Temperatura i energia kinetyczna gazów. 13-1 Równowaga ...cmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_12a/wyklad_w12a.pdf · Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 149 W Y K Ł A

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 149

W Y K Ł A D XII

Temperatura i energia kinetyczna gazów.

Temperatura jest nam wszystkim znana jako miara tego czy ciało jest ciepłe, czy zimne. W

wykładzie tym pokaŜemy, Ŝe jednolitą skalę temperatur moŜna zdefiniować korzystając z

własności gazów o małej gęstości i, Ŝe temperatura jest miarą średniej wewnętrznej

molekularnej energii kinetycznej ciała.

13-1 Równowaga cieplna i temperatura.

Nasz zmysł czucia moŜe nam zwykle powiedzieć czy dane ciało jest ciepłe, czy zimne.

JeŜeli chcemy jakieś chłodne ciało ogrzać, to umieszczamy je w kontakcie z ciałem gorącym i

odwrotnie.

Kiedy ciało jest ogrzewane lub chłodzone, to pewne własności fizyczne tego ciała

zmieniają się. Większość ciał stałych i cieczy jeŜeli jest podgrzewane, rozszerza się. Gaz pod

wpływem podgrzewania teŜ rozszerza się, jeŜeli tylko ma taką moŜliwość, lub jeŜeli objętość

jego jest stała, to wzrasta jego ciśnienie. JeŜeli przewodnik elektryczny jest podgrzewany, to

jego opór elektryczny wzrasta. Własności fizyczne zmieniające się pod wpływem temperatury

nazywamy własnościami termometrycznymi. Zmiany we własnościach termometrycznych

pokazują zmiany temperatury ciała.

ZałóŜmy, Ŝe zetkniemy ciepłą sztabkę miedzianą z zimną sztabką Ŝelazną. Ciepła sztabka

miedziana ulegnie ochłodzeniu, a zimna Ŝelazna ogrzeje

się. Mówimy, Ŝe te dwie sztabki znajdują się w kontakcie

termicznym. Sztabka miedziana skurczy się nieco podczas

schładzania, a sztabka Ŝelazna trochę się rozszerzy podczas

ogrzewania. Po jakimś czasie proces ulegnie zatrzymaniu i

długości sztabek pozostaną juŜ stałe. Dwie sztabki znajdą

się wtedy w stanie równowagi termicznej między sobą.

ZałóŜmy teraz, Ŝe tę ciepłą płytkę miedzianą umieścimy

w zimnym jeziorze. Sztabka ochłodzi się aŜ do momentu

znalezienia się w stanie równowagi z wodą. ( Zakładamy,

Ŝe jezioro jest na tyle duŜe, Ŝe ocieplenie wody jest

całkowicie zaniedbywalne. ) Następnie umieśćmy chłodną,

Rysunek 13-1


Ŝelazną sztabkę w jeziorze w znacznej odległości od sztabki miedzianej. śelazna sztabka

ociepli się aŜ do momentu ustalenia się stanu równowagi termicznej między nią, a jeziorem.

JeŜeli teraz obie sztabki wyjmiemy z wody i doprowadzimy do kontaktu termicznego między

nimi, to nie zauwaŜymy Ŝadnych zmian w ich długościach. Będą się one znajdowały w stanie

równowagi termicznej między sobą. ChociaŜ jest to całkowicie zrozumiałe intuicyjnie, nie

moŜna tego rezultatu wywnioskować w sposób bezpośredni. Ta prawidłowość nosi nazwę

zerowej zasady termodynamiki:

( Rysunek 13-1 )

JeŜeli dwa ciała znajdują się w stanie równowagi termicznej z trzecim ciałem,

to są one równieŜ w stanie równowagi termicznej między sobą.

Zerowa zasada termodynamiki. JeŜeli dwa ciała znajdują się w równowadze termicznej między sobą, to mówimy, Ŝe

ciała te mają tę samą temperaturę. Widzimy, zatem, Ŝe zerowa zasada termodynamiki

pozwala nam określić skalę temperatur.

13-2 Skala temperatur Celsjusza.

Do zdefiniowania skali temperatur moŜemy uŜyć dowolne własności termometryczne.

Zwykły termometr rtęciowy składa się ze szklanej bańki i rurki zawierających określoną ilość

rtęci. Kiedy termometr jest doprowadzony do kontaktu z cieplejszym ciałem, wtedy rtęć się

rozszerza, zwiększając długość słupka rtęci ( szkło teŜ się rozszerza, ale w bardzo niewielkim

stopniu w porównaniu z rtęcią). MoŜemy zbudować skalę wzdłuŜ szklanej rurki w

następujący sposób. Na początku termometr jest zanurzany do ludu znajdującego się w

równowadze∗ z wodą przy ciśnieniu 1 atm. Kiedy termometr jest w równowadze z mieszaniną

wody z lodem, zaznaczamy na rurce połoŜenie słupka rtęci. Jest to normalny punkt

zamarzania wody. Następnie termometr umieszczamy w gotującej się wodzie przy ciśnieniu

1 atm. kiedy termometr znajdzie się w stanie równowagi termicznej z gotującą się wodą,

zaznaczamy nowe połoŜenie słupka rtęci. Jest to normalny punkt wrzenia wody.

W skali temperatur Celsjusza normalny punkt zamarzania wody oznaczamy jako zero

stopni Celsjusza (00C ), a punkt temperatury wrzenia wody jako 1000C. Przestrzeń między 0,

a 1000C jest podzielona na 100 równych przedziałów (stopni). Oczywiście stopnie te

∗ Woda i lód w stanie równowagi tworzą mieszaninę o stałej temperaturze.


rozciągają się powyŜej i poniŜej tych punktów. JeŜeli tL jest długością słupa rtęci, wtedy

temperatura w stopniach Celsjusza dana jest wzorem:

0

0100

0tC 100

LL

LLt ×

−−= 13-1

Gdzie 0L jest długością słupka rtęci kiedy termometr jest zanurzony w mieszaninie wody i

lodu, a 100L jest wysokością słupka rtęci we wrzącej wodzie.

Skala temperatur Fahrenheita ( uŜywana w Stanach Zjednoczonych ) określa punkt

zamarzania wody jako 320F, a punkt wrzenia wody jako 2120F. Widzimy, Ŝe jednemu

stopniowi Celsjusza odpowiada 1,8 stopnia Fahrenheita. MoŜemy znaleźć ogólną zaleŜność

między tymi skalami temperatur ze wzoru:

( )0FC 32t

9

5t −= 13-2

Zamiana jednej skali na drugą

13-3 Termometry gazowe i absolutna skala temperatur.

Kiedy róŜne typy termometrów są kalibrowane w mieszaninie wody z lodem i wrzącej

wodzie, wtedy zgadzają się między sobą ( z definicji )

w 00C i 1000C, ale dają niewielkie róŜnice w odczycie

między tymi punkami. Niezgodności narastają w

sposób zauwaŜalny powyŜej punktu wrzenia i poniŜej

punktu zamarzania. Jednak dla jednej grupy

termometrów, a mianowicie, termometrów gazowych

pomiary są ściśle zgodne nawet daleko od punktów

kalibracji. W termometrach o stałej objętości gazu

utrzymywana jest stała objętość gazu, natomiast

zmienia się ciśnienie gazu, w celu pomiaru temperatury

(Rysunek13-2). Ciśnienie w punkcie topnienia lodu 0p

i ciśnienie w punkcie wrzenia wody100p są określane

przez umieszczeniu termometru w kąpieli wodno- lodowej i w kąpieli wrzącej wody, a

otrzymany przedział podzielony jest na 100 równych stopni. JeŜeli ciśnienie wynosi tp w

Rysunek 13-2

Rtęć Gaz


kąpieli, której temperaturę chcemy określić, to temperatura w skali Celsjusza będzie

określona wzorem

0

0100

0tC 100

pp

ppt ×

−−= 13-3

Rysunek 13-3 pokazuje wyniki pomiarów punktów wrzenia siarki przy uŜyciu

termometrów stało- objętościowych wypełnionych róŜnymi gazami. Mierzona temperatura

jest przedstawiona w funkcji ciśnienia róŜnych

gazów w punkcie wrzenia wody 100p . Ciśnienie

to moŜemy zmieniać poprzez umieszczanie w

termometrze róŜnych ilości gazu. Z wykresów

widać, Ŝe przy niskich gęstościach uŜytych gazów

wskazania wszystkich termometrów są bardzo

zbliŜone. W granicy, gdy gęstość gazów dąŜy do

zera, temperatura odczytana na wszystkich

termometrach jest taka sama. PoniewaŜ pomiar

temperatury ma być niezaleŜny od własności

gazów, dlatego teŜ do określenia temperatury

uŜywa się termometrów gazowych, w których

gęstość gazów jest niewielka.

RozwaŜmy szereg pomiarów temperatur za

pomocą termometru ze stałą objętością gazu, w

którym znajduje się bardzo niewielka, ale stała ilość gazu. Zgodnie z równaniem 13-3

ciśnienie tp w termometrze zmienia się liniowo wraz z mierzoną temperaturą Ct . Rysunek

13-4 przedstawia zaleŜność między mierzoną temperaturą, a ciśnieniem w termometrze o

stałej objętości. JeŜeli przedłuŜyć linię prostą do ciśnienia równego zeru, to temperatura

osiąga wartość C15,273 0− . Taką wartość otrzymamy bez względu jaki gaz zostanie uŜyty.

Stanem odniesienia, który znacznie precyzyjniej moŜna powtórzyć, niŜ punkt zamarzania

lub wrzenia wody jest punkt potrójny wody – jedyna temperatura i ciśnienie, w których

woda moŜe istnieć w stanie równowagi tzn. pary, wody i lodu. Ten stan równowagi pojawia

się przy ciśnieniu 4,58mmHg i 0,010C. Skala temperatur Kelvina jest określona w ten

sposób, Ŝe w punkcie potrójnym temperatura wynosi 273,16 kelwinów ( K )∗ . Temperatura

∗ Jeden kelwin ma taki samą wartość co 1stopień Celsjusza

Powietrze

Rysunek 13-3

Rysunek 13-4


w innym stanie określana jest jako proporcjonalna do ciśnienia w termometrze o stałej

objętości.

pp

K16,273T

3

= 13-4

Bezwzględna skala temperatur.

gdzie p jest obserwowanym ciśnieniem w termometrze, a 3p jest ciśnieniem gazu w

termometrze jeŜeli ten zanurzony jest w kąpieli woda-lód-para w punkcie potrójnym. Wartość

3p zaleŜy od ilości gazu w termometrze Skala temperatur Kelvina, określona równaniem 13-

4, ma przewagę nad dowolnym innym sposobem pomiaru temperatury, poniewaŜ dowolna

mierzona temperatura nie zaleŜy od własności jakiegoś konkretnego gazu, a zaleŜy jedynie od

ogólnych własności gazów.

NajniŜsza temperatura jaka moŜe być zmierzona za pomocą termometru gazowego wynosi

około 1 K, a gazem musi być hel. PoniŜej tej temperatury hel przechodzi w stan ciekły;

wszystkie inne gazy mają wyŜszą temperaturę skraplania. W jednym z następnych wykładów

przekonamy się, Ŝe moŜna uŜyć drugiej zasady termodynamiki do określenia absolutnej skali

temperatur niezaleŜnej od własności jakiejkolwiek substancji i bez ograniczenia temperatur,

które chcemy mierzyć. za pomocą tej skali moŜna mierzyć nawet milionowe części kelwina.

Tak zdefiniowana bezwzględna skala temperatur jest identyczna ze skalą zdefiniowaną

równaniem 13-4 dla zakresu temperatur, które mogą być mierzone za pomocą termometrów

gazowych. Litery T uŜywa się do określania temperatury w bezwzględnej skali temperatur.

PoniewaŜ 1 celsjusz i 1 kewin mają ten sam rozmiar, to róŜnice temperatur w skali

Celsjusza i skali Kelvina są jednakowe Te dwie skale róŜnią się tylko wyborem zerowej

temperatury. Chcąc przeliczyć stopnie celsjusza na stopnie kelwina dodajemy po prostu

273,15:

K15,273tT += 13-15

Mimo, iŜ skala Celsjusza jest wygodna w codziennym stosowaniu, to absolutna skala

temperatur jest znacznie bardziej wygodna w zastosowaniach naukowych; przy jej stosowaniu

wiele wzorów ulega znacznemu uproszczeniu, a poza tym bezwzględna skala temperatur ma

znacznie głębsze uzasadnienie fizyczne.


13-4 Równanie stanu gazu doskonałego ( Równanie Clapeyrona).

Własności gazów posiadających małą gęstość umoŜliwiają zdefiniowanie skali temperatur

dla gazów doskonałych. JeŜeli spręŜamy taki gaz, jednocześnie utrzymując jego stałą

temperaturę. to ciśnienie wzrośnie. Podobnie, jeŜeli gaz rozpręŜa się przy stałej temperaturze,

jego ciśnienie maleje. Z dobrym przybliŜeniem, moŜemy przyjąć, Ŝe iloczyn ciśnienia i

objętości gazów o małej gęstości pozostaje stały w stałej temperaturze. Ta zaleŜność nosi

nazwę prawa Boyle'a i Mariotte’a :

constanspV = ( stała temperatura)

Istnieje bardziej ogólne prawo: Zgodnie z równaniem 13-4 temperatura absolutna gazu o

małej gęstości jest proporcjonalna do ciśnienia przy stałej objętości ( prawo odkryte przez

Charlses’a). Oprócz tego, prawo odkryte przez Gay-Lussaca stwierdza, iŜ temperatura w

skali bezwzględnej dla gazów o małej gęstości jest proporcjonalna do objętości, jeŜeli

ciśnienie pozostaje stałe. MoŜemy połączyć wszystkie te prawa otrzymane eksperymentalnie i

zapisać:

CTpV = 13-6

gdzie C jest stałą proporcjonalności. Zwróćmy uwagę, Ŝe C jest proporcjonalne do ilości

gazu. Weźmiemy pod uwagę dwa zbiorniki o takiej samej objętości i zawierające gaz o

jednakowej temperaturze i połączmy je. Wtedy podwójna ilość gazu zajmie podwójną

objętość przy tym samym ciśnieniu p i temperaturze T . Dlatego moŜemy zapisać C jako

iloczyn pewnej stałej k i liczby cząsteczek gazu N :

kNC =

Wtedy równanie 13-6 przyjmie postać:

NkTpV = 13-7

Stała k nazywa się stałą Boltzmanna. Dla wszystkich rodzajów gazów stwierdzono

eksperymentalni, Ŝe stała Boltzmanna ma stałą wartość i wynosi:

K/eV10617,8K/J10381,1k 523 −− ×=×= 13-8


Ilość gazu często wyraŜana jest w molach. Mol dowolnej substancji jest ilością tej substancji,

która zawiera liczbę Avogadro AN atomów lub cząsteczek zdefiniowanych jako ilość

atomów węgla w 12g 12C:

23A 10022,6N ×= 13-9

JeŜeli mamy n moli substancji, to ilość cząsteczek wynosi:

AnNN = 13-10

Wtedy równanie 13-7 moŜna zapisać w postaci:

nRTkTnNpV A == 13-11

gdzie kNR A= i nazywa się uniwersalną stałą gazową. Jej wartość wynosi :

Kmol/J314,8kNR A ⋅== 13-12

Rysunek 13-5 pokazuje zaleŜność

nT/pV w funkcji ciśnienia p dla

szeregu gazów. Dla wszystkich gazów

nT/pV jest prawie stałe dla

stosunkowo duŜego zakresu ciśnień.

Nawet tlen, którego zmiany są

największe na wykresie zmienia

powyŜszą wartość o 1% w zakresie od 0

do 5atm. Gaz doskonały jest określony jako taki, Dla którego zmiany nT/pV są stałe dla

wszystkich ciśnień. Ciśnienie, objętość i temperatura dla gazu doskonałego są powiązane

zaleŜnością:

nRTpV = 13-13

Równanie gazu doskonałego ( Równanie Clapeyrona )

Zmienne p , V i T opisują stan makroskopowy gazu w danej chwili ( Stan

mikroskopowy gazu mógłby być opisany przez podanie połoŜenia i prędkości kaŜdej cząstki

gazu ) . Równanie takie jak 13-13 opisujące zaleŜności między tymi makroskopowymi

parametrami stanu nazywa się równaniem stanu. Dla dowolnego gazu o dowolnej gęstości

istnieje równanie stanu wiąŜące parametry stanu p , V i T z daną ilością gazu. Tak więc,

Rysunek 13-15


stan makroskopowy danej ilości gazu jest określony przez dwa lub trzy parametry stanu.

Równanie 13-13 opisuje własności realnych gazów posiadających małą gęstość ( a tym

samym niskie ciśnienie ). Dla większych gęstości naleŜy wprowadzić poprawki do równania

13-13. Takie poprawki są, na przykład, wprowadzane do innego równania stanu – równania

van der Waalsa opisującego własności rzeczywistych gazów o duŜej gęstości.

Temperatura 00C ( 273,15 ) i ciśnienie 1atm często nazywamy warunkami normalnymi .

MoŜna łatwo pokazać, Ŝe w warunkach

normalnych 1 mol gazu doskonałego zajmuje

objętość 22,4l.

Ćwiczenie: Z równania 13-13 wyznacz objętość 1

mola podstawiając warunki normalne.

Rysunek 13-5 Przedstawia zaleŜność

ciśnieniapod objętości V dla róŜnych stałych

temperatur. Krzywe te nazywają się izotermami.

Izotermy dla gazu doskonałego są hiperbolami. Dla

stałej ilości gazu widać, Ŝe wielkość T/pV jest stała JeŜeli indeks 1 oznacza wartości

początkowe, a indeks 2 warunki końcowe, to moŜemy zapisać :

1

11

2

22

T

Vp

T

Vp = 13-14

Równanie gazu doskonałego dla stałej ilości gazu.

Masa substancji przypadająca na jeden mol nazywa się masą molową (masą cząsteczkową)

µ . Masa molowa C12 zgodnie z definicją wynosi 12g/mol = 12 X 10-3kg/mol. Masa

molowa cząsteczki takiej jak CO2 jest sumą mas pierwiastków wchodzących w skład

cząsteczki. PoniewaŜ masa molowa tlenu wynosi 16g/mol, to masa molowa O2 wynosi

32g/mol i masa molowa cząsteczki CO2 jest równa 12+32 = 44g/mol.

Masę nmoli gazu moŜemy zapisać jako:

µnm=

a gęstość ρ gazu doskonałego jako:

V

n

V

m µρ ==

Rysunek 13-5


stosując RT/pV/n = z równania 13-13 otrzymujemy:

pRT

µρ = 13-15

Gęstość gazu doskonałego.

Dla danej temperatury gęstość gazu doskonałego jest proporcjonalna do jego ciśnienia.

13-5 Kinetyczna teoria gazów.

Opisanie zachowania się gazu za pomocą makroskopowych parametrów stanu V,p i

T moŜna powiązać z prostymi średnimi wielkościami mikroskopowymi takimi jak: masa i

prędkość pojedynczych cząsteczek gazu. Taka teoria nazywa się kinetyczną teorią gazów.

Z punktu widzenia teorii kinetycznej gaz składa się ogromnej liczby cząsteczek

doznających zderzeń spręŜystych między sobą i ze ściankami pojemnika. Pod nieobecność sił

zewnętrznych (siły grawitacji moŜemy zaniedbać), cząsteczka nie zajmuje jakiegoś

uprzywilejowanego połoŜenia w zbiorniku i nie istnieje jakiś uprzywilejowany kierunek

prędkości. Zakładamy, Ŝe cząsteczki w naczyniu znajdują się w znacznie większej odległości

od siebie niŜ ich średnica i nie oddziaływają na siebie Ŝadnymi siłami, oprócz momentów,

kiedy ulegają zderzeniom. ( To ostatnie załoŜenie jest równowaŜne załoŜeniu, Ŝe gęstość gazu

jest bardzo mała, a tym samym gaz moŜemy traktować jako doskonały. PoniewaŜ pęd jest

zachowany, to zderzenia cząsteczek między sobą nie mają wpływu na pęd całkowity w

dowolnym kierunku – w związku z tym takie zderzenia mogą być zaniedbywalne).

Obliczenie ciśnienia wywieranego przez gaz.

Ciśnienie jaki gaz wywiera na ścianki naczynia jest spowodowane zderzeniami cząsteczek

gazu z tymi ściankami naczynia. Ciśnienie to jest równe sile działającej na jednostkę

powierzchni, a z drugiego prawa Newtona wynika, Ŝe siła ta jest równa szybkości zmian pędu

cząsteczek gazu zderzających się ze

ściankami naczynia.

RozwaŜmy prostopadłościenny pojemnik

o objętości V zawierający N cząsteczek ,

kaŜda o masie m poruszającej się z

prędkością v. Policzmy siłę wywieraną

przez te cząsteczki na prawą ściankę Rysunek 13-6


naczynia, która jest prostopadła do osi x i ma pole powierzchni A. Ilość cząsteczek

uderzających w tę ściankę w czasie t∆ jest równa ilości cząsteczek, które znajdują się w

odległości tvx∆ od ścianki i poruszają się na prawo ( Rysunek 13-6 ). Ta ilość jest równa

ilości cząstek przypadających na jednostkę objętości w naczyniu razy Atvx ⋅∆ , razy ½ ,

poniewaŜ średnio tylko połowa cząstek porusza się na prawo. W rezultacie ilość cząstek

uderzających w ściankę naczynia jest równa:

Cząstki uderzające w ściankę tAvV

N

2

1x∆=

Składowa x-owa pędu cząsteczki wynosi xmv+ przed uderzeniem w ściankę i xmv− po

uderzeniu w ściankę. W rezultacie zmiana pędu ma wartość xmv2 . Wartość całkowitej

zmiany pędu p∆ wszystkich cząsteczek w czasie t∆ jest równa xmv2 razy ilość cząsteczek

uderzających w prawą ściankę w tym czasie :

( ) mtAvV

NtAv

V

N

2

1mv2p 2

xxx ⋅=

×= ∆∆∆ 13-16

Siła wywierana przez prawą ściankę na cząsteczki i przez cząsteczki na ściankę jest równa

zmianie momentowi podzielonemu przez czas t∆ . Ciśnienie jest równe sile podzielonej przez

pole powierzchni :

2x

x mvV

N

t

p

A

1

A

Fp ===

∆∆

lub

2xNmvpV = 13-17

Uwzględniając fakt, Ŝe cząsteczki w naczyniu nie posiadają jednakowych prędkości, moŜemy

jedynie zastąpić 2xv przez wartość średnią ( )

śr2xv . Wtedy równanie 13-17 wyraŜone za

pomocą energii kinetycznej 2xmv

2

1 w ruchu wzdłuŜ osi x przyjmie postać:

śr

2xmv

2

1N2pV

= 13-18


Molekularna interpretacja temperatury .

Porównując równanie 13-18 z równaniem 18-7, które zostało otrzymane eksperymentalnie dla

dowolnego o bardzo małej gęstości widzimy, Ŝe:

śr

2xmv

2

1N2NkTpV

==

lub

kT2

1mv

2

1

śr

2x =

13-19

Średnia energia związana z ruchem kierunku x

W rezultacie średnia energia kinetyczna ruchu jednej cząsteczki w kierunku osi x jest równa

kT2

1. Jednak nic szczególnego nie wyróŜnia kierunku x . Dlatego średnio:

( ) ( ) ( )śr

2zśr

2yśr

2x vvv == 13-20

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )śr

2xśr

2zśr

2yśr

2xśr

2 v3vvvv =++=

Pisząc ( ) ( )śr

2śr

2x v

3

1v = 13.20a

i oznaczając przezśrK średnią energię poszczególnych cząsteczek, równanie 13-18 przyjmie

postać:

śrNK

3

2pV =

Jest to tzw. Podstawowe równanie kinetyczno-molekularnej teorii gazów.

JeŜeli podstawić 13.20a do 13.19 to otrzymamy:

kT2

3mv

2

1K

śr

2śr =

= 13-21

Średnia energia kinetyczna jednej cząsteczki


W rezultacie temperatura bezwzględna jest miarą średniej energii kinetycznej ruchu

postępowego cząsteczek gazu∗∗∗∗. Całkowita energia ruchu postępowego n moli gazu

zawierających N cząsteczek jest równa:

nRT2

3NkT

2

3mv

2

1NK

śr

2 ==

= 13-22

Energia kinetyczna ruchu postępowego n moli gazu

gdzie podstawiliśmy nRKnNNk A == . W rezultacie, średnia energia kinetyczna ruchu

postępowego

przypadająca na jedną cząsteczkę wynosi kT2

3, a energia kinetyczna ruchu postępowego

jednego mola gazu

wynosi RT2

3.

MoŜemy uŜyć otrzymane wyniki dla oszacowania rzędu wielkości prędkości cząstek gazu.

Średnią wartość 2v otrzymamy z równania 13-21:

( )µRT3

mN

kTN3

m

kT3v

A

Aśr

2 ===

gdzie mNA=µ jest masą cząsteczkową. Pierwiastek kwadratowy z ( )śr

2v nazywa się

średnią prędkością kwadratową :

( )µRT3

m

kT3vv

śr2

kw === 13-23

Ćwiczenie Oblicz średnią prędkość kwadratową cząstek azotu (µ= 28g/mol ) w temperaturze

300K.

( Odpowiedź 516m/s )

Zasada ekwipartycji energii.

∗ Zaznaczyliśmy słowa ruch postępowy, poniewaŜ cząsteczka moŜe energię kinetyczną ruchu obrotowego, lub drgającego. Tylko energia kinetyczna ruchu postępowego jest istotna, kiedy obliczamy ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia.


Przekonaliśmy się, Ŝe średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki w dowolnym

kierunku jest równa kT2

1 ( Równanie 13-19), gdzie k jest stałą Boltzmanna. JeŜeli energia

cząsteczki związana z ruchem w danym kierunku gwałtownie zwiększa się, powiedzmy

dzięki zderzeniu z poruszającym się tłokiem podczas spręŜania, to zderzenia między tą

cząsteczką, a innymi cząsteczkami rozdzielą tę dodatkową energię. Kiedy gaz znajdzie się

ponownie w stanie równowagi, to energia ta będzie równomiernie rozdzielona między energie

kinetyczne ruchu postępowego we wszystkich trzech kierunkach x, y, z. Ten równomierny

podział energii ruchu postępowego we wszystkich trzech kierunkach nosi nazwę zasady

ekwipartycji energii i wynika z klasycznej mechaniki statystycznej. KaŜda składowa

połoŜenia, jak i pędu ( włączając w to połoŜenie kątowe i moment pędu ), która pojawia się

jako element kwadratowy w wyraŜeniu na energię układu nazywa się stopniem swobody.

Typowe stopnie swobody są związane z energią kinetyczną ruchu postępowego, ruchu

obrotowego i ruchu drgającego, a takŜe z energią potencjalną ruchu drgającego. Zasada

ekwipartycji energii stwierdza:

JeŜeli substancja znajduje się w stanie równowagi, to średnia energia

przypadająca na

jeden stopień swobody wynosi kT2

1na jedną cząsteczkę, lub RT

2

1na jeden

mol .

W następnym wykładzie zastosujemy zasadę ekwipartycji energii aby powiązać mierzoną

pojemność cieplną gazów z ich budową cząsteczkową.

Średnia droga swobodna.

Średnia prędkość cząsteczek gazu przy typowych ciśnieniach wynosi kilkaset metrów na

sekundę, jednak jeŜeli ktoś po drugiej stronie pokoju, w którym się znajdujemy otworzy

flakonik perfum, to zapach poczujemy nie natychmiast, a po jakimś czasie. W rzeczywistości

gdyby nie było przepływu powietrza przez pokój, to zapachu nie poczulibyśmy całymi

tygodniami. Rozchodzenie się zapachu jest dlatego tak wolne, poniewaŜ cząsteczki perfum

mimo, Ŝe poruszają się bardzo szybko, to nie poruszają się w naszym kierunku po prostej, ale

drodze zygzakowatej, równie często do przodu jak i do tyłu. Dzieje się tak dlatego, Ŝe


cząsteczki te doznają ciągłych zderzeń z cząsteczkami powietrza. Średnia odległość przebyta

przez cząsteczkę między dwoma zderzeniami λ nazywa się średnią drogą swobodną.

Średnia droga swobodna zaleŜy od rozmiaru cząsteczki, rozmiarów cząsteczek

otaczającego gazu i gęstości gazu. Weźmy pod

uwagę cząsteczkę o promieniu 1r poruszającą się z

prędkością vprzez obszar nieruchomych cząsteczek

( Rysunek 13-7 ). Poruszające się cząsteczki będą

zderzać się z innymi cząsteczkami o promieniu 2r ,

jeŜeli środki tych dwu cząsteczek znajdą się w

odległości mniejszej od siebie niŜ 21 rrd += . ( jeŜeli

wszystkie cząsteczki są tego samego rodzaju, to d jest

średnicą tych cząsteczek ). Podczas poruszania się

cząsteczek, będą one zderzać się z kaŜdą cząsteczką,

której środek znajduje się w okręgu o promieniu d

(Rysunek 13-8 ). W ciągu pewnego czasu t przebędzie

ona drogę vt i zderzy się z kaŜdą cząsteczką znajdującą

się w cylindrze o objętości vtd2π . Ilość cząsteczek w tej objętości wynosi vtdn 2vπ , gdzie

V/Nnv = jest ilością cząsteczek na jednostkę objętości. ( Po kaŜdym zderzeniu kierunek

cząsteczki zmieni się i droga jej będzie linią łamaną). Całkowita długość drogi podzielona

przez ilość zderzeń da nam średnią drogę swobodną:

2

v2

v dn

1

vtdn

vt

ππλ ==

To wyliczenie średniej drogi swobodnej zostało zrobione przy załoŜeniu, Ŝe oprócz jednej

wszystkie inne cząsteczki nie poruszają się. JeŜeli uwzględnić ruch wszystkich pozostałych

cząsteczek to prawidłowe wyraŜenie na średnią drogę swobodną będzie miało postać:

2v dn2

1

πλ = 13-24

Średni czas między zderzeniami oznaczmy τ . Odwrotność czasu τ tzn. τ/1 jest w

przybliŜeniu równa ilości zderzeń zachodzących w ciągu jednej sekundy, czyli częstotliwości

Rysunek13-7

średnica d

pole = πd2

Rysunek 13-8


zderzeń. JeŜeli śrv jest średnią prędkością, to średnia odległość przebyta między zderzeniami

jest równa:

τλśrv= 13-25

P R Z K Ł A D

Średnica cząsteczek azotu wynosi około 3,75 X 10-10 m, a masa molowa jest równa 28g/mol.

(a) Oblicz średnią drogę swobodną cząsteczki azotu w temperaturze 300K i ciśnieniu 1 atm.

(b) Oszacuj czas między zderzeniami, przyjmując, Ŝe średnia prędkość jest równa średniej

prędkości kwadratowej.

Analiza zadania. (a) PoniewaŜ dane jestd to potrzebujemy tylko vn aby wyliczyć λ z

równania 2v dn2/1 πλ = ( Równanie 13-24 ). MoŜna zastosować równanie gazu

doskonałego , aby znaleźć V/Nnv = . ( Upewnij się czy zamieniłeś 1 atm na paskale, tak

aby zgadzały się jednostki ). (b) Zastosuj równanie 13-26 w celu znalezienia związku τ z λ i

śrv , a następnie wylicz µ/RT3vv kwśr =≈

( Równanie 13-23 ).

(a) 1. Zapisz λ wykorzystując gęstość cząstek vn i średnicę 2

v dn2

1

πλ =

cząsteczkową d.

2. Zastosuj równanie NkTpV = do wyliczenia V/Nnv =

325v m/czastek1045,2n ×=

3 Podstaw wartość vn i na podstawie danego d oblicz średnią

drogę swobodną m1053,6 8−×=λ

(b) 1. Zapiszτ w postaci śrv

λτ =

2. Oszacuj śrv na podstawie wyliczonego smvkw /517=

3. Zastosuj kwśr vv ≈ aby obliczyć τ s103,1 10−×≈τ


Uwaga. Zwróć uwagę, Ŝe średnia droga swobodna jest około 2000 razy większa od średnicy

cząsteczek, i Ŝe częstość zderzeń ich wynosi około s/1108/1 9×≈τ

Documents

Temperatura i energia kinetyczna gazów. 13-1 Równowaga ...cmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_12a/wyklad_w12a.pdf · Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 149 W Y K Ł A