Teorija elementarnih cesticaqtpcenter.ff.bg.ac.rs/voja/TEC024_03_15.pdfBustovi i rotacije zadovoljavaju uslov (1.1.5) i cine prave ortohrone Lorencove transformacije. 1.1.1 Osobine

Teorija elementarnih cestica

Voja Radovanovic i Marija Dimitrijevic Ciric

Beograd, 2018.

2

Sadrzaj

1 Prostorno-vremenske simetrije 71.1 Lorencova grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Osobine Lorencove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 Klasifikacija ireducibilnih reprezentacija Lorencove grupe 131.1.3 Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove transfor-

macije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4 Vignerov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Unutrasnje simetrije i kvark model 312.1 Klasifikacija interakcija i cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 SU(2) i izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Slaganje izospina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 Vigner-Ekartova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Dodatni kvantni brojevi i zakoni odrzanja . . . . . . . . . . . 422.5 Osmostruko svrstavanje hadrona . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 SU(3) simetrija hadrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 SU(n) tenzori i Jangove seme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Kvark model u okviru SU(3) grupe simetrije . . . . . . . . . . 562.9 Kvark model i SU(6) grupa simetrije . . . . . . . . . . . . . . 642.10 Boja kao novi kvantni broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.11 Sta su elementarne cestice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Klasicna teorija polja 733.1 Ojler-Lagranzeve jednacine kretanja . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Hamiltonova formulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3

4 SADRZAJ

3.3 Neterina teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.1 Fazna invarijantnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3.2 Primer neabelove simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.3 Translaciona invarijantnost i tenzor energije impulsa . 873.3.4 Lorencova simetrija i ugaoni moment . . . . . . . . . . 88

3.4 *Neterina teorema u analitickoj mehanici . . . . . . . . . . . . 89Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 Gradijentna simetrija 954.1 Cestica u elektromagnetnom polju, lokalna simetrija . . . . . . 954.2 Lokalna U(1) simetrija u Kvantnoj elektrodinamici . . . . . . 974.3 Neabelova gradijentna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4 Proizvoljna neabelova gradijentna teorija . . . . . . . . . . . . 105Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 Spontano narusenje simetrije 1115.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Spontano narusenje diskretne simetrije . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Spontano narusenje globalne simetrije . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Goldstonova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.5 BEH mehanizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6 Standardni model elektroslabih interakcija 1276.1 Istorijski pregled teorije slabe interakcije . . . . . . . . . . . . 1276.2 Elektroslaba interakcija leptona . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2.1 Higsov mehanizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.2 Interakcija leptona sa gauge poljima . . . . . . . . . . 1376.2.3 Mase leptona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2.4 Rezime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.3 Elektroslaba interakcija kvarkova . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3.1 Lagranzijan kvarkova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3.2 Mase kvarkova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3.3 Naelektrisana kvark struja . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3.4 Neutralna i elektromagnetna kvarkovska struja . . . . . 151

6.4 Lagranzijan standardnog modela: rezime . . . . . . . . . . . . 1536.5 Raspadi i neki procesi u standardnom modelu . . . . . . . . . 154

6.5.1 W± i Z0 bozoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

SADRZAJ 5

6.5.2 Higsov bozon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Kvantna hromodinamika 161

8 Velike ujedinjene teorije: SU(5) model 169

A Teorija grupa-kratak kurs 171

B Vajlovi spinori 173B.1 Vajlove jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173B.2 Levi Vajlovi spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174B.3 Desni Vajlovi spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

C Maseno vektorsko polje 179C.1 Dejstvo i jednacina kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179C.2 Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6 SADRZAJ

1

Prostorno-vremenske simetrije

Specijalna teorija relativnosti (STR) je formulisana 1905. godine. Zasno-vana je na dva postulata. Prvi postulat je da su fizicki zakoni isti u sviminercijalnim referentnim sistemima. Drugi postulat je da je brzina svetlostiu vakuumu konstantna i jednaka c = 3 × 108m/s u svim inercijalnim refer-entnim sistemima. Jedna od posledica ovih postulata je uvodjenje prostoraMinkovskog, kao cetvorodimenzionog prostora u kome su koordinate vreme itri prostorne koordinate. Vreme, koje je bilo izdvojeno u Njutnovoj mehaniciu odnosu na prostorne koordinate, se u okviru STR tretira potpuno ravno-pravno sa ostalim koordinatama. To dovodi do novih (neocekivanih) fenom-ena kao sto su kontrakcija duzina i dilatacija vremena i njihove posledice.U ovoj glavi cemo detaljno prouciti prostor Minkovskog, njegove izometrije:Lorencovu (H. Lorentz) i Poenkareovu (H. Poencare) grupu i njihove osobine.Posebnu poznju cemo obratiti na klasifikaciju ireducibilnih reprezentacija ovedve grupe, jer ce na to biti jako bitno u konstrukciji razlicitih teorija polja.

1.1 Lorencova grupa

Prostor Minkovskog je realan cetvorodimenzionalan prostor. Cetvorovektorpolozaja u prostoru Minkovskog je

x = xµeµ =

x0

x1

x2

x3

=

ctxyz

,

7

8 1. PROSTORNO-VREMENSKE SIMETRIJE

gde su xµ kontravarijantne komponente vektora x u bazi

e0 =

1000

, e1 =

0100

, e2 =

0010

, e3 =

0001

.

Skalarni proizvod vektora je definisan uvodjenjem metrickog tenzora

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

Koristeci metricki tenzor, duzina cetvorovektora x/mu se moze izracunatikao x2 = gµνx

µxν .Lorencove transformacije su definisane kao transofmacije koodrinata x′µ =

Λµνx

ν koje ne menjaju duzinu cetvorovektora, tj. x′2 = x2. Iz ovog uslovasledi

ΛTgΛ = g . (1.1.1)

Lorencove transformacije cine grupuO(1, 3,R). Da bismo ovo pokazali potrebnoja da proverimo da su svi aksiomi grupe zadovoljeni.

1. Neka su Λ1 i Λ2 Lorencove transformacije. Primenimo prvo transfor-maciju Λ1, a zatim Λ2. Vektor koordinate xµ posle prve Lorencovetransformacije prelazi u x′µ = (Λ1)µνx

ν . Ako sada primenimo transfor-maciju Λ2, dobicemo

x′′µ = (Λ2)µνx′ν = (Λ2)µν(Λ1)νρx

ρ .

Sada cemo pokazati da je Λ2Λ1 Lorencova transformacija. To se vididirektno:

(Λ2Λ1)Tg(Λ2Λ1) = ΛT1 (ΛT

2 gΛ2)Λ1 = ΛT1 gΛ1 = g .

Ovim smo pokazali zatvorenostost.

2. Jedinicni element grupe je jedinicna matrica.

3. Mnozenje matrica je asocijativno, pa asocijativnost vazi i za Lorencovetransformacije.

1.1. LORENCOVA GRUPA 9

4. Iz (1.1.1) sledi da je inverzni element Λ−1 = g−1ΛTg. On je takodjeLorencova transformacija jer je

(Λ−1)TgΛ−1 = g .

Ovim smo pokazali da Lorencove transformacije cine grupu.Uslov (1.1.1) u komponentnoj notaciji ima oblik

ΛµρgµνΛ

νσ = gρσ . (1.1.2)

Za ρ = σ = 0 iz ove jednacine sledi

Λµ0gµνΛ

ν0 = 1 ,

odnosno (Λ0

0

)2 −3∑i=1

(Λi

0

)2= 1 .

Zakljucujemo je (Λ00)

2 ≥ 1, odnosno

Λ00 ≥ 1 ili Λ0

0 ≤ −1 . (1.1.3)

Ukoliko je Λ00 ≥ 1, ovakve Lorencove transformacije ne menjaju smer vre-

mena i nazivaju se ortohronim Lorencovim transformacijama. Transformacijeza koje je Λ0

0 ≤ −1 menjaju smer vremena.Racunajuci determinantu izraza (1.1.1), dobijamo

det Λ = ±1 . (1.1.4)

Determinanta Lorencovih transformacija je dakle 1 (prave Lorencove trans-formacije), ili −1.

Vidimo da se Lorencova grupa sastoji iz cetiri nepovezana dela (koseta).Od toga su samo prave ortohrone Lorencove transformacije

det Λ = 1, Λ00 ≥ 1 . (1.1.5)

podgrupa cele grupe, jer samo one sadrze jedinicni element. Ostala tri kosetadobijamo mnozenjem sa prostornom inverzijom (P-koset), vremenskom in-verzijom (T-koset) i prostornom i vremenskom inverzijom (PT koset). Pros-torna i vremenska inverzija su date matricama

Ip =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, It =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (1.1.6)

Ovo je sumirano u sledecoj tabeli:


det Λ Λ00 Oznaka Naziv

+1 ≥ 1 L↑+ Prave ortohrone

+1 ≤ −1 L↓+ PT koset

−1 ≥ 1 L↑− P koset

−1 ≤ −1 L↓− T koset

Pod relativistickom kovarijantnoscu neke teorije podrazumeva se njenakovarijantnost ne na celu Lorencovu grupu, vec samo na prave ortohroneLorencove transformacije L↑+. Bustovi i rotacije zadovoljavaju uslov (1.1.5) icine prave ortohrone Lorencove transformacije.

1.1.1 Osobine Lorencove grupe

Sumirajmo sada osobine Lorencove grupe.

• Lorencova grupa je nepovezana, sastoji se od cetiri disjunktna pod-skupa, u zavisnosti od det Λ = ±1 i vrednosti Λ0

0. Nije moguceneprekidnom transformacijom preci iz jedne komponente u drugu. Trans-formacije za koje je det Λ = 1 cine podgrupu SO(1, 3, R).

• Prave ortohrone Lorencove transformacije, L↑+ takodje cine podgrupu.Ona je invarijantna podgrupa1, dok su druge komponente koseti.

• Prave orthorone Lorencove transformacije L↑+ se sastoje od rotacija ibustova. Rotacije su

Λ =

(1 00 R~n(ϕ)

), R~n(ϕ) ∈ SO(3) .

Rotacije su podgrupa Lorencove grupe. Matrica busta duz x− ose je

Λµν =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

.

1Za podgrupu H grupe G kazemo da je invarijantna, ako

(∀g ∈ G) gHg−1 = H .

Ako grupa sem trivijalnih (same sebe i jedinicnog elementa) ne sadrzi druge invarijantnepodgrupe ona se naziva prostom. Ukoliko ni jedna invarijantna podgrupa nije Abelovagrupa je poluprosta.


• Elementi iz L↑+ u okolini jedinice su Λµν = δµν+ωµν ∈ L↑+. Iz ΛTgΛ = g

sledi ωµν = −ωνµ, to jest grupa L↑+ ima sest nezavisnih parametara.Moze se pokazati da je ona Lijeva grupa.

• L↑+ je nekompaktna grupa. Naime, prostor parametara bustova jenekompaktan 0 ≤ v < c, to jest ne sadrzi limes v → c.

• L↑+ je dvostruko povezana. Prostor paramatara bustova je prosto povezan.Za rotacije to medjutim nije slucaj.

Grupu rotacija, SO(3), cine 3× 3 matrice R koje zadovoljavaju usloveRTR = 1 i detR = +1. SO(3) je podgrupa Lorencove grupe. Proizvoljnarotacija

Rij(ϕ,n) = cosϕδij + (1− cosϕ)ninj − sinϕεijknk

je zadata uglom rotacije ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π i ortom n oko koga je izvrsenarotacija. Rotaciona grupa je troparametarska. Prostor parametaraSO(3) grupe je π−kugla. To je kugla poluprecnika π kod koje suantipodi identifikovani. Ova identifikacija je posledica cinjenice da surotacija oko ose n za ugao π i rotacija oko ose −n za ugao −π jednake.

Zbog ove identifikacije, postoje dve klase puteva:


O

slika 1 slika 2

Put prikazan na slici 1 moze biti kontrakovan u tacku neprekidnomtransformacijom, dok put prikazan na slici 2 ne moze. Dakle, prvafundamentalna grupa SO(3) grupe je π1(SO(3)) = Z2. Elementi Z2

su g, g2 = e, gde je e jedinicni element grupe. Moze se pokazatida za svaku visestruko povezanu grupu G postoji jedna grupa G kojaje prosto povezana, homomorfna2 sa G i ne sadrzi nijednu podgrupukoja je homomorfna sa G. Ona se naziva univerzalno natkrivajucomgrupom. Univerzalna natkrivajuca grupa za grupu SO(3) je SU(2), tj.SO(3) = SU(2).

Grupe SU(2) i SO(3) su homomorfne. Prostor parametara grupeSU(2) je trosfera, S3 i prosto je povezan. Ireducibilne reprezentacijeuniverzalno natkrivajuce grupe su jednoznacne, dok su ireducibilnereprezentacije SO(3) dvoznacne ili jednoznacne.

Univerzalno natrivajuca grupa grupe L↑+ je SL(2,C). To je grupa 2 × 2kompleksnih matrica, cija je determinanta jednaka 1. Razmotrimo detaljnijevezu izmedju ove dve grupe.

Cetvorovektoru xµ pridruzicemo hermitsku matricu X = xµσµ gde je

σµ = (1, σ) i matrice σ = (σ1, σ2, σ3) su Paulijeve matrice. Uvescemo imatrice σµ = (1,−σ). Matrice σµ su normalizovane prema Tr(σµσν) = 2gµν .Matrica X je definisana kao

X = xµσµ = X† =

(x0 + x3 x1 − ix2

x1 + ix2 x0 − x3

). (1.1.7)

Mnozeci X = xµσµ sa σν i uzimanjem traga dobijamo inverznu relaciju

xµ =1

2Tr(Xσµ). (1.1.8)

2Dve grupe G i G′ su homomorfne ako postoji preslikavanje svakog elementa grupe Gu element iz G′ koje cuva mnozenje u grupi.


Lako se vidi da je detX = x2. Transformacije oblika

X → X ′ = SXS†

gde je S ∈ SL(2,C) ne menjaju determinantu matrice X, to jest detX ′ =detX. Zakljucujemo da one onda ne menjaju duzinu cetvorovektora xµ, x′2 =x2, to jest one odgovaraju Lorencovim transformacijama cetvoro vektora xµ.Nadjimo eksplicitno vezu izmedju elemanata Λ iz L↑+ i S iz SL(2,C). IzX ′ = x′µσ

µ sledi

x′µ =1

2Tr(σµX ′)

=1

2Tr(σµSσνS

†)xν= Λµ

νxν , (1.1.9)

to jest

Λµν =

1

2Tr(σµSσνS

†) . (1.1.10)

Lako se pokazuje da vazi

S(Λ1)S(Λ2) = S(Λ1Λ2),

pa zakljucujemo da je ovo preslikavanje homomorfizam. Medjutim, ovo pres-likavanje i 2 − 1 preslikavanje: Lorencovoj transformaciji Λ odgovaraju dvematrice ±S is SL(2,C).

.

Zakljucujemo da su grupe L↑+ i SL(2,C) homomorfne, a grupa L↑+ je izomorfnafaktor grupi SL(2,C)/Z2, gde je Z2 = I,−I je kernel izomorfizma.

1.1.2 Klasifikacija ireducibilnih reprezentacija Loren-cove grupe

Kao fizicare, nas zanima kalsifikacija ireducibilnih (IR) reprezentacija Loren-cove grupe, to jest njene univerzalno natkrivajuce grupe SL(2,C). Podse-timo se da se IR reprezentacije mogu klasifikovati koristeci Kazimirove opera-tore. Kazimirovi operatori su operatori koji komutiraju sa svim generatorima


grupe, pa se prema Surovoj lemi u pojedinim IR reprezentacijama svode nabrojeve. Ti brojevi se onda koriste za obelezavanje IR reprezentacija. Dabi odredili Kazimirove operatore za Lorencovu grupu, prvo moramo odreditialgebru Lorencove grupe. To mozemo uraditi na dva nacina.

Prvi nacin koristi reprezentaciju klasicnog skalarnog polja. Klasicno sklarnopolje se pri Lorencovim transformacijama transformise na sledeci nacin

ϕ′(x′ = x+ δx) = ϕ(x) .

Varijacija forme polja je onda

δ0ϕ(x) = ϕ′(x)− ϕ(x) = ϕ(x− δx)− ϕ(x) = −δxµ∂µϕ

odnosno

δ0ϕ(x) = −ωµνxν∂µϕ = −1

2ωµν(xν∂µ − xµ∂ν)ϕ .

Sa druge strane znamo da se klasicno polje Φ pri Lorencovim transformaci-jama transformisu na sledeci nacin

Φ′(x) = e−i2ωµνMµνΦ(x), (1.1.11)

gde je Mµν = Lµν + Σµν suma orbitalnog i spinskog dela generatora. Uslucaju sklarnog polja Σµν = 0, pa je Mµν = Lµν . Onda je

δ0ϕ(x) = − i2ωµνMµνϕ,

odakle nalazimoMµν = i(xµ∂ν − xν∂µ) . (1.1.12)

Ovo su generatori Lorencove grupe u reprezentaciji klasicnog skalarnog polja.Reprezentovali smo ih diferencijalnim operatorima. Izracunajmo sada komu-tator izmedju dva generatora:

[Mµν ,Mρσ] = i2 [xµ∂ν − xν∂µ, xρ∂σ − xσ∂ρ] .

Lako se vidi da je

[xµ∂ν , xρ∂σ] = gνρxµ∂σ − gσµxρ∂ν ,

pa je

[Mµν ,Mρσ] = i (gσµMνρ + gρνMµσ − gρµMνσ − gσνMµρ) . (1.1.13)


Ovo su komutacione relacije Lorencove algebre.Komutator izmedju dva generator Lorencove grupe smo nasli u konkret-

noj reprezentaciji. Izracunajmo ga sada u proizvoljnoj reprezentaciji. Ele-ment iz L↑+ ima oblik

U(Λ) = e−i2Mµνωµν ,

gde je U(Λ) element Lorencove grupe, aMµν su generatori u nekoj reprezentaciji.Kako se radi o reprezentaciji to mora vaziti

U−1(Λ)U(Λ′)U(Λ) = U(Λ−1Λ′Λ) .

Uzmimo da je transformacija Λ′ = I + ω′ infinitezimalna. Onda je

Λ′′µν(Λ

−1Λ′Λ)µν = (Λ−1)µρ (δρσ + ω′ρσ) Λσν

= δµν + (Λ−1)µρΛσνω′ρσ = δµν + ω

′′µν ,

pa imamo

U−1(Λ)

(1− i

2Mρσω′ρσ

)U(Λ) = I − i

2(Λ−1)µαΛσ

νω′ρσg

ραMλνgµλ

U−1(Λ)MρσU(Λ) = gραΛ−1)µαgµλΛσνM

λν

= ΛρµΛσ

νMµν . (1.1.14)

U poslednjem redu smo koristili osobinu Lorencove grupe (1.1.2). Vidi se daje operator Mρσ tenzor drugog reda u odnosu na Lorencove transformacije.Sada cemo uzeti da je transformacija Λ infinitezimalna(

1 +i

2ωµνM

µν

)Mρσ

(1− i

2ωµνM

µν

)= Λρ

µΛσνM

µν

= (δρµ + ωρµ) (δσν + ωσν)Mµν

= Mρσ + ωσνMρν + ωρµM

µσ ,

pa je

i

2ωµν [Mµν ,Mρσ] = ωµνM

ρνgσµ + ωµνMνσgρµ

=1

2(Mρνgσµ +Mνσgρµ −Mρµgσν −Mµσgρν)ωµν .

Dakle

[Mµν ,Mρσ] = i (gσµMνρ + gρνMµσ − gρµMνσ − gσνMµρ) , (1.1.15)


dobili smo komutacione relacije Lorencove algebre u proizvoljnoj reprezentaciji.Definisimo nove generatore

Ji =1

2εijkMjk, Ki = M0i ; (1.1.16)

Ji su generatori rotacija, a Ki bustova. Ako dalje definisemo operatore

Mi =1

2(Ji + iKi) , Ni =

1

2(Ji − iKi) (1.1.17)

komutacione relacije (1.1.15) postaju

[Mi,Mj] = iεijkMk [Ni, Nj] = iεijkNk [Mi, Nj] = 0. (1.1.18)

Dobili smo (pomalo nelegalno jer smo napravili kompleksne kombinacije gen-eratora, tj. kompleksifikovali smo algebru) dve su(2) algebre tj.

so(1, 3)C ∼= su(2)⊕ su(2) .

Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe klasifikovacemo preko Kazimirovihoperatora

M2 =3∑i=1

(Mi)2 ,

N2 =3∑i=1

(Ni)2 . (1.1.19)

koji poticu od ove dve SU(2) grupe. One daju kvantne brojeve j1, j2, tj.Kazimirovi operatori se svode na brojeve:

M2 → j1(j1 + 1)

N2 → j2(j2 + 1) . (1.1.20)

Ireducibilne reprezentacije Lorencove grupe indeksiramo sa (j1, j2).Pri Lorensovim transformacijama klasicna polja ϕr(x) transformisu se

premaϕ′r(x

′ = Λx) = Srsϕs(x) . (1.1.21)

Njihovi pandani, kvantna polja φr(x) se pri Lorentz-ovim transformacijamatransformisu prema

U(Λ)φr(x)U−1(Λ) = S−1rs (Λ)φs(Λx) .

Za skalarno polje S = I, za Dirakovo S(Λ) = e−iωµνσµν/4, dok je za vektorsko

S = Λµν . Polja se transformisu po reprezentacijama Lorencove grupe:


• (0, 0) skalarno polje

• (12, 0)⊕ (0, 1

2) Dirakovo polje

• (12, 1

2) elektromagnetno polje

• (12, 0) levo Vajlovo polje

• (0, 12) desno Vajlovo polje.

Ireducibilne rerezentacije za koje je j1 + j2 ceo broj su jednoznacne, dok suone za koje je to poluceo broj dvoznacne.Stanja unutar ireducibilne reprezentacije (j1, j2) klasifikujemo preko (j1)3 =−j1, j1−1, . . . , j1 i (j2)3 = −j2, j2−1, . . . , j2. Dimenzija reprezentacije (j1, j2)je (2j1 + 1)(2j2 + 1); ove reprezentacije nisu unitarne jer je, L↑+ nekompaktnagrupa.

Iz (1.1.18) se vidi da je maksimalan broj komutirajucih generatora 2 teje rang Lorencove algebre 2.

1.1.3 Poenkareova grupa - nehomogene Lorencove trans-formacije

Poenkareove transformacije su izometrije prostora Minkovskog i sastoje seod Lorencovih transformacija i translacija

x′µ = (Λ, a)xµ = Λµνx

ν + aµ ,

tako da je (Λ, a) ∈ P . Lako se vidi da je

(Λ, a) = (I, a)(Λ, 0) ,

gde je (I, a) translacija a (Λ, 0) Lorencova transformacija.Poenkareova grupa P je desetoparametarska Lijeva grupa. Lorencove trans-formacije (Λ, 0) su podgrupa Poenkareove grupe. Translacije T4 (tj. (1, a))su invarijantna Abelova podgrupa, pa je Poenkareova grupa semidirektniproizvod P = T4 ∧ O(1, 3, R). Poenkareova grupa kao i Lorencova se sastojiod cetiri disjunkntne komponente P ↑+, P

↓+, P

↑−, P

↓−. Topoloske osobine P ↑+:

1. nekompaktna jer su L↑+ i T4 nekompaktne;

2. dvostruko povezana;


3. niti prosta niti poluprosta.

Pri infinitezimalnim Poenkareovim transformacijama koordinate se trans-formisu prema

x′µ = xµ + δxµ = xµ + ωµνxν + εµ , (1.1.1)

gde su ωµν parametri Lorencovih transformacija, a εµ parametri translacija.

Proizvoljan element iz P ↑+ je U(ω, ε) = eiεµPµ− i

2Mµνωµν . Generator translacija

je cetvoroimpuls P µ, a Lorencovih transformacija Mµν . Nadjimo sada ko-mutacione relacije u Poenkareovoj algebri. Odredimo generatore translacija ureprezentaciji klasicnog skalarnog polja. Varijacija forme klasicnog skalarnogpolja pri translaciji je

δ0φ = −δxµ∂µφ (1.1.2)

= −εµ∂µφ (1.1.3)

= iεµPµφ (1.1.4)

Dakle, cetvoroimpuls je

P µ = i∂µ = (i∂

∂t,−i∇) .

Koristeci (1.1.12) lako se nalazi algebra Poenkareove grupe:

[Pµ, Pν ] = 0

[Mρσ, Pµ] = [i(xρ∂σ − xσ∂ρ), i∂µ] = i (gµσPρ − gµρPσ)

[Mµν ,Mρσ] = i (gσµMνρ + gρνMµσ − gρµMνσ − gσνMµρ) . (1.1.5)

Zadatak: Prepisati Poenkareovu algebru koristeci spin Ji, impuls Pi, hamil-tonijan H, generatore bustova Ki. Primetite da sa hamiltonijanom komuti-raju komponente spina i impulsa. Oni su konstante kretanja.

Da bismo klasifikovali unitarne ireducibilne reprezentacije Poenkareovegrupe moramo naci Kazimirove operatore. Ove reprezentacije Poenkareovegrupe su beskonacno dimenzione, jer je grupa nekompaktna.

Definisimo vektor Pauli-Lubanskog

W µ =1

2εµνρσMνρPσ . (1.1.6)

Moze se pokazati da vazi (zadatak 1.14)[P 2,Mµν

]=

[P 2, Pµ

]= 0[

W 2,Mµν

]=

[W 2, Pµ

]= 0, (1.1.7)


gde je P 2 = PµPµ = m2 . Iz relacija (1.1.7) sledi da su P 2 i W 2 Kazimirovi

operatori grupe P ↑+ i oni klasifikuju njene ireducibilne reprezentacije. PoSurovoj lema oni se svode na brojeve u datoj ireducibilnoj reprezentaciji. Tibrojevi klasifikuju reprezentaciju.

Jednocesticna stanja se transformisu po reprezentacijama Poenkareovegrupe. Da bi klasifikovali vektore unutar jedne ireducibilne reprezentacijemoramo da odredimo skup komutirajucih operatora, tj. treba da Kazimiroveoperatore P 2,W 2 dopunimo medjusobno komutirajucim operatorima. Oper-atori impulsa komutiraju medjusobno [Pµ, Pν ] = 0, sto znaci da ih mozemomeriti simultano. Vektori stanja cestice su |p, σ〉, gde je p cetvoroimpuls(koji zadovoljava p2 = m2), a σ je skup dopunskih kvantnih brojeva. Vektoristanja su svojstveni vektori operatora impulsa

P µ|p, σ〉 = pµ|p, σ〉 .

Razmatrajmo sada masene cestice. U sistemu mirovanja impuls cestice je

pµ = (m, 0, 0, 0), (1.1.8)

dok su komponente vektora Pauli-Lubanskog

W 0|p, σ〉 = 0

W i|p, σ〉 =1

2εijk0Mjkm|p, σ〉 = −1

2εijkMjkm|p, σ〉 = −mJi|p, σ〉.

Operatori Ji = 12εijkMjk su generatori rotacija i zadovoljavaju komutacione

relacije su(2) algebre[Ji, Jj] = iεijkJk .

Dakle, J je spin cestice. U sistemu mirovanja masene cestice komponentevektora Pauli-Lubanskog su

W µ = (0,−mJ) (1.1.9)

pa je kvadrat vektora Pauli-Lubanskog

W 2 = −m2J2 .

Kazimirovi operatori P 2 i W 2 se svode na brojeve

P 2|p, σ〉 = m2|p, σ〉


W 2|p, σ〉 = −m2J2|p, σ〉 = −m2s(s+ 1)|p, σ〉 . (1.1.10)

Ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe su dakle klasifikovane masomi spinom, (m, s).Translacije deluju na stanja prema

U(I, a)|p, σ〉 = eiPµaµ |p, σ〉 = eip

µaµ|p, σ〉 .

Lorencove transformacije pri delovanju na stanje daju linearnu kombinacijustanja po spinskim stepenima slobode, dok je impulsa ovih stanje p′µ =Λµ

νpν . Prema tome

U(Λ, 0)|p, σ〉 =∑σ′

Qσ′σ|p′, σ′〉,

gde je Q unitarna matrica. Pokazimo da je p′ impuls stanja U(Λ)|p, σ〉:

P µU(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U−1(Λ)P µU(Λ)|p, σ〉= U(Λ)Λµ

ρPρ|p, σ〉

= ΛµρpρU(Λ)|p, σ〉. (1.1.11)

Kako je p2 = p′2 = m2, to Lorencove transformacije ne izbacuju impuls izpotprostora sa fiksnom vrednoscu p2. Potprostor stanja |p, σ〉; p2 = m2, p0 >0 je invarijantan pod dejstvom Poenkareovih transformacija P ↑+, ali je onreducibilan. Da bismo ga razbili na ireducibilne komonente moramo dauzmemo drugi Kazimirov operator, W 2. Iz[

W 2,Wµ

]= 0 i [Wµ,Wν ] 6= 0

sledi da W 2 i jedna komponenta vektora Pauli-Lubanskog mogu biti istovre-meno dijagonalizovane. Uzecemo trecu komponentu vektora Pauli-LubanskogW3.

Rezimirajmo:

• Skup komutirajucih operatora je P 2,W 2, P µ,W 3, p0/|p0|.

• Masa i spin klasifikuju ireducibilne reprezentacije Poenkareove grupe.

• Jednocesticna stanja se klasifikuju impulsom p i projekcijom spina naz osu; W3 = −ms3. Jednocesticni vektori stanja su |m, s; p, s3〉


• U sistemu mirovanja stanja zadovoljavaju

W 3|p, s3〉 = −ms3|p, s3〉W 2|p, s3〉 = −m2s(s+ 1)|p, s3〉 , (1.1.12)

gde je p = (m,~0) impuls cestice u sistemu mirovanja.

Sada cemo razmotriti reprezentacije Poencareove grupe u slucaju bezmasenihcestica, p2 = 0. Uzecemo da je3 W 2 = 0. Kako je W µPµ = 0 to mora bitiW µ = −λP µ. Lako se vidi da je

λ = −W0

P 0=

~J · ~pp0

=~J · ~p|~p|

helicitet. Gornja relacija nije precizno napisana. Preciznije, ova relacija imasmisla pri delovanju na stanja. Naime,

(W 0 + λP 0)|p, λ〉 = 0 , (1.1.13)

3Kasnije cemo videti da ako bi W 2 < 0 spin bi bio neprekidan sto je fizicki neprih-vatljivo.


gde je p = (|p|,p) cetvoroimpuls bezmasene cestice. Takodje je

~J · ~p|~p||p, λ〉 = λ|p, λ〉 . (1.1.14)

Helicitet je dobar kvantni broj za bezmasene cestice jer je invarijantan naLorencove transformacije. Za masene cestice on nije invarijantno definisan.Npr. neka elektron impulsa p ima helicitet +1/2. Lorencovim bustommozemo preci u sistem u kojem je impuls ovog elektrona −p pa mu je he-licitet −1/2. Stanja bezmasenih cestica su |p, λ〉.Vektor Pauli-Lubanskog W µ je generalizacija spina i cesto se naziva kovari-jantni spin. Do sada smo razmatrali dve klase IR Poencareove grupe:

1. p2 = m2 > 0, p0|p0| = +1

U sistemu mirovanja bazu |p, s3〉 cini (2s+ 1) vektor.

2. p2 = 0, pµ 6= 0, W 2 = 0Postoji jedno helicitetno stanje |p, λ〉. Ako je teorija invarijantna naparnost onda postoje dva nezavisna helicitetna stanja. Npr. za fotonλ = ±1.

Pored ove dve klase postoji jos cetiri moguce reprezentacije od P ↑+ koje sunefizicke:

1. p2 = m2 > 0, p0|p0| = −1, negativno-energetske masena stanja.

2. p2 = 0, p0 < 0, negativno-energetske bezmasena stanja..

3. pµ = 0, vakuum.

4. p2 < 0, tzv. tahionska stanja (stanja imaginarne mase) koja su ne-fizicka.

1.1.4 Vignerov metod

Pomocu Vignerovog metoda nalaze se ireducibilne reprezentacije Poenkare-ove grupe.

Neka je p fiksni cetvoroimpuls (tzv. standardni impuls). Proizvoljanimpuls p se dobija iz p transformacijom Lpp

p = Lppp.


Ova Lorencova transformacija nije jednoznacno definisana jer transformacijaLpp · ` takodje zadovoljava gornji uslov ukoliko je `p = p−rotacija oko p.Ukoliko zahtevamo da se dopunski kvantni broj σ ne menjaja

U(Lpp)|p, σ〉 = |p, σ〉 (1.1.15)

gornja transformacija je fiksirana i naziva se Vignerovom bustom. Lako sevidi da je

U(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U(Lpp)|p, σ〉= U(Lp′p)U(L−1

p′p)U(Λ)U(Lpp)|p, σ〉= U(Lp′p)U(L−1

p′pΛLpp)|p, σ〉= U(Lp′p)U(R)|p, σ〉, (1.1.16)

gde je R = L−1p′pΛLpp tzv. Vignerova rotacija i p′µ = Λµ

νpν .

Transformacije R ostavljaju standardni impuls p invarijantnim i one cinepodgrupu Poenkareove grupe. Ova podgrupa se naziva mala grupa.Zadatak: Pokazati da Wignerove rotacije cine grupu.Mala grupa je relevantni deo Poenkareove grupe za klasifikaciju ireducibilnihreprezentacija. Iz (1.1.16) sledi

U(Λ)|p, σ〉 = U(Lp′p)∑σ′

Dσ′σ(R)|p, σ′〉

=∑σ′

Dσ′σ(R)|p′, σ′〉,


odnosnoU(a,Λ)|p, σ〉 = eip

′a∑σ′

Dσ′σ(R)|p′, σ′〉, (1.1.17)

gde je Dσ′σ(R) matricni element reprezentacije male grupe. Unitarne ire-ducibilne reprezentacije P ↑+ su dobijene preko unitarnih ireducibilnih reprezentacijamale grupe. Ove transformacije indukuju reprezentacije cele Poenkareovegrupe. Dalje cemo posebno razmatrati masene i bezmasene cestice:

• Masene cesticeKao sto smo rekli za standardni impuls uzecemo pµ = (m, 0, 0, 0). Malagrupa je SO(3) (zbirka)

m000

=

(1 00 R

)m000

, (1.1.18)

gde R ∈ SO(3). Vignerov bust Lpp je cist bust iz sistema mirovanja usistem gde cestica ima impuls p,

Lpp =

(p0

m−pi

m

−pi

mδij − pipj

m(p0+m)

). (1.1.19)

Sa pi smo obelezili dekartove komponente troimpulsa. Dejstvo Loren-covih transformacija na stanja masenih cestica je dato sa

U(Λ)|p, s, s3〉 =∑s′3

D(s)

s′3s3(R)|p′, s′3〉,

gde D(s)(R)− je (2s + 1)−dimenziona reprezentacija SO(3) (tj. njeneuniverzalno natkrivajuce grupe SU(2)).

• Slucaj bezmasenih cestica p2 = 0 i p0 > 0 je razlicit od masenog jerne mozemo preci u sistem mirovanja. Za standardni impuls uzecemop = (k, 0, 0, k), sto odgovara bezmasenoj cestici koja se sa impulsom kkrece duz z−ose. Malu grupu cine one transformacije koje ne menjajustandardni impuls

ω νµ p

ν = 0 ,


tj. 0 ω01 ω02 ω03

ω01 0 −ω12 −ω13

ω02 ω12 0 −ω23

ω03 ω13 ω23 0

k00k

=

0000

,

odakle dobijamo ω03 = 0, ω01 = ω13, ω02 = ω23 dok je ω12 proizvoljno.Ovi uslovi redukuju broj parametara Lorencove grupe sa set na triω01, ω02 i ω12. Prema tome

1

2ωµνM

µν = ω01(M01 +M13) + ω02(M02 +M23) + ω12M12 . (1.1.20)

Generator M12 je generator rotacije oko z–ose. Iz prethodnih uslovasledi da postoji jos dva generatora: M01 +M13 i M02 +M23. Primetimoda je W1 = (M02 + M23)k , W2 = −(M01 + M13)k i W0 = −M12k.Lako se pokazuje da vazi

[W1,W2] = 0, [W0/k,W1] = −iW2, [W0/k,W2] = iW1 ,

odnosno

[M02 +M23,M01 +M13] = 0,

[J3,M02 +M23] = −i(M01 +M13),

[J3,M01 +M13] = i(M02 +M23) . (1.1.21)

Ove komutacione relacije definisu E(2), odnosno kako se jos obelezavaISO(2) algebru. E(2) je euklidska grupa; sastoji se od rotacije okoz−ose i translacije u xy− ravni

ISO(2) = T2 ∧ SO(2) .

Komutacione relacije E2 algebre su

[E1, E2] = 0

[J3, E1] = iE2

[J3, E2] = −iE1 . (1.1.22)

Vidi se da je J3 = −W 0/k = M12, E1 = −W2/k = M01 + M13, E2 =W1/k = M02 +M23.Zadatak: Pokazati da su

P1 = −i ∂∂x, P2 = −i ∂

∂y, Lz = i

(y∂

∂x− x ∂

∂y

)(1.1.23)


generatori E(2) grupe. Pokazati takodje da je P 21 + P 2

2 Kazimirov op-erator.Proizvoljan element iz E(2) grupe je oblika

e−iθJ3e−i(α1E1+α2E2) , (1.1.24)

gde su θ, α1 i α2 parametri. U oznakama iz zadatka a1 i a2 odgovarajuimpulsima px, py. Ireducibilne reprezentacije euklidske grupe klasifiku-jemo sa operatom E2

1 + E22 . Operatori E1 i E2 komutiraju i mogu

biti simultano dijagonalizovani. Njihovi zajednicki svojstveni vektori|a1, a2〉 zadovoljava svojstvene jednacine:

E1|a1, a2〉 = a1|a1, a2〉E2|a1, a2〉 = a2|a1, a2〉 . (1.1.25)

Svojstvene vrednosti ovih operatora a1 i a2 klasifikuju vektore. Iz

eiθJ3E1e−iθJ3 = E1 cos θ − E2 sin θ

eiθJ3E2e−iθJ3 = E1 sin θ + E2 cos θ (1.1.26)

sledi da postoji kontinum svojstvenih stanja

|θ; a1, a2〉 = e−iθJ3|a1, a2〉 , (1.1.27)

za proizvoljno θ. Stanja |θ; a1, a2〉 su dobijena rotacijom oko z−ose izstanja |a1, a2〉. Lako se vidi da je

E1|θ; a1, a2〉 = (a1 cos θ − a2 sin θ)|θ; a1, a2〉E2|θ; a1, a2〉 = (a1 sin θ + a2 cos θ)|θ; a1, a2〉 . (1.1.28)

Ako uvedemo oznake aθ1 = a1 cos θ − a2 sin θ i aθ2 = a1 sin θ + a2 cos θonda svojstvena stanja su

|θ; a1, a2〉 = e−iλθ|aθ1, aθ2〉 . (1.1.29)

Ireducibilne reprezentacije euklidske grupe indeksirani su sa brojevimaλ2 i a2

1 + a22. Vrednost λ potice od operatora rotacije oko z−ose, J3.

Ireducibilne reprezentacije euklidske grupe su beskonacno dimenzione.Kako za bezmasene cestice niko nije observirao kontinualni stepen slo-bode θ mora biti a1 = a2 = 0. Stanja su onda klasifikovana sa svo-jstvenom vrednoscu generatora rotacije oko z ose, J3

J3|λ〉 = λ|λ〉 . (1.1.30)


Ove reprezentacije su jednodimenzione

e−iθJ3|λ〉 = e−iλθ|λ〉 . (1.1.31)

Ovde je θ ugao rotacije oko z ose. Jasno je da je λ helicitet cestice jerse ona krece duz z−ose. Helicitet λ mora biti ceo ili poluceo broj da birotacija za 2π bila jednaka ±1. Apsolutna vrednost heliciteta je spincestice.

Do istog zakljucka mozemo doci ’jezikom’ komponenti vektora Pauli-Lubanskog imajuci na umu vezu komponenti W1 i W2 sa generatorimaE1, E2. Iz4

wµpµ = 0 sledi

(w0 − w3)k = 0 tj.

w0 = w3.

Imamo dve mogucnosti wµ = (w0, w1 6= 0, w2 6= 0, w0) ili wµ =(w0, 0, 0, w0) . U prvom slucaju w2 = −(w1)2 − (w2)2 < 0 vektori ureprezentaciji su neprekidni5. To bi znacilo da postoji kontinum bez-masenih stanja. Ovu mogucnost odbacujemo kao nefizicku. Dakle,mora biti wµ = (w0, 0, 0, w0). Helicitet je odredjen sa

−w0

p0

= λ.

Malu grupu smo redukovali na rotacije oko z−ose tj. na SO(2) ∼ U(1).Ireducibilne reprezentacije su jednodimenzione e−iλθ, λ = 0,±1,±1

2, . . .

Zakljucak: Reprezentacije grupe male grupe E2 su:

a) beskonacno dimenzione w1, w2 6= 0; ovo odbacujemo

b) konacno dimenzione u slucaju w2 = 0. One su unitarne i jednodi-menzionalne. Dakle, za bezmasene cestice je

W0|p, λ〉 = −λk|p, λ〉W1|p, λ〉 = W2|p, λ〉 = 0

W 3|p, λ〉 = −λk|p, λ〉 (1.1.32)

4Opet pisemo na stanjima.5(W 1)2 + (W 2)2 je Kazimirov operator u E(2) algebri.


Lorencova transformacija Λ deluje na stanje |p, λ〉 prema

U(Λ)|p, λ〉 = eiθ(p,Λ)λ|Λp, λ〉 . (1.1.33)

Vidimo da nema promene heliciteta cestice. U slucaju masene cesticaspina s pojavljuje 2s + 1 stanje odredjeno sa kvantnim brojem s3. Zamasene cestice moze da se koristi i helicitetni bazis; helicitet takodjeuzima vrednosti −λ, λ + 1, . . . , λ. Kod bezmasenih cestica situacija jedrugacija. Bezmasena cestica moze biti samo u jednom helicitetnomstanju λ. Apsolutna vrednost heliciteta se naziva spinom cestice s =|λ|. Parnost operator impulsa prebacuje u −P, tj. menja mu znak,a operator spina se ne menja. Ovo znaci da parnost menja helicitetcestice λ → −λ. Iz ovog razloga ukoliko je teorija invarijantna naparnost za ceticu spina s imacemo dva helicitetna stanja |p, λ = ±s〉.To se desava u elektrodinamici, gde su stanja fotona |p,±1〉 .

Zadaci

1.1. a) Dokazati da je O(3) nepovezana grupa.b) Pokazati da je SO(3) invarijantna pogrupa grupe O(3).

1.2. Definisuci matricu X = ~σ~x, gde su σi Paulijeve matrice, a ~x = (x, y, z),diskutovati vezu izmedju grupa SU(2) i SO(3).

1.3. Pokazati da je L↑+ invarijantna podgrupa Lorencove grupe.

1.4. Proizvoljnu matricu S ∈ SL(2, C) mozemo napisana kao proizvod jedneunitarne i jedne hermitske matrice, S = UH. Neka je

S = eiθσ3/2 =

(eiθ/2 0

0 e−iθ/2

)unitarna matrica. Pokazati da je odgovarajuca matrica Lorencove trans-formacije rotacija oko z−ose. Slicno, ako je S cisto hermitska matricaS = e−ϕσ

3/2 naci odgovarajucu matricu Λ.

1.5. Odrediti matricne elemente generatora Lorencove grupe u definicionojreprezentaciji.


1.6. Pokazati da je definiciona reprezentacija Lorencove grupe (12, 1

2) reprezentacija.

1.7. Dejstvo Poenkareove grupe na koordinate moze se zadati sa (Λ, a)x =Λx+ a. Odrediti zakon mnozenja u grupi, jedinicni i inverzni element.

1.8. a) Proveriti zakon mnozenja u Poenkareovoj grupi

U−1(Λ, 0)U(1, ε)U(Λ, 0) = U(1,Λ−1ε) .

Zatim pokazati da iz ove relacije sledi:

U−1(Λ, 0)PµU(Λ, 0) = (Λ−1)νµPν .

Izracunati komutator [Mµν , Pρ].b) Pokazati da vazi:

U−1(Λ, 0)U(Λ′, 0)U(Λ, 0) = U(Λ−1Λ′Λ, 0) ,

pa izracunati komutator [Mµν ,Mρσ].c) Pokazati da vazi [Pµ, Pν ] = 0.

1.9. Odrediti generatore Poenkareove grupe u reprezentaciji klasicnog skalarnogpolja. Klasicno skalarno polje se transformise Φ′(Λx + a) = Φ(x). Dokazatida oni zadovoljavaju komutacione relacije Poenkareove algebre.

1.10. Vektor Pauli-Lubanskog definisan je kao Wµ = 12εµνλσM

νλP σ.a) Pokazati da vazi: WµP

µ = 0 i [Wµ, Pν ] = 0.b) Pokazati da je: W 2 = −1

2MµνM

µνP 2 +MµσMνσP µPν .

c) Koristeci se prethodnim rezultatom, opkazati da W 2 i P 2 komutirajusa generatorima Poenkareove grupe.

1.11. Pokazati da

W 2|m, s, ~p = 0, σ〉 = −m2s(s+ 1)|m, s, ~p = 0, σ〉 ,

gde je vektor |m, s, ~p = 0, σ〉 vektor stanja cestice mase m, spina s, tro-impulsa ~p i projekcije spina na z-osu σ. Masa i spin klasifikuju ireducibilnereprezentacije Poenkareove grupe.

1.12. Pokazati da vazi:a) [Mµν ,Wσ] = i(ηνσWµ − ηµσWν) ,b) [Wµ,Wν ] = −iεµνσρW σP ρ .c) [εµνρσMµνMρσ,Mαβ] = 0 .


1.13. Standardni impuls za cesticu mase m je (m, 0, 0, 0), dok je za bez-masenu cesticu (k, 0, 0, k). Pokazati da je mala grupa za masene cesticeSU(2), a za bezmasene E(2) (grupa translacija i rotacija u dvodimenzionojravni).

1.14. Pokazati da Vignerove rotacije cine grupu.

2

Unutrasnje simetrije i kvarkmodel

2.1 Klasifikacija interakcija i cestica

U prirodi postoji nekoliko stotina cestica. One se medjusobno razlikuju pomasi, spinu, naelektrisanju i drugim kvantnim brojevima. Osobine cestica sesaznaju na osnovu njihovih raspada i procesa rasejanja u kojima ucestvuju.Kako su energije koje su fizicari mogli da ostvare u akceleratorima rasle tose proizvodio sve veci broj cestica. Ocigledno je da sve one ne mogu biti ele-mentarne cestice, tj. cestice koje nemaju unutrasnju strukturu. Videcemo daleptoni, kvarkovi, kalibracioni bozoni i Higsov bozon su elementarne cestice.Takodje, danas verujemo da u prirodi postoje cetiri interakcije: gravitaciona,elektromagnetna, slaba i jaka.

Cestice mozemo podeliti u leptone i hadrone kao i cestice koje prenose in-terakcije, tzv. gauge (kalibracione) bozone. Leptoni su cestice bez strukturekoje ucestvuju u slabim, a ne ucestvuju u jakim interakcijama. Njihov spinje 1/2. Postoji sest leptona: elektron (e−), elektronski neutrino (νe), mion(µ−), mionski neutrino (νµ), taon (τ−) i taonski neutrino (ντ ). Njihove masesu date u tablici 2.1:

31

32 2. UNUTRASNJE SIMETRIJE I KVARK MODEL

cestica masa spine− 0, 51 MeV 1

2

νe < 10eV 12

µ− 105 MeV 12

νµ < 0, 16MeV 12

τ− 1, 8 GeV 12

ντ < 18MeV 12

Masa elektrona je 0, 51MeV, mion ima masu koja je 200 puta veca od maseelektrona. Masa taona je znatno veca od mase elektrona i miona. Dugose verovalo da su neutrini bezmasene cestice. Po novijim rezultatitam oniipak imaju malu masu. Masa elektronskog neutrina je manja od 10eV, doksu limiti na mase mionskog i taonsko neutrina date sa: mνµ < 0, 16 MeV,mντ < 18 MeV.Mion i taon su nestabilne cestivce. Mion se raspada na elektron prema µ− →e− + νe + νµ . Taon se raspada do miona.

Leptoni obrazuju tri familije: elektron i njegov neutrino su prva familja,mion i mionski neutrino cine drugu familiju, a taon i taonski neutrino sutreca familija leptona.

Svaki lepton ima i svoju anticesticu. Anticestica elektronu je pozitron,e+. Takodje µ+ je anticestica od µ−, a τ+ od τ−. Ove anticestice imaju svekvantne brojeve iste kao i cestice, sem sto imaju naelektrisanje suprotnogznaka i suprotan leptonski broj. Za razliku od njih antineutrini i neutrini serazlikuju po znaku heliciteta. Neutrini imaju negativan helicitet, a antineu-trini pozitivan.

Hadroni ucestvuju u jakim i u slabim interakcijama. Hadrona ima puno,oko 200− 300, pa ne mogu biti fundamentalne cestice. Hadroni celobrojnogspina su mezoni, dok barioni imaju polucelobrojni spin. Dakle, mezoni subozoni, a barioni fermioni. Videcemo kasnije da su hadroni vezana stanjakvarkova. Preciznije, mezoni su kvark-antikvark stanja, a barioni su sastavl-jeni od tri kvarka. U sledecoj tabeli dato je nekoliko mezona

Mezoni

cestica masa spinπ±, π0 138 MeV 0

K+, K−, K0, K0 439 MeV 0η0 500 MeV 0

ρ±, ρ0 770 MeV 1ω 1

2.1. KLASIFIKACIJA INTERAKCIJA I CESTICA 33

π+ i π− mezoni su jedno drugom anticestice; razlikuju se po znaku naelek-trisanja. Neutralni π0 mezon je sam sebi anticestica. Anticestica od K+

mezona je K− mezon, a od K0 mezona K0.U narednoj tabeli je dato nekoliko bariona:

Barioni

cestica masa spinp 938 MeV 1

2

n 939 MeV 12

Λ0 1100 MeV 12

Σ±, Σ0 1180 MeV 12

Ξ0, Ξ− 1190 MeV 12

Ω− 1600 MeV 32

∆++, ∆+, ∆0, ∆− 1236 MeV 32

Anticestica protona je antiproton, p−; razlikuju se po znaku naelek-trisanja. Antineutron je neutralan kao i neutron; oni se razlikuju po znakumagnetnog dipolnog momenta. Magnetni dipolni moment neutrona je µ =−1, 913 e~

2mpc, gde je mp masa protona. To sto neutralna cestica ima magnetni

moment sugerise da je sastavljena od naelektrisanih cestica. Zanimljivo je daΣ− nije anticestica od Σ+. Ova tvrdnja ce biti jasna na osnovu kvarkovskestrukture ova dva hiperona.

Pored leptona i hadrona postoje cestice koje su prenosnici interakcija. Fo-ton je prenosilac elektromagnetne interakcije; W± i Z0 gauge bozoni prenoseslabu interakciju. Jaku interakciju prenose gluoni.

U narednim poglavljima cemo korak po korak videti da su leptoni, kvarkovii gauge bozoni elementarne cestice. Leptona i kvarkova ima po sest. Oni sufermioni spina 1/2. Kvarkovi su: up (gornji), down (donji), strange (cudni),charmed (sarmirani), top (vrh) and boottom (dno). Hadroni su vezana stanjakvarkova; npr. proton se sastoji od dva u kvarka i jednog d kvarka, neutronje sastavljen iz jednog u i dva d kvarka.

Osobine osnovnih interarakcija su sumirane u tableli

vrsta domet intenzitet dejstvo prenosnikgravitacione ∞ ∼ 10−39 sve cestice graviton

elektromagnetne ∞ 1137

naelektrisane cestice fotonjake ∼ 10−15 m 1 hadroni gluonislabe 10−15 m 10−5 hadroni i leptoni W±, Z


Jaka interakcija drzi kvarkove unutar hadrona i dominantna je u su-darima u kojima ucestvuju samo hadroni. Slaba interakcija se javlja izmedjukvarkova ali i izmedju leptona. Procesi koji ukljucuju neutrina su uvek slabiprocesi. Vektorski bozoni W± i Z0 prenose slabu interakciju. Za jake in-terakcije pre bi se moglo reci da su brze, a slabe spore jer je srednje vremezivota cestica koje se raspadaju po jakoj interakciji τ ∼ (10−22 − 10−23)sa po slaboj τ ∼ (10−7 − 10−13)s. Elektromagnetna interakcija je interak-cija izmedju naelektrisanih cestica. Cestica koja prenosi elektromagnetnuinterakciju je foton.

Klalibracioni bozoni imaju spin 1; oni su vektorske cestice.Domet interakcije je obrnuto proporcionalan masi cestice koja prenosi

interakciju.

2.2 Simetrija

Grupa simetrije u relativistickoj kvantnoj fizici je direktni proizvod Poenkare-ove i neke unutrasnje simetrije, P ⊗G. Invarijantnost na Poenkareove trans-formacije P ↑+ daje masu i spin cestica. Unutrasnja grupa simetrije G jekompaktna Lijeva grupa. Proizvoljan element iz G je

U = eiTaθa

gde su T a genetarori u odgovarajucoj reprezentaciji, a θa realni parametri.Komutacione relacije izmedju generatora su

[T a, T b] = ifabcTc ,

gde su fabc strukturne konstante; one ne zavise od reprezentacije. Pri trans-formaciji U stanja fizickih sistema se transformisu prema

|ψ〉 → U |ψ〉 ≡ |ψ′〉 .

Da bi se pri transformacijama ocuvale verovatnoce prelaza

|〈ψ′|ψ′〉|2 = |〈ψ|ψ〉|2 (2.2.1)

operatori U su ili unitarni ili antiunitarni1. Ovo je Vignerov teorem.

1Ovo znaci da su generatori hermitski operatori.

2.2. SIMETRIJA 35

Stanje ψ zadovoljava Sredingerovu jednacinu

i∂ψ

∂t= Hψ . (2.2.2)

Da bi i transformisano stanje zadovoljavalo jednacinu istog oblika

i∂ψ′

∂t= Hψ′ (2.2.3)

mora vazitiH = U−1HU . (2.2.4)

Pretpostavili smo da je ∂U∂t

= 0. Kazemo da je transformacija U simetrijasistema. Iz (2.2.4) sledi (uzimamo da su parametri infinitezimalni)

(1− iT aθa)H (1 + iθaT a) = H

⇒ [T a, H] = 0 , (2.2.5)

tj. generatori simetrije komutiraju sa Hamiltonijanom.Ako je |n〉 svojstveno stanje Hamiltonijana sa energijom En tj.

H|n〉 = En|n〉onda je U |n〉 takodje svojstveno stanje sa istom energijom

H(U |n〉) = En(U |n〉) .Grupa simetrije dakle pravi degeneraciju stanja tj. multiplete. Kako je grupasimetrije P ⊗G to

[T a, P µ] = 0 [T a,Mµν ] = 0.

Zakljucujemo da cestice u multipletima imaju istu masu i spin.Simetrija nam daje kvantne brojeve cestica. Generalno kvantni bro-

jevi mogu biti aditivni i multiplikativni. Aditivni kvantni brojevi poticuod svojstvenih vrednosti hermitskih operatora koji odgovaraju kontinualnojsimetriji. Npr. translaciona simetrija daje ocuvanje impulsa. U procesimarasejanja a+ b→ c+ d impuls pre i posle rasejanja je isti, tj.

pa + pb = pc + pd . (2.2.6)

Impuls je aditivni kvantni broj. Takvi su i naelektrisanje, izospin, hipernaboji mnogi drugi.

Multiplikativni kvantni brojevi su vezani za diskretne simetrije. Primermultiplikativnog kvantnog broja je konjugacija naboja. Iz C|γ〉 = −|γ〉 sledida je C parnost fotona −1. C parnost stanja sastavljenog od n fotona je(−1)n, tj. dobijena je mnozenjem C parnosti svih fotona.


2.3 SU(2) i izospin

Atomska jezgra su sastavljena od protona i neutrona. Njih na okupu drzijaka interakcija. Jake interakcije su nezavisne od naelektrisanja. Postojejezgra sa razlicitim brojem protona i neutrona ali sa priblizno istim atomskimmasama. Razlika izmedju masa ovakvih jezgara potice od elektromagnetneinterakcije. Masa neutrona je neznatno veca od mase protona. Prema tome,jake interakcije ne prave razliku izmedju protona i neotrona. Preciznije,hamiltonijanHs jakih interakcija je invarijantan na izospinske odnosno SU(2)transformacije tj.

[Hs, Ia] = 0, (2.3.7)

gde su Ia generatori SU(2) grupe. Izospinske transformacije transformisuproton u neutron i obrnuto.

Izospin i spin nemaju nikakve veze, sem istu matematiku sadrzanu uSU(2) grupi. Generatori SU(2) grupe u fundamentalnoj reprezentaciji suIa = σa/2 gde su σa Paulijeve matrice

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

). (2.3.8)

Lako se vidi da su strukturne konstante simbol Levi-Civita:

[Ia, Ib] = iεabcIc .

Kazimirov operator za grupu SU(2) je I2 =∑

a (Ia)2 tj.[

I2, Ia]

= 0

tako da njegove svojstvene vrednosti klasifikuju ireducibilne reprezentacijegrupe SU(2). Rang su(2) algebre je 1, sto znaci da se skup medjusobno ko-mutirajucih generatora sastoji samo od jednog elementa. Najcesce se uzimada je to I3. Iz

[I2, I3] = 0 (2.3.9)

sledi da postoji zajednicki svojstveni bazis ova dva operatora. Bazisne vek-tore cemo obeleziti sa svojstvenim vrednostima ova dva operatora |I, I3〉.Svojstvene jednacine su

I2|I, I3〉 = I(I + 1)|I, I3〉I3|I, I3〉 = I3|I, I3〉 ,

2.3. SU(2) I IZOSPIN 37

gde je I = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . ; I3 = −I,−I + 1, . . . , I . Kvantni broj Iklasifikuje ireducibilne reprezentacije, a I3 vektore stanja unutar jedne ire-ducibilne reprezentacije. Dimenzija ireducibilne reprezentacije (I) je

dim(D(I)

)= 2I + 1 .

U dvodimenzionalnoj reprezentaciji, I = 1/2 bazisni vektori su:∣∣∣12,1

2

⟩= p =

(10

) ∣∣∣12,−1

2

⟩= n =

(01

)(2.3.10)

Ova dva stanja identifikujemo sa protonom odnosno neutronom. Dakle, nuk-leoni imaju izospin2 1/2 dok je projekcija izospina na z osu, I3 za proton +1/2a za neutron −1/2. Proton i neutron su izospinska stanja jedne cestice-nukleona.

Proizvoljan vektor u dvodimenzionoj reprezentaciji

ξi =

(ξ1

ξ2

)(2.3.11)

pri SU(2) transformacijama se transfomise po

ξ → ξ′ = e−i~σ~θ2 ξ . (2.3.12)

Koncept izospina moze biti prosiren na druge hadrone. K+ mezon i K0

mezon su dublet SU(2) grupe. Projekcija izospina na z−osu K+ mezona je1/2, a K0 mezona je −1/2. Isto vazi i za doblet K− i K0 mezona. Triplet πmezona je bazis trodimenzione ireducibilne reprezentacije:

|1,+1〉 = π+ |1,−1〉 = π− |1, 0〉 = π0.

Slicno je i za triplet (ρ−, ρ0, ρ+) i (Σ−,Σ0,Σ+). ∆ rezonace su kvartet SU(2)grupe

|32,+

3

2〉 = ∆++ |3

2,1

2〉 = ∆+ |3

2,−1

2〉 = ∆0 |3

2,−3

2〉 = ∆−.

Cestice η0, φ, ω i Λ su singleti SU(2) grupe, jer se transformisu po jedinicnojreprezentaciji.

Mase cestica u SU(2) multipletima nisu iste. Zbog toga je SU(2) simetrijapriblizna simetrija. Mera narusenja ove simetrije je npr.

mn −mp

mn +mp

∼ 0, 7 · 10−3 .

2Koncept izospina uveo je Hajzenberg.


2.3.1 Slaganje izospina

Proizvod dve ireducibilne reprezentacije je reducibilna reprezentacija i onamoze biti razlozena na ireducibilne komponente. Ako je izospin jedne ire-ducibilne reprezentacije u direktnom proizvodu I, a druge I ′ tada je

D(I) ⊗D(I′) = D(I+I′) ⊕ · · · ⊕D(|I−I′|) .

Prema tome, izospin kompozitnog stanja uzima vrednosti od |I−I ′| do |I+I ′|.Ukupni izospin je J = I × 1 + 1 × I′. Stanja su klasifikovana sa kvadratomizospina, kao i njegovom trecom komponentom: J2 = (I + I′)2, J3 = I3 + I ′3.Svojstvena stanja ova dva operatora nisu |I, I3〉|I ′, I ′3〉, vec

|J, J3〉 =∑I3,I′3

〈I, I3, I′, I ′3|J, J3〉 |I, I3〉|I ′, I ′3〉 , (2.3.13)

gde su 〈I, I3, I′, I ′3|J, J3〉 Klebs- Gordanovi koeficijenti. Izospin dve cestice

izospina 1/2 je 1 ili 0. Drugim recima proizvod dve dvodimenzione ire-ducibilne reprezentacije je direktni zbir trodimenzione i singletne reprezentacije,tj.

I :1

2⊗ 1

2= 1⊕ 0

dim : 2× 2 = 3 + 1 .

Bazisni vektori trodimenzione reprezentacije su simetricna stanja :

|1,+1〉 = pp |1, 0〉 =1√2

(pn + np) |1,−1〉 = nn,

dok je jednodimenziona reprezentacija antisimetricna

|0, 0〉 =1√2

(pn− np) .

Posmatrajmo proizvod dvodimenzione i trodimenzione ireducibilne reprezentacije.Klebs- Gordanove koeficijente cemo odrediti primenom operatora J± = Jx±iJy na |I, I3〉

J±|I, I3〉 =√I(I + 1)− I3(I3 ± 1)|I, I3 ± 1〉 . (2.3.14)


Vektor maksimalne tezine u reprezentaciji 3/2 je∣∣∣32,3

2〉 =

∣∣∣12,1

2〉∣∣∣1, 1〉. (2.3.15)

Delovanjem sa J− na njega dobijamo∣∣∣32,1

2〉 = (J−1 ⊗ 1 + 1⊗ J−2)

∣∣∣12,1

2〉∣∣∣1, 1〉 (2.3.16)

=

√2

3|12,1

2〉|1, 0〉+

√1

3|12,−1

2〉|1, 1〉 . (2.3.17)

Ponavljajuci ovaj postupak dobijamo:

∣∣∣32,−1

2〉 =

√1

3|12,1

2〉|1,−1〉+

√2

3|12,−1

2〉|1, 0〉 , (2.3.18)

∣∣∣32,−3

2〉 = |1

2,−1

2〉|1,−1〉 . (2.3.19)

Vektor |12, 1

2〉 nalazimo iz uslova ortogonalnosti na |3

2, 1

2〉. Rezultat je

∣∣∣12,1

2〉 =

√1

3|12,1

2〉|1, 0〉 −

√2

3|12,−1

2〉|1, 1〉 . (2.3.20)

Operator spustanja onda daje

∣∣∣12,−1

2〉 =

√2

3|12,1

2〉|1,−1〉 −

√1

3|12,−1

2〉|1, 0〉 . (2.3.21)

2.3.2 Vigner-Ekartova teorema

Sada cemo se ukratko potsetiti Vigner-Ekartovog teorema. Ireducibilni ten-zorski operatori3, T

(j)m , m = −j,−j + 1, . . . , j su definisani zakonom trans-

formacije pri SU(2) transformacijama

(T (j)m )′ = U(R)T (j)

m U−1(R) =∑m′

D(j)m′m(R−1)T

(j)m′ . (2.3.22)

3Koristimo oznake: j za ireducibilnu reprezentaciju SU(2) a m za klasifikaciju vektora.


Na osnovu gornje definicije moze se pokazati da ireducibilni tenzorski oper-atori zadovoljavaju sledece relacije:

[J3, T(j)m ] = mT (j)

m

[J±, T(j)m ] =

√j(j + 1)−m(m± 1)T

(j)m±1 .

(2.3.23)

Nekada se bas ove relacije uzimaju za definiciju ireducibilnih tenzorskih op-eratora.

Matricni element ireducibilnog tenzorskog operatora u bazi |I, I3〉 je

〈I ′, I ′3|T(J)M |I, I3〉 = 〈II3; JM |I ′I ′3〉〈I ′|T J |I〉 (2.3.24)

tj. on je proizvod redukovanog matricnog elementa 〈I ′|T J |I〉 i Clebsh-Gordan-ovog koeficijenta. Ovo je tzv. Vigner-Ekartov teorem.

Redukovani matricni elementi ne zavise od I3, I′3 i M . Matricni element

〈I ′, I ′3|T(J)M |I, I3〉 je nenulti samo ako jeM+I3 = I ′3 i ako I, I ′ i J zadovoljavaju

nejednakost trougla. Ovo je posledica Klebs-Goradovih koeficijenata.Posmatrajmo sada raspad cestice u dve cestice: a → c + d. Matricni

element prelaza je

〈cd|S|a〉 = 〈IcId; I3cI3d|S|IaI3a〉=

∑I′

〈IcId; I3cI3d|I ′I ′3〉〈I ′I ′3|S|IaI3a〉 ,

gde smo koristili relacije komletnosti. Hamiltonijan komutira sa izospinompa su izospin i njegova treca komponenta odrzani u jakim interakcijama. Smatricni element je4

〈II3|S|I ′I3′〉 = δII′δI3I′3A(I) . (2.3.25)

Dalje je〈cd|S|a〉 = 〈IcId; I3cI3d|IaI3a〉AIa . (2.3.26)

Rezultat je izrazen preko nezavisnih amplituda A(Ia). Razmatrajmo sadaproizvod dvodimenzione i trodimenzione reprezentacije.

I : 12

⊗1 =1

2⊕ 3

2dim : 2︸︷︷︸ × 3︸︷︷︸ = 2 + 4

(p, n) (π+, π−, π0)

4Ova relacija je specijalni slucaj Vigner-Ekartove teoreme, gde je S skalarni ireducibilnioperator.


Iz (2.3.18) i (2.3.26) sledi

〈π+n|S|∆+〉 =1√3A3/2 , (2.3.27)

〈π0p|S|∆+〉 =

√2

3A3/2 . (2.3.28)

Sirina raspada je odredjena sa

Γ =

∫|S|2

T

∏f

V dpf(2π)3

. (2.3.29)

Ona je verovatnoca raspada u jedinici vremena pomnozena sa faznim pros-torom finalnih cestica. U gornjem primeru raspada ∆+ rezonance fazni pros-tor je isti za oba kanala pa je odnos sirina raspada

Γ (∆+ → p, π0)

Γ (∆+ → n, π+)=

(√23

)2

(√13

)2 = 2.

Ovaj rezultat je u skladu sa eksperimentom. Dakle, u eksperimentu se vidiSU(2) simetrija, tj. CG koeficijenti.Razmatrajmo dalje rasejanje dve cestice u dve cestice

a+ b→ c+ d .

Primenom relacija kompletnosti imamo

〈cd|S|ab〉 =∑II′

〈IcId; I3cI3d|II3〉〈II3|S|I ′I ′3〉〈I ′I ′3|IaIbI3aI3b〉 (2.3.30)

Kako je〈II3|S|I ′I ′3〉 = AIδII′δI3I′3 (2.3.31)

to na kraju dobijamo

〈cd|S|ab〉 =∑I

〈IcId; I3cI3d|II3〉〈II3|IaIbI3aI3b〉AI . (2.3.32)

Izrazi (2.3.15)-(2.3.21) daju


∣∣∣32,3

2〉 = pπ+

∣∣∣32,1

2〉 =

√2

3pπ0 +

√1

3nπ+

∣∣∣32,−1

2〉 =

√1

3pπ− +

√2

3nπ0∣∣∣3

2,−3

2〉 = nπ−∣∣∣1

2,1

2〉 =

√1

3pπ0 −

√2

3nπ+

∣∣∣12,−1

2〉 =

√2

3pπ− −

√1

3nπ0 . (2.3.33)

Lako se onda primenom (2.3.32) dobija

〈π+p|S|π+p〉 = A3/2

〈π−p|S|π−p〉 =1

3A3/2 +

2

3A1/2

〈π−p|S|π0n〉 =

√2

3A3/2 −

√2

3A1/2 . (2.3.34)

Eksperimentalni rezultat daje A3/2 A1/2 pa se dobija

σ(π+p→ π+p) : σ(π−p→ π−p) : σ(π0n→ π−p) = 9 : 1 : 2 . (2.3.35)

2.4 Dodatni kvantni brojevi i zakoni odrzanja

U prethodnom poglavlju uveli smo izospin. Pored izospina cestice posedujui druge kvantne brojeve. U ovom poglavlju uvescemo jos nekoliko kvantnihbrojeva.

1940− 1950 otkrivene su Λ hiperon i K mezoni. Ove cestice se proizvodebrzo, a raspadaju se sporo. Npr. Λ0 i K0 cestice se stvaraju u procesu

π− + p→ K0 + Λ0

preko jake interakcije. Srednje vreme zivota K0L mezona je τ(K0

L) ≈ 10−8 ssto znaci da se on raspada po slaboj interakciji. Slicno je i za Λ0 cesticu:

Λ0 → π− + pK0 → π+π−

. (2.4.36)

2.4. DODATNI KVANTNI BROJEVI I ZAKONI ODRZANJA 43

Dakle ove cestice se stvaraju u jakoj, a raspadaju po slaboj interakciji. Ovaosobina je bila cudna kad su ove cestice otkrivene i zato se uvodi novi kvantnibroj koje se naziva stranost. Stranost je aditivni kvantni broj i odrzava se ujakim interakcijama. Cesticama pripisijuemo vrednost ovog kvantnog broja.Stranost hadrona iz gornjeg procesa je

S(n) = S(π) = 0

S(Λ0) = −1

S(K0) = +1.

Za jak proces

π− + p → Λ0 +K0

S : 0 + 0 = −1 + 1 (2.4.37)

vidimo da je stranost ocuvana. Za slab proces

Λ0 → π− + p− slaba interakcija

S : −1 6= 0 + 0

stranost nije ocuvana. Videcemo kasnije da je ovaj kvantni broj vezan zas kvark. Hadroni koji sadrze jedan s kvark imace stranost −1, a one kojesadrze antikvark s imace stranost 1.

Barionski kvantni broj bariona je 1, a antibariona −1, dok ostale cesticeimaju barionski broj nula.

B(barioni) = 1 B(antibarioni) = −1 B(mezoni, leptoni) = 0.

Barionski broj se odrzava u svim interakcijama. Zbir barionskog broja istranosti cestice je hipernaboj

Y = B + S.

On je odrzan u jakim interakcijama.Elektricno naelektrisanjeQ je odrzano u svim interakcijama. Veza izmedju

naelektrisanja hipernaboja i trece komponente izospina cestica je tzv. Gell-Mann-Nishijima relacija

Q = I3 +Y

2. (2.4.38)


Otkrice jos jednog kvantnog broja koji se odrzava u jakim interakcijamazahteva da se izospinska simetrija prosiri do neke grupe ranga 2.

Postoje tri vrste leptonskog broja: leptonski elektronski Le, mionski Lµ itaonski Lτ . Za elektron i elektronski neutrino Le = 1, pozitron i antineutrinoimaju Le = −1 dok je za sve ove cestice leptonski mionski i taonski kvantnibroj jednak nuli. Slicno Lµ(µ−) = 1 itd. Proverimo odrzanje leptonskohbrojeva u slabom procesu raspada miona µ+

µ+ → e+ + νµ + νe

Lµ : −1 = 0 + (−1) + 0

Le : 0 = −1 + 1 .

U procesu

µ+µ− → e+e−

nema mesanja izmedju mionske i elektronske linije.

2.5 Osmostruko svrstavanje hadrona

Gell-Mann i Ne’eman (1961.) su grupisali mezone i barione istog spina iparnosti u (I3, Y ) dijagram. Ovo je poznato kao osmostruko svrstavanje.

2.5. OSMOSTRUKO SVRSTAVANJE HADRONA 45

Mezoni 0−

Mezoni 1−

Barioni 12

+Barioni 3

2

+

Cestice sa istom vrednoscu hipernaboja su multipleti izospinske grupe SU(2);p i n su dublet, pioni su triplet itd.

Treca komponenta izospina protona je 1/2, a hipernaboj 1. Kako mu jebarionski broj 1 to je njegova stranost 0. Drugim recima proton se ne sastojiod s kvarka. Slicno mozete uraditi i za druge hadrone iz ovih multipleta.


U vreme kad su Gell-Mann i Ne’eman grupisali cestice na gornji nacin Ω−

cestica nije bila otkrivena. Otkrivena je 1964. godine. Njeni kvantni brojevisu

I3(Ω−) = 0

Y (Ω−) = −2 = B + S ⇒ S(Ω−) = −3.

Videcemo kasnije da su dijagrami u kojima se nalaze mezoni i barioni tezinskidijagrami jednodimenzione, osmodimenzione i desetodimenzione reprezentacijeSU(3) grupe. SU(3) simetrija je vise narusena od SU(2) simetrije jer se masecestica u SU(3) multipletima vise razlikuju nego unutrar SU(2) multipleta.Mera narusenja je

mΣ −mn

mΣ +mn

∼ 0, 12 .

2.6 SU(3) simetrija hadrona

SU(3) grupu cine 3 × 3 unitarne matrice jedinicne determinante. Elementeove grupe mozemo napisati u obliku

U = eiεa λa

2 ,

gde su εa realni parametri, a λa Gell-Mann-ove matrice:

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

Gell-Mann-ove matrice su normalizovane prema

Tr (λaλb) = 2δab . (2.6.39)

2.7. SU(N) TENZORI I JANGOVE SEME 47

Rang grupe SU(3) je 2, tj. maksimalan skup komutirajucih generatora jedva5; [λ3, λ8] = 0.Zadatak: Naci strukturne konstante fabc i Kartanov tenzor za SU(3) grupu.

2.7 SU(n) tenzori i Jangove seme

Elementi SU(n) grupe (u definicionoj reprezentaciji) su n× n unitarne ma-trice jedinicne determinante:

UU † = U †U = I detU = 1 . (2.7.40)

Mozemo ih zapisati u obliku U = eiH , gde je H hermitska matrica nultogtraga. Hermitska matrica ima n realnih dijagonalnih elemenata; vandijago-nalni elementi zadovoljavaju (Hij)

? = Hji pa su odredjeni sa 2n(n−1)2

realnihparametara. Zbog TrH = 0 sledi da je broj nezavisnih partametara matriceH jednak n2 − 1, sto znaci da je SU(n) grupa ima n2 − 1 generatora. Rangalgebre predstavlja maksimalan broj njenih komutirajucih generatora. Ovigeneratori cine tzv. Kartanovu podalgebru. Broj dijagonalnih generatora jen− 1, pa je rang su(n) algebre jednak r = n− 1.

Vektorψi = (ψ1, ψ2, . . . , ψn) ∈ Cn

se pri SU(n) transformacijama transformisu po

ψi → ψ′i = Uijψj , (2.7.41)

gde je U SU(n) matrica. Ova reprezentacija se naziva fundamentalnom.Lako se vidi da je i U∗ takodje SU(n) matrica. Konjugovanjem (2.7.41)dobijamo

ψ∗i → ψ∗′

i = U∗ijψ∗j = ψ∗jU

†ji . (2.7.42)

Dakle ψ∗i se transformise po konjugovanoj reprezentaciji. Dalje cemo uvestisledecu notaciju (konjugacija podize indeks)

ψi ≡ ψ∗i Uij ≡ Uij U i

j = U∗ij . (2.7.43)

Relacije (2.7.41) i (2.7.42) postaju

ψi → ψ′i = Uijψj

ψi → ψ′i = U ijψ

j .

5Ovo fizicki znaci da imamo dva aditivna kvantna broja.


Velicina ψiξi je invarijanta, tj. transformise se po singletnoj (jedinicnoj)

reprezentaciji SU(n) grupe. Tenzori viseg ranga se pri SU(n) transformaci-jama transformisu po

ψ′i1i2...ipj1j2...jq

= (U i1k1 . . . )(Uj1

l1 . . . )ψk1...kpl1...lq

.

Lako se vidi da je Kronekerov simbol invarijantan tenzor

δik = U ijU

lk δ

jl .

Jasno je da δij nije tenzor. Pored Kronekerovog simbola, simbol Levi-Civita,εi1i2...in je takodje invarijantan tenzor

ε′i1...in = U j1i1. . . U jn

inεj1...jn = detU · εi1...in = εi1...in .

Kontrakcija proizvodi tenzore nizeg reda.Zadatak: Pokazati da je εi1i2...inψ

i1i2...in skalar.Proizvoljni tenzori viseg reda su najcesce reducibilani, tj. transformisu

se po nekoj reducibilnoj reprezentaciji SU(n) grupe. Reducibilni tenzorise mogu razloziti u ireducibilne komponente. Transformacije ireducibilnetenzore prebacuju ponovo u te ireducibilne tenzore. Invarijantni tenzori sekoriste za dobijanje ireducibilnih komponenti reducibilnih tenzora. Npr. nekaje T ij tenzor drugog reda. Mnozenjem ovog tenzora sa δj i dobijamo

T = δj iTij = TrT. (2.7.44)

T je skalar. Polazni tenzor T ij mozemo da razlozimo u dva sabirka prema

T ij = (T ij −1

nTδi j) +

1

nTδi j . (2.7.45)

Prvi sabirak je tenzor nultog traga, a drugi je sam trag. Pri SU(n) trans-formacijama tenzor nultog traga prelazi u tenzor nultog traga, a trag prelaziu trag. Oni su ireducibilni tenzori. Na ovaj nacin tenzor T ij smo razlozili uireducibilne komponente.

Posmatrajmo sada tenzore samo sa gornjim indeksima. Zakon transfor-macije tenzora drugog reda je

ψ′ij = U ikU

jlψ

kl . (2.7.46)

Zamenom indeksa i i j dobijamo

ψ′ji = U jlU

ikψ

lk = U ikU

jlψ

lk . (2.7.47)


Permutacija indeksa je definisana sa P12ψij = ψji. Lako se vidi da se ψkl i ψlk

transformisu na isti nacin, tj. permutacija indeksa ne menja transformacionizakon. Definisimo simetrican i antisimetrican deo tenzora ψij

Sij =1

2

(ψij + ψji

)Aij =

1

2

(ψij − ψji

). (2.7.48)

Lako se vidi da

P12Sij = Sij

P12Aij = −Aij. (2.7.49)

Takodje

S ′ij = U ikU

jlSkl

A′ij = U ikU

jlA

kl . (2.7.50)

Dakle, pri SU(n) transformacijama simetrican (antisimetrican) tenzor setransformisu u simetrican (antisimetrican) tenzor. Tenzor ψij smo dekom-ponovali

ψij = Sij + Aij (2.7.51)

u ireducibilne komponente. Simetrican i antisimetrican tenzor ne mogu sedalje dekomponovati. Ova procedura se moze generalisati na tenzore visegranga koji ima ili samo gornje ili samo donje indekse. Bazisni vektori (tenzori)ireducibilnih reprezentacija SU(n) grupe su tenzori definisane permutacionesimetrije izmedju indeksa. Npr. tenzor treceg reda ξijk se dekomponuje nasledeci nacin

ξijk =1

6(ξijk + (ξj[ik] + ξi[jk]) + (ξ[ij]k + ξ[ji]k) + ξ[ijk]) . (2.7.52)

Prvi sabirak u (2.7.52) je totalno simetrican

ξijk = S123ξijk

= (1 + P12 + P13 + P23 + P13P12 + P12P13)ξijk

= ξijk + ξjik + ξkji + ξikj + ξkij + ξjki . (2.7.53)


Zadnji sabirak je totalno antisimetrican

ξ[ijk] = A123ξijk

= (1− P12 − P13 − P23 + P13P12 + P12P13)ξijk

= ξijk − ξjik − ξkji − ξikj + ξkij + ξjki . (2.7.54)

Ostali sabirci u (2.7.52) su tenzori mesane simetrije. Tenzor ξj[ik] je simetricanpo prvom i drugom indeksu:

ξj[ik] = S12A13ξijk

= (1 + P12)(1− P13)ξijk

= ξijk + ξjik − ξjki − ξkji . (2.7.55)

Prvo smo izvrsili antisimetrizaciju po prvom i trecem indeksu pa zatimsimetrizaciju po prvom i drugom. Dobijeni tenzor nije antisimetrican poprvom i trecem indeksu. Postoji jos jedan tenzor simetrican po prvom idrugom indeksu, ξi[jk]. On je

ξi[jk] = S12A23ξijk

= (1 + P12)(1− P23)ξijk

= ξijk + ξjik − ξikj − ξkij . (2.7.56)

Tenzor ξi[jk] ne sadrzi nova bazisna stanja u odnosu na tenzor ξj[ik]. Pre-ostala dva tenzora mesane simetrije su antisimetricna po prvom i drugomindeksu:

ξ[ij]k = A12S23ξijk

= (1− P12)(1 + P23)ξijk

= ξijk + ξikj − ξjik − ξkij (2.7.57)

ξ[ji]k = A12S13ξijk

= (1− P12)(1 + P13)ξijk

= ξijk + ξkji − ξjik − ξjki . (2.7.58)

Ireducibilne komponente permutacione grupe nalaze se pomocu Jungovihsema. One za slucaj SU(n) grupe izgledaju kao na slici


Sastoje se od najvise n vrsta i svaki sledeci red sadrzi isto ili manje kockicanego prethodni.

Fundamentalni teorem: Ako je ν−cesticno stanje ireducibilan tenzor per-mutacione grupe Sν i ako je ono konstruisano od jednocesticnih stanja kojasu bazisni vektori ireducibilne n−dimenzione reprezentacije od SU(n) ondaje to stanje ireducibilan tenzor SU(n) grupe.

Kompaktna poluprosta Lijeva algebra ranga l ima l dijagonalnih opera-tora Hi (i = 1, 2, . . . , l). Njihov zajednicki svojstveni problem je

Hiψ(j)m = miψ

(j)m (2.7.59)

gde (j) oznacava reprezentaciju, dok indeks m klasifikuje vektore. Uvedimovektore

m = (m1,m2, . . . ,ml)

H = (H1, H2, . . . , Hl) (2.7.60)

tada (2.7.59) postajeHψ(j)

m = mψ(j)m , (2.7.61)

gde su ~m tezine. Standardna forma su(2) algebre je

H1 =1

2σ3, E1 =

σ1 + iσ2

2√

2, E−1 =

σ1 − iσ2

2√

2.

Bazisni vektori ove reprezentacije su

ψ(1/2)1/2 =

(10

)= u1 ψ

(1/2)−1/2 =

(01

)= u2

H1u1 =1

2u1 m(1) = +

1

2

H1u2 = −1

2u2 m(2) = −1

2.

U kvantnoj mehanici u1, u2 su bazisna spinska stanja, dok na ovom kursuu1, u2 su bazisna izospinska stanja (p, n). Tezine su ±1

2. To je z−projekcija

(izo)spina. Svojstvene vektore oznacavacemo kao na slici


Dakle, jedna kockica predstavlja dvodimenzionu ireducibilnu reprezentacijuSU(2) grupe. Proizvod dve dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacijegrupe SU(2) je reducibilna reprezentacija koja je direktni zbir singletne itrodimenzione reprezentacije

1

2⊗ 1

2→ 1⊕ 0 .

Vektori trodimenzione reprezentacije su simetricni a jednodimenzione anti-simetricni6

Dve kockice u vrsti (koloni) oznacavaju simetricno (antisimetricno) stanje.Mozemo dalje analizirati trocesticno stanje. Ireducibilne reprezentacije suJungove seme SU(2) grupe koje se sastoje od tri kockice. Jungova sema sa trikockice u vrsti oznacava simetricna stanja. Pored njih postoji i stanje mesanesimetrije. Ocigledno je da ne postoji trocesticno totalno antisimetricno stanje.Zato Jungova sema za SU(2) grupu moze imati najvise dve vrste.

6ψiψj = 12 (ψiψj + ψjψi) + 1

2 (ψiψj − ψjψi)


Jasno je da su bazisni tenzori simetricne reprezentacije SU(2) grupe:

u1u1u1,1√3

(u2u1u1 + u1u2u1 + u1u1u2) ,

1√3

(u2u2u1 + u2u1u2 + u1u2u2), u2u2u2 . (2.7.62)

Kod dva stanja mesane simetrije mozemo ukloniti prve kolone jer se taj deotezora transformise po singletnoj (jednodimenzionoj) reprezentaciji. Do sadasmo razmatrali SU(2) grupu. Ovo se moze generalisati. Simetrican tenzorSij reprezentujemo Jungovom semom od dve kockice u vrsti (prva Jungovasema na slici) a antisimetrican sa dve kockice u koloni (druga sema). TrecaJungova sema na slici je totalno simetrican tenzor treceg reda, dok je zadnjitenzor mesane simetrije.

Standardno uredjenje

Razmotricemo tenzor mesane simetrije grupe SU(3)


Postoji osam nezavisnih tzv. standardno uredjenih Jungovih sema. Nes-tandardne seme su ili nula ili se mogu napisati kao linearna kombinacijastandardnih. Da bismo dobili standardno uredjenje Jungove seme SU(n)grupe potrebno je da brojeve 1, . . . , n upisujemo u kockice seme ali tako daoni ne opadaju u vrsti, a rastu kad se gleda po kolonama. To je uradjenona prethodnoj slici za SU(3) simetriju. Posto postoji osam standardno ure-djenih Jungovih sema ireducibilna reprezentacija je osmodimenziona.

Racunanje dimenzije ireducibilne reprezentacije SU(n) grupeDimenzija ireducibilne reprezentacije je kolicnik D1/D2. U svaku kockici

Jungove seme upisemo po jedan broj na sledeci nacin. U prvu kockici stavimobroj n, narednu u prvoj vrsti broj n+ 1 itd. U narednoj vrsti startujemo sabrojem n − 1, zatim doilazi n itd. Proizvod svih ovih brojeva je D1. BrojD2 je takodje proizvod brojeva pridruzenih svakoj kockici seme. Taj broj zadatu kockicu je broj kockica koji se od date vidi na desno i na dole plus broj1 za samu kockicu. Na sledecoj slici su izracunate dimenzije za dve seme.

Proizvod IR SU(n) grupe je reducibilna reprezentacija. Ireducibilne kompo-nente nalazimo primenom sledeceg pravilaDekompozicija

1. U prvi red prve tablice upisemo a, u drugi b itd.

2. Dodajemo kockicu sa indeksom a u drugu tablicu na sve moguce nacine,zatim drugu a itd, ali tako da se u istoj koloni ne nalazi dva a. Toponovimo sa b, c,...

3. Svi dodati simboli se procitaju sa desna na levo u prvom redu, zatimu drugom itd. Levo od svakog elementa mora biti:

N(a) ≥ N(b) ≥ N(c) . . .


Primer

Prvi korak :

Drugi korak :

Treci korak :

Vektor ψi se transformise po definicionoj (n−dimenzionoj-fundamentalnoj)ireducibilnoj reprezentaciji SU(n) grupe. Njega predstavljamo jednom koc-kicom. Kako je ψiψi skalar to se ψi = (ψi)

∗ transformise po konjugovanoj n∗

ireducibilnoj reprezentaciji.


=

=

Dve reprezentacije su konjugovane ako kad jednu Jungovu semu zarotiramoza 1800 i dodamo drugoj semi dobijemo jedinicnu reprezentaciju.

2.8 Kvark model u okviru SU(3) grupe simetrije

Matrice λ3 i λ8 komutiraju i one cine Kartanovu podalgebru su(3) algebre

H1 =1√6

1 0 00 −1 00 0 0

H2 =1

3√

2

1 0 00 1 00 0 −2

. (2.8.1)

Zajednicki svojstveni bazis ove dve matrice je

u1 =

100

u2 =

010

u3 =

001

. (2.8.2)

Uvedimo vektorH = (H1, H2) . (2.8.3)

Tezine se lako nalaze:

Hu1 =

(1√6,

1

3√

2

)u1 ⇒m(1) =

(1√6,

1

3√

2

)Hu2 =

(− 1√

6,

1

3√

2

)u2 ⇒m(2) =

(− 1√

6,

1

3√

2

)Hu3 =

(0,−√

2

3

)u3 ⇒m(3) =

(0,−√

2

3

). (2.8.4)

2.8. KVARK MODEL U OKVIRU SU(3) GRUPE SIMETRIJE 57

Tezine su dvodimenzionalne. Ako uvedemo

I3 =

√6

2m1 Y =

√2m2

onda vektori tezina u koordinatama (I3, Y ) su

m(1) =

(1

2,1

3

)m(2) =

(−1

2,1

3

)m(3) =

(0,−2

3

). (2.8.5)

Tezinski dijagram trodimenzione reprezentacije je prikazan na slici

Ako je U = eiθa λa

2 onda konjugovanjem dobijamo U∗ = e−iθa λa∗

2 , odakle

sledi da su −λ∗a2

= −λTa2

generatori konjugovane trodimenzione reprezentacije,3∗. Konjugovana reprezentacija nije ekvivalentna prvoj fundamentalnoj zaSU(n), n > 2. Tezinski dijagram 3∗ reprezentacije je


3∗ je tzv. druga fundamentalna reprezentacija SU(3) grupe7. Visedimenzionereprezentacije dobijaju se mnozenjem fundamentalnih reprezentacija. Mezonii barioni nalaze se u singletnoj (jedinicnoj), osmodimenzionoj i desetodimen-zionoj repreprezentaciji grupe SU(3) (osmostruko svrstavanje). Gell-Mann iZweig su uveli kvarkove kao konstituente hadrona. Kvarkovi se nalaze u trodi-menzionoj reprezentaciji SU(3) grupe. Postoji tri tipa (flavour) kvarkova: up(gornji), down (donji) i strange (cudni). Njihovi kvantni brojevi su dati utabeli

Q I I3 Y S Bu 2/3 1/2 1/2 1/3 0 1/3d −1/3 1/2 −1/2 1/3 0 1/3s −1/3 0 0 −2/3 −1 1/3

Naelektrisanje se racuna prema

Q = I3 +Y

2= I3 +

1

2(B + S) .

7Grupa SU(n) ima n− 1 fundamentalnu reprezentaciju.


Vidimo da je naelektrisanje (anti)kvarkova trecinsko, tj. nije celobrojanumnozak elementarnog naelektrisanja. Barionski broj kvarkova je 1/3. An-tikvarkovi su anticestice kvarkova. Oni su bazisni vektori konjugovane trodi-menzione reprezentacije, 3∗

Njihovi kvantni brojevi su dati u tabeli:

Q I I3 Y S Bu −2/3 1/2 −1/2 −1/3 0 −1/3d 1/3 1/2 1/2 −1/3 0 −1/3s 1/3 0 0 2/3 1 −1/3

Zadatak: Pokazati da se ui i εijkujuk transformisu na isti nacin pri SU(3)transformacijama.Mezoni su vezana stanja kvarka i antikvarka:

Oni su u osmodimenzionoj i singletnoj reprezentaciji grupe SU(3). Stan-dardne tablice osmodimenzione reprezentacije su (U sestoj YS treba da pise(0, 0))

gde smo izracunali tezine za svaku komponentu tenzora koristeci aditivnosttezina. Tezinski dijagrami osmodimenzione i singletne reprezentacije su


Sada cemo odrediti kvark strukturu skalarnih mezona. Kako je η′ singletto je

η′ =uu+ dd+ ss√

3. (2.8.6)

Talasna funkcija π0 mezona je

π0 =uu− dd√

2. (2.8.7)

Iz uslova ortogonalnosti dobija se

η0 =uu+ dd− 2ss√

6. (2.8.8)

Preostale cestice su:


Mezoni η0 i η′ imaju iste kvantne brojeve.Vektorski mezoni imaju spin 1. Oni imaju istu kvark strukturu kao i

skalarni mezoni (spin 0) i zapravo su pobudjena kvark-antikvark stanja. Takonpr. ρ+ mezon se sastoji od ud kao i π+ mezon. Oni imaju razlicite mase.Masa ρ+ mezona je 770MeV a π+ mezona oko 140MeV .

Barioni su vezana stanja tri kvarka. Proizvod tri trodimenzione reprezentacije,3× 3× 3 razlozicemo u ireducibilne komponente:

Dobili smo jednu desetodimenzionu, dve osmodimenzione i singletnu IR grupeSU(3).Proizvod dve trodimenzione reprezentacije je direktni zbir jedne simetricne

uSij = uiuj + ujui (2.8.9)

i jedne antisimetricne ireducibilne reprezentacije

uAij = uiuj − ujui. (2.8.10)


Sada preostaje da ove tenzore pomnozimo sa jos jednim tenzorom uk. ProizvoduAijuk dekomponujemo prema

uAijuk =1

3[(uAijuk + uAkiuj + uAjkui)

+ (uAijuk − uAkiuj)+ (uAijuk − uAjkui)] . (2.8.11)

Prvi red u (2.8.11) je antisimetrican tenzor

uiujuk − ujuiuk + ukuiuj − uiukuj + ujukui − ukujui , (2.8.12)

tj. singletna reprezentacija. Drugi red u (2.8.11) je tenzor mesane simetrije(osmodimenziona reprezentacija)

uiujuk + uiukuj − ujuiuk − ukuiuj (2.8.13)

dok je treci reduiujuk + ukujui − ujuiuk − ujukui . (2.8.14)

Oba ova ireducibilna tenzora su antisimetricna po prvom i drugom indeksu ione sadrze iste bazisne vektore. Proizvod uSijuk se dekomponuje prema

uSijuk =1

3[(uSijuk + uSkiuj + uSjkui)

+ (uSijuk − uSjkui)+ (uSijuk − uSkiuj)] . (2.8.15)

Prvi red u (2.8.15) je totalno simetrican tenzor (desetodimenziona reprezentacija)

uiujuk + ujuiuk + ukuiuj + uiukuj + ujukui + ukujui . (2.8.16)

U drugom i trecem redu je nova osmodimenziona reprezentacija simetricnapo prva dva indeksa. Npr. tenzor u drugom redu je

uiujuk + ujuiuk − ukujui − ujukui . (2.8.17)

Tenzor u trecem redu nije nova osmodimenziona reprezentacija. Dakle proizvodtri trodimenzione reprezentacije je direktni zbir singletne, dve osmodimen-zione (jedne simetricne a druge antisimetricne po prva dva indeksa) i jedne


desetodimenzione ireducibilne reprezentacije. Ova dekompozicija je ista kaoi dekompozicije (2.7.52) jer se tenzori ξijk i uiujuk transformisu na isti nacin.

Na osnovu kvantnih brojeva lako mozemo odrediti kvark strukturu 1/2bariona:

p = uud n = udd Σ+ = uus Σ0 =ud+ du√

2s Σ− = sdd

Ξ0 = ssu Ξ− = ssd Λ0 =ud− du√

2s .

Funkcije stanja se mogu takodje lako naci, npr.

p =2uud− duu− udu√

6

n =udd+ dud− 2ddu√

6. . . . (2.8.18)

Postoje dve osmodimenzione reprezentacije. Jedna je simetricna po prvadva indeksa i mi smo u njoj napisali talasne funkcije protona i neutrona.Druga osmodimenziona reprezentacija je antisimetricna po prva dva indeksa.Napisite talasne funkcije protona i neutrona u ovom oktetu.

Stanja desetodimenzione reprezentacije su totalno simetricna pa je


ω − φ mesanje

Osma komponenta vektorskog mezonskog multipleta i singlet su

ω8 =uu+ dd− 2ss√

6

ω1 =uu+ dd+ ss√

3. (2.8.19)

Za obe je I3 = 0 i Y = 0. Realne fizicke cestice ω (783 MeV) i φ (1020 MeV)ne moraju biti ni jedna od njih dve vec njihove linearne kombinacije

ω = sin θω8 + cos θω1

φ = cos θω8 − sin θω1 ,

(2.8.20)

gde je θ ugao mesanja. Ispostavlja se da je

ω =uu+ dd√

2(2.8.21)

φ = ss . (2.8.22)

Eksperimentalna vrednost ugla mesanja je θ = 39 . Ovo mesanje je mogucezbog spontanog narusenja simetrije.

2.9 Kvark model i SU(6) grupa simetrije

Pocetkom sedamdesetih godina proslog veka otkriven je tzv. J/ψ−mezon(sarmonijum). Do ovog otkrica dosle su nezavisno dve grupe: jedna u Fer-mijevoj laboratoriji pod rukovodstvom Rihtera, a druga u Brukheven labo-ratoriji pod rukovodstvom Tinga. Rihterova grupa je razmatrala rasejanjeelektrona i pozitrona, dok je Tingova grupa otkrila ovaj mezon u sudarimaprotona sa protonima.

Masa J/ψ−mezona (sarmonijum) je dosta velika i iznosi 3100MeV, a nje-gova sirina raspada je dosta mala, Γ = 0, 07MeV. Dakle, radi se o veomauskoj rezonanci. Sirina raspada drugih mezona grupisanih u SU(3) multi-plete je znatno veca od sirine raspada J/ψ−mezona. Npr. sirina ρ mezona

2.9. KVARK MODEL I SU(6) GRUPA SIMETRIJE 65

je 150MeV, dok je njegova masa 700MeV. Kako je J/ψ−mezon znatno vecemase od mase ρ mezona, to bi njegova sirina, zbog veceg faznog prostora,trebalo da bude znatno veca. Ocekivali bi da je ona nekoliko stotina meva.Kako to nije slucaj jedino objasnjenje je postojanje novog kvarka. Dakle,mozemo zakljuciti da je J/ψ−mezon vezano stanje novog kvarka i odgo-varajuceg antikvarka. Novi cetvrti kvark je poznat kao ”charmed” (sarm)c. Dakle, J/ψ ∼ cc. Kvark c nosi novi kvantni broj: sarm, C pa simetrijumoramo prosiriti sa SU(3) na SU(4). Rang SU(4) grupe je tri, pa postojetri aditivna kvantna broja: treca komponenta izospina, hipernaboj (ili stra-nost), i sarm (C). Oni se odrzavaju u jakim interakcijama. Sarm c kvarka jejedan, dok je sarm kvarkova u, d i s jednak nuli.

1977. godine Lederman je otkrio Y−mezon u sudarima protona. Njegovamasa je 9460MeV, a sirina 0, 0053MeV. Opet, ovaj mezon ima znatno manjusirinu nego sto bi se ocekivalu u okviru SU(4) simetrije. Zato je potrebnogrupu simetrije prosiriti, tj. uvesti novi kvark. Y−mezon se sastoji od bkvarka i njegovog antikvarka. Slovo b potice od ”bottom” ili “beauty”. Noviadtitivni kvantni broj obelezili smo sa D. Iz razloga simetrije sa leptonimamorao je postojati i sesti kvark, tzv. t kvark (”top” ili ”true“ kvark). Ovajkvark je otkriven 1995. godine u Fermilab-u. Ukupna grupa simetrije vezanaza tipove kvarkova je SU(6) simetrija. Ova simetrija se naziva flejvorna8

simetrija kvarkova. Dakle, postoji sest kvarkova. Oni su grupisani u trigeneracije (

ud

) (cs

) (tb

).

Grupa simetrije je prosirena do SU(6):

SU(6) ⊃ . . . ⊃ SU(3) ⊃ SU(2) .

Kvarkovi se nalaze u setodimenzionoj reprezentaciji SU(6) grupe. Gelman-Nisudzima formula za naelektrisanje sa generalizuje na sledeci nacin

Q = I3 +B + S + C +D +G

2,

gde su C,D i G novi kvantni brojevi pored I3 i S. Naelektrisanje kvarka jeili 2

3ili −1

3. Kvantni brojevi kvarkova su dati u tabeli

8flavour=tip kvarka


B I I3 S C D G Qu 1/3 1/2 1/2 0 0 0 0 2/3d 1/3 1/2 −1/2 0 0 0 0 −1/3c 1/3 0 0 0 1 0 0 2/3s 1/3 0 0 −1 0 0 0 −1/3t 1/3 0 0 0 0 0 1 2/3b 1/3 0 0 0 0 −1 0 −1/3

Kao sto smo ranije rekli ne postoje slobodni kvarkovi; kvarkovi su zarobljeni(konfajnment) unutar hadrona. Navescemo dva indirektna dokaza za pos-tojanje kvarkova:

1. `N → `′ +×Posmatramo rasejanje lakih leptona na protonu (neutronu). U ovomeksperimentu proton (neutron) se ponasa kao da ima tri centra rase-janja.

2. Posmatrajmo raspad vektorskog mezona u lepton-antilepton par

V 0 → ll, l ∈ (e, µ) . (2.9.23)

Proces je elektromagnetni pa je sirina raspada proporcionalna sa kvadratomnaelektrisanja e2

q:

Γ(V 0 → ll) ∼ e2q , (2.9.24)

sto se lako vidi iz Fajnmanovog dijagrama

U sledecoj tabeli date su talasne funkcije tri vektorska mezona kao ivrednost e2

q za svaki on njih:

ρ0 =uu− dd√

2e2q =

[23−(−1

3

)√

2

]2

=1

2

ω0 =uu+ dd√

2e2q =

[23

+(−1

3

)√

2

]2

=1

18

φ = ss e2q =

1

9. (2.9.25)

2.10. BOJA KAO NOVI KVANTNI BROJ 67

Lako se vidi da je odnos sirina raspada

Γ(ρ0 → `l) : Γ(ω0 → `¯) : Γ(φ→ `¯) = 9 : 1 : 2

sto je u skladu sa experimentalnim rezultatom.

2.10 Boja kao novi kvantni broj

∆++ rezonanca je vezano stanje tri u kvarka,

∆++ = uuu, ` = 0 .

Posto je ona osnovno stanje tri u kvarka to je totalni uglovni moment or-bitalnog dela talasne funkcije ` = 0, tj. ona je totalno simetricna. Spinove rezonanace je S = 3/2. U stanju Sz = +3/2 projekcija spina na z−osusvakog up kvarka mora biti +1/2. Prema tome i spinski deo talasne funkcijeje simetrican, bas kao sto je i prostorni. Mozemo zakljuciti da je totalna ta-lasna funkcija tri up kvarka totalno simetricna funkcija cime bi bio narusenPaulijev princip ili da kvarkovi imaju novi skriveni stepen slobode. Taj novistepen slobode je tzv. kolor (boja). Svaki kvark moze biti u tri boje, pre-ciznije svaki kvark je triplet SU(3)c grupe.

flavour colouru uR uG uBd dR dG dBs sR sG sBc cR cG cBt tR tG tBb bR bG bB

SU(3)c grupa (nazivamo je SU(3) kolorna grupa) nema nikakve veze sa SU(3)simetrijom vezanom za tip kvarka. Hadroni su SU(3)c singleti. Kolornatalasna funkcija vezanog stanja tri up kvarka u ∆++ rezonanci je

εαβγuαuβuγ = uRuGuB−uGuRuB−uRuBuG+uBuRuG−uBuGuR+uGuBuR ,

pa je talasna funkcija antisimetricna u skladu sa Paulijevim principom. Ta-lasna funkcija mezona je takodje singlet SU(3)c grupe:

qRqR + qB qB + qB qB .


Odnos preseka da se elektron pozitronski par raseje u hadrone i u µ+µ−

par je

R =σ(e−e+ → hadroni)

σ(e−e+ → µ−µ+)=

∑tip.kvark.

e2q . (2.10.1)

Mase kvarkova9 su

mu = md ' 300 MeV ms ∼ 600 MeV mc ∼ 1600 MeV .

1. Za energije elektrona i pozitrona u sistemu centra mase koje su ispod2mc = 3000GeV, u izrazu (2.10.1) sumiramo po u, d i s kvarku:

R = 3 ·

((2

3

)2

+

(−1

3

)2

+

(−1

3

)2)

= 3 · 2

3= 2.

2. Ukoliko je energija takva da se mogu kreirati u, d, s i c kvarkovi, tjE < 10000GeV onda je

R = 3(e2u + . . .+ e2

c

)=

10

3.

Obe sume smo mnozili sa tri zbog kolornih stepeni slobode kvarkova.Gornji rezultati za R su u saglasnosti sa experimentalnium rezultatomkoji je prikazan na grafiku

Eksperiment:

9Ovo su mase kvarkova kao konstituenata hadrona, to nije masa koju bi stavili u la-granzijan. Masa protona je oko 900MeV pa je masa u i d kvarka oko 300MeV.

2.11. STA SU ELEMENTARNE CESTICE? 69

m(ω) = 783 MeV m(φ) = 1020 MeV m(ρ) ∼ 770MeV

Napomenimo jos da je efikasni presek za rasejanje e−e+ → qq dat sa

σ(e−e+ → qq) ∼ 1

p4

√1−

4m2q

p2∼ 1

s5=

1

E52

,

gde je p ukupni cetvoroimpuls pozitrona i elektrona.

2.11 Sta su elementarne cestice?

Elementarne cestice su leptoni, kvarkovi, gauge bozoni i Higsov bozon. Pos-toji tri generacije leptona:(

eνe

) (µνµ

) (τντ

)Leptoni ucestvuju u slabim, a ne u jakim interakcijama. Kvarkovi su cesticespina 1/2 koji takodje formiraju tri familije:(

ud

) (cs

) (tb

)Ucestvuju i u slabim i u jakim interakcijama. Oni nose kolorni stepen slo-bode.


Gauge bozoni su prenosioci interakcija. To su W± i Z0− bozoni koji suprenosioci slabe interakcije, foton koji je prenosilac elektromagnetne interak-cije, gluoni koji prenose jaku interakciju. Sve ove cestice imaju spin jedan.Prenosnik gravitacione interakcije je graviton. Njegov spin je 2 i on jos nijeeksperimentalno detektovan. Dodajmo jos i da je Higsov bozon takodje ele-mentarna cestica. O njemu vise reci na narednim stranicama.

Zadaci

2.1. Elektron u atomu vodonika se nalazi u orbitnom stanju |2,−1〉 i spin-skom stanju |1/2, 1/2〉. Koje vrednosti ce se dobiti kada se meri J2 elektronai sa kojom verovatnocom?

2.2. Ako je ~V vektorski operator10 pokazati da su

T(1)1 = −Vx + iVy√

2, T

(1)0 = Vz , T

(1)−1 =

Vx − iVy√2

(2.11.1)

ireducibilni vektorski operatori.

2.3. Koristeci operatore I±, odrediti CG koeficijente u razlaganju direktnogproizvoda ireducibilnih reprezentacija I = 1/2 i I = 1. Uporediti dobijenerezultate sa tablicnim vrednostima za CG koeficijente.

2.4. Koristeci rezultate zadatka 2.2 odrediti:a) odnos sirina raspada ∆+ → p + π0 i ∆+ → n + π+.b) odnos efikasnih preseka za rasejanja:

p + π+ → p + π+,

p + π− → p + π−

p + π− → n + π0.

10Pri rotacijama se transformise na sledci nacin

~V ′ = ~V + ~V × ε~n .

2.11. STA SU ELEMENTARNE CESTICE? 71

c) odnos efekasnih preseka za rasejanja

p + p→ d + π+,

p + n→ d + π0,

gde je d oznaka za deuterijum, koji je izospinski singlet.

2.5. Koristeci Jangove seme, razloziti sledece direktne proizvode ireducibilnihreprezentacija na direktne zbirove. Rezultate proveriti racunajuci dimenzijereprezentacija:

a) SU(3): ⊗ ,

b) SU(4): ⊗ ,

c) SU(4): ⊗ ,

d) SU(5): ⊗ ,

e) SU(5): ⊗ .

2.6. a) Razloziti SU(3) oktet i dekuplet na izospinske podmultiplete (multi-plete SU(2) grupe).

b) Razloziti sledece reprezentacije SU(4) grupe na multiplete SU(3)grupe:

i

2.7. a) Koristeci Jangove seme u okviru SU(3) ”flavor” grupe simetrije,nacrtati tezinske dijagrame za 3, 3∗, 8 i 10 dimenzione reprezentacije.

b) Koristeci se ovim rezultatom, odrediti SU(3) talasne funkcije oktetapseudoskalarnih mezona i barionskog dekupleta.


2.8. Na osnovu kvantnih brojeva kvarkova, odrediti kvark strukturu sledecihcestica: ∆++, π0, κ0, Σ∗+, Ω−, Λ0, Ξ−, Σ0, κ−, p.

2.9. U kojim reprezentacijama se nalaze barioni i mezoni u okviru SU(5)kvark modela?

2.10. Odrediti u kojim reprezentacijama se nalaze barioni i mezoni u okviruSU(4) kvark modela. Koristeci dobijeni rezultat, proveriti da li se u sudarubariona iz 20-dimenzione reprezentacije i mezona iz 15-dimezione reprezentacije,mogu dobiti barion iz 20∗-dimenzione reprezentacije, ili mezon iz 15-dimezionereprezentacije.

2.11. Da li su moguci sledeci procesi? Preko kojih interakcija se odvijaju?

π− + p −→ ∆0 ,

µ− −→ e+ + νe + ντ ,

µ− −→ νµ + τ− + ντ ,

∆+ −→ n + p ,

Ω− −→ Ξ0 + π− ,

π0 + p −→ K+ + K0 + n ,

π0 + n −→ K+ + K− ,

K− + p −→ π0 + Λ0 ,

µ+ −→ e+ + γ ,

Σ+ + p −→ K+ + p .

2.12. Na osnovu zakona odrzanja dopuniti sledece procese:

π− −→ ? + νµ,

τ− −→ e− + ? + ? ,

e− + p+ −→ νe + ? ,

∆− −→ n + ? ,

Σ− + ? −→ Λ0 + n .

3

Klasicna teorija polja

3.1 Ojler-Lagranzeve jednacine kretanja

Lagranzev formalizam je uveden u analitickoj mehanici. Dejstvo sistema sakonacnim brojem stepeni slobode je

S[qi] =

∫ tf

ti

L(qi, qi, t)dt , (3.1.1)

gde su q1, . . . , qn generalisane koordinate a q1, . . . , qn generalisane brzine.Prava trajektorija sistema je ona za koju je dejstvo stacionarno, tj.

δS = 0 . (3.1.2)

Ovo je Hamiltonov princip. Lako se moze pokazati da uslov stacionarnostidejstva daje Lagranzeve jednacine kretanja

d

dt

(∂L∂qi

)− ∂L

∂qi= 0 . (3.1.3)

U teoriji polja generalisane koordinate zamenjujemo poljima

qi(t)→ φrx(t) = φr(x) (3.1.4)

Indeks r je diskretan i on prebrojava polja. Iz prethodnog izraza vidimo daje polje sistem sa beskonacno puno stepeni slobode, jer x ∈ V . Relativistickapolja poseduju izvesna transformaciona svojstva pri Lorencovim transforma-cijama. Za skalarno polje je

φ′(x′ = Λx) = φ(x) . (3.1.5)

73

74 3. KLASICNA TEORIJA POLJA

Vektorsko polje se pri Lorencovim transformacijama menja po

A′µ(x′ = Λx) = ΛµνA

ν(x) (3.1.6)

a Dirakovoψ′(x′) = e−iωµνσ

µν/4ψ(x) .

Generalnoφ′r(x

′ = Λx) = Srs(Λ)φs(x) . (3.1.7)

Matrice S(Λ) cine reprezentaciju Lorencove grupe

S(Λ1)S(Λ2) = S(Λ1Λ2) .

Polja se transformisu po reprezentacijama Lorencove grupe.Zakon transformacije polja pri Poenkareovim transformacijama je

φ′(x′ = Λx+ a) = φ(x)

A′µ(x′ = Λx+ a) = ΛµνA

ν(x)

ψ′(x′ = Λx+ a) = e−iωµνσµν/4ψ(x) , (3.1.8)

respektivno za skalarno, elektromagnetno i Dirakovo polje.Transformacija moze biti aktivna (deluje na fizicki sistem, a koordinatni

sistem je fiksiran) ili pasivna (sistem je fiksiran dok transformisemo koordi-natni sistem, tj. gledamo isti objekat iz razlicitih sistema). Ako skalarnopolje φ(x) transliramo za a duz x− ose dobicemo novu funkciju φ′(x)

φ′(x) = φ(x− a) , (3.1.9)

odnosnoφ′(x′ = x+ a) = φ(x).

Transformacija je delovala aktivno; koordinatni sistem je fiksiran a trans-formacija deluje na polje. Transliranje skalarnog polja udesno u fiksnom ko-

3.1. OJLER-LAGRANZEVE JEDNACINE KRETANJA 75

ordinatnom sistemu ekvivalentno je transliranju koordinatnog sistema ulevoza a dok je polje fiksirano. U ovom drugom slucaju kazemo da transformacijadeluje pasivno:

φ′(x′ = x+ a) = φ(x).

φ′(x′) je nova funkcija u novom koordinatnom sistemu.

U opstem slucaju dejstvo je oblika

S =

∫ t2

t1

dtL =

∫ t2

t1

dt

∫d3xL =

∫Ω

d4xL ,

gde je Lagranzijan

L =

∫d3xL .

Velicina L je gustina Lagranzijana.

Gustina Lagranzijana je funkcija polja i izvoda polja

L = L(φr(x), ∂µφr(x)) . (3.1.10)

Jednacine kretanja za polja se dobijaju iz Hamiltonovog principa. Pri vari-jaciji polja

φr(x)→ φ′r(x) = φr(x) + δφr(x) (3.1.11)


infinitezimalna promena dejstva (tj. varijacija dejstva) je

δS =

∫Ω

d4x(L(φ′r(x), ∂µφ

′r(x))− L(φr(x), ∂µφr(x))

)=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr

δφr +∂L

∂(∂µφr)δ(∂µφr)

)=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr

δφr +∂

∂xµ

( ∂L∂(∂µφr)

δφr

)− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

)δφr

)=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

))δφr +

∮∂Ω

∂L∂(∂µφr)

δφrdΣµ

=

∫Ω

d4x( ∂L∂φr− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

))δφr , (3.1.12)

Povrsinski integral je nula jer je varijacija polja na granici oblasti integracijenula. Iz Hamiltonovog principa δS = 0 slede Lagranzeve jednacine kretanja

∂L∂φr− ∂µ

( ∂L∂(∂µφr)

)= 0 . (3.1.13)

Ako je f(x) funkcija a F [f(x)] funkcional, funkcionalni izvod δF [f(x)]δf(y)

je defin-isan sa

δF =

∫dyδF [f(x)]

δf(y)δf(y) .

Gustina Lagranzijana za slobodno skalarno polje je

L =1

2(∂φ)2 − m2

2φ2 . (3.1.14)

Da bi sastavili jednacine kretanja trebaju nam

∂L∂φ

= −m2φ,∂L

∂(∂µφ)= ∂µφ . (3.1.15)

Jednacina kretanja je Klajn-Gordonova jednacina

( +m2)φ = 0. (3.1.16)

Gustina Lagranzijana kompleksnog skalarnog polja je

L = (∂µφ†)(∂µφ)−m2φ†φ , (3.1.17)

3.1. OJLER-LAGRANZEVE JEDNACINE KRETANJA 77

gde je

φ =φ1 + iφ2√

2φ† =

φ1 − iφ2√2

. (3.1.18)

Jednacine kretanja su

( +m2)φ = 0 ( +m2)φ† = 0 (3.1.19)

Realno skalarno polje ima jedan a kompleksno dva stepena slobode. Spinskalarnog polja je 0.

Dirakovo polje opisuje cestice spina s = 1/2. Gustina Lagranzijana je

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ . (3.1.20)

ψ i ψ su nezavisna polja pa dobijamo dve jednacine kretanja

(iγµ∂µ −m)ψ = 0

i∂µψγµ +mψ = 0. (3.1.21)

Dobili smo Dirakovu jednacinu.Lagranzijan vektorskog masenog polja je

L = −1

4FµνF

µν +m2

2AµA

µ , (3.1.22)

gde je Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Variranjem ovog dejstva dobija se (Prokinajednacina)

∂µFµν +m2Aν = 0. (3.1.23)

Lagranzijan elektromagnetnog polja

L = −1

4FµνF

µν − jµAµ . (3.1.24)

Da bismo sastavili jednacine kretanja za potencijale, moramo prvo odrediti

∂L∂Aβ

= −jβ (3.1.25)

i

∂L∂(∂αAβ)

= −1

2F µν ∂Fµν

∂(∂αAβ)

= −1

2F µν(δαµδ

βν − δβµδαν )

= −1

2(Fαβ − F βα)

= −Fαβ .


Jednacine kretanja (Maksvelove jednacine) su

∂αFαβ = jβ , (3.1.26)

odnosno

∂µ(∂µAν − ∂νAµ) = 0

Aν − ∂ν∂µAµ = 0 . (3.1.27)

Spin vektorskog polja je 1. Bezmaseno vektorsko polje ima dva a maseno tristepena slobode.Sledeci primer je polje koje nije relativisticko. Neka je n malih kuglica masam vezano oprugama konstanti elasticnosti k kao na slici. Rastojanje izmedjususednih kuglica je l i tada su opruge nedeformisane. Razmotrimo longitudi-nalne oscilacije ovog sistema. Neka je ξi elongacija i−te kuglice. Lagranzijansistema je

L =1

2

n∑i=1

mξ2i −

1

2

n∑i=1

k(ξi+1 − ξi)2

=1

2

n∑i=1

l(mlξ2i − kl

(ξi+1 − ξil

)2). (3.1.28)

U limesu l → 0 velicina m/l = µ predstavlja masu jedinice duzine zice,suma prelazi u integral, diskretna promenjiva sada postaje polje ξ = ξ(t, x).Lagranzijan postaje

L =1

2

∫dx(µ(∂ξ∂t

)2

− Y(∂ξ∂x

)2), (3.1.29)

gde je Y = kl modul elasticnosti. Jednacina kretanja je

µ∂2ξ

∂t2− Y ∂

2ξ

∂x2= 0 . (3.1.30)

Fazna brzina longitudinalnih talasa je

v =

√Y

µ. (3.1.31)

3.2. HAMILTONOVA FORMULACIJA 79

3.2 Hamiltonova formulacija

Analiticka mehanika: Dejstvo sistema sa konacnim brojem stepeni slobodeje

S[qi] =

∫ tf

ti

L(qi, qi, t)dt , (3.2.32)

gde su q1, . . . , qn generalisane koordinate a q1, . . . , qn generalisane brzine.Generalisani impulsi su definisani sa

pi =∂L

∂qi. (3.2.33)

Da bi se n predhodnih jednacina resilo po generalisanim brzinama potrebnoje da

det[ ∂2L

∂qi∂qj

]6= 0 . (3.2.34)

Hamiltonijan je Lezandrova transformacija Lagranzijana

H(p, q) =n∑i=1

piqi − L(q, q) . (3.2.35)

Hamiltonijan je funkcija generalisanih koordinata i impulsa. Iz

δ

∫dt[ n∑i=1

piqi −H(q, p)]

= 0 (3.2.36)

dobijaju se Hamiltonove jednacine

pi = −∂H∂qi

= −H, qi , (3.2.37)

qi =∂H

∂ii= H, pi . (3.2.38)

Poasonova zagrada definisana je sa

f, g =n∑i=1

( ∂f∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

). (3.2.39)


Teorija poljaGeneralisani impulsi definisani su sa

πr(x) =∂L∂φr

. (3.2.40)

Hamiltonijan zavisi od generalisanih impulsa i polja

H =

∫d3x[∑

r

πrφr − L]. (3.2.41)

VelicinaH =

∑r

πrφr − L (3.2.42)

je gustina Hamiltonijana. Lako se vidi da je gustina Hamiltonijana realnogskalarnog polja

H =1

2π2 +

1

2(∇φ)2 +

m2

2φ2 . (3.2.43)

Variranjem

δ

∫dt[(

∫d3x(πrφr)−H

]=

∫dt

∫d3x[δπrφr + πrδφr −

δH

δφrδφr −

δH

δπrδπr

]=

∫dt

∫d3x[δπrφr − πrδφr −

δH

δφrδφr −

δH

δπrδπr

]= 0 (3.2.44)

dobijamo Hamiltonove jednacine

∂πr∂t

= − δHδφr

∂φr∂t

=δH

δπr. (3.2.45)

Poasaonova zagrada je definisana sa

F (t,x), G(t,y) =

∫d3z( δF (t,x)

δφr(t, z)

δG(t,y)

δπr(t, z)− δF (t,x)

δπr(t, z)

δG(t,y)

δφr(t,x)

).

(3.2.46)

3.3. NETERINA TEOREMA 81

Lako se vidi da je

φr(t,x), πs(t,y) = δrsδ(x− y) . (3.2.47)

Hamiltonove jednacine mozemo prepisati u sledecem obliku

∂πr∂t

= −H,φr

∂φr∂t

= H, πr . (3.2.48)

Hamiltonove jednacine za skalarno polje:

∂π

∂t= m2φ−∆φ

∂φ

∂t= π (3.2.49)

Kombinovanjem ovih jednacina dobijamo Klajn-Gordonovu jednacinu.

3.3 Neterina teorema

Transformacija simetrije ostavljaju sistem invarijantnim, ona preslikava resenjajednacina kretanja ponovo u resenja. Posledica svake globalne kontinualnesimetrije su odrzane velicine (naboji, inegrali kretanja).

Pri neprekidnim infinitezimalnim transformacijama

xµ → x′µ = xµ + δxµ

φr(x)→ φ′r(x′) = φr(x) + δφr(x) (3.3.50)

dejstvo se promeni za

δS =

∫Ω′d4x′L(φ′r(x

′), ∂′µφ′(x′))−

∫Ω

d4xL(φr(x), ∂µφr(x)) .

Ω i Ω′ su jedna te ista oblast prostora Minkovskog parametrizovana jednomsa x a drugi put sa x′ koordinatama (pasivna transformacija). Element za-premine prostora Minkovskog se menja na sledeci nacin

d4x′ =

∣∣∣∣∂x′µ∂xν

∣∣∣∣ d4x

82 3. KLASICNA TEORIJA POLJA∣∣∣∣∂x′µ∂xν

∣∣∣∣ = det

[δµν +

∂

∂xνδxµ]≈ 1 + ∂µ(δxµ)

gde smo koristili

det(1 + A) = eTr ln(1+A) = eTrA+... = 1 + TrA+ . . . .

Totalna varijacija polja je

δφ = φ′(x′)− φ(x)

dok je

δ0φ = φ′(x)− φ(x)

varijacija forme polja. Veza izmedju njih je

δφ = φ′(x′)− φ(x)

= φ′(x′)− φ(x′) + φ(x′)− φ(x)

= δ0φ(x′) + ∂µφδxµ

= δ0φ(x) + ∂µφδxµ . (3.3.51)

U poslednjem koraku smo umesto x′ napisali x sto je korektno jer racunamou prvom redu po δx. Lako se vidi da diferenciranje komutira sa varijacijomforme:

δ0∂µφ = ∂µδ0φ .

Varijacija forme Lagranzijana je

δ0L =∂L∂φ

δ0φ+∂L

∂(∂µφ)δ0∂µφ

a njegova totalna varijacija je

δL = δ0L+ ∂µLδxµ .


Prema tome infinitezimalna promene dejstva je

δS =

∫(1 + ∂µδx

µ)d4x(L+ δL)−∫d4xL

=

∫d4x(δL+ ∂µδx

µL)

=

∫d4x(δ0L+ ∂µLδxµ + ∂µδx

µL)

=

∫d4x

(∂L∂φr

δ0φr + ∂µ

(∂L

∂(∂µφr)δ0φr

)− ∂µ

∂L∂(∂µφr)

δ0φr + ∂µ(Lδxµ)

)=

∫d4x∂µ

(∂L

∂(∂µφr)δ0φr + Lδxµ

)=

∫d4x∂µJ

µ . (3.3.52)

Polja zadovoljavaju jednacine kretanja, sto smo iskoristili u cetvrtom redu.Ako su neprekidne transformacije (3.3.50) simetrija nase klasicne teorije, tj.δS = 01 onda je

∂µJµ = 0, (3.3.53)

gde je Neter struja Jµ data sa

Jµ =∂L

∂(∂µφr)δ0φr + Lδxµ =

∂L∂(∂µφr)

δφr − T µνδxν , (3.3.54)

gde je:

T µν =∂L

∂(∂µφr)∂νφr − Lδµν .

tenzor energije-impulsa. Velicine

Qa =

∫d3xJa0 (3.3.55)

1Opstije: Dejstvo poseduje simetriju ukoliko je

δS =

∫d4x∂µK

µ ,

pa je Neterina struja (∂L

∂(∂µφr)δ0φr + Lδxµ

)−Kµ .


su konstante kretanja (naboji, ocuvane velicine), tj.

dQa

dt= 0 . (3.3.56)

Poslednje se lako proverava

dQa

dt=

d

dt

∫d3xja0

=

∫d3x

∂ja0∂t

=

∫d3xdiv~ja (3.3.57)

=

∫d3xja · dS = 0 , (3.3.58)

uz odgovarajucu asimptotiku polja. Oblast integracije je najcesce ceo pros-tor i ja → 0 kad r → ∞. Sumirajmo: Ako je dejstvo invarijantno naneprekidne transformacije (koje cine n-parametarsku Lijevu grupu) onda pos-toji n velicina (naboji) koji su konstante kretanja. Njih dakle ima onolikokoliko grupa simetrije ima generatora.

3.3.1 Fazna invarijantnost

Lagranzijan kompleksnog slobodnog polja

L = (∂µφ†)(∂µφ)−m2φ†φ , (3.3.59)

invarijantan je na fazne (U(1)) transformacije

φ→ eiθφ, φ† → e−iθφ† . (3.3.60)

Ove transformacije nisu prostorno vremenske vec su tzv. unutrasnje jer x′ =x. Infinitezimalne promene su

δφ = iθφ

δφ† = −iθφ†

δxµ = 0 (3.3.61)


pa je Neter struja

jµ =∂L

∂(∂µφ)δφ+

∂L∂(∂µφ†)

δφ† − T µνδxν

= iθ∂µφ†φ− iθ∂µφφ†

= iθ(φ∂µφ† − φ†∂µφ) . (3.3.62)

Ocuvan naboj je

Q = iq

∫d3x(φ†∂0φ− φ∂0φ) . (3.3.63)

Kao sto je poznata iz kursa Kvantne mehanike talasna funkcija je odredjenado na fazu. Pri transformacijama

|ψ〉 → |ψ′〉 = eiθ|ψ〉,

gde je θ = const kvadrat modula talasne funkcije se ne menja

|ψ|2 = |ψ′|2 .

Slicno je i sa matricnim elementima operatora

〈ψ′|O|ϕ′〉 = 〈ψ|O|ϕ〉 .

Fazne transformacije su U(1) transformacije. Dejstvo za ’Sredingerovo polje’je

S =

∫d4x

[ψ∗(−i~ ∂

∂t

)ψ +

~2

2m(∇ψ∗)∇ψ + V (~r)ψ∗ψ

].

Variranjem ovog dejstva po ψ i ψ∗ dobijaju se Sredingerova jednacina

i~∂ψ

∂t=

(− ~2

2m4+ V (~r)

)ψ

i njoj komleksno konjugovano jednacina. Dejstvo a i Sredingerova jednacinasu invarijantni na U(1) transformacije

ψ → eiθψ ψ∗ → e−iθψ∗ .

Nulta komponenta Neter struje je

j0 =∂L

∂(∂tψ)δψ + δψ∗

∂L∂(∂tψ∗)

= ~θψ∗ψ (3.3.64)


Slicno je i

~j =i~2θ

2m

(∇ψ∗ψ − ψ∗∇ψ

). (3.3.65)

Oni zadovoljavaju jednacinu kontinuuiteta ali i izrazi dobijeni deljenjem saθ~

j0 = ρ = ψ∗ψ

~j =i~2m

(∇ψ∗ψ − ψ∗∇ψ

)(3.3.66)

takodje zadovoljavaju jednacinu kontinuuiteta. Ovo su dobro poznati izraziza gustinu verovatnoce i struje sa kursa Kvantne mehanike.

Dirakov Lagranzijan

L = ψ(i∂µγµ −m)ψ

je takodje invarijantan na fazne transformacije

ψ → eiθψ ψ → e−iθψ.

Neter struja je

jµ =∂L

∂(∂µψ)δψ + δψ

∂L∂(∂µψ)

jµ = −θ(ψγµψ) . (3.3.67)

Kako je θ konstantan parametar to ga mozemo odbaciti pa je struja

jµ = ψγµψ . (3.3.68)

Ocuvani naboj je

Q =

∫d3xψ†ψ . (3.3.69)

3.3.2 Primer neabelove simetrije

U prethodnim primerima simetrija je bila abelova, u narednom primeru onaje neabelova. Neka je

Ψ =

(ψpψn

)


dublet SU(2) grupe. Gustina Lagranzijana

L = Ψ(i∂µγµ −m)Ψ

je invarijantna na SU(2) transformacije

Ψ→ ei~θ·~τ2 Ψ, θ = const.

Neter struja je

jaµ = Ψτa

2γµΨ .

Ocuvane velicine Qa = 12

∫d3xψ†i τ

aijψj su izospin. Pokazati da Qa zadovol-

javaju komutacione relacije SU(2) grupe.

3.3.3 Translaciona invarijantnost i tenzor energije im-pulsa

Pri translacijama

x′µ = xµ + εµ

δφ = 0⇒ δ0φ = −εµ∂µφ (3.3.70)

dejstvo slobodnog skalarnog polje je invarijantno. Neterina struja je

jµ = (−∂µφ∂νφ+ Lgµν)εν = −Tµνεν . (3.3.71)

Ocuvana velicina je cetvoroimpuls skalarnog polja

P ν =

∫d3xT 0ν . (3.3.72)

Nulta komponenta impulsa je Hamiltonijan

H = P 0 =

∫d3xT 00

=

∫d3x[1

2(∂0φ)2 +

1

2(∇φ)2 +

m2

2φ2]

=

∫d3xH . (3.3.73)

Implus slobodnog skalarnog polja je

P i = −∫

d3x∂0φ∂iφ . (3.3.74)

Tenzor energije impulsa skalarnog polja je simetrican mada u opstem slucajunije. O simetrizaciji tenzora energije videti u zadatku 5.18.


3.3.4 Lorencova simetrija i ugaoni moment

Pri Lorencovim transformacijama δxµ = ωµνxν polja se menjaju po

φ′r(x′ = Λx) = Srs(ω)φs(x) =

(e−

i2ωµνΣµν

)rsφs(x) , (3.3.75)

gde su Σµν generatori Lorencove grupe u prostoru komponenti polja2. To-talna varijacija polja je

δφr(x) = − i2ωµν(

Σµν

)rsφs(x) (3.3.76)

pa je Neterina struja

jµ =∂L

∂(∂µφr)δφr − T µνδxν

= − i2

∂L∂(∂µφr)

ωνρ(Σµν)rsφs(x)− T µνωνρxρ

=1

2ωνρ[− i ∂L

∂(∂µφr)(Σµν)rsφs(x) + (xnT

µρ − xnT µρ)

]=

1

2ωνρMµ

νρ . (3.3.77)

Ocuvane velicine su

Mνρ =

∫d3xM0

νρ

=

∫d3x[− i ∂L

∂(∂0φr)(Σµν)rsφs(x) + (xνT

0ρ − xρT 0

ν)].(3.3.78)

M0i su generatori bustova a Mij generatori rotacija.

2Ovo su generatori u sistemu mirovanja. U zadatku 8.5 pokazano je da je generatorspinorskog polja

i(xµ∂ν − xν∂µ) +1

2σµν .

Prva dva sabirka su orbitalni moment dok je

Σµν =1

2σµν

spinski deo uglovnog momenta

3.4. *NETERINA TEOREMA U ANALITICKOJ MEHANICI 89

3.4 *Neterina teorema u analitickoj mehanici

U ovoj lekciji cemo malo generalnije ispitati svojstva simetrije mehanickihsistema. Sistem je opisan lagranzijanom odnosno dejstvom

S =

∫ t2

t1

L(qi(t), qi(t), t)dt . (3.4.79)

Ispitivanje simetrije sistema svodi se na ispitivanje ponasanja dejstva pritransformacijama simetrije. Pri kontinulanim3 transformacijama general-isane koordinate i vreme prelaze u nove, primovane koordinate i vreme premat→ t′(t), qi(t)→ q′i(t

′). Mi cemo se ograniciti na infinitezimalne transforma-cije:

t → t′ = t+ δt(t)

qi(t) → q′i(t′) = qi(t) + δqi(t) . (3.4.80)

Sa δt(t) oznacili smo infinitezimalnu promenu vremena koja moze da zavisiod t, a sa δqi(t) promenu generalisanih koordinata.

Potrazimo promenu dejstva pri transformacijama (3.4.80). Dejstvo semenja zbog promene koordinata i vremena. Takodje granice integracije semenjaju: t′1 = t′(t1) odnosno infinitezimalno t′1 = t1 + δt(t1). Slicno vazi iza gornju granicu integracije. Promenu dejstva obelezicemo sa δS i ona jerazlika dejstva posle i pre transformacije:

δS = S ′ − S

=

∫ t′2

t′1

L(q′i(t′), q′i(t

′), t′)dt′ −∫ t2

t1

L(qi(t), qi(t), t)dt . (3.4.81)

U novom dejstvu S ′ napravicemo smenu promenljive: sa integracije po t′

precicemo na integraciju po t. Jasno je da je

dt′ = dt(

1 +d(δt)

dt

)(3.4.82)

kao i da je

L(q′i(t′), q′i(t

′), t′) = L(q′i(t+ δt), q′i(t+ δt), t+ δt)

= L(q′i(t), q′i(t), t) +

dL(q′i(t), q′i(t), t)

dtδt

= L(q′i(t), q′i(t), t) +

dL(qi(t), qi(t), t)

dtδt . (3.4.83)

3Transformacije mogu biti neprekidne (kontinualne) i diskretne.


Pri prelazu iz drugog u treci red uklonili smo primove na koordinatama ibrzinama od kojih zavisi lagranzijan u drugom sabirku jer radimo sa tacnoscuprvog reda po malim velicinama. Taj clan je infinitezimalno mala velicinaprvog reda zbog δt. Transformisano dejstvo je

S ′ =

∫ t2

t1

dt(

1 +d(δt)

dt

)(L(q′i(t), q

′i(t), t) +

dL

dtδt)

=

∫ t2

t1

dt(L(q′i(t), q

′i(t), t) +

d(Lδt)

dt

), (3.4.84)

s tacnoscu do prvog reda po malim velicinama.Ako uvedemo varijaciju forme koordinata sa

δ0qi(t) = q′i(t)− qi(t)

onda je

L(q′i(t), q′i(t), t) = L(qi(t), qi(t), t) +

∑i

∂L

∂qiδ0qi +

∑i

∂L

∂qiδ0

(dqidt

). (3.4.85)

Primenom Lagranzevih jednacina

∂L

∂qi=

d

dt

(∂L∂qi

)(3.4.86)

imamo

L(q′i(t), q′i(t), t) = L(qi(t), qi(t), t) +

d

dt

(∑i

∂L

∂qiδ0qi

)(3.4.87)

Prema tome infinitezimalna promena dejstva je

δS =

∫ t2

t1

dt[ d

dt(Lδt) +

d

dt

(∑i

∂L

∂qiδ0qi

)](3.4.88)

odnosno

δS =

∫ t2

t1

dtd

dt

[Lδt+

∑i

∂L

∂qiδ0qi

]=

[Lδt+

∑i

∂L

∂qiδ0qi

]∣∣∣t2t1. (3.4.89)


Ako se dejstvo ne menja pri transformacijama (3.4.80), tj. ako je δS = 0 ondakazemo da su te transformacije simetrija naseg modela. Onda iz (3.4.89) sledida je velicina

Q = Lδt+∑i

∂L

∂qiδ0qi (3.4.90)

konstanta kretanja. To je glavni rezultat Neterine teoreme. Svaka kontinu-alna simetrija dejstva daje konstante kretanja.

Napomenimo samo da je varijaciju forme koordinata δ0qi(t) povezana saδqi(t). Lako se vidi

δ0qi(t) = q′i(t)− qi(t)= qi(t− δt)− qi(t)= −δtqi(t) . (3.4.91)

Naravno gornja formula je tacna u linearnom redu po δt.Generalnije, dejstvo je invarijantno ukoliko je promena lagranzijana izvod

po vremenu neke funkcije

δS =

∫ t2

t1

dtdδF

dt= δF

∣∣∣t2t1. (3.4.92)

Promena dejstva, tj. δF se nalazi eksplicitno zamenom transformacije (3.4.80)u dejstvo. Ako je δF 6= 0 onda je velicina

Q = Lδt+∑i

∂L

∂qiδ0qi − δF (3.4.93)

konstanta kretanja.Primer 1. Vremenske translacije su definisane sa

t′ = t+ τ

q′i(t′) = qi(t) , (3.4.94)

gde je τ konstanta. Ako Lagranzijan ne zavisi ekspicitno od vremena ondaje

δS = 0 , (3.4.95)

tj. δF = 0. Iz δqi(t) = 0 sledi δ0qi(t) = −τ qi(t). Ocuvana velicina prema(3.4.93) je

Q = Lτ −∑i

qi∂L

∂qiτ = −τ

(∑i

piqi − L)

= −τH . (3.4.96)


Konstantu −τ mozemo ignorisati pa je ocuvana velicina hamiltonijan H.Primer 2. Lagranzijan slobodnog izolovanog sistema cestica koje intereagujucentralnim konzervativnim silama je

L =1

2

N∑α=1

mαr2α −

1

2

N∑αβ=1

Vαβ(|rα − rβ|) . (3.4.97)

On je invarijantan na rotacije

t′ = t

r′α = rα + θ × rα . (3.4.98)

Opet je δF = 0. Ocuvana velicina je

N∑α=1

∂L

∂rαδ0rα =

N∑α

mαrα · (θ × rα)

= θ ·N∑α

mαrα × rα

= θ · L . (3.4.99)

Ugao rotacije θ je konstantan pa je moment impulsa L konstanta kretanja.Rotaciona simetrija daje moment impulsa kao ocuvanu velicinu.Primer 3. Pokazati da je Lagranzijan iz Primera 2 invarijantan na translacije

t′ = t

r′α = rα + ε , (3.4.100)

gde je ε konstantan vektor i da je cuvana velicina impuls sistema.Primer 4. Pokazite da je velicina mrc − tP ocuvana velicina Lagranzijana izPrimera 2 pri Galilejevom bustu. Koji je smisao ove velicine?Primer5. Lagranzijan cestice u gravitacionom polju je

L =1

2m(x2 + y2 + z2)−mgz . (3.4.101)

Pokazati da je ovaj Lagranzijan nije invarijantan na proizvoljne translacije

x → x+ ε1

y → y + ε2

z → z + ε3 , (3.4.102)


ali da jeste invarijantan na translacije u xy ravni, tj. kad je ε3 = 0.Dakle, ako imate nepoznat sistem i zelite da vidite sta mu je energija, impulsili momont impulsa potrebno je da pogledate njegovo ponasanje pri vremen-skim translacijama, prostornoj translacili i rotacijama. Slicno vazi i za drugevelicine.

Zadaci

3.1. Odrediti jednacine kretanja za sledeca dejstva:

a) S =∫

d4x(

12(∂µφ)(∂µφ)− 1

2µ2φ2 + ψ(iγµ∂µ −m)ψ + gψψφ

),

b) S =∫

d4x(ψ(iγµ∂µ −m)ψ + gψγµAµψ − 1

4FµνF

µν)

,

c) S =∫

d4x(− 1

4FµνF

µν + cθαβ(FµνFµνFαβ − 4FµνF

µαFνβ))

.

Ovde su µ i g realne pozitivne konstante, a θαβ je realna, konstantnaantisimetricna matrica.

3.2. Dat je lagranzijan

L = (∂µφ)∗(∂µφ)− µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2,

gde je φ kompleksno skalarno polje. Odrediti jednacine kretanja za ovuteoriju. Zatim naci konjugovane impulse i hamiltonijan teorije. Pokazatida je dati lagranzijan invarijantan u odnosu na U(1) globalne transformacijeφ→ φ′ = e−iαφ, gde je α konstantan realni parametar i naci ocuvanu struju.Proveriti eksplicitno da je struja ocuvana.

3.3. Dat je lagranzijan:

L =1

2(∂µφ1)(∂µφ1) +

1

2(∂µφ2)(∂µφ2)− µ

2(φ2

1 + φ22) +

λ

4(φ2

1 + φ22)2 + ψiγµ∂µψ,

gde su φ1 i φ2 realna skalarna polja, a ψ je Dirakovo polje. Pokazati da jeovaj lagranzijan invarijantan na transformacije:

φ1 → φ′1 = φ1 cosα− φ2 sinα

φ2 → φ′2 = φ1 sinα + φ2 cosα

ψ → ψ′ = e−iαγ52 ψ,


a zatim odrediti ocuvanu struju i naboje. Proveriti da li dodavanje masenogclan za polje ψ, mψψ narusava ovu simetriju.

3.4. Dat je lagranzijanL = ψ(iγµ∂µ −m)ψ,

gde je ψ = (ψ1, ψ2)T dublet spinorskih polja. Odrediti jednacine kretanjaza ovaj lagranzijan. Zatim pokazati da je L invarijantan na globalne SU(2)transformacije, pa naci Neter struju i pokazati da je ona ocuvana. Pokazatida (posle kvantizacije teorije) ocuvani naboji zadovoljavaju algebru

[Qa, Qb] = iεabcQc .

3.5. Pri dilatacijama se koordinate transformisu kao xµ → x′µ = e−ρxµ,

dok se skalarno polje transformise kao φ → φ′ = eρφ. Ovde je ρ konstantniparametar. Odrediti varijaciju forme skalarnog polja pri dilatacijama. Da lije dejstvo za slobodno skalarno polje invarijantno na dilatacije? Naci Neterstruju i proveriti da li je ona ocuvana.

4

Gradijentna simetrija

U prethodnim poglavljima smo se uverili u znacaj simetrija u fizici elemen-tarnih cestica. Simetrije oje smo do sada analizirali su globalne simetrije:parametri transformacija su konstante (ne zavise od koordinata prostor-vremena). Ove simetrije su imale primenu u klasifikaciji elementarnih cestica.U ovom poglavlju cemo uvesti pojam lokalne (gradijentne, klaibracione,gauge) simetrije. Analiziracemo detaljo teorije sa lokalnom simetrijom ivideti kako je lokalizacija simetrije neraskidivo povezana sa uvodjenjem in-terakcije.

4.1 Cestica u elektromagnetnom polju, lokalna

simetrija

Krenimo od jednostavnog primera naelektrisane cestice u elektro-magnetnom(EM) polju. Neka se cestica mase m i naelektrisanja q nalazi u spoljnjemEM polju opisanom cetvoro-vektorom potencijala Aµ = (ϕ

c,A). Lagranzijan

ove ’v cestice je dat sa:

L = −mc2

√1− v2

c2− qϕ+ qv ·A . (4.1.1)

Generalisani impuls konjugovan vektoru polozaju cestice je:

P =∂L

∂v= p + qA =

mv√1− v2

c2

+ qA . (4.1.2)

95

96 4. GRADIJENTNA SIMETRIJA

Lezandrovom transformacijom iz Lagranzijana dobijamo Hamiltonijan

H = P · v − L =√

(P− qA)2c2 +m2c4 + qϕ . (4.1.3)

Gornji izraz mozemo prepisati u obliku

(H − qϕ)2

c2− (P− qA)2 = m2c2 . (4.1.4)

Podsetimo se da za slobodnu relativisticku cesticu vazi relacija:

pµpµ = m2c2 ⇒ E2

c2− p2 = m2c2 . (4.1.5)

Primetimo da ako u (4.1.5) napravimo smenu

E → H − qϕp → P− qA , (4.1.6)

dobijamo (4.1.4).U kvantnoj teoriji, Hamiltonijan i impuls slobodne cestice su u koordi-

natnoj reprezentaciji reprezentovani diferencijalnim operatorima:

H → i∂

∂tP→ −i∇ .

Iz (4.1.6) sledi da pri prelasku iz slobodne teorije na teoriju koja opisujerelativisticku cesticu u elektromagnetnom polju pravimo sledecu smenu:

i∂

∂t→ i

∂

∂t− qϕ

−i∇ → −i∇− qA

⇒

∂

∂t→ ∂

∂t+ iqϕ

∇ → ∇− iqA

Ova smena se moze zapisati u manifestno kovarijantnom obliku

∂µ → ∂µ + iqAµ ≡ Dµ , (4.1.7)

gde je Dµ kovarijantni izvod. Zamena parcijalno izvoda ∂µ kovarijantnimizvodom Dµ, odgovara prelasku sa slobodne na interagujucu teoriju i nazivase princip minimalne zamene (minimal coupling).

Razmotrimo sada Sredingerovu jednacinu za slobodnu cesticu:

i~∂

∂tψ = − ~2

2m∇2ψ . (4.1.8)

4.2. LOKALNA U(1) SIMETRIJA U KVANTNOJ ELEKTRODINAMICI97

Ova jednacina je invarijantna na globalne U(1) (fazne) transformacije:

ψ(x)→ ψ′(x) = eiαψ(x) , (4.1.9)

gde je parametar α konstanta. Ako se cestica nalazi u EM polju, njen Hamil-tonijan je:

H =(P− qA)2

2m+ qϕ

pa jednacina kretanja ima oblik

i~∂

∂tψ =

[(−i~∇− qA)2

2m+ qϕ

]ψ

i~∂

∂tψ =

[−(~∇− iqA)2

2m+ qϕ

]ψ(

i∂

∂t− qϕ

)ψ =

[−(∇− iqA)2

2m

]ψ , (4.1.10)

sto je u skladu sa gore opisanom zamenom ∂µ → Dµ. Jednacina (4.1.10) imavecu simetriju od globalne fazne invarijantnosti. Ta simetrija je

ψ(t, ~r) → e−iqα(t,~r)ψ(t, ~r)

ϕ→ ϕ+∂α

∂tA→ A−∇α

Aµ → Aµ + ∂µα (4.1.11)

Ovo je lokalna U(1) simetrija. Termin ”lokalna” znaci da parametar α nijekonstanta, kao u slucaju globalne simetrije, vec je funkcija koordnata prostor-vremena. Lokalana simetrija se naziva i gauge, kalibracionom ili gradijent-nom simetrijom. Jednacina za slobodnu cesticu (4.1.8) nije invarijantna nalokalne U(1) transformacije. Vidimo da, zahtevajuci invariajntnost na lokalnetransformacije, od slobodne teorije (4.1.8) prelazimo na interagujucu teorijunaelektrisane cestice u EM polju (4.1.10).

4.2 Lokalna U(1) simetrija u Kvantnoj elek-

trodinamici

Slobodni elektron je opisan Dirakovim Lagranzijanom:

L0 = ψ(iγµ∂µ −m)ψ . (4.2.12)


Ovaj lagranzijan je invarijantan na globalne U(1) transformacije

ψ(x)→ ψ′(x) = eiαψ(x) ,

gde je α konstantni parametar transformacije. Primenimo princip minimalnezamene na ovaj lagranzijan i zamenimo parcijalni izvod sa kovarijantnimDµψ = ∂µψ− iqAµψ, gde je Aµ novo polje: gradijentno (gauge, kalibraciono,kompenzujuce) polje. Ovo polje je zapravo cetvoro-vektor EM potencijala.U kvantnoj teoriji, polje Aµ je foton, prenosilac EM interakcije. SlobodniDirakov Lagranzijan (4.2.12) postaje

L = ψ(iγµDµ −m)ψ − 1

4FµνF

µν , (4.2.13)

gde smo dodali i kineticki clan za EM polje. Kroz kovarijantni izvod smo uveliinterakciju elektrona sa elektromagnetnim poljem (minimalno kuplovanje)

L = ψ(iγµ∂µ −m+ qγµAµ)ψ − 1

4FµνF

µν . (4.2.14)

Dobijeni lagranzijan je invarijantan na lokalne fazne transformacije

ψ → ψ′(x) = e−iqθψ , Aµ(x)→ A′µ(x) = Aµ(x) + ∂µα . (4.2.15)

To cemo lako proveriti:

L → ψe−iqα[ieiqαγµ∂µψ − qeiqαγµ(∂µα)ψ −meiqαψ

− qγµAµeiqαψ + qγµ(∂µα)eiqαψ]

− 1

4FµνF

µν

= ψ(iγµ∂µ −m− qγµAµ)ψ − 1

4F µνFµν .

Sa druge strane, moze se pokazati da lagranzijan za slobodni elektron (4.2.12)nije invarijantan na lokalne U(1) transformacije: ψ → ψ′ = eiα(x)ψ. Dakle,zamenom obicnog izvoda kovarijantnim izvodom mi lokalizujemo globalnusimetriju i na taj nacin uvodimo interakciju elektrona sa EM poljem. Ovalokalna simetrija je abelova, to jest dve transformacije U = eiα(x) i U ′ = eiα

′(x)

komutiraju.

4.3. NEABELOVA GRADIJENTNA SIMETRIJA 99

4.3 Neabelova gradijentna simetrija

Otkricem neutrona 1932. godine, postalo je jasno da se jezgro sastoji odprotona i neutrona, koji medjusobno interaguju nuklearnom1 interakcijom.Motivisan uvodjenjem spina u kvantnu mehaniku i vrlo malom razlikommasa izmedju protona i neutrona, Hajzenberg je predlozio da se proton ineutron shvate kao dva razlicita stanja jedne cestice, nukleona. Simetrijakoja povezuje ova dva stanja je izospinska SU(2) simetrija, SU(2)I u nas-tavku. Ova simetrija je simetrja nuklearne interakcije, kao sto je U(1) faznasimetrija simetrije EM interakcije. Ipak, SU(2)I nije egzaktna simetrija, vecje slabo narusena i to zbog postojanja EM interakcije, koja razlikuje protoni neutron. Smatrajuci da je ovo narusenje malo, postavlja se pitanje da lise lokalizacijom SU(2)I moze uvesti/opisati nuklearna interakcija, kao sto selokalizacijom U(1) simetije uvodi EM interakcija. U nastavku cemo pokusatida odgovorimo na ovo pitanje.

Podjimo od dubleta SU(2)I

Ψ =

(ψpψn

), (4.3.1)

gde su ψp i ψn Dirakovi spinori protona i neutrona. Lagranzijan

L = Ψ(iγµ∂µ −m)Ψ (4.3.2)

je invarijantan na SU(2) globalne transformacije

Ψ→ Ψ′ = eiαa τa

2 Ψ . (4.3.3)

Matrice τa su Paulijeve matrice (generatori SU(2) grupe) a = 1, 2, 3, dok suparametri αa konstantni. U lagranzijanu smo (4.3.2) smo pretpostavili da sumase protona i neutrona jednake, tj. da je SU(2)I simetrija egzaktna. Ako ujednoj tacki prostor-vremena definisemo sta je proton, a sta neutron, onda tovazi u svakoj tacki prostor-vremena. Sada cemo lokalizovati ovu simetriju,tj. uzecemo da su parametri transformacije αa = αa(x) postaju funkcijekoordinata prostor-vremena. Polja materije se sada transformisu kao

Ψ(x)→ Ψ′ = U(α(x))Ψ(x) = eiαa(x)τa

2 Ψ(x) . (4.3.4)

1Termin ”nuklearna interakcija” cemo koristiti za interakciju izmedju protonai neu-trona. Ona je odgovorna za formiranje i stabilnost jezgra. Termin ”jaka interakcija” cemokoristiti za interakciju izmedju kvarkova. Jaka interakcija je odgovorna za formiranjehadrona.


Primetimo da (kao i u slucaju U(1) simetrije) su ove trandformacije un-utrasnje, tj. one ne deluju na koordinate prostor-vremena.

Lako se vidi da kineticki clan u Lagranzijanu nije invarijantan na lokalnetransformacije:

Ψγµ∂µΨ→ ΨγµU−1∂µ(UΨ) = Ψ(U−1γµ∂µU)Ψ + Ψγµ∂µΨ .

Da bi postigli invarijantnost Lagranzijana, parcijalni izvod ∂µ cemo zamenitisa kovarijantnim izvodom:

DµΨ = ∂µΨ− igAaµτa

2Ψ = ∂µΨ− igAµΨ , (4.3.5)

gde je Aµ = Aaµτa

2. Na ovaj nacin smo uveli tri gradijentna polja (potencijala)

Aaµ, a = 1, 2, 3. Polja ima onoliko koliko grupa simetrije ima generatora. Sag smo oznacili konstantu interakcije. Na ovaj nacin smo povecali simetriju.Cena koju placamo je uvodjenje dopunskih stepeni slobode, dok je koristprincipa lokalizacije simetrije uvodjenje interakcije. Ovaj princip su prviuveli Yang i Mills i to na primeru SU(2) izospinske simetrije (Yang, Mills,Phys. Rev. 96 (1954) 191).

Da bi imali lokalnu invarijantnost Lagranzijana, zahtevacemo da se ko-varijantni izvod polja Ψ, DµΨ, transformise isto kao i polje Ψ:

(DµΨ)′ = U(α)(DµΨ) . (4.3.6)

Ovaj zahtev dace nam zakon transformacije gradijentnih polja Aµ

∂µΨ′ − igA′µΨ′ = U(θ)(∂µΨ− igAµΨ)

(∂µU)Ψ + U∂µΨ− igA′µUΨ = U∂µΨ− igUAµΨ

∂µU − igA′µU = −igUAµ

A′µU =1

ig∂µU + UAµ . (4.3.7)

Iz poslednjeg izraza, koristeci identitet

(∂µU)U−1 = −U∂µU−1 , (4.3.8)

dobijamo zakon transformacije gradijentnih polja pri lokalnim transformaci-jama


A′µ = U

(Aµ +

i

g∂µ

)U−1 . (4.3.9)

Ukoliko predpostavimo da su parametri transformacije mali, element grupe

U = eiαa τa

2 mozemo da razvijemo do clanova linearnih po αa

U(θ) = eiαa τa

2 ≈ 1 +i

2τaθa .

Onda je

A′bµτ b

2=

(1 +

i

2τaαa

)Abµ

τ b

2

(1− i

2τaαa

)− i

g· i

2τa∂µα

a

(1− i

2τaαa

)A′bµ

τ b

2= Abµ

τ b

2+i

2αaτaτ b

2Abµ −

i

2Abµ

τ bτa

2αa +

1

2gτ b∂µα

b

A′cµτ c

2= Acµ

τ c

2+ iαaAbµiε

abc τc

2+

1

2gτ c∂µα

c

odnosno2

A′cµ = Acµ +1

g∂µθ

c − εcabθaAbµ

≡ Acµ +1

g(Dµθ)

c .

Dakle, infinitezimalna promena gradijentnog polja je

δAaµ =1

g∂µθ

c − εcabθaAbµ . (4.3.10)

Primetimo da se pri globalnim transformacijama gradijentna polja trans-formisu prema

Ac′µ = Acµ − εcabαaAbµ ,odnosno uvodeci vektor Aµ = (A1

µ, A2µ, A

3µ)

A′µ = Aµ + i[α,Aµ]

A′µ = Aµ −α×Aµ . (4.3.11)

2Na polje θ = θa τa

2 koje se transformise po pridruzenoj reprezentaciji grupe, kovar-ijantni izvod deluje kao Dµθ = ∂µθ − ig[Aµ, θ], ili u komponentnoj notaciji Dµθ

a =∂µθ

a + gεabcAbµθc.


Ovo je vektorski zakon transformacije. Indeks unutrasnje grupe simetrije,a, je vektorski indeks. Pri lokalnim infinitezimalnim transformacijama var-ijacija polja δAaµ je zbir gradijentnog clana i clana koji odgovara vektorskojreprezentaciji SU(2) grupe.

Lagranzijan invarijantan na globalne SU(2) transformacije

L0 = Ψ(i∂µγµ −m)Ψ ,

pri lokazlizaciji simetrije prelazi u

L = Ψ

[iγµ(∂µ − igAaµ

τa

2

)−m

]Ψ

= L0 + gΨγµAaµτa

2Ψ = L0 + Lint . (4.3.12)

Vidimo da smo dobili interakcioni clan

Lint = gψiγµAaµ

τaij2ψj . (4.3.13)

Posle kvantovanja teorije, ovaj clan daje verteks

.

Da bi Lagranzijan bio kompletan moramo dodati kineticki clan za gradi-jentna polja. U slucaju lokalne U(1) (abelove) simetrije, tenzor jacine poljaje definisan sa

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ . (4.3.14)

Kako ovo generalisati na neabelovu teoriju? Nadjimo komutator dva kovari-jantna izvoda

[Dµ, Dν ] Ψ = DµDνΨ−DνDµΨ

= ∂µ(DνΨ)− igAµ(DνΨ)− (µ↔ ν)

= ∂µ∂νΨ− ig(∂µAν)Ψ− igAν∂µΨ− igAµ∂νΨ− g2AµAνΨ− (µ↔ ν)

= −ig(∂µAν − ∂νAµ − ig [Aµ, Aν ])Ψ .


Tenzor jacine polja definisacemo sa

[Dµ, Dν ] Ψ = −igFµνΨ .

Iz posledenje relacije sledi

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − ig [Aµ, Aν ] . (4.3.15)

Vidimo da je ovaj izraz generalizacija izraza za tenzor jacine polja u abelovomslucaju (4.3.14), jer je u abelovom slucaju [A − µ,Aν ] = 0, pa se rezultat(4.3.15) svodi na (4.3.14). U komponentnom obliku imamo

F aµν

τa

2= ∂µA

aν

τa

2− ∂νAaµ

τa

2− igiεabcAaµAbν

τ c

2.

Iz poslednjeg izraza sledi da su komponente jacine polja

F aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ + gεabcAbµA

cν . (4.3.16)

Nadjimo sada kako se Fµν transformise pri kalibracionim transformacijama

F ′µνΨ′ =

i

g

[D′µ, D

′ν

]Ψ′

= − 1

ig(D′µD

′ν −D′νD′µ)Ψ′

= − 1

igU(DµDν −DνDµ)Ψ = UFµνΨ .

Dakle, tenzor jacine polja se transformise prema

F ′µν = UFµνU−1 . (4.3.17)

Sada cemo gornji zakon transformacije prepisati preko komponenti i u in-finitezimalnom obliku

F ′aµντa

2=

(1 + i

τa

2θa)F bµν

τ b

2

(1− iτ

a

2θa)

= F bµν

τ b

2+ iθaF b

µν

[τa

2,τ b

2

]= F b

µν

τ b

2− θaF b

µνεabc τ

c

2.


Dakle,F′cµν = F c

µν − εcabθaF bµν . (4.3.18)

Po analogiji sa (4.3.11), uvodeci vektor Fµν = (F 1µν , F

2µν , F

3µν), ovaj zakon

transformacije se moze zapisati i kao

F′µν = Fµν + i[α,Fµν ]

= Fµν −α× Fµν . (4.3.19)

Tenzor jacine polja se transformise kao vektor; drugim recima, indeks grupesimetrije a u oznaci F a

µν je pravi vektorski indeks. Napomenimo da se Fµνtransformise isto i pri lokalnim i pri globalnim transformacijama. Polja ma-terije transformisu se po fundamentalnoj reprezentaciji SU(2) grupe, tenzorjacine polja po pridruzenoj reprezentaciji. Gradijentna polja se transformisunestandardno (nelinearno, nehomogeno) pri gradijentnim transformacijama.

Od tenzora jacine polja treba konstruisati velicinu invarijantnu na lokalneSU(2)I transformacije. Lako se proverava da je velicina F a

µνFµνa invarijantna:

Tr(FµνFµν)→ Tr(UFµνU

−1UF µνU−1) = Tr(FµνFµν) .

Koriscenjem identiteta Tr(τaτ b) = 2δab dobijamo

Tr(FµνFµν) = 2F a

µνFµνa .

Primetimo da maseni clan za polja Aaµ, TrAmuAµ = 1

2AaµA

µa nije in-varijantan na gradijentne transformacije (4.3.9), pa se ne moze dodati ulagranzijan.

Konacno mozemo napisati ukupni lagranzijan invarijantan na lokalneSU(2)I transformacije

L = Ψ(iγµDµ −m)Ψ− 1

4F aµνF

µνa . (4.3.20)

Ovaj lagranzijan opisuje polje materije (nukleon, tj. proton i neutron), kojeinteraguje sa prenosiocima interakcije Aaµ. Za razliku od EM interakcije, gdefoton (prenosioc EM interakcije) ne intereaguje sam sa sobom, u neabelovojgauge teoriji postoji interakcija gradijentnih polja (prenosioca interakcije)polja samih sa sobom. Ovo sledi iz clana

F aµνF

µνa = (∂µAaν − ∂νAaµ + gεabcAbµA

cν)

2 .

Posle kvantizacije teorije, iz ovog clana se dobijaju propagatori za polja Aaµ,kao i verteksi koji opisuju interakciju ovih polja

4.4. PROIZVOLJNA NEABELOVA GRADIJENTNA TEORIJA 105

.

Konstruisani model (4.3.20) sa lokalnom SU(2)I simetrijom nam govorida su prenosioci nuklearne interakcije gradijentna polja Aaµ. Lorencov indeksovih polja, µ, ukazuje da je njihov spin (hlicitet zapravo, jer su polja bez-masena) s = 1. Jang i Mils su u svom radu pretpostavili da su polja materijep i n, kao sto smo vec rekli, dok su gradijentna polja π mezoni

A3µ = π0,

A1µ ± iA2

µ√2

= π± .

Njihova interpretacija je bila pogresna, jer π mezoni pripadaju pseudoskalarnommezonskom oktetu, pa je njihov spin nula. Dakle, nukleoni ne intereagujutako sto razmenjuju π mezone, kao sto se smatralo tridesetih godina 20.veka. Jos jedan veliki problem Jang-Milsovog modela nuklearne interakcijeje cinjenica da ja nuklearna interakcija kratko-dometna, domet joj je ograni-cen na radijus jezgra ∼ 1 − 10fm. Jang-Milsov model predvidja prenosioceinterakcije koji su bezmaseni, pa time i dugodometnu interakciju. Ovi prob-lemi su ozbiljni, ali cemo u sledecemo poglavlju videti kako se mogu resiti.Sam princip lokalizacije simetrije, kao nacin da se uvede interakcija, je jakoznacajan i veoma je doprineo razumevanju interakcija elementarnih cestica.

4.4 Proizvoljna neabelova gradijentna teorija

Prethodno izlaganje se moze lako generalisati. Neka je G prosta grupa cijisu elementi

U = eiαaTa ,


dok su generatori T a, a = 1, . . . n. Komutacione relacije izmedju generatorasu [

T a, T b]

= ifabcT c ,

gde su fabc strukturne konstante grupe. Polja materije se transformisu pofundamentalnoj reprezentaciji grupe G:

ψ → ψ′ = eiTaαaψ ≡ Uψ , (4.4.1)

gde smo uzeli da su parametri transformacija α = αa(x)T a, funkcije koordi-nata prostor-vremena, tj. simetrija je lokalna. Kovarijantni izvod deluje napolja materije kao

Dµψ = ∂µψ − igAaµT aψ , (4.4.2)

gde je g konstanta interakcije. Iz zahteva

(Dµψ)′ = U(Dµψ)

sledi infinitezimalni zakon transformacije gradijentnih polja Aaµ

A′µ = Aµ +1

g∂µα + i[α,Aµ]

A′aµ = Aaµ +1

g∂µα

c − fabcαbAcµ . (4.4.3)

Tenzor jacine polja je definisan preko komutatora Fµν = ig[Dµ, Dν ], pa dobi-

jamoF aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ + gfabcAbµA

cν . (4.4.4)

Njegov infinitezimalni zakon transformacije je

F ′µν = Fµν + i[α, Fµν ]

F ′aµν = F aµν − fabcθbF c

µν . (4.4.5)

Jang-Milsov Lagranzijan je onda

L = Ψ[iγµ(∂µ − igAaµT a

)−m

]Ψ− 1

4F aµνF

µνa . (4.4.6)

Maseni clan m2AaµAµa nije invarijantan na gradijentne transfomacije i zbog

toga ga ne mozemo staviti u Lagranzijan.


Lagranzijan (4.4.6) opisuje polja materije ψ koja interaguju sa preno-siocima interakcije, gradijentnim poljima Aaµ. Prenosioci interakcije su bez-masena vektroska polja, koja medjusobno interaguju. Kao sto smo rekli nakraju prethodne glave, ovakvi modeli ne dgovaraju fizickoj realnosti, osimu slucaju EM interakcije. Videcemo u nastavku kako se ovi modeli mogumodifikovati, tako da opisuju interakcije koje strcemo u prirodi.

Iz gornjeg Lagranzijana se variranjem po gradijentnim poljima dobijajujednacinu kretanja:

DνFµνa = Jµa ,

gde je struja materije definisana kao Jµa = gψγµT aψ. U prethodnoj formulikovarijantni izvod Dµ deluje na velicinu koja se transformise po pridruzenojreprezentaciji

DµF = (DµF )aT a = ∂µF − ig[Aµ, F ] . (4.4.7)

Lako se vidi da je(DµF )a = ∂µF

a + gfabcAbµFc .

Takodje, tenzor jacine polja zadovoljava sledeci identitet (Bjankijev identitet)

DµFνρ +DνFρµ +DρFµν = 0 . (4.4.8)

Zadaci

4.1. Pri gradijentnim transformacijama polje materije ψ se transformise ponekoj reprezentaciji gradijentne grupe G. Kako treba da se transformisu gradi-jentna polja Aµ da bi se kovarijantni izvod Dµ = ∂µ + igAµ transformisaokovarijantno, tj. da bi vazilo Dµψ → Dµψ = U(α)Dµψ pri transformacijipolja ψ → ψ = U(α)ψ? Ovde je α(x) = αa(x)T a parametar gradijentnihtransformacija, a gradijentno polje Aµ = AaµT

a je u ogovarajucoj (u odnosuna polje materije ψ) reprezentaciji gradijentne grupe.

4.2. Izracunati tenzor jacine polja Fµν = g[Dµ, Dν ], kao i komponente ten-zora Fµν = F a

µνTa.

4.3. Ispitati kako se tenzor jacine polja Fµν transformise u odnosu na gradi-jentne transformacije.


4.4. Na osnovu zakona transformacije tenzora jacine polja Fµν odrediti za-kon transformacije komponenti F a

µν pri infinitezimalnim gradijentnim trans-formacijama.

4.5. Koristeci matricni oblik zakona transformacije za gradijentno polje Aµ itenzor jacine polja Fµν, pokazati da je clan 1

2TrFµνF

µν invarijantan, dok clanm2

TrAµAµ nije invarijantan gradijentne transformacije. Nakon toga uraditi

isto, ali u komponentnom zapisu, tj. pokazati da je clan −14F aµνF

µνa invar-ijantan, dok clan m

2AaµA

µa nije invarijantan na infinitezimalne gradijentnetransformacije.

4.6. Polazeci od definicije kovarijantnog izvoda koji deluje na polje mater-ije ψ iz fundamentalne reprezentacije i Lajbnicovog pravila za kovarijantneizvode Dµ(M1M2) = (DµM1)M2 + M1(DµM2), pokazati da vazi Dµξ =∂µξ − ig[Aµ, ξ], gde je ξ = ξaT a polje iz pridruzene reprezentacije. Pokazatizatim da vazi

∂µTr(ξ1ξ2) = Tr(

(Dµξ1)ξ2 + ξ1(Dµξ2)).

4.7. Pokazati da za polja iz pridruzene reprezentacije vazi [Dµ, Dν ]ξ = ig[Fµν , ξ],gde je ξ = ξaT a.

4.8. Pokazati da vazi Jakobijev identitet

[Dµ, [Dν , Dρ]] + [Dν , [Dρ, Dµ]] + [Dρ, [Dµ, Dν ]] = 0.

Zatim dokazati Bjankijev identitet

DµFνρ +DνFρµ +DρFµν = 0.

4.9. Dualni tenzor ∗F µν tenzora jacine polja Fµν definisan je kao ∗F µν =12εµνρσFρσ. Pokazati da vazi

Tr(Fµν ∗ F µν) = ∂λKλ

gde Kλ treba odrediti. Sta zakljucujete na osnovu ovog rezultata?

4.10. Odrediti Neter struju Jµ za gradijentne transformacije u slucaju slo-bodnog JangMilsovog lagranzijana. Proveriti eksplicitno da li vazi ∂µJ

µ = 0.



L = (∂µφ)+(∂µφ)− µ2φ+φ,

gde je φ = (φ1, φ2) dublet kompleksnih skalarnih polja. Pokazati da je ovajlagranzijan invarijantan na globalne SU(2) transformacije. Zatim napisatilagranzijan koji se iz zadatog dobija zahtevajuci invarijantnost na lokalnuSU(2) simetriju. Proveriti eksplicitno invarijantnost na lokalne transforma-cije.

4.12. Naci jednacine kretanja za polja φ, φ+ i Aµ iz lagranzijana (invari-jantnog na lokalnu simetriju) iz prethodnog zadatka i napisati ih u kovari-jantnom obliku.

4.13. Dat je lagranzijan L = kTr(F µνFµν) = kF aµνF aµν, gde je Fµν =

F aµνT

a = ∂µAν − ∂νAµ − ig[Aµ, Aν ] tenzor jacine polja, a T a generatoripoluproste i kompaktne neabelove grupe. Odrediti jednacine kretanja za ovajlagranzijan, kao i tenzor energije-impulsa (ocuvana struja pri translacijama).Kakav znak treba da ima konstanata k da bi energija polja Fµν bila pozi-tivna? (Ovde se mogu, kao u elektrodinamici, uvesti velicine F a0i = −Eai iF aij = −εijkBak.)

4.14. Ispitati da li je lagranzijan L = ψ(iγµ∂µ−m)ψ invarijantan na trans-formacije ψ → ψ′ = eiαγ5ψ, gde je α konstanta. Naci Neter struju i proveritida li je ona ocuvana. Prokomentarisati rezultat. Napisati lagranzijan koji seiz zadatog dobija lokalizacijom simetrije (ψ → ψ′ = eiα(x)γ5ψ). Iz zahteva dase kovarijantni izvod transformise kao Dµψ → (Dµψ)′ = eiα(x)γ5Dµψ odreditizakon transformacije gradijentnog polja Aµ.

4.15. Dat je lagranzijan L = ψ(iγµ∂µ − m)ψ, gde je ψ = (ψ1, ψ2)T dubletspinorskih polja.

a) Pokazati da je L invarijantan na globalne SU(2) transformacije; naciNeter struju i pokazati da je ona ocuvana.

b) Lokalizovati SU(2) simetriju i napisati lagranzijan koji je invarijantanna lokalne SU(2) transfomacije.

c) Odrediti jednacine kretanja za polja ψ i Aµ.d) Odrediti Neter struju za lokalnu SU(2) simetriju i proveriti eksplicitno

da li je ona ocuvana.


5

Spontano narusenje simetrije

U prethodnom poglavlju smo videli da Jang-milsove teorije predvidjaju bez-masene prenosioce interakcija i zakljucili da ih kao takve, ne mozemo koristitiza opis slabe i jake (nuklearne) interakcije. Da bi prenosioci interakcije dobilimasu, simetrija Jang-Milsove teorije mora da je narusena. U ovom poglavljucemo diskutovati jedan od nacina da se simetrija teorije narusu: spontanonarusenje simetrije. Mehanizam spontanog narusenja simetrije je prviput uveden u oblasti kondenzovane materije (P. W. Anderson, Phys. Rev.130, 439 1963.), a zatim je generalisan na relativisticke sisteme i fiziku ele-mentarnih cestica. Za rad na ovom polju, Nobelovu nagradu za fiziku 2013.godine su podelili Piter Higs (Peter Higgs) i Fransoa Engler (Franois Englert).

5.1 Osnovni pojmovi

Neka je lijeva grupa G simetrija fizickog sistema, ciji je hamiltonijan H. Ondamora vaziti

U(g)HU †(g) = H , g ∈ G , (5.1.1)

tj. hamiltonijan je invarijantan na delovanje grupe G. Posle kvantizacijeteorije, stanja u teoriji se dobijaju delovanjem skupa kreacionih operatoraΦA na vakuum, tj. |A〉 = ΦA|0〉 . Pri transformacijama grupe G operator ΦA

se menja prema

UΦAU† = ΦB . (5.1.2)

111

112 5. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE

Operator ΦB delovanjem na vakuum daje stanje |B〉

|B〉 = ΦB|0〉= U(g)ΦAU

†(g)|0〉= U(g)ΦA|0〉= U(g)|A〉 (5.1.3)

Simetrija Hamiltonijana se manifestuje u degeneraciji energetskih nivoa

EA = 〈A|H|A〉 = 〈B|H|B〉 = EB . (5.1.4)

U prethodnom racunu koristili smo pretpostavku da je osnovno stanje teorijeinvarijantno na delovanje grupe G, tj. U |0〉 = |0〉 .

Ako vakuum nije invarijantan, tj. |0〉 6= U |0〉, necemo imati degeneracijunivoa, iako su Hamiltonijan H i Lagranzijan L invarijantni. U tom slucajukazemo da je simetrija spontano narusena. Ovaj termin nije najpodesniji, jersimetrija postoji u hamiltonijanu, odnosno lagranzijanu, ali osnovno stanjene poseduje tu simetriju.

U nerelativistickoj fizici, tipican primer sistema sa spontanim narusenjemsimetrije je feromagnet (feromagnetizam). Podsetimo se ovog fenomena. Akose feromagnet nalazi na temperaturi koja je iznad Kirijeve (kriticne) temper-ature, onda je on u paramagnetnoj fazi i ukupna magnetizacija sistema jenula. Ukoliko se feromagnet nadje na temperaturi nizoj od Kirijeve temper-ature, onda je on u feromagnetnoj fazi i ukupna magnetizacija je razlicitaod nule. Kada se feromagnetik nadje u dovoljno jakom spoljasnjem magnet-nom polju B, magnetizacija M je paralelna spoljasnjem magnetnom polju.Gustina slobodne energije sistema u blizini Kirijeve temperature se mozeopisati sledecim izrazom

u(M) = (∂iM)2 + V (M) , (5.1.5)

gde je potencijal dat sa

V (M) = α1(T )(M ·M) + α2(M ·M)2 + . . . , αi > 0 . (5.1.6)

Vidimo da su gustina slobodne energije u i potencijal V invarijantni na grupurotacija SO(3). Pokazuje se da je funkcija α1

α1(T ) = α(T − TC) , (5.1.7)

5.2. SPONTANO NARUSENJE DISKRETNE SIMETRIJE 113

gde je α pozitivna konstanta. Minimum slobodne energije je odredjen sa

∂V

∂Mi

= 0 ,

odakle dobijamoM(α1 + 2α2M

2) = 0 . (5.1.8)

Ukoliko je temperatura iznad kriticne temperature, T > TC , vidimo da jeovaj uslov ispunjen ako osnovno stanje ima nultu magnetizaciju M = 0. Uferomagnetnoj fazi, to jest kada je T < TC , osnovno stanje je odredjeno sa1

M =

√− α1

2α2

. (5.1.9)

Intenzitet magnetizacije osnovnog stanja odredjen je odnosom konstanti α1

i α2, dok je smer proizvoljan, sto reflektuje SO(3) simetriju. Kada sistemizbere jedno osnovno stanje (jedan smer za vektor magnetizacije, sto se mozezadati pomocu spoljasnjeg magnetnog polja) onda je rotaciona simetrija,koja je ocigledna u (5.1.5) narusena. Slobodna energija idalje ima rotacionusimetriju SO(3), ali je u osnovnom stanju ova simetrija narusena do SO(2)simetrije, kao sto se vidi sa slike. Bolji termin je skrivena simetrija. Zbogtoga se cesto, umesto izraza ”narusena simetrija”, koristi izraz ”skrivenasimetrija”.

5.2 Spontano narusenje diskretne simetrije

Razmotrimo sada mehanizam spontanog narusenja simetrije (SNS) u teorijipolja, i to prvo na jednostavnom primeru diskretne simetrije. Neka je gustina

1Jednacina (5.1.8) je u slucaju T < Tc zadovoljena za M = 0 ili M =√− α1

2α2. Pokazuje

se da M = 0 ne odgovara minimumu slobodne energije, dok M =√− α1

2α2zaista opisuje

minimum slobodne energije i odgovara osnovnom stanju.


Lagranzijana realnog skalarnog polja data sa

L =1

2(∂µφ)2 − V (φ) , (5.2.1)

gde je potencijal

V (φ) =µ2

2φ2 +

λ

4φ4 . (5.2.2)

Da bi potencijal bio ogranicen sa donje strane, uzecemo da je λ > 0 . Gener-alisani impuls je onda

π =∂L∂φ

= ∂0φ ,

pa je Hamiltonijan

H =

∫d3x [(φ)2 − 1

2(∂µφ)2 + V (φ)]

=

∫d3x [

1

2(π)2 +

1

2(∇φ)2 + V (φ)] .

Minimum energije je odredjen minimumom potencijala V (φ), koji odredju-jemo iz uslova ∂V

∂φ= 0. Ovaj uslov daje jednacinu

φ(µ2 + λφ2) = 0 . (5.2.3)

Moguca resenja su:

φ = 0 ∨ φ = ±√−µ

2

λ. (5.2.4)

Razlikujemo dva slucaja:

a) Slucaj µ2 > 0.

U ovom slucaju, potencijal ima oblik kao na slici

,

5.2. SPONTANO NARUSENJE DISKRETNE SIMETRIJE 115

Vidimo da je jedino resenje jednacine (5.2.3) φ = 0 i ono odgovaraminimumu energije. Dakle, osnovno stanje je nedegenerisano.

b) Slucaj µ2 < 0.

Ako je µ2 < 0, onda je jednacina (5.2.3) zadovoljena i za φ = 0 i za

φ = ±√−µ2

λ. Potencijal ima oblik kao na slici

Sa slike vidimo da φ = 0 odgovara lokalnom maksimumu, dok postoje dva

lokalna minimuma φ = ±√−µ2

λ. U kvantnoj teoriji postoje dva vakuum |0±〉

tako da je vakumska ocekivana vrednost polja φ

〈0±|φ(x)|0±〉 = v = ±√−µ

2

λ.

Simetrija hamiltonijana H i lagranzijana L je refleksiona simetrija φ →−φ. Kada jedan od minimuma potencijala izaberemo za osnovno stanje, onovise ne poseduje refleksionu simetriju. Hilbertovi prostori stanja konstruisaninad ova dva vakuuma |0±〉 su ortogonalni2 i da je pocetna simetrija spontanonarusena.

2U okviru kvantne teorije polja se moze pokazati da je amplituda tuneliranja iz jednogu drugi vakuum

〈0−|0+〉 ∼ e−CV ,

gde je C konstanta a V zapremina prostora u kojoj razmatramo kvantnu teoriju. KadV → ∞ gornja amplituda tezi nuli, pa nema tuneliranja iz jednog vakuuma u drugi,sto narusava refleksionu simetriju lagranzijana. Ovo je suprotno kvantno mehanickom


Izaberimo da je 〈φ〉 = +v vakuum i uvedimo novo polje

φ′ = φ− v , (5.2.5)

cija je vakuumska ocekivana vrednost nula. Smenom (5.2.5) u Lagranzijandobijamo

L =1

2(∂φ′)2 − (−µ2)φ′2 − λvφ′3 − λ

4φ′4 , (5.2.6)

odakle vidimo da je polje φ′ postalo maseno polje sa masom

m(φ′) =√−2µ2 . (5.2.7)

Primetimo da u lagranzijanu (5.2.1), u slucaju µ2 < 0, clan −µ2φ2 nijemaseni clan, jer znak nije odgovarajuci. Tek posle SNS maseni clan za poljeφ′ ima odgovarajuci znak, pa mozemo reci da lagranzijan (5.2.6) opisujerealno maseno skalarno polje φ′.

5.3 Spontano narusenje globalne simetrije

Razmotrimo sada SNS na primeru globalen abelove simetrije. Neka je gustinalagranzijana data sa

L =1

2(∂µφ1)2 +

1

2(∂µφ2)2 − V (φ2

1 + φ22) , (5.3.1)

gde je potencijal

V (φ21 + φ2

2) =µ2

2(φ2

1 + φ22) +

λ

4(φ2

1 + φ22)2 . (5.3.2)

U slucaju kada je µ2 > 0, ova gustina lagranzijana opisuje dva realna skalarnapolja mase µ, koja medjusobno interaguju. Konstanta interakcije λ je bezdi-menziona i pozitivna konstanta. Gustina lagranzijana (5.3.1) moze biti prepisanau obliku

L = (∂µφ)∗∂µφ− µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2 , (5.3.3)

analogonu kada bi potencijal bio

V (x) =µ2

2x2 +

λ

4x4 .

U ovom slucaju postoji konacna verovatnoca da sistem tunelira iz jednog vakuuma u drugi.Vidimo da u sistemima sa konacnim brojem stepeni slobode nema SNS, dok u sistemimasa beskonacnim brojem stepeni slobode (teorija polja) dolazi do SNS.

5.3. SPONTANO NARUSENJE GLOBALNE SIMETRIJE 117

gde smo uveli kompleksno polje φ = φ1 + iφ2. Ova gustina lagranzijanaopisuje komleksno skalarno polje koje interaguje sa samim sobom.

Gustina lagranzijana (5.3.1) je invarijantna na globalne SO(2) rotacije(φ′1φ′2

)=

(cosα sinα− sinα cosα

)(φ1

φ2

), (5.3.4)

gde je parametar transformacije α konstantan. Sa druge strane, gustinalagranzijana (5.3.3) je invarijantna na globalne U(1) transformacije

φ → eiαφ (5.3.5)

φ∗ → e−iαφ∗ (5.3.6)

Ove dve grupe su lokalno izomorfne.Potrazimo sada lokalne minumume u teoriji. Stacionarne tacke potenci-

jala nalazimo iz

∂V

∂φi= µ2φi + λ(φ2

1 + φ22)φi = 0

φi(µ2 + λ(φ2

1 + φ22)) = 0 . (5.3.7)

Kao i u prethodnoj glavi, i ovde mozemo razlikovati dva slucaja: µ2 > 0 iµ2 < 0.

Kao sto smo rekli na pocetku, u slucaju µ2 > 0, gustina lagranzijana(5.3.1) opisuje dva realna skalrna polja mase µ koja medjusobno interaguju.Minimum potencijala je u tacki φ1 = φ2 = 0. U ovom slucaju nemamospontano narusenje simetrije, pa ovaj slucaj necemo dalje razmatrati.

U slucaju µ2 < 0 potencijal izgleda kao na slici


Vidimo da je lokalni maksimum u φ = 0, dok su lokalni minimumi (njihbeskonacno puno) rasporedjeni na kruznici

φ21 + φ2

2 = −µ2

λ= v2 (5.3.8)

Ova jednacina je invarijantna na SO(2) rotacije. Izborom bilo koje tacke sakruznice za lokalni minimum, narusava se SO(2) simetrija i dobijamo sistemsa spontanim narusenjem simetrije. Izaberimo 〈φ1〉0 = v i 〈φ2〉0 = 0 zaosnovno stanje teorije. Sada cemo ispitati cesticni spektar teorije. Uvedimosmenu

φ′1 = φ1 − v, φ′2 = φ2 , (5.3.9)

tako da su vakuumske ocekivane vrednosti polja φ′1 i φ′2 nula. Gustina La-granzijana postaje

L =1

2

[(∂φ′1)2 + (∂φ′2)2

]+ µ2φ′21 − λvφ′1(φ′21 + φ′22 )− λ

4(φ′21 + φ′22 )2 . (5.3.10)

Vidimo da primovana polja imaju masene clanove sa odgovarajucim znacima(ne zaboravte da je µ2 < 0) i to

m(φ′2) = 0 m(φ′1) =√

2µ .

Polje φ′1 je dobilo masu dok je polje φ′2 bezmaseno. Bezmaseno polje u teorijisa SNS se naziva Goldstonov bozon. Gustina lagranzijan (5.3.10) opisujedva realna skalarna polja, jedno maseno i jedno bezmaseno, koja medjusobnointeraguju.

5.4 Goldstonova teorema

Prethodni rezultat se moze generalizovati na slucaj proizvoljne kontinualneglobalne simetrije. Formulisimo Goldstonovu teoremu.

Neka je grupa G kontinualna globalna simetrija lagranzijana, a H grupasimetrije osnovnog stanja. Neka je n broj generatora G, a n′ broj generatorapodgrupe H i n′ ≤ n. Usled spontanog narusenja simetrije, u cesticnom

5.4. GOLDSTONOVA TEOREMA 119

spektru teorije, pojavljuje se n− n′ bezmasenih skalarnih polja, Goldstonovihbozona.

Ova teorema se moze pokazati na sledeci nacin. Podjimo od gustinalagranzijana koja opisuje p realnih skalarnih polja φi, i = 1, . . . p

L =1

2(∂µφi)

2 − V (φi) . (5.4.1)

Polje φ = (φ1, . . . , φp)T se transformise po fundamentalnoj reprezentaciji

grupe Gφ→ φ′ = eiε

aTaφ, a = 1, . . . n ,

gde su T a generatori grupe G, a εa su konstantni parametri transformacije.Promena polja φi pri infinitezimalnim transformacijama je onda

δφi = iεaT aijφj . (5.4.2)

Iz invarijantnosti lagranzijana sledi invarijantnost potencijala, pa je

δV =∂V

∂φiδφi = iεa

∂V

∂φiT aijφj = 0 i, j = 1, . . . , p . (5.4.3)

Iz poslednje relacije sledi∂V

∂φiT aijφj = 0 . (5.4.4)

Diferencirajmo ovu relaciju po φk i izracunajmo njenu vrednost u φi = vigde je

∂V

∂φ

∣∣∣φi=vi

= 0 ,

tj. vi je vakuumska ocekivana vednost polja φi. Dobijamo

∂2V

∂φk∂φi

∣∣∣viT aijvj = 0 . (5.4.5)

Sa druge strane, potencijal mozemo da razvijemo oko vakuuma

V (φi) = V (vi) +1

2

∂2V

∂φi∂φk

∣∣∣vi

(φi − vi)(φk − vk) .

Matrica

(M2)ik =∂2V

∂φi∂φk

∣∣∣vi


je kvadrat masene matrice. Izraz (5.4.5) postaje

M2kiT

aijvj = 0 . (5.4.6)

Vidimo da je ovo svojstveni problem matrice M2. Svojstveni vektori su V a =T av, gde smo sa v oznacili kolonu v = (v1, . . . , vp). Oznacimo generatoregrupe G na sledeci nacin

H︷︸︸︷T 1, . . . T n

′, T n

′+1, . . . T n︸︷︷︸ .G

Kako je simetrija vakuuma podgrupa H, onda je

T aijvj = 0 a = 1, . . . n′; T aijvj 6= 0 a = n′ + 1, . . . n ,

tj. generatori koji su iz G, ali ne iz H ne odr zavaju vakuum. Zakljucujemoda matrica M2 ima n− n′ nultih svojstvenih vrednosti koje odgovaraju svo-jstvenim vektorima V a = T av 6= 0. Dakle, u teoriji ce se pojaviti n − n′

bezmasenih skalarnih polja. Njih nazivamo Goldstonovim bozonima.

5.5 BEH mehanizam

Videli smo u prethodnoj glavi da spontano narusenje globalne simetrije generiseskalarne bezmasene cestice, Goldstonove bozone. Sta se desava u slucajulokalne simetrije i da li ovaj mehanizam moze da generi se masu gradijent-nim poljima?

BEH (Brout-Englert-Higgs) mehanizam je spontano narusenje lokalnesimetrije. Objasnicemo ga na primeru lokalne U(1) simetrije sa jednim kom-pleksnim poljem. Slozeniji primer narusenja lokalne neabelove simetrije, bicerazmatran kasnije, u poglavlju Elektroslabe intrakcije.

Podjimo od gustine lagranzijana

L = (Dµφ)∗Dµφ+ µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2 − 1

4FµνF

µν . (5.5.1)

Ova gustina lagranzijana opisuje kompleksno skalarno polje φ = 1√2(φa+iφ2),

gde su φ1 i φ2 dva realna skalarna polja, koje interaguje sa elektromagnet-nim poljem Aµ i sa samim sobom. Interakcija sa poljem Aµ data je prekokovarijantnog izvoda

Dµφ = (∂µ − igAµ)φ , (5.5.2)

5.5. BEH MEHANIZAM 121

dok je medjusobna interakcija polja φ1 i φ2 data clanom λ(φ∗φ)2, gde jeλ pozitivna konstanta. Primetimo da maseni clan za polja φ1 i φ2 nemaodgovarajuci znak, pa maseni (cesticni) spektar teorije nije jasan. Konacno,clan FµνF

µν je kineticki clan za polje Aµ, a Fµν je tenzor jacine polja

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ . (5.5.3)

Gustina lagranzijana (5.5.1) je invarijantna na lokalne U(1) transformacije

φ→ φ′ = eiαφ

A′µ = Aµ +1

g∂µα , (5.5.4)

gde je parametar α = α(x) funkcija koordinata prostor-vremena. Potencijalje

V (φ) = −µ2φ†φ+ λ(φ†φ)2 . (5.5.5)

Lokalni ekstremumi potencijala su odredjeni sa

∂V

∂φ†= −µ2φ+ 2λ(φ†φ)φ = 0 ,

∂V

∂φ= −µ2φ† + 2λ(φ†φ)φ† = 0 . (5.5.6)

Kada je µ2 > 0, dobijamo da je miniumum potencijala u

φ†φ =µ2

2λ=v2

2. (5.5.7)

Koristeci zapis kompleksnog polja preko realnih polja

φ =φ1 + iφ2√

2,

jednacina (5.5.6) se svodi na

φ21 + φ2

2 =µ2

2λ=v2

2. (5.5.8)

Kao i u slucaju globalne simetrije, i ovde dobijamo kruznicu degenerisanihlokalnih minumuma. Jednacine (5.5.6) i (5.5.8) su invarijantne na U(1) iSO(2) transformacije respektivno. Izborom jedne tacke sa kruznice (5.5.8)za lokalni minimum, ova simetrija se narusava.


Izaberimo tacku〈0|φ|0〉 =

v√2

sa〈0|φ1|0〉 = v 〈0|φ2|0〉 = 0. (5.5.9)

za osnovno stanje teorije. Ovo osnovno stanje nije U(1) invarijantno, tj.simetrija je spontano narusena. Spontanost se ogleda u cinjenici da sistemsam izabere neku od tacaka sa kruznice za osnovno stanje, a izbor je potpunoproizvoljan.

Da bi ispitali cesticni spektar teorije uvodimo nova polja

φ′1 = φ1 − v φ′2 = φ2 ,

tako da je vakuumska ocekivana vrednost novi polja nula, 〈φ′i〉 = 0. cija jevakummska ocekivana vrednost jednaka nuli, 〈φ′i〉 = 0 . Onda je

φ =v + φ′1 + iφ′2√

2φ† =

v + φ′1 − iφ′2√2

.

Lako se vidi da je

(Dµφ)∗Dµφ = [(∂µ + igAµ)φ†](∂µ − igAµ)φ

=1

2[(∂µ + igAµ)(v + φ′1 − iφ′2)](∂µ − igAµ)(v + φ′1 + iφ′2)

=1

2[(∂µφ

′1)2 + (∂µφ

′2)2 − ig∂µ(φ′1 − iφ′2)Aµ(v + φ′1 + iφ′2) +

+igAµ(v + φ′1 − iφ′2)∂µ(φ′1 + iφ′2) + v2g2AµAµ + . . .] .

Razvoj potencijala je isti kao u glavi 5.3, jednacina (5.3.10), pa je ukupnagustina lagranzijana

L =1

2[(∂µφ

′1)2 + (∂µφ

′2)2 + igAµ(v + φ′1 + iφ′2)∂µ(φ′1 − iφ′2)]

+ . . .

+v2g2

2AµA

µ − 1

4FµνF

µν − µ2φ′21 − λvφ′1(φ′21 + φ

′22 )− λ

4(φ′21 + φ

′22 )2 .(5.5.10)

Uocimo da je gauge polje postalo maseno, sa masom

m(A) = vg .


Dobili smo takodje da je masa skalarnog polja (Higsov bozon) m(φ′1) = µ√

2,dok je polje φ′2 bezmaseno. U slucaju globalne U(1) simetrije, polje φ′2 biodgovaralo Goldstonovom bozonu. Analizu cesticnog spektra teorije (5.5.10)dodatno komplikuje clan gvAµ∂µφ

′2. On ukazuje na ”mesanje” polja Aµ i φ′2,

jer bi posle kvantovanja teorije dao doprinos ”mesanom” propagatoru.Fali slikaPrebrojmo na kraju stepene slobode3 pre i posle SNS. Pre spontanog

narusenja simetrije imali smo bezmaseno gauge polje Aµ (2 stepena slo-bode) i dva realna skalarna polja sto je ukupno cetiri stepena slobode. Poslenarusenja simetrije polje Aµ je postalo maseno pa ima tri stepena slobode.Pored toga imamo i primovana polja pa je ukupan broj stepeni slobode 5.Ispostavlja se da je ovo neslaganje broja stepeni slobode je prividno. Naime,moze se pokazati da polje φ′2 daje nulti doprinos matrici rasejanja. Kako jeteorija invarijantna na lokalne transformacije, moze se naci transformacijatakva da polje φ′2 moze da se ukloni (odkalibrise) iz teorije. Primenom ovetransformacije, prelazi se u unitarnu kalibraciju (unitarni ”gauge”), u kojojje cesticni spektar teorije jasan i nema neslaganja u broju stepeni slobodepre i posle spontanog narusenja simetrije.

Primenimo ovo na nas primer. Parametrizujmo polje φ na sledeci nacin(polarna parametrizacija)

φ(x) =1√2

(v +H(x)) eiξ(x)v . (5.5.11)

Za male oscilacije polja H(x) i ξ(x) se svode na φ′1 i φ′2. Gradijentna (kali-braciona) transformacija na polje φ i gradijentno polje Aµ deluje kao

φ → φ(x) = eiα(x)φ(x)

Aµ → A′µ = Aµ +1

g∂µα(x) (5.5.12)

odnosno

H ′ = H

ξ′ = ξ + vα

A′µ = Aµ +1

g∂µα(x) . (5.5.13)

3Ovi stepeni slobode zapravo odgovaraju dimenzijama IR reprezentacija Lorencovegrupe: 1 za realno skalarno polje, 2 za kompleksno polje, 2 za bezmaseno vektorsko poljei 3 za maseno vektorsko polje.


Ako umesto potencijala Aµ uvedemo polje Bµ = Aµ+ 1gv∂µξ, vidi se da je polje

Bµ invarijantno na transformacije (5.5.12), odnosno (5.5.13). Ako specijalnoizaberemo da je parametar transformacije α = −ξ/v, dobijamo da je

H ′ = H ,

ξ′ = 0 ,

A′µ = Bµ . (5.5.14)

Ovim izborom parametra fiksirali smo gradijentnu transformaciju i presli smou unitarnu kalibraciju (unitarni ”gauge”)

φ → φu(x) = e−iξ(x)v φ(x) =

1√2

(v +H(x)) ,

Aµ → Bµ = Aµ −1

gv∂µξ(x) . (5.5.15)

Kovarijantni izvod se transformise kao i samo polje, pa je u unitarnoj kali-braciji dat sa

Dµφ→ (Dµφ)u = e−iξ(x)v (Dµφ)

= (∂µ − igBµ)φu . (5.5.16)

Ako sada transformacije (5.5.15) i (5.5.16) zamenimo u gustinu lagranzijana(5.5.10), dobijamo

L = (∂µφ†u + igBµφ

†u)(∂

µφu − igBµφu) + µ2φ†uφu − λ(φ†uφu)2 − 1

4GµνG

µν

=1

2(∂µH)2 +

1

2g2BµB

µ(v2 + 2vH +H2)

+µ2

2(v +H)2 − λ

4(v +H)4 − 1

4GµνG

µν

=1

2(∂µH)2 − µ2H2 − 1

4(∂µBν − ∂νBµ)2 +

1

2g2v2BµB

µ +

+1

2g2BµB

µH(H + 2v)− λvH3 − 1

4λH4 , (5.5.17)

gde je Gµν = ∂µBν−∂νBµ. Vidimo da je polje Bµ postalo maseno sa m(B) =gv. Higsovo polje H takodje ima masu, m(H) = µ

√2, dok je polje ξ nestalo

tj. odkalibrisano je. Ono bi bilo Goldstonov bozon da je simetrija globalna.U zargonu se kaze da je gauge polje pojelo Goldstonov bozon i tako povecalobroj stepeni slobode za jedan, tj. postalo je maseno. Analiza broja stepenislobode data je u sledecoj tablici


pre SNS st. slobode posle SNS st. slobodeφ1 1 H maseno 1φ2 1 Bµ maseno 3Aµ 2

ukupno 4 ukupno 4

Mozemo zakljuciti da mehanizam spontanognarusenja lokalne simetrijegenerise masu gradijentnih polja. Ovo nam nagovestava da ce teorija slabeinterakcije, pored gradijentne simetrije i Jang-Milsovog dejstva, sadrzati imehanizam spontanog narusenja simetrije. U narednim poglavljima cemovideti kako se ovo konkretno realizuje.

Zadaci

5.1. Dokazati Goldstonovu teoremu: Ukoliko lagranzijan

L =1

2(∂µφi)(∂

µφi)− V (φi)

ima kontinualnu grupu simetrije G sa n generatora, a vakuum je invarijantanna podgrupu H < G sa n′ generatora i n′ < n, tada ce se u ovoj teorijinakon spontanog narusenja simetrije pojaviti n−n′ bezmasenih Goldstonovihbozona.


L = (∂µφ)∗(∂µφ)− µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2,

gde je φ kompleksno skalarno polje. Pokazati da je ovaj lagranzijan invari-jantan na globalnu U(1) simetriju. Naci vakuum teorije pod pretpostavkomda je µ2 < 0. Birajuci vakuum kao 〈φ〉0 = v =

√−µ2/λ analizirati maseni

spektar teorije i proveriti vazenje Goldstonove teoreme.

5.3. Dat je lagranzijan L = 12(∂µφ)T (∂µφ) − µ2

2φTφ = λ

4(φTφ)2, gde je φ

triplet realnih skalarnih polja grupe SO(3).a) Pokazati da je L invarijantan na globalne SO(3) transformacije i

odrediti Neter struju.


b) Naci minimum potencijala. Birajuci vakuum kao 〈φ〉0 = (0, 0, v)T ,izvrsiti smenu φ → 〈φ〉0 + φ′ u lagranzijanu i ispitati maseni spektar teorijeza µ2 < 0. Odrediti koji su generatori ocuvani.

c) Koristeci smenu φ = eiξiT

i

v (0, 0, v+ η)T , gde su T i, i = 1, 2 generatorikoji narusavaju vakuum 〈φ〉0, a ξi, i = 1, 2 i η su nova polja, ispitati masenispektar teorije.

5.4. Dat je lagranzijan: L = (∂µφ)+(∂µφ)−µ2φ+φ−λ(φ+φ)2, gde je φ dubletkompleksnih skalarnih polja.

a) Pokazati da je L invarijantan na globalnu SU(2) simetriju; naci Neterstruju i proveriti da li je ona ocuvana.

b) Napisati lagranzijan koji se dobija lokalizacijom SU(2) simetrije.c) Za lagranzijan pod b) uzeti da je µ2 < 0 i analizirati maseni spektar

teorije, birajuci vakuum kao: 〈φ〉0 = 1√2(v, 0)T . Prokomentarisati broj stepeni

slobode pre i posle spontanog narusenja simetrije. Eksplicitno izraziti gradi-jentne transformacije pomocu kojih suvisna polja mogu da se odkalibrisu.

5.5. Dat je lagranzijan L = (∂µφ)∗(∂µφ) − µ2φ∗φ − λ(φ∗φ)2, gde je φ kom-pleksno skalarno polje.

a) Pokazati da je dati lagranzijan invarijantan u odnosu na U(1) globalnetransformacije (φ→ φ′ = e−iαφ) i naci ocuvanu struju.

b) Napisati lagranzijan koji se iz zadatog dobija lokalizacijom U(1) simetrije.c) Pokazati da je jednacina kretanja za gradijentno polje uvedeno pod b) u

statickom slucaju i pri kalibraciji A0 = 0 oblika ~∇× ~B = e ~J , gde je ~J strujamaterije za U(1) lokalne transformacije.

d) Pokazati, da ako je µ2 < 0 (spontano narusenje simetrije) i 〈φ〉0 =

v =√−µ2/λ, onda je ~J = e2v2 ~A i magnetno polje ~B zadovoljava jednacinu

4 ~B = e2v2 ~B (Majznerov efekat).

5.6. Dat je lagranzijan L = 12(∂µφ)T (∂µφ)− µ2

2φTφ− λ

4(φTφ)2, gde je φ triplet

realnih skalarnih polja grupe SO(3).a) Pokazati da je L invarijantan na globalne SO(3).b) Napisati lagranzijan koji se iz zadatog dobija lokalizacijom SO(3) simetrije.c) Birajuci vakuum kao 〈φ〉0 = (0, v, 0)T izvrsiti smenu φ → 〈φ〉0 + φ′

u lagranzijanu dobijenom pod b) i ispitati maseni spektar teorije za µ2 < 0.Odrediti koji su generatori ocuvani. Komentarisati broj stepeni slobode inapisati gradijentnu transformaciju kojom se suvisna polja mogu otkalibrisati.

6

Standardni model elektroslabihinterakcija

6.1 Istorijski pregled teorije slabe interakcije

Najpoznatiji slabi proces je raspad neutrona (β− raspad)

n→ p+ e− + νe.

Fermi je predlozio Lagranzijan koji opisuje ovoj proces

LF = −GF√2

(pγµn)(eγµν) + h.c. , (6.1.1)

gde je GF = 10−5 1m2p

Fermijeva konstanta a mp je masa protona. Fermijev

lagranzijan je proizod dve vektorske struje. Ovaj raspad je tzv. semileptonskiraspad jer u njemu pored leptona ucestvuju i hadroni. U ovu klasu raspadaspadaju i sledeci raspadi

K+ → µ+ + νµ, e+ + νe

K+ → π0 + µ+ + νµ, π0 + e+ + νe . (6.1.2)

Postoje i cisto leptonski slabi procesi. Primer je raspad miona:

µ− → e− + νµ + νe .

Treca grupa slabih procesa su hadronski procesi, npr.

K+ → π+π0 (6.1.3)

127

128 6. STANDARDNI MODEL ELEKTROSLABIH INTERAKCIJA

i mnogi drugi.Eksperimentalno je otkriveno da slabe interakcije narusavaju parnost

(Lee, Yang, Wu). To znaci da lagranzijan slabih interakcija nije invarijan-tan na parnost. Uzecemo da je Lagranzijan interakcije opet proizvod dvenaelektrisane struje

L = −GF√2J†µJ

µ , (6.1.4)

ali zbog narusenja parnosti struja Jµ je razlika pravog vektora (V) i aksijalnogvektora (A). Preciznije struja je zbir leptonske i hadronske struje

Jµ = Jµlep + Jµhadr . (6.1.5)

Leptonska struja je

Jµlep = νeγµ(1− γ5)e+ νµγ

µ(1− γ5)µ , (6.1.6)

dok je hadronska

Jµhad = uγµ(1− γ5)d′ + cγµ(1− γ5)s′ . (6.1.7)

s i d kvarkovi su pomesani

d′ = cos θcd+ sin θcs

s′ = cos θcs− sin θcd , (6.1.8)

gde je θc = 130 tzv. Kabibo ugao. On je fenomenoloski parametar. Ovestruje nisu invarijantne na parnost. Zbog oblika struja ovaj model se nazivaV − A teorija.

Glavni nedostatak ova dva modela slabih interakcija je da nisu renor-malizabilini i unitarni. Unitarnost S matrice je povezana sa cinjenicom daverovatnoca da sistem iz pocetnog stanja predje u sva moguca stanja iznosi1: ∑

f

|〈f |S|i〉|2 = 1. (6.1.9)

Odavde je ∑f

〈i|S†|f〉〈f |S|i〉 = 〈i|S†S|i〉 = 1 (6.1.10)

odnosno S†S = I .

6.2. ELEKTROSLABA INTERAKCIJA LEPTONA 129

Renormalizabilnost je vezana za ponasanje teorije na visokim energijama.Amplituda prelaza za neki proces pored dijagrama bez petlji (’tree level dia-grams’) ukljucuje u visim redovima teorije perturbacije dijagrame sa petl-jama. U prvom redu teorije perturbacije pri rasejanje elektrona na Ku-lonovom potencijalu imamo jedan dijagram. U trecem redu (po konstantiinterakcije e) imamo sedam dijagrama koji ukljucuju verteksnu korekciju,polarizaciju vakuuma i sopstvenu energiju elektrona. Usled interakcije masai naelektrisanje elektrona dobijaju korekcije. Polazni parametri1, su masa inaelektrisanje elektrona m0 i e0. Zbog doprinosa dijagrama viseg reda oniprelaze u fizicke parametre

m = m0 + δm+ · · ·e = e0 + δe+ . . . . (6.1.11)

δe i δm su korekcije naelektrisanja i mase elektrona u prvom redu teorijeperturbacije (jedna petlja). Tacke obelezavaju doprinose u visim redovimateorije perturbacije. Polazni parametri se nazivaju goli parametri. Slicnose desava i sa elektronom u kristalnoj resetki. Usled interakcije njegovamasa se menja u odnosu na masu van resetke. U teoriji polja dijagramiviseg reda su divergentni. To znaci da su korekcije δm i δe divergentne.Da bi dobili konacnu teoriju uzima se da su goli parametri divergentni.Teorija je renormalizabilna ukoliko goli parametri teorije mogu da apsorbujubeskonacnosti i postanu fizicki parametri. Nase razmatranje je pojednostavl-jeno. Napomenimo da se i sama polja renormalizuju u teoriji.

Sledeci model slabih interakcija koji je konstruisan je IVB ( intermedijalnivektorski bozoni) model. On je napravljen po analogiji sa elektrodinamikom.Uvedeno je maseno vektorsko polje W µ koje prenosi slabu interakciju. La-granzijan interakcije je proizvod toga polja sa strujom

L = −gJµWµ + c.c. (6.1.12)

gde je g konstanta interakcije. Ovaj model ima bolje ponasanje na visokimenergijama od prethodno opisana dva modela ali je i on nerenormalizabilan.

6.2 Elektroslaba interakcija leptona

Model slabih interakcija potice od Glesoua, Vajnberga i Salama. Polaznatacka u konstrukciji modela elektroslabih interakcija je identifikacija grupe

1To su parametri koji figurisu u lagranzijanu


simetrije i odredjivanje reprezentacija u kojima se nalaze polja. Za pocetakrazmatracemo samo prvu generaciju leptona: elektron i njegov neutrino.Uzecemo, za pocetak da su i elektron i neutrino bezmaseni. Talasnu funkcijuelektrona e dekomponovacemo u komponentu leve kiralnosti

eL = PLe =1

2(1− γ5)e

i komponentu desne kiralnosti

eR = PRe =1

2(1 + γ5)e .

Dakle,e = eL + eR . (6.2.13)

One su svojstvene funkcije operatora kiralnosti

γ5eL = −eLγ5eR = eR . (6.2.14)

Elektronski neutrino ima levu kiralnost, PRνe = 0, PLνe = νe. Levi (desni)kiralni spinor pri Lorencovim transformacijama ostaje levi (desni) spinor.Parnost levi spinor transformise u desni i obrnuto(

ψLψR

)→ γ0

(ψLψR

)=

(0 II 0

)(ψLψR

)=

(ψRψL

). (6.2.15)

Teorija koja je invarijantna na parnost sadrzi i levi i desni spinor. Takavje slucaj sa kvantnom elektrodinamikom. Medjutim, slabe interakcije nisuinvarijantne na parnost. Zato se u standarnom modelu elektroslabih inter-akcija levi i desni spinori tretiraju razlicito. Grupa simetrije standardnogmodela elektroslabih interakcija je SU(2)L × U(1)Y . Levi elektron i elek-tronski neutrino cine dublet SU(2)L grupe:

L =

(νee

)L

(6.2.16)

dok je desni elektron eR singlet. Dakle, pri SU(2)L transformacijama dubleti singlet se transformisu po

L→ L′ = eiθaτa

2 L ,

eR → e′R = eR . (6.2.17)


SU(2)L transformacija moze da eL transformise u νe, ali ne moze u eR. Ra-zlicito tretiranje leve i desne komponente fermiona vezano je za narusenjeparnosti kod slabih interakcija. Grupa SU(2) je tzv. grupa slabog izospina.On nema nikakve veze sa izospinom koji smo ranije uveli kod jakih interakcija.Slabi izospin singleta je 0 dok je treca komponeta slabog izospina neutrina12

a levog elektrona −12. Pored izospina uvescemo i tzv. slabi hipernaboj, Y .

On je generator U(1)Y grupe i definisan je preko naelektrisanja

Q = I3 +Y

2. (6.2.18)

Za levi dublet hipernaboj je YL = −1 a za eR slabi hipernaboj je YR = −2.Gustina Lagranzijana

L0 = iLγµ∂µL+ ieRγµ∂µeR

= i(νe eL

)γµ∂µ

(νeeL

)+ ieRγ

µ∂µeR

= iνLγµ∂µνL + ieγµ∂µe (6.2.19)

je invarijantna na SU(2)L globalne transformacije i na U(1)Y transformacije

L→ eiβYL2 L

eR → eiβYR2 eR . (6.2.20)

Lokalizacijom SU(2)L×U(1)Y simetrije dobijamo leptonski sektor standard-nog modela

Llep = iLγµDµL+ ieRγµDµeR

= iLγµ(∂µ − ig1YL2Bµ − ig2

τa

2W aµ )L

+ ieRγµ(∂µ − ig1

YR2Bµ)eR . (6.2.21)

Uveli smo cetiri gauge polja: W aµ , a = 1, 2, 3 i Bµ. Kineticki clan za njih je

Lgauge = −1

4F aµνF

µνa − 1

4fµνf

µν . (6.2.22)

Ukljucivanjem preostale dve generacije leptona imamo sledeca polja ma-terije

Lµ =

(νµµ

)L

, µR, Lτ =

(νττ

)L

, τR . (6.2.23)


6.2.1 Higsov mehanizam

Vec smo ranije rekli da su slabe interakcije kratko dometne. Iz ovoga proizilazida su mase vektorskih bozona, W± i Z0 koji prenose slabu interakciju velike.One su oko 80 − 90GeV, a odgovarajuca skala slabih interakcija je 10−17m.Takodje, elektron, mion i taon su masene cestice. Masa neutrina je vrlomala. Masene clanove za ove cestice nismo ukljucili u lagranzijan jer oninisu invarijantni na SU(2)L × UY (1) simetriju. Ove cestice ce dobiti masuspontanim narusenjem kalibracione simetrije, tj. Higsovim mehanizmom.

Simetriju cemo narusiti pomocu skalarnog polja cija vakumska ocekivanavrednost je razlicita od nule. Uvodimo dublet skalarnih kompleksnih polja

φ =

(φ+

φ0

), (6.2.24)

gde je

φ+ =φ1 + iφ2√

2

φ0 =φ3 + iφ4√

2.

Naelektrisanje gornje komponente dubleta, phi+ je +1, dok je polje φ0 elektroneutralno. Slabi hipernaboj komponente phi+ je

Y (φ+) = 2(Q− I3) = 1 .

Slicno se vidi da je hipernaboj donje komponente jedan. Dakle, hipernabojovog dubleta je Y (φ) = 1. Da bismo narusili SU(2)L ⊗ U(1)Y simetrijuuvescemo Lagranzijan

Lsc = (Dµφ)†(Dµφ) + µ2φ†φ− λ(φ†φ)2 , (6.2.25)

gde je kovarijantni izvod

Dµφ =(∂µ − ig1

Y

2Bµ − ig2

τa

2W aµ

)φ . (6.2.26)

Lagranzijan (6.2.25) je SU(2)L ⊗ U(1)Y invarijantan.Ekstremne vrednosti potencijala odredjujemo iz

∂V

∂φ†= (−µ2 + 2λ(φ†φ))φ = 0 . (6.2.27)


Za µ2 > 0 minimum potencijala je odredjen sa

φ†φ =µ2

2λ=v2

2.

Simetriju spontano narusavamo izborom jednom vakuma. Nas izbor za os-novno stanje je

< φ >0≡ φ0 =1√2

(0v

), (6.2.28)

gde je v realan broj. Ovakav izbor ce obezbediti da elektromagnetno poljeostaje bezmaseno i posle narusenja simetrije. Sada cemo odrediti simetrijuvakuuma. Promena polja φ pri SU(2)L ⊗ U(1)Y transformacijama je

φ→ φ′ = eiτaθa

2+iβY

2 φ

≈ φ+ i(τaθa

2+ i

βY

2

)φ . (6.2.29)

Infinitezimalna promena vakumma je

δφ0 = i(τaθa

2+ i

βY

2

)φ0

=i

2

(θ3 + βY θ1 − iθ2

θ1 + iθ2 −θ3 + βY

)(0

v/√

2

)=

iv

2√

2

(θ1 − iθ2

βY − θ3

). (6.2.30)

Invarijantnost vakuuma δφ0 = 0 daje sledee uslove na parametre grupesimetrije: θ1 = θ2 = 0 i β = θ3. Dakle vakuum je invarijantan na trans-formaciju

eiθ3

(τ32

+Y2

)= eiθ3Q . (6.2.31)

Dakle vakum je invarijantan na fazne transformacije ciji je generator elek-tricno naelektrisanje, Q, tj. simetrija vakuma je U(1)Q. Ovo je vazno jerzelimo da foton ostaje bezmasen. Potpuno ekvivalentno simetriju vaku-uma vidimo iz sledeceg razmatranja. Generatori τ1

2, τ2

2, τ3

2, Y

2narusavaju

simetriju vakuuma, jer je npr.

τ1φ0 =1√2

(0v

)6= 0 (6.2.32)


itd. Medjutim transformacija ciji je generator linearna kombinacija trecekomponente izospina i hipernaboj I3 + Y

2ne menja vakum. Preciznije sa

generatora τ1

2, τ2

2, τ3

2, Y

2prelazimo na novi skup generatora τ1

2, τ2

2, Q =

12(τ 3 + Y ), 1

2(τ3 − Y ). Naelektrisanje Q na vakum deluju prema

Qφ0 =1

2√

2

[(1 00 −1

)+

(1 00 1

)](0v

)= 0 . (6.2.33)

DakleeiαQφ0 = φ0 . (6.2.34)

Ovo znaci da smo na nivou osnovnog stanja polaznu simetriju SU(2)L×U(1)Ynarusili do U(1)Q. Generator ove simetrije je naelektrisanje; radi se o simetrijielektromagnetizma.

Sledeci korak je parametrizacija polja φ koja predstavlja razvoj oko vakuma.Polje φ parametrizujemo na sledeci nacin

φ = ei2v

(τ1ξ1(x)+τ2ξ2(x)+(τ3−Y )ξ3(x)

) (0

v+H(x)√2

)

= U−1

(0

v+H(x)√2

). (6.2.35)

Uveli smo nova realna polja ξ1(x), ξ2(x), ξ3(x) i H(x). Sada cemo napravitikalibracionu transformaciju

φ→ φ′ = UΦ =

(0

v+H(x)√2

). (6.2.36)

Pri ovoj transformaciji dobijamo polje φ′ koje sadrzi samo polje H. Tripolja ξa su odkalibrinisana. Naravno, moramo transformisati i druga polja ulagranzijanu

W aµ → W ′a

µ = ...

Bµ → B′µL → L′

eR → e′R . (6.2.37)

U daljoj analizi necemo pisati primove na poljima.


Prelazak sa polja φ na φ′ je fiksiranje kalibracije. Kalibracioni uslov jeξ1(x) = ξ2(x) = ξ3(x) = 0 i poznat je kao unitarni kalibracioni uslov.

Nadjimo prvo kovarijantni izvod u unitarnom gaugu

Dµφ =(∂µ − ig1

Y

2Bµ − ig2

τa

2W aµ

)( 0v+H(x)√

2

)

=1√2

(−ig2

2(W 1

µ − iW 2µ)(v +H)

∂µH − ig12 (v +H)Bµ + ig22W 3µ(v +H)

). (6.2.38)

Lagranzijan Lscal postaje

Lscal =1

2(∂H)2 − µ2H2 +

g22v

2

4W+µ W

µ−

+v2

8(g1Bµ − g2W

3µ)2 + . . . , (6.2.39)

gde smo izostavili interakcione clanove i uveli kompleksna vektorska polja

Wµ =W 1µ + iW 2

µ√2

W †µ =

W 1µ − iW 2

µ√2

. (6.2.40)

Cesto se koristi sledeca notacija W(−)µ = Wµ, W

(+)µ = W †

µ. Iz (6.2.39) vidimo

da je masa Higsovog bozona m =√

2µ. Gauge bozoni W± su takodje postalimaseni

MW =g2v

2.

Poslednji clan u (6.2.39) zahteva dalju analizu. On moze biti prepisan uobliku

v2

8(g1Bµ − g2W

3µ)2 =

1

2

(Bµ W

3µ

)M2

(Bµ

W µ3

)(6.2.41)

gde je matrica M2 data sa

M2 =v2

4

(g2

1 −g1g2

−g1g2 g22

). (6.2.42)


Svojsvtene vrednosti ove matrice su λ1 = 0 i λ2 = v2

4(g2

1 + g22). Rotacijom za

ugao θW (Vajnbergov ugao) ova matrica se dijagonalizuje. Uvedimo(Bµ

W µ3

)=

(cos θW − sin θWsin θW cos θW

)(Aµ

Zµ

), (6.2.43)

gde su Zµ i Aµ nova polja. Lako se vidi da je(cos θW sin θW− sin θW cos θW

)(g2

1 −g1g2

−g1g2 g22

)(cos θw − sin θwsin θw cos θw

)=

(A BB C

), (6.2.44)

gde je

A = (g1 cos θW − g2 sin θW )2 ,

B = −g1g2 cos(2θW ) + (g22 − g2

1)1

2sin(2θW ) ,

C = (g1 sin θW + g2 cos θW )2 .

U dijagonalnom bazisu (6.2.41) postaje

1

2

(Aµ Zµ

)(0 0

0 v2

4(g2

1 + g22)

)(Aµ

Zµ

). (6.2.45)

Lako se nalazi da je (B = 0)

tan θW =g1

g2

(6.2.46)

odnosno

sin θW =g1√g2

1 + g22

cos θW =g2√g2

1 + g22

.

Nova polja Zµ i Aµ su fizicka polja i dati su sa

Zµ =−g1Bµ + g2W

3µ√

g21 + g2

2

Aµ =g2Bµ + g1W

3µ√

g21 + g2

2

. (6.2.47)


Dakle lagranzijan skalarnog polja posle spontanog narusenja simetrije postaje

Lscal =1

2(∂H)2−µ2H2 +

g22v

2

4W+µ W

µ−+1

2

v2(g21 + g2

2)

4ZµZ

µ+ . . . . (6.2.48)

Vidimo da je masa Z bozona

MZ =v√g2

1 + g22

2(6.2.49)

dok je foton Aµ bezmasen. Masa Z0 bozona je veca od mase naelektrisanihbozona. To je u skladu sa eksperimentalnim rezultatom. Rezimirajmo:Naelektrisani gauge bozoni W±, neutralni gauge bozon Z0 i Higs su dobilimase. Foton je ostao bezmasen (elektromagnetna gauge simetrija je ostalaposle narusenja simetrije). Polja ξa(x) su odkalibrisana.

6.2.2 Interakcija leptona sa gauge poljima

Interakcija leptona sa gauge poljim je sadrzana u (6.2.21). Interakcioni clanje

Lint = iLγµ(ig1

2Bµ − ig2

τa

2W aµ

)L+ ieRγ

µig1BµeR

= −(νe e

)Lγµ(g1

2Bµ −

g2

2

(W 3µ

√2W+

µ√2W−

µ −W 3µ

))(νee

)L

− g1eRγµBµeR

= −g1

4(νγµ(1− γ5)νBµ + eγµ(1− γ5)eBµ)− g1

2eγµ(1 + γ5)eBµ

+g2

4

(νγµ(1− γ5)νW 3

µ +√

2νγµ(1− γ5)eW+µ

+√

2eγµ(1− γ5)νW−µ − eγµ(1− γ5)eW 3

µ

). (6.2.50)

Dalje je potrebno polja Bµ i W 3µ izraziti preko fizickih polja Aµ i Zµ. Iz

(6.2.50) sledi da je interakcija leptona sa gauge poljima

Lint = Lnael.str + Lneutr.str. + Lem . (6.2.51)

Sva tri sabirka u prethodnom izrazu su proizvod gustine struje i gauge po-tencijala. Prvi sabirak je

Lnael.str =g2

2√

2(νγµ(1− γ5)eW+

µ + eγµ(1− γ5)νW−µ ) . (6.2.52)


Kako postoji promena naelektrisanja duz fermionske linije u verteksu struja jenaelektrisana. Naravno ona je kuplovana sa naelektrisanim gauge bozonima.Iz (6.2.52) vidimo da je eνeW−verteks

ig2

2√

2γµ(1− γ5) . (6.2.53)

U najnizem redu teorije perturbacije dijagram za rasejanje

e−νe → µ−νµ

je

Amplituda za ovaj proces u najnizem redu teorije perturbacije je

M =( ig2

2√

2

)2

v(p1)γµ(1− γ5)u(p2)u(q1)γν(1− γ5)v(q2)−i(gµν + kµkν/M

2W )

k2 −M2W

.

(6.2.54)U nisko-energetskom limesu, k2 M2

W kapling postaje( g2

2√

2

)2 1

M2W

. (6.2.55)


Sa druge strane u okviru cetvorofermionske V − A teorije (6.1.4) dijagramza ovaj proces je dat na desnoj strani slike

pa je ( g2

2√

2

)2 1

M2W

=GF√

2(6.2.56)

odakle jeg2

2

8= GFM

2W/√

2 (6.2.57)

pa jev = (GF

√2)−1/2 ≈ 250GeV. (6.2.58)

W 3µ preko fizickih polja Aµ i Zµ postaje

Lneutr.str =1

4

√g2

1 + g22 νγ

µ(1− γ5)νZµ

+g2

1

2√g2

1 + g22

eγµ(1 + γ5)eZµ

+g2

1 − g22

4√g2

1 + g22

eγµ(1− γ5)eZµ , (6.2.59)

odnosno

g2

4 cos θW

(eγµ(−1 + 4 cos2 θW + γ5)e+ νγµ(1− γ5)ν

)Zµ . (6.2.60)

U prethodnom izrazu u struji nema promene naelektrisanja pa se onanaziva neutralnom. Kuplovana je sa neutralnim Z bozonom. Neutralnestruje su eksperimentalno otkrivene. Npr proces e−νe → e−νe ”ide” prekoneutralne struje:


Dobili smo nove vertekse: eeZ−verteks je

ig2

4 cos θW

(γµ(−1 + 4 cos2 θW + γ5

), (6.2.61)

a νeνeZ−verteks jeig2

4√

2γµ(1− γ5) . (6.2.62)

Poslednji sabirak u interakcionom lagranzijanu leptona sa gauge poljima

Lem = − g1g2√g2

1 + g22

eγµeAµ (6.2.63)

je kapling elektromagnetne struje eγµe sa Aµ. Ovo potvrdjuje da je Aµ

stvarno foton. Takodje vidimo da je naelektrisanje elektrona

e =g1g2√g2

1 + g22

. (6.2.64)

Zadatak: Pokazati da se fizicka polja W±, Z0, A pri U(1)Q transformisuprema

δW±µ = ±θ3W±

µ

δAµ =1

e∂µ(2θ3)

δZµ = 0 . (6.2.65)

6.2.3 Mase leptona

Maseni clan za elektron

−mee = −m(eLeR + eReL) (6.2.66)

nismo mogli da stavimo u Lagranzijan jer on nije invarijantan na SU(2)Ltransformacije. Zahvaljujuci spontanom narusenju lokalne simetrije tj. Higso-vim mehanizamom gauge bozoni W±, Z0 su dobili mase. Takodje isti meha-nizam ce kreirati mase elektrona, miona i taona. Lagranzijanu SM dodacemoJukavin clan

LJuk = −Ge√2

[eR(Φ†L) + (LΦ)eR)] (6.2.67)


koji je SU(2)L ⊗ U(1)Y invarijantan. Posle narusenja simetrije dobijamo

LJuk. = −Ge

2

[eR(0 v +H

)(νLeL

)L

+(νL eL

)( 0v +H

)eR

]= −Ge

2(v +H)(eLeR + eReL)

= −Ge

2(v +H)ee . (6.2.68)

Iz poslednjeg izraza vidimo da je mase elektrona

me =vGe

2

dok je neutrino bezmasen2. Pored toga dobili smo i interakciju elektrona saHigsom. Ge je reda velicine 10−6 i to je vrlo mali kapling.

6.2.4 Rezime

Narusenjem simetrije SU(2)L×U(1)Y do elektromegnetne U(1)Q gauge simetrijegauge bozoni W±, Z0 dobili su mase

MW± =g2v

2

MZ =v√g2

1 + g22

2, (6.2.69)

dok je foton ostao bezmasen jer je preostala elektromagnetna gauge simetrija.Higs (spin=0) je takodje masen m(H) =

√2µ. Takodje elektron je dobio

masu, dok mu je naelektrisanje

e =g1g2√g2

1 + g22

. (6.2.70)

Kombinujuci prethodne formule dobijamo

MW

MZ

= cos θW

g1 =e

cos θW

g2 =e

sin θW

ρ =M2

W

M2Z cos2 θW

= 1 . (6.2.71)

2Danas znamo da ovo nije tacno.


Eksperimentalni rezultat za vrednost Wajnbergovog ugla je

sin2 θW = 0, 23120± 0, 0012⇒ θW ≈ 300 , (6.2.72)

dok je parametar ρ = 0, 998± 0, 005. Masa W± bozona je

MW = 2−5/4 e√GF

1

sin θW=

37GeV

sin θW≈ 80GeV (6.2.73)

dok je masa Z bozona

MZ =MW

cos θW≈ 90GeV . (6.2.74)

Pocetni Lagranzijan za leptone sadrzi sledece konstante: gauge kapling kon-stant g1, g2; paramretre potencijala µ2, λ i Jukava kaplingeGe, Gµ, Gτ . Umestonjih mozemo uvesti

e, sin θW ,MW ,MH ,me,mµ,mτ . (6.2.75)

Gauge bozoni W±, Z0 su otktiveni u CERN-u (1984, K. Rubia, S. Vander-mer) u sudarima proton-antiproton. Higsov bozon je otkriven 2012. godineu CERN-u. Njegova masa je 125GeV.

6.3 Elektroslaba interakcija kvarkova

U prethodnom poglavlju analizirali smo leptonski sektor standardnog mod-ela. U ovom poglavlju ukljucicemo i kvarkove u standardni model. Anal-iziracemo interakcije kvarkova sa kalibracionim bozonima i Higsovim poljem.

6.3.1 Lagranzijan kvarkova

Prvi korak je da napisemo lagranzijan za kvarkovska polja. Kao i u slucajuleptona kvarkovska polja cemo razloziti u leve i desne komponente:

u = uL + uR

d = dL + dR

....

t = tL + tR . (6.3.1)

6.3. ELEKTROSLABA INTERAKCIJA KVARKOVA 143

Leve i desne komponente kvarkova nisu u istim multipletima SU(2)L×UY (1)grupe simetrije. Leve komponente cine slabe izospinske dublete, dok desnekomponente kvarkova su singleti SU(2)L grupe. Multipleti prve generacijekvarkova su

QL1 =

(uLdL

), uR, dR . (6.3.2)

Preostale dve generacije kvarkova su

QL2 =

(cLsL

), cR, sR , (6.3.3)

QL3 =

(tLbL

), tR, bR . (6.3.4)

Hipernaboj levih komponenti u, c, odnosno t kvarka je

Y (QL) = 2(Q− I3) = 2(2

3− 1

2

)=

1

3. (6.3.5)

Lako se vidi da je hipernaboj donjih komponenti iz dubleta takodje 1/3.Dakle, hipernaboj levog dubleta je 1/3. Hipernaboji singletnih stanja su

Y (uR) = Y (cR) = Y (tR) =4

3,

Y (dR) = Y (sR) = Y (bR) = −2

3. (6.3.6)

Uvescemo sledece oznake:

uR1 = uR, uR2 = cR, uR3 = tR

dR1 = dR, dR2 = sR, dR3 = bR (6.3.7)

i

QLm =

(uLmdLm

), m = 1, 2, 3 . (6.3.8)

Deo lagranzijana standardnog modela koji opisuje kvarkove je analogan


odgovarajucem leptonskom sektoru

Lq = i

3∑m=1

QLmγµ(∂µ − ig1

Y (QLm)

2Bµ − ig2

τaW aµ

2

)QLm

+ i3∑

m=1

uRmγµ(∂µ − ig1

Y (uR)

2Bµ

)uRm

+ i3∑

m=1

dRmγµ(∂µ − ig1

Y (dR)

2Bµ

)dRm . (6.3.9)

Lagranzijan (6.3.9) je dobijen zamenom obicnog izvoda sa kovarijantnim ulagranzijanu koji ima oblik

iψLγµ∂µψL + iψRγ

µ∂µψR . (6.3.10)

Maseni clan nije ukljucen u lagranzijan jer on narusava kalibracionu simetriju.U narednom poglavlju cemo objasniti kako kvarkovi dobijaju masu spon-tanim narusenjem simetrije.

6.3.2 Mase kvarkova

Ako je

ξ =

(ξ1

ξ2

)(6.3.11)

dublet SU(2) grupe onda je i ξ = iσ2ξ∗ takodje dublet SU(2) grupe.

Dokaz: Spinor ξ se transformise po dvodimenzionoj reprezentaciji SU(2)grupe

ξ′ = Uξ = ei2σaθaξ . (6.3.12)

Lako se vidi da Paulijeve matrice zadovoljavaju

σ2~σ∗σ2 = −~σ (6.3.13)

odakle sledi da jeiσ2U

∗(−iσ2) = U . (6.3.14)

Spinor ξ se transformisena sledeci nacin

ξ′ = iσ2ξ′∗ = iσ2U

∗ξ∗

= iσ2U∗(−iσ2)ξ

= Uξ . (6.3.15)


Ovim smo pokazali i da se konjugovani spinor transformise na sledeci nacin

ξ′ = −iσ2U(iσ2)ξ . (6.3.16)

Ova formula pokazuje da se spinori ξ i ξ transformisu po ekvivalentnimreprezentacijama. Dakle, za SU(2) grupu fundamentalna i konjugovanareprezentacija su ekvivalentne.

Ako bismo ponovili proceduru iz poglavlja 6.2.3 masu bi dobili samo d, si t kvarkovi. Medjutim i preostala tri kvarka su masena. Da bi svi kvarkovidobili masu potrebna su nam dva dubleta. Higsov dublet

φ =

(φ+

φ0

)(6.3.17)

se transformise po 2-dimenzionoj IR SU(2)L grupe. Na osnovu pokazanogznamo da je i

φ = iσ2

(φ+

φ0

)∗=

(φ0

−φ−)

(6.3.18)

takodje dublet. Ova dva dubleta nisu nezavisna, tj. u oba figurisu ista poljaφ1, . . . φ4. Hipernaboj dubleta φ je Y (φ) = −1.

Kvarkovi dobijaju masu posle spontanog narusenja simetrije. Za pocetakrazmatrajmo samo prvu generaciju kvarkova. Jukavin Lagranzijan je

LJuk = −Gu√2

[uR(Φ†Q) + (QΦ)uR]− Gd√2

[dR(Φ†Q) + (QΦ)dR] , (6.3.19)

gde je

Q =

(uLdL

). (6.3.20)

Sa Gu i Gd obelesili smo konstante interakcije. Drugi sabirak u (6.3.19) jeisti kao u (6.2.67). Prvi clan sadrzi φ multiplet. Lagranzijan (6.3.19) jeinvarijantan na SU(2)L ⊗ U(1)Y transformacije.

Zadatak: Da li je uR(Φ†Q) invarijantan na SU(2)L, U(1)Y , U(1)Q trans-formacije?


Posle spontanog narusenja simetrije (6.3.19) prelazi u

LJuk = −Gd

2

[dR(0 v +H

)(uLdL

)+(uL dL

)( 0v +H

)dR

]− Gu

2

[ (uL dL

)(v +H0

)uR + uR

(v +H 0

)(uLdL

)]= −Gu

2(v +H)(uLuR + uRuL)− Gd√

2(v +H)(dLdR + dRdL)

= −1

2(v +H)(Guuu+Gddd) . (6.3.21)

Iz (6.3.21) vidimo da su u i d kvarkovi postali maseni. Njihove mase su

mu =vGu

2, md =

vGd

2. (6.3.22)

Takodje iz (6.3.21) vidimo interakcioni clan Higsovog bozona sa kvarkovima.Recimo na kraju da na slican nacin se moze dobiti i masa neutrina.

Sada cemo uopstiti prethodnu proceduru ukljucivanjem i druge dve gen-eracije kvarkova. Jukavin lagranzijan za sve tri generacije kvarkova je

LJuk = − 1√2

3∑m,n=1

(G(u)mn(QLmΦ)uRn +G(u)∗

mn uRn(Φ†QLm))

− 1√2

3∑m,n=1

(G(d)mn(QLmΦ)dRn +G(d)∗

mn dRn(Φ†QLm)),(6.3.23)

gde su G(u)mn i G

(d)mn kompleksni brojevi koji formiraju dve matrice. Gornji

lagranzijan poseduje SU(2)L ⊗ U(1)Y kao i Lorencovu simetriju. Takodje jerealan. Posle spontanog narusenja simetrije Jukavin lagranzijan postaje

LJuk = −∑m,n

(uLmM(u)

mnuRn + uRnM(u)∗mn uLm

)(1 +

H

v

)−∑m,n

(dLmM(d)

mndRn + dRnM(d)∗mn dLm

)(1 +

H

v

), (6.3.24)

gde je

M(u)mn =

vG(u)mn

2, M(d)

mn =vG

(d)mn

2. (6.3.25)


Masene matriceM(u) iM(d) nisu dijagonalne. To znaci da kvarkovska stanjauLm, uRm, . . . nisu masena stanja kvarkova vec gauge stanja.

Proizvoljna matrica M se moze dijagonalizovati pomocu tzv. biunitarnetransformacije S†MT = M, gde su S i T unitarne matrice, a M dijagonalnamatrica. Lako se vidi da jeMM† = SMM †S† = SM2S† iM†M = TM2T † .Matrice M†M i MM† su hermitske i pozitivne. Dakle,

M(u) = S(u)M (u)T (u)†

M(d) = S(d)M (d)T (d)† . (6.3.26)

Matrice M (u) i M (d) su dijagonalne sa pozitivnim svojstvenim vrednostima.Jukavin lagranzijan je

LJuk = −(uLm(S(u)M (u)T (u)†)mnuRn + uRm(T (u)M (u)S(u)†)mnuLn

)(1 +

H

v

)−(dLm(S(d)M (d)T (d)†)mndRn + dRm(T (d)M (d)S(d)†)mnuLn

)(1 +

H

v

).(6.3.27)

Sa polja uL, uR, . . . precicemo na nova polja

T (u)†uR = u′R, S(u)†uL = u′L

T (d)†dR = d′R, S(d)†dL = d′L , (6.3.28)

gde su

u′L =

u′Lc′Lt′L

, d′L =

d′Ls′Lb′L

(6.3.29)

i analogno za desne komponente. Jukavin lagranzijan izrazen preko pri-movanih polja je

LJuk = −(u′LM

(u)u′R + u′RM(u)u′L

)(1 +

H

v

)−(d′LM

(d)d′R + d′RM(d)d′L

)(1 +

H

v

), (6.3.30)

gde su

M (u) =

mu 0 00 mc 00 0 mt

, (6.3.31)


M (d) =

md 0 00 ms 00 0 mb

(6.3.32)

dijagonalne masene matrice. Primovana stanja su masena stanja kvarkova.Jukavin lagranzijan izrazen preko Dirakovis spinora kvarkova je

LJuk = −(muu′u′ +mdd

′d′ + · · ·+mbb′b′)(

1 +H

v

). (6.3.33)

Kvarkovi su postali maseni i dobili smo njihovu interakciju sa Higsovim bo-zonom.

6.3.3 Naelektrisana kvark struja

Iz (6.3.9) se lako izdvaja deo Lagranzijana koji je linearan po naelektrisanimgauge bozonima W (±). Oni su kuplovani sa naelektrisanom strujom. Tajclan je

Lnael.str =g2√

2

(uLmγ

µdLmW(+)µ + dLmγ

µuLmW(−)µ

)=

g2√2

(u′Lmγ

µ(S(u)†S(d))mnd′LnW

(+)µ + d′Lmγ

µ(S(d)†S(u))mnu′LnW

(−)µ

)=

g2√2

(u′Lγ

µV d′LW(+)µ + d′Lγ

µV †u′LW(−)µ

), (6.3.34)

gde smo uveli 3× 3 matricu V = S(u)†S(d). Ova matrica je unitarna i odgov-orna je za promenu tipa kvarka pri interakciji sa naelektrisanim W bozon-ima. Matrica V je poznata kao Kabibo-Kobajasi-Maskava matrica (CKMmatrica). U nasim oznakama primovana stanja su masena stanja kvarkova ividimo da su donje stanja donjih kvarkova pomesana. Ova matrica se odred-juje iz eksperimenta a ne iz teorije.

Unitarna n×n matrica je odredjena sa n2 realnih brojeva. Od njih n(n−1)2

su parametri rotacija, a preostalih n(n+1)2

su faze. Medjutim, zahvaljujucifaznoj simetriji kvark polja 2n−1 faza moze biti apsorbovana u fazne rotacijekvark polja. Dakle, matrica V je odredjena sa (n− 1)2 parametara. Od njih(n−1)(n−2)

2su faze a ostalo rotacioni uglovi.

Ako razmatramo samo dve generacije kvarkova matrica V

V =

(cos θce

iα sin θceiβ

− sin θcei(α+γ) cos θce

i(β+γ)

)(6.3.35)


odredjena je sa tri faze i jednim uglom. Tri faze eliminisemo faznim rotaci-jama kvarkova. Naime, napravicemo sledecu transformaciju

V → U †χV Uϕ , (6.3.36)

gde su matrice Uχ i Uϕ date sa

Uχ =

(eiχ1 00 eiχ2

), Uϕ =

(eiϕ1 00 eiϕ2

). (6.3.37)

Izborom faza ϕ1, ϕ2, χ1 mozemo eliminisati fazne faktore u matrici V . Konacno,CKM-matrica V postaje

V =

(cos θc sin θc− sin θc cos θc

). (6.3.38)

Ova matrica je odredjena sa jednim parametrom, Kabibovim uglom θc.Interakcija kvarkova i naelektrisanih kalibracionih bozona je odredjena sa

Lnael.str =g2√

2

(uγµ(1− γ5)(cos θcd+ sin θcs)

+ cγµ(1− γ5)(− sin θcd+ cos θcs))W+µ + c.c. . (6.3.39)

Kada ne bi bilo mesanja d i s kvarka, tj. kada bi θc = 0 imali bismo samovertekse duW, csW , dok verteksi usW i dcW ne bi postojali. udW verteksje

ig2√2

cos θcγµ(1− γ5) , (6.3.40)

dok je suW verteksig2√

2sin θcγ

µ(1− γ5) , (6.3.41)

Preostala dva verteksa su analogna.

Eksperimentalni rezultat za Kabibo ugai je cos θc = 0, 97.


U slucaju tri generacije kvarkova matrica V unitarna 3 matrica. Oddevet parametara tri su uglovi rotacija, a preostalih set su faze. Faznomtransformacijom mozemo ukloniti pet faza. CKM matrica je oblika

V =

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

(6.3.42)

i odredjena je sa tri ugla i jednom fazom. Jedan od nacina njene parametrizacijeje

V = R1(θ2)R3(θ1)C(0, 0, δ)R1(θ3) (6.3.43)

gde je

R1(θi) =

1 0 00 cos θi sin θi0 − sin θi cos θi

, (6.3.44)

R3(θi) =

cos θi sin θi 0− sin θi cos θi 0

0 0 1

(6.3.45)

i

C(δ) =

1 0 00 1 00 0 eiδ

, (6.3.46)

Matricni elementi CKM matrice se odredjuju eksperimaentalno. Vred-nosti uglova su

θ3 = (13, 02± 0, 04)0 ,

θ2 = (2, 36± 0, 08)0 ,

θ3 = (0, 20± 0, 02)0 ,

(6.3.47)

dok je faza δ = (69 ± 5)0. Apsultna vrednost matricnih elemenata CKMmatrice su|Vud| |Vus| |Vub||Vcd| |Vcs| |Vcb|

|Vtd| |Vts| |Vtb|

=

0, 97 0, 22 0, 00390, 23 1, 02 0, 0041

0, 0084 0, 039 0, 88

. (6.3.48)

Vidimo da je ova matrica skoro dijaginalna. Dijagonalni elementi su bliskijedinici, a vandijagonalni nuli.


6.3.4 Neutralna i elektromagnetna kvarkovska struja

Drugi deo interakcije kvarkova sa kalibracionim bozonima u (6.3.9) je inter-akcija neutralnih bozona Z0 i fotona sa kvarkovskom strujom u kojoj nemapromene naelektrisanja duz kvarkovske linije u Fajnmanovom dijagramu. Onje dat sa

Lem + Lneutr =g1

6QLmγ

µQLmBµ +g2

2QLmγ

µ

(1 00 −1

)QLmW

3µ

+2

3g1uRmγ

µuRmBµ −1

3dRmγ

µQdRmBµ . (6.3.49)

Eliminacijom potencijala Bµ i W 3µ preko fizickih polja Aµ i Zµ dobijamo

elektromagnetni i neutralni deo interakcije. Elektromagnetni deo je dat sa

Lem =g2 sin θW

2

(4

3uLmγ

µuLm +4

3uRmγ

µuRm

− 2

3dLmγ

µdLm −2

3dRmγ

µdRm

)Aµ . (6.3.50)

Prelazak na primovana polja nista ne menja u gornjem izrazu pa dobijamo

Lem =g2 sin θW

2

(4

3umγ

µum −2

3dmγ

µdm

)Aµ . (6.3.51)

Primove na poljima smo izostavili. Uvodeci elementarno naelektrisanje gornjiizraz postaje

Lem =2

3e(uγµu+ cγµc+ tγµt

)Aµ

−1

3e(dγµd+ sγµs+ bγµb

)Aµ . (6.3.52)

Ovaj izraz ima oblik proizvoda kvarkovske struje i elektromagnetnog poten-cijala. Jacina interakcije je naelektrisanje odgovarajuceg kvarka.


Deo izraza (6.3.9) proporcionalan sa Zµ je

Lneutr =g2

2 cos θW

(− 1

3sin2 θW QLmγ

µQLm + cos2 θW QLmγµ

(1 00 −1

)QLm

−4

3sin2 θW uRmγ

µuRm +2

3sin2 θW dRmγ

µdRm

)Zµ

=g2

2 cos θW

(uLmγ

µuLm − dLmγµdLm

− 4

3sin2 θW (uLmγ

µuLm + uRmγµuRm)

+2

3sin2 θW (dLmγ

µdLm + dRmγµdRm)

)Zµ. (6.3.53)

Prelazak sa neprimovanih na primovana kvarkovska polja ne menja formulagranzijana. Dakle, lagranzijan sa neutralnom strujom kvarkovskog sektoraje

Lneutral =g2

2 cos θW

(uLmγ

µuLm − dLmγµdLm

− sin2 θW (4

3umγ

µum −2

3dmγ

µdm))Zµ . (6.3.54)

Vidimo da Z0 bozon kupluje kvarkovske struje u kojima nema promenetipa kvarka. Drugim recima postoje sledeci verteksi sa neutralnom stru-jom: uuZ0, ddZ0, ccZ0, ssZ0, ttZ0 i bbZ0, dok verteksi tipa ucZ0 ili dsZ0

nisu prisutni u lagranzijanu.

Ovo je i eksperimentalno potvrdjeno. Raspad K+ mezona prema kanalu

K+ → π+νν (6.3.55)

je malo verovatan. To se vidi na osnovu odnosa za sirinu ovog procesa premaukupnoj sirini raspada K+ mezona:

Γ(K+ → π+νν)

Γ(K+ → all)= 1, 73 · 10−10 . (6.3.56)

Proces K+ → π+νν nije moguc na nivou dijagrama bez petlji

6.4. LAGRANZIJAN STANDARDNOG MODELA: REZIME 153

jer ne postoji Zsd verteks. Slicno, odnos sirine raspada K0 mezona namion-antimion par prema njegovoj ukupnoj sirini raspada je

Γ(KL → µ+µ−)

Γ(KL → all)∼ 10−9 , (6.3.57)

jer dijagram

ne postoji u standardnom modelu. Ovi procesi su moguci u visem reduteorije perturbacije, sto se vidi iz dijagrama:

6.4 Lagranzijan standardnog modela: rezime

Lagranzijan standardnog modela elektroslabih interakcija sastoji se od neko-liko delova:

L = Ll + Lq + Lscal + Ljuk−lep + Ljuk−q + Lgauge . (6.4.58)


Leptonski lagranzijan je

Ll = i∑m

Lmγµ(∂µ − ig1

YL2Bµ − ig2

τa

2W aµ )Lm

+ ieRγµ(∂µ − ig1

YR2Bµ)eR

+ iµRγµ(∂µ − ig1

YR2Bµ)µR + iτRγ

µ(∂µ − ig1YR2Bµ)τR , (6.4.59)

gde smo ukljucili sve tri generacije leptona. Kvarkovski deo lagranzijana jedat sa (6.3.9). On je izrazen preko gauge stanja, a ne preko pravih masenihstanja kvarkova. Jukavin lagranzijan za leptone je

LJuk = −Ge√2

[eR(Φ†L1)+(L1Φ)eR)]−Gm√2

[µR(Φ†L2)+(L2Φ)µR)]−Ge√2

[τR(Φ†L3)+(L3Φ)τR)] .

(6.4.60)Jukavin lagranzijan u kvark sektoru je dat u (6.3.23). Gauge sektor la-granzijana je

Lgauge = −1

4fµνf

µν − 1

4F aµνF

µνa . (6.4.61)

6.5 Raspadi i neki procesi u standardnom mod-

elu

6.5.1 W± i Z0 bozoni

W± i Z0 bozoni su prvi put vidjeni 1984. god. u proton-antiproton sudarima.Takvi dogadjaji su bili retki, ali danas se ove cestice proizvode na milione uLHC-u3. Masa W± bozona je oko 80GeV a Z0 bozona oko 90GeV.

Prvo cemo da analiziramo raspad W bozona. Sirina raspada se definisesa

Γ =

∫|Sfi|2

T

∏f

V d3pf(2π)3

. (6.5.1)

3LHC je Large Hadron Colider, tj. Veliki hadronski sudarac.

6.5. RASPADI I NEKI PROCESI U STANDARDNOM MODELU 155

W− bozon se raspada prema jednom od ovih kanala

W− → e−νe

W− → µ−νµ

W− → τ−ντ

W− → ud, cs . (6.5.2)

Odredimo sirinu raspada za proces W− → e−νe. Fajnmanova amplitudaza ovaj proces je

iM = − ig2

2√

2u(e,p)γµ(1− γ5)vs(ν,q)εµ(k) . (6.5.3)

Sa ur(e,p) smo obelezili Dirakov spinor elektrona impusa p i polarizacije r.Analogno, vs(ν,q) je Dirakov spinor za antineutrino impulsa q i polarizacijes. Medjutim, mi znamo da je polarizacija antineutrina pozitivna, tj. indekss ne uzima vrednosti 1 i 2, vec samo 1. Za neutrino situacija je obrnuta.

Nas izbor normalizacije Dirakovih spinora [8, 9] je

ur(p)us(p) = −vr(p)vs(p) = δrs , (6.5.4)

sto daje

ur(~p) =

√Ep +m

2mNp(

ϕrσ·~p

Ep+mϕr

), vr(~p) =

√Ep +m

2m

( σ·~pEp+m

χrχr

), (6.5.5)

Projektori na pozitivno (negativno) energetska resenja su

2∑r=1

ur(p)ur(p) =/p+m

2m≡ Λ+(p) ,

−2∑r=1

vr(p)vr(p) = −/p−m2m

≡ Λ−(p) . (6.5.6)

Ovi izrazi su divergentni za nultu masu fermiona. Ekonomicnije je promenitinormalizaciju, npr. uklanjanjem faktora 2m u imeniocu normalizacionogfaktora, sto bi za posledicu dalo projektore bez faktora 2m u imeniocu. Mnogiautori koriste tu normalizaciju. Razvoj Dirakovog polja po ravnim talasima


je

ψ(x) =∑p

2∑r=1

√m

V Ep

(ur(~p)cr(~p)e

−ip·x + vr(~p)d†r(~p)e

ip·x),

ψ(x) =∑p

2∑r=1

√m

V Ep

(ur(~p)c

†r(~p)e

ip·x + vr(~p)dr(~p)e−ip·x

),

Ovi izrazi imaju dobro ponasanje za nultu masu. Glavni rezultat ove analizeje da mozemo da koristimo nasu normalizaciju i za bezmasene spinore, alida na kraju racuna, tj. posle nalazenja preseka za rasejanje, uzmemo da jem = 0.

Kvadrat amplitude prelaza usrednjen po polarizaciji W bozona i sumiranpolazrizacijama elektrona i antineutrina je

〈|M|2〉 =1

3

g22

8

2∑r,s=1

3∑λ=1

u(e,p)γµ(1− γ5)vs(ν,q)

× vs(ν,q)γν(1− γ5)ur(e,p)εµ(k, k)ε∗µ(k, λ) . (6.5.7)

Primenom (6.5.6) dobijamo

〈|M|2〉 =g2

2

32memν

Tr(/p+me)γµ(1− γ5)(/q−mν)γ

ν(− gµν +

kµkνM2

W

). (6.5.8)

Izracunavanjem traga dolazimo do

〈|M|2〉 =g2

2

32memν

(p · q + 2

(p · k)(q · k)

M2W

)(6.5.9)

U sistemu mirovanja W bozona cetvoroimulsi su

kµ = (MW , 0, 0, 0)

pµ = (E, 0, p sin θ, p cos θ)

qµ = (E ′, 0,−p sin θ, p cos θ) . (6.5.10)

Konacno dolazimo do

〈|M|2〉 =g2

2

12memν

(3EE ′ + p2) . (6.5.11)


Sirina raspada je

Γ =

∫|Sfi|2

T

V d3p

(2π)3

V d3q

(2π)3(6.5.12)

Integracijom dobijamo

Γ =GF√

2

M3W

6π. (6.5.13)

Ovaj rezultat je nezavistan od vrste leptona. Amplituda prelaza je data sa

Sfi = (2π)4δ(4)(pW − p− q)√

m

V Ep

√m

V EqiM . (6.5.14)

Sirine raspada Z bozona su

Γ(Z0 → l−l+) =GFM

3Z

6√

2π(g2v+g

2a) =

GFM3Z

12√

2π[(1−2 sin2 θW )2+4 sin4 θW ] ≈ 83, 4MeV ,

(6.5.15)Z0 bozon se moze raspasti i na uu, dd, . . . .

6.5.2 Higsov bozon

OVO JE NESREDJENO!

Higsov bozon se mose raspasti na fermion-antifermion par

H → ff , f = l, q (6.5.16)

Sirina raspada je

Γ(H → ff) ∼ GFmHm2f

(1−

4m2f

m2H

)3/2

. (6.5.17)

Vidimo da je ona proporcionala kvadratu mase fermiona, tako da je domi-nantan raspad H → bb, jer je mb = 4, 5GeV. Higsov bozon se moze raspastii na W+W−, Z0Z0. Medjutim, ovi raspadi nisu kinematicki dozvoljeni jer jemasa Higsovog bozona 125GeV, tj. mH < 2mW odnosno mH < 2mZ .


Rasejanje ε−e+ → µ−µ+ ide preko tri dijagrama:

U okolini s ≈ 90GeV dominantan je dugi dijagram; izraz za efikasnipresek za upadnu energiju koja je u okolini mase Z bozona je

σ ∼ 1

(s−M2Z)2 +m2

ZΓ2(6.5.18)

gde su uracunate i kvantne popravke. Γ je totalna sirina raspada Z0 bozonaa s je ukupna energija upadnih cestica u sistemu centra mase.

Kako se raspada n?

Zadaci

6.1. Pokazati da vazi:a) eγµe = eLγ

µeL + eRγµeR , gde je eL = PLe = 1

2(1− γ5)e i eR = PRe =

12(1 + γ5)e.

b) LγµL = 12νLγ

µ(1− γ5)νL + eγµ(1− γ5)e.


6.2. Ispitati da li je clan mee, gde je e Dirakov spinor koji opisuje elek-tron, invarijantan na globalne SU(2)L⊗U(1)Y . Proveriti zatim kako se claneRΦ+L + LΦeR ponasa pri globalnim SU(2)L ⊗ U(1)Y transformacijama.Ovde je Φ Higsov dublet, L leptonski levi dublet i eR lepronski desni singlet.

6.3. U standardnom modelu se moze umesto Higsovog dubleta uzeti tripletkompleksnih skalarnih polja φ = (φ0, φ−, φ−−)T . Napisati kako kovarijantniizvod deluje na polje φ. Birajuci vakuumsku ocekivanu vrednost kao < φ >0=( v√

2, 0, 0)T , analizirati spontano narusenje SU(2)L×U(1)Y simetrije. Odred-

iti koji su generatori ocuvani i naci mase ”gauge” bozona. Generatori SU(2)grupe u vektorskoj reprezentaciji su:

J1 =1√2

0 1 01 0 10 1 0

, J2 =1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

, J3 =

1 0 00 0 00 0 −1

.

6.4. Ispitati kako se gradijentna polja W±µ , Z0

µ i Aµ transformisu pri U(1)Qgradijentnim transformacijama.

6.5. U okviru Vajnberg-Salamovog modela elektroslabih interakcija nacrtatisve Fajnmanove dijagrame koji u najnizem redu teorije perturbacije opisujuprocese:

a) e + e+ → νe + νe.b) µ+ → νµ + νe + e+.c) π− → νµ + µ−.d) n → νe + e− + p.e) Ω− → Ξ0 + π−.f) n + νe → p + e−.

6.6. Nacrtati sve Fajnmanove dijagrame sa jednim, dva i tri verteksa kojiopisuju proces raspada Higsovog bozona u okviru Vajnberg-Salamovog modelaelektroslabih interakcija.

6.7. U okviru Vajnberg-Salamovog modela elektroslabih interakcija izracunatiu najnizem redu teorije perturbacije:

a) sirinu raspada W− → e− + νe.b) sirinu raspada H → e + e+.c) sirinu raspada Z0 → e + e+.d) sirinu raspada Z0 → W + W+.


e) kvadrat amplitude prelaza 〈|M |2〉 za rasejanje µ− + νe → e− + νµ usistemu centra masa.U zadacima a), b), c) uzeti da su izlazne cestice ultrarelativisticke, tj. da

vazi E ∼ |~p| m. U zadatku e) uzeti limes MW |~k| mµ,me, gde je ~krazmenjeni impuls u procesu.

6.8. Izracunati sirinu raspada za proces Z0 → µ+µ+. Uzeti da je polarizacijaZ0 u sistemu mirovanja data sa εµ = 1√

2(0, 1, i, 0)T i da su izlazne cestice

ultrarelativisticke.

7

Kvantna hromodinamika

Kao sto smo ranije rekli kvarkovi nose kvantni broj boje (colour) i zatoucestvuju u jakoj interakciji. Leptoni nemaju boju i ne ucestvuju u jakojinterakciji. Teorija jake interakcije je zasnovana na SU(3)c lokalnoj simetrijii ona se naziva kvantnom hromodinamikom. Indeks c je od ’colour’, grupucesto zovemo kolorna grupa. Kvarkovi su kolorni triplet: Svaki kvark mozebiti crven, zelen ili plav:

ψu =

ψuRψuGψuB

=

ψu1

ψu2

ψu3

,

ψd =

ψdRψdGψdB

=

ψd1

ψd2

ψd3

. . . . (7.0.1)

Stanja ψu, ψd, . . . , ψb transformisu se po fundamentalnoj trodimenzionoj reprezentacijiSU(3)c grupe. Lagranzijan koji opisuje jaku interakciju kvarkova ima stan-dardni oblik Jang-Milsovog Lagranzijana:

L =

nq∑k=1

ψk(iγµDµ −mk)ψk −

1

4F aµνF

µνa , (7.0.2)

gde je Dµψ = ∂µ−igsAaµ λa

2)ψ kovarijantni izvod. Prenosioci jakih interakcija,

potencijali Aµa, a = 1, . . . , 8 nazivaju se gluonima. Oni pripadaju osmodi-menzionoj (pridruzenoj) reprezentaciji grupe. mk je masa k−tog kvarka, ags konstanta jake interakcije. Interacija gluona sa kvarkovima je data sa

Lint = gsψiλaij2γµψjA

aµ , i, j = 1, 2, 3 . (7.0.3)

161

162 7. KVANTNA HROMODINAMIKA

Odgovarajuci verteks je dat na slici

Odredimo jacinu interakcije za dijagrame sa slike

163

Za prvi jacina kaplinga je

g2s

8∑a=1

λa31

2

λa13

2=g2s

4(λ5

31λ513 + λ4

31λ413) =

g2s

2, (7.0.4)

dok je za drugi 23g2s .

Fajnmanov dijagrami za rasejanju elektrona na protonu u okviru kvantneelektrodinamike su

Prvi dijagram je u najnizem redu teorije perturbacije i on ne sadrzi petlje(loops), dok su ostali dijagrami sa petljama i oni su viseg reda. Dijagram


naziva se polarizacijom vakuuma i on je

−(−ie0)2

∫d4k

(2π)4Tr( 1

/k − /q −m+ iεγν

1

/k −m+ iεγµ). (7.0.5)

e0 je tzv. golo naelektrisanje elektrona. Za velike impulse k ovaj dijagram seponasa kao ∫ Λ k3dk

k2(7.0.6)

i on bi trebalo da bude kvadratno divergentan. Medjutim iz razloga simetrijeovaj dijagram je logaritamski ultravioletno divergentan. Moze se pokazati daje za |q2| m2 on dat sa

α0Π(q2) = −α0

3πln( Λ2

|q2|+

5

3

), (7.0.7)

gde je Λ→∞ gornja granica integracije po k a

α0 =e2

0

4π.

Sumirajuci ovakve dijagrame

dobijamo efektivnu konstantu interakcije

αeff = α0(1 + α0Π(q2) + α0Π(q2)α0Π(q2) + . . . ) . (7.0.8)

165

Odmah se vidi da je

αeff (q2) =

α0

1− α0Π(q2). (7.0.9)

Dakle konstanta interakcije nije konstanta vec zavisi od energije. Sta je ondanaelektrisanje elektrona e koje mi znamo? Ono je definisano sa

α = αeff(q2 = 0) =e2

4π=

1

137(7.0.10)

odnosnoα =

α0

1− α0Π(0). (7.0.11)

Lako se dobija da je

αeff (q2) =

α

1− α(Π(q2)− Π(0))=

α

1− α3π

ln( |q2|

m2 )(7.0.12)

odnosno1

αeff

=1

α− 1

3πln( |q2|m2

). (7.0.13)

Da bismo definisali e uzeli smo jednu specificnu vrednost q2 = 0. Zavisnostefektivne konstane interakcije od energije data je na slici

Vidimo da sa povevecanjem energije (smanjivanjem rastojanja) konstantainterakcije raste. Ovo je kvantno mehanicki analogon ekraniranja naelek-trisanja u elektrodinamiui. Naelektrisanje Q koje se nalazi u dielektriku


efektivno je manje jer je ekranirano sredinom. Sa priblizavanjem naelek-trisanju (povecanje energije) vrednost naelektrisanja raste.

U kvantnoj hromodinamici vrednost odgovarajuce finkcije Π(q2) je

Π(q2) = −α0

4π(2

3nk − 11) ln

Λ2

|q2|, (7.0.14)

gde je

α0 =g2s0

4π(7.0.15)

a nk je broj kvarkova. Dijagrami koji daju Π(q2) su

Efektivna konstanta interakcije je

αeff (q2) =

α(µ2)

1 + (11− 2nk3

)α(µ2)4π

ln( |q2|µ2

), (7.0.16)

gde je µ2 referentna tacka. Za nk = 6 je 23nk − 11 = −7. U ovom slucaju

efektivna konstanta interakcija ima drugacije ponasanje od elektrodinamike.Ona opada sa energijom. Ovo se naziva asimptotskom slobodom (Nobelova

167

nagrada; Policer, Gros, Vilcek). Ovo je objasnjenje za zarobljenost (con-finment) kvarkova unutar hadrona. Na malim rastojanjima (veca energija)konstanta interakcije je slabija. Sa povecanjem rastojanja izmedju kvarkovau mezonu konstanta interakcije raste i mi ne mozemo da rastavimo mezonna kvarkove.


8

Velike ujedinjene teorije: SU(5)model

169

170 8. VELIKE UJEDINJENE TEORIJE: SU(5) MODEL

Dodatak A

Teorija grupa-kratak kurs

Grupa G je skup elemanata g1, g2, . . . , gn sa operacijom mnozenja elem-anata grupe koja zadovoljava sledece aksiome:1. Proizvod svaka dva elementa grupe takodje je element grupe, tj.

(∀gi, gj ∈ G) gi · gj ∈ G . (1.0.1)

Ova aksioma je poznata kao aksioma zatvorenosti.2. Mnozenje je asocijativno, tj. za svaka tri elementa grupe vazi

(gi · gj) · gk = gi · (gj · gk) . (1.0.2)

3. Postoji jedinicni element e takav da je

(∀gi ∈ G) gi · e = e · gi = gi . (1.0.3)

4. Za svaki element element grupe gi postoji jedinstven inverzni element g−1i ,

taka da jegi · g−1

i = g−1i · gi = e . (1.0.4)

171

172 DODATAK A. TEORIJA GRUPA-KRATAK KURS

Dodatak B

Vajlovi spinori

U ovom dodatku cemo uvesti leve i desne Vajlove spinore i diskutovati vezuizmedju kiralnosti i heliciteta cestica i anticestica.

B.1 Vajlove jednacine

U Vajlovoj (kiralnoj) reprezentaciji γ matrice su

γ0 =

(0 II 0

), γ =

(0 σ−σ 0

),

dok je γ5 matrica

γ5 = iγ0γ1γ2γ3 =

(−I 00 I

).

Svojstvene vrednosti matrice γ5 su ±1. Pomocu ove matrice se mogu kon-struisati projektori

PL =1

2(1− γ5) =

(I 00 0

),

PR =1

2(1 + γ5) =

(0 00 I

). (2.1.1)

Nazivamo ih levim i desnim projektorom, jer oni projektuju Dirakov spinor

ψ =

(ψLψR

)(2.1.2)

173

174 DODATAK B. VAJLOVI SPINORI

na levi, odnosno desni spinor:

PLψ =

(ψL0

), (2.1.3)

PRψ =

(0ψR

). (2.1.4)

Levi i desni Vajlov spinor su svojstveni spinori operatora kiralnosti (matricaγ5). Dirakova jednacina u Vajlovoj reprezentaciji gama matrica je(

−m i ∂∂t

+ iσ · ∇i ∂∂t− iσ · ∇ −m

)(ψLψR

)= 0 ,

odnosno (i∂

∂t+ iσ · ∇

)ψR = mψL ,(

i∂

∂t− iσ · ∇

)ψL = mψR .

Ako je m = 0 prethodne jednacine su dekuplovane(i∂

∂t+ iσ · ∇

)ψR = 0 , (2.1.5)(

i∂

∂t− iσ · ∇

)ψL = 0 (2.1.6)

i nazivaju se Vajlovim jednacinama. Ove jednacine opisuju bezmasenu cesticuspina (heliciteta) 1/2.

B.2 Levi Vajlovi spinori

Partikularno resenje za levi Vajlov spinor ψL je

ψL = φe−i(Et−p·x) . (2.2.1)

Zamenom u jednacinu (2.1.6) dobijamo E = ±Ep = ±|p|, tj. postoje pozi-tivno i negativno energetska resenja. Neka je pµ = (Ep,p). Pozitivno ener-getsko resenje za levi spinor je

ψL = u(p)e−ip·x .

B.2. LEVI VAJLOVI SPINORI 175

Impuls ovog stanja je p. Zamenom ovog partikularnog resenja u (2.1.6)dobijamo

σ · p|p|

u(p) = −u(p) .

Iz poslednje jednacine vidimo da je helicitet1 ovog stanja λ = −12. Specijalno,

ako je p = pez, onda je u(p) =

(01

), pa je partikularno resenje dato sa

ψL =

(01

)e−ip·x .

U cetvorokomponentnoj notaciji resenje je

u2(p)e−ip·x =

0100

e−ip·x . (2.2.2)

Energija ovog resenja je Ep = |p|, impuls pez a helicitet je negativan.

Analizirajmo sada negativno energetsko resenje

ψL = v(p)eip·x .

Zamenom u (2.1.6) dobijamo

σ · p|p|

v(p) = −v(p) .

Ako je p = p~ez, onda je v(p) =

(01

), pa je partikularno resenje

ψL =

(01

)eip·x .

1U Vajlovoj reprezentaciji matrica Σ je

Σ =

(σ 00 σ

).


U cetvorokomponentnoj notaciji resenje je dato sa

v1(p)eip·x =

0100

eip·x . (2.2.3)

Energija ovog resenja je E = −|p|, impuls −pez, a helicitet je +12. Odsustvo

ovakvog resenja u (Dirakovoj) teoriji supljina interpretira se kao prisustvoanticestice energije +|p|, impulsa p i pozitivnog heliciteta. Opste resenje zalevo Vajlovo polje je

ψL =1

(2π)3/2

∫d3p

1√|p|

(u2(p)c2(p)e−ip·x + v1(p)d†1(p)eip·x

). (2.2.4)

U okviru kvantne teorije polja, kreacioni operatori c†2 i d†1, delovanjem navakuum, kreiraju jednocesticna stanja. Jednocesticno stanje c†2(p)|0 > imapozitivnu energiju, impuls p i negativan helicitet (levu polarizaciju). Stanjed†1(p)|0 > opisuje anticesticu pozitivne enegije, impulsa p i pozitivnog he-liciteta (desna polarizacija).

B.3 Desni Vajlovi spinori

Partikularno resenje za desni Vajlov spinor ψR je

ψR = φei(Et−p·x) . (2.3.1)

Zamenom u jednacinu (2.1.5), dobijamo E = ±Ep = ±|p|. Kao i za levi Va-jlov spinor, i ovde postoje pozitivno i negativno energetska resenja. Pozitivnoenergetski desni spinor je

ψR = u(p)e−ip·x .

Zamenom ovog partikularnog resenja u (2.1.5) dobijamo

σ · p|p|

u(p) = u(p) .

Iz poslednje jednacine vidimo da je helicitet ovog stanja λ = +12

, jer je

impuls cestice p. Ako je p = pez, onda je u(p) =

(10

), pa je partikularno

B.3. DESNI VAJLOVI SPINORI 177

resenje

ψR =

(10

)e−ip·x .


u1(p)e−ip·x =

0010

e−ip·x . (2.3.2)

Energija ovog resenja je Ep = |p|, impuls pez, a helicitet je pozitivan.Za negativno energetsko resenje

ψR = v(p)eip·x .

Iz (2.1.5) dobijamoσ · p|p|

v(p) = v(p) .

Helicitet ovog resenja nije +12, vec −1

2, jer je impuls ovog stanja −p. Ako je

p = pez, onda je v(p) =

(10

), pa je partikularno resenje

ψR =

(10

)eip·x .


v2(p)eip·x =

0010

eip·x . (2.3.3)

Opste resenje za desno Vajlovo polje je onda

ψR =1

(2π)3/2

∫d3p

1√|p|

(u1(p)c1(~p)e−ip·x + v2(~p)d†2(p)eip·x

). (2.3.4)

Kreacioni operatori c†1 i d†2 delovanjem na vakuum kreiraju jednocesticnastanja. Jednocesticno stanje c†1(p)|0 > ima pozitivnu energiju, impuls p i


pozitivan helicitet (desnu polarizaciju). Stanje d†1(p)|0 > opisuje anticesticupozitivne enegije, impulsa p i negativnog heliciteta (levu polarizacija).

Lako se vidi da su svojstvene vrednosti operatora kiralnosti 12γ5 za stanja

u1(p)e−ip·x, u2(p)e−ip·x, v1(p)eip·x i v2(p)eip·x

respektivno data sa +12,−1

2,−1

2,+1

2. Zakljucujemo da se za bezmasene cestice

operator kiralnost i helicitet se poklapaju, dok anticestice imaju suprotnukiralnost u odnosu na helicitet. Uporedite ovaj rezultat sa zadatkom 4.13iz reference [8]. Ako se podsetimo klasifikacije IR reprezentacija Lorencovegrupe, glava 1.1, zakljucujemo da se kiralnost zapravo odnosi na kvantne bro-jeve j1 i j2. Cestice leve kiralnosti se transformisu po reprezentaciji (j1, 0),a cestice desne kiralnosti se transformisu po reprezentaciji (0, j2). Operatorparnosti je u kiralnoj reprezentaciji dat sa

γ0 =

(0 II 0

).

Primecujemo da on prebaca cestice leve kiralnosti u cestice desne kiralnosti,tj. reprezentaciju (j, 0) prevodi u reprezentaciju (0, j). To znaci da teorijakoja je invarijantna na parnost mora da sadrzi leve i desne Vajlove spinore naisti nacin. Primer takve teorije je Kvantna elektrodinamika, gde levi i desniVajlov spinor zajedno cine Dirakov spinor. Sa druge strane, teorija kojanarusava parnost, mora da na razlicit nacin ukljucuje leve i desne Vajlovespinore. Primer takve teorije je teorija elektroslabih (ili slabih) interakcija.Opis slabe interakcije ne bi bio moguc kada bi se koristili Dirakovi spinori.

Skicirajmo na kraju kako je eksperimentalno pokazano da su sva neutrinaleve kiralnosti, tj. da ne postoje neutrina desne kiralnosti. U eksperimentuje analiziran raspad piona na mion i odgovarajuci neutrino. Na primer

π+ → µ+ + νµ .

Ako pretpostavimo da se pion raspada iz mirovanja (uvek mozemo preci ureferentni sistem vezan za pion), antimion i mionski neutrino ce se razletetipod uglom od 180, imace suprotne impulse. Pretpostavimo da su ove cesticeultrarelativisticke, tj. da je helicitet dobar kvantni broj. Helicitet µ+ se mozeizmeriti, a helicitet νµ se onda izracuna, koristeci zakone odrzanja i cinjenicuda π+ ima spin nula. U ponovljenim eksperimentima je uvek dobijano daje helicitet µ+ negativan, sto znaci da je helicitet νµ uvek negativan, tj. νµje uvek leve kiralnosti. Ne postoji nijedan eksperiment sa suprotnim rezul-tatom, pa je prema tome zakljuceno da ne postoje neutrina desne kiralnosti.

Dodatak C

Maseno vektorsko polje

U ovom dodatku cemo izloziti osobine masenog polja spina 1, tj. masenogvektroskog polja.

C.1 Dejstvo i jednacina kretanja

Gustina lagranzijana masenog vektorskog polja je

L = −1

4FµνF

µν +m2

2VµV

µ , (3.1.1)

gde je Fµν = ∂µVν − ∂νVµ. Variranjem ovog dejstva dobija se jednacina kre-tanja

pdµFµν +m2V ν = 0 . (3.1.2)

Delovanjem sa ∂µ na ovu jednacinu, dobijamo da maseno vektorsko poljezadovoljava sledeci uslov

∂νVν = 0 . (3.1.3)

Prema tome, maseno vektorsko polje ima tri stepena slobode. Jednacinakretanja se onda svodi na

( +m2)V µ = 0 . (3.1.4)

Partikularno resenje ove jednacine je

εµ(k)e−ik·x , (3.1.5)

179

180 DODATAK C. MASENO VEKTORSKO POLJE

gde je εµ(k) vektor polarizacije. Zamenom (3.1.5) u (3.1.3) dobijamo kµεµ(k) =

0. Postoje tri nezavisna stanja polarizacije εµr (k), r = 1, 2, 3 koja zadovol-javaju relacije ortogonalnosti

εµr (k)ε∗µs(k) = −δrs . (3.1.6)

Polarizacioni vektori zavise od sistema reference. U sistemu u kome se cesticaimpulsa k krece duz z−ose, za vektore polarizacije mozemo izabrati

ε1(k) =

0100

, ε2(k) =

0010

, ε3(k) =1

m

k00ωk

. (3.1.7)

Ovi vektori zadovoljavaju uslov (3.1.3), ortogonalni su i deo su bazisa uprostoru Minkovskog. Cetvrti vektor u bazisu je εµ0 = kµ/m. Projekcijaspina na z−osu vektora ε3(k) je 0. Sa vektora ε1 i ε2 precicemo na

ε+(k) =1√2

01i0

, ε−(k) =1√2

01−i0

, (3.1.8)

za koje je projekcija spina na z−osu ±1. Polarizacioni vektori zadovoljavajurelacije kompletnosti

3∑r=1

εµr (k)εν∗r (~k) = −gµν +kµkν

m2. (3.1.9)

Opste resenje jednacine (3.1.4) je

V µ(x) =3∑r=1

∫d3k

(2π)3/2

1√2ωk

(εµr (k)ar(k)e−ik·x+εµ∗r (k)b†r(k)eik·x

). (3.1.10)

U kvantnoj teoriji polja ar(k) i br(k) su anihilacioni operatori za cesticeodnosno anticestice, dok su a†r(k) i b†r(k) odgovarajuce kreacioni operatori.Oni zadovoljavaju standardne bozonske komutacione relacije.

C.2. PROPAGATOR 181

C.2 Propagator

Propagator je definisan sa

iDµν(x− y) = < 0|TV µ(x)V ν†(y)|0 >

=

∫d4k

(2π)4iDµν(k)e−ik·(x−y) ,

gde je

Dµν(k) =i(− gµν + kµkν

m2

)k2 −m2 + iε

. (3.2.1)

Primetimo da se propagator za bezmaseno vektorsko polje

Dµν(k) =−igµν

k2 + iε

ne moze dobiti iz (3.2.1) uzimajuci limes m → 0. Ovo je povezano i sadiskontinuitetom u broju stepeni slobode. Naime, maseno vektrosko poljeima tri stepena slobode, dok bezmaseno vektorsko polje ima samo dva.

182 DODATAK C. MASENO VEKTORSKO POLJE

Bibliography

[1] S. Weinberg, Quantum Field Theory (vol I), CUP (2005).

[2] D. B. Lichtenberg, Unitary Symmetry and elementary particles, Aca-demic Press (1978).

[3] H. F. Jones, Groups, Representations and Physics, IoP (1998).

[4] W. Greiner and B. Muller, Quantum Mechanics, Symmetries, Springer(2001).

[5] T. Cheng and L. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Ox-ford UP (1998).

[6] C. Burgess and G. Moore, The Standard Model: A Primer, CUP (2006).

[7] M. Peskin and D. Schroeder, Quantum Field Theory, Addison Wesley(1995).

[8] V. Radovanovic, Problem Book in Quantum Field Theory, Springer(2008).

[9] V. Radovanovic, Kvantna teorija polja 1 , skripte (2017).

183

Documents

Teorija elementarnih cesticaqtpcenter.ff.bg.ac.rs/voja/TEC024_03_15.pdfBustovi i rotacije zadovoljavaju uslov (1.1.5) i cine prave ortohrone Lorencove transformacije. 1.1.1 Osobine