El problema dual es el problema primo del original
Citation preview
Teorema de la Dualidad
Problema Dual Asociado a cada problema primo de LP, hay un
problema LP dual
Existe una relacin entre ambos problemas que puede usarse para
analizar las soluciones y plantear formas alternativas de
solucin
max
0
Tc x
x bx
x
A
Primo
min
0
T
y
T
b y
y cy
A
Dual
Problema Dual de un LP
(mxn)(nx1)
(1xn)(nx1) (1xm)(mx1)
(nxm)(mx1)
El dual del dual es el problema primo original
(mx1) (nx1)
xcTmax
bxAts ..0x
ybTmin
cAyts T ..0y
Ejemplo de Problema Dual
00423
60244842
: a sujeto
46max
2
1
1
21
21
21
+
+
+
xxx
xxxx
xxx
Primo
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
min 48 60 42
sujeto a :2 4 3 64 2 0 4
0, 0, 0
yy y y
y y yy y y
y y y
+ +
+ +
+ +
Dual
Teorema de la Dualidad (LP)
Primo Dual xcTmax
bxAts ..0x
ybTmin
cAyts T ..
Multiplicadores de Lagrange
Si el dual no es acotado, el primo es infactible Si el dual es
infactible, el primo no es acotado El valor de la funcin objetivo
del problema dual provee
una cota inferior para la funcin objetivo del problema primo. En
problemas convexos sus valores son iguales.
0y
Anlisis de Sensibilidad
Sensibilidad del ptimo min
0
T
xf c x
x bx
=
A
Cmo cambia el valor ptimo f* si cambian los valores de b (RHS)
en las restricciones del problema primo?
* * **
T TTf c x y b y
b b b
= = =
La solucin ptima del dual y* proporciona la sensibilidad del
valor ptimo de la funcin objetivo del problema primo respecto al
vector de b (RHS)
A los valores y* se les suele denominar precio sombra (shadow
price) o valores marginales
Ejemplo: Cmo Cambia f*?
00423
60244842
: a sujeto
46max
2
1
1
21
21
21
+
+
+=
xxx
xxxx
xxfx
Primo Cmo cambia el valor ptimo de 96 si la mquina 1 puede
trabajar 50h semanales?
**
11
f yb
=
Puede utilizarse la solucin ptima del problema dual
[ ]* 1/ 3 4 / 3 0y =
6667.963/2* =+= ff
( )32224850 *1
1
*
1
*
==
=
ybf
bf
El valor ptimo de f en el problema es f*=96
Ejemplo: Cmo Cambia f*?
00423
60245042
: a sujeto
46max
2
1
1
21
21
21
+
+
+
xxx
xxxx
xxx
Primo Cmo cambia el valor ptimo de 96 si la mquina 1 puede
trabajar 50h semanales?
6667.66667.116667.96
2
1
=
=
=
xxfSolucin:
Slide Number 1Problema DualProblema Dual de un LPEjemplo de
Problema DualTeorema de la Dualidad (LP)Slide Number 6Sensibilidad
del ptimoSlide Number 8Slide Number 9
