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Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit

Die Beweglichkeit nimmt mit zunehmender Temperatur ab !Streuung mit dem Gitter !

Feldabhängigkeit der Beweglichkeit

Für sehr hohe Feldstärken nimmt die Beweglichkeit in GaAs ab !

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Feldabhängigkeit der Beweglichkeit

Für sehr hohe Feldstärken nimmt die Beweglichkeit in GaAs ab !Elektronen gehen in die L- und X-“Täler“

Es bilden sich Bereiche mit langsamen Elektronen, gewissermassen ein Elektronenstau. Führt zum sogenannten Gunn-Effekt !

Ausnutzung in der Gunn-Diode.

Welche Zustände sind denn eigentlich besetzt ?

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Welche Zustände sind denn eigentlich besetzt ?

...

-im Prinzip sollte das Ganze ähnlich wie beim Atom erfolgen

- Besetzung von „unten nach oben“

-...wie viele Elektronen kann man in

ein Band hineinsetzen ?

.... ....

Lx

Zustandsdichte für Elektronen

• Gesucht ist die Dichte der Zustände in einem Kristall

•Gedankenexperiment: Wir betrachten einen Würfel der Kantenlänge Lx=LY=LZ=L und fordern als Randbedingung für die Elektronenwellen

Ψ, dass diese sich periodisch fortsetzen.

Für die Wellenfunktion muss gelten:

Die Blochwelle kann geschrieben werden als: ( ) ( )ikrnk nk

r e u rΨ =rr

rr r

4

.... ....

Lx

Zustandsdichte für Elektronen

( ) ( )ikrnk nk

r e u rΨ =rr

rr r

Die Funktion u(r) ist sowieso periodisch auf einer Elementarzelle, also müssen wir nur k so wählen, dass exp(ikr) periodisch mit der Periode Lx ist:

Damit ergeben sich die erlaubten Wellenvektoren:

Zustandsdichte für Elektronen

– Aufgrund der periodischen Randbedingung sind nur diskrete Energiezustände erlaubt.

– Die Wahl von L beeinflusst das Ergebnis nicht, da wir später durch das Volumen teilen.

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Zustandsdichte für Elektronen

... bzw. in 2D

Idee: Zähle zunächst die Zustände im k-Raum

d.h.

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Lπ

pro k-Zustand ein „Volumen“von

Zustandsdichte im k-Raum

• Die Anzahl der Zustände N(k)·∆kin einer Schale der Dicke ∆k im k-Raum ist („Volumen“ der Schale geteilt durch „Volumen“ eines Zustandes, ·2 wegen Spin):

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Zustandsdichte ρe(W)

• Transformation von der k-Abhängigkeit zur Energieabhängigkeit:

2 2 2 2

Aus folgt bzw. W=2

k k kE W dW dk k

m m m= = = ∆ ∆

h h h

Für die Anzahl der Zustände in einem Energieintervall W um W ergibt sich dann:

∆

•Damit ist die auf das Volumen V normierte Zustandsdichte ρe(W):

Parabelnäherung

Direkter Halbleiter z.B. GaAs

Indirekter Halbleiterz.B. Si, Ge

Wie sieht das dann konkret im Fall von parabolischen Bändern aus ?

Hier ist der Bezugspunkt für die Energie das Minimum des Leitungsbandes WL bzw. das Maximum des Valenzbandes WV.

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Zustandsdichte in der Parabelnäherung

• In der Parabelnäherung verhalten sich Elektronen im LB quasifrei mit der effektiven Masse mn. Ihre Zustandsdichte ist gegeben durch:

• In der Parabelnäherung verhalten sich Löcher im VB quasifrei mit der effektiven Masse mp. Ihre Zustandsdichte ist gegeben durch:

Äquivalente Zustandsdichten

• Die Vorfaktoren werden oft in den effektiven Zustandsdichten NL und NV zusammengefasst:

Die energieabhängige Zustandsdichte ergibt sich dann gemäß

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ZustandsdichteDispersionsrelation

Zusammenfassung Parabolische Bänder

Zustandsdichte : Badewannen-Analogie

• Wie viel Wasser ist in einer Badewanne, die bis zur Höhe von 30 cm über dem Boden gefüllt ist?

• Wie viele Liter passen in die nächsten 10 cm?• Die Antwort hängt von der Form der Badewanne ab!• Integrieren ergibt Gesamtwassermenge.

Höhe

Liter Wasser pro cm Höhe

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Zustandsdichte in Kristallen

• Die Wassermenge in einer bis zu einer bestimmten Höhe gefüllten Badewanne hängt von der Form der Badewanne ab.

• Genauso hängt die Anzahl der Ladungsträger in einem bis zu einerbestimmten Energie gefüllten Band von der Form der Bandstruktur ab.

• Die Anzahl der erlaubten Zustände pro Volumeneinheit und pro Energieintervall ist durch die Zustandsdichte ρ(W) gegeben.

Höhe

Liter Wasser pro cm Höhe

W

ρ(W)

Besetzung der Bänder• Bei T = 0 K sind alle Zustände im Valenzband (VB) mit Elektronen

besetzt und alle Zustände im Leitungsband (LB) sind unbesetzt.– Leitfähigkeit σ = 0, da es keine beweglichen Ladungsträger gibt.

• Bei steigender Temperatur T beobachtet man, dass mehr und mehr Zustände im Leitungsband besetzt sind und mehr und mehr Zuständeim Valenzband frei sind.– Da es mehr bewegliche Träger gibt, steigt die Leitfähigkeit zunächst mit

der Temperatur.• Wie können wir die Besetzung der Zustände berechnen ???

LB

VB

T = 0 K

LB

VB

T = 150 K

LB

VB

T = 300 K

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Wie kommen Elektronen ins LB?

• Elektronen können vom Valenzband (VB) ins Leitungsband (LB) übergehen, wenn ihnen mindestens die Energie WG zugeführt wird.

– Quantenmechanisch gesehen geht das Elektron durch Energiezufur von einem Zustand im Valenzband in einen Zustand im Leitungsband über.

• Die Energie kann auf verschiedene Arten zugeführt werden:– Thermische Energie (Stoß mit dem „wackelnden“ Atomgitter)– Elektromagnetische Strahlung– Elektrische Felder– …

LB

VB

WG

W

x

Quantenstatistik

Warum befinden sich bei höheren Temperaturen eigentlich Elektronen in höheren Niveaus ?

Aus der Thermodynamik:

F=U-TS=Min!

Die Besetzung der Zustände erfolgt so, dass die freie Energie minimiert wird:

Innere Energie i ii

U n E= ∑

11

Quantenstatistik

F=U-TS=Min!

Für die Entropie gilt: lnS k P=

Hierbei ist P die Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten.

Nehmen wir an, wir hätten 6 Elektronen auf zwei Energieniveaus 1 und 2 zu verteilen:

1

2

1

2Wenn alle Elektronen im Zustand 1 sind, gibt es nur eine einzige Realisierungsmöglichkeit.

S=0

Das ist der Zustand für T=0.

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Quantenstatistik

Der Zustand (5 e‘s in 1, und 1 e in 2) lässt sich mehrfach realisieren.

D.h. seine Entropie S=k lnP ist endlich. F=U-TS=Min!

Je höher die Temperatur ist, desto stärker sorgt die damit verbundene Entropieerhöhung für eine Besetzung der höheren Zustände.

Obwohl die innere Energie größer wird, wird u. U. die freie Energie kleiner !

12

Quantenstatistik

Formalerer Weg:

i

i+1

..

..

Zustand iEnergie Ei

Anzahl der Zustände gi

Minimierung der freien Energie(bei festgehaltener Teilchenzahl):

i

0; wobei 0i ii i

FF n n

nδ δ δ

∂= = =

∂∑ ∑

D.h. die Besetzung muss sich so einstellen, dass für beliebige i und k gilt:

0 wobei k i k ik i

F Fn n n n

n nδ δ δ δ

∂ ∂+ = = −

∂ ∂

Daraus folgt: k i

F Fn n

∂ ∂=

∂ ∂

Quantenstatistik F=U-TS=Min!

Wie gross ist die Entropie ?

i

i+1

..

..

Zustand iEnergie Ei

Anzahl der Zustände gi

Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten von ni Elektronen im Zustand i:

Zunächst: !

( 1)( 2)...( 1)( )!

ii i i i i

i i

gg g g g n

g n− − − + =

−

Damit ergibt sich als Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten für das Niveau i:

Es muss allerdings noch berücksichtigt werden, dass die Elektronen ununterscheidbar sind.

! 1( )! !

ii

i i i

gP

g n n=

−

13

Quantenstatistik

Für das gesamte System ergibt sich dann als Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten

! 1( )! !

ii

i i i i i

gP P

g n n= =

−∏ ∏

[ ]ln ln ! ln ! ln(( )!i i i ii

S k P k g n g n= = − − −∑Für die Entropie ergibt sich damit:

Für grosse n kann die Stirling‘sche Formel für n! eingesetzt werden:

ln ! lnn n n n≈ −

Damit folgt:

[ ]ln ln ( )ln( )i i i i i i i i i ii ik k

Fn E kT g g n n g n g n

n nµ

∂ ∂ = = − − − − − ∂ ∂ ∑ ∑

... ln kk

k k

nE kT

g n= +

−

und es ergibt sich:

[ ]ln ln ( )ln( )i i i i i i i i i ii ik k

Fn E kT g g n n g n g n

n nµ

∂ ∂ = = − − − − − ∂ ∂ ∑ ∑

... ln kk

k k

nE kT

g n= +

−

Quantenstatistik

Für die Besetzung des Zustandes i gilt also im thermodynamischen Gleichgewicht:

1

1 exp( )i i

i

n gE

kTµ

=−

+

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein quantenmechanischer Zustand der Energie E bei gegebener Temperatur besetzt ist, ist damit

1( , )

1 exp( )f E T

EkT

µ=

−+

Fermi-Dirac-Verteilung

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Fermi-Dirac-Verteilung

1( , )

1 exp( )f E T

EkT

µ=

−+

µ ist das chemische PotentialBei der T=0K ergibt sich eine Stufenfunktion.

µ wird meistensals

Fermienergie EF(WF)bezeichnet.

Vergleich Fermi- und Boltzmann-Verteilung

• Da bei Halbleitern die Fermienergie EF oft in der Bandlücke liegt, kann oft die Boltzmann-Verteilung verwendet werden.

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Anzahl der Ladungsträger

• Jetzt wissen wir, mit welcher Wahrscheinlichkeit f(W) ein Zustand im thermischen Gleichgewicht mit einem Elektron besetzt ist.

• Um die Anzahl der Ladungsträger zu berechnen müssen wir nur nochwissen, wie viele Zustände es insgesamt gibt.

• Die Anzahl der erlaubten Zustände pro Volumeneinheit und pro Energieintervall nennt man die Zustandsdichte ρ(W).

• Die Anzahl der Elektronen im Leitungsband (bzw. die Anzahl der Löcher im Valenzband) mit einer Energie W ist im thermischen Gleichgewicht gegeben durch:

• Durch Integrieren über alle Energien W erhält man die Gesamtzahl der Ladungsträger n bzw. p.

LB

VB

W

x

WF

Anzahl der Ladungsträger bei Energie W

• Für die Anzahl der Ladungsträger gilt damit:

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Gesamtzahl der Ladungsträger

• Die Gesamtdichte der beweglichen Ladungsträger im thermischen Gleichgewicht erhält man durch Integration über alle Energien

• Die äquivalenten Zustandsdichten sind also Zustandsdichten, die man sich unmittelbar an den Bandkanten lokalisiert vorstellen kann.

Eigenleitungsträgerdichte

• Da im Halbleiter Elektronen im LB und Löcher im VB paarweise entstehen gilt:

• ni nennt man die Eigenleitungsträgerdichte.• Berechnung des Produktes ergibt:

• Wir sehen, dass die Ladungsträgeranzahl ni im thermischen Gleichgewicht vom Bandabstand WG, den effektiven Massen der Bänder und der Temperatur abhängt.– Für entartete Halbleiter (Boltzmann-Näherung gilt nicht) hängt sie auch

von der Fermienergie WF ab.

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Temperaturabhängigkeit von ni

Source:[3]

• Für T = 293 K (Raumtemperatur) ist Wth = kT = 25 meV.

• WG ≈ 1 eV = 40 W th.

Ende 15.12.03