Upload
dinhnhu
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
TentamensLineaire Algebra
2Y650voor
WerktuigbouwkundeBiomedische Technologie
enInstallatietechniek
Laatste wijziging mei 2002J.C. van der Meer
2
Inhoudsopgave
1 Lineaire Algebravoor W en BMT, 2Y650 5
1.1 LEES DIT! Opmerkingen vooraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Deeltentamen A 5 februari 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Deeltentamen B 11 maart 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Tentamen 28 maart 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Tentamen 16 augustus 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Deeltentamen A 20 januari 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Deeltentamen B 27 februari 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Tentamen 17 maart 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 Deeltentamen A 19 januari 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10 Deeltentamen B 2 maart 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11 Tentamen 19 maart 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.12 Deeltentamen A 18 januari 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.13 Deeltentamen B 1 maart 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.14 Tentamen 18 maart 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.15 Tentamen 11 augustus 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.16 Deeltentamen A 20 januari 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.17 Deeltentamen B 24 februari 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.18 Tentamen 10 maart 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.19 Deeltentamen A 25 januari 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.20 Deeltentamen B 5 maart 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.21 Tentamen 16 maart 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.22 Deeltentamen A 24 januari 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.23 Deeltentamen B 7 maart 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
4 INHOUDSOPGAVE
1.24 Tentamen 22 maart 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Oplossingen Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1 Lineaire Algebra
voor W en BMT, 2Y650
1.1 LEES DIT! Opmerkingen vooraf
De volgende paragrafen bevatten steeds 1 tentamen. Door bij een opgave op het woord ’opgave’ teklikken springt men naar de betreffende uitwerking. Aan het eind van iedere uitwerking staat weereen verwijzing naar de betreffende opgave.
Het betreffende tentamen kan men kiezen door op de het desbetreffende tentamen in de inhoudsopgavete klikken. Men kan ook in het linker venster de desbetreffende ’folder’ aanklikken.
Verwijzingen in de uitwerkingen naar boek en studiehandleiding betreffen de druk van het boek en deversie van de studiehandleiding die in het betreffende jaar werden gebruikt. Dit kan dus verschillenvan de huidige versies.
Het onderwerp ’Differentiaalvergelijkingen’ is in 1996-1997 in de plaats gekomen van het onderwerp’Differentievergelijkingen’.
Het onderwerp ’LU-decompositie’ is met ingang van 1998-1999 geschrapt uit de leerstof. M.i.v.dit zelfde jaar is ook de stof van de eerste zes weken gecomprimeerd tot vijf weken. De stof overcoordinatvectoren, basisovergangen en orthogonale vectoren staat bij oudere tentamens dus bij deel-tentamen B.
Bij de tentamens uit 1999 en 2001 zijn geen uitwerkingen opgenomen.
Het onderwerp ’Lineaire afbeeldingen’ is met ingang van 2001-2002 geschrapt uit de leerstof. Metingang van dit jaar is ook een hoofdstuk (week 1) toegevoegd over lijnen en vlakken. De leerstof overcoordinatvectoren, basisovergangen en orthogonale vectoren en -ruimtes is weer naar deel B geschoven.
Bij het printen kan het gebeuren dat bepaalde wiskundige symbolen niet goed worden weergegeven.Dit hangt vermoedelijk samen met de printersoftware op de door u gebruikte printer.
De uitwerkingen worden verstrekt als extra service. Aan deze uitwerkingen kunnen geen rechten worden
ontleend.
5
6 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.2 Deeltentamen A 5 februari 1996
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 5 februari 1996, 14.00 –15.30 uur.
Open vragenOpgave 1a.: 4 punten Opgave 2a.: 5 punten
1b.: 4 punten 2b.: 4 puntenOpgave 3 : 7 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
Open vragen
1.2.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 1 4 1 20 1 2 1 10 0 0 1 22 1 6 0 1
b =
3213
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
1.2.2 Opgave
a. Bepaal de regressiekromme b = α + βt bij de waarnemingent 3 4 5 6 7b 2 3 2 4 3
b. Bepaal de projectie van de vector b = (2, 3, 2, 4, 3)T op de kolommenruimte van de matrix
A =
1 31 41 51 61 7
.
1.2.3 Opgave Veronderstel dat S = {x1, x2, x3} een lineair onafhankelijk stel vectoren is in een vectorruimteV . Ga na of het stel vectoren T = {y
1, y
2, y
3}, met y
1= x1 + x2, y2
= x1 + x3, y3= x2 + x3,
onafhankelijk dan wel afhankelijk is.Motiveer uw antwoord.
z.v.b.
Sectie 1.2: Deeltentamen A 5 februari 1996 7
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 5 februari 1996, 14.00 – 15.30 uur. ∗
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.2.4 Opgave Van de matrix
A =
0 0 1 − 3 22 − 1 4 2 14 − 2 9 1 42 − 1 5 − 1 5
is met Matlab de volgende rijgereduceerde trapvorm bepaald
rref(A) =
1 − 0.5 0 7 00 0 1 − 3 00 0 0 0 10 0 0 0 0
.
a. Geef de rang van A.
Antwoord:
b. Geef een basis voor de nulruimte van A.
Antwoord:
c. Geef een basis voor de kolommenruimte van A.
Antwoord:
z.o.z.
8 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 5 februari 1996, 14.00 – 15.30 uur. ∗
1.2.5 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 4.
a. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 + b1 + 2a1 c2 + b2 + 2a2 c3 + b3 + 2a3
Antwoord:
b. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix 3a1 c1 b1
3a2 c2 b2
3a3 c3 b3
Antwoord:
1.2.6 Opgave A is een m× 5 matrix met rang (A) = 2 en dim (N (AT )) = 2.
a. Geef de dimensie van nulruimte N (A).
Antwoord:
b. Geef de afmetingen van A.
Antwoord:
c. Gegeven is dat Ax = b een oplossing heeft. Wat is de rang van de uitgebreide coefficientenmatrix[A, b]?
Antwoord:
Sectie 1.3: Deeltentamen B 11 maart 1996 9
1.3 Deeltentamen B 11 maart 1996
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op maandag 11 maart 1996, 09.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en drie kort-antwoord vragen.De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aange-geven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Opmerking:Studenten van de lichting 1995/96; i.e. de huidige generatie eerstejaars studenten, die-nen de vragen 1, 2, 3A, 4, 5, 6 te maken.Studenten van de lichtingen 1994/95 of ouder kiezen ofwel voor de vragen 1, 2, 3A, 4,5, 6 ofwel voor de vragen 1, 2, 3B, 4, 5, 6. Deze studenten dienen de keuze 3A of 3Bduidelijk en ondubbelzinnig op de eerste pagina van hun tentamen aan te geven.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leverententamenwerk te leggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dientU te blijven zitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1 : 6 puntenOpgave 2 : 8 puntenOpgave 3Aa.: 6 punten
3Ab.: 4 punten
Opgave 3Ba.: 3 punten3Bb.: 7 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per opgave of onderdeel van een opgave 2 punten worden be-haald.Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z.
10 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.3.1 Opgave Gebruik het Gram-Schmidt orthonormalisatie proces om een orthonormale basis te vindenvoor de deelruimte van R4 met basis
1
− 101
,
2001
,
0010
1.3.2 Opgave De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is de spiegeling t.o.v. het vlak met vergelijking x1−x2 +x3 = 0.Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis op R3 (domein en bereik).
1.3.3 Opgave A =(
− 1 44 5
)
a. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen(x1
x2
)= A
(x1
x2
).
b. Bepaal de 2× 2 matrix eAt.
Sectie 1.3: Deeltentamen B 11 maart 1996 11
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op maandag 11 maart 1996, 09.00 – 10.30 uur.∗
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.3.4 Opgave Beschouw een basis S = {x1, x2} en een basis T = {y1, y
2}. Gegeven is
x1 =(
12
), x2 =
(− 2− 1
)en de overgangsmatrix P van de T -basis naar de S-basis
P =(
1 21 1
)
a. Geef de basisvectoren y1, y
2van basis T .
Antwoord:
b. z is een vector in R2 met zS =(32
). Geef z.
Antwoord:
c. Geef de overgangsmatrix van de S-basis naar de standaardbasis.
Antwoord:
z.o.z.
12 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.3.5 Opgave L : R3 → R3 is de projectie op het vlak gegeven door de vergelijking x1 − x2 = 0.
a. Geef een basis voor de nulruimte van L.
Antwoord:
b. Geef een basis voor de beeldruimte van L.
Antwoord:
c. Geef de eigenwaarden van L met hun algebraısche multipliciteit.
Antwoord:
1.3.6 Opgave Beschouw de deelruimte V van R3 met V =<
102
>
en een vector w =
111
.
a. Geef de projectie van w op V .
Antwoord:
b. Geef de projectie van w op V ⊥.
Antwoord:
Sectie 1.4: Tentamen 28 maart 1996 13
1.4 Tentamen 28 maart 1996
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 28 maart 1996,09.00 – 12.00 uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en vijf kort-antwoord vragen.De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aange-geven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Opmerking:Studenten van de lichting 1995/96; i.e. de huidige generatie eerstejaars studenten, die-nen de vragen 1 t/m 9 en 10A te maken.Studenten van de lichtingen 1994/95 of ouder kiezen ofwel voor de vragen 1 t/m 9 en10A ofwel voor de vragen 1 t/m 9 en 10B. Deze studenten dienen de keuze 10A of 10Bduidelijk en ondubbelzinnig op de eerste pagina van hun tentamen aan te geven.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leverententamenwerk te leggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dientU te blijven zitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 3 punten Opgave 4a.: 2 punten
1b.: 2 punten 4b.: 2 punten1c.: 2 punten 4c.: 2 punten
Opgave 2 : 4 punten Opgave 5a.: 3 puntenOpgave 3a.: 2 punten 5b.: 4 punten
3b.: 2 puntenOpgave 3c.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per opgave of onderdeel van een opgave 2 punten worden be-haald.Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.
z.o.z.
14 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.4.1 Opgave
a. Geef de algemene oplossing van het stelsel Ax = b met
A =
1 2 1 31 1 − 2 13 1 1 − 1
en b =
1381
b. Geef een basis voor de nulruimte van A.
c. Geef een basis voor de kolommenruimte van A.
1.4.2 Opgave Bepaal de regressiekromme b = α + βt bij de waarnemingen
t 0 1 2 3 4b 0 9 9 25 47
1.4.3 Opgave Beschouw de verzameling S in R4 van alle oplossingen van de vergelijkingx1 + x2 + x3 − x4 = 0.
a. Bepaal een basis voor S.
b. Bepaal een basis voor het orthogonaal complement S⊥ van S.
c. Schrijf de vector b =
1111
als b1 + b2 met b1 in S en b2 in S⊥.
1.4.4 Opgave Zij L : R2 → R2 een lineaire afbeelding.Een basis S = {x1, x2} is gegeven door x1 =
(12
)en x2 =
(1− 1
).
De matrix A van L ten opzichte van de basis S op doemein en bereik is A =(
2 − 3− 1 4
).
a. Bereken (L(x1))S en (L(x2))S .
b. Bereken L(x1) en L(x2).
c. Bereken L((− 2
3
)).
1.4.5 Opgave Beschouw de matrix A =
0 0 − 20 − 2 0
− 2 0 3
.
a. Bepaal de eigenwaarden van A.
b. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van A.
Sectie 1.4: Tentamen 28 maart 1996 15
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 28 maart 1996,09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.4.6 Opgave Voor de 4× 4 matrices van A en B geldt dat det(A) = 3 en det(B) = 5.Bepaal det(2A2BT B−1).
Antwoord:
1.4.7 Opgave A is een 11× 13 matrix met rang (A) = 9.
a. Geef de dimensie van N (A).
Antwoord:
b. Geef de dimensie van N (AT ).
Antwoord:
c. Bepaal of de kolommen van A onafhankelijk dan wel afhankelijk zijn.
Antwoord:
d. Gegeven is dat Ax = b geen oplossingen heeft.Wat is de rang van de uitgebreide coefficientenmatrix [A, b]?
Antwoord:
z.o.z.
16 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.4.8 Opgave Beschouw de matrix
A =
1√3
1√6
a
1√3
1√6
b
1√3
− 2√6
c
Geef getallen a, b, c zodanig dat A een orthogonale matrix is.
Antwoord:
1.4.9 Opgave Van een matrix A is de LU -decompositie bepaald. De matrix A en de resulterende matricesL en U zijn:
A =
-0.2500 -0.5000 0.3750 0.2500
0.8750 0.5000 1.5000 -0.8750
0.1250 0.5000 -0.7500 -0.8750
0.2500 -0.2500 1.3125 -0.7500
-0.3750 0.5000 -2.2500 1.1250
L =
-0.2857 -0.5000 0 -0.3051 1.0000
1.0000 0 0 0 0
0.1429 0.6000 -0.3338 1.0000 0
0.2857 -0.5500 1.0000 0 0
-0.4286 1.0000 0 0 0
U =
0.8750 0.5000 1.5000 -0.8750
0 0.7143 -1.6071 0.7500
0 0 0.0000 -0.0875
0 0 0 -1.2292
0 0 0 0
a. Geef een permutatiematrix P zo dat PL een zuivere onderdriehoeksmatrix is.
Antwoord:
b. Geef de determinant van L.
Antwoord:
Sectie 1.4: Tentamen 28 maart 1996 17
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 28 maart 1996,09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.10 Opgave Gegeven zijn van een 2× 2 matrix A de eigenruimten bij de eigenwaarden 2 en − 4 van A:
E2 =<
(1− 1
)> , E−4 =<
(21
)> .
a. Geef de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax.
Antwoord:
b. Geef de oplossing van het beginwaardeprobleem x = Ax met x1(0) = 8 en x2(0) = 1.
Antwoord:
18 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.5 Tentamen 16 augustus 1996
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op vrijdag 16 augustus 1996,09.00 – 12.00 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en vijf kort-antwoord vragen.De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aange-geven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Opmerking:Studenten van de lichting 1995/96; i.e. de huidige generatie eerstejaars studenten, die-nen de vragen 1 t/m 8 en 9A te maken.Studenten van de lichtingen 1994/95 of ouder kiezen ofwel voor de vragen 1 t/m 8 en 9Aofwel voor de vragen 1 t/m 8 en 9B. Deze studenten dienen de keuze 9A of 9B duidelijken ondubbelzinnig op de eerste pagina van hun tentamen aan te geven.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leverententamenwerk te leggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dientU te blijven zitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 3 punten Opgave 3a.: 5 punten
1b.: 2 punten 3b.: 3 puntenOpgave 2a.: 3 punten Opgave 4a.: 4 punten
2b.: 3 punten 4b.: 3 punten2c.: 2 punten2d.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per opgave of onderdeel van een opgave 2 punten worden be-haald.Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.
z.o.z.
Sectie 1.5: Tentamen 16 augustus 1996 19
Open vragen
1.5.1 Opgave A =
1 4 34 6 23 2 6
a. Bepaal een LU-decompositie voor A.
b. Is A positief definiet? Verklaar uw antwoord.
1.5.2 Opgave Gegeven zijn de vectoren
v1 =
112
− 3
, v2 =
1113
, v3 =
224
− 6
, v4 =
− 3− 3− 6
9
, b =
− 1− 1− 1− 3
.
a. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking
λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0 .
b. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking
λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = b .
c. Zijn de vectoren v1 t/m v4 onafhankelijk?
d. Geef een basis voor het opspansel < v1, v2, v3, v4 > in termen van de oorspronkelijke vectorenv1 t/m v4.
1.5.3 Opgave
a. Bepaal de regressiekormme b = α + βt bij de waarnemingent 2 3 4 5 6b 3 4 3 4 5
b. Bepaal de projectie van de vector b = (3, 4, 3, 4, 5)T op de kolommenruimte van de matrix
A =
1 21 31 41 51 6
.
1.5.4 Opgave
a. Gebruik het Gram-Schmidt orthonormalisatieproces om een orthonormale basis te vinden voorde deelruimte van R3 met basis
{
1− 1
0
,
201
} .
b. Geef een orthonormale basis voor R3 die de bij a. gevonden basisvectoren bevat.
20 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op vrijdag 16 augustus 1996,09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.5.5 Opgave Zij L : R2 → R2 een lineaire afbeelding.
Een basis S = {x1, x2} is gegeven door x1 =(
1− 1
), x2 =
(01
).
De matrix A van L t.o.v. de basis S op domein en bereik is A =(
1 2− 2 3
).
a. Bepaal (L(x1))S .
Antwoord:
b. Bepaal (L(x1 + x2))S .
Antwoord:
c. Bepaal L(x1) en L(x2).
Antwoord:
d. Geef de matrix van L t.o.v. de standaardbasis op domein en bereik.
Antwoord:
1.5.6 Opgave Voor de 3× 3 matrices A en B geldt dat det(A) = 5 en det(B) = 25. Bepaaldet(3AAT B−1).
Antwoord:
1.5.7 Opgave A is een 4× 7 matrix met dim(R(AT )) = 3.
a. Geef rang(A).
Antwoord:
Sectie 1.5: Tentamen 16 augustus 1996 21
b. Geef de dimensie van de nulruimte N (A).
Antwoord:
z.o.z.
22 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.5.8 Opgave Voor de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
geldt det(A) = 4. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix a1 a2 a3
3c1 3c2 3c3
3b1 3b2 3b3
.
Antwoord:
1.5.9 Opgave Gegeven zijn van een 2× 2 matrix A de eigenruimten bij de eigenwaarden 2 en − 3 van A:
E2 =<
(2− 1
)> , E−3 =<
(11
)> .
a. Geef de algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax.
Antwoord:
b. Geef de oplossing van het beginwaardeprobleem x = Ax met x1(0) = 7 en x2(0) = 1.
Antwoord:
Sectie 1.6: Deeltentamen A 20 januari 1997 23
1.6 Deeltentamen A 20 januari 1997
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 20 januari 1997, 14.00 –15.30 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en drie kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 4 punten Opgave 2a.: 4 punten
1b.: 2 punten 2b.: 4 punten1c.: 2 punten
Opgave 3a.: 3 punten Opgave 4 : 4 punten3b.: 3 punten3c.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z
24 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.6.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 2 3 11 3 0 11 0 2 1
b =
873
a. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal een basis voor de nulruimte van A.
c. Bepaal een basis voor de kolommenruimte van A.
1.6.2 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
2 3 44 5 104 8 2
b =
6162
a. Bepaal een LU -decompositie voor de matrix A.
b. Los het stelsel Ux = L−1b op.
1.6.3 Opgave Gegeven zijn de waarnemingent -5 -3 1 2 3b 3 1 -2 0 -2
a. Bepaal bij deze waarnemingen de regressiekromme b = γt.
b. Bepaal bij deze waarnemingen de regressiekromme b = α + βt.
c. Toon aan dat de bij onderdeel b. verkregen kromme een betere kleinst-kwadratenbenadering isdan de bij onderdeel a. verkregen kromme.
1.6.4 Opgave Van de n× n matrix A en de vector b ∈ Rn is gegeven dat het stelsel Ax = b regulier is.Toon aan dat voor elke reguliere n× n matrix B het stelsel BAx = b regulier is.
z.v.b.
Sectie 1.6: Deeltentamen A 20 januari 1997 25
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 20 januari 1997, 14.00 – 15.30 uur. ∗
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.6.5 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 4.Bepaal de waarde van de determinant van de matrix a2 a1 a3
b2 b1 b3
2(c2 + b2) 2(c1 + b1) 2(c3 + b3)
Antwoord:
1.6.6 Opgave Van de 5× 5 matrices A en B is geven dat det(A)=3 en det(B)=5.Bepaal det(2AT B3A−1).
Antwoord:
z.o.z.
26 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.6.7 Opgave Voor een matrix A en een vector b is met Matlab de rijgereduceerde trapvorm bepaald vande uitgebreide coefficientenmatrix [A|b].
rref([A, b]) =
1 0 0.5 0 1 2.50 1 0.5 0 0 2.50 0 0 1 1 40 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
a. Zijn de kolommen van A onafhankelijk?
Antwoord:
b. Heeft het stelsel Ax = b geen, precies een, of oneindig veel oplossingen?
Antwoord:
c. Geef de rang van A.
Antwoord:
d. Geef de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
Sectie 1.7: Deeltentamen B 27 februari 1997 27
1.7 Deeltentamen B 27 februari 1997
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op donderdag 27 februari 1997, 9.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en vier kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1.: 6 puntenOpgave 2.: 6 puntenOpgave 3.: 6 puntenOpgave 4.: 6 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z
28 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.7.1 Opgave In de R3 is gegeven een basis
S =
2
11
,
102
,
−122
Van de lineaire afbeelding L : R3 → R2 is de matrix t.o.v. de basis S op het domein en de standaard-basis E op het bereik gegeven door:
A =(
2 −1 −10 1 −1
)Bepaal de matrix B van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
1.7.2 Opgave Gebruik het Gram-Schmidt orthonormalisatieproces om een orthonormale basis te vindenvoor de deelruimte van R4 gegeven door
V =<
00
−11
,
1001
,
10
−10
> .
1.7.3 Opgave Gegeven is de diagonaliseerbare matrix
A =(
−2 11 −2
)Bepaal de 2× 2 matrix eAt.
1.7.4 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax met
A =(
2 −45 6
)Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
z.v.b.
Sectie 1.7: Deeltentamen B 27 februari 1997 29
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op donderdag 27 febuari 1997, 9.00 – 10.30 uur. ∗
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.7.5 Opgave Beschouw de matrix A met respectievelijke kolommena1, a2, a3, a4. Gegeven is dat
AT A =
4 0 0 50 2 0 00 0 9 05 0 0 3
a. Geef de lengte van de vectoren a1 en a3.
Antwoord:
b. Zijn de vectoren a1 t/m a5 onderling orthogonaal?
Antwoord:
c. Geef de projectie van a1 op a4.
Antwoord:
1.7.6 Opgave Gegeven zijn een basis S = {x1, x2, x3} van R3 en een basis T = {y1, y
2} van R2 met
x1 =
1−1
0
, x2 =
121
, x3 =
101
en
y1
=(
12
), y
2=(
1−1
).
De matrix A van de lineaire afbeelding L : R3 → R2 t.o.v. de basis S op het domein en de basis T ophet bereik is
A =(
1 2 1−1 1 0
)
a. Bepaal [L(x1)]T .
Antwoord:
30 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. Bepaal L(x1).
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.7: Deeltentamen B 27 februari 1997 31
1.7.7 Opgave Beschouw de afbeelding L : R4 → R3 gegeven door
L(
x1
x2
x3
x4
) =
3 0 2 40 2 3 00 0 0 1
x1
x2
x3
x4
.
a. Is L injectief?
Antwoord:
b. Is L surjectief?
Antwoord:
1.7.8 Opgave Van een reele symmetrische 3× 3 matrix A is gegeven dat:- dim(N (A))=1- Tr(A)=1- A heeft een eigenwaarde 2Geef alle eigenwaarden van A.
Antwoord:
32 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.8 Tentamen 17 maart 1997
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W en W-verkort (2Y650, 2Y651) op maandag 17 maart1997, 09.00 – 12.00 uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en zes kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 4 punten Opgave 3a.: 3 punten
1b.: 3 punten 3b.: 2 punten1c.: 2 punten 3c.: 3 punten1d.: 2 punten Opgave 4a.: 6 punten
Opgave 2a.: 4 punten 4b.: 2 punten2b.: 3 punten Opgave 5 : 6 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per opgave of onderdeel van een opgave 2 punten worden be-haald.Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 6 te delen.
z.o.z
Sectie 1.8: Tentamen 17 maart 1997 33
Open vragen
1.8.1 Opgave Beschouw de matrix A en de vector b gegeven door
A =
1 3 − 2 0 02 6 − 5 − 2 − 30 0 5 10 152 6 0 8 18
en b =
0
− 156
.
a. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = 0.
c. Bepaal een basis voor de kolommenruimte van A.
d. Zijn de kolommen van A onafhankelijk?
1.8.2 Opgave
a. Bepaal de regressiekromme b = α + βt + γt2 bij de waarnemingen
t - 1 0 1 2b 8 8 4 16
b. Gegeven zijn de matrix A en de vector c met
A =
1 − 1 11 0 01 1 11 2 4
en c =
884
16
Bepaal de projectie van c op de kolommenruimte van A.
1.8.3 Opgave Beschouw de deelruimte S in R4 van alle oplossingen van de vergelijkingx1 − x2 + x3 − x4 = 0.
a. Bepaal een orthonormale basis voor S.
b. Bepaal een basis voor het orthogonaal complement S⊥ van S.
c. Schrijf de vector b =
2
− 133
als b1 + b2 met b1 in S en b2 in S⊥.
1.8.4 Opgave Gegeven is de matrix
A =
0 2 22 1 02 0 − 1
a. Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren van A.
b. Is de matrix A positief definiet?
1.8.5 Opgave Van een reele 2× 2 matrix A is gegeven dat Az = λz met λ = −2 + 3i en z =(
1− i
).
Bereken een expliciete uitdrukking voor de 2× 2 matrix eAt.
34 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W en W-verkort (2Y650, 2Y651) op maandag 17 maart 1997, 09.00– 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.8.6 Opgave A is een 8× 5 matrix met rang (A) = 4.
a. Geef de dimensie van de kolommenruimte van A.
Antwoord:
b. Geef de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
c. Geef de dimensie van de nulruimte van AT .
Antwoord:
1.8.7 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, det(A)=5. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix a1 a3 a2
b1 b3 b2
3c1 3c3 3c2
.
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.8: Tentamen 17 maart 1997 35
1.8.8 Opgave Voor de 4× 4 matrices van A en B geldt dat det(A) = 2 en det(B) = 3.Bepaal det(3B−1AT B2).
Antwoord:
1.8.9 Opgave Zij L : R4 → R3 de lineaire afbeelding gedefinieerd door
L(
xyzw
) =
x + yy − zz − w
.
a. Is L surjectief?
Antwoord:
b. Geef de dimensie van ker(L).
Antwoord:
1.8.10 Opgave Beschouw bases S = {x1, x2, x3} en T = {y1, y
2, y
3} van R3 met
x1 =
101
, x2 =
110
, x3 =
001
.
De overgangsmatrix van basis T naar basis S is 1 1 22 1 1
− 1 − 1 1
a. Bepaal de vector y
2.
Antwoord:
b. Geef de overgangsmatrix van de basis S naar de standaardbasis.
Antwoord:
36 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W en W-verkort (2Y650, 2Y651) op maandag 17 maart 1997, 09.00– 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.11 Opgave Van de matrix A is gegeven dat A = SΛS−1 met
S =
3 2 14 4 12 1 1
en Λ =
− 3 0 00 1 00 0 5
.
Geef de algemene reele oplossing van de differentiaalvergelijking x = Ax.
Antwoord:
Sectie 1.9: Deeltentamen A 19 januari 1998 37
1.9 Deeltentamen A 19 januari 1998
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 19 januari 1998, 9.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en vijf kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de open vragen kunnen per onderdeel van een opgave 3 punten worden behaald, terwijl voorde kort-antwoordvragen per onderdeel van een opgave 2 punten kunnen worden behaald. Het cijferwordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z
38 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.9.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 1 2 0 11 2 0 1 01 1 2 1 1
b =
321
a. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal een basis voor de nulruimte van A.
c. Bepaal een basis voor de kolommenruimte van A.
1.9.2 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 1 11 5 31 3 1
b =
642
a. Los het stelsel Ax = b op.
b. Bepaal een LU -decompositie voor de matrix A.
c. Is de matrix A positief-definiet?
1.9.3 Opgave Gegeven zijn de waarnemingen
t -2 -1 0 1b 4 1 3 2
a. Bepaal bij deze waarnemingen de regressiekromme b = α + βt.
b. Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
−1 −20 −11 02 1
b =
4132
Bepaal de vector p in R(A) waarvan de afstand tot b minimaal is.
z.v.b.
Sectie 1.9: Deeltentamen A 19 januari 1998 39
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 19 januari 1998, 9.00 – 10.30 uur. ∗
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.9.4 Opgave Gegeven zijn de matrices
A =
5 −8 75 1 210 8 −4
B =
5 −8 70 9 −50 24 −18
Bepaal de matrix E zodat EA = B.
Antwoord:
1.9.5 Opgave Van twee 10 × 10 matrices A en B is gegeven dat det A = 2 en detB = 3. Bepaaldet(2(−A)AT B3).
Antwoord:
1.9.6 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de determinant bekend, det(A) = 3. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix b1 b2 2(b3 − b2)
a1 a2 2(a3 − a2)c1 c2 2(c3 − c2)
Antwoord:
1.9.7 Opgave Van een 4× 4 matrix A is gegeven dat
A
1212
=
1000
, A
−24−23
=
0100
,
A
4−2−31
=
0010
, A
7−125
=
0001
40 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
a. Wat is de rang van A?
Antwoord:
b. Bepaal A−1 (als deze bestaat).
Antwoord:
1.9.8 Opgave Voor een matrix A en een vector b is met MATLAB de rijgereduceerde trapvorm bepaaldvan de uitgebreide coefficientenmatrix [A | b ].
rref([A | b ]) =
1 0 2 3 0 10 1 4 0 0 20 0 0 0 1 30 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
a. Heeft het stelsel Ax = b geen, precies een, of oneindig veel oplossingen?
Antwoord:
b. Geef de rang van A.
Antwoord:
c. Geef de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
Sectie 1.10: Deeltentamen B 2 maart 1998 41
1.10 Deeltentamen B 2 maart 1998
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op maandag 2 maart 1998, 09.00 – 10.30uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en vier kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.a.: 5 punten1.b.: 4 punten
Opgave 2.a.: 5 punten2.b.: 5 punten
Opgave 3.: 5 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z.
42 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.10.1 Opgave In de R3 is gegeven een basis
S =
1
10
,
111
,
011
Van de lineaire afbeelding L : R3 → R3 is de matrix A t.o.v. de basis S op het domein en destandaardbasis E op het bereik gegeven door
A =
0 1 21 1 32 3 0
a. Bepaal de matrix B van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
b. Is de lineaire afbeelding L symmetrisch? Motiveer uw antwoord.
1.10.2 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R4 gegeven door
V = {x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}
a. Bepaal een orthonormale basis voor V .
b. De lineaire afbeelding L : R4 → R4 is de projectie op V . Bepaal de matrixvoorstelling A van Lt.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
1.10.3 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
3 −24 −3
)Bepaal de oplossing die voldoet aan
x(0) =(
10
)
z.v.b.
Sectie 1.10: Deeltentamen B 2 maart 1998 43
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op maandag 2 maart 1998, 09.00 – 10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.10.4 Opgave Van een reele symmetrische 4× 4 matrix A is gegeven dat:dim(N (A))=1,Tr(A)=4,A heeft precies drie verschillende eigenwaarden,A heeft een eigenwaarde 2.Geef alle eigenwaarden van A.
Antwoord:
1.10.5 Opgave In R3 beschouwen we een basis S en de standaardbasis E. De overgangmatrix PE←S van Snaar E is
PE←S
3 5 01 2 00 0 1
met P−1E←S =
2 −5 0−1 3 0
0 0 1
.
Verder beschouwen we een lineaire afbeelding L : R3 → R2 waarvan de matrix A t.o.v. de basis S ophet domein en de standaardbasis E op het bereik gegeven is door:
A =(
2 1 11 1 2
).
a. Bepaal een basis van de nulruimte van de lineaire afbeelding L, uitgedrukt in coordinaten t.o.v.de standaardbasis.
Antwoord:
b. Bepaal een basis van de beeldruimte van de lineaire afbeelding L, uitgedrukt in coordinatent.o.v. de standaardbasis E.
Antwoord:
z.o.z.
44 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
c. Laat de vector x t.o.v. de standaardbasis gegeven zijn door (x)E = (8, 3, 1)T . Bepaal het beeldvan x, uitgedrukt t.o.v. de standaardbasis.
Antwoord:
1.10.6 Opgave Beschouw de matrix A met respectievelijke kolommena1, a2, a3, a4. Gegeven is dat
AT A =
1 0 0 −10 1 0 20 0 1 −3
−1 2 −3 2
a. Geef de lengte van de vector a4.
Antwoord:
b. Zijn de vectoren a1 t/m a3 onderling orthogonaal?
Antwoord:
c. Geef de projectie van a4 op 〈a1, a2, a3〉
Antwoord:
1.10.7 Opgave A is een 3 bij 3 matrix met eigenwaarden 0, 1 en −2. Geef de eigenwaarden van A − I(waarbij I de eenheidsmatrix voorstelt).
Antwoord:
Sectie 1.11: Tentamen 19 maart 1998 45
1.11 Tentamen 19 maart 1998
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 19 maart 1998, 9.00 - 12.00uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en vijf kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.a.: 2 punten Opgave 3.a.: 3 punten1.b.: 3 punten 3.b.: 2 punten1.c.: 2 punten Opgave 4.a.: 3 punten1.d.: 2 punten 4.b.: 3 punten
Opgave 2.a.: 3 punten 4.c.: 2 punten2.b.: 3 punten Opgave 5.: 3 punten2.c.: 2 punten2.d.: 3 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 6 te delen.
z.o.z.
46 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.11.1 Opgave Van een matrix A is de volgende decompositie bekend: A = KU , met
K =
1 0 1 02 0 0 13 1 0 04 0 0 0
, U =
1 0 0 1 00 0 1 3 20 0 0 0 00 0 0 0 1
a. Bepaal een permutatiematrix P en een onderdriehoeksmatrix L zodanig dat PA = LU .
b. Bepaal een basis voor de kolommenruimte van A.
c. Bepaal alle oplossingen van het stelsel Ax = 0.
d. Voor welke vectoren b heeft het stelsel Ax = b ten minste een oplossing?
1.11.2 Opgave Voor R3 zijn twee bases gegeven, de standaardbasis E = {e1, e2, e3}, en de basis S ={s1, s2, s3}, met
s1 = e1 + e2, s2 = e1 + e3, s3 = e2 + e3
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 wordt gegeven door
L(s1) = 2s1
L(s2) = s1 + s2
L(s3) = s1 − s3
a. Bepaal de matrix A van de afbeelding L t.o.v. de basis S op domein en bereik.
b. Bepaal de overgangsmatrices van S naar E en van E naar S.
c. Bepaal de matrix B van de afbeelding L t.o.v. de basis E op het domein en de basis S op hetbereik.
d. Bepaal voor L de eigenwaarden alsmede de bijbehorende eigenruimten in coordinaten t.o.v. debasis E.
1.11.3 Opgave Van twee grootheden t en h zijn de volgende waarnemingen bekend:
t 0 1 2 3h 2 1 0 1
Het verband tussen beide grootheden kan men beschrijven met behulp van het volgende model:
h = α + βt + γt2
a. Bereken, met behulp van de kleinste kwadratenmethode, een schatting voor de parameters α, βen γ.
b. Laat de lineaire deelruimte U van R4 gegeven zijn door
U = 〈
1111
,
−1012
,
−1038
〉Bepaal voor de vector b = (2 1 0 1)T vectoren u ∈ U , v ∈ U⊥ zodanig dat b = u + v.
Sectie 1.11: Tentamen 19 maart 1998 47
1.11.4 Opgave Van een symmetrische matrix A is gegeven dat dat −1,1 en 2 eigenwaarden zijn, met
E−1 = 〈
101
〉, E1 = 〈
010
〉, E2 = 〈
10−1
〉a. Bepaal de spectrale decompositie van A.
b. Bepaal eAt.
c. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking x = Ax die voldoet aan
x(1) =
111
1.11.5 Opgave Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking x = Ax, waar
A =
1 1 13 −1 00 0 0
z.v.b.
48 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Sectie 1.11: Tentamen 19 maart 1998 49
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 19 maart 1998, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.11.6 Opgave A is een 10× 5 matrix waarvan de dimensie van de nulruimte gelijk is aan 3.
a. Geef de rang van AT .
Antwoord:
b. Geef de dimensie van de kolommenruimte van A.
Antwoord:
c. Geef de dimensie van de nulruimte van AT .
Antwoord:
1.11.7 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, detA = 8. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix
a1 −a3 0 2a2
0 0 3 0b1 −b3 0 2b2
c1 −c3 0 2c2
Antwoord:
1.11.8 Opgave Van de 5 × 5 matrices A en B is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 16 endet(B) = 2. Bepaal det(2A−1(2B)3).
Antwoord:
50 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.11.9 Opgave Beschouw U = 〈u1, u2, u3〉 ⊂ R4, waar
u1 =
1010
, u2 =
0101
, u3 =
1001
a. Geef een orthonormale basis voor U .
Antwoord:
Laat u4 ∈ R4 gegeven zijn door u4 = (1 1 − 1 − 1)T . De lineaire afbeelding L : R4 → R4 wordt t.o.v.de basis {u1, u2, u3, u4} op het domein en de standaardbasis op het bereik gegeven door de matrix
A =
1 0 1 −10 1 0 −11 0 0 10 1 1 1
b. Geef een meetkundige interpretatie van L.
Antwoord:
c. Geef de eigenwaarden en bijbehorende eigenruimten van L.
Antwoord:
d. Geef de matrix B van L t.o.v. de basis {u1, u2, u3, u4} op domein en bereik.
Antwoord:
z.v.b.
Sectie 1.11: Tentamen 19 maart 1998 51
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 19 maart 1998, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.10 Opgave De 3× 3 matrices S en Λ zijn gegeven door
S =
1 0 02 1 03 2 1
, Λ =
1 0 00 1 00 0 0
Verder is S inverteerbaar, met
S−1 =
1 0 0−2 1 01 −2 1
De matrix A is gegeven door A = S−1ΛS.
a. Bepaal de eigenwaarden van A.
Antwoord:
b. Bepaal de eigenruimten van A.
Antwoord:
c. Bepaal de rang van A.
Antwoord:
52 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.12 Deeltentamen A 18 januari 1999
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 18 januari 1999, 9.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en vier kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 4 punten Opgave 2: 5 punten
1b.: 3 punten Opgave 3a.: 2 punten1c.: 2 punten 3b.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 3 te delen.
Open vragen
1.12.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 1 4 1 20 1 2 1 10 0 0 1 21 0 2 0 1
b =
3211
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A).
1.12.2 Opgave Bepaal de regressiekromme b = α + βt bij de waarnemingent 3 4 5 6 7b 2 3 2 4 3
z.o.z.
Sectie 1.12: Deeltentamen A 18 januari 1999 53
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 18 januari 1999, 9.00 –10.30 uur.
1.12.3 Opgave Beschouw een basis S = {x1, x2} en een basis T = {y1, y
2} van R2. Gegeven is
x1 =(
12
), x2 =
(01
)en y
1=(
11
), y
2=(
23
)
a. Bepaal de coordinaatvector vT van v =(
15
)t.o.v. de basis T .
b. Bepaal de overgangsmatrix PS←T van de basis T naar de basis S.
z.v.b.
54 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 18 januari 1999, 9.00 –10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.12.4 Opgave Van de matrix
A =
0 0 1 − 3 22 − 1 4 2 14 − 2 9 1 42 − 1 5 − 1 5
is met Matlab de volgende rijgereduceerde trapvorm bepaald
rref(A) =
1 − 0.5 0 7 00 0 1 − 3 00 0 0 0 10 0 0 0 0
.
a. Geef de rang van A.
Antwoord:
b. Geef de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
c. Geef een basis voor de kolommenruimte van A uitgedrukt in de kolommen van A.
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.12: Deeltentamen A 18 januari 1999 55
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op maandag 18 januari 1999, 9.00 –10.30 uur.
1.12.5 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 4. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix b1 b2 b3
a1 a2 a3
c1 + 2a1 c2 + 2a2 c3 + 2a3
Antwoord:
1.12.6 Opgave Van de 3× 3 matrices A en B is geven dat det(A)=4 en det(B)= 12 .
Bepaal det(2AT B2A−1).
Antwoord:
1.12.7 Opgave Geef een orthonormale basis voor de deelruimte van R3 met basis {
102
,
201
}.
Antwoord:
56 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.13 Deeltentamen B 1 maart 1999
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen B Lineaire Algebra voor W/BMT (2Y658) op maandag 1 maart 1999,09.00 — 10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en vier kort-antwoord-vragen. De kort-antwoord-vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.
Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert uw naam, identiteitsnummer en studierichting. De vellen met kort-antwoord-vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen:
Vraagstuk 1a: 2 punten Vraagstuk 2a: 2 punten Vraagstuk 3a: 2 puntenVraagstuk 1b: 2 punten Vraagstuk 2b: 2 punten Vraagstuk 3b: 2 puntenVraagstuk 1c: 2 punten Vraagstuk 2c: 2 punten
Vraagstuk 2d: 2 punten
Voor de kort-antwoord-vragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 3 te delen.
z.o.z.
Sectie 1.13: Deeltentamen B 1 maart 1999 57
Deeltentamen B Lineaire Algebra voor W/BMT (2Y658) op maandag 1 maart 1999, 09.00 — 10.30uur.
Open vragen:
1.13.1 Opgave Beschouw de symmetrische matrix A =
3 0 00 1 30 3 1
.
1. Bepaal de eigenwaarden van A.
2. Bepaal de bijbehorende eigenvectoren van A.
3. Bepaal een spectrale decompositie van A, d.w.z. bepaal een orthonormale matrix Q en eendiagonaalmatrix D, zo dat
A = QDQT .
1.13.2 Opgave Beschouw de matrix A =(−4 5−2 3
).
1. Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking x = Ax.
2. Bereken etA.
3. Beschouw de oplossing van de differentiaalvergelijking x = Ax, met beginwaarde x(1) =(
11
).
Bereken x(4).
4. Bepaal de algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking
x = Ax + e3tv, met v =(−14
).
1.13.3 Opgave In R2 zijn gegeven de bases S = {s1, s2} en E = {e1, e2}, met s1 =(
23
), s2 =
(01
),
e1 =(
10
)en e2 =
(01
). Van de lineaire afbeelding L : R2 −→ R2 is gegeven dat
Ls1 = 5s1 + s2,
Ls2 = s1 − 3s2.
1. Bepaal de matrix van L t.o.v. de basis S op domein en bereik.
2. Bepaal de matrix van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
z.v.b.
58 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen B Lineaire Algebra voor W/BMT (2Y658) op maandag 1 maart 1999, 09.00 — 10.30uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort-antwoord-vragen:
1.13.4 Opgave De 3× 3 matrix B heeft de eigenwaarden λ1 = 2, λ2 = 4 en λ3 = 5, met bijbehorende eigen-
vectoren v1 =
11−3
, v2 =
−205
en v3 =
740
. Bepaal de eigenwaarden en bijbehorende
eigenvectoren van de matrix 3B + 4I.
Antwoord:
1.13.5 Opgave De lineaire afbeelding L : R3 −→ R3 is de loodrechte projectie op het vlak gegeven door devergelijking x1 − 2x2 + x3 = 0.
1. Geef een basis voor de nulruimte van L.
Antwoord:
2. Geef een basis voor de beeldruimte van L.
Antwoord:
3. Geef alle eigenwaarden van L met hun algebraısche multipliciteit.
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.13: Deeltentamen B 1 maart 1999 59
Deeltentamen B Lineaire Algebra voor W/BMT (2Y658) op maandag 1 maart 1999, 09.00 — 10.30uur.
1.13.6 Opgave Bepaal de algemene reele oplossing van de differentiaalvergelijking
y′′ − 4y′ + 5y = 0.
Antwoord:
1.13.7 Opgave Van de reele 2× 2 matrix A zijn de volgende gegevens bekend:
• A is symmetrisch,
• rang(A) = 1,
• A2 = A.
Bepaal de eigenwaarden van A.
Antwoord:
60 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.14 Tentamen 18 maart 1999
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 18 maart 1999, 9.00 - 12.00uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en zes kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.a.: 3 punten Opgave 3.: 4 punten1.b.: 4 punten Opgave 4.a.: 4 punten1.c.: 2 punten 4.b.: 3 punten
Opgave 2.a.: 4 punten 5: 4 punten2.b.: 4 punten2.c.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.
Open vragen
1.14.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
−1 3 0 1 4
1 −3 1 2 −82 −6 2 4 00 0 1 3 −4
b =
4
−72
−3
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A).
z.o.z.
Sectie 1.14: Tentamen 18 maart 1999 61
1.14.2 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R4 gegeven door
V = {x ∈ R4 | x1 + 2x2 + 2x3 = 0}
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is spiegeling in V .
a. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van L.
b. Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
c. Is de lineaire afbeelding L symmetrisch? Motiveer uw antwoord.
1.14.3 Opgave Van twee grootheden t en h zijn de volgende waarnemingen bekend:
t 0 1 2 3h 0 2 3 8
Het verband tussen beide grootheden kan men beschrijven met behulp van het volgende model:
h = αt + βt2
Bereken, met behulp van de kleinste kwadratenmethode, een schatting voor de parameters α en β.
1.14.4 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =
1 1 20 2 02 4 4
a. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de oplossing die voldoet aan
x(0) =
3−2−1
1.14.5 Opgave Gegeven is de matrix
A =(
1 −21 −1
)Bepaal een expliciete reele uitdrukking voor de matrix eAt.
z.v.b.
62 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op donderdag 18 maart 1999, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.14.6 Opgave A is een 5× 7 matrix waarvan de dimensie van de rijenruimte gelijk is aan 4.
a. Geef de rang van AT .
Antwoord:
b. Geef de dimensie van de kolommenruimte van A.
Antwoord:
c. Geef de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
1.14.7 Opgave Van de matrix
A =(
a1 a2
b1 b2
)is de waarde van de determinant bekend, detA = 8. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix 2 0 0
0 a2 a1
0 b2 b1
Antwoord:
1.14.8 Opgave Van de 3 × 3 matrices A en B is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 8 endet(B) = 3. Bepaal det(A−1(2B)2).
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.14: Tentamen 18 maart 1999 63
1.14.9 Opgave De lineaire deelruimte V van R3 is het vlak gegeven door de vergelijking x1 + 2x2 − x3 = 0.Geef een ortonormale basis voor V .
Antwoord:
1.14.10 Opgave Van een reele symmetrische 3× 3 matrix A is gegeven dat:det(A)=0,Tr(A)=3,A heeft een eigenwaarde 1.Geef alle eigenwaarden van A.
Antwoord:
1.14.11 Opgave Van de matrix A zijn de eigenwaarden en bijbehorende eigenruimten berekend:
E2 =<
121
> , E−1 =<
10−1
> , E4 =<
1−11
> .
Er geldt A = SDS−1 met
D =
4 0 00 2 00 0 −1
.
Geef een mogelijke matrix S.
Antwoord:
64 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.15 Tentamen 11 augustus 1999
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op woensdag 11 augustus 1999, 9.00 - 12.00uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en zes kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.a.: 2 punten Opgave 3.: 4 punten1.b.: 3 punten Opgave 4.a.: 3 punten1.c.: 2 punten 4.b.: 3 punten
Opgave 2.a.: 3 punten Opgave 5.a.: 3 punten2.b.: 3 punten 5.b.: 3 punten2.c.: 2 punten 5.c.: 3 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.
Open vragen
1.15.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
0 3 −6 −4 −3−1 3 −10 −4 −4
2 −6 20 2 8
b =
−5−2−8
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A).
z.o.z.
Sectie 1.15: Tentamen 11 augustus 1999 65
1.15.2 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R3 gegeven door
V = {x ∈ R3 | x1 + x2 = 0}
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is loodrechte projectie op V .
a. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van L.
b. Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
c. Is de lineaire afbeelding L symmetrisch? Motiveer uw antwoord.
1.15.3 Opgave Bepaal de regressiekromme b = α + βt bij de waarnemingent 0 1 2 3b 1 2 4 3
1.15.4 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
0 −33 0
)
a. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de oplossing die voldoet aan
x(0) =(
23
)
1.15.5 Opgave Zij L : R2 → R2 een lineaire afbeelding.Een basis S = {x1, x2} is gegeven door x1 =
(12
)en x2 =
(1− 1
).
De matrix A van L ten opzichte van de basis S op domein en bereik is A =(
2 − 3− 1 4
).
a. Bereken (L(x1))S en (L(x2))S .
b. Bereken L(x1) en L(x2).
c. Bereken L((− 2
3
)).
z.v.b.
66 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op woensdag 11 augustus 1999, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.15.6 Opgave A is een 4× 6 matrix waarvan de dimensie van de rijenruimte gelijk is aan 3.
a. Geef de rang van AT .
Antwoord:
b. Geef de dimensie van de kolommenruimte van A.
Antwoord:
c. Geef de dimensie van de nulruimte van A.
Antwoord:
1.15.7 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, detA = 7. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix a3 a2 a1
2b3 2b2 2b1
c3 c2 c3
Antwoord:
1.15.8 Opgave Van de 3 × 3 matrices A en B is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 5 endet(B) = 4. Bepaal det(1
2AT A−1B2).
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.15: Tentamen 11 augustus 1999 67
1.15.9 Opgave Bepaal de algemene reele oplossing van de differentiaalvergelijking
y′′ + y′ − 6y = 0 .
Antwoord:
1.15.10 Opgave Van een reele symmetrische 3× 3 matrix A is gegeven dat:rang(A)=2,Tr(A)=4,A heeft een eigenwaarde 1.Geef alle eigenwaarden van A.
Antwoord:
1.15.11 Opgave Van de matrix A is gegeven dat
eAt =15
(−2e−2t + 7e3t 2e−2t − 2e3t
−7e−2t + 7e3t 7e−2t − 2e3t
).
Geef de oplossing van het beginwaardeprobleem
x = Ax , x(0) =(
ab
).
Antwoord:
68 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.16 Deeltentamen A 20 januari 2000
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 20 januari 2000, 9.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en vijf kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 4 punten Opgave 3a.: 3 punten
1b.: 3 punten 3b.: 3 punten1c.: 3 punten 3c.: 3 punten
Opgave 2: 5 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
Open vragen
1.16.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
3 5 −4 7−3 −2 4 −1
6 1 −8 −4
b =
11−2−5
a. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
b. Bepaal een basis voor R(A).
c. Bepaal een basis voor het orthogonale complement van R(A) in R3.
1.16.2 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 3 51 1 01 1 21 3 3
b =
357
−3
Bepaal de kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b.
z.o.z.
Sectie 1.16: Deeltentamen A 20 januari 2000 69
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 20 januari 2000, 9.00 –10.30 uur.
1.16.3 Opgave Beschouw een basis S = {x1, x2} en een basis T = {y1, y
2} van R2. Gegeven is
x1 =(
1−3
), x2 =
(−2
4
)en y
1=(
−79
), y
2=(
−57
)
a. Bepaal de overgangsmatrix PS←T van de basis T naar de basis S.
b. Bepaal de overgangsmatrix PT←S van de basis S naar de basis T .
c. Bepaal de coordinaatvector vS van v =(
1−1
)t.o.v. de basis S.
z.v.b.
70 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 20 januari 2000, 9.00 –10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.16.4 Opgave Van een matrix A is de rijgereduceerde trapvorm bepaald,
rref(A) =
1 0 1 0 10 1 −2 0 30 0 0 1 −50 0 0 0 0
.
a. Geef de rang van A.
Antwoord:
b. Geef de dimensie van N (A) d.w.z. dim(N (A)).
Antwoord:
1.16.5 Opgave Beschouw een stelsel vergelijkingen Ax = b. A is een 4 × 5-matrix met dim(N (A)) = 2 enrang[A, b] = 4.
a. Heeft het stelsel Ax = 0, geen, precies een, of oneindig veel oplossingen?
Antwoord:
b. Heeft het stelsel Ax = b, geen, precies een, of oneindig veel oplossingen?
Antwoord:
c. Voor welke b is de oplossingsverzameling van het stelsel Ax = b een lineaire deelruimte van deR5 ?
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.16: Deeltentamen A 20 januari 2000 71
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 20 januari 2000, 9.00 –10.30 uur.
1.16.6 Opgave Beschouw in R3 de vectoren a =
111
en b =
123
. Geef de projectie van b op a.
Antwoord:
1.16.7 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 4. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix
2 0 0 03 b1 b2 b3
4 a1 a2 a3
5 c1 c2 c3
Antwoord:
1.16.8 Opgave Van de 3× 3 matrices A en B is gegeven dat det(A)=5 en det(B)=−2.Bepaal det(3A−1BT A2).
Antwoord:
72 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.17 Deeltentamen B 24 februari 2000
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op donderdag 24 februari 2000, 09.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit drie open vragen en drie kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.a.: 2 punten1.b.: 2 punten1.c.: 2 punten1.d.: 2 punten
Opgave 2: 5 puntenOpgave 3.a.: 2 punten
3.b.: 3 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 3 te delen.
z.o.z.
Sectie 1.17: Deeltentamen B 24 februari 2000 73
Open vragen
1.17.1 Opgave Beschouw de symmetrische matrix A =(
4 −3−3 −4
).
a. Bepaal de eigenwaarden van A.
b. Bepaal de bijbehorende eigenvectoren van A.
c. Bepaal een spectrale decompositie van A, d.w.z. bepaal een orthonormale matrix Q en eendiagonaalmatrix D, zo dat
A = QDQT .
d. Bepaal de matrix eAt.
1.17.2 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
2 3−3 2
)Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
1.17.3 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R3 gegeven door
V = {x ∈ R3 | x1 − x2 + 2x3 = 0}
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is loodrechte projectie op V .
a. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van L.
b. Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
z.v.b.
74 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op donderdag 24 februari 2000, 09.00 – 10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.17.4 Opgave Beschouw de lineaire afbeelding L : R3 → R2 met basis S = {x1, x2, x3} op het domein enbasis T = {y
1, y
2} op het bereik.
Gegeven is datL(x1) = 2y
1+ 2y
2,
L(x2) = y1− y
2,
L(x3) = 2y1
+ y2.
a. Geef L(3x1 + 2x2 − 4x3).
Antwoord:
b. Geef de matrix van L t.o.v. de basis S op het domein en de basis T op het bereik.
Antwoord:
1.17.5 Opgave De 3× 3 matrix B heeft de eigenwaarden λ1 = 2, λ2 = 4 en λ3 = −1.
a. Geef de eigenwaarden van de matrix B−1.
Antwoord:
b. Geef de eigenwaarden van de matrix 3B + 2I.
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.17: Deeltentamen B 24 februari 2000 75
1.17.6 Opgave Van een reele symmetrische 3× 3 matrix A is gegeven dat:det(A)=2, en
E−1 = 〈
101
〉, E1 = 〈
010
〉 .
a. Geef alle eigenwaarden van A.
Antwoord:
b. Geef drie onafhankelijke eigenvectoren van A.
Antwoord:
76 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.18 Tentamen 10 maart 2000
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op vrijdag 10 maart 2000, 9.00 - 12.00 uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en zes kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient deze duidelijk geformuleerd en overzichtelijkop te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerkingeen belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.a.: 3 punten Opgave 3.: 5 punten1.b.: 3 punten Opgave 4.a.: 4 punten1.c.: 2 punten 4.b.: 2 punten1.d.: 2 punten 5.a.: 3 punten
Opgave 2.b.: 2 punten 5.b.: 4 punten2.c.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 5 te delen.
Open vragen
1.18.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 −2 1 00 2 3 22 −2 5 21 0 4 2
b =
−1
534
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A).
d. Bepaal een basis voor R(A).
z.o.z.
Sectie 1.18: Tentamen 10 maart 2000 77
1.18.2 Opgave Gegeven de deelruimte V =< v1, v2 > van R3 met
v1 =
1−1
1
, v2 =
11
−1
.
a. Bepaal een basis voor het orthogonaal complement V ⊥ van V .
b. Schrijf de vector b =
2− 1
3
als b1 + b2 met b1 in V en b2 in V ⊥.
1.18.3 Opgave Van twee grootheden t en h zijn de volgende waarnemingen bekend:
t -2 -1 0 1h 4 2 1 0
Het verband tussen beide grootheden kan men beschrijven met behulp van het volgende model:
h = α + βt
Bereken, met behulp van de kleinste kwadratenmethode, een schatting voor de parameters α en β.
1.18.4 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
2 3−3 2
)
a. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarde
x(0) =(−2
5
).
1.18.5 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R3 gegeven door
V = {x ∈ R3 | x1 + 2x2 + x3 = 0}
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is spiegeling in V .
a. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van L voor R3.
b. Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
z.v.b.
78 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W (2Y650) op vrijdag 10 maart 2000, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.18.6 Opgave A is een 5× 7 matrix waarvan de dimensie van de nulruimte gelijk is aan 4.
a. Geef de rang van A.
Antwoord:
b. Geef de dimensie van de kolommenruimte van A.
Antwoord:
c. Geef de dimensie van de rijenruimte van A.
Antwoord:
1.18.7 Opgave Van de matrix
A =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
is de waarde van de determinant bekend, detA = 8. Bepaal de waarde van de determinant van dematrix
0 2 0 0a1 0 a2 a3
b1 0 b2 b3
c1 0 c2 c3
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.18: Tentamen 10 maart 2000 79
1.18.8 Opgave Van de 3 × 3 matrices A en B is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 4 endet(B) = 3. Bepaal det(3A−1AT B2).
Antwoord:
1.18.9 Opgave De matrix A =
5 6 00 2 0
−3 −6 3
heeft eigenvector x =
001
.
a. Geef de bij x behorende eigenwaarde van A.
Antwoord:
b. x is ook een eigenvector van de matrix B = 2A+4I. Geef de bij x behorende eigenwaarde van B.
Antwoord:
1.18.10 Opgave Voor de matrix A geldt dat eAt = 110
(9e5t + e−5t −3e5t + 3e−5t
−3e5t + 3e−5t e5t + 9e−5t
).
Geef de oplossing van het beginwaardeprobleem x = Ax met x(0) =(
12
).
Antwoord:
1.18.11 Opgave Beschouw de lineaire afbeelding L : R3 → R2 met basis S = {x1, x2, x3} op het domein enbasis T = {y
1, y
2} op het bereik.
Gegeven is datL(x1) = 3y
1+ 2y
2,
L(x2) = y1− 2y
2,
L(x3) = 2y1
+ y2.
Geef de matrix van L t.o.v. de basis S op het domein en de basis T op het bereik.
Antwoord:
80 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.19 Deeltentamen A 25 januari 2001
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 25 januari 2001, 9.00 –10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en vijf kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven of aangeven hoe U e.e.a. met Matlab hebt uitgewerkt.U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een openvraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragenOpgave 1a.: 2 punten Opgave 2a.: 2 punten Opgave 4a.: 3
1b.: 3 punten 2b.: 2 punten 4b.: 21c.: 2 punten Opgave 3a.: 3 punten1d.: 2 punten 3b.: 3 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
Open vragen
1.19.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
2 4 2 1 186 12 2 1 388 16 2 −1 442 4 4 0 22
b =
25577132
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm voor de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax =
b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor R(A) in termen van de kolommen van A.
d. Bepaal een vector c zodat het stelsel Ax = c geen oplossingen heeft.
z.o.z.
Sectie 1.19: Deeltentamen A 25 januari 2001 81
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 25 januari 2001, 9.00 –10.30 uur.
1.19.2 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 11 21 31 41 5
b =
12446
a. Bepaal de normaalvergelijking voor het bepalen van de kleinste-kwadratenoplossing van het
stelsel Ax = b.
b. Bepaal de kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b.
1.19.3 Opgave Gegeven zijn de vectoren
v =
1
−121
, a =
1200
, b =
001
−1
.
a. Bepaal de projectie van v op V =< a, b >.
b. Splits v zo dat v = v1 + v2 met v1 ∈ V en v2 ∈ V ⊥.
1.19.4 Opgave Beschouw een basis S = {x1, x2} en een basis T = {y1, y
2} van R2. Gegeven is
x1 =(
−12
), x2 =
(2
−2
)en y
1=(
−32
), y
2=(
4−2
)
a. Bepaal de overgangsmatrix PS←T van de basis T naar de basis S.
b. Bepaal de coordinaatvector vS van v =(
5−8
)t.o.v. de basis S.
z.v.b.
82 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 25 januari 2001, 9.00 –10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.19.5 Opgave Van een 5× 6 matrix A is gegeven dat rang(A)=4.
a. Geef de dimensie van R(A) d.w.z. dim(R(A)).
Antwoord:
b. Geef de dimensie van N (A) d.w.z. dim(N (A)).
Antwoord:
1.19.6 Opgave Van de 3× 3 matrices A en B is gegeven dat det(A)=4 en det(B)=3.Bepaal det(2A2BT A−1).
Antwoord:
1.19.7 Opgave Van de matrix
A =(
a1 a2
b1 b2
)en B =
(c1 c2
b1 b2
)is gegeven dat det(A) = 3 en det(B) = −2. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix(
a1 + 2c1 a2 + 2c2
b1 b2
)
Antwoord:
1.19.8 Opgave Beschouw een stelsel vergelijkingen Ax = b. Er is gegeven dat rang(A)=6en rang([A, b]) = 7. Heeft het stelsel Ax = b, geen, precies een, of oneindig veel oplossingen?
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.19: Deeltentamen A 25 januari 2001 83
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y654) op donderdag 25 januari 2001, 9.00 –10.30 uur.
1.19.9 Opgave A is een 4× 4 matrix met kolommen v1, v2, v3, v4. Gegeven is dat
AT A =
4 0 0 00 9 2 00 2 3 00 0 0 5
a. Zijn de kolommen v1 en v2 onderling orthogonaal?
Antwoord:
b. Zijn de kolommen v2 en v3 onderling orthogonaal?
Antwoord:
c. Geef een basis (in termen van de kolommen van A) voor het orthoplement van < v1, v4 >.
Antwoord:
84 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.20 Deeltentamen B 5 maart 2001
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y658) op maandag 5 maart 2001,09.00 – 10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en vier kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven of aangeven hoe U e.e.a. met Matlab hebt uitgewerkt.U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een openvraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.: 4 punten2.a.: 3 punten2.b.: 3 punten2.c.: 3 punten
Opgave 3.a.: 3 puntenOpgave 3.b.: 4 punten
4.: 4 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z.
Sectie 1.20: Deeltentamen B 5 maart 2001 85
Open vragen
1.20.1 Opgave Bepaal een matrix A met eigenwaarden 1 en −2 en eigenruimten
E1 =<
110
,
012
> en E−2 =<
101
> .
1.20.2 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
2 −54 −2
).
a. Bepaal de algemene complexe oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
c. Bepaal de (reele) oplossing met beginwaarde
x(0) =(
32
).
1.20.3 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R3 gegeven door
V = {x ∈ R3 | x1 + x2 − 2x3 = 0} .
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is spiegeling in V .
a. Bepaal een orthonormale basis van R3 bestaande uit eigenvectoren van L.
b. Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
1.20.4 Opgave Bepaal een reele 2 bij 2 matrix zo, dat het lineaire systeem x = Ax de volgende oplossingheeft {
x1(t) = 2e2t − 3e3t ,
x2(t) = 4e2t + 6e3t .
z.v.b.
86 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W (2Y658) op maandag 5 maart 2001, 09.00 – 10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.20.5 Opgave Beschouw de lineaire afbeelding L : R2 → R2 met basis S = {x1, x2} op het domein en basisT = {y
1, y
2} op het bereik, met y
1= x1 + x2 en y
2= x1 − 2x2.
Gegeven is dat L(x1) = 2y1
+ 2y2, L(x2) = y
1+ y
2.
a. Geef [L(x1)]T .
Antwoord:
b. Geef de matrix van L t.o.v. de basis S op het domein en de basis T op het bereik.
Antwoord:
c. Geef de matrix van L t.o.v. de basis S op domein en bereik.
Antwoord:
1.20.6 Opgave De 3× 3 matrix B heeft de eigenwaarden λ1 = 3, λ2 = 2 en λ3 = −1.
a. Geef de eigenwaarden van de matrix (B2)−1.
Antwoord:
b. Geef de eigenwaarden van de matrix 2B − 3I.
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.20: Deeltentamen B 5 maart 2001 87
1.20.7 Opgave Beschouw het inhomogene stelsel differentiaalvergelijkingen
x =(
5 −27 −4
)x +
(1
−1
)e4t .
Geef een particuliere oplossing van de vorm ve4t.
Antwoord:
1.20.8 Opgave Het karakteristiek polynoom van de matrix A is λ4 + 3λ3 − 8λ2 − 12λ + 16.
a. Geef det(A).
Antwoord:
b. Geef het spoor van A.
Antwoord:
88 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.21 Tentamen 16 maart 2001
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y650) op vrijdag 16 maart 2001, 9.00- 12.00 uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en zes kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven of aangeven hoe U e.e.a. met Matlab hebt uitgewerkt.U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een openvraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Opgave 1.a.: 2 punten Opgave 3.a.: 2 punten1.b.: 3 punten 3.b.: 2 punten1.c.: 2 punten Opgave 4.a.: 3 punten1.d.: 2 punten 4.b.: 3 punten
Opgave 2.a.: 2 punten 4.c.: 3 punten2.b.: 2 punten Opgave 5.a.: 3 punten2.c.: 3 punten 5.b.: 4 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 6 te delen.
Open vragen
1.21.1 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
−1 3 2 2
2 0 2 25 −2 1 −33 2 3 −1
b =
1400
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A).
d. Bepaal een basis voor R(A).
z.o.z.
Sectie 1.21: Tentamen 16 maart 2001 89
1.21.2 Opgave Gegeven de deelruimte V =< v1, v2 > van R4, en de vector b ∈ R4 met
v1 =
1
−101
, v2 =
11
−10
, b =
2
− 131
.
a. Bepaal een basis voor het orthogonaal complement V ⊥ van V .
b. Bepaal de projectie van b op V .
c. Schrijf de vector b als b = b1 + b2 met b1 in V en b2 in V ⊥.
1.21.3 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 11 21 31 41 5
b =
23668
a. Bepaal de normaalvergelijking voor het bepalen van de kleinste-kwadratenoplossing van het
stelsel Ax = b.
b. Bepaal de kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b.
1.21.4 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(−2 17−1 −4
)
a. Bepaal de algemene complexe oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
c. Bepaal de oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarde
x(0) =(
22
).
1.21.5 Opgave Beschouw de lineaire deelruimte V van R3 gegeven door
V = {x ∈ R3 | 2x1 + 2x2 + x3 = 0}
De lineaire afbeelding L : R3 → R3 is loodrechte projectie op V .
a. Bepaal een orthonormale basis van eigenvectoren van L voor R3.
b. Bepaal de matrixvoorstelling A van L t.o.v. de standaardbasis E op domein en bereik.
z.v.b.
90 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y650) op vrijdag 16 maart 2001, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.21.6 Opgave
De matrix A =
2 4 2 1 186 12 2 1 388 16 2 −1 44
heeft rijgereduceerde trapvorm
1 2 0 0 50 0 1 0 30 0 0 1 2
a. Geef een mogelijke keuze van kolommen die uit A weglaten kunnen worden zodat de overgeble-
ven kolommen een inverteerbare matrix vormen.
Antwoord:
b. Geef de rang van de matrix [A, b], waarbij b ∈ R3 een willekeurige vector is.
Antwoord:
c. Is het stelsel Ax = b voor iedere b ∈ R3 oplosbaar?.
Antwoord:
1.21.7 Opgave Van de matrix
A =(
a1 a2
b1 b2
)en B =
(c1 c2
b1 b2
)is gegeven dat det(A) = 4 en det(B) = −2. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix(
a1 + 3c1 a2 + 3c2
b1 b2
)
Antwoord:
z.o.z.
Sectie 1.21: Tentamen 16 maart 2001 91
1.21.8 Opgave Van de 3 × 3 matrices A en B is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 3 endet(B) = 5. Bepaal det(3(A2)−1AT B2).
Antwoord:
1.21.9 Opgave De matrix A =
5 6 00 2 0
−3 −6 3
heeft eigenvector x =
2−1
0
.
a. Geef de bij x behorende eigenwaarde van A.
Antwoord:
b. x is ook een eigenvector van de matrix B = 2A+4I. Geef de bij x behorende eigenwaarde van B.
Antwoord:
1.21.10 Opgave Beschouw het inhomogene stelsel differentiaalvergelijkingen
x =(
2 33 2
)x +
(12
)e2t .
Geef een particuliere oplossing van de vorm ve2t.
Antwoord:
z.v.b.
92 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Tentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y650) op vrijdag 16 maart 2001, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.21.11 Opgave Beschouw de lineaire afbeelding L : R2 → R2. Op R2 beschouwen we basis S = {x1, x2} enbasis T = {y
1, y
2} op het bereik, met y
1= 2x1 + x2 en y
2= x1 − 2x2.
Gegeven is dat L(x1) = 2y1
+ y2, L(x2) = y
1+ 3y
2.
a. Geef [y1)]S .
Antwoord:
b. Geef de overgangsmatrix matrix van de basis T naar de basis S.
Antwoord:
c. Geef [L(x1)]S .
Antwoord:
d. Geef de matrix van L t.o.v. de basis S op domein en bereik.
Antwoord:
Sectie 1.22: Deeltentamen A 24 januari 2002 93
1.22 Deeltentamen A 24 januari 2002
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W en BMT (2Y654) op donderdag 24 januari 2002,9.00 – 10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en zes kort-antwoord vragen.De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangege-ven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven of aangeven hoe U e.e.a. met Matlab hebt uitgewerkt.U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een openvraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol.Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting.Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tenta-menwerk te leggen.Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:Open vragen: Opgave 1 : 4 punten Opgave 3a.: 2 punten
Opgave 2a.: 2 punten 3b.: 3 punten2b.: 3 punten 3c.: 2 punten2c.: 2 punten Opgave 4a.: 2 punten2d.: 2 punten 4b.: 2 punten
4c.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
Open vragen
1.22.1 Opgave Bepaal een tweetal vergelijkingen die de lijn beschrijven door het punt (1,−1, 1) loodrechtop het vlak gegeven door de vergelijking 2x + y + z = 2.
1.22.2 Opgave Gegeven is het stelsel vergelijkingenx1 + 2x2 + 2x4 = 5
−2x1 − 5x2 + x3 − x4 = −8− 3x2 + 3x3 + 4x4 = 1
3x1 + 6x2 − 7x4 = 2
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm voor de uitgebreide coefficientenmatrix van dit stelsel .
b. Bepaal de algemene oplossing van dit stelsel (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A) met A de coefficientenmatrix van dit stelsel.
d. Bepaal de algemene oplossing (in vectornotatie) van het stelsel dat onstaat door in bovenstaandstelsel de tweede vergelijking weg te laten.
z.o.z.
94 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W en BMT (2Y654) op donderdag 24 januari 2002,9.00 – 10.30 uur.
1.22.3 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 01 21 31 41 6
b =
10135
a. Bepaal de normaalvergelijking voor het bepalen van de kleinste-kwadratenoplossing van het
stelsel Ax = b.
b. Bepaal de kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b.
c. Bepaal de projectie van b op de kolommenruimte van A.
1.22.4 Opgave Beschouw de lineaire ruimte V opgespannen door de vectoren
v1 =
1
−33
−1
, v2 =
1
−121
, v3 =
1201
, v4 =
101
−1
.
a. Laat zien dat dim(V ) = 3.
b. Geef drie van bovenstaande vectoren vi die een basis vormen van V .
c. Schrijf de overgebleven vector als lineaire combinatie van de in b. gekozen basisvectoren.
z.v.b.
Sectie 1.22: Deeltentamen A 24 januari 2002 95
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W en BMT (2Y654) op donderdag 24 januari 2002,9.00 – 10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Kort–antwoord vragen
1.22.5 Opgave Van een 5× 6 matrix A is gegeven dat dim(N (A)) = 2.
a. Geef de dimensie van R(A) d.w.z. dim(R(A)).
Antwoord:
b. Geef rang(AT ).
Antwoord:
1.22.6 Opgave Van de 3× 3 matrices A en B is gegeven dat det(A)=3 en det(B)=9.Bepaal det(3(AB)T (AB)−1).
Antwoord:
1.22.7 Opgave Van de matrix
A =(
a1 a2
0 a3
)en B =
(b1 b2
0 b3
)is gegeven dat det(A) = 3 en det(B) = −2. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix
a1 a2 0 0 00 a3 0 0 00 0 b1 b2 00 0 0 b3 00 0 0 0 4
Antwoord:
z.o.z.
96 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W en BMT (2Y654) op donderdag 24 januari 2002,9.00 – 10.30 uur.
1.22.8 Opgave Bepaal een parametervoorstelling van het vlak door depunten (1,1,-1), (1,1,2) en (2,-1,1)
Antwoord:
1.22.9 Opgave Bepaal een richtingsvector
abc
zo dat de lijn
111
+λ
abc
een lineaire deelruimte
van R3 is.
Antwoord:
1.22.10 Opgave Beschouw het stelsel vergelijkingen x1 + 2x2 + x3 = 22x1 − x2 + 3x3 = 13x1 + x2 + 4x3 = c
Voor welke waarde(n) van c heeft dit stelsel tenminste een oplossing?
Antwoord:
Sectie 1.23: Deeltentamen B 7 maart 2002 97
1.23 Deeltentamen B 7 maart 2002
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y658) op donderdag 7 maart 2002,09.00 – 10.30 uur.
Het tentamen bestaat uit vier open vragen en zeven kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven of aangeven hoe U e.e.a. met Matlab hebt uitgewerkt.U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een openvraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Open vragen
Opgave 1.: 4 punten2.a.: 3 punten2.b.: 3 punten2.c.: 3 punten
Opgave 3.a.: 3 puntenOpgave 3.b.: 4 punten
4.: 4 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 4 te delen.
z.o.z.
98 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Open vragen
1.23.1 Opgave Bepaal een symmetrische matrix A met eigenwaarden 2 en 0 en eigenruimten
E2 =<
011
,
11
−1
> en E0 =<
2−1
1
> .
1.23.2 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
5 8−2 5
).
a. Bepaal de algemene complexe oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
c. Bepaal de (reele) oplossing met beginwaarde
x(14π) =
(21
).
1.23.3 Opgave Gegeven is de deelruimte V van R3 opgespannen door de vectoren
11−1
en
21−3
.
a. Bepaal m.b.v. Gram-Schmidt orthogonalisatie een orthonormale basis voor V .
b. Schrijf de vector u =
111
als u = v + w met v in V en w in V ⊥.
1.23.4 Opgave Gegeven zijn een basis T = {v1, v2, v3} en een basis S = {w1, w2, w3} van de R3 met
v1 =
100
, v2 =
111
, v3 =
01−1
, w1 =
2−11
, w2 =
120
, w3 =
113
.
Bepaal de basisovergangsmatrix PT←S .
z.v.b.
Sectie 1.23: Deeltentamen B 7 maart 2002 99
Deeltentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y658) op donderdag 7 maart 2002,09.00 – 10.30 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.23.5 Opgave Gegeven is de basis S = {s1, s2, s3} en de vector v = 2s1 − s3.Geef de coordinaatvector [v]S van v t.o.v. S.
Antwoord:
1.23.6 Opgave Gegeven zijn
[w]S =(
12
)en PS←T =
(1 −11 3
).
Geef [w]T
Antwoord:
1.23.7 Opgave De 3× 3 matrix B heeft de eigenwaarden λ1 = 3, λ2 = 2 en λ3 = −1.
a. Geef de eigenwaarden van de matrix 3B2 − 5I.
Antwoord:
b. Geef de eigenwaarden van de matrix 2B − 3B−1.
Antwoord:
z.o.z.
100 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.23.8 Opgave Beschouw het inhomogene stelsel differentiaalvergelijkingen
x =(
3 −22 −2
)x +
(2
−1
)e3t .
Geef een particuliere oplossing van de vorm ve3t.
Antwoord:
1.23.9 Opgave Van een reele 3 × 3 matrix A is gegeven dat Tr(A) = 4;, dat det(A) = 2 en dat 1 eeneigenwaarde is van A.Geef de andere twee eigenwaarden van A.
Antwoord:
1.23.10 Opgave Geef de loodrechte projectie van v =
12−1
op de lijn < a > met a =
103
.
Antwoord:
1.23.11 Opgave Geef de algemene reele oplossing van de differentiaalvergelijking y′′ + 2y′ − 8 = 0.
Antwoord:
Sectie 1.24: Tentamen 22 maart 2002 101
1.24 Tentamen 22 maart 2002
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y650) op vrijdag 22 maart 2002, 9.00- 12.00 uur.
Het tentamen bestaat uit vijf open vragen en negen kort-antwoord vragen. De kort-antwoord vragenstaan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld.Bij een open vraag moet U een uitwerking geven of aangeven hoe U e.e.a. met Matlab hebt uitgewerkt.U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een openvraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol.
Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. De vellen met kort-antwoord vragen dient U bij het einde van de tentamenzitting in het in te leveren tentamenwerk teleggen. In het laatste kwartier van de zitting mag U niet vertrekken. Na afloop dient U te blijvenzitten tot alle tentamenwerken zijn opgehaald.
Voor de open vragen kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Opgave 1. : 5 punten Opgave 3.a.: 3 punten Opgave 5.a.: 3 puntenOpgave 2.a.: 2 punten 3.b.: 4 punten 5.b.: 3 punten
2.b.: 3 punten Opgave 4.a.: 2 punten 5.c.: 3 punten2.c.: 2 punten Opgave 4.b.: 2 punten2.d.: 2 punten 4.c.: 2 punten
Voor de kort-antwoordvragen kunnen per onderdeel van een opgave 2 punten worden behaald. Hetcijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 6 te delen.
Open vragen
1.24.1 Opgave Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door het punt (1, 1, 2) en met normaalvector(2,−1, 7).
1.24.2 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 2 1 02 4 0 −21 2 −1 −22 4 −1 −3
b =
3413
a. Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de uitgebreide coefficientenmatrix van het stelsel Ax = b.
b. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel Ax = b (in vectornotatie).
c. Bepaal een basis voor N (A).
d. Bepaal de algemene oplossing (in vectornotatie) van het stelsel dat onstaat uit Ax = b door inA de laatste kolom weg te laten.
z.o.z.
102 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.24.3 Opgave Gegeven de deelruimte V =< v1, v2 > van R3, en de vector b ∈ R3 met
v1 =
1−1
0
, v2 =
20
−1
, b =
1− 1
3
.
a. Bepaal met Gram-Schmidt orthogonalisatie een basis voor V .
b. Schrijf de vector b als b = b1 + b2 met b1 in V en b2 in V ⊥.
1.24.4 Opgave Gegeven zijn de matrix A en de vector b:
A =
1 11 21 31 41 5
b =
24559
a. Bepaal de normaalvergelijking voor het bepalen van de kleinste-kwadratenoplossing van het
stelsel Ax = b.
b. Bepaal de kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b.
c. Bepaal de projectie van b op de kolommenruimte van A.
1.24.5 Opgave Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen x = Ax, met
A =(
3 −82 3
)
a. Bepaal de algemene complexe oplossing van dit stelsel.
b. Bepaal de algemene reele oplossing van dit stelsel.
c. Bepaal de oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarde
x(18π) =
(21
).
z.v.b.
Sectie 1.24: Tentamen 22 maart 2002 103
Tentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y650) op vrijdag 22 maart 2002, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kort–antwoord vragen
1.24.6 Opgave Van een 3× 5 matrix A is gegeven dat dim(N (A)) = 2.
a. Geef de rang van AT .
Antwoord:
b. Is het stelsel Ax = b voor iedere b ∈ R3 oplosbaar?
Antwoord:
1.24.7 Opgave Van de matrices
A =(
a1 a2
0 a3
)en B =
(b1 0b2 b3
)is gegeven dat det(A) = 4 en det(B) = −2. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix(
a1 b1
b3 a3
)
Antwoord:
z.o.z.
104 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.24.8 Opgave Van de 3 × 3 matrices A en B is de waarde van de determinant bekend, det(A) = 3 endet(B) = 4. Bepaal det(2B−1AT B2).
Antwoord:
1.24.9 Opgave De matrix A =
5 6 00 2 0
−3 −6 3
heeft eigenvector x =
001
.
Geef de bij x behorende eigenwaarde van A.
Antwoord:
1.24.10 Opgave De matrix A heeft eigenwaarden 3 en 0 en eigenruimten
E3 =<
011
,
110
> en E0 =<
201
> .
Geef een inverteerbare matrix S en een diagonaalmatrix D zo dat A = SDS−1.
Antwoord:
1.24.11 Opgave De 3× 3 matrix B heeft de eigenwaarden λ1 = 3, λ2 = 2 en λ3 = −1.Geef de eigenwaarden van de matrix 4B − 3B−1.
Antwoord:
1.24.12 Opgave Beschouw het inhomogene stelsel differentiaalvergelijkingen
x =(
3 −2−2 4
)x +
(21
)e3t .
Geef een particuliere oplossing van de vorm ve3t.
Antwoord:
z.v.b.
Sectie 1.24: Tentamen 22 maart 2002 105
Tentamen Lineaire Algebra voor W, BMT, Ins (2Y650) op vrijdag 22 maart 2002, 09.00 – 12.00 uur.
DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN
Naam en voorletters : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Identiteitsnummer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studierichting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.24.13 Opgave Geef de algemene reele oplossing van de differentiaalvergelijking y′′ + 2y′ − 15y = 0.
Antwoord:
1.24.14 Opgave Op R2 beschouwen we basis S = {x1, x2} en basis T = {y1, y
2} , met y
1= x1 − x2 en
y2
= x1 + 2x2.
a. Geef [y1]S .
Antwoord:
b. Geef [x1]T .
Antwoord:
c. Geef de overgangsmatrix van de basis S naar de basis T , d.w.z. PT←S .
Antwoord:
106 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Oplossingen Opgaven
1.2.1 Oplossing Vergelijk BK (5th edition) blz. 185 voorbeeld 1.
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan):1 1 4 1 2 30 1 2 1 1 20 0 0 1 2 12 1 6 0 1 3
→
1 1 4 1 2 30 1 2 1 1 20 0 0 1 2 10 −1 −2 −2 −3 −3
→
1 0 2 0 1 10 1 2 1 1 20 0 0 1 2 10 0 0 −1 −2 −1
→
1 0 2 0 1 10 1 2 0 −1 10 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0
b. x1, x2, x4 zijn basisvariabelen, x3 en x5 zijn vrije variabelen. Er volgt
x1 = 1− 2x3 − x5
x2 = 1− 2x3 + x5
x3 = x3
x4 = 1− 2x5
x5 = x5
Dus de algemene oplossing is
x =
11010
+ x3
−2−2
100
+ x5
−1
10
−21
Opgave 1.2.1
1.2.2 Oplossing
a. Als BK (5th edition) 7.7.1 (Dit is BK 7.7.2)Gevraagd wordt feitelijk om de kleinste-kwadratenoplossing te bepalen van het stelsel Ax = bmet
A =
1 31 41 51 61 7
en b =
23243
De normaalvergelijking is AT Ax = AT b met
AT A =(
5 2525 135
)en AT b =
(1473
)Er volgt
x =(
1.30.3
)Dus de regressiekromme wordt b = 1.3 + 0.3 t.
Oplossingen Opgaven 107
b. Zie SHL(1995/96) §5.2.4.De kleinste-kwadraten oplossing geeft feitelijk de oplossing van Ax = p met p de projectie vanb op R(A). Dus
p =
1 31 41 51 61 7
(
1.30.3
)=
2.22.52.83.13.4
Opgave 1.2.2
1.2.3 Oplossing Dit is huiswerkopdracht BK(5th edition) 3.5.T5.Gegeven zijn de onafhankelijke vectoren x1, x2, x3 en de vectoren y
1= x1 + x2, y
2= x1 + x3 en
y1
= x2 + x3. Gevraagd wordt na te gaan of de vectoren y1, y
2, y
3onafhankelijk zijn. Beschouw
hiertoe de vergelijking (het stelsel vergelijkingen)
c1y1+ c2y2
+ c3y3= 0
Invullen van de uitdrukkingen voor de vectoren yi
geeft
c1(x1 + x2) + c2(x1 + x3) + c3(x2 + x3) = (c1 + c2)x1 + (c1 + c3)x2 + (c2 + c3)x3 = 0
Omdat de vectoren x1, x2, x3 onafhankelijk zijn volgt dat
c1 + c2 = 0c1 + c3 = 0c2 + c3 = 0
Oplossen van dit stelsel vergelijkingen geeft c1 = 0, c2 = 0 en c3 = 0. Dus de vectoren y1, y
2, y
3zijn
onafhankelijk. Opgave 1.2.3
1.2.4 Oplossing
a. De rang van A is gelijk aan het aantal niet-nulrijen in de rijgereduceerde trapvorm (het aantalspillen). De rang van A is dus 3.
b. Om een basis voor N (A) te vinden moeten we het stelsel Ax = 0 of rref(A)x = 0 oplossen. Ditlaatste geeft (met x2 en x4 als vrije variabelen)
x1 =12x2 − 7x4
x2 = x2
x3 = 3x4
x4 = x4
x5 = 0
Dus
x = x2
121000
+ x4
−7
0310
Een basis voor N (A) is dus
{
121000
,
−7
0310
}
108 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
c. Een basis voor R(A) wordt gevormd door die kolommen van A die corresponderen met debasisvariabelen (Als BK blz. 193 voorbeeld 3, oplossing 2). Een basis wordt dus gevormd doorde 1e, de 3e en de 5e kolom van A, d.w.z
{
0242
,
1495
,
2145
}Opgave 1.2.4
1.2.5 Oplossing Zie de eigenschappen van de determinant in SHL(1995/96) §3.2.1
a. Deze matrix is verkregen uit de matrix A door bij de laatste rij 2 keer de eerste rij en 1 keer detweede rij op te tellen. Hierdoor verandert de determinant niet. Antwoord: 4.
b. Deze matrix is uit de matrix A verkregen door eerst te transponeren, hierdoor verandert de de-terminant niet. Daarna wordt de eerste kolom met 3 vermenigvuldigd, dit introduceert een factor3 in de determinant. Bovendien worden de laatste twee kolommen verwisseld, dit introduceerdeen factor -1 in de determinant. Antwoord: -12.
Opgave 1.2.5
1.2.6 Oplossing Voor a,b zie dimensiestelling SHL(1995/96) 4.1, BK(5th edition) stelling 3.17. Voor c.zie BK stelling 3.19.
a. dimN (A) + 2 = 5 dus dimN (A) = 3.
b. dimN (AT ) + 2 = m dus m = 4 en A is een 4× 5 matrix.
c. rangA=rang[A, b]=2.
Opgave 1.2.6
1.3.1 Oplossing Dit is huiswerkopdracht BK 3.10.7.Noem de basisvectoren x1, x2 en x3 resp.Maak nu de vectoren:
y1
= x1
y2
= x2 −
(x2 · y1
y1· y
1
)y1
y3
= x3 −
(x3 · y1
y1· y
1
)y1−
(x3 · y2
y2· y
2
)y2
Na invullen volgt:
y1
=
1
−101
, y2
=
1100
, y3
=
0010
.
Oplossingen Opgaven 109
De vectoren y1, y
2en y
3vormen nu een orthogonale basis. Een orthonormale basis vinden we door
de vectoren door hun lengte te delen. Dit geeft:
{ 1√3
1
−101
,1√2
1100
,
0010
} .
Vergelijk BK §3.10 voorbeelden 4 en 5. Opgave 1.3.1
1.3.2 Oplossing Als SHL oefening SHL 7.4.8a,b. Dit is SHL extra oefening 7.5.15.Omdat de beelden van de standaardbasisvectoren niet eenvoudig te bepalen zijn kiezen we een anderbasis B = {b1, b2, b3} met
b1 =
1−1
1
, b2 =
110
, b3 =
011
Deze vectoren zijn niet willekeurig gekozen. De vector b1 staat loodrecht op het vlak waarin gespiegeldwordt dus
L(b1) = −b1 .
De vectoren b2 en b3 liggen in het vlak waarin gespiegeld wordt dus
L(b2) = b2 en L(b3) = b3
We kennen nu de matrix C van L t.o.v. de basis B op het domein en de standaardbasis op het bereik(vgl. SHL voorbeeld 7.2)
C =
−1 1 01 1 1
−1 0 1
.
We kennen ook de matrix F van L t.o.v. de basis B op domein en bereik
F =
−1 0 00 1 00 0 1
.
Bovendien is de overgangsmatrix P van de basis B naar de standaardbasis
P =
1 1 0−1 1 1
1 0 1
.
De matrix A van L t.o.v. de standaardbasis op domein en bereik kan nu op twee manieren uitgerekendworden
A = PFP−1 of A = CP−1 .
In beide gevallen vindt men
A =13
1 2 − 22 1 2
− 2 2 1
.
Opgave 1.3.2
1.3.3 Oplossing
110 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
a. Als SHL voorbeeld 9.1.
A =(−1 4
4 5
).
Het karakteristiek polynoom is
det(A− λI) = λ2 − 4λ− 21 = (λ + 3)(λ− 7)
De eigenwaarden zijn dus λ = −3 en λ = 7.Eigenruimte bij λ = −3:
Los op(
2 44 8
)(x1
x2
)=(
00
).
Er volgt E−3 =(
2−1
)Eigenruimte bij λ = 7:
Los op(−8 4
4 −2
)(x1
x2
)=(
00
).
Er volgt E7 =(
12
)De algemene oplossing is dus
c1e−3t
(2
−1
)+ c2e
7t
(12
).
b. Als SHL voorbeeld 9.3.
eAt =(
2 1−1 2
)(e−3t 0
0 e7t
)(2 1
−1 2
)−1
=15
(4e−3t + e7t −2e−3t + 2e7t
−2e−3t + 2e7t e−3t + 4e7t
).
Opgave 1.3.3
1.3.4 Oplossing
a. Als huiswerkopdracht BK 3.9.23.De eerste kolom van P is y
1,Sen de tweede kolom is y
2,S, dus
y1
= 1 ∗ x1 + 1 ∗ x2 =(−1
1
)en y
2= 2 ∗ x1 + 1 ∗ x2 =
(03
).
(Zie BK blz. 207).
b. Als huiswerkopdracht BK 3.9.7.
z = 3 ∗ x1 + 2 ∗ x2 =(−1
4
).
c. Als huiswerkopdracht BK 3.9.13b.De overgangsmatrix is
(x1,E x2,E) =(
1 −22 −1
).
Opgave 1.3.4
1.3.5 Oplossing Zie opmerkingen aan het slot van SHL §8.2.2.Iedere vector in het vlak V gegeven door de vergelijking x1 − x2 = 0 wordt op zichzelf geprojecteerd.
Oplossingen Opgaven 111
Het vlak is dus eigenruimte bij eigenwaarde 1. Deze eigenruimte heeft dimensie 2. Iedere vector inV ⊥ =< (1 − 1 0)T > wordt op 0 geprojecteerd, dus V ⊥ is de eigenruimte bij eigenwaarde nul, d.w.z.de nulruimte van de afbeelding. Verder is het zo dat iedere vector als beeld een vector in het vlak Vheeft en dat eidere vector in het vlak V een origineel heeft. V is dus de beeldruimte van de afbeelding.Dit geeft de volgende antwoorden:
a. (1 − 1 0)T .
b. {(1 1 0)T , (0 0 1)T } .
c. λ = 1 met alg. mult. 2, en λ = 0 met alg. mult. 1.
Opgave 1.3.5
1.3.6 Oplossing Zie theorie BK blz. 223,224 en vergelijk met huiswerkopdracht BK 3.10.23.
a. Noem de vector (1 0 2)T = v. De projectie p van w op V is nu
p =(
w · vv · v
)v =
35
102
.
b. De projectie op V ⊥ is w − p = 15
21
−1
.
Opgave 1.3.6
1.4.1 Oplossing Vergelijk BK oefening 1.4.9.a.
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan): 1 2 1 3 131 1 −2 1 83 1 1 −1 1
→
1 2 1 3 130 −1 −3 −2 −50 −5 −2 −10 −38
→
1 0 −5 −1 30 1 3 2 50 0 13 0 −13
→
1 0 0 −1 −20 1 0 2 80 0 1 0 −1
.
Vrije variabele x4. Er volgtx1 = −2 + x4, x2 = 8− 2x4, x3 = −1, x4 = x4.Dus de algemene oplossing is
x =
−2
8−1
0
+ x4
1
−201
.
b. N (A) =< (1, 0,−2, 1)T >.
c. R(A) =< (1, 1, 3)T , (2, 1, 1)T , (1,−2, 1)T >.
112 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Opgave 1.4.1
1.4.2 Oplossing Als BK oefening 7.7.1.We moeten de kleinste-kwadratenoplossing bepalen van het stelsel
α
11111
+ β
01234
=
099
2547
,
d.w.z. het stelsel Ax = b met
A =
1 01 11 21 31 4
en b =
099
2547
.
Deze vinden we door oplossen van de normaalvergelijking
AT A
(αβ
)= AT b
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking(5 1010 30
)(αβ
)=(
90290
)met oplossing α = −4 en β = 11. Opgave 1.4.2
1.4.3 Oplossing Dit is SHL oefening 6.4.7.
a. Oplossen van het ’stelsel’ vergelijkingen x1 + x2 + x3 − x4 = 0 geeft (vrije variabelen x2, x3 enx4)
x1 = −x2 − x3 + x4
x2 = x2
x3 = x3
x4 = x4
Dus de algemene oplossing is
x = x2
−1
100
+ x3
−1
010
+ x5
1001
Een basis voor S is dus {
−1
100
,
−1
010
,
1001
} en dim(S) = 3.
b. De vergelijking kunnen we ook schrijven als (1, 1, 1,−1)x = 0. Dus S bestaat uit alle vectorenloodrecht op de vector (1, 1, 1,−1)T . Dus
S⊥ =< (1, 1, 1,−1)T >
Oplossingen Opgaven 113
en een basis voor S⊥ is {
111
−1
}.c. We kunnen de vector b schrijven als de som van de projectie op S en de projectie op S⊥. Het
eenvoudigst is de projectie van b op S⊥ te berekenen. Zij s de basisvector voor S⊥ dan is b2 deprojectie van b op s d.w.z.
b2 =b · ss · s
s =12
111
−1
en
b1 = b− b2 =12
1113
.
Opgave 1.4.3
1.4.4 Oplossing Dit is BK oefening 4.3.11.
a. Volgens BK stelling 4.8. is (L(x1))S de 1e kolom van A en (L(x2))S de 2e kolom van A. Dus
(L(x1))S =(
2−1
)en (L(x2))S =
(−3
4
).
b. (L(x1))S geeft de coordinaten van L(x1) t.o.v. de basis S. Dus
L(x1) = 2(
12
)− 1
(1
−1
)=(
15
),
L(x2) = −3(
12
)+ 4
(1
−1
)=(
1−10
).
c. We schrijven de vector(−23
)als een lineaire combinatie van de vectoren x1 en x2. D.w.z. we
lossen op (−23
)= α
(12
)+ β
(1
−1
).
Er volgt α = 13 en β = − 7
3 . Dus
L((−23
)) = αL(x1) + βL(x2) =
13
(15
)− 7
3
(1
−10
)=(−225
).
Opgave 1.4.4
1.4.5 Oplossing Vgl. BK blz. 304 voorbeeld 1.
a.
det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣−λ 0 −20 −2− λ 0−2 0 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = (−2− λ)∣∣∣∣ −λ −2−2 3− λ
∣∣∣∣ == (−2− λ)(Λ2 − 3λ− 4) = (−2− λ)(λ− 4)(λ + 1)
Dus de eigenwaarden van A zijn -2, -1 en 4.
114 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. We vinden de eigenvectoren door voor iedere gevonden eigenwaarde λ het stelsel vergelijkingen(A− λI)x = 0 op te lossen.λ = −2 geeft 2 0 −2
0 0 0−2 0 5
x = 0 dus E−2 =<
010
> .
λ = −1 geeft 1 0 −20 −1 0−2 0 4
x = 0 dus E−1 =<
20−1
> .
λ = 4 geeft −4 0 −20 −6 0−2 0 −1
x = 0 dus E4 =<
−102
> .
Omdat de matrix symmetrisch is zijn de eigenvectoren orthogonaal en onafhankelijk. Een or-thonormale basis van eigenvectoren is dus
{
010
,1√5
20−1
,1√5
−102
}Opgave 1.4.5
1.4.6 Oplossing Vgl. BK oefening 2.1.21 en SHL extra oefeningen 3.59 en 3.5.10.det(2A2BT B−1) = 24 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 1
5 = 144. Opgave 1.4.6
1.4.7 Oplossing
a. Volgens de dimensiestelling is dim(N (A)) + rang(A) = 13. Dusdim(N (A)) = 4.
b. Volgens de dimensiestelling is dim(N (AT )) + rang(AT ) = 11 = dim(N (AT )) + rang(A) dusdim(N (AT )) = 2.
c. rang(A) = 9 < 13 dus de kolommen zijn afhankelijk.
d. b behoort niet tot de kolommenruimte dus rang([A, b]) = 9 + 1 = 10.
Opgave 1.4.7
1.4.8 Oplossing Het orthoplement van de ruimte opgespannen door de eerste twee kolommen van A heeftdimensie 1. Zoek een vector die loodrecht op de eerste twee kolommen van A staat. Bijv. (1,−1, 0)T .De mogelijke derde kolommen zitten in de ruimte opgespannen door deze vector en hebben lengte 1.De twee mogelijke antwoorden zijn dus 1√
2
− 1√2
0
en
− 1√2
1√2
0
.
Opgave 1.4.8
1.4.9 Oplossing Dit is SHL extra oefening 4.5.19.
Oplossingen Opgaven 115
a.
P =
0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 1 0 01 0 0 0 0
.
b. det(PL) = 1 = det(P ) det(L). det(P ) = −1 (aantal enkelvoudige rijverwisselingen nodig om Pin de eenheidsmatrix te veranderen is oneven), dus det(L) = −1.
Opgave 1.4.9
1.4.10 Oplossing Vgl. SHL oefening 9.4.1.
a. De algemene oplossing is
x(t) = c1
(1−1
)e2t + c2
(21
)e−4t , c1, c2 ∈ R .
b. Invullen van de beginvoorwaarde geeft(81
)= c1
(1−1
)+ c2
(21
)Oplossen van dit stelsel vergelijkingen geeft c1 = 2 en c2 = 3. De oplossing is dus
x(t) = 2(
1−1
)e2t + 3
(21
)e−4t .
Opgave 1.4.10
1.5.1 Oplossing Vergelijk SHL 2.4.8.
a. Vegen van de matrix (Gauss) geeft: 1 4 34 6 23 2 6
→
1 4 30 −10 −100 −10 −3
→
1 4 30 −10 −100 0 7
= U
L =
1 0 04 1 03 1 1
.
b. Vegen zonder rijverwisselingen geeft een negatieve spil dus de matrix is niet positief-definiet.
Opgave 1.5.1
1.5.2 Oplossing Vgl. SHL oefening 4.4.1.Oplossen van het stelsel inhomogene vergelijkingen bij b. geeft ook het antwoord voor a.
b. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan):1 1 2 −3 −11 1 2 −3 −12 1 4 −6 −1
−3 3 −6 −9 −3
→
1 1 2 −3 −10 0 0 0 00 −1 0 0 10 6 0 0 −6
→
116 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
→(
1 0 2 −3 00 1 0 0 −1
).
Vrije variabelen x3, x4. Er volgtx1 = −2x3 + 3x4, x2 = −1, x3 = x3, x4 = x4.Dus de algemene oplossing is
x =
0
−100
+ x3
−2
010
+ x4
3001
.
a. De algemene oplossing van de homogene vergelijking is dus
x = x3
−2
010
+ x4
3001
.
c. De vectoren v1 t/m v4 zijn afhankelijk.
d. Een mogelijke basis is {v1, v2}.
Opgave 1.5.2
1.5.3 Oplossing
a. Als BK oefening 7.7.1.We moeten de kleinste-kwadratenoplossing bepalen van het stelsel
α
11111
+ β
23456
=
34345
,
d.w.z. het stelsel Ax = b met
A =
1 21 31 41 51 6
en b =
34345
.
Deze vinden we door oplossen van de normaalvergelijking
AT A
(αβ
)= AT b
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking(5 2020 90
)(αβ
)=(
1980
)met oplossing α = 21
9 en β = − 110 .
Oplossingen Opgaven 117
b. Volgt met SHL §5.2.4.De projectie p is
p = A
(215
− 110
)=
110
4039383736
.
Opgave 1.5.3
1.5.4 Oplossing Dit is SHL oefening 6.4.7.
a. Vgl. BK oefening 3.10.5, 3.10.11
q1
=1√2
1−1
0
; a2 −(
a1 · a2
a1 · a1
)a1 =
201
−
1−1
0
=
111
dus
q2
=1√3
111
.
Een orthonormale basis voor de deelruimte is {q1, q
2}.
b. Zoek een vector die loodrecht staat op q1
en q2. Bijv. 1
1−2
.Kies q3
==1√6
11
−2
.
Een orthonormale basis voor R3 is nu {q1, q
2, q
3}.
Opgave 1.5.4
1.5.5 Oplossing Vgl. BK oefening 4.3.11.
a. Volgens BK stelling 4.8. is (L(x1))S de 1e kolom van A .Dus
(L(x1))S =(
2−1
)en .
b. Evenzo is (L(x2))S de 2e kolom van A, d.w.z.
(L(x2))S =(−3
4
).
L is lineair dus
(L(x1 + x2))S = (L(x1))S + (L(x2))S =(
31
).
c.
L(x1) = 1x1 − 2x2 =(
1−3
)en L(x2) = 2x1 + 3x2 =
(21
).
118 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
d.
L(x1 + x2) = L(
10
)=(
3−2
), L(x2) = L
(01
)=(
23
).
Dus de gevraagde matrix is (3 2
−2 1
).
Opgave 1.5.5
1.5.6 Oplossing Vgl. BK oefening 2.1.21 en SHL extra oefeningen 3.59 en 3.5.10.det(3AAT B−1) = 33 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 1
25 = 27. Opgave 1.5.6
1.5.7 Oplossing
a. rang(A) = rang(AT ) = 3.
b. Volgens de dimensiestelling is dim(N (A)) + rang(A) = 7. Dusdim(N (A)) = 4.
Opgave 1.5.7
1.5.8 Oplossing Deze matrix is verkregen uit de matrix A door de tweede en de derde rij met 3 tevermenigvuldigen en vervolgens de tweede en de derde rij te verwisselen.Antwoord: -36 Opgave 1.5.8
1.5.9 Oplossing Vgl. SHL oefening 9.4.1.
a. De algemene oplossing is
x(t) = c1
(2−1
)e2t + c2
(11
)e−3t , c1, c2 ∈ R .
b. Invullen van de beginvoorwaarde geeft(71
)= c1
(2−1
)+ c2
(11
)Oplossen van dit stelsel vergelijkingen geeft c1 = 2 en c2 = 3. De oplossing is dus
x(t) = 2(
2−1
)e2t + 3
(11
)e−3t .
Opgave 1.5.9
1.6.1 Oplossing
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan) geeft: 1 2 3 1 81 3 0 1 71 0 2 1 3
→
1 2 3 1 80 1 −3 0 −10 −2 −1 0 −5
→
→
1 0 9 1 100 1 −3 0 −10 0 −7 0 −7
→
1 0 0 1 10 1 0 0 20 0 1 0 1
.
Oplossingen Opgaven 119
Dus x1, x2, x3 zijn basisvariabelen, x4 is een vrije variabele. Er volgt
x1 = 1− x4
x2 = 2x3 = 1x4 = x4
Dus de algemene oplossing is
x =
1210
+ x4
−1
001
.
b. Een basis voor de nulruimte is dus
{
−1
001
} .
c. Een basis voor de kolommenruimte wordt gevormd door de eerste drie kolommen van A (zie BKblz. 175).
Opgave 1.6.1
1.6.2 Oplossing Zie BK 8.3.5.
a. Vegen van de matrix (Gauss) geeft: 2 3 44 5 104 8 2
→
2 3 40 −1 20 2 −6
→
2 3 40 −1 220 0 −2
= U
L =
1 0 02 1 02 −2 1
.
b. Het stelsel Ux = L−1b is equivalent met LUx = b. Los eerst op Lz = b, daarna Ux = z. Ervolgt x = (4 − 2 1)T .
Opgave 1.6.2
1.6.3 Oplossing
a. Met
a =
−5−3
123
en b =
31
−20
−2
,
volgt aT a = 48 en aT b = −26. Dus γ = − 1324 .
120 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. Als BK oefening 7.7.1.We moeten de kleinste-kwadratenoplossing bepalen van het stelsel
α
11111
+ β
−5−3
123
=
31
−20
−2
,
d.w.z. het stelsel Ax = b met
A =
1 −51 −31 11 21 3
en b =
31
−20
−2
.
Deze vinden we door oplossen van de normaalvergelijking
AT A
(αβ
)= AT b
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking(5 −2−2 48
)(αβ
)=(
0−26
)met oplossing α = − 13
59 en β = − 65118 .
c. Een mogelijk antwoord is te laten zien dat
‖b− aγ‖2 > ‖b−A
(αβ
)‖2
Een andere mogelijkheid is op te merken dat de kleinste-kwadratenbenadering wordt verkregendoor projectie. Bij a. projecteert men op een lijn, bij b. op een vlak waarin deze lijn bevat is.De benadering bij b. is dus gelijk aan of beter dan de benadering bij a. Omdat uit de berekeningvolgt dat hij niet gelijk is is hij dus beter.
Opgave 1.6.3
1.6.4 Oplossing Het stelsel Ax = b is regulier dus N (A) = {0}. Er volgt dat A regulier is. Omdat Bregulier is is ook BA regulier. Als gevolg is ook het stelsel BAx = b regulier. (Merk op dat SHLstelling 5.1 (ii) hier bij de eerste bewijsstap niet zonder meer gebruikt mag worden omdat niet gegevenis dat Ax = b regulier is voor iedere b.) Opgave 1.6.4
1.6.5 Oplossing (Vgl. oefening BK 2.1.9.) Deze matrix is verkregen uit de matrix A door achtereenvolgensde eerste en de tweede kolom te verwisselen, de tweede rij bij de derde rij op te tellen en de derde rijmet 2 te vermenigvuldigen.Antwoord: -8. Opgave 1.6.5
1.6.6 Oplossing Vgl. BK oefening 2.1.21 en SHL extra oefeningen 3.59 en 3.5.10.det(2AT B3A−1) = 25 ∗ 3 ∗ 53 ∗ 1
3 = 4000. Opgave 1.6.6
1.6.7 Oplossing
a. Het aantal spillen in eerste 5 kolommen van de matrix is 3, dus de kolommen zijn afhankelijk.
Oplossingen Opgaven 121
b. Het aantal spillen in de uitgebreide coefficientenmatrix is ook 3 , dus er zijn oneiding veeloplossingen.
c. rang(A) = 3.
d. Met de dimensiestelling volgt dim(N (A)) = 2.
Opgave 1.6.7
1.7.1 Oplossing (Zie SHL oefening 7.4.4.e) De overgangsmatrix van de basis S naar de standaardbasis is
P =
2 1 −11 0 21 2 2
, met P−1 =
25
25 − 1
50 − 1
212
− 15
310
110
.
De gevraagde matrix is nu
B = AP−1 ==(
1 1 −115 − 4
525
).
Opgave 1.7.1
1.7.2 Oplossing (Vgl. huiswerkopdracht BK 3.10.7) Noem de basisvectoren x1, x2 en x3 resp.Maak nu de vectoren:
y1
= x1
y2
= x2 −
(x2 · y1
y1· y
1
)y1
y3
= x3 −
(x3 · y1
y1· y
1
)y1−
(x3 · y2
y2· y
2
)y2
Na invullen volgt:
y1
=
00
−11
, y2
=
101212
, y3
=
230
− 23
− 23
.
De vectoren y1, y
2en y
3vormen nu een orthogonale basis. Een orthonormale basis vinden we door
de vectoren door hun lengte te delen. Dit geeft:
{ 1√2
00
−11
,1√6
2011
,1√3
10
−1−1
} .
Opgave 1.7.2
1.7.3 Oplossing (Vgl. SHL oefening 9.4.5) Het karakteristiek polynoom van A is det(A−λI) = λ2+4λ+3 =(λ + 3)(λ + 1). De eigenwaarden zijn dus λ = −3 en λ = −1.Eigenruimte bij λ = −3:
Los op(
1 11 1
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E−3 =<
(1−1
)>
Eigenruimte bij λ = −1:
Los op(−1 1
1 −1
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E−1 =<
(11
)>
122 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Als in SHL vb. 9.3. volgt nu
eAt =(
1 1−1 1
)(e−3t 0
0 e−t
)(1 1
−1 1
)−1
= 12
(e−3t + e−t −e−3t + e−t
−e−3t + e−t e−3t + e−t
).
Opgave 1.7.3
1.7.4 Oplossing (Vgl. SHL oefening 9.4.6) Het karakteristiek polynoom van A is det(A−λI) = λ2−8λ+32.De eigenwaarden zijn dus λ = 4± 4i.Eigenruimte bij λ = 4 + 4i:
Los op(−2− 4i −4
5 2− 4i
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E4+4i =<
(−2 + 4i
5
)>
Algemene oplossing
x(t) = d1e4t
{cos(4t)
(−2
5
)− sin(4t)
(40
)}+ d2e
4t
{cos(4t)
(40
)+ sin(4t)
(−2
5
)}, d1, d2 ∈
R. Opgave 1.7.4
1.7.5 Oplossing (Vgl. SHL oefening 6.4.4.)
a. Op de diagonaal van AT A staan de inproducten van de kolommen van A met zichzelf. Dus‖a1‖ = 2 en ‖a3‖ = 3.
b. De inproducten van a1 met de andere kolommen vinden we in de eerste rij van AT A. Dusa1 · a4 = 5 6= 0. De vectoren a1 t/m a4 zijn dus niet onderling orthogonaal.
c. De projectie van a1 op a4 is (a1 · a4
a4 · a4
)a4 =
53a4 .
Opgave 1.7.5
1.7.6 Oplossing (Zie BK oefening 4.3.12.)
a. [L(x1)]T is de eerste kolom van A (zie BK Theorem 4.8). Dus [L(x1)]T =(
1−1
).
b. L(x1) = y1− y
2=(
03
).
Opgave 1.7.6
1.7.7 Oplossing (Vgl. BK oefening 4.2.3)
a. De rang van de matrix is 3. Dus dim(kerL)=1. De afbeelding is dus niet injectief.
b. De rang van de matrix is 3. Dus de dimensie van de kolommenruimte is 3. De beeldruimte isdus R3 en de afbeelding is surjectief.
Opgave 1.7.7
1.7.8 Oplossing dim(N (A))=1, dus A heeft een eigenwaarde nul. Tr(A)=1, dus de som van de drieeigenwaarden is 1 (Zie SHL stelling 8.1). A is symmetrisch dus er zijn drie reele eigenwaarden. Deeigenwaarden zijn dus 0,2,-1. Opgave 1.7.8
1.8.1 Oplossing
Oplossingen Opgaven 123
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan):1 3 −2 0 0 02 6 −5 −2 −3 −10 0 5 10 15 52 6 0 8 18 6
→
1 3 −2 0 0 00 0 −1 −2 −3 −10 0 0 0 6 20 0 0 0 0 0
→
→
1 3 0 0 4 00 0 1 2 0 00 0 0 0 3 10 0 0 0 0 0
.
Vrije variabelen x2, x4. Er volgtx1 = −3x2 − 4x4, x2 = x2, x3 = −2x4, x4 = x4, x5 = 1
3 .Dus de algemene oplossing is
x =
000013
+ r
−3
1000
+ s
−4
0−2
10
.
b.
x = r
−3
1000
+ s
−4
0−2
10
.
c. Een basis wordt gevormd door de 1e, 3e en 5e kolom van A (Zie BK blz. 175).
d. De kolommen zijn dus lineair afhankelijk.
Opgave 1.8.1
1.8.2 Oplossing
a. (Vgl. SHL oefening 5.4.6.)We moeten de kleinste-kwadratenoplossing bepalen van het stelsel
α
1111
+ β
−1
012
+ γ
1014
=
884
16
,
d.w.z. het stelsel Ax = b met
A =
1 −1 11 0 01 1 11 2 4
en b =
884
16
.
Deze vinden we door oplossen van de normaalvergelijking
AT A
(αβ
)= AT b
124 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking 4 2 62 6 86 8 18
( αβ
)=
362876
met oplossing α = 5, β = −1 en γ = 3.
b. Volgt met SHL §5.2.4.De projectie p is
p = A
5−13
=110
95715
.
Opgave 1.8.2
1.8.3 Oplossing (Vgl. SHL oefening 6.4.7 en BK oefening 3.10.16.)
a. Duidelijk is dat de vector x1 =
1100
tot S behoort (d.w.z. voldoet aan de vergelijking).
De vector x2 =
1
−1−2
0
staat hier loodrecht op (door een goede keuze van de eerste twee
componenten) en behoort eveneens tot S (door de keuze van de derde component). De vector
x3 =
1
−113
is een derde vector welke loodrecht staat op x1 en x2 en tot S behoort. Omdat de
oplossingsruimte S van de vergelijking driedimensionaal is vormen bovenstaande drie onderlingloodrechte, en dus onafhankelijke, vectoren een basis van S. Normeren geeft de orthonormalebasis
{ 1√2
1100
,1√6
1
−1−2
0
,1√12
1
−113
} .
Een alternatieve, meer omslachtige, methode is het bepalen van een basis van de oplossings-ruimte, en vervolgens deze basis m.b.v. Gram-Schmidt te orthonormaliseren.
b. S⊥ wordt opgespannen door de normaalvector van het vlak, dus een basis voor S⊥ is
{
1
−11
−1
}c. De projectie van b op S⊥ is
b2 =34
1
−11
−1
Oplossingen Opgaven 125
Dus
b1 = b− b2 = b2 =14
5
−19
−1
Opgave 1.8.3
1.8.4 Oplossing
a.
det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣−λ 2 22 1− λ 02 0 −1− λ
∣∣∣∣∣∣ = λ(λ2 − 9)
Dus de eigenwaarden van A zijn 0, 3 en -3.
b. We vinden de eigenvectoren door voor iedere gevonden eigenwaarde λ het stelsel vergelijkingen(A− λI)x = 0 op te lossen.λ = 0 geeft 0 2 2
2 1 02 0 −1
x = 0 dus E0 =<
1−22
> .
λ = 3 geeft −3 2 22 −2 02 0 −4
x = 0 dus E3 =<
221
> .
λ = −3 geeft 3 2 22 4 02 0 2
x = 0 dus E−3 =<
−212
> .
b. Niet alle eigenwaarden zijn positief, dus de matrix is niet positief definiet.
Opgave 1.8.4
1.8.5 Oplossing (Zie SHL oefening 9.4.6 en SHL §9.4.2.)
eAt =(
1 00 −1
)(Re(e(−2+3i)t) Im(e(−2+3i)t)
−Im(e(−2+3i)t) Re(e(−2+3i)t)
)(1 00 −1
)−1
= e−2t
(cos(3t) − sin(3t)sin(3t) cos(3t)
).
Opgave 1.8.5
1.8.6 Oplossing
a. rang(A)=dim(R(A))=4.
b. dim(N (A))+dim(R(A))=5 dus dim(N (A))=1.
c. dim(N (AT ))+dim(R(AT ))=8 dus dim(N (AT ))=4.
Opgave 1.8.6
1.8.7 Oplossing Er zijn twee kolommen verwisseld en de laatste rij is met drie vermenigvuldigd. Degevraagde determinant is dus −1 ∗ 3 ∗ 5 = −15. Opgave 1.8.7
126 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.8.8 Oplossing det(3B−1AT B2) = 34 ∗ 13 ∗ 2 ∗ 32 = 486. Opgave 1.8.8
1.8.9 Oplossing (Zie BK oefening 4.2.7) Deze lineaire afbeelding kan geschreven worden als L(x) = Axmet
A =
1 1 0 00 1 −1 00 0 1 −1
.
a. De matrix A heeft rang(A)=3 dus de afbeelding is surjectief.
b. Met de dimensiestelling (BK Theorem 4.7) volgt nu dat dim(ker(L))=1.
Opgave 1.8.9
1.8.10 Oplossing
a.
[y2]S =
11
−1
(2e kolom van de overgangsmatrix).
Dus
y2
= x1 + x2 − x3 =
210
.
b. De overgangsmatrix van S naar de standaardbasis heeft als kolommen de vectoren xi en is dus 1 1 00 1 01 0 1
.
Opgave 1.8.10
1.8.11 Oplossing De algemene oplossing is
x = c1e−3t
342
+ c2et
241
+ c3e5t
111
, c1, c2, c3 ∈ R .
Opgave 1.8.11
1.9.1 Oplossing
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan) geeft: 1 1 2 0 1 31 2 0 1 0 21 1 2 1 1 1
→
1 1 2 0 1 30 1 −2 1 −1 −10 0 0 1 0 −2
→
→
1 0 4 −1 2 40 1 −2 1 −1 −10 0 0 1 0 −2
→
1 0 4 0 2 20 1 −2 0 −1 10 0 1 0 −2
.
Dus x1, x2, x4 zijn basisvariabelen, x3 en x5 zijn vrije variabelen. Er volgt
x1 = −4x3 − 2x5 + 2
Oplossingen Opgaven 127
x2 = 2x3 + x5 − 3x3 = x3
x4 = −2x5 = x5
Dus de algemene oplossing is
x =
210
−20
+ x3
−4
2100
+ x5
−2
1001
.
b. Een basis voor de nulruimte is dus
{
−4
2100
,
−2
1001
} .
c. Een basis voor de kolommenruimte wordt gevormd door de eerste, tweede en vierde kolom vanA (zie BK blz. 175).
Opgave 1.9.1
1.9.2 Oplossing
a. Oplossen kan met de bij onderdeel b. verkregen resultaten. Oplossen van Lz = b geeft z =(6 − 2 − 3)T . Vervolgens oplossen van Ux = z geeft x = (3 − 2 5)T .
b. Vegen van de matrix (Gauss) geeft:
U =
1 1 11 5 31 3 1
→
1 1 10 4 20 2 0
→
1 1 10 4 20 0 −1
= U
L =
1 0 01 1 01 1
2 1
.
c. De matrix is niet positief definiet want bij vegen zonder rijverwisselingen onstaat er een negatievespil.
Opgave 1.9.2
1.9.3 Oplossing
a. Als BK oefening 7.7.1.We moeten de kleinste-kwadratenoplossing bepalen van het stelsel
α
1111
+ β
−2−1
01
=
4132
,
128 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
d.w.z. het stelsel Ax = b met
A =
1 −21 −11 01 1
en b =
4132
.
Deze vinden we door oplossen van de normaalvergelijking
AT A
(αβ
)= AT b
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking(4 −2−2 6
)(αβ
)=(
10−7
)met oplossing α = 23
10 en β = − 410 .
b. Merk op dat de kolommenruimte van de matrix A bij onderdeel b. gelijk is aan de kolommen-ruimte van de matrix A uit onderdeel a. De gevraagde vector p is dus de projectie van b op dekolommenruimte van de matrix A uit onderdeel a. Dus
p =
1 −21 −11 01 1
( 2310− 4
10
)=
110
31272319
.
Opgave 1.9.3
1.9.4 Oplossing Door de matrix vermenigvuldiging met E wordt de eerste rij 1 keer van de tweede rijafgetrokken en twee keer van de derde rij afgetrokken. De matrix is dus
E =
1 0 0−1 1 0−2 0 1
.
Opgave 1.9.4
1.9.5 Oplossing Vgl. BK oefening 2.1.21 en SHL extra oefeningen 3.59 en 3.5.10.det(2(−A)AT B3) = 210 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 33 = 110592. Opgave 1.9.5
1.9.6 Oplossing (Vgl. oefening BK 2.1.9.) Deze matrix is verkregen uit de matrix A door achtereenvolgensde eerste en de tweede rij te verwisselen, de tweede kolom van de derde kolom af te trekken en de zoverkregen derde kolom met 2 te vermenigvuldigen.Antwoord: -6 Opgave 1.9.6
1.9.7 Oplossing Merk op dat hier staat
A
1 −2 4 72 4 −2 −11 −1 −3 22 3 1 5
=
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
Dus de matrix is inverteerbaar.
a. De rang van A is 4.
Oplossingen Opgaven 129
b.
A−1 =
1 −2 4 72 4 −2 −11 −1 −3 22 3 1 5
.
Opgave 1.9.7
1.9.8 Oplossing
a. Het aantal spillen in eerste 5 kolommen van de matrix is 3 en het aantal spillen in de uitgebreidecoefficientenmatrix is ook 3 , dus er zijn oneinding veel oplossingen.
b. Het aantal spillen in eerste 5 kolommen van de matrix is 3 dus rang(A) = 3.
c. Met de dimensiestelling volgt dim(N (A)) = 2.
Opgave 1.9.8
1.10.1 Oplossing
a. (Zie SHL oefening 7.4.4.e) De overgangsmatrix van de basis S naar de standaardbasis is
PE←S =
1 1 01 1 10 1 1
, met PS←E = P−1E←S =
0 1 −11 −1 1
−1 1 0
.
De gevraagde matrix is nu
B = APS←E = AP−1E←S =
−1 1 1−2 3 0
3 −1 1
.
b. (Zie definitie 7.3) Nee, t.o.v. de orthogonale standaardbasis is de matrix van de afbeelding nietsymmetrisch.
Opgave 1.10.1
1.10.2 Oplossing
a. (Vgl. BK oefening 4.8.16) Een orthonormale basis voor V bestaat in ieder geval uit vectorenuit V , dat wil zeggen dat de vectoren aan de gegeven vergelijking x1 + x2 + x3 + x4 = 0 moetenvoldoen. We kunnen dus beginnen met het kiezen van een drietal onafhankelijk vectoren die aande vergelijking voldoen. Omdat dim(V )=3 vormen deze vectoren een basis. Orthonormaliserenmet Gram-Schmidt geeft dan een orthonormale basis. Men mag echter ook op andere wijze eendrietal orthonormale vectoren in V kiezen. Een mogelijke basis is:
{b1, b2, b3} = { 1√2
1
−100
,1√6
11
−20
,1√12
111
−3
} .
130 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. (Vgl. voorbeeld 7.2 en oefening SHL 7.4.7) We kunnen bovenstaande basis uitbreiden tot eenorthonormale basis van de R4 door er de vector
b4 =1√4
1111
aan toe te voegen. Voor de afbeelding L geldt nu dat L(b1) = b1, L(b2) = b2, L(b3) = b3 enL(b4) = 0. Dus de matrix van L t.o.v. de basis B = {b1, b2, b3, b4} op domein en bereik is
D =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0
.
Zij Q de overgangsmatrix van B naar E, d.w.z. de matrix met kolommen b1, b2, b3, b4. Dan isde gevraagde matrix
A = QDQ−1 = QAQT =14
3 −1 −1 −1
−1 3 −1 −1−1 −1 3 −1−1 −1 −10 3
.
Opgave 1.10.2
1.10.3 Oplossing (Vgl. SHL oefening 9.4.1) Het karakteristiek polynoom van A is det(A − λI) = λ2 − 1.De eigenwaarden zijn dus λ = 1 en λ = −1.Eigenruimte bij λ = 1:
Los op(
2 −24 −4
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E1 =<
(11
)>
Eigenruimte bij λ = −1:
Los op(
4 −24 −2
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E−1 =<
(12
)>
De algemene oplossing is dus
x(t) = c1
(11
)et + c2
(12
)e−t , c1, c2 ∈ R .
Dus met de beginwaarde volgt
x(0) =(
10
)= c1
(11
)+ c2
(12
).
Dus c1 = 2 en c2 = −1. De oplossing is
x(t) = 2(
11
)et −
(12
)e−t .
Opgave 1.10.3
1.10.4 Oplossing (Vgl. SHL oefening 8.4.18) dim(N (A))=1, dus A heeft een eigenwaarde nul. Tr(A)=4,dus de som van de vier eigenwaarden is 4 (Zie SHL stelling 8.1). A is symmetrisch dus er zijn vier reeleeigenwaarden. Omdat er slechts drie verschillende eigenwaarden zijn en 0 algebraische multipliciteit1 heeft volgt dat de eigenwaarden zijn 0,2,1, waarbij de eigenwaarde 1 algebraische multipliciteit 2heeft. Opgave 1.10.4
1.10.5 Oplossing
Oplossingen Opgaven 131
a. (Vgl. SHL oefening 7.4.4) Berekening van N (A) geeft N (A) =< (1 − 3 1)T >. Dit is eenbeschrijving van de nulruimte van L uitgedrukt in coordinaten t.o.v. S. Een basis voor denulruimte van L in coordinaten t.o.v. de standaardbasis E is dus
PE←S
1−3
1
=
−12−5
1
b. Duidelijk is dat de rang van de matrix 2 is. De beeldruimte is dus de R2. Iedere basis van de
R2 is dus een basis van de beeldruimte t.o.v. de basis E.
c. (x)E = (8, 3, 1)T dus (x)S = P−1E←S(8, 3, 1)T . Het beeld van deze vector t.o.v. de standaardbasis
E is dus AP−1E←S(8, 3, 1)T = (4, 4)T .
Opgave 1.10.5
1.10.6 Oplossing (Vgl. SHL oefening 6.4.4.)
a. Op de diagonaal van AT A staan de inproducten van de kolommen van A met zichzelf. Dus‖a4‖ =
√2.
b. De inproducten van a1 met de andere kolommen vinden we in de eerste rij van AT A. Dusa1 · a2 = a1 · a3 = 0. Ook is a2 · a3 = 0. De vectoren a1 t/m a3 zijn dus onderling orthogonaal.
c. De projectie van a4 op < a1, a2, a3 > is (zie BK blz. 282)
(a4 · a1)a1 + (a4 · a2)a2 + (a4 · a3)a3 = −a1 + 2a2 − 3a3 .
Opgave 1.10.6
1.10.7 Oplossing (Vgl. SHL oefening 8.4.3) Als λ een eigenwaarde is van A dan is λ− 1 een eigenwaardevan A− I. Dus de eigenwaarden van A− I zijn -1,0,-3. Opgave 1.10.7
1.11.1 Oplossing
a. (Vgl. SHL oef. 2.4.5) We zoeken een matrix P zodat PK = L, dus
P =
0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0
.
b. (Vgl. SHL 4.5.3b) De matrix U is een trapvorm voor A. Dus de 1e, 3e en 5e kolom van Avormen een basis voor de kolommenruimte van A (Zie BK blz. 248 solution 2). Berekening geeft
{
1234
,
0010
,
0120
}c. (Vgl. SHL 4.5.15a) Omdat U een trapvorm voor A is kunnen we volstaan met het oplossen van
Ux = 0 (zie SHL §4.2.1).vrije variabelen zijn dus x2, x4. Er volgt
132 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
x1 = −x4, x2 = x2, x3 = −3x4 −X5, x4 = x4, x5 = 0.Dus de algemene oplossing van Ax = 0 is
x = x2
01000
+ x4
−1
0−3
10
.
d. (Vgl. SHL 4.5.15b) Alle vectoren b in de kolommenruimtevan A.
Opgave 1.11.1
1.11.2 Oplossing
a. (Vgl. BK §6.3 voorbeeld 2, SHL oef. 7.4.5) De kolommen van A zijn de beelden van debasisvectoren op het domein geschreven t.o.v.van de basis op het bereik. Gegeven is dat het beeldvan s1 gelijk is aan 2s1, in coordinaten t.o.v. S is dit (2, 0, 0)T . Evenzo volgt [L(s2)]S = (1, 1, 0)T ,[L(s3)]S = (1, 0,−1)T . Dus
A =
2 1 10 1 00 0 −1
.
b. (Zie BK §4.7) De overgangsmatrix PE←S van S naar E heeft als kolommen de vectoren s1, s2,s3 geschreven als coordinaatvectoren t.o.v. E (BK blz. 260). Dus
PE←S =
1 1 01 0 10 1 1
.
en
PS←E = P−1E←S =
12
1 1 −11 −1 1
−1 1 1
.
c. (Vgl. SHL oef. 8.4.14) B = APS←E dus
B =12
2 2 01 −1 11 −1 −1
.
d. (Vgl. SHL oef 8.5.13e) Merk op dat wanneer we een lineaire afbeelding beschouwen met dezelfdebasis op domein en bereik de eigenwaarden onafhankelijk zijn van de gekozen basis (SHL §8.2.2.).Beschouwen we in dit geval de matrix A dan zien we direct dat de eigenwaarden zijn: 2,1,-1.Berekenen we met behulp van A de bijbehorende eigenvectoren dan zijn dit coordinaatvectorent.o.v. S. We vinden m.b.v. A:
E2 =<
100
> .
(D.w.z.L(s1) = 2s1 hetgeen gegeven is.)
E1 =<
1−10
> .
Oplossingen Opgaven 133
(D.w.z.L(s1 − s2) = s1 − s2 wat men ook direct uit de gegevens had kunnen afleiden.)
E−1 =<
10−3
> .
(D.w.z.L(s1 − 3s3) = −s1 + 3s3 wat men ook direct uit de gegevens had kunnen afleiden.) Deeigenvectoren als coordinaatvectoren t.o.v. E vindt men nu dus door bovenstaande eigenvectorent.o.v. S te vermenigvuldigen met PE←S . Dit geeft (t.o.v. E)
E2 =<
110
> ,E1 =<
01−1
> , E−1 =<
1−2−3
> .
Opgave 1.11.2
1.11.3 Oplossing
a. (Vgl. SHL oefening 5.4.6.)We moeten de kleinste-kwadratenoplossing bepalen van het stelsel
α
1111
+ β
0123
+ γ
0149
=
2101
,
d.w.z. het stelsel Ax = b met
A =
1 0 01 1 11 2 21 3 9
en b =
2101
.
Deze vinden we door oplossen van de normaalvergelijking
AT A
(αβ
)= AT b
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking 4 6 146 14 36
14 36 98
( αβ
)=
4413
met oplossing α = 21
10 , β = −1910 en γ = 1
2 .
b. De gevraagde vector u is de projectie van b op U (zie SHL §6.2.3 en BK §4.7). Merk op dat Ugelijk is aan de kolommenruimte van de matrix A uit a. De projectie van u is dus ook gelijk aande projectie van b op de kolommenruimte van A. Met SHL §5.2.4. volgtDe projectie u is
u = A
21/10−19/10
1/2
=110
21739
.
Er volgt v = b− u dus
v =110
−13−31
.
134 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Opgave 1.11.3
1.11.4 Oplossing
a. Een spectrale decompositie is A = QDQT met D een diagonaalmatrix en Q een orthogonalematrix (Zie SHL 8.2.5). In dit geval is
D =
−1 0 00 1 00 0 2
en Q =
1/√
2 0 1/√
20 1 0
1/√
2 0 −1/√
2
.
b. (Vgl SHL oef. 9.4.5, zie SHL §9.2.3)
eAt = QeDtQT =
1/√
2 0 1/√
20 1 0
1/√
2 0 −1/√
2
e−t 0 00 et 00 0 e2t
1/√
2 0 1/√
20 1 0
1/√
2 0 −1/√
2
=
=
12e−t + 1
2e2t 0 12e−t − 1
2e2t
0 et 012e−t − 1
2e2t 0 12e−t + 1
2e2t
.
c. (Zie SHL §9.2.3.).
x(t) = eA(t−t0)x0 =
12e−(t−1) + 1
2e2(t−1) 0 12e−(t−1) − 1
2e2(t−1)
0 e(t− 1) 012e−(t−1) − 1
2e2(t−1) 0 12e−(t−1) + 1
2e2(t−1)
111
=
= e−t+1
101
+ et−1
010
+ e2t−2
10
−1
.
Opgave 1.11.4
1.11.5 Oplossing
det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣1− λ 1 1
3 −1− λ 00 0 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ(λ2 − 4)
Dus de eigenwaarden van A zijn 0, 2 en -2.We vinden de eigenvectoren door voor iedere gevonden eigenwaarde λ het stelsel vergelijkingen (A−λI)x = 0 op te lossen.λ = 0 geeft 1 1 1
3 −1 00 0 0
x = 0 dus E0 =<
13−4
> .
λ = 2 geeft −1 1 13 −3 00 0 −2
x = 0 dus E2 =<
110
> .
λ = −2 geeft 3 1 13 1 00 0 2
x = 0 dus E−3 =<
1−30
> .
Oplossingen Opgaven 135
De algemene oplossing van x = Ax is dus
x = c1
13
−4
+ c2e2t
110
+ c3e−2t
1−3
0
, c1, c2, c3 ∈ R .
Opgave 1.11.5
1.11.6 Oplossing
a. rang(AT )=rang(A)=dim(R(A))=5-3=2.
b. dim(R(A))=5-3=2.
c. rang(AT )=dim(R(AT ))=2. dim(N (AT ))+dim(R(AT ))=10 dus dim(N (AT ))=8.
Opgave 1.11.6
1.11.7 Oplossing Ontwikelen naar de tweede rij geeft
−3
∣∣∣∣∣∣a1 −a3 2a2
b1 −b3 2b2
c1 −c3 2c2
∣∣∣∣∣∣Deze laatste matrix is uit A verkregen door de tweede en derde kolom te verwisselen en de laatstekolom met twee te vermenigvuldigen. De gevraagde determinant is dus −3 ∗ −1 ∗ 2 ∗ 8 = 48.
Opgave 1.11.7
1.11.8 Oplossing det(2A−1(2B)3) = 25 ∗ 116 ∗ (25 ∗ 2)3 = 219 = 524288. Opgave 1.11.8
1.11.9 Oplossing
a. (Vgl. BK oefening 4.8.7.) Een orthonormale basis is
{ 1√2
1010
,1√2
0101
,1√4
1−1−11
.
b. Uit de matrixvoorstelling volgt L(u1) = u1, L(u2) = u2, L(u3) = u3, L(u4) = −u4. Merk opdat u4 ⊥< u1, u2, u3 >. De afbeelding is dus en spiegeling in het ’vlak’ < u1, u2, u3 >.
c. Omdat L(u1) = u1, L(u2) = u2, L(u3) = u3, L(u4) = −u4 volgt dat E1 =< u1, u2, u3 >,E−1 =< u4 >.
d. De matrix B is de diagonaalmatrix met op de diagonaal de eigenwaarden 1,1,1,-1.
Opgave 1.11.9
1.11.10 Oplossing
a. De eigenwaardendecompositie is gegeven dus de eigenwaarden zijn 1 (algebraische en meetkun-dige multipliciteit 2) en 0.
136 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. De eigenruimten zijn
E1 =<
1−21
,
01−2
> en E0 =<
001
> .
c. dim(N (A))= dim(E0)=1. Dus rang(A)=2.
Opgave 1.11.10
1.12.1 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.1
1.12.2 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.2
1.12.3 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.3
1.12.4 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.4
1.12.5 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.5
1.12.6 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.6
1.12.7 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.12.7
1.13.1 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.1
1.13.2 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.2
1.13.3 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.3
1.13.4 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.4
1.13.5 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.5
1.13.6 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.6
1.13.7 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.13.7
1.14.1 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.1
1.14.2 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.2
1.14.3 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.3
1.14.4 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.4
1.14.5 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.5
1.14.6 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.6
1.14.7 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.7
Oplossingen Opgaven 137
1.14.8 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.8
1.14.9 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.9
1.14.10 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.10
1.14.11 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.14.11
1.15.1 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.1
1.15.2 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.2
1.15.3 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.3
1.15.4 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.4
1.15.5 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.5
1.15.6 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.6
1.15.7 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.7
1.15.8 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.8
1.15.9 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.9
1.15.10 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.10
1.15.11 Oplossing Geen uitwerking aanwezig. Opgave 1.15.11
1.16.1 Oplossing
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan) geeft: 3 5 −4 7 11−3 −2 4 −1 −2
6 1 −8 −4 −5
→
3 5 −4 7 110 3 0 6 90 −9 0 −18 −27
→
→
3 5 −4 7 110 1 0 2 30 0 0 0 0
→
3 0 −4 −3 −40 1 0 2 30 0 0 0
.
Dus x1, x2 zijn basisvariabelen, x3 en x4 zijn vrije variabelen. Er volgt
x1 =43x3 + x4 −
43
x2 = −2x4 + 3x3 = x3
x4 = x4
Dus de algemene oplossing is
x =
− 4
3300
+ x3
43010
+ x4
1
−201
.
138 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. Een basis voor de kolommenruimte is dus
{
3−3
6
,
5−2
1
} .
d.w.z. de kolommen van A die corresponderen met de basisvariabelen. (zie BK blz. 230, vgl.BK opgave 4.6.7).
c. Vgl. BK blz. 278 vb.2. Bepaal alle vectoren x waarvoor x ⊥ R(A) d.w.z. waarvoor geldt dat(x, (3,−3, 6)T ) = 0 en (x, (5,−2, 1)T ) = 0. Oplossen van deze vergelijkingen geeft
R(A)⊥ =<
131
> .
Opgave 1.16.1
1.16.2 Oplossing Als BK oefening 8.4.1.De kleinste-kwadratenoplossing wordt gevonden door oplossen van de normaalvergelijking
AT Ax = AT b
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking 4 8 108 20 2610 26 38
x1
x2
x3
=
121220
met oplossing (x1, x2, x3)T = (10,−6, 2)T . Opgave 1.16.2
1.16.3 Oplossing
a. Vgl. BK blz.260 vb. 4. en BK opgave 2.7.13.PS←T = ([y
1]S , [y
2]S), d.w.z. we moeten de vectoren y
1en y2 uitdrukken in coordinaten t.o.v.
S. Dit geeft (1 −2
−3 4
∣∣∣∣ −7 −5−12 −8
)∼(
1 00 1
∣∣∣∣ 5 36 4
).
Dus
PS←T =(
5 36 4
).
b.
PT←S = P−1S←T =
(2 − 3
2−3 5
2
).
c. Bepaal a en b zo dat
v =(
1−1
)= a
(1
−3
)+ b
(−2
4
).
Er volgt
[v]S =(
ab
)=(−1−1
).
Opgave 1.16.3
1.16.4 Oplossing
Oplossingen Opgaven 139
a. Het aantal niet-nul rijen is 3 dus rang(A)=3.
b. Met de dimensiestelling volgt dim(N (A)) = 2.
Opgave 1.16.4
1.16.5 Oplossing
a. dimN (A) 6= 0, dus er zijn oneinding veel oplossingen.
b. rang(A) = 3 < rang([A, b]), dus zijn er geen oplosingen (BK stelling 4.14).
c. Voor b = 0 is de oplossingsverzameling N (A) een deelruimte. Voor b 6= 0 bevat de oplossings-verzameling de nulvector niet en is de oplosingsverzameling dus geen deelruimte. Het antwoordis dus b = 0.
Opgave 1.16.5
1.16.6 Oplossing De projectie is (a,b)(a,a)a = 2a. Opgave 1.16.6
1.16.7 Oplossing Ontwikkelen naar de eerste rij geeft
2
∣∣∣∣∣∣b1 b2 b3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 2 ∗ −4 = −8 .
Opgave 1.16.7
1.16.8 Oplossing Vgl. BK oefening 2.1.21.det(3a−1BT A2) = 33 ∗ 1
5 ∗ −2 ∗ 52 = −270. Opgave 1.16.8
1.17.1 Oplossing
a.
det(A− λI) =∣∣∣∣ 4− λ −3
−3 −4− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 25 = (λ− 5)(λ + 5) .
Dus de eigenwaarden van A zijn 5 en -5.
b. We vinden de eigenvectoren door voor iedere gevonden eigenwaarde λ het stelsel vergelijkingen(A− λI)x = 0 op te lossen.λ = 5 geeft (
−1 −3−3 −9
)x = 0 dus E5 =<
(3−1
)> .
λ = −5 geeft op dezelfde manier
E−5 =<
(13
)> .
c. (Zie SHL 6.2.4) De matrix Q is de matrix met als kolommen een orthonormaal stel eigenvectoren.Omdat de matrix symmetrisch is zijn de eigenvectoren al orthogonaal.De eigenvectoren delendoor hun lengte geeft
Q =1√10
(3 1−1 3
).
D =(
5 00 −5
),
de matrix met op de diagonaal de bijbehorende eigenvectoren.
140 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
d. (Vgl SHL oef. 7.4.6, zie SHL §7.2.4)
eAt = QeDtQT =110
(3 1−1 1
)(e5t 00 −e−5t
)(3 −1−1 3
)=
110
(9e5t + e−5t −3e5t + 3e−5t
−3e5t + 3e−5t e5t + 9e−5t
).
Opgave 1.17.1
1.17.2 Oplossing (Vgl. SHL oefening 8.4.1) Het karakteristiek polynoom van A is det(A−λI) = λ2−4λ+13.De eigenwaarden zijn dus λ = 2± 3i.Eigenruimte bij λ = 2 + 3i:
Los op(−3i 3−3 −3i
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E2+3i =<
(1i
)>
Algemene oplossing
x(t) = d1e2t
{cos(3t)
(10
)− sin(3t)
(01
)}+ d2e
2t
{cos(3t)
(01
)+ sin(3t)
(10
)}, d1, d2 ∈ R.
Merk op dat we dit ook kunnen schrijven als
e2t
(1 00 1
)(cos(3t) sin(3t)− sin(3t) cos(3t)
)(d1
d2
).
Opgave 1.17.2
1.17.3 Oplossing
a. Het vlak V is de eigenruimte bij eigenwaarde 1 en V ⊥ is de eigenruimte bij eigenwaarde 0. Dui-
delijk is dat de vector x1 =
110
tot V behoort (d.w.z. voldoet aan de vergelijking). De vector
x2 =
1−1−1
staat hier loodrecht op (door een goede keuze van de eerste twee componenten)
en behoort eveneens tot V (door de keuze van de derde component). De vector x3 =
1−1
2
staat loodrecht op V . Bovenstaande drie onderling loodrechte, en dus onafhankelijke, vectorenvormen een basis S van eigenvectoren van L. Normeren geeft de orthonormale basis T .
{ 1√2
110
,1√3
1−1−1
,1√6
1−1
2
} .
b. Voor de afbeelding L geldt nu dat de matrix van L t.o.v. de basis T op domein en bereik is
D =
1 0 00 1 00 0 0
.
Zij Q de overgangsmatrix van T naar E, d.w.z. de matrix met als kolommen de orthonormalebasisvectoren van T . Dan is de gevraagde matrix
A = QDQ−1 = QAQT =16
5 1 −21 5 2
−2 2 2
.
Oplossingen Opgaven 141
Een andere mogelijk is om de matrix B van L te bepalen t.o.v. de basis S op het domein en debasis E op het bereik,
B =
1 1 01 −1 00 −1 0
,
en de overgangsmatrix
PE←S =
1 1 11 −1 −10 −1 2
.
Er geldt A = B(PE←S)−1.
Opgave 1.17.3
1.17.4 Oplossing
a. L(3x1 + 2x2 − 4x3) = 6y1
+ 6y2
+ 4y1− 4y
2− 8y
1− 4y
2= 0
b. De kolommen van deze matrix zijn [L(xi]T , dus(2 1 22 −1 1
).
Opgave 1.17.4
1.17.5 Oplossing
a. 12 , 1
4 , −1 .(zie SHL 6.2.2)
b. 8, 14, -1 . (vgl opgave SHL 6.4.3)
Opgave 1.17.5
1.17.6 Oplossing
a. Gegeven zijn eigenwaarden 1 en -1. Het product van de eigenwaarden is det(A) = 2 en alleeigenwaarden zijn reeel. Dus de derde eigenwaarde is -2.
b. De derde eigenvector moet loodrecht staan op de gegeven eigenvectoren (eigenschap symmetri-sche matrices). Dus het antwoord bestaat uit de gegeven eigenvectoren en (1, 0,−1)T .
Opgave 1.17.6
1.18.1 Oplossing
a. Vegen van de uitgebreide coefficientenmatrix (Gauss-Jordan) geeft:1 −2 1 0 −10 2 3 2 52 −2 5 2 31 0 4 2 4
→
1 −2 1 0 −10 2 3 2 50 2 3 2 50 2 3 2 5
→
→
1 0 4 2 40 2 3 2 50 0 0 0 00 0 0 0 0
→
1 0 4 2 40 1 3/2 1 5/20 0 0 0 00 0 0 0 0
.
142 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. Dus x1, x2 zijn basisvariabelen, x3 en x4 zijn vrije variabelen. Er volgt
x1 = 4− 4x3 − 2x4
x2 =52− 3
2x3 − x4
x3 = x3
x4 = x4
Dus de algemene oplossing is
x =
45200
+ x3
−4− 3
210
+ x4
−2−1
01
.
c. Een basis voor N (A) is dus
{
−4− 3
210
,
−2−1
01
} .
d. Een basis voor R(A) is dus
{
1021
,
−2
2−2
0
} .
Opgave 1.18.1
1.18.2 Oplossing
a. Zoek een vector a waarvoor geldt dat (a, v1) = 0 en (a, v2) = 0, d.w.z. los het volgende stelselop {
a1 − a2 + a3 = 0a1 + a2 − a3 = 0
De algemene oplossing is a = a3(0, 1, 1)T . Dus een basis voor V ⊥ is {(0, 1, 1)T }.
b 1e manier: Zoek getallen c1, c2, c3 zodat b = c1v1 + c2v2 + c3a. Dan geldt b1 = c1v1 + c2v2 enb2 = c3a.2e manier: Bepaal de projectie van b op V ⊥. Dit is b2. Er volgt b1 = b− b2. Uitwerken geeft
b2 =(b, a)(a, a)
a =
011
dus b1 =
2−2
2
.
Opgave 1.18.2
1.18.3 Oplossing De kleinste-kwadratenoplossing wordt gevonden door oplossen van de normaalvergelijking
AT Ax = AT b
Met
A =
1 −21 −11 01 1
en b =
4210
.
Oplossingen Opgaven 143
Invullen van A en b geeft de normaalvergelijking(4 −2−2 6
)(αβ2
)=(
7−10
)met oplossing (α, β)T = (11
10 , 1310 )T . Opgave 1.18.3
1.18.4 Oplossing (Vgl. SHL oefening 8.4.1)
a. Het karakteristiek polynoom van A is det(A − λI) = λ2 − 4λ + 13. De eigenwaarden zijn dusλ = 2± 3i.Eigenruimte bij λ = 2 + 3i:
Los op(−3i 3−3 −3i
)(x1
x2
)=(
00
). Er volgt E2+3i =<
(1i
)>
Algemene oplossing
x(t) = d1e2t
{cos(3t)
(10
)− sin(3t)
(01
)}+d2e
2t
{cos(3t)
(01
)+ sin(3t)
(10
)}, d1, d2 ∈
R.Merk op dat we dit ook kunnen schrijven als
e2t
(1 00 1
)(cos(3t) sin(3t)− sin(3t) cos(3t)
)(d1
d2
).
b. Invullen in de algemene oplossing geeft
x(0) = d1e2t
(10
)+ d2
(01
)=(−2
5
),
dus d1 = −2 en d2 = 5. De gevraagde oplossing is dus
x(t) = −2e2t
{cos(3t)
(10
)− sin(3t)
(01
)}+ 5e2t
{cos(3t)
(01
)+ sin(3t)
(10
)}= e2t cos(3t)
(−2
5
)+ e2t sin(3t)
(52
).
Opgave 1.18.4
1.18.5 Oplossing
a. Het vlak V is de eigenruimte bij eigenwaarde 1 en V ⊥ is de eigenruimte bij eigenwaarde -1.
Duidelijk is dat de vector x1 =
10
−1
tot V behoort (d.w.z. voldoet aan de vergelijking).
De vector x2 =
1−1
1
staat hier loodrecht op (door een goede keuze van de eerste en derde
componenten) en behoort eveneens tot V (door de keuze van de tweede component). De vector
x3 =
121
staat loodrecht op V . Bovenstaande drie onderling loodrechte, en dus onafhanke-
lijke, vectoren vormen een basis S van eigenvectoren van L. Normeren geeft de orthonormalebasis T .
{ 1√2
10
−1
,1√3
1−1
1
,1√6
121
} .
144 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
b. Voor de afbeelding L geldt nu dat de matrix van L t.o.v. de basis T op domein en bereik is
D =
1 0 00 1 00 0 −1
.
Zij Q de overgangsmatrix van T naar E, d.w.z. de matrix met als kolommen de orthonormalebasisvectoren van T . Dan is de gevraagde matrix
A = QDQ−1 = QAQT =13
2 −2 −1−2 −1 −2−1 −2 2
.
Een andere mogelijk is om de matrix B van L te bepalen t.o.v. de basis S op het domein en debasis E op het bereik,
B =
1 1 −10 −1 −2
−1 1 −1
,
en de overgangsmatrix
PE←S =
1 1 10 −1 2
−1 1 1
.
Er geldt A = B(PE←S)−1.
Opgave 1.18.5
1.18.6 Oplossing
a. rang(A)=7-4=3.
b. dim(R(A))= rang(A)=3.
c. dim(rijenruimte)= rang(A)=3.
Opgave 1.18.6
1.18.7 Oplossing Ontwikkelen naar de eerste rij geeft −2 ∗ det(A) = −16. Opgave 1.18.7
1.18.8 Oplossing Vgl. BK oefening 2.1.21.det(3A−1AT B2) = 33 ∗ 1
4 ∗ 4 ∗ 32 = 35 = 243. Opgave 1.18.8
1.18.9 Oplossing
a. Ax = 3x, dus de bij x behorende eigenwaarde is 3.
b. 10 . (vgl opgave SHL 6.4.3)
Opgave 1.18.9
1.18.10 Oplossing (Zie SHL §7.2.4.) Het antwoord is
eAt
(12
)= 1
10
(3e5t + 7e−5t
−e5t + 21e−5t
). Opgave 1.18.10
Oplossingen Opgaven 145
1.18.11 Oplossing De kolommen van de matrix zijn [L(xi)]T (zie BK blz. 346). Dus de gevraagde matrix is(3 1 22 −2 1
). Opgave 1.18.11
1.19.1 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.1
1.19.2 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.2
1.19.3 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.3
1.19.4 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.4
1.19.5 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.5
1.19.6 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.6
1.19.7 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.7
1.19.8 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.8
1.19.9 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.19.9
1.20.1 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.1
1.20.2 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.2
1.20.3 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.3
1.20.4 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.4
1.20.5 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.5
1.20.6 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.6
1.20.7 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.7
1.20.8 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.20.8
1.21.1 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.1
1.21.2 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.2
1.21.3 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.3
1.21.4 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.4
1.21.5 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.5
1.21.6 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.6
146 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
1.21.7 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.7
1.21.8 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.8
1.21.9 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.9
1.21.10 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.10
1.21.11 Oplossing Geen uitwerkingen aanwezig. Opgave 1.21.11
1.22.1 Oplossing Normaal van het vlak 2x + y + z = 2 is [2, 1, 1]T . Dit geeft de parametervoorstelling
x1 = 1 + 2λ,
x2 = −1 + λ,
x3 = 1 + λ.
Dus λ = x3 − 1. De vergelijkingen worden:
x1 = 2x3 − 1,
x2 = x3 − 2.
Opgave 1.22.1
1.22.2 Oplossing
a. Met MATLAB:
>> A = [1,2,0,2; -2,-5,1,-1; 0,-3,3,4; 3,6,0,-7]
A =1 2 0 2-2 -5 1 -10 -3 3 43 6 0 -7
>> b= [5;-8;1;2]
b =5-812
>> rref([A,b])
ans =1 0 2 0 10 1 -1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 0
b. M.b.v. onderdeel a. volgt de algemene oplossing1101
+ λ
−2110
.
Oplossingen Opgaven 147
c. Dus is
N (A) =
⟨−2110
⟩
met basis {
−2110
} .
d. Met MATLAB:
>> A = [A(1,:);A(3:4,:)]
A =1 2 0 20 -3 3 43 6 0 -7
>> b = [b(1,:);b(3:4,:)]
b =512
>> rref([A,b])
ans =1 0 2 0 10 1 -1 0 10 0 0 1 1
Op de laatste rij nullen na identiek aan b, dus dezelfde oplossing.1101
+ λ
−2110
.
Opgave 1.22.2
1.22.3 Oplossing
a. De normaalvergelijking is AT Ax = AT b. In MATLAB:
> A = [1,0;1,2;1,3;1,4;1,6]
A =1 01 21 31 41 6
>> b = [1;0;1;3;5]
b =1
148 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
0135
>> A’*A
ans =5 1515 65
>> A’*b
ans =1045
b. In MATLAB:
>> rref([A’*A,A’*b])
ans =1.0000 0 -0.2500
0 1.0000 0.7500
Dus x =(− 1
434
).
c. De orthogonale projectie van b op R(A) wordt gegeven door P = Ax =
− 1
4542114174
.
Opgave 1.22.3
1.22.4 Oplossing
a. Definieer A := [v1; v2; v3; v4]. Dan is V = R(A). In MATLAB:
>> A = [1,1,1,1;-3,-1,2,0;3,2,0,1;-1,1,1,-1]
A =1 1 1 1-3 -1 2 03 2 0 1-1 1 1 -1
>> rref(A)
ans =1 0 0 10 1 0 -10 0 1 10 0 0 0
Oplossingen Opgaven 149
Er zijn 3 basisvariabelen, dus de dimensie van de kolommenruimte (en dus van V ) is 3.
b. v1, v2 en v3.
c. v4 = v1 − v2 + v3.
Opgave 1.22.4
1.22.5 Oplossing
a. dimR(A)=4 .
b. rang(AT )=4 .
Opgave 1.22.5
1.22.6 Oplossing det(3(AB)T (AB)−1)=27 . Opgave 1.22.6
1.22.7 Oplossing De gevraagde determinant is det(A)*det(B)*4=-24 . Opgave 1.22.7
1.22.8 Oplossing Een mogelijke parametervoorstelling is 11−1
+ λ
003
+ µ
1−22
.
Opgave 1.22.8
1.22.9 Oplossing De lijn moet door de oorsprong gaan dus bijv.abc
=
111
.
Opgave 1.22.9
1.22.10 Oplossing Het linkerlid van de derde vergelijking is de som van de eerste 2. Er zijn dus alleenoplossingen als dit ook voor c geldt, dus c = 3. Opgave 1.22.10
1.23.1 Oplossing De matrix wordt gegeven door A = SDS−1, waarbij
S =
0 1 21 1 −11 −1 1
en D =diag(2,2,0). Uitrekenen (bijv. met Matlab) geeft
A =13
2 2 −22 5 1−2 1 5
Merk op dat niet A = SDST , omdat S niet orthogonaal is gekozen. Opgave 1.23.1
1.23.2 Oplossing
150 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
a. Karakteristieke vgl. van A is (5 − λ)2 + 16 = 0. De eigenwaarden zijn dus λ1 = 5 + 4i enλ2 = 5− 4i. De bijbehorende eigenruimten zijn:
E5+4i =<
(−2i1
)> en E5−4i =<
(2i1
)> .
De algemene complexe oplossing is
x(t) = c1
(−2i1
)e(5+4i)t + c2
(2i1
)e(5−4i)t , c1, c2 ∈ C .
b. M.b.v. de eigenwaarden en eigenvectoren berekend in onderdeel a. volgt de algemene reeleoplossing
d1e5t
(cos(4t)
(01
)− sin(4t)
(−20
))+ d2e
5t
(sin(4t)
(01
)+ cos 4t
(−20
)), d1, d2 ∈ R .
c. Invullen van t = 14π in antwoord b. geeft
−d1e54 π
(01
)− d2e
54 π
(−20
)=(
21
).
Dus d1 = −e−54 π en d2 = e−
54 π. Invullen in de formule bij antwoord b. geeft de gevraagde
oplossing.
Opgave 1.23.2
1.23.3 Oplossing
a. V woordt opgespannen door
x1 =
11−1
en x2 =
21−3
.
Dus
q1
=1
‖x1‖x1 =
1√3x1 en y2 = x2 − (x2, q1
)q1
= x2 − 2x1 =
0−1−1
.
Een orthonormale basis voor V is dus {q1, q
2} met
q1
=1√3
11−1
, q2
=1√2
0−1−1
.
b. Merk op dat v de projectie is van u op V , dus
v = (u, q1)q
1+ (u, q
2)q
2=
13
142
en w = u− v =13
2−11
Opgave 1.23.3
Oplossingen Opgaven 151
1.23.4 Oplossing Om de gevraagde overgangsmatrix te vinden moet je de vectoren van S schrijven alscoordinaatvectoren t.o.v. T . Dit geeft aanleiding tot 1 1 0
0 1 10 1 −1
∣∣∣∣∣∣2 1 1−1 2 11 0 3
Vegen geeft 1 0 0
0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣2 0 −10 1 2−1 1 −1
dus PT←S =
2 0 −10 1 2−1 1 −1
Opgave 1.23.4
1.23.5 Oplossing
20−1
Opgave 1.23.5
1.23.6 Oplossing(
5414
)Opgave 1.23.6
1.23.7 Oplossing
a. De eigenwaaarden volgen met 3λ2 − 5, waarbij λ de eigenwaarde van B is. Dus 22, 7, −2.
b. De eigenwaaarden volgen met 2λ2 − 3λ , waarbij λ de eigenwaarde van B is. Dus 5, 5
2 , 1.
Opgave 1.23.7
1.23.8 Oplossing (zie SHL blz.104) v =(
31
). Opgave 1.23.8
1.23.9 Oplossing λ1λ2λ3 = 2 en λ1 + λ2 + λ3 = 4. Er volgt met λ1 = 1 dat λ2 = 1 en λ3 = 2.Opgave 1.23.9
1.23.10 Oplossing De projectie is (v,aa,a a = − 1
5
103
. Opgave 1.23.10
1.23.11 Oplossing Bijv. met Matlab: y(t) = 4t + c1 + c2e−2t. Opgave 1.23.11
1.24.1 Oplossing Normaal van het vlak is [2,−1, 7]T dus de vergelijking van het vlak is 2x − y + 7z = c.Het vlak moet gaan door (1, 1, 2), dus c=15. De vergelijking 2x− y + 7z = 15 geeft
x =152
+12λ− 7
2µ,
y = λ,
z = µ.
Dus een mogelijke parametervoorstelling isxyz
=
15200
+ λ
120
+ µ
−702
.
Opgave 1.24.1
1.24.2 Oplossing
152 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
a. Met MATLAB:
>> A=[1 2 1 0 ;2 4 0 -2 ;1 2 -1 -2 ;2 4 -1 -3 ]
A =
1 2 1 02 4 0 -21 2 -1 -22 4 -1 -3
>> b=[3 4 1 3]’
b =
3413
>> rref([A,b])
ans =
1 2 0 -1 20 0 1 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0
b. M.b.v. onderdeel a. volgt de algemene oplossing2010
+ λ
−2100
+ µ
10−11
.
c. Dus is
N (A) =
⟨−2100
,
10−11
⟩
met basis {
−2100
,
10−11
} .
d. De laatste kolom valt ook in de geveegde matrix weg, dus201
+ λ
−210
.
Opgave 1.24.2
1.24.3 Oplossing
a. V wordt opgespannen door
v1 =
1−10
en v2 =
20−1
.
Oplossingen Opgaven 153
Dus
q1
=1
‖v1‖v1 =
1√2v1 en y2 = v2 − (v2, q1
)q1
= v2 − x1 =
−1−11
.
Een orthonormale basis voor V is dus {q1, q
2} met
q1
=1√2
1−10
, q2
=1√3
−1−11
.
b. Merk op dat b1 de projectie is van b op V , dus
b1 = (b, q1)q
1+ (b, q
2)q
2=
0−21
en b2 = b− b1 =
112
Opgave 1.24.3
1.24.4 Oplossing
a. De normaalvergelijking is AT Ax = AT b. In MATLAB:
> A = [1,1;1,2;1,3;1,4;1,5]A =
1 11 21 31 41 5
>> b = [2;4;5;5;9]b =
24559
>> A’*Aans =
5 1515 55
>> A’*bans =
2590
b. In MATLAB:
>> rref([A’*A,A’*b])ans =
1.0000 0 0.50000 1.0000 1.5000
154 MODUUL 1. LINEAIRE ALGEBRA VOOR W EN BMT, 2Y650
Dus x =(
1232
).
c. De orthogonale projectie van b op R(A) wordt gegeven door P = Ax = 12
47101316
.
Opgave 1.24.4
1.24.5 Oplossing
a. Karakteristieke vgl. van A is (3 − λ)2 + 16 = 0. De eigenwaarden zijn dus λ1 = 3 + 4i enλ2 = 3− 4i. De bijbehorende eigenruimten zijn:
E3+4i =<
(2i1
)> en E3−4i =<
(−2i1
)> .
De algemene complexe oplossing is
x(t) = c1
(2i1
)e(3+4i)t + c2
(−2i1
)e(3−4i)t , c1, c2 ∈ C .
b. M.b.v. de eigenwaarden en eigenvectoren berekend in onderdeel a. volgt de algemene reeleoplossing
d1e3t
(cos(4t)
(01
)− sin(4t)
(20
))+ d2e
3t
(sin(4t)
(01
)+ cos 4t
(20
)), d1, d2 ∈ R .
Matlab geeft met ’dsolve’ de oplossing
x1 = e3t(c1 cos(4t)− 2c2 sin(4t)) en x2 =12e3t(c1 sin(4t) + 2c2 cos(4t)) .
c. Invullen van t = 18π in antwoord b. geeft
−d1e38 π
(20
)− d2e
38 π
(01
)=(
21
).
Dus d1 = −e−38 π en d2 = −e−
38 π. Invullen in de formule bij antwoord b. geeft de gevraagde
oplossing.
Opgave 1.24.5
1.24.6 Oplossing
a. rang(AT )=3 .
b. Ja.
Opgave 1.24.6
1.24.7 Oplossing De gevraagde determinant is a1a3 − b1b3 = det(A)− det(B) = 6 . Opgave 1.24.7
Oplossingen Opgaven 155
1.24.8 Oplossing det(2B−1AT B2) = 23 ∗ 14 ∗ 3 ∗ 42 = 96. Opgave 1.24.8
1.24.9 Oplossing Ax = 3x, dus 3. Opgave 1.24.9
1.24.10 Oplossing
S =
0 1 21 1 01 0 1
en D =
3 0 00 3 00 0 0
.
Opgave 1.24.10
1.24.11 Oplossing 11, 132 , −1. Opgave 1.24.11
1.24.12 Oplossing v =(
11
). Opgave 1.24.12
1.24.13 Oplossing c1e−5t + c2e
3t , c1, c2 ∈ R . Opgave 1.24.13
1.24.14 Oplossing
a. [y1]S =
(1−1
).
b. [x1]T = 13
(21
).
c. PT←S = 13
(2 −11 1
).
Opgave 1.24.14