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Teoria de Filas – Aula 4Aula de Hoje
Variáveis aleatórias contínuas
Valor esperado de uma variável aleatória
Aula Passada
Variáveis aleatórias discretas
Bernoulli
Binominal
Uniforme
Poisson
Geométrica
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Espaço Amostral não ContávelEspaço amostral é contínuo (não contável)
não podemos enumerar o espaço
Exemplo de espaço amostral contínuo?
Exemplo de experimento aleatório?medir intervalo de tempo com precisão infinita!
Associar probabilidade a cada possível resultado?Não! Um dado resultado irá possuir probabilidade zero!
Idéia: Associar probabilidade a conjuntos de resultados
ex. intervalo de tempo entre 1 e 1.1 segundos
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Variável Aleatória ContínuaAplica-se quando espaço amostral não é contável
Mesma idéia da v.a. discretamapear o espaço amostral nos números reais
X :S ℜ
Exemplo de experimento aleatóriotempo até uma lâmpada queimar (medido com precisão infinita)
X é uma v.a. que indica exatamente este tempo (função identidade)
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Variável Aleatória ContínuaFunção de probabilidade de massa não faz sentido
probabilidade de um ponto do espaço amostral é zero
Função de distribuição cumulativa faz sentidoprobabilidade de uma região do espaço mapeado
ex. prob. da lâmpada queimar em menos de 1 dia
F X x =P [Xx ]
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Função de Densidade de Probabilidade (pdf)
Aplicada a v.a. contínuas (facilita os cálculos)
Define probabilidade da v.a. através de integrais
f X x
pdf é a derivada da cdf
P [aXb ]=∫x =a
x= b
f X x d x
Relação com cdf (função cumulativa)
dd xF X x = f X x
função de densidade da v.a. X
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Função de Densidade de Probabilidade (pdf)
7
ExemploO tempo X, medido em anos, para completar um projeto de software tem a seguinte pdf:
f X x=kx 1−x ,0≤x≤1
Qual a probabilidade do projeto ser completado em menos de 4 meses?
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Uniforme
Valores podem ocorrer com a mesma probabilidade
Parâmetros
[a, b] : intervalo onde v.a. pode ocorrer
cdf:
F X x=x−ab−a
Onde ocorre o evento (em relação ao começo do intervalo)
Tamanho do intervalo
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UniformeCDF
10
Uniformepdf
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Exponencial
Tempo até que um evento ocorra
Relacionada com Poisson (tempo entre eventos)
Parâmetros
l: taxa de ocorrência de eventos
cdf:
F X t =1−e−l t
pdf:
f X t =l e−l t
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Exponencialpdfcdf
t
P[X
<=
t]
t
f X(x
)
diferentes valores do parâmetro l
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V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial
Tempo entre chegadas de dois jobs sucessivos em um servidor de arquivos (interarrival time)
Tempo de serviço de um servidor em uma rede de filas; o servidor pode ser uma CPU, um dispositivo de E/S ou um canal de comunicação
Tempo para que um componente falhe (tempo de vida)
Tempo para recuperar um componente
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V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial
Para todos estes casos, estamos somente fazendo uma SUPOSIÇÃO de que podemos usar a variável exponencial para representar a probabilidade de ocorrência dos valores dos experimentos aleatórios!
Somente através de uma validação através da análise de resultados reais poderá dizer que a nossa suposição está correta ou não!
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Propriedade MemorylessPropriedade de memoryless
Distribuição da probabilidade condicional é igual a distribuição da probabilidade original (para o restante do tempo)
P [T st∣T s ]=P [T t ]
Correto
s , t0
P [T 4 0∣T 3 0]=P [T 1 0]
P [T 4 0∣T 3 0]=P [T 4 0]
Exemplo
Errado!
A chance de um evento não ocorrer nos próximos 10 segundos é igual a dos primeiros 10 segundos!
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Exemplo 1Seja a variável discreta N
t que denota o número de
requisições que chegam a um servidor de arquivos em um intervalo de tempo (0,t]. Seja X o tempo para a próxima chegada. Assuma que N
t possua
uma distribuição de Poisson com parâmetro . Qual a distribuição do tempo para a próxima chegada?
t
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Exemplo 2Considere um servidor Web com uma taxa média de requisição . Assumindo que o número de chegadas por unidade de tempo é distribuído segundo uma v.a de Poisson, o tempo entre chegadas X é exponencialmente distribuído com o parâmetro . Qual a probabilidade de que o intervalo para que ocorra uma próxima chegada seja maior que 10?
=0.1
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Erlang
Tempo até que um evento ocorra
Sequência de v.a. Exponenciais
Parâmetro
l: taxa de ocorrência de eventos
r: número de estágios (de v.a. exponenciais)
CDF:F X t =1− ∑
k=0,. .. , r−1
l t k
k !e−l x
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Erlang
CDF
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Erlang
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Erlang - Exemplo
Consideremos que um determinado componente deva passar por duas diferentes etapas para que seja finalizado. O tempo para cada uma das etapas pode ser representado por uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com taxa . O tempo total de produção pode ser representado por uma variável aleatória Erlangiana, com dois estágios e parâmetro
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NormalDistribuição fundamental em estatística
resultado do teorema do limite central
Aplicada a muitos fenômenos físicos (forma de sino
Parâmetros
u: média
s: desvio padrão
Normal padrão (média 0, desvio padrão 1)
F X x=1
2∫−∞
x
e−u 2/2du
Não possui forma fechada (consultar tabela)
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Valor Esperado, Média, Esperança
A distribuição de probabilidades (F(x)), a função densidade de probabilidade (f(x))/ função probabilidade de massa (p(x)) caracteriza completamente o comportamento de uma variável aleatória
No entanto, muitas vezes precisamos somente de uma descrição mais 'resumida' da variável aleatória
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Valor Esperado, Média, Esperança
Variável aleatória discreta
E [ X ]=∫−∞
∞
x f X x
E [ X ]=∑kx k p X x k
Variável aleatória contínua
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Propriedades da Média
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Médias
E [X ]= t Poisson
E [X ]=1 / Exponencial