Teorii clasice de rezisten 1.3.1 Teoria efortului unitar nomal maxim. A fost propus de Galileo Galilei nc din secolul XVII i se enun astfel: Un corp rezist ntr-un punct atta timp ct tensiune normal maxim ( max ) din acel punct rmne inferioar unei rezistene limit ( k ), indiferent de tipul de solicitare din acel punct. Ca urmare, condiia de rezistena devine: k 1 k k 2 k 3 k k(1)

Expimnd pe rnd condiiile de rezisten la limit se obin trei perechi de planuri paralele care includ ntre ele un cub cu latura ( 2k ).x = 1 = k x = 1 = k y =2 =k y = 2 = k z = 3 = k z = 3 = k(2)

Fig.1 Cubuleul de rezisten specific teoriei tensiunilor normale Suprafaa limit a cubului este o suprafa nchis dat de funciaS ( 1 , 2 , 3 , k ) = 0 . Dac un punct M (1 , 2 , 3 ) care reprezint starea de

tensiune, se gsete n interiorul cubului, atunci aceasta reprezint o stare de solicitare posibil i putem concluziona c corpul rezist n acel punct. Dac punctul M se gsete pe suprafaa limit S , atunci aceast este o stare de solicitare limit. Dac punctul M s-ar gsi n afara suprafeei S , aceasta ar reprezenta o stare de tensiune imposibil pentru c materialul a cedat. Pentru solicitarea de ntindere pe una sau mai multe direcii cnd ruperea se face prin smulgere, teoria este acceptabil; pentru solicitarea de compresiune pe trei direcii unde nu apare fenomenul de smulgere, teoria este inaplicabil. Teoria a fost infirmat de experienele lui Fppl pe cuburi de gresie supuse la presiuni hidrostatice foarte mari. Se constat c un cub rezist la compresiuni egale dup cele trei direcii i nu poate fi distrus prin compresiune hidrostatic. Aceast teorie este n cazul de fa acoperitoare i explic numai distrugerea materialului la ntindere prin smulgere. 1.3.2 Teoria deformaiei specifice liniare maxime. A fost propus de Mariotte n 1682 i se enun astfel: Un corp rezist ntr-un punct atta timp ct deformaia maxim specific ( max ) din acel punct rmne inferior unei deformaii specifice limit ( k ), indiferent de tipul de solicitare din acel punct. Pentru o stare de tensiune spaial, condiia de rezistena devine: k 1 k k 2 k 3 k k(3)

Admind c la limita de rezisten materialul se gsete n stadiul de comportare elastic, se pot utiliza relaiile constitutive conform legii lui Hooke.

1 1 = E [ 1 ( 2 + 3 ) ] 1 2 = [ 2 ( 3 + 1 ) ] E 1 3 = [ 3 ( 1 + 2 ) ] E Similar, n cazul solicitrii simple de ntindere, se obine: k Ca urmare, condiia de rezisten transform conform relaiei (5). k 1 ( 2 + 3 ) k k 2 ( 3 + 1 ) k ( + ) 3 1 2 k k(5) (3)=

(4)

1 k . E

exprimat n tensiuni se

Aceste condiii exprimate la limit conf. dup direcia diagonalei (prima trisectoare: suprafaa limit S ( 1 , 2 , 3 , k ) = 0 -vezi fig.2.

(6),

reprezint trei perechi de care constituie

cte dou planuri paralele. Aceste plane nchid un paralelipiped oblic lungit 1 = 2 = 3 ),

x ( y + z) = k y ( z + x) = k z ( x + y) = k

(6)

Fig.2 Paralelipedul oblic de rezisten specific teoriei deformaiilor liniare

Pentru stare de tensiune plan ntr-un punct ( 3 = 0 ), relaiile (5)

privind condiia de rezisten, devin:

k 1 1 k k 2 2 k Condiiile(7)

(7)

scrise la limit dau curba limit, C ( 1 , 2 , k ) = 0 , care

reprezint un romb cu diagonal mare dirijat dup prima bisectoare, paralelogram ce definete zona limit de rezisten.x y = k x y = k y x = k y x = k

(8)

Fig.3 Curba limit de rezisten - romb Nici aceast teorie de smulgere nu este confirmat de experiena cu cuburile solicitate uniform la compresiune, cci ar trebui ca materialul s sek distrug cnd presiunea hidrostatic devine egal cu: = 1 2 .

Verificarea pe baza acestei teorii este folosit mai ales pentu materiale casante, pentru care este important ca deformaia limit ( ) s nu fie depit. 1.3.3 Teoria efortului unitar tangenial maxim. A fost propus de Coulomb n 1773 i se enun astfel: Un corp rezist ntr-un punct atta timp ct tensiunea tangenial maxim (max ) din acel punct rmne inferior unei valori limit ( k ), indiferent de tipul de solicitare din acel punct. Tensiunea limit k se poate obine printr-o experien simpl de ntindere uniaxial. Pentru o epruvet astfel solicitat, tensiunea tangenial maxim n plane la 45 faa de axa barei, devine:

k =

k 2

(9)

Coulomb a emis ipoteza c rezistena total la forfecare apare odat cu apariia rezistenei totale la ntindere. Condiia de rezisten este dat de relaiile (10). k 1 k k 2 k 3 k k(10)

Se exprim tensiunile tangeniale extremale ( 1 ,2 ,3 ) funcie de tensiunile normale principale ( 1 ,2 ,3 ):1 = 2 3 ; 2 2 = 3 1 ; 2 3 = 1 2 . 2(11)

Rezult condiiile de rezisten conf. relaiilor (12). k 2 3 k k 3 1 k 1 2 k k(12)

Reprezentnd grafic aceste relaii scrise la limit, se obin trei perechi de cte dou plane paralele care definesc o prism cu seciunea hexagonal, a crei ax coincide cu prima trisectoare ( 1 = 2 = 3 ), fig.4. Un plan deviator perpendicular cu axa prismei o secioneaz dup un hexagon regulat. Raza cercului circumscris hexagonului este :R= 2 k . 3

Fig.4 Prisma hexagonal - suprafaa limit S ( 1 , 2 , 3 , k ) = 0 Pentru starea de tensiune plan ntr-un punct ( 1 , 2 ), repezentarea grafic a zonei de rezisten este un hexagon alungit dup prima bisectoare (fig.5), obinut pin secionarea prismei cu un plan 3 = 0 . n acest fel, condiia de rezisten se obine ca n expresiile (13). k 1 2 k k 1 k k 2 k (13)

Fig.5 Hexagon neregulat curba limit C ( 1 , 2 , k ) = 0 Prisma lui Coulomb explic faptul c orict de mari vor fi cele trei eforturi unitare normale principale egale (de compresiune) care solicit fiecare element infinitezimal din corp, materialul nu se va distruge, deoarece punctul M se va gsi mereu n zona de rezisten (pe axa prismei). Din pcate, aceeai interpretare se poate da i pentru solicitarea de ntindere uniform 3D, care ar conduce la ideea c materialul nu se poate distruge, ceea ce este fals. Aceast teorie este o teorie de lunecare deoarece cedarea se produce prin fenomenul de lunecare dup cele trei direcii, tensiunile tangeniale avnd un rol esenial n procesul ruperii. n consecin, teoria se aplic mai ales pentru materialele ductile, cu proprieti plastice i care rezist la fel la ntindere compresiune; nu este indicat s se aplice materialelor casante (fonta, betonul), care au o rezisten mai mic la ntindere dect la forfecare/compresiune.

1.3.4 Teoria de rezisten a lui Davidenkov Fridman Teoriile de rezisten expuse la paragrafele anterioare se aplic selectiv, fie materialelor cu proprieti plastice (Coulomb), fie materialelor casante (Mariotte), pornindu-se de la ideea c un singur factor ( sau sau

), este determinant n stabilirea capacitii de rezisten ntr-un punct acorpului. Dar un acelai material (ex. metalul) poate avea comportri diferite n funcie de tratamentele termice suferite pe parcursul exploatrii sau de modul de ncrcare: -comportare plastic la ncrcri statice (materialul se rupe datorit lunecrilor), -comportare casant la ncrcri dinamice (materialul se rupe datorit smulgerii). Teoria lui Davidenkov Fridman (1946) are avantajul c d o imagine direct asupra modului n care se va produce ruperea, la solicitarea respectiv. Astfel, pentru a stabili dinainte dac materialul se va rupe datorit lunecrilor sau smulgerilor, se construiete o abac ca n fig.6. Se reprezint pe abscis efortul unitar normal , corespunztor deformaiei specifice liniare maxime, iar pe axa ordonatelor efortul unitar tangenial maxim , conform teoriei de rupere Coulomb.

Fig.6 Abaca costitutiv - privind modul de rupere Abaca este limitat de valorile limit, stabilite experimental:c - efortul unitar tangenial, corespunztor curgerii de fibr (dac

exist);r - limita de rupere la forfecare;r - rezistena limit de rupere la ntindere.

Pentru o anumit stare de tensiune ntr-un punct, se determin coordonatele i . Se gsete pe abac punctul reprezentativ M ( , ). Se duce dreapta OM de coeficient unghiular m, pn ntlnete limitele abacei (dreptele =c , = r sau = r ). Dac OM ntlnete mai nti dreapta =c , materialul se rupe prin lunecri; dac OM ntlnete mai nti dreapta = r , materialul se rupe prin smulgere; dac OM ntlnete mai nti dreapta =c i apoi dreapta = r , materialul se deformeaz plastic i apoi se rupe prin smulgere.

1.4 Teorii energetice de rezisten

Criteriile bazate pe considerente energetice sunt superioare pentru c admit influena preponderent a unei combinaii de factori (, , , ,W

) n

definirea strii limit; n plus se obine o singur condiie de rezisten. Pe baza acestor teorii se pot defini criteriile de curgere plastic a materialului, care stau la baza Teoriei Plasticitii. 1.4.1 Teoria energiei poteniale de deformaie A fost propus de Beltrami n anul 1885 i se enun astfel: Un corp rezist ntr-un punct atta timp ct energia potenial specific de deformaie ( W1 ) rmne inferior unei energii poteniale specifice de deformaie limit ( W1k ), indiferent de tipul de solicitare din punctul respectiv. Condiia de rezisten este:W1 W1k(14)

Unde, energia potenial specific de deformaie n domeniul elastic se calculeaz dup formula (15).W1 = 1 2 2 12 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 31 ) 2E

[

]

(15)

Energia potenial de deformaie se mai poate exprima i n funcie de invarianii liniar ( I1 ) i ptratic ( I 2 ), care caracterizeaz o stare de tensiune spaial n jurul unui punctW1 = 1 I 12 2(1 + ) I 2 2E

[

]

(16)

W1k - energia potenial specific limit, se determin prin experiene

de ntindere monoaxial.W1k = 1 2 k 2E

(17)

Comparnd cele dou expresii ale energiei, rezult condiia de rezisten la limit, raportat la tensiunile principale, respectiv la invariani.2 12 + 2 + 32 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1 ) k2

(18) (18)

I12 2(1 + ) I 2 k2

n general, relaia funcional: S ( 1 , 2 , 3 , k ) = 0 , care reprezint suprafaa limit, poate s conduc analitic la ruperea materialului n punctul respectiv. Reprezentarea grafic a zonei de rezisten (suprafaa limit) n spaiul tridimensional este un elipsoid de rotaie de ecuaie unghiuri egale cu1 3

(19),

avnd ca ax principale):

principal de rotaie prima trisectoare ( 1 = 2 = 3 ). Axa elipsoidului face axele de coordonate (axele

cos = cos = cos =

.(19)

x 2 + y 2 + z 2 2 ( xy + yz + zx ) = k

Coordonatele de intersecie ale suprafeei limit S( 1 , 2 , 3 , k ) = 0 cu prima trisectoare, sunt:1 = 2 = 3 = k 3(1 2 )(20)

Aceste mrimi au valori distincte pentru diverse materiale. Astfel,-

pentru oel ( = 0,3),

1

= 2 = 3 0,9k

; .

pentru beton ( = 0,15),

1 =2 =3 0,7k

Pentru o stare de tensiune plan ( 3 = 0 ), condiia de rezisten devine:2 12 + 2 + 32 2 2 k2 1

,

(21)

Aceast condiie la limit este reprezentat grafic de ecuaia (21), care reprezint curba limit C( 1 , 2 , k ) = 0, care este o elips.x 2 + y 2 2 xy = k

(21)

Fig.7 Elipsoidul de rotaie suprafaa limit Orice punct din interiorul elipsei reprezint o stare de tensiune admisibil pentru material, iar dac punctul reprezentativ M ( 1 , 2 ) al unei stri de tensiune cade n interiorul elipsei, rezult c materialul rezist n acel punct. Dac se raporteaz elipsa la noile axe o rotite cu un unghi de 45 (care reprezint direciile axelor principale ale elipsei), se obine expresia(22).1 ( ) 2 + ( + ) 2 2 2 = k 2

[

] (

)

(22)

Desfcnd parantezele, ordonnd i notnd semiaxele elipsei cu a i b, conf.(23),

se obine n final ecuaia clasic a elipseik 1 k 1+

(24),

raportat la

semiaxele sale.a=

,

b=

,

(23) (24)

2 2 + =1 a2 b2

Fig.8 Elipsa de rezisten curba limit Semiaxele a i b rezult din intersecia elipsei cu axele (fig.8), constanta k avnd semnificaia rezistenei limit la ntindere uniaxial - k . Pentru oel moale de construcie ( = 0,3), expresiile transform corespunztor n (23).a =1,19 k

(23)

se

,

b = 0,875 k

(23)

Pentru o starea de forfecare pur n jurul unui punct ( 1 = + , 2 condiia de rezisten limit (21) devine: 2(1 + ) k(25)

= ),

Pentru oel ( = 0,3), tensiunea tangenial are la limit expresia (26).= k2,6 = 0,62 k

(26)

Acest rezultat corespunde de experienele lui Bauschinger pe bare rotunde din oel, supuse la torsiune. S-a constatat c limita de rezisten la rsucire se atinge pentru urmtoarea valoare a tensiunii tangeniale: = ( 0,50 0,55 ) k(27)

n cazul verificrii de rezisten a unei grinzi metalice supuse la o solicitare de ncovoiere ( x ) cu fora tietoare (xy ), se pune problema determinrii unei rezistene echivalente n punctul respectiv, conf. criteriului Beltrami i compararea acestei tensiuni cu rezistena limit (admisibil). Rezult,2 2 ech = x + 2,6 xy

(28)

Deoarece suprafaa limit este o suprafa nchis, rezult c teoria energetic Beltrami este o teorie de smulgere. Critica teoriei: Acest teoria folosete legea generalizat a lui Hooke valabil n domeniul de proporionalitate (elasticitate) n stabilirea expresiei(16)

a energiei specifice poteniale a corpului, ori limita de rezisten a

materialului poate fi atins dincolo de stadiul elastic. n plus, teoria nu ine seama de posibilitile de rezisten diferite la ntindere i compresiune, pentru materialul respectiv. Aceast teorie nu poate explica rezistena practic nelimitat a corpurilor supuse la compresiune uniform dup cele trei direcii (presiune hidrostatic) vezi experienele lui Fppl cu cuburile de gresie introduse pe fundul oceanului. 1.4.2 Teoria energiei poteniale de deviaie A fost propusa de M.Huber (1905) i apoi perfecionat de Hencky i von Mises (1913) pentru materialele tenace, cu proprieti de ductilitate. Teoria admite c un corp rezist ntr-un punct atta timp ct energia potenial specific de deviaie - W1D , pentru schimbarea formei (fr schimbarea volumului), rmne inferior unei energii poteniale specifice de deviaie limit ( W1D ,k ), indiferent de tipul de solicitare din punctul respectiv. n acest fel, condiia de rezisten devine:

W1D W1D ,k

(29)

Energia potenial specific de deviaie n stadiul elastic se exprim n funcie de invarianii strii de tensiune sau de tensiunile principale, conf.(30). W1D = 1+ 2 1+ 2 2 2 2 I 1 ( ) 3I 2 ( ) = 1 + 2 + 3 ( 1 2 + 2 3 + 3 1 ) (30) 3E 3E

[

]

[

]

Pentru definirea energiei poteniale specifice de deviaie limit, se alege ca solicitare de baz starea de ntindere/compresiune pur ( 1 = k , 2 = 3 = 0 )

i ca urmare:W1D ,k = 1+ 2 k 3E

(31) (32),

n acest fel se obine condiia de rezisten de forma ntrire izotropic i condiii izotermale.2 I12 ( ) I 2 ( ) k2

pentru

(32)

Sau,2 12 + 2 + 32 ( 1 2 + 2 3 + 3 1 ) k2

(32)

( 1 2 ) 2 + ( 2 3 ) 2 + ( 3 1 ) 2 2 k2Condiia limit de rezisten se mai poate exprima i funcie de eforturile unitare tangeniale maxime.2 12 + 2 + 32 2 k2

(32)

Se observ c n condiia de rezisten au disprut constantele elasticeE i , ceea ce constituie o indicaie c teoria poate fi valabil i dincolo

de limita de elasticitate.

Fig.9 Suprafaa limit de reziten cilindru circular La limit, condiia de rezisten devine suprafaa limit

S ( 1 , 2 , 3 , k ) = 0 :2 12 + 2 + 32 ( 1 2 + 2 3 + 3 1 ) = k2

,

(33)

care reprezint un cilindru circular deschis la ambele capere, care are axa( x = y = z ) egal nclinat fa de axele de coordonate, conf. fig. 9. Raza

cilindrului din planul deviator , are valoarea

R=

2 k . 3

Astfel, elipsoidul

din prima teorie energetic de rezisten se transform ntr-un cilindru circular. Orice punct M( 1 , 2 , 3 ), care se gsete n interiorul cilindrului circular reprezint o stare de tensiune posibil i corpul nu se distruge n acel punct. Acest cilindru circumscrie prisma hexagonal a lui Coulumb, fig.10.

Pentru o stare de tensiune bidimensional ntr-un punct ( 3 = 0 ), condiia limit (33) devine (34).2 12 + 2 1 2 = k2

(34)

Aceasta reprezint o elips circumscris hexagonului din teoria de rezisten a tensiunilor tangeniale a lui Coulomb.

Fig.10 Cilindrul circular Huber circumscrie prisma hexagonal Coulomb Pentru o stare de forfecare pur ( 1 = + , 2(34).3 k

= ),

relaia

(33)

devine

(35)

La limit,= k = 0,58 k 3(36)

Teoria se apropie mai mult de rezultatele experimentale ale lui Bauschinger, n comparaie cu prima teorie energetic. De menionat c ipotezele care stau la baza teoriilor energetice de rezisten sunt valabile atunci cnd corpul se plastific n toate punctele sale (teoria lui Huber) i corpul se dezagreg n ntregime; teoriile nu se aplic materialelor casante, care la limit crap, fr a se dezagrega ntregul corp. Astfel, la calculul construciilor metalice supuse la solicitri la care cedarea

se face prin curgere plastic, se folosete cu precdere teoria energetic de deviaie. Se calculeaz o rezisten echivalent care nu trebuie s depeasc rezistena limit la curgere. ech = ( I12 3I 2 )12

k =c

(37)

Relaia de verificare de rezisten ntr-un punct a unei grinzi ncovoiate solicitat la ncovoiere cu for tietoare, devine (38). ech = ( 2 + 3 2 )12

Rs

(38)

Unde, R s - rezistena de calcul dat de normativ, funcie de modul de solicitare i tipul de mbinare (pentru calculul mbinrilor sudate). A dou teorie energetic de rezisten se aplic cu bune rezultate pentru a modela comportarea corpurilor supuse la compresiune triaxial. n schimb se consider c un corp nu se poate distruge la solicitare de ntindere triaxial, ceea ce nu este real. Deoarece att teoria a lui Coulomb ( ), ct si teoria energiei potentiale de deviaie ( W1D ), sunt teorii de lunecare prin care se poate explica fenomenul deformaiilor plastice de curgere la solicitri compuse, ambele teorii sunt folosite drept criterii de plasticitate n Teoria Plasticitii. Marele avantaj al teoriei enegiei poteniale de deviaie const n faptul c se exprim o singur condiie de rezisten de tip (32) i aceasta se poate scrie n funcie de invarianii strii de tensiune ( I1 ,I2

respectiv

J2

).