Teorema de Steiner Capitulo VIII- Texto Mecanica de Solidos I

8/19/2019 Teorema de Steiner Capitulo VIII- Texto Mecanica de Solidos I

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Capítulo VIII

MOMENTOS DE INERCIA8.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo desarrollaremos un método para determinar el momento de inercia de un

área y de un cuerpo que tenga una masa específica. El momento de inercia de un área es una

propiedad importante en ingeniería, puesto que ésta debe determinarse o especificarse si uno va

a analizar o diseñar un miembro de una estructura o parte mecánica. Por otro lado, se debe

conocer el momento de inercia del cuerpo si se estudia el movimiento del mismo cuerpo.

8.2 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS Cuando se determina el centroide de un área se considera el primer momento de área con

respecto a un eje, es decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma:

x dA Las integrales del segundo momento de un área tal como:

2 x dA son llamadas momentosde inercia del área.

El momento de inercia de un área se origina siempre al tener que calcular el momento de

una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos.

Asimismo podemos formular el segundo momento del área con respecto al polo O, o eje z.

Esto se conoce como momento polar de inercia J 0 y se define por:

2

o x y A

J r dA I I

; Donde:

2 2 2r x y

r

x

y

x

y

dA A

O

Si consideramos un área A, en el plano xy, los

momentos de inercia de esta área con respecto a

los ejes x e y se define por:

2 2

x x A

I y dA K A

2 2

y y A

I x dA K A

Dónde:

x K = radio de giro con respecto al eje x

y K = radio de giro con respecto al eje y


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Notas:

- , x y o I I y J son siempre positivos.

- Las unidades del momento de inercia son: m4, cm4, mm4, pulg4.

8.3 TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA UN ÁREA (TEOREMA DE STEINER)“El momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia

del área con respecto a un eje paralelo que atraviesa su centroide, más el producto del área y el

cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes”

Donde: d x y d y son distancias perpendiculares entre los ejes.

8.4 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA

El radio de giro de un área plana se utiliza en el diseño de columnas en mecánica de

estructuras. Siempre y cuando se conozcan las áreas y los momentos de inercia, el radio de giro

se determina con las fórmulas:

00

y x x y

I I J K K K

A A A

8.5 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS

El momento de inercia de un área compuesta es igual a la suma algebraica de los

momentos de inercia de todas sus partes componentes.

Méto do de cálc u lo :

- Divide el área compuesta en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular

existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.

!

2

x y x I I Ad

! 2 y x y I I Ad

2

o c J J Ad

d x

d

x

y

o

! x

! x

! y

dA

c

d

d x

d y

x

y

O

! x

! y

! x

!

y

dA

c

d


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- Determine el momento de inercia de cada parte con respecto a su eje centroidal, paralelo al eje

de referencia, utilizando el Teorema de Steiner.

- Calcule el momento de inercia del área total, con respecto al eje de referencia, sumando los

resultados de sus partes componentes. Si una parte componente tiene un “agujero”, su

momento de inercia se obtiene restando el momento de inercia del agujero al momento de

inercia de la parte completa, incluyendo al agujero.

8.6 PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA

Para algunas aplicaciones de diseño mecánico o estructural es necesario primero calcular

el producto de inercia del área así como también sus momentos de inercia para los ejes x y y

dados.

TEOREMA DE STEINER PARA EL PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA

x

y

x

y

dA

APara un área A, el producto de inercia

viene dado por:

xy

A

I xy dA

Las unidades del producto de inercia

son: m4, mm4, pie4, pulg4.

d x

d

x

y

o

! x

! y

! x

! y

dA

c

Para el área sombreada que se

muestra en la figura, se cumple que:

y x XY d d A I I Y X ''

Dónde: ''Y X I representa el producto

de inercia del área con respecto al

eje centroidal.


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8.7 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS

El momento de inercia de masa es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a una

aceleración angular. Se define como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de

todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo.

OBSERVACIONES:

a) Si el cuerpo se compone de un material cuya densidad es variable, entonces el momento

de inercia de masa “ I ” está dado por:

2

V I r dV

b) Si es constante, entonces “ I ” se halla por: 2

V I r dV

Nota:

El teorema de Steiner (o del eje paralelo) para el momento de inercia de masa, viene dado por la

siguiente expresión:

2

G I I m d

dónde:

G I = momento de inercia con respecto al eje z´ que atraviesa el centro de masa G.

m = masa del cuerpo

d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos.

r

z

dm

Para el cuerpo rígido mostrado en la figura, su momento de

inercia de masa con respecto al eje z, viene dado por:

2

m I r dm

r = distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento

diferencial “ dm ”.

* El eje que generalmente se elige para el análisis atraviesa el

centro de masa del cuerpo.


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8.7.1 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN DISCO CIRCULAR

DELGADO DE MASA “m” Y RADIO “r”

Cálculo de z I (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z)Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z que

atraviesa su centro de masa, viene dado por:

dmr I m

z

2

)'( , 'r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

Se cumple: )''( dz d dr r dV dm

Reemplazando “ dm ”, la ecuación de z I queda:

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” del disco circular:

z r

m

V

m

2 ,

obtenemos que:

2

2

1r m I z

Cálculo de x I (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x)

Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x que

atraviesa su centro de masa, viene dado por:

dmr I

m

x

2

)''( , ''r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

Para calcular los momentos de inercia del

disco circular delgado se debe recordar

que en coordenadas cilíndricas, el

volumen para el elemento diferencial de

masa “dm”, mostrado en la figura, viene

dado por:

dz d dr r dV ''

y

z

x

r ’ dm

ϕ

r z


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Al trazar la distancia perpendicular ''r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,

se obtiene que:

senr r '''

Si esta distancia ''r y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del

momento de inercia x I , tenemos:

)''()'( 2

0

2

0 0

dz d dr r senr I z r

X

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” del disco circular:

z r

m

V

m

2 ,

obtenemos que:

2

4

1r m I X

NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del disco circular delgado,

respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto

al eje x. Es decir:

2

41 r m I I X Y


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8.7.2 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN CILINDRO DE MASA “m”,

ALTURA “h” Y SECCIÓN TRANSVERSAL DE RADIO “r”

Cálculo de z I (momento de inercia del cilindro, respecto al eje z )

El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa,

se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado.

Se cumple:

2

)( )(2

1r dmdI CILINDRO z

Dónde: )( 2 dz r dV dm

* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y el cilindro son del mismo material,

entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa del

cilindro entre su respectivo volumen, es decir:

)( 2 hr

m

V

m

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(CILINDRO z dI ” e

integrando, obtenemos:

2

)(21 r m I CILINDRO z

Para calcular los momentos de

inercia del cilindro se

recomienda elegir como

elemento diferencial un disco

circular delgado de masa “dm”,

radio “r ” y espesor “dz ”, tal

como se observa en la figura.

z

z

dz

y

x

y ’

r

r

h/2

h/2


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Cálculo de Y I (momento de inercia del cilindro, respecto al eje y )

El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa,

se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y

aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.

Por lo tanto, se cumple:

22

)( )()(4

1 z dmr dmdI CILINDROY

Reemplazando “ dm ” e integrando, obtenemos:

)3(12

1 22)( hr m I CILINDROY

NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del cilindro, respecto al eje

x que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto al eje y . Es

decir:

)3(12

1 22)()( hr m I I CILINDROY CILINDRO X

8.7.3 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA ESFERA DE MASA “m” Y RADIO “r”

y

x

z

r ’

r

z

dz Al igual que en el caso del

cilindro, para calcular los

momentos de inercia de la

esfera se recomienda elegir

como elemento diferencial

un disco circular delgado de

masa “dm”, radio “r ‘ ” y

espesor “dz ”, tal como se

observa en la figura.


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Debido a la simetría de la figura, los momentos de inercia para la esfera, respecto a los

tres ejes coordenados que atraviesan su centro de masa, son iguales. En consecuencia es

suficiente calcular sólo uno de ellos.

Cálculo de X I (momento de inercia de la esfera, respecto al eje x )El momento de inercia para la esfera, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa,

se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y

aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.


22

)( )()'()(4

1 z dmr dmdI ESFERA X

De la figura se observa que:222222 )'()'( z r r r r z

dz z r dmdz r dV dm )()'( 222

* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y la esfera son del mismo material,

entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa de la

esfera entre su respectivo volumen. Es decir:

3

3

4r

mV m

Reemplazando “ dm ” y “ 2)'(r ” en la ecuación del momento de inercia “ )( ESFERA X dI ” e

integrando, obtenemos:

2

)(5

2r m I ESFERA X

Nota.- se cumple que:

2

)()()(5

2r m I I I ESFERA Z ESFERAY ESFERA X


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8.7.4 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA PLACA DELGADA DE

MASA “m” Y LADOS “a” Y “b”

Para calcular los momentos de inercia de la placa delgada elegimos un elementodiferencial de masa “dm”, ubicado a una distancia perpendicular “r ”, respecto al eje z, tal

como se aprecia en la figura. De ella también se concluye que las componentes de r : “x ” e

“y ”, son distancias perpendiculares del elemento diferencial a los ejes coordenados.

Además, asumiremos que la placa delgada tiene espesor “z”.

Cálculo de z I (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z )

Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z que atraviesa

su centro de masa, viene dado por:

dmr I m

z 2

, r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

Se cumple: )( dz dydxdV dm

De la figura se observa que:222 y xr

Reemplazando “ 2

r ” y “ dm ”, la ecuación de z I queda:

)()( 222/

2/

2/

2/

2/

2/

dz dydx y x I

z

z

b

b

a

a

z

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” de la placa delgada:

z ba

m

V

m

,

obtenemos que:

)(121 22 bam I z

x

y

z

dmrx

y

b

a


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Cálculo de X I (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x )

Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x que atraviesa

su centro de masa, viene dado por:

dmr I m

x

2)'( , 'r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

Al trazar la distancia perpendicular 'r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,

se observa que esta distancia es igual a la distancia “y”. Es decir:

yr '

Si esta distancia “ 'r ” y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del

momento de inercia x I , tenemos:

)()( 22/

2/

2/

2/

2/

2/

dz dydx y I

z

z

b

b

a

a

X

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” de la placa delgada:

z ba

m

V

m

,

obtenemos que:

2

12

1bm I X

Cálculo de Y I (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje y )

Para calcular el momento de inercia Y I se procede de manera similar al cálculo de X I .

En este caso, la distancia perpendicular del eje y que atraviesa su centro de masa, al

elemento dif erencial, es “x ”.

Al evaluar la ecuación del momento de inercia Y I se obtiene que:

2

12

1am I Y


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8.7.5 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN PRISMA RECTANGULAR

DE MASA “m” Y LADOS “a ”, “b” y “c”

Cálculo de X I (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje x )

El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje x que atraviesa su centro

de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa

delgada, y además aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.


22

)( )()()(12

1 ydmcdmdI PRISMA X

El elemento diferencial tiene masa:

)( dycadV dm

* Como el elemento diferencial (placa delgada) y el prisma rectangular son del mismomaterial, entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa

del prisma entre su respectivo volumen. Es decir:

cba

m

V

m

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )( PRISMA X dI ” e integrando,

obtenemos:

)(121 22)( bcm I PRISMA X

x

y

z

c

a

b

y dy


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Cálculo de Y I (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje y )

El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje y que atraviesa su centro

de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa

delgada.

Por lo tanto, se cumple que:

)()(2

1 22)( cadmdI PRISMAY

donde: )( dycadV dm ; siendo:cba

m

V

m

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )( PRISMAY dI ” e integrando,

obtenemos:

)(12

1 22)( cam I PRISMAY

NOTA.- para calcular el momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje z que

atraviesa su centro de masa, se procede de manera similar al cálculo del momento de

inercia con respecto al eje x . Procediendo de esta forma, se obtiene que:

)(12

1 22)( bam I PRISMA z


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8.8 TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes


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TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes (Continuación)

Fuente: RILEY W. y STURGES L. Estática. Editorial Reverté. 2005


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8.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE INERCIA

PROBLEMA Nº 1

Determine el momento de inercia de masa I z del sólido que se forma al girar el área sombreada

alrededor del eje z. La densidad del material es 7,85 Mg/m3.

Resolución

Al girar el área sombreada alrededor del eje z, se obtiene el sólido mostrado a continuación. Para

calcular el momento de inercia de dicho sólido elijo como elemento diferencial un disco circular

delgado porque se conoce sus momentos de inercia de masa, respecto a los ejes x , y, z .

Se sabe que:

2

4

1r m I I y x

2

2

1r m I z

y

z

x

r

Disco circulardelgado de masa “m”

y z 82

4 m

y

x

z


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142

Para el problema dado, el momento de inercia del disco será un diferencial del momento de

inercia del sólido, es decir:

2

)( )(2

1r dmdI SOLIDO Z . . . (1)

Dónde:

8

2 z r yr ; dz

z dmdz r dV dm

64)(

42

Reemplazamos en (1):

64642

1 44

)(

z dz

z dI SOLIDO Z

Integrando tenemos:

dz z I SOLIDO Z 4

0

8

)()64)(64(2

1

2

)( 546,68587 mkg I SOLIDO Z

y z 82 4 m

R = 2 m

y

x

z

z

dz

y

r


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PROBLEMA Nº 2

El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio con densidad de 2 700 kg/m3 y hierro con

densidad de 7 860 kg/m3. Determine sus momentos de inercia con respecto a los ejes x´ e y´ .

Resolver el problema tomando como referencia los valores conocidos de los momentos de inercia

de un disco circular delgado.

Resolución

Primero hal lo masa del aluminio Al m , masa del hierro Fem y la coordenada “ x ” del centro

de masa del ci l indro comp uesto ( x ).

Las masas Al m y Fem se determinan utilizando la ecuación V m , dado que la densidad del

cuerpo ( ) es dato del problema y el volumen V se halla multiplicando el área de la sección

transversal y la altura. Es decir:

323 )6,0)(1,0(/2700 mmkg V m Al Al Al kg m Al 8938,50

323 )6,0)(1,0(/7860 mmkg V m Fe Fe Fe kg m Fe 1575,148

Para calcular x (coordenada “x” del centro de masa) aplico la ecuación siguiente:

FE Al

Fe Fe Al Al

mm

m xm x

m

m x x

m x 7466,0

* De la figura dada se obtiene que: m x ym x Fe Al 9,03,0

Cálculo de )(' TOTAL x I (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje ' x )

Por tratarse de un cilindro compuesto se cumple el principio de superposición, es decir que el

momento de inercia total, respecto al eje'

x , es igual a la suma de los momentos de inercia del

cilindro de aluminio y del cilindro de hierro, con respecto al mismo eje ' x .

y

z

y’

z’ x, x’

60 cm

60 cm

10 cm

C.M.

Al

Fe


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144

)(')(')(' Fe x Al xTOTAL x I I I . . . (1)

Hallo )(' Al x I (momento de inercia del cilindro de aluminio, respecto al eje ' x ):

Si consideramos como elemento diferencial un disco circular delgado de radio r , masa dm y

espesor dx , se sabe que su momento de inercia, respecto al eje ' x , está dado por:

2

)(' )(2

1r dmdI Al x ; donde: dxr dm Al )(

2

Reemplazamos “ dm ”:

22

)(' )(2

1r dxr dI Al Al x

Integrando, tenemos:

6,0

0

4

)('2

dxr I Al Al x 2)(' 25497,0 mkg I Al x

Hallo )(' Fe x I (momento de inercia del cilindro de hierro, respecto al eje ' x ):

En este caso, se cumple:

2

)(' )(2

1r dmdI Fe x ; donde: dxr dm Fe )(

2

Reemplazamos “ dm ” :

22

)(' )(2

1r dxr dI Fe Fe x

Integrando, tenemos:

2,1

6,0

4

)('2

dxr

I Fe Fe x

2

)(' 740789,0 mkg I Fe x

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

2

)(' 94526,0 mkg I TOTAL x

Cálculo de )(' TOTAL y I (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje ' y )

En este caso debemos recordar que el momento de inercia para un cilindro de masa “m”, altura “h”

y sección transversal de radio “r ”, respecto al eje centroidal “y”, el cual es perpendicular al eje del

cilindro, viene dado por la ecuación siguiente:

)3(

12

1 22)( hr m I Cilindro y

h y

Eje centroidal

r


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145

Aplicando esta ecuación y el principio del eje paralelo, tenemos que el momento de inercia del

cilindro de aluminio, respecto al eje ' y , está dado por:

2

1

22

)(' )3(12

1d mhr m I Al Al Al y

222)(' )3,07466,0()3(

121 Al Al Al y mhr m I

2)(' 804896,11 mkg I Al y

Para comprender mejor la ecuación anterior, ver la figura siguiente:

Para el cilindro de hierro, tenemos:

2

2

22

)(' )3(12

1d mhr m I Fe Fe Fe y

222

)(' )7466,09,0(1575,148)6,01,03()1575,148(12

1 Fe y I

2

)(' 307495,8 mkg I Fe y

Para calcular )(' TOTAL y I aplicamos principio de superposición. Es decir:

)(')(')(' Fe y Al yTOTAL y I I I 2

)(' 106391,20 mkg I TOTAL y

y

z

y’

z’ x, x’

0,3 m

Eje centroidalpara el aluminio

10 cm

C.M.

Al

Fe

0,9 m

d 1

m x 7466,0

Eje centroidalpara el hierro

d 2

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