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TEORA AVANZADA DE ANLISIS
COMBINATORIO
Y
LEY HIPERGEOMTRICA DE CABITO
POR: CARLOS M. CEVALLOS MORA
Email: [email protected]
IEPI: 038286
QUITO ECUADOR
2012
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"No existe la suerte. Slo hay preparacin adecuada o inadecuada
para hacer frente a una estadstica."
Robert Heinlein
Resumen
El presente trabajo aborda dos partes: la primera, trata de
principios de anlisis combinatorio ms generalizados; al parecer,
los principios de conteo de combinacin, variacin y permutacin son
solo casos particulares de principios ms generales, (en todos los
casos, es una muestra);la segunda parte aborda una ley de
distribucin de probabilidad, esta es una generalizacin de la ley
hipergeomtrica para varias muestras de igual tamao tomadas de una
poblacin finita, sin remplazo y sin interseccin, a la cual se la
denominar ley hipergeomtrica de Cabito.
Palabras claves: Anlisis combinatorio, combinaciones,
variaciones, permutaciones, distribucin de probabilidad, espacio
muestral, distribucin hipergeomtrica, distribucin
multihipergeomtrica.
Abstract
This work is presented in two parts: the first part deals with
more general principles of combinatorial analysis. It would appear
that the principles of counting: combination, variation and
permutation, are simply particular cases of more general principles
(in every case it is a sample). The second part deals with a law of
probability distribution. This is a generalization of the
hypergeometric law for various samples of equal size taken from a
finite population, without replacement and without intersection,
which will be called the hypergeometric law of Cabito.
Key Words: Combinatorial analysis, combinations, variations,
permutations, probability distribution, sample space,
hypergeometric distribution, multi-hypergeometric distribution.
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1.- Algunos fundamentos de anlisis combinatorio (principios de
conteo)
En el presente trabajo, se denominar como conjunto o muestra a
una reunin de elementos, donde no interesa el ordenamiento de
estos, y como vector a la reunin de elementos, donde s importa el
orden en que estn estos elementos.
De una poblacin finita de tamao N, donde todos los elementos son
igualmente probables de ser tomados, se toma r muestras de tamao L
no intersecadas cada una sin remplazo y sin tener en cuenta el
orden dentro de cada muestra y que s importe el orden entre las
diferentes r muestras.Como rL es el total de elementos tomados de
la poblacin se tiene la restriccin que y r,L,N Naturales. Entonces
se formara un espacio muestral de vectores V, cada uno de estos
vectores est compuesto de r coordenadas y cada coordenada es un
conjunto de L elementos, sin que interese el orden dentro de cada
conjunto, pero s el orden entre las r muestras.
De los principios bsicos de conteo, arreglo y combinacin, se
obtiene que el total de vectores V equiprobables es:
= ()() = !()! ( )! ()!! ( )! ( 1)!! ( 1) ! ( 2)!! ( 2) ! . .
(2)!! (2 )! !! ( )!
= !(!)( )!
1.1.- Definicin (de variacin de Cabito)Se denomina variacin de
Cabito a cada uno de los vectores V formados de r muestras de tamao
L no intersecadas, cada una tomada de una poblacin de tamao N sin
que interese
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el orden dentro de cada una de las muestras y que s importe el
orden entre las r muestras, con la restriccin de que El nmero de
variaciones de Cabito se denota por y es igual a:
(1.1.1) = !(!)!()! ; con
Ntese el caso particular cuando r es igual a 1,la variacin de
Cabito se particulariza en tomar una muestra de tamao L de una
poblacin de tamao Nsin que importe el orden interno de esta
muestra; es decir, se transforma en combinacin
(1.1.2) 1 = !!()! = ; con
En el caso particular de que L sea 1, la variacin de Cabito se
particulariza en tomar r muestras de tamao 1 donde s interesa el
orden entre estas muestras; es decir, en variacin de r elementos de
una poblacin de tamao N,
(1.1.3) 1 = !()! = ; con
De una poblacin finita de tamao N, donde todos los elementos son
igualmente probables de ser tomados, se toma r muestras de tamao L
no intersecadas cada una sin remplazo y sin tener en cuenta el
orden dentro de
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cada muestra y entre las diferentes r muestras. Como rL es el
total de elementos tomados de la poblacin se tiene la restriccin de
que Entonces, se formara un espacio muestral de conjuntos C, cada
uno de estos conjuntos tienen r elementos, donde cada elemento es
un conjunto de tamao L, sin que interese el orden.
De los principios bsicos de conteo, arreglo, combinacin y
permutacin, se tiene que el total de conjuntos C equiprobables
es:
= ()() ! = !()! ( )! 1! ()!! ( )! ( 1)!! ( 1) ! ( 2)!! ( 2) ! .
. (2)!! (2 )! !! ( )!
= !(!)! ( )!
1.2.- Definicin (de combinacin de Cabito) Se denomina combinacin
de Cabito a cada uno de los conjuntos C formados de r muestras de
tamao L no intersecadas, cada una tomada de una misma poblacin de
tamao N sin que interese el orden en cada una de las muestras y
entre las muestras, con la restriccin de que El nmero de
combinaciones de Cabito se denota por o simplemente por , y es
igual a:
(1.2.1) = = !(!)!!()!; con
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Ntese el caso particular cuando r es igual a 1, la combinacin de
Cabito se particulariza en tomar una muestra de tamao L de una
poblacin de tamao N sin que importe el orden interno de esta
muestra; es decir, se transforma en combinacin
(1.2.2) 1 = !!()! = ; con
Adems, el caso particular donde L es igual a 1, la combinacin de
Cabito se particulariza en tomar r muestras de tamao 1 sin que
importe el orden; es decir; se transforma en combinacin
(1.2.3) 1 = !!()! = ; con
De una poblacin finita de tamao N, donde todos los elementos son
igualmente probables de ser tomados, se toma r muestras de tamao L
no intersecadas cada una sin remplazo y teniendo en cuenta el orden
dentro de cada muestra y el orden entre las diferentes r muestras.
Como rL es el total de elementos tomados de la poblacin se tiene la
restriccin Entonces, se formara un espacio muestral de vectores P,
cada uno de estos vectores est compuesto de r coordenadas, donde
cada coordenada es un vector de L coordenadas.
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De los principios bsicos de conteo, arreglo, combinacin y
permutacin, se obtiene que el total de vectores P equiprobables
es:
" = ()!
" = !()! ( )! ()!
" = !( )!
1.3.- Definicin (de permutacin de Cabito) Se denomina permutacin
de Cabito a cada uno de los vectores P formados de r coordenadas,
donde cada coordenada es un vector de L coordenadas, no
intersecadas, cada una tomada de una poblacin de tamao N con
importancia en el orden dentro de cada una de las muestras y entre
las r muestras, con la restriccin de que El nmero de permutaciones
de Cabito se denota por " y es igual a:
(1.3.1) " = !()! ; con
Ntese el caso particular cuando r es igual a 1, la permutacin de
Cabito se particulariza en tomar una muestra de tamao L de una
poblacin de tamao N donde s importa el orden interno de esta
muestra; es decir, se transforma en variacin
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(1.3.2) " 1 = !()! = ; con
Adems, en el caso particular donde rL es igual a N, la
permutacin de Cabito se particulariza en tomar los N elementos
fraccionarles en r partes y que importe el orden tanto interno de
las partes como entre las partes, es lo mismo que permutacin de N,
"();es decir, hacer esto no depende de r.
(1.3.3) " $ = ! = "()
De una poblacin finita de tamao N, donde todos los elementos son
igualmente probables de ser tomados, se toma r muestras de tamao L
no intersecadas cada una sin remplazo y teniendo en cuenta el orden
dentro de cada muestra y sin que importe el orden entre las
diferentes r muestras. Como rL es el total de elementos tomados de
la poblacin, se tiene la restriccin De donde se formara un espacio
muestral de conjuntos Vi, cada uno de estos conjuntos tienen r
elementos, donde cada elemento es un vector de dimensin L.
De los principios bsicos de conteo, variacin y permutacin, se
tiene que el total de conjuntos Vi equiprobables es:
% = !()!!
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% = !! ( )!
1.4.- Definicin (de variacin inversa de Cabito) Se denomina
variacin inversa de Cabito a cada uno de los conjuntos Vi formados
de r vectores de tamao L no intersecadas cada una tomada de una
poblacin de tamao N sin que interese el orden entre los r vectores,
con la restriccin de que El nmero de variaciones inversas de Cabito
se denota por % y es igual a:
(1.4.1) % = !!()! ; con
Ntese el caso particular cuando r es igual a 1, la variacin
inversa de Cabito se particulariza en tomar una muestra de tamao L
de una poblacin de tamao N donde s importa el orden interno de esta
muestra; es decir, se transforma en variacin
(1.4.2)% 1 = !()! = ; con
En el caso particular de que L sea 1, la variacin inversa de
Cabito se particulariza en tomar r muestras de tamao 1 donde no
interesa el orden entre estas muestras; es decir, en combinacin de
r elementos de una poblacin de tamao N,
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(1.4.3)% 1 = !!()! = ; con
El siguiente cuadro resume los cuatro principios de conteo para
tomar r muestras, cada una de tamao L de una poblacin finita de
tamao N.
Entre las muestras Importa el orden No importa el orden
En cada
muestra
Importa el orden
Permutacin de Cabito
" =!( )!
Variacin inversa de Cabito
% =!! ( )!
No importa el orden
Variacin de Cabito
= !(!)( )!
Combinacin de Cabito
= = !(!)! ( )!
Estos cuatro principios de conteo pueden generalizarse para el
caso de que las muestras sean de diferente tamao; es decir, se
tiene r muestras de tamao L1, L2., Lr, as, estos cuatro principios
se les denominar de la misma manera, adicionando la palabra
Generalizada.
1.5.- Definicin (de variacin generalizada de Cabito) Se denomina
variacin generalizada de Cabito a cada uno de los vectores &
formados de r muestras de tamao L1, L2..., Lr no intersecadas, cada
una tomada de una poblacin de tamao N sin que interese el orden
dentro de cada una de las r muestras y que s importe el orden entre
las r muestras, con la restriccin de que ( () El nmero de
variaciones generalizadas de Cabito se denota por
& * , , , , y es igual a:
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(1.5.1)
& * , , , , = ! !( (!() )( (!.() )( (() )! Con ( ()
1.6.- Definicin (de combinacin generalizada de Cabito) Se
denomina combinacin generalizada de Cabito a cada uno de los
conjuntos / formados de r muestras de tamao L1, L2, ,Lr no
intersecadas, cada una tomada de una misma poblacin de tamao N sin
que interese el orden en cada una de las muestras y entre las
muestras, con la restriccin de que ( () El nmero de combinaciones
generalizadas de Cabito se denota por
/ * , , , ,o simplemente por * , , , , , y es igual a:
(1.6.1)
/ * , , , , = * , , , , = !( (!() )( (!.() )( (() )!
Donde ri es el nmero de muestras con i elementos y t es el tamao
de la muestra ms grande, con ( () 1.7.- Definicin (de permutacin
generalizada de Cabito) Se denomina permutacin generalizada de
Cabito a cada uno de los vectores "& formados de r coordenadas,
donde cada coordenada es un vector de coordenadas,L1, L2, ,Lr no
intersecadas, cada una tomada de una poblacin de tamao N con
importancia en el orden dentro de cada una de las muestras y entre
las r muestras, con la restriccin de que ( () El nmero de
permutaciones generalizadas de Cabito se denota por
"& * , , , , y es igual a:
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(1.7.1)
"& * , , , , = ! !( (!.() )( (() )!
Con ( ()
1.8.- Definicin (de variacin inversa generalizada de Cabito) Se
denomina variacin inversa generalizada de Cabito a cada uno de los
conjuntos 01 formados de r vectores de tamao L1, L2, ,Lr no
intersecadas, cada una tomada de una poblacin de tamao N sin que
interese el orden entre los r vectores, con la restriccin de que (
() El nmero de variaciones inversas de Cabito se denota por 01 * ,
, , , y es igual a:
(1.8.1)
01 * , , , , = !( (!.() )( (() )!
Donde ri es el nmero de vectores con i coordenadas y t es el
tamao del vector ms grande, con ( () El siguiente cuadro resume los
cuatro principios generales de tomar r muestras cada una de tamao
L1, L2, ,Lr no intersecadas sin repeticiones de una poblacin finita
de tamao N.
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Entre las muestras Importa el orden No importa el orden
En cada
muestra
Importa el orden
Permutacin generalizada de Cabito "& * , , , ,= ! !( (!.()
)( (() )!
Variacin inversa generalizada de Cabito 01 * , , , ,= !( (!.()
)( (() )!
No importa el orden
Variacin generalizada de Cabito & * , , , , = ! !( (!() )(
(!.() )( (() )!
Combinacin generalizada de Cabito / * , , , , = * , , , ,= !(
(!() )( (!.() )( (() )!
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2.- Distribucin de probabilidad de r muestras de tamao L no
intersecadas tomadas de una poblacin finita de tamao N.
(Distribucin hipergeomtrica de Cabito DC) DC(N,M,r,L)
2.1.- Cardinalidad de las combinaciones de Cabito
Si una poblacin finita de N elementos de los cuales M cumplen
cierta condicin, nos interesa el nmero de combinaciones de Cabito
de r muestras de tamao L con x1, x2,xr elementos de M en cada
muestra, tal que xi Min(L,M) para todo i = 1, 2, 3, .r y con 2(()
min (6, ) La cardinalidad se la representa por: card(x1-x2--xr), si
algn xi toma el valor de cero se puede omitir, adems, como en las
combinaciones de Cabito no importa el orden entre muestras, por lo
tanto, el orden de los xi no representa otro cardinal, de
preferencia se colocar de mayor a menor para evitar confusin con
otros cardinales iguales.
Sea ri el nmero de muestras con i elementos de M, con i = 0, 1,
2, g donde g = Min(L,M), adems se tiene que (7()8 = , la
cardinalidad est dada por:
9:(22 2)= 67< =
6 7 =6 7< 7(< 1)7< 2 > . ?
@A6 B (%7
()1 CDE 68
6 8 1 6 8 ( 1) 2 . ?
@A 6 8 B (%7()7 < C
DE
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(2.1.1)
9:(22 2)= 67< ?
@AF?@A6 B GH
7G)(I(% C
DE7
() CDE 68 ?
@AF ?@A 6 B G( H)
(J)8( % C
DE7
() CDE
Con g = Min(L,M) y 2(() Min (6, ) o su equivalente (% 6%L(6,
)7()8 La frmula 2.1.1 no es nica para determinar la cardinalidad de
una combinacin de Cabito determinada; en este caso particular, se
comenz ensamblando en la combinacin los elementos de M para luego
ensamblar las muestras que no tienen elementos de M y a continuacin
rellenar las muestras que llevan elementos de M y completarlas con
elementos que no son de M.
Ntese que en la frmula al completar las muestras que tienen M
con elementos que no son de M, estas se realizan con variaciones de
Cabito.
La siguiente demostracin comprueba que se puede realizar el
ensamble de otra forma.
Demostrar la siguiente igualdad:
(2.1.2) =
=
N!(L!)OP(N rL)! (N rL)!(L!)ORr! (N rL rL)!= N!(L!)OP(N rL)! (N
rL)!(L!)ORr! (N rL rL)!
= !(!)R! ( )! ( )!(!)P( )!
=
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Tambin el relleno que se realiza con variaciones de Cabito puede
sustituirse por su equivalente de producto de combinaciones de
cabito de una muestra, como lo indica la siguiente demostracin:
Demostrar la siguiente igualdad:
(2.1.3) V NrL = N iL1L OT)8
F N iL1L OT)8 =
N1L N L1L
N 2L1L N (r 2)L1L
N (r 1)L1L = N!(L!)(N L)! (N L)!(L!)(N 2L)! (N 2L)!(L!)(N 3L)! .
. . (N (r 2)L)!(L!)(N (r 1)L)! (N (r 1)L)!(L!)(N rL)!
= N!(L!)O(N rL)! = V NrL
2.2.- Funcin de Probabilidad
Si a cada una de las combinaciones de Cabito de r muestras de
tamao L, tomadas de una poblacin de tamao N, se le asigna el mismo
peso de ocurrencia, la probabilidad de una combinacin de Cabito
particular Aest dada por:
(3.2.1)
"(V) = 9:(V)
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2.3.- Esperanza y varianza
La esperanza y varianza en la distribucin hipergeomtrica de
Cabito como tal no tiene sentido, ya que cada combinacin de Cabito
es un conjunto de nmeros, lo que s se puede considerar es la media
y la varianza desde tres puntos de vista; el primero, el total de
elementos de M esperados en el total de elementos que conforman las
r muestras de tamao L, el segundo, la esperanza y varianza de cada
una de las r muestras de tamao L, y un tercer punto de vista que
consiste en tomar todas las combinaciones de Cabito posibles,
calcular sus respectivas probabilidades de ocurrencia y con esta
informacin proceder a calcular la media y varianza de la cantidad
de elementos de M presentes en las muestras con mayor elementos de
M presentes en cada combinacin de Cabito; luego, se calcula para la
segunda mayor componente, y as sucesivamente asta la r- sima
componente; a este punto de vista se le llama mejor esperanza y
varianza de los adversarios.
2.3.1- Esperanza y varianza global.
El total de elementos presentes en las r muestras de tamao L que
conforman una combinacin de Cabito es rL, por lo que este total es
una muestra de tamao rL tomada de una poblacin finita de tamao N;
por lo que el nmero de elementos de M presentes en esta muestra de
tamao rL sigue una distribucin hipergeomtrica de parmetros
H(N,M,rL), por lo que la media y la varianza esta dada por:
(2.3.1.1)W(
