Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN
PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA
SKRIPSI
Oleh
IRFAN NURHIDAYAT
H1B012034
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI
UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PURWOKERTO
2016
i
PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN
PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA
SKRIPSI
Oleh
IRFAN NURHIDAYAT
H1B012034
Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh
Gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI
UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PURWOKERTO
2016
iv
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini terdaftar dan tersedia di Pusat Informasi Ilmiah Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa
hak cipta ada pada penulis dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di
Universitas Jenderal Soedirman. Pengutipan dan atau peringkasan hanya dapat
dilakukan dengan mengikuti kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
v
KATA PENGANTAR
Bismillaahirrohmaanirrohim,
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat
limpahan taufik, hidayah, dan inayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini
dengan judul “PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN
FUNDAMENTALNYA”. Sholawat serta salam semoga tetap tercurah kepada
junjungan kita Nabi Besar Muhammad SAW.
Skripsi ini ditujukan untuk memenuhi persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Jenderal Soedirman. Sistematika dalam penulisan
skripsi ini yaitu Bab I, Pendahuluan, memberikan gambaran umum yang menjadi
dasar dilakukannya penelitian terdiri dari latar belakang, perumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian. Bab II, Tinjauan
Pustaka, merangkum berbagai teori dari permasalahan yang diteliti, yang akan
digunakan sebagai landasan berpikir untuk memecahkan permasalahan. Teori-
teori tersebut antara lain mengenai teori gerak acak, ruang ,pL ruang Schwarz,
transformasi Laplace, transformasi Fourier, deret Taylor, teorema Fubini, teorema
Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton. Bab III, Metodologi
Penelitian, menjelaskan tentang prosedur penelitian. Bab IV, Hasil dan
Pembahasan, menjelaskan mengenai penurunan persamaan superdifusi dan
penyelesaian fundamental persamaan superdifusi. Persamaan superdifusi
diturunkan melalui proses gerak acak pada lattice h dengan menggunakan
peluang arah lompatan tertentu. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi
diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan
fungsi Mittag-Leffler. Bab V, Kesimpulan dan Saran, memaparkan kesimpulan
dan saran dari hasil penelitian.
Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang
terhormat :
1. Bapak Dr. Mashuri, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah
mendukung dan memberikan semangat hingga terselesaikannya skripsi ini;
vi
2. Bapak Bambang Hendriya Guswanto, M.Si., Ph.D. selaku Dosen
Pembimbing I yang telah mendukung, memberikan semangat, memberikan
arahan, dan mendidik penulis hingga terselesaikannya skripsi ini;
3. Bapak Agung Prabowo, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II yang telah
dengan sabar dan tekun memberikan koreksi dan semangat dalam proses
penyusunan skripsi ini;
4. Ibu Dr. Idha Sihwaningrum, M.Sc.St. selaku Dosen Pembimbing Seminar I
yang telah memberikan masukan, koreksi, dan saran-saran dalam
penyempurnaan skripsi;
5. Bapak Agus Sugandha, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Seminar II yang
telah memberikan masukan dan saran-saran dalam penyempurnaan skripsi;
6. Ibu Renny, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah
memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi selama penulis menempuh
studi di Jurusan Matematika;
7. Bapak Suroto, M.Sc. yang telah dengan sabar dan tekun memberikan arahan,
koreksi, dan semangat dalam proses penyusunan skripsi ini;
8. Dosen dan staf nonedukatif pada Jurusan Matematika yang telah memberi
kuliah dan pelayanan;
9. Bapak Moh. Hidayat, M.Pd. dan Ibu Dedeh Nuridah terimakasih tak
terhingga penulis ucapkan atas restu dari orang tua penulis untuk semua do’a,
pengorbanan, pengertian, dan dorongan dari keluarga tercinta;
10. Rekan-rekan kuliah, yang telah berinteraksi secara positif selama studi;
11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas segala bantuan
dan dukungannya.
Akhirnya, dengan tangan terbuka, kritik dan saran dari semua pihak akan
penulis terima demi perbaikannya.
Purwokerto, September 2016
Penulis,
vii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ ii
HALAMAN PERNYATAAN ........................................................................... iii
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................... iv
KATA PENGANTAR ....................................................................................... v
DAFTAR ISI ...................................................................................................... vii
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ..................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... x
ABSTRAK ……………………………………………………………………. xi
ABSTRACT …………………….. ..................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................... 1
1.1 Latar Belakang .................................................................. 1
1.2 Perumusan Masalah .......................................................... 2
1.3 Batasan Masalah ............................................................... 2
1.4 Tujuan Penelitian .............................................................. 2
1.5 Manfaat Penelitian ............................................................ 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................. 4
2.1 Gerak Acak ....................................................................... 4
2.2 Ruang pL ........................................................................... 4
2.3 Ruang Schwarz ................................................................. 6
2.4 Transformasi Laplace ........................................................ 6
2.5 Transformasi Fourier ......................................................... 7
2.6 Deret Taylor ...................................................................... 8
2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan
Teorema Kekonvergenan Monoton .................................. 8
BAB III METODE PENELITIAN ........................................................... 11
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................. 12
4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi .................................... 12
4.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi .......... 22
viii
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................. 28
5.1 Kesimpulan ....................................................................... 28
5.2 Saran .................................................................................. 28
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 29
ix
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG
: Himpunan bilangan kompleks
: Himpunan bilangan riil
: Himpunan bilangan bulat
V : Ruang vektor
( ), 0t t : Peluang waktu tunggu
( ), x xK : Peluang arah lompatan 2 ( )x t : Mean Squared Displacement (MSD) saat t
, ( )E z : Fungsi Mittag-Leffler
S : Ruang Schwarz pL : Ruang pL
L : Operator transformasi Laplace
F : Operator transformasi Fourier
: Fungsi gamma
: Fungsi delta Dirac
p
: Norm di ruang pL
( , )u x t : Peluang suatu partikel berada di x h pada waktu t
( , )G x t : Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi
: Operator Laplace
2
: Operator Laplace fraksional
( )B x : Bola dengan pusat x dan jari-jari
x
2
2x
( )C
terdiferensialkan tak berhingga kali secara kontinuf f
( )S ,
( ) : , ,f C f
1( )L | terintegral Riemann, ( ) f f f x dx
( )pL | terintegral Riemann, ( ) p
f f f x dx
( )L | terintegral Riemann, sup ( )x
f f f x
1( )L | terintegral Riemann, ( , ) f f f x y dxdy
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
RIWAYAT HIDUP ........................................................................................... 32
xi
ABSTRAK
Penelitian ini membahas penurunan persamaan superdifusi dan
penyelesaian fundamentalnya. Persamaan superdifusi diturunkan dari proses gerak
acak pada lattice h dengan menggunakan peluang arah lompatan 1
( ) , \{0},( )
0, 0,
C x xx
x
K
dengan 0 2 dan ( )C adalah koefisien normalisasi. Penyelesaian
fundamental persamaan superdifusi diperoleh dengan memanfaatkan transformasi
Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler. Sifat-sifat penyelesaian,
seperti simetris, menuju nol di ketakberhinggaan, positif, dan normal, diperoleh
dengan menggunakan pendekatan matematika analisis.
Kata kunci: persamaan superdifusi, penyelesaian fundamental, peluang arah
lompatan.
xii
ABSTRACT
This research discusses the derivation of superdiffusion equation and its
fundamental solution. Superdiffusion equation is derived from random walk
process on lattice h by using the probability of jump direction 1
( ) , \{0},( )
0, 0,
C x xx
x
K
with 0 2 and ( )C is the normalization coefficient. The fundamental
solution of superdiffusion equation is obtained by employing Laplace transform,
Fourier transform, and Mittag-Leffler function. The properties of the solution,
such as symmetric, tending to zero at infinity, positive, and normal, are gotten by
mathematical analysis approach.
Keywords: superdiffusion equation, fundamental solution, the probability of
jump direction.
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Difusi adalah peristiwa berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian
yang berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah (Labbẻ dan
Bustamante, 2012). Difusi akan terus terjadi hingga seluruh partikel tersebar luas
secara merata atau mencapai keadaan setimbang (Kruse dan Iomin, 2008).
Menurut Murray (2002), difusi adalah pergerakan mikroskopis dari kumpulan
partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, dan hewan di mana dalam pergerakannya
biasanya partikel bergerak acak dan menyebar. Pergerakan acak partikel yang
demikian dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Proses difusi
dapat dimodelkan dengan persamaan
, 0.tu u t
Berikut ini beberapa proses difusi dalam kehidupan sehari-hari, seperti saat
membuat teh manis yaitu dengan memasukkan gula pada air tawar dan
mengaduknya sampai gula terlarut dalam air tawar, kemudian saat kelembaban di
dalam rumah tinggi dikarenakan curah hujan yang rendah di sekitar rumah.
Pergerakan partikel proses difusi mengikuti pola
2 ( ) , 0x t t t
dengan 2 ( )x t adalah Mean Square Displacement pada saat .t
Pada proses difusi, terdapat proses yang mengalami anomali, yaitu proses
subdifusi (difusi lambat) dan proses superdifusi (difusi cepat). Beberapa contoh
proses yang menunjukkan proses subdifusi adalah dispersi pada akuifer yang
heterogen (Adams dan Gelhar, 1992), penyebaran ion pada suatu eksperimen
kolom (Hatano dkk, 1998), penyebaran kontaminan pada formasi geologi
(Berkowitz dkk, 2006), dan difusi air tanah (Laffaldano dkk, 2005). Berbeda
dengan proses difusi, dalam proses subdifusi pergerakan partikel mengikuti pola
2( ) , 0, 0 1.x t t t
Beberapa contoh proses superdifusi, yaitu kepadatan molekul pada reaksi kimia
dan gerakan bertumbukan molekul karena adanya perbedaan kecepatan gerak
2
antar molekul (Stauffer dkk, 2007), transportasi dari kompartemen satu ke
kompartemen lainnya untuk menunjukkan kepekaan rangsangan pada sel (Kruse
dan Iomin, 2008), dan perubahan gerak protein dalam inti (nucleus) yang terjadi
karena sel darah putih (leukosit) lebih banyak dari sel darah merah (eritrosit)
(Pederson, 2000). Proses difusi anomali yang demikian tidak dapat dimodelkan
dengan menggunakan persamaan difusi biasa dan persamaan subdifusi. Pada
proses superdifusi pergerakan partikel mengikuti pola
2( ) , 0, 1.x t t t
Berdasarkan uraian diatas, maka penulis tertarik untuk membahas penurunan
persamaan superdifusi dan penyelesaian fundamentalnya.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, permasalahan yang muncul
adalah bagaimana :
1. Penurunan model persamaan superdifusi ?
2. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi dan sifat-sifatnya ?
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah bahwa model diturunkan dari
proses gerak acak dengan pergerakan partikel yang terlibat dalam proses tersebut
terjadi pada lattice :h hz z dengan 0.h
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah untuk mendapatkan :
1. model persamaan superdifusi;
2. penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya.
1.5 Manfaat Penelitian
Persamaan superdifusi dan penyelesaiannya, yang merupakan hasil dari
penelitian ini, dapat digunakan sebagai model matematika alternatif untuk
menjelaskan proses difusi dengan pergerakan partikel
3
2( ) , 0, 1x t t t
yang tidak dapat dimodelkan secara baik oleh persamaan difusi biasa.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Bagian ini membahas beberapa teori yang digunakan dalam pembahasan
di bab-bab berikutnya. Teori dasar ini meliputi teori gerak acak, ruang ,pL ruang
Schwarz, transformasi Laplace, transformasi Fourier, deret Taylor, teorema
Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton.
2.1 Gerak Acak
Pada tahun 1965, Montroll dan Weiss memperkenalkan teori gerak acak.
Menurut Gorenflo dan Mainardi (2000), gerak acak diperoleh dari barisan variabel
acak waktu tunggu akan terjadinya lompatan 1 2, ,...T T dan barisan variabel acak
arah lompatan 1 2, ,...J J yang terdistribusi secara independen. Setiap variabel acak
waktu tunggu mempunyai peluang ( ),t untuk 0,t sedangkan setiap variabel
acak arah lompatan mempunyai peluang ( ),xK untuk .x Contoh gerak acak
diantaranya adalah gerak partikel yang berada dalam ruang angkasa di mana
partikel mengalami gerak acak yang diakibatkan oleh medium di sekitarnya dan
lompatan seseorang dari suatu posisi ke posisi lain ketika menghindari genangan
air. Gerak acak adalah gerak suatu partikel yang melakukan serangkaian lompatan
yang dipengaruhi oleh waktu tunggu terjadinya lompatan dan arah lompatan. Pada
gerak acak, distribusi waktu tunggu dan arah lompatan saling independen.
2.2 Ruang pL
Bagian ini membahas tentang suatu ruang fungsi yang dinamakan ruang
.pL Sebelum mendefinisikan ruang pL ini, konsep mengenai norm, barisan
Cauchy, dan ruang Banach dibahas terlebih dahulu.
Definisi 2.1
Misalkan V adalah ruang vektor atas lapangan . Fungsi :V
merupakan norm jika memenuhi sifat-sifat :
5
1. 0, 0 0,x untuk setiap x V dan x x
2. , , ,x x untuk setiap x V
3. , , .x y x y untuk setiap x y V
Ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norm dinamakan sebagai ruang
bernorm, contoh ruang bernorm adalah .N
Selanjutnya, dibahas mengenai barisan Cauchy di ruang bernorm.
Definisi 2.2
Barisan nx pada ruang bernorm V dikatakan barisan Cauchy jika
,lim 0.m n
m nx x
Jika setiap barisan Cauchy di V konvergen ke suatu titik di ,V maka ruang
bernorm V dikatakan lengkap. Ruang bernorm yang lengkap disebut sebagai
ruang Banach, contoh ruang Banach adalah .N
Selanjutnya, dibahas definisi yang menjelaskan tentang ruang fungsi .pL
Definisi 2.3
Ruang fungsi ( )pL dengan adalah himpunan yang terdiri dari fungsi-
fungsi :f yang terintegralkan dengan
( ) ,p
f x dx
untuk 1 ,p
dan
sup ( ) , .x
f x untuk p
Ruang ( )pL yang dilengkapi dengan norm
1
( ) ,p p
pf f x dx
untuk 1 ,p
6
dan
sup ( ) ,x
f f x
bersifat lengkap. Dengan demikian, ruang pL merupakan ruang Banach. Contoh
ruang 1L adalah himpunan yang terdiri dari fungsi-fungsi :f yang
terintegralkan dengan
( ) ,f x dx
dan norm 1
( ) .f f x dx
2.3 Ruang Schwarz
Ruang Schwarz, dinotasikan dengan ( )S atau ,S adalah subruang dari
ruang fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu ( ).C Di sisi lain,
ruang fungsi 0
( ) ( )k
k
C C
merupakan subruang dari ruang ( )pL dengan
1 .p Dengan demikian, ( ) ( ) ( ).pC L S Berikut ini adalah definisi
yang menjelaskan tentang ruang Schwarz.
Definisi 2.4
Ruang Schwarz adalah himpunan fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara
kontinu :u sedemikian sehingga untuk setiap bilangan nonnegatif k
dan
multiindeks berlaku
2sup 1 ( ) .
k
x
x D u x
Fungsi-fungsi yang berada di ruang Schwarz dinamakan fungsi turun cepat. Salah
satu contoh fungsi turun cepat adalah 2
( ) .x
f x e
2.4 Transformasi Laplace
Bagian ini membahas beberapa definisi dan teorema tentang transformasi
Laplace yang akan digunakan pada saat menurunkan penyelesaian fundamental
7
dari persamaan superdifusi. Berikut ini adalah definisi yang menjelaskan
transformasi Laplace dari suatu fungsi.
Definisi 2.5
Diberikan suatu fungsi ( )f t yang terdefinisi di 0.t Transformasi Laplace
untuk ( ),f t yang dilambangkan dengan ( ) ( )f t sL atau ( ),f s didefinisikan
sebagai
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,stf s f t s e f t dt
L untuk setiap .s
Transformasi Laplace bersifat linier terhadap operasi penjumlahan. Berikut ini
adalah teorema yang menjelaskan kelinieran transformasi Laplace.
Teorema 2.1
Diberikan suatu fungsi ( )f t dan ( )g t yang terdefinisi di 0,t maka untuk suatu
konstanta a dan b berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).af s bg s af t bg t s a f t s b g t s L L L
Contoh dari transformasi Laplace adalah
1
!( ) ,n
n
nt s
s L
untuk setiap .s
2.5 Transformasi Fourier
Transformasi Fourier akan digunakan pada saat menurunkan penyelesaian
fundamental dari persamaan superdifusi. Bagian ini menjelaskan tentang definisi
transformasi Fourier dari suatu fungsi dan menjelaskan teorema kelinieran pada
transformasi Fourier.
Definisi 2.6
Transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier dari fungsi 1f L secara
berurutan didefinisikan dengan
8
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ,iu xf u f x u e f x dx F
1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) .2
iu xf x f u x e f u du
F
Transformasi Fourier bersifat linier terhadap operasi penjumlahan. Berikut ini
adalah teorema yang membahas kelinieran transformasi Fourier.
Teorema 2.2
Diberikan suatu fungsi ( )f x dan ( )g x yang terdefinisi untuk setiap ,x maka
untuk suatu konstanta a dan b berlaku
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).af u bg u af x bg x u a f x u b g x u F F F
Contoh dari transformasi Fourier adalah
ˆ( , ) ( ) ( ) ( , ) 1.su x s x k s k su F
2.6 Deret Taylor
Bagian ini membahas definisi deret Taylor untuk fungsi satu peubah.
Definisi 2.7
Jika :u adalah fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu
pada setiap ,x maka deret Taylor dari u di sekitar y didefinisikan sebagai
( )
0
( )( ) ( ) .
!
nn
n
u yu x x y
n
2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan Teorema
Kekonvergenan Monoton
Bagian ini membahas teorema Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan
teorema kekonvergenan monoton. Terlebih dahulu, kita akan membahas teorema
Fubini untuk fungsi satu peubah.
9
Teorema 2.3
Misalkan ,A B dan : f A B adalah fungsi terintegralkan. Untuk
setiap ,x A maka
( ) ( , )xg y f x y
terintegralkan atas .B Artinya, fungsi
,
( , ) B
A
x f x y dy
terintegral atas ,A yaitu
( , ) .A B A B
f f x y dy dx
(2.1)
Sementara itu, untuk setiap ,y B
( ) ( , )yh x f x y
terintegralkan atas .A Artinya, fungsi
,
( , ) A
B
y f x y dx
terintegralkan atas B sehingga
( , ) .A B B A
f f x y dx dy
(2.2)
Pada persamaan (2.1) dan (2.2) integral f atas A B bersifat simetris.
Berikutnya, kita akan membahas teorema Riemann-Lebesgue untuk fungsi satu
peubah.
Teorema 2.4
Jika 1( ),f L maka ( ) 0,ik xe f x dx untuk .x
Selanjutnya, kita akan membahas teorema kekonvergenan monoton untuk fungsi
satu peubah.
10
Teorema 2.5
Jika nf adalah barisan fungsi monoton dengan lim ( ) ( ),nn
f x f x
untuk setiap
,x I maka I
f ada jika dan hanya jika lim .n
Inf
Lebih lanjut,
lim .nI In
f f
Untuk bukti teorema Fubini dapat merujuk (Cameron dan Martin, 1941), teorema
Riemann-Lebesgue dapat merujuk (Kirkwood, 1995: 7), dan untuk bukti teorema
kekonvergenan monoton dapat merujuk (Kos, 2009: 13).
11
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan untuk mengkaji penurunan model dan
penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya. Metode penelitian yang
digunakan adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari materi dari berbagai
sumber yang berkaitan dengan penelitian seperti jurnal, buku, skripsi, tesis, dan
disertasi. Yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :
1. menurunkan model melalui proses gerak acak pada lattice h dengan
menggunakan peluang arah lompatan
1( ) , \{0},
( )0, 0,
C x xx
x
K
dengan 0 2 dan ( )C adalah koefisien normalisasi;
2. menyelesaikan model dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi
Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler;
3. mengkaji sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi, seperti sifat simetris,
sifat di ketakberhinggaan, sifat positif, dan sifat normal.
12
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini membahas tentang penurunan dan penyelesaian fundamental dari
persamaan superdifusi. Persamaan tersebut diturunkan dari proses gerak acak,
sedangkan penyelesaian fundamentalnya diperoleh dengan menggunakan
transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler.
4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi
Misalkan : [0, ) K adalah suatu fungsi genap, yaitu
( ) ( )y y K K untuk setiap ,y dan memenuhi kondisi
( ) 1.k
k
K (4.1)
Di sini, persamaan superdifusi akan diturunkan dari proses yang dilakukan oleh
suatu partikel yang bergerak secara acak pada lattice h yang didefinisikan
sebagai
:h hz z
dengan 0.h Dalam proses ini, pada setiap satuan waktu 0, partikel
melompat dari suatu titik ke titik lainnya di .h Asumsikan peluang suatu partikel
untuk melompat dari titik hk h ke titik hk h adalah
( ) ( ).k k k k K K
Di sini, kita mengasumsikan (0) 0K yang berarti bahwa peluang suatu partikel
tidak melompat adalah 0. Dengan kata lain, partikel pasti selalu melompat pada
setiap jangka waktu tertentu. Selanjutnya, misalkan ( , )u x t adalah peluang suatu
partikel berada di x h dan pada waktu t dengan didefinisikan
sebagai
: .z z
Karenanya, ( , )u x t adalah penjumlahan semua peluang partikel berada pada
posisi x hk dan pada waktu t dikalikan dengan peluang partikel melompat dari
posisi x hk ke x dalam jangka waktu , yaitu
13
( , ) ( ) ( , ).k
u x t k u x hk t
K
Dari persamaan (4.1), kita memperoleh
( , ) ( ) ( , ).k
u x t k u x t
K
Akibatnya,
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )k k
u x t u x t k u x hk t k u x t
K K
( ) ( , ) ( , ) .k
k u x hk t u x t
K
(4.2)
Berikutnya, misalkan fungsi K memenuhi persamaan
1
( ) , 0,( )
0, 0,
C y yy
y
K (4.3)
dengan ( )C adalah suatu konstanta sedemikian sehingga kondisi (4.1) terpenuhi.
Jika , (0,2),h maka
1 1 ( )
( ) ( ) ( ) .k
h hk hC hk h C k
K
K = = (4.4)
Misalkan ( , , ) ( ) ( , ) ( , ) .y x t y u x y t u x t K Dari persamaan (4.2) dan (4.4),
kita memperoleh
( , ) ( , ) ( )( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
k
k
k
u x t u x t ku x hk t u x t
h hk u x hk t u x t
h hk u x hk t u x t
K
K
K
( , , ).k
h hk x t
(4.5)
Dari persamaan (4.5), jika 0 yang berimplikasi pada 0,h kita
mendapatkan
0 0
( , ) ( , )lim lim ( , , )
hk
u x t u x th hk x t
sehingga
( , ) ( , , ) .u x t y x t dyt
14
Akibatnya,
1
( , ) ( , , )
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
u x t y x t dyt
y u x y t u x t dy
C y u x y t u x t dy
K
1
( , ) ( , )( ) .
u x y t u x tC dy
y
(4.6)
Untuk t yang tetap, persamaan (4.6) dapat dituliskan menjadi
1
( ) ( )( , ) ( ) .
u x y u xu x t C dy
t y
(4.7)
Selanjutnya, kita akan menunjukkan, untuk (0,2), ( ),uS dan terbatas,
integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik. Integral pada persamaan
(4.7) dapat dituliskan dalam pengertian the Principle Value, disingkat . .,PV yaitu
1 1\ (0)0
( ) ( ) ( ) ( ). . lim
B
u x u y u x u yPV dy dy
x y x y
dengan \ (0) : .B y y Jika z y x dan ' ,z x y maka
1
1 1\ (0) \ (0)0 0
1 1\ (0) \ (0)0 0
( ) ( ). .
1 ( ) ( ) ( ) ( ')lim lim '
2 '
1 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim
2
B B
B B
u x u yPV dy
x y
u x u x z u x u x zdz dz
z z
u x u x y u x u x ydy dy
y y
1\ (0)0
1 2 ( ) ( ) ( )lim .
2 B
u x u x y u x ydy
y
(4.8)
Dengan menggunakan deret Taylor orde kedua, maka untuk ( )y B x dan 0
yang cukup kecil, kita memperoleh
2 22 2
2 2
2 ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )2 ( ) ( ) ( )
2 2
u x u x y u x y
du x d u x du x d u xu x u x y y u x y y
dx dx dx dx
15
2 22 2
2 2
22
2
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )2 ( ) ( ) ( )
2 2
( ).
du x d u x du x d u xu x u x y y u x y y
dx dx dx dx
d u xy
dx
Dengan demikian,
2 222
2 2
( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) .
d u x d u xu x u x y u x y y y
dx dx
Jadi, untuk setiap ( )y B x berlaku
21
1 2
2 ( ) ( ) ( ) ( ).
u x u x y u x y d u xy
dxy
Selanjutnya, untuk setiap \ ( )y B x berlaku
1
1
1
1
1
1
2 ( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( )
sup 2 ( ) ( ) ( )
4 sup ( )
x
x
u x u x y u x yu x u x y u x y y
y
u x u x y u x y y
u x u x y u x y y
u x u x y u x y y
y u x
14 .y u
Dengan demikian, untuk setiap y berlaku
1
2 ( ) ( ) ( )( )
u x u x y u x yf y
y
dengan
1 2
1
( ) , ( ),( )
, \ ( ).
y D u x y B xf y
y u y B x
Lemma 4.1 Fungsi 1( ) ( )y f y L dengan
1 2
1
( ) , ( ),( )
, \ ( ).
y D u x y B xf y
y u y B x
16
Bukti. Perhatikan bahwa kasus (0),x B
1 12
( ) \ ( )
1 12
( ) \ ( )
1 12
(0) \ (0)
2 1 1
1
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
B x B x
B x B x
B B
x
x
f y dy y D u x dy y u dy
D u x y dy u y dy
D u x y x dy u y x dy
D u x x y dy y x dy
u x y dy y x
1
2 1 1
1 1
2 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
( ) ( )
x
x
y x y
y y x
y
y y
dy
D u x x y d x y y x d y x
u x y d x y y x d y x
x y y xD u x
x y y xu
2 22 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) .2 2
y
x x x xD u x u
Selanjutnya, kasus (0)x B dengan ,x
1 12
( ) \ ( )
1 12
( ) \ ( )
1 12
(0) \ (0)
2 1
1 1 1
( ) ( )
( )
( ) .
( ) ( )
( ) ( ) ( )
B x B x
B x B x
B B
x
f y dy y D u x dy y u dy
D u x y dy u y dy
D u x y x dy u y x dy
D u x x y dy
u x y dy x y dy y x
x
dy
2 1
1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
x
D u x x y d x y
u x y d x y x y d x y
y x d y x
17
22
2 22
( )( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) .
2 2
y
y
y y x y
y y y x
x yD u x
x y x y y xu
x x x xD u x u
Untuk ,x
1 12
( ) \ ( )
1 12
( ) \ ( )
1 12
(0) \ (0)
2 1
1 1 1
( ) ( )
( )
( ) .
( ) ( )
( ) ( ) ( )
B x B x
B x B x
B B
x
x
f y dy y D u x dy y u dy
D u x y dy u y dy
D u x y x dy u y x dy
D u x y x dy
u x y dy y x dy y x
2 1
1 1
1
22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
( ) ( ) ( )
x
x
y
y
y x y y
y y x y
dy
D u x y x d y x
u x y d x y y x d y x
y x d y x
y xD u x
x y y x y xu
2 22 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) .2 2
x x x xD u x u
Dengan demikian,
1( ) ( ).y f y L
■
Berdasarkan Lemma 4.1, integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik.
18
Lemma 4.2 Fungsi 1( , ) ( , ) ( )x y g x y L dengan
1 2
1
( ) , ( , ) ( ),( , )
2 ( ) ( ) ( ) , ( , ) \ ( ).
y D u x x y B xg x y
y u x u x y u x y x y B x
Bukti. Karena ( ),uS maka untuk setiap ,x
2 2 2 2
2 2
1 ( ) sup 1 ( ) ,
1 ( ) sup 1 ( ) .
z
z
x D u x z D u z
x u x z u z
Oleh karena itu, terdapat 0K sedemikian sehingga untuk setiap ,x
12 2
12 22 2
1 ( ) ( ) 1 ,
1 ( ) ( ) 1 .
x u x K u x K x
x D u x K D u x K x
Jika 1tan ,y x maka tan y x sehingga
2
2
2
2
1
2
tan
sec 1
1
sec
1
1 tan
1
1
1tan .
1
d dy x
dx dx
dyy
dx
dy
dx y
dy
dx y
dy
dx x
dx
dx x
Akibatnya,
1
2
1
2
2 2
1 1 1
1tan
1
1tan
1
1 1
11
tan lim tan lim tan
.2 2 2 2
b a
dx dx dx
dx x
x dxx
dx dxxx
x b a
19
Jadi,
2 1( ) , ( ) ( ).u x D u x L
Berdasarkan Lemma 4.1,
12
( )
1
\ ( )
12
( )
1
\ ( )
1 12
( ) \ (
( , ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 ( ) ( )
( ) 4 ( )
B x
B x
B x
B x
B x B x
g x y dxdy D u x dx y y dy
u x u x y u x y dx y y dy
D u x dx y y dy
u x dx y y dy
D u x dx y dy u x dx y
)
12
(0)
1
\ (0)
( )
4 ( ) .
B
B
dy
D u x dx y x dy
u x dx y x dy
Dengan demikian,
1( , ) ( , ) ( ).x y g x y L
■
Dengan menggunakan Lemma 4.2 dan teorema Fubini,
1
1
( ) ( )( ) . . ( )
( ) 2 ( ) ( ) ( )
2
i x
u x u yC PV dy
x y
C u x u x y u x ye dydx
y
F
1
1
1
1
2 ( ) ( ) ( )( )
2
2 ( ) ( ) ( )( )
2
2 cos( ) sin( ) cos( ) sin( )( ) ( )
2
( ) 2 2cos( ) ( )
2
i x
i y i y
e u x u x y u x yCdxdy
y
u e u e uCdy
y
y i y y i yCdy u
y
C ydy u
y
F F F
F
F
1
1 cos( )( ) ( ).
yC dy u
y
F
(4.9)
20
Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa
1
1
1 cos( ) ( )
ydy C
y
dengan
1
1
1 cos( ) .C d
Misalkan fungsi :I didefinisikan dengan
1
1 cos( ) .
yI dy
y
(4.10)
Jelas bahwa .I I Jika ,y dengan , ,y maka
1
1
1
1 cos
1 cos1
1 cos
I I
ydy
y
d
d
1( )C
(4.11)
Perhatikan bahwa, untuk (0)B dengan 0 yang cukup kecil, maka deret
Taylor fungsi ( ) cosh di sekitar 0 adalah
2
2
2
2
22
22
1 1 1 1
''(0)( ) (0) '(0)
2
cos(0)cos cos(0) ( sin(0))
2
cos 1 02
cos 12
1 cos2
1 cos 1
hh h h
21
dan, untuk \ (0),B
1 1
cos 1
cos 1
1 cos 1 1
1 cos 2
1 cos 2.
Lemma 4.3 Fungsi 1( ) ( )h L dengan
1
1
1, (0),
( )2
, \ (0).
B
h
B
Bukti. Perhatikan bahwa
1 1(0) \ (0)
0
1 1 1 10
01 1 1 1
0
02 2
0
1 2( )
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) 2( ) ( ) 2
( ) 2(
2 2
B Bh d d d
d d d d
d d d d
2 2
2
) 2
2 2
2 2
2 4.
2
Dengan demikian,
1( ) ( ).h L
■
Jadi, untuk 0 2,
1
( ) ( )( ) . . ( ) ( ).
u x u yC PV dy u
x y
F F
(4.12)
22
Selanjutnya, kita mengetahui bahwa
2
( ) ( ).u u F F
(4.13)
Berdasarkan (4.12) dan (4.13), kita dapat mendefinisikan
21
( ) ( )( , ) ( ) . .
u x u yu x t C PV dy
x y
sehingga
2 ( ) ( ).u u
F F
Akibatnya, persamaan (4.7) menjadi
2( , ) ( ) ( , ).u x t C u x tt
(4.14)
Persamaan (4.14) dinamakan persamaan superdifusi.
4.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi
Bagian ini menjelaskan tentang penyelesaian fundamental dari persamaan
superdifusi. Tanpa mengurangi keumuman, perhatikan persamaan superdifusi
2( , ) ( , ), 0 2, ( ,0) ( ), .u x t u x t u x x x
t
(4.15)
Kemudian, dengan menggunakan transformasi Laplace dan Fourier, berdasarkan
persamaan (4.15), kita memperoleh
2
2
2
2
2
( , ) ( ) ( , ) ( ),
( , ) ( ) ( ,0) ( , ) ( ),
( , ) ( ) ( , ),
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ),
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ),
ˆ ( , ) 1
u x t s u x t st
s u x t s u x u x t s
su x s x u x s
su x s x k u x s k
su x s k x k u x s k
s k s ku
L L
L L
F F
F F F
F ( , ) ( ),
ˆ ˆ( , ) 1 ( , ),
u x s k
su k s k u k s
ˆ ˆ( , ) ( , ) 1,
ˆ ( , ) 1,
su k s k u k s
s k u k s
23
1ˆ ( , ) .u k ss k
(4.16)
Karena
0
0
10
10
( )
( 1)
( )
( 1)
( ) ( )!
( )!
( )
1, Re( ) .
npt
n
nn
n
n
nn
n
nn
pte
n
pt
n
p n
n s
p
s
s ps p
L L
L
maka
ˆ ( , ) .
k tu k t e
(4.17)
Selanjutnya, dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dari persamaan
(4.17), kita memperoleh
( )
1( , )
2
1( )
2
1 ( )
2
( , ) ( )
k tik x
k tik x ik y
k tik x y
u x t e e dk
e e e y dydk
e e dk y dy
G x y t y dy
dengan
1( , ) .
2
k tik xG x t e e dk
(4.18)
Selanjutnya,
1
1( , ) ( , )
1
2
1
2
k t
k tik x
ktik x
G x t e x t
e e dk
e e dk
F
24
11
( ) 2
lil xtte e dl
1 1t K xt
(4.19)
dengan
1( ) .
2
kik yK y e e dk
Teorema 4.1 Jika ( , ),G x t
, 0,x t adalah fungsi yang didefinisikan oleh
persamaan (4.18), maka ( , )G x t memenuhi sifat :
1. simetris,
2. jika ,x maka ( , ) 0,G x t
3. positif,
4. normal.
Bukti.
1. Untuk membuktikan ( , )G x t
simetris, kita harus membuktikan
( , ) ( , ),G x t G x t untuk setiap .x Berdasarkan persamaan (4.19),
kita cukup membuktikan ( )K y
simetris, yaitu ( ) ( ),K y K y untuk
setiap .y Perhatikan bahwa
( )
( )
( )
1( )
2
1
2
1
2
kik y
lil y
lil y
K y e e dk
e e dl
e e dl
1
2
( ).
lil ye e dl
K y
Akibatnya, berdasarkan persamaan (4.19),
1 1
1
1
( , )G x t t K xt
t K y
t K y
25
1 1
( , ).
t K xt
G x t
Jadi,
( , )G x t simetris.
2. Misalkan barisan 0
( )NS k
dengan
0
( ) : .( 1)
jN
N
j
kS k
j
Barisan 0
( )NS k
adalah barisan tak turun dan merupakan barisan fungsi
terintegralkan di (0) : ,B k k
(0) (0)0
(0)0
(0)0
0
( ) ( 1)
( 1)
1
( )
1
( )
jN
NB B
j
jN
Bj
Nj
Bj
Nj
j
kS k dk dk
j
kdk
j
k dkj j
k dkj j
0
00
0
00
01 1
0 0
1
0
1( )
( )
1( ) ( )
( )
1 ( )
( ) 1 1
1 2.
( ) 1
Nj j
j
Nj j
j
j jN
j
jN
j
k dk k dkj j
k d k k dkj j
k k
j j j j
j j j
Perhatikan bahwa
0
( ) : .( 1)
jN
k
N
j
kS k e
j
Berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, k
e
terintegralkan di
(0).B Sekarang, misalkan
(0)( ) , 0.
k
BI e dk
26
Menurut Podlubny (1999), jika 0 2,
1
1
( ) , , arg 2 .(1 ) 2 2
jpp
j
zE z O z z z
j
Perhatikan bahwa 0k
(bilangan kompleks dengan arg ),
maka untuk 0 2,
1 1
( 1)0, .
(1 ) (1 )
j jjp pk
j j
k ke k
j j
Untuk ,p q
(0)\ (0) (0)\ (0)( ) ( ) 0, , .
q p q p
k k
B B B BI p I q e dk e dk p q
Jadi, ( )I barisan Cauchy. Dengan kata lain,
( ) , .k
I e dk
Artinya, 1( ).k
e L
Akibatnya, dengan menggunakan teorema Riemann-
Lebesgue, kita mempunyai
lim ( ) 0.x
K x
Karena 1( )k
e L
dan 1
( ) .2
kik yK y e e dk
Dengan demikian,
1 1lim ( , ) lim ( ) 0.x x
G x t t K xt
3. Selanjutnya, kita akan memeriksa kenonnegatifan ( , ).G x t Pada Pollard
(1948), telah dibuktikan bahwa, untuk 0 1, ( )E z fungsi monoton
lengkap, yakni, untuk , 0,z z
( 1) ( ) 0, 0,1,2, .n
n
n
dE z n
dx
Jadi,
0k
e
sehingga ( , ) 0.G x t
27
4. Terakhir, kita akan membuktikan, untuk 0,t ( , )G x t normal. Perhatikan
bahwa
1( , ) ( , )
1
2
1
2
k tik x
k tix k
G t G x t dx
e e dkdx
e dx e dk
1
0
0
1
( )
( 0)
1.
k t
k t
k t
t
e dk
k e dk
k e dk
e
e
F
Jadi, ( , )G x t normal. ■
28
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai
berikut.
1. Persamaan superdifusi yang diturunkan melalui proses gerak acak dengan
menggunakan peluang arah lompatan adalah
2( , ) ( ) ( , )u x t C u x tt
dengan 2
menyatakan operator Laplace fraksional dan ( )C
menyatakan koefisien superdifusi yang didefinisikan dengan
1
1
1 cos( ) ;C d
2. Penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi adalah fungsi Gaussian
yang diperumum, yaitu
1( , ) , 0 2, 0, .
2
k tik xG x t e e dk t x
Selanjutnya, sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi meliputi :
a. sifat simetris, yaitu ( , ) ( , ),G x t G x t untuk setiap ;x
b. sifat di ketakberhinggaan, yaitu jika ,x maka ( , ) 0;G x t
c. sifat positif, yaitu ( , ) 0,G x t untuk setiap ;x
d. sifat normal, yaitu 1
( , ) 1.G t
5.2 Saran
Penelitian ini membahas tentang penurunan model salah satu proses difusi
anomali, yaitu persamaan superdifusi, beserta penyelesaian fundamentalnya dan
sifat-sifat penyelesaian di . Sebagai kelanjutan dari penelitian ini, penulis
menyarankan agar penelitian selanjutnya membahas tentang kajian numerik
proses difusi anomali.
29
DAFTAR PUSTAKA
Adams, E. E. and Gelhar, L. W. Field Study of Dispersion in a Heterogeneous
Aquifer 2. Spatial Moments Analysis. Water Resources Research, Vol. 28
No 12, 3293-3307, 1992.
Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley Publishing
Company, Inc.
Berberian, S. K. (1999). Fundamentals of Real Analysis. Springer.
Berkowitz, B., et. al. Modelling Non-Fickian Transport in Geological Formations
as a Continuous Time Random Walk. Reviews of Geophysics, 44 RG2003,
1-49, 2006.
Birkhoff, G. (1948). Lattice Theory. Vol 2, American Mathematical Society.
Cameron, R. H., Martin, W. T. An Unsymmetric Fubini Theorem, 1941. The
Massachusetts Institute of Technology.
Chechkin, A. V., Gorenflo, R., and Sokolov, I. M. Retarding Subdiffusion and
Accelerating Superdiffusion by Distributed Order Fractional Diffusion
Equations, Phys. Rev. E66 (2002), 046129/1-7.
Churchill, R. V. and Brown, J. W. (2009). Complex Variables and Applications.
Vol 8, McGraw-Hill.
Evans, L. (2010). Partial Differential Equations. Vol 19, American Mathematical
Society.
Fraleigh, J. B. (2000). A first Course in Abstract Algebra. Vol 7, Pearson
Education Asia Pte Ltd.
Gorenflo, R. and Mainardi, F. Fractional Diffusion Process: Probability
Distribution and Continuous Time Random Walk. Fracalmo Pre-print
2000, www.fracalmo.org.
Hatano, Y. and Hatano, N. Dispersive Transport of Ions in Column Experiments:
An Explanation of Long-tailed Profiles. Water Resources Research, Vol.
34 No. 5, 1027-1033, 1998.
Hejazi, H. A. (2014). Finite volume methods for simulating anomalous transport.
Thesis. Queensland, Queensland University of Technology.
Hogg, R. V., McKean, J. W., and Craig, A. T. (2005). Introduction to
Mathematical Statistics. Vol 6, Pearson Prentice Hall.
Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Company.
30
Janett, P. (2010). Diffusion on Fractals and Space-fractional Diffusion Equations.
Dissertation. Chemnitz, Chemnitz University of Technology.
Judson, T. W. (2009). Abstract Algebra Theory and Applications. Stephen F.
Austin State University.
Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., and Trujillo, J. J. (2006). Theory and
Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier.
King, A. C., Billingham, J., and Otto, S. R. (2003). Differential Equations.
Cambridge University Press.
Kirkwood, J. R. (1995). An Introduction to Analysis, Second Edition. Boston:
PWS Publishing.
Kos, M. (2009). The Generalised Riemann Integral. Amsterdam University.
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics, Tenth Edition. New
York: Laurie Rosatone.
Kruse, K. and Iomin, A. Superdiffusion of Morphogens by Receptor-mediated
Transport. Physics, Vol. 10, 15 February 2008.
Labbẻ, R. and Bustamante, G. Extreme Statistics, Gaussian Statistics, and
Superdiffusion in Global Magnitude Fluctuations in turbulence. Physics of
Fluids; Oct 2012, Vol. 24 Issue 10, p105103.
Laffaldano, G., Caputo, M., and Martino, S. Experimental and Theoretical
Memory Diffusion of Water in Sand. Hydrol. Earth Sys. Sci. Discuss., 2,
1329-1357, 2005.
Mainardi, F., Mura, A., and Pagnini, G. The M-Wright Function in Time-
Fractional Diffusion Process: A Tutorial Survey. Hindawi publishing
corporation, Vol. 2010, 2010.
Metzler, R. and J. Klafter. The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion:
Fractional Dynamics Approach, Physical Report 339, 1-77, 2000.
Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology, I: An Introduction. Third Edition.
Berlin: Springer-Verlag.
Pederson, T. Diffusional Protein Transport within the Nucleus: a Message in the
Medium. Nat. Cell Biol. 2, E73-E74, 2000.
Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press 198.
Pollard, H. The Completely Monotonic Character of the Mittag-Leffler Function
( ).E x Bull. Amer. Math. Soc., 54(12), 1115-1116, 1948.
31
Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill.
Schechter, M. (2002). Principles of Functional Analysis, Second Edition. Vol 36,
American Mathematical Society.
Schmäche, C. (2013). An Obstacle Problem for a fractional power of the Laplace
Operator. Thesis. Leipzig, Leipzig University.
Stauffer, D., et. al. Superdiffusion in a Model for Diffusion in a Molecularly
Crowded Environment. J Biol Phys. 2007 Aug; 33(4): 305-312.
Stein, E. M. (1970). Singular Integrals and Differentiability Properties of
Functions. London: Princeton University Press.
Strauss, W. A. (2008). Partial Differential Equations, Second Edition. John Wiley
& Sons, Inc.
Valdinoci, E. From the Long Jump Random Walk to the Fractional Laplacian,
Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. 49, 33-44, 2009.
Vretblad, A. (2003). Fourier Analysis and its Applications. New York: Springer-
Verlag.
Zeidler, E. (1995). Applied Functional Analysis Applications to Mathematical
Physics. New York: Springer.
Zill, D. G. (2012). A first Course in Differential Equations with Modeling
Applications, Tenth Edition. Boston: Richard Stratton.
32
RIWAYAT HIDUP
Nama : Irfan Nurhidayat
NIM : H1B012034
Tempat, Tanggal Lahir : Majalengka, 9 Oktober 1994
Alamat asal : Jalan Kapur, Dusun 01, RT. 002 RW. 001, Desa
Sutawangi, Kecamatan Jatiwangi, Kabupaten
Majalengka, 45454, Jawa Barat
Telepon : 082 324 302 099/081 222 493 430
Motto : Cleverness is more expensive than the treasures
Email : [email protected]
Bidang Kajian : Murni Analisis
Riwayat Pendidikan :
SD : 2000 – 2006 SDN 1 Sutawangi
SMP : 2006 – 2009 SMPN 2 Jatiwangi
SMA : 2009 – 2012 SMAN 1 Jatiwangi
Matematika Unsoed : 2012 – 2016
33
Prestasi :
Juara I penulisan artikel ilmiah, “Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy”, Dies-16,
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 22 Mei 2015.
Artikel Prosiding Seminar :
Nurhidayat, I., dkk., 2015, Aplikasi Teori Kekongruenan untuk Menentukan Hari
Saptawara dan Pancawara Pada Tanggal Hijriyah Tertentu, Seminar Nasional
Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Diponegoro Tahun 2015,
Semarang.
Pengalaman :
1. Asisten Tutorial Kalkulus II pada semester II tahun akademik 2013/2014.
2. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik
2014/2015.
3. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik
2015/2016.
4. Asisten Tutorial Kalkulus II pada semester II tahun akademik 2015/2016.
5. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik
2016/2017.
6. Peserta Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Tingkat Perguruan Tinggi tahun 2014, IKIP PGRI Semarang, Jawa
Tengah.
7. Peserta Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Tingkat Perguruan Tinggi tahun 2015, IKIP PGRI Semarang, Jawa
Tengah.
8. Kerja lapangan tahun 2015 di Badan Meteorologi Klimatologi dan
Geofisika (BMKG), Kec. Jatiwangi, Kab. Majalengka, Jawa Barat.
9. Pengabdian kepada masyarakat tahun 2015 di Desa Gerduren, Kec.
Purwojati, Kab. Banyumas, Jawa Tengah.
10. Pengajar bimbingan belajar SMP dan SMA The Winner Institute tahun
2015, Baturraden, Jawa Tengah.
34
11. Koordinator bidang ilmu pengetahuan Himpunan Mahasiswa Majalengka
(HIMAKA) Purwokerto tahun 2014.
Seminar (Peserta) :
1. Seminar Nasional Matematika, “Seeing the World with Mathematics and
Statistics”, Purwokerto, 22 November 2014, Universitas Jenderal
Soedirman.
2. Seminar Nasional MaG-D, “Mathematical Analysis and Geometry Day”,
Bandung, 18 April 2015, Institut Teknologi Bandung.
3. Seminar Nasional Matematika, “Ilmu Matematika Sebagai Salah Satu
Penopang dalam Mendukung Kemajuan Teknologi dan Karakter Bangsa
Indonesia”, Semarang, 12 September 2015, Universitas Diponegoro.
4. Seminar Nasional Ekonomi, “Ekonomi Syari’ah MES Banyumas”,
Purwokerto, 30 September 2016, Universitas Jenderal Soedirman.
Pelatihan :
1. Pelatihan Pengembangan Karakter dan Kepribadian Mahasiswa (PKKM)
Mahasiswa Baru Unsoed, 4-5 September 2012.
2. Orientasi Studi Mahasiswa Baru (OSMB) Fakultas Sains dan Teknik
(FST) TA 2012/2013, 6-8 September 2012.
3. Pelatihan Program Kreativitas Mahasiswa (PKM) “Tuliskan Kreasi dan
Idemu dengan PKM”, 24 November 2012.
4. Workshop Kreasi PKM dan Kepenulisan (KPK) oleh Departemen
Penalaran UKMPR, 29 Desember 2013.
5. Pelatihan Asisten dan Tutorial “Upgrade Your Ability Share Your
Knowledge to be a Useful”, 14 Juni 2014.