Teoria relativitatii restranse

Capitolul al II-leaElectrotehnica

Axiomele mecanicii clasice si postulatele teoriei relativitãtii restrânse (a)

smc 8103

smc 8103

vccvvv transportrelativãabsolutã

La baza mecanicii clasice stau principiul relativitãtii galileene si principiul timpului absolut. Acestea afirmã cã, desi observatori inertiali diferiti vor caracteriza evenimentele (ceea ce se petrece într–un loc la un anumit moment) prin valori diferite ale coordonatelor spatio–temporale, legile mecanicii clasice vor avea aceeasi formã pentru toti iar intervalele de timp dintre douã evenimente vor fi egale.La sfârsitul secolului al XIX–lea axiomele mecanicii clasice, având drept consecintã propagarea instantanee a interactiunilor, au intrat în contradictie cu ecuatiile lui Maxwell (legile electrodinamicii) care descriu fenomenele electromagnetice. În acea perioadã, propagarea cu vitezã finitã a câmpului de interactiune electromagneticã, prin contiguitate, era explicatã admitându–se existenta eterului.Erau mai multe interpretãri: într–unele eterul era considerat drept suportul material al câmpului electromagnetic (asa cum aerul permite propagarea sunetelor, eterul era un mediu invizibil, cu proprietãti asemãnãtoare cascavalului moale pentru cutitul deplasat lent i rigid pentru o loviturã bruscã a acestuia, necesar propagãrii undelor electromagnetice). In alte interpretãri se considerã câmpul electromagnetic ca fiind expresia unor stãri particulare ale eterului. In ipoteza cã eterul este un fluid fin, care umple tot spatiul si corpurile continute de acestea, a apãrut întrebarea referitoare la ce se întâmplã atunci când un corp se miscâ: eterul este antrenat de cãtre corp sau nu ?Hertz a considerat cã eterul este antrenat de cãtre corpuri. În ipoteza eterului total antrenat ecuatiile lui Maxwell sunt invariante fatã de transformãrile lui Galilei, iar viteza luminii

este aceeasi fatã de orice S.R.I. Experimentele efectuate (experimentul Fizeau pentru determinarea vitezei luminii în medii în miscare, fenomenul aberatiei stelare (Bradley)) au infirmat teoria lui Hertz.Lorentz si–a imaginat cã eterul nu este antrenat de cãtre corpurile în miscare. Mai mult, el a considerat cã eterul constituie un sistem de referintã special, favorizat, fix (complet imobil) . În teoria lui ecuatiile lui Maxwell îsi pãstrau forma cunoscutã doar fatã de eterul fix iar viteza luminii avea valoarea

doar fatã de acesta. Fatã de alte S.R.I. viteza luminii era datã de legea de compunere a vitezelor a lui Galilei :

Axiomele mecanicii clasice si postulatele teoriei relativitãtii restrânse (b)

Se putea, în ipoteza Lorentz, pune în evidentã miscarea uniformã a unui SRI fatã de eterul fix. Astfel Michelson si Morley au vrut sã mãsoare “vântul de eter“ care ar fi trebuit sã se simtã de pe Pãmânt in miscarea lui prin eterul fix.Dispozitivul experimental, interferometrul Michelson, alcãtuit din douã brate orizontale P si Q perpendiculare pe celãlalt. O sursã de luminã trimite o razã care este “despicatã“ de o lamã în douã raze care cãlãtoresc de–a lungul celor douã brate dus–întors, fiind reflectate la capete de alte douã oglinzi (O1 si O2). În final razele sunt suprapuse obtinându–se o figurã de interferentã: o succesiune de franje alternativ luminoase si întunecoase a cãror pozitie depinde de diferenta dintre timpii de propagare (de la plecare pânã la suprapunere). Unul din brate e asezat paralel cu viteza de deplasare a Pãmântului prin spatiu iar celãlalt e perpendicular pe aceastã vitezã.Viteza luminii relativã la aparat este (în acord cu regula de compunere a vitezelor a lui Galilei):• c–v pe distanta OO1

• c+v pe distanta O1O• pe distantele OO2 si O2O.22 vc

O

O2

l1

P

O1

S

Q

l2

21

22111

11

1

c

l2

cv1

1

c

l2

vc

l

vc

lt

–––

2

2

22

2

22

22

1

1

c

l2

vc

l

vc

lt

–––

4–10300

30

skm000

skm

c

v

2

2121

–1–

–1

2–

ll

cttt

22

2

121

1

l

1

l

c

2ttt

––

––

2

2121

–1–

–1

)(2

ll

c

lltt ).(

2

)(2– 4

221

c

lltt

Din calcul ar fi trebuit sã se producã o deplasare cu

0,4 din interfranjã. Experimental, cu toate precautiile

luate pentru evitarea perturbatiilor, deplasãrile

produse de rotatia aparatului nu au fost mai mari de

0,02 din interfranjã. Rezultatul acestui experiment

a fost negativ. Nu s–a putut mãsura “vântul eteric“

pe Pãmânt. Au fost mai multe explicatii acordate

acestui rezultat dar dintre toate a rezistat doar cea

datã de cãtre Einstein sub forma postulatelor teoriei

relativitãtii restrânse:

Principiul relativitãþii (Einstein). Legile fizicii au

aceeasi formã fatã de toti observatorii inertiali.

Principiul invariantei vitezei luminii:Existã o vitezã

maximã de propagare a interactiunilor în Univers.

Aceasta este viteza luminii în vid (c=3x10^8m/s ) si

este aceeasi fatã de orice observator inertial

(indiferent de miscarea sursei de luminã sau a

observatorului).

Acestor postulate li s–a adãugat si principiul

corespondentei care afirmã cã la limita vitezelor mici

v/c 0) legile mecanicii relativiste tind spre forma

mecanicii clasice.

INTERVALUL RELATIVIST (a)O notiune de bazã în teoria relativitãtii restrânse este aceea de

eveniment“ceva care se întâmplã într–un anumit loc la un

anumit moment“. Evenimentul se caracterizeazã deci prin trei

coordonate spatiale x,y,z si una temporalã t. Într–un spatiu cu

patru dimensiuni ale cãrui axe ar fi cele trei axe spatiale x,y,z si

o axã temporalã ct (înmultirea cu c se face pentru a avea

dimensiune spatialã), numit spatiu–timp Minkowski,

evenimentul ar fi reprezentat printr–un punct , numit punct de

univers . Dacã evenimentul se referã la o particulã, punctul de

univers descrie o curbã numitã curbã de univers. În cazul în

care particula are o miscare rectilinie uniformã curba de univers

este o dreaptã. Vom considera douã sisteme de referintã

inertiale S si cu axele paralele, astfel încât axele Ox si Ox’ sã

coincidã si sã fie paralele cu viteza V a lui S’ fatã de S:•  

Axiomele mecanicii clasice si postulatele teoriei relativitãtii restrânse (b)

INTERVALUL RELATIVIST (b)

De asemenea vom considera douã evenimente E1(x1,y1,z1,ct1) si E2(x2,y2,z2,ct2) fatã de sistemul S care reprezintã: emisia unui semnal luminos si respectiv receptia acestui semnal. Distanta dintre cele douã puncte este :

“intervalul este un invariant relativist (are aceeasi valoare fatã de toti observatorii inertiali)“. Sã nu uitãm cã aceasta este o consecintã a postulatelor lui Einstein.

• Clasificarea intervalelor• de gen temporal: ds2>0• de gen spatial: ds2<0 • de gen luminos: ds2=0

2122

122

12 ––– zzyyxxd

12 ttcd –

21222

122

122

12 ttczzyyxx ––––

21222

122

122

12 –––– ttczzyyxx

0––– 222222 dzdydxdtcds

0zdydxdtdcsd 222222 –––

222222 dzdydxdtcds –––

Transformãri LorentzAsa cum distanta d dintre douã puncte ale spatiului

3 dimensional rãmâne neschimbatã în urma

rotatiei axelor sistemului de referintã si intervalul

relativist ds dintre douã evenimente trebuie sã

rãmânã invariant la rotatiile spatiu–timpului

Minkowski. O rotatie în acest spatiu poate fi

descompusã în 6 rotatii: una în planul xy, a doua în

planul yz, a treia în planul zx, a patra în planul xt,

a cincea în planul yt si ultima în planul zt.

Deplasarea sistemului de referintã inertial cu

viteza V în lungul axei comune a sistemului de

referintã S este echivalentã cu o rotatie în spatiul

Minkowski în planul (xt). În urma acestei rotatii

coordonatele y si z rãmân neafectate: y=y’si z=z’

iar intervalul relativist dintre evenimentul origine si

evenimentul de coordonate (x,t) este invariant:

c2t2-x2=c2t’2-x’2 în urma rotatiei.

chtcshxct

shtcchxx

shtcx

chtcct c

vth

ct

x

2th1

thsh

–

2th1

1ch

–

2

2

2

2

2

c

v1

xc

vt

t

zz

yyc

v1

tvxx

–

–

• Observãm cã la limita c, transformãrile Lorentz devin:

• Compunerea vitezelor în mecanica relativistã:

tt

zz

yy

tvxx

2

2

2

2

2

c

v1

xdc

vdt

c

v1

tvdxddx

–

,

–

dt ,zddz ,yddy

x2

x

22

x

vc

v1

vv

td

xd

c

v1

vtd

xd

xdc

vtd

tvdxd

dt

dxv

x2

2

2

y

2

2

2

2

2

2

y

vc

v1

c

v1v

td

xd

c

v1

c

v1

td

yd

xdc

vtd

c

v1yd

dt

dyv

–––

x2

2

2

z

2

2

2

2

2

2

z

vc

v1

c

v1v

td

xd

c

v1

c

v1

td

zd

xdc

vtd

c

v1zd

dt

dzv

–––

x2

2

2

z

x2

2

2

y

x2

xx

vc

v1

c

v1v

vc

v1

c

v1v

vc

v1

vvv

–

–,

–

–,

–

– xy v v

zz

yy

xx

vv

vv

vvv

Vvc

v1v

Vvc

v1v

v

vtg

2

2

x

2

2

y

x

y

cos

sin ––

c

vtg

cos

sin c

v–1

2

2

Time Dilation/Length Contraction: Muon Decay

• Why do we observe muons created in the upper atmosphere on earth? Proper lifetime is only = 2.2 s travel only ~650 m at 0.99c

• Need relativity to explain!– Time Dilation: We see muon’s

lifetime as = 16 s.– Length Contraction: Muon sees

shorter length (by = 7.1)

LengthContraction

Muon’s frame

Earth’s frame

TimeDilation

Aberration of Light

• Discovered by Bradley in 1725 after seeing pennant on sailboat having direction intermediate to wind and boat motion.

Prin analogie cu vectorii spaţiului 3 – dimensional vom construi în spaţiul Minkowski vectori cu patru componente numiţi 4–vectori sau cuadrivectori. Păstrând analogia, vom cere ca mărimea lor să rămână neschimbată la rotaţia axelor de coordonate, respectiv la transformările lui Lorentz.

Un prim exemplu de cuadrivector ar putea fi cuadriraza vectoare care are drept componente coordonatele unui eveniment (ct,x,y,z). Este cazul să considerăm două tipuri de componente :

-contravariante ;:)3,2,1,0( zix i 320 x y, x x,x ct, x

.zx xşi y, x xx,x xct,x x:)3,2,1,0i(x 3322

11

00

i -covariante Modulul pătrat al cuadrivitezei vectoare va avea expresia unui produs scalar:

.zyxtc)x()x()x()x(

xxxxxxxxxxxx

2222223222120

33

22

11

00i

iii

Această cantitate este un invariant relativist (este intervalul dintre evenimentul situat în originea axelor şi evenimentul de coordonate (ct,x,y,z). Ea este neafectată de rotaţia axelor de coordonate.În mod asemănător putem construi şi alţi cuadrivectori.

ix

Definiţie: În general prin cuadrivector vom înţelege un ansamblu de patru cantităţi care se transformă la fel ca şi componentele cuadrirazei vectoare:

la o transformare a sistemului de referinţă inerţial:

)A,A,A,A(A 3210i

3322

22

01

1

22

10

0 AA,AA,CV1

ACV

AA,

CV1

ACV

AA

.-AA şi AA,AA,AA 33

22

11

00

23222203

32

21

10

0iii

i )A()A()A()A(AAAAAAAAAAAA

)A,-(A)A,-(A)A,A,A,(A A

sau )A,A()A,A,A,A(A0

03210

03210i

220i

i A)A(AA

4-vectori• Cuadriviteza şi cuadriacceleraţia Principiul minimei acţiuni afirmă că prin orice sistem

mecanic există o integrală S numită acţiune care este minimă (externă) pentru mişcarea reală şi a cărei variaţie este, deci, nulă. Vom construi acţiunea pentru o particulă relativistă liberă (nesupusă unor forţe exterioare). Considerând că acţiunea nu trebuie să depindă de sistemul de referinţă şi că sub semnul integrală trebuie să fie o diferenţă de ordinul întâi rezultă că acţiunea pentru o particulă liberă va avea forma:

dt

rdv

ds

dxu

ii

2222

00

cv1

1

cv1dt

dt

d

dt

cd

)ct(d

ds

dxu

etccvc

v

cvcdt

dx

cd

dx

ds

dxu xx

2222 11

2222

i

cv1c

v,

cv1

1u

1ds

ds

ds

dxdx

ds

dx

ds

dxuu

2

2

2i

ii

i

ii

.2

2

ds

du

ds

xdw

iii 1i

iuu 0wu ii

b

adsS

.c

v1cL

c

v1cdtcddsLdtS

2

2

t

t2

2t

t

b

a

2

1

2

1

2

1

0

c

v

c2

vc

c

v1cL

2

2

2

.mc2

mv

c2

vL

22

2

22

c

v1mvL

b

a.dsmcS

Cuadriimpulsul

.v

Lp

2

ii2

kk

c

vv1mc

vp

.vvvvvvvvv 2zzyyxxii

22

22

1

2

2

22

1

11

2

2

1

cv

vmp

cv

vv

c

v

vcmcp k

i

k

ik