TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I: TRABAJO FINALCIRCUITO TANQUE EN RESONANCIA

ALUMNO: NELSON GUILLERMO LOMBARDOPROFESOR: ING. ANGEL ELIZONDO

AYUDANTE: TÉC. UNI. FERNANDO PEREIRA SOSTO

Resumen. Un método muy utilizado para construir filtros es con un circuito tanque LC, pero su construcción resulta lamayor parte del tiempo muy complicada y con resultados que están alejados de los cálculos teóricos. En este trabajo serealizan experimentos con diferentes circuitos y se onda dentro de la problemática de construcción de un circuito de estetipo. En principio se identifica la teoría necesaria para poder comprender el circuito de forma incremental planteando amedida que se avanza en los diferentes circuitos de construcción. Al final se presenta un circuito tanque resonante convalores de factores de calidad muy óptimos para su implementación y se advierte del porque la facilidad de armar unfiltro serie. Todo el trabajo fue realizado a frecuencias bajas por lo que su aplicación en frecuencias cercanas a la altasno es probable por los efectos parásitos que no se han estudiado en él.

Fundamentos

Un circuito resonante presenta dos características muyinteresantes, una es la posibilidad de realizar un filtro tipopasa banda esto es gracias al factor de calidad denomina-do Q, este valor determinara cuan “selectivo” es el filtroy además proporciona para la resonancia un factor de so-bretensión que puede ser utilizado en aplicaciones dondese requieran potenciales mayores que el de alimentación.

El circuito de la figura 1 representa el modelo ideal deestos circuitos. En este caso matemáticamente podemosdescribir la impedancia1 del circuito como

Z = R+ j

(ωC − 1

ωL

)De esta expresión nace la frecuencia de resonancia la

cual provoca que la parte imaginaria desaparezca, en estecaso

f0 = 12π√LC

Figura 1. Circuito tanque elemental

En este caso a esta frecuencia se produce un echo físicomuy particular sobre el circuito y es que existe un equilib-rio entre las cargas2 de los componentes reactivos lo queda a lugar aun intercambio de energía entre ellos y noexiste reflejo de la misma hacia la fuente, por lo que elcomportamiento eléctrico será puramente resistivo o seareal.

En resonancia aparece un valor denominado factor decalidad Q que se calcula como

Q = XCR

= XLR

=√

L

CR2

Este valor determina la selectividad que tiene el circuitoy además representa el valor de sobretensión que aparecerásobre las reactancias, o sea del valor de tensión V entrebornes que deberían tener aparecerá Q ∗V . A medida queel valor de Q es mayor el ancho de banda que filtra elcircuito es tambien mayor como se nota en la figura 2.

Figura 2. Diferentes valores de Q a unamisma frecuencia de resonancia.

Modelado matemático

Para un circuito real y para las bajas frecuencias3 encontramos un modelo circuital parecido al de la figura 3.

Aquí la impedancia sería:

Date: 07 de Diciembre de 2009.1Consideramos la excitación senoidal y en régimen permanente.2El almacenamiento de campo magnético en el inductor y de campo eléctrico en el capacitor.3Por debajo de los 500kHz.

i

TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I: TRABAJO FINAL CIRCUITO TANQUE EN RESONANCIA ii

Z = R+RL

R2L

+ω2L2 − j(ωC − ωL

R2L

+ω2L2

)(

RR2L

+ω2L2

)2+(ωC − ωL

R2L

+ω2L2

)2

Donde RL es la resistencia parasita de la bobina que engeneral pueden ser valores bajos pero no siempre.

La frecuencia de resonancia que dará determinada eneste caso por:

f0 = 12π

√1LC−R2L

L2

Figura 3. Modelado que funciona a ba-jas frecuencias en general.

El valor del factor de calidad se obtinene como:

Q =

√L

CR2L

− 1

Práctica

El primer problema es poseer capacitores de buena cal-idad para valores de Q elevados pero como se verá estopuedo no ser un problema y aunque en general los capac-itores poseen perdidas relativamentes importantes en lasecuaciones no lo ponen en evidencia.

En el uso de resistencias no hubo un problema puntualpuesto que las mismas podían ser utilizadas dentro de lasfrecuencias bajas que se penso atacar.

En una primera instancia se armaron algunos circuitoscon bobinas “caseras” de nucleo de ferrita extraídos delos flyback de placas de televisores arruinadas. Tambiense utilizo el primario de un transformador, puesto que alser un elemento muy común y de fácil adquisición ademásde poseer un arrollamiento mecánico parecía ser la mejorelección pero se enfrentan dos problemas:

Los transformadores que generalmente se con-siguen en el mercado son para bajas frecuenciaspor lo que no se los adapta ni con materiales ade-cuados en los bobinados ni poseen nucleos que per-miten una buena concentración del campo mag-nético para frecuencias mayores a las nominales.El arrollamiento es realizado con un conductorunifilar en general de gran diametro4.

Los diferentes arrollamientos utilizados no proporciona-ban un circuito tanque resonante por lo que al estudiarcon más detenimiento las ecuaciones se pone en evidenciala influencia que posee el efecto resistivo presente en elinductor.

Circuito final

El circuito. En la figura 4 podemos observar el circuitoen plena medición dentro del laboratorio, la figura 5 mues-tra una imagen del tipo de bobina utilizada. El arma-do básico del circuito intentaba competir con cualquiercircuito tanque presente en radios o equipos comercialesparecidos que no poseen grandes protecciones contra elruido.

Figura 4. El circuito medido.

Figura 5. Tipo de bobina utilizada.

Los componentes. En este circuito utilizamos los sigu-ientes valores medidos con el puente RLC:

Rp = 11778Ω; Lr = 0,09406mHLp = 0,17516mH; Rr = 0,16712ΩCp = 98,446nF ; Rr = 0,0792Ω

En este caso se utilizo un capacitor común cerámico comola resistencia. La bobina se extrajo de una vieja placa deun televisor perteneciente a la etapa horizontal.

La bobina presenta un arrollamiento manual de muypocas vueltas con un conductor multifilar recubierto deseda sobre un nucleo de ferrite relativamente pequeño.El tamaño constructivo utilizado y los materialez puestosen juego han sido desicivos para poder ejecutar este fil-tro, tema de otroo trabajo será lograr enteder la mécanicay compuestos que llevan a construir este tipo de compo-nente.

4En comparación para el necesario en frecuencias de operación mayores.

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Se dispuso la bobina y el capacitor enfrentados paraminimizar inductancias como asi capacitancias ademas deutilizar un par trenzado para el mismo efecto.

Los cálculos. Se calcularon las frecuencias de resonanciaen la tabla 2 usando el modelo ideal y luego el de la figura3.

Ideal Aproximadof0 38326,89404Hz 38326,59266Hz

Cuadro 1. Datos calculados sobre la fre-cuencia de resonancia.

Al momento de calcular el factor de calidad se debióconfeccionar la tabla puesto que el propio puente RLCnos acusaba diferentes valores de RL. Es evidente que es-tas variaciones son de indole cuadrática, por lo tanto elefecto resistivo de la bobina varía y aunque esta variaciónes realmente pequeña la incidencia sobre la selectividad esrealmente muy grande y es por lo cúal no se había logradoarmar un circuito resonante.

RL Q

0,1 421,810,16712 252,40,20131 209,53

0,3 140,6

Cuadro 2. Diferentes valores de Q re-specto a pequeñas variaciones en RL.

Las mediciones. En el laboratorio se puedo medir unafrecuencia de resonancia de:

f0 = 38316Hz

La cuál difiere de las calcúladas en la tabla 2 en apenas10Hz lo cual representa el %0,026 de error.

Figura 6. Señal de excitación en fasecon la de sobretensión, en resonancia.

En la tabla 3 se pudo obtener el ancho de banda usandoel osciloscopio.

Vi (V pp) Vi ∗ 0,707 (V pp) fL (Hz) fH (Hz) ∆f (Hz)0,8 0,5656 38516 38576 320

Cuadro 3. Ancho de banda medido conel osciloscopio, los valores de tensión essobre la reactancias.

De esta forma podemos calcular el Q0 del circuito como:

Q0 = f0

∆f= 119,7375

Esto nos ayuda a obtener el valor de RL que esta pre-sente en este momento sobre la inductancia:

RL =

√L

(Q20 + 1)C

= 0,3521Ω

Aunque puede que este alejado de los valores calculadosel valor del factor de selectividad sin embargo es lo sufi-cientemente alto como para lograr un filtro pasa banda. Sepuso a prueba esta idea y se le inyecto una señal cuadradade 38316Hz con el espectro que se muestra en la figura 7y a la salida del filtro obtuvimos el espectro de la figura 8.

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Figura 7. Espectro de la señal cuadradainyectada.

Figura 8. Espectro de salida del filtro.

La selectividad alcanzada es más que sastifactoria y de-mostro funcionar realmente bien. En la figura 9 se puedevisualizar este echo en la medición sobre el osciloscopio.

Figura 9. Superposición de la señal in-yectada y la salida del filtro en el oscilo-scopio.

El valor de excitación utilizado para la señal cuadraday senoidal siempre fueron de 2Vpp.

Resonancia natural. Cuando se realizo la revisión delespectro de salida que se muestra en la figura 8 se encontroun armónico a 50MHz lo que después de descartar queno fuera introducido por el aliasing del equipo se dedujoque se trataba posiblemente de la frecuencia natural deresonancia de la bobina por lo que calculamos la posiblecapacidad de la misma:

CL = 1Lω2 = 2,2857pF

Para poder cuantificar de algún modo este valor, dosnodos adyacentes de un protoboard regular posee practi-camente el mismo efecto capacitivo.

Efecto skin. El echo de medir el efecto resistivo sobre labobina nos mostro grandes variaciones lo cual demostro serel pricipal problema a la hora de poner cualquier circuitoen funcionamiento. Una mínima variación de RL generagrandes variaciones en el valor de Q0, aumentar en enalguna decenas es disminuir prácticamente centenas delfactor de selectividad.

Resonancia paralelo vs. serie. Unos de los problemasmás importantes al usar un circuito serie es que en reso-nancia la impedancia total del circuito se hace mínima yhace la corriente a entregar muy grande cargando demasi-ado el circuito de excitación. Respecto a la frecuencia deresonancia la obtenemos de:

f0 = 12π√LC

Ahora podemos calcular el factor de calidad como:

Q0 =√

L

C (R+RL)2

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Esto nos demuestra matemáticamente que la resistenciaparasita del inductor queda enmascarada por el resistorpuesto en juego en el circuito lo que permite obtener engeneral una gran ventaja al momento de armar un circuitoresonante pero con una alta deficiencia en su desempeño.Notamos como es necesario reducir el valor deR pero siem-pre será R ≫ RL, esto conlleva a la necesidad de utilizarvalores reactivos de bobina grandes con los incovenientesque presenta esto.

Simulación

En la figura 10 simulamos el circuito que se realizo enel laboratorio y además se realizó un pequeño barrido enfrecuencia del cual obtuvimos lo que se ve en la figura 11.

Figura 10. Circuito simulado en QUCSutilizando los valores de laboratorio.

Figura 11. Espectro de salida simuladoen QUCS.

Software utilizado

Word processor LYX v1.5.5http://www.lyx.org/Circuit simulator QUCS v0.0.14http://qucs.sourceforge.net

Equipos Utilizados

Instek Synthesized Function Generator SFG-2110.Instek Oscilloscope GOS-G35G - BandWidth35MHz.YF-602 multimeter.Instek LCR meter LCR-819.

Conclusión

Un circuito tanque es un circuito muy utíl pero requiereefectivamente de inductores de construcción muy específi-ca. La teoría a la que nos enfrentamos es totalmente com-probable pero poner en práctica estos conceptos resultamuy dificíl.

Se pudo comprobar que para frecuencias bajas los re-sistores comerciales funcionan correctamente para utilizarcomo filtro así como los capacitores cerámicos. El proble-ma a sortear en todos los casos será la bobina a utilizar.No fueron necesarios altos valores de los componentes peromatemáticamente y en la práctica podemos concluir queexisten preponderadamente estos problemas que atentanal armado de estos circuitos:

La disperción magnética.El efecto skin.Las capacidades parasitas.Las inducciones parasitas.Los materiales de los conductores de las bobinas.Los aislantes del arrollamiento.

El inductor utilizado de la etapa horizontal de una viejaplaca de televisión demostró ser la elección adecuada. Eladecuado núcleo permite poca dispersión magnética y unaconcentración de campo grande. El arrollamiento multifi-lar reduce en gran medida las variaciones resistivas de labobina por efecto skin y su recubrimiento de seda pro-duce una reducción muy importante de las capacidadesparasitas presentes en ella.

La construcción casera de una bobina para utilizar enun circuito no es una tarea sencilla y requiere de mate-riales y técnicas que no se tienen con un curso básico deTeoría de los Circuitos.

Respecto a los efectos capacitivos parásitos que sepuedan presentar al trabajar en estas frecuencias no gen-eran impedimentos de construcción, a medida de tenerfrecuencias más altas se requieren de técnicas de enmas-caramiento a travéz de la desposición de circuitos de-sacopladores.

Los efectos físicos que engloban estos circuitos son cier-tamente complejos y muy difíciles de distinguir pero paraaplicaciones de ingenieria demostramos su total aplicacióny óptimo resultado.

Respecto a la construcción de un circuito serie, eltanque presenta altos valores de impedancia de entradaen resonancia y su factor de selectividad es realmente altoen comparación a los valores reactivos que debemos intro-ducir en un circuito serie.

Referencias[1] Héctor O. Pueyo y Carlos Marco. Circuito Eléctricos: “Análisis

de modelos circuitales” Tomo 1. ISBN 970-15-0769-X.[2] Héctor O. Pueyo y Carlos Marco. Circuito Eléctricos: “Análisis

de modelos circuitales” Tomo 2. ISBN 970-15-0941-2.[3] jpconf9_150_012004.pdf. ”Considerations on the read out of low

frequency NMR for He” O.W.B. Benningshof, D.H. Nguyen, andR. Jochemsen. Department of Physiscs, Leiden University, 2300RA Leiden, Netherlands.

[4] US2701842.pdf. ”Special tank circuit for high Q dielectric loads”.Richard H. Hagopian, Baltimore, Md., assignor to WestinghouseElectric Corporation, East Pittsburgh, Pa., a corporation ofPennsylvarina. Application August 30, 1949, Sereal No. 113.175.

E-mail address: nelson.lombardo@gmail.comCurrent address: Avda Rotter S/N, Plaza Huincul, Neuquén, Argentina. Facultad Regional del Neuquén U.T.N.