Teoria del Riesgo en Mercados Financieros Una visión teórica

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25 Cuadernos Latinoamericanos de Administración - Vol. II No. 4 - Enero Junio de 2007

TEORÍA DEL RIESGO

EN MERCADOS FINANCIEROS:

UNA VISIÓN TEÓRICA1

Rafael Sarmiento Lotero2

Rodrigo Vélez Molano3

1 Trabajo de investigación realizado para la Universidad El Bosque. Escrito entregado el 16-04-2007 y aprobado el14-06-2007

2 Rafael Sarmiento Lotero. Economista, Magíster Economía Univ. Andes, Magíster economía Univ. Zurich Suiza,Especialista Finanzas Univ. Javeriana, Magíster Economía Univ. Louvaine la Neuve Belgique, Magíster EconomíaFinanciera Univ. Lyon 2 France, Doctor economía Univ. Louvaine Neuve, Belgique, PostDoctor Univ Lyon 2 y Univ.Geneve Suiza. Profesor investigador, Univ Javeriana, facultad de economía y Magíster Economía., Teoría del Porta-folio Univ Javeriana, Prof. de Riesgo y Concesiones Univ. Externado, Prof. Riesgo Univ. Militar, Prof. Riesgo yPortafolios Unv. del Bosque. [email protected], [email protected]

3 Rodrigo Velez Molano. Economista, Univ. Javeriana, Magíster Economía Univ. Javeriana, Profesor asistente enEconomía Univ. Javeriana y Univ. Militar. En Teoría de Portafolios. [email protected]

RESUMEN

Para poder entender el significado de riesgo enlas finanzas es necesario primero tratar de ha-llar el significado dentro de un marco teórico ydespués tratar de precisar en general de todoel documento que relación hay entre las finan-zas y la economía. La economía trabaja sobreun modelo de mercado en el cual existe un conjunto de precios que igualan la oferta y la de-manda, que se componen de factores tecnoló-gicos (oferta), preferencias y expectativas (de-manda). Las finanzas cuentan con una grancantidad de datos que les permite comprobarcualquier supuesto sobre sus modelos, modelosque se basan mayormente en supuestos de ra-cionalidad del individuo y mercados competitivos.

En general para la economía, los modelos par-ten de supuestos para lograr un comportamiento

ideal de los individuos que a su vez les permi-tan hallar el equilibrio. Dentro de la economíase encuentran dos áreas de trabajo: la ma-croeconomía y la microeconomía, la primeraestudia los problemas relacionados con tasasde interés, tasas de cambio, exportaciones eimportaciones, cuentas nacionales, entre otras;la microeconomía se centra en el problema demaximización tanto del consumidor como en ladel productor, además de su interacción en elmercado y como alcanzar el equilibrio. Sobreesta ultima (la micro), es donde las finanzas seencuentran con la economía ya que comparten

ABSTRACT

In order to understand the meaning of risk in fi-nance is necessary to first try to find the meaningwithin a theoretical framework and then try toexplain in general throughout the document thatthe relationship between finance and the econo-my. The economy works on a market model inwhich there is a set of prices that match supplyand demand, which is composed of technologicalfactors (supply), preferences and expectations(demand). The finances have a large amount of data that allows them to check any assumptionon their models, models that are based largely onassumptions of rationality of the individual andcompetitive markets.

Overall on the economy, the models are based onassumptions to achieve an ideal behavior of indi-viduals which in turn will enable them to find the

balance. Within the economy are two work areas:macroeconomics and microeconomics, the firstexplores the problems associated with interestrates, exchange rates, exports and imports, na-tional accounts, among others; microeconomicsfocuses on the problem of maximization of bothconsumers and the producer, in addition to theirinteraction in the market and how to reach a bal-ance. On this last (micro), is where finances arewith the economy and that share a common con-cept in the absence of arbitration. Based on thisconcept based micro finance and the financial econ-omy emerges, which proposes a model for finan-

Teoría del riesgo en mercados financieros: una visión teórica




un concepto en común, la ausencia de arbitraje. A partir de este concepto las finanzas semicro fundamentan y surge la economía finan-ciera, en la cual se propone un modelo para losmercados financieros cuya demanda es perfec-tamente elástica, porque el mercado se com-

pone de activos que son sustitutos uno del otro,y la oferta perfectamente elástica o inelásticadependiendo del modelo. Además de estudiarla aversión al riesgo de los individuos, el con-sumo y la inversión dentro de un marco de se-lección de activos riesgosos.

PALABRAS CLAVES

Riesgo en financiero, modelo de mercado, eco-nomía financiera, arbitraje, aversión al riesgo,activos riesgosos

cial markets where demand is perfectly elastic,because the market consists of assets that aresubstitutes each other, and supply perfectly elas-tic or inelastic depending on the model. In addi-tion to studying the risk aversion of individuals,consumption and investment within a selection of

risky assets.

KEY WPORDS

Risk in finance, market model, financial economy,arbitration, risk aversion, risky assets.

INTRODUCCIONPara poder entender el significado de riesgo enlas finanzas es necesario primero tratar de ha-llar el significado dentro de un marco teórico ydespués tratar de precisar en general de todo eldocumento que relación hay entre las finanzasy la economía. La economía trabaja sobre unmodelo de mercado en el cual existe un conjun-to de precios que igualan la oferta y la deman-da, que se componen de factores tecnológicos(oferta), preferencias y expectativas (deman-

da). Las finanzas cuentan con una gran canti-dad de datos que les permite comprobar cual-quier supuesto sobre sus modelos, modelos quese basan mayormente en supuestos de raciona-lidad del individuo y mercados competitivos.

En general para la economía, los modelos par-ten de supuestos para lograr un comportamien-to ideal de los individuos que a su vez les per-mitan hallar el equilibrio. Dentro de la econo-mía se encuentran dos áreas de trabajo: lamacroeconomía y la microeconomía, la primeraestudia los problemas relacionados con tasasde interés, tasas de cambio, exportaciones e

importaciones, cuentas nacionales, entreotras; la microeconomía se centra en el pro-blema de maximización tanto del consumidorcomo en la del productor, además de su inte-racción en el mercado y como alcanzar el equi-

librio. Sobre esta ultima (la micro), es dondelas finanzas se encuentran con la economía yaque comparten un concepto en común, la au-sencia de arbitraje4. A partir de este conceptolas finanzas se micro fundamentan y surge laeconomía financiera, en la cual se propone unmodelo para los mercados financieros cuyademanda es perfectamente elástica, porque elmercado se compone de activos que son sus-titutos uno del otro, y la oferta perfectamenteelástica o inelástica dependiendo del modelo.

Además de estudiar la aversión al riesgo de losindividuos, el consumo y la inversión dentro deun marco de selección de activos riesgosos.

Para efectos de análisis existen dos caminos,el primero es considerar una economía concertidumbre y la segunda con incertidumbre.Una economía con certidumbre es aquella endonde los individuos conocen con seguridad elvalor de las variables que se están evaluando,en otras palabras, toda la información dispo-nible hoy es suficiente y necesaria para dedu-cir el comportamiento de la economía en elfuturo. En cambio, cuando este argumento ya

no se aplica se dice que existe incertidumbre.En función de describir de manera más expli-cita este hecho, el concepto de incertidumbretomado del trabajo del profesor Frank Knight5

4 La ausencia de arbitraje para ambas áreas se refiere a que ningún individuo puede obtener una mayor utilidad otasa de ganancia sin violar su restricción presupuestal, dentro de una economía neoclásica.

5 Risk, Uncertainty and Profit (1921).

Rafael Sarmiento Lotero - Rodrigo Vélez Molano




ayuda a la explicación. Para Knight, cuando sepresenta una situación en la cual existe, seconoce y se puede calcular probabilidades so-bre un evento bajo una distribución de proba-bilidad (probabilidad objetiva), se presenta loque se denomina riesgo; en cambio cuandono se puede calcular las probabilidades numé-ricas existe incertidumbre. Sin embargo paraambos casos Knight, concluyo que el indivi-duo siempre tendrá unas probabilidades sub-

jetivas o personales, que están en función desus expectativas racionales. Por lo tanto elproblema de una economía en incertidumbreserá el conocer la distribución de probabilida-des de un hecho para que la incertidumbre sele convierta en riesgo.

He aquí el problema principal, la economía fi-nanciera y la teoría del portafolio pretenden -entre otras cosas- ayudar al individuo a tomarla mejor decisión cuando se presenta la incer-tidumbre, no cuando esta ya se haya resuelto.Para ello hay dos opciones. La primera, supo-ne que las probabilidades subjetivas de cadaindividuo están bien formadas y son correc-tas, y la segunda, intenta deducir la distribu-ción de probabilidad para un evento. Si se tomala primera opción, el modelo tiene que especi-ficar como se construyeron las probabilidades-por lo general es por el método Bayesiano-tomando en cuenta las expectativas de los in-dividuos, sin embargo aunque todos los indi-viduos tengan expectativas racionales no im-plica que estas tienen que ser iguales, causade esto es la asimetría de información.

La segunda opción nos lleva a suponer unadistribución de probabilidades que se puedageneralizar para todos los modelos, por lo ge-neral esta es la distribución normal. Resulta-do de varios trabajos empíricos en los cualesse hacen histogramas sobre las series de tiem-po para lograr determinar la forma de la dis-tribución de probabilidad6.

Como se expuso, lo fundamental hoy en la teo-ría de las finanzas es trabajar con incertidum-

bre y riesgo. Para mirar con más detalle estetema, se introducirá a Daniel Bernoulli (1734)quien fue el que desarrollo el concepto de uti-lidad esperada y posteriormente veremos laformalización que hicieron los profesores J. VonNeuman y O. Morgensten (1944) de los axio-mas y la existencia de la función de utilidad

esperada y caracterizaciones de los juegos delotería. Además de la medida de la aversión alriesgo por Arrow y Pratt, activos contingentesArrow-Debreu y el modelo alternativo desa-rrollado por Jack Hirshleifer, modelo en el cualel agente representativo es un consumidor yun inversionista al mismo tiempo. Sin embar-go, se espera que en una segunda entrega sepueda hacer la presentación de la teoría deportafolio Markowitz (1954) y del trabajo deLouis Bachellier (1900) sobre el comportamien-to de los precios de activos financieros; estosdos últimos temas son los que predicen a losmodelo CAPM, APT y CAPM continuo, siendoeste ultimo tema el desarrollado por el Profe-sor Robert Merton que le permitió obtener enparte el premio Novel de Economía.

TEORIA DEL RIESGO Y LA INCERTIDUMBREEn el desarrollo de la teoría económica se haobservado el papel fundamental que cumplenla oferta y la demanda como instrumentosversátiles del análisis económico. Sin embar-go, en la realidad se sabe que la vida econó-mica involucra asumir riesgos y enfrentarse asituaciones desconocidas que se resumen conla idea de incertidumbre. Dado que la deman-da puede fluctuar de un mes a otro; los pre-cios del trabajo, la tierra, las maquinas y loscombustibles suelen ser bastante variables; ycomo consecuencia el comportamiento de loscompetidores también se verá modificado. Enalgunas actividades, como la agricultura, elpetróleo y el gas, los individuos realizan in-versiones hoy y producen en el futuro, hacien-do que sus beneficios dependan de la evolu-ción de los precios y en consecuencia se veránexpuestos a sufrir pérdidas aleatorias comoresultado del riesgo que involucra la vida delindividuo.

Ante esta situación la teoría económica mo-derna se ve en la necesidad de incorporar laincertidumbre en el análisis de la conducta delas empresas y las economías domésticas. Al-gunos de estos componentes estudian por

ejemplo el papel de los mercados en la difu-sión de los riesgos en tiempo y espacio, la teo-ría de juegos, la especulación y el arbitraje,llegando así a interesarse por un objetivo co-mún como es "la conducta de los individuosen condiciones de incertidumbre".

6 Como se verá más adelante en el documento, el supuesto de la distribución normal no es del todo acertado.





Para comprender tal comportamiento econó-mico se hace necesario definir primero lo quese considera "bajo incertidumbre" (under un-certainity), entendiéndose de manera prácti-ca como una "inexactitud en lo conocido" (lackof certainity) donde por ejemplo un individuono conoce con certeza las consecuencias desus acciones. De esta manera, el resultado decualquier elección que haga el individuo de-pende no solamente de la elección en sí sinotambién del "estado del mundo"7 que esteaconteciendo8.

Tales inexactitudes pueden diferenciarse en dostipos: la primera ocurre cuando el individuose siente capaz de asignar algún tipo de pro-babilidad a los posibles "estados del mundo";mientras que en la segunda el individuo sesiente incapaz de hacer tal asignación. De aquí surge la principal diferencia entre riesgo e in-certidumbre respectivamente, pero esta teo-ría será desarrollada más adelante en base altrabajo del economista Frank H. Knight.

La teoría económica permite relacionar estosdos conceptos de manera que el significadodel término "riesgo" pueda interpretarse como"el peligro de perdida al cual se enfrenta elcapitalista ante la incertidumbre sobre el por-venir de la actividad económica en la que in-vierte". De esta definición se deduce que talpeligro es asociado como la justificación mo-ral para la obtención de beneficios en el casoen que la actividad tenga éxito. Mientras queen caso de pérdida se supone que el individuoincurre en una reducción involuntaria en sucapacidad de satisfacción o de bienestar, jus-tificada por la existencia de incertidumbre acer-ca del futuro de su inversión.

En este orden de ideas, para el estudio óptimodel comportamiento de las "organizacioneseconómicas" se debe observar como se enfren-tan los individuos al contexto intertemporalpara la toma de sus decisiones de inversión,la asignación de sus recursos y en general sudesempeño en un entorno incierto.

Así pues las organizaciones económicas pue-den ser diferenciadas en dos grupos constitui-dos por: las empresas, que poseen como acti-vos los medios físicos de producción para la

economía y a su vez emiten activos financie-ros para financiar sus actividades de produc-ción; y por los intermediarios financieros, queson poseedores y emisores de activos finan-cieros, invirtiendo entonces de manera indi-recta en activos físicos o reales.

Dentro de los activos financieros para invertirse tienen las acciones, los bonos de diferentesvencimientos, las opciones y los futuros, en-tre otros. De igual manera los intermediariosfinancieros más nombrados son los bancos, losfondos mutuos y las compañías de seguros,quienes captan los ahorros de las familias ylas empresas y los reinvierten en otros acti-vos financieros. Los mercados donde indivi-duos e intermediaros intercambian dichos ac-tivos financieros reciben el genérico nombrede "mercado de capitales".

Debido a la variedad de activos financierosexistentes no se puede considerar una únicatasa de interés o de retorno para todos porigual, sino que se observa todo un conjuntode retornos sobre cada uno de los diferentesactivos. Entonces dada esta diversidad de ac-tivos se supone que los agentes económicosbuscaran reducir el nivel de "riesgo" que abor-dan en la administración de su riqueza, me-diante las diferentes estrategias de inversión quedependen de la resolución de tal incertidumbre.

Los psicólogos han estudiado extensamenteesta "conducta encaminada a evitar el ries-

go", donde inevitablemente centran su aten-ción en la ansiedad que suscita la incertidum-bre en los individuos. Por su parte los econo-mistas se refieren a este comportamiento comola conducta de aversión al riesgo de los agen-tes, afirmando que los individuos normalmen-te son renuentes a correr riesgos aunque nodesconocen su papel clave en el desarrollo ycrecimiento de cualquier economía.

La medición de los diferentes niveles de ries-go se ha considerado como un aspecto criticoen la toma de decisiones para diferentes dis-ciplinas por muchos años, tanto así que en elárea financiera los inversionistas asumen quela toma de decisiones sobre sus posibles al-ternativas financieras esta asociada con el in-tercambio intuitivo entre retorno-medio y ries-go. De acuerdo con esto la decisión a tomar

7 La frase "estado del mundo" vincula lo que el individuo no puede controlar y lo que el individuo desconoceacerca de un futuro estado del mundo.

8 Hey, John Denis; Uncertainty in Microecoeconomics; New York, New York University Press. 1979.





dependerá de la técnica que se utilice paramedir el nivel de riesgo y las alternativas dis-ponibles para realizar coberturas del mismo.

Algunos antecedentes acerca de la literatura enteoría de riesgo mencionan los primeros estu-dios serios de nociones de probabilidad que fue-ron desarrollados en el siglo XVI en la época delRenacimiento. En esta etapa, la ciencia y la tec-nología avanzaron a un ritmo mucho mayor queen los siglos pertenecientes a la Edad Media.

Girolamo Cardano (1500 - 1571), fue un médi-co prestigiado aficionado a los juegos de azar(dados, cartas y ajedrez). A través del análisisde este tipo de juegos realizó múltiples análisisde probabilidad. En el libro "Liber de Ludo Aleae"(Libro de juegos de azar) publicado en 1663después de que Cardano murió, se propuso eltérmino "probable" que se refiere a eventos cuyoresultado es incierto y a través de este libro,Cardano fue la primera persona que cuantificóel riesgo mediante la medida de probabilidad.

La palabra latina probare significa probar oaprobar y Cardano fue la primer persona queintrodujo el concepto de probabilidad. Estetérmino ha evolucionado con el tiempo. El con-cepto de probabilidad que Cardano desarrollóse refiere al grado de credibilidad o aproba-ción de una opinión. Sin embargo, una ideamás reciente del término probabilidad estáasociada con resultados futuros que involucranincertidumbre. Este último concepto fue de-sarrollado cuando pudo medirse cuantitativa-mente la probabilidad con la frecuencia relati-va de eventos pasados.

Otro italiano que analizó y escribió respecto dela teoría de probabilidad fue Galileo (1564 -1642). El escrito mas conocido relacionado condicha teoría se tituló "Sopra gli Scopertie deiDadi" (Sobre los descubrimientos de los Dados).En él, como en la obra de Cardano, Galileo ana-liza la frecuencia de diferentes combinaciones yposibles resultados al tirar los dados.

A continuación se mencionan a Blas Pascal,Pierre de Fermat y a Chevalier de Mére, quie-nes propusieron un método sistemático paramedir la probabilidad. Los tres fueron france-ses académicos pertenecientes al siglo XVII.

Fermat utilizó conceptos algebraicos, Cheva-lier fue intuitivo y filósofo, Pascal aplicó con-ceptos geométricos a la teoría de probabilidad(mediante el triángulo de Pascal es posibleanalizar las probabilidades de un evento).

Los avances en álgebra y en cálculo diferen-cial e integral que se dieron en los siglos XVIIy XVIII propiciaron múltiples aplicaciones enteoría de probabilidad, desde la medición deriesgos en seguros e inversiones, hasta temasrelacionados con medicina, física y pronósticode las condiciones del tiempo.

En el año de 1730, Abraham de Moivre propusola estructura de la distribución de probabilidadnormal (conocida como distribución de campa-na) y propuso el concepto de desviación estándar.

En la misma época Daniel Bernoulli venia tra-bajando en la definición de un proceso siste-mático para la toma de decisiones, basado enprobabilidades, situación que dio lugar a lo quehoy se conoce como teoría de juegos e inves-tigación de operaciones.

Por tal motivo la literatura de riesgo hace espe-cial énfasis en la obra "Exposición de una NuevaTeoría en la Medición del Riesgo" publicada porBernoulli hacia el año de 1730. Esta nueva teo-ría se fundamenta en el concepto de valor espe-rado para lo cual se define que: "El Valor Espe-rado se obtiene al multiplicar cada posible ga-nancia por el numero de posibilidades en queestas pueden ocurrir, y luego se divide a la sumade estos productos por el numero total de casos

posibles donde, en esta teoría, la consideraciónde casos donde todos son de la misma probabi-lidad se insiste mas adelante"9. Una vez identi-ficada esta regla, según Bernoulli, se debe pro-ceder a enumerar las diferentes alternativas quesurgen de ella, examinar ciertas inconsistenciasy finalmente proponer algunas clasificacionespara la teoría del riesgo.

Sin embargo para un adecuado desarrollo delproceso se debe suponer que: "siempre y cuan-

do no haya razón para asumir que dos perso-nas se enfrenten a riesgos idénticos, ambosdeben poder esperar satisfacer sus deseos, y los riesgos que cada uno anticipe deben ser considerados en valores proporcionales"10. El

9 Definición tomada de Bernoulli, Daniel, "Exposition of a new theory on the measurement of risk" (translationfrom the 1730 version). Econometrica 22:23-36.

10 Bernoulli, Daniel, "Exposition of a new theory on the measurement of risk" (translation from the 1730 version).Econometrica 22:23-36.





significado de este valor no se basa en las ca-racterísticas de las personas ni en la toma deun precio determinado, sino en la utilidad querepresenta para el agente.

Por lo tanto una medición valida del riesgo nopuede realizarse sin considerarse el papel dela utilidad en el individuo, ya sea para asociarla utilidad de cualquier ganancia o bien paradeterminar que tanto rendimiento se requierepara obtener la utilidad establecida. De acuer-do con Bernoulli se deben hacer ciertas gene-ralizaciones para evitar que las circunstanciasdel individuo puedan influir en el ítem de utili-dad, algunas de estas son:

Si la utilidad de cada posible beneficio es-perado es multiplicada por el número deposibilidades en que estas pueden ocurrir,y luego se divide la suma de estos produc-

tos por el número total de posibles casosse obtiene la "utilidad media" (moral ex-

pectation) y el rendimiento que correspon-de a tal utilidad será equivalente al valordel riesgo en cuestión.

Se asume como probable que cualquier in-cremento en el nivel de riqueza, sin impor-tar lo insignificante que sea se traducirásiempre en un incremento en la utilidad,pero esta será entonces inversamente pro-porcional a la cuantificación de los bienesque se posean previamente11.

De esta forma, Bernoulli procede a establecerel caso general para un individuo y su curvade utilidad. Mediante la siguiente grafica sedefine que para un individuo sea AB la cuanti-ficación de los bienes que se poseen inicial-mente, entonces:

Sea la curva BGLS, constituida por las coor-denadas CG, DH, EL, FM, etc., que designanlas utilidades correspondientes a las abscisasBC, BD, BE, BF, etc., que señalan a su vez lasganancias en el nivel de riqueza.

También sea m, n, p, q, etc., las variables queindican el número de posibilidades en que BC,BD, BE, BF, etc., pueden ocurrir.

Entonces de acuerdo a la definición de moralexpectation se tiene que para este individuo

la utilidad media se representa:

Si ocurre AN = PO, entonces NO - AB repre-

sentará la ganancia propiamente esperada o elvalor del riesgo en cuestión que en este casoserá BP.

Por otra parte, para determinar que tanto desus bienes (AB) debe invertir un individuo, que

11 Respecto a esta "cuantificación" el autor se refiere a los bienes que puedan contribuir a satisfacer cualquier tipode necesidad, en este sentido no se puede decir que alguna persona no posea nada a menos que se estemuriendo de hambre.




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este interesado en dicha propuesta de valor,se debe examinar la curva de utilidad en di-rección opuesta tal que la abscisa Bp repre-senta ahora una perdida y la coordenada porepresenta su correspondiente disminución enutilidad. Si se supone un "juego justo"12 don-de la reducción de utilidad a la que se estaexpuesto, en caso de perdida, sea proporcio-nal a la utilidad obtenida para el evento enque se gane, se dice que An = AN, o po =PO. Esto quiere decir que Bp permitirá visua-lizar que parte de la riqueza que se tiene dis-

ponible para invertir, equivaldría a utilizar paraobtener el nivel de utilidad media PO, por lotanto se ha establecido un limite máximo parainversión del total inicial AB.

Una vez planteado el problema de manerageneral, Bernoulli supone examinar el caso enque la cuantificación de AB sea infinitamentegrande, incluso en proporción a la mayor ga-nancia posible BF, con lo cual el arco BM seconsidera una línea infinitesimalmente peque-ña y delgada.

12 La idea de "juego justo" se basa en suponer que hay igual oportunidad de ocurrencia para cada retorno del juego.13 En geometría, la asíntota, equivale a una línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin llegar nunca

a encontrarla.

En el grafico se supone que las ganancias BCy BD son cercanamente iguales y su diferen-cia CD se convierte en una medida infinitesi-malmente pequeña.

En este caso se define la línea Gr paralela aBR . Así rH representará la ganancia infinitesi-malmente pequeña en términos de "utilidad"para un individuo cuya fortuna es AC y obtie-ne la ganancia CD.

Entendido lo anterior se define AC = x, CD =dx, CG = y, rH = dy, AB = ? y sea b unaconstante con lo cual se tiene que dy = b*(dx/

x) o y = b* log(x/a). Por tanto la curva sBSserá una curva logarítmica y su asíntota13 seráQq.

Ahora bien, para obtener la utilidad media (PO)se deben reescribir sus componentes de ma-nera tal que constituyan la siguiente ecuación:

Encontrando que:

Finalmente se tiene que al resultado de la ope-ración AP se le resta la cuantificación AB y así el remanente BP será considerado entoncescomo el valor del riesgo de la proposición encuestión.





En conclusión se tiene que para la teoría delriesgo, los descubrimientos de Bernoulli sontodavía paradigmas en el comportamiento ra-cional de un inversionista. De esta manera seexpuso la idea que el grado de satisfacciónque resulta de un aumento en la riqueza deuna persona, es inversamente proporcional ala cantidad de bienes con que esa personacuenta, explicando con esto porqué el ser hu-mano se considera adverso al riesgo.

Según la historia, cien años después de la no-table contribución de Pascal y Fermat, el in-glés Thomas Bayes es quien aporta una nuevateoría de probabilidad, demostrando cómo to-mar mejores decisiones incorporando nuevainformación a la información anterior. Para1875, Francis Galton introdujo el concepto de"regresión a la media", en el cual a pesar delas fluctuaciones en los precios de los merca-dos organizados y que las cotizaciones de losactivos en dichos mercados pueden estar so-brevaluadas o subvaluados, siempre habrá unafuerza natural que presione los precios a su jus-to valor o a la "restauración de la normalidad".Con esto el concepto de probabilidad estáticose ve transformado en un concepto dinámico.

A comienzos del siglo XX los aspectos econó-micos del proceso de toma de decisiones ensituación de riesgos e incertidumbre empie-zan activamente a discutirse después del año1921 cuando se publica el libro clásico del eco-nomista norteamericano Frank H. Knight titu-lado "Riesgo, Incertidumbre y Beneficio". Enla publicación se comenta que a pesar de uti-lizarse comúnmente los términos Riesgo e In-certidumbre como palabras similares estos sondos términos diferentes.

Lejos de ser sinónimos -o casi- como ocurreen la vida cotidiana cuando alguien se refierea ellos, en la Ciencia Económica el Riesgo y laIncertidumbre son dos términos muy diferen-tes y diferenciarlos es uno de los principiosbásicos de la Economía.

Kinght -profesor de la Universidad de Chica-go- reconoce la "falta de certezas" en una yotra situación, pero sostiene que mientras enun caso es posible establecer mediciones enel otro no. Para lo cual se define que:

Riesgo: Se esta en una situación de riesgosi el azar al que se enfrenta una determi-nada unidad productiva o una decisiónpuede ser medido en términos probabilís-

ticos (aleatoriedad con probabilidades co-nocidas) se está ante una situación de estetipo.

Incertidumbre: Se está atravesando unasituación de incertidumbre cuando es im-posible realizar tales estimaciones, dadoque se trata de una aleatoriedad con pro-babilidades desconocidas.

Mientras el riesgo ofrece a un inversor la posi-bilidad de elegir de acuerdo con las expectati-vas y probabilidades de éxito (y tras un análi-sis de variables medibles), para el caso de in-certidumbre tales parámetros no existen.

Las diferencias entre una y otra situación notienen relación con las causas que provocanuna u otra. En todos los casos puede tratarsede causas exógenas (por ejemplo el clima),endógenas (producidas por otros agentes eco-nómicos) o de política (medidas impositivassobre ciertas industrias por ejemplo).

La distinción entre el Riesgo y la Incertidum-bre y la "posibilidad" o "imposibilidad" de me-dición de una y otra, respectivamente, es vitalen la determinación de los beneficios empre-sariales. Ya que según explica Knight, el ries-go no genera beneficios (extraordinarios),mientras que la incertidumbre sí lo permite (lacurva de costos incluye los beneficios ordina-rios, que son aquellos que no inducen a nin-gún productor a ingresar a un sector).

Por ejemplo si se espera que 1 de cada 10deudores no pague, todos los competidoresaumentarán el precio de venta 10%, pero ellono aumentará la tasa de ganancia. En cambio,una exitosa inversión realizada bajo condicio-nes de incertidumbre sí genera beneficios ex-traordinarios, que son -precisamente- la re-muneración por haberse atrevido a operar encondiciones de incertidumbre, y con éxito,aunque la ventaja del riesgo se basa en sutratamiento más concreto, basado en la dis-tribución de probabilidades de las variables.

En el prefacio a su obra 'Risk, Uncertainty andProfit' indicaba Knight sus intenciones críticasy su deseo de valorar el sistema de empresalibre que es un factor para asegurar y dirigirel esfuerzo de cooperación en el grupo social.El papel del empresariado es ahí definido comoel "factor básico" en esa coordinación dentrodel sistema económico.





La teoría de beneficio de Knight es una varia-ción del mismo análisis general producido an-teriormente por las teorías de John Bates Clarky Joseph A. Schumpeter, donde los autoresbuscaban establecer condiciones definitivaspara el equilibrio general en competencia per-fecta, aunque para Knight esto era el "merca-do perfecto" dado que él mantiene la idea decompetencia o la rivalidad como un ideal in-consistente con la conducta económica.

Complementando las ideas de Schumpeter so-bre la función innovadora del empresario en suteoría del beneficio, Knight supone al empresa-rio como receptor del beneficio puro, es decir, elingreso residual después de haber descontadotodos los pagos contractuales como recompen-sa por asumir la incertidumbre. Estableciendoal empresario como el capitalista que busca subeneficio en un mercado dinámico, y que no temeasumir riesgos al aceptar la incertidumbre deese mercado en constante cambio y así da tam-bién seguridad a los otros propietarios de re-cursos (entre ellos, al trabajador).

Según Knight, la incertidumbre proviene antetodo del hecho de que los procesos producti-vos precisan tiempo. Entonces se deben to-mar decisiones sobre los inputs ahora, paraobtener outputs en el futuro. Mientras que elcaso del consumidor, en general, se basa enque este no contrata sus bienes por anticipa-do ya que no sabe lo que quiere, cuánto, y conqué inconvenientes lo obtendrá, lo cual dejaal productor la tarea de crear bienes y ponér-selos a su disposición cuando llegue el mo-mento. Tal paradoja se basa en la "ley de losgrandes números"14 para la consolidación delriesgo (o de la incertidumbre) y así se obtieneun rasgo más fundamental del sistema econó-mico, en la producción para un mercado.

A cambio de este riesgo asumido ante la in-certidumbre, el empresario capitalista imponesu propio juicio al de los otros y decide (Tomade Decisiones) sobre el plan de producción delgrupo de los que poseen los recursos necesa-

rios para la producción y, justificadamente,puede reclamar los beneficios residuales.

La principal cualidad para tomar estas decisio-nes es la "previsión". Con libre competencia losindividuos con mayores capacidades de previ-sión son los que se especializan en la toma deestas decisiones. Así es como Knight distingueel rol del empresario, que toma las últimas de-cisiones, y afronta la última incertidumbre, delrol del manager que sólo decidiría sobre asun-tos cotidianos en dependencia del propietario.

Para reducir la incertidumbre económica, Knig-ht utiliza el mecanismo de la "consolidación".Entendiendo que la consolidación es a la incerti-dumbre lo que el seguro es al riesgo: un méto-do de reducción de la incertidumbre mediantela creación de un fondo de recursos comunes.De igual manera se acepta la posibilidad de re-ducir riesgos mediante la diversificación de lacartera de pedidos (el "portafolio"), denominán-dola entonces "difusión" del riesgo, aunque nocon tanta importancia como con la creación detales fondos comunes (por ejemplo la constitu-ción de una gran firma o holding).

Sin embargo Knight considera vital que lasempresas aprovechen las ventajas de su di-mensión para poder seleccionar los mejoresmanagers y así las decisiones más crucialesserían pues las referentes a la selección desus responsables15.

De acuerdo con lo anterior, Knight expone queel beneficio empresarial logrado no es sino elresiduo de la diferencia entre los ingresos con-seguidos en el mercado y el consumo de fac-tores necesario para la producción de bienes.Pero el beneficio no sólo compensa por haberasumido riesgos, sino es también el resultadode la diferencia (derivada de la inseguridad)entre el valor esperado y el valor real de losproductos colocados en el mercado. Con estaidea, Knight introduce un nuevo elemento enla consideración del papel del empresario don-de los beneficios que puede obtener éste nosólo dependen de sus propias capacidades, sinotambién de la medida general en que en elentorno de mercado se desarrollan iniciativas,

capacidades y formas de conducta.

14 Se considera la "ley de los grandes números" como el primer teorema fundamental de la teoría de la probabili-dad. Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimentoaleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad, cuando el experimentose realiza muchas veces.

15 En este punto no se discute el tema del posible 'oportunismo' de los managers que podrían defraudar alpropietario, basándose en la posible supervisión de sus actividades. Y el mayor riesgo moral se daría en eldirector que selecciona sus ejecutivos pero es muy difícil asegurarse ante las consecuencias de estas decisiones.





De esta manera la idea principal de este pri-mer estudio acerca del riesgo e incertidumbreeconómicos es que ser empresario significaestar dispuesto a correr peligros, siendo im-posible obtener ganancias sin enfrentarse a losdiferentes riesgos del ambiente económico,resumiendo lo anterior en la premisa "Si nohay nada que perder, no hay nada que ganar".Haciendo que el beneficio empresarial surjade la diferencia entre las previsiones y lo querealmente ocurre.

Como se ha visto, se han involucrado concep-tos de nivel de riqueza de los individuos conideas de ganancia, pérdida y rendimiento es-perado, haciendo inevitable considerar los di-ferentes peligros y posibilidades de beneficioque llevan al individuo a asumir una posición,un punto de vista, frente a determinados ni-veles de riesgo para los que su motivación nosolamente se medirá por la existencia de utili-dad sino también por la preocupación de ob-tener la maximización de la misma.

Entre los padres de la teoría de selección ensituación de riesgo e incertidumbre están tam-bién los economistas Milton Friedman y JosephStiglitz, quienes han estudiado el comportamien-to del hombre tomando decisiones racionales ensituación de una información completa.

De igual manera para el estudio del compor-tamiento de los individuos bajo el contexto deincertidumbre y sus implicaciones en la tomade decisiones respecto al consumo, la inver-sión y en general la valoración de los contra-tos financieros en los que se interesan, ha pre-valecido la teoría de "Hipótesis de la UtilidadEsperada" de Von Neuman y Morgenstern (V-N-M) desarrollada hacia 1947.

Bajo esta hipótesis cada decisión de consumoo inversión del individuo esta caracterizada porla determinación de un rango de posibles re-tornos para un activo, que a su vez son pon-derados por su probabilidad de ocurrencia (porejemplo en el caso de una lotería). El indivi-

duo considerado como un tomador de decisio-nes (decision-maker) actuará ya no solamen-te llevado por el parámetro de valor esperado

sino que sus preferencias involucraran tam-bién la maximización de su utilidad esperada.

En el desarrollo básico de la teoría se retomala idea de juego o apuesta justa, definida comoaquella en la que hay igual oportunidad paraque cada retorno pueda ocurrir. A partir deeste concepto justo se busca representar demejor manera las preferencias del individuofrente al simple cálculo del valor esperado, esteúltimo criticado por su deficiencia en determi-nar la cantidad de dinero que estaría dispues-to a pagar un individuo, como máximo, paraenfrentarse a una lotería en particular16.

UTILIDAD ESPERADAEl concepto de utilidad en términos generalesconsiste en una función que representa y davalor a un conjunto de bienes sobre los cualesun individuo tiene alguna preferencia. Toman-do como punto de partida esta definición po-demos introducir a Daniel Bernoulli, quien in-trodujo el concepto de utilidad esperada comoherramienta de elección ante un problema deincertidumbre, y los profesores VonNeuman-Morgesten que generalizaron las propiedadespara dichas funciones de utilidad esperada. Lacaracterística principal de este problema deelección, es que los bienes ya no son de con-sumo sino lo que se denomina loterías17.

DANIEL BERNOULLIAlrededor del año 1734 Daniel Bernoulli juntocon su hermano Nicolás Bernoulli, plantearonel siguiente juego:

Hay dos personas A y B, A le propone a B quelance una moneda repetidamente hasta quesalga sello. Si pasa que en el m-esimo lanza-miento sale cara la lotería pagará xm. Dadoesto, se conoce que la probabilidad de ganan-cia es:

Para Nicolás Bernoulli el valor esperado del juego es:

16 La paradoja de San Petersburgo trabaja la debilidad del valor esperado del dinero como criterio para agregarnuestras preferencias acerca de las loterías. Este es un caso extremo en el que el valor esperado de una loteríasería infinito, lo cual supondría que nadie estaría dispuesto a pagar un monto tal para participar en ella y por lotanto el valor real del juego es menor que su valor esperado.

17 Una lotería se define como una función que transforma un evento con una probabilidad de ocurrencia, en un pago.





Ahora supongamos que A le da a escoger a Bentre jugar y un pago cualquiera, la preguntaque B le debería hacer a A es: ¿cual es el valordel pago?. A puede responder a esta preguntasi encuentra un valor para el cual B le sea in-diferente entre jugar y el pago mismo18, yaque le ofrecerá más o menos dependiendo deque quiera A que acepte B. Al ser infinito elvalor esperado del juego, el individuo B nuncapodrá recibir un equivalente para dejar de ju-gar y el individuo A nunca estará dispuesto apagar una cantidad infinita.

Para Daniel Bernoulli, este problema puedetener una solución posible si en vez de utilizarel valor esperado del juego como herramientade decisión se utiliza lo que él denomino elvalor moral del dinero. Que en otras palabras,se refiere a la satisfacción que en este caso lede B a recibir un pago x

m, u(x

m). Dado que

para cada vez que el juego le pague xm B leasignará un valor u(x

m), el valor moral espe-

rado del juego será la sumatoria de la satis-facción moral que le produce el pago (u(x

m))

por la probabilidad de obtener esa satisfac-ción, que sería la misma de recibir el pago xm,matemáticamente:

Por ejemplo para un xm=2m, esta utilidad es-

perada tiende a Ln(4), se ve como el resulta-do difiere del valor esperado que es infinito.

La paradoja de Sant-Petersburgo como esconocido este juego, es fundamental-actual-mente el concepto del valor moral del dine-ro se le conoce como utilidad esperada- por-que permitirá mas adelante diferenciar en-tre la utilidad del valor esperado del juego yla utilidad esperada, términos que más ade-lante se explicarán con más detenimiento.Otro aporte que se desprende de este ejer-cicio es, que la satisfacción de un individuodepende de la acumulación que tenga de di-nero y que esta acumulación a su vez de-

pende del resultado del juego, en otras pa-labras, la utilidad esperada esta en funciónde la riqueza y del valor esperado del juego,además es una función creciente, es decir,el individuo prefiere más a menos.

Como consecuencia del aporte de Daniel Ber-noulli, los profesores VonNeuman-Morgensten,se dieron a la tarea de formalizar el conceptode la utilidad esperada en su libro titulado TheTheory of Games And Economic Behavior (1944), aquí se presentan los axiomas.

J. VON NEUMAN-O. MORGENSTENPara los profesores VNM, el problema de lafunción de utilidad y más específicamente conel de la satisfacción que brinda consumir unbien, tiene relación con lo que pasa en la físi-ca con la sensación de calor o frío, la cual estotalmente subjetiva, ¿cuando se puede de-terminar objetivamente que una persona tie-ne frío o calor?. Para esto la física ideo unaherramienta alterna o proxy, la temperatura.Con el nivel de temperatura podemos deter-minar de una más general cuando un indivi-duo en condiciones normales podría tener fríoo calor. De igual modo la función de utilidadpuede servir como proxy para medir de ma-nera objetiva un aspecto totalmente subjeti-vo como lo es la satisfacción que le produceunas canastas de bienes a un individuo. Sinembargo, para que esto se pueda hacer de unamanera más acertada es necesario que las fun-ciones de utilidad cumplan con lo siguiente.

Considerando un sistema de utilidades U=(u,v,w),u>v para cualquier número α(0>α>1)y una operación:

α+(1-α)v : w

Estos conceptos satisfacen los siguientes axiomas:

1) Si u>v es un ordenamiento completo de U .Esto significa que escribir u<v significa quev >u. Entonces:

El sistema de preferencias es completo sí paracualquier u, v una y solo una de las tres rela-ciones se mantiene:

u>v ,u : v ,u<v

Y cumplirán el principio de transitividad sí:

u>v ,v >w⇒u>w

El axioma 1) nos dice que todo individuo ra-cional es capaz de ordenar sus utilidades de lamayor a la menor.

18 A este concepto se le conoce como equivalente cierto, para el cual un individuo es indiferente entre jugar orecibir un pago cierto.





2) Ordenamiento y CombinaciónSi u<v implica que u<αu+(1-α)v , entonceshasta con una probabilidad de (1-α) v será pre-ferido a u.

Si u>v ⇒ u>αu +(1+ α)v , entonces hasta conuna probabilidad de (1 - α) pasará que u>v .

Las preferencias son continuas si u<w <v impli-ca la existencia de α con αu + (1 - α)v <w . Si w es preferible a u, e inclusive v es más preferido,entones la combinación de u con una probabili-dad de (1-α) de v no afectará la preferencia porw si α es pequeño. Análogamente:

u>w >v ⇒ α, αu + (1 - α)v >w

En otras palabras un agente racional puedeconstruir una canasta en base a la mayor y la

menor utilidad dada una proporción que seapreferida a una canasta representada por lautilidad que cardinalmente se encuentre en elmedio de las dos.

3) Combinación algebraica:Cualquier combinación que el agente pueda ha-cer dado que es indiferente entre la combina-ción de las canastas representadas por dos utili-dades, será a su vez indiferente con otra combi-nación en donde una parte de la canasta sea tam-bién una combinación de las canastas anteriores.

Es irrelevante el orden de la combinación deu y v ya que son eventos alternativos.

Ya se mostró como las funciones de utilidadpueden ser de gran ayuda para volver un pro-blema subjetivo uno objetivo. Ahora es nece-sario ampliar estos axiomas ya no a unas uti-lidades que representan una canasta de bie-nes sino que se verá el comportamiento de laspreferencias dentro de un conjunto de lote-

rías, que representarán en este caso la incerti-dumbre acerca del nivel de utilidad que se po-drá obtener por parte de un agente racional.

LOTERIAS Y UTILIDAD ESPERADAA continuación se define formalmente el con-cepto de lotería y se exponen los axiomas quedeben seguir las preferencias sobre estas mis-mas, así como la representación de la utilidadesperada de la forma VNM.

Lotería se define como un juego que entregaunos pagos con cierta probabilidad de ocurren-cia. Y se denota como la lotería L, que entre-gará un pago n con una probabilidad p

n.

Dado esto podemos expresar las preferenciassobre las loterías de igual manera que en elcaso anterior.

a) Una lotería simple L es una lista L = (p1 ,......,

pn ), que para cualquier n , siendo p

nla

probabilidad de que el pago n ocurra.

b) Dadas K loterías simples Lk

= (p1

1 ,...., pk

n ),

k = 1,...,n, y α κ ≥ 0 , la lotería compuesta

(L1 ,...,L

k ;α

1,...,α

κ ) , será la alternativa riesgosa

que ofrece la lotería simple Lk con probabili-

dad α κ k .

La probabilidad de obtener el pago n en unalotería reducida Lk es:

c) La relación de preferencia en el espacio delas loterías simples L es continua si para cual-quier L,L´,L´´∈ L , los conjuntos:

{α∈[0,1]:αL+(1-α)L´ L´´}⊂[0,1]

{α∈[0,1]:αL´´ αL+(1-α)L´}⊂[0,1]

Cambios pequeños en la probabilidad no de-ben cambiar el ordenamiento de las preferen-

cias.d) La relación de preferencia en el espaciode las loterías simples L , satisface el axiomade independencia si para toda L,L´,L´´∈ L conα∈[0,1], tenemos:

El combinar L y L´con L´´, no cambia el orde-namiento de las preferencias sobre L y L´.

e) La función U: L →i tiene una función de utili-dad, si hay una asignación de números

(u1 ,....,un ) para los N pagos, tal que para cadalotería L=(p1,....,pn)∈ L , tenemos:

Una función de utilidad U: L →i tiene forma deutilidad esperada VonNeuman-Morgensten(VNM) sí y solo sí satisface:

A





Para cualquier K loterías, Lk ∈ L ,

Otra característica de las funciones de utilidadVNM, es que transformamos si linealmente unafunción VNM, esa transformación será una fun-ción VNM:

Suponga que U: L →i es VNM para sobre L .Ü: L →i, es otra VNM para sí y solo sí hay unescalar β >0 y γ , tal que,Ü (L)=β U(L)+γ , para cadaL∈ L .

Nótese que si U () es VNM con forma de utili-dad esperada, entonces Ü (L)=β U(L)+γ :

Ü (Lk ) tiene forma de utilidad esperada.

Como se mostró, las preferencias por las lote-rías satisfacen los axiomas de continuidad eindependencia, se puede decir que las prefe-rencias están representadas por una utilidadesperada, lo que permite hablar de un teore-ma de la utilidad esperada.

TEOREMA DE LA UTILIDAD ESPERADA

Suponga la relación de preferencias raciona-les en el espacio de las loterías L , satisfacelos axiomas de continuidad e independencia.Entonces L admite una representación de lautilidad como forma de utilidad esperada. Esdecir, podemos asignar un número u

na cada

pago n=1,....,N , de tal manera que para cual-quier par de loterías L=( p

1,....,p

n), L´=

( p1´,.... p

n´), tenemos:

Para demostrar este teorema20, supóngase queexiste la peor lotería L y la mejor lotería , talque Entonces:

1) Sí L>L´y α∈(0,1)⇒L>αL+(1-α)L´>L´.

19

19 Demostración: U () tiene forma de utilidad esperada, y hay una lotería compuesta (L1....,L

k ;α

1,....,α

κ ), donde L

k=

( pk

1,...., pk

n) y su lotería reducida sería , entonces:

L̄ L̄ L L,

AL∈ L .

20 Demostración tomada del libro Microeconomics Theory de Mass-Colell (1995).

2) Sea α,β∈[0,1]⇒βL+(1-β)L>αL+(1-α)L⇔β>α.3) Para cualquier L∈ existe un único númeroαk /[α

kL+(1-α

k)L]:L.

4) La función U : L →i que asigna U (L)=αL, L∈ L ,

representa la relación de preferencia .

Teniendo estos cuatro puntos se quiere mos-trar que para cualquier L;L´∈ y β∈[0,1]:

Por definición se tiene

Por lo tanto, por el axioma de independencia,aplicado dos veces

Reagrupando términos

En otras palabras, la lotería compuesta quearroja la lotería [U (L)L+(1-U (L))L]con proba-bilidad β y la lotería [U (L´)L+(1-U (L´))L] conuna probabilidad (1-β), tiene la misma loteríareducida como la lotería compuesta que arro-

ja L con probabilidad [βU (L)+(1-β)U (L´)] y L conprobabilidad [1-βU (L)-(1-β)U (L´)] .

Por la construcción de U(•) en el punto 4, setiene:

Y con esto acaba la demostración.

Como conclusión de esta sección podemosdecir que las preferencias del consumidor so-bre un conjunto de loterías pueden ser fiel-mente representadas por una función de utili-dad esperada, siempre y cuando cumplan conlos axiomas de continuidad e independencia.Ahora teniendo en cuenta el ordenamiento delas preferencias de un individuo bajo incerti-dumbre se puede pasar a analizar si éste es

amante, neutro o averso al riesgo, que depen-derá de la forma de su utilidad esperada.

¯ ¯

¯ A

_

_

_





utilidad esperada. Cuando el individuo valoramás el resultado del juego que el juego mis-mo, le produce más placer el ganar que sim-plemente participar del riesgo de jugar lote-ría, es averso al riesgo.

Para el caso en que u(E [w f ])<E [u(w f )], la utili-dad del valor esperado es menor que la utili-dad esperada. El individuo participará más porlas ganas de jugar que por el de obtener unaganancia, sin decir esto que no le importe per-der. A este individuo se cataloga como aman-te al riesgo.

Cuando u(E [w f ])=E [u(w

f )], tanto el juego como

el resultado tienen el mismo valor para el in-dividuo, es decir, es neutral al riesgo.

Los aportes académicos siguientes se basanen el supuesto de que todos los individuos sonracionales, y la racionalidad implica aversiónal riesgo. Tan importante es determinar si losindividuos son aversos como medir la "canti-dad" en que lo son. A esta "cantidad" se leconoce como prima. A continuación se verá aJensen y Arrow-Pratt, modelos clásicos paramedir la aversión al riesgo.

Ahora bien para observar la influencia del teo-rema en las actitudes de un individuo frente alriesgo se debe suponer que el agente decisortiene una determinada función de utilidad so-bre su consumo U (C ). Así mismo se suponeque el individuo conoce la probabilidad de con-seguir determinados niveles de consumo y queelegirá entre distintas alternativas maximizan-do la utilidad esperada de su consumo. Enton-ces sea π la probabilidad que el agente asignaa un determinado nivel de consumo C

i , y la

utilidad esperada vendría dada por:

Se diferencia entonces la incertidumbre aso-ciada al consumo como una variable diferentea la utilidad del consumo. Y por ejemplo, en el

caso de dos posibles niveles de consumo, C1

con probabilidad π y C2

con probabilidad 1-π,el consumo esperado E (C ), la varianza Var (C )y la utilidad esperada del consumo vienen da-dos por:

AVERSION AL RIESGO Y MEDICIÓNEl esfuerzo por saber que tipo de actitud tomael individuo frente al riesgo, se justifica en lamedida en que, este conocimiento permitasaber cual es la composición de la canasta deconsumo sobre los activos riesgosos y la ma-nera cómo la utilidad esperada se comportaen el margen cuando cambia la riqueza.

El concepto simple de aversión al riesgo es: laapatía que cualquier individuo puede tenerhacia una situación de riesgo o incertidumbre.Para simplificar el análisis de esta sección sele dará el mismo significado al riesgo y a laincertidumbre, contrario a la distinción hechaanteriormente. El mejor escenario que repre-senta este concepto son los juegos de lotería,y como complemento se tiene que medir lacurvatura de la función de utilidad para sabersi es cóncava (averso al riesgo), lineal (neutroriesgo) y convexa (amante al riesgo).

También es importante hacer claridad sobredos conceptos:

La Utilidad Esperada es la utilidad del pago(de una lotería) por su probabilidad de ocu-rrencia.

La Utilidad del Valor Esperado es la utilidadque arroja el valor esperado de la lotería, enotras palabras la utilidad de la esperanza del

juego.

Para hacer más claridad se dice que un indivi-duo tiene:

• Una riqueza inicial w0.

• Existe una lotería x =L( x ,- x ; p,1- p). .• La riqueza final será w

f =w

0+ x .

• Una función de utilidad en función de lariqueza u(w ).

De lo anterior:

A continuación toca determinar sí u(E [w f ]) (uti-

lidad del valor esperado) es mayor, menor oigual que E [u(w

f )] (utilidad esperada). Depen-

diendo de la relación se podrá decir si el indi-viduo es amante, neutro o averso al riesgo.

Para el caso en que u(E [w f ])>[u(w

f )], es decir,

la utilidad del valor esperado es mayor que la

~

~~

~

~

~

~

~ ~

~ ~

.





De esta manera, por una parte se puede hablardel riesgo (o variabilidad) del consumo en sí (algoque se puede medir a través de la varianza delconsumo) y por otra parte de la actitud del agen-te frente al riesgo (algo que viene exclusiva-mente definido por su función de utilidad).

De esta forma V-N-M separan el riesgo de laactitud frente al riesgo. Ya que mientras el ries-

go es un concepto que depende de las carac-terísticas especificas de la lotería o activo fi-nanciero que se considera, la actitud frente alriesgo va a depender del individuo en sí y porlo tanto, puede ser distinta para distintos agen-tes. De hecho, dependiendo de la forma de lafunción de utilidad se pueden distinguir trestipos de actitudes frente al riesgo, que son:

• Utilidad marginal positiva y decreciente: Aversión al riesgo.

La primera derivada de la función de utilidades positiva, por lo que la función de utilidad escreciente en el consumo. Además, en este

caso, la segunda derivada es negativa por lo

que una unidad extra de consumo genera másutilidad para niveles bajos de consumo quepara niveles altos de consumo; la utilidad

marginal del consumo es decreciente.

• Utilidad marginal positiva y constante: Neutralidad al riesgo.





En este caso, una unidad de consumo extragenera el mismo aumento de bienestar, inde-pendientemente del nivel inicial de consumo.

La segunda derivada de la función de utilidades igual a cero y los individuos son neutralesal riesgo.

• Utilidad marginal positiva y creciente: Propensión al riesgo.

En este caso unidades sucesivas de consumodan lugar a mayores aumentos en utilidad. Nosolo la utilidad es una función creciente en elconsumo y su primera derivada es positiva, sinoque la segunda derivada es también positiva.

En general esta sería la caracterización mate-mática de las actitudes frente al riesgo, y así mientras la función de utilidad sea doblementediferenciable, las actitudes frente al riesgo seclasificarán por su segunda derivada. Entoncesaunque Ú´(C)>0 para cada caso se tiene que:

• U ́ ´(C )<0, aversión al riesgo (concavidad)• U ́ ´(C )=0, neutral• U ́ ´(C )>0, propensión al riesgo (convexidad)

Para extender este análisis al caso de las lote-rías, se debe interpretar el valor particular quetome W con respecto al valor esperado de lalotería. Así pues, si la utilidad derivada de unvalor particular de W es mayor que la utilidadesperada de una lotería con el mismo valor dedinero esperado, se dice que tiene "aversión ries-go". Por su parte la "neutralidad al riesgo" seevidencia cuando el valor de retorno W es igual

a la utilidad esperada de una lotería. Finalmen-te la propensión al riesgo ocurrirá cuando la uti-lidad del retorno esperado de una lotería esmenor a la utilidad esperada de la lotería.

Cuando V-N-M propusieron esta teoría insistie-ron en que estos axiomas eran eminentementerazonables y que, por lo tanto, la teoría en si norestringía sustancialmente el ámbito del análi-

sis. Sin embargo casi de manera simultanea ala aparición del teorema, surgieron algunas crí-ticas de la misma entre las cuales cabe mencio-nar la paradoja de Allais (1953) y la paradojade Ellsberg (1961). Aunque se debe mencionarque todas estas criticas provienen de la llamada"economía experimental", la cual es una ramade la economía donde se efectúan experimen-tos encaminados a comprobar el grado de rea-lismo de ciertas prescripciones teóricas.

En general en la literatura de riesgo se encuen-

tran dos medidas formales de aversión al riesgolos cuales intentan capturar al máximo la no-ción de precio por el riesgo o prima de riesgo.Pero antes de llegar a ellos se considera perti-nente retomar el concepto de juego suma cero,el cual es un juego con un rendimiento medioigual a cero. Así el rendimiento aleatorio ξ es un

juego suma cero si E (ξ)=0.

En este orden de ideas se dice que la primeramedida se conoce como prima compensatoriade riesgo, ∏

c, que formalmente se define como

la cantidad de dinero que habría que pagara unindividuo para que acepte un juego suma cero.

Entonces se supone un individuo con un nivelde riqueza inicial W 0y una función de su riqueza

U (W ). En estas condiciones, la prima compen-satoria de riesgo ∏

c, viene definida por:

U (W 0)=EU (W

0+ξ+∏

c).

La segunda noción de precio de riesgo es la prima de seguro de riesgo, ∏

s, que se define




41Cuadernos Latinoamericanos de Administración - Vol. II No. 4 - Enero Junio de 2007

como la cantidad de dinero que estaría dis-puesta a pagar una persona que soporta un

juego suma cero para dejar de soportarlo. For-malmente se define por la ecuación:

EU (W 0+ξ)=U (W

0-∏

s)

Cuando el juego suma cero es suficientemen-te pequeño ambos conceptos dan lugar a lamisma prima de riesgo, en el sentido en que∏

c≅∏

s≅∏.

Entonces cualquier individuo será adverso alriesgo si y solo si satisface:

U [E (W )]>EU (W 0+ξ).

Es decir que para cualquier agente adverso alriesgo, la utilidad que le reporta el valor espe-rado de un juego es mayor que la utilidad es-perada de jugar. Si además el juego es de sumacero el individuo adverso al riesgo no jugaráese juego y prefiere su riqueza inicial (quecoincide con el valor esperado del juego). Nó-tese que la diferencia entre la utilidad del va-lor esperado del juego y su utilidad esperadadepende del grado de curvatura de la funciónde utilidad que es, en definitiva, lo que captu-ra el grado de aversión al riesgo para agentescon funciones de utilidad cóncavas.

Así mismo la neutralidad y la propensión alriesgo pueden definirse respectivamente como:

U [E (W )]=EU (W 0+ξ)

U [E (W )]<EU (W 0+ξ)

Cuando el juego suma cero es suficientemen-te pequeño, es posible obtener una aproxima-ción explicita a la prima de riesgo. Este proce-so se basa en aplicar la expansión de Taylorpara aproximar polinomios en el caso de laprima de seguro de riesgo. El desarrollo deesta aproximación obtiene una ecuación finalen la que se evidencia que la prima de segurodependerá de dos términos:

∏s

= .

El termino σ2

ξ /2 se refiere exclusivamente al ries-

go del juego suma cero, donde cuanto mayor esel riesgo del juego, mayor es la prima de segu-

ro. El otro término depende exclusivamente delas características de los individuos (su funciónde utilidad). Por lo tanto este término será unbuen indicador para la medida de aversión alriesgo del individuo.

En este punto se hace referencia al coeficiente deaversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt (A-P)(1965) para un individuo cuya función de utilidades U (W ). El coeficiente se representa como:

A(W )=- U ́́ (W )

Con esta desagregación de A-P a la prima deseguro de riesgo se puede observar cómo el efec-to en la prima de seguro será positivo si y solosi el individuo es adverso al riesgo, ya que lasegunda derivada de la función de utilidad seríanegativa en dicho caso. Para un individuo neu-tral al riesgo la prima será cero y para uno pro-penso al riesgo la prima será negativa.

Si el grado de concavidad de la función de utili-dad refleja el grado de aversión que tiene unindividuo, parece lógico pensar que la segundaderivada de U(W) se asocie con el grado de aver-sión al riesgo. En el coeficiente A(W) no solo setoma la segunda derivada sino que se normali-za por la primera derivada de la función de utili-dad. Con esto se asegura que ante transfor-maciones lineales de la función de utilidad, elcociente entre la segunda y la primera derivada sí se mantengan constantes y por ende se manten-drán las mismas preferencias de los individuos.

Otra medida útil de aversión al riesgo de unindividuo es el coeficiente de aversión relativaal riesgo de A-P que se define como:

RW )=-WU ́́ (W )=WA(W )

Como su nombre lo indica, este coeficiente per-mite capturar la aversión al riesgo en térmi-nos relativos o porcentuales. Entonces en elcaso de aversión absoluta al riesgo se anali-zará por ejemplo la cantidad de dinero que unindividuo decide invertir en actividades arries-

gadas, mientras que con la medida relativa deaversión se analizará en que proporción oporcentaje el individuo decide realizar su in-versión en activos riesgosos21.

U ́(W )

U ́(W )

U ́́ (W 0)σ2

ξ

U ´

(W 0)2

21 Según el trabajo de Menezes y Hanson (1970), influenciados por la obra de Arrow-Pratt, la importancia de A(W) enel estudio de aversión se evidencia para el caso en que la riqueza del individuo varía mientras su nivel de riesgo no lohace. De igual manera para R(W) resaltan su relevancia en el caso en que la riqueza y el riesgo son modificados enla misma proporción.





Tras la teoría de la "Hipótesis de la UtilidadEsperada" de Von Neuman y

DESIGUALDAD DE JENSENPrimero que todo, la desigualdad de Jensenno es un resultado de un análisis económicosino que es una herramienta matemática quepermite determinar la actitud del individuofrente al riesgo mediante la forma o concavi-dad de una función dentro de un espacio deprobabilidad, utilizando para este caso en es-pecifico una función U :¡→¡, con una variablealeatoria x y con una función de distribuciónde probabilidad F ( x ).

La formalización de la desigualdad para repre-sentarla como un problema de elección de lo-terías en incertidumbre sería:

Si para cualquier lotería F(•), la lotería des-compuesta que rinde ( ) xdF x∫ , con certeza es almenos tan buena como la lotería F(•) misma,podemos decir que u(x) es cóncava. Si las pre-ferencias admiten ser representadas como unafunción Bernoulli de utilidad esperada22, la de-finición anterior se puede expresar como:

Dado que la distribución de probabilidad escontinua, la representación del valor espera-do se puede expresar como la integral alrede-dor de un valor, así podemos reescribir la ex-presión anterior como:

Repasando los conceptos del apartado ante-rior, podemos decir que la utilidad esperadaes menor que la utilidad del valor esperado,por lo tanto el individuo es averso al riesgo.Uniendo las conclusiones de las dos expresio-nes anteriores, se puede demostrar que sí lafunción de utilidad u( x ) es cóncava, el indivi-duo siempre será averso al riesgo. Y por lotanto la utilidad marginal es decreciente conrespecto a la riqueza. Y así mismo, si la des-

igualdad tiene signo contrario se dice que lafunción de utilidad es convexa y el individuoes amante al riesgo y si los dos valores soniguales la función de utilidad será una línearecta y el individuo es neutral al riesgo.

Sin embargo retomando el aporte de DanielBernoulli, para realizar un juego de lotería, aparte de la lotería se necesita "algo" que hagaindiferentes a los agentes entre el juego y elresultado, en otras palabras, "algo" que losvuelva neutros al riesgo, con el fin de que losindividuos tengan un punto de comparación almomento de tomar la decisión de participaren el juego. A este "algo" se conoce como elequivalente cierto. Siguiendo con los concep-tos expuestos el equivalente cierto de la lote-ría F ( x ), denotado c (F ,u), es la cantidad de di-nero con la cual el individuo es indiferente entreapostar F ( x ) y la cantidad cierta c (F ,u), esdecir:

Es decir iguala la utilidad esperada con la uti-lidad del valor esperado.

Además, dependiendo de la forma de la fun-ción de utilidad los agentes estarán dispues-tos a pagar una prima de riesgo por deshacer-se de ese riesgo si sienten apatía por él. Alcontrario que los amantes, que reciben unacantidad para entrar al juego ( prima de com-

pensación) y para lo neutros esta cantidad escero.

Para cualquier cantidad dada de dinero x y unnúmero positivo ε, la prima probable, denota-da por π( x,ε,u), es el exceso en la probabilidad

de ganancia sobre las verdaderas opciones,que hacen que el individuo sea indiferenteentre el pago cierto x y una apuesta que seencuentra entre x +ε y x -ε, es decir:

Tal y como en una economía bajo certidumbreel individuo es maximizador de su utilidad, eneste caso esperada. Para cumplir con esta con-dición de maximización, se debe cumplir queel agente sea averso al riesgo, que u( x ) seacóncava y dos veces diferenciable[u´( x )>0,u´´( x )<0], que la cantidad cierta que hace

al individuo indiferente entre el jugar o no, seamenor o igual que lo que rinde la lotería ( ) ( ),c F u xdF x≤ ∫ y que el individuo este dispues-to a pagar una cantidad positiva para librarseo disminuir el riesgo de jugar.

22 Una función Bernoulli de utilidad esperada, es aquella que se encuentra en función de la riqueza y cumple conlos axiomas de continuidad e independencia.





Habiendo resuelto el problema de determinarque actitud toma el individuo frente al riesgo,el análisis se dirige ahora a medir esa actituden términos de cantidades, campo en el cuallos profesores Arrow-Pratt son referencia ybase de trabajo obligatoria.

ARROW-PRATTLos profesores Arrow-Pratt trabajaron bajo unmodelo de racionalidad, es decir todos los in-dividuos son aversos al riesgo y sus funcionesde utilidad son cóncavas. La idea en generales deducir un método que permita establecerla cuantía de esta aversión no solo con el finde saber el "dato", sino para realizar compa-raciones de distintos agentes hacia un mismoevento de riesgo. Con el fin de comprendermejor las ideas de los profesores A-P, a conti-nuación se presenta de manera formal el mo-delo:

Si se establece el siguiente escenario:

+ Una lotería x , que sigue una función de den-sidad de probabilidad f ( x ).

+ Un individuo con una riqueza inicial w 0.

+ Una riqueza final que será w f=w

o+ x

+ Una función de utilidad en función de lariqueza u(W ).

Se define la prima de riesgo, π(w , x ), como lacantidad máxima que un individuo esta dis-puesto a pagar por deshacerse del riesgo y almismo tiempo el equivalente cierto es la can-tidad que hace al individuo indiferente entreel pago cierto y los pagos de la lotería, por lotanto la definición anterior se puede escribir:

* u(w o+E [ x ]-π(w

0, x ))=E [u(w

o+ x )]

Examinando la definición del equivalente cier-to, se encuentra que la cantidad que se le debepagar al individuo para lograr que sea indife-rente entre jugar y el pago, debe ser igual asu capital inicial w

0, más lo que se espera que

obtenga por jugar E [ x ] menos lo que "invirtió"por deshacerse del riesgo π(w

0, x ), eso es, el

individuo aceptará una cantidad igual a está,ya que dentro de ese valor ya esta desconta-da la cobertura que hace él del riesgo, por lotanto tendría el mismo nivel de utilidad si jue-ga o recibe el pago cierto.

Teniendo en cuenta que la riqueza inicial y elvalor del juego están dados desde el principio,lo importante será establecer cual va a ser elvalor de la prima de riesgo, que en ultimas es

el que determina que tan averso es un indivi-duo. Antes de comenzar con el modelo mate-mático se analiza lo siguiente, si un individuosiente demasiada aversión por el riesgo, laúnica manera de que él "juegue" es realizan-do una cobertura del riesgo, y entre más ries-go considere el individuo que halla, más ten-drá que cubrirse, en otras palabras tendrá quepagar más por deshacerse del riego, por lotanto desde ya se puede suponer que entremás averso sea un individuo al riesgo su pri-ma de riesgo es mayor.

Para mirar de manera más directa la relaciónentre prima de riesgo y aversión, los profeso-res A-P utilizaron las Series de Taylor, lo quese conoce como la aproximación de Arrow-Pratt:

Series de Taylor:Aprox. De primer orden: g( z +l )=g( z )+l *g´( z )+0(l 2)Aprox. De segundo orden: g( z +l )=g( z )+l 2g´ (́ z )+0(l 2)

La aproximación de primer orden se le aplicaal término de la izquierda y la de segundo or-den a la de la derecha de la expresión *, alre-dedor de la esperanza del equivalente cierto:

Para el término de la izquierda:

g( z )=u, z =w 0+E [ x ],l =-π

u(w 0+E [ x ]-π)=u(w

0+E [ x ])-πu´(w

0+E [ x ])

Para el término de la derecha:

g( z )=u, z =w 0+E [ x ],l = x -E [ x ]

E [u(w 0+ x )]= [u(w

0+E [ x ]+ x -E [ x ])]f ( x )dx

E [u(w 0+ x )]= [u(w

0+E [ x ])+

(x -E [ x ])u´(w 0+E [ x ])+

( x -E [ x ])2u´´(w 0+E [ x ])]f ( x )dx

E [u(w 0+ x )]≈u(w

0+E [ x ])+u´´(w

0+e[ x ])σ2

Retomando la expresión * se puede igualar lasdos últimas ecuaciones y despejando se ob-

tiene,

π(w 0, x )≈−

u´´(w 0+E [ x ])σ2

Como resultado la prima de riesgo, está enfunción de la riqueza inicial y el valor espera-do de la lotería. La prima de riesgo tiene doscomponentes:

∼

∼ ∼

∼

∼ ∼ ∼

2

∼

∼∼ ∼

∼

∼∼

∼

∼ ∼ ∼

∼ ∼ ∼

∼

∼

∼ ∼

2∼

∼∼

u´(w 0+E [ x ])2

∼





Subjetiva: se conoce como elcoeficiente de aversión al riesgo, y mide dichaaversión.

Objetiva: es el riesgo intrínseco, todo el mun-do lo conoce y lo puede medir además de serel mismo para todos.

Para determinar que individuo es más aversoque otro, las siguientes propiedades son equi-valentes:

Dadas dos funciones de utilidad, se dice queu2

tiene una aversión al riesgo mayor que u1

si y solo si se cumplen estas propiedades:

- Ru(u2)>Ru(u

1), el coeficiente de aversión con

respecto a u2es mayor que con respecto a u

1.

- Existe una función cóncava creciente ∅(•),

tal que u2(w )=∅(u

1( x )) para todo x . En otras

palabras u2

es una transformación cónca-va de u

1, por lo tanto u

2es más cóncava.

- c (F ,u2)<c (F ,u

1), que el equivalente cierto de

u2

sea menor que el equivalente cierto deu1.

- π(w,x,u2)>π(w , x ,u1), la prima pagada por u

2

debe ser mayor, ya que su coeficiente deaversión es mayor.

- Si u2

acepta una lotería F´(•) al menos tanbuena como algún pago cierto x , entoncesu1 también aceptará F´(•). Implicando

.u2( x )dF ́( x )≥ u

2( x ) y u

1( x )dF ́( x )≥ u

1( x ), es

decir cualquier riesgo tomado por u2

desdeuna posición de certidumbre, u

1también lo

aceptará.

Como ya se ha resaltado anteriormente la im-portancia de determinar el comportamiento deun agente frente a una situación de incerti-dumbre se basa en la capacidad que esto brin-da para poder hacer comparaciones entre dis-tintos individuos. Un gran avance en este sen-tido es la aproximación de Arrow-Pratt, sin

embargo no es la única. La comparación tam-bién se puede hacer mediante la clasificaciónde las loterías, determinando cual es la másriesgosa y estableciendo en dicho caso cualserá la elección del individuo.

COMPARACIÓN DE LA DISTRIBUCION DELOS PAGOSPara realizar este análisis nuevamente se re-curres a las herramientas que ofrecen otrasdisciplinas complementarias a la economía, eneste caso la estadística. Particularmente ladominancia estocástica, la cual permite esta-blecer para diferentes distribuciones de pro-babilidad, cual de ellas presenta una mayormedia con la menor volatilidad posible.

Para aplicar este concepto al problema de se-lección en incertidumbre, se supone que di-chas funciones de distribución de probabilidadrepresentan a las loterías.

Los retornos de las loterías se pueden medirpor nivel o por distribución, por ejemplo, siexiste una lotería F (•) rinde más que G(•) (do-minancia estocástica de primer orden) y F (•)es menos riesgosa que G(•) (dominancia es-tocástica de segundo orden). La funciones F (•)y G(•) serán restringidas por F (0)=0,F ( x )=1 yG(0)=0,G(x)=1 para algún x.

Dominancia Estocástica de Primer OrdenLa distribución F (•) dominará estocasticamenteen primer orden a G(•), si para una función nodecreciente u:i

+→i, se tiene:

También si F(x)≤G(x) x.23

Dado que la dominancia estocástica de primerorden se refiere a los niveles de las distribu-ciones se puede decir que, la lotería F serápreferida a G, si para una misma función deutilidad, la utilidad esperada con respecto a F es mayor que la utilidad esperada con respec-to a G.

Dominancia Estocástica de Segundo OrdenAhora se quiere comparar distribuciones o lote-rías, basados en la volatilidad o dispersión, esdecir cual es menos riesgosa. Para evitar la co-yuntura entre el retorno y el riesgo, se suponeque las distribuciones tienen la misma media:

Para cualquier dos distribuciones F ( x ) y G( x ),con la misma media, F ( x ) domina estocastica-

Ru=u´´(w

0+E [ x ])

u´(w 0+E [ x ])

∼

∼

σ2

2

_ _

A

23 Esto no quiere decir que todos los posibles retornos de G( x ) sean más altos que F ( x ).





mente en segundo orden a G( x ), si para cadafunción no decreciente u:i

+→i, se tiene:

Si para dos loterías que poseen una mismamedia, la utilidad esperada con respecto a Fes mayor que con respecto a G, la única ma-nera de que esto sea posible es que primero Gtenga una mayor dispersión alrededor de lamedia que F , por lo que podemos considerar aG más riesgosa que F y segundo dado la clasi-ficación de riesgo de las loterías, la utilidadesperada de la menos riesgosa es mayor quela utilidad esperada de la otra, es porque lafunción de utilidad es cóncava por consiguien-te el individuo que realizó esta decisión esaverso al riesgo.

Se puede decir que la dominancia estocásticaayuda a determinar que loterías son más ries-gosas y cuales tienen más retornos, y en cier-ta forma a valorarlas porque ayudan a deter-minar los pagos futuros. Ahora si se ve, lasloterías tienen un comportamiento parecido aun activo financiero riesgoso, ya que la incer-tidumbre girar alrededor de los pagos futuros.Siendo este el caso, lo más acertado para va-lorar activos riesgosos es el modelo de activoscontingentes Arrow-Debreu, que se presenta-rá a continuación.

MODELO ARROW-DEBREUEn general, para determinar cual es el retornofuturo de un activo se usa un modelo de pro-babilidades, las cuales no son del todo preci-sas, ya que son de carácter subjetivo, es decircada individuo las calcula de acuerdo a susexpectativas individuales, provocando que paraun mismo evento dos individuos tengan dife-rentes probabilidades de ocurrencia y por tantoel modelo de probabilidades no sea tan aserti-vo. Para disminuir en algo este problema lomejor es trabajar con probabilidades bayesia-nas ó probabilidades condicionales. Sin em-bargo en el año 1953 y 1964 el profesor Arrow,y luego en 1959 el profesor Gerad Debreu,

desarrollaron el modelo de activos contingen-tes elementales.

Este desarrolla un esquema de valoración enel cual, la incertidumbre de los pagos futurosse atan a hechos o escenarios posible deno-

minados estados de la naturaleza. El modelofunciona bajo el supuesto de arbitraje, y elhorizonte son dos periodos.

Para empezar a comprender el modelo prime-ro se tiene que definir que es activo contin-gente, activo Arrow-Debreu, precios Arrow-Debreu, cartera replica y estados de la natu-raleza.

Activo Contingente: es aquel activo financieropara el cual sus pagos se definen como unafunción de un evento futuro incierto.

Activo Arrow-Debreu: es un activo que paga 1si hay un determinado estado de la naturalezay 0 en caso contrario.

Precios Arrow-Debreu (∅s): valoran hoy las uni-

dades de consumo futuras teniendo en cuentatanto la incertidumbre de cada estado de lanaturaleza como la valoración temporal deldinero.

Cartera Replica: dado un activo o portafolioriesgoso, la cartera replica permite reproducirlos retornos de ese activo o portafolio riesgo-so a través de una combinación entre un acti-vo libre de riesgo24 y ese mismo activo o por-tafolio. Es decir, se puede crear una carteracapaz de reproducir los pagos de un activo ries-goso pero con una varianza menor.

Estado de la Naturaleza (s): es un evento fu-turo incierto, para el cual cada activo tendráun pago. Es decir, la relación es uno a uno,para cada estado de la natura habrá un únicopago, y viceversa. A estos estados se les sue-le dar una probabilidad de ocurrencia (π

s). Exis-

te un conjunto S que contiene un número fini-to de estados de la natura.

El modelo matemático se conforma de la si-guiente manera:

Hay un activo j que en el estado de la natura-leza s, genera un flujo de caja X

jsy hay un

precio del activo A-D ∅s

. En ausencia de arbi-traje el valor del activo será:

24 Activo libre de riesgo se define como aquel activo cuya probabilidad de generar retornos no positivos en casinula. El ejemplo más citado son los bonos del gobierno o tesorería.





Es importante anotar que, las probabilidadesde cada estado de la natura no son necesa-rias, ya que los precios de los activos contin-gentes son suficientes para valorar cualquieractivo financiero mediante la cartera replicasiempre que existan tantos activos financie-ros con pagos linealmente independientescomo números de estados de la naturaleza,es decir, que exista un conjunto completo deactivos A-D.

Al considerar cualquier activo j que paga X enel estado de la natura s, el agente puede re-plicar dicho pago manteniendo X en s=1,....S.Para que no haya arbitraje, el costo de la car-tera replica de activos A-D debe ser igual alcosto del activo j .

El costo de dicha cartera de activos A-D es elresultado de multiplicar precios por cantidades:

Comúnmente la cartera replica se construye apartir de activos libres de riesgo (bonos cupóncero) que pagan 1 al final del periodo, con unprecio:

Si al final del periodo se tiene un titulo porcada activo A-D, se está asegurando recibir 1al final de dicho periodo, y como se adquirióuna cartera replica de un bono cupón cero quetambién entregará 1 al final del periodo, enausencia de arbitraje, el costo de la carterareplica debe ser igual a la suma de los preciosde los activos A-D:

Habido expuesto el modelo de activos A-D,ahora se puede analizar las preferencias deun individuo cuando hay más de dos estados25,llevándonos al tema de las utilidades estado-

dependientes.UTILIDADES ESTADO DEPENDIENTESLa definición de estado de la naturaleza y suprobabilidad permanecen tal y como en el

modelo anterior. Sin embargo se va a limitar alos retornos que sean positivos26.

El comportamiento de s se puede expresarcomo una variable aleatoria g:s→i

+que con-

vierte los estados de la natura en pagos dedinero, tal que para cualquier:

Como S es finito posee un vector de pagos( x

1,.... x

s), donde x

ses el pago no negativo de

s. El conjunto de todas las variables aleato-rias no negativas es entonces S

+¡ .

Descrita la base del modelo se pasa a analizarlas presencias y la representación de la utili-dad esperada.

El enfoque se hará en la relación sobre el conjunto de variables aleatorias no negativas S

+¡ .Se define el activo s como la variable aleatoriaque paga 1 si y solo si el estado de la naturalezas ocurre (activo contingente), entonces el con-

junto S

+¡ es precisamente el conjunto enlace deesos activos contingentes.

Aplicando la lógica para mostrar la represen-tación de las preferencias utilizada anterior-mente, se tiene:

La relación de preferencia tiene una repre-sentación extendida de la utilidad esperada sipara cada s∈S, hay una función , talque para cualquier ( x 1,...., x

s)∈¡s+

y(x´,....x´

s)∈¡s

+:

Esta expresión guarda similitud con la expuestaen el problema de las loterías, y esto se debe aque en las loterías se asociaba sus pagos a unafunción de distribución al igual que los estadosde la naturaleza, por lo tanto la conclusión essimilar. Un individuo que se enfrenta a dos esta-dos de la natura con pagos vectores de pagosdiferentes, el criterio que utiliza para saber cualde ellos es más beneficioso es el de la utilidadesperada, el cual le dice que el preferirá un vec-tor de pagos a otro si y solo si la utilidad espe-rada de ese vector es mayor o igual a la utilidadesperada del otro vector.

25 En los casos anteriores de utilidad esperada el modelo hacia referencia hacia un solo estado.26 Un individuo no tendría incentivo en escoger una canasta que le proporcione un pago negativo, es decir una

perdida de riqueza.

∼





Hasta ahora se ha mostrado como un agenteresuelve el problema de elección cuando seencuentra en un ambiente de incertidumbre.De ahora en adelante se tiene que especificarde qué tipo de agente económico se está ha-blando, y para la economía financiera el agen-te representativo de los modelos es el inver-sionista. Para empezar a comprender el com-portamiento del inversionista bajo incertidum-bre se utilizará el trabajo de Jack Hirshleifer.

DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCER-TIDUMBREEn la economía comúnmente se habla de dostipos de agentes familias y firmas, sin embar-go desde el momento en que las familias deci-den ahorrar o las firmas en invertir, o en am-bos casos adquirir deuda, su comportamientoempieza a regirse por el comportamiento deuna tasa de interés. En cualquiera de los ca-sos, se hace un sacrifico en el presente espe-rando un beneficio futuro, para el caso de in-certidumbre sería un sacrifico cierto con el finde obtener un beneficio incierto, entonces cual-quier agente que presente este tipo de com-portamiento es un inversionista.

La dinámica en la cual el inversionista realizaeste sacrifico comienza con la decisión porparte del agente acerca del consumo. Luegode acuerdo con su función de inversión decidi-rá si es prestamista o prestatario.

Existe una economía de dos periodos (t =0,1),en el periodo 1 se da uno de los dos siguientesestados de la natura s=1,2 y cada uno tieneuna probabilidad de ocurrencia π1,π2. El agenteescoge un consumo en el periodo 0 c

0y un

consumo incierto en el periodo 1 c 1=c 1(c

11,c

12;π

1,π

2). El inversionista posee una fun-

ción de utilidad esperada estado-dependienteu(c

0,c

1) que le sirve primero para determinar

que canasta escoge cuando se presenta el es-tado de la natura 1 o 2, y segundo para deter-minar su nivel de consumo en el tiempo, esdecir, determinar su preferencia por consumirhoy ó mañana. Al igual que en cualquier pro-

blema de consumo en certidumbre el agentemaximiza su utilidad de acuerdo con su res-tricción presupuestal dada por la siguienteexpresión:

Para empezar con la maximización primero elinversionista debe escoger que canasta con-sumirá en el momento que se presente alguno

de los estados de la naturaleza. De la mismamanera que el agente tiene una preferenciapor el tiempo, tiene una preferencia por algu-no de los estados de la natura, por ejemplo siπ

1>π

2, el agente deseará tener una mayor nivel

de consumo en ese estado ya que es el másprobable que suceda, sin embargo el agentepodrá consumir lo mismo en los dos estadossi para el estado de la natura 2 se le agregauna lotería que de alguna manera le equiparelas probabilidades de ocurrencia entre los es-tados. Para el caso en que las probabilidadessean iguales el agente tendrá el mismo nivelde consumo en los dos estados, c

11=c

12, den-

tro del plano de mapas de curvas de indife-rencia esta característica está representada poruna línea de 45 grados. En cada punto de esalínea, los niveles de consumo para cada esta-do serán iguales de la misma manera que lasprobabilidades de ocurrencia de los estadosde la natura, para cualquier nivel de utilidadesperada.

Siguiendo con el caso específico π1>π

2, lo se-

gundo que debe hacer el agente es maximizarsu utilidad esperada en relación con sus pre-ferencias íntertemporales, sujeto a su restric-ción presupuestal, por las condiciones de pri-mer orden se tiene:

El agente maximizará su utilidad esperadasiempre y cuando la tasa a la que desea cam-biar consumo presente por consumo futuro,sea igual a la tasa efectiva a la que se pudecambiar, la tasa de interés. En el caso en quela TMS sea mayor que la tasa de interés, elagente reducirá el consumo en el futuro au-mentado el presente, reduciendo la TMS has-ta el punto que sea igual a la tasa de interés,para el caso en el que la TMS sea menor, serálo contrario.

Sin embargo, se supone que el agente ade-más de consumidor a su vez es propietario deuna firma, la cual tiene una función de pro-ducción. Brindándole la posibilidad al agentede inferir una curva de inversión. Se tiene unafunción de producción neoclásica, con dos fac-tores: trabajo y capital. Para el análisis ten-dremos un factor fijo, el trabajo. En una eco-nomía de dos periodos la firma se concentraen decidir si utiliza todo o alguna parte de su

∼

∼

∼





capital hoy, ó rentarlo a una tasa de interéshoy para recibir los pagos mañana. En esesentido la empresa maximizará su función deinversión cuando la tasa de transformacióntécnica sea igual a la tasa de interés, en otraspalabras, la inversión de un agente se maxi-miza cuando la tasa a la que él desea alquilarcapital sea igual a la tasa de interés27:

Si la TMST es mayor que la tasa de interés, ala firma se saldrá más barato alquilar capital,más de lo que ella esperaba, por lo tanto in-crementará su stock de capital hoy, disminu-yendo la acumulación en el futuro. Por otrolado, si la TMST es menor que la tasa de inte-rés, la firma podrá prestar su capital a unatasa más alta de lo que ella desea, reduce sustock de capital hoy para prestarlo a una tasade interés, con el objetivo que en el siguienteperiodo pueda aumentar su capital en (1+r ).

Si se supone que existe un solo bien, y se lodefine como numerario, es decir, que el capi-tal se puede expresar en función del bien, sepuede integrar dentro de un mismo plano lasdecisiones del agente que es consumidor y suvez posee una firma.

Entonces, ahora sí el inversionista, tendrá queresolver el problema del capital y del consumosimultáneamente sujeto a una tasa de inte-rés. La condición para maximizar tanto la fun-ción de utilidad como la inversión, es la si-guiente:

TMS = TMST = 1 + r

Es decir, la tasa a la que el inversionista deseaprestar o pedir prestado debe ser igual a latasa a la cual él desea cambiar consumo futu-ro por presente y a su vez a la tasa de interés.

Para una mejor explicación se supone que elagente ya se encuentra en el punto de eficien-cia dentro de su curva de inversión, es decirque su TMST es igual a la tasa de interés. Si

TMS es menor que la tasa de interés, el indivi-duo en el punto de eficiencia consumirá c

0, sin

embargo dado su mapa de curvas de utilidadél desea consumir menos, c *

0para poder in-

vertir en el mercado financiero c 0-c *

0, con un

retorno de 1+r y consumir más en el mañana,es decir nuestro inversionista es un presta-mista. Para el caso contrario, cuando la TMSes mayor a la tasa de interés, en el punto deeficiencia el inversionista consumirá c

0, pero

dadas sus preferencias ínter temporales el de-sea consumir c *

0, para ello el inversionista de-

berá ir al mercado financiero y pedir prestadoc *

0-c

0a una tasa de 1+r , en este caso el inver-

sionista es prestatario.

En conclusión el anterior modelo ayuda a iden-tificar en que momento es mejor para un indi-viduo prestar ó pedir prestado, decisión quese basa en el nivel de la tasa de interés. Lle-vando estos conceptos un poco más lejos sepuede decir que el agente se puede endeudaren el mercado financiero a una tasa de interéslibre de riesgo26 al igual que invertirá su dine-ro esperando recibir como mínimo esa mismatasa. Es aquí donde se introduce todo el aná-lisis de la teoría del portafolio ya que permitedeterminar cual es la mejor forma de utilizarla riqueza en el mundo de las finanzas.

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27 A este punto también se le conoce como punto de eficiencia. Para un análisis más profundo y acertado, se debetrabajar con una función de producción estado-dependiente, sin embargo para efectos de simplicidad en estedocumento se supone que para cualquier estado de la natura es cierto el nivel de producción y capital.





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Teoria del Riesgo en Mercados Financieros Una visión teórica