Teoria dei Profili Sottili - termofluido.univpm.it · caso del profilo alare ciò non è possibile in quanto la portanzanon ... Dalla teoria del vortice libero abbiamo che la velocità

Vortex Sheet-Generalità

Un vortice Libero può essere visto come la proiezione su di un piano di un filamento vorticoso.

Un insieme di filamenti vorticosi genera un Piano di Vortici o Vortex Sheet.

Teoria dei Profili Sottili

Linea vorticosa

γ=γ(s)=Forza del piano di vortici per unità di lunghezza ds

Γ = ∫γ dsa

bForza Totale del Vortex Sheet


La velocità indotta in un punto P dal piano di vortici è pari alla somma vettoriale delle velocità infinitesime indotte dalla forza locale del vortice.

dV dsr

= − γπ2

Velocità Infinitesima

PotenzialeCome per la determinazione della velocità del punto P, indotta dal Piano Vorticoso, è possibile definire il Potenziale di P come

φ φ γπ

ϑπ

ϑ γ( , )x z d ds dsa

b

a

b

a

b

= = −

= −∫ ∫ ∫2

12

Il Vortex Sheet presenta una discontinuità sulla velocità tangenziale attraverso il Piano di Vortici.

Γ = − − − + == − + − =

( )( ) ( )

v dn u ds v dn u dsu u ds v v dn ds

2 1 1 2

1 2 1 2 γ

γ = −u u1 2

Per dn che tende a zero otteniamo:


Vortex Sheet (1)

La relazione ci consente di affermare che il salto di velocità tangenziale sul piano di vortici è pari alla forza locale di quest’ultimo.

γ = −u u1 2

Il concetto di Vortex Sheet è fondamentale per la rappresentazione di un profilo alare mediante la teoria dei Flussi Potenziali; il Vortice infatti è il flusso elementare che induce Circuitazione, e quindi Portanza, ma nella sua forma elementare non riesce a rappresentare geometrie particolarmente complicate.

Mediante il Vortex Sheet è invece possibile generare profili di forma arbitraria; la somma di un Vortex Sheet e di un flusso uniforme può rappresentare un profilo alare portante.


Vortex Sheet (2)Affinché il Vortex Street sia rappresentativo del profilo alare scelto è fondamentale che la distribuzione locale di vorticità sia tale da permettere che il profilo diventi una Linea di Corrente. Successivamente, mediante il Teorema di Kutta-Joukowski, è possibile calcolarsi la Portanza indotta dal campo di moto.

Se il profilo alare che vogliamo rappresentare è SOTTILE è possibile sostituirlo con un solo piano di Vortici posizionati sulla linea di Camber; su tale approssimazione si basa la Teoria dei Profili Sottili introdotta da Max Munk nel 1922.


Vortex Sheet (3)

L’idea di sostituire al profilo alare una superficie Vorticosa prende spunto dall’osservazione che l’effetto della Viscosità, nella situazione reale, provoca all’interno dello strato limite una Vorticità superficiale che può essere rappresentata, in campo non viscoso, mediante un Vortex Sheet.Grazie a ciò e possibile simulare condizioni di distacco di strato utilizzando la teoria del flusso potenziale o, in generale, gli effetti viscosi superficiali.


Condizioni di Kutta (1)Come per il cilindro portante anche nel campo di moto indotto dalla somma di un flusso unifrome ed un Vortex Sheet ci troviamo di fronte alla possibilità di ottenere soluzioni diverse in funzione del valore di Circuitazione Totale scelto.

Possiamo così avere soluzioni che inducono due punti di ristagno, uno sull’estradosso e, l’altro, sull’intradosso.

Oppure avere un punto di ristagno sul bordo di uscita ed uno sull’intradosso, in prossimità del bordo di entrata


Condizioni di Kutta (2)

Il fatto che esistano più soluzioni nel caso del cilindro portante è ragionevole, infatti è possibile in realtà aumentare la velocità di rotazione del cilindro per variare la posizione dei punti di ristagno. Nel caso del profilo alare ciò non è possibile in quanto la portanza non dipende da un “motore” esterno ma dalla forma del profilo; di conseguenza è irragionevole che in natura un profilo sottoposto ad un determinato flusso uniforme possa dare origine a più campi di moto.

Se osserviamo ciò che avviene in natura notiamo che il flusso tende a lasciare il profilo sul bordo di uscita per cui se vogliamo essere rappresentativi del fenomeno dobbiamo imporre che il nostro Vortex Sheet sia tale da verificare tale condizione.



Nel 1902 Wilhelm Kutta introdusse una Condizione importante sul valore delle velocità in prossimità del bordo di uscita. Tale condizione si basava sull’osservazione introdotta in precedenza: la natura impone che il flusso lasci il profilo sul bordo di uscita.

Nel caso di bordo di uscita a spigolo, poiché la velocità del punto “a” non può assumere contemporaneamente 2 valori diversi, dovremo avere:

V V1 2 0= =γ ( . .)T E V V= − =1 2 0 Il punto “a” è un punto di

ristagno



Nel caso in cui il bordo di uscita (TrailingEdge)presenti invece una forma a Cuspide le particelle provenienti dall’estradosso dovranno avere una direzione parallela a quelle provenienti dall’intradosso; tale condizione si traduce in:

V V1 2 0− = Il punto “a” NON è un punto di ristagno

γ ( . .)T E V V= − =1 2 0Per tutti e due i casi si verifica che la forza del vortex sheet in “a”

deve essere nulla.


Teorema di Kelvin: Circolazione (1)Fluido Non Viscoso in assenza di Forze di Massa

∂∂

ρ ρt

V dV V dS V p dVV S V

r r r r∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ ⋅ = − ∇( )

Il secondo termine del I° membro può anche essere scritto come:

( )[ ]( )[ ] ( )( )

( )ρ ρ

ρ ρ

r r r r r

r r r r

V dS V V V dV

V V dV V V dVS V

V V

⋅ = ∇ ⋅ =

= ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

∂∂

ρ ρ ρt

V V V V V p( ) ( ) ( )r r r r r

+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∇


Teorema di Kelvin: Circolazione (2)

DD t

V V V p( ) ( )ρ ρr r r

+ ∇ ⋅ = −∇

∇ ×Moltiplicando ogni termine per

ed ipotizzando il fluido INCOMPRIMIBILE otteniamo

ρ ρD VD t

V V p( ) ( ) ( ) ( )∇ × + ∇ × ∇ ⋅ = − ∇ × ∇r

r r

=0 =0Dalla definizione di Circuitazione otteniamo:

DDt

Γ = 0Teoria dei Profili Sottili

Teorema di Kelvin: Circolazione (3)La circuitazione di un gruppo di particelle lungo una curva C1 al tempo t1 deve essere uguale a quella generata dalle stesse particelle al tempo t2. La curva C2 è la curva C1 all’istante t2.

Il Teorema di Kelvin deve essere valido qualunque sia la linea C1 di partenza; prendiamo una linea che racchiuda un profilo alare, al tempo t=0 supponiamo che il profilo non sia investito da flusso, di conseguenza la circuitazione è nulla.


Teorema di Kelvin: Circolazione (4)Se all’istante successivo viene indotto un flusso uniforme contro il profilo sappiamo che si genera portanza e, quindi, la circuitazione attorno al profilo sarà diversa da zero.

La curva C1 si è però allungata dando luogo alla curva C2, ossia le particelle che all’istante t=0 erano racchiuse in C1 sono ora racchiuse in C2; dal teorema di Kelvin sappiamo che la circuitazione su C2 deve essere nulla in quanto era nulla su C1 all’istante iniziale. Ma poiché attorno al profilo, curva C4, esiste una circuitazione positiva dobbiamo avere su C3 una circuitazione negativa e pari a quella su C4. Questa circuitazione negativa viene indotta da un vortice chiamato StartingVortex.


Starting Vortex (1)Benché il concetto di Starting Vortex sembra solo un’estrapolazione matematica nel 1934 Prandtl e Tietjens realizzarono una visualizzazione di ciò che accade quando un profilo alare inizialmente fermo viene impulsivamente mosso all’interno di un fluido; dalle rilevazionisperimentali fu evidente la presenza di un vortice sul bordo di uscita che pian piano abbandonava il profilo per instaurare un flusso simile a quello imposto dalla condizione di Kutta.Un profilo viene messo in moto in modo impulsivo, da DX verso SX.La Circolazione attorno alla curva ABCDEFA è nulla in quanto non soggetta a forze viscose (Teorema di Kelvin). Il vortice all’interno del contorno ABCDA genera una Circolazione negativa al contrario della ADEFA

A B

CDE

F


Starting Vortex (2)

Quando il profilo viene fermato la portanza, e quindi la Circolazione attorno al profilo, diviene nulla e si forma uno Stopping Vortex che si annulla con lo Starting Vortex.

Il Teorema di Kelvin è verificabile anche in flussi viscosi purché la curva su cui si calcola la Circuitazione sia al di fuori della zona interessata dagli sforzi viscosi.

Nel Creeping Flow vale il Teorema di Kelvin ? Teoria dei Profili Sottili

Starting Vortex (3)

Il profilo alare ha una corda di 180 mm ed è immerso in un liquido fermo. In superficie viene sparsa della polvere di alluminio come tracciante.

Improvvisamente la velocità del liquido viene portata a 30 cm/s, Re=5x105; si può notare la formazione di uno Starting Vortex.


Starting Vortex (4)

t = 1 s t = 3 s t = 5 s

t = 7 s

t = 13 s

t = 9 s t = 11 s

StartingVortex

StoppigVortex

Un cuneo con spigolo di 30° viene investito da un flusso di acqua; dopo 12.5 secondi il flusso viene interrotto.


Starting Vortex (5)


Anche in un cilindro immerso in acqua, avviato a 3.2 cm/s, è possibile notare uno Starting Vortex insieme a dei Vortici Secondari; il fenomeno mostra chiaramente una Separazione di flusso. Il cilindro ha un diametro di 70 mm. ed il numero di Reynolds è pari a 2000. L’immagine è stata ripresa dopo 4.2 secondi dall’inizio del moto.

Profilo Sottile (1)Con la teoria del Profilo Sottile possiamo rappresentare il profilo mediante un VortexSheet posto sulla Camber ed un flusso uniforme inclinato di un certo angolo rispetto alla linea di corda.

Il nostro Vortex Sheet è rappresentativo del profilo se ha una forza nulla sul bordo di uscita (condizione di Kutta) e se garantisce che la linea di camber è una linea di corrente.

Se il profilo è sottile e la camber non risulta elevata, come per la maggior parte dei profili, possiamo porre il Vortex Sheet lungo l’asse “x”.

γ γ( ) ( )s x=Teoria dei Profili Sottili

Profilo Sottile (2)

Affinché la linea di Camber diventi una linea di corrente dovremo imporre che la componente “normale” della velocità lungo tale linea sia nulla ovunque.

V w sn∞ + =, ' ( ) 0

V V dzdx

V dzdx

in radiantin∞ ∞−

∞= + −

≅ −

, sen tanα α1

w’(s) è la velocità normale alla linea di camber indotta dal Vortex Sheet; se la Camber è piccola possiamo assumere:

w s w x' ( ) ( )=Teoria dei Profili Sottili

Profilo Sottile (3)

dw dx

= −−

γ ξ ξπ ξ( )( )2

Dalla teoria del vortice libero abbiamo che la velocità infinitesima normale ad -x- indotta dal vortice elementare posto a ξ è data da:

w x dx

c

( ) ( )( )

= −−∫

γ ξ ξπ ξ20

Velocità normale indotta ad -x- da tutti gli elementi del Vortex Sheet:

V dzdx

dx

c

∞ −

−−

=∫α γ ξ ξπ ξ( )( )2

00

Sostituendo w(x) nella condizione di velocità normale totale uguale a zerootteniamo:


Profilo Sottile (4)Equazione Fondamentale della Teoria dei Profili Sottili

V dzdx

dx

c

∞ −

=−∫α γ ξ ξ

π ξ( )( )20

� La linea di Camber è una linea di corrente� Il Vortex Sheet è posizionato sulla linea di corda� Sia α che dz/dx sono parametri noti� L’incognita dell’equazione integrale è data da γ(ξ)� Per il rispetto della condizione di Kutta: γ(c)=0


Profilo Sottile Simmetrico (1)In un profilo simmetrico dz/dx è uguale a zero in ogni punto, in quanto la linea di corda coincide con quella di Camber.

V dx

c

∞ =−∫α γ ξ ξ

π ξ( )( )20

Poiché ξ è una variabile virtuale possiamo scriverla come:

ξ ϑ= −c21( cos )

Il punto -x- corrisponde ad un particolare valore di θ:

x c= −21 0( cos )ϑ


Profilo Sottile Simmetrico (2)

d c dξ ϑ ϑ=2sen

L’equazione fondamentale di un profilo sottile simmetrico diventa:

12 00π

γ ϑ ϑ ϑϑ ϑ

απ ( ) sen( )cos( ) cos( )

d V−

=∫ ∞

che, risolta ed introdotta la condizione di Kutta, porta alla:

γ ϑ α ϑϑ

( ) cossen

= +∞2 1V



Γ = =∫ ∫γ ξ ξ γ ϑ ϑ ϑπ π

( ) ( ) send c d0 02

Circuitazione:

Γ = + = ⋅ ⋅ ⋅∞ ∞∫α ϑ ϑ π απ

cV d c V( cos )10

L V c V'= =∞ ∞ ∞ ∞ρ π α ρΓ 2Portanza:

c LV cl = =

∞ ∞

'ρ

π α2

2

2 Lift Slope d cd

l= =( )α

π2



� Il coefficiente di portanza è linearmente proporzionale all’angolo di attacco

� La tangente della curva cl=f(α) è pari a 2πradianti

cL = 2π αUn confronto fra i risultati teorici e quelli sperimentali, effettuato su di un NACA-0012, mostrano un buon accordo fino a valori di α pari ad 14-15°.


Profilo Sottile Simmetrico (5)Momento rispetto al bordo di entrata

M dL V dLE

c c

' ( ) ( )= − ⋅ = −∫ ∫∞ ∞ξ ρ ξ γ ξ ξ0 0

M V cLE' = − ∞ ∞ρ π α22

2 2c M

q S cc

m LELE l

,'= = − = −

∞

π α2 4

c c cm c m LE

l, / ,4 4

0= + =



1. Il coefficiente di momento rispetto al 1/4 di corda è nullo.

2. Il quarto di corda è quindi il Centro di Pressione.

3. Poiché però il momento rispetto al quarto di corda rimane nullo per qualunque valore dell’angolo di incidenza ne segue che il quarto di corda è anche il Centro Aerodinamico.


Profilo Sottile Asimmetrico (1)

Equazione Generale della Teoria dei Profili Sottili

V dzdx

dx

c

∞ −

=−∫α γ ξ ξ

π ξ( )( )20

ξ ϑ= −c21( cos )x c= −

21 0( cos )ϑ d c dξ ϑ ϑ=

2sen

V dzdx

d∞ −

=−∫α

πγ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

π12 00

( ) sencos cos



γ ϑ ϑϑ

ϑ( ) cossen

sen( )= + +

∞

=

∞

∑2 10

1V A A nn

n

I coefficienti An dipendono solo dalla forma della camber, dz/dx

Il coefficiente A0 dipende sia da dz/dx che da α

Sostituendo quest’ultima equazione nell’espressione generale della teoria dei profili sottili otteniamo:

dzdx

A A nnn

= − +=

∞

∑( ) cos( )α ϑ01


Profilo Sottile Asimmetrico (3)Analizzando l’equazione precedente possiamo osservare come essa possa espressa nella forma:

f B B nnn

( ) cos( )ϑ ϑ= +=

∞

∑01

che è un’espansione in serie di Fourier della funzione f(θ). In tal caso i coefficienti dell’espansione in serie sono dati da:

B A dzdxd0 0 0

0

1= − = ∫απ

ϑπ

B A dzdx

n dn n= = ∫2

0 00π

ϑ ϑπ

cos( )



Affinché la linea di camber diventi una linea di corrente è necessario che la distribuzione di γ (θ) sia tale che la componente della velocità locale sia nulla in direzione normale alla linea di camber. Oltre a ciò è necessario che venga rispettata la Condizione di Kutta: γ (π)=0.

La Circolazione indotta dalla distribuzione di vortici è:

Γ = =∫ ∫γ ξ ξ γ ϑ ϑ ϑπ

( ) ( ) send c dc

0 02che sviluppata fornisce:

Teoria dei Profili SottiliΓ = +

∞cV A Aπ π

0 12


- PORTANZA -

L V V c A A'= = +

∞ ∞ ∞ ∞ρ ρ π πΓ 2

0 12- Coefficiente di Portanza -

c A A dzdx

dl = + = + −

∫π π α

πϑ ϑ( ) (cos )2 2 1 10 1 0 0

- Pendenza della curva di portanza -

d cd

l

απ= 2 Analoga alla pendenza del profilo

Simmetrico



Guardando l’espressione del coefficiente di portanza del profiloasimmetrico notiamo che per angoli di incidenza nulli il coefficiente di portanza è diverso da zero.

La portanza diventa nulla quando:

απ

ϑ ϑ απ

= − − =∫ =

1 10 00

0dzdx

d L(cos )

a questo angolo diamo il nome di angolo di portanza nulla.

c d cdl

lL L= − = −= =α

α α π α α( ) ( )0 02


Profilo Sottile Asimmetrico (7)- Momento rispetto al Bordo di Entrata -

c A A Am le, = − + −

π2 20 1

2

c A Al = +π ( )2 0 1ricordando che: otteniamo

c c A Am lel

, ( )= − + −

4 4 1 2

π

- Momento rispetto al quarto di corda -

Teoria dei Profili Sottilic A Am c, / ( )4 2 14

= −π

Profilo Sottile Asimmetrico (8)Se analizziamo l’espressione del momento rispetto al quarto di corda notiamo che esso è diverso da zero e che non dipende dall’angolo di attacco. Ne consegue che:

c A Am c, / ( )4 2 14= −π

1. Il quarto di corda non è il Centro di Pressione

2. Il quarto di corda coincide con il Centro Aerodinamico.

Posizione del Centro di Pressione

x ML

c cc

ccA Acp

LE m le

l l

= − = −⋅

= + −

''

( ),

414 1 2π


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