Teoretisk datalogi eller anvendtmatematik?

Henrik Kragh SørensenInstitut for Videnskabsstudier, Aarhus Universitethks@ivs.au.dkwww.henrikkragh.dk

Resumé

Undervisningsgangens temaer: Matematisk tilgang til datalogi-faget. Beregnelighedog kompleksitet. Formelle metoder i datalogien. Datalogi i matematik. Datalogi ermeget andet end matematik.Case(s): Software som videnskab: (Mahoney 2001). Formelle metoder i datalogien:(Bowen og Hinchey 1995, Bowen og Hinchey 2006).

Forelæsning #3, 2009-04-28Datalogiens Videnskabsteori 2009

Dagens program

? Meddelelser og spørgsmål.

? Opsamling: Modellering og reduktionisme, AI

? Videnskabens fremskridt.

? Matematik og datalogi I: Formelle metoder

? Matematik og datalogi II: Experimentel matematik

? Afslutning: Datalogiens agendaer

Meddelelser

? Tilmelding på AULA — også på øvelseshold. Kom til øvelserne.

Modelleringsspørgsmålet

? Verden for sig eller verden for os?

? Model som afbildning af (en del af) verden:

− abstraktion,

− objektificering,

− modularisering,

− generalisation.

? “Virkeligheden” kan være på mange niveauerfra fysisk virkelighed til modeller og abstraktesystemer.

? Ontologiske forbindelser mellem objekter imodel og verden.

AI: for og imod

? ALAN TURING (1912–1954), 1950: Beregnelighed og intelligens; 1956 fødselsår-et for “artificial intelligence” → optimisme og succes → skak → symbolsk /klassisk AI.

? HUBERT LEDERER DREYFUS’ (?1929) analyse og kritik af AI:

2

− Psykologisk antagelse: Menneskelig intelligens er symbolbehandling efterregler.

− Epistemologisk antagelse: Viden er formaliserbar (i kontekst-uafhængigeformale regler).

− Ontologisk antagelse: Verden (så vidt mennesker kan forstå den) har en for-maliserbar struktur→ ofte grundlag for ovenstående.

− Biologisk antagelse: Hjernen fungerer ved symbolbehandling efter regler.

? Repræsentation vs. objekt, beskrivelse vs. reproduktion.

? Problemet med regler vs. common-sense → “What computers (still) can’t do”(1972/1992).

? Dreyfus: Intelligens er “situeret” og “embodied”.

? Neurale netværk og emergens.

Menneskelig og kunstig intelligens

3

Turings test og det kinesiske værelse

Paradigmer og forskningsprogrammer

? Simpel model: fact→ system→ teori.

? Forklarer ikke udvikling i teorier (særlig godt).

? Induktion (verifikation) vs. falsifikation.

? THOMAS S. KUHN (1922–1996): normalvidenskab (paradigme) → anomalier →krise→ revolution→ normalvidenskab (inkommensurabelt paradigme).

? Sekventiel udviklingsteori.

? Paradigmatiske eksempler→ disciplinær (kognitiv) matrix.

? Eget paradigmatiske eksempel: Det nye verdensbillede.

? IMRE LAKATOS (1922–1974): samtidige forskningsprogrammer (hård kerne, be-skyttende lag, teoretiske forudsigelser og testbare påstande) → progressive ogdegenerative→ rationel (?) stillingtagen mellem alternativer.

? Sammenlign også med test vs. (formel) verifikation.

? KUHNS normalvidenskab, paradigmer, anomalier, kriser, revolutioner og ny (in-kommensurabel) normalvidenskab.

4

eksperiment1 eksperiment2 eksperiment3 eksperiment4

teori1 teori2 teori3 teori4

t

? Teorier (resultater) forkastes.

? Kommensurabilitet og matematikkens vækst.

? Hvor “blodig” skal en revolution være? Hvor “blodig” en revolution kan der værei matematikken?

? Revolutioner . . .

− . . . på sandhedsniveau? → intuitionisme? NEG?

− . . . på objektniveau? → intuitionisme? mængdelære?

− . . . på meta-niveau? → masser (?)

Lakatos’ MSRP

? LAKATOS’ “Methodology of Scientific Research Programmes”.

5

empiriske

forudsigelserbeskyttende bælte

hård kerne

Paradigmer (moder?) i datalogi

? “Batch processing” til kunstig intelligens→ hvad skal computeren (og program-mører og dataloger) bruges til?

? TURING og JOHN VON NEUMANN (1903–1957): Modeller af beregnelighed ogcomputere.

? Programmeringssprog (procedurelle, funktionelle, OO, etc).

? Computer-begreber: kvante-computere, bio-computere.

Datalogi indlejret i den akademiske verden

? Professionalisering og disciplindannelse.

− Datalogi som en ung disciplin.

6

− Datalogi som en service-ydelse og/eller en selvstændig disciplin.

− Datalogiens immateriele genstandsområde.

− Datalogi som “vidtfavnende tværvidenskabelige disciplin”→ multiple me-toder, datalogi som modellering.

? Datalogiens historie og institutionalisering (kursusuge #4).

? Datalogiens forbindelser i den akademiske verden (igen i kursusuge #7).

Datalogiens matematiske udspring

? Flere slags genealogi for computere og datalogi:

− Computere i erhvervslivet (batch processing, IBM),

− Computere i administrationen (som ovenfor + system-definerende teknolo-gi),

− Computere i krig (kryptering, kodebrydning, Bletchley Park, Los Alamos).

? Behov for numeriske beregninger→ fx i Los Alamos; sml. (Ulam 1980):

− Fra lineære problemer til ikke-lineære problemer,

− Fra eksakte løsninger (lukkede former) til approximative løsninger (numeri-ske løsninger, modeller),

− Nye problemer opstår → programmering, numeriske beregninger, etc. →teoretisering.

Turing-maskinens ‘matematiske’ baggrund

? Hilbert’s program og ‘Entscheidungs-problemet’:

− Aksiomssystemer for matematiske områder,

− Uafhængighed mellem (systemer af) aksiomerne,

− Konsistens (evt. relativ),

− Fuldstændighed (sml. Gödel),

− Afgørbarhed (sml. Turing).

? Turing (1936): Matematisering af ‘effektivt beregnelige tal’ i form af ‘beregneligpå en idealiseret maskine’→ ingen fysiske computere, endnu.

? Anvendt på afgørbarhedsproblemet indses dets umulighed→ Også denne del afHilbert’s program urealiserbar→ Konsekvenser for matematikken (?).

? Forbindelse til Turings senere arbejde ved Bletchley Park (?).

7

Teoretisk datalogi

? Forskellige problemstillinger:

− Programmering→ sprog, grammatik, semantik, oversættelse,

− Simulering på endelige maskiner→ talrepræsentation etc.,

− Beregnelighed og modeller herfor→ automater, Turing-maskiner, uberegne-lige opgaver,

− Kompleksitet→ klassifikationer af problemer og maskiner,

− Sikkerhed→ hemmeligholdelse, kryptering og integritet,

− Korrekthed og verifikation,

− Menneske-maskin-interaktion og kunstig intelligens, . . .

? Forskellige metoder, centrale spørgsmål (agendaer), tvær-disciplinære forbindel-ser→matematik, lingvistik, psykologi, filosofi, . . . .

? Formalisering og professionalisering som selvstændig disciplin.

8

Matematik, beviser og datalogi

Clib

PD

F -

ww

w.f

asti

o.c

om

(MacKenzie 2004, figure 1)

9

Matematik i datalogi

? Formelle metoder: bevise ‘korrekthed’→ bevis vs. evidens (test), deduktion vs.induktion→ formalvidenskab vs. realvidenskab.

? Kritiske systemer→ fx militær, sikkerhed (time-sharing), sundhed, . . . .

? Niveauer af formelle beviser: specifikation, implementation(er), afvikling.

? Specifikationer og mulighed for at omgå dem→ LaPadula, “The Orange Book”& “covert channels”.

? Redskaber til formelle beviser: små matematikbeviser, store matematikbeviser,computer-assisterede beviser, automatiserede computer-beviser.

? Begrænsninger ved formelle metoder → computeren som fysisk artefakt, totalformalisering, tids- og ressourcekrævende.

? Forskellige bevisstandarder→ VIPER-eksemplet (Verifiable Integrated Processorfor Enhanced Reliability): Matematisk “proof of correctness” på design-niveau→debat om “bevis”: specifikation, design, jura.

Datalogi i matematik

? Matematikkens immaterielle objekter kan tilgås via datalogi→ modellering, ‘vi-sualisering’, eksperimenteren.

− Geometri (og knuder, topologi, etc.),

− Talteori (fx eksperimenter),

− Analyse og differentialligninger (forbindelse til fysik),

− Logik (udforskning af konsekvenser), . . .

? Reduktion af matematiske problemer åbner for ‘brute-force’:

− Smart matematik + programmering + afvikling = resultat.

? Matematikkens ‘bevis-etos’ (sine-non-qua):

− Logico-deduktivt,

− Offentligt (fuldstændigt),

− Overskueligt og forklarende.

? Datalogiens muligheder (forkærlighed?) for formelle beviser.

10

Fire-farve-sætningen (4CT)

? Om at farvelægge lande på et landkort→ præciseret matematisk formulering afproblemet.

? En ‘gammel’ (1852) formodning med fejlagtige beviser.

? Simple første skridt.

? Generaliseringer viser sig simplere:

− fem-farve-sætningen (Kempe, Heawood),

− fire-farve-sætningen på en torus.

? Undervejs både populært problem og test-case for grafteori.

? Appel & Haken 1976: Matematik + computer test af 1476 grafer (1200 CPU-timer)→ hver graf-analyse overstiger det menneskeligt mulige.

? Flere CPU-kørsler nødvendige; “bevis” består af matematik + computer-program+ argument for korrekthed + output→ Appel-Hagen-Koch: 150 sider.

Modtagelse af 4CT

? Ron Graham (Bell Labs): “The real question is this: If no human being can everhope to check a proof, is it really a proof?”

? Samtidige filosofiske diskussioner om computerens brug → Graham vs. en nyslags blyant.

? Et nyt bevis med “meget færre” (633) test-konfigurationer og med PC-software(1996) → ændrer det på nogle af analyserne (bevis, overskuelighed, sandhed,. . . )?

? Beviset checket ved hjælp af en bevis-checker (2004) → ændrer det på nogle afanalyserne?

Computere i matematik

? Bevis-dele delegeret til computere→ store beviser:

− Keplers pakke-problem,

− Fire-farve-sætningen.

? Værktøjer til ‘opdagelse’ (præ-formel matematik):

− Symbolmanipulation,

11

− Søgning,− ‘Empiri’.

? Computer(programmer) som matematikerens assistent?

? Simulering og visualisering→ PDE, geometri, . . . .

? ‘Black box’?

Bevis eller evidens

? Matematikkens etos, igen: Beviser eller evidens?

? Kan datalogi (og computere) bidrage empiri til matematik?

? Omvendt: Matematikkens betydning i datalogien→ beviser eller evidens?

? Praksis (sml. Naur): Datalogi er at sammenligne med et professionelt håndværk,herunder brug af matematik.

? Matematiske beviser kan sikre korrekthed?

? Ekstensive tests kan ‘sikre’ korrekthed?

? Videnskabssyn og videnskabsteori: Deduktion vs. induktion→ “induktionspro-blemet”.

Datalogi i naturvidenskab

? Datalogi og computere som udvidet lommeregner.

? Virtuelle laboratorier:

− Modellering → software → forudsigelser (simulation) → fx ‘beregningske-mi’.

− Erkendelsesmæssig gevinst af modellering→ ontologiske konsekvenser.− ‘Økonomisk’ gevinst af simulation både i ‘academia’ og i industrien (medi-

cinalkemi, rumforskning).

? Modellering af ikke-gentagelige ‘forsøg’→ fx astronomi, klimaforskning→ forsk-ning i modellerne→ virtuelt laboratorium, igen→ disciplin-dannelse og -transformation.

? ‘Meta-modeller’→ Computere og datalogi som paradigme:

− Beregnelighed uden for datalogien,− Lingvistik,− Kunstig intelligens.

? ‘Turing’s man’.

12

Opsamling

? Datalogi som akademisk disciplin:

− Tværvidenskabelig,

− Anvender andre videnskaber,

− Leverer model for andre videnskaber,

− Anvendes i andre videnskaber.

? Forholdet til matematik & datalogiens agendaer:

− Låner matematikkens deduktive redskaber,

− Andet bevisbegreb i datalogi (formelle beviser),

− Computere anvendes i matematik→ som empiri og som bevis-hjælpere→behov for verifikation og datalogi.

? Øvelser denne kursusuge: ‘Datalogiens agendaer’ og ‘Formelle metoder i datalo-gi’.

? Næste uge: Datalogiens historie og den akademiske verden.

Litteratur

Appel, K. og Haken, W.: 1977, The solution of the Four-Color-Map Problem, Scientific American237(4), 108–121.

Bowen, J. P. og Hinchey, M. G.: 1995, Ten commandments of formal methods, IEEE Computer28(4), 56–63.

Bowen, J. P. og Hinchey, M. G.: 2006, Ten commandments of formal methods: Ten years later,IEEE Computer 39(1), 40–48.

Brey, P.: 2001, Hubert Dreyfus: Humans versus computers, i H. Achterhuis (red.), AmericanPhilosophy of Technology: The Empirical Turn, Indiana Series in the Philosophy of Technology,Indiana University Press, Bloomington / Indianapolis, kapitel 2, pp. 37–63.

Devlin, K.: 2005, Last doubts removed about the proof of the Four Color Theorem. Devlin’sAngle (MAA column).

MacKenzie, D.: 2001a, Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust, MIT Press, Cambridge(Mass) / London.

MacKenzie, D.: 2001b, A view from the Sonnenbilch: On the historical sociology of softwareand system dependability, i U. Hashagen, R. Keil-Slawik og A. Norberg (red.), History ofComputing: Software Issues, Springer, Berlin etc., pp. 97–122. International Conference onthe History of Computing, ICHC 2000. April 5–7, 2000, Heinz Nixdorf MuseumsForum,Paderborn, Germany.

13

MacKenzie, D.: 2004, Computers and the sociology of mathematical proof, i T. H. Kjeldsen,S. A. Pedersen og L. M. Sonne-Hansen (red.), New Trends in the History and Philosophy ofMathematics, bind 19 af University of Southern Denmark Studies in Philosophy, UniversityPress of Southern Denmark, Odense, pp. 67–86.

MacKenzie, D.: 2005, Computing and the cultures of proving, Philosophical Transactions of TheRoyal Society, A 363, 2335–2350.

Mackenzie, D. og Pottinger, G.: 1997, Mathematics, technology, and trust: Formal verification,computer security, and the U. S. military, IEEE Annals of the History of Computing 19(3), 41–59.

Mahoney, M. S.: 2001, Software as science—science as software, i U. Hashagen, R. Keil-Slawikog A. Norberg (red.), History of Computing: Software Issues, Springer, Berlin etc., pp. 25–48.International Conference on the History of Computing, ICHC 2000. April 5–7, 2000, HeinzNixdorf MuseumsForum, Paderborn, Germany.

Robertson, N., Sanders, D. P., Seymour, P. og Thomas, R.: 1996, A new proof of the four-colourtheorem, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 2(1), 17–25.

Sørensen, H. K.: 2009, Noter til datalogiens videnskabsteori 2009. Til brug for undervisningen ikurset Datalogiens Videnskabsteori, Aarhus Universitet, 2009. Version 1.6, 7. april 2009.

Tymoczko, T.: 1979, The Four-Color Problem and its philosophical significance, i T. Tymoczko(red.), New Directions in the Philosophy of Mathematics. An Anthology, Birkhäuser, Boston,pp. 243–266. Først offentliggjort: The Journal of Philosophy 76(2), 57–83, 1979.

Ulam, S. M.: 1980, Von Neumann: The interaction of mathematics and computing, i N. Metro-polis, J. Howlett og G.-C. Rota (red.), A History of Computing in the Twentieth Century: ACollection of Essays, Academic Press, New York etc., pp. 93–99.

Wilson, R.: 2002, Four Colours Suffice. How the Map Problem was Solved, Penguin/Allen Lane,London etc.

14