تشبه يصادفها التي الصعوبة فمستوىاملهمة بالجوانب االهتمام هذا ملاذا يوضح سبب يوجد ال الصغري. الحجم منيمكنهم الناس من املفكرين فمعظم غامضة، تزال ال التي الرياضيات منالعميقة الجوانب بعض بل ا، تام فهما الصرب من قليل مع الجوانب هذه فهمكافية رؤية القارئ أعطي أن آمل فهمها. يمكن العرشين القرن لرياضيات

املايض. يف للنوابغ حتى تكتشف لم الرياضيات عالم من أجزاء لبعضللحصول أساسا واملدرسون الطالب يعمل الجامعة يف وكذلك املدرسة يفباملشهد ليعجب وقت غالبا يوجد وال االمتحانات، يف مرضية درجات عىل

للفضوليني الرياضيات

نفسه، سوى أحدا يريض ال هنا فالقارئ حالتنا، ليست وهذه الريايض،تمهل نتائجنا. عىل صادرا حكما نخىش ال أننا كما أمرنا، من عجلة يف فلسناتمنع ال أحيانا، يساعدان قد والقلم الورقة عليك. يطرح فيما التفكري يفوغري طفولية تبدو قد الخطوط هذه أن ومع والتخطيط، الرسم من نفسك

أبدا. تحتقر وال التفكري لعملية حقيقية مساعدات فإنها مجدية

للتنس؟ بطولة يف تلعب التي املباريات عدد كم -1

إيل يحتاجون البطولة منظمي أن املؤكد من الذي العميل السؤال هو هذاحيث كمثال، سالم) (جراند الكربى الجائزة بطولة لنأخذ جوابه. معرفةيلعب املتبقني. الالعبني من أزواج من مكونة جولة كل مشرتكا، 128 هناكويصعد البطولة من يخرجون الخارسون قرعة. بعد منافسه مع العب كليف صعبة ليست املسألة هذه البطل. يتوج حتى التالية الجولة إىل الفائزونويصعد األويل الجولة يف مباراة 128÷2 = 64 هناك أن الواضح من حلها.مباراة، 64÷2 = 32 لعب تتطلب التي الثانية، الجولة يف للتنافس العبا 64

يصبح: البطولة هذه يف للمباريات الكيل العدد وهكذا.

64+ 32+ 16+ 8+ 4+ 2+ 1 = 127.

نفسها اإلجابة يف هام ليشء بذورا هناك أن يبدو ولكن حلت، قد املشكلةإذن؟ يحدث ماذا املشرتكني. عدد عن واحدا يقل العدد هذا أن وهو (127)

ذاته؟ حد يف الفضول يثري (128) املشرتكني عدد أن مالحظة يجب128 = 27 أن: أي 2 للعدد قوة الحقيقة يف هو عددا بفطنة اختاروا املنظمونزوجي عدد صعود من التأكد إىل يؤدي وذلك 2×2×2×2×2×2×2 أيالتالية الجولة يف تقسيمهم يسهل بحيث جولة، كل نهاية عند الالعبني منالذي فالشخص يهزم) لم واحد العب يبقي حيث األخرية الجولة يف (إالعىل النقط وضع اآلن يمكنه الهندسية باملتسلسلة يسمي ما بمعرفة ينعم،26+25+24+23+22+21+1 = 27−1 صحة: نخترب فقط إننا الحروف.

10

وإجاباتها أسئلة عرشة

عدد ألي أنه ،2 للعدد القوى مجموعات صيغة من خاصة حالة مجرد وهيn صحيح

2n + 2n−1 + 2n−2 + · · · + 22 + 21 + 1 = 2n+1 − 1.

هي ما املوضوع. عن بعيدة فنية مالحظة هذه أن عىل بالتأكيد أسارعأننا نفرض قليال: املثال نغري دعنا توضيحه أحاول ما نرى حتى النقطة؟يف يحدث قد هذا البطولة. هذه يف 128 من بدال العب 100 باشرتاك سمحناواضح املسابقة. بدخول اللعب يف يرغب من لكل نسمح حيث للهواة بطولةذلك بعد لكن الثانية يف مباراة و25 األويل الجولة يف مباراة 50 هناك أنعلينا الوضع، هذا مع للتعامل .(25) الالعبني من فردي عدد لدينا أصبحبدون التالية الجولة إىل مبارشة ليصعد عشوائيا الالعبني أحد نختار أنفائزا العبا 12) الثالثة الجولة بعد العبا 13 إذن هناك ويكون يلعب أنقليال وبالتفكري يلعب) أن دون مبارشة صعد العب مع الثالثة الجولة منللمتتابعة: طبقا يكون جولة كل بداية عند لالعبني اإلجمايل العدد أن نجد

هو: البطولة هذه يف املباريات إجمايل ويكون 100,50,25,13,7,4,2

50+ 25+ 12+ 6+ 3+ 2+ 1 = 99.

بطريقة األخري الجواب إىل الوصول من بالرغم اإلجابة عىل حصلنا أخرى مرةستجد فإنك املشرتكني من مختلفة ألعداد الحسابات كررنا فإذا قليال. صعبة.n− 1 دائما سيكون املباريات عدد فإن الالعبني من n بعدد بدأت إذا أنههناك رغبت. إذا برهان أو لذلك، سبب هناك يكون أن يجب أنه أعتقداملرات من معينا عددا الجمع تكرار ثم 2 عىل القسمة عىل يعتمد برهانالفردي العدد إىل اإلضافة عن املسئولة الحجة بالصعوبات. ميلء أنه ويبدوالصعب من أنه ويبدو فعلنا، كما منتظمة، غري فرتات عىل املتبقني لالعبنياملطلوبة النتيجة إيل للوصول دقيقة بطريقة عام بشكل كلها العملية وصف

بسيطة. أفكار أنها مع

11

للفضوليني الرياضيات

ا�باريات الخارسون

1

n −1

2

3

4

1 شكل

يشعرون فهم الرياضيات، لعلماء كثريا يحدث األشياء من النوع هذاإلثباته، مبارشة طريقة هناك أن األوىل للوهلة ويبدو معني، افرتاض يف بالثقةاملشكلة معالجة خط االفرتاض. هذا برهان إتمام يف صعوبات صادفوا لكنهمجوانب مع تتعامل أن عىل مجربا ويجعلك املساومات من كثري أمام يضعك

قبل. من بها ا مهتم تكن لم أخرىالهامة؛ األشياء نرى أن نستطيع ال أننا تلك حالتنا يف كما كثريا يحدثلنالحظ الخلف إىل العودة فاملطلوب لذلك الصغرية، التفاصيل عىل لرتكيزناعدد بالضبط هو املباريات عدد أن هي األساسية املالحظة يحدث. ماالالعب عدا فيما العب وكل خارس العب مباراة كل من يخرج الخارسين.هناك يكون أن يجب ثم ومن واحدة. مباراة يخرس سوف بالبطولة، الفائز

الالعبني. عدد عن واحدا يقل املباريات من عدد دائماأن لنا ويسمح مبارشة املشكلة لب يمس (عادل). جميل برهان هذاالنتيجة هذه سبب عن فيه شبهة ال واضح سبب بتقديم يحدث ما نفهمفليس االستنتاج هذا وقرص بساطة من بالرغم الشكل. بهذا دائما وكونهاتفهم، لم إذا تخجل ال فلذلك إليه، الوصول األحوال من حال بأي السهل من

نفسك. تهنئ أن يف الحق فلك إدراكه استطعت إن أماومجموعة لدينا ما مجموعة بني واحد) مع واحد (التناظر املبدأ هذانظرية يف دائما يظهر [١ الشكل [انظر الحساب يف نسبيا أسهل أخرى

واالحتماالت. العد

12

وإجاباتها أسئلة عرشة

أن الفرد حق من جيدة. فكرة بحق ولكنها تبدو كما بسيطة الفكرةرسيعا. الحل وجد إذا األقل عىل التفكري، يعيد

أن أعرف أنا حال أية عىل بشدة. واضحة الفكرة ألن أبالغ أنني هنا أعلمدون لساعات حالتنا يف التي كتلك مسألة يف يحدقون ما دائما الناس أذكياءالرياضيات علماء يواجه أن املتوقع من تماما. األسايس التناظر يكتشفوا أنبالفعل، واضحة غري إنها الحيلة. هذه تعلموا قد أساسا لكنهم أقل، صعوبات

رأيتها. مادمت فعال سهلة فهي ثم ومن بسيطة، هي فقط

مستطيل. شكل عىل الشيكوالتة من قطعة بتقسيم تتعلق مشابهة مسألة

من عمود لتقسيم الكرسمطلوب من عدد أقل هو ما -2فردي؟ رقم إىل الشيكوالتة

السؤال جواب قطعة. 20 تحوي 4×5 الشيكوالتة من كتلة لدينا أن لنفرضالكيل العدد فإن الشيكوالتة قطعة تكرس مرة كل يف ألنه ملاذا؟ .19 سيكون:قطعة كرس إيل تحتاج فإنك واحدة بقطعة بدأت ألنك واحدا. يزيد للقطع

قطعة. العرشين عىل تحصل حتى مرة 19 الشيكوالتةال أنك تذكر حلها. بعد مشكلة أي من لنتعلمه الكثري هناك دائماعن يشء تعلم تحاول ولكنك ما امتحان يف درجات عىل الحصول تحاوللحظات أخذت ما إذا استنتاجها يمكنك األشياء من الكثري هناك الرياضيات.

شاهدته. ما يف التفكري يفالحل. يف تسهم لم مستطيال كانت الشيكوالتة قطعة أن حقيقة أوال:

شكل. أي من واحدة كتلة تكون أن يمكن أنها أيسيكون وهذا مربعة، قطعة 20 من بكتلة الحل عىل حصلنا ثانيا:فإن مربعا n هناك كان إذا عام: بشكل املربعات. من عدد ألي صحيحاإيجاد الريايض، التفكري هو وهذا .n − 1 هو املطلوبة الكرس مرات عددهذه يف 20 مثل خاصة قيمة ذات مسألة حل من أكثر عامة ومبادئ نتائج

13

للفضوليني الرياضيات

1

12

8

7

6

5

4

(ب)(أ)

2 شكل

الحالة إىل الخاصة الحالة من (االستفادة الفكرة هذه تصادف سوف الحالة.الكتاب. هذا خالل عديدة مناسبات يف العامة)

برهاننا لكن الكرس، مرات من عدد أقل عن نبحث كنا النهاية: يفالكسور من n−1 ذلك، نرى دعنا حال أية عىل أيضا. عدد أكرب أنه يوضحتوجد ال العمل. طريقة عىل تعتمد ال النتيجة القطع. من n عدد ينتجيجب لكن لآلمال، مخيبا هذا يكون قد ذلك. لفعل متميزة خاصة طريقةعندما دائما تخربك الرياضيات. استخدامات من واحدة هذه جيدا. معرفته

املستحيل. تفعل أن محاوال وقتك تهدر

طرق. بثالث نحلها سوف الساعة، بوجه تتعلق الثالثة مشكلتنا

الساعة؟ عقربا ينطبق متى -3

الساعات؟ عقرب عىل بالضبط الدقائق عقرب ينطبق متى تحديدا. أكثر لنكن٢(أ)). الشكل (انظر ظهرا. 12 الساعة بعد –

ولكن ،1.05 الوقت من قليل بعد يحدث ذلك أن فورا نرى أن يمكننابالضبط؟ متى

14

وإجاباتها أسئلة عرشة

الليل منتصف حتى ظهرا 12 الساعة مرور بعد رسيع: حل هناكعىل وكلها (12 وليس 11 (نعم الساعة عقربي لتطابق فرصة 11 يوجدأن يجب متتاليني تطابقني بني الزمن فإن ولذلك متساوية زمنية فرتاتو27 دقائق و5 ساعة تقريبا وهو الساعات من 12 ÷ 11 = 1 1

11 يكونثانية.

املتتالية األزواج السؤال: يف الكامن التماثل استغل الذي الحل هو هذابعدم الشعور يرتك الحل هذا حال، أية عىل البعد. متساوية التطابق منيتطلب التطابقات عد إن أعيننا. أعمى قد الرياضيات نسيج أن االرتياحوأخذنا (الظهر) النهاية نقاط إحدى بها تركنا التي والطريقة التفكري، بعضاألوضح من يكون قد بها. مشكوكا تبدو قد الليل) (منتصف األخرى النقطة11 حدوث من ونتأكد — الواحدة الساعة مثال — أخرى نقطة من نبدأ أنصعوبات أية الطريقة هذه تتجنب التالية. ساعة 12 الـ فرتة خالل تطابقا

املستخدمة. الزمنية للفرتة النهاية نقاط من تظهرهذه أخرى، مرة نحلها دعنا ولهذا جميلة. مسألة هي حال أية عىلورأس الدقائق عقرب رأس أن نتخيل دعنا مختلفة. بطريقة نبحثها املرةمسار حول الجري هواة من اثنني يمثالن الرتتيب عىل الساعات عقرب

دائري.الساعات عقرب بينما الساعة يف دائرة بالضبط يكمل الدقائق عقربيتخطى متى اآلن: السؤال الساعة. يف الدائرة من 1

12 إىل شديد ببطء يزحفالساعات؟ عقرب أوال الدقائق عقرب

ييل: كما سهلة بمعادلة املسألة نرتجمعقرب بينما املرات من t الدائرة الدقائق عقرب لف الساعات من t بعدفإن t = 4 كانت إذا فمثال حولها. املرات من t

12 عىل فقط حصل الساعاتالساعات عقرب بينما مرات أربع بالضبط الدائرة حول لف الدقائق عقربهي اآلن املسألة الرابعة. الساعة يف أنه أي الدائرة من 4

12 =13 إىل وصل

الساعات. عقرب مرة ألول الدقائق عقرب يتخطى عندها التي t قيمة إيجادمما أكثر كاملة لفة الدقائق عقرب فيه يقطع الذي الوقت هو هذا سيكون

15

للفضوليني الرياضيات

املعادلة: تلك ذلك عن وينتج الساعات. عقرب يفعله

الدقائق عقرب بواسطة املقطوعة املسافةالساعات+1 بعقرب املقطوعة املسافة =

أن: أي

t = t12+ 1.

هو: بالساعات الحل أن أي .1112t = 1 عىل: نحصل املعادلة هذه بتبسيط

.t = 1211 = 1 1

11

فمثال النوع. هذا من مسألة أي لحل استخدامها يمكن الطريقة هذه20 زمن عىل ثابتة دائما الجواهرجي لدى تعمل ال التي العرض ساعاتمسافات عىل والدقائق الساعات عقربا يكون حيث الثامنة. بعد دقيقة

٢(ب)). الشكل (انظر الساعة وجه عىل 6 الرقم من متساويةبعد دقيقة 18 6

13 هي: التماثل فيها يحدث التي دقة األكثر اللحظةتمر، دقيقة لكل املرة. هذه قليال معقدة نحتاجها التي املعادلة الثامنة.إىل يمر الساعات عقرب بينما 360◦

60◦ = 6◦ يمسح الدقائق عقرب يتحركبعد الدقائق من t بعد ثم ومن درجة. نصف أي الزاوية هذه من 6

12 =12

الساعة وجه مركز من املار والخط الدقائق عقرب بني الزاوية فإن الثامنةلعقرب املناظرة الزاوية الدرجات. من 180 − 6t بـ تعطى 6 الرقم إىلإيجاد يف نرغب دقيقة. كل يف درجة t

2 بمقدار وتزيد 60◦ عند تبدأ الساعاتاملعادلة: حل املطلوب أي الزاويتان، تتساوى عندما t قيمة

180− 6t = 60+ t2.

إىل: يؤدي وهذا

13t2= 120,

16

وإجاباتها أسئلة عرشة

دقيقة 18 هي: فالنتيجة سابقا. ذكر كما دقيقة 18 613 = t قيمة ويعطي

ثانية. ألقرب مقربة الثامنة الساعة بعد ثانية و28الناحية من تعقيدا وأكثر براعة أقل هو املسألة لهذه النهائي الحلبشكل البرش معظم يتبناه الذي االتجاه يستخدم فهو ذلك ومع الرياضية،رؤية نستطيع ألننا والسلحفاة.) (أخيل1 تقنية وهي املسألة لهذه طبيعيالتقريبات نتابع أن تقاوم ال التي العملية فالطريقة الفور عىل التقريبي الحل

كاآلتي: املتتاليةالساعة عقربي أن فنتخيل الواحدة الساعة بعد األول التطابق يظهروصل قد الدقائق) (عقرب أخيل دقائق خمس بعد الوقت. هذا عند يقفانالوقت نفس يف الساعات) (عقرب السلحفاة بينما الساعة. يف «1» الرقم إىلتتحرك والسلحفاة مرت، الساعة من 1

12 إن حيث للدقة وطلبا قليال، تحركمسافة قطعت قد السلحفاة تكون ساعة، كل الدائرة محيط من 1

12 برسعةإىل يصل أن ألخيل الوقت هذا ويسمح الساعة، من ( 1

12 ×1

12

) مقدارهامن ( 1

12 ×1

12 ×1

12

) مقدارها مسافة قطعت قد تكون التي السلحفاة مكانوهكذا. الساعة،

التقريبات من متعاقبة سلسلة مجرد فقط اإلطالق، عىل حال هذا يبدو الهذه أن القديمة العصور يف اليونانيون ظن الواقع، يف األحسن. ثم األحسنتنتهي ال قائمة تنتج ألنها تخطيها يمكن ال صعوبات إىل تقود الوسيلةذلك يستغرق قد بالسلحفاة. يلحق أن قبل يؤديها أن أخيل عىل املهام، منمن واحدة وهذه أبدا. بالسلحفاة يمسك لن أخيل فاملسكني النهائيا، وقتا

.Zeno’s Paradoxes زينو مفارقاتكمجموعة محدودة زمنية فرتة تخيلنا أننا فالحقيقة لالنزعاج؛ داعي الالخاطئ الفرض ألخيل. صعوبة أي يسبب ولن صغرية فقرات من النهائيةاألعداد من النهائية متتابعة نجمع عندما أننا هو املفارقة تلك إىل أدى الذيلكننا معقوال، هذا يبدو قد الحدود. كل يتجاوز أن يجب املجموع فإن املوجبة

أن يمكن الذي الوحيد واملكان سحر، بواسطة محميا كان القديمة اليونانية األساطري يف أسطوري بطل 1أخيل:قدمه. عقب هو منه يؤذى

17

للفضوليني الرياضيات

يمكن — مرتني — املسألة هذه بحل قمنا أن بعد صحيح. غري ذلك أن أثبتناأن: نستنتج أن

1+ 112+(

112

)2

+(

112

)3

+ · · · = 11

11.

بإضافة تجاوزه يمكن ال عدد أقل هو 1 111 أن يعني هذا ذلك؟ يعني ماذا

آخر: بأسلوب الالنهائية. املتتابعة هذه (أعداد) حدود من محدود عدد أييزداد سوف الحدود من واملزيد املزيد بجمع عليه نحصل الذي املجموع

.1 111 النهاية قيمة يتعدى لن لكنه ويزداد

واحدة صادفنا وقد الهندسية. املتسلسالت عن آخر مثاال يعترب وهذاللعدد قوى عىل تحتوي كانت (حيث التنس. بطولة عن األول سؤالنا يف منهامن الهام النوع هذا عن أكثر نتحدث وسوف األرقام). من محدود وعدد 2

بشكل املوضوع هذا عن الفضول إلشباع لكن الحق، فصل يف املتسلسالتاملتسلسلة: إن عابرة) (بطريقة سنقول مؤقت

1+ r + r 2 + r 3 + · · · ,

مثالنا يف .1/(1− r) تساوي نهائية قيمة له 1 من أقل موجب عدد r حيثاملجموع: صيغة فتكون r = 1

2 عندما األبسط واملثال ،r = 112

1+ 12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+ · · · = 1

/(1− 1

2

)= 1

/12= 2.

املجموع. هذا صحة مثمرة بطريقة أثبت قد الساعة عن وسؤالناأسهل. الرابعة مسألتنا

إجماال؟ تأثري لها ليس 10% زيادة تليها تخفيض10% هل -4

زادت بينما 10% األجر هذا تخفيض تم بالساعة، أجره يتقاىض عاملألن ملصلحته. هذا أن له أكد العمل يف رئيسه .10% بنسبة عمله ساعات

18

وإجاباتها أسئلة عرشة

وزاد املنافسة، عىل قادرا يظل حتى األجر تخفيض عىل أجرب قد الرئيسالرتضية: من كنوع الساعات عدد

زيادة 10% لديك لكن الساعة يف أقل 10% عىل تحصل اآلن «أنتهو». كما األسبوعي أجرك فيصبح الساعات عدد يف

يف اسرتليني جنيه 100 كان العامل أجر أن لنفرض صحيح؟ هذا هلأجره أن ذلك فمعنى 10% بنسبة الساعة عن أجره خفض األسبوع،أي 10% بنسبة زيد الساعات عدد اسرتلينيا. جنيها 90 أصبح قد األسبوعي90+ 9 = 99 إىل األسبوعي أجره يزيد هذا اسرتلينيا، جنيها 90 من 10%

اسرتليني. جنيه 100 وليس اسرتليني جنيهزدنا أننا نتخيل معكوسة؟ بطريقة حسبنا إذا ذلك يف يساعد هلجنيه 110 إىل يرتفع مرتبه أن يعني ما ،10% بنسبة أوال الساعات عدد11 هي 110 من 10% فإن ،10% بنسبة الساعة أجر خفضنا ثم اسرتليني،العامل فإن نحسبها طريقة بأي ،110−11 = 99 إىل انخفض أجره أن أيالعمل رئيس مع متآمرة تبدو الرياضيات — ظاملا ذلك يبدو يخرس. سوف

العمل؟ رئيس حجة يف الخطأ هو ما حال أية عىل العامل. الستغاللعندما املوضوع يحدد لم أنه يف يقع والعيب معيبة، العمل رئيس حجةمعك ما زدت ثم 10% بنسبة خفضت أنت إذا .10% عن بطالقة تحدثيف الرتتيب كان مهما به. بدأت ما إىل أبدا تعود لن فإنك النسبة بنفس اآلن

.1% انخفاض دائما ستكون فالنتيجة والخفض الزيادةلنرى أخرى مسألة ندرس دعنا للتماثل. شديد افتقار بصدد أننا يبدوزيادة عىل حصل قد العامل أن لنفرض التوازن. استعادة من نتمكن هلأن أعتقد ،10% بنسبة عمله ساعات وانخفضت 10% بنسبة الساعة أجر يفجنيه 101 إىل اآلن سريتفع األسبوعي مرتبه — للعملة اآلخر الوجه هو هذا

اسرتليني؟ممكن. غري ذلك أن من بالرغم يحدث أن نتمناه ما هذا يكون أن أخىشأخرى. مرة اسرتليني جنيه 99 عند ينتهي فسوف األمر بحثت إذا لكن

19

للفضوليني الرياضيات

عمل ساعات عدد لديه سيكون القاعدة لهذه تبعا العامل أن من بالرغمبنفسك). ذلك تجرب أن وتستطيع سبق كما نفسها هي (الحسابات أقل

األجر هي P لتكن اللغز. خالل الرؤية الصعب من ليس أخرى، مرةاألجر بزيادة يؤثر أحدهما إجراءان: يتخذ الحالتني كال يف للعامل. األسبوعياألجر يخفض واآلخر ،1+ 0.1 = 1.1 يف P رضب حاصل أي 10% بنسبةالرتتيب .1 − 0.1 = 0.9 يف P األجر برضب عليه ونحصل النسبة بنفس

إذن: هام، غري العمل هذا به يتم الذي

P × 1.1× 0.9 = 0.99× P = P × 0.9× 1.1,

أجره من 1% بفقد األمر به ينتهي ما دائما الفقري العامل هذا فإن ثم ومنأخرى، مرة املسألة عممنا أننا نالحظ التغيريات. من الزوج لهذا نتيجةوذلك وضوحا أكثر األمر يجعل العام املوقف دراسة فإن جيدة، وألسبابالفعلية القيمة (وهي للحالة الخاصة بالجوانب انشغاال أقل أصبحنا ألننا

القائمة. املشكلة عىل كبرية بصورة تؤثر ال إنها حيث (P لألجرمن الكثري تسبب مئوية نسب عىل تحوي التي والرباهني املشاكلوأشياء املالية تعامالتنا جميع يف تتغلغل ألنها تجاهلها يمكن وال االلتباس

باستمرار؟ تظهر وملاذا املئوية النسبة ما لكن كثرية. أخرىببساطة هو مقدار أي من 1% سهلة. إجابته السؤال من األول الجزءالخاص؟ الكرس هذا عىل الرتكيز هذا كل نضع ملاذا املقدار. من 1

100 قدره جزءلدى كبرية بأهمية تحظى ال فهي السبب ولهذا تماما واقعية اإلجابةمركبة فائدة عىل تحتوي التي املشاكل أن من (بالرغم الرياضيات علماءحسابية أسئلة مجرد ليست أسئلة إىل وقادت ريايض، مضمون لها أصبح

الحقا.) الكثري عىل نتعرف وسوف بسيطة،النظام أساس ألنه 10(100 = 102) العدد قوى هو نستخدمه ماتعلم ربما أصابعنا). عدد بسبب شك (بال به. للتعامل اخرتناه الذي العدديفإن ولهذا الثنائي النظام أو «2» األساس يستخدم دائما الحاسب نظام أنويعمل (off) يعمل ال اآللة: حالتي ليناظرا املطلوبان هما 1 ،0 الرمزين

20

وإجاباتها أسئلة عرشة

عرشي، االثني النظام «12» باألساس الحساب عن الدفاع تكرر وقد .(On)وأكثر سهولة أكثر الحسابية العمليات يجعل قد ذلك أن به املطالبون ادعىأكثر عوامل له «12» العدد ألن للنظام؛ كأساس 12 استعملنا إذا فهماللعددين جديدين رمزين تقديم عىل ذلك ويجربنا .«10» العدد عوامل منفمثال .10 األساس مثل تماما يستخدم سوف 12 األساس لكن ،11 ،10

االثني النظام إىل بالنسبة 123 سيصبح املعتاد العرشي بالنظام 171 العددآحاده) (رقم ينتهي عدد أي .1× 122 + 2× 12+ 3 أنه: بمعنى عرشي،ألن (3 عىل القسمة يقبل (أي 3 للعدد مضاعف هو 12 األساس يف 3 بالرقمالنظام يف يحدث ما بالضبط املوقف هذا ويناظر .12 عوامل من عامل 3

مضاعف هو العرشي النظام يف 5 بالرقم ينتهي عدد كل إن حيث العرشي،(ولكن العرشي النظام يف 3 مضاعف 171 أن الواضح من وليس ،5 للعددمضاعفا املجموع كون من والتأكد أرقامه بجمع ذلك من التحقق يمكن

.«9» أرقامه مجموع حيث — متحققة هذه حالتنا يف ثم ومن 3 للعددمزايا شك بدون له سيكون عرشي االثنا النظام االسربانتو2 لغة يف كماعرشي االثنا النظام وسيظل التغيري. يواكب أن العالم استطاع إذا كثرية

أحد. يتبناها ال سليمة منطقية فكرة؟ 1

1000 أو 110 من بدال 1

100 للكرس ا خاص اسما أعطينا ملاذاهو وهذا الكبرية، األعداد من معها التعامل يف أسهل الصغرية األعدادعىل 100 للعدد األساسية العملية امليزة إن .1000 العدد لرفض السببأصغر هو كمية أي من 1

100 الكرس أن هي — عملية كقاعدة — 10 العددليشعرنا الكفاية فيه بما كبري 1% بنسبة األجور خفض فمثال معنى، له جزءاملئوية) النسبة (هو ا، خاص اسما نعطيه أن الطبيعي من ثم ومن بالضيق.املالية باألمور املتعلقة املناقشات معظم يف أنه هو ذلك وتأثري . 1

100 للكرسعىل عده يمكن معقول حجم ذات املستخدمة األعداد ستكون خصوصا

والقدمني. اليدين أصابع

(محاولة بعض إىل بعضهم ليتحدث الدول مختلف من الناس لتساعد ١٨٧١ سنة اخرتعت اصطناعية) 2(لغةالعالم). لتوحيد

21

للفضوليني الرياضيات

يغفل ما غالبا عامل للوحدات، الفعيل الحجم العملية، النقطة وتلككل أن متأكد أنا اآلخر. عىل الوحدات من نظام مزايا تناقش عندما عنهالتعامل يف املهرة العلمية امليول ذوي األشخاص أن يفرتض تقريبا واحدالنظام عىل للقياس املرتي النظام تلقائي بشكل سيفضلون األعداد معفإن حال، أية عىل ذلك. غري الحقيقة لكن (… القدم (البوصة، اإلنجليزيتعتمد وحدات له املرتي النظام نسبية. وعيوب مزايا له النظامني من كالسهولة تمنحه وهي 10 باألساس الحساب مع متوافقا تجعله .10 قوى عىلجرى (اللرت) الحجم وحدة يف آخر توافق هناك الحسابية. العمليات يفهذه واحدا. كيلوجراما يزن النقي املاء من واحد لرت يكون حتى اختيارهيمكن محض، اختياري أنه من الرغم عىل املرت، حجم عملية. فائدة أيضاخط من املسافة من ( 1

10,000,000

) يساوي إنه باستخفاف يقول أن للفردلكنها ما بطريقة طبيعية وحدة يجعله هذا الشمايل. القطب إىل االستواء

الواقعي. لالستخدام جيدة طريقة ليستوالقدم للبوصة اإلنجليزية للوحدات الفعيل الحجم فإن أخرى ناحية منلألشياء البرشية املقاييس مع تتماىش ألنها ا. جد عملية مقاييس بالفعل هيالبرش أطوال ترتاوح ما). (نوعا كبري واملرت ا) جد (صغري السنتيمرت بعكس

بوصة. 6–8 بني ما وأيديهم أقدام 5–6 بني ماتقاس التي املقاييس، نفس من بأشياء أنفسهم يحيطون فهم ثم ومنالقديمة الوحدات لتفضيل آخر سبب والبوصة. القدم من بوحدات بارتياحسنتيمرت من اللسان عىل وأسهل أقرص وبوصة» «قدم مثل: كلمات أن هوأهمية. أقل ليست فإنها تماما لغوية نقطة هذه أن ومع ذلك. شابه وماوال مفيدة تعبريات هي طول) عىل و(تحرك بميل) (فاتت مثل فعبارات10 عىل القدم احتوى لو االستخدام. عادية بطريقة املرتي النظام إىل ترتجم

العالم. اإلنجليزي النظام لغزا بوصاتاملمكن من فإنه لغتني، تعلم للناس املمكن من أنه كما بالضبطيبقى النظامني كال أن وآمل للقياس. نظامني جيد بشكل توظف أنمعهما. تعايشا أكثر نكون أن نتعلم وأن طويلة. لفرتة الحياة قيد عىل

22

وإجاباتها أسئلة عرشة

من جزء فكالهما بالهرطقة، اآلخر أو أحدهما نتهم ألن سبب يوجد الثقافتنا.

من الهدف هو ما علمنا إذا فقط معني له أجزاء أو جزء عن الكالمسمحنا عندما نشأ والغموض االرتباك املثال، يف رأينا كما النقاش وراءمن 10% فقط هي — معزوال شيئا كانت لو كما 10% عن بالكالم ألنفسنا

اليشء. هذا ماهية نعرف أن ونحتاج ما يشءيشء، ألي 100% من أكثر عىل الحصول يمكنك ال أنه العام االدعاءمعنى. بدون أصال هو 100% من أكثر نسبة عىل يحتوي بيانا فإن ثم ومن«150% بنسبة انخفض قد Fabtex يف األسهم «ثمن مثل: بيانا أن املؤكد من،150% بنسبة ثمنها يرتفع أن يمكن Fabtex أسهم أن غري معنى، له ليس

األصيل. ثمنها 1.5 تساوي السعر يف الزيادة أن ببساطة يعني وهذاالبطالة نسبة إن قال عندما للنقد التليفزيون مراسيل أحد تعرض حديثامن كبري عدد قام فقد 5% بزيادة 25% إىل 20% من ازدادت قد املدينة يف20 من ازداد املقدار أن لتوضيح التليفزيون بمحطة باالتصال املواطنني

املئوية النسبة وتكون وحدة، 25 إىل وحدة

25− 2020

× 100 = 25%;

السؤال يف املقدار الحالة هذه يف األصيل. العدد ربع تساوي الزيادة أن أيمالحظة .5% وليس 25% بنسبة زادت فقد يهم ال وهذا مئوية نسبة هوبالنسبة 5% هي العاطلني عدد يف الزيادة ألن الحقيقة) (يف معنى لها املعلقيشء أي إلىل اتفاق مسألة ببساطة هي أخرى مرة باملدينة. العاملة للقوى

معينة. مئوية نسبة عن نتكلم عندما نشريإال فضولية، تبدو أنها من بالرغم العمال، أجور مسالة أن وأعرتفمع اآلن. حتى أسئلتنا من اهتماما أقل بحتة رياضية نظر وجهة من أنهارضب. لعملية نتيجة مشابهة نتيجة عىل حصلت لطالبة مثاال رأيت أننيله السابق العدد ورضبت ،10 مثل عدد أي أخذت إذا أنك الحظت فقدناقصا العدد هذا مربع عىل تحصل فسوف 9× 11 أي له التايل العدد يف

23

للفضوليني الرياضيات

هذا «أليس بحماس: سألتني لقد .9× 11 = 99 = 100− 1 أن: أي واحدالطالبة يف الحماس لكبح يشء أي بفعل مرتددا كنت ما وبقدر مذهال؟».الفور. عىل هذا رشح ويمكن تتصور كما مذهال ليس هذا أن أخربتها فقد

n عدد ألي هو الطالبة الحظته ما كل

(n− 1)(n+ 1) = n2 − 1.

رضب يستطيع سوف الثانوية املدرسة جرب يتذكر زال ما شخص أينرى أخرى مرة الصغرية. املتساوية هذه ويحقق األيرس الطرف يف األقواسواضحة تصبح لكنها للرشح. وصعبة غامضة تبدو قد األشياء بعض أنبمعلومات دراية عىل تكن لم فإذا العامة. الحالة يف اختبارها عند تماماالحق. فصل يف األشياء هذه إىل نعود فسوف تنزعج فال السابقة الجربتلميذتي لتعجب الحق بعض يعطي وهذا التربير، بعض تأخذ بالفعل إنهامن درجة تحمل هذه مثل البسيطة الرياضيات حتى العمال. وانزعاج

التطور.

أداء؟ أفضل أيهما -5

نخضع فمعظمنا مكان، كل يف األداء مؤرشات تكون والنزاهة، الكفاءة باسمأن هو وتكرارها األداء ملقاييس كدورات عادة يظهر واحد ونموذج لها.من يشء كل عىل ينطبق هذا نعتقد. كنا مما أكثر والتحسن يتحسن، األداءتقديرات إىل الجريمة معدالت تقليل إىل املدارس لتالميذ االمتحانات نتائج

الجامعية. األبحاثاألداء، عىل كثريا وليس املقاييس هذه عىل الذهن تركز األداء مقاييسقياس هدف اللعب. يعمل كيف الناس يتعلم — جيدة أداء نسبة كتحقيقتظهر الرياضية األلعاب مجال يف حتى تتوقع. كما سهال ليس األداء

بسيطا: مثاال نعرض هنا تماما. مؤذية غري بأوضاع الصعوباتمعرفة أكثر (للذين الكركيت لعبة يف للرامي الرئييس األداء مؤرشعدد متوسط هو (pitcher أنه عىل الرامي يف التفكري يمكن البيسبول بلعبة

24

وإجاباتها أسئلة عرشة

هو األقل runs he concedes per wicket he takes بها يقوم التي املراتB ،A الرماة، من اثنان له الفريقني أحد واحدة مباراة يف نفرض األفضل.

التالية: باألرقام عادا حيث2 B أحرز بينما لعبة، 60 من تصويبات 3 A أحرز األوىل: الجولة يف

.68 من.60 من 6 B وأحرز 8 من 1 A أحرز الثانية: الجولة يف

للهدف رمية 20 متوسط لديه ألن األعىل األداء له A األوىل الجولة يفاألفضل؛ الشكل له A أخرى مرة الثانية الجولة يف .34 متوسط له B بينماعىل اآلن نظرنا إذا حال، أية عىل .10 متوسط له B بينما 8 متوسط له ألن17 بمتوسط 68 من 4 أخذ A أن نرى فسوف لالعبني املباراة أداء كلالنتيجة أن نرى ولهذا .16 بمتوسط رمية 128 من أهداف 8 أخذ B بينمامؤرش نفس (باستخدام كأداء لكن ،A عن أداء أعىل له B أن مستساغة غري

جولة. كل يف B من أعىل A فإن األداء)

األعداد خاصية لتحقيق إنها تماما. مختلفة طبيعة لها السادسة مسألتناالناس. تواجه التي

تامة؟ مربعة أعداد إىل يؤدي متتالية فردية أعداد إضافة ملاذا -6

1 = 12, 1+ 3 = 4 = 22, 1+ 3+ 5 = 9 = 32,

1+ 3+ 5+ 7 = 16 = 42, . . .

عامة صيغة تكتب أنك ستشعر شك، بال إضافية. اثنني أو حالة جربالفردية األعداد من n مجموع مفتوحة): (قضية التخمني هذا عن للتعبري

.n2 هو األوىللتفعل n بداللة الفردي النوني العدد عن تعرب كيف لرؤية تحتاج أنتأي وهكذا، 5 والثالث 3 الثاني الفردي والعدد 1 األول الفردي العدد ذلك.النوني العدد أن أي واحد. وطرح العدد ترتيب مضاعفة هو النمط أن

25

للفضوليني الرياضيات

1

3

5

2n−1

3 شكل

لدينا التخمني ثم ومن .(2×n لـ اختصار هو 2n) 2n− 1 هو الفردييكتب:

1+ 3+ 5+ · · · + (2n− 1) = n2. (1)

نستطيع هل لكن ،n لـ األويل قيم لألربع الصيغة هذه اختربنا فعال نحنسوف منها. الكثري هناك العامة؟ الحالة يف مقنعة حجة عىل الحصولمساحته وحساب بسيط شكل أخذ الفكرة هنديس. طابع ذات حجة أعطيالواضح الشكل املعادلة. طريف أحد مع منهما كل تتفق مختلفتني بطريقتنيثم ومن ،n2 هي مساحته إن حيث n ضلعه طول الذي املربع تجربة هوالركن يف الرشيحة ،٣ الشكل يف كما متداخلة غري رشائح إىل املربع نجزئالذي من تتكون رشيحة كل ألن .1×1 مربع ولكن بالضبط رشيحة ليستالكلية املساحة أن نرى النهايتني من كل عند واحد مربعني بإضافة قبلها

متوقع. هو كما 1+ 3+ 5+ · · · + (2n− 1) هي الرشائح لهذهاملقطعة الصور ألعاب عىل القائمة الحجة فهذه سابقا، ذكرت كماالشهرية النظرية ذلك يف بما كثرية، مهمة نتائج إلثبات استخدامها يمكن

الثالث. الفصل يف سنرى كما لفيثاغورث

تماما. مختلف اختري الذي الحل أن من بالرغم تماما، مشابهة التالية مسألتنا

26

وإجاباتها أسئلة عرشة

األوىل؟ العد أعداد من n مجموع ما -7

هي: اإلجابة أن نثبت سوف

1+ 2+ · · · +n = n(n+ 1)2

.

الصغرية. لألعداد صحيحة الصيغة هذه أن اختبار عليك ا جد السهل منالسابقة. الصيغة تقرتحه كما 1+2+· · ·+10 = 55 = (10×11)

2 فمثالاألول الحد نجمع سوف املجموع. ترتيب إعادة من ناتج هنا املعطى الربهان

عىل: فنحصل وهكذا، األخري قبل الحد عىل والثاني األخري الحد عىل

(1+n)+ (2+n− 1)+ (3+n− 2)+ · · ·

.n+1 العدد نفس هو األقواس هذه من كل يف املجموع أن ذلك وراء الفكرة

اإلجابة. عىل للحصول األزواج بعدد القوس هذا رضب هو فعله علينا ما كلn2 عندئذ يكون األقواس عدد فإن زوجيا، عددا n كانت إذا سهل هذافمثال السابقة. الصيغة نفس (وهي (n+ 1)× (n2 ) النتيجة عىل ونحصل

:n = 10 عند

1+ 2+ · · · + 10 = (1+ 10)+ (2+ 9)+ (3+ 8)

+ (4+ 7)+ (5+ 6)

= 11+ 11+ 11+ 11+ 11

= 11× 5 = 55.

املستحيل من طبعا بسيطة. صعوبة توجد فإنه فرديا عددا n كانت إذالنا سترتك السابقة الطريقة نفس أزواج. إىل األشياء من فردي عدد كرسذلك حول الدوران يمكن منفردا. إضافته يجب الوسط يف واحدا عدداالجواب يغري لن هذا العدد. بداية يف صفرا فقط نكتب صغرية. بحيلةلنا وتسمح أخرى مرة معا نجمعها الحدود من زوجيا عددا سيعطينا لكنه

لالستخدام. فكرتنا بإعادة

27

للفضوليني الرياضيات

نعترب: n = 11 لقيمة مثال

0+ 1+ 2+ · · · + 11 = (0+ 11)+ (1+ 10)+ (2+ 9)

+ (3+ 8)+ (4+ 7)+ (5+ 6)

= 11× 6 = 66.

قبل 0 ضع ييل:- كما تجري فاملعالجة الفردي n للعدد العامة، الحالة يفوعدد n هو زوج كل مجموع الحالة هذه يف سبق. كما األزواج وكون الجمعألن الكيل املجموع يف األعداد من n+1 يوجد إنه حيث .(n+1

2

) هو األزواجيف كما بالضبط n(n+1)

2 هو املجموع ويكون البداية. يف أضيف «0» الصفرزوجية. n حالة

ملا صيغة إيجاد سهال أصبح إيجادها بمجرد ألنه مهمة، الصيغة هذهالكالم قبل السابع الفصل حتى سننتظر ولكن الحسابية. املتسلسلة يسمى

أخرى. مرة النقطة هذه عن

لدينا أن تخيل مسلية. فهي السبب ولهذا خادعة؛ لكن سهلة التالية مسألتنااملقرر ومن دائرة)، أنه اعتبار (عىل لألرض االستواء خط حول يمتد كابل

األرض. سطح فوق واحد بمرت يكون حتى الكابل رفع

عىل يكون حتى الكابل طول يزداد أن يجب كم -8األرض؟ عن واحد مرت ارتفاع

احتماالت: أربعة نقرتح دعنا60,000كم. د: 600كم، ج: 6كم، ب: أمتار، 6 أ:

كذلك، أليس مفاجأة! أ. هي: الصحيحة اإلجابة بالتخمني؟ قمت هلوبالتأكيد أكثر، ملعلومات بحاجة أننا يبدو اإلجابة؟ هذه إىل وصلنا كيفدعنا ال، وربما ربما اإلجابة. حساب أجل من األرضية الكرة محيط ملعرفةاألرض قطر نصف هو r ليكن للمجهول: رمز وباستخدام خوف، دون نبدأ

28

وإجاباتها أسئلة عرشة

(3.14 التقريبة النسبة هي π (حيث 2πr األرض محيط يكون ثم ومنأعىل واحدا مرتا الكابل رفع عند .2πr هو للكابل األصيل الطول أن أيأصبح طوله ويكون r + 1 قطرها نصف دائرة يغطي الكابل فإن السطحاألقل وعىل املحيطني، بني الفرق هو اآلن معرفته نريد ما كل .2π(r + 1)

لهذا: تعبري كتابة يمكن

2π(r + 1)− 2πr.

وأن a(r + 1) = ar + a فإن: a عدد ألي أنه (وتذكر األقواس برضبعىل: نحصل عدد) 2π

2πr + 2π − 2πr = 2π,

األصح. االختيار هو A أن يوضح مما ،6 من قليال أكرب 2π وبالطبعالسؤال إجابة نستطيع أننا فحقيقة ال، أم مدهشة اإلجابة وجدت إذاوهذا األرض، قطر نصف معرفة إىل نحتج لم نحن مدهشة حالة كل عىليعني فهذا ،r قيمة عىل يعتمد ال الجواب إن فحيث شديدة. عواقب لهكوكب حتى أو السلة كرة كانت لو حتى كرة، ألي صحيحة اإلجابة أن

املشرتي.هام تأثري له يكن لم تامة دائرة االستواء خط أن فرضنا أن الحقيقة2πr الدقيق التعبري بكتابة لنا سمح الدائرة محيط نتيجتنا. يف ذلك غري أويغري سوف تماما منتظم غري كان لو حتى مختلف لشكل التغيري للمحيط.من األهم ساريا. سيظل أ اإلجابة مثل صغريا عددا لكن قليال، التناسب ثابتشكلني ألي صحيحا. يزال ال الشكل حجم عىل اإلجابة اعتماد عدم أن ذلك،يف الزيادة فإن انتظاما، أقل أشكال أو ناقص، وقطع دائرة مثال: متماثلني،املسألة بنفسك (جرب السؤال. يف الكوكب حجم عىل تعتمد ال الكابل طولبمقدار الكابل طول زيادة إىل تحتاج أنك ستكتشف مكعب، كوكب بأخذ

أمتار.) ثمانية

29

للفضوليني الرياضيات

الفودكا؟ من زجاجة الرجال من n يقتسم كيف -9

ا. جد خطرية الواقع يف مشكلة هذه أن الروس الزمالء من عدد يل أكد لقدأن ينبغي منهم وكل الشاربني، من n فيها ليشرتك واحدة زجاجة توجد

هذا؟ تحقيق يمكن كيف عادلة. حصة أخذ أنه يقتنعبأنهما ويحكم كأسني يف يصب أن الشخص عىل بسيط. األمر اثنني، معسعيدا يكون أنه بمعنى (الثمني)، املرشوب من تقريبا متساويتان كميتانال وبهذا له. تكون الكأسني أي اختيار عليه والثاني أيهما. عىل بالحصول

منهما. أي يشتكينبتكر أن الشاربني من أكرب عدد مع ا جد صعبة عملية ليست إنهافكر فإذا عادلة، حصة أنه يدعي ما يصب أ األول .n عدد ألي عمليا أسلوباكأس — ب وليكن — منهم واحد فليأخذ كبرية حصة أنها اآلخرين من أيومن يرشبها)، أن بدون (طبعا صحيحة، يراها التي الكمية إىل وينقصها أمن أقل أنه يبدو بما راض أ أن اعتقدوا إذا أحد يعرتض أال املفرتض

نصيبه.ويصب ب كأس يأخذ الشارب فهذا أكثر، أخذ ب أن أحدهم اعتقد إذاتمر عندما أنه مالحظة األهمية ومن العملية. وتستمر يظنها. التي الزيادةعىل يعرتض سوف السابقني األصحاب من أحد ال يد، إىل يد من الكأسألن زيادة عىل حصل ب أن من الشكوى يستطيع ال أ فمثال الحايل. املستوىاملعارضني، عدد يقل خطوة كل يف عادلة. حصة A حسبه مما أقل له بأنها يعتقد التي الكأس يمسك ،X وليكن أحدهم حيث وضع إىل نصل حتىمعه). (النقاش محاجاته إىل يميل اآلخرين من أحد وال عادلة حصة تمثلالباقون يكرر رشابه، ليأخذ العملية من وينسحب اآلن سعيد X السيديحصل حتى الفودكا من والباقي أقل بشارب ولكن بكاملها، العملية نفس

سعيدا. ويكون رشابه عىل منهم كلالشامل، النظام هذا فإن تماما، سعيدا ليس منهم واحد كل أن ومعاآلخر أحدهم يحسد أال ضمان يف يخفق املشاركني، صرب عن النظر برصفحصة عىل يحصل لم أنه االدعاء يستطيع أحد أال صحيح فإنه كأسه. عىل

30

وإجاباتها أسئلة عرشة

CBA

4 شكل

X السيد (مثل العملية من مبكرا خرجوا الذين من واحدا ولكن عادلة،حصلوا الحقا خرجوا ممن بعضا أن مقتنعا يكون قد مبكرا) تقاعد الذيعىل يحصل تركه لدرجة حمقى كانوا الباقني ألن حصته؛ من أكثر عىل

ذلك.منها أكثر الربهان أسلوب يف تكمن السؤال هذا يف املحتواة الرياضياتحالة إىل n عىل تحتوي حالة تحويله يف املنهج، هذا الحسابات. يف املهارة يف

االستنتاجية. أو االستقرائية الحجة عليها يطلق n− 1 تحتوي

بخطوة. خطوة املوديل بنفس أيضا تحل التالية مسألتنا

هانوي3؟ برج بناء يستغرق الوقت من كم -10

برج مع ،C ،B ،A أوتاد ثالثة من تتكون هانوي لربج التقليدية املسألة.٤ الشكل يف كما األول الوتد عىل موضوعة املركز متحدة حلقات من مدرجطريق عن التاليني بالرشطني التقيد مع ،B إىل A من الربج نقل هو الهدف

األوتاد: بني الحلقات تحريك

الواحدة. املرة يف واحدة حلقة تحريك يمكنك (أ)منها. أصغر حلقة فوق أكرب حلقة تضع ال (ب)

فيتنام. دولة عاصمة هي هانوي 3مدينة

31

للفضوليني الرياضيات

سوف النقود. من أربعة أو قطع ثالث من مكون صغري بربج اللعبة جربتصل حتى التحركات من عدد أقل تجد أن عليك ذلك. تم كيف فورا ترى

الحلقات). من n (عدد الهدف إىلإلنجاز التحركات من عدد أقل إيجاد إىل نحتاج فإننا العامة الحالة يف

املطلوب.عدد ذات املباراة تلعب «لكي هي اغتنامها يجب التي الرياضية امليزةفمثال .«(n−1) الحلقات عدد ذات املباراة تلعب أن أوال عليك ،n الحلقاتلن العام. الوضع ا تام تمثيال تمثل والتي حلقات األربع ذات املباراة إىل انظرمن مكونا برجا نقلت تكون حتى األسفل يف الكبرية الحلقة تحريك نستطيعبعد حلقات. بثالث املباراة أوال تلعب أن يجب أي التايل. الوتد إىل حلقات ثالثثانية. تتحرك ال بحيث املطلوب املكان يف الكبرية الحلقة وضع يمكنك ذلكالحلقة عىل وتضعها حلقات الثالث برج تحريك عليك الطريقة إلتمام

أخرى. مرة حلقات الثالث مباراة تلعب سوف أنك أي الكبرية،حلقات األربع ذي الربج لنقل التحركات من عدد ألقل a4 كتبنا فإذافالحجة الحلقات، الثالثي الربج لنقل التحركات من عدد ألقل a3 وكتبناأيضا واضح .a4 = 1 + 2a3 ،a4 = a3 + 1 + a3 أن: توضح السابقةألي وأنه حلقة n ذات مباراة ألي متناهية بدقة صحيحة الحجة هذه أن

أن: n = 2,3, . . .

an = 1+ 2an−1,

حتى حلقة n بها للعبة املطلوبة التحركات من عدد أقل إىل ترمز an حيثللمباراة واحدة حركة نحتاج إننا (أي a1 = 1 أن الواضح من إنه حيث تكتمل.إعادة التقني واسمها — الصيغة هذه استخدام يمكن الواحدة) الحلقة ذاتاملثال: سبيل عىل .an للعدد املتتالية القيم لحساب — recursion الحساب.a4 = 1+ 2× 7 = 15, . . . ،a3 = 1+ 2× 3 = 7 ،a2 = 1+ 2× 1 = 3

التالية: األعداد متتابعة عىل حصلنا قد وهنا

1,3,7,15,31,63,127, . . .

32

وإجاباتها أسئلة عرشة

مرة من أكثر وضاعفناه 2 بالعدد بدأنا إذا نعم. اإلجابة: نمط؟ ينشأ هلتقريبا: املتتابعة نفس عىل نحصل فإننا

2,4,8,16,32,64,128, . . .

من عدد أقل ،an فإن ثم ومن 2n هو األخرية املتتابعة لهذه النوني الحدباملعادلة: يعطي هانوي برج لبناء التحركات

an = 2n − 1, n = 1,2, . . .

الرهبان أن حلقة) 64 عىل يحتوي (الذي هانوي لربج املصاحبة القصةكارثة ستحدث مهمتهم يكملون وعندما اليوم يف واحدة حلقة تحريك يمكنهمالحركات عدد كان لو حتى الشأن. بهذا لالنزعاج داعي ال الجميع. تعمثم ومن سنة. 30 إىل تقريبا نحتاج حلقة 20 ذات املباراة يف 100 اليومية

السنني. من باليني ستأخذ حلقة 64 ذات املباراة يف الرهبان مهمة فإناملسألة، تعميم يمكننا الرياضيات. يف القصة نهاية ليست هذه أن برغمستكون األوتاد؟ من k حتى أو أوتاد! 4 هناك كان إذا يحدث ماذا ونسألمهتمني كنا إذا مختلفة رياضيات توجد تعقيدا. أكثر لكن مشابهة املسألةكما طبيعية، بطريقة وتشفريها للتحركات الفعلية املتتابعات عن بالبحثاأللغاز من مجموعة Martin Gardner جاردنر مارتن كتاب ذلك إىل أشارتصاعدي ترتيب يف حلقات األربع بتسمية قمنا فإذا وحلولها. الرياضيةحلقة كل اسم وكتبنا حلقات األربع مباراة ولعبنا a,b, c, d للحجم بالنسبة

املتتابعة عىل فسنحصل حركناها

a,b,a, c, a, b,a,d,a, b,a, c, a, b,a.

سبيل عىل املسألة. هذه غري أخرى أماكن يف ينشأ املتتابعات من النوع هذاأنصاف، عىل ثنائيا مقسمة البوصات حيث القديمة املسطرة نأخذ املثال

:(٥ (شكل 1و16 وأثمان أرباع

33

للفضوليني الرياضيات

a  a  a  a  a d  a  a c c  a b b b b

5 شكل

حلقة أصغر يقابل 116 أقلهم حيث اليمني إىل اليسار من قرأت إذا

ظاهرة السابقة. القائمة نفس تقرأ فإنك وهكذا ،b الحلقة يقابل 1و8 a

الحاالت من اثنني يف مشرتك بعامل تمدنا األحيان بعض يف هذه مثل رياضيةللفهم. مفتاحا دائما تكون والتي املرتبطة، غري األخرى

34

الكسور حول احلقيقة

الثاني الفصل

واآلالت الكمبيوتر تتوقع. قد كما بالحاسبات مولعني ليسوا الرياضيات علماءمفيدة وهي واملهندسون الرياضيات علماء بالطبع وطورها اخرتعها الحاسبةالحاسبة اآلالت أن السبب تجاهها؟ منقسمون األحسن، عىل نحن فلماذا ا، جدوالصامولة) (املسمار األساسية باملفاهيم األمر يتعلق عندما كثريا تستخدم ال

عليه. الحفز من بدال التفكري محل تحل أن ويمكن للحسابيمكن الرياضيات دروس يف واسع نطاق عىل الحاسبة اآلالت استعمالالتعليم يف اآلن بها معرتف الحقيقة هذه التعليمية. العملية يقوض أن

تقلص. قد العشوائي واستخدامهااملوضوع تجعل أنها هو الحاسبة اآللة الستخدام اآلخر املؤسف األثراألزرار، ضغط من سلسلة إىل تقلصت الثانوية املدارس يف الرياضيات . ممالهذا عنها. االبتعاد األقل عىل أو الرياضيات نسيان عىل الطالب شجع مماالعمل طريقة ماركت. السوبر خزينة يف العمل يشبه التحفيزي التفكرياملستخدم الطالب عادة، مغلقة. عقول إىل تؤدي ال دامت ما جيدة اليدويعاجزا تجعله أن وتأثريها اإلطالق عىل يشء ال أو قليال يكتب الحاسبة لآللةخطوة من أكثر إىل تحتاج مسألة حل عىل قادر وغري رياضيا التعبري عن

واحدة.يف توجد التي املزايا اكتشاف يف آمل الفصل، هذا ففي ذلك ومعهذا يف فكرة أغرب نقابل سوف ذلك وبفعل الحاسبة. اآلالت استخدامأبعد كونها يف تكمن غرابتها للعد. القابلة غري املجموعة وتسمى الكتاب

للفضوليني الرياضيات

من مألوفة سلسلة ستكون البداية نقطة أن من بالرغم الواقعي، العالم عنالحاسبة. اآللة عرض شاشة عىل األرقام

عروض مع راحة أكثر يصبحوا أن للناس سمحت الحاسبة اآلالتسيئ تقريب يفضل ما وكثريا مرغوب، غري ملدى وربما العرشية، الكسورنرى مرة كم املثال، سبيل عىل ودقيق. بسيط كرس عىل العرشي للكرس

2؟3 الدقيقة القيمة من بدال 66.7%

بالحساب؟ نقوم أن نستطيع أن األحسن من ملــاذا

الفهم لتتقنه. السنني آالف البرشية استغرقت ا. جد صعب العادي الحسابللكسور األساسية الجوانب لتحصيله. جهدا استغرق الكسور لحساب الكاملفريي متسلسلة تسمى ما عرش. التاسع القرن يف تكتشف تزال ما كانتصفر بني الكسور بجميع قائمة ببساطة هي nth Farey Series النونيةفمثال تصاعدي، برتتيب مكتوبة n عىل تزيد ال مقاماتها حيث وواحد

املتسلسلة: هي الخامسة فريي متسلسلة

01,15,14,13,25,12,35,23,34,45,11.

ومكتشفها الهندسية وحتى األنيقة الجربية بالخواص مليئة فريي متسلسالتالعصور مر عىل الرياضيات علماء عجز أن البد الهواة. من رياضيات عالمصدمة بمنزلة كان الرياضيات لعلم واألسايس املثري الجانب هذا إدراك عنأول نرشت فريي ملتوالية األساسية السمات أن يبدو أنه مع العرص، لعباقرةلها فريي نرش سبق الذي Haros هاروس يد عىل ١٨٠٢م عام مانرشت

عاما. عرش أربعة بنحو(ربما الجمع إجراء يحاولون الذين األطفال سمعنا لقد بدأنا، ملا نعود

يقولون: وهم الكايف)، بالجهد ليس ذلك

الجواب هذا معرفة فقط رغبت أنا إذا هذا؟ لتعلم بحاجة أنا «ملاذاالحاسبة.» آلتي استخدام أستطيع

36

الكسور حول الحقيقة

يرحبوا لن يسألونه والذين اإلحباط، يولد ما كثريا األسئلة من النوع هذايكون أن يمكن األعداد مع التعامل عىل القدرة عدم مستفيضة. بإجابةمضطرون فنحن الجمع عمليات إجراء نستطيع ال كنا إذا ثابتة. مشكلةلن الحاسبة اآلالت حلول حتى عدديه. أشياء ظهرت كلما لنختفي للغوصبثقة الشعور يستطيع ال الذي الرياضيات يف الجاهل الشخص كثريا تساعدالقاموس استخدام من قليال أكثر وهذا صحيحة، بطريقة اآللة استخدم أنه

القراءة. يعرف ال لشخصاملستوى إىل تدريبا يتطلب القياسات وأسئلة العادية األعداد مع التعاملألن وهذا املمارسة. يف إليه حاجة يف أنت ما يتجاوز األرجح عىل هو الذيأن تستطيع حتى لك جيدا مفهومة تكون أن يجب تقابلها التي املشاكل

العملية. األحوال يف بثقة معها تتعاملاملعرفة ملاذا. أرشح وسوف نعم، الجداول؟ ملعرفة بحاجة نحن هلهناك لكن باالهتمام، جدير ذاته حد يف الدوال توليد وتعلم األعداد بنظامجداول أن هي نقدرها التي النقطة كذلك. للوضع أساسيا رياضيا جانباالتليفونات أرقام قائمة مثل العشوائية البيانات من مجموعة تمثل ال الرضبنقوم لكي معرفتها نحتاج التي الرضب حواصل من مجموعة أقل لكن

العادي. بالحسابإجراء من نتمكن حتى الجمع. أهمية: أكثر يشء إىل ننظر دعونالجمع مثال ،10 حتى الجمع جداول معرفة إىل نحتاج الجمع عملياتأن يجب الطريقة وبنفس 9 + 7 هو ما معرفة يجب 59 + 17 العددين

معا. عددين نرضب كيف نتعلم حتى 10 حتى الرضب جداول نتذكروحاصل b ،a مجموع بأنهما يعرفان a×b ،a+b العددان (باملناسبةنعرف لم إذا (.b عىل a قسمة خارج يسمى a

b العدد الرتتيب، عىل رضبهما،يف تعلمهما إعادة إىل سنضطر فإننا قلب، ظهر عن والرضب الجمع هذا

مرة. كلبالحساب؟ نقوم لكي رضورية الحقائق من الخاصة املجموعة هذه ملاذاتطور بداية عند فعال قدمت لكنها العشوائية، بعض هناك أن املؤكد من

37

للفضوليني الرياضيات

بمحض االختيار هذا وكان .10 األساس استخدام قررنا عندما الحسابالجمع جداول تعلم إىل الحاجة خالل من ذلك مقابل ندفع اآلن لكننا إرادتنا،فقط لدينا لكان الثنائي، النظام اختيار قررنا كنا لو — 10 إىل والرضب

لنحفظها. التافه والرضب الجمعمن كثريا ألن وهذا 12؛ حتى الرضب جداول دراسة عىل العرف جرىإلخ)، … بوصة قدم، بنس، الشلن، (الجنيه، 12 األساس لها القياس نظمإىل إضافتها فيجدر ا جد كثريا تظهر 12 × 12 حتى الرضب حاصل وألنإلزاما. أقل أصبحت ذلك لعمل الحجة أن من بالرغم كذلك زالوا ما الذاكرة.الحساب. من الكثري إجراء التلميذ عىل مفيد، مدى إىل األعداد فهم أجل منعليها. للحصول املطلوبة املهارة تطور لكن الهام، اليشء هي اإلجابة ليستيف والثقة األعداد مع األسايس التآلف يغرس الحسابية بالعمليات القياماألداء التعامل، من النوع نفس عىل تنطوي العالية الرياضيات كل معالجتها.ترسيخ إىل الطالب يحتاج ثم ومن خاصة، أعداد من بدال جربية برموز

الثانية. طبيعته هو التعامل هذا يكون حتى الحساب يف تماما أقدامهللمواد املستقبلية املفاهيم لكل عقبة يرتك األساسيات إتقان عدمالكسور مع التعامل عىل قادرين نكون أن يجب الخصوص، عىل الجديدة.

حقيقية. رياضية إمكانيات لنا يكون لكيسأنتهز لكن األشياء، لهذه املعلومات لتجديد مقررا ليس الكتاب هذامع مرتاحا تكون أن لك ينبغي املوضوع. عن شيئا ألقول الفرصة هذهاألشياء قراءة — الفصل هذا باقي لقراءة أدعوك أن وأود الكسور، حسابلك أقدم أن آمل زلت وما تماما ممتعة تكون سابقا الشخص يعلمها التي

اثنني. أو مفاجأةتصورت إذا الكسور. تساوي عن واضحة فكرة يتطلب الكسور حسابمفهوم أن من الرغم عىل أنه فسرتى أرباع، إىل ثم نصفني إىل قسمت كعكة

الكعكة. من متساوية أجزاء يمثالن فإنهما مختلفان 1و2 2

4

بالرغم متساوية، أنها سنقول متكافئة. وهكذا 12 ,

24 ,

36 , . . . الكسور

لكنها مختلفة، كسور 2و4 1

2 أن أى رشحنا: إذا إال دقيق غري هذا أن من

38

الكسور حول الحقيقة

الوضع لهذا اآلخر األحسن الجانب متساوية. مقادير تمثل ألنها متساويةفإن معني، لكرس املساوية الكسور من عدد أي وجود من الرغم عىل هوأعىل عدد ألقل اخترص أنه يعني هذا املخترص، الكرس هو منها فقط واحدااملقام، ويسمى الكرس عالمة أسفل عدد وأقل البسط، ويسمى الكرس عالمة، 615 الكسور املثال سبيل عىل الواحد، غري مشرتك عامل أي بينهما وليسومن للكرسين. املخترصة الصورة هي 2

5 أن أي 25 إىل يخترص منهما كل 12

30

أصغر تحوي ألنها األبسط، وهي شهرة أكثر املخترصة الصورة أن املؤكدالباقية. الصور جميع بني من ومقام بسط

أي التقاطعي الرضب خالل عنه التعبري يمكن الكسور بني التساويالطرفني: يف الوسطني رضب

ab= cda ad = bc.

إىل.) يؤدي يقرأ: واحدة برأس والسهم مكافئ، يقرأ: الرأس مزدوج (السهميساوي أم أقل املوجب الكرس كان إذا ما اختبار يمكننا أعم بشكل

التقاطعي: الرضب باستخدام آخر كرسا

ab≤ cda ad ≤ bc.

العدد إىل تشري دائما تساوي أو من أقل ≤ التساوي عدم رموز (للتذكرة،استبدلنا إذا أيضا صحيحة الكسور مقارنة يف القاعدة العددين). يف األصغرتظل املتباينات ألن صحيحة القاعدة .≥ أو ،> أو ،< من واحدة بأي ≤املتباينة من املرور ويمكننا موجبة بأعداد املتباينة طرفا رضب إذا هي كمامثال: .bd العدد يف املتباينة طريف برضب الثانية املتباينة إىل أعىل يف األوىل

23<

57a 14 < 15.

طرحهما أو الكرسين لجمع عامة قاعدة إعطاء يمكننا وضع يف اآلن نحنمشرتك. مقام لهما متساويني بكرسين الكسور عن نعوض أوال . cdو a

b

39

للفضوليني الرياضيات

ألن .bd عىل فنحصل معا املقامني برضب إيجاده يمكن املشرتك املقامعىل: فنحصل ،ab = ad

bd ,cd =

bcbd

ab± cd= adbd

± bcbd

= ad± bcbd

. (1)

واحد. بحجر عصفورين لرضب وتستخدم ناقص، أو زائد تعني ± اإلشارةمن بالرغم تخترص ال قد الناتجة اإلجابة لكن دائما صحيحة القاعدة هذه

مثال: اختصارهما. يمكن األصليني الكرسين أن16+ 2

9= 1× 9+ 2× 6

6× 9= 9+ 12

54= 21

54= 7

18.

مرة. كل يف اإلجابة تعطي التي (1) مثل قاعدة وجود املستحسن منالتي املعلومات جميع تحتوي (1) األساس، يف ذلك. عىل مأخذا هناك لكنمعتاد غري ما شخص ملل تثري قد لكنها الكسور، وطرح إلضافة تحتاجها

للعملية. األساسية الفكرة يفهم لم حيث املوضوع عىلأحسن دائما تمثل ال القاعدة ثانيا: يحدث. ملا ملخصا اعتبارها يمكنعن البحث األفضل يكون بالتدريب، معني. مجموع عىل للحصول الطرقهو bd الرضب حاصل .d والعدد b للعدد مضاعف أي مشرتك. مقام أقلهذا العموم عىل واحد. أقل بالرضورة ليس لكنه d ،b للعددين مضاعفاملشرتك القاسم هو h حيث bd

h العالقة من عليه نحصل األصغر املضاعفمثالنا يف الرابع. الفصل يف هذا عن املزيد نقدم وسوف ،d ،b من لكل األكرب. (6×9)

3 = 6×3 = 18 هو مشرتك مقام أصغر ثم ومن ،3 هي h قيمة السابقثم: ومن

16+ 2

9= 3

18+ 4

18= 7

18.

املقامني. وكال البسطني كال نرضب ببساطة جمعها، من أسهل الكسور رضبيخترص: ال قد عليه نحصل الذي الجواب أخرى مرة

512× 9

10= 45

120= 3

8.

40

الكسور حول الحقيقة

بعملية القيام قبل عوامل عن للبحث حارضا الذهن يكون أن املهم منبسهولة الحذف املمكن من ألن الرضب،

51

124× 93

102= 1

4× 3

2= 3

8.

وقتا الرياضيات طالب ويأخذ هنا، عرضها يجب عامة نظر وجهة توجدكتابته عند 45

120 الكرس يف االختصار األسهل من أنه وهي الستيعابها. طويالعىل الجرب أو ما، عدد عىل الحساب إجراء إن . 5

12 ×9

10 رضب كحاصلتحصل بعدما إجرائه من أبسط الرضب؛ عملية إجراء قبل جربي، تعبري

الرضب. نتيجة عىلويقوم ذلك، يتجاهل ما غالبا اإلجابة عىل الحريص الطالب لألسف،اآللة وجود مع عكسية. نتائج إىل يؤدي مما رضورية غري رضب بعملياتاإلجابة عىل الحصول عند يقاوم. ال اإلغراء إن أخىش اليد متناول يف الحاسبةويحذف فعل ما ليحلل حارضا الطالب ذهن يكون ما نادرا الصحيحة،

مساعدته. الجيد للمعلم يمكن هنا املطلوبة. غري الخطواتقسمت إذا معنى. لها الكسور لرضب قاعدتنا أن رؤية يمكن مبارشةاألجزاء من d إىل أيضا قسم منها وكل املتساوية الرشائح من b إىل كعكة

أن: أي املتساوية القطع من bd إىل الكعكة قسمنا فإننا املتساوية

1b× 1d= 1bd.

العامة: القاعدة عىل نحصل cو a البسطني يف هذا رضبنا فإذا

ab× cd= acbd.

ab عىل للقسمة وعموما، منها. 1

n أخذ بمعني n عىل الكعكة لتقسيم أخريا،القول: وخالصة .ba املعكوس يف املقدار نرضب

ab÷ cd= ab× dc= adbc.

41

للفضوليني الرياضيات

قسمنا ثم ab يف رضبنا إذا ألنه الرضب، عكس القسمة عملية يجعل فعال هذا

.ab × ba =

abba = 1 يف الرضب هو العمليتني رضب حاصل فإن عليها،

أن يعني ال هذا لغزا. تعترب ما غالبا الكسور قسمة فإن ذلك ومعالثاني الكرس «اعكس قاعدة أن األمر يف ما كل الجمع، يستطيعون ال الناسمقنعة العملية لجعل طريقة أفضل غامضة. زالت ما الرضب» بعملية قم ثمما هو به قمت ملا الصايف األثر أن وتالحظ مبارشة بالقسمة تقوم أن هو

السابقة. بالقاعدة وصفه تمالقاعدة بتطبيق 2؟

3 ÷34 من الناتج هو ما مثال:

23

/34.

:4 يف كرس كل برضب وذلك األسفل الكرس يف املقام من أنفسنا لنخلصتتغري: ال الكرس قيمة ثم ومن 4

4 = 1 يف الرضب هو العملية هذه تأثري(

23× 4

)/(34× 4

)=(

23× 4

)/3 = 2

3× 4

1× 1

3= 2

3× 4

3= 8

9.

.43 الرضب نفسه هو 3

4 عىل القسمة أن أيالذين املرصيني قدماء سجالت يف رؤيتها يمكن الكسور استخداماتتربموا لكنهم بحرية، 1

و20 15 مثل Unit Fraction الكسور وحدة استخدموا

أن من بالرغم الوضع نفس يف كانت لو كما 27 مثل الكسور إىل النظر منخاص. رمز له كان 2

3 الكرسطريقة أنه لنا يبدو (ما 1

4 +1

28 باملجموع 27 عن مثال عربوا إنهم

تستعطفهم). لم التي 17 +

17 هو أخرى

أي كتابة املمكن من هل حقيقية: مشكلة إىل قادت حال أية عىل هذهمختلفة؟ كسور وحدة مجموع شكل عىل و1 0 بني يقع فعيل كرس

تنظيف فرصة لك تقدم سوف عليه الحصول طرق وإحدى نعم، اإلجابةكسور وحدة أكرب واطرح ،mn املعطى، الكرس من ابدأ الحسابية. قدراتك

العملية. تكرار يف واستمر للباقي اليشء نفس افعل ممكنة.

42

الكسور حول الحقيقة

13 بطرح . 9

20 الكرس نأخذ مثال املطلوب. التحليل إىل هذا يؤدي سوف1

180 عىل نحصل سوف 19 الباقي هذا من نطرح ثم 7

60 الباقي عىل نحصلاملرصي: التحليل عىل نحصل وبذلك

920

= 13+ 1

9+ 1

180.

لكن النتائج، إىل يؤدي فعال متاح معكوس أكرب لطرح الجشع النهج هذايف نرى كما املمكنة الوحدة كسور من متتابعة أقرص إىل دائما يؤدي ال قد

. 920 =

14 +

15 ألن: املثال هذا

كل كتابة يمكنك سوف — 6و13 5

7 الكسور عىل الطريقة بنفسك جربالوحدة. كسور من لثالثة كمجموع منها

منها كثري القديمة، املشكلة هذه تطرحها األسئلة من كاملة مجموعةكيف هو: منها واحد أبسط اليوم. حتى الرياضيات علماء تصارع زالت ماالفصل يف هذا عن نجيب سوف معني؟ كرس من أصغر معكوس أكرب نجدحتى صالحة؟ الطريقة هذه أن نعرف كيف األسايس: السؤال مع الخامسكرس هو نفسه الباقي حيث مرحلة إىل الوصول يجب العملية هذه تتوقفاملعكوسات طرح يف ونستمر أبدا، يحدث ال قد هذا أن املتصور من وحدة.الخامس الفصل يف نرى وسوف كذلك ليست الحالة أن يؤكد الباقي األبد. إىلكسور من أقل أو m كمجموع دائما كتابته يمكن m

n الفعيل الكرس أناملختلفة. الوحدة

العرشية؟ الكسور حساب يف يحدث ماذا

يمكننا مزعجة. املقامات مختلفة الكسور من عدد عىل املحتوية التعبرياتيسمح وهذا الكسور. لكل املشرتك املقام بإيجاد املقامات كثرة مع التعاملمقام هناك يكون أن اللطيف من لكن خاصة، مشكلة أي مع بالتعامل لناالصعوبة هذه احتواء يمكننا يوجد. ال بالتأكيد الكسور. لجميع مشرتك واحدبطريقة الكسور كل عرض من يمكننا هذا العرشية. الكسور إىل باللجوء

43

للفضوليني الرياضيات

حتى — للكسور تمثيلنا أن هو ندفعه الذي الثمن حال، أية عىل موحدة.محدود. غري يصبح عامة بصفة — منها ا جد البسيطة

املعادلة لهذه األيرس الطرف 13 = 0.33333 . . . أن يعلم تقريبا الجميع

عملية عىل يحتوي األيمن الطرف بينما عادي، كرس إنه بسيطة: فكرة يمثلطريف ارضب هذا يزعجك لم إذا األبد. إىل تستمر عملية أي — النهائية

.1 = 0.99999 . . . عىل: فتحصل 3 يف املعادلةوفورا املظهر هذا تحب ال الناس وجدت لكنني هنا، خطأ يوجد المن ما بطريقة أقل األيمن الطرف أن عىل ويرصون االحتجاج، يف يبدءونأحيانا تكون املزعج السؤال هذا عن اإلجابة بكم؟ أقل فأسأل: الواحد.القيمتني ولكن ،1 العدد يسبق الذي العدد تمثل 0.99999 . . . أن باقرتاحكبرية. بدرجة علمي كالم هذا الصغر. يف متناهية بمسافة فقط ينفصالنبيد الواحد. مبارشة يسبق عدد يوجد ال — العدد هذا مثل يوجد ال لكنيمكن العدد أن — قبل من تالحظه لم تكون قد أنت يشء مواجهة يف أنناويوجد اإلزعاج قليل هذا أن غري مختلفتني. صورتني يف عرشي ككرس كتابتهنفسه هو 2.364 مثل العرشي الكرس أن هو االستثناء من فقط واحد نوع

أيضا. 2.36399999 . . . العرشي العدد يساويالعرشي. وتمثيلها االعتيادية الكسور بني الصلة دراسة إىل يدعونا هذاالسالبة األعداد واستخدام املوجبة، باألعداد فقط نعتد نحن آخر، إشعار حتىمشكلة يف مساهمة أي لها ليس لكن الحقا، عنها نتكلم وسوف طبعا مهم

الحايل. الوقت يف أمرها يعنينا ال ثم ومن العرشي، التمثيلالكرس الحقيقية. وغري الحقيقية االعتيادية: الكسور من نوعان يوجدإلخ. … 8

و17 23 مثال: املقام من أصغر البسط حيث الكرس هو الحقيقي

بسطه الذي الكرس والواحد. الصفر بني أعدادا تمثل الكسور هذه كلبقسمة الحالة هذه مثل يف حقيقي. غري كرسا يسمى 25

12 مثل مقامه، من أكربالحالة هذه يف هو مركب كعدد الكرس عن التعبري يمكننا املقام عىل البسطاملركب العدد شكل حقيقي. كرس يتبعه صحيح عدد من يتكون وهو ،2 1

12

استخدام يفضل فإنه ثم ومن الحسابات يف استخدامه عند مزعج للكرس

44

الكسور حول الحقيقة

كتابة األفضل من يكون ما غالبا ذلك ومع للكرس. الحقيقي غري التمثيلكتابة فمثال قيمته، يوضح ألنه مركب كعدد ما ملجموع النهائية اإلجابة6 بني مقدار مع تتعامل أنك النظر بمجرد تخربك 65

7 الصورة عىل 477

و7.سوف و1، 0 بني لألعداد العرشي التمثيل حول يشء كل فهمنا إذا

.1 إىل 0 من الفرتة عىل نركز دعونا لذلك العام، العرشي التمثيل نفهمكما أو كرس شكل عىل كتابته يمكن الذي العدد هو القيايس العدديمثل أن يمكن أنه نعلم، كما صحيحني. عددين بني كنسبة أحيانا نقولنفس عىل حصلنا أخرى مرة مثال. 2

و4 12 العدد، نفس املختلفان الكرسان

هذا نقابل ال العرشي التمثيل حالة يف ثم، ومن مختلفتني، بطريقتني العدديمكن صورة أبسط إىل واملقام البسط من كل باختصار اإلزعاج. من النوعليس bو a حيث ،ab الصورة عىل كرس صورة يف القيايس العدد كتابةالقياسية األعداد يف التفكري يمكننا وبذلك الواحد. غري مشرتك عامل بينهما

السابقة. بالطريقة عليها نحصل التي الكسور جميع مجموعة كأنهااإلجابة عرشي؟ كرس صورة يف القيايس العدد نكتب عندما يحدث ماذاتوجد حيث عرشي عدد أي متكرر، عرشي عدد عىل دائما نحصل أننا هيونشري املفكوك. يف معينة نقطة بعد نهاية ال ما إىل املتكررة األرقام كتلةاألمثلة: بعض إليك الكتلة، من رقم وآخر أول فوق نقطة بوضع ذلك إىل

23= 0.666 . . . = 0.6,

17= 0.142857142857 . . . = 0.142857,

124

= 0.041666 . . . = 0.0416,1

17= 0.0588235294117647.

12 = 0.5 مثل القدامى أصدقائك بعض نسيت قد أنني تعتقد قد

حقيقيا: ليس وهذا املنتهية، العرشية الكسور وهي ،38 = و0.375

خاصة حاالت مجرد فقط هي تلك مثل املنتهية العرشية الكسورحاجة توجد ال بالطبع ولكن 3

8 = و0.3750 12 = 0.50 أن وأعني للتكرار،الحالة. هذه يف التكرار لكتابة

45

للفضوليني الرياضيات

عنها: اإلجابة يتعني التي األسئلة من العديد هناك

اآلن؟ ادعيت كما عرشية تكرارات إىل القياسية األعداد تؤدي ملاذا (١)منته؟ عرشي كرس إىل تؤدي القياسية األعداد أي (٢)

العرشي؟ املفكوك يف التكرار كتلة طول عن يقال أن يمكن ماذا (٣)1 الرتتيب عىل كانت التكرار كتلة أطوال السابقة األربعة األمثلة ىف (٤)وإذا كرس؟ إىل متكرر عرشي عدد كل تحويل أيمكن و16 و1 و6

فكيف؟ كان

مرة النظر األفضل من متكرر، عرشي عدد إىل الكسور تؤدي ملاذا ملعرفةعرشي: عدد إىل 5

6 مثل كرس لتحويل تعلمتها التي الطريقة إىل أخرى

56= 0.8333 . . . = 0.83.

هي: ذلك لفعل تعلمتها التي الطريقة

واحد) من أقل الكرس أن إىل (لإلشارة .0 نكتب لذلك ،5 من أكرب 6 (١).5 ومعنا

ونحتفظ 8 فنكتب 2 والباقي مرات ثمان 50 يف موجودة 6 (٢)2 بـ

هناك يكون 6 عىل 50 فبقسمة ،50× 110 وكأنها 5 عالجنا إننا هنا حدث ما

210 قسمة يمكن زال وما ، 2

10 بـ وتمثل 2 والباقي بالطبع) 810 (ويعني 8

القسمة. من التالية الخطوة يف 20× 1100 باعتبارها 6 عىل أخرى مرة

.2 ونحمل 3 فنكتب 2 والباقي مرات ثالث 20 يف موجودة 6 (٣)

العمل يف ونستمر ،56 = 0.83 + ( 2

100 ÷ 6) أن أثبتنا املرحلة هذه يف

أبدا الباقي يكون لن الحالة، هذه يف طبعا الطريقة. بنفس الباقي هذا عىلالبواقي كل ألن حال أية عىل األبد. إىل تستمر العملية فإن ثم ومن صفرا

46

الكسور حول الحقيقة

الحساب هذا تكرار علينا كتب وألنه فصاعدا، النقطة هذه من 2 تساويعىل: فنحصل عديدة، مرات البسيط

56= 0.83.

قد عرشي، إىل mn الكرس تحويل عند األول. سؤالنا إجابة اآلن يمكنناال. أو منتهيا عرشيا كرسا يكون

أن يجب القسمة يف مرحلة كل بعد الباقي فإن منتهيا، يكن لم إذااالحتماالت من n − 1 هناك أن وبما .1,2, . . . , n − 1 األعداد أحد يكونإىل األوىل. n الخطوات من ما مكان يف يتكرر أن يجب الباقي فإن فقطمن الدورة نفس تكرار عىل مجربون فإننا الثانية للمرة الباقي يظهر أنالذي الباقي بنفس تنتهي طبعا الدورة، هذه بالضبط. لدينا التي البواقي

األبد. إىل الحلقة هذه يف وقعنا قد ونكون الثانية للمرة تكررعند نقابلها التي املمكنة البواقي منته. غري عرشي كرس هو 1

7 فمثالعىل 1 قسمة عند جميعها. تظهر وبالطبع 6 إىل 1 األعداد هي القسمة إجراءويتضح وهكذا 1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1, . . . هي: البواقي دورة ،7

.6 وهي التكرار كتلة أنالسؤال إلجابة الطريق من جزء وأيضا األول السؤال عن يجيب هذاالتكرار كتلة طول فإن ،n هو املقام كان إذا التكرار؟ كتلة طول ما الثالث:بعض يف يظهر املمكن األقىص الطول هذا .n − 1 األكثر عىل سيكون(التكرار هو الكتلة كتلة طول 17 أو 7 مقامها التي الكسور — األحيانكل عىل ينطبق، ال موريف قانون فعال. رأينا كما 16 أو 6 الرتتيب عىل هيعددا املقام كان لو حتى سيئا، دائما ليس الوضع األحوال هذه يف حال،وهي ، 1

13 = 0.076923 وكذلك 2 فقط طولها كتلة وهي 111 = 0.09 أوليا:

العرشي التمثيل لكتلة r الكتلة الطول عن الكثري هناك فقط. 6 طولها كتلةn عىل تعتمد r فإن مشرتك عامل بينهما ليس nو m مادامت .mn للكرسليست ولكنها أخرى، بطرق وصفها يمكن نفسها r قيمة .m عىل وليس

47

للفضوليني الرياضيات

قيمة من r إليجاد رسيع عام قانون يوجد ال تتمنى. كنت كما مريحة.n

إىل تؤدي التي الكسور أي ملعرفة الثاني السؤال األخرى، الناحية من12 = 0.5 أن نعلم نحن التعامل؟ يف سهولة أكثر هو منتهية، عرشية كسورفإذا العددي. نظامنا أساس وهو ،10 للعدد عوامل و5 2 وأن ،1

5 = و0.2كرسا ستكون والنتيجة معا، رضبهما يمكننا منتهيني عرشيني عددين أخذنا

آخر. منتهيا عرشيافإن s له الثاني والعدد r له األول العدد كان إذا تتذكر سوففمثال العرشية األماكن من r + s من أكثر له يكون لن الرضب حاصلعرشية أماكن بثمان ينتهي الناتج وأن 0.202×0.01744 = 0.003522881و5 1

2 رضب حاصل عدد أي أن ذلك عىل ويرتتب ،r + s = 3+ 5 = 8 ألنفمثال: منته عرشي تمثيل له سيكون

40 = 23 × 5,1

40= 0.025, 16 = 24,

116

= 0.0625.

منتهيا، أيضا سيكون منته عرشي لكرس مضاعف أي أكثر: هو ما إليكبعدد املنتهي العرشي الكرس رضب أن ذلك يف السبب ، 7

40 = 0.175 فمثال(بالرغم العرشية النقطة بعد الصفرية غري العنارص عدد يزيد لن صحيحأيضا نثبت أن األبسط من .(0.25 × 2 = 0.5 مثال: ينقصها، قد أنه منكرس، صورة عىل كتابته يمكن املنتهي العرشي الكرس صحيح: العكس أنيكتب منته عرشي كرس أي ألن ،2s × 5s رضب حاصل هو املقام حيث

مثال: ،10 العدد قوى مقامه كرس صورة عىل فورا

0.255 = 2551000

= 51200

.

هو: املقام املثال هذا يف

1000 = 10× 10× 10 = 2× 5× 2× 5× 2× 5 = 23 × 53.

48

الكسور حول الحقيقة

حاصل يظل املقام لكن هنا، حدث كما الكرس اختصار املمكن من طبعاللكسور كامل وصف إىل وصلنا .(200 = 23 × 52) 5 ،2 األعداد رضب

منتهية. عرشية كسورا تعطي التي

الصورة عىل n كانت إذا، وفقط إذا عرشي، تمثيل له mn الكرس

حاصل هو الكرس مقام كان إذا، وفقط إذا أن، أي ،n = 2a5b

فقط 2s صورة عىل املقامات أيضا يحتوي (هذا .5s ،2s رضب.( 1

25 أو 116 مثل فقط 5s أو

أساس هي حيث ،10 للعدد عوامل ألنها خاصة أعداد هي و5 2 األعدادالكسور فصل فإن األساس نغري سوف كنا إذا نستخدمه. الذي األعداد نظام(معروف 3 األساس حالة يف فمثال: معه، أيضا يتغري سوف املنتهية العرشية1 حيث 0.1 هو وتمثيله الثالثية يف منته كرس 1

3 فالكرس الثالثية) باسم.1× 1

10 وليس 1× 13 تعني

عرشي كرس أي نغري كيف أوضح سوف الرابع، السؤال إىل اآلن نعوديف دائما تعلم ال أنها يبدو الخاصة التقنية هذه عادي. كرس إىل متكرربعض ذكية، وأيضا بسيطة طريقة إنها حيث املخجل من وهذا املدارس،

الطريقة. لتوضيح كافية ستكون األمثلةولنرمز العدد، نرضب ثم ومن ،2 هو r الكتلة طول 0.63 نجرب دعناإىل يؤدي هذا ثم ومن 0.63 = 0.6363 اآلن .102 = 100 يف ،a بـ لهاملفكوك نفس بالضبط له الجديد العدد هذا أن هنا الفكرة .100a = 63.63

من a بطرح 100a = 63+a أن يثبت هذا .a للعدد العرشية العالمة بعداالختصار بعد النهاية ويف a = 63

99 أن: أي 99a = 63 عىل نحصل الطرفني

0.63 = 711.

الختبار التقنية نفس استخدم بنفسك. هذا من بعضا تجرب أن األفضل من.(1000 يف للرضب هنا (نحتاج 0.18 = 2

11 ,0.037 = 127 أن

49

للفضوليني الرياضيات

الحالة هذه ويف .a = 0.27 مثال نأخذ عندما يظهر بسيط تغيري،10a = 2.7 عىل لنحصل فقط 10 يف الرضب يحتاج ثم ومن r = 1

.9a = 2.7− 0.27 عىل نحصل بالطرحومن العرشية، العالمة يف الثاني املكان بعد متساويان العددان املرة هذه.9a = 2.7−0.2 = 2.5 عىل ونحصل بعضا بعضها يحذف األجزاء هذه ثمأي صحيحة أعدادا تحتوي معادلة عىل للحصول 10 يف الطرفني برضب

.a = 2590 =

518 ومنها 90a = 25

0.583؟ = 712 أن أثبت للتجربة: أخرى مسألة

(تذكر متكرر عرشي كرس صورة يف كرس أي تمثيل يمكننا الختام، ىفومن بالعكس، والعكس الفصيلة) هذه يف تقع املنتهية العرشية الكسور أنمن قطعا املتكررة. العرشية والكسور القياسية األعداد بني تناظر إيجاد ثم

العدد املثال سبيل فعىل متكررة، ليست عرشية كسور إيجاد السهل

b = 0.101001000100001000001 . . . ,

نستنتج متكررا. عرشيا كرسا ليس لكن العرشي، املفكوك لهذا نمط يوجدصحيحني. عددين بني كنسبة كتابته يمكن ال — قياسيا عددا ليست b أنإيجادها. ا جد السهل ومن قياسية غري أعداد بأنها تعرف ،b مثل األعداد0.12345678910111213141516 . . . العدد ملاذا ترى أن يمكنك فمثال

قيايس؟ غري عدد

الهندسة يف القياسية عدم

تمثيلها عند واضح نمط لها ليس حاسبك عىل أعداد توليد الصعب من ليسكيف التفكري. بعض يتطلب العدد هذا ،√2 = 1.414213 . . . جرب عرشيا،التكرار كتلة طول يكون قد متكرر؟ عرشي تمثيل له ليس √2 أن نعرفاألماكن من مليون بعد حتى يبدأ ال التكرار أن أو األرقام، من مئات به

ذلك. كل بعد قياسيا عددا يكون قد أخرى: بعبارة العرشية.

50

الكسور حول الحقيقة

بشدة انزعجوا امليالد قبل السادس القرن يف الفيثاغورثيني إن يقالفعل يف بطريقتنا ليسعدوا يكونوا لم أنهم املؤكد من .√2 مثل أعداد بشأنمعناها فما كرس صورة عىل √2 كتابة يمكننا لم إذا ذلك كل بعد األشياء.

إذن؟عىل اعتمد الفلسفي موقفنا العرشية، الكسور مفكوك خالل نهجنا ىفولهذا له. عرشي تمثيل إيجاد أمكن إذا حقيقيا يكون العدد إن نقول اآلتي:األماكن من عدد ألي له املفكوك إيجاد يمكننا ألنه حقيقي عدد √2 السببالجذر بأخذ ثم ومن 12 < 2 < 22 أن بمالحظة نبدأ كاآلتي: العرشيةأن أي و2 1 بني يقع √2 العدد أن أي 1 <

√2 < 2 أن نجد الرتبيعي

عىل ونحصل 1.42 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.52 أن: نالحظ ثم √2 = 1. . . .

العرشي. والثالث الثاني للمكان الطريقة بهذه نستمر .1.4 < √2 < 1.5

وهكذا. 1.414 <√

2 < و1.415 1.41 <√

2 < 1.42 من ونتحققلعدد نحسبها أن يمكن التي األماكن لعدد حدود توجد ال األساس يفلو حتى حقيقي، عدد هو √2 أن إىل تؤدي التفكري يف طريقتنا ثم ومن ،√2

الستخراج كفاءة أكثر طرق توجد (للتأكد قيايس. غري العدد هذا أن ظهرالفكرة). لتوضيح كافية ولكنها الساذجة، طريقتنا من الرتبيعية الجذور

كانوا هذا. من أي لديهم يكن لم الفيثاغورثيني أن أعتقد قراءاتي، منالعملية مثل محدودة غري عملية ألي شديدة ريبه ولديهم بالبساطة يؤمنونعملية خالل قدم الذي اليشء أن يقبلوا لم إنهم توا. فيها انغمسنا التيالتي العادية القياسية األعداد مكانة بنفس سيتمتع منتهية غري حسابيةأيضا، √2 يف اعتقدوا ذلك ومع فلسفتهم. يف الزاوية حجر وشكلت بها آمنوايمكن ألنه معنى ذا عددا كان √2 لهم بالنسبة تماما. مختلفة ألسباب لكن

هنديس. نهج تبني إىل نحتاج نظرتهم، ولرشح تكوينه.إذا الزاوية. قائم مثلث أي عن بسيطة حقيقة هي فيثاغورث نظريةالنظرية فإن c هو الوتر طول وكان bو a هي األقرص الجانبني أطوال كانتعىل فسنحصل a = b = 1 أخذنا إذا خاصة وكحالة .a2 +b2 = c2 تقولهو املثلث يف األطول الجانب فإن ثم ومن .c2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2

51

للفضوليني الرياضيات

√

2

1

1

A B

E

D

C

1 شكل

استخدام دون تكوينه يمكن املثلث هذا مثل أن علموا اليونانيون .c = √2

مستقيمة حافة باستخدام ببساطة لكن الزاوية، أو الطول لقياس جهازبوجود يتمتع √2 مثل املتكون العدد أن يعني هذا نظرهم يف وفرجار.

خاصة. أهمية ذا واعتربوه مادي،إنشاؤه يمكن a عدد إن نقول ،√2 العدد ينشأ كيف نر دعونالوحدة كمعيار الستعمالها مستقيمة قطعة أي بمعلومية — أنه يعنيبها القيام يمكن التي املتتابعة العمليات من مجموعة توجد — الطولمستقيمة) حافة مجرد بل مقسمة، مسطرة (ليست مستقيمة حافة باستخدامالقائم املثلث لتكوين .a الطول لها أخرى مستقيمة قطعة إىل تقود وفرجاركالتايل: نستمر أن يمكن سابقا، ذكرناه الذي الساقني واملتساوي الزاويةثم ومن متساويان الضلعني طويل أن يعني الساقني املتساوي (املثلث

متساويتان). أيضا الزاويتانكوحدة لتستخدمها Bو A النهايتان ولها املستقيمة القطعة أعطيت إذالتحديد الفرجار واستخدم B جهة من املستقيمة القطعة مد للطول. عياريةالطول نفس لهما يكون BCو AB إن بحيث B النقطة يمني عىل C النقطة

.١ الشكل يف كماودون A النقطة مركزها دائرة قوس من قطعة وارسم الفرجار افتحسوف الدائرتان .C النقطة من اليشء نفس افعل الفرجار، فتحة تغيريالتقاطع نقطة هي ،D هي النقطة لتكن :B النقطة وأسفل أعىل تتقاطعانقائمة. زاوية هي ABD الزاوية بالتماثل .D إىل B من الخط ارسم B أعىل

52

الكسور حول الحقيقة

بني الخط عىل AB لـ مساو طول لتحديد أخرى، مرة الفرجار، استخدمالثالثة الرأس فهي التكوين لهذا ونتيجة ،E النهائية النقطة حدد .Dو Bفيثاغورث نظرية ومن 1(BE)و 1(AB) الجانبان حيث القائم للمثلث

.√2 = (AE)الفيثاغورثيني. تفكري طريقة عكست قيايس غري عدد √2 أن حقيقةهذه إليقاف فعال القتل أو بالقتل تهديدات عن القصص بعض وهناك

للغاية. السيئة األخبارمرت قد إنه وحيث تفكرينا، بطريقة مقارنة منطقي غري يعترب هذاتثري ال القصص هذه أصبحت السنني، آالف الحايل عرصنا إىل وصلنا حتى

السخرية. إالاعتيادي. كرس صورة عىل √

2 كتابة املستحيل من ملاذا نرى دعنانبحث ثم ذلك من العكس نفرض سوف التعارض، أسلوب نستخدم سوف

ذلك. يعارض عماال بحيث ،ab القيايس العدد هو √2 أن إثباته، نريد ما عكس نفرض.2 = a2

b2 عىل نحصل √2 = ab طريف برتبيع .bو a بني مشرتك عامل يوجد

أن: أي

2b2 = a2.

a2 ثم ومن زوجي عدد أنه أي ،2 للعدد مضاعف األيرس الطرف أن الحظزوجي. عدد أيضا هو

أي رضب (حاصل زوجي. عدد نفسها a أن يعني بالتبعية وهذاسيكون a2 فإن فرديا عددا a كان فإذا فردي عدد أيضا هو فرديني عددين

فرديا).صحيح. عدد c حيث a بـ 2c استبدال يمكن ثم ومن

فإن: ومنها

2b2 = (2c)× (2c) = 4c2.

53

للفضوليني الرياضيات

.b2 = 2c2 عىل: نحصل املعادلة هذه طريف من 2 املشرتك العدد نحذف(السببية) املنطق نفس باستخدام القادمة؟ الصعوبة رؤية تستطيع هلهذا لكن زوجي. عدد هو a مثل تماما b أن نستنتج سابقا حدث كماكتابة فكرة أي مشرتك. عامل بينهما ليس b ،a أن األصيل الفرض يناقض.2 لعدد مضاعف bو a من كال أن وهي خاطئة نتيجة إىل أدى √2 = a

b

كرس صورة عىل √2 كتابة يمكن ال بأنه نعرتف أن سوى خيار لنا يتبق لمكمفكوك √2 كتابة املمكن من أنه التاسع الفصل يف أثبت سوف اعتيادي.

آخر. نوع من مكررإلثبات فقط هذه النوع. هذا من بنتائج ممتعة الحديثة الرياضياتالقدماء الصحيحة. األعداد بني النسبة مجرد من أكثر العالم يف توجد أنهأملهم خيبة كانت ثم ومن يشء كل يحتوي فلسفي لنظام عاطفي شوق يفهناك يزال ال معتقداتهم. انتهكت التي الجديدة االكتشافات بسبب مريرةالتقدم يعيق املوقف هذا لكن للكون كاملة صورة عن يبحثون الذين منافقط ازدهرت للعلم عديدة جوانب أخرى بعد مرة عليه. املساعدة من أكثرأو تحيز ودون موانع بدون الجديدة األفكار وتابعوا الناس اسرتخي عندماأو دينية كانت سواء الفلسفة نظر وجهة من يفعلونه ما تربير إىل الحاجة

علمانية.أن تستطيع ألنك البوابات يفتح واحد، قيايس غري عدد تحديد مجردأن (يمكن قيايس غري عددا x أن نفرض املتناهي: غري الكثري فورا تولدأو موجبا كان سواء a

b قيايس عدد ألي ثم ومن رغبت.) إذا x = √2 تأخذالعكس حدث إذا ألنه أيضا، قيايس غري عددا يكون x+ a

b العدد فإن سالباعىل: نحصل فسوف c

d يساوي وكان

x = cd− ab= (bc − ad)

bd,

اليشء نفس قيايس. غري عددا x لفرض مناقض قيايس، عدد وهوفإن الصفر ليست a طاملا .ab قيايس عدد يف x رضبنا إذا يحدثيؤدي سوف هذا ألن c

d قياسيا عددا يكون أن يمكن ال الرضب حاصل

54

الكسور حول الحقيقة

تعني القياسية األعداد بني (النقطة قيايس عدد x أن إىل أخرى مرةالرضب):

ab· x = c

d=⇒ x = b

a· cd= bcad.

غري أعداد هي (13 يف (بالرضب

√2

3 و (1 (بجمع 1+√2 األعداد تلك مثال.√2 قياسية عدم عىل اعتمادا قياسية

قياسيني غري عددين جمع جدا املمكن من أنه باملالحظة الجدير اليشءعددان و2√ 2

√2 مثال قياسية. إجابة عىل وتحصل رضبهما أو موجبني

الطريقة وبنفس 2√

2 × √2 = 2 × 2 = 4 لكن قياسيني غري موجبان.2 مجموعهما موجب قيايس غري عدد كالهما و2√ 2−√2

قياسيني غري عددين هناك أن إلثبات دقيقة حجة توجد غرابة، األكثرأننا من الرغم عىل هذا نثبت سوف قياسيا. عددا يكون ab إن بحيث bو aسلوك ببعض أوال أذكرك سوف فعال! bو a العددين إيجاد نستطيع لن

األعداد. قوى

القياسية: غري واألعداد اللوغاريتمات، األسس،

األس أن الحظت إذا واضح هذا .an×am = an+m هو األسس قوانني أولفمثال: الرضب، حاصل يف العوامل عدد هو m واألس n

a2 × a3 = (a× a)× (a× a× a),

الطريقة بنفس املرات. من 2+ 3 = 5 نفسه يف مرضوب a أن يعني وهذا، anam = an−m الحذف: خالل من لألسس الثاني القانون معنى إيجاد يمكننا

فمثال:

a5

a2= (a× a× a× a× a)

(a× a) = a5−2 = a3.

55

للفضوليني الرياضيات

،(an)m = anm حسابية: عبارة باملثل هو لألسس الثالث القانون وأخريافمثال:

(a2)3 = (a× a)× (a× a)× (a× a) = a2×3 = a6.

املوجبة غري الصحيحة (األسس) القوى عىل أيضا ينسحب املعنى هذابالعدد نعني فمثال دائما، صحيحة القوانني هذه أن عىل باإلرصار وذلك

ألن: a1/2 = √a

a1/2 × a1/2 = √a×√a = a = a1,

التوضيح: هذا ويمثل وهكذا

a1/2 × a1/2 = a1/2+1/2 = a1 = a,

األول. القانون مع التوافقالثاني القانون استخدام مع متوافق هذا ألن 1

a العدد يعني a−1 العددمثل: أوضاع يف

aa2

= 1a

;

أيضا يتطلب الثاني القانون .1− 2 = −1 قوى إىل يؤدي هنا األدلة طرحيرتك هنا األدلة طرح ألن a2

a2 = 1 أن الحقيقة من للتحقق a0 = 1 نأخذ أن.2− 2 = 0 القوى

قياسيني غري عددين وجود نثبت أن يمكننا األسس، قوانني إىل بالنظر.a = b = √2 الحالة نأخذ أوال قيايس. عدد ab حيث bو a

فهذا قياسيا العدد كان فإذا ال. أو قياسيا يكون أن إما √2√

2 العدديكون قد (وهذا قيايس غري العدد هذا كان إذا أخرى جهة من املطلوب. هوغري العددان فيكون .b = و2√ a = √2

√2 نضع توقعا) األكثر االحتمال

56

الكسور حول الحقيقة

عىل: نحصل لألسس الثالث القانون وباستخدام قياسيني

ab =(√

2√

2)√2=(√

2√

2√

2) = (√2)2 = 2.

موجودة. القياسية غري األعداد فإن الحالتني كال يف ثم ومنأحدهما أن واستنتج بديلني أعطى أنه الربهان هذا يف املالحظ اليشءيقدم ال ولكنه املطلوبة الخاصية لهما األعداد من زوج عن مثال إىل يقودفيهم بما الناس من كثري السبب لهذا ذلك. يحققان عددين عن فكرة أيهذا لكن له. قيمة ال عمليا الربهان هذا يعتربون الرياضيات علماء بعض

يزعجني. العرض فرصة فلدينا األسس قوانني ملراجعة وقتا استغرقنا إننا حيثبإسهاب الكبار عليه تعرف موضوع وهو اللوغاريتمات، خواص من بعض

الثانوية. املرحلة خاللy لوغاريتم هي x إن فنقول y = 10x كان إذا بسيط: التعريفباألساس آخر أساس أي إبدال نستطيع x = log10y ونكتب 10 لألساس

هنا. ذلك لفعل حاجة يف لسنا لكننا ،10

أن ليعني x = logy ونكتب 10 األساس فقط نستخدم سوفألن log 0.1 = −1 ،103 = 1000 ألن log 1000 = 3 فمثال y = 10x

.10−1 = 110 = 0.1

كانت علمية ثروة إىل أدت التي للوغاريتمات السحرية الخاصية إنألن: وطرح جمع إىل والقسمة الرضب تحويل

logab = loga+ logb; log(ab

)= loga− logb.

عالية بدقة الصعبة والقسمة الرضب عمليات بإجراء ذلك لنا سمح قدونوجد نجمعهما ثم العددين لوغاريتمي عن نبحث bو a العددين برضبهذه اللوغاريتم. مقابل عىل نحصل أي املجموع هذا لوغاريتمه الذي العددفمثال األسس. وقوانني اللوغاريتم لتعريف بسيطة نتيجة هي الخواص

57

للفضوليني الرياضيات

loga للعددين yو x نكتب لألسس األول القانون من تنشأ الجمع خاصيةفيكون: الرتتيب عىل logbو

a = 10x, b = 10y =⇒ ab = 10x10y = 10x+y ,

الطرح خاصية باملثل logab = x + y = loga + logb فإن: ثم ومنالخاصية عىل نحصل الثالث القانون رشح عند الثاني، القانون من تنشأ

فمثال: ثم، ومن log(xy) = y logx أن: اإلضافية

log√

10 = log(101/2) = 12

log 10 = 12.

لألعداد اللوغاريتمات جدول هو ونهائي حاسم بشكل مطلوب هو ما كلأي ألن عدد؛ أي لوغاريتم عىل الحصول فعال يمكن ذلك وبعد و10 1 بنيفمثال: اللوغاريتمات بقوانني معه التعامل يمكن 1−10 املنطقة خارج عدد

log 84 = log(10× 8.4) = log 10+ log 8.4 = 1+ log 8.4 = 1.9243.

باسم معروفان log 10, log 8.4 للوغاريتم، الجزأين هذين أن تتذكر ولعلكالتوايل. عىل واملميز العرشي الجزء

وكانت بعيدة ليست فرتة منذ العملية الوسائل أهم كانت اللوغاريتمات(املسطرة) األدوات هذه لها. املادية الظاهرة هي (الحاسبة) املنزلقة املسطرةاملسطرة اللوغاريتمات. وطرح لجمع فائقة بدقة لوغاريتميا مقسمة كانت

جميلة. هندسية قطعة كانت الجيدة املنزلقةتحافظ أن الحكمة من يكون فربما بواحدة تحتفظ كنت إذا تزال ما

التاريخية. القيمة عالية األشياء من تصبح فقد عليهاالغرض ألن اإلطالق عىل تدرس تعد لم اللوغاريتمات يف املحتواة التقنيةالحاسبة اآلالت بوصول قديمة موضة أصبحت وبذلك عمليا كان األسايسمنهاحقيقية خسارة هناك حال، أية عىل أكرب. وبرسعة بدقة بالعمل تقوم التياللوغاريتمات صفحات يف بإمعان فالتكرار الجداول. كتاب اختفاء صاحبتالوسائل ذلك من األكثر نفسها. الدوال سلوك مع التآلف ولدت املثلثية والدوال

58

الكسور حول الحقيقة

لم وسيطة قيم تقدير (بمعنى واالستكمال القياس الستعمال املستخدمةاالحتفاظ إىل يحتاجون املستخدمون كان ثم ومن القائمة) يف رصاحة تكتبيعتمدون الذين الحارض الوقت يف الطالب إن حيث عنها، الريايض بذكائهمإىل تخترص عندما املسألة ألن الذكاء، هذا يملكون ال الحاسبة اآلالت عىلعىل ويوافق أقل ويتعلم نسبيا، سلبيا يصبح فالطالب لآللة، تطبيق مجرد

نقد. أي دون الحاسبة اآللة تنتجه يشء أيفكثري العلوم، يف مهمة زالت ما اللوغاريتمية الدالة أن أضيف أن يجب،pH الحموضة فمقياس األساس، لوغاريتمية هي الطبيعية املقاييس منكثري، من ثالثة هي decibel الصوت ومقياس للزالزل، ريخرت ومقياسالتفاضل حساب يف يقاوم ال بشكل نشأ الطبيعي اللوغاريتم أن إىل باإلضافةقيايس غري عدد هو e العدد ،e = 2.7182 . . . لألساس اللوغاريتم والتكامل،يف زالوا ما العلوم طالب ثم ومن املركب. بالربح خاصة مسائل يف نشأالتدريب بفقدهم يعانون وهم اللوغاريتمات، بحساب شاملة دراية إىل حاجة

اللوغاريتمات. جداول تقدمه الذي التقليدي العميلالسابع القرن منعطف حول للعلوم قويا دفعا كان اللوغاريتمات اخرتاعومع (John Napir) نابري االسكتلندي إىل األوىل بالدرجة يعود والفضل عرشاألصلية نابري لوغاريتمات متوقع، هو كما واضحا تطورها يكن لم ذلكسابقا. إليه املشار الطبيعي باللوغاريتم يسمى ما إىل يكون ما أقرب كانتالفلك علماء بواسطة تستخدم كانت املتوازية التقنيات ذلك، عىل وعالوةصعبة بحسابات يقومون كانوا الوقت نفس يف الدانمرك، يف وكيبلر براهامن متطابقات عىل تحتوي تقنية باستخدام املريخ كوكب مدار عىل ا جدهذه أهمية كمجموع. الرضب حاصل عن التعبري يف وتخدم املثلثات حسابعرش، السادس القرن خالل أوروبا يف تقدير موضع أصبح املتطابقاتالقرن إىل ترجع فرتة يف األوسط الرشق يف اكتشافها تم نفسها القواعد

عرش. الحاديإحدى بأن نذكر أن اإلنصاف فمن القياسية، غري موضوع يف أننا بماغري عدد هو القيايس العدد لوغاريتم أن هو اللوغاريتمات مع الصعوبات

59

للفضوليني الرياضيات

:log 3 للعدد ذلك رؤية السهل من فمثال .10 للعدد قوة كان إذا إال قيايسيساوي log 3 أن نفرض بالتناقض. الربهان نستخدم سوف أخرى مرةb للقوة املعادلة هذه طريف وبرفع 3 = 10a/b أن يعني وهذا a

b الكرسفردي عدد األيرس الطرف ألن ممكن غري وذلك .3b = 10a عىل نحصل

زوجي. عدد األيمن الطرف بينما

الطبيعي: هو األعداد قياسية عدم

نعرف فنحن العالم، يف صائبة جدا كثرية بيانات توجد أنه من الرغم عىلالطريقة، بنفس الخطأ. من عليه الحصول يف كثريا أصعب الصواب أن جميعاعن التحدث عند القياسية من أكثر املرات عدد يف شائعة القياسية عدمغري مالحظة أنه عىل يؤخذ أن ينبغي ال هذا أعداد). (ألي معينة غري أعدادأنه فكرة لتوصيل وسيلة مجرد ولكن القياسية، غري األعداد تخص هامةإليها ينظر األعداد قياسية فإن قياسية ا جد كثرية أعداد وجود من بالرغم

استثناء. أنها عىل بصدقأن واضحا فسيصبح عرشي، مفكوك أنها عىل األعداد يف فكرنا إذاأكثر تكون أن يجب متكرر غري مفكوك لها ليس التي القياسية غري األعدادبتخيل تكون ساذجة حجة القياسية. لألعداد املتكررة املفكوكات من شيوعامثال.) قبعة من األرقام (بالتقاط ما بطريقة عشوائي عرشي عدد توليداملرات من كبريا عددا فقط ليس متكررة كتل نمط يف يقع أن املفكوك فرصةمن ولكنه صحيح، حدس فعال وهذا صفرا. ستكون األبد إىل أنها مؤكد ولكنالحجة أن ذلك يف الصعوبة دقيقا. لجعله الجهد بعض عىل يحتوي أن شأنهوهنا (النهائية) والالمحدودية (نهائية) املحدودية مفهوم يف اللبس إىل تدعو

نفذناها. فعال وكأننا النهائية عملية نتيجة عن بالكالم ألنفسنا نسمحالقياسية األعداد — املجموعتني كال أن مالحظة عىل يعتمد النقدنقول أن املنطقي من فليس بوضوح، النهائيتان — القياسية غري واألعدادأن منطق عىل تعتمد النتيجة هذه األخرى. من أكرب تكون قد إحداهما إنالجاد. التدقيق عىل تعتمد ال فكرة وهي أساس، نفسها هي املجموعات جميع

60

الكسور حول الحقيقة

الالنهائية للمجموعة الغريبة الطبيعة أن أوضح من أول جاليليو كانتناظر يف وضعهما ويمكن النهائي منهما وكل جزأين إىل تقسيمها يمكناملجموعة من أبعد النظر إىل نحتاج ال فمثال األصلية. املجموعة مع أحاديمجموعة Oو E إىل تجزئتها يمكن هذه {1,2, . . . } الطبيعية لألعداد Nالرغم عىل أنه بمعنى الرتتيب، عىل الفردية األعداد ومجموعة الزوجية األعدادداخل محتواة E فـ ،E من أكرب N النهائية، مجموعات جميعا أنها مناملجموعة عن تختلف الالنهائية املجموعة يجعل ما أن أوضح جاليليو ،Nمثل منها النهائية مجموعات إزالة يمكنه الشخص أن (املحدودة) النهائيةبنفس النهائية. مجموعة زال ما الحالة) هذه يف O) يبقى وما N من Eبعض أخذنا إذا — ذلك تحقق أن يمكن ال النهائية املجموعات الطريقةأصغر ذلك بعد الباقي أن املؤكد فمن نهائية مجموعة من بعيدا األشياءاملجموعة وطبيعة الالنهائية طبيعة بني األسايس الفارق هو هذا األصل. من

النهائية.املجموعات من العمل يف أسهل جعلها يمكن الالنهائية املجموعات عمليا

تركيبها. من الجانب هذا عىل تعودت مادمت النهائيةالالنهائية عن تختلف املجموعات حيث أخرى أساسية طريقة توجدنهاية حتى حقها تأخذ لم أنها ويبدو وضوحا، أقل وهي بعض عن بعضهاقائمة يف كتابتها يمكن الالنهائية املجموعات بعض عرش. الثامن القرن

يمكن. ال والبعضالعد أعداد فصل وهو N وتسمى الطبيعية األعداد مجموعةبعض أن غري الالنهائية. القائمة فكرة تجسد املجموعة هذه .{1,2,3, . . . }واحد إىل واحد تناظر يف توضع أن يمكن األخرى الالنهائية املجموعاتخذ فمثال كذلك. قائمة يف توضع أن يمكن ثم ومن الطبيعية األعداد معالسالبة واألعداد املوجبة األعداد أي الصحيحة، األعداد جميع ،Z املجموعة

الصفر: إىل باإلضافة معا

Z = { . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.

61

للفضوليني الرياضيات

يمكن النهائية مضاعفة قائمة من كنوع طبيعيا إلينا تصل املجموعة هذهكالتايل: بداية نقطة لها قائمة يف ترتيبها إعادة حال أية عىل

Z = 0,1,−1,2,−2,3,−3,4,−4, . . . (2)

كان إذا مرة، من أكثر هنا املستعملة الفكرة نستخدم سوف الحقيقة، يفقائمتان: لدينا

a1, a2, a3, . . . , b1, b2, b3, . . . ,

القائمتني عنارص جميع تحوي واحدة قائمة لتكوين معا إدماجهما نستطيعاألصليتني

a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . . .

قد واحدة. قائمة يف والسالبة املوجبة األعداد بني جمعنا عندما حدث ما هذامجموعة أي أعطيت إذا املؤكد من هنا. حدث مما أكثر يوجد ال أنه تظنمجموعة Q املجموعة مع الحال كيف لكن ما. بشكل قائمة اعتبارها فيمكنلها هل القياسية؟ لألعداد Q الحرف استخدم (ملاذا كلها؟ القياسية األعدادنحتاج ولكن كذلك يكون قد الحقيقة يف .(quotient «القسمة» بكلمة عالقةأوال أريد لحظة، بعد أصعب مشكلة إىل ننظر سوف مهارة. أكثر تكون أن

املحتمل. االلتباس مصدر إزالةحجة إن حيث من سابقا، أثرته ما عىل بشدة يعرتض قد القارئقد وكأننا الالنهائية العملية عن الواهن الحديث عىل تحتوي السابقة اإلدماجأن — مثال — لتوضيح رضورية ليست هذه النظر وجهة كاملة. فعال نفذناهانعني ماذا بوضوح قدمنا مادمنا قائمة، تكون الصحيحة األعداد مجموعةقاعدة توجد n عدد لكل أن هنا بها أعني L النهائية قائمة تكون بذلك.الصحيحة، األعداد لكل قائمة هي L أن أدعي عندما .L يف النوني الحد لتعينيعىل أخرى، بكلمات .k تظهر حيث املكان إيجاد يمكن k عدد ألي بمعنى

62

الكسور حول الحقيقة

الصحيحة، األعداد جميع تظهر حتى األبد إىل ننتظر قد أننا من الرغمحتى مسمى عدد ألي الخطوات من محدود لعدد ننتظر أن فقط عليناالقائمة يف النوني العنرص لتحديد قاعدة أبدا أعط لم أنني صحيح يظهر.البسيط النمط معرفة يف القراء عىل اعتمدت لكني رصاحة، السابقة (2)الكتابة مواصلة من تتمكن أن رشيطة ذلك يف حرج ال تكوينها. يف املستخدمحال، أية عىل خداع. بها وليس غامضة ليست بطريقة القائمة هذه من أكثرالسادس هو 3 العدد فمثال القائمة يف 2n املكان يحتل n املوجب العددفمثال (2n + 1) رتبته الذي املكان يشغل −n السالب والعدد القائمة يفأننا نرى ولهذا األوىل، املرتبة يف والصفر السابع املكان يف موجودة −3

موجودة فكلها قائمتنا، يف صحيح عدد لكل الدقة وجه عىل املكان نعرفومحسوبة.

صفر بني القياسية األعداد بجميع قائمة كتابة مشكلة اآلن لنختربأنه بمعنى كثيفة، القياسية األعداد ألن صعبة مهمة تبدو هذه وواحد.بالضبط يقع لهما املتوسط فمثال آخر، عدد يوجد منها عددين أي بنيصعوبة أي تشكل ال حال أية عىل هذه بينهما. الطريق منتصف يفتناقص، أو تزايد نظام يف أعدادنا نكتب أن عىل ترص ال مادمت حقيقةاألعداد (أي أوال واحد مقامها التي القياسية األعداد قائمة نكتب ببساطة3 مقامها التي ثم 2 مقامها التي األعداد جميع ثم (1 = 1

و1 0 = 01

وهكذا:

0,1,12,13,23,14,34,15,25,35,45, . . .

األعداد من محدود كبري عدد وأبدا دائما يوجد أنه األساسية املالحظةفال املقام هو n كانت (إذا بعينه مقام لها وواحد صفر بني القياسيةيعطي سوف الطريقة بهذه قائمة بناء ثم ومن منها) n من أكثر يوجدأي يهرب لن وواحد، صفر بني القياسية األعداد كل املطاف نهاية يف

منها.

63

للفضوليني الرياضيات

صفر بني القائمة هذه أعضاء جميع أخذنا إذا أخرى. خدعة تأتي اآلنالقياسية األعداد جميع عىل نحصل فسوف منها واحد كل قلبنا ثم وواحد

الواحد: من األكرب

21,31,32,41,43,51,52,53,54, . . .

بني تقع األوىل القائمة يف الكسور جميع وألن قليال. التفكري يتطلب هذاmn كان إذا ذلك عىل عالوة الواحد. من أكرب تكون معكوساتها فإن و1، 0

يقع أي الواحد، من أصغر قياس عدد nm فإن الواحد من أكرب قياس عدد

املناظر املكان يف سيقع mn معكوسه ثم ومن األوىل، قائمتنا يف ما بمكان

كما املعكوسة القائمة يف التاسع املكان يف يقع 54 فمثال الثانية. القائمة من

يفقد ال أخرى مرة .(12 بـ تبدأ (التي الكسور قائمة يف التاسع هو 4

5 أناألعداد أن يبدو ألنه صحيحة لتكون ا جد جيدة تبدو هذه قياسا. عدد أي

و1. 0 بني منها أكثر الواحد من أكرب القياسيةغريبة. تكون أن يمكن النهائية املجموعات قلت كما لكن

بني القياسية األعداد قوائم: يف وضعهما يمكن مجموعتان لدينا اآلنالتي اإلدماج حجة باستخدام الواحد. من أكرب القياسية واألعداد و1 0

قائمة يف تكتب أن يمكن الصحيحة األعداد أن إلثبات سابقا استخدمناهاأن عىل يدل مما واحدة، قائمة يف املجموعتني هاتني بني الجمع فيمكننا

قائمة. تكون أن يمكن أعىل إىل الصفر من بدءا القياسية األعدادالقياسية األعداد جميع من قائمة نكون أن يمكننا الطريقة، بنفس أخريااألعداد قائمة مع القائمة هذه جمع يمكننا أخرى مرة باإلدماج ثم السالبة،القياسية. األعداد كل عىل تحتوي واحدة قائمة لتنتج السالبة، غري القياسيةسوف قائمتنا: يف األوىل القياسية األعداد من دستتني كتابة فعال يمكنناللحفاظ الفوىض. لتقليل «1» املقام دون الصحيحة القياسية األعداد نكتببالصفر نبدأ قليل: باختالف األشياء نرتب سوف تماثال، أكثر العرض عىلهي L2 لتكن و«1»، «0» بني القياسية لألعداد األوىل القائمة هي L1 ولتكن

64

الكسور حول الحقيقة

سالب هي L4 وكذلك ،L1 يف األعداد سالب هي L3و ،L1 يف األعداد معكوسالتايل: النحو عىل Q العظمى قائمتنا تعطي اإلدماج عملية .L2 يف األعداد

0,1,− 1,2,−2,12,−1

2,3,−3,

13,−1

3,32,−3

2,23,−2

3,4,

− 4,14,−1

4,43,−4

3,34,−3

4,5,−5,

15,−1

5,52,−5

2,25,

− 25,53,−5

3,35,−3

5,54,−5

4,45,−4

5, . . .

هذه من آخر عدد إىل القائمة هذه مد يف كبرية مشقة يجدوا أال يجب القراءالحدود.

بعدها وما نهاية ال ما إىل

تحضنا Toy Story لعبة قصة األطفال فيلم يف Buzz Light Year شخصيةعلماء قلب عىل ا جد العزيز اليشء هي بعدها، وما نهاية ال ما إىل السفر عىللدينا واآلن الزمان، من قرن من ألكثر عملهم اتخذوها الذين الرياضيات

إليها. الوصول عند نتوقع عما وجميلة جيدة فكرةكتابتها يمكن التي األعداد من الكبرية املجموعات من الكثري يوجداملجموعات هذه إحدى السابق. البند يف وصفناها التي بالطريقة قائمة يفهي األعداد هذه الجربية. األعداد جميع فصل مجموعة هي Q تحتوي التيمثل معادلة أن (أي صحيحة معامالت لها حدود كثرية معادالت حلولأعداد هي x قوى يف املرضوبة األعداد حيث ،6x3 + 5x2 + 8x + 1 = 0

ومن ،bx − a = 0 بسيطة ملعادلة حل هو ab قياس عدد كل صحيحة).

للمعادلة حل هو الذي √2 العدد عىل ينطبق اليشء نفس جربي. فهو ثمألنه 2 للعدد التكعيبي الجذر أي 21/3 بالنسبة اليشء ونفس ،x2 − 2 = 0

يسمى غامض ما بشكل هو الجربي غري العدد .x3 − 2 = 0 للمعادلة حلمن بالرغم تماما نادرة ليست املتسامية األعداد حاال، سنرى كما متساميا.

عادي. غري بشكل صعب هو متسام ما عددا أن إثبات أن

65

للفضوليني الرياضيات

أن من (بالرغم متسام عدد هو سابقا قدم الذي b القيايس غري العددعددا ليست π أن إثبات .π العدد وكذلك واضحا) يكون أن عن أبعد هذاونتيجة ،Lindemann ليندمان بواسطة عرش التاسع القرن يف كان جربيارسم املستحيل فمن دائرة أعطيت إذا بمعنى الدائرة، تربيع استحالة لذلكاملعطاة. الدائرة مساحة نفس له وفرجار، مستقيمة حافة باستخدام مربعهو الدائرة تربيع جربية. أعداد هي املشيدة األعداد أن يف تكمن الصعوبةالعدد تشييد فيمكنك √π تشييد أمكنك إذا √π لتشييد تحد الواقع يف

متسام. عدد تشييد املستحيل من لكن ،π املتساميعدد هو ،21/3 باألخص مشيدة. الجربية األعداد جميع ليست إنه حتىهل مكعبا أعطيت إذا آخر: كالسيكيا سؤاال يضع وهذا مشيد غري جربياألصيل؟ املكعب حجم ضعف بالضبط له آخر مكعب (بناء) تشييد يمكنكيبعد حتى الرب حددها التي «املهمة الشهرية: Delian ديالن مشكلة هذه

أثينا.» عن الطاعونتقسيم أي الزاوية تثليث مهمة هو الكالسيكية الثالث املشاكل هذه آخرللغاية بسيط 60◦ زاوية بناء أن فمع متساوية، أجزاء ثالثة إىل الزاويةاإلجابة تمت ثم ومن .20◦ زاوية مع ذلك فعل املستحيل فمن الشكل بهذاهذه وضع من سنة ٢٢٠٠ من أكثر بعد بالنفي الثالثة املسائل هذه عن

األسئلة.االعتقاد ويرفضون مستحيل كلمة من باإلهانة يشعرون الناس من كثريأقل جعلها يمكن سابقا املذكورة االدعاءات يحتويها. علمي ترصيح أي يفبها تتمتع ال خاصة خواص لها املشيدة األعداد أن تبني كالتايل: استفزازاإىل تفتقر التي 21/3 الخاصة الحالة يف تحقيقها ونستطيع األعداد، جميعجرأة بنفس مؤثرا يكون الخفيف النص هذا الخواص. هذه من واحدة

الحجم. يف املكعب ضعف بناء املستحيل من أنه الزعميف القياسية األعداد مجموعة كتبنا فإننا الراهنة، تحقيقاتنا إىل بالعودةمن أنه اآلن نثبت سوف تكرار. عرشي مفكوك لها التي األعداد أي: قائمة،املفكوكات جميع — الحقيقة األعداد لجميع مماثلة قائمة عمل املستحيل

66

الكسور حول الحقيقة

توجد ال أنه نعرف كيف ذلك. يف رغبت إذا و1. 0 بني لألعداد العرشيةجورج ألن نعلم فيها؟ نفكر لم ببساطة الطريقة هذه ذلك، لفعل طريقةطريقته استحدث عرش، التاسع القرن نهاية يف Georg Cantor كانتورمكونات كل مستحيل. األمر هذا أن إلثبات القطرية الحجة تسمى التيبالنسبة أنه لحظة ويف أكثر بعناية وأوضح املالحظة. هي الطريقة هذهاملمكن من مثال) و1 0 (بني العرشية الكسور من L النهائية قائمة أليموجود غري و1 0 بني آخر عرشي كرس لتشييد القائمة نفس استخدامأنه حاال ذلك من ينتج لكن تماما مؤذ غري يبدو هذا .L األصلية بالقائمة

و1. 0 بني حقيقي عدد كل تحوي قائمة توجد الكل ،L قائمتك لديك أن بغرض مشابهة. بطريقة تجري نفسها الحجةيف L القائمة يف األول العدد عن يختلف a عدد كتابة هو إليه نحتاج ماالعرشي املكان يف القائمة يف الثاني العدد عن ويختلف األول، العرشي املكان.n رقم العرشي املكان يف n ترتيبه الذي العدد يختلف … وهكذا الثاني،كل أن تخيلت إذا القائمة. يف عدد كل عن يختلف تكون الذي العدد هذاa العدد فسنبني اآلخر، بعد واحدا L القائمة يف تعرض العرشية األعدادأن وتتأكد يمني أسفل إىل اليسار أعىل من العرض قائمة قطر إىل بالنظرالعمود يف يقع الذي املكان عند املنظومة يف النوني السطر عن تختلف a

النوني.للعد، قابلة غري تسمى قائمة يف كتابتها يمكن ال التي املجموعاتمن (بالرغم للعد قابلة تسمى قائمة يف كتابتها يمكن التي واملجموعاتأنه الواضح من القياسية). األعداد مجموعة مثل النهائية تكون قد كونهاداخلها، محتواة B مجموعة أي فكذلك للعد، قابلة A املجموعة كانت إذاونكون B عنارص خاللها ونقرأ A قائمة فقط تحتاج B قائمة لكتابة ألنأي فإن للعد قابلة غري مجموعة S كانت إذا ثم ومن .B للمجموعة قائمةفإن للعد قابلة T كانت إذا (ألنه أيضا للعد قابلة غري S تحتوي T مجموعةالحقيقية األعداد مجموعة ألن ثم ومن السابقة) الحجة من كذلك ستكون S

األعداد كل مجموعة R املجموعة فإن للعد قابلة غري أنها ثبت و1 0 بني

67

للفضوليني الرياضيات

لألعداد Q املجموعة أن من بالرغم للعد قابلة غري أيضا تكون الحقيقيةاألعداد مجموعة أن نوعية بطريقة اكتشفنا فقد ولهذا للعد. قابلة القياسية

القياسية. األعداد مجموعة من أكرب العرشيةالجربية األعداد كل مجموعة أن حقيقة من ينتج أنه: إضافة ممكنمجموعة إثبات من قليال أصعب ولكنه هنا ذلك تثبت (ولم للعد قابلة Aقابلة غري T املتسامية األعداد كل مجموعة أن للعد) قابلة القياسية األعدادقابلة ستكون Tو A من املكونة فاملجموعة للعد قابلة T كانت (إذا للعد.غري أنها املعروف الحقيقة األعداد هو اتحادهما أن يناقض وهذا للعد،قابلة غري مجموعة T أن توضح ألنها للغاية هامة نتيجة هذه للعد.) قابلةأخرى، بكلمات عنارصها. من أي معرفة دون النهائية) األخص (وعىل للعدمعرفة دون للعد القابلة غري املتسامية األعداد من كثري وجود معرفة يمكننا

منها. عنرص أي هوية

68