Teoria2. Nombres Complexos.pdf

8/18/2019 Teoria2. Nombres Complexos.pdf

1/24

Reals Complexos

Tema 1: Els nombres complexos

Prof. Gisela Pujol

EET - Universitat Politècnica de Catalunya

Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 1


2/24

Reals Complexos

Index

1 Els conjunts N,Z,Q i R

2 Els nombres complexos C

DefinicióForma polarConjugacióFórmula d’Euler, funcions exponencials i trigonomètriques,fórmula de Moivre

Càlcul d’arrelsAplicacions



3/24

Reals Complexos

Def. (N)

Designarem per N el conjunt dels nombres naturals, és a dir, elconjunt dels nombres utilitzats per comptar objectes:

N = {1, 2, 3, . . .}

En N definim dues operacions: la suma + i el producte · , queverifiquen:

1. Associativa de la suma: (a + b ) + c = a + (b + c ).

2. Associativa del producte: (a · b ) · c = a · (b · c ).3. Commutativa de la suma: a + b = b + a.

4. Commutativa del producte: a·

b = b ·

a.

5. Existència d’element neutre per al producte: a · 1 = a.6. Distributiva del producte respecte de la suma:

a

·(b + c ) = (a

·b ) + (a

·c ).



4/24

Reals Complexos

N és el conjunt més petit en el qual es pot garantir que:

(a) 1 ∈ N.(b) Si n ∈ N, també n + 1 ∈ N.

Def. (Principi d’inducció)

Sigui A un subconjunt de N (A ⊂ N) que és tal que:(a) 1 ∈ A.(b) Si n ∈ A, també n + 1 ∈ A.

aleshores A = N.

El principi d’inducció ens permet demostrar propietats que fanreferència a tots els nombres naturals.



5/24

Reals Complexos

El conjunt N té una mancança. Imaginem que busquem un nombrex ∈ N de forma que a + x = 0, amb a > 0. Aquest nombre noexisteix en el conjunt dels naturals.

Def. (Z)

El conjunt dels enters és Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

En aquest conjunt, l’equació a + x = 0 té solució: x = −a is’anomena l’element oposat respecte de la suma.

Les operacions suma i producte tenen dues propietats més:

7. Existència d’Element Neutre per a la Suma: a + 0 = a.

8. Existència d’Element Oposat per a la Suma:

∀a ∈ Z,∃x ∈ Z tal que a + x = 0.


R l C l


6/24

Reals Complexos

Ara volem resoldre l’equació a · x = 1, amb a ∈ Z. Si a = 1, noexisteix solució d’aquesta equació en Z.

Def. (Q)

El conjunt dels racionals Q es defineix per:

Q = ab |

a, b

∈Z, b

= 0 .

Les operacions suma i producte tenen una propietat afegida:

9. Existència d’element invers respecte al producte:

∀a ∈ Q, a = 0,∃x ∈ Q tal que a · x = 1.Aquestes dues operacions (suma i producte) amb les 9 propietatsanteriors doten a Q d’estructura de cos commutatiu.


R l C l


7/24

Reals Complexos

Finalment, volem resoldre x 2 = 2. Amb el que tenim fins ara,caldria expressar

√ 2 com a

b . Sabem que això no és possible. Per

això el nombre √ 2 s’anomena nombre irracional, encara que estracta d’un nombre que podem trobar a la natura (p.e., ésl’hipotenusa d’un triangle rectangle de costats 1 i 1).

Def. (R)

El conjunt de nombres format pels nombres racionals (Q) i elsnombres irracionals formen el conjunt dels nombres realsR = (−∞,∞) (recta real).

Inclusions

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R


Reals Complexos Def Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions


8/24

Reals Complexos Def. Polar Conjugacio Exponencial Arrels Aplicacions

Els nombres complexes o imaginaris

Ara volem resoldre equacions de l’estil x 2 + 3 = 0, que no tésolució a R. Per això cal ampliar el cos dels reals amb nombres querepresenten quantitats que no podem trobar a la natura.

Def.

Definim unitat imaginària complexa a l’element (0, 1), denotat peri .

En termes d’unitat imaginària, qualsevol nombre complex admet lasegüent expressió en forma binòmica:

z = (a, b ) = a + i b

que sol ser la més utilitzada.




9/24


Def. (C)

S’anomena nombre complex a tot parell ordenat de nombres reals.

El conjunt de nombres complexes es denota per C,

C := {(a, b ) : a, b ∈ R} .

Per tant, com a conjunt, tenim que C R2.Donat un nombre complex z = (a, b ), anomenem a := Re z la partreal de z i b := Im z la part imaginària de z . Donats dos nombrescomplexos

z 1 = (x 1, y 1) , z 2 = (x 2, y 2) ,

es defineix la suma z 1 + z 2 i el producte z 1 z 2 per

z 1 + z 2 := (x 1 + x 2, y 1 + y 2) , z 1z 2 := (x 1x 2−y 1y 2, x 1y 2 + y 1x 2) .

Aquestes dues operacions doten al conjunt C d’estructura de cos.




10/24


Mòdul i argument. Forma polar.

Donat un nombre complex z = a + i b ∈ C s’anomena mòdul de z ,i es denota per

|z |, a la longitud del vector (a, b )

∈R2:

|z | :=

a2 + b 2

Observa que el mòdul d’un nombre real és el seu valor absolut.

Eix real

Eix complex

zy

x

a | z |

Figura: Correspondència entre la forma polar z = (|z |, α) i binòmicaz = x + i y d’un nombre complex.


Reals Complexos Def. Polar Conjugació Exponencial Arrels Aplicacions


11/24


Per a z = (a, b ) no nul, anomenem argument principal de z, i eldenotem per Arg z , a l’únic α ∈ [−π, π) que verifica

α = Arg z := arctan b

a (1)

El conjunt de tots aquests possibles angles es denomina argument de z i es denota per arg z:

arg z := {Arg z + 2nπ : n ∈ Z} .

Per tant, l’argument no és únic però anomenem principal al quecau dins l’interval [

−π, π). Anomenem forma polar d’un nombre

complex a |z |arg z . Cal observar que si z = 0, tenim quez = |z |(cos(α) + i sin(α)) . (2)




12/24

p j g p p

Conjugació

Def.

Sigui z = (a, b ) ∈ C. Anomenem conjugat de z a (a,−b ) i eldenotem per z .

És a dir,z := a − i b .

El conjugat de z , z , és el simètric de z en el pla complex respectel’eix real. Evidentement, si z = 0, z està carecteritzat per

|z | = |z | , Arg z = −Arg z .




13/24

p j g p p

Ex. (1.1)

Sigui z ∈ C. Demostra que

Re z = z + z

2 , Im z =

z − z 2i

.

Ex. (1.2)

Demostra que per a cada z ∈ C, |z |2 = z z . Com s’usa aquestafórmula per a calcular l’invers d’un nombre complex?

Ex. (1.3)

1 Sigui z = 3 + 2i . Quina és la seva expressió polar? Fes-ne laseva representació en el pla complex. Calcula i represent z .

2 Sigui z = 2π/3. Quina és la seva expressió binòmica? Fes-nela seva representació en el pla complex.Calcula i representa z .




14/24

Operacions: resum

Siguin dos nombres complexos:

z 1 =a1 + b 1i = r α1z 2 =a2 + b 2i = R α2

Suma: z 1 + z 2 = a1 + a2 + i (b 1 + b 2).

Producte:

Polar: z 1 · z 2 = (r · R )α1+α2Binòmica: z 1 · z 2 es calcula fent distributiva.

Divisió:

Polar: z 1z 2

=

r R

α1−α2

Binòmica: Es calcula multiplicant i dividint pel conjugat deldenominador: z 1

z 2= z 1

z 2· z 2

z 2




15/24

Ex. (1.4)

1 Donats els nombres complexos: z 1 = 2 − i , z 3 = 1 − 2i ,z 2 = 2i , calcula:(a) z 1 · z 2 (b) z 21 (c) z 2z 3 (d) z 1 + z 2 + z 3.

2 Trobeu el valor de x de forma que el següent producte siguiun nombre real: (3

−2i )

·(x + 3i ).

3 Resoleu a C les equacions: x 2 − 4x + 13 = 0 i x 3 + x + 10 = 0.4 Calculeu la part real i imaginària de (1−5i )(1−i )2i −1 .

5 Realitzeu les següents operacions:

(a) 2 − i 2i 3 + 6

− i (b )

1 −√ 2 i + √ 2 + i 1 − i

3




16/24

Fórmula d’Euler

La fórmula d’Euler diu que

e i ϕ

= cos(ϕ) + i sin(ϕ)sent ϕ un angle del pla complex.

Figura: La fòrmula d’Euler en el pla complex.

Nota: Si fem z = π, obtenim que e i π

= −1.Gibergans, Pujol Mètodes 1 pàg. 16



17/24

Funció exponencial

Per a cada z = a + i b

∈C, es defineix la funció exponencial

complexa e z mitjançant la identitat

e z := e a (cos(b ) + i sin(b )) ,

on e a és la funció exponencial real del nombre e .

|e z | = e Re(z ).Arg (e z ) = Im(z ).

Def. (Expressió exponencial de z )

Donat z = a + i b ∈ C, la seva forma exponencial és:z = |z | e Arg (z )·i .

Compte! No confondre e z amb la forma exponencial de z .




18/24

Funció exponencial i funcions trigonomètriques

Amb b ∈R, a partir de:

e i b = cos(b ) + i sin(b )

e −i b = cos(b ) − i sin(b )

obtenim:

cos(x ) = e ix + e −ix

2 , sin(x ) =

e ix − e −ix 2i

, x ∈ R .

Ho podem generalitzar als complexes:

cos(z ) = e z + e −z

2 , sin(z ) =

e z − e −z 2i

, z ∈ C .




19/24

Fórmula de Moivre

Tenim que per a cada α ∈ R i n ∈ Z es verifica l’anomenadafórmula de Moivre:

(cos(α) + i sin(α))n = cos(nα) + i sin(nα) .

La fórmula de Moivre es pot obtenir a partir de la fórmula d’Euler,usant que per a cada n ∈ Z i z ∈ C, (e z )n = e nz . Aleshores:

e i nb = cos(nb ) + i sin(nb )




20/24

Càlcul d’arrels

A partir del teorema fonamental de l’àlgebra:

Teorema (fonamental de l’àlgebra)

Sigui un polinomi p (x ) de grau n, amb coeficients complexes, té exactament n arrels complexes.

A R, en té com a molt n. Recorda que les arrels complexes semprevan conjugades.Volem resoldre x 3 − 8 = 0 a C. Sabem que tindrà 3 arrels. Per acalcular-les, usem la següent fórmula, que ve de la definició delogaritme complex. Volem calcular les n arrels de n

√ z :

z k =

Mòdul : n |z |

Arguments : Arg z n

+ 2πn · k , k = 0, . . . , n − 1




21/24

Volem resoldre x 3 − 8 = 0 a C. És a dir, cal trobar z = 3√ 8.Segons la fórmula anterior, hi ha tres nombres complexos que hoverifiquen. Els anomenarem z 1, z 2 i z 3. Sabem que tots tres tenen

mateix mòdul:|z k | = 3

|8| = 2

Els arguments són:

Arg 8

3 + 2π

3 · k , k = 0, 1, 2En aquest cas, Arg 8 = 0. Per tant, les arrels són:

20 , 2 2π3, 2 4π

3

En forma binòmica s’expressen com:

2,−1 ± i √

3 .




22/24

Arrels de la unitat

Els nombres complexes z que resolen z n = 1 s’anomenen arrelsn-èssimes de la unitat. N’hi ha justament n de diferents:

z n = e 2πik /n , k = 0, 1, . . . , n − 1.

Figura: Arrels cinquenes de la unitat: z 5 = 1.




23/24

Aplicacions

La base matemàtica dels Circuits Elèctrics són els nombrescomplexes: amplificadors, filtres, motors, generadors d’energiaelèctrica, circuits de medició i control, etc. I això s’aplica en altresciències. Per exemple, en medicina s’utilitza per a la

espectrometria; en telecomunicació en la transmisió i recepció desenyals electromagnètics (ràdio, TV, telèfon, etc).

Un filtre elèctric o electrònic és un element que discrimina unadeterminada freqüència d’un senyal elèctric que passa a travésd’ell, podent modificar tant la seva amplitut com la seva fase.



A li i


24/24

Aplicacions

Els nombres complexes s’usan en enginyeria electrònica i altres

camps per a una descripció adequada dels senyals periòdicsvariables (Anàlisi de Fourier). En una expressió del tipus z = re i φ,podem pensar en r com l’amplitut i en φ com la fase d’una onasinusoidal de freqüència donada.

Quan representem un corrent o un voltatge de corrent altern (pertant amb comportament sinusoidal) com la part real d’una funcióde variable complexa de la forma f (t ) = ze i ωt on ω representa lafreqüència angular i el nombre complexe z dona la fase i l’amplitut,el tractament de totes les fórmules que regeixen les resistències,

capacidats i inductors poden ser unificades introduint resistènciesimaginàries.Enginyers elèctrics i f́ısics usen la lletra j per a la unitat imaginària,en lloc de i que està t́ıpicament destinada a la intensitat de corrent.


Documents

Teoria2. Nombres Complexos.pdf