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Teoria degli Errori� Come si raccolgono, interpretano i dati e come si presentano i
risultati di un esperimento?
� Cosa significa che uno strumento è più preciso di un altro?
� Quando vale la pena di ripetere più volte una misura? E quantevolte ?
� Cosa fare di un dato che non va d’accordo con gli altri ?
� Risposta quantitativa in termini di probabilità !
1
Errori Casuali� Errori come incertezze (fluttuazioni casuali, in generale simme-
triche attorno al valore vero)
� sono inevitabili nelle misure ;indipendentemente dalla precisione dell’apparato di misura.
es. misure ripetute con risultati diversi.
es. misure non ripetibili
es. misure ripetute, con risultato un solo valore ben definito (l’er-rore proviene dalla ‘sensibilità ’ dello strumento)
� Non si misura mai il “valore vero ” di una grandezza:scopo dell’esperimento è stimarlo con tutta l’accuratezza neces-saria.
� È importante che il risultato sia fornito insieme all’accuratezzacon cui è stato misurato.
2
Errori sistematici� Non tutti gli errori sono incertezze (fluttuazioni casuali).
Esistono gli sbagli (trascureremo questa categoria nel corso teo-rico), ed esistono gli errori sistematici.
� Costituiscono errori sistematici tutti quegli effetti reali che ven-gono tuttavia trascurati in un esperimento:
– Tipo teorico (resistenza dell’aria nella caduta di un grave, at-trito in un pendolo, rifrazione della luce in una lettura di scalaattraverso un vetro, espansione del regolo misuratore con latemperatura, ecc.)
– Tipo strumentale (errori nelle divisioni delle scale graduate,eccentricità di cerchi graduati che dovrebbero essere concen-trici, ecc.)
Gli errori sistematici sono:3
� Eliminabili in linea di principio, calcolando l’effetto (o calibran-do lo strumento) e correggendo (se sono piccoli rispetto all’accu-ratezza richiesta può non essere conveniente farlo!)
� Non distribuiti simmetricamente
4
Cifre Significative� È impossibile dire se una cifra è significativa se non si indica
l’errore !
� L’ultima cifra significativa di un risultato è quella dello stessoordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’errore.
� Sono non significative le cifre del risultato che rappresentanouna frazione piccola (< 1=3,< 1=10) dell’errore!
� Esempio:il risultato x = 5382:31� 20 non ha sensoscriverò =) x = 5380� 20
se Æx = 5 il risultato va presentato così
=) 5382� 5
5
Rappresentazione ed Utilizzo degli errori� Il risultato di un esperimento va sempre espresso nella forma:
x� Æx con Æx > 0
dove x è la migliore stima del valore vero (xv) e Æx è “l’errore su
x”: Æx è tale che nell’intervallo [x� Æx; x+ Æx] è probabile chesi trovi il valore vero xv. Vedremo che Æx è scelto in maniera taleche [x� Æx; x+ Æx] ha il 68% di probabilità di contenere xv
6
Errori relativi� Se x� Æx allora:
l’ errore relativo (o errore frazionario) =
Æxjxj
� Quantità adimensionale: perchè Æx ha le stesse dimensioni di x
� Moltiplicato 100 dà l’errore percentuale (%)
7
Distribuzione� Un insieme di misure costituisce una Distribuzione:
� illustreremo quindi i vari tipi di distribuzioni ed i loro parametripiú significativi.
� Supponiamo, per esempio, di avere fatto 9 misure di qualchegrandezza x ed otteniamo 6 valori distinti:
2.2, 2.4, 2.6, 2.75, 2.85, 3.0
N = 9 numero delle misure
M = 6 numero di valori distinti
8
� La Distribuzione Discreta di queste misure in un piano cartesia-no riporta in ascisse i valori, in ordinate il numeronk di volte checiascun valore è stato ottenuto (frequenza assoluta); se sommia-mo tutti i numeri nk, allora otteniamo il numero totale di misure
9
fatte, cioé:
MXk=1nk = N
� Un modo diverso si esprimere questi concetti è attraverso la de-finizione di frequenza relativa
Fk =
nkN
� Se in ordinata riportiamo la frequenza relativa la distribuzio-ne si dice normalizzata; cioé, la somma delle frequenze relativeper tutti i risultati possibili è uguale a 1. Qualunque insieme dinumeri la cui somma è 1 è detta essere ”normalizzata”.
MXk=1Fk = 1
è quindi chiamata ”condizione di normalizzazione”10
Distribuzione Continua� Possiamo tracciare una curva continua che passi per i punti della
distribuzione discreta; maggiori sono i punti della nostra distri-buzione migliore sará la curva che possiamo tracciare.
� Possiamo introdurre il concetto di distribuzione limite delle fre-quenze per un esperimento infinito:Tale concetto è un’estrapolazione, quindi un’assunzione: In que-sto senso non si osserva mai. Ma è utile perchè permette unasemplificazione (soprattutto) matematica.
� Ovviamente la distribuzione limite sarà una curva continua f(x).
� Per la distribuzione continua avremo che la frazione di misure-eventi che cadono nell’intervallo infinitesimo dx, con estremoinferiore x, sarà
F (x) = f(x)dx
11
� La condizione di normalizzazione per la curva continua è
Z +1�1
f(x)dx = 1
Una f(x) particolarmente interessante, che soddisfa la condizio-ne di normalizzazione, è la funzione di densità di probabilità(p.d.f.) e l’integrale tra due valori della p.d.f. dá la probabilitàdell’intervallo di valori, cioé :
Z ba
f(x)dxDà la probabilità che una misura dia un risultato compreso tra
x = a e x = b
12
Caratteristiche di una Distribuzione� MEDIA:
– media aritmetica delle misure discrete
x =
NXi=1
xiN
=
MXk=1xkFk;
dove N è il numero totale di misure, M è il numero dimisure con valori diversi. La seconda forma è più utileperchè si generalizza meglio al caso continuo.
– media della distribuzione continua:
x =Z +1
�1
xf(x)dx
� Altro parametro importante è la ”larghezza” della distribu-zione. La deviazione di una misura xk da x si chiama scarto:
�k = (xk � x)
13
� La media aritmetica di questa quantità non è un buon indica-tore di larghezza, infatti è nulla:
MXk=1�kFk =
MXk=1
(xk � x)Fk =MX
k=1Fkxk � x
MXk=1Fk =
= x� x � 1 = 0
� Usiamo quindi scarto (deviazione) quadratico medio �2
- discreta
�2 =
MXk=1�2kFk =
MXk=1Fk(xkN � x)2
Oppure calcolata con la solita notazione:
�2 =
NXk=1
(xk � x)2
N
14
- continua
�2 =Z +1
�1
(x� x)2f(x)dx
� �2 prende anche il nome di varianza: la sua radice si indi-ca con � e prende il nome di deviazione standard (standarddeviation o root mean square deviation R.M.S.).
Un’espressione alternativa per il calcolo della varianza è
�2 = x2 � x2
dimostriamo tale relazione nel caso continuo
�2 =Z +1
�1
(x� x)2f(x)dx =
Z +1�1
x2f(x)dx�Z +1
�1
2xxf(x)dx+Z +1
�1
x2f(x)dx =
15
x2 � x2Z +1
�1
xf(x)dx� x2Z +1
�1
f(x)dx =
x2 � x � 2 � x+ x2 � 1 = x2 � x2
c.v.d.
16
Miglior stima del valore vero e della varianza� La miglior stima del valore vero misurato con N misure affette
solo da errori casuali è il valore medio della distribuzione dellemisure.
� La miglior stima della varianza �2 è
�2N
=
NXi=1
(xi � x)2
N � 1
dove abbiamo sostituito N � 1 a N : per stimare �2 in un cam-pione finito si dovrebbe sempre utilizzare �N : per N piccolo èimportante.
17
La deviazione standard della media� Supponiamo che due sperimentatori (X e Y ) facciamo N mi-
sure del periodo di oscillazione di un pendolo, ed ottengano iseguenti risultati (T (sec)):
X 2:58; 2:58; 2:56; 2:56; 2:59
Y 2:6; 2:6; 2:5; 2:6; 2:7
!
Tx = 2:576 �x = 0:0114
Ty = 2:56�y = 0:0707
� A questo livello è chiaro che X è superiore, ma supponiamo che
Y decida, senza cambiare il suo modesto apparato di misura, difare 500 misure invece delle 5 originali; Ty e �y cambieranno di
18
poco, diciamo:
Ty = 2:582 �y = 0:075
Tuttavia il valore medio è calcolato con molte più misure, quelloche ci interessa è l’errore sul valore medio; dobbiamo tenere con-to del numero di misure: la deviazione standard su x si può otte-nere dalla deviazione standard sulla singola misura applicandola propagazione degli errori come vedremo poi, ora anticipiamol’importante risultato:
�(x) =
�(x)pN
�(x) è la quantità che cercavamo: prende il nome di ‘deviazionestandard sulla media’ o ‘errore standard sulla media’ o sempli-cemente ‘errore standard’ ed è la quantità che all’inizio abbiamoindicato con Æx
19
Se Y fa 500 misure
Ty = 2:582 �y = 0:075
�(T ) = deviazione standard
Æ = �(T ) =
�(T )pN
=
0:075p500
errore standard
20
Propagazione degli Errori� Estremamente Importante!
� Nella maggior parte dei casi la quantità che si vuole conoscerein un esperimento non è quella che si misura direttamente, ma sicalcola a partire da grandezze misurate direttamenteEsempio: la velocità v di un corpo si calcola misurando la distan-za percorsa l ed il tempo impiegato t
v = l=t
oppure l’accelerazione di gravità g usando un pendolo semplice
g =
4�2l
T 2
ecc.
� In generale la situazione si può schematizzare come segue:Conosciamo x, y, ecc. e Æx, Æy, sappiamo che z = f(x; y; :::) e
21
conosciamo la forma della funzione f .Vogliamo sapere z e Æz
� lavoreremo nell’ipotesi che x, y siano affette solo da errori casua-li ed indipendenti gli uni dagli altri; Æx, Æy, siano stati ottenutidalle � delle distribuzioni di x e y, Æz si ottiene da �(z). E’ que-sto quello che si intende abitualmente per propagazione deglierrori: se vi si chiede di propagare un errore senza altre specifi-cazioni, è a questa propagazione che ci si riferisce.
� E’ utile ricordare che nel caso gli errori sistematici non siano tra-scurabili, trattarli secondo l’ipotesi che abbiamo fatto è in gene-rale sbagliato.
� Cominceremo con funzioni semplici: somma-differenza, prodot-to, quoziente, potenza. Vedremo poi la forma generale da cui sipossono ottenere tutti i casi particolari.
22
Somma - differenza� z = x+ y, n valori xi, m valori yj misurati; dato che x e y sono
indipendenti ogni xi può essere combinato con ogni yi per darela somma zij = xi + yi
Alloraznm =
1nm
nXi
mXj
(xi + yj) =
1nm
nXi
(mxi + y1 + :::+ ym) =
1n
nXi
(xi + ym) =
1n(x1 + x2 + :::+ xn + nym) = x+ y
Passiamo ora a �2(z),
�ij(z) = zij � z = (xi + yj)� (x+ y) = �i(x) + �j(y);
23
�2nm
(z) =
1nm
nXi
mXj
�2ij(z) =
1nm
nXi
mXj
(�2i(x) + �2j(y) + 2�i(x)�j(y)) =
1nm
nXi
(m�2i(x) + �21(y) + :::+ �2
m
(y) + 2�i(x)[�1(y) + :::+ �m(y)| {z }
0
]) =
=
1n
nXi
(�2i(x) + �2m
(y)) = �2n(x) + �2m
(y);24
PROPAGAZIONE DELL’ ERRORE� La relazione funzionale è
y = f(x) (o z = f(x; y; t:::))
x = quantità misurata
�x = errore sulla misura di x
� Facciamo una serie di misure
x1; x2; x3; ::::::xn
� Costruiamo la serie
25
y1 = f(x1); y2 = f(x2); :::::::yn = f(xn)
Vogliamo calcolare y e �y o �y
Si fanno i conti già fatti seguendo una procedura piùrigorosa dalla precedente
a) valor medio
y =
1N
(y1 + y2 + :::+ yN) =
1N
[f(x1) + f(x2) + :::+ f(xN)]26
Ricapitolazione su errori e propagazione� Il risultato della misura di X va sempre posto nella forma x � Æx
con l’opportuno numero di cifre significative
� Æx può essere casuale o sistematico
� Se la misura è ripetibile la miglior stima di X è x sull’insieme di N
misure, questa stima è affetta da errore casualeÆx = �N(x) =
�N(x)pN
dove con �N si è indicata la migliore stima della deviazione stan-dard tale che
�2N
(x) =
NXi=1
(xi � x)21
N � 1
� �(x) è un parametro collegato alla probabilità di deviazione di una27
qualsiasi misura� La propagazione degli errori casuali ed indipendenti è governata
dalla legge:dato z = f(x; y) e note f , �x, �y
�2(z) = (Æf
Æx)2�2x+ (Æf
Æy)2�2y
Somma in quadratura degli errori assoluti per somme e differenze,somma in quadratura degli errori relativi per prodotti e quozienti
28
Esercizio� Si usano 2 metodi per misurare il carico di rottura di un filo d’ac-
ciaio e si fanno 10 misure per ognuno dei 2. I risultati FR intonnelate peso sono:A: 3.3, 3.5, 3.7, 3.2, 3.6, 3.5, 3.6, 3.4, 3.6, 3.9;B: 3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.5, 3.6, 3.5, 3.5, 3.6, 3.5;
� Stimare la precisione di ciascun metodo.
� Dare la migliore stima di FR e l’errore standard su FR per il me-todo A e il metodo B, trovare quante misure si dovrebbero farecon il metodo meno preciso per dare un risultato tanto accuratoquanto con l’altro metodo.
29
Soluzione� A: FR = 3:53; �(n�1) = 0:20028
� B: FR = 3:56; �(n�1) = 0:06992
� =) Stima della precisione del metodo o dell’apparato
� A:
Æ(FR) = �(FR) =
�(FR)pN =p
10
Æ(FR) = 0:0633
� B: Æ(FR) = 0:0221
ÆNA
(FR) =
�A(FR)pN
= 0:0221
30
pN =
�A(FR)
ÆB
=
0:20028
0:0221
= 9:062
=) N �= 82
31