Upload
vantuong
View
236
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Teoretyczne podstawy analizy indeksowej –klasyfikacja indeksów, konstrukcja,
zastosowanie
Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznegont. Wybrane metody statystyczne w analizach
makroekonomicznych
dr Joanna Trzęsiok
Katowice, 24 czerwca 2014 r.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Plan
1 Szeregi czasowe
2 Przyrosty absolutne
3 Indeksy indywidualne
4 Indeksy agregatowe
5 Funkcja trendu
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Badanie dynamiki zjawisk
Prowadząc badania dostajemy często dane przedstawiające zmiany(rozwój) badanego zjawiska w czasie. Dane te można przedstawićw postaci szeregu czasowego.
Szereg czasowy
to ciąg {yt} wartości badanego zjawiska obserwowanegow kolejnych jednostkach czasu
t 1 2 3 . . . n
yt y1 y2 y3 . . . yn
gdzie t – czas, yt – wielkość badanego zjawiska w okresie lubmomencie t.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Rodzaje szeregów czasowych
Wyróżniamy dwa rodzaje szeregów czasowych:
szereg czasowy momentów, gdy badane wielkości podawanesą na ściśle określony moment (np. stan ludności Polski na31.XII w latach 2000 – 2012 );
szereg czasowy okresów, zawiera informacje o rozmiarachzjawiska w ciągu kolejnych okresów danego przedziałuczasowego (np. wydobycie węgla w Polsce w latach 2005 –2013).
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Miary dynamiki zjawisk
Analizę dynamiki zjawisk przeprowadzamy z wykorzystaniem miardynamiki, do których zaliczamy:
przyrosty absolutne i względne,
indeksy (wskaźniki) indywidualne i agregatowe.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Przyrosty absolutne
Przyrost absolutny ∆ytto różnica w poziomie zjawiska zanotowanego w dwóch różnychokresach (momentach) t i t∗
∆yt = yt − yt∗ .
Wyróżniamy:
przyrosty jednopodstawowe (o stałej podstawie), gdziet∗ = c jest pewnym okresem (momentem) podstawowym(bazowym)
∆yt = yt − yc ,
przyrosty łańcuchowe, gdzie t∗ = t − 1 to okres (moment)poprzedzający t
∆yt = yt − yt−1.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indywidualne wskaźniki dynamiki
Indeks indywidualny it/t∗
to stosunek poziomu zjawiska w okresie (momencie) badanym t dopoziomu zjawiska w okresie (momencie) przyjętym za podstawęporównań t∗
it/t∗ =ytyt∗.
Indeksy indywidualne dotyczą zjawisk jednorodnych ujętychw prosty szereg dynamiczny.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Podział indeksów indywidualnych
Wyróżniamy:
indeksy jednopodstawowe (o stałej podstawie), gdzie t∗ = cjest pewnym okresem (momentem) podstawowym (bazowym)
it/c =ytyc,
indeksy łańcuchowe, gdzie t∗ = t − 1 to okres (moment)poprzedzający t
it/t−1 =ytyt−1.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Interpretacja indeksów
Interpretacja indeksu i
Indeks i mówi nam o procentowej zmianie badanego zjawiska o
(i − 1) · 100%.
Zatem, jeśli
i > 1, to obserwujemy wzrost poziomu zjawiska w okresiebadanym w porównaniu do bazowego o (i − 1) · 100%,
i = 1, to obserwujemy brak zmian poziomu zjawiskaw okresie badanym w porównaniu do bazowego,
i < 1, to obserwujemy spadek poziomu zjawiska w okresiebadanym w porównaniu do bazowego o (i − 1) · 100%.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks średni i średnie tempo zmian
Indeks średni
Średnią z indeksów łańcuchowych obliczamy wykorzystując wzórna średnią geometryczną
i = n−1√i2/1 · i3/2 · . . . · in/n−1.
Można zauważyć, że
i = n−1
√y2y1· y3y2· . . . · yn
yn−1= n−1
√yny1.
Indeks średni interpretujemy jako średnie tempo zmian (ozn. T )badanego zjawiska przypadające na jednostkę czasu
T = (i − 1) · 100%.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości absolutnych
Indeksy agregatowe (zespołowe) stosujemy w odniesieniu dozjawisk złożonych, tj. zjawisk będących agregatami (zespołami)zjawisk niejednorodnych i bezpośrednio niesumowalnych.
Wyróżniamy agregatowe indeksy (dla wielkości absolutnych):
wartości,
cen,
ilości.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowy indeks wartości
Agregatowy indeks wartości
Iw =
n∑i=1
wit
n∑i=1
wi0
=
n∑i=1
pit · qit
n∑i=1
pi0 · qi0,
gdzie wit , wi0 – wartości produktu w okresie badanym i bazowym,pit , pi0 – ceny produktu w okresie badanym i bazowym,qit , qi0 – ilości produktu w okresie badanym i bazowym.
Interpretacja: Iw mówi nam o ile procent wzrosła lub spadławartość badanego agregatu produktów.
Zmiany procentowe obliczamy analogicznie, jak w przypadkuindeksów indywidualnych:
(Iw − 1) · 100%.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe indeksy cen
Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może wynikać ze zmianycen tych produktów. Aby to zbadać obliczamy agregatowe indeksy cen,w których przyjmuje się, iż ilości produktów są na stałym poziomie.
Agregatowy indeks cen o formule Laspeyresa,
w którym ilości produktów ustalone są na poziomie bazowym (q0)
Ip/q0 =
n∑i=1
pit · qi0
n∑i=1
pi0 · qi0.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe indeksy cen (2)
Agregatowy indeks cen o formule Paaschego,
w którym ilości produktów ustalone są na poziomie badanym (qt)
Ip/qt =
n∑i=1
pit · qit
n∑i=1
pi0 · qit.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe indeksy ilości
Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może również wynikać zezmiany ilości sprzedaży tych produktów. Obliczamy wtedy agregatoweindeksy ilości, w których przyjmuje się, iż ceny produktów są nastałym poziomie.
Agregatowy indeks ilości o formule Laspeyresa,
w którym ceny produktów ustalone są na poziomie bazowym (p0)
Iq/p0 =
n∑i=1
pi0 · qit
n∑i=1
pi0 · qi0.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe indeksy ilości (2)
Agregatowy indeks ilości o formule Paaschego,
w którym ceny produktów ustalone są na poziomie badanym (pt)
Iq/pt =
n∑i=1
pit · qit
n∑i=1
pit · qi0.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe indeksy Fishera
Agregatowe indeksy Fishera to średnie geometryczne z indeksów(cen lub ilości) według formuł Laspeyresa i Paaschego.
Agregatowy indeks cen Fishera
I Fp =√Ip/q0 · Ip/qt .
Agregatowy indeks ilości Fishera
I Fq =√Iq/p0 · Iq/pt .
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Zależności dla indeksów agregatowych
Między agregatowymi indeksami cen, ilości i wartości zachodząnastępujące związki:
Iw = Ip/q0 · Iq/pt = Ip/qt · Iq/p0 = I Fp · I Fq .
Relacje te wykorzystujemy do obliczania indeksów cen lub ilościmetodą pośrednią, np.:
Ip/q0 = Iw : Iq/pt , Iq/p0 = Iw : Ip/qt .
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości stosunkowych
Wielkość stosunkowa x
to stosunek dwóch wielkości absolutnych
x =ab.
Przykładami wielkości stosunkowych są np.: przeciętna płaca,wydajność pracy, koszt jednostkowy, czy gęstość zaludnienia.
Dla wielkości stosunkowych definiujemy:
wszechstronny indeks agregatowy
Ix =XtX0
=
n∑i=1
ait
n∑i=1
bit
:
n∑i=1
ai0
n∑i=1
bi0
.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks wszechstronny
Ponieważ, jeśli
x =ab, to a = x · b oraz b =
ax,
więc indeks wszechstronny Ix można przedstawić za pomocąrównoważnych formuł.
Równoważne formuły dla indeksu wszechstronnego
Ix =
n∑i=1
xitbit
n∑i=1
bit
:
n∑i=1
xi0bi0
n∑i=1
bi0
=
n∑i=1
ait
n∑i=1
aitxit
:
n∑i=1
ai0
n∑i=1
ai0xi0
.
Interpretacja: indeks wszechstronny mówi nam o zmianachwielkości x w okresie t w stosunku do okresu 0.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika b
Na zmiany wielkości x może wpływać zmiana struktury czynnika b.W analizie dynamiki x możemy ustalić b i w ten sposób zbadaćfaktyczne zmiany x z pominięciem b. Obliczamy wtedyagregatowe indeksy o stałej strukturze b.
Agregatowy wskaźnik o stałej strukturze b o formule Laspeyresa
ustalamy b na poziomie bazowym (b0)
Ix/b0 =
n∑i=1
xitbi0
n∑i=1
bi0
:
n∑i=1
xi0bi0
n∑i=1
bi0
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika b (2)
lub
agregatowy wskaźnik o stałej strukturze b o formule Paaschego
ustalamy b na poziomie badanym (bt)
Ix/bt =
n∑i=1
xitbit
n∑i=1
bit
:
n∑i=1
xi0bit
n∑i=1
bit
.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b
Jeśli jednak chcemy poznać wpływ struktury czynnika b nadynamikę x , to możemy obliczyć agregatowy indeks wpływuzmian w strukturze czynnika b.
Konstruujemy wtedy indeksy w których ustalamy wielkościstosunkowe x :
indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b o formuleLaspeyresa,
w którym ustalamy x na poziomie bazowym (x0)
bIx/x0 =
n∑i=1
xi0bit
n∑i=1
bit
:
n∑i=1
xi0bi0
n∑i=1
bi0
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b (2)
oraz
indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b o formulePaaschego,
w którym ustalamy x na poziomie badanym (xt)
bIx/xt =
n∑i=1
xitbit
n∑i=1
bit
:
n∑i=1
xitbi0
n∑i=1
bi0
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Zależności dla indeksów
Między indeksem wszechstronnym, indeksem o stałej strukturzeczynnika b oraz indeksem wpływu zmian w strukturze czynnika bistnieją następujące zależności:
Ix = Ix/b0 ·b Ix/xt oraz Ix = Ix/bt ·b Ix/x0 .
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika a
Analogicznie, na zmiany wielkości x może również wpływać zmianastruktury czynnika a. W analizie dynamiki x możemy ustalić ai w ten sposób zbadać faktyczne zmiany x z pominięciem a.Obliczamy wtedy agregatowe indeksy o stałej strukturze a.
Agregatowy wskaźnik o stałej strukturze a o formule Laspeyresa
ustalamy a na poziomie bazowym (a0)
Ix/a0 =
n∑i=1
ai0
n∑i=1
ai0xit
:
n∑i=1
ai0
n∑i=1
ai0xi0
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika a (2)
lub
agregatowy wskaźnik o stałej strukturze a o formule Paaschego
ustalamy a na poziomie badanym (at)
Ix/at =
n∑i=1
ait
n∑i=1
aitxit
:
n∑i=1
ait
n∑i=1
aitxi0
.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a
Jeśli jednak chcemy poznać wpływ struktury czynnika a nadynamikę x , to możemy obliczyć agregatowy indeks wpływuzmian w strukturze czynnika a.
Konstruujemy wtedy indeksy w których ustalamy wielkościstosunkowe x :
indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a o formuleLaspeyresa,
w którym ustalamy x na poziomie bazowym (x0)
aIx/x0 =
n∑i=1
ait
n∑i=1
aitxi0
:
n∑i=1
ai0
n∑i=1
ai0xi0
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a (2)
oraz
indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a o formule Paaschego,
w którym ustalamy x na poziomie badanym (xt)
aIx/xt =
n∑i=1
ait
n∑i=1
aitxit
:
n∑i=1
ai0
n∑i=1
ai0xit
.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Zależności dla indeksów
Między indeksem wszechstronnym, indeksem o stałej strukturzeczynnika a oraz indeksem wpływu zmian w strukturze czynnika aistnieją następujące zależności:
Ix = Ix/a0 ·a Ix/xt oraz Ix = Ix/at ·a Ix/x0 .
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Przyczyny wpływające na rozwój zjawiska
Zmiany wartości badanej cechy w czasie można przedstawić w postacimodelu uwzględniającego zarówno przyczyny działające w sposób trwały,jak również przypadkowy.
W najbardziej ogólnym przypadku, na badane zjawisko oddziałujątrzy grupy przyczyn:
działające w sposób trwały i powodujące wystąpienieokreślonej tendencji rozwojowej (czyli trendu), powodującezmiany powolne, systematyczne i ujawniające się w długichokresach czasu;
działające okresowo ale regularnie, tzw. wahania sezonowe,często związane ze zjawiskami przyrodniczymi;
działające przypadkowo i nieregularnie tzw. wahaniaprzypadkowe.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Tendencja rozwojowa zjawiska
Do najważniejszych badań szeregu czasowego (dynamicznego)zaliczamy szacowanie tendencji rozwojowej zjawiska,prowadzące do wyznaczenia funkcji trendu:
yt = f (t) + zt ,
gdzie yt to zaobserwowany poziom zjawiska w okresie t,f (t) – funkcja trendu,zt – składnik resztowy.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Funkcja trendu
Kształt funkcji trendu odzwierciedlającej działanie tzw. przyczyngłównych zależy od danych empirycznych. Może mieć ona postać:
liniową:f (t) = at + b,
jak również nieliniową, np:
f (t) = at2 + bt + c
lubf (t) = a ln t + b.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Wyznaczanie trendu metodą najmniejszych kwadratów
Wyznaczanie trendu metodą analityczną
opiera się na tzw. metodzie najmniejszych kwadratów:
N∑t=1
(yt − f (t))2 → min,
w której szukamy takich parametrów funkcji f , które minimalizująsumę kwadratów różnic pomiędzy wartościami rzeczywistymi (yt)badanego zjawiska a wartościami teoretycznymi (f (t)), obliczonymina podstawie funkcji trendu.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Wyznaczanie parametrów trendu liniowego
Jeśli funkcja trendu ma postać liniową:
f (t) = at + b,
to oszacowania jej parametrów obliczamy za pomocą wzorów(uzyskanych metodą najmniejszych kwadratów):
a =cov(t, yt)S2(t)
=
NN∑t=1
ytt −N∑t=1
yt ·N∑t=1
t
NN∑t=1
t2 −(N∑t=1
t
)2 ,
b = yt − at.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Dopasowanie funkcji trendu
Jakość dopasowania wyznaczonej funkcji trendu można zbadać zapomocą:
odchylenia standardowego reszt
s(zt) =
√√√√√√N∑t=1
(yt − f (t))2
N − k,
gdzie k to liczba parametrów oszacowanego modelu;
współczynnika zbieżności
ϕ2 =
N∑t=1
(yt − f (t))2
N∑t=1
(yt − yt)2;
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Dopasowanie funkcji trendu (2)
współczynnika determinacji
R2 = 1−
N∑t=1
(yt − f (t))2
N∑t=1
(yt − yt)2= 1− ϕ2.
Uwaga.
R2 ∈ [0, 1],
im większe R2 tym lepsze dopasowanie funkcji trendu dodanych.
Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu
Prognoza i błąd standardowy prognozy
Prognoza
Znając parametry funkcji trendu możemy obliczać prognozowanąwartość badanego zjawiska dla przyszłych okresów (momentów) T :
yT = f (T ).
Należy jednak pamiętać, że na badane zjawisko wpływają też inneprzyczyny, więc otrzymana wielkość yT jest obarczona pewnymbłędem.
Standardowy błąd prognozy
s(zt) ·
√√√√√√√1 +1N
+(T − t)2N∑t=1
(t − t)2.