Teoria de circuitos I. alterna

DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA FI - UNLP

TEORÍA de CIRCUITOS I 2014 TEMA 10-2

TEMA 10-2 1 TCI 2014

Realizado por: Ing. Marcos DEORSOLA

Estudio del circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensión senoidal de frecuencia variable

2 2 2

2

2

1 L 1Z R L R 1 1

C R L C

0

1

L C

22 22 2

0 0 0

2

0

LLZ R 1 1 R 1

R R

0 0

0

L R1 1 LQ

R R C R C R

2

2 0

0

Z1 Q

R

Como 0 002 2

2 20 0

0 0

U U 1 1I I

Z R1 Q 1 Q

0

x

20 2

I 1y

I 11 Q x

x

Ec. 1

C

R L U0

1

C



TEMA 10-2 2 TCI 2014

La Fig. 1 muestra la representación de la Ec. 1 (curva universal) para 3 valores de Q.

CURVA UNIVERSAL

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,1 1,0 10,0

x = w / w0

y =

I /

I0

Q=0,707

Q=1

Q=1,414

Fig. 1



TEMA 10-2 3 TCI 2014

Ancho de banda

Ancho de la curva donde se cumple 2

y2

. Esto ocurre para dos valores de x, sx 1 y ix 1 .

De la Ec. 1 resulta:

2

2

2

1 11 Q x 2

y x

valido para sx y ix según

s

s

1 1x

x Q 2 s

s

xx 1 0

Q Ec. 2

i

i

1 1x

x Q 2 i

i

xx 1 0

Q Ec. 3

Tomando solo las soluciones positivas de las Ec. 2 y 3, da 2

s

1 4 Q 1x

2 Q

2

i

1 4 Q 1x

2 Q

Para Q 5 resulta 24 Q 1 , es decir se puede despreciar el 1 dentro de la raíz con un error menor del 1% y se obtiene

s

2 Q 1x 1,1

2 Q

i

2 Q 1x 0,9

2 Q

Además el ancho de banda resulta s i

1x x x

Q para cualquier valor de Q. Para Q > 5 x 0,2 .

Los resultados se grafican en la Fig. 2.



TEMA 10-2 4 TCI 2014

ANCHO DE BANDA

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Q

deltax

xi

xs

Fig. 2



TEMA 10-2 5 TCI 2014

UL, UC_ Sobretensiones

Para la tensión en el inductor en relación a 0U y teniendo en cuenta la Ec. 1

0LL 2

0 0 0 02

LU I L I x Qy

U I R I R 11 Q x

x

Para la tensión en el capacitor en relación a 0U y teniendo en cuenta la Ec. 1

C 0C 2

0 0 0 02

QU I I 1 xyU I R C I R C 1

1 Q xx

Independiente de Q resulta 2L

C

yx

y .

Las derivadas de Ly e

Cy respecto a x igualadas a cero permiten calcular los mínimos y máximos de L

0

U

U y C

0

U

U.

Para el caso del inductor

2 2 2 2

L

3

2 4 2 2 2 2

x Q 2 Q 2 Q x xdy

dxQ x 1 2 Q x Q

Ec. 4

La Fig.3 muestra la gráfica de la Ec. 4 para diferentes valores de Q.



TEMA 10-2 6 TCI 2014

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x

dy

L/d

x

Q=0,5

Q=0,707

Q=1

Q=2

Fig. 3



TEMA 10-2 7 TCI 2014

En dicha Fig. 3 se observa que, independiente del valor de Q, la derivada se anula para:

1x 0 Ly 0 0

2x Ly 1

Existe un 3º valor de x con derivada nula a partir de 2 2 2 22 Q 2 Q x x 0 , es decir:

3L 2

2 Qx

2 Q 1

El valor de 3x es real si 22 Q 1 0 o sea 2

Q2

, como se aprecia en la Fig. 3, dando:

2

L 3L 2

2 Qy x 1

4 Q 1

Para 2

Q2

valen solo 1x y 2x , y para 2x el máximo valor de LU es igual a 0U .

Para la 3ª condición de derivada nula es L 0U U , y para Q 5 da 2

L 3 2

2 Qy x Q

4 Q

. Si

10Q

2 , 3Lx 1

Para el caso del capacitor

2 2 2

C

3

2 4 2 2 2 2

x Q 2 Q 2 Q x 1dy

dxQ x 1 2 Q x Q

Ec. 5

La Fig. 4 muestra la gráfica de la Ec. 5 para diferentes valores de Q.



TEMA 10-2 8 TCI 2014

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x

dy

C/d

x

Q=0,5

Q=0,707

Q=1

Q=2

Fig. 4



TEMA 10-2 9 TCI 2014

En la Fig. 4 se observa que, independiente del valor de Q, la derivada se anula para:

1x 0 Cy 0 1

2x Cy 0

Existe un 3º valor de x con derivada nula a partir de 2 2 22 Q 2 Q x 1 0 , es decir:

2

3C

2 Q 1x

2 Q

El valor de 3Cx es real y finito si 22 Q 1 0 o sea 2

Q2

, como se aprecia en la Fig. 4, dando:

2

C 3C 2

2 Qy x 1

4 Q 1

Para 2

Q2

solo existen los valores de 1x y 2x , el máximo valor de CU es igual a 0U

Para la 3ª condición de derivada nula es C 0U U , y para Q 5 da 2

C 3 2

2 Qy x Q

4 Q

Si

10Q

2 , 3Cx 1

Si L 0U U significa LX Z y

2

2 1x Q 1 Q x

x

, o sea

L 2

Qx

2 Q 1

y si 10

Q2

con error menor que 1% L

1x

2

Si C 0U U significa CX Z y

2

2Q 11 Q x

x x

, o sea

2

C

2 Q 1x

Q

y si 10

Q2

con error menor que 1% Cx 2

También resulta

3L

3C

1x

x 3L 3Cy x y x

La Fig. 5 muestra 3Lx ; 3Cx ; 3L 3Cy x y x ;; Lx y Cx en función de Q.



TEMA 10-2 10 TCI 2014

MÁXIMOS

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Q

(UL/U0)máx

XLmáx

XCmax

xL

xC

Q

Fig. 5

En la Fig. 5 se verifica que para 0,7071 < Q < 1 resulta L Cx x es decir no hay sobretensiones simultáneamente en el inductor y el capacitor.



TEMA 10-2 11 TCI 2014

Q = 0,5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

0,1 1,0 10,0

x

y(x) = I/I0

yL(x) = UL/U0

yC(x) = UC/U0

Z/R = 1/y(x)

XL/R

XC/R

Fig. 6



TEMA 10-2 12 TCI 2014

Q = 0,707

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

0,1 1,0 10,0

x

y(x) = I/I0

yL(x) = UL/U0

yC(x) = UC/U0

Z/R = 1/y(x)

XL/R

XC/R

Fig. 7



TEMA 10-2 13 TCI 2014

Q = 1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.1 1.0 10.0

x

y(x) = I/I0

yL(x) = UL/U0

yC(x) = UC/U0

Z/R = 1/y(x)

XL/R

XC/R

Fig. 8



TEMA 10-2 14 TCI 2014

Q = 1,4142

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.1 1.0 10.0

x

y(x) = I/I0

yL(x) = UL/U0

yC(x) = UC/U0

Z/R = 1/y(x)

XL/R

XC/R

Fig. 9



TEMA 10-2 15 TCI 2014

Q = 5

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.1 1.0 10.0

x

y(x) = I/I0

yL(x) = UL/U0

yC(x) = UC/U0

Z/R = 1/y(x)

XL/R

XC/R

Fig. 10

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