TEORIA Y EJEMPLOSCADENAS DE MARKOVUna cadena de markov consta de unos estados E1 E2 E3 E4..En. que inicialmente en un tiempo 0 o paso 0 se le llama estado inicial, adems de esto consta de una matriz de transicin que significa la posibilidad de que se cambie de estado en un prximo tiempo o paso.MATRIZ DE TRANSICIN:Una matriz de transicin para una cadena de Markov de n estado es una matriz de n X n con todos los registros no negativos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1.Por ejemplo: las siguientes son matrices de transicin.

REPRESENTACIN GRAFICA DE UNA MATRIZDE TRANSICIN:Es el arreglo numrico donde se condensa las probabilidades de un estado a otro. A travs de una grfica de matriz de transicin se puede observar el comportamiento estacionario representado por una cadena de Markov tal que los estados representan la categora en que se encuentre clasificado. Como se aprecia a continuacin:

PROPIEDADES:1- la suma de las probabilidades de los estados debe ser igual a 1.2- la matriz de transicin debe ser cuadrada.3- las probabilidades de transicin deben estar entre 0 y 1

La mejor manera de entender que es una cadena de markov es desarrollando un ejemplo sencillo de estas mismas como el siguiente.

Ej. 1.En un pas como Bolivia existen 3 operadores principales de telefona mvil como lo son tigo, Viva y entel.Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para tigo 0.4 para viva 0.25 y para entel 0.35. (Estado inicial)Se tiene la siguiente informacin un usuario actualmente de tigo tiene una probabilidad de permanecer en tigo de 0.60, de pasar a viva 0.2 y de pasarse a entel de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de viva tiene una probabilidad de mantenerse en viva del 0.5 de que esta persona se cambie a tigo0.3 y que se pase a entel de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de entel la probabilidad que permanezca en entel es de 0.4 de que se cambie a tigo de 0.3 y a viva de 0.3.Partiendo de esta informacin podemos elaborar la matriz de transicin.TIGOVIVAENTEL

E1TIGO0.60.20.2=1

E2VIVA0.30.50.2=1

E3ENTEL0.30.30.4=1

La suma de las probabilidades de cada estado en este caso operador deben ser iguales a 1Po= (0.40.250.35)estado inicialTambin se puede mostrar la transicin por un mtodo grafico

Ahora procedemos a encontrar los estados en los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la matriz de transicin por el estado inicial y asi sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente anterior.TIGOVIVAENTEL

E1TIGO0.60.20.2=1

E2VIVA0.30.50.2=1

E3ENTEL0.30.30.4=1

Como podemos ver la variacin en el periodo 4 al 5 es muy mnima casi insignificante podemos decir que ya se ha llegado al vector o estado estable.Ej 2.Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi cola y big cola cuando una persona a comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo de el 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% big cola; si en la actualidad consuma big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 pepsi cola.En la actualidad cada marca coca cola, Pepsi y big cola tienen los siguientes porcentajes en participacin en el mercado respectivamente (60%30%10%) Elaborar la matriz de transicin Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5Solucin:Matriz de transicinCOCA COLAPEPSIBIG COLA

E1COCA COLA0.750.150.1

E2PEPSI0.250.60.15

E3BIG COLA0.30.20.5

P00.60.301

P10.5550.290.155

P20.535250.288250.2765

P30.526450.28853750.1850125

P40.522475630.28909250.18843188

P50.520639410.289313220.18982738

NOTA: estos ejercicios se pueden realizar en Excel utilizando la funcin de multiplicar matrices.Entonces

Ej. 3Almacenes xito, Carrefour y Sao han investigado la fidelidad de sus clientes y han encontrado los siguientes datos:E1: ExitoE2: CarrefourE3: SaoHallar el estado estable (L)E1E2E3

E10.450.20.35

E20.20.50.3

E30.10.20.7

La diagonal: 0.45-1=-0.550.50-1=-0.500.70-10-0.30