TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI - Pagina principale · 2 Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali 3 Valori caratteristici di un segnale Valore

1

1

Corso di Comunicazioni Elettriche

2 – RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALIProf. Giovanni Schembra

Comunicazioni Elettriche - Prof. G. Schembra 2 – Richiami di Teoria dei segnali

2

TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI

2


3

Valori caratteristici di un segnale Valore medio temporale (o componente continua):

dttwT

twWWT

TTdcm

2

2

1lim

Potenza media normalizzatadttw

TtwP

T

TT

22

2

2)(

1lim)(

Potenza di picco )()(maxpicco titvP

2)(twPWeff

Valore efficace (r m s) Energia

dttwET

TT

22

2)(lim

EP finita

0 finita PE

Notare che:


4

Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

detta anche spettro bilatero di w(t) dtetwtwfW ftj 2)()()(

Trasformata e antitrasformata di Fourier

dfefWtw ftj 2)()(

)()( fWtw

3


5

Teorema di Raileigh edensità spettrale di energia (DSE) Teorema di Raileigh Permette di

calcolare l’energia di un segnale nel dominio della frequenza

dffWdttwE22

)()(

Definizione: densità spettrale di energia (DSE)per segnali ad energia finita

2)()( fWf E dffE )(E

Definizione: densità spettrale di potenza (DSP)per segnali a potenza finita

T

fWf T

Tw

2)(lim)(P

dove:

T

ttwtwT )()(

dffP w )(P


6

Funzione di autocorrelazione

Definizione [per un segnale complesso]:

dttwtwT

twtwRT

TTww )()(*

1lim)()(*)(

2

2

Teorema di Wiener-Khintchine: )()( fR www P

Diversi modi per calcolare la potenza media normalizzata:

)0()()( 22

wwweff RdffWtwP

P

4


Alcuni segnali notevoli

Delta di Dirac Gradino unitario Segno Sinusoide

7

Impulso rettangolare Impulso triangolare Seno cardinale (sinc) Coseno rialzato Pettine


8

Segnali notevoli Funzione delta di Dirac, (x)

Definizione 1: )0()()( wdxxxw

Definizione 2:

0 se0

0 se)( 1)(

x

xxdxx

Definizione 3: dyex xyj 2)(

E’ una funzione generalizzata, che viene studiata in matematica nella teoria delle distribuzioni

Proprietà campionatrice della funzione (x):

)()()( 00 xwdxxxxw

5


9

Sinusoide

Spettro bilatero


10

Segnali notevoli Funzione impulso rettangolare, (t)

Definizione:

2 se0

2 se1

Tt

Tt

T

t

Funzione impulso triangolare, (t)

Definizione:

Tt

TtT

t

T

t

se0

se1

6


11

Segnali notevoli: SENO CARDINALE

x

xx

sin

)(sinc

Segnale SENO CARDINALE, sinc(x)

Definizione: x

xx

sin

)(sinc

T

tAtx sinc)(

TAE

P

tx

x

x

2

0

0)(

Il seno cardinale è un segnale di energia

IMPORTANTISSIMA


)( fW

12

Segnali notevoli: COSENO RIALZATODefinizione in frequenza:

Bf

Bfff

ff

ff

fW

0

2cos1

2

1

1

)( 11

1

0fBf

fff 01

occupata banda :B

Fattore di decadimentooppure rolloff

10 r0f

fr

dB 6- a banda :0f

IMPORTANTISSIMA

7


13

Segnali notevoli: COSENO RIALZATO

0r • Impulso rettangolare in frequenza• Occupazione minima di banda:

0r

0fB

Definizione in frequenza:)( fW

IMPORTANTISSIMA


14

Segnali notevoli: COSENO RIALZATO

200

41

2cos2sinc2)(

tf

tftfftw

Definizione nel tempo:

Coincide con un sinc(2f0 t)0r

)(tw

IMPORTANTISSIMA

8


Segnali notevoli: SEGNALE PETTINESEGNALE PETTINEDefinizione nel tempo:

0)(pet0

nTttn

T

Definizione in frequenza:

00)(pet0

fnfftn

T

00

1

Tf dove:

)(pet)(pet00 0 fft fT


16

Spettri di un impulso rettangolare e di un impulso triangolare

TfTT

tsinc

Spettro bilatero

di un impulso rettangolare:

fTTT

ttw 2sinc

Spettro bilatero di un impulso triangolare:

9


17

Banda di un segnale Definizione: SEGNALE IN BANDA BASE

)( fW

f

)( fW

f1f 2f2f 1f2f2f

011 ff 1221

2ff

ff

Definizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE)( fW

f1f 2f1f2f

1221

2ff

ff


18

Banda di un segnale

2fB

Definizione: SEGNALE IN BANDA BASE

)( fW

f

)( fW

f1f 2f2f 1f2f2f

Definizione: Banda Assoluta

011 ff 1221

2ff

ff

10


19

Banda di un segnale

12 ffB

Definizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE

)( fW

f1f 2f1f2f

Definizione: Banda Assoluta

1221

2ff

ff


20

Segnali a banda limitata

Definizione: un segnale è a banda rigorosamente limitata B se:BffW per 0)( dove B è la banda del segnale

Definizione: un segnale è a durata rigorosamente limitata T se:

Ttttwt 000 ,tper 0)( :che tale

Teorema: un segnale a BANDA LIMITATA non può essere a DURATA LIMITATA un segnale a DURATA LIMITATA non può essere a BANDA LIMITATA

dove T è la durata del segnale

11


21

Banda limitata in frequenza Durata limitata nel tempo

Osserviamo che: La Banda di un segnale si misura solo sulle frequenze

positive La Durata di un segnale si misura su tutto l’asse

temporale)(tw

t2T 2T

Segnale di durata T

)( fW

fB B

Segnale di banda B


22

Banda "ingegneristica" di un segnale Definizione “ingegneristica” di banda per:

segnali non rigorosamente limitati in banda

oppure segnali con spettro trascurabile per frequenze superiori ad una soglia:

fB

)( fW

f

)( fW

B

12


23

Banda "ingegneristica" di un segnale

BANDA A –3 dB:

12 ffB dove

21

21

per )(max2

1)(

e per )(max2

1)(

ffffWfW

fffffWfW

BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):

fB

)( fW

321log20 10


24

Banda di un segnale

12 ffB

BANDA AL 99%:

12 ffB dove f1 e f2 delimitano l’intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale

21

21

per )(max del )(

e per )(max del )(

ffffWdBxfW

fffffWdBxfW

BANDA NULLO-NULLO (per i segnali passa-banda):

12 ffB

Definizione di banda di un segnale: BANDA A –x dB:

13


SERIE DI FOURIER E APPLICAZIONE AI SEGNALI PERIODICI

25



26

Spettro a righe di un segnale periodico Per un segnale periodico la rappresentazione mediante

serie di Fourier è definita su tutto l’asse temporale Teorema:

se un segnale è periodico di periodo T0, il suo spettro è:

0)( fnfcfW nn

dove

00 1 Tf

segnale delFourier di seriein sviluppo dello ticoefficien :nc

)( 00 fnHfcn

altrimenti0

2 se)(

)(0T

ttwthcon

14


27

Potenza normalizzata e Densità spettrale di potenza per un segnale periodico

Potenza di un segnale periodico: per un segnale periodico w(t), la potenza normalizzata è pari a:

22)( n

nw ctwP

Densità spettrale di potenza

02)( fnfcf n

nw

P


RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE DEI SEGNALI

28

IMPORTANTISSIMA

15


Rappresentazione vettoriale dei segnali Sia T il tempo richiesto per trasmettere un

simbolo Consideriamo un segnale si(t) definito

sull'intervallo [0, T]

Il segnale si(t) viene utilizzato per trasmettere nel canale di comunicazione il simbolo ai

Energia del segnale si(t):

29

dttsE i

T

i )(2

0 DEFINIZIONE: Prodotto scalare tra due segnali

reali


30

Funzioni ortogonali Definizione: )(tm

)(tncomplesse SONO ORTOGONALI sull’intervallo bta se:

0)()()(),( * dttttt mn

b

amn mn

L’insieme di queste funzioni ha quindi elementi tali che:

nmnmn

b

aKdttt )()( * dove:

mn

mnnm

se1

se0 Delta di Kronecker

nKn 1

Se:

l’insieme è un insieme di funzioni ortonormali )(tn

Kn è l’energia del segnale n

16


Rappresentazione di un segnale su base ortonormale

Un qualunque segnale si(t) può essere espresso in modo univoco mediante un insieme di funzioni ortonormali, tramite uno sviluppo in serie:

31

1

, )()(m

mmii tsts

Ogni termine si,m rappresenta la componente di si(t)proiettata sul versore m(t). Può essere ricavata come segue:

Prodotto scalare tra il segnalesi(t) e il generico m-esimo versore


Energia di un segnale multidimensionale Dato un segnale x(t)

rappresentato su una base ortonormale

ha energia:

32

Cioè: l’energia di x(t) corrisponde alla distanza al quadrato del punto x dall’origine degli assi

cioè

M

kkx xE

1

2

17


Rappresentazione di un segnale su base ortonormale

33

Analogamente a quanto fatto per il calcolo dell'energia, si può dimostrare che:

Il prodotto scalare tra due segnali può essere ottenuto come la somma dei prodotti delle loro componenti

L'insieme delle componenti si,m rappresenta in maniera univoca il segnale si(t)

si(t)


Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Obiettivo: costruire un insieme di funzioni ortonormali che rappresentino

un insieme qualsiasi di funzioni si(t)

Applicazione: costruzione di una base di funzioni ortonormali adatta per

descrivere le forme d’onda utilizzate per trasmettere gli Nsimboli di un alfabeto discreto

Consideriamo N segnali:

34

definiti nell’intervallo [0,T]

nulli altroveN

18



Determinare: un insieme di M funzioni ortonormali definite sull'intervallo

[0,T]

tali che tutti gli N segnali si(t) possano essere espressi come combinazione lineare di tali funzioni

Cardinalità dello spazio di tali funzioni ortonormali:

35

NM con N: cardinalità dello spazio dei simboli (numero di segnali)

M: cardinalità dello spazio ortonormale


36


Operativamente:

Si determina la prima funzione ortonormale

dove Ev1 è l’energia del segnale v1(t)

Si determina la seconda funzione ortonormale

cioè

Proiezione di s2(t) lungo 1(t)

)(1 t

)(1 ts

)(1 t

)(2 ts

)(2 tv

)(2 t

Il segnale v2(t) è ortogonale a 1(t)

19



Si continua analogamente con le altre componenti:

37

Si determina la i-esima funzione ortonormale

Caso possibile: 0)( che tale tvi i

ijtj 0)( NM



È sufficiente una base con unsolo segnale:

38

ESEMPIO 1: Segnali antipodali )()( 21 tsts

)(1 t2N 1M

Se i due segnali hanno la stessa energia, E

)()( 11 tEts )()( 12 tEts

Ets )(1 Ets )(2

tT

)(1 ts1

tT)(2 ts

1

0

)(1 t

)(1 ts)(2 ts

20


N


39

ESEMPIO 2: Segnali ortogonali jijitsts ji con ,,0)(),(

0

)(1 t

)(1 ts

)(2 t

)(2 ts

tT

)(1 ts1 t

T

)(2 ts

1

1

Esempio: N2 È vero che sono ortogonali?



40

ESEMPIO 3: Segnali biortogonali

ortogonali )( ed )()()()()(

21

42

31

tstststststs

Nel caso in cui i quattro segnali abbiano la stessa energia E, possono essere rappresentati nello spazio bidimensionale come

4N

2M

Detta anche modulazione 4-PSK

21



41

ESEMPIO 3: Segnali biortogonali

1

ortogonali )( ed )()()()()(

21

42

31

tstststststs


SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI (LTI) E DISTORSIONE

42


22


43

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

IMPORTANTE perché ci permetteranno di modellare: Un canale di comunicazione I filtri di trasmissione e ricezione.


44

Caratterizzazione di un sistema lineare I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla

conoscenza della risposta impulsiva:

)()( )()( Se thtyttx

Risposta in frequenza:

)(

)()(

fX

fYfH

Risposta in potenza:

2)(

)(

)()( fH

f

ffG

x

yh

P

P

23


45

Trasmissione senza distorsione Canale di comunicazione ideale:

canale che non introduce distorsione cioè, se il segnale all’uscita del canale è una versione ritardata

dell’ingresso

d

d

Tfj

Tfj

d

eAfH

efXAfY

TtxAty

ˆ2

ˆ2

)(

)()(

ˆ)(

Condizioni equivalenti di assenza di distorsione:

costante)( fH

dfH Tf ˆ2)(

non c’è distorsione di ampiezza

non c’è distorsione di fase(fase lineare con la frequenza)


46

Distorsione in casi reali

Intervallo in cui il canale non distorce in

ampiezza

Intervallo in cui il canale non distorce in

fase

24


CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE

47



48

Teorema del campionamento Un segnale w(t) a banda rigorosamente limitata, B, può essere

ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la frequenza di campionamento sia Bfs 2 Condizione di Nyquist

Ricostruzione nel dominio della frequenza:

sssr f

fT

B

fTfH

2)(

)( fW )( fW)( fHr

Formula di interpolazione cardinale

s

ss

nr T

nTtTnwthwtw sinc)()(*)(

Ricostruzione nel dominio tempo:

25


49

VARIABILI ALEATORIE


Indici caratteristici di una variabile aleatoria

dxxfxE

Valore medio

kk

k xpE

per v.a. CONTINUA per v.a. DISCRETA

dxxfxEm

22

2

Valore quadratico medio

222 k

kk xpEm

per v.a. CONTINUA per v.a. DISCRETA

Varianza22

2 m

26


51

La variabile aleatoria uniforme

bx

bxaab

axax

xF

se1

se

se0

altrove

se1

bxaabdx

dFxf

ya b

1/(b-a)

1

f (y)Y

F (y)Y xF

xf

x

2

ba

3

222 baba

m

12=

22 ab

Grafici e parametri caratteristici:


52

Variabile aleatoria gaussiana o normale Una variabile aleatoria continua è gaussiana o normale se:

2

2

2

22

1

x

exf caratterizzata davarianza2

mediovalor

xf

x

5.06.3

14.2

21.1

2

2

2

27


53

Variabile aleatoria normale standard Una variabile aleatoria continua è normale standard se:

è normale con valor medio:

e varianza:

01.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

n

fN(n)

(n) Q(n)

xf N )(

)()( xFx N

xxQ 1)(

x

12

dxexFx xx

N 2/)( 2

2

1)(

2)(

2

2

1 xN exf

Funzione distribuzione cumulativa

Funzione densità di probabilità

non esprimibile in forma chiusa

)(1)( xxQ


54

Funzioni erf(x) ed erfc(x)

dexx 2

0

2)(erf

dexx

x

22)(erf1)(erfc

Funzione error function Funzione error function complementare

2

erf2

1

2

1)(

xx

Legame tra v.a. normale standard funzione erf

2erfc

2

11)(

xx

28


55

Calcolo della probabilità di un intervallo Variabile aleatoria normale caratterizzata da valor

medio e varianza generici

2, N

xxF )(

Probabilità che una v.a. Gaussiana assuma valori in un intervallo [a,b]

ab

baPr

22 2erfc

2erfc

2

1Pr

baba

b

Qa

QbaPr )()(Pr aFbFba

0)()( F2)(

1)(

erfc

Q

NOTA (per calcolare ) bPr

a


Calcolo della probabilità di un intervallo

29


Calcolo della probabilità di un intervalloEsempio: Gaussiana con media 5 e varianza 10

0Tabella5.0

0Tabella5.0

10

5)()10,5(

x

xFN 10

5

xdove



0Tabella5.0

0Tabella5.0

10

5)()10,5(

x

xFN10

5

xdove

Per esempio:21.2

10

51212

x

9864.04864.05.0

)21.2(5.012Pr

Tabellax

30



0Tabella5.0

0Tabella5.0

10

5)()10,5(

x

xFN 10

5

xdove

Per esempio:21.2

10

522

x

0136.04864.05.0

)21.2(5.02Pr

Tabellax

NOTA: 12Pr12Pr xx


Altra tabella utile

60

DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD E COMPLEMENTAREx (x) Q(x) x (x) Q(x)

-7.0000e+000 1.2798e-012 1.0000e+000 2.0000e-001 5.7926e-001 4.2074e-001

-6.8000e+000 5.2309e-012 1.0000e+000 4.0000e-001 6.5542e-001 3.4458e-001

-6.6000e+000 2.0558e-011 1.0000e+000 6.0000e-001 7.2575e-001 2.7425e-001

-6.4000e+000 7.7688e-011 1.0000e+000 8.0000e-001 7.8814e-001 2.1186e-001

-6.2000e+000 2.8232e-010 1.0000e+000 1.0000e+000 8.4134e-001 1.5866e-001

-6.0000e+000 9.8659e-010 1.0000e+000 1.2000e+000 8.8493e-001 1.1507e-001

-5.8000e+000 3.3157e-009 1.0000e+000 1.4000e+000 9.1924e-001 8.0757e-002

-5.6000e+000 1.0718e-008 1.0000e+000 1.6000e+000 9.4520e-001 5.4799e-002

-5.4000e+000 3.3320e-008 1.0000e+000 1.8000e+000 9.6407e-001 3.5930e-002

-5.2000e+000 9.9644e-008 1.0000e+000 2.0000e+000 9.7725e-001 2.2750e-002

-5.0000e+000 2.8665e-007 1.0000e+000 2.2000e+000 9.8610e-001 1.3903e-002

-4.8000e+000 7.9333e-007 1.0000e+000 2.4000e+000 9.9180e-001 8.1975e-003

-4.6000e+000 2.1125e-006 1.0000e+000 2.6000e+000 9.9534e-001 4.6612e-003

-4.4000e+000 5.4125e-006 9.9999e-001 2.8000e+000 9.9744e-001 2.5551e-003

-4.2000e+000 1.3346e-005 9.9999e-001 3.0000e+000 9.9865e-001 1.3499e-003

-4.0000e+000 3.1671e-005 9.9997e-001 3.2000e+000 9.9931e-001 6.8714e-004

31


Altra tabella utile

61

-3.8000e+000 7.2348e-005 9.9993e-001 3.4000e+000 9.9966e-001 3.3693e-004

-3.6000e+000 1.5911e-004 9.9984e-001 3.6000e+000 9.9984e-001 1.5911e-004

-3.4000e+000 3.3693e-004 9.9966e-001 3.8000e+000 9.9993e-001 7.2348e-005

-3.2000e+000 6.8714e-004 9.9931e-001 4.0000e+000 9.9997e-001 3.1671e-005

-3.0000e+000 1.3499e-003 9.9865e-001 4.2000e+000 9.9999e-001 1.3346e-005

-2.8000e+000 2.5551e-003 9.9744e-001 4.4000e+000 9.9999e-001 5.4125e-006

-2.6000e+000 4.6612e-003 9.9534e-001 4.6000e+000 1.0000e+000 2.1125e-006

-2.4000e+000 8.1975e-003 9.9180e-001 4.8000e+000 1.0000e+000 7.9333e-007

-2.2000e+000 1.3903e-002 9.8610e-001 5.0000e+000 1.0000e+000 2.8665e-007

-2.0000e+000 2.2750e-002 9.7725e-001 5.2000e+000 1.0000e+000 9.9644e-008

-1.8000e+000 3.5930e-002 9.6407e-001 5.4000e+000 1.0000e+000 3.3320e-008

-1.6000e+000 5.4799e-002 9.4520e-001 5.6000e+000 1.0000e+000 1.0718e-008

-1.4000e+000 8.0757e-002 9.1924e-001 5.8000e+000 1.0000e+000 3.3157e-009

-1.2000e+000 1.1507e-001 8.8493e-001 6.0000e+000 1.0000e+000 9.8659e-010

-1.0000e+000 1.5866e-001 8.4134e-001 6.2000e+000 1.0000e+000 2.8232e-010

-8.0000e-001 2.1186e-001 7.8814e-001 6.4000e+000 1.0000e+000 7.7689e-011

-6.0000e-001 2.7425e-001 7.2575e-001 6.6000e+000 1.0000e+000 2.0558e-011

-4.0000e-001 3.4458e-001 6.5542e-001 6.8000e+000 1.0000e+000 5.2309e-012

-2.0000e-001 4.2074e-001 5.7926e-001 7.0000e+000 1.0000e+000 1.2799e-012

0.0 5.0000e-001 5.0000e-001


Altro grafico utile

62

32


63

PROCESSI ALEATORI


64

Processi aleatori Segnali aleatori:

spesso dei segnali x(t) trattati, elaborati, o ricevuti non si conosce a priori la forma d’onda nel tempo

Processi aleatori: un processo aleatorio è un modello matematico per i segnali

aleatori Processo aleatorio: definizione

collezione di un numero finito o infinito di funzioni del tempo (segnali determinati) corrispondenti a diversi risultati di un esperimento aleatorio

33


65

Processi aleatori

L’aleatorietà del processo sta nel fatto che a priori non è possibile sapere quale sarà il segnale

Eseguito l’esperimento, il processo diventa a posteriori un segnale determinato x(t, i), detto funzione campione o realizzazione

X(t,) è il processo aleatorio

x(t,i) funzione campione

X(ti ,) variabile aleatoria

x(tj,i) numero


66

Indici statistici di un processo aleatorio

Valor medio (ordine 1)

discreto proc.))((

continuo proc.)();(

)(

iii

X

xtXPx

tdxtxxf

tXE

Funzione di autocorrelazione (ordine 2)

)()(),( 2121 tXtXEttRXX

})(,)({ 21 i j

jiji xtXxtXPxx

21212121 ),;,( dxdxttxxfxx X Processo continuo

Processo discreto

34


67

Processi stazionari in senso lato Un processo si dice stazionario in senso lato (SSL) se:

non dipende dal tempo )(tXE

1221 con , ttRttR XXX


PROCESSI ALEATORI NOTEVOLI

68

PROCESSI ALEATORI

35


69

Processi aleatori Gaussiani

Definizione: un processo aleatorio X(t) è Gaussiano se le n variabili aleatorie [X(t1),

…, X(tn)] da esso estratte agli istanti [t1, …, tn] risultano congiuntamente Gaussiane per ogni n, e per qualunque n-upla di istanti

IMPORTANTISSIMA

Proprietà fondamentali: se un processo Gaussiano è stazionario in senso lato, allora è anche

stazionario in senso stretto due processi gaussiani, se incorrelati, sono anche indipendenti

DA IMPARARE A MEMORIA

NON CONFONDERE I PROCESSI ALEATORI GAUSSIANICON

LE VARIABILI ALEATORIE GAUSSIANE


70

Rumore bianco Il rumore bianco è un processo aleatorio (cioè un

modello matematico astratto) caratterizzato da:

f

)( fSX

20N

20N

)(XXR

0 e 2

)( 0 XX

NfS

IMPORTANTISSIMA

Media nulla Potenza infinta

36


71

Rumore bianco

RXX () è un impulso. Quindi, presi due istanti anche vicinissimi, i valori assunti dal processo nei due istanti sono incorrelati

Il rumore bianco non esiste nella realtà poiché risulta a potenza infinitaEsso serve come modello di un’ampia gamma di segnali, per i quali si può assumere che non ci sia correlazione tra i valoriassunti dal segnale in tempi diversi

Tra i rumori bianchi un caso particolare è costituito dal rumore termico dovuto all’agitazione termica degli elettroni


72

Filtraggio di processi aleatori Gaussiani Conservazione della Gaussianità

Processo di ingresso:• Gaussiano• Stazionario in senso lato (e

quindi anche in senso stretto)

Sistema:• Lineare Stazionario

Processo di uscita:• Gaussiano• Stazionario in senso lato (e


Processo di ingresso:• Gaussiano• Stazionario in senso lato (e


Sistema:• Lineare NON Stazionario

Processo di uscita:• Gaussiano

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