Upload
lassie
View
60
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TEORIA DE GRUPS. 1. Introducció. Teoria de grups Simetria Destacar la importància i/o absència de simetria a la Natura (cos humà, cristalls, quiralitat) Simetriarelacions espacialsreflex en l’estructura electrònica de la materia Molt rellevant per la Química Quàntica - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
TEORIA DE GRUPSTEORIA DE GRUPS
1. Introducció1. Introducció
Teoria de grups Simetria
Destacar la importància i/o absència de simetria a la Natura (cos humà, cristalls, quiralitat)
Simetria relacions espacials reflex en l’estructura electrònica de la materia
Molt rellevant per la Química Quàntica
La simetria és important, però no ho és tot.
Què és la simetria? Què és la simetria?
Una definició segons H.S.M Coxeter (geòmetra):“Quan diem que una figura és simètrica volem dir que existeix una transformació congruent que la deixa invariada com un tot, només permutant els elements que la composen”
a) CONCEPTE D’IGUALTAT SIMÈTRICAMobius: “Dues figures són iguals si les distancies entre uns punts qualsevol donats d’una figura, són les mateixes que les distàncies entre els punts corresponents a l’altra figura”
b) GRAU DE SIMETRIA “Un objecte és més simètric que un altre”Ex: vs
b) Existeix alguna eina que ens permeti dir inequívocament si hi ha simetria i en quin grau?
Si. La Teoria de Grups.
2.- SIMETRIA MOLECULAR I GRUPS DE SIMETRIA2.- SIMETRIA MOLECULAR I GRUPS DE SIMETRIA
2.1.- ELEMENTS I OPERACIONS DE SIMETRIA
OBJECTIUS:
– Presentar els elements de simetria: σ , Cn, i, Sn
– Diferenciar element i operació de simetria– Saber trobar els elements de simetria presents en una figura o
una molècula– Distinció entre configuració equivalent i configuració idèntica (ús
d’etiquetes).– Operacions consecutives i inverses.
2.1.1.- PLA DE SIMETRIA. REFLEXIÓ. SIMETRIA BILATERAL
1r exemple: Cossos dels animals. Simetria externa dreta/esquerra.(mig cos mirat en un mirall reprodueix el cos sencer).
2n exemple: Mitjans de transport: cotxe, moto , tren… SImoto amb sidecar NO
El mirall constitueix un PLA DE SIMETRIA, que anomenarem σ.
Un pla de simetria ha de travessar el cos, no pot estar a fora. Aquesta figurano té pla de simetria
Si posem un mirall, i considerem la figura i la seva imatge especularcom un tot, llavors el mirall és un plade simetria.
Condicions d’existència d’un σ
Traçar una línia perpendicular des de cada àtom al pla. Prolongar aquesta línia al costat oposat del pla, dins la mateixa distància i aquesta és la nova posició de l’àtom reflexat.
Si en aquesta operació per a tots els àtoms de la molècula s’obté una configuració equivalent a la primera, llavors existeix un pla de simetria.
TOTA MOLÈCULA PLANA TÉ COM A MÍNIM UN PLA (EL QUE CONTÉ TOTS ELS ÀTOMS)
σO
H2H1
O
H1H1
σO
H2H1
O
H2H2
σO
H2H1
O
H1H2
^
a
a b
b
dc
c d a b
dc
b a
cd
Configuració equivalent però no idèntica degut a les etiquetes.
a
b
dc
Configuració no equivalent
a b
c d
Configuració equivalent.σ
σ
Representació matricial de l’operació de reflexió (pla xy, p.ex)
σ: p(x, y, z) p’(x, y, -z)
zy x
zyx
10 00 1 00 0 1
p(x, y, z)
p’(x, y, -z)
x
y
z p = p’^
Molècules planes
BF3
1+6
1+3
1+4
HH CH
CC N
O OC
B
F
F
F
σ1
σ2
σ3
σ4
Molècules linials: Infinits plans que contenen tots els àtoms.
AB4
Tetraedre AB4
A
B1
B2
B3
B4
A
B1
B2B3
B4B1AB2
B1AB3
B1AB4
B2AB3
B3AB4
B2AB4
σσσσσσ
Exemples:
O
H H
σ1NH
HCl
NH
HH
σ1
3σ
Br
σ1
σ2
ClC C
H
HCl
σ1
σ2
• Àtoms únics han d’estar sobre del pla (per a que no es moguin al reflexar-los)
• D’àtoms que estan fora del pla n’hi ha d’haver un nombre parell.
σ2
Definicions:
ELEMENT DE SIMETRIA És una entitat geomètrica (p.ex. Un pla) Com veurem més endavant tindrem altres entitats (línia, punt) Un element de simetria GENERA...
OPERACIONS DE SIMETRIA Una operació de simetria és el resultat de l’aplicació d’un element de
simetria. Són moviments de les parts d’un cos (en relació a punts, línies o plans)
que porten a aquest cos a una configuració equivalent o indiscernible de l’original.
En una molècula, els àtoms que es poden intercanviar per qualsevol operació de simetria s’anomenen ÀTOMS EQUIVALENTS.
RESUM:
Un objecte presenta simetria: BILATERAL Té com a element de simetria: UN PLA Podem aplicar-hi una operació de simetria: UNA REFLEXIÓ
RESPECTE AL PLA Si apliquem un pla dues vegades , obtenim la configuració
inicial (ex. periscopi)
Imatge real
Imatge especularImatge real
2.1.2.- EIXOS PROPIS. ROTACIÓ PRÒPIA. SIMETRIA ROTACIONAL2.1.2.- EIXOS PROPIS. ROTACIÓ PRÒPIA. SIMETRIA ROTACIONAL
Presenta alguna simetria, però no bilateral. Presenta un pla (el pla de la figura)
Si la fem girar 180º, sobté
el mateix objecte, però en una configuració equivalent
“YING YANG” A
B
B
A
180ºSIMETRIAROTACIONAL
1 2
Al voltant d’una línia hipotètica, perpendicular al pla de la figurai que passa pel centre. Si la configuració 2 la tornem a girar 180º ,en el mateix sentit (Sentit Agulles Rellotge SAR), obtenim la configuració 1.
ELEMENT OPERACIÓ SÍMBOLEIX (PROPI) ROTACIÓ (PRÒPIA) Cn
Per ORDRE DE L’EIX s’entén el nombre de vegades que cal fer girar l’objecte en diferents configuracions equivalents fins a obtenir la configuració inicial en una gir complet de 360º.
n és el valor tal que una gir de radians produeix una configuració equivalent.
Pel YING-YANG, n=2 rotacions de 180ºL’eix és un C2 (eix binari)
n2
Exemple: Triangle equilater C3
a
c b
120º 120º 120ºc b
cb c ba a
a
Notació de l’operació mnC m= nombre de vegades que
apliquem l’eix
I II III I
3C 3n1203
360
I II III I13C 1
3C 13C
23C
33C
L’operació (o ) dóna la configuració inicial, és a dir, com si no haguessim fet res. Però és un fet significatiu que existeixi una operació IDENTITAT, Ê.
De manera que: = Ê
Recordem que: = Ê
33C n
nC
nnC Un eix de propi Cn genera n-1
operacions de simetria, ja que Ê= n
nC
2 Un pla genera una operació desimetria, ja que
Ê= 2
Exemples Moleculars:
C2 H2OC3 BF3, NH3
C4 [PtCl4]-
C5 C5H5-
C6 C6H6•Àtoms sobre l’eix no es desplacen.•Àtoms únics sobre l’eix.•Si un àtom no està sobre l’eix, cal que hi hagi n àtoms(com a mínim) d’aquest tipus.
RECERCA D’EIXOS
Exemple:
2.1.3.- DIFERÈNCIA ENTRE UN PLA I UN C2.1.3.- DIFERÈNCIA ENTRE UN PLA I UN C22
Cl
S S
ClS2Cl2 C2
NH2 F
NF
H
H
2C
2C
L’existència d’un σ que contingui un eix de rotació Cn, fa que necessàriament l’objecte presenti n plans de simetria.
– Els anomenarem σv (vertical)
H2O NH3Si C2//z Si C3//z
σxz σv σv’ σv’’
σyz
2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA
Pla perpendicular a un eix de simetria no genera cap altre pla. Els anomenarem σh (horitzontal)
Eix perpendicular a un eixSi existeix un eix (normalment C2) perpendicular a un eix Cn (C3, C4,...), necessàriament es generen n eixos C2.
Exemple: BF3 C3; 3C2 Cn
2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA
2.1.5.- CENTRE D’INVERSIÓ. SIMETRIA COMBINADA REFLEXIÓ/ROTACIÓ2.1.5.- CENTRE D’INVERSIÓ. SIMETRIA COMBINADA REFLEXIÓ/ROTACIÓ
ELEMENT OPERACIÓ SÍMBOLCentre d’inversió Inversió i
(és un punt)
Si posem el centre d’inversió en el punt (0,0,0)i: î (x, y, z) (-x, -y, -z)
Quan en un objecte(molècula) aquesta operació es pot aplicar a tots els punts donant lloc a una configuració equivalent, indistingible de la inicial, diem que existeix un centre d’inversió.
El centre d’inversió només genera una operació de simetria i 2=E
(x, y, z) (-x, -y, -z) (x, y, z)i i
E
Exemples:
N NF
FM
A
A
L
L
X
X
C CCl
Cl
F
FH
H
SI
SI
NO
NO
Exemples:
M
A
A
L
L
X
X
i = σh * C2 Producte d’operacións de simetria Conveni: S’aplica primer l’operació de la dreta.
Ex: C2 (z) ; σh (xy)
(x, y, z) (-x, -y, z) (-x, -y, -z)
IMPORTANT: L’existència d’un i no implica l’existència d’un σh i d’un C2. L’existència d’un σh i un C2 implica l’existència d’un i.
EX:
C2 (z) σh (xy)Tambéi=C2*σh
(x,y)
(-x,-y)C2 (z)
La rotació impròpia es pot interpretar com una operació en dues etapes:
1a. Etapa: UNA ROTACIÓ PRÒPIA, Cn.2a. Etapa: UNA REFLEXIÓ σh (σh és perpendicular
al Cn).
ELEMENT OPERACIÓ SÍMBOL Eix impropi rotació impròpia Sn
La rotació impròpia genera varies operacions, de la mateixa manera que un eix propi. Les denominaren Sn
m. Sn
m és un gir de m vegades seguit de m reflexions.
2.1.6.- EIX DE ROTACIÓ IMPROPI. ROTACIÓ IMPRÒPIA2.1.6.- EIX DE ROTACIÓ IMPROPI. ROTACIÓ IMPRÒPIA
n2
S1 = σh * C1 = σh
S2= σh * C2 = i
Podem concloure que l’existència d’un Sn no implica l’existència d’un Cn i un σh, igual que vam fer pel centre d’inversió amb C2 i σh.
Fins ara, o hem considerat una sola operació de simetria o la rotació/reflexió (per a i i Sn). Examinarem ara l’efecte de realitzar una sèrie succesiva d’operacions de simetria.
Si és una operació de simetria i també,llavors també ho és.
C C’ C’’
En general o, el conmutador
Amb l’operació identitat, totes les operacions hi conmuten
2.2.- OPERACIONS CONSECUTIVES2.2.- OPERACIONS CONSECUTIVES
1R 2R 123 R.RR
1R 2R
3R
1221 R.RR.R 0R,R 21
0R,EE,R 11 11 RE.R
Exemple:
NH1
H3N
H1H3
NH1H3H2
H2
H2
NH1
H3N
H1H3
N
H1
H3H2
H2H2
C31
C31
σv1
σv1
σv
σv
σv1 •^C31= σv2
C31 • σv1 = σv3
L’existència d’una operació de simetria A en un objecte implica l’existència d’una altre operació B, tal que:
A.B=E A és inversa de B, B=A-1
B.A=E B és inversa de A, A=B-1
El producte d’una operació per la seva inversa és sempre CONMUTATIU.
A.B=B.A=EPla de simetria σ2=E; σ. σ=E; σ=σ-1
Centre d’inversió i2=E; i.i=E; i=i-1
2.3.- OPERACIONS INVERSES2.3.- OPERACIONS INVERSES
Eix de rotació Cnn = E
Cn1. Cn
1.... Cn1=E Cn
1. Cnn-1 =E
Ex: C31 C3
-1=C32
Eix de rotació impropi n parell Sn
n=E Sn
1.Snn-1=E
n senar Sn2n=E
Sn1.Sn
2n-1=E
Cn-1=Cn
n-1
Sn-1=Sn
n-1
Sn-1=Sn
2n-1
n
n-1
GRUPGRUP
PROPIETATS BÀSIQUES D’UN GRUP
És una sèrie d’elements relacionats entre si mitjançant certes regles.El nombre d’elements del grup s’anomena ORDRE del grup (h), pot ser infinit o finit.
1.- El “producte” (o combinació) de dos elements qualsevols d’un grup ha de ser un altre element del grup.
Si A, B Є grupA.B = C ; C Є grup
2.- Ha d’existir un element que conmuti amb tots els altres i els deixi inalterats. A aquest element l’anomenarem IDENTITAT.
A.E = E.A = A per a tot A Є grup
3.- El producte o combinació de 3, o més elments del grup ha ser ASSOCIATIU.(A.B).C = A (B.C) = A.B.C
4.- Cada elemental d’un grup té un element INVERS, que també és element del grup. La combinació d’un element amb el seu invers és l’element identitat.
A.A-1 = A-1 .A = E
TEOREMA DEL PRODUCTE DE RECÍPROCS
L’invers d’un product de dos o més elements dels grup és igual al producte dels inversos en ordre invers.
sigui D=A.B.CD-1=(A.B.C)-1=C-1.B-1.A-1
3.2- GRUPS PUNTUALS DE SIMETRIAC1 : ECS : E, σCn : E, Cn
Ci : E, iSn : E, Sn (n=4, 6, 8)Dn : E, Cn+nC2 (Cn+nC2)Cnv : E, Cn+n σV (Cn+n σV)Cnh : E, Cn+σh Sn (Cn+σh)Dnd: E, Cn, nC2+ n σd S2n (Dn+n σd)Dnh: E, Cn, σh , Sn +nC2+ n σd S2n (Dn+n σd)
Grups infinits:Coov : E, Coo, σv
Dooh : E, Coo, i, Soo (σh), C2, σv (Coov+ σh)
Grups cúbics:T : E, 4 C3, 3 C2
Th : E, 4 C3, 3 C2, i, 4 S6, 3 σh
Td : E, 4 C3, 3 C2, 3 S4, 6 σd
O: E, 3 C4, (3 C2), 4 C3, 6 C2
Oh: E, 4C3, 6C2, 3C4, (3C2), i, 3S4, 4S6, 3σh,6 σd
I: E, 6C5, 10 C3, 15 C2
Ih: E, 6C5, 10C3, 15C2, i, 6S10, 10S6, 15 σ
Taules de multiplicació d’un grup
En un grup d’ordre h existeixen h2 productes de dos elements del grup. Si tots els productes possibles estan inclosos en aquesta llista el grup està definit de manera completa i única.
Taula de multiplicació:- Es composa de h files i h columnes.- Cada columna està encapçalada per un element del grup. Cada fila també.- El símbol de la taula situat en el punt de coincidència d’una columna i d’una fila és el producte dels elements que encapçalen la columna i la fila.- Com el producte no és necessàriament commutatiu, cal donar un sentit, arbitrari, a l’operació:
resultatij=columnaj x filai
X=B.A C C’ C’’
E A B ...EA XB...
A B
Teorema de la redistribució
- Cada fila i cada columna de la taula de multiplicació d’un grup conté els elements del grup una vegada i només una.
- No hi poden haver 2 files i 2 columnes, iguals.
- En cada columna (o fila) apareixen TOTS els elements del grup, això sí, ordenats de manera diferent.
Ex: C3V (NH3)elements: E, C3, σv1, σv2, σv3
operacions: EC1
3, C23 h=6
σv1, σv2, σv3
Taula:
E C13 C2
3 σv1 σv2 σv3
E E C13 C2
3 σv1 σv2 σv3
C13 C1
3 C23 E σv2 σv3 σv1
C23 C2
3 E C13 σv3 σv1 σv2
σv1 σv1 σv3 σv2 E C23 C1
3
σv2 σv2 σv1 σv3 C13 E C2
3
σv3 σv3 σv2 σv1 C23 C1
3 E
C3
σv1
σv3
σv2
Podem observar en la taula del grup C3v que existeixen subgrups.
– E, C13, C2
3 C3
– E, σv1 Cs
– E, σv2 Cs
– E, σv3 Cs
– E C1
L’ordre de qualsevol subgrup, g, d’un grup d’ordre h, ha de ser divisor de h; h/g=k (núm. Sencer)
CLASSESAcabem de veure que d’un grup en podem fer grups més petits, subgrups. Hi ha una altra manera de dividir un grup en parts més petites: són les classes de simetria.
Abans, però, cal que introduïm una nova operació:
Transformació de semblançaSi A i X Є Grup
X-1.A.X Є Grup B= X-1.A.X
Direm que: B és la transformació de semblança de A per X.B és el conjugat de A
Una CLASSE és una sèrie completa d’elements conjugats entre si.
E sempre constitueix una classe per si sola.E-1.E.E=EA-1.E.A=EB-1.E.B=E
Com buscar/ trobar les classes d’un grup?
a) Triar un element. b) Trobar tots els conjugats (calcular totes les transformacions de semblança).c) Repetir b) però amb un altre element que no sigui conjugat del primer...i així fins que no surti cap element sense classificar per classes.
3.1 DEFINICIONS
Una representació d’un grup donat G es defineix generalment com un conjunt, , d’elements que satisfan dues condicions:
i) Cada element del grup G pot associar-se amb algun element del conjunt .ii) La taula de multiplicació dels elements del conjunt és equivalent a la taula del
grup G.
Això ho podem expresar com:GRUP G Representació A, B, F A (A) (F)= (B). (A)F=B.A B (B)
F (F)
I de fet, una representació d’un grup donat és a la vegada un grup matemàtic homomorf del grup considerat.
En el nostre cas, els elements del grup G són les operacions de simetria. Veiem que si escollim matrius podrem representar el grup G per conjunts de matrius que alhora tindran (cada conjunt) estructura de grup.
3.- REPRESENTACIONS D’UN GRUP3.- REPRESENTACIONS D’UN GRUP
Repàs d'àlgebra lineal
Suma de matriusAij=Bij+Cij
Producte de matrius A=B.C
Matrius diagonalitzades en bloc3 blocs 2x23x31x1
El producte de dues matrius diagonalitzades en bloc és una altra matriu diagonalitzada en bloc.
El producte de dues matrius diagonalitzades en bloc de la mateixa manera, és igual al producte de cada un dels blocs.
C1=A1.B1
C2=A2.B2
C3=A3.B3 Caràcter o traça d’una matriu quadrada
k
kjikij .CBA
100000098700076500043200000032000011
200033055
200011011
100021032
3
2
1
3
2
1
3
2
1
CC
C
BB
B
AA
AA.B
n
1iiiA Aχ
3.2.- REPRESENTACIÓ MATRICIAL DE LES OPERACIONS DE SIMETRIA DEFINICIÓ PRÈVIA: BASE D’UNA REPRESENTACIÓ
La base d’una representació és un conjunt format per un nombre de funcions linialment independents, {Фi}, de manera que l’acció d’un element del grup (una operació de simetria) sobre cada una d’aquestes funcions es pot escriure com una combinació linial d’aquestes funcions.Exemple:
Base (x,y,z) (x,y,z) (x’’,y’’.z’’)
Identitat: Ê (x,y,z) (x,y,z)
Reflexió: σ (x,y,z) (x,y,-z)
zyx
.ihgfedcba
z'y'x'
100010001
(E)
100010001
)(σxy
Ôp
Ê
σxy
Rotació: Cn (angle de rotació θ); Cn // eix z
(x,y,z) (x’,y’,z’)Cn
x
y
y
x(x,y,z)
α
θ
(x’,y’,z)
αl.sin yα l.cosx
cos(θ-α)=cosθ cos α + sinθ sin αsin(θ-α)=sinθ cos α – cosθ sin α
x’=l cos(θ-α)y’=-l sin(θ-α)
x’= l cosθ cosα + lsinθ sinα = x cosθ + y sinθy’=-l sinθ cosα+ lcosθ sinα = -x sinθ + ycosθz’= z
1000cosθsinθ0sinθcosθ
)(Cn
Rotació impròpia Sn (angle de rotació θ); Cn // eix z σ= σxy
(x,y,z) (x’,y’,-z)
Sn= σh.Cn
Com que podem construir qualsevol representació (és a dir, podem escollir qualsevol base de qualsevol dimensió) ens serà útil definir el:
CARÀCTER D’UNA REPRESENTACIÓ“El conjunt dels caràcters de les matrius d’una representació: χ()
Sn
1000cos0cos
1000cos0cos
100010001
)()()(
sinsin
sinsin
CS nnn
Grup C2h {E, C2, σh, i} h=4 Base: (x,y,z)
E C2 σh i χ(Γ) 3 -1 -1 -3
Per aquest grup es podria comprobar que la taula de multiplicació del grup, i la taula de multiplicació de la representació són iguals.
Exemples:Exemples:
100010001
)(;100
010001
)(;100010001
)(;100010001
)( 2 iCE h
Grup C2h
Base: àtoms de la molècula
E C2 σh i χ(Γ) 4 0 4 0
Observacions: Els caràcters de les dues representacions són diferents.El caràcter de E “sempre”és igual a la dimensió de la representació.
N N
H
H1
3 4
2
1000010000100001
(E)
0100100000010010
)(C2
1000010000100001
)( h
0100100000010010
(i)
Grup C3v {E, C31,C3
2,σ1, σ2, σ3) Base: {d1, d2, d3} dim=3
E C31 C3
2 σ1 σ2 σ3
χ(Γ) 3 0 0 1 1 1
Observacions: Els elements que pertanyen a la mateixa classe tenen el mateix caràcter. Per això:
E 2C3 3σ χ(Γ) 3 0 1
Les matrius NO estan diagonalitzades per blocs.
100010001
)(^
EE
001100010
)( 13
13 CC
010001100
)( 23
23 CC
100001010
)( 33
001010100
)( 22
010100001
)( 11
d1 d2
d3
C31.C3
2 1 classeσ1σ2σ3 1 classe
Les podem diagonalitzar per blocs?SI, si apliquem la transformació de semblança adecuada.
Per exemple:
Apliquem la transformació de semblança a un dels elements de cada classe.
XXts 1
21
61
31
21
61
31
06
23
1
X
21
210
61
61
62
31
31
31
1X
06
23
12
16
13
12
16
13
1
21
61
31
21
61
31
06
23
1
001100010
)( 1113
1 XXXCX
)(
21
230
23
210
001
06
23
12
16
13
12
16
13
1
21
210
61
61
62
31
31
31
13Cts
Observem que la transformació de semblança no modifica la traça:
Fem el mateix per l’altra classe:
))((0))(( 13
13 CC ts
100010001
)()( 111 tsXX
010100001
))((1))(( 11 ts
Llavors, fent la transformació de semblança hem aconseguit una altre representació (de la mateixa dimensió i diagonalitzada per blocs), però amb el mateix caràcter (ja que la transformació de semblança no altera la traça).
E 2C3 3σχ(Γ) 3 0 1χ(Γts) 3 0 1
Ara considerem cadascun dels blocs:χ(Γ1x1) 1 1 1χ(Γ2x2) 2 -1 0 χ(Γts) 3 0 1
És a dir, que la representació Γts és la “SUMA DIRECTE” () de les representacions (de dimensió més petita) obtingudes al diagonalitzar per blocs Γ.
Observació:Podem descomposar una representació de dimensió N en representacions més petites, tals que la suma de la dimensió de cada representació és igual a N, i això ho podem aconseguir aplicant una transformació de semblança tal que ens diagonalitzi les matrius de la representació de dimensió N en blocs.
)()()( 2211
2211
111 xxts
xxts
Grup C3v {E, 2C3,3σ} Si C3//z , σ1= σxz
Base: x,y,z
Aquesta representació ja ens ha sortit diagonalitzada en blocs
E 2C3 3σ Γ 3 0 1 Γ2x2 2 -1 0 Γ1x1 1 1 1
100010001
)E(
1000 21- 302321-
1000 cos120 sin1200 sin120cos120
)(C13 2
1 0 00 1- 00 0 1
)(σ1
1x12x2
Igual que abans!!!
El nombre de R.I d’un grup és igual al nombre de classes del grup. La suma de quadrats de les dimensions de totes les representacions irreduibles
d’un grup és igual a l’ordre del grup.
La suma dels quadrats dels caràcters de qualsevulla R.I és igual a l’ordre del grup.
Els caràcters de dos R.I, i i j, compleixen:
En qualsevol grup, existeix una R.I de dimensió 1 en la que tots el caràcters són iguals a 1. És la representació totalment simètrica.
En definitiva:
REPRESENTACIONS IRREDUIBLES (R.I)REPRESENTACIONS IRREDUIBLES (R.I)
i i
2^
i2
i h)]E([h)(dim
R
2^
i h)]R([
R
ji RRˆ
0)ˆ()ˆ(
R
)ˆ()ˆ( ijji hRR
Les R.I de dimensió UNITAT es designen por A o B.Si el caràcter d’una rotació (pròpia o impròpia) 2/n al voltant d’un
eix de simetria d’ordre màxim n és+1 A-1 B
Les R.I de dimensió DOS es designen per E Les R.I de dimensió TRES es designen per T Les R.I de dimensió QUATRE es desginen per G Les R.I de dimensió CINC es designen per H
Nomenclatura de les R.I’sNomenclatura de les R.I’s
I
Si la molècula té un centre d’inversió, î, utilitzar un subíndex g o u.
Si la molècula té un pla σh , però no té î, utilitzar un superíndex ‘ o ‘’ .
Si és necessari es posen subíndex numèrics per a distingir les R.I.
Nomenclatura de les R.I’sNomenclatura de les R.I’s
II
III
uîgî
0)(0)(
''0)ˆ('0)ˆ(
h
h