Teoria placilor

7/22/2019 Teoria placilor

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 1/29



. Introducere

Calculul fâşiei:

• Încovoierea cilindrică a plăcilor •Cazuri particulare

Calculul fâşiei după Gorbunov -Posadov

Calculul plăcii, metoda Westergaard



Introducere

Plăcile rezemate continuu sunt utilizate în următoarele situaţii:

sisteme rutiere rigide; piste de aterizaj pentru aeroporturi;

fundaţii radier.

În prezent, sunt cunoscute următoarele modele fizice de calcul:

fâşia extrasă din placa luată în studiu (lăţimea fâşiei este egală cu

unitatea de lungime, de exemplu, 1 m.); placă propriu-zisă.



Calculul fâşiei - încovoierea cilindrică a plăcilor

Se consideră, pentru studiu, o placă dreptunghiulare de lungime mare,rezemată continuu pe mediu deformabil şi articulată de-a lungul marginilorsale. Din această placă, astfel definită, se detaşează transversal o fâşiei culăţimea egală cu unitatea, fig.7.1. Această fâşiei va fi soluţionată ca o grindă rezemată pe mediu deformabil. Mediul de deformare este de tip winklerian.



(x)q

(x)q

xl

xl

Z

X

(y)q

.c

m1

.b

.a

Calculul fâşiei - încovoierea

cilindrică a plăcilor

Fig.1. Placa rezemată pe mediu elastic



Tensiunile pe secţiunile transversale ale fâşiei, fig.2., se determină curelaţiile din rezistenţa materialelor, teoria barelor:

(7.1.)

(7.2.)

(7.3.)

z•I

)x(M=

y

y

xζ

y

yxy I•1

S•(x)T=η

12h

•

1=I3

y




Calculul fâşiei - încovoierea

cilindrică a plăcilor

1=b

Z

Y

h

xζ zxη

z

dz

xζ xζ

ρ

(x)My (x)My

Fig.2. Fâşia solicitată la încovoiere şi tensiunile de pe

secţiunea transversală



În realitate, placa nu este formată din fâşii independente. Între fâşiiexistă o legătură (continuitate totală) conform căreia, deformaţiile transversaleale fiecărei fâşii să fie împiedicate. În consecinţă, se pot scrie următoarele

relaţii:

sau (7.4.)

(7.5.)

sau (7.6.)


;0=yε

0;=)•-(E

1= xyy ζμζε

);•-(

E

1=

yxx ζμζε

xE

-1=

2

x ζμ

ε



Expresia curburii fâşiei este următoarea:

(7.)

sau 8.)

unde: (9.)

sau (10)

în care:

D reprezintă rigiditatea la încovoiere a secţiunii de calcul a plăcii.


y•I

M(x)-=

1

ρ

2

2

2

-1

EI

M(x)-=

dx

wd

μ

2-1

EI=D

μ

)-12(1

Eh=D

2

3

μ



Prin două derivări succesive a relaţiei (7.10.) se obţine ecuaţia diferenţialăa suprafeţei mediane deformată a plăcii:

(11.)

Dar se cunoaşte

, (12.)unde:

- intensitatea încărcarea exterioară distribuite;

- intensitatea reacţiunii mediului,

în care:

reprezintă rigiditatea mediului de fundare;

- deplasarea verticală a unui punct din suprafaţa mediană a plăcii.

Dp

=dx

wd (x)

4

4n

p(x)-q(x)=(x)pn

(x)q

w•k=(x)p

k

w



În final, ecuaţia diferenţială a plăcii rezemate pe mediu winklerianrezultă de forma:

. (13.)

În cazul plăcilor încărcate cu sarcini uniform distribuite, de intensitate ,pentru care se fac notaţiile:

(14.)

şi , (15.)

soluţia generală a ecuaţiei (7.13.) este:

(16.)

(x)q=w•k+dx

wdD

4

4

4

D4

k

2

l=β

xl=l

l

x2ch

l

x2cosC+

+l

x2sh

l

x2cosC+

l

x2ch

l

x2sinC+

l

x2sh

l

x2sinC+

k

q=w

24

23

22

21

ββ

ββββββ



Constantele de integrare se determină din îndeplinirea următoarelorcondiţii:

deplasările sunt simetrice în raport cu axa OZ , rezultă:

;

pentru se constată că : şi

şi rezultă următorul sistem de ecuaţii cu două necunoscute şi :

. (17.)

0=C=C 32

2

l=x 0=)2

l=(xw 0=)dx

wd(

2l=x2

2

1 4

1 4

q C sin sh C cos ch 0k

C cos ch -C sin sh 0

C1 2C



Rezolvând sistemul de ecuaţii, rezultă cele două necunoscute :

(18.)

. (19.)

În final, deplasarea se calculează cu relaţia:

(20.)

ββ

ββ

ββββ

ββ

•2ch••2cos

sh•sin•2

k

q-=

ch•cos+sh•sin

sh•sin

k

q-=C

22221

ββ

ββ

ββββ

ββ

•2ch+•2cos

ch•cos•2

k

q-=

ch•cos+sh•sin

ch•cos

k

q-=C

22224

]l

x2ch•

l

x2cos•

2ch+2cos

ch•cos2-

-lx2sh•

lx2sin•

2ch•2cossh

•

sin2-1[D64l

•

q=w4

4

ββ

ββ

ββ

ββββββ

β



Deplasarea verticală , în diverse secţiuni, se determină cu următoarelerelaţii :

pentru secţiunea ,

, (21.)

pentru secţiunea :

. (22.)

0=x

)](-[1D64

l•q=w 04

4

βθβ

2

l=x

)(D24

l•q=

dx

dw1

3

βθ



Momentul încovoietor se determină, în diverse secţiuni, cu următoarelerelaţii: :

pentru o secţiune ,

, (23.)

pentru secţiunea :

. (24.)

În relaţiile de mai sus s-au introdus următoarele funcţii:

, (25.)

, (26.)

. (27.)

x

2

2

dx

wdD-=(x)M

0=x

)(8

ql=(x)M 2

2

βθ

:

ββ

βββθ

2ch+2cos

ch•cos2=)(0

ββ

ββ

ββθ

2ch+2cos

in2s-2sh

4

3=)(

31

ββ

ββ

ββθ

2ch+2cos

sh•sh2=)(

22



Primul caz particular

Se consideră placă rezemată pe mediu deformabil, fig. 3., acţionată pelaturile lungi de sarcini distribuite. Cele două laturi sunt libere. Acţiuniledistribuite pe lungimea de un metru se înlocuiesc cu încărcări concentrate deintensitate P.

Fig.7.3. Fâşia de placă încărcată cu forţe concentrate

Z

X

δ

w

2

l

PP



Reacţiunea mediului într-un punct oarecare este:

(28.)

Unde este soluţia determinată cu relaţia (7.20.), iar intensitatea sarcinii

distribuite, :. (29.)

Deplasarea se calculează prin exprimarea condiţiei de echilibru:

. (30.)

w)-k(=p δ

q

δ•k=q

∫2

l

0

wdxk-

2

lk=P δ



Al doilea caz particular

Se consideră o fâşie acţionată de o sarcină distribuită, de intensitate .Marginile sunt libere, fig.4.

Fig. 4. Fâşia acţionată de sarcini distribuite.

Z

X

δ

2

l

w

q



Reacţiunea mediului într-un punct oarecare este:

, (31.)

unde este soluţia determinată cu relaţia (20.), iar intensitatea sarciniidistribuite, , se calculează cu formula:

. (32.)

Deplasarea se află prin exprimarea condiţiei de echilibru:

. (33.)

w)+k(=p δ

w

δ•k=q

∫δ 2

l

00 wdxk+

2

lp=

2

lq

δ

Al doilea caz particular



Calculul fâşiei după Gorbunov-Posadov

Modelul considerat pentru terenul de fundare este liniar deformabil.Ecuaţia fibrei medii deformate a fâşiei în coordonate relative, fig. 5., este:

(34.)

unde:reprezintă săgeata fâşiei;

- abscisa reală măsurată din originea axelor de coordonate cetrece prin mijlocul fâşiei;

- semilungimea fâşiei;

- abscisa relativă a secţiunii fâşiei;

- reacţiunea terenului;

- sarcina exterioară.

)p(-)q(=)(v)-(1

IE IV2b

bb

ξξξμ

x

)(v ξ

l

l

x=ξ

)(p ξ

)(q ξ



Fig.7.5. Calculul fâşiei conform Gorbunov -Posadov:a. Fâşia acţionată de sarcină distribuită şi reacţiunea terenului; b. Terenul de fundare acţionat de reacţiunile de pe talpa fâşiei

X

x

x

r dr

Z

b.

)x(q

Z

Xa.

)x(p

)x(p

ll




Ecuaţia tasării terenului se determină cu expresia:

. (35.)

în care: - deplasarea (tasarea) suprafeţei terenului de fundare;

- abscisa relativă a celui punct al suprafeţei care se deplasează;

- distanţa relativă dintre acel punct al terenului de fundare;

- abscisa relativă a presiunii elementare care acţionează asupraterenului:

şi , ;

∫ξ

ξ

ρρξπ

μξ

)(1-

)+(1-0

20

C+d•ln•)p( E

)-2l(1-=)(w

)(w ξ

l

x=ξ

l

r=ρ

l

x=ξ

r+x=x

ρξξ += ρξ d=d




şi - modulul de deformaţie şi coeficientului lui Poissonpentru teren;

- constantă arbitrară.

Problema constă în a găsi legea de variaţie a reacţiunii . Condiţiilecare trebuie satisfăcute sunt:

echilibrul static trebuie să fie satisfăcut de sarcini şi reacţiuni;

săgeata fâşiei trebuie să fie egală cu tasarea terenului de fundare.

Se propune pentru exprimarea legii de variaţie a reacţiunii o serieexponenţială infinită, de formă:

(36.)

unde sunt coeficienţi necunoscuţi care urmează să fie determinaţi.

0E 0μ

C)(p ξ

......+a+.....+a+a+a=)(p ii

2210 ξξξξ

ia




Pentru aflarea coeficienţilor , se introduce relaţia (36.) în (34.) şi(35.), care se vor integra. Expresiile săgeţii şi fâşiei vor rezulta exprimate prinintermediul unor funcţii exponenţiale finite. Prin scrierea condiţiei deconlucrare:

(37.)

şi prin identificarea coeficienţilor ce stau pe lângă aceleaşi puteri ale lui , sedetermină constantele . ia

)w(=)(v ξξ

ia





Metoda datează din anul 1923.

Se consideră o placă rezemată pe un mediu winklerian şi încărcată ca înfig. 6.

Fig. 6. Placa rezemată pe mediu winklerian

aX

P

P

P

a/2a/2

1=b

Y



Reacţiunea mediului de fundare este de următoarea formă: . (38.)

Ecuaţia diferenţială a plăcii:

. (39.)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (7.38) este:

(40.)

unde se calculează cu relaţia :

, (41.)

şi reprezintă deplasarea unei fâşii de lungime infinită, de lăţime egală cuunitatea, paralelă cu axa OY şi solicitată de o sarcină .

kw=y)(x,p

D

y)p(x,=yddx

wd2+yd

wd+dx

wd22

4

4

4

4

4

∑∞

π

2,4,6..=mm0

a

xmcosY+w=w

)2

ysin+

2

y(cosl

2ak2

P=w 2y/-

0λ λ λ λ

0w




Ceilalţi termeni ai seriei satisfac condiţia de simetrie,exprimată astfel: tangenta la suprafaţa deformată după direcţia OX este egală cu zero în dreptul punctelor situate la jumătatea distanţei dintre sarcinileconcentrate.

Dacă se notează:

,

în cazul sarcinilor concentrate P, obţinem pentru deplasarea verticală maximăexpresia:

, (42.)

iar pentru reacţiunea mediului formula:

. (43.)

D

k=n

λ

D

k

8k

P=

8k

P=w

2

maxλ

D

k

8

P=kw=p maxmax




Tensiunea de întindere maxim pe faţa de jos a plăcii se calculează curelaţia:

(7.44.)

în care:

h reprezintă grosimea plăcii;

c- raza suprafeţei circulare pe care se admite că sarcina p este uniformdistribuită.

Tensiunea de întindere maxim în cazul în care forţele sunt aplicate pemarginea plăcii, fig. 7., se calculează cu relaţia:

(45.)0.71)-

kb

Eh(log

h

P)59.0+0.529(1=

4

3

2max μζ

1.724h>c c,=b

1.724h<c 0.675h.-h+1.6c=b 22

)kb

Eh(log

h

P)+0.275(1=

4

3

2max μζ




Fig.7. Placă acţionată pe contur şi în colţ cu forţe concentrate

P

P

P


Documents

Teoria placilor