Teoria Probabilitatilor

RODICA TRANDAFIR RODICA IOAN MANUELA GHICA

��

�� TRANDAFIR, RODICA

�� / Rodica Trandafir, Rodica Ioan, Manuela Ghica. –�� România de Mâine, 2007 156p.; 23,5 cm Bibliogr. ISBN 978-973-725-727-7 I. Ioan, Rodica II. Ghica, Manuela 519.21(075.8)

©�� România de Mâine, 2007

�� Coperta��

Bun de tipar: 10.01.2007; Coli tipar: 9,75 Format: 16/70×100

�� România de Mâine �� !��!��"

Tel./Fax 021/444.20.91; www.spiruharet.ro e-mail: [email protected]

UNIVERSITATEA SPIRU HARET ��#$��%��&# �–�&��'��&#

RODICA TRANDAFIR

RODICA IOAN MANUELA GHICA

�%&�$��$�%� &�&�ROMÂNIA DE MÂINE ��!�())*

5

CUPRINS

1. Algebre boole. Corpuri de părţi …………………………………. 91.1. Mulţimi ……………………………………………………… 91.2. Algebre Boole …………………………….………………… 101.3. −σ algebre Boole ……………………………..……………. 131.4. Corp de părţi ………………………………………………… 141.5. −σ corp de părţi ………………………………..……………. 141.6. Măsură ………………………..……………………………... 15Exerciţii şi probleme propuse ……………….…………………… 16

2. Câmp de evenimente. Probabilitate ………………..…………… 17

2.1. Câmp de evenimente …………………….…………………… 172.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente …...…………… 232.3. −σ câmp de probabilitate ……………..…………………….. 282.4. Evenimente independente. Probabilitate condiţionată …………. 30Exerciţii şi probleme propuse ……………….…………………… 35

3. Variabile aleatoare. Caracteristici numerice. Funcţie de repartiţie …………………………………………………………….. 38

3.1. Variabile aleatoare discrete ……..……………………………. 383.2. Momentele unei variabile aleatoare discrete .............................. 443.3. Variabile aleatoare de tip continuu …….……………………. 483.4. Funcţie de repartiţie ……………..…………………………… 503.5. Momentele unei variabile de tip continuu …….……………… 58Exerciţii şi probleme propuse ……………………..……………… 62

4. Repartiţii probabilistice clasice ………………………………... 644.1. Repartiţii de tip discret ……………………………………… 64

4.1.1. Teorema particulară a experimentelor repetate…………... 644.1.2. Teorema generală a experimentelor repetate…………….. 674.1.3. Repartiţia Poisson de parametru λ ……………………… 694.1.4. Schema polinomială……………………………………… 724.1.5. Schema bilei nerevenite………………………………….. 72

4.2. Repartiţii de tip continuu ………….………………………… 744.2.1. Repartiţia de densitate uniformă………………………….. 744.2.2. Legea normală……………………………………………. 784.2.3. Repartiţia lognormală…………………………………….. 844.2.4. Repartiţia exponenţială negativă…………………………. 854.2.5. Repartiţia 2χ ……………………………………………... 854.2.6. Repartiţia Student………………………………………… 88

Exerciţii şi probleme propuse …………………….……………… 89

6

5. Sisteme de variabile aleatoare. Şiruri de variabile aleatoare. Convergenţă ………………………………………………………….. 93

5.1. Variabile aleatoarebidimensionale discrete ................................ 935.2. Funcţii de repartiţie....................................................................... 955.3. Sisteme de variabile absolut continue …………...…………... 975.4. Repartiţii marginale. Repartiţii condiţionate................................ 995.5. Valori medii. Medii conditionate ................................................ 106

5.6. Variabile aleatoare n -dimesionale................................................ 111 5.7. Caracteristici numerice ale sistemelor de doua variabile aleatoare. Covarianţă. Coeficient de corelaţie. .......................................

113

5.8. Şiruri de variabile aleatoare…………………………………..... 1185.8.1. Convergenţa în probabilitate............................................... 1185.8.2. Convergenţa aproape sigură............................................... 1215.8.3. Convergenţa în repartiţie.................................................... 1235.8.4. Convergenţa în medie......................................................... 1255.8.5. Legea numerelor mari.......................................................... 1275.8.6. Problema asimptotică centrală............................................. 129

Exerciţii şi probleme propuse ……..……………………………… 1336. Funcţii caracteristice ……………….…………………………... 136

6.1. Funcţii caracteristice unidimansionale ………..………………. 1366.2. Funcţii caracteristice −n dimensionale ………………………. 1436.3. Convergenţa şirurilor de funcţii caracteristice ………………... 144Exerciţii şi probleme propuse ………………………….…………. 146

Anexa 1. Tabla de valori a funcţiei ( ) 2

2

21 x

exf−

π= …………. 148

Anexa 2. Tabla de valori a funcţiei ( ) ∫−

π=Φ

x z

dzex0

2

2*

21 ……. 149

Anexa 3. Tabla de valori ( )ntt ,γ=γ …………………………… 151Anexa 4. Tabla de valori ( )nqq ,γ=γ …………………………. 152

Anexa 5. Punctele critice ale distribuţiei 2χ ……………………….. 153Anexa 6. Puncte critice ale distribuţiei Student…………………….. 154Bibliografie ………………………………………………. 155

7

CUVÂNT-ÎNAINTE

�� - � ��

Modelele probabilistice sunt folosite atât în statistica mate� �� domeniul fizicii, chimiei, biologiei, ciberneticii, sociologiei, demografiei etc.

�� -�� gândire specific acestei discipline.

�� -�� ! �� –�"��

#�$ ��%�� &�� într-�� ca punctul de vedere de ansamblu în calculul cu evenimente.

#� '�� $ �� (� �� respectiv de probabilitate.

• Capitolul 3 introduce conceptul de variabile aleatoare, cu matematica lor de calcul. #�'��$ ��)�� *��

�� #�'��$ ��+�� abile

� �� #�'��$ ��,��

�� Fiecare capitol se încheie cu exerci ��

�� *��

��

AUTORII

8

9

1. ALGEBRE BOOLE. CORPURI DE PĂRŢI

1.1. Mulţimi

Noţiunea de mulţime este primară, în sensul că nu poate fi definită cu ajutorul altor noţiuni mai simple. În matematică cuvântul mulţime marchează orice colecţie bine definită (în sensul că putem decide dacă un anumit obiect aparţine sau nu colecţiei considerate) de obiecte sau simboluri.

Deci a preciza o mulţime înseamnă a enumera obiectele care o compun sau a indica proprietatea comună care caracterizează aceste obiecte.

Exemplu. { }edcbaA ,,,,= ; { }7,3,2,1=B ; { }1 2C x x= ∈ ≤ ≤ ; mulţimea

numerelor întregi . În anumite probleme concrete ne limităm la obiecte care aparţin unei anumite clase

de elemente, numite mulţime de bază (sau de referinţă), notată prin Ω . Exemplu. Mulţimea numerelor reale poate fi considerată mulţime de bază

pentru submulţimile sale: mulţimea numerelor întregi , mulţimea numerelor reale negative − şi mulţimea pătratelor perfecte .

O mulţime poate conţine un număr finit sau un număr infinit de elemente. Dacă o mulţime nu conţine nici un element o vom numi mulţime vidă şi o notăm cu ∅ .

Exemplu. Mulţimea rădăcinilor reale ale ecuaţiei 092 =+x este vidă. Fiind dată mulţimea de bază Ω , vom nota prin ( )Ω℘ mulţimea tuturor părţilor

lui Ω ; deci ( )Ω℘ conţine un număr de părţi ,...,, CBA care luate individual sunt bine definite ca mulţimi.

Deci elementele lui ( )Ω℘ sunt submulţimi. Ideea de mulţime se întregeşte prin conceptul de mulţimi egale, adică mulţimi care

au aceleaşi elemente. În mulţimea ( )Ω℘ introducem operaţiile următoare:

1. Reuniunea a două mulţimi A şi B notată BA∪ este mulţimea elementelor care aparţin sau lui A sau lui B .

2. Intersecţia a două mulţimi A şi B , notată BA∩ este mulţimea elementelor care aparţin şi lui A şi lui B .

Dacă ∅=BA∩ , spunem că mulţimile A şi B sunt disjuncte. Când BBA =∩ , atunci B este, evident o parte a lui A , deci AB ⊂ .

3. Complementara unei mulţimi A , notată CA este mulţimea elementelor din Ω care nu aparţin lui A .

10

Se poate defini, complementara lui A în raport cu o submulţime B în care A este inclusă ( BA⊂ ) ca fiind mulţimea elementelor lui B care nu aparţin lui A şi se notează C CBA A B= ∩ .

4. Diferenţa a două mulţimi A şi B , notează BA − , este mulţimea elementelor care aparţin lui A şi nu aparţin lui B .

Caracteristic pentru ( )Ω℘ sunt următoarele proprietăţi fundamentale, cu evident aspect intuitiv: 1. ( )Ω℘∈Ω , ( )Ω℘∈∅ . 2. Dacă ( )Ω℘∈A , atunci ( )CA ∈℘ Ω .

3. Dacă ( )Ω℘∈BA, , atunci ( )Ω℘∈BA∪ . 4. Dacă ( )Ω℘∈BA, , atunci ( )Ω℘∈BA∩ .

1.2. Algebre Boole

Definiţie. Se numeşte algebră Boole, o mulţime nevidă , în care sunt definite operaţiile ∪ , ∩ , C , şi faţă de care sunt verificate axiomele următoare: 1. ABBA ∪∪ = ; ABBA ∩∩ = ; (comutativitate) 2. ( ) ( ) CBACBA ∪∪∪∪ = ; ( ) ( ) CBACBA ∩∩∩∩ = ; (asociativitate) 3. ( ) AABA =∪∩ ; ( ) ABAA =∪∩ ; (absorbţie) 4. ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩∪∩ = ; ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪∩∪ = ;

(distributivitate) 5. ( )CA A B B=∩ ∪ ; ( )CA A B B=∪ ∩ ; (complementaritate)

oricare ar fi , ,A B C∈ . Exemple.

1. Mulţimea tuturor părţilor ( )℘ Ω ale mulţimii nevide Ω înzestrată cu operaţiile de reuniune, intersecţie şi complementaritate (faţă de Ω ) capătă o structură de algebră Boole.

2. Perechea de clase de resturi de întregi n , modulo doi, { }2 0,1= înzestrată cu operaţiile:

∪ 0 1 ∩ 0 1

0 0 1

0 0 0 C0 1= ,

C1 0= 1 1 1 1 0 1

(deci xyyxyx −+=∪ , xyyx =∩ ), este o algebră booleană. Avem următoarele consecinţe rezultate din definiţii:

11

Corolar 1 (transformarea prin dualitate). Dacă într-o afirmaţie adecvată în care intervin operaţiile ∪ , ∩ , C , şi relaţiile ⊂ şi ⊃ , înlocuim peste tot pe ∪ cu ∩ , pe ∩ cu ∪ , pe ⊂ cu ⊃ şi ⊃ cu ⊂ , iar pe C îl lăsăm neschimbat, obţinem tot o afirmaţie adevărată numită afirmaţie duală.

Se observă că sistemul de axiome 1-5 rămâne neschimbat dacă substituim mutual operaţiile ∪ , ∩ , operatorul C păstrându-şi locul.

Corolar 2. (Legi de indempotenţă). Pentru orice A∈ avem: AAA =∪ , A A A=∩ . (1.1.)

Demonstraţie. Aplicând succesiv axiomele 3, 4 şi iar 3 avem ţinând seama de 1: ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) AABAABAABAAAABAA

∪∪∩∪∪∩∪∩∪∪∩=====

Prin dualitate obţinem relaţia a doua. Corolar 3. (Legi de monotonie). Oricare ar fi , ,A B C∈ , din BA ⊂ rezultă:

CBCA ∪∪ ⊂ , CBCA ∩∩ ⊂ . (1.2.) Demonstraţie. Avem ABA =∩ şi BBA =∪ , deci

( ) ( ) ( ) ( ) CBCCBACBCA ∪∪∪∪∪∪∪ == şi astfel CBCA ∪∪ ⊂ .

Prin dualitate se obţine cealaltă lege.

Corolar 4. Pentru orice ( )1i i nA

≤ ≤⊂ , elementele n

n

ii AAA ∪∪∪ ...1

1

==

şi

n

n

ii AAA ∩∩∩ ...1

1

==

sunt unic determinate şi nu depind de ordinea elementelor.

Această consecinţă rezultă imediat din axiomele 2 şi 1. Corolar 5. Într-o algebră Boole există două elemente numite elementul nul, notat

Λ , şi elementul total, notat V , astfel că pentru orice A∈ au loc egalităţile: CA A = Λ∩ şi C VA A =∪ (1.3.)

Demonstraţie. Dacă ,A B∈ din axiomele 5 şi 1 rezultă CA A B⊂∩ şi CB A A⊂ ∪ .

Înlocuind în prima relaţie pe B cu CB B∩ , iar în cea de-a doua pe B cu CBB ∪ obţinem:

C CA A B B⊂∩ ∩ şi C CB B A A⊂∪ ∪ (1.4.) Schimbând pe A şi B între ele avem:

C CB B A A⊂∩ ∩ şi C CA A B B⊂∪ ∪ (1.5.) Din (1.4.) şi (1.5.) rezultă:

C CA A B B=∩ ∩ şi C CB B A A=∪ ∪ . (1.6.)

12

Elementele CA A∩ şi CA A∪ nu depind de alegerea lui A . (conf. relaţiilor (1.6)); CA A∩ este elementul nul al algebrei Boole, iar CA A∪ elementul total.

Observaţie. În algebra Boole ( )Ω℘ , V este întreaga mulţime Ω , iar Λ este mulţimea vidă ∅ .

Corolar 6. Pentru orice A∈ avem: AA =V∩ , VV =∪A , Λ=Λ∩A , AA =Λ∪ (1.7.)

sau: A⊂Λ , V⊂A . (1.8.)

Demonstraţie. Din axioma 5 şi din (1.3) rezultă relaţiile (1.7.) deci (1.8.). Corolar 7. Dacă Λ=BA∩ şi V=BA∪ , atunci CB A= . Demonstraţie. Din consecinţa 6 şi axioma 4 avem

( ) ( ) ( )( ) ( )

C C

C CV

B A A B A B A BB

A B A B

= Λ = = =

= =

∪ ∩ ∪ ∪ ∩ ∪

∩ ∪ ∪

deci CA B⊂ . Prin dualitate obţinem CB A⊂ , deci CB A= . Corolar 8 (Relaţiile lui de Morgan). Pentru orice ,A B∈ avem:

( )C C CA B A B=∪ ∩ (1.9.)

( )C C CA B A B=∩ ∪ . (1.10.)

Demonstraţie. Fie C CC A B= ∩ . Din axiomele 4 şi 2 relaţia (1.3) şi consecinţa 6 rezultă:

( ) ( ) ( )( ) ( )

C C

C C C C

A B C A B A B

A A B B A B

= =

= = Λ Λ = Λ

∪ ∩ ∪ ∩ ∩

∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪

şi analog: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

C C

C C V V V

A B C A B A B

A B A A B B

= =

= = =

∪ ∪ ∪ ∪ ∩

∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

Din consecinţa 7 rezultă ( )CC A B= ∪ . Analog se demonstrează şi (1.10) Definiţie. Un element A∈ , Λ≠A , se numeşte atom al algebrei , dacă

incluziunea AB ⊂ implică Λ=B sau AB = , pentru orice B∈ . Exemplu. Fiecare parte a lui Ω formată dintr-un singur element este atom în

algebra ( )Ω℘ .

13

1.3. −σ algebre Boole

Vom extinde operaţiile de reuniune şi intersecţie pentru o familie oarecare de elemente dintr-o algebră Boole, astfel:

Definiţie. Numim reuniune a elementelor A∈ elementul B∈ dacă satisface condiţiile: 1. BA∈ pentru orice A∈ . 2. Dacă DA ⊂ pentru orice A∈ , atunci DB ⊂ .

Prin dualitate suntem conduşi la: Definiţie. Numim intersecţie a elementelor A∈ , elementul C∈ , dacă:

1. AC ⊂ pentru orice A∈ , 2. Dacă AD ⊂ pentru orice A∈ , atunci CD ⊂ .

Notăm ∪FA

AB∈

= , ∩FA

AC∈

= .

Dacă ( )i i IA

∈= , atunci se utilizează notaţia: ∪

IiiAB

∈

= , ∩Ii

iAC∈

= .

Definiţie. Se numeşte −σ algebră Boole (algebră Boole −σ completă), o algebră Boole, dacă pentru orice şir de elemente ( ) *n n

A∈

⊂ există *

nn

A∈

∈∪ .

Operaţiile de reuniune şi intersecţie definite aici sunt comutative şi asociative. Principiul dualităţii se extinde şi asupra afirmaţiilor referitoare la reuniuni şi intersecţii infinite. Relaţiile lui de Morgan rămân valabile.

Teorema 1 (Legi de distributivitate). Dacă este o −σ algebră Boole şi A∈ , ( ) *n n

A∈

⊂ avem

( )* *

n nn n

A A A A∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩∪ ∪ (1.11.)

( )* *

n nn n

A A A A∈ ∈

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∪∩ ∩ . (1.12.)

Demonstraţie. Notăm *

nn

B A∈

= ∪ şi ( ) *n nF A A

∈= ∩ . Vom arăta că BA∩

verifică condiţiile din definiţia reuniunii. Din această definiţie avem că BAn ⊂ , deci prin legea de monotonie, adică prima

condiţie din definiţia reuniunii, BAAA n ∩∩ ⊂ pentru orice *n∈ .

Fie DAA n ⊂∩ . Avem ( ) Cn nA A D A A D− = = Λ∩ ∩ ∩ , deci

( )CnA C A D⊂ ∩ pentru orice *n∈ . Avem deci ( )CB C A D⊂ ∩ . Rezultă

14

( )( )CCCB A D = Λ∩ ∩ , adică CB A D = Λ∩ ∩ de unde se deduce DBA ⊂∩ ,

deci condiţia 2 din definiţia reuniunii. Relaţia (1.12) rezultă prin dualitate.

1.4. Corp de părţi

Fie Ω o mulţime oarecare formată din elemente ω şi ( )Ω℘ mulţimea tuturor părţilor mulţimii Ω .

Definiţie. Se numeşte corp de părţi o familie nevidă ( )Ω℘⊂Σ , cu proprietăţile: (Σ1.) Σ∈A implică CA ∈Σ ; (Σ2.) Σ∈BA, implică Σ∈BA∪ .

Din definiţie rezultă următoarele proprietăţi: (P1.) Avem Σ∈∅ , Σ∈Ω .

(P2.) Dacă ( ) Σ⊂≤≤ niiA 1 , atunci Σ∈=∩

n

iiA

1

.

(P3.) Dacă Σ∈BA, , atunci Σ∈− BA . Demonstraţie. Σ fiind nevidă, există cel puţin un element Σ∈A deci conform cu

( )1Σ , CA ∈Σ iar din ( )2Σ rezultă CA A =Ω∈Σ∪ . Observând că CΩ =∅ proprietatea ( )1P este demonstrată.

( )2P rezultă din ( )1Σ şi ( )2Σ extinse la un număr finit de elemente: C

1 1

n n

i ii i

A CA= =

⎛ ⎞= ∈Σ⎜ ⎟⎝ ⎠

∩ ∪ .

( )3P este imediată ţinând seama de faptul că CA B A B− = ∩ şi de ( )2P .

1.5. −σ corp de părţi

Definiţie. Se numeşte −σ corp de părţi (corp borelian) o familie nevidă ( )Ω℘∈Σ care posedă proprietăţile:

(Σ¹1.) Σ∈A implică CA ∈Σ ; (Σ¹2.) ( ) *n n

A∈

⊂ Σ implică *

nn

A∈

∈Σ∪ .

Proprietăţile ( )1P – ( )3P rămân valabile şi pentru −σ corpuri. Avem adevărate şi următoarele proprietăţi:

15

(P4.) Dacă ( ) *n nA

∈⊂ Σ , atunci Σ∈

∞→∞→nnn

nAA lim,lim , proprietate care rezultă

imediat dacă ţinem seama de faptul că ∪∩∞

=

∞

=∞→=

1

limn nk

knn

AA ,

∩∪∞

=

∞

=∞→

=1

limn bk

knnAA

(P5.) Dacă ( ) *n nA

∈⊂ Σ , atunci Σ∈

∞→ nnAlim , dacă există. În acest caz

nnnnnn

AAA∞→∞→∞→

== limlimlim .

1.6. Măsură

Definiţie. Fie Σ un −σ corp de părţi ale lui Ω . O aplicaţie :μ +Σ→ este prin definiţie o măsură (pe Σ ) dacă: 1. μ este numerabil aditivă. Aceasta înseamnă că pentru orice şir ( ) *n n

A∈

finit sau infinit de elemente incompatibile două câte două din Σ , avem

( )∑∈∈

μ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

** Nnn

Nnn AA∪

2. Există cel puţin un element Σ∈0A de măsură finită. Din această definiţie rezultă următoarele proprietăţi:

(μ1.) ( ) 0=∅μ . În adevăr, avem pentru orice Σ∈A ,

( ) ( ) ( ) ( )∅μ+μ=∅μ=μ AAA ∪ . Ţinând seama că există cel puţin o mulţime A de măsură finită, deducem din

egalitatea precedentă ( ) 0=∅μ . (μ2.) Măsura este o funcţie monotonă de mulţime: dacă Σ∈BA, cu BA ⊆ , atunci

( ) ( )BA μ≤μ . Demonstraţia acestei proprietăţi rezultă imediat din

( ) ( ) ( ) ( )AABAB μ≥−μ+μ=μ deoarece A şi AB − sunt incompatibile. (μ3.) Dacă Σ∈BA, , BA ⊂ , atunci ( ) ( ) ( )ABAB μ−μ=−μ consecinţă a

proprietăţii anterioare.

16

Propoziţia 1. Măsura este o funcţie numerabilă subaditivă de mulţime, adică pentru orice şir ( ) *n n

A∈

⊂ Σ avem

( )∑∈∈

μ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

** Nnn

Nnn AA∪ (1.13.)

Pentru demonstraţie vezi [22.]. EXERCIŢII ŞI PROBLEME PROPUSE

1.1. Să se demonstreze egalităţile:

a. ( )∩∩ ∪∪n

ii

n

ii AAAA

11 ==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

b. ( )∪∪ ∩∩n

ii

n

ii AAAA

11 ==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1.2. Dacă ∅=BA∩ , atunci ( ) CABCA −=−− . 1.3. Dacă Ω∈BA, , avem

( ) ( ) ( ) ( )C C C CA B A B A B A B =Ω∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ .

1.4. Să se determine ( )Ω℘ şi ( )( )Ω℘℘ dacă a. { } { } { } { } { }{ }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=Ω , b. { }2=Ω .

1.5. Fie două mulţimi A şi B . Să se arate că BA ⊂ dacă şi numai dacă ( ) ( )BA ℘⊂℘ .

1.6. Fie mulţimile A şi B să se arate că: a. ( ) ( ) ( )BABA ∪∪ ℘⊂℘℘ . b. ( ) ( ) ( )BABA ℘℘=℘ ∩∩ . c. ( ) ( ) ( )BABA ℘−℘⊂−℘ .

1.7. Fie m o măsură pe algebra Boole , m este bivalentă dacă ia numai valorile 0 şi 1. Să se arate că dacă m este bivalentă, atunci ( ) ( ) ( )BmAmBAm ⋅=∩ pentru orice ,A B∈ .

17

2. CÂMP DE EVENIMENTE. PROBABILITATE

2.1.Câmp de evenimente

Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare. Vom da câteva exemple de fenomene aleatoare.

1. Cel mai simplu exemplu este dat de experimentul care constă în aruncarea cu zarul (un cub cu şase feţe numerotate de la 1 la 6), rezultatul experimentului fiind dat de cifra arătată de zar la oprire. Repetând experimentul de un număr de ori, nu putem prevedea care va fi cifra arătată de zar în fiecare aruncare, deoarece aceasta depinde de mulţi factori întâmplători (impulsul iniţial dat zarului, poziţia lui în momentul aruncării, particularităţile feţei pe care cade etc.).

2. Un avion efectuează un număr oarecare de zboruri regulate între două oraşe. Timpul de zbor nu este constant, ci prezintă mici variaţii de la un zbor la altul, tot datorită unor factori întâmplători (condiţiile meteorologice etc.).

3. Nu se poate şti dinainte care va fi procentul de rebuturi la fabricarea unui anumit produs.

În aceste experimente, condiţiile esenţiale ale experimentului rămân neschimbate. Toate aceste variaţii au loc datorită unor factori secundari, care influenţează rezultatul experimentului. Din multitudinea factorilor care intervin în fenomenele studiate îi vom selecţiona pe cei decisivi şi vom neglija influenţa factorilor secundari. Această metodă e uzuală în studiul fenomenelor fizice, mecanice şi în aplicaţii tehnice, economice.

În studiul acestor fenomene, evident, există o diferenţă de principiu între metodele care permit să ţinem cont de factorii esenţiali care determină caracterul principal al fenomenului şi metodele care ţin seama de factorii secundari a căror influenţă se manifestă prin erori sau perturbaţii. Întâmplarea, complexitatea, multitudinea cauzelor care intervin conduc la metode speciale de studiere a fenomenelor aleatoare, metode elaborate de teoria probabilităţilor.

Aplicarea matematicii la studierea fenomenelor aleatoare se bazează pe faptul că prin repetarea de mai multe ori a unui experiment, în condiţii practic identice, frecvenţa relativă a apariţiei unui rezultat anumit (raportul dintre numărul experimentelor în care apare rezultatul şi numărul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ aceeaşi, oscilând în jurul unui număr constant. Dacă acest lucru se întâmplă, unui eveniment dat îi putem asocia un număr, probabilitatea sa. Legătura aceasta dintre structură (structura unui câmp de evenimente) şi număr este o reflectare în matematică a problemei transferului calităţii în cantitate. Problema convertirii în număr a structurii unui câmp de evenimente revine la a defini o funcţie numerică pe această structură, care să fie o măsură a posibilităţilor de realizare a evenimentelor. Realizarea unui eveniment fiind probabilă, această funcţie poartă denumirea de probabilitate. Teoria probabilităţilor se poate aplica numai acelor fenomene care prezintă o anumită stabilitate a frecvenţelor relative în jurul

18

probabilităţii (fenomene omogene de masă). Aceasta este baza legăturii teoriei probabilităţilor cu lumea reală, cu practica de toate zilele.

Deci, definiţia ştiinţifică a probabilităţii trebuie să reflecte, în primul rând, comportarea reală a fenomenului. Noţiunile şi teoriile probabilistice nu sunt artificii de calcul, ci modele ale unor stări şi caracteristici obiectiv determinate ale existenţei şi devenirii acesteia. Probabilitatea nu este expresia gradului subiectiv de încredere a omului în producerea evenimentului, ci caracterizarea legăturii obiectiv existente între condiţii şi eveniment, între cauză şi efect.

Probabilitatea unui eveniment are sens atâta timp cât ansamblul de condiţii rămâne neschimbat, orice modificare a acestor condiţii atrăgând după sine modificarea probabilităţii şi deci modificarea legii statistice a fenomenului. Descoperirea acestor legi statistice este rezultatul unui proces îndelungat de abstractizare. Orice lege statistică este caracterizată pe de o parte de inconstanţa relativă, variabilitatea din comportarea diferitelor obiecte, datorită căreia nu putem prevedea în mod univoc comportarea unui obiect singular, iar pe de altă parte, faptul că într-o mulţime mare de fenomene are loc o constanţă stabilă, care propriu-zis este exprimată de legea statistică.

Statistica practică se referă mai cu seamă la câmpuri de evenimente finite, folosind şi câmpuri de evenimente infinite, pe când experienţele din domeniul fizicii şi al tehnicii dau loc, în general, la câmpuri de evenimente infinite.

În teoria probabilităţilor experimentele studiate sunt experimente aleatoare şi fiecare realizare a unui astfel de experiment se va numi probă. Rezultatul unei probe este un eveniment.

Exemplu. În aruncarea cu zarul, mulţimea realizărilor posibile va fi { }6,5,4,3,2,1=Ω . Câteva evenimente { }5,3,1=A - rezultat impar; { }4,3,2,1=B -

rezultat inferior lui 5; { }6,4,2=C - rezultat par. Dacă la o aruncare apare faţa cu numărul 3 , sunt realizate evenimentele A şi B .

Notând prin Ω mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment şi prin ( )Ω℘ mulţimea tuturor părţilor lui Ω , evenimentele aleatoare sunt elemente ale lui ( )Ω℘ .

În mulţimea Σ a evenimentelor asociate unui experiment se pot introduce trei operaţii corespunzătoare operaţiilor logice „sau”, „şi”, „non”. Fie Σ∈BA, . a) „ A sau B ” este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă se realizează cel

puţin unul dintre evenimentele A sau B . Acest eveniment se notează prin BA∪ şi se va numi reuniunea evenimentelor A şi B ;

b) „ A şi B ” este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă se realizează ambele evenimente A şi B , numit intersecţia acestor evenimente şi notat prin BA∩ ;

c) „non A ”, este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă nu se realizează A . Acest eveniment îl vom numi contrar lui A şi se notează CA . Dacă fiecărui eveniment îi ataşăm mulţimea de probe prin care se realizează, atunci

operaţiile dintre evenimente revin la operaţiile respective dintre mulţimile de probe

19

corespunzătoare, ceea ce justifică notaţiile a), b) şi c). Rezultatele operaţiilor cu evenimente sunt tot evenimente ataşate experimentului respectiv.

Dacă ∅=BA∩ , deci A şi B nu se pot realiza simultan, spunem că A şi B sunt evenimente incompatibile.

În mulţimea Σ a evenimentelor asociate unui anumit experiment, există două evenimente cu o semnificaţie deosebită şi anume evenimentele CAA∪=Ω şi

CAA∩=∅ . Primul constă în producerea evenimentului A sau în producerea evenimentului CA ceea ce are loc evident, întotdeauna prin urmare, acest eveniment nu depinde evenimentul A , în sensul că CC BBAA ∪∪ ==Ω , B fiind eveniment din mulţimea Σ . Este natural să numim evenimentul Ω , evenimentul sigur. Evenimentul ∅ constă în producerea evenimentului A şi în producerea evenimentului CA ceea ce nu poate avea loc niciodată. Acest eveniment se va numi eveniment imposibil.

Fie evenimentele Σ∈BA, . Spunem că evenimentul A implică evenimentul B şi scriem BA ⊂ , dacă atunci când se realizează A se realizează în mod necesar B .

Dacă avem simultan BA ⊂ şi AB ⊂ , atunci evenimentele A şi B sunt echivalente şi notăm BA = (aceasta revine la egalitatea mulţimilor de probe care corespund evenimentelor).

Implicaţia dintre evenimente este o relaţie de ordonare parţială în mulţimea evenimentelor şi corespunde relaţiei de incluziune din algebrele Boole.

Definiţie. Un eveniment Σ∈A este compus dacă există două evenimente Σ∈CB, , AB ≠ , AC ≠ astfel ca CBA ∪= . În caz contrar evenimentul este

elementar. Atomii algebrei Boole a evenimentelor se numesc evenimente elementare ale

câmpului (notate ω ), evenimentul sigur este Ω iar evenimentul imposibil ∅ . Dacă mulţimea Ω conţine un număr finit de evenimente elementare, { }nωωω=Ω ,...,, 21 , atunci un eveniment este o parte a lui Ω şi deci va conţine şi el

un număr finit ( nr < ) de evenimente elementare. În acest caz mulţimea evenimentelor Σ este chiar ( )Ω℘ , în general însă avem ( )Ω℘⊂Σ şi Σ se bucură de proprietăţi analoage cu ale lui ( )Ω℘ .

Analiza unui număr mare de experimente aleatoare a condus la concluzia următoare:

Axiomă. Mulţimea evenimentelor asociate unui experiment constituie o algebră Boole.

Definiţie. Algebra Boole a evenimentelor asociate unui experiment se numeşte câmpul de evenimente al experimentului respectiv.

Deci câmpul de evenimente va fi o mulţime Ω înzestrată cu un corp de evenimente Σ şi se va nota prin { }ΣΩ, .

Definiţie. Vom numi corp borelian de evenimente ( −σ câmp) o mulţime Ω înzestrată cu un câmp borelian ( −σ câmp) de evenimente Σ şi se va nota, de asemenea, prin { }ΣΩ, .

20

Observaţie. Un −σ câmp este ceea ce în teoria măsurii numim spaţiu măsurabil.

Exemple. 1. O urnă conţine 20 de bile numerotate de la 1 la 20 . Se extrage o bilă şi îi reţinem

numărul. Se cere: a) Să se scrie evenimentul sigur. b) Fie evenimentele: A - „rezultatul este par”; B - „rezultatul este multiplu de 5”

şi C - „rezultatul este o putere a lui 2”. Să se scrie evenimentele BA∪ , BA∩ , CA . Să se arate implicaţiile dintre evenimente. Care evenimente sunt

incompatibile? Răspuns. a) { }20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=Ω . b) BA∪ - „rezultatul este par sau multiplu de 5”; BA∩ - „rezultatul este multiplu

de 10”; CA - „rezultatul este impar”; AC ⊂ şi ∅=BC ∩ .

2. În experienţa aruncării cu zarul să se scrie câmpul de evenimente ataşat experienţei şi să se calculeze numărul de evenimente din câmp.

Răspuns. Avem

{} { } { } { } { }{ }Ω∅=Σ ,,,,,,,,,,,,,,,, mlkjilkjikjijii unde mlkji ,,,, iau valori independente de la 1 la 6 , iar în cadrul unei grupe toţi indicii sunt diferiţi. Două grupe cu acelaşi număr de indici diferă cel puţin printr-un indice. S-a notat prin {}i - „apariţia feţei cu numărul i ”, prin { }ji, - „apariţia feţei cu numărul i sau a feţei cu numărul j ”, deci { } {} { }jiji ∪=, etc.

Evenimentele {}i sunt în număr de 16C , { }ji, în număr de 2

6C , { }kji ,, în număr

de 36C etc. deci în câmp avem 65

646

36

26

16 211 =++++++ CCCCC evenimente

3. O urnă conţine 4 bile albe 4321 ,,, aaaa şi 2 bile negre 21, nn . Se extrag simultan două bile. Se cere:

a. Să se precizeze probele experienţei b. Se consideră evenimentele: 1A – obţinerea a două bile negre, 2A – obţinerea

a două bile albe, 3A – obţinerea a cel puţin a unei bile negre, 4A – obţinerea unei singure bile albe, 5A – obţinerea unei singure bile negre, 6A – obţinerea a două bile verzi.

Să se precizeze care dintre ele sunt aleatoare, elementare sau compuse; perechi de evenimente compatibile şi incompatibile; perechi de evenimente egale; implicaţiile dintre evenimente.

21

Răspuns. a. Notând simbolic prin ( )21, aa extragerea bilelor 1a şi 2a etc. probele experienţei

sunt ( )21, aa , ( )31, aa , ( )41, aa , ( )32 , aa , ( )42 , aa , ( )43 , aa , ( )11, na , ( )21, na , ( )12 , na , ( )22 , na , ( )13, na , ( )23 , na , ( )14 , na , ( )24 , na , ( )21, nn .

Numărul probelor este 1526 =C .

b. Evenimentele 54321 ,,,, AAAAA sunt aleatoare. Evenimentul 6A este imposibil, el nu este nici elementar, nici compus. Evenimentul 1A este elementar, el se realizează printr-o singură probă,

( )21, nn . Avem ( ){ }211 , nnA = . Evenimentele 5432 ,,, AAAA sunt evenimente compuse. Avem 54 AA = deoarece realizarea lui 4A atrage după sine realizarea lui 5A şi

reciproc. Se observă aceasta şi din egalitatea mulţimilor de probe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }24142313221221114 ,,,,,,,,,,,,,,, nanananananananaA = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }42322212413121115 ,,,,,,,,,,,,,,, ananananananananA = .

De asemenea avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4342324131212 ,,,,,,,,,,, aaaaaaaaaaaaA =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2124142313221221113 ,,,,,,,,,,,,,,,,, nnnanananananananaA = . Sunt compatibile perechile ( )53, AA ; ( )31, AA . Se pot realiza simultan ( )54 , AA . Sunt incompatibile perechile: ( )32 , AA ; ( )21, AA ; ( )41, AA , ( )31, AA ,

( )42 , AA , ( )52 , AA . Evenimentele 1A şi 4A ; 1A şi 5A ; 2A şi 4A ; 2A şi 3A ; 2A şi 5A sunt

contrare. Avem implicaţiile: 54 AA ⊂ , 45 AA ⊂ ; 34 AA ⊂ ; 35 AA ⊂ .

Vom da câteva proprietăţi ale evenimentelor elementare: (E1.) Fie Σ∈A un eveniment elementar şi Σ∈B un eveniment oarecare. Dacă

AB ⊆ , atunci ∅=B sau AB = . Presupunând ∅≠B şi AB ≠ rezultă că evenimentul ABC −= este diferit de

A şi de ∅ , deci CBA ∪= ceea ce este imposibil deoarece A este elementar. (E2.) Condiţia necesară şi suficientă ca un eveniment Σ∈A , ∅≠A să fie

elementar, este să nu existe un eveniment Σ∈B , ∅≠B cu AB ⊂ . Presupunând că există Σ∈B cu ∅≠B şi AB ⊂ rezultă AB ≠ . Din

( ) ( ) ( )CC BABABBAA ∩∪∩∪∩ == , ţinând seama că BAB ∩= , deoarece AB ⊂ , rezultă: ( )CBABA ∩∪= .

22

Notând CBAC ∩= , avem AC ≠ deoarece în caz contrar am avea ( ) ( ) ∅=∅===== ∩∩∩∩∩∩∩ ABBABBABCBAB CC .

În relaţia CBA ∪= avem AB ≠ , AC ≠ , ceea ce este absurd, deoarece A este un eveniment elementar.

În mod analog se demonstrează: (E3.) Condiţia necesară şi suficientă ca un eveniment ∅≠A să fie elementar este

ca pentru orice eveniment B să avem ∅=BA∩ sau ABA =∩ . (E4.) Două evenimente elementare distincte sunt incompatibile.

Fie evenimentele elementare 1A şi 2A cu 21 AA ≠ Presupunem ∅≠21 AA ∩ . Evenimentul 2A este elementar, deci conform cu ( )3E 211 AAA ∩= . Analog, 2A fiind elementar avem 212 AAA ∩= . Din aceste relaţii rezultă 21 AA = , ceea ce nu se poate, deci ∅=21 AA ∩ . (E5.) Într-o algebră finită de evenimente pentru orice eveniment compus Σ∈B ,

există un eveniment elementar A , BA ⊂ . Demonstraţia este imediată ţinând seama de ( )2E .

(E6.) Orice eveniment dintr-o algebră finită de evenimente se poate scrie sub formă unică, ca o reuniune de evenimente elementare. Fie Σ∈B un eveniment compus. Ţinând seama de ( )5E există un eveniment

elementar 1A cu BA ⊂1 . Notăm 11 ABB −= , deci 11 BAB ∪= . Dacă 1B este eveniment elementar, prima parte a propoziţiei este demonstrată.

Dacă 1B este eveniment compus, există un eveniment elementar 12 BA ⊂ . Notăm

212 ABB −= , deci 221 BAB ∪= şi deci 221 BAAB ∪∪= . Dacă 2B este eveniment elementar, ne oprim aici cu descompunerea. Dacă 2B

este eveniment compus continuăm procedeul. Algebra fiind finită, după un număr finit de paşi obţinem

kAAAB ∪∪∪ ...21= (2.1.) unde iA ( ki ,...,2,1= ) sunt evenimente elementare.

Să presupunem că descompunerea (2.1) nu este unică deci că rk AAAAAAB ′′′== ∪∪∪∪∪∪ ...... 2121 (2.2.)

unde, spre exemplu: sAA ′≠1 ( rs ,...,2,1= ) (2.3.)

Avem: ( ) ( )AAAAAAAA k ′′′= ∪∪∪∩∪∪∪∩ ...... 211211 ,

de unde ţinând seama de ( )4E şi de relaţia (2.3) rezultă ∅=1A , ceea ce este absurd. De aici rezultă:

(E7.) Într-o algebră finită de evenimente, evenimentul sigur este reuniunea tuturor evenimentelor elementare.

23

2.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente

Să considerăm o urnă U care conţine n bile, dintre care m albe şi mn − negre (bile diferă numai prin culoare). Se extrage la întâmplare o bilă. Avem n evenimente elementare. Fie A evenimentul „bila extrasă să fie albă”. Acest eveniment se poate realiza prin m probe, nm ≤ .

Definiţie. Se numeşte probabilitatea evenimentului A raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării lui A şi numărul cazurilor egal posibile. Deci

( )nmAP = . (2.4.)

Aceasta este definiţia clasică a probabilităţii. Ea se poate folosi numai în experimente cu evenimente elementare egal posibile.

Să considerăm acum o urnă care conţine n bile dintre care 1a bile de culoarea 1c ; 2a bile de culoarea 2c ; ...; sa bile, de culoarea sc . Astfel saaan +++= ...21 . Bilele diferă între ele numai prin culoare. Se extrage o bilă din urnă. În acest caz extracţia unei bile este eveniment elementar. Probabilitatea extragerii unei bile de culoare lc va fi dată de definiţia

clasică a probabilităţii, naP l= , deci eveniment favorabil este extracţia unei bile de

culoare lc . Un eveniment oarecare al câmpului este apariţia uneia din bile având culoarea

slll ccc ,...,,21

, notat A , pentru care

( )n

aaaAP slll +++=

...21 .

De aici rezultă că: 1. probabilitatea fiecărui eveniment este o funcţie de acest eveniment, având valori

pozitive;

2. probabilitatea evenimentului sigur Ω este 1; ( ) 1...21 =+++

=Ωn

aaaP n ;

3. dacă 21 AAA ∪= cu ∅=21 AA ∩ , atunci ( ) ( ) ( )21 APAPAP += ;

4. evenimentele elementare sunt egal probabile (au probabiltatea n1

).

Se observă că experimentul extracţiei dintr-o urnă poate fi interpretat cu ajutorul a două câmpuri de evenimente; câmpul considerat mai sus pentru care eveniment elementar este extracţia unei bile şi un alt câmp, ( )( )Γ℘Γ, pentru care eveniment elementar este extracţia unei bile de culoare lc ( sl ,...,2,1= ). Funcţia ( )AP care reprezintă probabilitatea unui eveniment oarecare din Γ are proprietăţile 1, 2 şi 3 dar nu verifică, în general, proprietatea 4 deoarece evenimentele elementare din Γ nu au

24

probabilităţi egale, decât pentru snnn === ...21 . În acest caz nu se mai aplică definiţia clasică a probabilităţii.

Să considerăm o urnă cu 7 bile numerotate de la 1 la 7 . Se extrage la întâmplare o bilă.

Notând cu iA , 7,...,1=i , evenimentul care constă în extragerea bilei cu numărul i , având în vedere că bilele diferă între ele numai prin numărul înscris, rezultă că evenimentele iA sunt egal posibile, deci, în mod firesc o funcţie de probabilitate definită

pe mulţimea ( ) 71 ≤≤iiA satisface condiţia ( ) pAP i = , unde 71

=p .

Evenimentul ji AA ∪ , ( ji ≠ ) este un eveniment de două ori mai probabil

decât fiecare din evenimentele iA , deci prelungirea funcţiei P la evenimentele

ji AA ∪ trebuie definită ca ( )72

=ji PAP ∪ , ( ji ≠ ), deoarece

( ) ( ) ( )jiji APAPAAP +=∪ . În general,

( )7

...1

kAAPkii =∪∪ , ( 7...1 1 ≤≤≤≤ kii )

şi ( ) 1=ΩP , unde Ω este evenimentul sigur. Deci, în cazul unui câmp finit de evenimente { }ΣΩ, , o probabilitate pe acest câmp

o vom defini astfel: Definiţie. Se numeşte probabilitate pe Σ , o aplicaţie :P Σ→ care satisface

următoarele axiome: (1) ( ) 0≥AP pentru orice Σ∈A ; (2) ( ) 1=ΩP ; (3) ( ) ( ) ( )2121 APAPAAP +=∪ pentru orice Σ∈21, AA cu ∅=21 AA ∩ .

Proprietatea (3) se extinde prin recurenţă la orice număr finit de evenimente incompatibile două câte două. Deci, dacă ∅=ji AA ∩ , ji ≠ , nji ,...,1, = , atunci

( )∑==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

ii

n

ii APAP

11∪ .

Exemplu. Într-o pungă se găsesc 200 bilete de loto dintre care un bilet câştigător a 000.500 lei, 5 bilete câştigătoare a 000.100 lei fiecare, 10 bilete câştigătoare a 000.50

lei fiecare şi 20 bilete câştigătoare a 000.5 lei fiecare. Cineva cumpără un bilet. Care este probabilitatea ca cumpărătorul să câştige cel puţin 000.50 lei ?

Vom considera următoarele evenimente: A - cumpărătorul câştigă cel puţin 000.50 lei; 1A – cumpărătorul câştigă 000.50 lei; 2A – cumpărătorul câştigă 000.100 lei; 3A – cumpărătorul câştigă 000.500 lei.

25

Avem evident 321 AAAA ∪∪= cu ∅=ji AA ∩ , ( ji ≠ , 3,2,1, =ji ). Deci

( ) ( ) ( ) ( ) 08,02001

2005

20010

321 =++=++= APAPAPAP .

Definiţie. Numim câmp de probabilitate finit, un câmp finit de evenimente { }ΣΩ, înzestrat cu o probabilitate P , notat { }P,,ΣΩ .

Din regula de adunare a probabilităţilor deducem că pentru a cunoaşte probabilităţile tuturor evenimentelor Σ∈A este suficient să cunoaştem probabilităţile evenimentelor elementare iω ; ri ≤≤1 , care alcătuiesc mulţimea finită

{ }rωω=Ω ,...,1 , deoarece dacă notăm { }( ) ii pP =ω ; ri ≤≤1 , şi dacă { } { }

kiiA ωω= ∪∪ ...1

, atunci

( ) { } { }( ) { }( ) { }( )1 1 1... ... ...i i i i i ik k k

P A P P P p pω ω ω ω= = + + = + +∪ ∪

Deci, un câmp finit de probabilitate este complet caracterizat de numerele

nenegative rppp ,...,, 21 cu 11

=∑=

r

iip .

Dacă rpp == ...1 , atunci ( )rkAP = unde k reprezintă numărul de evenimente

elementare care intră în compunerea evenimentului A (evenimente elementare favorabile evenimentului A ). Se ajunge astfel la definiţia clasică a probabilităţii.

Din definiţia probabilităţii rezultă următoarele proprietăţi: (P1.) Pentru orice Σ∈A , ( ) ( )APAP −=1C .

Din Ω=CAA∪ , ∅=CAA∩ şi din axiomele (2) şi (3) rezultă imediat această proprietate.

Exemplu. Un aparat achiziţionat de o uzină trebuie pus în funcţiune. Se pot ivi următoarele situaţii: a) o bună stare de funcţionare; b) un uşor dereglaj; c) trebuie înlocuite câteva piese; d) se impune o revizie generală.

În primul caz aparatul continuă să funcţioneze. În cazul (b) reglajul durează 10 minute, în cazul (c) piesele se înlocuiesc într-o oră, iar revizia generală se face în 10 ore. Probabilităţile celor patru etape sunt 5,0 ; 1,0 ; 15,0 ; 25,0 .

Să se determine probabilitatea ca aparatul să fie în măsură să funcţioneze după cel puţin două ore de la instalare. Răspuns. Considerăm următoarele evenimente: A - aparatul este gata de funcţionare după 2 ore; 1A - aparatul poate funcţiona imediat; 2A - aparatul necesită un reglaj; 3A - este necesar să înlocuim câteva piese.

26

Avem evident 321 AAAA ∪∪= . Deci ( ) ( ) ( ) ( ) 75,015,01,05,0321 =++=++= APAPAPAP

sau ( ) ( ) 75,025,011 C =−=−= APAP '

(P2.) Avem ( ) 0=∅P . Aceasta rezultă imediat din ( )1P , din observaţia Ω=∅C şi axioma (2).

(P3.) Pentru orice Σ∈A avem ( ) 10 ≤≤ AP . Axioma (1) ne spune că ( ) 0≥AP . Din (1) şi proprietatea ( )1P rezultă

( ) 1≤AP . (P4.) Pentru orice Σ∈21, AA cu 21 AA ⊂ avem ( ) ( )21 APAP ≤ .

Avem ( )C1212 AAAA ∩∪= unde ( ) ∅=C

121 AAA ∩∩ , deci din (3) rezultă ( ) ( ) ( )C

1212 AAPAPAP ∩+= . Dar ( ) 0C12 ≥AAP ∩ de unde ( ) ( )12 APAP ≥ .

(P5.) Pentru orice Σ∈21, AA avem ( ) ( ) ( )21212 AAPAPAAP ∩−=− . Din ( ) ( )12122 AAAAA ∩∪−= , ( ) ( ) ∅=− 1212 AAAA ∩∩ şi axioma (3)

rezultă proprietatea enunţată. (P6.) Dacă 21 AA ⊂ , Σ∈21, AA , atunci ( ) ( ) ( )1212 APAPAAP −=− .

Această proprietate rezultă din proprietatea ( )5P (P5) deoarece în acest caz

112 AAA =∩ . (P7.) ( ) ( ) ( ) ( )212121 AAPAPAPAAP ∩∪ −+= , oricare ar fi Σ∈21, AA .

Din relaţiile ( )( )212121 AAAAAA ∩∪∪ −= , ( )( ) ∅=− 2121 AAAA ∩∩ , din axioma (3) şi proprietatea ( )6P aplicată pentru ( )212 AAA ∩− rezultă proprietatea enunţată.

De aici rezultă imediat: (P8.) ( ) ( ) ( )2121 APAPAAP +≤∪ , oricare ar fi Σ∈21, AA . (P9.) Dacă ( ( ) Σ⊂≤≤ niiA 1 , atunci

( ) ( )

( ) ( )

1 11

1

1 1

... 1

n n

i i i ji i j ni

nn

i j k ii j k n i

P A P A P A A

P A A A P A

= ≤ < ≤=

−

≤ < < ≤ =

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + + − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

∩

∩ ∩

∪

∩

Această relaţie se demonstrează prin inducţie şi ţinând seama de proprietatea ( )7P . (P10.) Fie evenimentele ( ) Σ⊂≤≤ niiA 1 cu ( ) 0... 11 ≠−nAAP ∩∩ , atunci:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 1 11

... ...n

k n nk

P A P A P A A P A A A P A A A −=

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ∩ ∩∩

27

Formula se demonstrează prin inducţie. Probabilităţile din membrul doi există deoarece din

1212111 ......... AAAAAAA nn ⊆⊆⊆⊆ −− ∩∩∩∩∩ rezultă

( ) ( ) ( ) ( )1212111 .........0 APAAPAAPAAP nn ≤≤≤≤< −− ∩∩∩∩∩ Ca ilustrare a proprietăţilor ( )9P şi ( )10P să considerăm următoarele probleme: Exemplu - Problema concordanţelor [23]. Într-o urnă sunt n bile numerotate de

la 1 la n . Extragem pe rând câte o bilă fără a o repune în urnă. Este posibil ca în extracţia de rang i să extragem bila numerotată cu i ?. Spunem în acest caz că avem o concordanţă. Răspuns.

Fie p probabilitatea, ca făcând n extracţii să apară cel puţin o concordanţă. Dacă notăm prin iA evenimentul ca în experimentul de rang i , ni ≤≤1 să apară o

concordanţă, avem ( )nAAPp ∪∪ ...1= ; unde ( ) ( )nn

nAP i1

!!1=

−= , deoarece sunt

posibile !n cazuri (cele n bile se pot extrage în n moduri diferite) şi ( )!1−n cazuri favorabile, deoarece bila numerotată cu numărul i trebuie extrasă exact în extracţia de rang i , deci numai cele 1−n bile rămase se pot permuta oricum între ele.

Analog

( ) ( )( )1

1!

!2−

=−

=nnn

nAAP ji ∩ , nji ≤<≤1 ,

( ) ( )( )( )21

1!

!3−−

=−

=nnnn

nAAAP kji ∩∩ , nkji ≤<<≤1 etc.

În relaţia din ( )9P fiecare termen este, la rândul său, o sumă de termeni egali şi anume k

nC termeni, unde k este numărul indicilor după care se sumează. Avem deci

( ) ( )( ) ( )!

11...21

11

11 132

nC

nnnC

nnC

nnp n

nn

nn−−++

−−+

−−=

sau

( )!

11...!3

1!2

11 1

np n−−+++−= .

Observăm că notând prin q probabilitatea evenimentului contrar, atunci

( )!

11...!3

1!2

11 1

npq n−−++−=−= ,

iar pentru ∞→n obţinem e

q 1→ .

28

Exemplu. Un lot de 100 produse este supus unui control de calitate. Lotul este respins dacă se găseşte cel puţin un rebut la 5 piese controlate la întâmplare. Ştiind că lotul conţine %4 piese defecte, să se determine probabilitatea ca lotul să fie respins. Răspuns.

Notând cu A evenimentul „lotul trebuie respins” vom calcula ( )CAP . Notând cu kA evenimentul „piesa k controlată este bună” 51 ≤≤ k , şi ţinând seama de faptul că evenimentele kA nu sunt independente, avem

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

9692

9793

9894

9995

10096

......

43215213121

51C

⋅⋅⋅⋅=

==

==

AAAAAPAAAPAAPAPAAPAP

∩∩∩∩∩∩

,

iar ( ) ( )C1 APAP −= .

2.3. −σ câmp de probabilitate

Calea pe care o urmărim în definirea −σ câmpului de probabilitate corespunde axiomaticii teoriei probabilităţilor dată de A.N. Kolmogorov [11] în 1933.

Definiţie. Fie { }ΣΩ, un −σ câmp de evenimente. Numim probabilitate pe câmpul { }ΣΩ, , o funcţie numerică pozitivă P , definită pe Σ dacă: 1. ( ) 1=ΩP ,

2. ( )∑∈∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Iii

Iii APAP ∪ , pentru orice familie numărabilă de evenimente

( ) Σ⊂∈IiiA , incompatibile două câte două. Observăm că probabilitatea este o măsură pentru care ( ) 1=Ωμ . Deci un −σ câmp de probabilitate, va fi un −σ câmp de evenimente { }ΣΩ, ,

înzestrat cu o probabilitate; el se va nota cu { }P,,ΣΩ . Proprietăţile probabilităţii amintite pentru un câmp finit de probabilitate se extind şi

la −σ câmpurile de probabilitate. În plus, dacă { }P,,ΣΩ este un −σ câmp de probabilitate avem următoarele proprietăţi: (P11.) Pentru orice şir de evenimente ( ) *n n

A∈

⊂ Σ pentru care nn AA ⊆+1 (descendent), avem

( )*

lim n nnn

P A P A→∞

∈

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∩

29

şi pentru orice şir de evenimente ( ) *n nA

∈⊂ Σ pentru care nn AA ⊇+1

(ascendent), avem

( )*

lim n nnn

P A P A→∞

∈

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ .

Pentru demonstraţia primei relaţii vom arăta că dacă *

nn

A∈

=∅∩ , atunci

( ) 0lim =∞→ nn

AP .

În adevăr, din ( )∪∞

=+−=

nmmmn AAA 1 avem ( ) ( )∑

∞

=+−=

nmmmn AAPAP 1 .

Pentru 0=n , seria este convergentă, restul seriei fiind convergent către zero. Putem scrie

( ) 0lim 1 =−∑∞

=+∞→ nm

mmnAAP

deci ( ) 0lim =

∞→ nnAP .

Notăm *

nn

B A∈

= ∩ , BAB nn −= . Şirul ( ) *n nB

∈ este descendent şi

*n

n

B∈

=∅∩ , deci ( ) 0lim =∞→ nn

BP .

Dar

( ) ( ) ( ) ( )*

n n n nn

P B P A P B P A P A∈

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ ,

deci

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∈∞→ ∩

*lim

Nnnnn

APAP .

Pentru demonstraţia celeilalte relaţii se arată că aceasta este echivalentă cu prima, demonstraţie pe care o lăsăm pe seama cititorilor.

(P12.) ( ) ( ) ( )nnnnnn

nn

APAPAPAP∞→∞→∞→∞→

≤≤≤⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ limlimlimlim pentru orice şir

( ) *n nA

∈⊂ Σ

Cu notaţia ∩∞

=+=

0ppnn AB , ( ) *n n

B∈

este ascendent şi

( ) ( ) ( )nn

nnnnnn

APBPBPAP∞→∞→∞→∞→

≤==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ limlimlimlim ,

30

deoarece ( ) ( )pnn APBP +≤ pentru orice p∈ .

Analog ( ) ( )nnnnAPAP

∞→∞→≥ limlim . Dar ( ) ( )nnn

nAPAP

∞→∞→≤ limlim .

De aici rezultă ca o consecinţă imediată: (P13.) (proprietatea de continuitate secvenţială a probabilităţii). Dacă şirul

( ) *n nA

∈⊂ Σ este −0 convergent ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ =

∞→∞→ nn

nnAA limlim , atunci

( ) ( )nnnnAPAP

∞→∞→= limlim .

(P14.) ( )**

n nnn

P A P A∈∈

⎛ ⎞≤⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ .

Avem

( ) ( )∑∑∈=

∞→=

∞→∈

=≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

*11*limlim

Nnn

n

iin

n

iin

Nnn APAPAPAP ∪∪ .

Avem egalitate numai dacă evenimentele sunt mutual disjuncte.

2.4. Evenimente independente. Probabilitate condiţionată

Să considerăm experimentul care constă în aruncarea a două monezi, şi fie evenimentele: A - să obţinem stema pe prima monedă şi B - să apară stema pe moneda a doua.

În acest caz probabilitatea evenimentului A nu depinde de realizarea evenimentului B , deci evenimentul A este independent de evenimentul B .

Să considerăm o urnă care conţine 4 bile albe şi 3 bile negre. Două persoane extrag fiecare câte o bilă din urnă. Fie evenimentele: 1A - prima persoană a extras o bilă albă şi 2A - a doua persoană a extras o bilă albă. Probabilitatea evenimentului 1A în

absenţa informaţiilor asupra lui 2A este 74

. Dacă evenimentul 1A s-a realizat,

probabilitatea evenimentului 2A este de 21

de unde concluzia că evenimentul 2A

depinde de evenimentul 1A . Definiţie. Evenimentele A , B ale câmpului de probabilitate { }P,,ΣΩ sunt

−P independente dacă ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ . (2.5.)

Se poate arăta cu uşurinţă că dacă evenimentele Σ∈BA, sunt −P independente, atunci perechile de evenimente A , CB ; B , CA ; CA , CB sunt −P independente.

31

Aplicaţie. Doi trăgători trag simultan asupra unei ţine câte un foc fiecare. Probabilităţile de nimerire a ţintei sunt 8,0 pentru primul trăgător şi 6,0 pentru al doilea trăgător. Să se determine probabilitatea ca ţinta să fie atinsă de cel puţin un trăgător. Răspuns.

Fie evenimentele iA - trăgătorul cu numărul i ( 2,1=i ) nimereşte ţinta. Avem ( ) ( ) ( ) ( ) 92,06,08,06,08,0212121 =⋅−+=−+= AAPAPAPAAP ∩∪ .

Definiţie. Evenimentele ( ) Σ⊂≤≤ niiA 1 sunt −P independente m câte m dacă pentru mh ≤ şi niii h ≤<<<≤ ...1 21 avem

( ) ( ) ( ) ( )hiiihii APAPAPAAP ......

211=∩∩ . (2.6.)

Dacă nm = evenimentele sunt −P independente în totalitatea lor.

Observaţie. Dacă n evenimente sunt independente două câte două, nu sunt neapărat independente în totalitatea lor. Acest lucru se vede din exemplul următor datorat lui S.N. Bernştein.

Se consideră un tetraedru omogen cu feţele colorate în alb, negru, roşu şi a patra în cele trei culori. Efectuăm experimentul aruncării acestui corp o singură dată. Să notăm cu iA evenimentul ca tetraedrul să se aşeze pe faţa cu numărul i , 4,3,2,1=i . Evenimentele iA sunt evenimente elementare ale câmpului asociat experimentului descris.

Avem ( )41

=iAP ( 4,3,2,1=i ). Dacă notăm 21 AAA ∪= , 31 AAB ∪= ,

41 AAC ∪= avem ( ) ( ) ( )21

=== CPBPAP , deoarece pentru fiecare culoare

sunt patru cazuri posibile şi două cazuri favorabile – faţa cu culoarea respectivă şi faţa cu toate culorile.

De asemenea, ( ) ( ) ( )41

=== ACPCBPBAP ∩∩∩ , deci

evenimentele A , B , C sunt −P independente două câte două. Avem însă

( ) ( )41

1 == APCBAP ∩∩ , ( ) ( ) ( ) 18

P A P B P C = de unde, rezultă că

evenimentele CBA ,, nu sunt −P independente în totalitatea lor. Definiţie. Spunem că evenimentele ( ) *n n

A∈

⊂ Σ sunt −P independente dacă orice număr finit de evenimente din acest şir sunt −P independente.

Aplicaţie. Un aparat se compune din trei elemente a căror fiabilitate (durata de funcţionare fără defecţiune tot timpul într-un interval de timp dat) este egală cu 9,0 ;

85,0 şi 75,0 .

32

Primul element este indispensabil pentru funcţionarea aparatului, defectarea unuia din celelalte două elemente face ca aparatul să funcţioneze cu un randament inferior, iar defectarea simultană a elementelor doi şi trei face imposibilă funcţionarea aparatului. Elementele se defectează independent unul de altul. Se cere probabilitatea ca aparatul să funcţioneze tot timpul într-un interval de timp dat. Răspuns.

Fie evenimentele iA - elementul i ( 3,2,1=i ) funcţionează fără defecţiune şi A - aparatul funcţionează chiar cu un randament inferior. Avem

( ) ( ) ( )C3213

C21321 AAAAAAAAAA ∩∩∪∩∩∪∩∩=

Astfel ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )866,025,085,09,075,015,09,075,085,09,0

C3213

C21321

C3213

C21321

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==++=

=++=

APAPAPAPAPAPAPAPAPAAAPAAAPAAAPAP ∩∩∩∩∩∩

.

În exemplul cu urna am văzut că rezultatul experimentului de care este legat 1A influenţează condiţiile experimentului de care este legat 2A (extrăgând din urnă o bilă albă prima persoană, vor rămâne în urnă pentru extracţia ce va fi efectuată de persoana a doua numai 3 bile albe şi 3 negre).

Deci probabilitatea evenimentului 2A variază în funcţie de realizarea lui 1A în

sensul că această probabilitate este 21

dacă s-a realizat 1A sau 32

dacă nu s-a realizat

1A . Este deci natural să numim probabilitatea evenimentului 2A condiţionată de evenimentul 1A şi să o notăm prin ( )12 AAP sau ( )21

APA .

Definiţie. Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate şi Σ∈BA, cu ( ) 0≠BP . Numim probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B ,

raportul ( )( ) ( )P A B

P A BP B

=∩

(2.7.)

Notăm şi ( ) ( )APBAP B= .

Tripletul { }BP,,ΣΩ este un −σ câmp de probabilitate dacă { }P,,ΣΩ este un −σ câmp de probabilitate. (Se verifică cu uşurinţă axiomele din definiţia probabilităţii).

Analog putem defini probabilitatea evenimentului B condiţionată de

evenimentul A , ( ) ( )( )AP

BAPABP ∩= , unde ( ) 0≠AP .

33

Din cele două relaţii ţinând seama de proprietatea de comutativitate a intersecţiei rezultă

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPABPAP = . (2.8.)

Din (2.7) rezultă că, în cazul a două evenimente independente ( ) ( )APBAP = . Definiţie. Numim sistem complet de evenimente o familie cel mult numărabilă de

evenimente ( ) Σ⊂∈IiiA cu ∅=ji AA ∩ pentru orice ji ≠ , Iji ∈, şi Ω=∈∪

IiiA .

Formula probabilităţii totale. Fie ( ) Σ⊂∈IiiA un sistem complet de evenimente cu ( ) 0≠iAP , Ii∈ . Pentru Σ∈A , avem

( ) ( ) ( )∑∈

=Ii

ii AAPAPAP . (2.9.)

Pentru demonstraţie să observăm că pentru fiecare Ii∈ avem ( ) ( ) ( )iii AAPAPAAP =∩ , de unde însumând după i obţinem

( ) ( ) ( )∑∑∈∈

=Ii

iIi

ii AAPAAPAP ∩

dar

( ) ( ) ( )APAPAAPAAPIi

iIi

i =Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∈∈∑ ∩∩∩ ∪ .

Exemplu. Zece aparate de acelaşi tip sunt date în exploatare: trei provin de la uzina 1U , cinci provin de la uzina 2U , iar două de la uzina 3U . Aparatele sunt supuse unei

probe de verificare. Cele care provin de la prima uzină trec proba de verificare cu probabilitatea 9,0 , cele care provin de la uzina 2U cu probabilitatea 75,0 , iar cele care provin de la uzina 3U cu probabilitatea 85,0 . Se alege la întâmplare un aparat. Care este probabilitatea ca aparatul să treacă proba de verificare? Răspuns.

Facem următoarele ipoteze: iA - aparatul ales provine de la uzina iU ,

3,2,1=i . Avem ( )103

1 =AP , ( )21

2 =AP , ( )51

3 =AP . Dacă notăm prin A

evenimentul „aparatul ales trece proba de verificare”, avem ( ) 9,01 =AAP ,

( ) 75,02 =AAP , ( ) 85,03 =AAP şi

( ) ( ) ( )2001633

1==∑

=iii AAPAPAP .

34

Formula lui Bayes (sau teorema ipotezelor). Fie un sistem complet de evenimente ( ) Σ⊂∈IiiA . Probabilităţile acestor evenimente (ipoteze) sunt date înainte de efectuarea unui experiment. Experimentul efectuat realizează un alt eveniment A . Să arătăm cum realizarea evenimentului A schimbă probabilităţile ipotezelor. Trebuie să determinăm deci probabilităţile ( )AAP i pentru fiecare ipoteză iA , Ii∈ . Avem

( ) ( )( )AP

AAPAAP ii

∩= , dar ( ) ( ) ( )iii AAPAPAAP =∩ şi ţinând seama de (2.9)

rezultă

( ) ( ) ( )( ) ( )∑

∈

=

Ijjj

iii AAPAP

AAPAPAAP . (2.10.)

Exemple. 1. În condiţiile exemplului anterior se alege la întâmplare un aparat şi se constată că el

trece proba de verificare. Care este probabilitatea ca el să provină de la prima uzină? Răspuns.

Avem

( ) ( ) ( )( ) ( )∑

=

= 3

1

111

jjj AAPAP

AAPAPAAP

unde evenimentele A şi jA , 1, 2,3j = sunt notate ca la exemplul anterior. Astfel

( )16354

1 =AAP .

2. [42] Se consideră două loturi de produse dintre care un lot are toate piesele

corespunzătoare, iar al doilea lot are 41

din piese rebuturi. Se alege la întâmplare un

lot şi se extrage din el o piesă constantându-se că este bună. Se reintroduce piesa în lot şi se extrage din acelaşi lot o piesă. Care este probabilitatea ca piesa extrasă să fie un rebut?

Răspuns. Fie A evenimentul „a doua piesă extrasă este rebut”, iar 1A , 2A evenimentele

de a extrage această piesă din primul respectiv al doilea lot. Formula probabilităţii totale ne dă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211 AAPAPAAPAPAP +=

Avem ( ) 02 =AAP , ( )41

1 =AAP .

Din formula lui Bayes vom calcula ( )1AP . Notăm cu 1B , 2B evenimentele ca prima extracţie să se facă din primul, respectiv al doilea lot, iar B evenimentul „piesa

35

extrasă este bună”. Atunci ( ) ( )21

21 == BPBP , ( )43

1 =BBP , ( ) 12 =BBP şi

( ) ( )73

11 == BBPAP , deci ( )283

41

73

=⋅=AP .

Inegalitatea lui Boole. Fie { }P,,ΣΩ un câmp de probabilitate şi ( ) Σ⊂∈IiiA o

mulţime cel mult numărabilă de evenimente. Dacă Σ∈∈∩

IiiA , atunci:

( )∑∈∈

−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Iii

Iii APAP C1∩ . (2.11.)

În particular

( ) ( )111

−−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑==

nAPAPn

ii

n

ii∩ . (2.11'.)

Demonstraţia este imediată dacă scriem

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∈∈∈∪∩∩

Iii

Iii

Iii APAPAP C

C

11

şi aplicăm proprietatea ( )14P . În particular

( ) ( )( ) ( ) ( )111111 1

C

1

−−=−−=−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∑ ∑== ==

nAPAPAPAPn

ii

n

i

n

iii

n

ii∩ .

EXERCIŢII ŞI PROBLEME PROPUSE

2.1. O urnă conţine 20 de bile numerotate de la 1 la 20 . Se extrage o bilă. Se cere: a. Să se scrie câmpul de evenimente ataşat experimentului respectiv. b. Ce puteţi afirma despre următoarele evenimente: A - numărul de pe bilă este

par; B - numărul de pe bilă este multiplu de 5 ; C - numărul de pe bilă este o putere a lui 2 .

2.2. Se aruncă trei zaruri. Să se calculeze probabilitatea ca suma punctelor obţinute să fie: a. egală cu 16 ; b. mai mare decât 16 ; c. mai mică decât 20 .

2.3. Un elev 1A primeşte o informaţie pe care o transmite sub formă de semnal „da” sau „nu” unui elev 2A . Acesta o transmite lui 3A şi 3A lui 4A . Ultimul elev anunţă rezultatul primit. Ştiind că fiecare din ei spune adevărul într-un singur caz din trei, să se determine probabilitatea ca primul elev să fi spus adevărul dacă ultimul a spus adevărul.

Răspuns. 4113

=P .

36

2.4. persoană scrie n scrisori la n persoane. Pune fiecare scrisoare în plic, închide plicurile şi apoi scrie la întâmplare adresele pe plicuri. Care este probabilitatea ca cel puţin o scrisoare să ajungă la destinatarul său?

Răspuns. ( )!

11...!4

1!3

1!2

11 1

nP n+−++−+−= .

2.5. Trei discuri CBA ,, sunt vopsite pe ambele feţe astfel: A - are două feţe albe; B - are o faţă albă şi una neagră; C - are două feţe negre. Se alege la întâmplare un disc şi se observă că are o faţă albă. Care este probabilitatea ca şi cealaltă faţă să fie albă?

Răspuns. 32

=P .

2.6. Se dau şase urne cu următoarele structuri: ( )1U - două urne conţin câte 4 bile albe şi 2 negre; ( )2U - trei urne conţin câte 3 bile albe şi 5 negre; ( )3U - o urnă conţinând 6 bile albe şi 4 negre. Se extrage la întâmplare o bilă dintr-o urnă. Se cere: a. Probabilitatea ca bila extrasă să fie neagră. b. Dacă s-a extras o bilă albă, care este probabilitatea ca bila extrasă să fie dintr-o

urnă cu structura ( )2U . Răspuns.

a. 720367

=P ;

b. Se aplică formula lui Bayes şi se obţine 367135

=P .

2.7. La un liceu de specialitate în cei trei ani sunt n elevi, din care kn , ( 3,2,1=k ) în anul k . Se iau la întâmplare doi elevi şi se constată că unul este mai bine pregătit la învăţătură decât cel de al doilea elev. Care este probabilitatea ca elevul mai bun să fie în ultimul an?

Răspuns.

321

21

111

11

nnn

nnP++

+= .

2.8. Avem piesele lucrate de acelaşi atelier în două zile puse separat. Piesele lucrate în

prima zi corespund condiţiilor tehnice de calitate, iar dintre cele lucrate a doua zi, 41

sunt de calitate necorespunzătoare. Se ia o piesă la întâmplare şi se constată că este de calitate. Să se determine probabilitatea ca o altă piesă luată la întâmplare din aceeaşi grămadă să fie necorespunzătoare dacă prima piesă, după verificare, este repusă la loc.

Răspuns. 283

=P .

37

2.9. Într-o urnă sunt zece bile dintre care x de culoare albă şi y de culoare roşie cu 82 ≤≤ x . Se cere:

a. Să se calculeze în funcţie de x probabilitatea ca trăgând simultan două bile din urnă să fie ambele de aceeaşi culoare. Aplicaţie numerică 4=x .

b. Care trebuie să fie numărul x al bilelor albe pentru ca această probabilitate să fie minimă şi care este acest minim?

c. Să se verifice că formula care dă pe P în funcţie de x este valabilă şi pentru 0=x şi pentru 1=x . Să se spună, fără calcul, de ce ea rămâne valabilă şi

pentru 9=x şi pentru 10=x . (Bacalaureat, Nice, 1967)

Răspuns. 45102 +−= xxP ; 5min =x ; 94

min =P .

38

3. VARIABILE ALEATOARE. CARACTERISTICI NUMERICE.

FUNCŢIE DE REPARTIŢIE Una din noţiunile fundamentale ale teoriei probabilităţilor este aceea de variabilă

aleatoare. Evenimentele unui câmp de probabilitate nu sunt, principial, mărimi în înţelesul atribuit

acestora în ştiinţele naturale sau tehnică; ele se descriu însă cu ajutorul unor mărimi având valori reale şi care, în general, sunt rezultatul unor măsurători. Principalul merit al actualei sistematizări a calcului probabilităţilor constă în definirea variabilelor aleatoare, deci a mărimilor pe care ni le prezintă experimentul direct, sau teoriile destinate să-l interpreteze.

Dacă înţelegem prin variabilă aleatoare o funcţie reală definită pe mulţimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat vom putea ilustra prin exemple tipice pentru teoria probabilităţilor cum se trece de la un eveniment la o variabilă aleatoare şi anume:

Exemplu. Să considerăm un experiment care are ca rezultat evenimentul A . În locul evenimentul A putem considera variabila aleatoare ξ care ia valoarea 1 dacă s-a realizat A şi 0 dacă s-a realizat CA . Am definit o variabilă aleatoare bernuolliană cu două valori (variabilă indicatoare a evenimentului A ) prin relaţia

( )⎩⎨⎧

∈ω

∈ω=ωξ Cpentru

pentru01

AA

.

În practică este de multe ori mai comod ca în locul evenimentelor să utilizăm variabilele aleatoare indicatoare care le sunt asociate.

Această schemă poate fi extinsă în sensul că putem considera un experiment care are ca rezultat un sistem complet de evenimente ( ) niiA ≤≤1 . Dacă convenim să atribuim valoarea jn − în cazul în care s-a realizat evenimentul jA , nj ≤≤1 , am definit o

variabilă aleatoare bernoulliană cu n valori, ξ , prin relaţia ( ) jn −=ωξ dacă jA∈ω , nj ≤≤1 .

3.1. Variabile aleatoare discrete

Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate şi ( ) Σ⊂∈IiiA un sistem complet (finit sau numărabil) de evenimente. Sistemul numeric ( )ii APp = , Ii∈ , se numeşte distribuţia −σ câmpului de probabilitate.

Definiţie. Numim variabilă aleatoare discretă o funcţie ξ definită pe mulţimea evenimentelor elementare Ω∈ω cu valori reale dacă 1. ξ ia valorile ix , Ii∈ ;

2. ( ){ } Σ∈=ωξω ix , Ii∈ .

39

O variabilă aleatoare discretă pentru care I este finită se numeşte variabilă aleatoare simplă.

Schematic variabila aleatoare ξ se notează prin

Iii

i

px

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ : , 1=∑

∈Iiip . (3.1.)

Tabloul (3.1) se numeşte distribuţia sau repartiţia variabilei aleatoare ξ . Numărul produselor defecte dintr-un lot examinat, numărul de defecţiuni care apar

într-o anumită perioadă de funcţionare a unui dispozitiv, indicatorul unui eveniment A sunt variabile aleatoare discrete.

Faptul că 1=∑∈Ii

ip ne sugerează ideea că această sumă se repartizează într-un

anumit mod între aceste valori ix , deci din punct de vedere probabilistic o variabilă aleatoare este complet determinată dacă se dă o astfel de repartiţie. Vom stabili o astfel de lege de repartiţie.

Una din formele cele mai simple în care putem reprezenta o astfel de lege este forma schematică (3.1) sau sub forma unui tabel.

ix 1x 2x … ix …

nx

ip 1p 2p … ip …

np

O altă formă este cea grafică luând pe axa absciselor valorile ix iar pe axa ordonatelor probabilităţile corespunzătoare. Putem obţine unind aceste puncte poligonul de repartiţie:

Figura 3.1.

sau diagrama în batoane

40

Figura 3.2.

Exemplu. Un lot de piese este supus unui control de calitate în modul următor: se extrage pe rând câte o piesă care se cercetează dacă poate fi admisă sau nu. Se cercetează 5 piese. Dacă piesa din extracţia de rang 4,3,2,1=k nu corespunde, lotul se respinge. Să se scrie tabloul de repartiţie al variabilei aleatoare care reprezintă numărul de piese cercetate, dacă probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare din lot să fie admisă este 85,0 .

Să se traseze poligonul de repartiţie corespunzător. Răspuns. Variabila aleatoare ξ poate lua valorile: a. 1 - dacă prima piesă este rebut, deci ( ) 15,01 ==ξP ; b. 2 - dacă prima piesă extrasă e bună, iar a doua rebut când ( ) 15,085,02 ⋅==ξP ;

c. 3 - dacă primele două piese sunt bune şi a treia rebut şi ( ) ( ) 15,085,03 2 ⋅==ξP ; d. 4 - primele trei piese sunt bune, iar a patra rebut pentru care

( ) ( ) 15,085,04 3 ⋅==ξP ;

e. 5 - primele patru piese sunt bune, ( ) ( )485,05 ==ξP . Deci

( ) ( ) ( )2 3 4

1 2 3 4 5:

0,15 0,1275 0,85 0,15 0,85 0,15 0,85ξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

Poligonul de repartiţie este cel din figura 3.3.

Figura 3.3

41

Dacă ξ este o variabilă aleatoare discretă care poate lua valorile diferite ix

( ,...2,1=i ) putem face să-i corespundă un sistem complet de evenimente ( ) ,...2,1=iiA aşa

fel încât ( ){ }ii xA =ωξω= . Ţinând seama de faptul că valorile ix sunt diferite, rezultă

că ∅=ji AA ∩ ( ji ≠ ) şi Ω=∞

=∪

1iiA , deci ( ) 1

11

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∞

=

∞

= ii

ii APAP ∪ .

Reciproca a fost arătată mai sus. Definiţie. Fie ξ şi η două variabile aleatoare definite prin

( ) nx=ωξ pentru nA∈ω , ( ,...2,1=n ) ( ) my=ωη pentru mB∈ω ( ,...2,1=m )

(3.2.)

{ }nA şi { }mB fiind două sisteme complete de evenimente. Spunem că variabilele aleatoare ξ şi η sunt independente, dacă pentru orice m şi n avem

( ) ( ) ( )n m n mP A B P A P B=∩ . (3.3.)

Cu alte cuvinte sistemele complete { }nA şi { }mB sunt independente. Fie ξ şi η două variabile aleatoare definite prin (3.2) şi f o funcţie reală de două

variabile reale. Variabila aleatoare ( )ηξ=ζ ,f ia valorile ( )mnnm yxfz ,= şi este

definită de sistemul complet de evenimente ( ) ( ){ }mnnm yxC =ωη=ωξω= , . Avem

( )( ) ( ) ( )( )( )∑

=

=ωη=ωξ==ωζzmynxf

mn yxPzP,

, . (3.4.)

Dacă ξ şi η sunt independente, avem ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )mnmn yPxPyxP =ωη=ωξ==ωη=ωξ , .

Cu notaţiile ( )( )nn xPp =ωξ= , ( )( )mm yPq =ωη= rezultă

( )( )( )∑

=

==ωζzmynxf

mnqpzP,

. (3.5.)

Pentru ( ) yxyxf +=, avem ( )( ) ∑

=+

==ωζzmynx

mnqpzP . (3.6.)

Dacă, în particular ξ şi η nu pot lua decât valori întregi nenegative, avem

( )( )0

k

j k jj

P k p qζ ω −=

= =∑ (3.7.)

Distribuţia lui η+ξ=ζ se numeşte compunerea lui ζ şi η .

42

Spre exemplu fie variabilele aleatoare simple

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

n

n

ppxx

1

1: , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η

m

m

qqyy

1

1:

Variabila aleatoare η+ξ are tabloul de distribuţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++++η+ξ

nmij

mnji

ppppyxyxyxyx

1211

2111:

unde ( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )jijiij yxPyxPp =ωηω=ωξω=+=ωη+ωξ= ∩

cu

11 1

=∑∑= =

n

i

m

jijp .

Dacă ξ şi η sunt independente jiij qpp = . Variabila aleatoare ξη are tabloul de distribuţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξη

nmij

mnji

ppppyxyxyxyx

1211

2111:

cu ( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )jijiij yxPyxPp =ωηω=ωξω==ωηωξ= ∩

Operaţiile de sumă şi produs se extind la orice număr finit de variabile aleatoare. Rezultă deci:

Puterea unei variabile aleatoare are tabloul de distribuţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

k

kn

kk

ppxx

1

1:

deoarece ( )( ) ( )( ) iiki

k pxPxP ==ωξ==ωξ . Inversa unei variabile aleatoare cu valori nenule are tabloul de distribuţie

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ξ−

n

nppxx

1

11

11: .

Dacă variabila aleatoare η admite inversă, atunci definim câtul 1−ξη=ηξ

şi are

tabloul de distribuţie

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ηξ

nmij

m

n

j

i

pppyx

yx

yx

11

1

1

: .

43

O constantă a poate fi interpretată ca o variabilă aleatoare definită pe orice mulţime de evenimente elementare, iar tabloul ei de distribuţie interpretată ca variabilă

aleatoare va fi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

:a

a deci vom putea face totdeauna operaţii cu variabile aleatoare şi

constante. Exemplu. Se dă ecuaţia 0=++ cbyax , în care coeficienţii cba ,, se determină

prin aruncarea unui zar. Să se determine probabilitatea ca dreapta astfel obţinută să treacă prin punctul de coordonate ( )1,1− . Răspuns. Experimentului de determinare a unui coeficient îi ataşăm variabila aleatoare ξ care ia ca valori numărul de puncte apărut, deci

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ξ

61

61

61

61

61

61

654321:

Fie 321 ,, ξξξ variabilele aleatoare corespunzătoare determinării coeficienţilor cba ,, . Aceste variabile aleatoare sunt independente. Dreapta trece prin punctul ( )1,1−

când 0321 =ξ+ξ+ξ− . Deci trebuie să determinăm ( ) ( )321321 0 ξ+ξ=ξ==ξ+ξ+ξ− PP .

Ţinând seama de faptul că variabilele aleatoare sunt independente putem scrie

( ) { } { }( )

( ) ( )∑

∑

=

=

=ξ+ξ=ξ=

==ξ=ξ+ξ==ξ+ξ+ξ−

6

1321

6

1132321 0

k

k

kPkP

kkPP ∩

Avem ( )61

1 ==ξ kP , 6,...,1=k şi

( ) ( )632

6

132 ≤ξ+ξ==ξ+ξ∑

=

PkPk

fiind probabilitatea ca suma punctelor obţinute la aruncarea a două zaruri să fie mai mică decât 6 . Ţinând seama de faptul că tabloul de distribuţie a variabilei aleatoare care reprezintă suma punctelor obţinute este

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

22222222222 61

62

63

64

65

66

65

64

63

62

61

12111098765432

avem

( )36156

132 ==ξ+ξ∑

=kkP

44

deci

( )725

321 =ξ+ξ=ξP .

3.2. Momentele unei variabile aleatoare discrete

Momentele unei variabile aleatoare discrete sunt valorile tipice cele mai frecvent utilizate în aplicaţii.

Definiţie. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă care ia valorile ix cu

probabilităţile ip , Ii∈ . Dacă seria ∑∈Ii

ii px este absolut convergentă, expresia

( ) ∑∈

=ξIi

ii pxM (3.8.)

se numeşte valoare medie a variabilei aleatoare discrete ξ . Dacă ξ este o variabilă aleatoare simplă care ia valorile nxx ,...,1 cu

probabilităţile npp ,...,1 , atunci valoarea medie va fi

( ) ∑=

=ξn

iii pxM

1

. (3.8'.)

Vom da în continuare câteva proprietăţi ale valorilor medii. (P1). Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare discrete definite prin (3.2.) şi dacă

( )ξM şi ( )ηM există, atunci există valoarea medie ( )η+ξM şi ( ) ( ) ( )η+ξ=η+ξ MMM . (3.9.)

Notând prin ijC evenimentul ( ) ( ){ }ii yx =ωη=ωξω , , { }ijC formează un sistem

complet de evenimente şi ji

ij BC =∪ , ij

ij AC =∪ de unde ( ) ( )ji

ij BPCP =∑ ,

( ) ( )ij

ij APCP =∑ deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

i j ij i ij j iji j i j i j

i ij j ij i i j ji j j i i j

M x y P C x P C y P C

x P C y P C x P A y P B

M M

ξ η

ξ η

+ = + = + =

= + = + =

= +

∑∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Prin recurenţă, se obţine: (P2). Fie kξ ( nk ,...,1= ) n variabile aleatoare discrete. Dacă ( )kM ξ există,

atunci ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ∑

=

n

kkM

1 există şi

45

( )∑∑==

ξ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ

n

kk

n

kk MM

11. (3.10.)

(P3). Fie ξ o variabilă aleatoare discretă şi c o constantă. Dacă ( )ξM există, atunci ( )ξcM există şi

( ) ( )ξ=ξ cMcM . (3.11.) Proprietatea rezultă imediat din definiţie şi anume

( ) ( ) ( )ξ===ξ ∑∑ cMxpccxpcMi

iii

ii .

Proprietăţile (P2) şi (P3) conduc la: (P4). Fie kξ ( nk ,...,1= ) n variabile aleatoare discrete şi kc , ( nk ,...,1= ), n

constante. Dacă ( )kM ξ , ( nk ,...,1− ) există, atunci ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ∑

=

n

kkkcM

1 există şi

( )∑∑==

ξ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ

n

kkk

n

kkk MccM

11. (3.12.)

(P5). Valoarea medie a variabilei aleatoare ( ) η=ξ−ξ M este nulă. η se numeşte abaterea variabilei aleatoare ξ .

Deoarece ( )ξM este o constantă, valoarea medie a unei constante este aceea constantă, deci

( )( ) ( ) ( ) 0=ξ−ξ−ξ−ξ MMMM . (P6). Inegalitatea lui Schwarz. Fie ξ şi η două variabile aleatoare discrete pentru

care există ( )2ξM şi ( )2ηM . Atunci

( ) ( ) ( )22 ηξ≤ξη MMM . (3.13.)

Pentru demonstraţie vom considera variabila aleatoare ( )2λη−ξ=ζλ unde λ este un parametru real. Avem

( ) ( ) ( ) ( )222 2 ηλ+ξηλ−ξ=ζλ MMMM . Dar 0≥ζλ , deci ( ) 0≥ζλM pentru orice λ real. De aici rezultă

( ) ( ) ( ) 02 222 ≥ηλ+ξηλ−ξ MMM , λ∀ ∈ , de unde (3.13.). (P7). Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare discrete independente şi dacă

( )ξM şi ( )ηM există, atunci ( )ξηM există şi ( ) ( ) ( )ηξ=ξη MMM . (3.14.)

Notând prin ( ) ( ){ }jiij yxC =ωη=ωξω= , , avem

( ) ( )∑∑=ξηi j

ijji CPyxM .

46

Dar ξ şi η sunt independente, deci ( ) ( ) ( ) jijiij qpyPxPCP ==η=ξ=

şi

( ) ( ) ( )ηξ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=ξη ∑∑ MMqypxM

jjj

iii .

Exemplu. Un aparat este format din 5 elemente care se pot defecta independent unul de altul. Numerotăm elementele de la 1 la 5 şi fie ( )12,03,0 −+= kpk probabilitatea să se defecteze elementul cu numărul k , 5,...,1=k . Să se calculeze valoarea medie a numărului de defecţiuni. Răspuns. Fie kξ variabila aleatoare asociată elementului cu numărul k care ia valori pe 1 sau 0 după cum elementul se defectează sau nu,

( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−−−+

ξ12,07,012,03,0

01:

kkk , 5,...,1=k .

Variabila aleatoare care dă numărului de defecţiuni este 54321 ξ+ξ+ξ+ξ+ξ=ξ , deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 ξ+ξ+ξ+ξ+ξ=ξ MMMMMM . Avem ( ) ( )12,03,0 −+=ξ kM k de unde

( ) ( )[ ] 5,312,03,05

1=−+=ξ ∑

=kkM .

Definiţie. Fie ξ o variabilă aleatoarea discretă şi r un număr natural. Dacă există valoarea medie a variabilei aleatoare rξ , atunci această valoare medie se numeşte moment de ordin r al variabilei aleatoare ξ şi se notează

( ) ( ) ∑=ξ=ξαk

krk

rr pxM . (3.15.)

Valoarea medie a variabilei aleatoare rξ se numeşte moment absolut de ordin

r al variabilei aleatoare ξ şi se notează

( ) ( ) ∑=ξ=ξβk

kr

kr

r pxM . (3.16.)

Definiţie. Fie o variabilă aleatoare discretă ξ . Momentul de ordinul r al variabilei aleatoare abatere a lui ξ se numeşte moment centrat de ordinul r a lui ξ şi se notează

( ) ( )( )ξ−ξα=ξμ Mrr . (3.17.) Momentul centrat de ordinul doi a variabilei aleatoare discrete ξ se numeşte

dispersie sau variantă şi se notează prin ( )ξ2D sau 2σ , deci

47

( ) ( )ξμ=σ=ξ 222D . (3.18.)

Numărul ( ) ( )ξμ=σ=ξ 2D se numeşte abatere medie pătratică a lui ξ . Vom da în continuare câteva proprietăţi ale dispersiei şi ale abaterii medii pătratice.

(P1). Are loc egalitatea ( ) ( ) ( )[ ]222 ξ−ξ=ξ MMD . (3.19.)

Într-adevăr, ţinând seama de definiţie ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]22222

2222

2

2

ξ−ξ=ξ+ξ−ξ=

=ξ+ξξ−ξ=ξ−ξ=ξ

MMMMM

MMMMMD

(P2). Dacă ba +ξ=μ cu a şi b constante, atunci ( ) ( )ξ=η DaD . Avem

( ) ( ) baMM +ξ=η , ( ) ( ) ( ) 2222 2 babMMaM +ξ+ξ=η

de unde ( ) ( )ξ=η 222 DaD . În particular, pentru 0=b avem ( ) ( )ξ=ξ 222 DaaD .

(P3). Fie ( ) nkk ≤≤ξ 1 , n variabile aleatoare discrete, două câte două independente şi

ncc ,...,1 , n constante. Atunci

( )∑∑==

ξ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ

n

kkk

n

kkk DccD

1

22

1

2 . (3.20.)

Ţinând seama de (3.19.) avem

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

222

1 11

22 2

1 1

22 2 2

1 1

2

2

2

n nn

k k k kk kk kk

n n

k k h k h k k kk h k k

n n

k k h k h k k kk h k k

h k h kh k

M c M cD c

M c c c c M

c M c c M c M

c c M M

ξ ξξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

= ==

= < =

= < =

<

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦

−

∑ ∑∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

Dar ( ) ( ) ( )khkh MMM ξξ=ξξ , deci

( ) ( )( )[ ]∑∑==

ξ−ξ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ

n

kkkk

n

kkk MMccD

1

222

1

2

de unde (3.20.).

48

(P4). Inegalitatea lui Cebîşev. Fie ξ o variabilă aleatoare. Atunci

( ) ( ){ }( ) ( )2

2

εξ

<ε≥ξ−ωξωDMP . (3.21.)

pentru orice 0>ε . Această inegalitate poate fi pusă sub o formă foarte des folosită în aplicaţii şi

anume, luând ( )ξ=ε aD , (3.21.) se scrie

( ) ( )( ) 21a

aDMP <ξ≥ξ−ξ . (3.21'.)

De exemplu, dacă luăm 3=a , din (3.21'.) deducem

( ) ( )( )913 <ξ≥ξ−ξ DMP ,

adică probabilitatea ca o valoare a unei variabile aleatoare să iasă din intervalul

( ) ( ) ( ) ( )( )ξ+ξξ−ξ DMDM 3,3 , este mai mică decât 91

, deci majoritatea valorilor

variabilei aleatoare se vor grupa în jurul valorii medii pe un interval de lungime ( )ξD6 . Aceasta este regula celor σ3 .

3.3. Variabile aleatoare de tip continuu

Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate. Definiţie. Se numeşte variabilă aleatoare o funcţie :ξ Ω→ (definită pe

mulţimea evenimentelor elementare cu valori reale), astfel încât toate mulţimile de forma ( ){ }xAx <ωξω= aparţin lui Σ , pentru orice x∈ .

Vom da în continuare câteva proprietăţi ale variabilelor aleatoare.

(P1). Fie ξ o variabilă aleatoare şi c o constantă, atunci c+ξ , ξc , ξ , 2ξ , ξ1

cu

0≠ξ sunt variabile aleatoare. Într-adevăr funcţiile c+ξ şi ξc sunt variabile aleatoare deoarece

( ){ } ( ){ }cxxc −<ωξω=<+ωξω ,

( ){ }( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>

Σ∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>ωξω

Σ∈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<ωξω

=<ωξω0pentru

0pentru

c

c

cx

cx

xc .

De asemenea, ( ){ } ( ){ } ( ){ } Σ∈−>ωξω<ωξω=<ωξω xxx ∪ ,

( ){ } ( ){ } Σ∈<ωξω=<ωξω xx2 ,

49

( )

( ){ }( ){ } ( )

( ){ } ( ){ } ( )

1

0 pentru 0

10 pentru 0

1 pentru 00 0

x

x

xx

xx

ωξ ω

ω ξ ω

ω ξ ω ω ξ ω

ω ξ ω ω ξ ω ω ξ ω

⎧ ⎫⎪ ⎪< =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧⎪ < =⎪⎪ ⎧ ⎫⎪= < > <⎨ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎪⎪ ⎛ ⎞⎧ ⎫ >⎪ < > <⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎩

∩

∪ ∩

.

(P2). Fie ξ şi η două variabile aleatoare, atunci ( ) ( ){ } Σ∈ωη>ωξω , ( ) ( ){ } Σ∈ξη≥ωξω , ( ) ( ){ } Σ∈ξη=ωξω .

(P3). Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare, atunci η−ξ , η+ξ , ξη , ηξ

cu

0≠η , ( )ηξ,sup şi ( )ηξ,inf sunt de asemenea variabile aleatoare. Din (P2) rezultă

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } Σ∈+ωη<ωξω=<ωη−ωξω xx .

Faptul că η+ξ este variabilă aleatoare rezultă din ( )η−−ξ=η+ξ şi relaţia anterioară.

Observăm că

( ) ( )[ ]22

41

η−ξ−η+ξ=ξη , η⋅ξ=

ηξ 1

,

( ) ( )η−ξ+η+ξ=ηξ21,sup , ( ) ( )η−ξ−η+ξ=ηξ

21,inf .

Din faptul că ( )ηξ,sup şi ( )ηξ,inf sunt variabile aleatoare rezultă că partea pozitivă +ξ şi partea negativă −ξ a unei variabile aleatoare ξ sunt variabile aleatoare, deoarece ( )0,sup ξ=ξ+ , ( )0,inf ξ=ξ− .

Teorema 1. Dacă ξ este o variabilă aleatoare nenegativă, există un şir crescător

( ) *n nξ

∈ de variabile aleatoare simple, nenegative, care converge către ξ .

Demonstraţie. Notăm

( ) ( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥ωξ

=<ωξ≤−−

=ωξn

niii

n

i nnnn

n

pentru

2,...,2,1,22

1pentru2

1

pentru ,...2,1=n . Atunci nξ sunt variabile aleatoare simple, nenegative.

50

Dacă ( ) ∞<ωξ avem ( ) ( ) nn 21

<ωξ−ωξ deci ( ) ( )ωξ=ωξ∞→ nn

lim .

Dacă ( ) ∞=ωξ , atunci pentru orice *n∈ avem ( ) nn =ωξ deci ( ) ( )ωξ=ωξ

∞→ nnlim .

Dacă ξ nu este nenegativă, avem −+ ξ−ξ=ξ cu +ξ şi −ξ variabile aleatoare nenegative şi teorema este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă ( ) *n nξ

∈ este un şir de variabile aleatoare, atunci

*sup nn

ξ∈

,

*inf nn

ξ∈

, nnξ

∞→lim şi n

nξ

∞→lim sunt de asemenea variabile aleatoare.

Definiţie. Vom spune că variabilele aleatoare nξξ ,...,1 sunt independente dacă pentru toate sistemele reale nxx ,...,1 avem

( ) ( ) ( )nnnn xPxPxxP <ξ⋅⋅<ξ=<ξ<ξ ...,..., 1111 .

3.4. Funcţie de repartiţie

Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare ξ , funcţia ( ) ( ){ }( )xPxF <ωξω= (3.22.)

definită pentru orice x∈ . Din această definiţie rezultă că orice variabilă aleatoare poate fi dată prin

intermediul funcţiei sale de repartiţie. Dacă ξ este o variabilă aleatoare discretă cu ( )nn xPp =ξ= , In∈ , atunci din

(3.22.) rezultă ( ) ∑

<

=xnx

npxF (3.22.)

şi se numeşte funcţie de repartiţie de tip discret. Rezultă că în acest caz F este o funcţie în scară, adică ia valori constante pe intervalele determinate de punctele ix ( Ii∈ ).

Exemple 1. Fie variabila aleatoare

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

05,015,020,045,015,043210

: .

51

Figura 3.4

Conform cu (3.22.) rezultă

( )

0 pentru 00,15 pentru 0 10,15 0, 45 pentru 1 20,15 0, 45 0, 20 pentru 2 30,15 0, 45 0, 20 0,15 pentru 3 41,00 pentru 4

xxx

F xxx

x

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ + ≤ <⎪= ⎨ + + ≤ <⎪⎪ + + + ≤ <⎪

≥⎪⎩

Graficul ei este cel din figura 3.4.

2. În cazul unei variabile ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ −kmkk

m qpCk

: cu m valori, dacă evenimentele jA se

realizează cu probabilitatea jp , mj ≤≤1 , adică ( )jmPp j −=ξ= , funcţia de repartiţie corespunzătoare este

( )

1

1 2

1 2 1

0 pentru 0pentru 0 1pentru 1 2.....................................................................pentru 2 1...pentru 11

m

xp xp p x

F x

m x mp p px m

−

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ + ≤ <⎪= ⎨⎪⎪ − ≤ < −+ + +⎪

≥ −⎪⎩

52

Teorema 3. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare are următoarele proprietăţi: 1. Dacă 21 xx < , atunci ( ) ( )21 xFxF ≤ , 1 2,x x ∈ . 2. ( ) ( )xFxF =− 0 pentru orice x∈ . 3. ( )lim 0

xF x

→−∞= .

4. ( )lim 1x

F x→+∞

= .

Demonstraţie. 1. Fie 21 xx < două numere reale. Notăm ( ){ }11

xAx <ωξω= ,

( ){ }22xAx <ωξω= . Avem

21 xx AA ⊂ , deci

( ) ( ) ( ) ( )2211 xFAPAPxF xx =≤= .

2. Fie x∈ o valoare fixă şi fie ......21 <<<< nxxx un şir crescător de numere

reale convergent către x . Considerăm evenimentele 1x

A , ( ){ }xA <ωξω= ,

( ){ }1+<ωξ≤ω= nnn xxB , ,...2,1=n . Avem ...211∪∪∪ BBAA x= .

Evenimentele din membrul doi sunt incompatibile două câte două prin construcţie, astfel că

( ) ( ) ( ) ( ) ...211+++= BPBPAPAP x (3.24.)

Dar ( ) ( )xFAP = , ( ) ( )11xFAP x = ,

( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( )nnnnn xFxFxPxPBP −=<ωξω−<ωξω= ++ 11 , ,...2,1=n . Relaţia (3.24.) se scrie

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ...23121 +−+−+= xFxFxFxFxFxF (3.25.) deci ( ) ( )nn

xFxF∞→

= lim , unde

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1121 ... −−++−+= nnn xFxFxFxFxFxF sau ( ) ( )0−= xFxF . 3. Fie şirul de numere reale ......21 >>>> nxxx convergent la ∞− şi fie

evenimentele 1x

A şi ( ){ }1−<ωξ≤ω= nnn xxB , ,...2,1=n Evenimentele nB

sunt incompatibile două câte două şi ∪∞

=

=1

1n

nx BA deci ( ) ( )∑∞

=

=1

1n

nx BPAP sau

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]n

nn

SxFxFxFxFxFxFxF ...... 132211 +−++−+−= −

adică ( ) nnSxF

∞→= lim1 .

53

Dar ( ) ( )nn xFxFS −= 1 deci ( ) ( ) ( )nnxFxFxF

∞→−= lim11 . Ţinând seama de

faptul că şirul { } *n nx

∈ tinde la ∞− , rezultă ( ) ( ) 0lim =∞−=∞→

FxF nn.

4. Fie şirul crescător { } *n nx

∈ de numere reale care tinde la ∞+ şi fie evenimentele

( ){ }∞≤ωξω=Ω , ( ){ }1nD xω ξ ω= < , ( ){ }1̀+<ωξ≤ω= nnn xxD ,

,...2,1=n Avem ∪∞

=

=Ω0j

jD şi ∅=ji DD ∩ , ji ≠ , deci ( ) ( )∑∞

=

=Ω0j

jDPP

sau ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ......1 1121 +−++−+= + nn xFxFxFxFxF

de unde rezultă ( ) ( )∞+==∞→

FxF nnlim1 .

Reciproca acestei teoreme este următoarea: Teorema 4. Orice funcţie F monotonă, nedescrescătoare, continuă la stânga şi cu

( ) 0=∞−F , ( ) 1=∞+F este funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare definită pe un câmp de probabilitate convenabil ales.

Teorema 5. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Fie a şi b două numere reale cu ba < . Au loc egalităţile 1. ( ) ( ) ( )aFbFbaP −=<ξ≤ ; 2. ( ) ( ) ( ) ( )aPaFbFbaP =ξ−−=<ξ< ; 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bPaPaFbFbaP =ξ+=ξ−−=≤ξ< ; 4. ( ) ( ) ( ) ( )bPaFbFbaP =ξ+−=≤ξ≤ .

Demonstraţie. Fie evenimentele ( ){ }aA <ωξω= ; ( ){ }bB <ωξω= ;

( ){ }aC =ωξω= ; ( ){ }bD =ωξω= . Rezultă BA ⊆ , BCA ⊆∪ , DBA ∪⊂ şi

( ) ( )baPABP <ξ≤=C∩ , ( )( ) ( ) ( ) ( )CPAPBPBABP −−=C∪∩ ,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )DPCPAPCADBP +−=C∪∩∪ , ( )( ) ( ) ( ) ( )DPAPBPADBP +−=C∩∪ .

Ţinând seama că ( ) ( )aFAP = , ( ) ( )bFBP = rezultă cele patru egalităţi. Observaţie. Din ( ) ( ) ( )xFxFxP −+==ξ 0 , rezultă că putem scrie egalităţile

(2)-(4) şi sub forma 2'. ( ) ( ) ( )0+−=<ξ< aFbFbaP ; 3'. ( ) ( ) ( )00 +−+=≤ξ< aFbFbaP ; 4'. ( ) ( ) ( )aFbFbaP −+=≤ξ≤ 0 .

54

Exemple. 1. Se consideră funcţia F definită prin relaţiile

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

<=

1pentru10pentru

0pentru

1

02

xx

xaxxF ,

a constant. Se cere: a. Să se determine constanta a aşa încât F să fie funcţie de repartiţie. b. Să se calculeze ( )5,035,0 <ξ≤P .

Răspuns. a. Funcţia F este continuă în toate punctele axei reale cu excepţia punctului 1=x .

Ţinând seama de definiţia funcţiei de repartiţie trebuie ca F să fie continuă la stânga în orice punct x∈ şi ( ) 10 ≤≤ xF , deci în 1=x trebuie să avem

( ) ( ) 11010 ≤=−≤ FF , de unde rezultă 10 ≤≤ a . Dacă cerem ca F să fie continuă în 1=x , atunci 1=a .

b. Avem ( ) ( ) ( )aFbFbaP −=<ξ≤ de unde ( ) ( ) ( ) 1275,035,05,05,035,0 =−=<ξ≤ FFP .

2. Să se determine constantele a şi b astfel încât ( ) xbaxF arctg+= , x∈ să fie o funcţie de repartiţie. Să se calculeze ( )10 <ξ<P .

Răspuns. Din ( ) 1lim =+∞→

xFx

şi ( ) 0lim =−∞→

xFx

rezultă

( ) 12

arctglim =π

+=++∞→

baxbax

,

( ) 02

arctglim =π

−=+−∞→

baxbax

,

considerându-se determinarea 2

arctg2

π≤≤

π− x . Se obţine

21

=a , π

=1b şi

( ) ( ) ( )4100110 =+−=<ξ< FFP .

Definiţie. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Dacă există o funcţie reală f definită şi integrabilă pe aşa încât

( ) ( )∫∞−

=x

duufxF , (3.26.)

atunci F se numeşte funcţie de repartiţie absolut continuă, iar ξ se numeşte variabilă aleatoare absolut continuă. Funcţia f se numeşte densitate de probabilitate (repartiţie), iar expresia ( )dxxf se numeşte lege de probabilitate elementară.

55

Dacă F are o densitate de probabilitate f , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xxxPx

xFxxFxFxfxx Δ

Δ+<ξ≤=

Δ−Δ+

=′=→Δ→Δ 00

limlim .

Rezultă de aici că ( ) ( )dxxfdxxxP =+<ξ≤ (3.27.)

Densitatea de probabilitate are următoarele proprietăţi. 1. ( ) 0≥xf pentru orice x∈ ;

2. ( ) 1=∫+∞

∞−

duuf ;

3. Pentru orice ba < reali are loc relaţia ( ) ( )∫=<ξ≤b

a

dxxfbaP .

Exemple. 1. Se consideră funcţia

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

π>π≤≤

<=

xx

xxaxf

pentru0pentru

0pentru

0sin

0

Se cere a. Să se determine constanta reală a , astfel ca f să fie densitatea de

probabilitate a unei variabile aleatoare. b. Să se determine funcţia de repartiţie corespunzătoare.

c. Să se calculeze ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

<ξ≤4

0P .

Răspuns. a. Din proprietăţile densităţii de probabilitate deducem

( ) 12sin0

=== ∫∫π+∞

∞−

axdxadxxf

de unde 21

=a .

b. Fie F funcţia de repartiţie corespunzătoare. Avem ( ) ( )∫∞−

=x

duufxF .

Pentru 0<x , ( ) 0=xf deci ( ) 0=xF . Pentru 0 x π≤ < avem

( ) ( ) ( ) ( )xududuufduufxFxx

cos121sin

21

00

0

−==+= ∫∫∫∞−

.

Pentru x π≥ avem

56

( ) ( ) ( ) ( ) 1sin21

00

0

==++= ∫∫∫∫π

π

π

∞−

ududuufduufduufxFx

.

Deci

( ) ( )

pentru 001 1 cos pentru 021 pentru

x

F x x x

x

π

π

<⎧⎪⎪= − ≤ <⎨⎪⎪ ≥⎩

.

c. 4

22sin21

40

4

0

−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

<ξ≤ ∫π

uduP .

Graficul funcţiei f este cel din figura 3.5., iar al funcţiei F este cel din figura 3.6. Aria haşurată din figura 3.5. reprezintă probabilitatea cerută la punctul c.

Figura 3.5. Figura 3.6

2. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie (repartiţie uniformă) este

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤

<=

1pentru10pentru

0pentru

1

0

xx

xxxF

Să se calculeze densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare ξ

=η1ln .

Răspuns.

( ) ( )xx ePePxPxP −≤ξ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

ξ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

ξ=<η 111ln

de unde

( )⎩⎨⎧

≥<

−=

−η 0pentru0pentru

10

xx

exF x

şi

57

( )⎩⎨⎧

≥<

=−η 0pentru

0pentru0xx

exf x .

3. [4] Probabilitatea ca după x ore de funcţionare o lampă electronică să iasă din funcţiune în intervalul ( )dxxx +, este egală cu dx01,0 , independent de x . O lampă a lucrat 30 ore. Să se calculeze probabilitatea ca ea să iasă din funcţiune în următoarele 10 ore.

Răspuns. Fie ξ variabila aleatoare care exprimă durata de funcţionare a unei lămpi în ore şi fie A evenimentul „lampa lucrează nu mai puţin de x ore”, iar B evenimentul „lampa iese din funcţiune în intervalul ( )dxxx +, ”. Prin ipoteză ( ) dxABP 01,0= .

Avem ( ) ( ) ( ) ( )xFxPxPAP −=<ξ−=≥ξ= 11 ,

( ) ( ) ( )dxxfdxxxPBP =+<ξ≤= , unde am notat prin f densitatea de probabilitate a lui ξ . Deoarece AB ⊂ ,

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) dxxF

dxxfAPBP

APABPABP 01,0

1=

−===

∩.

Rezultă

( ) ( )[ ] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫

x

duufxFxf0

101,0101,0 .

Derivând în ambii membri în raport cu x se obţine ecuaţia diferenţială

( ) 001,0 =+ xfdxdf

cu soluţia ( ) xkexf 01,0= , 0≥x , k constantă. Din

( ) kdxekduuf x 10010

01,0

0

=== ∫∫∞

−∞

rezultă 01,0=k , iar ( ) xexf 01,001,0 −= , 0≥x . Probabilitatea cerută va fi

( )( )

1,03,0

4,03,0

30

0

01,0

30

0

01,010

0

01,0

11

01,030

4030 −−

−−

−

−−

−=−

=−

−=

ξ≤<ξ≤

=

∫

∫∫e

eee

dxe

dxedxe

PPP

x

xx

.

58

3.5. Momentele unei variabile de tip continuu

Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate şi ξ o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F . Fie f densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare ξ .

Definiţie. Se numeşte valoare medie a variabilei aleatoare ξ expresia

( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ξ dxxxfxxdFM . (3.28.)

Definiţie. Se numeşte moment de ordinul r , r∈ , al variabilei aleatoare continue ξ , expresia

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ξα=ξ dxxfxxdFxM rrrr , (3.29.)

iar expresia

( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

==ξβ=ξ dxxfxxdFxM rrrr (3.30.)

se numeşte moment absolut de ordin r al variabilei aleatoare ξ . În acelaşi mod în care s-au definit momentul centrat de ordinul r , dispersia,

abaterea medie pătratică în cazul variabilelor aleatoare discrete, se definesc şi pentru variabile aleatoare de tip continuu. Proprietăţile valorii medii şi ale dispersiei date pentru variabile aleatoare de tip discret se menţin pentru variabile aleatoare de tip continuu.

În aplicaţii se întâlnesc şi următoarele caracteristici: Definiţie. Se numesc asimetrie, sA , şi exces, E , numerele

( )( )ξμ

ξμ=

32

3sA ,

( )( )

422

3Eμ ξμ ξ

= − , (3.31.)

dacă momentele respective există. Exemplu. Fie ξ o variabilă aleatoare de tip continuu cu densitatea de probabilitate

( ) xexf −=21

, x∈ . Să se calculeze valoarea medie, dispersia, coeficientul de

asimetrie şi excesul. Răspuns. Avem

( ) 021

21

21

0

0

=+==ξ ∫∫∫+∞

−

∞−

+∞

∞−

− dxxedxxedxxeM xxx ,

( ) 221

0

222 ===ξ ∫∫+∞

−+∞

∞−

− dxexexD xdxx .

59

Din cauza simetriei repartiţiei date rezultă 0=sA .

( ) 24212

0

44 ==ξμ ∫

+∞− dxex x ,

deci 3=E . Definiţie. Se numeşte moment centrat în a de ordinul r al variabilei aleatoare

ξ , momentul de ordinul r al variabilei aleatoare a−ξ , iar momentele variabilelor

aleatoare ra−ξ se numesc momente absolute centrate în a de ordinul r .

Exemplu. [4] Fie o funcţie de repartiţie F cu derivate în toate punctele de continuitate şi astfel ca pentru i dat să existe 1+> ik aşa încât ( ) 0lim =⋅

−∞→

k

xxxF ,

( )[ ] 01lim =⋅−+∞→

k

xxxF . Să se arate că

( ) ( )ai

aM rii 11

1+μ

+= ,

unde ri 1+μ este momentul de ordinul 1+i centrat în a , iar

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

−−−−=a

aii

i dxxFaxdxxFaxaM 1 .

Răspuns. Avem

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫

∫

∞−

+

∞−

+

+∞ +∞++

′+−

++−

−

−′+−

+−+−

=

a iai

a

i

a

i

i

dxxFi

axxFi

ax

dxxFi

axxFi

axaM

11

11

111

11

.

Ţinând seama de condiţiile problemei rezultă

( ) ( ) ( ) ( )ai

dxxFaxi

aM ri

ii 1

1

11

11

+

+∞

∞−

+ μ+

=′−+

= ∫ .

Definiţie. Mediana unei variabile aleatoare ξ este numărul eM (sau ( )ξμ ) pentru care

( ) ( )ee MPMP ≤ξ≤≥≥ξ21

(3.32.)

sau

( )21

≤eMF şi ( )210 ≥+eMF . (3.33.)

60

Din definiţie rezultă următoarele proprietăţi: 1. Dacă ξ este o variabilă aleatoare cu ( ) mM =ξ şi ( ) σ=ξD , atunci are loc

inegalitatea 2σ≥− mM e . (3.34.)

Inegalitatea lui Cebâşev ne dă

( )212 ≤σ≥−ξ mP .

Ţinând seama de definiţia medianei, rezultă 22 σ+≤≤σ− mMm e .

2. 2. Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare independente care au aceeaşi funcţie de repartiţie F şi λ este un număr real oarecare, atunci au loc inegalităţile

( ) ( )ε≥η−ξ≤ε≥−ξ PMP e21

, (3.35.)

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

≥η−ξ≤ε≥η−ξ≤ε≥−ξ2

221 PPMP e (3.36.)

pentru orice 0>ε , cu eM mediana variabilei aleatoare ξ . Variabilele aleatoare fiind independente şi cu aceeaşi funcţie de repartiţie avem

( ) ( ) eM=ημ=ξμ şi

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, 0

0e e e e

e e

P M M P M MP

P M P M

ξ μ ε ξ ε ηξ η ε

ξ ε η

= − − − ≥ ≥ − ≥ − ≤ =− ≥

= − ≥ − ≤

Din (3.35) rezultă ( )210 ≤≤−η eMP , deci

( ) ( )ε≥−ξ≥ε≥η−ξ eMPP21

.

Pentru demonstraţia lui (3.36.), prima inegalitate rezultă din (3.35.) şi definiţia medianei. Pentru inegalitatea a doua observăm că

( ) ( ) ( )( )

2 2

22

PP

P P

P

ξ λ η λ εξ η ε

ε εξ λ η λ

εξ λ

= − − − ≥ ≤− ≥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − ≥ + − ≥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

Din definiţia medianei rezultă că în cazul unei variabile aleatoare ξ de tip continuu, mediana este unic determinată de egalitatea

61

( ) ( )21

== ∫∫+∞

∞− x

x

dxxfdxxf .

Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului prin care trece paralela la axa Oy , care împarte în două părţi egale aria limitată de curba de ecuaţie

( )xfy = şi axa Ox . Exemplu. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei densitate de probabilitate este

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π≤≤

π><

=

20pentru

2sau0pentru

sin

0

x

xx

xxf .

Să se determine mediana lui ξ .

Răspuns. Dacă ξ este de tip continuu, atunci ( )21

=eMF , de unde

e

eMeM

Mxxdx cos1cossin21

00

−=−=∫

deci 21cos =eM . Rezultă

3π

=eM (figura 3.7.).

Figura 3.7.

Inegalitatea lui Markov. Fie ξ o variabilă aleatoare pozitivă a cărei valoare medie este finită. Pentru orice 1>λ avem

( )( )λ

≤ξλ≥ξ1MP . (3.37.)

Notăm ( )ξ= Mm şi avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]mFmxdFmxxdFxxdFxxdFmmm

m

λ−λ=λ≥+== ∫∫∫∫+∞

λ

+∞

λ

λ+∞

100

,

62

de unde ( )λ

≤λ<ξ−11 mP .

Definiţie. Moda, Mo , a unei variabile aleatoare este valoarea variabilei aleatoare cea mai probabilă.


3.1. Fie ξ o variabilă aleatoare care ia valorile 11 −=x ; 02 =x , 13 =x . Dacă

( ) 1,0=ξM şi ( ) 9.02 =ξM să se determine probabilităţile ( )( )ii xPp =ωξ= , 3,2,1=i .

Răspuns. 4,01 =p ; 1,02 =p ; 5,03 =p . 3.2. Fie ξ o variabilă aleatoare care ia valorile 31 =x , 52 =x şi 3x cu probabilităţile

5,01 =p ; 3,02 =p şi 3p . Să se determine 3x şi 3p dacă ( ) 7=ξM . Răspuns. 203 =x , 2,03 =p . 3.3. Fie ξ şi η două variabile aleatoare cu ( ) 4=ξM ; ( ) 7=ηM . Să se determine

( )η+ξ 32M . Răspuns. ( ) 2932 =η+ξM .

3.4. [18] Fie ξ o variabilă aleatoare cu repartiţia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

i

i

px

: , ki ,...,2,1= . Presupunând

că valorile ix , ki ≤≤1 sunt scrise în ordine crescătoare să se arate că

( )( ) kn

n

nx

MM

=ξξ +

∞→

1

lim .

3.5. [8] Fie ( ) nii ≤≤ξ 1 , n variabile aleatoare independente, pozitive şi egal repartizate. Să

se arate că n

Mn

1...1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ++ξ

ξ;

nM

n

3...1

321 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ++ξξ+ξ+ξ

.

3.6. Fie ξ şi η două variabile aleatoare independente cu ( ) 42 =ξD , ( ) 72 =ηD . Să se calculeze ( )η+ξ 322D .

3.7. [8]. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă care ia valorile 1x şi 2x cu probabilitatea

p . Să se demonstreze că ( )2

122

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ξxxD .

3.8. Probabilitatea de apariţie a unui eveniment A în fiecare probă este 21

. Să se

calculeze probabilitatea ca numărul de apariţii al evenimentului A în 150 de experimente independente să fie cuprins între 45 şi 60 .

63

Răspuns.

( ) 50=ξM , 105060 =−=ε . ( ) 75,0102511050 2 =−≥<−ξP .

3.9. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă cu repartiţia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

1,04,03,02,02,05,04,03,0

: .

Utilizând inegalitatea lui Cebîşev să se estimeze probabilitatea ca ( ) 2,0<ξ−ξ M . Răspuns. ( ) 4,0=ξM , ( ) 01,02 =ξD , ( ) 75,025,012,04,0 =−≥<−ξP .

3.10. Se dă funcţia definită prin relaţia ( ) kxeaxxf −= 2 , 0>k , +∞<≤ x0 . Se cere

a. Să se determine constanta reală a astfel încât f să fie o densitate de repartiţie.

b. Să se calculeze funcţia de repartiţie corespunzătoare.

c. Să se determine probabilitatea ca ξ să ia valori în intervalul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

k1,0 .

Răspuns.

2

2ka = , ( ) kxekxxkxF −++−=

2221

22

,

086,0251110 ≅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ <ξ<

ekF

kP .

3.11. Fie ξ variabila aleatoare discretă din exemplul 3.9. Să se determine funcţia de repartiţie corespunzătoare şi să se traseze graficul ei.

3.12. Fie ξ o variabilă aleatoare a cărei densitate de probabilitate este

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∉

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∈=

4,0pentru

4,0pentru

0

2cos2

x

xxxf . Să se calculeze funcţia de repartiţie

corespunzătoare. 3.13. [23] Fie F funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare ξ . Dacă ( )ξM

există, să se arate că ( )[ ] 01lim =−+∞→

xFx

, ( ) 0lim =−∞→

xxFx

.

3.14. Să se determine valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare ξ a cărei

densitate de probabilitate este ( ) aax

ea

xf−

−=

21

, x∈ , 0a ≠ .

64

4. REPARTIŢII PROBABILISTICE CLASICE

4.1. Repartiţii de tip discret

În multe aplicaţii practice ale teoriei probabilităţilor întâlnim cazuri în care un experiment sau mai multe experimente analoage se repetă de un număr de ori, fiecare din ele ducând la realizarea sau la nerealizarea unui anumit eveniment. Ceea ce interesează este numărul de realizări ale evenimentului într-o serie de experimente. Experimentele pot fi efectuate în aceleaşi condiţii sau în condiţii diferite.

4.1.1. Teorema particulară a experimentelor repetate Să considerăm următoarea problemă: trei focuri independente sunt trase asupra

unei ţinte. Probabilitatea de a atinge ţinta pentru fiecare din ele este p . Să se determine probabilitatea ca două din cele trei focuri să atingă ţinta.

Fie A evenimentul „două din cele trei focuri ating ţinta” şi fie iA ( 3,2,1=i ) evenimentele „focul i a atins ţinta”. În aceste condiţii A se scrie

( ) ( ) ( )32C13

C21

C321 AAAAAAAAAA ∩∩∪∩∩∪∩∩=

Cele trei variante sunt incompatibile, iar evenimentele care le compun sunt independente. Rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32C13

C21

C321 APAPAPAPAPAPAPAPAPAP ++=

de unde ( ) ( )23 1P A p p= − . De o manieră analogă se rezolvă următoarea problemă mai generală: se fac n

experimente independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu probabilitatea p şi nu se realizează cu probabilitatea pq −=1 . Să se determine probabilitatea ca în cele n experimente evenimentul A să se realizeze exact de m ori.

Fie mB evenimentul „ A se realizează exact de m ori în cele n experimente” şi

iA evenimentele: „ A s-a realizat în experimentul de rang i ”, ( ni ,...,2,1= ). Fiecare variantă de realizare a lui mB se compune din m apariţii a evenimentului A şi din

mn − nerealizări ale lui A (deci mn − realizări ale lui CA ), deci ( )( )

( )nmnmn

nmm

nmmm

AAAA

AAAAA

AAAAAB

∩∩∩∩∩∩∪∪∪∩∩∩∩∩∩∪

∪∩∩∩∩∩∩

............

......

......

1CC

1

CC212

C1

CC121

+−−

++

+= (4.1.)

Numărul de maniere în care putem alege din cele n experimente, m experimente în care se realizează A este m

nC . Toate variantele sunt incompatibile, experimentele sunt independente, deci

65

( )oride

mm, p...p

mnC

mnmnnmm qqPBP −− ++==

deci mnmm

nnm qpCP −=, . (4.2.)

Probabilităţile nmP , au forma termenilor din dezvoltarea binomului ( )nqp + . Din această cauză câmpul de evenimente din această schemă probabilizat după regula (4.2.) se numeşte câmp binominal (este clar că evenimentele elementare ale câmpului asociat experimentului pot fi considerate ca elemente ale produsului cartezian

Ω××Ω=Ω ...n ). Această schemă probabilistică a fost cercetată în mod deosebit de J.Bernoulli, de

aceea se mai numeşte şi schema lui Bernoulli. Să calculăm valoarea medie şi dispersia unei variabile aleatoare repartizată

binominal. Avem

( ) ∑=

−=ξn

k

knkkn qpkCM

1

Pentru a calcula această sumă vom pleca de la egalitatea

( ) ∑=

−=+n

k

knkkkn

n qtpCqpt0

pe care o derivăm în raport cu t ,

( ) ∑=

−−− =+n

k

knkkkn

n qtpkCqptnp1

11 . (*)

De aici pentru 1=t ţinând seama că 1=+ qp obţinem

1

nk k n kn

k

kC p q np−

=

=∑ .

Rezultă ( ) npM =ξ . (4.3.)

Pentru a calcula dispersia va trebui să calculăm momentul de ordinul doi a variabilei aleatoare ξ ,

( ) ∑=

−=ξn

k

knkkn qpCkM

1

22 .

Din (*) prin înmulţire cu t obţinem

( ) ∑=

−− =+n

k

knkkkn

n qtpkCqptnpt1

1

egalitate care derivată în raport cu t ne dă

( ) ( ) ( ) ∑=

−−−− =+−++n

k

knkkkn

nn qtpCkqpttpnnqptnp1

12221 1

66

De aici pentru 1=t şi 1=+ qp obţinem ( ) ( ) 22 1 pnnnpM −+=ξ .

Rezultă ( ) ( ) ( )[ ] npqMMD =ξ−ξ=ξ 222 . (4.4.)

Moda unei repartiţii este valoarea variabilei aleatoare cea mai ridicată. Moda în cazul legii binomiale este o valoare întreagă cuprinsă între qnp − şi np q+ .

De exemplu pentru 9=n şi 4,0=p avem două valori modale 3 şi 4 . Exemple.

1. Doi parteneri cu forţă egală boxează 12 runde, probabilitatea ca oricare din ei să

câştige o rundă este 21

. Să se calculeze valoarea medie, dispersia şi abaterea medie

pătratică a variabilei aleatoare care reprezintă numărul de runde câştigate de unul din parteneri.

Răspuns. Variabila aleatoare ξ are repartiţia binomială ( )12

12 21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==ξ kCkP ,

12,...,1=k . Avem ( ) 6=ξM , ( ) 32 =ξD , ( ) 3=ξD . 2. O urnă conţine 30 bile albe şi 10 bile negre. Se fac 200 de extracţii din urnă

punând după fiecare extracţie bila înapoi în urnă. Se cere o margine inferioară pentru probabilitatea ca numărul de apariţii a bilei albe în cele 200 de extracţii să fie cuprins între 100 şi 120 .

Răspuns. Dacă notăm prin ξ variabila aleatoare care reprezintă numărul de apariţii ale bilei albe, ξ are repartiţia binomială. Avem probabilitatea ca într-o extracţie să

obţinem o bilă albă 43

=p , deci 41

=q . ( ) 150=ξM , ( ) 5,372 =ξD . Se aplică

inegalitatea lui Cebîşev, şi se obţine

( ) ( ) 625,0100

5,37110100120100 =−≥<−ξ=<ξ< PP .

3. La controlul de calitate este controlat un lot de piese. Probabilitatea ca luând la întâmplare o piesă din lot să fie defectă este 005,0 . Sunt controlate 100 piese din lot, care sunt luate pe rând şi repuse fiecare înapoi în lot după ce a fost controlată. Se cere

a. Probabilitatea ca între cele 100 piese controlate să avem cel mult patru piese defecte.

b. Cel mai probabil număr de piese bune. Răspuns.

a. ( ) ( )∑∑=

−

=

==4

0

100100

4

0,100 995,0005,0

k

kkk

kk CPP

b. [ ] [ ]99,0005,0005,0100 =−⋅

67

4. Un grup de 40 elevi audiază un curs de 3 trimestre. La terminare dau un examen la care li se pune fiecăruia câte o întrebare din materia fiecărui trimestru. Ştim că 5 elevi cunosc în întregime materia predată, 10 elevi cunosc %90 din materia predată pe fiecare trimestru, 11 elevi cunosc câte %80 din materie, 7 elevi %60 , 5 elevi câte %50 şi doi elevi nu cunosc nimic din materia predată. La examen un elev răspunde bine la primele două întrebări şi fals la a treia. Care este probabilitatea ca el să fie unul din elevii care cunosc: întreaga materie, %90 , %80 , %60 , %50 ,

%0 din întreaga materie. Răspuns. Fie evenimentele −1A cinci elevi cunosc întreaga materie; 102 −A elevi cunosc %90 din materie; 113 −A elevi cunosc 80 din materie; 74 −A elevi cunosc

%60 ; 55 −A elevi cunosc câte %50 din materie şi 26 −A elevi nu cunosc nimic din

materia predată. Avem ( )51

1 =AP , ( )41

2 =AP , ( )4011

3 =AP , ( )407

4 =AP ,

( )81

5 =AP , ( )201

6 =AP .

Fie evenimentul −X un elev răspunde bine la două întrebări şi fals la a treia.

Avem ( ) 01 =AXP , ( )101

109 2

232 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= CAXP , ( )

102

108 2

233 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= CAXP ,

( )104

106 2

234 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= CAXP , ( )

105

105 2

235 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= CAXP , ( ) 06 =AXP .

Vom da în continuare două din cele mai cunoscute generalizări ale schemei binominale.

4.1.2. Teorema generală a experimentelor repetate.

Presupunem că se fac n experimente independente, în fiecare din ele un

eveniment A se poate realiza cu probabilitatea ip , ni ,...,2,1= şi nu se realizează cu probabilitatea ii pq −=1 . Să se determine probabilitatea ca în cele n experimente evenimentul A să se producă exact de m ori.

Cu notaţiile făcute la schema binominală avem (4.1.), de unde nmnmnnnnmmnm ppqqqpqppqqqpppP .................. 1211321121, +−−−+ +++= .

Această probabilitate este egală cu suma tuturor produselor posibile în care p intră de m ori, cu indici diferiţi, iar q de mn − ori, cu indici diferiţi.

Observând că efectuând produsul a n binoame ( )ii qzp + , ni ,...,2,1= se obţine

( ) ( )∏=

+=ϕn

iiin qzpz

1

(4.5.)

68

unde z este un parametru oarecare şi atunci nmP , este coeficientul lui mz din acest

produs. Această funcţie se numeşte funcţie generatoare a probabilităţilor nmP , . Avem

( ) ∑∏==

=+n

m

mnm

n

iii zPqzp

0,

1

(4.6.)

cu 10

, =∑=

n

mnmP .

Este evident că teorema particulară a experimentelor repetate rezultă din teorema generală pentru ppp n === ...1 şi qqq n === ...1 . În acest caz funcţia generatoare

devine ( ) ( )nn qpzz +=ϕ sau

( ) ∑=

−=+n

m

mmnmmn

n zqpCqpz0

,

de unde formula (4.2.). În unele experimente practice se cere probabilitatea de realizare a evenimentului A

de cel puţin m ori în cele n experimente. Notând cu mC acest eveniment avem

nmmm BBBC ∪∪∪ ...1+= , de unde ( ) nnnmnmm PPPCP ,,1, ...+++= +

sau

( ) ∑=

=n

mknkm PCP , . (4.7.)

Schema probabilistică descrisă se numeşte schema lui Poisson. Exemple.

1. La un concurs de matematică, 3 candidaţi primesc câte un plic care conţine n ( 3>n ) bilete cu probleme de algebră şi geometrie. Cele trei plicuri conţin respectiv câte 3,2,1 subiecte de algebră. Fiind examinaţi, cei trei candidaţi extrag fiecare câte un bilet din plic. Extragerea făcându-se la întâmplare, să se afle probabilitatea următoarelor evenimente:

a. Trei candidaţi să fie examinaţi la geometrie. b. Nici un candidat să nu fie examinat la geometrie. c. Cel puţin un candidat să fie examinat la algebră. (O.M., etapa judeţeană, 1970)

Răspuns. Se aplică schema lui Poisson. Avem

( )

( ) ( ) ( )( )( )

3

3 2 23

1 1 2 2 3 3

1 6 11 18 6 22 18 1 2 3

n n nz z z zn n n n n n

z n z n n z n n nn

ϕ − − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤= + − + − + + − − − ⎦⎣

69

a. Termenul liber din polinomul ( )z3ϕ va fi ( )( )( )

33,0321

nnnnP −−−

= .

b. Coeficientul lui 3z din ( )z3ϕ este 33,36n

P = .

c. 3,01 PP −= . 2. [11] Un aparat se compune din 5 elemente: fiabilitatea (probabilitatea de

funcţionare fără defecţiune într-un interval de timp) elementelor este: 9,01 =p ; 95,02 =p ; 8,03 =p ; 85,04 =p ; 91,05 =p . Dacă nici unul din elemente nu

este în pană, probabilitatea de funcţionare a aparatului fără defecţiuni este egală cu 1; dacă unul din cele cinci elemente este în pană, această probabilitate este 7,0 , iar dacă două elemente sunt în pană, aparatul nu poate funcţiona. Să se determine probabilitatea ca aparatul să poată efectua munca pentru care este destinat.

Răspuns. Facem următoarele ipoteze −1A nici un element nu este în pană; −2A un element este în pană. Probabilităţile lor vor fi ( ) 5,01 PAP = ; ( ) 5,12 PAP = . Cum

( ) ( )( )( )( )( )...264,0530,0

91,009,085,015,08,02,095,005,09,01,05

++=+++++=ϕ

zzxzzzz

de unde ( ) 530,01 =AP , ( ) 364,02 =AP . Notând cu A evenimentul „aparatul efectuează munca pentru care este destinat”

formula probabilităţii totale ne dă ( ) 784,07,0364,01530,0 =⋅+⋅=AP .

4.1.3. Repartiţia Poisson de parametru λ. Să presupunem că în repartiţia binominală (4.2.) luăm λ=np (constant). Să

determinăm în acest caz valorile probabilităţilor pentru ∞→n . Obţinem

( ) ( ) λ−−

∞→∞→

λ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−

λ⋅

+−−= e

knknknnnP

kknk

knnkn !1

!1...1limlim , .

Notând nknk Pp .lim∞→

= , avem

λ−λ= e

kp

k

k ! (4.8.)

şi 1!00

==λ

= λλ−∞

=

λ−∞

=∑∑ ee

kep

k

k

kk , deci probabilităţile definite prin (4.7.) sunt termenii

unei repartiţii.

70

Definiţie. Repartiţia determinată prin probabilităţile (4.7.) se numeşte repartiţie Poisson de parametru λ , iar variabila aleatoare

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛λλλξ λ−λ−λ−λ− ek

eee

kk

!!2!1

210: 2

se numeşte variabilă aleatoare Poisson. Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare ξ . Avem

( ) ( ) λ=⋅λ=−λ

λ=λ

=ξ λλ−∞

=

−λ−

∞

=

λ− ∑∑ eek

eek

kMk

k

k

k

1

1

0 !1!

deci ( ) λ=ξM . (4.9)

De asemenea,

( ) ( )

( )

( )

2 2 2

0 0

1 02

2 2

2

! !

1! !

2 !

k k

k k

k k

k k

k

k

M k e k k k ek k

k k e k ek k

ek

λ λ

λ λ

λ

λ λξ

λ λ

λλ λ λ λ

∞ ∞− −

= =

∞ ∞− −

= =

−∞−

=

= = − + =

= − + =

= + = +−

∑ ∑

∑ ∑

∑

deci ( ) λ=ξ2D . (4.10.)

Moda este o valoare întreagă cuprinsă între 1−m şi m . Una din cele mai importante proprietăţi a repartiţiei Poisson este aceea că valoarea

medie şi dispersia variabilei aleatoare ξ sunt egale. În practică dacă media şi dispersia calculată pe baza datelor observate sunt egale sau foarte apropiate, putem considera că repartiţia teoretică a variabilei studiate este de tip Poisson.

Repartiţia Poisson este denumită legea evenimentelor rare, datorită proprietăţii sale de a aproxima o repartiţie binomială când numărul experimentelor n este foarte mare iar probabilitatea de apariţie a evenimentului considerat este foarte mică.

Exemplu. O maşină fabrică un număr mare de piese dintre care unele sunt defecte. Se fac observaţii pe 100=N de eşantioane a 40=n piese, fiecare alese la întâmplare. Obţinem următoare distribuţie a pieselor defecte:

71

Nr. piese defecte ix Nr. eşantion in

0 28 1 40 2 21 3 7 4 3 5 1

peste 6 0 total 100

Făcând ipoteza că proporţia pieselor defecte rămâne constantă, numărul X al pieselor defecte în fiecare eşantion este o variabilă aleatoare binomială de parametru

40=n şi p valoare necunoscută. Media de selecţie este 2,1100120

===∑

N

xnx i

ii

şi

putem estima 03,040

2,1===

nxp .

În acest exemplu putem aproxima legea binomială cu legea Poisson, proporţia pieselor defecte fiind suficient de mică iar efectivul fiecărui eşantion, este 40=n .

Comparaţia între frecvenţele observate şi probabilităţile ajustate prin legea binomială şi Poisson rezultă din tabelul:

Număr piese defecte

Frecvenţa de observaţie

Probabilitate lege

binomială

Probabilitate lege

Poisson 0 28,0 2957,0 3012,0

1 40,0 3658,0 3614,0

2 21,0 2206,0 2169,0

3 07,0 0864,0 0867,0

4 03,0 0247,0 0260,0

5 01,0 0055,0 0062,0

6 0 0010,0 0012,0

7 0 0001,0 0002,0

peste 8 0 0002,0 0002,0 Total 1 0000,1 0000,1

72

4.1.4. Schema polinomială. O urnă conţine bile de culorile sccc ,...,, 21 în proporţii cunoscute; deci cunoaştem

probabilitatea ip de apariţie într-o extracţie, a unei bile de culoarea ic , si ,...,2,1= . Se fac n extracţii a câte o bilă, cu condiţia ca la fiecare extracţie urna să aibă aceeaşi compoziţie. Fie αA evenimentul ca în extracţiile efectuate să apară iα bile de culoarea

ic , ( si ,...,1= ), deci ( )sαα=α ,...,1 . Probabilitatea acestui eveniment este

( ) ss

s

pppnAP αααα ααα= ...

!!...!! 2

21

121

. (4.11.)

Această probabilitate se mai notează cu ( )snP αα ,...,; 1 . Experimentul descris împreună cu câmpul de evenimente asociat, probabilizat

după regula (4.11.) se numeşte schemă polinomială. Câmpul probabilizat din această schemă se numeşte câmp polinomial.

Exemplu. [23] Un muncitor produce cu probabilităţile 9,0 ; 07,0 şi 03,0 respectiv o piesă bună, o piesă cu un defect remediabil şi un rebut. Muncitorul a produs trei piese. Care este probabilitatea ca între cele trei piese să fie cel puţin o piesă bună şi cel puţin un rebut? Răspuns. Pentru calcularea acestei probabilităţi aplicăm schema polinomială şi anume

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 08667,003,007,09,0!2!0!1

!3

03,007,09,0!1!0!2

!303,007,09,0!1!1!1

!32,0,1;31,0,2;31,1,1;3

20

02

=⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

=++= PPPP

4.1.5. Schema bilei nerevenite

Se consideră o urnă cu următoarea structură: 1a bile de culoarea 1c ; 2a bile de

culoarea 2c ; ...; sa bile de culoarea sc . Se fac n extracţii fără a repune bila extrasă înapoi în urnă (experienţa este echivalentă cu extragerea a n bile deodată). Fie αA evenimentul aleator „apariţia a exact kα , ( sk ,...,1= ) bile de culoarea kc în grupul

celor n bile extrase unde ( )sαα=α ,...,1 , kk a≤α≤0 , ns

kk =α∑

=1

. Avem un câmp

de evenimente pe care îl vom probabiliza după definiţia clasică a probabilităţii. Numărul cazurilor egal posibile de realizare a evenimentului αA este dat de

nsaaC ++...1

(toate posibilităţile de extracţie a n bile din totalul de bile aflate în urnă).

Numărul cazurilor favorabile realizării lui αA este dat de ssaaa CCC ααα ...2

21

1. Deci

73

( ) ( ) nsaa

ssaaa

s C

CCCnPAP

++

ααα

α =αα=...1

22

11

1

...,...,; . (4.12.)

Experimentul descris împreună cu câmpul de evenimente asociat, probabilizat după regula dată, se numeşte schemă hipergeometrică sau schema bilei nerevenite.

Exemple. 1. O urnă conţine 30 bile dintre care 10 bile albe, 8 negre, 7 roşii şi 5 verzi. Se

extrag 5 bile din urnă fără a repune bila extrasă înapoi. Se cere probabilitatea ca între cele 5 bile extrase să avem:

a. Trei bile albe, o bilă roşie şi una verde. b. O bilă albă, două negre şi două roşii.

Răspuns. Se aplică schema bilei nerevenite. Avem

a. ( ) 530

15

17

08

3101,1,0,3;5

CCCCCP = ; b. ( ) 5

30

05

27

28

1100,2,2,1;5

CCCCCP = .

2. Pentru controlul de calitate al unui lot de N piese se extrag deodată n piese ( Nn < ). Ştiind că în lot avem a piese rebut şi b piese bune ( Nba =+ ) să se scrie tabloul de distribuţie a variabilei aleatoare care reprezintă numărul de piese rebut dintre cele n extrase. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia acestei variabile.

Răspuns. Variabila aleatoare ξ poate lua valorile n,...,1,0 cu probabilităţile

( ) nN

knb

ka

CCCkP

−

==ξ , nk ,...,1,0= deci

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ξ −

nN

knb

ka

CCCk

: , nk ,...,1,0= .

Avem

( ) ∑∑=

−−−

=

− ==ξn

k

knb

kan

N

n

k

knb

kan

N

CCCaCkC

CM

1

11

1

1,

dar 11

11

1

0

11

1

11

−−

−−+

−

=

−−−

=

−−− ===∑∑ n

Nn

ba

n

k

knb

ka

n

k

knb

ka CCCCCC

şi

( ) aNn

CCaM n

N

nN ==ξ−−11 . (4.13.)

Notăm Nap = ,

Nbq = deci ( ) npM =ξ .

De asemenea, ( ) ( )( ) ( )ξ+−ξξ=ξ MMM 12 , dar

74

( )( )( ) ( )

( ) ( ) 22

22

2

22

2

11

111

−−

−−+

=

−−−

=

−

−=−=

=−=−=−ξξ ∑∑

nN

nba

n

k

knn

ka

n

k

knb

kan

N

CaaCaa

CCaaCCkkMC

de unde

( ) ( ) ( ) ( )[ ]nNnaNNna

Nan

Nna

NanM −+−

−=+

−−

−=ξ 111

112 .

Dispersia va fi

( )112

2

−−

=−−

⋅=ξN

nNnpqN

nNNnabD . (4.14.)

4.2. Repartiţii de tip continuu

În cele ce urmează ne vom referi la repartiţiile unidimensionale de tip continuu. Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate, mulţimea variabilelor aleatoare

definite pe Ω şi mulţimea funcţiilor de repartiţie. Vom presupune că pentru orice ∈F există variabila aleatoare ∈ξ a cărei funcţie de repartiţie este F .

4.2.1. Repartiţia de densitate uniformă

În multe probleme se întâlnesc variabile aleatoare continue ale căror valori sunt

într-un anumit interval şi astfel că toate valorile sunt echiprobabile (au aceeaşi densitate de probabilitate).

De exemplu, la cântărirea unui obiect cu o balanţă de precizie şi nedispunând de greutăţi mai mici de un gram, rezultatul cântăririi arată că greutatea obiectului este

cuprinsă între k şi 1+k grame. Spunem că greutatea obiectului este 21

+k grame.

Admitem că eroarea comisă ξ este o variabilă aleatoare repartizată cu o densitate

uniformă în intervalul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21,

21

.

Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie uniformă pe [ ]ba, , funcţia de repartiţie a cărei densitate de probabilitate este

( ) [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

∉

∈−=

bax

baxabxf

,pentru

,pentru

0

1. (4.15.)

Funcţia de repartiţie uniformă va fi dată de aria cuprinsă între graficul curbei ( )xfy = şi axa Ox care se află la stânga lui x . Deci

75

( )

pentru0

pentru

1 pentru

x a

x aF x a x bb a

b x

<⎧⎪ −⎪= ≤ <⎨ −⎪⎪ ≤⎩

(4.16.)

iar graficul ei este cel din figura 4.1.

Figura 4.1.

Definiţie. Variabila aleatoare ξ se numeşte uniformă pe [ ]ba, dacă are

repartiţie uniformă pe [ ]ba, .

Din cauza simetriei legii uniforme, mediana lui ξ este egală cu 2

ba +. Avem

( )2

1 abxdxab

Mb

a

+=

−=ξ ∫ ,

( ) ( )122

1 222 abdxbax

abD

b

a

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=ξ ∫ .

Din cauza simetriei, coeficientul de asimetrie este nul.

( ) ( )( )11 11

+−−

=−

=ξ++

∫ kababdxx

abM

kkb

a

kk ,

( ) ( )802

1 44

4abdxbax

ab

b

a

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=ξμ ∫ ,

iar excesul va fi ( )( ) 2,132

2

4 −=−ξμξμ

=E .

76

Să calculăm acum probabilitatea ( )β<ξ<αP , unde variabila aleatoare ξ este repartizată uniform în [ ]ba, şi [ ] [ ]ba,, ⊂βα . Din punct de vedere geometric această probabilitate este egală cu aria haşurată din figura 4.2. Este evident că

( )ab

P−α−β

=β<ξ<α (4.17.)

adică probabilitatea cerută este egală cu raportul dintre lungimile celor două intervale.

Figura 4.2.

Exemple. 1. Se măsoară diametrul unui cerc şi se obţin diverse rezultate care sunt interpretate ca

valori ale unei variabile aleatoare ξ . Să se determine repartiţia ariei cercului ştiind că ξ are o repartiţie uniformă în intervalul [ ]ba, de lungime 1.

Răspuns. Avem

( )⎩⎨⎧

>≤≤<

=ξ bxaxbxa

xf,pentru

pentru01

.

Din aria cercului 4

2πξ=S rezultă

π=ξ

S2 deci pentru ba <<0 ,

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<π

π<≤

π

π<

π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

= ξ

xb

bxa

ax

xxFxFS

2

22

2

4pentru

44pentru

4pentru

1

2

0

2

2. Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare independente repartizate uniform în

[ ]1,0 . Să se determine densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare ηξ

=ζ .

77

Răspuns.

( ) ( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

∉∈

== ηξ 1,0pentru1,0pentru

01

xx

xfxf ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

20 0 0

1f x u f u f ux du uf ux du uf u du

xζ ξ η ξ ξ= = =∫ ∫ ∫

de unde

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤<=ζ

1pentru

10pentru

21

21

2 x

x

x

xf .

3. Dacă nξξ ,...,1 sunt n variabile independente uniforme pe [ ]1,0 să se arate că

variabila aleatoare ( ) ∑=

ξ=ζn

kkn

1

are densitatea de repartiţie

( )( ) ( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≤+≤≤≤

<

−=ζ

xn

nkxk

x

xQn

xf knn

pentru

10pentru

0pentru

0!1

10

, ,

unde ( ) ( ) ( ) ( ) 1111

, 1...1 −−− −−++−−= nkn

knn

nkn kxCxCxxQ

Răspuns. Vom raţiona prin recurenţă asupra lui n . Pentru ( ) 212 ξ+ξ=ζ ,

( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫−

+∞

∞−ζ =−=

x

x

dzzfdxzfzxfxf1

2

deci

( )( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤≤<≤

<

−−=ζ

2pentru21pentru10pentru

0pentru

012

0

2

xxx

x

xxx

xf

Pentru ( )nζ se observă că ( )xfζ este nulă în afara segmentului [ ]n,0 , iar pe acest segment

( )( ) ( )( )∫−

−ζζ =x

xnn dttfxf

11 .

78

4.2.2. Legea normală Legea de repartiţie normală este o lege limită întâlnită frecvent în aplicaţii practice. Se poate arăta că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare

independente urmând o lege oarecare, pentru suficient de puţine restricţii, tinde către o lege normală.

Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie normală notată prin ( )2,; σ⋅Φ m funcţia de repartiţie definită prin densitatea de probabilitate

( )( )

222

2

21,; σ

−−

πσ=σ

mx

emxf (4.18.)

m şi 2σ fiind constante, numite parametrii repartiţiei. Graficul densităţii ( )2,; σmxf este cel din figura 4.3.

Figura 4.3.

Funcţia de repartiţie este

( ) ( )( )

∫∫∞−

σ

−−

∞− πσ=σ=σΦ

x mux

duedumufmx 22

2

22

21,;,; (4.19.)

Facem schimbarea de variabilă tmu=

σ−

şi se obţine

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−

Φ=π

=σΦ ∫σ−

∞−

−1,0;

21,; 2

22 mxdtemx

mxt

(4.20.)

Integrala (4.20.) nu poate fi exprimată prin funcţii elementare, dar poate fi calculată cu ajutorul funcţiilor speciale. Pentru astfel de funcţii, des întâlnite în practică, s-au întocmit tabele. Din (4.20.) se vede că este suficient să cunoaştem valorile numerice ale funcţiei ( )1,0;⋅Φ pentru a deduce valorile numerice ale funcţiei ( )2,; σ⋅Φ m .

79

Vom nota

( ) ∫∞−

−

π=Φ

x t

dtex 2

2*

21

.

Variabila aleatoare ξ se numeşte normală ( )2,σmN dacă are funcţia de repartiţie ( )2,; σ⋅Φ m . Pentru ξ vom calcula caracteristicile numerice esenţiale: valoarea medie, dispersia şi momentele centrate.

Pentru

( ) ( )( )

∫∫∞

∞−

σ

−−∞+

∞− πσ=σ=ξ dxxedxmxxfM

mx22

2

2

21,; ,

făcând schimbarea de variabilă tmx=

σ−

2, se obţine

( ) ( ) ∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

−

π+

πσ

=+σπ

=ξ dtemdttedtemtM ttt 222 221.

Se observă uşor că prima integrată este nulă, iar cea de a doua este integrala Euler-Poisson

π== ∫∫+∞

−+∞

∞−

−

0

222 dtedte tt .

Rezultă ( ) mM =ξ , (4.21.)

deci parametrul m este tocmai valoarea medie a lui ξ . De asemenea,

( ) ( )( )

∫∞+

∞−

σ

−−

−πσ

=ξ dxemxDmx22

2

22

21

.

şi u aceeaşi schimbare de variabilă tmx=

σ−

2, se obţine

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

πσ

=πσ

=ξ ∫∫∞+

∞−

−

∞−

∞+−

∞+

∞−

− dtetedtetD ttt 22222

2 2

de unde ( ) 22 σ=ξD . (4.22.)

Formula (4.18.) ne arată că centrul de dispersie m este centrul de simetrie al repartiţiei. Dacă mx − îşi schimbă semnul, expresia (4.18.) rămâne neschimbată. Dacă m îşi schimbă valoarea, curba de densitate se deplasează de-a lungul axei Ox x fără a-şi schimba forma (figura 4.4). Deci m caracterizează poziţia repartiţiei pe axa Ox . Parametrul σ caracterizează forma curbei de densitate. Ordonata maximă a curbei este

80

invers proporţională cu σ . Pentru 0=m şi 321 σ>σ>σ (figura 4.5) ne arată forma curbei de densitate.

În multe aplicaţii pentru caracterizarea dispersiei legii normale se utilizează măsura de precizie care este mărimea

21

σ=L (4.23.)

Figura 4.4.

Figura 4.5.

Momentul centrat de ordin k va fi

( ) ( ) ( )( )

( )

2

22 2

2

1; ,2

2

x mk k

k

k

k t

x m f x m dx x m e

t e

σμ σσ π

σ

π

−+∞ +∞ −

−∞ −∞

+∞−

−∞

= − = − =

=

∫ ∫

∫

81

Integrând prin părţi avem

( )

( )( )∫

∫∞+

∞−

−−

∞+

∞−

−−

∞−

∞+−−

πσ−

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+−

πσ

=μ

dtetk

dtetket

tkk

tkttk

k

22

2221

221

21

212

de unde ( ) 2

21 −μσ−=μ kk k . (4.24.)

Din această formulă de recurenţă obţinem 22 σ=μ , 4

4 3σ=μ , 66 15σ=μ , …,

( ) kk k σ−=μ !!1 , unde s-a notat prin ( )!!1−k produsul tuturor numerelor impare de la

1 la 1−k .

Asimetria este 033 =

σμ

=sA , iar excesul 0344 =−

σμ

=E .

Să calculăm în continuare probabilitatea ( ) ( ) ( )aFbFbaP −=<ξ≤ unde ( )xF este repartiţia lui ξ . Ţinând seama de (4.19) rezultă (figura 4.6)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−

Φ=<ξ≤mambbaP ** . (4.25.)

De exemplu, avem ( ) ( ) ( ) 341,05000,08413,001 ** =−≅Φ−Φ=σ+<ξ≤ mmP

( ) ( ) ( ) 136,0122 ** ≅Φ−Φ=σ+<ξ≤σ+ mmP ( ) ( ) ( ) 012,02332 ** ≅Φ−Φ=σ+<ξ≤σ+ mmP ( ) ( ) ( ) 001,03443 ** ≅Φ−Φ=σ+<ξ≤σ+ mmP

unde valorile lui ( )t*Φ sunt date în tabelul 2 din anexe.

Figura 4.6.

82

Se observă că suma celor trei valori: 341,0 ; 136,0 ; 012,0 (au o precizie de

000 /1 ) este aproximativ egală cu 5,0 ceea ce arată că pentru repartiţia normală a

unei variabile aleatoare, dispersia se limitează la intervalul σ± 3m ceea ce permite ca, daţi fiind m şi 2σ , să se poată indica intervalul în care variabila aleatoare ia toate valorile posibile cu o probabilitate mare sau practic ia toate valorile posibile. Această metodă de estimaţie se numeşte în statistică „legea celor trei sigma” (vezi şi paragraful 3.2).

În aplicaţii, repartiţiile binomială şi Poisson se asimilează unei repartiţii normale ( )1,0N dacă pentru repartiţia binominală 50≥n şi 18≥np şi se ia ca

variabilă aleatoare variabila normată npq

np−+ξ 5,0, asimptotic normală ( )1,0N , iar

pentru repartiţia Poisson, dacă 18≥λ , variabila aleatoare fiind în acest caz

λλ−+ξ 5,0

.

Exemple. 1. La un atelier se fabrică bile cu un diametru de 8,0 cm. Defectele de fabricaţie

dau o eroare a diametrului repartizată după o lege normală 0=m (nu avem erori sistematice) şi 001,0=σ cm. La control sunt date ca rebuturi toate bilele care trec printr-un inel de diametru de 798,0 cm şi cele care nu pot trece printr-un inel de diametru de 802,0 cm. Să se determine probabilitatea ca o bilă luată la întâmplare să fie refuzată.

Răspuns. Fie evenimentul −A bila este refuzată. Atunci 21 AAA ∪= unde 1A este evenimentul ce corespunde cazului când diametrul 798,0<d , iar 2A pentru

802,0>d . Vom calcula ( ) ( ) ( )002,0802,0798,0C <−=<<= dmdPdPAP

unde 8,0=dm este diametrul normal. Avem

( ) ( )C * *0,0022 1 2 2 1 2 0,9772 1 0,9540,001

P A ⎛ ⎞= Φ − = Φ − ≅ ⋅ − ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

,

deci ( ) 046,0954,01 =−≅AP .

2. 500 de aparate de tipul A şi 1000 de aparate de tipul B cu aceeaşi destinaţie sunt în serviciu. Ele trebuie reparate după exploatare cu probabilităţile 3,0 respectiv 4,0 . Se cere să se determine:

a. probabilitatea ca numărul de aparate ce trebuie reparate să fie cuprins între 250 şi 350 .

83

b. numărul de reparaţii n , ce trebuie efectuate în atelier pentru ca probabilitatea p a numărului de aparate în reparaţie să fie 90,0 .

Răspuns. a. Fie evenimentul −A aparatul trebuie reparat. Numărul de aparaţii a

evenimentului A este o variabilă aleatoare repartizată normal cu ( ) 5504,010003,0500 =⋅+⋅=ξM

( ) 3456,04,010007,03,05002 =⋅⋅+⋅⋅=ξD ( ) ( ) ( )

1345502

50300350250350250

* −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ=

=<−ξ=<ξ<≅≤ξ≤ PPP

b. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ==<ξ34530090,0 * nnP . Din tabele avem ( ) 90,027,1* ≅Φ deci

27,1345300

=−n

, de unde rezultă 323≅n .

Mediana unei variabile aleatoare repartizată normal, este numărul egal cu jumătate din lungimea unui interval de pe axa absciselor simetric în raport cu punctul m şi care este baza figurii de arie egală cu jumătate din aria mărginită de axa Ox şi curba de repartiţie (figura 4.7.).

Figura 4.7. Dacă ξ este o variabilă aleatoare repartizată normal, din definiţie rezultă că

( )21

=<−ξ eMmP (4.26.)

deci, din (4.23.) ţinând seama de simetria domeniului în raport cu centrul de dispersie rezultă

( )2112 * =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛σ

Φ=<−ξ ee

MMmP (4.27.)

84

de unde

75,0* =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛σ

Φ eM

iar din tabele rezultă

674,0=σ

eM sau σ= 674,0eM . (4.28.)

Deci, cunoscând σ , putem determina imediat valoarea medianei. Dacă pentru caracterizarea dispersiei utilizăm mediana, densitatea de

probabilitate a repartiţiei normale se scrie

( )( )22

2

2,;mx

eMeE

mxf−

ρ−

πρ

=σ (4.29.)

unde 2ρσ=eM .

4.2.3. Repartiţia lognormală Spunem că variabila aleatoare ξ urmează o repartiţie lognormală dacă

densitatea sa de probabilitate este

( )( )

22

2ln

21 σ

−−

πσ=

ax

ex

xf , 0x > (4.30.)

cu a şi 2σ valoarea medie, respectiv dispersia logaritmului lui ξ .

Dacă considerăm variabila aleatoare ( )a−ξσ

=η ln1, ea este repartizată

( )1,0N . Avem

( ) ( )( )

∫∫∞

σ

−−∞

πσ==ξ

0

22

2ln

0 21 dxedxxxfM

ax

.

Dacă se face schimbarea de variabilă uax=

σ−ln

rezultă

( ) 2

2σ+

=ξa

eM , (4.31.)

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−σσ+∞

=ξ−=ξ ∫1

222

0

22ea

edxxfMxD . (4.32.)

Importanţa acestei repartiţii constă în următoarele: 1. Dacă 0=x , ( ) 0=xf , ceea ce este convenabil în cazul variabilei aleatoare

timp; repartiţia normală nu are această proprietate.

85

2. Dacă nξξ ,...,1 sunt variabile aleatoare lognormale independente, produsul

nξξ ...1 este o variabilă aleatoare lognormală. Într-adevăr, dacă ξ este lognormală, atunci In ξ este normală şi acest rezultat decurge din proprietatea de aditivitate a variabilelor aleatoare independente.

4.2.4. Repartiţia exponenţială negativă

Definiţie. Spunem că variabila aleatoare ξ urmează o repartiţie

exponenţială negativă dacă are densitatea de probabilitate: ( ) xexf λ−λ= , 0>λ , +∞<≤ x0 . (4.33.)

Avem

( )⎩⎨⎧

≤>−

=λ−

0pentru0pentru

01

xxe

xFx

.

Exemplu. [5] Densitatea de repartiţie a vieţii unei lămpi dintr-un aparat de

radio cu 6 lămpi este te λ−λ , 0>t , dat în ani şi 31

=λ . Să se determine

probabilitatea ca în mai puţin de 6 ani nici o lampă să nu mai fie schimbată. Răspuns. Vieţile medii ale lămpilor sunt considerate evenimente independente. Probabilitatea ca viaţa medie a unei lămpi să fie mai mare de 6 ani este

0224,06

6

==λ= λ−+∞

λ−∫ edtep t .

iar probabilitatea căutată va fi ( )66 0224,0== pP

4.2.5. Repartiţia χ2 Fie vξξξ ,...,, 21 , v variabile aleatoare normale, normate, independente

( ( )1,0Ni ∈ξ ). Suma pătratelor acestor variabile aleatoare este o variabilă aleatoare notată

222

21

2 ... vξ++ξ+ξ=χ Această variabilă aleatoare are densitatea de repartiţie

( )2

2 2

2

1

22

xv

vf x x ev

−−=⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

, [ )+∞∈ ,0x . (4.34.)

Spunem că această densitate de repartiţie defineşte repartiţia 2χ cu v grade de libertate, înţelegând prin aceasta numărul variabilelor independente a căror

86

variaţie nu suferă nici o restricţie. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

222 vv

este o constantă aleasă de aşa manieră

încât ( ) 10

=∫+∞

dxxf .

(Reamintim că ( ) ∫∞

−−=Γ0

1 dxexn xn este funcţia gama a lui Euler, cu n un

parametru pozitiv). Curba densităţii de repartiţie nu este simetrică (figura 4.8) dar ea tinde să

devină simetrică dacă numărul gradelor de libertate v creşte (peste 30 ).

Figura 4.8.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare ξ repartizată 2χ este ( ) vM =ξ . Într-adevăr

( )2

2 2

02

1

22

xv

vM x x e dxv

ξ∞

−−= ⋅⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ .

Facem schimbarea de variabilă 2

2xt = şi avem

( ) 2

0

2 2 22

2 2

vt

v v

M t e dt vv v

ξ∞

−

⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

Analog se arată că dispersia este ( ) vD 22 =ξ . (4.35.)

87

Vom da o proprietate deosebit de utilă în statistica matematică şi anume: Fie nξξξ ,...,, 21 un şir de variabile independente care pot lua fiecare valorile

maaa ,...,, 21 cu probabilităţile mppp ,...,, 21 ( 0≥ip , 11

=∑=

m

iip ). Dacă notăm cu

iα ( mi ,...,1= ) numărul de câte ori a fost luată valoarea ia ( nm

ii =α∑

=1

), atunci

variabila ( ) ( ) ( )

m

mm

npnp

npnp

npnp 2

2

222

1

211 ... −α

++−α

+−α

(4.36.)

urmează o repartiţie 2χ cu 1−m grade de libertate. Repartiţia 2χ depinde numai de parametrul v (numărul gradelor de

libertate). Tabelul din anexă ne dă pentru fiecare valoare a lui 30≤v , valorile probabilităţilor ca să avem pentru 2χ o valoare mai mică decât un număr dat 2

0χ ,

( ) ∫χ

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=χ<χ=

20

0

12

2

20

2

22

1 dxexv

PP xv

v (4.37.)

şi care reprezintă aria nehaşurată din figura 4.9.

Figura 4.9.

Exemplu. Pentru 7=v ,

( ) ( ) 10,090,0183,2183,2 22 =−=≥χ−=<χ PP , sau ( ) 95,01,142 =≥χP .

88

4.2.6. Repartiţia Student Fie nξξξ ,...,, 21 variabile aleatoare normale ( )σ,0N , independente.

Variabila

∑=

ξ

ξ=

n

iin

t

1

1

(4.38.)

unde ξ este o variabilă aleatoare ( )σ,0N , independentă de şirul ( ) nii ≤≤ξ 1 , este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de repartiţie

( )2

12

1

2

21

1+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ

π=

s

sx

s

s

sxf , ( )+∞∞−∈ ,x (4.39.)

Aceasta este densitatea repartiţiei Student, (după pseudonimului matematicianului W. Gosset), cu 1−= ns grade de libertate.

Curba teoretică a acestei densităţi este cea din figura 4.10.

Figura 4.10.

Ea este asemănătoare cu curba densităţii normale, dar diferită. Dacă ∞→s

repartiţia variabilei Student tinde spre funcţia Laplace ( )nΦ . Funcţia de repartiţie Student este

( ) ( )x

F x f t dt−∞

= ∫ . (4.40.)

Observăm că densitatea (4.39.) nu depinde de 2σ ceea ce este foarte util în aplicaţii practice.

89


4.1. Un dispozitiv se compune din trei elemente care lucrează independent. Probabilitatea de a se defecta într-o probă a fiecărui element este 2,0 . Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare ξ care reprezintă numărul de elemente care se pot defecta într-o probă.

Răspuns. ξ este de tip Bernoulli şi ia valorile 0 , 1, 2 . 4.2. La un examen profesorul pune întrebări suplimentare. Probabilitatea ca un

student să răspundă la oricare din întrebări este 95,0=p . Profesorul întrerupe examenul dacă studentul nu dă răspunsul exact la o întrebare. Se cere: a. Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare ξ care reprezintă numărul de

întrebări suplimentare puse de profesor studentului. b. Să se determine numărul cel mai probabil, 0x , de întrebări suplimentare

date.

Răspuns. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

ξ − 05,095,0: 1h

h, ,...2,1=h ; 10 =x .

4.3. Un manual se editează cu un tiraj de 000.150 exemplare. Probabilitatea ca un manual să fie respins ca fiind tipărit necorespunzător este 0002,0 . Să se determine probabilitatea ca tirajul să conţină exact 5 manuale necorespunzător tipărite.

Răspuns. 30==λ np ; ( )!5

305305

000.150

−⋅=

eP .

4.4. O fabrică trimite la un depozit 600 articole. Probabilitatea ca un articol să se deterioreze în timpul transportului este 003,0 . Să se afle probabilitatea ca în timpul transportului să se deterioreze: a. exact 5 articole; b. mai puţin de 5 articole; c. mai mult de 5 articole; d. cel puţin un articol.

Răspuns.

a. 8,1003,0600 =⋅==λ np ; ( ) ( )51

8,158,15

600

−

=eP ,

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43210 600600600600600 PPPPP ++++ ,

c. ( )∑=

−=5

16001

i

hPP ,

d. ( )01 600PP −= .

90

4.5. O urnă conţine 12 bile dintre care 4 roşii, 3 albe şi 5 negre. Se extrag două bile. Să se determine probabilitatea ca între cele două bile extrase să avem a. o bilă roşie şi una neagră; b. ambele bile să fie albe; c. să avem o bilă roşie şi una albă sau o bilă albă şi una neagră.

Răspuns.

a. 212

15

14

CCC

,

b. 212

23

CC

,

c. 212

15

13

212

13

14

CCC

CCC

+

4.6. Împărţim primele douăsprezece numere naturale în trei grupe a câte patru numere, şi înregistrăm fiecare grupă pe câte un bilet. Dintr-o urnă conţinând douăsprezece bile numerotate de la 1 la 12 , se extrage pe rând, câte o bilă. Se cere: a. Probabilitatea ca din şase extrageri patru numere să fie conţinute pe acelaşi

bilet, presupunând că bilele extrase nu sunt întoarese în urnă. b. Probabilitatea de a obţine cele patru numere ale unui bilet din şase extrageri

presupunând că după fiecare extragere bila este reîntoarsă în urnă. (O.M., etapa jud., 1969)

Răspuns.

a. 612

283

CCP = ;

b. 24

46 3

2313 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= CP .

4.7. O urnă conţine 2 bile albe şi 4 negre. Două persoane scot pe rând bile. De fiecare dată bila este repusă înapoi în urnă. Operaţia încetează la apariţia unei bile albe. Să se calculeze probabilitatea ca unul din participanţi să extragă primul o bilă albă dacă nu este scoasă de mai multe de k2 ori.

Răspuns. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

k

P2

1 321

53

; ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

k

P2

2 321

32

.

4.8. [5] Într-o urnă sunt 20 de bile albe şi 2 bile negre. Se scot n bile. Care este valoarea minimă 0x a lui n , pentru ca probabilitatea ca între bilele extrase să fie cel puţin o bilă

neagră, să fie mai mare ca 21

?

91

Răspuns. n

n

CCP

22

201−= . Din 21

22

20 <n

n

CC

rezultă 4

925243

0 >x , deci 70 =x .

4.9. [5] De câte ori trebuie să se arunce un zar pentru a avea faţa şase cel puţin o dată, cu o posibilitate mai mare decât 7,0 , mai mare decât 8,0 sau mai mare decât 0,9 ?

Răspuns. 2,1ln3ln1

1−

>x , 2,1ln2ln1

2−

>x , 2,1ln

13 >x , deci 71 =x , 92 =x , 133 =x .

4.10. [5] Valoarea unei diviziuni de pe scala unui ampermetru este de 1,0 amperi. Indicaţia aparatului de măsură se rotunjeşte până la prima diviziune întreagă. Să se determine probabilitatea ca la citire să se comită o eroare mai mare de 02,0 A.

Răspuns. Eroarea de rotunjire se poate considera ca fiind o variabilă aleatoare ξ cu repartiţia uniformă pe un interval format de două diviziuni întregi consecutive.

Deci ( ) 101,0

1==xf şi

( ) 6,01008,002,008,0

02,0

==<ξ<= ∫ dxPP .

4.11. Să se determine valoarea medie şi dispersia unei variabile aleatoare ξ repartizată uniform în intervalul ( )12,12 +− . Să se traseze curba de repartiţie.

Răspuns. ( ) 2=ξM , ( )2

2

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ξD .

4.12. [8]. Diametrul unui cerc variază în intervalul ( )ba, . Considerând diametrul ca o variabilă aleatoare ξ uniform repartizată în ( )ba, să se determine valoarea medie şi dispersia suprafeţei cercului.

Răspuns. 4

2πξ=η , ( ) ( )

12

22 abbaM ++π=η ,

( ) ( ) ( )2

22 2 44 7 4720

D b a b ab aπη = − + + .

4.13. Valoarea medie şi dispersia unei variabile aleatoare ξ repartizată normal sunt respectiv 1 şi 9 . Să se determine probabilitatea ca în urma unei probe, ξ să ia o valoare în intervalul ( )20,17 .

Răspuns.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−

Φ=<ξ<mambbaP ** ,

deci

92

( ) ( ) ( ) 1629,03143,04772,0122017 ** =−=Φ−Φ=<ξ<P 4.14. Variabila aleatoare ξ este repartizată normal cu ( ) 7=ξM şi ( ) 92 =ξD .

Să se determine intervalul în care ξ ia valori cu o probabilitate 9973,0=p . Răspuns. ( ) ( )18,23,3 −=σ+σ− mm . 4.15. Să se demonstreze că dacă variabila aleatoare ξ are o repartiţie

exponenţială negativă, atunci ( ) ba eebaP λ−λ− −=<ξ< . 4.16. Să se determine valoarea medie şi dispersia unei variabile aleatoare ξ care

are o repartiţie exponenţială negativă.

Răspuns. ( )λ

=ξ1M , ( ) 2

2 1λ

=ξD .

93

5. SISTEME DE VARIABILE ALEATOARE. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. CONVERGENŢĂ

Fie nξξ ,...,1 , n variabile aleatoare definite pe −σ câmpul de probabilitate

{ }P,,ΣΩ . Definiţie. Sistemul ( )nξξ ,...,1 se numeşte variabilă aleatoare

−n dimensională sau vector aleator cu n dimensiuni. Exemple.

1. Punctul de explozie al unui obuz la distanţă este determinat printr-un ansamblu de trei variabile aleatoare.

2. La tir, ansamblul de n atingeri ale punctelor care ating ţinta în plan, poate fi considerat ca un sistem de n2 variabile aleatoare.

În general putem interpreta variabilele aleatoare −n dimensionale ca puncte aleatorii într-un spaţiu euclidian cu n dimensiuni. Pe lângă această imagine se utilizează pentru interpretarea geometrică a unui sistem de n variabile aleatoare un vector aleator în spaţiul euclidian cu n dimensiuni.

5.1 Variabile aleatoare bidimensionale discrete

Fie ( ),ξ η o variabilă aleatoare definită pe câmpul de probabilitate { }, , PΩ Σ . Prin distribuţia variabilei aleatoare discrete ( ),ξ η vom înţelege enumerarea

valorilor posibile ale variabilei, deci a perechilor de numere ( )11

, i ni jj m

x y ≤ ≤≤ ≤

şi a

probabilităţilor corespunzătoare

( ){ } ( ){ }( )11

,ij i j i nj m

p P x yω ξ ω ω η ω ≤ ≤≤ ≤

= = = (5.1.)

Evenimentele { },i jx yξ η= = formează un sistem complet de evenimente, deci suma tuturor probabilităţilor este egală cu 1.

1 11

n m

iji j

p= =

=∑∑ (5.2.)

Cunoscând repartiţia variabilei aleatoare ( ),ξ η , putem determina repartiţia fiecărei componente şi anume, evenimentele

{ }1 1,x yξ η= = ,{ }1 2,x yξ η= = , ..., { }1, mx yξ η= = sunt incompatibile şi vom nota

1 11 12 1... mp p p p⋅ = + + + . (5.3.)

94

ηξξξξ

Aşadar

1

m

i ijj

p p⋅=

=∑ , (5.4.)

iar

1

n

j iji

p p⋅=

=∑ . (5.5.)

vor fi numite şi probabilităţi marginale ale lui ξ , respectiv η . De obicei, repartiţia varabilei discrete ( ),ξ η se scrie sub forma unui tablou cu dublă

intrare, de forma 1x 2x

... ix

... nx

1y 11p 21p

1ip

1np

2y 12p 22p

2ip

2np

... jy 1 jp 2 jp

ijp

njp

... my 1mp 2mp

nmp

Deci ( )1 1p P xξ⋅ = = şi reprezintă suma probabilităţilor de pe coloana lui 1x ; etc. Repartiţiile variabilele ξ şi η sunt

1 2

1 2

... ...:

...i n

i n

x x x xp p p p

ξ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1

1n

ii

p ⋅=

=∑

1 2

1 2

... ...:

...j m

j m

y y y y

p p p pη

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1

1m

jj

p⋅=

=∑

(5.6.)

Exemplu

Fie repartiţia variabilei aleatoare bidimensionale ( ),ξ η

-1 0 1 jp⋅

0 0,1 0,3 0,2 0,6 1 0,2 0,1 0,1 0,4 ip ⋅ 0,3 0,4 0,3 p⋅⋅ 1

Probabilităţiile marginale sunt

95

1 0,1 0,2 0,3p ⋅ = + = 2 30,4; 0,3;p p⋅ ⋅= = 1 20,6; 0, 4.p p⋅ ⋅= =

-1 0 1:

0,3 0,4 0,3ξ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 0 1:

0,6 0,4ξ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Repartiţii condiţionate discrete

Fie variabila bidimensională ( ),ξ η cu repartiţia din tabloul 1. Notăm

( ) ( )i j i jp x y P x yξ η= = = , (5.7.)

Prin repartiţia lui ξ condiţionată de faptul că jyη = , înţelegem repartiţia

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

... ...:

... ...j

i n

j j i j n j y

x x x x

p x y p x y p x y p x yη

ξ=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (5.8.)

unde

( ) ( )( )

i j iji j

jj

P x y pp x y

pP y

ξ η

η ⋅

= == =

=,

(5.9.)

cu

( )1

1n

i ji

p x y=

=∑ .

Analog se poate defini repartiţia lui η condiţionată de faptul că ixξ = şi anume

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

... ...:

...i

j m

i i j i m i x

y y y y

p y x p y x p y x p y xξ

η=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (5.10.)

unde

( ) ijj i

i

pp y x

p ⋅= , ( )

11

m

j ij

p y x=

=∑ . (5.11.)

96

5.2. Funcţia de repartiţie

În general, o variabilă aleatoare cu două dimensiuni se defineşte prin funcţia sa de repartiţie.

Fie ( )ηξ=ζ , o variabilă aleatoare cu 2 dimensiuni. Definiţie. Funcţia ( ) ( ) ( ){ }( )yxPyxF <ωη<ωξω= ,, cu ( ) 2,x y ∈ se

numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare ζ . Interpretând sistemul ( )ηξ, ca un punct aleator, funcţia de repartiţie ( )yxF , nu este

altceva decât probabilitatea ca punctul aleator ( )ηξ, să se găsească în pătratul infinit cu vârful în punctul ( )yx, din figura 5.1. Notând cu ( )xFξ şi ( )yFη funcţiile de repartiţie ale variabilelor

aleatoare ξ şi η , în aceeaşi interpretare ( )xFξ reprezintă posibilitatea ca punctul aleator să se afle în semiplanul limitat de dreapta paralelă cu Oy ce trece prin punctul de abscisă x , la dreapta dreptei, iar ( )yFη reprezintă probabilitatea ca punctul aleator să se găsească în semiplanul situat sub dreapta paralelă cu Ox , ce trece prin punctul de ordonată y .

Figura 5.1.

Vom da câteva proprietăţi analoge celor date pentru funcţiile de repartiţie

unidimensionale: 1. F este nedescrescătoare în raport cu fiecare argument; 2. F este continuă la stânga în raport cu fiecare argument; 3. ( ) ( ) ( ) 0,,, =−∞∞−=∞−=−∞ FxFxF ; 4. ( ) ( )xFxF ξ=+∞, ; ( ) ( )yFyF η=∞+ , ;

5. ( ) 1, =+∞∞+F . În continuare vom nota simbolic ( ) D⊂ηξ, evenimentul „punctul aleator ( )ηξ,

se găseşte în domeniul D ”. Probabilitatea acestui eveniment se exprimă simplu dacă D este un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralele cu axele de coordonate. Fie dreptunghiul

97

D de vârfuri ( )caA , ; ( )cbB , ; ( )dbC , ; ( )daD , . În acest caz evenimentul ( ) D⊂ηξ, este echivalent cu { } { }dcba <η≤<ξ≤ ∩ , deci

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )caFcbFdaFdbFDP ,,,,, +−−=⊂ηξ (5.12.)

5.3 Sisteme de variabile absolut continue

Dacă există o funcţie reală f definită şi integrabilă pe 2 aşa încât

( ) ( )∫ ∫∞− ∞−

=x y

dudvvufyxF ,, , atunci f se numeşte densitatea de probabilitate

(repartiţie) a variabilei aleatoare cu 2 dimensiuni ζ . Fie ηξ, două variabile aleatoare de tip continuu şi ( )ηξ, interpretat ca un punct

aleator în plan. Fie Δ dreptunghiul de laturi xΔ şi yΔ , avem

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

, , ,

, ,

P F x x y y F x x y

F x y y F x y

ξ η Δ⊂ = + Δ + Δ − + Δ −

− + Δ +.

Avem ( )( ) ( )2

00

, ,limxy

P F x yx y x y

ξ η Δ

Δ →Δ →

⊂ ∂=

Δ Δ ∂ ∂.

Notăm această derivată prin ( )yxf ,

( ) ( )yx

yxFyxf∂∂

∂=

,,2

(5.13.)

ea fiind tocmai densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare ζ . Avem

( )( ) ( )∫∫=⊂ηξD

dxdyyxfDP ,, . (5.14.)

Densitatea de repartiţie a lui ζ este nenegativă, iar

( ) 1, =∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

dxdyyxf .

Exemple. 1. Fie variabila aleatoare ( )ηξ=ζ , cu ξ , η variabile aleatoare independente, a cărei

densitate de probabilitate este

( ) ( )( )222 111,

yxyxf

++π= , ( ) 2,x y ∈ .

Să se determine a. Funcţia de repartiţie corespunzătoare.

98

b. ( )( )DP ⊂ηξ, , unde D este pătratul construit pe segmentele [ ]1,0 şi [ ]1,0 . Răspuns.

a. ( ) ( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

=

=++π

=++π

= ∫∫∫ ∫∞−∞−∞− ∞−

21arctg1

21arctg1

111

111, 222222

yx

vdv

udu

vududvyxF

yxx y

,

b. ( )( ) ( )( ) 161

111,

1

0

1

0222 =

++π=⊂ηξ ∫ ∫ vu

dudvDP

2. Suprafaţa de repartiţie a unui sistem de variabile aleatoare ( )ηξ, este un con circular drept, cu baza un cerc de rază R şi cu centrul în originea sistemului de coordonate. Să se determine

a. Densitatea de probabilitate a sistemului; b. Probabilitatea ca un punct aleator să se găsească în interiorul unui cerc de rază

a , Ra < (figura 5.2.).

Figura 5.2.

Răspuns. a. Expresia densităţii de probabilitate în interiorul cercului ( )C , notând cu h înălţimea

conului (figura 5.3.), este ( ) ( )22, yxRRhyxf +−= .

99

Figura 5.3.

Alegem pe h aşa încât volumul conului să fie egal cu unitatea, 23R

hπ

= , deci

( ) ( )223

3, yxRR

yxf +−π

= .

b. ( )( ) ( )∫∫=⊂ηξC

dxdyyxfCP ,, . Trecând în coordonate polare

⎩⎨⎧

θ=θ=

cossin

ryrx

, 0 r a≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤

se obţine

( )( ) ( ) ( )

320

30

2

03

23

63,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=−=θ−π

=⊂ηξ ∫∫ ∫π

Ra

Ra

rdrrRR

rdrdrRR

CPaa

.

5.4 Repartiţii marginale. Repartiţii condiţionate

Fie ( ),ξ η o variabilă aleatoare cu ξ şi η variabile aleatoare continue şi fie ( ),F x y funcţia de repartiţie a variabilei ( ),ξ η şi ( ),f x y densitatea de repartiţie.

Definiţie Numim repartiţie marginală a variabilei ξ , repartiţia ( ) ( ) ( )1 < ,F x P x F xξ= = +∞ . (5.15.)

Densitatea marginală de repartiţie a variabilei ξ este

( ) ( ) ( )1 , ,xf x F x f x y dy+∞

−∞

′= +∞ = ∫ . (5.16.)

100

Analog definim repartiţia marginală, respectiv densitatea marginală de repartiţie a variabilei η funcţiile

( ) ( ) ( )2 < ,F x P y F yη= = +∞ , (5. 17.)

şi

( ) ( ) ( )2 , ,yf x F y f x y dx+∞

−∞

′= +∞ = ∫ . (5.18.)

Exemple 1. Fie

( )( )22 , 0, 0,0, în rest

x ye x yf x y− +⎧⎪ ≥ ≥= ⎨

⎪⎩

densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare ( ),ξ η . 1) Să se scrie funcţia de repartiţie ( ),F x y ; 2) Să se determine repartiţiile şi densităţiile marginale ale variabilelor ξ şi η . Răspuns Avem

( ) ( ) ( )

( )( )

2

0 0 0 0

2 2

0 0

, , 2

1 1

y yx xu v

yxu v x y

F x y f u v dudv e dudv

e du e dv e e

− +

− − − −

= = =

= = − −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫,

Avem ( ) 2

1 1 xF x e−= − , ( )2 1 yF y e−= − , ( ) 21 2 xf x e−= , ( )2

yf y e−= .

2. Fie

( ) ( )1, ,0 1,0 1.2

F x y xy x y x y= + ≤ ≤ ≤ ≤

densitatea variabilei aleatoare ( ),ξ η . Să se scrie densitatea de repartiţie şi densităţiile marginale ale variabilelor ξ şi η . Răspuns

( ) , 0 1,1 0,,

0, în restx y x y

f x y+ ≤ ≤ ≤ ≤⎧

= ⎨⎩

101

( ) ( )1 2

10

12 4 6

x xf x xy x y dy= + = +∫ ,

( ) ( )1 2

20

12 4 6

y yf y xy x y dx= + = +∫ .

Din definiţia probabilităţii condiţionate avem

( ) ( )( )

1 2 1 21 2 1 2

1 2

,P y y x xP y y x x

P x xη ξ

η ξξ

< < < << < < < =

< <

de unde

( ) ( ) ( )( ) ( )

, ,, ,

F x x y F x yP y x x x x

F x x F xη

+ Δ −< < < + Δ =

+ Δ +∞ − +∞

Trecând la limită pentru 0xΔ → obţinem

( )( )

( )

( )

( )( )

, ,

,,

yF x y f x y dy

xG y x P y xF x

f x y dyx

η ξ−∞+∞

−∞

∂∂= = = < =

∂ +∞∂

∫

∫. (5.19.)

( )G y x se numeşte repartiţia variabilei η condiţionată de faptul că xξ = . Analog, repartiţia variabilei ξ condiţionată de faptul că yη = este

( ) ( )H x y P y yξ η= < = . (5.20.) Densităţile de repartiţie condiţionate sunt

( ) ( )g y x G y xy∂

=∂

, (5.21.)

şi

( ) ( )h x y H x yx∂

=∂

. (5.22.)

Ţinând seama de repartiţiile marginale avem

( ) ( )( )1

,f x yg y x

f x= , (5.23.)

şi

( ) ( )( )2

,f x yh x y

f y= . (5.24.)

Din ultimele relaţii rezultă că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2,f x y f x g y x f y h x y= = .

(5.25.)

relaţii care nu sunt valabile şi pentru funcţiile de repartiţie.

102

Definiţie Vom spune că variabilele ξ şi η sunt independente dacă

( ) ( ) ( )1 2,F x y F x F y= , (5.26.)

De aici rezultă şi

( ) ( ) ( )1 2,f x y f x f y= . (5.27.)

Deci pentru ξ şi η independente

( ) ( )2g y x f y= , (5.28.)

iar

( ) ( )1h x y f x= . (5.29.)

Exemple

1. Fie sistemul de variabile aleatoare ( )ηξ, a cărui densitate de probabilitate este ( )yxf , şi fie η⋅ξ=ξ1 şi η+ξ=ξ2 . Să se determine densitatea de probabilitate a

lui 1ξ şi 2ξ . Răspuns. Ne vom fixa o valoare a lui z şi vom construi în planul xOy curba de ecuaţie

zxy = (hiperbola care are ca asimptote axele de coordonate). Domeniul D este cel haşurat din figura 5.4.

Figura 5.4.

Funcţia de repartiţie a lui 1ξ se scrie

103

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫∞+

∞−∞−

∞+

ξ +==0

0

1,,,

xz

xzD

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfzF .

Derivând această expresie în raport cu z obţinem

( ) ∫∫+∞

∞−ξ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

0

0

1,1,1 dxxzxf

xdx

xzxf

xzf . (5.30.)

Pentru determinarea densităţii de probabilitate a lui 2ξ vom trasa în planul xOy dreapta de ecuaţie zyx =+ (figura 5.5.). Domeniul D este cel haşurat.

Figura 5.5.

Avem

( ) ( ) ( )

( )∫ ∫

∫ ∫∫∫∞+

∞−

−

∞−

+∞

∞−

−

∞−ξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

===

dxdyyxf

dxdyyxfdxdyyxfzF

xz

xz

D

,

,,2

, (5.31.)

Derivând această expresie în raport cu z (care figurează la limita superioară a integralei a doua) obţinem

( ) ( )∫+∞

∞−ξ −= dxxzxfxf ,

2. (5.32.)

Din cauza simetriei sumei η+ξ această formulă se poate scrie

( ) ( )2

,f x f z y y dyξ

+∞

−∞

= −∫ , (5.33.)

În aplicaţii practice practice cazul în care ξ şi η sunt independente este foarte important.

104

Fie ξ şi η două variabile aleatoare independente cu densităţile de probabilitate ( )xfξ şi ( )xfη . Avem ( ) ( ) ( )yfxfyxf ηξ ⋅=, .

Să determinăm densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare η+ξ=ζ2 În acest caz (5.32.) şi (5.33. ) se scriu

( ) ( ) ( )∫+∞

∞−ηξζ −= dxxzfxfzf

2, (5.34.)

( ) ( ) ( )∫+∞

∞−ηξζ −= dyyfyzfzf

2. (5.35.)

Pentru desemnarea compunerii celor două legi de probabilitate utilizăm notaţia simbolică

ηξζ ∗= fff2

unde ∗ este simbolul de compunere (convoluţie).

2. Fie variabilele aleatoare ξ şi η independente, cu densităţile de probabilitate (uniforme în [ ]ba, )

( ) ( )[ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

∉

−

== ηξ bax

bax

abxfxf

,pentru

,pentru

10

.

Să se determine densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare η+ξ=ζ . Răspuns. Avem

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −−

=−= ηηξζ

b

a

b

a

dxxzfab

dxxzfxfzf 1

şi

( ) ( )∫∫−

−ηη =−

az

bz

b

a

dttfdxxzf , bza 22 ≤≤ .

Dacă abz <− , atunci baz <− şi

( ) ( ) ( )abazdttfdttfdttf

az

a

a

bz

az

bz −−

=+= ∫∫∫−

η−

η

−

−η

2.

Dacă abz >− , atunci baz >− şi

( ) ( ) ( )abzbdttfdttfdttf

az

b

b

bz

az

bz −−

=+= ∫∫∫−

η−

η

−

−η

2.

Rezultă

105

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤<+

+≤<

≤

−−−−

=ζ

2bzpentru

2pentru

2pentru

2pentru

0

2

20

2

2

bzba

baza

az

abab

abaz

zf .

Această densitate de probabilitate se numeşte legea de repartiţie a lui Simpson. 3. Fie variabilele aleatoare ξ şi η independente, cu densităţile de probabilitate

( ) ( )⎩⎨⎧

>

≤==

−ηξ 0pentru0pentru0

xx

exfxf x .

Să se arate că η+ξ=ζ1 şi ηξ

=ζ2 sunt independente.

Răspuns. Avem

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ]u

vuv

uvxv

uvzu

vx

yx

vyx

uyx

euv

v

dxeedxdyee

dudvvfufvuPvuF

−

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+ −

−−

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

<+ηξ

+−+

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

==<ζ<ζ=

∫∫ ∫

∫∫

111

,,

1

0

111

0

21

,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) zz

zuu

z uzvu

zyx

ezduee

dudveedudvvfufxF

−−−

−−−

<+ηξζ

+−=−=

===

∫

∫ ∫∫∫

1110

0 01

,

( ) ( ) ( )z

zdudveedudvvfufxF

zu

vu

zyx +

=== ∫ ∫∫∫∞ ∞

−−

<

ηξζ 102

.

Rezultă că ( ) ( ) ( )vFuFvuF21

, ζζ= .

106

5. 5 Valori medii. Medii condiţionate

Fie variabila aleatoare ( ),ξ η care are densitatea de probabilitate ( ),f x y . Definiţie Se numeşte moment de ordinul hk, ,h k ∈ a variabilei aleatoare

( ),ξ η expresia

( ) ( ),h k h khk M x y f x y dxdyα ξ η

+∞ +∞

−∞ −∞

= = ∫ ∫ . (5.36.)

Observaţii Pentru 0, 0h k= = obţinem 00 1α = , iar pentru 1, 0h k= = obţinem ( )10 Mα ξ= şi

de asemenea pentru 0, 1h k= = rezultă ( )01 Mα η= . Analog se definesc momentele centrate de ordinul hk

( ) ( )10 01h k

hk Mμ ξ α η α⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦,

deci

( ) ( ) ( )10 01 ,h khk f x y dxdyμ ξ α η α

+∞ +∞

−∞ −∞

= − −∫ ∫ . (5.37.)

Observaţie Pentru 1, 1h k= = obţinem ( )11 cov ,μ ξ η= ,pentru 2, 0h k= = obţinem ( )2

20 Dμ ξ=

iar pentru ( )2020, 2,h k Dμ η= = = găsim ( )2

02 Dμ η= . Repartiţiilor condiţionate le asociem valori medii condiţionate şi anume Definiţie Numim valoare medie a variabilei aleatoare ξ condiţionată de faptul că

yη = expresia

( ) ( )M y xf x y dxξ+∞

−∞

= ∫ , (5.38.)

analog

( ) ( )M x yg y x dyη+∞

−∞

= ∫ , (5.39.)

iar dispersiile condiţionate sunt

( ) ( ) ( )22D y x M y f x y dxξ ξ+∞

−∞

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ , (5.40.)

şi

107

( ) ( ) ( )22D x y M x g y x dyη η+∞

−∞

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ . (5.41.)

Dacă ( ),ξ η este o variabilă aleatoare bidimensională discretă avem următoarele :

pentru xξ = fixat ( )M yξ , ( )2D yξ sunt parametrii variabilei η condiţionată de

xξ = , dacă considerăm x variabil atunci ( )M yξ , ( )2D yξ sunt variabile aleatoare (funcţii variabile de ξ ), deci putem calcula valorile lor medii şi dispersia.

Teoremă. Avem ( ) ( )M M Mξ η ξ η η⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Într-adevăr din

( ) ( )M yg y x dyη η ξ+∞

−∞

= ∫ ,

rezultă

( ) ( ) ( ) ( )M M M yg y x dy yg y x dy f xξ η ξξ η+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

dar ( ) ( ) ( ),g y x f x f x y= ,

aşadar

( ) ( ) ( ),M M yf x y dxdy Mξ η ξ η η+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ∫ ∫ .

Deci media după toţi x a mediei variabilei η cu x fixat este media necondiţionată a variabilei aleatoare η .

Exemplu 1. Fie

( )( ) , 0, 0,0, 0, sau 0

y xe x yf x yx y

λλ − +⎧⎪ > >= ⎨< <⎪⎩

,

densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare bidimensionale ( ),ξ η . Să se calculeze ( ) ( ) ( ), ,f x g y f x yξ η şi ( )M xη .

Răspuns Avem

( ) ( )

0

, 0y x xf x xe dy e xλ λξ λ λ

+∞− + −= = >∫ ,

108

deci

( ) , 0,0, 0.

xe xf xx

λξ

λ −⎧ >⎪= ⎨<⎪⎩

,

iar

( ) ( )( )20

, 0y xg y xe dx yy

λη

λλλ

+∞− += = >

+∫ ,

atunci

( ) ( )2, 0,

0, 0.

yg x y

yη

λ

λ

⎧ >⎪= +⎨⎪ <⎩

,

iar

( ) ( )( )

( ) ( )2, , 0,0, 0.

y xf x y x y e xf x yg y x

λ

η

λ − +⎧⎪ + >= = ⎨<⎪⎩

,

şi

( ) ( )0

2 .M y xf x y dxy

ξλ

+∞

= =+∫

Exemplu 2. Fie densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare bidimensionale ( ),ξ η

( )2 0 1,0 2

, 30, în rest

xyx x yf x y

⎧ + < < < <⎪= ⎨⎪⎩

,

Să se calculeze ( )1 1 1, ,2 22

P P Pξ ξ η ξ η⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ < < <⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Răspuns

11 1 11 12 2 2

P P Fξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = − < = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

iar

( ) ( )2

2 21

0

2, 23 3xyf x f x y dy x dy x x

+∞

−∞

⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ,

şi

( ) ( ) ( )2 3 21 1

0

2 12 23 3

x

F x f u du u u du x x+∞

−∞

⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ,

( )116

F x = ,

deci

109

1 1 512 6 6

P ξ⎛ ⎞≥ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( ) ( ),

D

P f x y dxdyξ η< = ∫∫ .

unde D este domeniul haşurat din figură

11 1 11 12 2 2

P P Fξ ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = − < = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

y

x

D

Deci

( )1

2 2

0 0

73 3 24

x

D

xy xyP x dxdy x dxdyξ η ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ .

1

1 1 1 1, ,1 1 2 2 2 2

1 12 22 2

P FP

P F

ξ ηη ξ

ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞< <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠< < = =⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

iar

( ) ( )3 2 2

0, 0, 0

, , , 0 1,0 23 12

1, 1, 2.

yxx y

x y x yF x y f x y dxdy x y

x y−∞ −∞

< <⎧⎪⎪= = + < < < <⎨⎪

≥ ≥⎪⎩

∫ ∫

110

1 1 5,2 2 192

F ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

deci 51 1

2 2 32P η ξ⎛ ⎞< < =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Exemplu 3 Dacă ( ),f x y este densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare bidimensionale

( ),ξ η să se scrie ( ) ( ),P Pξ η ξ η> > şi ( )1P η ξ− > . Răspuns

( ) ( )1

,D

P f x y dxdyξ η> = ∫∫ ,

unde 1D este domeniul din figura următoare

x y=y

x

1D

( ) ( )2

,D

P f x y dxdyξ η> = ∫∫ ,

unde 2D este domeniul haşurat din figura următoare

111

( ) ( ) ( )3

1 1 ,D

P P f x y dxdyη ξ η ξ− > = > + = ∫∫ .

unde 3D este domeniul haşurat din figura următoare

5.6 Variabile aleatoare −n dimensionale

Fie variabila aleatoare −n dimensională ( )nξξ=ξ ,...,1 . Definiţie. Funcţia

( ) ( ) ( ){ }( )nnn xxPxxF <ωξ<ωξω= ,...,,..., 111

unde ( )1,..., nnx x ∈ , se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare ξ .

x y= −

x y=

2D

-11

D3

y

x

112

Pentru aceste funcţii avem proprietăţi analoge celor date pentru funcţii de repartiţie unidimensionale. Amintim 1. F este nedescrescătoare în raport cu fiecare argument. 2. F este continuă la stânga în raport cu fiecare argument. 3. ( ) 0,...,1 =nxxF dacă există cel puţin un indice i , ( ni ,...,1= ) pentru care

−∞=ix . 4. ( ) 1,..., =+∞∞+F .

Dacă există o funcţie reală f definită şi integrabilă pe n aşa încât

( ) ( )∫ ∫∞− ∞−

=1

111 ...,...,...,...,x nx

nnn duduuufxxF (5.42.)

atunci f se numeşte densitatea de probabilitate (repartiţie) a variabilei aleatoare −n dimensionale ξ .

Avem

( ) ( )n

nn

n xxxxFxxf

∂∂∂

=...

,...,,...,1

11 , (5.43.)

( ) 0,...,1 ≥nxxf ,

( ) 1...,...,... 11 =∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−nn duduuuf .

(5.44.)

Definiţie. Spunem că variabilele aleatoare nξξ ,...,1 sunt independente, dacă pentru toate sistemele reale nxx ,...,1 avem

( ) ( ) ( )nnnn xPxPxxP <ξ<ξ=<ξ<ξ ...,..., 1111 . Dacă nξξ ,...,1 sunt independente şi admit fiecare o densitate de probabilitate

( ) ( )xfxfnξξ ,...,

1, atunci

( ) ( ) ( )nnn xfxfxxf ξξ= ...,..., 111 (5.45.) şi

( ) ( ) ( )nnn xFxFxxF ξξ= ...,..., 111 (5.46.)

Probabilitatea ca un punct aleator ( )nξξ ,...,1 să se afle într-un domeniu D din spaţiul euclidian −n dimensional este

( )( ) ( ) nnD

n dxdxxxfDP ...,...,...,..., 111 ∫ ∫=⊂ξξ . (5.47.)

113

5.7 Caracteristici numerice ale sistemelor de două variabile aleatoare. Covarianţă. Coeficient de corelaţie

Fie variabila aleatoare cu două dimensiuni ( )ηξ=ζ , . Definiţie. Vom numi ( )sk

sk M ηξ=α , moment iniţial de ordin sk , , al sistemului

( )ηξ, . Vom numi moment centrat de ordinul sk , al sistemului ( )ηξ, numărul

( )[ ] ( )[ ]( )sksk MMM η−ηξ−ξ=μ ,

Avem

( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=α dxdyyxfyx sksk ,, , (5.48.)

( )( ) ( )( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

η−ξ−=μ dxdyyxfMyMx sksk ,, (5.49.)

formule care în cazul variabilelor aleatoare discrete devin

∑∑=αi j

ijsj

kisk pyx, , (5.50.)

( )( ) ( )( )∑∑ η−ξ−=μi j

ijs

jk

isk pMyMx, . (5.51.)

Avem ( ) ( )ξ=ηξ=α MM 01

0,1

( ) ( )η=ηξ=α MM 101,0 .

Un rol important în teoria sistemelor de variabile aleatoare îl are covarianţa. Definiţie. Numim corelaţie sau covarianţă a variabilelor aleatoare ξ şi η

valoarea ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )η−η⋅ξ−ξ=ηξ MMM,cov . (5.52.)

Efectuând calculul şi ţinând seama de proprietăţile valorii medii rezultă ( ) ( ) ( ) ( )ηξ−ξη=ηξ MMM,cov . (5.53)

Covarianţa este o caracteristică a sistemului care descrie, pe lângă dispersie, legătura dintre ele. Se arată cu uşurinţă că dacă ξ şi η sunt independente, covarianţa lor este nulă (vezi 5.52.).

Pentru caracterizarea legăturii dintre variabilele aleatoare ξ şi η vom utiliza coeficientul de corelaţie.

Definiţie. Se numeşte coeficient de corelaţie al variabilelor aleatoare ξ şi η raportul

( )( ) ( )ηξ

ηξ=ηξ DD

r ,cov, . (5.54.)

114

Este evident că dacă ξ şi η sunt independente, 0, =ηξr .

Două variabile aleatoare sunt necorelate dacă 0, =ηξr . Rezultă că două variabile aleatoare independente sunt necorelate. Reciproca acestei

afirmaţii nu este adevărată. Exemplu. Fie { }4321 ,,, ωωωω=Ω unde iω , 4,3,2,1=i sunt puncte din plan

de coordonate: ( )1,01ω ; ( )2,02ω ; ( )k,03ω ; ( )1,44ω . Definim pe Ω variabilele aleatoare

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ξ4321

40:

pppp

şi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

η3241

21:

ppppk

unde ( )ii Pp ω= , 14

1=∑

=iip . Avem ( ) 44 pM =ξ şi ( ) 1 2 3 42M p p kp pη = + + + .

Pentru variabila aleatoare ξη ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ξη00

4840:

4321 ppppk

,

alegem pe k aşa încât ( ) ( ) ( ) 0=ηξ−ξη MMM deci ( ) 0244 432144 =+++− pkppppp ,

de unde rezultă

3

23

3

21 421p

ppp

ppk −=

−−−=

deci ξ şi η sunt necorelate. Să arătăm că nu sunt independente. Avem

( ) ( ) 111,0 pPP =ω==η=ξ , ( ) 3210 pppP ++==ξ , ( ) 411 ppP +==η .

Alegând numerele ip aşa încât 0>ip , 4,3,2,1=i , 14

1=∑

=iip şi

( )( )1 1 4 1 2 3p p p p p p≠ + + + rezultă că

( ) ( ) ( )101,0 =η⋅=ξ≠=η=ξ PPP , deci ξ şi η nu sunt independente.

115

Proprietăţi ale coeficientului de corelaţie:

1. Fie ( ) ( ) 0D Dξ η ≠ , atunci 0, =ηξr dacă şi numai dacă variabilele ξ şi η sunt necorelate.

Demonstraţia este imediată, ţinând seama de definiţiile date. 2. Pentru orice două variabile aleatoare avem 12

, ≤ηξr . Aplicând inegalitatea lui Schwartz avem

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )ηξ=η−ηξ−ξ≤

≤η−η⋅ξ−ξ

DDMMMM

MMM22

de unde rezultă proprietatea enunţată. 3. Dacă 12

, =ηξr , atunci între ξ şi η există o dependenţă liniară. Fie ,a b∈ arbitrare şi

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )( )( ) ( ) ( ) 0,cov2

,2222

2

≥η+ηξ+ξ=

=η−η+ξ−ξ=

DbabDaMbMaMbag

.

Luăm aici ( )η−= ηξ Dra , , ( )ξ= Db şi ţinem seama că 12, =ηξr . Obţinem

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) 02 =η−ηξ+ξ−ξη− MDMDM deci

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0=η−ηξ+ξ−ξη− MDMD Definiţie. Se numesc drepte de regresie ale variabilelor aleatoare ξ şi η dreptele

( )( ) ( ) ( )

( )ηη−

ηξ=ξξ−

22 ,covD

MyD

Mx, (5.55.)

( )( ) ( ) ( )

( )ξξ−

ηξ=ηη−

22 ,covD

MxD

My. (5.56.)

Aceste drepte trec prin punctul ( ) ( )( )ηξ MM , şi au numeroase aplicaţii în statistica matematică.

Exemple.

1. Se consideră variabilele aleatoare ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−ξ

21

21

11: şi

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−η

31

32

21: . Se cere să se

calculeze a. ( )2,1 =η−=ξP ; ( )1,1 −=η=ξP ; ( )2,1 =η=ξP , dacă

( ) λ=−=η−=ξ 1,1P . b. Coeficientul de corelaţie în funcţie de λ .

116

c. Valorile lui λ pentru care ξ şi η sunt independente. Răspuns. a. Avem

( ) ( ) ( )11,12,1 −=ξ=−=η−=ξ+=η−=ξ PPP , ( ) ( ) ( )11,11,1 −=η=−=η−=ξ+−=η=ξ PPP , ( ) ( ) ( )11,12,1 =ξ=−=η=ξ+=η=ξ PPP

de unde ( ) λ−==η−=ξ212,1P , ( ) λ−=−=η=ξ

321,1P şi

( )612,1 −λ==η=ξ ,

deci

ξ η 1− 1 ( )iyP =η

1− λ λ−32

32

2 λ−21

61

−λ 31

( )ixP =ξ 21

21

1

( ) ( )

26612

212

32

,,

−λ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−−λ=

==ξ=ξη ∑ =ηji

yiji jxPyxM

.

λ trebuie astfel ales încât toate probabilităţile să fie cuprinse între 0 şi 1 deci

10 ≤λ≤ , 1320 ≤λ−≤ , 1

210 ≤λ−≤ , 1

610 ≤−λ≤ ,

de unde 21

61

≤λ≤ ceea ce implică

( ) 1≤ξηM .

b. ( ) ( ) ( )

( ) ( )ηξηξ−ξη

=ηξ DDMMMr , .

Avem

117

( ) 0=ξM , ( ) 0=ηM , ( ) 12 =ξD , ( ) 22 =ηD , deci

226

,−λ

=ηξr .

Deoarece 21

61

≤λ≤ rezultă

121

, ≤ηξr .

c. Pentru 31

=λ , ξ şi η sunt independente.

2. [5] Se consideră variabila aleatoare ( )ηξ, cu distribuţia din tabelul următor

kx

ky 1 2 3 4 5 ( )kyP =η

1 121

241

0 241

301

51

2 241

241

241

241

301

51

3 121

241

241

0 301

51

4 121

0 241

241

301

51

5 241

241

241

241

301

51

( )kxP =ξ 31

61

61

61

61

1

Să se determine dreptele de regresie.

Răspuns.

( ) ( )38

6165

1===ξ=ξ ∑

=kkk xPxM ,

( ) ( )∑=

===η=η5

13

515

kkk yPyM ,

( ) 49,1=ξD , ( ) 41,1=ηD , 06,0, =ηξr .

118

Dreapta de regresie a lui ξ asupra lui η este (5.21.) şi în cazul nostru ( )66,27,153 −=− xy .

Dreapta de regresie a lui η asupra lui ξ va fi ( )26,2056,03 −=− xy .

5.8. Şiruri de variabile aleatoare

Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate şi mulţimea variabilelor aleatoare definite pe acest câmp. Ne propunem în continuare să studiem diferite tipuri de convergenţă ale şirurilor de variabile aleatoare şi relaţiile care există între ele.

5.8.1. Convergenţa în probabilitate Definiţie. Spunem că şirul de variabile aleatoare ( ) *n n

ξ∈

converge în probabilitate către variabila aleatoare ξ dacă pentru orice numere 0>ε , 0>δ , există numărul natural ( )δε,N aşa încât pentru ( )δε> ,Nn să avem

( ) ( ){ }( ) δ<ε≥ωξ−ωξω nP . (5.57.)

În acest caz vom nota ξ⎯→⎯ξ Pn .

Propoziţia 5.1. Condiţia necesară şi suficientă ca şirul de variabile aleatoare ( ) *n nξ

∈ să conveargă în probabilitate către variabila aleatoare ξ , este ca pentru

orice 0>ε să existe numărul natural ( )εN aşa încât pentru ( )n N ε> să avem

( ) ( ){ }( ) 0lim =ε≥ωξ−ωξω∞→ nn

P . (5.58.)

Demonstraţie. Dacă ξ⎯→⎯ξ Pn , cum în (5.23) δ este arbitrar, putem lua ε=δ

şi obţinem (5.58). Reciproc. Dacă are loc relaţia (5.58), ε şi δ fiind daţi, dacă δ<ε există un

număr natural `N aşa încât pentru 1n N> să avem

( ) ( ){ }( ) δ<ε<ε≥ωξ−ωξω nP .

Dacă ε<δ , există un număr natural 2N aşa încât pentru 2Nn > să avem

( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) δ<δ≥ωξ−ωξω≤ε≥ωξ−ωξω nn PP .

Propoziţia 5.2. Dacă şirul de variabile aleatoare ( ) *n nξ

∈ converge în

probabilitate către variabila aleatoare ξ şi către variabila aleatoare η , atunci ( ) ( ){ }( ) 0=ωη≠ωξωP .

119

Demonstraţie. Avem η−ξ+ξ−ξ≤η−ξ nn , deci

( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

≥ωξ−ωηω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

≥ωξ−ωξω⊂

⊂ε≥ωη−ωξω

22 nn ∪

de unde ( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

≥ωξ−ωηω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

≥ωξ−ωξω≤

≤ε≥ωη−ωξω

22 nn PP

P

Dar ξ⎯→⎯ξ Pn , η⎯→⎯ξ P

n deci ( ) ( ){ }( ) δ<ε≥ωη−ωξω 2P , ceea ce arată

că ( ) ( ){ }( ) 0=ωη≠ωξωP .

Propoziţia 5.3. Fie şirurile de variabile aleatoare ( ) *n nξ

∈ şi ( ) *n n

η∈

. Dacă

ξ⎯→⎯ξ Pn , η⎯→⎯η P

n , atunci

η+ξ⎯→⎯η+ξ baba Pnn ,

unde a şi b sunt două constante reale. Demonstraţie. Avem

( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ε

≥ωη−ωηω⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ε

≥ωξ−ωξω=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

≥ωη−ωηω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ε

≥ωξ−ωξω⊂

⊂ε≥ωη+ωξ−ωη−ωξω

ba

ba

baba

nn

nn

nn

22

22

∪

∪

de unde

( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

n n

n n

P a b a b

P Pa b

ω ξ ω η ω ξ ω η ω ε

ε εω ξ ω ξ ω ω η ω η ω

− − + ≥ ≤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟≤ − ≥ + − ≥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şi cum ξ⎯→⎯ξ Pn şi η⎯→⎯η P

n propoziţia este demonstrată. Exemple.

1. Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare Poisson, independente cu ( ) kkM λ=ξ şi

fie ∑=

ξ=ηn

kkk n 1

1. Să se arate că dacă există λ=λ∑

=∞→

n

kkn n 1

1lim , atunci şirul de

variabile aleatoare ( ) *n nη

∈ converge în probabilitate către λ .

120

Răspuns. Avem ( ) ( )kk MD ξ=ξ ,

( ) ( )nn

MD nnn

λ++λ=η=η

...1 1

şi cum λ=λ++λ

∞→ nn

n

...lim 1 , rezultă că ( ) 0lim =η∞→ nn

D .

Inegalitatea lui Cebîşev ne dă

( ){ }( ) ( )2

2

εη

<ε≥λ−ωηω nn

DP

de unde ( ){ }( ) 0lim =ε≥λ−ωηω

∞→ nnP .

2. [5] Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare a căror densitate de repartiţie este

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=

α−

α

ξ 0pentru

0pentru

1

0

x

x

eck

xfck

xn

, 0>c , 210 <α< . Notând cu

∑=

ξ=ηn

kkn n 1

1, să se arate că şirul de variabile aleatoare

*1nn

cnα

ηα

∈

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

converge în probabilitate către zero. Răspuns. Avem ( ) α=ξ ckM k , ( ) α=ξ 222 2 kcM k , ( ) α=ξ 222 kcD k şi

( ) ∑∑=

α

=

α

=ξ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−ηn

k

n

kkn k

ncD

ncnD

1

22

2

1

22

2 11

.

Dar 12

11lim1

212 +α

=∑=

α+α∞→

n

knk

n,

210 <α< , deci

011lim1

lim1

21221

22 =⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−η ∑=

α+αα−∞→

α

∞→

n

knnnk

nnccnD .

Din inegalităţile

121

2

2

14

211

1

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−η≤

≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ε

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−η−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−ηω≤

≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε≥+α

−ηω

α

αα

α

cnD

cnMcnP

cnP

n

nn

n

rezultă

01

⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α

−ηα

Pn

cn.

5.8.2. Convergenţa aproape sigură

Fie ( ) *n n

ξ∈

un şir de variabile aleatoare. Vom spune că o anumită proprietate are loc aproape sigur pe Ω dacă

probabilitatea nerealizării evenimentului corespunzător proprietăţii considerate este nulă. Definiţie. Şirul de variabile aleatoare ( ) *n n

ξ∈

converge aproape sigur către

variabila aleatoare ξ dacă ( ){ ωξω n nu tinde către ( )}ωξ este un eveniment din Σ

de probabilitate zero. Propoziţia 5.4. Condiţia necesară şi suficientă ca şirul ( ) *n n

ξ∈

de variabile aleatoare să conveargă aproape sigur către variabila aleatoare ξ este ca

( ) ( ){ } 0lim0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε≥ωξ−ωξω

∞

=+∞→ ∪

ppnn

P (5.59.)

pentru orice 0>ε . Demonstraţie. Dacă ( ) *n n

ξ∈

converge aproape sigur către ξ , notând cu

( ){ ωξω= nA converge către ( )}ωξ conform definiţiei convergenţei unui şir de

numere reale avem

( ) ( ){ }∩∪∩0 1 0>ε

∞

=

∞

=+ ε<ωξ−ωξω=

n ppnA .

( ) ( )ωξ⎯→⎯ξ ∈..

*sa

Nnn dacă şi numai dacă ( ) 1=AP . Din relaţia

122

( ) ( ){ }∪∩∞

=

∞

=+ ε<ωξ−ωξω⊆

1 0n ppnA ,

rezultă, în virtutea proprietăţii (P12),

( ) ( ) ( ){ }⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε<ωξ−ωξω≤

∞

=+∞→ ∩

0

limp

pnnPAP .

Trecând la evenimente complementare şi ţinând seama că ( ) 1=AP se obţine relaţia din enunţ.

Reciproc. Scriind relaţia din enunţ pentru k1

=ε , *k ∈ avem

( ) ( )∩∪∩∞

=

∞

=

∞

=+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<ωξ−ωξω=1 1 0

1k n p

pn kA ,

rezultă,

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<ωξ−ωξω=∞

=+∞→∞→ ∩

0

1limlimp

pnnk kPAP .

Prin ipoteză şirul din membrul doi este în mod constant 1 în raport cu k , deci ( ) 1=AP .

Exemplu. [4] Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare având repartiţiile

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−ξ

222

22

2111

21

0:

nnn

nn rr

n , 0>r , *n∈ . Să se arate că ( ) *n nξ

∈ converge

aproape sigur către zero.

Răspuns. Fie ( ){ }δ≤ωξω=δ jjA , , ∩∞

=δδ =

njjn AB ,, , ∪

∞

=δδ =

njjn AB C,

C, . Avem

( ) ( ) ( ){ }( )∑∑∞

=

∞

=δ

∞

=δδ δ>ωξω=≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

njj

njj

njnn PAPAPBP C

,C,

C, ∪ .

Din definiţia şirului ( ) *n nξ

∈ urmează că pentru 1≥n , 1<δ ,

( ){ }( ) ( ) ( )j

jPjPP rj

rjj

122

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ωξω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=ωξω=δ>ωξω ,

deci

( ) 012, ⎯⎯ →⎯≤ ∞→

∞

=δ ∑ n

njn j

BP

şi

123

( ) ( ){ } 1limlim , =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ≤ωξω=

∞

=∞→δ∞→ ∩

njjnnn

PBP .

5.8.3. Convergenţa în repartiţie

Definiţie. Şirul de variabile aleatoare ( ) *n n

ξ∈

converge în repartiţie (în sens

Bernoulli) către variabila aleatoare ξ (notăm ξ⎯→⎯ξ rn ) dacă în orice punct de

continuitate 0x al funcţiei de repartiţie F a lui ξ avem ( ) ( )00lim xFxFnn

=∞→

, (5.60.)

unde nF este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare nξ , *n∈ .


∈ converge în

probabilitate către ξ , atunci el converge în repartiţie către ξ . Demonstraţie. Fie nF funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare nξ , *n∈ , F

funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare ξ . Dacă 0x este un punct de continuitate al lui F , pentru orice 0>ε , există 0>δ aşa încât ( ) ( ) ε≤δ−−δ+ 00 xFxF . Din

( ) ( ){ }( )( ){ } ( ){ }( )( ){ } ( ){ }( )

( ) ( ){ } ( ){ }( )( ) ( ) ( ){ }( )δ≥ωξ−ωξω+≤

≤≥ωξωδ−<ωξω+=

=≥ωξωδ−<ωξω+

+<ωξωδ−<ωξω=

=δ−<ωξω=δ−

nn

nn

n

n

PxF

xxPxF

xxP

xxP

xPxF

0

000

00

00

00

∩

∩

∩

.

Ţinând seama de faptul că şirul converge în probabilitate către ξ , rezultă

( ) ( )00 lim xFxF nn ∞→

≤δ− . Analog obţinem ( ) ( )00 lim xFxF nn ∞→≥δ+ . Din aceste

inegalităţi rezultă ( ) ( )00lim xFxFnn=

∞→.

Reciproca nu este adevărată. Propoziţia 5.6. Dacă şirul de variabile aleatoare ( ) *n n

ξ∈

converge în repartiţie către variabila aleatoare ξ şi dacă

( ){ }( ) 1=α=ωξωP , =α constant, (5.61.)

atunci α⎯→⎯ξ Pn .

Demonstraţie. Notând prin F funcţia de repartiţie corespunzătoare variabilei aleatoare ξ avem

124

( )⎩⎨⎧

α>α≤

=xx

xFpentrupentru

10

,

deci α este singurul punct de discontinuitate al lui F . Avem

( ){ }( ) ( ){ }( )( ){ }( )

( ){ }( )[( ){ }( )]

( ) ( )

( )

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

−α+

+ε+α−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

−α−ε+α=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

−α+ε+α−≤

≤+ε−α+ε+α−=

=ε−α≤ωξω−

−ε+α<ωξω−=

=ε+α<ωξ<ε−αω−=

=ε<α−ωξω−=ε≥α−ωξω

2

2

21

01

1

1

1

n

nnn

nn

nn

n

n

n

nn

F

FFF

FF

FFP

P

P

PP

de unde ( ){ }( ) 0lim =ε≥α−ωξω

∞→ nnP .

De aici rezultă că dacă ( ) *r

n nξ ξ

∈⎯⎯→ şi dacă ( ) * 0r

n nξ ξ

∈− ⎯⎯→ , atunci

( ) *P

n nξ ξ

∈⎯⎯→ .

Exemple. 1. Fie ( ) *n n

ξ∈

un şir de variabile aleatoare pentru care ( ) ( )xFxP nn=<ξ

∞→lim , cu

F funcţie de repartiţie continuă şi fie şirul de variabile aleatoare ( ) *n nη

∈

convergent în probabilitate către 1. Să se arate că ( )xFxPn

nn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

ηξ

∞→lim .

Răspuns. Notăm ( ){ }ε>−ωηω=ε 1, nnA , pentru orice 0>ε şi

( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

<ωηωξ

ω= xBn

nn . Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnAnnnAnn BPAPBPAPBP C,

C,,, εεεε += .

Pe mulţimea ε,nA , ( ) ε+>ωη 1n , sau ( ) ε−<ωη 1n ; avem

( )( ) ( ) ( )( )ε+<ξ≤≤ε−<ξε

11,

xPBPxP nnnAn .

125

De asemenea, ( ) 1lim , =ε∞→ nnAP , ( ) 0lim C

, =ε∞→ nnAP , deoarece

( ) ( ) ( ) ( )nnAnnnnn

nnAn

BPBPBPBPε∞→∞→∞→ε∞→

≤≤≤,,

limlimlimlim .

Rezultă, ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ε+≤≤≤ε−

∞→∞→1limlim1 xFBPBPxF nnn

n.

ε fiind arbitrar, rezultă că şirul ( )nBP este convergent şi

( )xFxPn

nn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

ηξ

∞→lim .

2. Să se arate că, convergenţa în repartiţie nu implică convergenţa în probabilitate.

Răspuns. Fie variabila aleatoare ξ cu distribuţia ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ξ

21

21

10: şi fie variabila aleatoare

ξ−=η 1 . Variabilele ξ şi η au aceeaşi funcţie de repartiţie,

( ) ( ) ( ){ }[ ]121

−ε+ε= xxxF , x∈ şi 1=ξ−η , indiferent de valoarea variabilei

aleatoare ξ .

Definim şirul de variabile aleatoare ( ) *n nξ

∈ unde η=ξn . Rezultă că ( ) *n n

ξ∈

converge în repartiţie către ξ ( nξ şi ξ au aceeaşi repartiţie).

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) 1=ωξ−ωη=ωξ−ωξn pentru orice Ω∈ω , rezultă că

( ) *n nξ

∈ nu converge în probabilitate.

5.8.4. Convergenţa în medie

Definiţie. Şirul de variabile aleatoare ( ) *n n

ξ∈

converge în medie de ordinul r

către variabila aleatoare ξ , dacă există momentele absolute ( )rnM ξ ( *n∈ ),

( )rM ξ şi dacă

( ) 0lim =ξ−ξ∞→

rnn

M . (5.62.)


∈ converge în medie de

ordinul r către variabila aleatoare ξ , atunci el converge în probabilitate către ξ . Demonstraţie. Vom face demonstraţia procedând prin reducere la absurd.

Presupunem că ξ⎯→⎯ξ rn şi ξ→/ξ

P

n . Atunci există 0>ε , 0>δ şi un şir de

numere naturale ∞→in aşa încât ( ) ( ){ }( ) δ≥ε≥ωξ−ωξωinP pentru orice i∈ .

126

Dacă notăm ( ) ( ){ }ε≥ωξ−ωξω=inA , CAA∪=Ω , atunci

irr

inM δε≥⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ξ−ξ . Inegalitatea contrazice faptul că ξ⎯→⎯ξ r

n .

Proprietatea inversă nu are totdeauna loc. De exemplu, fie şirul de variabile

aleatoare ( ) *n nξ

∈ unde

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−ξ

222 2111

21

0:

nnn

nnn . Oricare ar fi 0>ε şi 0>η

există ( )ηε,N aşa încât ( ){ }( ) η≤=ε>ωξω 221n

P n , îndată ce ( )ηε> ,Nn deci

şirul ( ) *n nξ

∈ converge în probabilitate către zero. Fie

( ) ( ) 121

211100 2

22

22

22 =⋅+⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=ξ=−ξ

nn

nn

nMM nn

deci ( ) *n nξ

∈ nu converge în medie de ordinul doi către zero.

Exemplu. [5] Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare independente două câte

două cu aceeaşi funcţie de repartiţie F . Dacă sunt îndeplinite condiţiile

1. ( ) 0lim =∫−

∞→

n

nn

xxdF ,

2. ( ) ( )( ) 01limlim =−=∞→∞→

xFxxxFnn

,

atunci şirul de variabile aleatoare ( ) *n nη

∈, unde ∑

=

ξ=ηn

kkn n 1

1, converge în medie de

ordinul al doilea.

Răspuns. Notăm ⎩⎨⎧ ≤ξξ

=ξaltfelpentru

0,

nkkkn , ∑

=

ξ=ηn

kknn n 1

,* 1

. Avem

( ) ( ){ }( ) ( ){ }( )( ) ( )( )[ ]nFnFn

nPPn

kknn

−+−=

=>ωξω≤ωη≠ωηω ∑=

11

*

dar ţinând seama de condiţia 2. Rezultă ( ) ( ){ }( ) 0lim * =ωη≠ωηω∞→ nnn

P , deci

0⎯→⎯η Pn dacă 0* ⎯→⎯η P

n . Ţinând seama de inegalitatea

( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( )( )ωη≠ωηω+ε≥ωηω≤ε>ωηω **nnnn PPP ,

rezultă că ( ){ }( ) 0lim =ε>ωηω∞→ nn

P dacă ( ){ }( ) 0lim * =ε≥ωηω∞→ nn

P .

Din 1. rezultă

127

( ) ( ) 0limlim * ==η ∫−

∞→∞→

n

nnnn

xxdFM

şi

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]∑

∫∑∑ ∫∫

=

−−

−== −−

−−+−+−−−−=

=+≤≤η

n

k

k

k

n

k

n

k

k

k

n

nn

kFkFkFkFkn

xdFkn

xdFkn

xdFxn

D

1

2

1

1

2

1 1

22*2

11111

111

sau ( ) ( ) ( )[ ]( )∑−

=

+−+−≤η1

0

*2 1211 n

kn kkFkF

nD , iar din 2. rezultă ( ) 0lim *2 =η

∞→ nnD .

5.8.5. Legea numerelor mari

În teoria probabilităţilor legătura între frecvenţă ca variabilă aleatoare şi

probabilitate este dată de: Legea numerelor mari. Fie ( ) *n n

ξ∈

un şir de variabile aleatoare independente

care au aceeaşi funcţie de repartiţie, deci au aceeaşi medie m şi aceeaşi dispersie 2σ .

Pentru orice 0>ε probabilitatea evenimentului ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε≥−ωξω ∑=

mn

n

ii

1

1 converge

în probabilitate către 0 când ∞→n , adică

( ) 01lim1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε≥−ωξω ∑=

∞→m

nP

n

iin

. (5.63.)

Demonstraţie. Avem

( ) mmn

Mnn

Mn

i

n

ii

n

ii ==ξ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ ∑∑∑

=== 111

111

Aplicând inegalitatea lui Cebîşev, obţinem

( )( )2

12

1

11

n

ini

ii

DnP m

n

ξ ωω ξ ω ε

ε=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎝ ⎠− ≥ <⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠

∑∑

dar

( )2

2 22

1 1

1 1n n

ii i

Dn n n

σξ ω σ= =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

deci

( ) 2

2

1

1εσ

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε≥−ωξω ∑= n

mn

Pn

ii .

128

Dacă aplicăm legea numerelor mari unui şir ( ) *n nξ

∈ de variabile aleatoare

bernoulliene independente, atunci suma ∑=

ξn

iin 1

1 reprezintă frecvenţa relativă

nα

de

realizare a unui anumit eveniment A , unde α este numărul de realizări ale evenimentului A în n experimente independente succesive. Din (5.63.) deducem

0lim =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε≥−

α∞→

pn

Pn

.

Acest rezultat clasic este cunoscut sub numele de: Teorema lui Bernoulli. Frecvenţa relativă converge în probabilitate către

probabilitate (în această formulare cuvântul probabilitate intervine în două sensuri diferite).

O generalizare a teoremei lui Bernoulli este: Teorema lui Poisson. Dacă notăm prin α numărul de apariţii ale unui eveniment

A în n experimente independente, cu kp probabilitatea de realizare a evenimentului

A în experimentul de rang k , *k ∈ , atunci există pn

pp nn

=++

∞→

...lim 1 şi

*nnα

∈

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

converge în probabilitate către p .

Demonstraţie. Ataşăm experimentului de rang k , variabila aleatoare kξ care ia valoarea 1 sau 0 respectiv cu probabilităţile kp şi kk pq −=1 , după cum în acest

experiment s-a produs sau nu A . Avem ∑=

ξ=αn

kk

1

iar nα

reprezintă valoarea luată

experimental de variabila aleatoare ∑=

ξ=ηn

kkn n 1

1.

Avem

( ) ( ) ∑∑∑===

=ξ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ξ=η

n

kk

n

kk

n

kkn p

nM

nM

nM

111

111,

( ) ( )[ ]( ) ∑=

=η−η=ηn

kkknnn qp

nMMD

12

22 1.

Inegalitatea lui Cebîşev se scrie

∑∑== ε

−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε<−

α n

kkk

n

kk qp

np

nnP

122

1

111,

unde 0≥kp , 0≥kq , 1=+ kk qp , deci 41

≤kkqp şi 41

nqpn

kkk ≤∑

−

. Rezultă

129

21 4

111ε

−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε<−

α ∑= n

pnn

Pn

kk .

Aceste aspecte ale legii numerelor mari au pus în evidenţă existenţa unor şiruri de variabile aleatoare care tind în probabilitate către o constantă. Această lege este valabilă pentru un ansamblu de fenomene şi nu pentru fiecare fenomen în parte. Ea nu constituie o proprietate a oricăror şiruri de variabile aleatoare (vezi exemplul dat de Markov [20] p.57 în care legea numerelor mari nu mai acţionează).

Exemplu. Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare independente care iau valorile

n− , 0 , n cu probabilităţile ( ) 101 ==ξP , ( ) ( )k

kPkP kk1

=−=ξ==ξ ,

( )k

P k210 −==ξ , ,...3,2=k . Să se arate că ( ) *n n

ξ∈

se supune legii numerelor

mari. Răspuns. Avem ( ) 0=ξkM , ,...2,1=k , ( ) 22 =ξkD , ,...3,2=k . Notăm

∑=

ξ=ηn

kkn n 1

1 şi avem ( ) ( ) 01

1=ξ=η ∑

=

n

kkn M

nM ,

( ) ( ) ( )2

1

22

2 121nnD

nD

n

kkn

−=ξ=η ∑

=

. Rrezultă

( ){ }( ) 1lim =ε<η−ηω∞→ nnn

MP .

5.8.6. Problema asimptotică centrală Funcţia de repartiţie normală joacă un rol important din punct de vedere teoretic şi

practic, deoarece majoritatea fenomenelor supuse unor influenţe întâmplătoare conduc la repartiţii normale. Problema studierii condiţiilor în care un şir de variabile aleatoare converge în repartiţie către o variabilă aleatoare normal repartizată este problema asimptotică centrală. Rezultate deosebite au obţinut J .W. Liendeberg şi W. Feller.

Criteriul clasic de convergenţă

Fie { }, , PΩ Σ un σ câmp de probabilitate ( ) *n nξ ∈ un şir de variabile aleatoare

independente care au momente de ordinul al doilea finite. Notăm

( ) ( ) ( )2 2 2 2

1; ; ; , *

n

k k k k knk

m M D k nξ σ ξ σ σ=

= = = ∈∑

Considerăm variabilele aleatoare

130

( )*,1 ,k k

nkn

mk n n

ξξ

σ−

= ≤ ≤ ∈ ;

şi

( )*

( )1 1

1 ( ),n n

n nk k knk k

m nξ ξ ξσ

= =

= = − ∈∑ ∑ .

Evident

( ) ( ) 2 2 *( ) ( )

10; 0; ( ) 1; ( ) 1;

n

nk n nk nk

M M D D nξ ξ ξ ξ=

= = = = ∈∑ .

De asemenea vom nota cu ( )F , F ,Fk nk n funcţiile de repartiţie ale variabilelor aleatoare

( ), ,k nk nξ ξ ξ , iar prin ( ), ,k nk nϕ ϕ ϕ funcţiile caracteristice corespunzătoare.

Definiţie Spunem că şirul de variabile aleatoare ( ) *n nξ ∈ verifică condiţia (5.64.), dacă pentru orice 0τ > şirul

( )

( )( )

( )

( )2 22

1 1

lim

1lim ( ) 0

k n

nn

n n

k k k kn n k kx m

x m m dF xτσ

α τ

ξσ

→∞

→∞= =− >

=

= − − =∑ ∑∫

(5.64.)

Propoziţia1 Pentru orice x∈ are loc inegalitatea

( )( )

1

0,

! 1 !

nknix

k

xixe n

k n

+

=

− ≤ ∈+∑ (5.65.)

Demonstraţie Vom proceda prin inducţie asupra lui n. Pentru n=0 avem

0

1x

ix iue e du x− = =∫ .

Presupunând relaţia (2) adevărată pentru n, pentru 1n + avem

( ) ( )( ) ( )

11 2

0 00 0! ! 1 ! 2 !

x x nk kn n nix ix

k k

uix ix xe e dx dxk k n n

++ +

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− = − ≤ =⎜ ⎟⎜ ⎟ + +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫

Teorema lui Lindeberg – Feller Fie ( ) *n nξ ∈ un şir de variabile aleatoare independente. Condiţia necesară şi

suficientă pentru ca

( ) ( ) ( )lim ,nnF x x x

→∞= Φ ∈ şi

( )

2

21lim max 0k

n k nn

σ

σ→∞ ≤ ≤= (5.66.)

este ca şirul să verifice condiţia (5.64.). Demonstraţie

131

Condiţia este suficientă ( partea din teoremă demonstrată de J. W. Lindeberg). Ideea demonstraţiei constă în a arăta că funcţia caracteristică ( )nϕ converge uniform în orice

interval mărginit către funcţia caracteristică 2

2t

e− corespunzătoare funcţiei de repartiţie

normală N(0,1) când n →∞ , deci ( )F n va converge către Φ pentru n →∞ .

Condiţia necesară este partea din teorema demonstrată de W. Feller. Pentru demonstraţie vezi M. Iosifescu, Gh. Mihoc, R. Teodorescu -Teoria

probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Tehnică, 1966. Corolar 1 Dacă variabilele ( ) *n nξ ∈ sunt independente două câte două şi au aceeaşi

funcţie de repartiţie F şi admit dispersii finite, atunci ( ) ( ) ( )lim ,nn

F x x x→∞

= Φ ∈

Corolar 2 Dacă variabilele ( ) *n nξ ∈ sunt independente , egal mărginite P- a.s. şi

( )lim nnσ

→∞= ∞ , atunci

( ) ( ) ( )lim ,nnF x x x

→∞= Φ ∈

Teorema (A. M. Leapunov) Dacă variabilele ( ) *n nξ ∈ sunt independente şi dacă există şi sunt finite momentele

( ) ( ) ( )

( )

33 *, cu lim 0n

k k kn n

M m kμ

μ ξσ→∞

= − ∈ = ,

unde ( )3 3

1

n

knk

μ μ=

=∑ , atunci

( ) ( ) ( )lim ,nnF x x x

→∞= Φ ∈

Teorema (Moivre – Laplace) Dacă ( ) *n nξ ∈ este un şir de variabile aleatoare independente care pot lua valorile 0 şi 1 cu probabilităţile q , respectiv 1p q= − , atunci funcţia de repartiţie ( )F n a variabilei aleatoare normate

( )( )

n

kk=1

, unde = n

n

np

npq

ξη ξ ξ

−= ∑ ,

converge pentru n →∞ către Φ . Observaţie Variabilele ( )nξ este o variabilă binomială.

Exemplu. Populaţia unui oraş posedă o proprietate A (are un automobil) în

proporţie de 4,0=p . Să se determine mărimea eşantionului studiat aşa încât probabilitatea ca frecvenţa indivizilor cu proprietatea A , nf , să se găsească în intervalul ( )01,0,01,0 +− pp să fie cel puţin de %99 . Soluţie. Considerând un eşantion de mărime n din populaţia X în care indivizii cu

132

proprietatea A sunt în proporţie p , frecvenţa nXfn = a indivizilor cu proprietatea A are

valoarea medie p şi dispersia npq

=σ2 , pq −=1 . Aplicând inegalitatea Cebîşev în

cazul nostru

211tn

pqtpfP n −≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤−

sau ( ) 99,001,0 ≥≤− pfP n , alegem 10=t ca să avem 99,011 2 =−t

. Pentru

10=t trebuie să avem 01,0≤npqt sau 01,06,04,010 ≤

⋅n

, de unde rezultă

000.240≥n deci un eşantion mare. Dar vom vedea că un eşantion aşa mare este un lux inutil şi anume, mărimea

eşantionului fiind foarte mare putem considera că distribuţia frecvenţei nf este normală

de parametrii 04,0== pm şi npq

=σ , deci

99,0≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+<≤−

npqtpf

npqtpP n ,

iar din tabele pentru ( )tP găsim 58,0=t . Pentru t astfel determinat trebuie să avem

01,0≤npqt sau 01,06,04,058,0 ≤

⋅n

de unde 36,807≥n sau 810≅n , deci

este inutil un eşantion mai mare pentru a obţine precizia cerută.

133


5.1. Fie ξ şi η două variabile aleatoare cu aceeaşi densitate de probabilitate

( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∉

∈== ηξ

2,0pentru

2,0pentru

021

x

xxfxf . Să se determine funcţia de repartiţie a

variabilei aleatoare η+ξ=ζ .

Răspuns. ( )( )

2

2

pentru 00

pentru 0 28

4 pentru 2 418

1 pentru 4

x

x xF x

x x

x

ζ

<⎧⎪⎪ ≤ <⎪

= ⎨−⎪ ≤ <−⎪

⎪≥⎩

.

5.2. Să se determine densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare η+ξ=ζ dacă ξ

este repartizată uniform în ( )1,0 , iar ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

><≤<≤≤

−=η

2sau0pentru21pentru10pentru

02

xxxx

xx

xf .

Răspuns. ( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

><

≤<

≤<

≤≤

+−

−+−=ζ

3sau0pentru

32pentru

21pentru

10pentru

0

9621

233

2

2

2

2

xx

x

x

x

xx

xx

x

xf .

5.3. Fie ξ şi η două variabile aleatoare, unde ξ are o repartiţie exponenţială negativă,

iar η are repartiţie uniformă în ( )π2,0 . Să se arate că ηξ=ζ cos1 şi

ηξ=ζ sin2 sunt independente şi au aceeaşi densitate de probabilitate 2xe λ−

πλ

.

Răspuns.

( ) ( ) ( )vudxdyevuP

vyxuyx

x λΦλΦ=λπ

=<ζ<ζ ∫∫<<

λ− 2221, **

sincos

21 .

134

5.4. Se dă funcţia ( ) ( ): 1,1 1,1f − × − → definită prin relaţia

( ) ( )[ ]221, yxxyayxf −+= . Să se determine valorile lui a pentru care f este o densitate de probabilitate.

Răspuns. 41

=a .

5.5. Se consideră densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare bidimensionale ( )ηξ, ,

( )( )2 2

pentru 0, 02,pentru 0 sau 00

x y x yxyef x yx y

− +⎧ ≥ ≥⎪= ⎨< <⎪⎩

.

Să se calculeze ( )ξM , ( )ηM , ( )ξ2D , ( )η2D .

Răspuns. ( ) ( )4π

=η=ξ MM , ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=η=ξ

81

2122 DD .

5.6. O urnă conţine a bile albe şi b bile negre. Se fac n extracţii astfel: se extrage din

urnă o bilă şi se introduc apoi în urnă c bile de culoarea bilei extrase. Fie kξ variabila aleatoare care ia valoarea 0 sau 1 după cum în extracţia de rang k s-a obţinut o bilă albă sau neagră şi vv ξ++ξ=η ...1 . Se cere:

a. Să se calculeze ( )00 21 =ξ=ξP ; ( )1=ξnP .

b. Pentru nm < să se determine legea de probabilitate a cuplului ( )nm ξξ , şi să se calculeze coeficientul de corelaţie

nmr ξξ , .

c. Să se calculeze ( )vM η şi ( )vD η2 .

d. Să se studieze convergenţa în probabilitate a şirului *

n

nnη

∈

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Răspuns.

a. ( ) ( )cba

caPP++

+==ξ=ξ==ξ=ξ 0000 2221 ,

( ) ( )( ) q

cnbaqncbP n =

−++−+

==ξ1

11 , unde ba

bq−

= .

b. cba

crrnm ++

== ξξξξ 2,1, .

c. ( ) vqM n =η , ( ) ( )( ) ( )cbaba

cvbavabD v +++++

=η 22 .

135

d. 10 <η

≤n

n , deci convergenţa în probabilitate a lui n

nη este echivalentă cu

convergenţa în medie pătratică. Fie nm < . 0,

2

⎯⎯ →⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ η

−η

∞→nmmn

mnM deci

nnη nu e Cauchy în medie pătratică, deci nu e convergent în probabilitate.

5.7. [5] Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare independente cu ( ) 0=ξnM ,

( ) λ=ξ nD n2 , *n∈ , 10 <λ< . Să se arate că şirul dat se supune legii

numerelor mari. 5.8. [7] Fie ( ) *n n

ξ∈

un şir de variabile aleatoare independente cu densităţi de

probabilitate ( )( )

n

nx

n en

xf

2

4

1 θ−−

π= , 10 <θ≤ . Să se arate că şirul se supune

legii numerelor mari.

5.9. Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare unde

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−ξ

222 2111

21

0:

nnn

nnn . Să se

arate că şirul converge în probabilitatea către zero.

136

6. FUNCŢII CARACTERISTICE

Având în vedere că instrumentul analitic de studiu furnizat de funcţia de repartiţie

este destul de dificil, s-a impus introducerea unei noi mărimi care să caracterizeze variabila aleatoare.

6.1. Funcţii caracteristice unidimensionale

Fie { }P,,ΣΩ un −σ câmp de probabilitate, ξ o variabilă aleatoare a cărei

funcţie de repartiţie este F . Definiţie. Se numeşte funcţie caracteristică a variabilei aleatoare ξ aplicaţia

:ξϕ → definită de relaţia

( ) ( ) ( )∫+∞

∞−

ξξ ==ϕ xdFeeMt itxit . (6.1.)

Dacă ξ este de tip discret şi ia valorile ( ) Ikkx ∈ , *I ⊂ cu probabilităţile ( ) Ikkp ∈ , atunci (6.1) devine

( ) ∑∈

ξ =ϕIk

kitxkept . (6.2.)

Dacă ξ este de tip continuu cu densitatea de repartiţie f , atunci (6.1) devine

( ) ( )∫+∞

∞−ξ =ϕ dxxfet itx . (6.1'.)

(Dacă nu există pericol de confuzie vom nota ( )tϕ )

Deoarece 1=itxe , funcţia caracteristică există pentru orice variabilă aleatoare şi este determinată în mod unic de funcţia de repartiţie.

Exemple.

Dacă ξ este o variabilă aleatoare Poisson avem

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛λλξ λ−λ−λ− en

ee

nn

!!1

1,0: .

Variabila este de tip discret, deci

( ) ( )1

00 !−λ

∞

=

λ∞

=

=λ

==ϕ ∑∑ite

k

itkk

kk

kitx eek

epet . (6.3.)

137

1. Dacăξ este o variabilă cu repartiţie uniformă, avem

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤

><

−

=bxa

bxax

abxf

pentru

saupentru

10

. Funcţia caracteristică va fi

( ) ( )

itee

ab

dxeab

dxxfet

itaitb

b

a

itxitx

−⋅

−=

=−

==ϕ ∫∫+∞

∞−

1

1

. (6.4.)

2. Dacă ξ este o variabilă aleatoare normală cu ( ) ( )22 axhehxf −−

π= , x∈ ,

funcţia caracteristică va fi ( ) ( )∫+∞

∞−

−−

π=ϕ dxeeht axhitx 22

. Ţinând seama că

∫+∞

∞−

−=π dxe x2, obţinem

( )2

24

1 th

itaet

−

=ϕ . (6.5.)

Vom da în continuare câteva proprietăţi ale funcţiei caracteristice: (φ1) ( ) 10 =ϕ

Avem evident ( ) ( ) 10 ==ϕ ∫+∞

∞−

xdF .

(φ2) Pentru orice t ∈ , ( ) 1≤ϕ t .

Scriem ( ) ( ) ( ) 1==≤ϕ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

xdFxdFet itx

(φ3) ( ) ( )tt ϕ=−ϕ , pentru orice t ∈ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )itx itx itxt e dF x e dF x e dF x tϕ ϕ+∞ +∞ +∞

−

−∞ −∞ −∞

− = = = =∫ ∫ ∫ .

(φ4) ϕ este uniform continuă pe .

Avem 2121 ttxee xitxit −⋅≤− ,

138

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

∫∫

>≤

>≤

+∞

∞−

+∞

∞−

+−≤

≤−+−≤

≤−=ϕ−ϕ

AxAx

Ax

xitxit

Ax

xitxit

xitxit

xdFxdFxtt

xdFeexdFee

xdFexdFett

221

2121

2121

ţinând seama că 22121 =+≤− xitxitxitxit eeee .

Dat 0>ε arbitrar, vom lua pe A aşa încât ( )2ε

<∫>Ax

xdF de îndată ce

221ε

<− tt , avem ( ) ( ) ε<ϕ−ϕ 221 tt . Ca o consecinţă rezultă de aici că pe un interval

suficient de mic din jurul originii, ϕ nu se poate anula. (φ5) Dacă ba +ξ=η , ,a b∈ , atunci ( ) ( )atet itb

ξη ϕ=ϕ .

Avem ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ateeMeeMt itbatiitbbaitξ

ξ+ξη ϕ===ϕ .

(φ6) Funcţia caracteristică a unei sume finite de variabile aleatoare independente este egală cu produsul funcţiilor caracteristice corespunzătoare termenilor.

Pentru 2=n avem ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )tteMeMeeMeMt iyitititit

21

21212121

ξξ

ξξξξξ+ξξ+ξ

ϕϕ=====ϕ

Pentru 2>n procedăm prin inducţie asupra lui n . (φ7) Fie FFF ,, 21 funcţii de repartiţie şi ϕϕϕ ,, 21 funcţiile caracteristice

corespunzătoare. Dacă 21 FFF ∗= , atunci 21ϕϕ=ϕ şi reciproc. Fie 21 FFF ∗= şi ( ) ( ) bxxa n

nkn =<<= +11 ... şirul de diviziuni ale intervalului

[ ]ba, aşa încât ( ) ( )( ) 0lim 1 =−+∞→

nj

njn

xx . Pentru orice t avem

( )( )

( )( ) ( )( )[ ]( )

( )( ) ( )( )[ ] ( )∫ ∑

∑∫∞+

∞− =+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→

=+∞→

−−−=

=−=

nk

j

itynj

nj

ynjxit

n

nk

j

nj

nj

njitx

n

b

a

itx

ydFeyxFyxFe

xFxFexdFe

12111

11

lim

lim

,

de unde deducem

( ) ( ) ( )∫ ∫∫+∞

∞−

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ydFexdFexdFe ity

yb

ya

itxb

a

itx21 .

139

Trecând la limită pentru −∞→a , +∞→b avem

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

ydFexdFexdFe ityitxitx21 ,

adică 21 ϕ⋅ϕ=ϕ . Reciproc, dacă 21 ϕ⋅ϕ=ϕ din cele de mai sus rezultă că 21 ϕ⋅ϕ este funcţia

caracteristică a lui 21 FF ∗ , de unde 21 FFF ∗= (funcţia de repartiţie este unic determinată).

De aici rezultă, ca o consecinţă imediată, că un produs de funcţii caracteristice este o funcţie caracteristică,

tϕ este o funcţie caracteristică.

Teorema 6.1. Fie ξ o variabilă aleatoare pentru care există ( )ξβn , atunci funcţia

caracteristică ξϕ este de n ori derivabilă şi ( )( ) ( )ξα=ϕξ kkk i0 , nk ≤≤1 .

Demonstraţie. Dacă derivăm formal de k ori ( nk ≤ ) funcţia caracteristică, obţinem

( )( ) ( )∫+∞

∞−ξ =ϕ xdFexit itxkkk . (6.6.)

Dar

( ) ( ) ( )ξβ=≤ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−k

kitxk xdFxxdFex ,

deci integrala din membrul doi există pentru nk ≤≤1 şi deci relaţia (6.6) are sens. Făcând aici 0=t se obţine

( )( ) ( ) ( )ξα==ϕ ∫+∞

∞−ξ k

kkkk ixdFxi0 .

Exemple. 1. Să se determine funcţia caracteristică a variabilei aleatoare ξ care urmează legea de

repartiţie binominală şi să se calculeze primele două momente.

Răspuns. Distribuţia lui ξ într-o singură probă este ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

qp01

: , deci

( ) qpet it +=ϕξ . Dacă facem n extracţii independente, avem n variabile aleatoare

independente ( ) nii ≤≤ξ 1 de tipul ξ şi ∑=

ξ=ηn

ii

1

, deci

( ) ( ) ( ) ( )nitn

qpettt +=ϕϕ=ϕ ξξη ...1

şi ( ) ( ) 1−η +=ϕ′

nitit qpenpiet , de unde

( ) npi=ϕη 0 şi ( ) npM =η .

140

Analog ( ) ( )npqpn

i+=

ϕ′′=ξα η 22

22

0.

2. Fie variabilele aleatoare independente 1ξ şi 2ξ ale căror densităţi de repartiţie sunt

( )[ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∈

−∉=ξ 1,1pentru

1,1pentru

210

1 x

xxf ,

( )

[ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈

−∈

−∈

−

+=ξ

2,0pentru

0,2pentru

2,2pentru

42

42

0

2

x

x

x

x

xxf .

Să se determine funcţia caracteristică a variabilei aleatoare 21 ξ+ξ=η . Răspuns. Conform proprietăţii (φ6) avem ( ) ( ) ( )ttt

21 ξξη ϕϕ=ϕ , unde

( ) ( )t

titeedxedxxfet

itititxitx sin

221 1

111

=−

===ϕ−

−

+∞

∞−ξξ ∫∫ ,

şi

( ) ( ) ( ) ( )t

tdxexdxexdxxfet itxitxitx

22cos12

412

41 2

0

0

222

−=−++==ϕ ∫∫∫

−

+∞

∞−ξξ ,

deci ( ) ( )22

2cos1sint

ttt −=ϕη .

3. Să se determine funcţia caracteristică şi momentele unei variabile aleatoare ξ normală ( )2,σmN .

Răspuns. Avem ( )( )

22

2

21 σ

−−

πσ=

mx

exf , deci

( )( )

∫∞+

∞−

σ

−−

πσ=ϕ dxet

mxitx 22

2

21

.

Cu schimbarea de variabilă σ−σ−

= itmxu obţinem

( ) 2

22

2

2

2

22

21 σ

−+∞

∞−

σ−

=π

=ϕ ∫timtutimt

edueet ,

141

deoarece π=∫+∞

∞−

22

2

dueu

.

Avem ( ) ( ) imetimt

timt=σ−=ϕ′

=

σ−

0

2

22

20 deci ( ) mM =ξ . Analog obţinem

( ) 222 σ+=ξ mM , ( ) 23

3 2 σ+=ξ mmM , ( ) 22 σ=ξD etc. Definiţie. O funcţie de repartiţie F este normalizată dacă valorile lui F în

punctele sale de discontinuitate sunt egale cu ( ) ( )

200 ++− xFxF

.

Am văzut că dată fiind funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare putem construi funcţia sa caracteristică. Rezultatul reciproc este dat de:

Formula de inversiune. Fie variabila aleatoare ξ a cărei funcţie de repartiţie este F şi funcţia caracteristică ϕ . Dacă 1x şi 2x ( 21 xx < ) sunt puncte de continuitate a lui F , atunci

( ) ( ) ( )∫−

−−

∞→ϕ

−π

=−c

c

itxitx

cdtt

iteexFxF

21

22 21lim . (6.7.)

Relaţia (6.7.) are loc pentru orice 1x , 2x ( 21 xx < ), dacă F este normalizată. Pentru demonstraţie vezi [9]. Din formula de inversiune se deduce cu uşurinţă: Teorema de unicitate. Funcţia de repartiţie este determinată în mod unic de

funcţia sa caracteristică. În ipoteza că ξ are densitate de repartiţie din formula de inversiune rezultă

următoarele consecinţe: 1. Dacă funcţia de repartiţie F este derivabilă în punctul x derivata sa, f , în x este

dată de relaţia

( ) ( )∫−

−

∞→∞→ϕ

−π

=c

c

itxith

chdtte

ithexf 1

21limlim , (6.8.)

dacă şi numai dacă membrul drept există. 2. Dacă funcţia caracteristică ϕ este absolut integrabilă pe , atunci funcţia de

repartiţie corespunzătoare F este absolut continuă, derivata ei, f , este continuă şi

( ) ( )∫+∞

∞−

− ϕπ

= dttexf itx

21

. (6.9.)

Exemple. 1. [4] Să se determine funcţia de repartiţie corespunzătoare funcţiei caracteristice

( ) 2

2t

et−

=ϕ .

142

Răspuns. Formula de inversiune se scrie

( ) ( ) ( )

∫

∫∫

∫∫

∞+−

∞+

∞−

−∞+

∞−

−

+∞

∞−

−−+∞

∞−

−

π=

=−

π+

π=

=−

π=ϕ

−π

=−

0

2

2

2

2

2

2

2

2

sin1

cos121sin

21

1211

21

0

dtettx

dteit

txdtettx

dteitedtt

ite

FxF

t

tt

titxitx

Derivând în raport cu x şi integrând prin părţi obţinem

( ) ∫+∞

∞−

−⋅

π=′ dtetxt

xxF

t2

2

sin1 şi analog ( ) ∫

+∞

∞−

−⋅

π−=′′ dtetxtxF

t2

2

sin1 de unde

rezultă ecuaţia diferenţială ( ) ( )xFxxF ′−=′′ .

Integrând avem ( ) 2

2x

CexF−

=′ , de unde

( ) 12

2

CdueCxFx u

+= ∫∞−

−.

Ţinând seama că π=∫+∞

∞−

−22

2

dxex

, din ( ) 0=∞−F rezultă 01 =C , iar din

( ) 1=∞+F rezultă π

=21C , deci

( ) ∫∞−

−

π=

x u

duexF 2

2

21

.

2. Să se determine densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare a cărei funcţie caracteristică este ( ) tet −=ϕ .

Răspuns. Avem conform consecinţei 2.

( )

( ) ∫∫

∫∫∫∞+

−∞+

−−

+∞−−

∞−

−+∞

∞−

−−

π=−

π=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

π=

π=

00

0

0

cos121

21

21

txdtedteee

dteedteedteexf

titxitxt

itxtitxtitxt

Integrând prin părţi obţinem ( ) ( )211

xxf

+π= , x∈ .

143

6.2. Funcţii caracteristice −n dimensionale

Fie ( )nξξ=ξ ,...,1 o variabilă aleatoare −n dimensională a cărei funcţie de repartiţie este ( )nxxF ,...,1 .

Definiţie. Se numeşte funcţie caracteristică a variabilei aleatoare −n dimensionale ξ aplicaţia : nϕ → definită de relaţia

( ) ( )∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

=∑

=ϕ n

n

kkxkti

n xxdFett ,...,,..., 11

1 . (6.10.)

Pentru 1=n , (6.10.) se reduce la (6.1.). Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare −n dimensionale are următoarele

proprietăţi (φ1) ( ) 10,...,0 =ϕ . (φ2) ( ) 1,...,1 ≤ϕ ntt , ( )1 ,..., n

nt t ∈ .

(φ3) ( ) ( )nn tttt ,...,,..., 11 ϕ=−−ϕ .

(φ4) ϕ este uniform continuă pe n . (φ5) Dacă ( )nξξ=ξ ,...,1 , ( )nnn baba +ξ+ξ=η ,...,111 cu ,j ja b ∈ ,

nj ≤≤1 , atunci

( ) ( )nn

n

jjtjbi

n tataett ,...,,..., 111

1 ξ=

η ϕ∑

=ϕ . Funcţia de repartiţie este determinată în mod unic de funcţia caracteristică. Exemplu. [4] Să se determine funcţia caracteristică a variabilei aleatoare

bidimensionale ( )21,ξξ=ξ a cărei densitate de repartiţie este

( ) ( )( )212

222

2121, a

yaxyx

ea

yxf −+−

−

−π= .

Răspuns. Avem

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

−

+−−+

+∞

∞−

+∞

∞−

+

−π=

==ϕ

dxdyea

yxdFett

ayaxyxytxt

ytxt

2

22

122

21

2

2121

121

,,

Cu schimbarea de variabile 21 a

ayxu−

−= , yv = se obţine

144

( )( )

( ) ( )222122

121

2

22222122

121

2

222112121

21

21,

ttattvuttatt

vaavtvtati

edudvee

dudvett

++−∞+

∞−

∞+

∞−

+−++−

+∞

∞−

+∞

∞−

+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

π=

=π

=ϕ

∫ ∫

∫ ∫

deoarece 121 2

22

=π ∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+−

dudvevu

.

6.3. Convergenţa şirurilor de funcţii caracteristice

Teorema 6.2. Dacă şirul de funcţii de repartiţie ( ) *n n

F∈

converge către o funcţie de repartiţie F în toate punctele de continuitate ale lui F , atunci şirul de funcţii caracteristice ( ) *n n

ϕ∈

corespunzătoare funcţiilor de repartiţie din şirul dat, converge uniform în orice interval mărginit către funcţia caracteristică ϕ , corespunzătoare funcţiei de repartiţie F .

Pentru Demonstraţie vezi [13]. Teorema 6.3. Dacă şirul de funcţii caracteristice ( ) *n n

ϕ∈

converge pentru orice

t ∈ către o funcţie ϕ continuă pe , atunci şirul de funcţii de repartiţie ( ) *n nF

∈

corespunzătoare funcţiilor caracteristice din şirul ales, converge către o funcţie de repartiţie F în toate punctele de continuitate ale lui F , iar ϕ este funcţia caracteristică corespunzătoare lui f .

Exemple. 1. Să se arate că şirul de variabile aleatoare ( ) *n n

ξ∈

cu aceeaşi densitate de

probabilitate ( ) ( )x

n

enxxf −

−

−=

!1

1

tinde către legea normală când ∞→n .

Răspuns. Avem

( ) ( ) ( ) nn

ndxexn

M xnn =

−=

−=ξ ∫

+∞−

!1!

!11

0

,

( ) ( ) ( )1!1

1

0

12 +=−

=ξ ∫+∞

−+ nndxexn

M xnn ,

deci ( ) nD n =ξ2 .

Fie variabila aleatoare ( )

( ) nnn

nD

M nn

n

nnn −

ξ=

−ξ=

ξξ−ξ

=η . Avem

145

( ) ( )

( ) ∫

∫∞+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

+∞−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

η

−=

=−

=ϕ

0

11

0

1

!11

!11

dxexen

dxxen

t

xn

itnnit

nn

nxit

n

Integrând prin părţi de 1−n ori obţinem ( )n

nitn n

itet−

−η ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ϕ

1

1 .

Avem ( ) ( )ntn

ittn

θ+−−=ϕη 2ln

2

, unde ( ) 0lim =θ∞→

nn

, deci

( )2

lnlim2tt

nn−=ϕη∞→

de unde ( ) 2

2

limt

nnet−

η∞→=ϕ . Deci şirul ( ) *n n

ξ∈

converge în

repartiţie către legea normală. 2. Să se arate că în teorema 6.3 este esenţial ca limita ϕ să fie continuă în 0=t (ϕ este

continuă pentru orice t ∈ dacă este continuă în 0=t ).

Răspuns. Fie ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<<−

−≤

+=

nx

nxn

nx

nnxxFn

pentru

pentru

pentru

12

0

, iar densitatea de probabilitate

corespunzătoare va fi ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−≤

<<−=

nxnx

nxnnxfn

saupentru

pentru

021

. Şirul funcţiilor

caracteristice este dat de ( )nt

ntdxen

tn

n

itxn

sin21

==ϕ ∫−

şi

( ) ( )⎩⎨⎧

≠=

=ϕ=ϕ∞→ 0pentru

0pentru01

limtt

ttnn.

Rezultă că ϕ nu este continuă în punctul 0=t .

Pentru orice x fixat ( )21lim =

∞→xFnn

, adică limita şirului ( ) *n nF

∈ nu este o

funcţie de repartiţie.

146


6.1. Fie variabilele aleatoare independente nξξ ,...,1 repartizate normal. Să se determine

repartiţia variabilei aleatoare ∑=

ξ=ηk

ii

1

.

Răspuns. η urmează o lege de repartiţie normală. 6.2. Să se determine funcţiile caracteristice ale variabilelor aleatoare ale căror densităţi de

probabilitate sunt:

a. ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−−

0pentru

0pentru

0

121 15

25

x

xeexf

xx

.

b. ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π≥

π≤

π<<

π

=

3sau

6pentru

36pentru

0

3sin3

xx

vxxf .

c. ( ) ( )xx eexf −+π=

2, x∈ ,

6.3. Fie F şi ϕ respectiv funcţia de repartiţie şi funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare a cărei moment de ordinul doi, 2μ , există. Se cere:

a. Să se arate că ( ) ( )tt ϕ′′μ

−=ψ2

1 este o funcţie caracteristică.

b. ( ) 2

221

t

et−

− este funcţie caracteristică. 6.4. Să se determine funcţia caracteristică şi momentele de ordinul k ale variabilei

aleatoare ξ a cărei densitate de probabilitate este ( )⎩⎨⎧

<≥

=−

0pentru0pentru

0 xxe

xfx

.

Răspuns. !kk =μ .

6.5. Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare ξ este ( ) taet −=ϕ , 0>a . Să se determine repartiţia lui ξ .

Răspuns. ( ) ( )22 xaaxf+π

= .

6.6. [4]. Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare. Să se arate că şirul ( ) *n n

ξ∈

converge în probabilitate către o constantă k dacă şi numai dacă ( ) iktnn

et =ϕξ∞→lim .

147

6.7. [6]. Fie ( ) *n nξ

∈ un şir de variabile aleatoare independente, având aceeaşi funcţie

de repartiţie şi aceeaşi valoare medie m . Să se arate că şirul ( ) *n nη

∈, unde

∑=

ξ=ηn

iin n 1

1 converge în probabilitate către m .

Răspuns. Se arată că şirul ( )( ) *n ntηϕ ∈

converge către funcţia caracteristică a variabilei

constante m . 6.8. Fie ξ şi η două variabile aleatoare cu aceeaşi densitate de probabilitate

( ) ( ) [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∉

−∈== ηξ

1,1pentru

1,1pentru

021

x

xxfxf . Să se determine funcţia caracteristică a

variabilei aleatoare η+ξ .

Răspuns. ( ) ( )t

ttt sin=ϕ=ϕ ηξ , ( ) 2

2sint

tt =ϕ η+ξ .

6.9. Să se determine densitatea de probabilitate corespunzătoare funcţiei caracteristice ( ) ( )1−λ=ϕ

iteet .

Răspuns. ( ) ( )[ ]

∑=

λ− λ=−

x

k

k

keFxF

0 !0 .

148

ANEXA 1 - Tabla de valori a funcţiei ( ) 2

2

21 x

exf−

π=

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

149

ANEXA 2 - Tabla de valori a funcţiei ( ) ∫−

π=Φ

x z

dzex0

2

2*

21

x ( )x*Φ x ( )x*Φ x ( )x*Φ x ( )x*Φ

0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0.96 0,33315 0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,02 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365 0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389 0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413 0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,3438 0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461 0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0,03359 0,41 0,1591 0,73 02673 1,05 0,3531 0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554 0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577 0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599 0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621 0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643 0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,36665 0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,3686 0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2919 1,13 0,3708 0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729 0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749 0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770 0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,18 0,3810 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,19 0,3830 0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,20 0,3849 0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,21 0,3869 0,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3159 0,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,32212 1,22 0,3883 0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,23 0,3907 0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 1,24 0,3925 0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 1,25 0,3944 1,26 0,3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938 1,27 0,3980 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941 1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 2,54 0,4945 1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948 1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951 1,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953 1,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956 1,33 0,4082 1,66 04515 1,99 0,4767 2,64 0,4959 1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,4961 1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963

150

x ( )x*Φ x ( )x*Φ x ( )x*Φ x ( )x*Φ 1,36 0,41131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965 1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,4967 1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969 1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,4971 1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,4973 1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974 1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,4976 1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977 1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979 1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,4980 1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,4980 1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982 1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 04887 2,94 0,4984 1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,4985 1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,4898 2,98 0,4986 1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,49865 1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0,49931 1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,49966 1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,49981 1,55 0,4394 1,88 04699 2,42 0,4922 3,80 0,499928 1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968 1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,499997 1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997

151

ANEXA 3 - Tabla de valori ( )ntt ,γ=γ

γ\n 0,95 0,99 0,999 γ\n 0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 20861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,729 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 4,558

10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97 ∞ 1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92

152

ANEXA 4 - Tabla de valori ( )nqq ,γ=γ

γ\n 0,95 0,99 0,999 γ\n 0,95 0,99 0,999 5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88 6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73 7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63 8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56 9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,65 0,50

10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46 11 5,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43 12 0,55 0,90 1,45 60 0,188 0,269 0,38 13 0,52 0,38 1,33 70 0,174 0,245 0,34 14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31 15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29 16 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27 17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,221 18 0,40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185 19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162

153

ANEXA 5 - Punctele critice ale distribuţiei 2χ

Număr de grade de

libertate k

Nivel de semnificaţie α

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99 1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016 2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020 3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115 4 1303 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297 5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554 6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872 7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24 8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65 9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09

10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56 11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05 12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57 13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11 14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66 15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23 16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81 17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41 18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01 19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63 20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26 21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90 22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54 23 41,6 38,1 3,2 13,1 11,7 10,2 24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9 25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5 26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2 27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9 28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6 29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3 30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

154

ANEXA 6 - Puncte critice ale distribuţiei Student

Număr de grade de libertate k

Nivel de semnificaţie α (regiunea critică bilaterală)

0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,0 2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9 4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78

10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59 11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22 14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,96 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92 19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,77 24 1,71 2,6 2,49 2,80 3,47 3,74 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72 26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55 60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46

120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37 ∞ 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005

155

BIBLIOGRAFIE

[1] Borel E., Sur les probabilités denomerables et leurs applications aritmétiques. Rend. del. Cerc. Mat. di Palermo, 1969, E. 27

[2] Blaschke, W., Vorlesungen über Integralgeometrie, ed. 3, V.E.B. Deutscher Verlag der Wiss. Berlin, 1955.

[3] Bădiu, V., Raischi, C., Curs de matematici aplicate în economie. Lito ASE, Bucureşti, 1986. [4] Cantelli, F.P., Considérations sur la convergence dans le calcul des probabilités. Ann. Inst.

M. Poincaré, 1935, 5, 3-50. [5] Ciucu, G., Simboan, G., Teoria probabilităţilor şi statistica matematică. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1962. [6] Ciucu, G., Craiu, V., Săcuiu, I., Culegere de probleme de teoria probabilităţilor. Editura

Tehnică, Bucureşti, 1967. [7] Ciucu, G., Craiu, V., Probleme de statistică matematică. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1968. [8] Cramér, H., Mathematical methods of statistics. Princeton, 1946. [9] Gmurman, V.E. Problemas de la teoria de los probabilidades y de estadistica matematica.

Editorial Mir U.R.S.S., 1975. [10] Iosifescu, M., Mihoc, Gh., Teoria probabilităţilor şi statistica matematică. Edititura Tehnică,

Bucureşti, 1966. [11] Kendall, M.G., Moran P.A.P., Geometrical Probability. Charles Griggin comp. Lim.

London, 1963. [12] Kolomogorov, A.N., Determinazione empirica di una legge di distribuzione. Giornale Set.

Hal. AHuari 1933, 4, 83. [13] Levy, P., Probability Theory, ed. 2-a, New-York, 1960. [14] Leonte, A., Trandafir R., Clasic şi actual în teoria probabilităţilor. Editura Dacia, Cluj-

Napoca, 1974. [15] Loève, Michel, Probability Theory, R. Van Nostrand Inc., New York, 1970. [16] Mihoc, G., Asupra proprietăţilor generale ale variabilelor statistice independente. Bull-

Math. Soc. Roum. Sci. 37 1, 37 – 82 (1933), 37, 2 17–78 (1936). [17] Mihoc, G., Urseanu, V., Matematici aplicate în statistică. Editura Academiei R.P.R.,

Bucureşti, 1962. [18] Mihoc, G., Ciucu, G., Craiu V., Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978. [19] Onicescu, O., Probabilităţi şi procese aleatoare. Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică,

Bucureşti, 1977. [20] Onicescu, O., Mihoc, G., Lecţii de statistică matematică. Editura Tehnică, Bucureşti, 1958. [21] Onicescu, O., Mihoc, G., ş.a., Calculul probabilităţilor şi aplicaţii. Editura Academiei

R.S.R., Bucureşti, 1956. [22] Popescu, O., ş.a., Matematici aplicate în economie. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1997. [23] Rényi, A., On the theory of order statistics. Acta Matematica, Acad. Scientiarum

Stungaricol, 1953, 4. [24] Santaló, L.A., Über das kinematische Mass im Raum, (G.1.5). Act. Sci. et. Ind. 357

Hermann, Paris, 1931.

156

[25] Sîmboan, G. ş.a., Teoria probabilităţilor. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967. [26] Trandafir, R., Culegere de probleme matematici pentru ingineri, ed. II-a, Editura Tehnică,

1977. [27] Tortrat, A., Calcul des probabilités. Paris, 1963.

Documents

Teoria Probabilitatilor