COLUMNA, nr. 8, 2019

TEOREMA DE DESCOMPUNERE A FRACŢIILOR RAŢIONALE ÎN FRACŢII RAŢIONALE SIMPLE

Ion MUNTEANU1

munteanuion74@gmail.com

ABSTRACT: The present paper aims to present applications to the theoret‑ical decomposition of rational fractions in simple fractions to calculus of rational integers (with the denominator having simple real roots, mul‑tiple real roots, simple complex roots or multiple complex roots), the derivation of the order of a rational function, the calculation of some telescopic amounts, the general term of the Fibonacci string.KEYWORDS: simple fractions, decomposition, rational integers, tele‑scopic sums, derivative of the order n.

Teoremă. Orice fracţie din corpul , cu şi se descom‑

pune în mod unic într‑o sumă finită de fracţii simple. Dacă polinomul

are descompunerea standard

, atunci descompunerea fracţiei în sumă finită de fracţii simple are formula

(*) , unde

pentru şi .

Dacă , atunci avem conform teoremei de împărţire cu rest (TIR): , unde

, şi . Putem

scrie: , o formă de

descompunere mai aproape de teorema lui Gauss dacă

1 Profesor de matematică la Colegiul Tehnic „Dimitrie Ghika”, Comăneşti, județul Bacău.

368 | Ion MUNTEANU

, cu şi

( şi

), atunci , unde

şi deci, , de unde se obţine rela‑ţia . Folosind partea de unicitate a TIR, deducem că şi , şi aşa cum s‑a demonstrat mai sus,

( ; ).

Probleme şcolare în care intervine Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple şi metodica rezolvării lor

1. Funcţii generatoare

Folosind funcţii generatoare să se determine formula generală a ter‑menilor din şirul lui Fibonacci: dat de relaţiile , şi oricare ar fi n din

.Rezolvare. Definim funcţia generatoare a şirului lui

Fibonacci . Înmulţim rela‑ţia cu şi obţinem

. Î n s u m ă m :

d e c i

, d e u n d e , deci

, adică .

Luăm (raportul de aur) și și obținem și . Prin

u r m a r e ,

.

369Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple |

P u t e m s c r i e

.

E l i m i n ă m n u m i t o r i i

identitate pe .P e n t r u a v e m

d e c i

, deci .

A c u m ∙ ∙

, deci

, de unde se găsește formula lui Binet,

.

2. Calculul unor sume

2.1. Să se calculeze suma

Aplicăm Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţi‑

onale simple.

Vom determina numerele A şi B. Eliminând numi‑t o r i i o b ţ i n e m :

. Identificând coeficienţii rezultă şi , deci . Rezultă că

= .2.2. Să se calculeze suma

370 | Ion MUNTEANU

Vom descompune fracţia în fracţii simple aplicând formula lui Lagrange. În general dacă avem o fracţie de forma

, f (x)=

(unde a, b, c, ..., l sunt n elemente distincte aparţinând aceluiaşi corp şi este un polinom de grad mai mic ca n care nu se anulează pen‑tru x=a, b, ..., l) descompunerea în elemente simple se poate face direct astfel

= +Astfel ,

, , ,

. Înlocuind aceste valori în formula lui Lagrange obţinem

. Rezultă că

  = 

  = 

+

+

+ . . . +

371Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple |

  = 

.

3. Calculul unor integrale ale unor funcţii raţionale

O funcţie , interval, se numeşte raţională dacă

unde sunt funcţii polinomiale.

Dacă , atunci se efectuează împărţirea lui

la ⇒

şi deci .

)()()(

)()()(

xgxrxq

xgxfxh +==

Pentru )()(

xgxr

se face descompunerea în fracţii raţionale simple.

Integrarea funcţiilor raţionale al căror numitor are rădăcini reale simple

1. Să se calculeze integrala nedefinită =

.Aplicăm Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii

raţionale simple. = + . Înmulţim succesiv cu (x+1), (x+2), (x+3) şi dăm lui x valorile –1, –2, –3.

= +

= +

= + C .

372 | Ion MUNTEANU

Deci I1= =–2 +3 +C

2. Să se calculeze integrala nedefinită = , x<–2

Efectuând împărţirea obţinem =

.

Descompunem în fracţii simple . Rezultă

–x+1=x (A+B)+2A A= , B= .

D e c i =

iar

=

Integrare funcţiilor raţionale al căror numitor are rădăcini reale multiple

3. Să se calculeze integrala nedefinită = dx, x>0.

Se descompune fracţia raţională în fracţii sim‑

ple şi avem . De aici rezultă că A

sau . Identificând coeficienţii

termenilorlui x la aceeaşi putere, se obţine sistemul

cu soluţia

D e c i = d x =

=2 +C

373Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple |

4. Să se calculeze integrala nedefinită = ,

Se efectuează împărţirea lui la şi folosind teo‑rema împărţirii cu rest se obţine +

. Integrala de calculate este

. Pentru calculul ultimei integrale se descompune funcţia raţională în funcţii raţionale simple de forma

. Înmulţind relaţia cu

obţinem . Pentru rezultă , Dacă înmulţim relaţia cu obţinem

. Pentru avem . Pentru a afla A putem deriva egalitatea anterioară membru cu

membru . Pentru

rezultă . Deci integrala este

=

.

5. Să se calculeze integrala nedefinită

Se descompune în fracţ i i s imple func‑

ţ i a d e i n t e g r a t

E l i m i n â n d n u m i t o r u l o b ţ i n e m

. Pentru se obţine iar pentru se obţine . Dacă derivăm relaţia obţinem

374 | Ion MUNTEANU

. Aici se face şi şi se găseşte şi

D e c i

6. Să se calculeze integrala nedefinită

.Funcţia raţională se descompune în sumă finită de funcţii raţionale

simple astfel . De aici rezultă

(1)Pentru rezultă iar pen‑

tru rezultă . Derivând relaţia (1) obţi‑n e m

. Pentru se obţine , iar pentru , se obţine . Rezultă

descompunerea .

7. Să se calculeze integrala nedefinită

,Efectuăm împărţirea lui la

şi obţinem

. În continuare, descompunem în

375Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple |

fracţii simple fracţia Eliminând numitorii se obţine

. Pe n t r u avem iar pentru avem

. R e z u l t ă

. Deci

.

Integrarea funcţiilor raţionale al căror numitor are rădăcini complexe simple

8. Să se calculeze integrala nedefinită

, x>1

Descompunem în fracţii simple expresia 13 −xx

11)1)(1(1 223 +++

+−

=++−

=− xx

CBxx

Axxx

xx

x

unde A,B,C sunt coeficienţi ce trebuie determinaţi .

Expresia de mai sus devine: )1)(()1( 2 −++++= xCBxxxAx .

Reordonând termenii )()()(2 CACBAxBAxx −++−++=⇒Identificăm coeficienţii din cei 2 membrii ai identităţii şi

obţinem sistemul . De aici se obţine

376 | Ion MUNTEANU

Atunci ∫ ∫ ∫ ++

+−

+−

=−

dxxx

xdx

xdx

xx

131

31

131

1 23 =

= =

==

=

+ dx = 

+ +C

9. Să se calculeze integrala nedefinită ,.

Numitorul fracţiei are următoarea descompunere în produs de factori ireductibili peste .

.Descompunem pe . Eliminând numitorii obţinem

. Prin identificarea coeficienţilor aceloraşi puteri ale lui din cei doi

membri ai egalităţii, se obţine sistemul de ecuaţii

377Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple |

cu soluţia

.Rezultă că

Integrarea funcţiilor raţionale al căror numitor are rădăcini complexe multiple

10. Să se calculeze integrala nedefinită , .

Descompunem în fractii simple fracţia = +

. Eliminând numitorii obţinem . Identificând coeficienţii aceloraşi

puteri ale lui din cei doi membri ai egalităţii, se obţine sistemul de

ecuaţii cu soluţia .

Aşadar = . Rezultă

378 | Ion MUNTEANU

Calculăm integrala

 = 

4. Calculul derivatei de ordinul n a unor funcţii folosind descompunerea în fracţii simple

1. Să se calculeze derivata de ordinul n pentru funcţia:

, Calculăm derivatele succesive ale lui şi observăm de fiecare dată

care sunt modificările pe care le suferă acestea. Avem:

(la derivata întâi (impar) avem semnul ( ) în faţa liniei de fracţie, la numărător 1, iar numitorul este la pătrat)

(la derivata a doua (par) avem semnul (+) în faţa liniei de fracţie, la numărător 2, iar numitorul este la puterea 2+1=3)

(la derivata a treia (impar) avem semnul ( ) în faţa liniei de fracţie, la numărător , iar numitorul este la puterea 3+1=4)

Putem formula că . Pentru demonstraţie utilizăm metoda inducţiei matematice.

Verificarea. Pentru , este adevărată.

Demonstraţia. Presupunem formula adevărată pentru şi o demon‑

străm pentru , adică să arătăm că

. Dar

379Teorema de descompunere a fracţiilor raţionale în fracţii raţionale simple |

= . Deci formula este adevărată pentru orice natural.

2. Să se calculeze derivata de ordinul n pentru funcţia:

,

Orice tentativă de a proceda ca la problema anterioară nu duce la nici un rezultatdeoarece expresiile derivatelor succesive nu sugerează o anume expresie pentru . Într‑adevăr

,

,

. Expresiile de la numărători sunt polinoame cu acelaşi grad cu ordinul derivatei dar coeficienţii nu sunt uşor de găsit.

Vom descompune fracţia în fracţii simple. Punem

Eliminând numitorii obţinem . Pentru

rezultă iar pentru rezultă B . Deci

. Folosind problema anterioară avem

Bibliografie:

[1] Albu, T., Ţena, M., Descompunerea în fracţii simple, G.M. 3/1987, pp. 104–114.[2] Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetică şi teoria numerelor, Editura Tehnică,

1976.[3] Ion, I.D., Algebra, E.D.P., Bucureşti, 1991.[4] Năstăsescu, C., Niţă, C., Vraciu, C., Bazele algebrei, vol I, Editura Academiei,

Bucureşti, 1986.[5] Purdea, I., Pop, I., Algebra, Editura Gil, Zalău, 2003.[6] Radu, N. şi colab. Algebră pentru perfecţionarea profesorilor, E.D.P. Bucureşti,

1983.[7] Şafarevici, I.R., Noţiunile fundamentale ale algebrei, Editura Academiei, 1989.