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Teoría de Teoría de ConjuntosConjuntos
Dr. Rogelio Dávila PérezDr. Rogelio Dávila PérezITESM, Campus GuadalajaraITESM, Campus Guadalajara
e-mail: e-mail: [email protected]
Teoría de conjuntos
Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones.
Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo.
Ejemplo:
Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter,
Saturno, Urano, Neptuno, Plutón}
A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17}
Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado.
9 A -- 9 es un elemento del conjunto A
la_luna Planetas -- la_luna no pertenece al
conjunto de los Planetas.
Teoría de conjuntos
Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto.
Es el conjunto vacío, ||=0.
Teoría de conjuntos
Algunos conjuntos importantes:
IQ
I
Zbaba
Q
Z
N
},|{
},3,2,1,0,1,2,3,{
},4,3,2,1{
{ todos aquellos números que no se pueden expresar
como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc}
Los números naturales
Los números enteros
Los números racionales
Los números irracionales
Los números reales
Teoría de conjuntos
Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A.
B A xB, (xA)
Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A.
B A B A A B
Teoría de conjuntos
Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A.
B = A B A A B
Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto:
Ac= {x| xU xA}
Teoría de conjuntos
Propiedades del complemento:
(Ac)c = A
Ac A = U
A Ac =
Teoría de conjuntos
Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el
conjunto:
A B = {x | x A x B}
Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto:
A B = {x | x A x B}
Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto:
A - B = {x | x A x B}
Diagramas de Venn
A – (B U C)
B – (A U C)
C – (A U B)
(A C) – B
(B C) – A
(A B) – C
A B C
Propiedades de conjuntos
1. Leyes asociativasa) A (B C) = (A B) Cb) A (B C) = (A B) C
a) Leyes conmutativasa) A B = B Ab) A B = B A
b) Leyes distributivas1. A (B C) = (A B) (A C)2. A (B C) = (A B) (A C)
c) Leyes de Identidad:
a) A = A
b) A U = A
Propiedades de conjuntos
4. Leyes de idempotencia
a) A Ac= U
b) A A = A
5. Leyes de acotación A U = U A =
6. Leyes de absorción
a) A (A B) = A
b) A (A B) = A
7. Leyes de involución (Ac)c = A
Propiedades de conjuntos
8. Leyes 0/1
a) c = U
b) Uc = 9. Leyes de De Morgan
a) (A B)c = Ac Bc
b) (A B)c = Ac Bc
Ejercicios
1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos:
a). A– (B C) = (A – B) (A – C)
b). A (B C) = (A B) (A C)
Producto cruz y conjunto potencia
Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto:
A x B = {(x,y) | x A y B}
Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto:
P(A) = {X | X A}
Ejemplos:
Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}:
A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2),
(b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}
P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}
Generalización de Conjuntos
AxxAM
|{ }M
AxxAM
|{
Sea M un conjunto de índices cualquiera:
, para algún
}M, para algún
Inducción Matemática
Definición
Sea el conjunto C = {x N | P(x)}, si se satisface:
PASO BASE: Demostrar que se cumple para 1.
es decir, que P(1) es verdadero.
PASO DE INDUCCIÓN:
Demostrar que P(k) P(k+1)
Si se cumplen ambos pasos, entonces podemos afirmar que:
C = N
es decir, que C es el conjunto de los Naturales.
Ejercicios
1. Demuestre que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2:
1+3+5+…+(2n-1) = n2
2. Demuestre que para todo n que la suma de los primeros enteros positivos elevados al cuadrado es la siguiente:
a1+a2+a3+…+an-1+an =
1. Demuestre que la suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado, es las¡ siguiente:
Inducción Matemática
6)12)(1(
1
2
nnni
n
i