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Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015

Temas Selectos de Matemáticas Diverti-Guía Anual

Prof. Leonel Magaña Mejía

La Guía Anual de Temas Selectos de Matemáticas es la suma de exámenes de periodo, exámenes parciales con su respectiva resolución, tareas ejercicios del libro de consulta y trabajos que fueron solicitados para su compilación en la Carpeta de Evidencias por parte del Docente desde principio del ciclo escolar 2014 - 2015.

Los ejercicios siguientes son un extracto de los conocimientos adquiridos durante el ciclo y aunados a la Carpeta de Evidencias, proporcionarán lo necesario para el estudio y acreditación de la materia.


Unidad 1. Conjuntos, Lógica e Inducción Matemática

Ø Conjuntos o Definición o Extensión o Comprensión

Ø Conjuntos Particulares o Universal o Vacío o Iguales o Disjunto o Equivalente

§ Correspondencia Biunívoca o Idéntico o Complementario o Finito o Infinito

Ø Subconjunto Ø Subconjunto Propio Ø Operaciones con Conjuntos (Demostraciones)

o Unión o Intersección o Diferencia o Complemento o Producto Cartesiano

Ø Leyes de Morgan (Demostraciones) Ø Diagramas de Venn-Euler Ø Lógica Ø Proposiciones Simple

o Abierta o Cerrada

Ø Proposiciones Compuestas o Conjunción o Disyunción o Implicación o Conversa o Doble Implicación

Ø Negación de Proposiciones Compuestas o Conjunción o Disyunción

Ø Leyes de Morgan Ø Tablas de Verdad


Ø Métodos de Demostración o Razonamiento Inductivo o Razonamiento Deductivo o Contrapuesta o Reducción al Absurdo o Demostración formal o Inducción Matemática

1. Demostrar que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es un número entero impar.

2. Demostrar que restando 1 al cuadrado de un número entero impar, se obtiene un múltiplo de 4.

3. Suma tres números consecutivos. El resultado es siempre múltiplo de un número. ¿De qué número? Demuéstralo.

4. Tomamos tres números consecutivos. Multiplicamos el menor por el mayor. Calculamos el cuadrado del nº intermedio. ¿Qué relación hay entre los dos resultados obtenidos? Demuéstralo.

5. Dado un rectángulo ABCD y un punto P en su interior. Demostrar la siguiente igualdad: PA2+PC2=PB2+PD2

6. Demostrar que en un triángulo rectángulo se cumple que la suma de los dos ángulos agudos es igual a 90º.

7. Demostrar que las soluciones a la ecuación polinomial 02 =++ cbxax está dada

por a

acbbx2

42 −±−=

8. Sean P y Q dos puntos distintos en el plano. Si se coloca un punto R distinto a ellos, que condición o condiciones habría que probar para garantizar que son colineales. (Tip: pendientes y distancias)

9. El triángulo ABC de la figura es isósceles (en el dibujo no se ha puesto el vértice A). Trazamos la altura desde el vértice A y la prolongación del lado AC, de manera que AD = AC. Sitúa el vértice A en la figura y demuestra que el triángulo BCD es rectángulo en B.


10. Probar que la suma de los ángulos internos (S) de una figura regular, esta dada por. S = 180n – 360

11. Probar la Ley de Senos: Para un triángulo cualquiera,

senBb

senAa

=

12. Probar a Ley de Cosenos: Para un triángulo cualquiera,

Abccba cos2222 ⋅−+=

13. Probar que el área sombreada de la figura siguiente es igual a 2rπ , dado

que el radio de las circunferencias menores es igual a r.


14. Determinar el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio r.

15. Dado un triángulo equilátero de lado k, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

16. Obtener el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud P.

17. En una circunferencia de radio igual a s se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

18. Probar que el área sombreada de la figura siguiente es igual a , dado que el radio de las circunferencias menores es r.

19. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio r1 y r

2, se trazan los radios

OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular

formado.

20. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = t, ABCD un cuadrado y

APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

24 rπ


Inducción. Probar que…

21. 1! + 2! + 3! +⋯+ 𝑛! =𝑛 6𝑛! + 15𝑛! + 10𝑛! − 1

30

22. 2! + 2! + 2! +⋯+ 2! = 2!!! − 2

23. 3! + 3! + 3! +⋯+ 3! =3!!! − 3

2

24. Encontrar la suma de:

a) 4! + 4! + 4! +⋯+ 4! b) 5! + 5! + 5! +⋯+ 5!

25. Probar por inducción los incisos del problema 4.

26. 1 ∙ 2+ 3 ∙ 4+ 4 ∙ 5+⋯+ 2𝑛 − 1 2𝑛 =𝑛 𝑛 + 1 4𝑛 − 1

3

27. 1 ∙ 2 ∙ 3+ 2 ∙ 3 ∙ 4+ 3 ∙ 4 ∙ 5+⋯+ 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 =𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 𝑛 + 3

4

28. 1

2 ∙ 3 ∙ 4+2

3 ∙ 4 ∙ 5+⋯+𝑛

𝑛 + 1 𝑛 + 2 (𝑛 + 3) =𝑛(𝑛 + 1)

4 𝑛 + 2 (𝑛 + 3)


Unidad 2. Progresiones y Series

Ø Progresión Aritmética Ø Serie aritmética Ø Progresión Geométrica Ø Serie Geométrica

I. A continuación se muestran algunos datos de una Progresión Aritmética, obtener el valor del dato solicitado en cada uno de ellos. Algunos problemas pueden tener dos respuestas, será necesario plantear ambas para tener el valor total acreditado del ejercicio.

a) a8 = 11, d = -2, a

1 = ¿? b) a

1 = -5, a

11 = -45, d = ¿?

c) an = -3/5, d = -1/5, S

n = 0, ¿a

1 y n? d) a

n = -5, d = -3, S

n = 28, ¿a

1 y n?

e) an = 13, d = 2, S

n = 49, ¿a

1 y n? f) a

n = 4, d = 2/3, S

n = 14, ¿a

1 y n?

g) a1 = 2, a

5 = 15, ¿a

3 y S

7? h) (1/4) + (3/8) +…+ (11/8); ¿n y S

n?

II. Resolver los siguientes problemas, planteando claramente los procesos y fórmulas empleadas.

a) Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y termina por 200. a. Calcular su diferencia y la suma de sus términos.

b) En una progresión aritmética, la suma de los 100 primeros términos es 100 y la suma de los 100 siguientes, desde a

101 hasta a

200 es 200. ¿Cuál es la diferencia común de la

progresión?

c) La suma de 18 enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de ellos?


d) Los 4 primeros términos de una PA son a, x, b, 2x. Calcula el valor de a/b

e) Crea una PA, donde el primer término sea 26 y el noveno 58. ¿Cuánto suman los 30 primeros términos?

f) Se llenan los cuadrados vacíos de la tabla de la figura de manera que los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales forman progresiones aritméticas. ¿Cuál debe ser el número x?

a.

g) Calcula el término general de una PA sabiendo que a7=6 y a

15= 10, obtener el término

que ocupa el lugar 51º y la suma de los 51 primeros términos.

h) En una PA, cuyo primer término es 67 y la diferencia común es -6, la suma de los primeros n términos es 408. ¿Cuántos términos forman la progresión y cuál es el último de ellos?

i) Las edades de cuatro hermanas forman una PA y su suma es 32. La menor tiene 6 años menos que la mayor. ¿Cuáles son las edades de las cuatro hermanas?

j) En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 8.60 m y la sexta 13.4 m. ¿En qué fila estará alguien si su distancia a la pantalla es de 23 metros?

k) En una plantación hay 51 filas de árboles. Cada fila tiene dos árboles más que la anterior. La fila 26 tiene 57 árboles, calcular cuántos árboles hay en la primera fila, en la última y el número total de árboles.

III. Determina el término generador de cada una de las siguientes PG.


a) -1, ½, -¼, 1/8,.... b) √2, √3, 3√2, ... c) -32, 16, -8, 4, ...

IV. Determina los términos b1, b

4, b

8 y b

15 de cada una de las siguientes PG.

a) b1, -8, 16, b4, ... b) b1, 12, 6, b4, ... c) b1, 1, 1/3, b4, ...

V. Determina los dos primeros términos de una PG que cumple con los siguientes datos.

a) b8 = 27b2 y b1+b2+b3 = 4+√3 b) b6=4/9 y b7 = -4/27 c) b11=6144 y b15 = 32b10

VI. Resolver los siguientes problemas, planteando claramente los procesos y fórmulas empleadas.

1. Si a, b, c, d son números reales positivos tales que a, b, c, d forman una PA creciente y a, b, d una PG, calcular el valor de a/d.

2. En una PG la suma de los primeros dos términos es 7 y la suma de los primeros 6 términos es 91. ¿Cuánto vale la suma de los 4 primeros términos?

3. En una liga de basketball juegan 16 equipos. Cada equipo juega una vez contra todos los demás. En cada partido, el ganador consigue un punto y el perdedor 0 puntos; no hay empates. Una vez jugados todos los partidos, los puntos obtenidos por los equipos forman una progresión aritmética. ¿Cuántos puntos tiene el último clasificado?


4. ¿Qué grosor adquirirá una hoja de papel de 0.13 mm de espesor si se plegara 50 veces?

5. El pago de un coche de segunda mano se decide hacer de la siguiente manera: el primer mes $40,000, el segundo $30,000, y cada mes 3/4 partes de lo que se ha pagado el mes anterior. ¿Qué cantidad total se habrá pagado durante el primer año?

6. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de forma que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas completas logrará hacer y cuántos soldados tendría que aumentar para completarla?

7. A las 8 de la mañana llegó a una ciudad de 100.000 habitantes un vecino de la capital llevando una noticia. En la estación, el viajero comunicó la noticia a 3 persones que no la conocían, eso sucedió en 20 minutos. Conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos la comunicó a otros tres, también en 20 minutos. Si se continúa este proceso, ¿cuánto tiempo tardarían en enterarse todos los vecinos de la ciudad?

8. Observa cómo se construye esta estructura y cuenta cuántos palos y cuántas bolas tiene: · ¿Cuántos palos y cuántas bolas hacen falta para hacer una fila de 10 cuadrados? · ¿Y para hacer una fila de n cuadrados?


Unidad 3. Análisis Combinatorio y Teorema del Binomio

Ø Análisis Combinatorio Ø Principio Fundamental de Conteo Ø Notación Factorial Ø Permutaciones Ø Permutaciones con repetición Ø Combinaciones Ø Relaciones de Permutaciones Ø Relaciones de Combinaciones

1. Resolver los siguientes problemas. Plantear desarrollos aritméticos.

a) 8P4= b) 6P3=

c) 10P6= d) 7P0=

e) 5P6= f) 8P1=

g) 9P9= h) 15P14=


i) nP3=60 n=¿? j) 6Pr=360 r = ¿?

k) 7Pr=2520 r = ¿? l) nPr= 120 y n=r, n = ¿?

2. Resolver los siguientes incisos.

a) En una empresa 5 ejecutivos asisten a una junta dónde hay 7 lugares, ¿de cuántas formas las pueden ocupar?

b) ¿Cuántos números pueden formarse con los dígitos pares sin repetir y tomando 3, 4 y 5 a la vez?

c) De cuántas formas pueden ordenarse 27 autos en 1, 2, 10 y 27 lugares de estacionamiento.


d) Un grupo de 28 alumnos forman una mesa directiva de Presidente, Vicepresidente, Secretario y Tesorero. ¿De cuántas formas lo pueden realizar?

e) Un señor tiene 5 camisas y 23 corbatas. De cuántas formas las puede usar.

Resolver los siguientes problemas. Plantear desarrollos aritméticos.

m) 8C4= n) 6C3=

o) 10C6= p) 7C0=

q) 5C6= r) 8C1=


s) 9C9= t) 15C14=

u) nC3=165 n=¿? v) 16Cr= 1820 r = ¿?

w) 17Cr=6188 r = ¿? x) nCr= 1 y n=r, n = ¿?

2. Resolver los siguientes planteamientos.

Suponiendo que se toman las fichas del juego por turnos...

a) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó. para el primer jugador?

b) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó para el segundo jugador?

c) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó para el tercer jugador?

d) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó para el cuarto jugador?


Suponiendo que se reparten las cartas a 5 jugadores de forma individual

e) ¿De cuántas formas se puede repartir una mano de póker para el primer jugador?

f) ¿De cuántas formas se puede repartir una mano de póker para el segundo jugador?

Ø Teorema del Binomio o Triángulo de Tartaglia o Triángulo de Pascal o Obtención del n término de un desarrollo binomial o Generalización de coeficientes binomiales

Ø Teorema del Binomio de Newton Ø Generalización del Teorema del Binomio

o Aplicaciones: aproximación de valores irracionales Ø Interés simple Ø Interés Compuesto Ø Interés Continuo

I. Resolver los siguientes problemas:

1. Decides invertir $80,000 pesos al 20% de interés compuesto efectivo anual pagadero

mensualmente durante 4 años, ¿cuánto tendrás al final del periodo de inversión?

2. Con base en el problema anterior, un banco extranjero te ofrece una tasa de interés menor

pero más segura del 17.5%, ¿Cuánto tiempo deberá ser tu periodo de inversión para obtener

el mismo monto que con el primer banco?

3. Deseas comprar un automóvil con valor de $250,000 pesos en 3.5 años, sabemos que las

tasas de interés bancarias para los ahorradores (interés simple) es del 7.5% anual pagadera

semestralmente. ¿cuánto debe de ser tu capital para poder comprarte tu auto?

4. Un buen amigo decide prestarte $15,000 pesos para tu viaje de graduación, los cuales

deberás pagarle dentro de exactamente un año con su respectiva “comisión” de $5,000

pesos. ¿cuál es el interés que te quiere cobrar tu buen amigo?

5. Ahorraste durante la preparatoria $11,500 pesos y quieres tener $30,000 pesos dentro de

cierto tiempo para irte de viaje a Europa. Dado que no quieres trabajar, decides meter tu

dinero en un banco que te ofrece una tasa del 6.5% efectiva anual simple, ¿cuánto tiempo


deberás esperar para poder hacer tu viaje?

6. La tasa de crecimiento del DF según datos del INEGI, es del 5.9% continuo anual. Si

actualmente hay 20 millones de habitantes registrados, ¿cuál será la población de tu ciudad

dentro de 10 años?

7. Cierta población registró durante un censo una población de 780,010 habitantes. Tres años después se realizó un conteo donde indicó que la población era de 853,022 habitantes. ¿Cuál es la tasa de crecimiento continuo de dicha población?

II. Por medio del uso del Teorema del binomio y el triángulo de 16Tartaglia, desarrollar los siguientes binomios.

Nota: =∇ La 1ª letra de tu apellido paterno y =℘ La 2ª letra de tu apellido paterno

1. 4)3( ℘+∇

2. 6)3( ∇−℘

3. 5

2

34

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∇+℘

4. ( )43 32 +∇

III. Encontrar el término indicado.

Nota: =∇ La 1ª letra de tu apellido materno y =℘ La 2ª letra de tu apellido materno

1. El tercer y quinto término del desarrollo: 6)32( −∇

2. El segundo y último término del desarrollo: 6)2

2( ∇−℘

3. El cuarto y sexto término del desarrollo: 9)2( ℘+∇


IV. Encontrar una expresión que proporcione cualquier término de un desarrollo binomial.

V. Obtener una aproximación a 5 términos del desarrollo binomial de los siguientes números irracionales. Nota: =Θ Número de Lista.

1. 5 37

2. 3 61

3. 3 5 Θ+

4. Θ−32

5. 4 3 Θ⋅


Unidad 4. Ecuaciones e Inecuaciones

Ø Ecuaciones o Ecuación como proposición abierta o Número de raíces de un polinomio o Ecuación lineal o Aplicaciones a la Economía. o Relación de ecuación y función lineal o Sistema de ecuaciones lineales o Ecuación Cuadrática (2º grado) o Operaciones con números imaginarios o Valor Absoluto o Análisis de Raíces o Gráfica de ecuación cuadrática (álgebra, geometría analítica, cálculo diferencial) o Gráficas en R2 y R3

Ø Inecuaciones o Resolución de inecuaciones en ℜy ℜ 2 o Resolución de sistemas de inecuaciones (método gráfico) o Inecuaciones lineales y cuadráticas o Valor absoluto o Gráficas en R2 y R3

1. Proporciona la ecuación de las gráficas siguientes:



2. Encontrar el sistema de inecuaciones que generan la siguiente área sombreada.


3. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones. y ≥ |x+1| - 5 y < −(x+1)2 + 2 x ≤ 0


Aplicaciones:

1. Depreciación lineal. Un fabricante compra maquinaria por un valor de 20,000 dólares que se deprecia linealmente hasta que su valor es de 1000 dólares después de 10 años.

a) Expresar el valor de la maquinaria a través del tiempo. b) Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años.

2. Decisiones sobre producción. Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2 horas maquina y cada unidad del segundo requiere 5 horas-maquina. Si hay 280 horas-maquina disponibles cada semana.

a) Si se fabrican x unidades del primer tipo y y unidades del segundo tipo cada semana, encontrar la relación entre x y y si se emplean todas las horas-maquina disponibles.

b) ¿Cual es la pendiente de la ecuación obtenida en el inciso anterior? ¿Que representa?

c) ¿Cuántas unidades del primer tipo pueden fabricarse por semana si se producen 30 unidades del segundo tipo a la semana?

3. Demanda. Para predecir la demanda de cierto artículo se sabe que si el precio es de 2500 por unidad se venderán 50 unidades, y que si el precio es de 3000 entonces solo se venderán 30 unidades.

a) Encontrar una relación lineal que describa la demanda. b) Estimar la demanda si el precio es de 1000 por unidad.

4. Modelo de costo lineal. a) El hotel A renta un cuarto a una persona por 170 pesos por cada noche.

¿Cuánto deberá pagar esta persona si se hospeda x noches? Expresar y graficar el total como función del número de noches x.

b) El hotel B renta un cuarto a una persona a 200 pesos la primera noche y a 150 pesos por cada una de las noches siguientes. ¿Cuánto deberá pagar si se hospeda x noches en el hotel? Expresar y graficar el total en función del número de noches x.


c) Utilizando las graficas que representan el costo de hospedaje en los hoteles A y B, (considerando que ambos ofrecen un servicio equivalente) sin efectuar ningún cálculo, indicar cual hotel es más conveniente.

5. Presupuestos El gobierno de una ciudad tiene un presupuesto de 200 millones para gastos en transporte e intenta utilizarlos para construir otras líneas de tren subterráneo y supercarreteras. Si cuesta 2.5 millones construir 1km de carretera y 4 millones 1km de tren subterráneo. ¿Qué puede construirse usando la totalidad del presupuesto?

6. Ingresos, Costos y Utilidades Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de 6 por unidad y costos fijos de 80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de 10. Determinar el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de 60,000.

7. Reducción de inventarios. Una tienda tiene 650 unidades del articulo x en la bodega y su promedio de ventas por día de ese artículo es de 2.5 unidades.

a) Si Y representa el inventario (de artículos x en la bodega) al tiempo t (medido en días), determine la relación entre Y y t (Use t=1 para representar el término del primer día).

b) ¿Cuánto tiempo llevara vaciar la bodega? c) ¿En cuántos días de ventas deberán hacer un nuevo pedido si han decidido hacerlo cuando el

nivel de la bodega sea de 125 unidades?

8. Modelo de costos. Un fabricante puede vender su producto en 110 dólares cada uno. El costo total está formado por los costos generales de 7500 dólares más los costos de producción de 60 dólares cada unidad.

a) ¿Cuántas unidades se deben vender para no tener perdidas? b) ¿Cuál es la utilidad de 100 unidades? c) ¿Cuantas unidades se deben vender para tener una utilidad de 1250 dólares?

9. Toma de decisiones. a) Una compañía organiza desayunos a grupos de 10 o más personas, a un costo de 25 por

persona. Expresar y graficar el costo, y que cobrara la compañía por x personas. b) Otra compañía ofrece desayunos para cualquier número de personas, a un costo de 20 por

persona, más un cargo adicional de 100. Encontrar y graficar el costo, y como función del número de personas x.


c) Si se quieren organizar 2 desayunos, uno para 15 personas y otro para 50 personas, ¿Cuál compañía conviene contratar en cada caso? Trate de resolver el problema gráficamente.

10. Maximizar tiempo de producción. Una empresa produce 2 productos A y B que se procesan en dos máquinas.

Para producir una unidad del producto A se requieren 3 hrs de la máquina I y 1 hr de la II.

El producto B requiere 1 y 2 hrs. de las máquinas I y II respectivamente. Si se dispone de la máquina I por 45 hrs y de la II por 20 hrs.

¿Cuántas unidades de cada producto deben producirse con el objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

11. Distribución de maquinaria. Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere una hora de procesamiento de la máquina I y 1.5 horas de la máquina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas de la máquina I y 2 horas de la máquina II. Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II, 250 horas al mes. ¿Cuántas unidades de cada tipo podrán fabricarse al mes si se desea utilizar el tiempo total disponible en las dos máquinas?


Unidad 5. Matrices y Determinantes

Ø Matrices

Conceptos Básicos:

- Definición de matriz - Tamaño de una matriz - Tipos de Matrices:

a) Cuadrada b) Rectangular c) Cero d) Unitaria e) Diagonal f) Triangular superior e inferior g) Transpuesta h) Simétrica i) Idempotente j) Nilpotente

Operaciones Básicas:

- Suma - Resta - Producto Escalar - Producto Matricial - Intercambio de renglones - Multiplicar un renglón por escalar - Suma o resta entre renglones


Rotación de figuras geométricas por medio de matrices.

Con base en el libro de texto que fue solicitado como consulta de la materia:

Temas Selectos de Matemáticas

Autor: Elena de Oteyza de Oteyza

1. Revisar y estudiar las páginas [21 – 26] 2. Resolver los ejercicios propuestos que inician en la página 26, del 1 al 15.

Procesos:

-Obtención de la matriz inversa.

-Método Gauss-Jordan

-Resolución de Sistemas de Ecuaciones de 2x2 y 3x3 y 4x4

Ø Determinantes

Conceptos básicos:

-Definición

-Método Cramer

-Resolución de ecuaciones de 2x2 y 3x3 y 4x4

Ejercicios.

Ø Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de determinantes y Gauss Jordan colocando los valores de X y Y en los cuadros correspondientes.


1. 125=−

=+

yxyx

2. 331

=−

−=+

yxyx

3. 415213=+

=−

yxyx

4. abyxbayx=−

=+

2

ℜ∈ba,

5. 2133

7=+

=+

yxyx

6. 2242

=+

=−

yxyx

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de determinantes-Cramer y Gauss Jordan colocando los valores de X , Y y Z en los recuadros correspondientes.

7. 7674

4231432

−=−−

=−−

=−+

zyxzyxzyx

8. 11362

3

=+−

−=−+

=++

zyxzyxzyx

9. 44342323344

=+−

−=++

=−+

zyxzyxzyx

10. 83432532643

=+−

=−−

=++

zyxzyxzyx

11. 4433239332

=−−

=++

=−−

zyxzyxzyx

12. 53273242426

=−−

−=+−

=++

zyxzyxzyx

Ø Resolver el siguiente problema por medio del método de incremento de renglones con determinantes.

- Un equipo está formado por 60 jugadores de las facultades de Economía, Ingeniería y Actuaría. Hay 10 alumnos menos de Actuaría que la suma de los de Economía e Ingeniería y el número de alumnos de Ingeniería y Actuaría es el doble del número de alumnos de Economía. ¿Cuántos alumnos hay en cada facultad?

Ø Encontrar los siguientes valores empleando determinantes (Método Cramer), por el método Gauss Jordan y Matriz inversa.


1. Encontrar C, D y E tales que la elipse x2 +Cy2 + Dx + Ey + 204 = 0 pase por los puntos: (-7,-3),(-2,-2) y (3,-3).

2. Encontrar D, E y F tales que la circunferencia 19x2+19y2+Dx+Ey+F = 0 pase por los puntos: (-4,7),(-1,2) y (4,0).

3. Encontrar D, E y F tales que la parábola y2+Dx+Ey+F=0 pase por los puntos (3/4 , 9), (-5/4 , 1 ) y (0,11).

4. Encontrar C, D, E y F tales que la hipérbola x2+Cy2+Dx+Ey+F=0 pase por los puntos (3,1), (4,5/2), (-6,-1/2) y (4,-1/2)

Unidad 6. Probabilidad y Estadística

Ø Probabilidad

Conceptos Básicos:

-Probabilidad

-Espacio Muestral

-Punto Muestral

-Evento o Suceso

-Experimento Aleatorio

-Evento nulo

-Evento seguro

-Tipos de Sucesos

-Probabilidad Axiomática

-Unión de Eventos

-Intersección de Eventos


Cálculo de Probabilidades:

Ejercicios Tipo:

1.- Se seleccionan al azar dos cartas entre 7 cartas numeradas de 1 a 10. Hallar la probabilidad p de que la suma sea par si:

a) Las dos cartas se sacan juntas. b) Se sacan una tras otra sin sustitución. c) Las dos cartas se sacan una después de la otra con sustitución.

2.- Se escogen al azar 4 pilas de 25 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad p de que...

a) Ninguna sea defectuosa. b) Una exactamente sea defectuosa. c) 2 por lo menos sean defectuosas. d) Todas sean defectuosas.

3.- Se selecciona una carta al azar entre 50 cartas numeradas de 1 a 50. Hallar la probabilidad de que el número de la carta sea...

a) Divisible por 5 b) Primo c) Racional d) Par

4.- Una clase esta formada por 5 estudiantes de primero, 4 de segundo, 8 de penúltimo y 3 de último año. Se escoge un estudiante al azar para representar la clase. Hallar la probabilidad de que el estudiante sea...

a) Sea de segundo. b) Sea de último año. c) No sea de primer año. d) No sea de primer, ni último año.

5.- Un experimento consiste en lanzar 3 dados. Hallar la probabilidad p de que...

a) La suma sea mayor a 4. b) La suma sea menor a 12.


6.- Se sacan 3 cartas al azar de una baraja. Hallar la probabilidad p de que...

a) Sean 2 reinas y 1 as. b) Sean 2 espadas, 1 de corazones. c) 1 as, 1 rey y cualquier otra carta. d) 3 reinas.

7.- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 20 años de edad, llegue a fallecer antes de los 30 años, si de acuerdo a una tabla de mortalidad de cada 63498 personas de 20 años de edad, 61004 llegan a los 30 años?.

8.- Para un desfile se tienen 3 tanques iguales, 4 camiones iguales y 5 autos blindados iguales. Si empiezan su recorrido ordenados en fila, hallar la probabilidad de que los tanques ocupen los 6 primeros lugares.

Ø Estadística

Conceptos Básicos:

-Estadística

-Población (finita e infinita)

-Datos

-Variable

Cuantitativa (continuas y discretas)

-Categoría

-Muestra

-Investigación estadística


Ø Medidas de Tendencia Central Conceptos:

Media

-Definición

-Obtención para datos no agrupados

Moda

-Definición


Mediana

-Definición


Ø Medidas de Dispersión Conceptos:

Desviación Media

-Definición

-Interpretación


Varianza

-Definición

-Interpretación



Desviación Estándar

-Definición

-Interpretación


-Obtención para datos agrupados en una tabla simple

Ejercicio: Se obtuvieron las calificaciones del examen de un grupo de 50 alumnos, se

muestran a continuación:

7.6 9.3 6.0 7.8 6.4 7.2 9.1 8.7 5.6 6.1

6.1 7.9 8.2 8.7 8.7 9.2 9.7 9.8 10 5.4

7.9 8.1 9.0 8.7 6.4 7.2 10 9.9 7.3 7.0

6.1 4.2 7.2 8.4 9.2 9.3 8.1 6.2 7.4 8.5

5.9 7.8 6.1 7.2 9.5 8.5 10 6.1 7.2 8.0

Obtener las medidas de tendencia central y de dispersión para el análisis de las calificaciones.

Enjoy!!!

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Temas Selectos de Matemáticas - tae.edu.mx finales 2015/Matematicas... · 18. Probar que el área sombreada de la figura siguiente es igual a , dado que el radio de las circunferencias