TEMAS SELECTOS DE MATEMATICAS - ensech.edu.mxensech.edu.mx/documentos/antologias/par/SEMESTRE PAR2-12/8sem… · SUCESIONES Y SERIES ... posibilita el desarrollo de la capacidad para

INDICE

INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………………………….. 3

SIGERENCIAS METODOLOGICAS …………………………………………………………………………………………..…. 5

EVALUACION………………………………………………………………………………………………………………………………. 5

PROPOSITOS GENERALES……………………………………………………………………………………………….…………. 8

BLOQUEI

INTRODUCCION A LA ALGEBRA………………………………………………………………………………………………….

9

BLOQUE II

POLINOMIOS CON VARIABLES……………………………………………………………………………….………………….

12

BLOQUE III

ECUACIONES DE PRIMER GRADO…………………………………………………………………………………….……….

15

BLOQUE IV

ECIACIONES DE SEGUNDO GRADO…………………………………………….…………………………………………….

19

MATERIAL DE APOYO

BLOQUEI

INTRODUCCION A LA ALGEBRA

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES……………………..…………………………………………………. 23

¿QUE ES EL ALGEBRA? ……………………………………………………………………….……………………………………. 46

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES………………………………………………………………………………. 50

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE ALGEBRAICO……………………………………….…………………………….

SUCESIONES Y SERIES……………………………………………………………………….…………………………………….

53

68

SUCESIONES SUCESIONES ARITMETICAS………………………………………………………………………………. 78

MEDIAS ARITMETICAS………………………………………………………………………………..……………………………. 83

SUCESIONES GEOEMTRICAS ……………………………………………………………………………….…………………. 87

BLOQUE II

POLINOMIO DE UNA VARIABLE…………………………………………………………………………..…………………….

ADICION Y SUSTRACCION DE POLINOMIOS …………………………………………………………………………… 99

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS…………………………………..…………………………………. 106

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION………………………………………………..…………………………. 111

BLOQUE III

ESCUACIONES DE PRIMER GRADO

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES …………………………………………………………………………. 170

2

SISTEMAS DE ECUACION LINEAL……………………………………………………………..…………………..…………. 177

BLOQUE IV

ECUACION DE SEGUNDO GRADO

METODO DE FACTORIZACION……………………………………………………………………………………..……………. 201

ECUACIONES Y DESIGUALDADES……………………………………………………………………………………..………. 203

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS………….………………………

ECUACIONES CON FRACCIONES.……………………………………………………………………………………………….

214

217

ECUACIONES CON RADICALES …………………………………………………………………………..……………………. 219

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS …………………………………….…………………………… 223

3

INTRODUCCIÓN

Íntimamente ligada a toda actividad humana desde el principio de los tiempos, las matemáticas, han

sido, de alguna manera, el aglutinante, la herramienta fundamental y la base sobre la que se ha

cimentado el avance de todas las ramas del conocimiento humano, incluso aquellas disciplinas

aparentemente alejadas de planteamientos puramente científicos. El origen de su estudio se

encuentra en la observación de la naturaleza y en su intento por modelar el comportamiento de la

misma utilizando un lenguaje simbólico propio.

Debido a la universalización de su enfoque, en tanto el tratamiento de los números naturales y su

relación, poseen un alto grado de uso en otras ciencias del conocimiento, útiles en los negocios, la

industria, la historia, la música, la política, el deporte, la medicina, la agricultura, la ingeniería,

etcétera. La ciencia, en su generalización, le ofrece un amplio abanico de posibilidades, en tanto la

relación histórica de su campo de estudio con otras ciencias del conocimiento, a la vez, ofrece un

mundo de problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan herramientas poderosas para

el análisis de datos. Las Matemáticas y la tecnología, también han desarrollado una relación

productiva mutua por el papel central que juega en la cultura moderna.

Para lograr el éxito que se espera, hemos utilizado el Modelo de Aprendizaje Basado en Problema

(ABP); las primeras ideas deben situarse en el hecho de que la matemática forma parte del

quehacer científico, la comprensión de la naturaleza del pensamiento matemático y la familiarización

con las ideas y habilidades de esta disciplina, por lo que el conocimiento matemático debe ser

construido por los estudiantes mediado por los profesores encargados de llevar con éxito esta

disciplina, cuyo propósito, sin duda alguna, se ubica en el desarrollo de un marco conceptual que

permita que los estudiantes se apropien de los conocimientos demandados en el programa oficial.

El enfoque, se conforma con contenidos referidos al pensamiento numérico, algebraico, geométrico

y probabilístico, al mismo tiempo, posibilita el desarrollo de la capacidad para formular el

razonamiento matemático a partir de la observación, generalización y formalización de patrones, de

plantear, modelar y resolver problemas; por otra parte, el trabajo en pequeños grupos para la

generación de discusiones y toma de decisiones sobre un determinado planteamiento ayuda a

explicar las ideas previas que manejan los estudiantes acerca del tema a tratar y pone de relieve las

diferentes formas de reconocer un problema por parte de los que integran el grupo de trabajo.

Para lograr que los estudiantes se apropien del significado y concepto de número, como parte

fundamental del pensamiento algebraico, este programa y material de apoyo para el estudio de los

Temas Selectos de Matemáticas, congruente con el programa oficial, se ha dividido en cuatro

unidades temáticas; en la primera unidad de trabajo, se abordan los principios básicos del álgebra,

en el marco de la Introducción al Álgebra, el estudio inicia con la ubicación de esta rama de la

matemática hasta llegar al estudio de las series y sucesiones aritméticas y geométricas, pasando,

4

desde luego, por el campo de la proporcionalidad en el marco del reconocimiento de patrones y

regularidades que ofrece el mundo de los números naturales y su relación.

Otra de las regularidades que mantiene vivo el tratamiento de los números naturales y su relación,

tiene que ver con las normas que regulan esta parte de la rama de estudio; la segunda unidad de

trabajo lleva por nombre Polinomios con una Variable y analiza, en el marco del planteamiento de

problemas geométricos y algebraicos, las leyes y normas que regulan la parte ejecutiva de la

misma; en espera de que el análisis numérico de la rama de estudio permita descubrir en qué

consiste lo notable de los productos notables y se avance en términos de profundidad; la unidad

temática termina con el proceso de factorización para darle paso al tema de las ecuaciones que se

analiza en el grupo de la tercera unidad temática.

En el marco del segundo y tercer uso de la variable, es decir, el número como incógnita y como una

relación funcional se aborda en la tercera unidad llamada Ecuaciones de primer grado, sintetiza el

estudio de las ecuaciones revisadas desde la perspectiva de la incógnita y la serie numérica, al

mismo tiempo, encadena éstas últimas cuando se habla de sistemas de ecuación con dos, tres o

más literales, sin descuidar la representación gráfica en el plano y tercer uso de la variable, es decir,

el análisis del número como una relación funcional, de este modo, la consecución de los contenidos

abordados en esta unidad de trabajo, permite que se profundice en el estudio del segundo uso de la

variable, es decir, el número como incógnita desde la perspectiva de relación cuadrática.

Finalmente, la cuarta unidad temática, llamada Ecuaciones de Segundo Grado establece diferentes

formas de añadir el cálculo de las raíces de la misma, sus huestes, refieren el tratamiento desde

diferentes perspectivas, como métodos de solución; el propósito de este análisis, tiene que ver con

la aplicación del segundo grado de la variable como incógnita como una respuesta de los problemas

que se plantean para su resolución.

5

SUGERENCIAS METODOLÓGICAS

Temas Selectos de Matemáticas, implica que los profesores estudiantes de la Licenciatura en

Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas analicen y pongan en práctica la riqueza

del trabajo colaborativo, razón por la cual el curso pretende que el profesor estudiante adquiera el

compromiso de elaborar y aplicar estrategias de enseñanza encaminadas al desarrollo de las

habilidades del pensamiento de sus alumnos en el área de las Matemáticas.

Como puede advertirse, la sugerencia metodológica supone el desarrollo del curso bajo la dimensión

del trabajo colaborativo para colegiar el contenido, para lo cual es importante que conceptualmente

se comprenda el significado del mismo, de lo contrario, se sugiere que el asesor lleve al salón de

clases situaciones didácticas que provoquen la discusión y toma de decisiones; consecuentemente,

se obtengan las conclusiones correspondientes a cada uno de los contenidos que se proponen.

El trabajo colaborativo, además, exige de los profesores estudiantes un alto grado de integración

grupal, lo cual favorece la identidad del profesional en el marco de la educación, en el que colegian

las situaciones didácticas, por otro lado, ofrece una excelente oportunidad para discutir los errores

conceptuales que a menudo ocurren en el tratamiento de los contenidos de Matemáticas del nivel de

secundaria asentados en el Plan y Programas de estudio de 1993, vigentes, no obstante la

profundidad con que están planteados.

Al final de las actividades que se proponen en el programa, habrá que plantear a los profesores

estudiantes una evaluación general con el propósito de registrar los avances alcanzados durante la

estancia y el trabajo colaborativo llevado a cabo; la evaluación parcelaria, por su parte, también

forma parte de las sugerencias metodológicas para el estudio de los Temas Selectos de

Matemáticas; en ese sentido, se sugiere que el asesor titular de la materia convenga con el grupo

de profesores estudiantes los términos en que se dirige un taller en el marco del trabajo

colaborativo y las formas alternativas de evaluar los resultados.

EVALUACIÓN

Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los

contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes

categorías:

a) El desempeño actitudinal del participante

b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje

c) El diseño del curso

d) El desempeño del maestro estudiante durante las clases presénciales

6

En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como:

a) la disposición hacia la integración como miembro del grupo,

b) la apertura hacia compartir ideas y juicios;

c) apertura ante las tareas de aprendizaje;

d) tolerancia a las opiniones de los demás;

e) su participación en actividades de trabajo colaborativo;

f) entre otras.

En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente

programa de la enseñanza de las matemáticas en la zona conurbana, como;

a) la capacidad de análisis y síntesis,

b) las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades,

c) entre otras.

En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos de

vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no solo

del maestro estudiante, sino también del profesor responsable del despliegue de la disciplina, este

apartado, debe considerar algunas subcategorías como:

a) la declaración de intenciones por parte del asesor,

b) si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases,

c) si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora

aprendizajes de conocimiento, habilidades y actitudes;

d) si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos implícitos y

explícitos;

e) si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al alumno

estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje,

f) y todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que

ayuden en la reorientación y planificación de actividades que tengan mayor

consistencia.

Finalmente, en el último aspecto sugerido para la evaluación, conviene incorporar reflexiones que

tiendan a evaluar la asistencia y participación del profesor estudiante, como:

a) si las tareas solicitadas se realizan en tiempo y forma;

b) si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales analizados

previamente;

c) si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros;

7

d) si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo,

e) si tiene dominio sobre la información que discute;

f) si sus aportaciones tienen el carácter de novedoso y relevante en las discusiones

generadas;

g) si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional,

h) entre otras.

Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro

estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones

pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

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PROPÓSITOS GENERALES

CONCEPTUAL:

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes

normalistas:

1. Analicen un marco teórico referente a las habilidades del pensamiento y el enseñar a pensar

en los tres usos de la variable, es decir, como número, como incógnita y como relación

funcional, así mismo avancen en la concepción de los contenidos de la matemática

2. Estudien procesos matemáticos avanzados en el marco del álgebra superior

3. Apliquen herramientas para evaluar la labor educativa de la enseñanza de las matemáticas.

4. Analicen el marco conceptual del desarrollo de las expresiones polinomiales y sus derivados

5. Desarrollen nociones más avanzadas en el marco de las sucesiones aritméticas y

geométricas

6. Analicen el marco conceptual del segundo y tercer uso de la variable, el número como

incógnita y como una relación funcional

7. Recuperen las distintas formas de extraer las raíces de toda presentación de la ecuación

cuadrática en el marco del segundo uso de la variable

PROCEDIMENTAL:

1. Desarrollen habilidades de análisis de estrategias para procesar información en el marco del

pensamiento algebraico

2. Ejerciten habilidades de exploración sistemática y descripción verbal de las características de

los contenidos de la matemática avanzada.

C) ACTITUDINAL:

1. Valoren los elementos que intervienen en la construcción, análisis y reflexión para

enriquecer la visión personal sobre la didáctica de la enseñanza de las Matemáticas

2. Demuestren disposición al asumir el rol respectivo en la aplicación de la técnica del trabajo

colaborativo.

9

BBLLOOQQUUEE II

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA SUPERIOR

PROPÓSITOS

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes

normalistas:

1. Buscar las relaciones de los números naturales

2. Plantear la relación de los números naturales en términos del pensamiento algebraico en

el marco del primer uso de la variable

3. Analizar el soporte del primer uso de la variable para el ingreso al segundo y tercer uso de

la variable, el número como incógnita y como una relación funcional.

4. Derivar el comportamiento de las operaciones asociadas a la potenciación y radicación.

TEMAS:

1. ¿Qué es el Álgebra?

2. Propiedades de los números reales

3. El Álgebra como un lenguaje algebraico

4. Sucesiones

5. Sucesiones aritméticas

6. Medias Aritméticas

7. Sucesiones geométricas

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BIBLIOGRAFÍA

Carpinteiro, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. "Álgebra" México, Publicaciones

Cultural 2003

Carrero Campos Ximena. "Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003

Cuellar José A. "Matemáticas para Bacillerato". México McGraw-Hill 2001

HOSTETLER. Robert P. y LARSON. Ronald E. Álgebra, Publicaciones Cultural. México 1996

Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional,

2001

Smith, Stanley y Col. "Álgebra" Addison-Wesley Iberoamericana, 2001

SMITH. Stanley A.; CAHRLES.Rondall J.; DOSSEY. John A.; KEEDY. Marvin L. y BITTINGER.

Marvin L. Álgebra. Adisson-Wesley Iberoamérica, Wilmington Delaware EUA, 1992

SWOKOWSKI. Earl W. y COLE. Jeffrey A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Grupo

Editorial Iberoamérica. EUA, 1993

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

Leithold, Luis. "Álgebra y trigonometría con Geometría analítica" México, Editorial

Karla, 1994

Noreña, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992

Peterson, John C. "Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001

Santos Trigo, L. M. "Proncipios y Métodos de la resolución de problemas en el

aprendizaje de las matemáticas" México, Editorial Iberoamericana, 1997

Tahan, Malba. "El hombre que calculaba" México, Noriegfa Editores, 1992

11

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN

1. Analicen los elementos que proporciona el material de apoyo para el estudio de la materia, así

como el marco de trabajo que se sugiere, lleguen a conclusiones que dejen ver qué es una

variable, cómo la rama del álgebra pone de relieve la generalización del concepto de número,

etcétera

2. Responda a los distintos planteamientos propuestos en este primer bloque de trabajo, discuta

con sus compañeros de grupo las razones de plantear situaciones que permitan avanzar en el

estudio de la materia.

3. Proponga a sus compañeros un marco conceptual que defina al conjunto de números reales.

4. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo otras formas alternativas de obtener resultados

a partir de situaciones problema, como el cálculo de diagonales de una figura geométrica y la

forma de organizarla para llegar a respuestas menos abruptas.

5. Establezca, junto con sus compañeros de grupo, normas que permitan apropiarse del lenguaje

propio de esta disciplina.

6. Señalen la importancia de relacionar la materia con otras disciplinas del conocimiento a partir de

planteamiento de problemas relacionados con las demás ciencias del conocimiento, asimismo,

analicen las formas metodológicas de resolverlo.

7. Establezca, a partir de las respuestas de cada propuesta registrada en el material de apoyo para

el estudio de la materia, como este tipo de problemas se puede resolver a través de una

ecuación o el establecimiento de una sucesión aritmética.

8. Proponga a sus compañeros de grupo alguna o algunas formas de llegar a la modelación

matemática, tal que permita establecer modelos que den respuestas a sucesiones aritméticas,

como sugerencia, consulte el material de apoyo para el estudio de la materia.

9. Proponga a sus compañeros de grupo alguna o algunas formas de llegar a la modelación

matemática, tal que permita establecer modelos que den respuestas a sucesiones geométricas,

como sugerencia, consulte el material de apoyo para el estudio de la materia.

10. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo las respuestas de cada uno de los problemas

de otras ciencias del conocimiento que se plantean en el material de apoyo, sobre todo, es

recomendable que dichas respuestas estén en el marco de las sucesiones, tanto aritméticas,

como geométricas.

12

BBLLOOQQUUEE IIII

POLINOMIOS CON UNA VARIABLE

PROPÓSITOS

Al término de las actividades que se proponen el profesor estudiante será capaz de:

1. Encontrar los patrones y regularidades para la resolución de problemas que impliquen el uso de

las expresiones polinomiales desde la perspectiva de las operaciones algebraicas

2. Explicar los patrones y regularidades que establece el producto notable en diferentes

planteamientos

3. Explica las regularidades que ofrece el producto notable para el proceso de factorización

4. Asociar los patrones y regularidades encontrados a partir de los productos notables para el

comportamiento del Binomio de Newton en tanto el cálculo de un Ni del mismo

5. Encontrar las normas que regulan el proceso de factorial de expresiones, así como el

establecimiento de las bases para operar con este tipo de expresión

TEMAS

1. Adición y sustracción de polinomios

2. Multiplicación y división de polinomios

3. Productos notables y factorización

a) Factor común en un polinomio

b) Cuadrado de un binomio

c) Trinomio al cuadrado

d) Factorización parcial de trinomios de segundo grado

e) Cubo de un binomio

f) Factorización de un cubo perfecto

g) Producto de un binomio con término común

h) Factorización de trinomios de segundo grado

i) Producto de binomios conjugados

j) Factorización de diferencia de cuadrados

k) Factorización por agrupación de términos

l) Factorización de una suma o diferencia de dos potencias iguales

m) Mínimo Común Múltiplo de dos o más polinomios

n) Otros tipos de factorizaciones

4. Binomio de Newton

13

5. Factorial

BIBLIOGRAFÍA


Cultural 2003





2001








Karla, 1994



Santos Trigo, L. M. "Principios y Métodos de la resolución de problemas en el



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1. Discuta con sus compañeros de grupo la importancia que reviste la expresión polinomial par

establecer los elementos que los diferencian, como: coeficiente, literal, exponente y signo de la

expresión; asimismo, determine las formas más usuales de trabajar con este tipo de expresiones

algebraicas y la importancia de organizarla de manera adecuada.

2. Discuta con sus compañeros las formas que generalmente utilizan este tipo de expresiones, en

tanto se pone de relieve las operaciones, tanto enteras, como fraccionarias.

3. Discuta con sus compañeros de grupo las ciencias del conocimiento que utilizan este tipo de

expresiones polinomiales para resolver los problemas que plantea cada una, se recomienda que

se apoye esta reflexión con el material de apoyo para el estudio de la materia.

4. Conviene que antes de iniciar las discusiones que permitan encontrar los patrones y

regularidades que ofrece el producto notable, analice la propuesta del Lic. Juan Manuel Alvídrez

Villarreal1 y discuta con sus compañeros de grupo la pertinencia de bajar esta modelación a los

estudiantes de la escuela secundaria, asimismo, redacte un reporte de lectura que deje ver las

conclusiones a las que hayan llegado, es conveniente que este reporte de lectura lo enriquezca

con el punto de vista de cada uno de los integrantes.

5. Discuta con sus compañeros la regularidad que ofrece los tres productos notables básicos, es

decir: Cuadrado de un binomio, binomios conjugados y binomios con término común, y a partir

de estas regularidades, establezca la asociación de llegar a otros de mayor profundidad, es

recomendable que también esta parte se apoye con el material para el estudio de la materia

6. A partir del comportamiento, mediado por los patrones y regularidades del producto notable, es

conveniente que analice la forma de reconvertir la expresión polinomial para llegar a las formas

de factorar las diferentes expresiones propuestas desde el enciclopedismo, asimismo, llegue a

las conclusiones de que en ocasiones es necesario apoyarse en el cálculo del mínimo común

múltiplo algebraico para dar respuesta a otros tipos de factorizaciones.

7. Analice el comportamiento del producto notable y discuta con sus compañeros cómo éstos

permiten resolver por la vía del Binomio de Newton, derivar en la propuesta de Blase Pascal,

mejor conocida como el Triángulo de Pascal.

8. Analice y discuta con sus compañeros de grupo el significado e implicaciones del término

factorial, así mismo, cómo esta rama de la matemática permite llegar a respuestas con mayor

facilidad, es recomendable que se apoye en el material para el estudio de la materia.

9. Es recomendable que deje por escrito las recomendaciones metodológicas para conducir con

grupos de adolescentes en edad de 12 a 14 años la pertinencia de este análisis, así como la

conveniencia, de acuerdo con el programa oficial, de operarlo o dejarlo como parte del

crecimiento profesional en el campo de la competencia didáctica de cada uno de los integrantes

del grupo de trabajo.

1 Catedrático de la Normal Superior “Profr. José E. Medrano R.”

15

BBllooqquuee IIIIII

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

PROPÓSITOS

Al término de las actividades propuestas el profesor estudiante será capaz de:

1. Analizar, como consecuencia del estudio del primer uso de la variable, como número, el segundo

uso de la variable se refiere al número como incógnita

2. Analizar las implicaciones del segundo uso de la variable permite el ingreso al tercer uso de la

variable, el número como una relación funcional, sin sobresaltos.

3. Analizar los diferentes formas de graficar una relación funcional

4. Revisar las diferentes formas metodológicas de encontrar las sucesiones que determinan una

relación funcional, así como la diversificación metodológica para la búsqueda de los valores de

dos o más relaciones funcionales, comúnmente llamadas Sistemas de ecuación.

Temas

1. Aplicación de las ecuaciones lineales

2. Sistema de ecuación lineal

a) Método de eliminación por suma y resta

b) Método de sustitución

c) Método de igualación

d) Método determinante

e) Método gráfico

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BIBLIOGRAFÍA


Cultural 2003





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Karla, 1994






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1. Analicen en el grupo de trabajo cuál es el campo de estudio del segundo uso de la variable, es

decir, el número como incógnita y las implicación para la búsqueda del valor de la misma

2. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo otras formas de llegar a mejores respuestas,

es decir, que no permita que los estudiantes en edad de 12 a 14 años operen este tipo de

ecuaciones sin haberlas comprendido; en particular, es recomendable que analicen la siguiente

propuesta, a partir de plantearlo como texto:

”se tienen tres números, A, B, y C; cuyos valores son 14, 28, y 32, respectivamente, encuentre la

sumatoria y las relaciones que guardan entre sí”.

Al observar las relaciones que están alrededor de los números de pasos en el recorrido por la

escuela y teniendo como punto de partida un número como el 14, se observa que 28 es el doble del

primero y el tercero es del doble del primero más 4 unidades, todos suman 74.

Números Sumatoria

14 28 32 74

Número Doble del número Doble del número más 4 unidades Suman 74

Esta primera relación encontrada permite trasladar el concepto a la modelación matemática:

Números Sumatoria

14 28 32 74

Número Doble del número Doble del número más 4 unidades Suman 72

2x

2x 2x + 4 74

De donde resulta una primera ecuación, 5x + 4 = 74, que pertenece a la familia de ax + b = c

Sin embargo, los estudiantes pueden sugerir otras relaciones, como:

“Al tener como punto de partida el segundo número, se observa que el primero es la mitad del

segundo y el tercero es el segundo más 4 unidades; todas suman 74”

Números Sumatoria

14 28 32 74

Mitad del número Número Número más cuatro unidades Suman 74

Esta segunda relación encontrada permite trasladar el concepto a la modelación matemática

18

Números Sumatoria

14 28 32 74

Mitad del número Número Número más 4 unidades Suman 74

2

x x x + 4 74

De donde resulta una segunda ecuación, 7442

=+++ xxx, tal que:

742

822 =+++ xxx, de donde

x + 2x + 2x + 8 = (2)(74), luego

5x = 148 - 8, de donde

5x = 140

x = 5

140 y por lo tanto

x = 28, como se esperaba

3. Una vez que ha sido analizada con el cuidado que merece, discuta con sus compañeros de grupo

de trabajo la importancia que reviste llevar este tipo de análisis con grupos de estudiantes en

edad de 12 a 14 años, sobre todo, destaque la importancia que tiene este tratamiento para

plantear problemas de la vida real y encontrar respuestas con mayor certidumbre que las que se

han venido planteando, en particular, es recomendable que se analice el material de apoyo para

el estudio de la materia.

4. Discuta con sus compañeros de grupo, la importancia que reviste este tratamiento para llegar a

establecer el segundo uso de la variable, es decir, el número como una relación funcional, mejor

conocida como la ecuación de primer grado con dos variables así como los distintos métodos de

solución, es recomendable que ponga en la mesa de las discusiones los conocimientos previos

que al respecto tienen cada uno de los integrantes a fin de que haga una propuesta que mejore

este tratamiento con grupos de estudiantes en edad de 12 a 14 años.

19

BBllooqquuee IIVV

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

PROPÓSITOS

1. Identificar las expresiones polinomiales de segundo grado con una variable

2. Identificar el método de extracción de las raíces de una expresión polionomial de segundo grado

con una variable

TEMAS

1. Método de factorización

2. Ecuaciones y desigualdades

a) Método por extracción de raíces

b) Método por completación de cuadrados

c) Método por fórmula general

d) Usando la calculadora

3. Transformación de ecuaciones cuadráticas

4. Ecuaciones con fracción

5. Ecuaciones con radicales

6. Aplicación de las ecuaciones cuadráticas

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BIBLIOGRAFÍA


Cultural 2003





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Karla, 1994






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1. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo el campo de aplicación de la expresión

polinomial de segundo grado con una variable y la forma que regularmente utiliza para la

resolución de problemas

2. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo a qué se refiere este análisis cuando se habla

de ecuaciones y desigualdades

3. Sujete a discusión las diferentes formas de resolver una expresión polinomial de segundo grado

con una variable partiendo de los conocimientos que al respecto tenga.

4. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo en qué consisten los tres métodos de solución

para la búsqueda de las raíces de este tipo de expresiones polinomiales, es conveniente que se

ayude el análisis y discusiones con el material de apoyo para el estudio de la materia y otras

fuentes bibliográficas que las conclusiones.

5. Proponga ante sus compañeros de grupo en general, las conclusiones a las que hayan llegado,

además, deje por escrito en qué consiste su propuesta mejore los resultados que se han venido

obteniendo con grupos de adolescentes de la escuela secundaria.

6. Como parte del acervo cultural y profesional de la Licenciatura en educación secundaria en la

especialidad de Matemáticas, conviene que analicen el tema de Transformación de ecuaciones

cuadráticas y determinen en qué consiste, es conveniente que se enriquezca el análisis con el

material de apoyo para el estudio de la materia.

7. Lleve a discusión los temas ecuación cuadrática con fracciones y radicales para enriquecer el

acervo cultural y crecer profesionalmente en el campo de la enseñanza de la matemáticas con

estudiantes de la escuela secundaria.

8. Finalmente, busque la aplicación de este tipo de expresiones polinomiales por la vía del

planteamiento y resolución de problemas, es conveniente que se ayude el análisis con el Material

de apoyo para el estudio de la materia.

22

ateriales de apoyopara el estudio

23

BLOQUE I

INTRODUCCION A LA ALGEBRA

esde la época más antigua de las matemáticas, es decir, de los pitagótricos, cuando

apareció la sistematización del pensamiento en función de la literales, surgen las

operaciones en función de las mismas, consecuentemente, dio origen al comportamiento

como resultado del análisis numérico de los números naturales y su relación, en palabras de

Brunner (1976) representa la creación de los andamiajes cognitivos, de los cuales, el profesor es

responsable de crear, según la postura del autor, lo que para Piaget, Biólogo Suizo, tiene lugar la

reversibilidad del pensamiento como parte del proceso que alcanza el sujeto en la etapa de las

operaciones formales, que de no tomar en cuenta, como pieza fundamental de las características

biosicosociales de los adolescentes, continuaremos rompiendo el equilibrio de la lógica del

pensamiento matemático de los mismos; en ese sentido, y dadas las nuevas tendencias

metodológicas en la enseñanza de las matemáticas, en el segundo grado de la educación

secundaria, los contenidos, asociados al pensamiento algebraico, y que sin duda tienen que ver con

el estudio de la teoría de los números y su relación, remiten a ideas como las que describo en las

siguientes líneas, tal es el caso del comportamiento de la suma abreviada de sumandos iguales

representada como una multiplicación, consecuentemente, la sistematización del comportamiento

multiplicativo reconocido como “producto notable” origina un planteamiento: ¿en qué consiste la

parte notable? Y, ¿cuáles fueron las razones por las que los antiguos de las matemáticas le llamaron

“notables”.

Para darle cuerpo a la respuesta del planteamiento, y utilizando los recursos que le anteceden, es

decir, los conocimientos previos en función de la multiplicación, mismos que utilizo para derivar la

parte notable de los productos notables. Al respecto, observemos la siguiente multiplicación:

(a + b)(a + b) =; que se puede representar en función de una representación potencial, es decir:

(a + b)2 =; que resuelta mediante los recursos de la multiplicación tendríamos:

a + ba + ba + ab ab + b

2

2

a + 2ab + b2 2

De esta forma de multiplicar podemos obtener algunas conclusiones, como:

D

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES1

LO NOTABLE DE LOS PRODUCTOS NOTABLES__________________________________

1. El comportamiento sugiere tomar al primer término de la expresión polinomial como uno

solo, que al multiplicarlo por sí mismo, resulta la expresión a2

2. La segunda expresión polinomial se comporta en una suma, lo que supone como resultado la

suma de ambos multiplicado por la primera de las literales utilizadas

3. Finalmente el comportamiento sugiere multiplicar la segunda de las literales que se utilizan.

Se debe destacar que este comportamiento es único para otras variaciones que se puedan hacer con

la misma expresión, como:

(a + b)(a – b) =, o bien;

(a + 5)(a – 8) =,

De las cuales, si se aplican las observaciones hechas en el anterior análisis, podemos concluir que:

(a + b)(a – b) = a2 + (b – b)a – b2; de donde: a2 – b2;

En la tercera variación realizada, es decir, (a + 5)(a – 8) =, también ocurre el mismo

comportamiento, de ahí que:

(a + 5)(a – 8) = a2 + (5 – 8)a – 40; que significa a2 – 3a – 40, puesto que 5 – 8 = - 3.

De este modo, podemos, plantear a los alumnos un comportamiento único para el tratamiento de

los productos notables. Pero, ¿en qué consiste lo notable de los productos notables?

La respuesta no tiene discusión, EN EL COMPORTAMIENTO DE LOS TÉRMINOS QUE SE UTILIZAN

PARA EL ESTUDIO DE ESTE TIPO DE MULTIPLICACIONES

Al respecto, muy a menudo, y en palabras de J. Vallejo (1735), hacer un tratamiento con base en la

corriente pedagógica que demanda memorización y mecanización es afirmar lo que Durkeim (1875)

reconoció como reproducción de esquemas acartonados, envejecidos y estériles; por si fuera poco,

F. Díaz Barriga (2001), en su obra ·”estrategias para la enseñanza de las ciencias” afirma que: “los

profesores somos capaces de demostrar a través de muchas estrategias grandes axiomas sin saber

el significado de los mismos”.

Estas y otras investigaciones, como las de la Dra. Sonia Ursini, o Teresa Rojano, entre otros, revelan

que la enseñanza de las matemáticas no tienden al reproduccionismo estéril que por algunas

décadas hemos venido realizando, más allá de los procesos que a lo largo de nuestra formación

fuimos aprendiendo; por ejemplo, para la demostración del “binomio al cuadrado”, usualmente se

utilizan los principios asociados a la geometría, lo que supone que puede demostrarse el axioma del


25

caso que planteo a través del cálculo de la superficie de un cuadrado y parcelarlo, como ocurre en el

siguiente esquema:

Y el resultado final:a + 2ab + b2 2

De donde, sumandotodos los productos

tenemos que:a + ab + ab + b2 2

ab

ab

a bb

aa 2

De inmediato, surge una nueva pregunta: ¿Dentro del cálculo de las áreas, cuándo se ha visto que

para obtenerla se recurra a parcelarla?, podemos, en el mismo sentido, además replantear la

pregunta en otros contextos, por ejemplo, en el caso de las personas que se dedican a instalar pisos

en superficies cuadradas, o en el ambiente de la agricultura, el cálculo de los terrenos agrícolas o

superficies por cubrir, solo se remite al producto de dos dimensiones, de ahí que, la reversibilidad

del pensamiento, en palabras de J. Piaget, se ultraje, consecuentemente, al estudio se vuelve estéril

y con ello ocurre lo que socialmente podríamos denominar “la anorexia y bulimia de las

matemáticas”; por otro lado, también puedo hacer una crítica a quienes destinamos fuertes cargas

horarias para el estudio de los productos notables, planteados en términos aislados, cargados de

esterilidad, disociados y sin sentido alguno para quines nos dirigimos en aras de “enseñar

matemáticas”, reconociendo, que este proceso se realiza con “muy buenas intenciones”, pues hasta

los que se dedican a escribir obras de matemáticas recurren a estos procesos, baste ver cualquier

libro de texto “gratuito”.

La propuesta que planteo, recurre a un análisis numérico y recupera de manera muy clara el

comportamiento de los números naturales y su relación, como lo demuestro en la siguiente tabla, en

la que analizo las tres formas básicas de la multiplicación, razón por la cual se le asignó el nombre

de “productos notables” y en ello implícito se encuentra el título de esta reflexión ”lo notable de los

productos notables”.

(a + b )2 =, de donde

a 2 + 2ab + b2, puesto que:

b + b = 2b, y

2b x a = 2ab;

consecuentemente

a 2 + 2ab + b2

(a + b )(a + b ), al igual que en

el caso de la izquierda:

a2 – b2, puesto que

+b – b = 0, consecuentemente;

a2 – b2

(a + 6)(a + 8), de donde

a a + 14a + 48; puesto que:

6 + 8 = 14 y

6 x 8 = 48; consecuentemente

a2 + 14a + 48

Finalmente, sostengo, que a partir de estas reflexiones se pueden derivar otras con mayor grado de

dificultad, la fortuna, para nosotros como formadores de adolescentes, es que no tenemos por qué

avanzar en grado de dificultad, puesto que el Programa de matemáticas para la educación

secundaria solamente plantea las tres formas básicas de “lo notable de los productos notables”


26

Como derivado del análisis planteado en las líneas anteriores, podemos establecer otras relaciones

de los números naturales, por ejemplo:

A partir del exponente al que se desea elevar la expresión polinomial (binomio) y variarla, es decir,

de cuadrado a cubo:

(a + b )2, a otra potencia como (a + b )3,

Se observa que en la expresión polinoimial:

(a + b )2 = a2 + 2ab + b2

El exponente “2”, al cual se va a elevar el binomio, es el mismo del primer término del resultado;

además el coeficiente del segundo término también es el exponente del primer término del

resultado; el comportamiento es el siguiente:

(a + b )2 = a2 + 2ab

Para obtener el coeficiente del segundo término del resultado, basta con hacer el siguiente cálculo:

21

1*2= ; donde 2 es el exponente del primer término y 1, es el coeficiente del mismo y el divisor 1

representa el número de términos encontrados hasta este momento; el resultado de este cálculo es

dos; consecuentemente “2” es el coeficiente del siguiente término del resultados, es decir:

(a + b)2 = a2 + 2ab

Lo cual significa que para el cálculo del exponente del siguiente término del resultado, basta

disminuir el del primero y aumentar el del segundo; por cuanto al coeficiente, basta, también iterar

el proceso del término que le antecede, es decir, 12

1*2= , y por lo tanto, se obtiene el resultado

final, es decir:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Estos resultados, emanados del análisis del comportamiento, sugieren también una especie de

triangulación en cuanto a los coeficientes; como se muestra en el siguiente esquema:

11 1

1 2 1

(a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

De los cuales podemos iniciar con algunas conclusiones, como elevar al cubo la expresión polinomial

con que se viene trabajando, es decir:


27

(a + b)3 =

De acuerdo con las primeras conclusiones, podemos obtener el resultado, es decir:

(a + b)3 = a3 …

Luego el siguiente término, en función del exponente, basta disminuirlo y aumentar el siguiente, es

decir:

(a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + b3

En cuanto a los coeficientes, realizamos el mismo cálculo que en el “binomio” y obtenemos, para el

segundo término: 31

1*3= puesto que se ha calculado solamente un término; para el tercer

término: 32

2*3= , puesto que se han calculado dos términos y para el cuarto término: 1

31*3

= ,

puesto que se han calculado ya tres términos; de ahí que el resultado final tenga la expresión:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

En el caso del triángulo, también ocurre el mismo fenómeno, solo que este se asocia con la suma de

los números de la serie anterior, como se puede apreciar en el siguiente esquema:

11 1

1 2 1

(a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

1 3 3 1 (a + b) = a + a b + ab + b3 3 2 2 33 3 + +

Que son los coeficientes de la expresión polinomial resultante

Las conclusiones que se pueden obtener son:

1. En todo binomio elevado a la “n” potencia, el exponente del primer término de la expresión

disminuye, mientras que el exponente del segundo término aumenta.

2. En todo binomio elevado a la “n” potencia, el primer término del resultado lleva el

exponente al que se va elevar el binomio.

3. En todo binomio elevado a la “n” potencia, para calcular el coeficiente de cada término,

basta realizar la siguiente operación: Cinen

=*

, donde “n” es el coeficiente; “e” es el

exponente y ni es el número de términos calculados.

4. En todo binomio elevado a la “n” potencia, si se trata de una suma, todos los términos

resultantes son “positivos”

5. En todo binomio elevado a la “n” potencia, si se trata de una diferencia de dos cantidades,

los términos resultantes llevarán los signos “positivo y negativo” e forma alternada


28

De este modo, podemos calcular un binomio de la forma (a + b)n =, donde “n ≠, <, > 0, lo cual no

necesariamente “n” debe ser positivo, pues el comportamiento es exactamente el mismo.

Otro recurso del cual se puede echar mano es el triángulo descrito en las líneas anteriores, para el

cálculo de los coeficientes de la resultante de un binomio de la forma (a + b)n =, con “n ≠ 0,, como

se aprecia en el siguiente esquema:

11 1

1 2 1

(a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

1 3 3 1 (a + b)3+ +

1 4 6 4 1+ + +

1 5 10 10 5 1+ + + +

+ +1 6 15 20 15 6 1

+ ++

+

1 7 21 35 35 21 7 1+ + + + +

+1 8 28 56 70 56 28 8 1

+ + + + + +

(a + b)4

(a + b)5

(a + b)6

(a + b)7

(a + b)8

Además de las reflexiones planteadas en las líneas anteriores, el comportamiento, conocido como

“Binomio de Newton” permite realizar algunas variaciones; por ejemplo:

(5m + 3n)9 =; sabemos, por definición, como realizar tanto el cálculo de los exponentes como de

los coeficientes, de modo que siguiendo el proceso tenemos:

(5m + 3n)9 = (5m)9 + 9(5m)8(3n) + 36(5m)7(3n)2 + 84(5m)6(3n)3 + 126(5m)5(3n)4 +

126(5m)4(3n)5 + 84(5m)3(3n)6 + 36(5m)2(3n)7 + 9(5m)(3n)8 + (3n)9

Otra variación posible, está en el orden de los exponentes de as variables utilizadas, es decir:

(5m3 + 3n2)9 = (5m3)9 + 9(5m3)8(3n2) + 36(5m3)7(3n2)2 + 84(5m3)6(3n2)3 + 126(5m3)5(3n2)4 +

126(5m3)4(3n2)5 + 84(5m3)3(3n2)6 + 36(5m3)2(3n2)7 + 9(5m3)( 3n2)8 + (3n2)9

Y a partir de desarrollar cada uno de los términos calcular cada uno de los mismos, lo cual significa,

que cualquier binomio se puede realizar, bajo la dimensión de este comportamiento.

Por otro lado, estudiar el Binomio de Newton sin hacer la asociación correspondiente con el triángulo

realizado con los coeficientes de cada uno de los binomios, no tendría sentido si solo se utiliza para

derivar los coeficientes de cada término, sea cual sea la potencia a la que se eleve, es decir, en el

triángulo, conocido como “triángulo de Pascal” existe la serie de los números naturales elevados a la

0, 1, 2, 3, 4, … ,n potencia, como se observa en el siguiente esquema, para la serie de los números

naturales elevados a la “0” potencia.


29

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

El siguiente esquema muestra la serie de los números naturales elevados a la primera potencia:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

El siguiente esquema muestra la serie de los números naturales elevados a la segunda potencia:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Así, podemos encontrar la serie de los números naturales elevados a la 0, 2, 3, 4, …, n potencia.

Existen otro tipo de números dentro del triángulo de Pascal, conocidos como triangulares,

cuadrangulares, pentagonales, etcétera.


30

Números triangulares

Números cuadrangulares

Números pentagonales


31

Números hexagonales

A partir de estas reproducciones, podemos establecer el comportamiento de los mismos en una

tabla y calcular los demás, hasta la figura plana que se desee, como se muestra en la siguiente

tabla:

Nombre Serie

Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

Cuadrangulares 1 4 9 16 25 36 48 64 81 100

Pentagonales 1 5 12 22 35 53 72 94 119 147

Hexagonales 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190

Heptagonales 1 7 18 34 55 81 112 148 189 236

Octagonales 1 8 22 43 71 106 148 197 253 316

Nonagonales 1 9 25 49 81 121 169 225 289 361

Decagonales 1 10 28 55 91 136 190 253 335 416

Un decagonales 1 11 31 61 101 151 211 281 361 451


32

Y a partir de estos, iniciar el análisis del comportamiento para establecer los patrones y

regularidades que en el ocurren, como se muestra en la siguiente tabla

Nombre Serie

Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

Diferencial en la primera posición 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Segunda posición 1 1 1 1 1 1 1 1

Constante (k) 1 1 1 1 1 1 1

Cuadrangulares 1 4 9 16 25 36 48 64 81 100



Constante (k) 2 2 2 2 2 2 2

Pentagonales 1 5 12 22 35 53 72 94 119 147



Constante (k) 3 3 3 3 3 3 3

Hexagonales 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190



Constante (k) 4 4 4 4 4 4 4

Heptagonales 1 7 18 34 55 81 112 148 189 236



Constante (k) 5 5 5 5 5 5 5

Octagonales 1 8 22 43 71 106 148 197 253 316



Constante (k) 7 7 7 7 7 7 7

Nonagonales 1 9 25 49 81 121 169 225 289 361



Constante (k) 8 8 8 8 8 8 8


33

Decagonales 1 10 28 55 91 136 190 253 335 416



Constante (k) 9 9 9 9 9 9 9

Un decagonales 1 11 31 61 101 151 211 281 361 451



Constante (k) 10 10 10 10 10 10 10

Obsérvese que en la primera diferencial, ocurre que tiene como punto de partida la expresión “n –

1”, donde “n = al número de lados del polígono”; la diferencial de la segunda posición también tiene

lugar la misma expresión, es decir, “n – 1”, donde “n = al número de lados del polígono”; en forma

constante, e indica que se trata de cálculo de superficies; y dado que estas tiene una representación

en segunda potencia, entonces la ecuación que la representa debe ser de “segundo grado”, es decir,

cuadrática, como se puede apreciar en la siguiente tabla:

Para los números triangulares:

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para los números cuadrangulares:

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para los números pentagonales:


34

020406080

100120140160

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para los números hexagonales:

020406080

100120140160180200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para los números heptagonales

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


35

Para los números octagonales

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para los números nonagonales:

050

100150200250300350400450

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Para los números decagonales:

050

100150200250300350400450

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


36

Para los números un decagonales:

050

100150200250300350400450500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Obsérvese que todas presentan la misma regularidad, es decir, la misma forma de la curva, lo que

supone que se trata de una curva llamada “parábola cortada”, sin embargo, y por presentarse la

regularidad de la constante de crecimiento en la segunda posición, nos hace suponer que se trata de

una ecuación de segundo grado, es decir, “cuadrática”; consecuentemente, en un primer momento

podemos decir que la forma que va a adquirir es la siguiente:

y = x2 + x + c

Ahora bien, de acuerdo con el comportamiento de cada una de ellas, como se observa en la

siguiente tabla, podríamos establecer las condiciones de linealidad y constante de la ecuación, así,

para el comportamiento de los números cuadrangulares, el modelo matemático sería:

Nombre Serie

Cuadrangulares 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Ecuación y = x2

Y a partir de este, establecer el modelo para el comportamiento de los números triangulares, como

se puede apreciar en la siguiente tabla:

Nombre Serie

Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

Ecuación y = x2 +

Además de las reflexiones anteriores, el comportamiento de los números triangulares,

cuadrangulares, etcétera, ofrecen otras alternativas de análisis, como las que tienen que ver con la

diferencial en la primera posición, como se puede apreciar en los siguientes gráficos:

Para los números triangulares:

Nombre Serie

Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55



37

Y su respectivo gráfico, como se aprecia en el siguiente esquema:

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Para los números cuadrangulares:

Nombre Serie

Cuadrangulares 1 4 9 16 25 36 48 64 81 100


Y su respectivo gráfico como se aprecia en el siguiente esquema:

02468

101214161820

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Para los números pentagonales:

Nombre Serie

Pentagonales 1 5 12 22 35 53 72 94 119 147



38

Y su respectivo gráfico como se aprecia en el siguiente esquema:

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Procesos algebraicos netamente, asociados al plano cartesiano y sus funciones pueden aportar otros

elementos, como el establecimiento de las ecuaciones que describen la diferencial en la primera

posición, además del análisis, en el mismo sentido, para las aportaciones de las pendientes,

pendientes que señalan la derivada de la línea descrita en cada caso.

Otras aportaciones que enriquecen el significado de los números, se asocia con el conteo de los

puntos en la frontera de cada una de las figuras que describen los números triangulares,

cuadrangulares, pentagonales, etcétera, como se puede apreciar en el siguiente esquema:

Para los números triangulares

Obsérvese que el crecimiento ocurre en una constante de 3, que se asocia con el número de lados

de la figura


39

Para los números cuadrangulares


de la figura

Para los números pentagonales


de la figura

Para los números hexagonales:


de la figura


40

Los cuales ofrecen también la posibilidad de recrear el comportamiento en función del tercer uso de

la variable, es decir, forzar los elementos y expresarlos en una función relacional a partir del

primero, segundo, etcétera puntos en la frontera, como se puede apreciar en la siguiente tabla:

Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales

X y x y x y x y

1 3 1 4 1 5 1 6

2 6 2 8 2 10 2 12

3 9 3 12 3 15 3 18

4 12 4 16 4 20 4 24

5 15 5 20 5 25 5 30

6 18 6 24 6 30 6 36

7 21 7 30 7 35 7 40

8 24 8 34 8 40 8 46

9 27 9 36 9 45 9 52

Y = 3x y = 4x y = 5x y = 6x

El triángulo de pascal, como derivado del comportamiento de los productos notables también

ofrecen múltiples posibilidades de analizar el camino de los números naturales y sus relaciones, tal

es el caso de las potencias de los mismos, como las potencias del dos, estas se pueden apreciar en

cada una de las líneas del mismo, como puede apreciarse en el siguiente esquema:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

20

22222222

1

2

34

5

6

7

8

Los resultados del comportamiento se obtienen a partir de la suma de las cifras de cada línea, es

decir:

20 = 1

21 = 1 + 1 = 2

22 = 1 + 2 + 1 = 4

23 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8

24 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16


41

25 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

26 = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64

Etcétera

Las potencias del “tres, también forman parte de las filas del “triángulo de Pascal, como se puede

apreciar en el siguiente gráfico:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 30

3

32

33

En efecto

30 = 1

31 = 1

1 + 1 = 3

32 = 1

1 + 1

1 + 3 + 3 + 1 = 9

33 = 1

1 + 1

1 + 3 + 3 + 1

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 27

El análisis sugiere el encuentro de todas las potencias de los números naturales y su relación, es

decir, las potencias del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etcétera.

También aparece el número 11 elevado a la serie de los números naturales expresados en potencia,

como se muestra en el siguiente esquema:


42

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

110

112111

113

114

115

116

117

118

Podría pensarse que a partir de la potencia “5” no existe concordancia, sin embargo, al desarrollar

las potencias del resultado, comparadas con las expresadas en el “Triángulo de pascal” se da la

regularidad.

En efecto:

110 = 1 puesto que toda cantidad elevada a la cero potencia es uno

111 = 11, puesto que toda cantidad elevada a la uno potencia es la misma cantidad

112 = 121, puesto que 11 x 11 = 121

113 = 1 331, puesto que 11 x 11 x 11 = 1 331

114 = 14 641, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 = 14 641

115 = 1 5 10 10 5 1, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 161 051

116 = 1 6 15 20 15 6 1, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 1 771 561

Etcétera.

Presentado así, 115 = 1 5 10 10 5 1, puesto que 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 161 051 pareciera que no

concuerda, no obstante, al realizar la notación desarrollada tenemos que:

115 = 1 5 10 10 5 1 = (1 x 105)+ (5 x 104)+ (10 x 103)+ (10 x 102)+ (5 x 10) + 1, que al calcular

cada una, tenemos:

(1 x 105) = 100 000

(5 x 104) = 50 000

(10 x 103) = 10 000

(10 x 102) = 1 000

(5 x 10) = 50

1 1

Que en total suman 161 051 = 115

Como puede observarse, la riqueza que muestra el tratamiento de los “productos notables” radica

en extraer todo el aprendizaje posible hasta aventurarse a recorrer los caminos señalados en estas

pequeñas reflexiones.


43

Las potencias del "tres, también forman parte de las filas del "triangulo de Pascal, como se

puede apreciar en el siguiente grafico:

El análisis sugiere el encuentro de todas las potencias de los números naturales y su relación, es

decir, las potencias del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etcétera.

También aparece el número 11 elevado a la serie de los números naturales expresados en

potencia, como se muestra en el siguiente esquema:


44

Podría pensarse que a partir de la potencia "5" no existe concordancia, sin embargo, al desarrollar

las potencies del resultado, comparadas con las expresadas en el "Triangulo de pascal" se da la

regularidad.

En efecto:


45

Como puede observarse, la riqueza que muestra el tratamiento de los "productos notables" radica

en extraer todo el aprendizaje posible hasta aventurarse a recorrer los caminos señalados

en estas pequeñas reflexiones

¿"El álgebra es el lenguaje de las matemáticas"

A pesar de que esta información no responde completamente a la pregunta clásica de los

estudiantes de matemáticas.

¿PARA QUE SIRVEN LAS MATEMATICAS?

n muchas actividades las personas tienen un lenguaje propio y peculiar. Los usuarios de las

matemáticas tienen el álgebra.

El lenguaje de las matemáticas es el álgebra y la matemática es un estudio de modelos o pautas, por lo

tanto, utilizamos el álgebra para describir y analizar los modelos.

COMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE EN CUALQUIER CURSO DE MATEMATICAS.

igue estas cuatro reglas y lo lograras sin la mejor duda:

1. Haz hasta lo imposible por no ver y seguir las explicaciones del profesor en el salón de

clases.

2. No intentes dominar tus apuntes ni tu material de estudio en el libro de texto, es tiempo perdido.

3. No resuelvas las tareas ni hagas preguntas sobre los problemas planteados en la misa cuando te

encuentres en tu salón de clases, seguro se burlaran de ti tus compañeros.

4. Estudia un día antes del examen, la noche es larga, el estudio sin organización y sin planes es una de las

mejores técnicas, hacer ejercicios sin entenderlos nos asegura la nota reprobatoria.

PERO SI ESTAS DISPUESTO A CORRER EL RIESGO Y ROMPER LA NORMA DE REPROBAR

ESTA ASIGNATURA DEBES INVERTIR ESTAS REGLAS Y ADEMAS SEGUIRLAS COMO UN

VERDADERO COMPROMISO.

E

S

¿QUE ES EL ALGEBRA?

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________

47

En el siguiente recuadro escribe cada una de las reglas invirtiendo el significado:

El propósito de esta sección es proporcionar un panorama general del Álgebra. Comenzaremos

examinando algunos modelos que pueden ser descritos algebraicamente.

En esta parte no se espera que el lector comprenda por completo todos los ejemplos; en los

capítulos que siguen se desarrollaran y estudiaran en forma sistemática los modelos algebraicos.

En los ejemplos, léase la pregunta y hallase una regla general para describir la respuesta. Resuelva

los problemas antes de consultar las soluciones que los siguen.

EJEMPLO 1

¿Como describirías los números enteros que figuran en las sucesiones siguientes?

Los enteros forman el conjunto que contiene a los números cabales (no fraccionarios positivos y

negativos, y al cero).

SOLUCION

) Cada entero es un múltiplo de 5. Si n representa un entero, entonces en lenguaje algebraico,

cada entero de la sucesión es de la forma 5 veces n, o sea, 5 (n); o bien, mas abreviado,

5n.

En este caso n se llama una variable. Si n se reemplaza por un entero cualquiera, 5n representa un

elemento de la sucesión. Si n es 11, entonces 5n se transforma en 5 veces 11, o sea 55. En

consecuencia, 55 es un elemento de la sucesión. Nótese que se no hay un signo de operación entre un

numero y una variable, entonces la operación implicada es la multiplicación, como en 5n. Pero si la variable

se sustituye por un numero especifico entonces para mayor claridad, la multiplicación se indica por medio

de un paréntesis o por un punto, como en 5(11)

a

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________

48

SOLUCION

. Cada elemento de la sucesión es un múltiplo de 5, menos 2; o bien, cada elemento es un múltiplo

de 5, más 3. En lenguaje algebraico, las dos respuestas mas comunes serian: "5 veces n

mas 3" o "5 veces n menos 2". Mas preciso escribimos 5n + 3, o bien, 5n - 2.

Una vez mas, para cada entero n, la expresión 5n + 3 (o 5n - 2) representa un miembro

de la sucesión. La variable en este caso es n. Por ejemplo, si n se reemplaza por 6, 5n + 3 es

5(6) + 3, o sea, 33, y 5n - 2 es 28. Tanto 28 como 33 están en la sucesión (adviértase que ambas

sucesiones podrán ser descritas también por la expresión "sumar 5 al miembro anterior)

EJEMPLO 2

¿Como se halla el área de un rectángulo?

SOLUCION:

robablemente usted respondió que el área de un rectángulo es la longitud multiplicada por la

anchura, u otras palabras equivalentes. Estas palabras pueden resumirse en "área = longitud

por anchura", o mas sencillo aun, A = I w, donde I representa Ia longitud, w representa la

anchura, A representa el área, y "por" esta implicada al escribir I y w juntos.

Esta formula algebraica, A = I w, ilustra dos ventajas del lenguaje algebraico:

1. ES BREVE

2. ES GENERAL

La brevedad es evidente por si misma. La generalidad significa en este case que A = I w es una

afirmación acerca de todos los rectangulos. Describe todas las siguientes proposiciones e

infinitamente muchas mas:

El área de un rectángulo de longitud 6cm y anchura 4cm es de 24 cm2.

El área de un rectángulo de longitud 16.25cm y anchura 8.04 cm. es de 130.65 cm2. El área de un

b

P

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________

49

rectángulo de longitud 100 cm. y anchura 0.1 cm. es de 10 cm2.

No podríamos describir todas las posibilidades aun cuando pasáramos el resto de nuestra vida

tratándolo.

EJEMPLO 3

i la empresa de alquiler de automóviles ACME cobra $16.95 por dia mas 17 centavos por

kilometre por arrendar un automóvil, ¿cuanto costaría alquilarlo por un día? ¿De que depende el

precio?

SOLUCION

l costo depende del número de kilómetros recorridos, que es la variable en este problema.

Por ejemplo, si recorremos 100 kilómetros, entonces el costo es 16.95 + 0.17 (100) = 16.95 + 17

= $ 33.95. Si denotamos por m el número de kilómetros recorridos.

El costo esta definido por el cobro diario mas los 17 centavos multiplicados por la variable: 16.95 + 17m

S

E

¿QUE ES EL ALGEBRA?____________________________________________________

50

Definición de conceptos

l conjunto de los números reales resulta de la ampliación de otros conjuntos numéricos los cuales se

elaboraran a continuación.

•Conjunto de los números naturales (N) Esta formado por los números que sirven para

contar.

•Conjunto de los enteros no negativos. (Z*)

•Conjunto de los enteros negativos. (Za)

•Conjunto de los números enteros. (Z)

•Conjunto de los números racionales. (Q) Todos los números de la forma p/q donde p y q son

números enteros y q es diferente de cero

•Conjunto de los números irracionales. (I) Esta formado por todos los números que no se pueden

escribir como el cociente de dos enteros.

Los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales constituyen el conjunto de los

números reales. (R)

Existe un conjunto numérico más amplio que el de los números reales: Los Llamados "números

complejos".

Dios creo el mundo natural, todo los demás es obra del hombre.

Kecnecker

Ejercicio: Se desarrollara un diagrama o mapa conceptual en donde se interprete gráficamente los

números reales.

E

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES____________________________________

51

En cada uno de los siguientes casos se muestra un patrón. Establecer una proposición algebraica

para describirlo. , Considera usted que la proposición algebraica es siempre cierta? Es decir, se aplica

el patrón a todos los números


52

De los ejemplos observamos que el lenguaje algebraico es una forma general y, breve de describir las

leyes de la aritmética.

Usted podrá recordar que el patrón en el primer ejemplo se llama la ley conmutativa de la adición. El

álgebra puede considerarse como una forma generalizada de la aritmética.


53

l principal use de las matemáticas, especialmente en álgebra, es resolver problemas. El

procedimiento de resolución de problemas se muestra en la figura.

Ya hemos examinado expresiones para muchas cantidades diferentes: área, perímetro,

volumen, razón promedio, tiempo, distancia, y muchas otras. Comenzaremos revisando algunas

palabras claves que muestran como las cantidades están relacionadas unas con otras.

En esta sección estaremos trabajando en el paso 2 de la figura.

Mas específicamente, comencemos viendo palabras que significan (+), la operación de adición y (-) la

operación de sustracción.

Algunas palabras comunes para adición son: "mas", "añadido a " "aumentado en", "mas que" y la

"suma de". Z, Se le ocurre alguna otra?

Estas palabras se sustituyen por + en la traducción de palabras a símbolos matemáticos.

Traducciones comunes para - (sustracci6n) son: "sustraer", "menos", "diferencia", "menor que",

"reducido en" y "disminuido en".

¿Cuantas diagonales tiene un polígono convexo?

E

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE

EL ALGEBRA COMO UN LENGUAJE___________________________________________

54

SOLUCION

sta pregunta es mucho mas difícil de responder que las otras. Primero asegurémonos que

entendemos bien la pregunta.

Un polígono es una figura geométrica cuyos lados son segmentos de recta.

Los triángulos, rectángulos, pentágonos, hexágonos y octágonos son polígonos.

Una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no adyacentes de un polígono. Los segmentos

de recta en la siguiente ilustración son diagonales.

Existen dos formas de resolver este problema:

METODO 1

a respuesta no es aun evidente, así que haremos algunos ejemplos y construiremos una

tabla con los resultados.

Denotemos con n el numero de lados del polígono y d el numero de diagonales. Examinando los polígonos

que se muestran a continuación, construiremos la Tabla (seria instructivo para usted que dibujara

sus propias figuras y contara el numero de diagonales en cada caso).

E

L


55

Examinando Tabla anterior notamos que en cada caso el aumento en el número de diagonales es uno

más que en el caso anterior (vedse la Tabla 1.2).

El patrón hasta alcanzar (n - 2), en general, paramos en (n - 2), ya que nos detuvimos en 3 para un

polígono de 5 lados. Nos detenemos en 5 para un polígono de 7 lados y así sucesivamente.


56

METODO 2

i pensamos cuidadosamente como se dibujaron estas diagonales, entonces podríamos

observar los siguientes aspectos:

S


57

EL ALGEBRA ES UN LENGUAJE EFICAZ QUE SE UTILIZA PARA DESCRIBIR

ARITMETICA, GEOMETR/A, CIENCIAS Y EL MUNDO A NUESTRO ALREDEDOR.

studiaremos "cómo traducir estos conceptos (dados en español) al lenguaje algebraico.

Palabras tales como "veces", "producto", "multiplicado por" y "de" (como en la mitad de un

numero) indican multiplicación. La división esta implicada por palabras tales como "cociente",

"dividido entre", "raz6n de" y "por".

E


58

ALGUNAS VECES LA RELACION ARITMETICA ENTRE CANTIDADES NO SE

ENUNCIA EXPLICITAMENTE PERO ESTA IMPLICADA POR LA NATURALEZA FISICA DE LA

SITUACION 0 POR EL RECUERDO DE UN HECHO APRENDIDO PREVIAMENTE COMO EN LOS

SIGUIENTES EJEMPLOS.

scribir una expresión para:

La cantidad en x mililitros(ml)de una solución ácida al 10%.

SOLUCION

n este problema se supone que sabemos que es una solución ácida al 10%.

En x mililitros de solución (agua mezclada con ácido), 10% de la mezcla es ácido y 90% es agua.

La relación implicada es la multiplicación:

E

E


59

Por lo tanto la cantidad de ácido en x litros de una solución ácida al 10% es igual a 0.1 Ox ml.

Existen problemas semejantes que se refieren a soluciones salinas (sal), soluciones glucosadas (para

infusión intravenosa), grasa de mantequilla en la Leche, soluciones alcohólicas y fertilizantes que

contienen 50% de fosfato.

El perímetro de un triangulo equilátero cuyos lados tienen x cm. de longitud.

Se supone que conocemos la definición de un perímetro y de un triangulo equilátero.

Un perímetro es la distancia alrededor de una figura. En un triangulo equilátero, los tres lados son

iguales en longitud. Por lo tanto, el perímetro de un triangulo equilátero con lados de longitud x cm. es

igual a x + x + x o

Bien 3x cm. El perímetro es igual a 3x.

Podemos utilizar las técnicas de simplificación para expresiones algebraicas que acabamos de estudiar

para ayudarnos a transcribir problemas mas complicados.


60

c. Si d es el numero de monedas de 10 centavos, entonces 1 000 - d debe ser el numero de monedas de

25 centavos, ya que hay un total de 1 000 monedas.


61

d. Sea m el número de millas recorridas en un día. El costo de alquilar un automóvil es 21.95 + 0.17m.

RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

. Suponer que su salario consiste en x dólares al ano. En los siguientes dos anos usted espera

aumentos del 8% y 5%.

Escriba una expresión algebraica que represente un salario al final del segundo año.

Para analizar un problema a menudo es conveniente primero hacer un ejemplo numérico.

Soluciones

Podemos acortar el calculo de alguna manera si nos damos cuenta que aumento del 8% es

equivalente a multiplicar por 1.08

Por lo tanto otra forma de representar el salario al final del segundo año es:

¿Habría alguna diferencia en el salario al final del segundo ano si el aumento del 5% fuese primero que el

de 8%?

1


62

Si hacemos nuevamente el ejemplo de $10 000, vemos que su salario al final del primer ano es igual a

10 000 + 0.05(10 000) = 10 500. Su salario al final del segundo aft es igual a 10 500 + 0.08(10 500) = 11

340. Algebraicamente:

Por lo tanto, el orden de los aumentos no tiene repercusiones en el salario al final del segundo

año, pero el aumento inicial de 8% origina un salario mayor al final del primer ano, de este modo

usted ganara $ 300.00 mas que en el caso anterior al final del primer ano.

Simplificando el segundo miembro.

Obtenemos el primer miembro, lo cual significa que la proposición es siempre cierta.


63

EJEMPLO 7

. Elija un número.

b. Multipliquelo por 3.

c. Súmele 6.

d. Divídalo entre 3.

e. Réstele el número elegido originalmente. ¿Cual es el resultado?

SOLUCION

o importa que numero elija, el resultado siempre es 2. ,Magic? No, simplemente álgebra

básica.

EJERCICIOS DE LA SECCION 2.5

-10. Cambie cada una de las siguientes frases en español a frases matemáticas. 1. Dos

veces un numero.

2. Sume un número cualquiera y 5.

3. 3 veces la suma de un número cualquiera y 5.

4. Un número dividido entre 2.

5. El costo de seis libros, si cada uno cuesta x dólares.

6. La longitud de un rectángulo que es cinco veces su anchura.

7. La distancia que recorre un automóvil en seis horas si se desplaza a x millas por hors.

8. El tiempo que le toma a un avión cubrir 500 millas si vuela a x millas por hors.

9. La cantidad de ácido en una solución al 15% de x galones de ácido y agua. 10. El impuesto sobre venta

de una estufa que cuesta x dólares si la tasa fiscal es 4%.

11-17. Cambie cada una de las siguientes frases en español a frases matemáticas. Simplifique

las frases matemáticas, tanto como sea posible.

a

N

1


64

11. La suma de dos números. El segundo número es igual a cuatro mas seis veces el primer numero n.

12. El perímetro de un rectángulo. La longitud es 4 pies mayor que la anchura w.

13. La ganancia obtenida en la venta de x plumas, cada pluma cuesta $4 y se vende a $6.

14. El interés ganado en un ano en dos cuentas de ahorros: Hay x dólares en la primera cuenta a 7.5%

de interés anual y (1 000 - x) dólares en la segunda cuenta a 9% de interés anual.

15. El costo de alquilar un automóvil por un día, cundo la tarifa es $10 diarios mas 24 centavos la milla por

[as primeras 50 millas y 15 centavos la milla que exceda de las 50.

16. La cantidad de dinero reunido mediante la venta de boletos para un concierto: Hubo x asientos

reservados a $4 cada uno y (4 000 - x) asientos no reservados a $3 cada uno.

17. Dos trenes salen de una estación al mismo tiempo, uno hacia el este y el otro hacia el oeste. ¿Cual es

la distancia entre los dos trenes después de t horas si la velocidad del primer tren es 60 millas por

hora y la del segundo es 50 millas por hora?

18-25. En estos problemas cambie las frases en español a frases matemáticas que incluyan dos

variables.

Por ejemplo, suponga que queremos conocer el interés ganado en un ano por dos cuentas de ahorros si

hay x dólares en la primera cuenta a una tasa de interés anual del 5% y dólares en la segunda a

una tasa de interés anual del 6%. La solución será, 0.05x +.0.06y.

18. La suma de dos números (Líamelos x y y).

19. La suma de tres veces un numero mas cuatro veces otro numero.

20. El perímetro de un rectángulo de longitud I y anchura w.

21. El costo total de carne para un DIA de campo si compra x libras de salchichas a $1.60 la libra

y de libras de hamburguesas a $1.85 la libra.

22. La cantidad total de dinero en centavos si usted tiene x monedas de 25 centavos y monedas de

10 centavos.

23. La cantidad de dinero recolectado por la venta de boletos para un concierto si hubo x asientos

reservados a $4 cada uno y boletos no reservados a $3 cada uno.

24. Dos trenes salen de una estación al mismo tiempo, uno viaja hacia el este y el otro oeste. ¿Cual es la

distancia entre los dos trenes al final de cinco horas si la velocidad del primer tren es x millas por hora y

la del segundo es y millas por hora?

25. La ganancia obtenida por la venta de 1 000 plumas, si el costo de cada pluma es x dólares vendida a

y dólares.


65

26-38. Después de cada proposición en la columna del lado izquierdo coloque la expresión

algebraica de la columna del lado derecho que mejor la represente. Las respuestas de la columna

del lado derecho pueden utilizarse más de una vez.

26. Cuatro veces un numero

27. Diez veces IA suma de un numero mas 5.

28. La suma de un número y el cuadrado de ese numero.

29. Un número dividido entre 4.

30. La longitud de un rectángulo la cual es 10 veces la anchura, si la anchura es x + 5.

31. la distancia recorrida por un autom6vil en cuatro horas a una velocidad de x millas por hors. 32. La

velocidad promedio de un automóvil que viaja x millas en 4 horas. 33. El perímetro de un cuadrado cuyo

lado mide x pulgadas.

34. El costo total de x libros si cada uno cuesta $ 4.

35. El área de un rectángulo cuya longitud es x pies y cuya anchura es x + 1 pies.

36. Su contribución al alquiler de un departamento para cuatro personas cuyo costo es x

dólares mensuales.

37. Veinticinco % de un número.

38. El numero de centavos en x monedas de 10 centavos y medio dólar.

39-43. Cambie cada una de las frases matemáticas a frases en español. Invente su propio

problema de tal forma que se ajuste al modelo matemático.

44-47. Para cada problema,

a) Escriba una expresión algebraica y simplifíquela tanto como sea posible. b) Responda las

preguntas formuladas en los incisos b y c.

44.

a) Halle la suma de tres enteros consecutivos.

b) Halle la suma de tres enteros consecutivos si el entero mas pequeno es 129.

45.

a) Halle su salario al final de un periodo de dos anos si su contrato establece que el aumento en el primer

ano sera 9 % y el aumento del segundo ano sera 6 %.

b) Si su salario al inicio del periodo de dos anos es $15 000, 6cual es al final el contrato?


66

c) Su salario inicial fue $15 000 y no recibe aumento el primer ano, pero recibe un aumento de 15 % el

segundo año. ¿Como se compara su salario al final de dos anos con su salario en el inciso b?

46.

a) Halle el costo total de un articulo si hay un 10 % de descuento cuando se paga al contado y un 4 % de

impuesto sobre la venta (pagamos al contado).

b) ,Hay alguna diferencia si primero se suma el impuesto sobre venta y luego se aplica el descuento de

10% o si el descuento se hace primero y luego se calcula el impuesto sobre venta? c) Compare los

incisos a y b utilizando un articulo de $ 150.

47.

a) Halle el costo de un articulo en tres anos si la tasa promedio de inflación es 12 % el primer ano, 13 el

segundo ano y 4 % el tercero.

b) ¿Como se afecta el costo en tres anos si Ia tasa de inflación es 10 %, 11 % y 8 %?

c) Determine el costo de un automóvil en tres anos si hoy cuesta $ 6 500 según las condiciones de

los incisos a y b.

IV

48-51.a. Escriba una proposición algebraica para describir el modelo. b. 6Es verdadera su proposición?


67

54. Utilice el algebra para demostrar por que los siguientes trucos matematicos funcionan.

a) Piense un número.

Duplíquelo.

Súmele 6.

Divídalo entre 2.

Reste el número que pensó.

De el resultado.

b) Piense un número.

Súmele 4.

Multipliquelo por 2.

Réstele 6.

Divídalo entre 2.

Reste el número que pensó.

De el resultado.

c) Termine los pasos del siguiente problema de tal forma que resulte la misma respuesta, sin importar

con cual número se comienza.

Piense un número.

Súmele 2.

Triplique el resultado.

55. Usted es el ganador de un concurso y puede elegir cualquiera de los dos siguientes

premios: $5 000 de contado o dinero que recibirá diariamente durante un año (365 días)

como sigue: $ 1 el primer día, $ 2 el segundo día, $ 3 el tercer, ... $ 10 el décimo... $ 365 el

365avo día. ¿Cual premio elegiría? ¿Por que?


68

onsecuentemente, podemos llegar a las siguientes conclusiones:

1. Hay n = 3 diagonales dibujadas a partir de cada vértice.

2. Hay n vértices en un polígono de n lados.

3. Cada diagonal puede dibujarse a partir de dos vértices, asi que debemos dividir entre 2 para

que cada diagonal no sea contada dos veces. Por lo tanto.

Como un subproducto del análisis de este problema en dos formas distintas, hemos descubierto

también la siguiente formula:

A partir de este ejemplo vemos que el lenguaje algebraico puede ser utilizado para describir

conceptos geométricos. El álgebra es un lenguaje eficaz que se utiliza para describir aritmética,

geometría, ciencias y el mundo a nuestro alrededor. En una sección posterior, estudiaremos "como"

traducir estos conceptos (dados en Español) al lenguaje algebraico.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1.1

-4. Escriba una expresión algebraica o formula para describir los elementos de cada sucesión.

La variable n en cada caso representa un elemento del conjunto de enteros.

SUCESIONES

e manera informal, es común pensar en una sucesión como una colección de números

arreglados en un orden particular. Esto significa que hay un primer número, un

segundo numero, un tercer numero, y así sucesivamente; cada número en la sucesión

C

1

D

SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES Y SERIES_________________________________________________

69

corresponde a un número natural, esto sugiere la siguiente definición formal.

Sucesión infinita

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los numeros naturales.

Como ejemplo, considérese la función definida por

Los tres puntos significan que el modelo continúa. En vez de utilizar la notación de funciones

habitual, por lo regular se escribe

Cada número se denomina término de loa sucesión, y los términos se escriben en el orden en que crecen.

Al término 2n se le llama término n-esimo o termino general. Nótese el use de los tres puntos

después del termino general para indicar una sucesión infinita. En esta sección también se estudian las

sucesiones finitas.

SUCESIÓN FINITA.

na sucesión finita con m términos es una función cuyo dominio es el conjunto de los números

naturales de 1 a m.

Por ejemplo:

Indica una sucesión con cuatro términos y

U


70

Es una sucesión con n términos. Los tres puntos indican la presencia de los términos entre 9 y 3n.

El ejemplo que se presenta a continuación ilustra el use de la notación para sucesiones.

Encontrar los primeros cuatro términos y el séptimo término de cada sucesión. Supóngase que el

dominio en cada caso es el conjunto de los números naturales.

La sucesión completa puede escribirse


71


72

SERIES

ada sucesión esta asociada con una serie, la cual es la suma indicada de los

términos de la sucesión

Obsérvese que los términos de una sucesión se separan con comas, pero la palabra serie significa

que los términos se suman.

La letra griega E (sigma), denominada símbolo de sumatoria, se utiliza para abreviar una serie.

Notación de sumatoria

C


73

Observar en el ejemplo 3 b que el límite inferior de la sumatoria es 2. En general, el límite inferior puede ser

cualquier número entero no negativo menor o igual que el límite superior. Así:

Esto origina el siguiente teorema.


74

SUMATORIA DE CONSTANTES

Por supuesto, es posible establecer otras propiedades que incluyen sumas de términos, diferencias de

términos y productos de una constante por cada termino de una serie.

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

La prueba de este teorema involucra el use repetido de las leyes conmutativa y asociativa, así como

de la ley distributiva. Por ejemplo,


75

12.2 EJERCICIOS

n los ejercicios 1-8 dar los primeros cinco, el octavo y el duodécimo términos de cada

sucesión.

En los ejercicios 9-14 determinados los términos segundo, tercero, cuarto y quinto de cada

sucesión.

Escribir en forma completa cada forma de ejercicio 15-20.

En los ejercicios 21-26 escribir cada serie utilizando la notación sigma de suma.

Evaluar cada serie de los ejercicios 27-38.

Compara las series en cada uno de los ejercicios 39-40.

E


76

En los ejercicios 41 - 42 determinar el varo aproximado de a30 mediante el use repetido de la

tecla de raíz cuadrada de una calculadora.

En los ejercicios 55-56 utilicese la sucesión definida por

Esta es una sucesión bien conocida en matemáticas; se le llama sucesión de Fibonacci. 55.

Determinar los primeros ocho términos de la sucesión.


77

PARA REPASO

valuar los determinantes en los ejercicios 57-58.

E


78

ay varios tipos especiales de sucesiones que tienen una amplia gama de aplicaciones. El

primero de los dos tipos considerados en esta obra se ilustra en la siguiente sucesión:

SUCESION ARITMETICA

na sucesión aritmética o progresión aritmética, es una sucesión en la que los términos

consecutivos difieren por una constante d, llamada la diferencia común.

Para las sucesiones aritméticas es posible desarrollar una formula para a en términos de al, n y d.

Considerar lo siguiente:

H

U

SUCESIONES ARITMETICAS

SUCESIONES ARTIRMETICAS______________________________________________

79

EJEMPLO 1

ncontrar los términos octavos y duodécimo de la sucesión aritmética 2,7,12,17,22,…se tiene

a, =2 y d =5 ,así.

observese que la n en an es la misma que en n en (n-1).

EJEMPLO 2

ncontrar x de modo que x + 3, 2x + 8, y 4x + 15 formen una sucesión aritmética de tres

términos en el orden dado. Además, dar la sucesión.

Se una al hecho de que la diferencia entre los términos sucesivos es igual a la diferencia común d.

Por lo que la sucesión aritmética deseada es 1, 4, 7.

FORMULAS PARA SN.

a suma de los primeros n términos en una sucesión aritmética también puede determinarse

mediante una formula. Sea Sn la suma de los primeros n términos de una sucesión

aritmética. Entonces se tiene la serie

E

E

L


80


81

EJEMPLO 4

uponer que el término decimoquinto de una sucesión aritmética es 71 y que el termino

vigésima primero es 101. Encontrar al, de los primeros cinco términos y la suma de los

primeros cinco términos.

Para encontrar a ,y y d, debe resolver el siguiente sistema.

S


82

Restar la primera ecuación de la segunda.

Sustituir luego este w valor para d en la primera ecuación.

Los primeros cinco términos son,1,6,11,21 y


83

onsideremos ahora una propiedad de las sucesiones aritméticas que es una generalización del

promedio o

La medida aritmética de dos números obsérvese que al ser promedio la posición media entre

los números a y b en una recta numérica.

Hay muchas aplicaciones de las sucesiones aritméticas. Considérese el siguiente problema de

depreciación.

EJEMPLO 6

CONSTRUCCION

na maquina excavadora-se compra a 260 000 dólares. Suponer que se deprecia 7.0% el

primer ano, 6.5% el segundo ano, 6.0% el tercer ano y continua de la misma manera durante

diez anos. Si todas las depreciaciones se aplican al consto original, ¿cual será el valor de la

maquina excavadora en diez anos? Calculase la suma de las depreciaciones a trabes de diez anos con a1

= 7.0, a2 = 6.5, a3 = 6.0, ... y d = -0.5.

C

U

MEDIAS ARITMETICAS

MEDIDAS ARITMETICAS___________________________________________________

84

Así el porcentaje total de depreciación en diez años es 47.5 %, to cual significa que el valor del

equipo será entonces el 52.5 % de su valor original.

0.525(260 000) = 136 500

La maquina excavadora tendrá un valor de 136 500 dólares en diez años.

12.2 EJERCICIOS

En los ejercicios 1 - 6 determinar si cada sucesión es o no aritmética. Si lo es, dar Ia diferencia

común d.


85

En los ejercicios 21-32 se proporcionan algunos de los números n, a,, an, d y Sn. Encontrar los

números no indicados.

33. Insertar seis medias aritméticas entre 11 y 32.

34. Insertar ocho medias aritméticas entre 47 y 11.

35. ¿Cuantos enteros entre 39 y 146 son divisibles entre 5?

36. ¿Cuantos enteros entre -92 y 261 son divisibles entre 7?

37. Encontrar la suma de todos los enteros pares entre 1 y 201.

38. Encontrar la suma de todos los enteros divisibles entre 5 del 25 al 350. 39. Demostrar que la

suma de la sucesión 2, 4, 6,..., 2n es n2 + n.

40. Demostrar que Ia suma de los primeros n números naturales impares es n2.

RESOLVER.

1. Consumo. Un automóvil nuevo cuesta 8 400 dólares. Suponer que deprecia 2.1 % el primer

año, 1.8% el segundo año, 1.5% el tercero continua de la misma manera durante 12 años. Si

todas las depreciaciones se aplican al costo original, ¿cual sera el valor del automóvil

(redondeado a dólares) en 12 años?

42. Administración. Un hombre gano 3 500 dólares el primer año que trabajo. Si recibió un aumento

de 750 dólares al final de cada año durante 20 años, ¿cual fue su salario al año vigésimo primero de

trabajo? lo cuanto ascendió su ingreso durante los primeros 21 años de trabajo?

43. Recreación. Un teatro tiene 40 filas con 20 butacas en la primera fila, 23 en la segunda fila, 26 en la

tercera fila y asi sucesivamente. ¿Cuantas butacas hay en el teatro?

44. Monedas. Una colección de monedas de 5¢ esta ordenada en un arreglo triangular con 15 monedas

en la fila de base, 14 en la siguiente, 13 en la siguiente y asi sucesivamente. Encontrar el valor de la

colección.

45. Banca. Si una mujer deposita 1 dólar en un banco el primer día de septiembre, 2 dólares el segundo

día de Septiembre 3 dólares el tercer día y así sucesivamente. ¿Cuanto dinero abra depositado al final del

mes?

4


86

46. Selvicultura. Hay 190 troncos para ser apilados de tal manera que un tronco este en la parte más

alta, dos en la segunda fila, tres en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuantos troncos deben ponerse

en la fila de base de la pila?

47. Física. Una piedra se deja caer desde la cima de un alto risco y cae 16 pies en el primer segundo, 48

pies en el segundo, 80 pies en el tercero así sucesivamente. ¿Cuantos pies cae la piedra en el octavo

segundo? (No se tome en cuenta la ficción.)

48. Demografía. La población de una ciudad esta disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por ano.

Si su población a principios de 1960 era de 20 135, ¿cuál era la población a principios de 1 970?

PARA REPASO

n los ejercicios 49-50 determinar los términos cuarto y quinto de cada sucesión general.

E


87

l segundo tipo de sucesión especial considerado se ilustra mediante

Para esta sucesión

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

na sucesión geométrica o progresión geométrica es una sucesión con la propiedad de que

para toda n, el número r se denomina razón común.

E

U

SUCESIONES GEOMÉTRICAS

SUCESIONES GEOMETRICAS________________________________________________

88

EJEMPLO 2

ncontrar x de modo que x-3,x-1,y 2x+1 formen una sucesión.

Utilizar el hecho de que la razón de los términos sucesivos es iguala la razón común r.

E


89

EJEMPLO 3

ncontrar el noveno termino y la suma de los dos primeros nueve términos de la siguiente

sucesión geométrica.

E


90

El siguiente teorema resumen las formulas que se han derivado para la sucesiones geométricas.

Se obtiene dos soluciones diferentes ya que hay dos valores para r.


91

la suma en el primer caso, donde todos los signos son positivos, es mayor que la segunda suma ,la

cual incluye términos negativos.

Ahora resolverá el primer problema aplicado que se presenta en la introducción de este capítulo.

EJEMPLO 5

anca gloria Ávila recibió un préstamo de 1000.00 dólares al 12% de interés compuesto

anualmente. si reembolsa en su totalidad el préstamo al final de tres años ¿Cuánto paga?

Para obtener el siguiente término de la sucesión, se multiplica el termino precedente por 1.12.así,

Para encontrar n debe considerarse el monto recibido al préstamo como el primer término de la

sucesión

Hay cuatro términos (n=4) en la sucesión para el periodo de tres años, Así,

Se debe pagar 1404.93 dólares al final de los tres años .

SUCESIONES INFINITAS

Si la definición de la suma de una sucesión se generaliza, puede encontrarse la suma de ciertas

sucesiones geométricas infinitas. Escríbase la formula para la suma como se indica:

B


92

Así, la suma de todos los términos de la sucesión infinita es exactamente 2.


93

EJEMPLO 6

EJEMPLO 8

n bacón rebota 4/5 Parte de la longitud que recorre al caer si el balón se deja caer

desde una altura de 40ft,

¿Que distancia recorre (hacia arriba y hacia abajo) antes de quedar en reposo?

Utilizar una serie geometría infinita para aproximar la distancia total viajada, hacer un dibujo

que describe la situación (veasé figura1)

U


94

ya que existe dos de cada número después de la primera caída, simplemente duplicar la suma de las

distancias recorridas hacia arriba e los rebotes, a partir de ese punto para obtener la suma de las

distancias totales recorridas hacia arriba, en los rebotes, y hacia abajo, en las caídas posteriores,

luego aplicar la formula sólo ala serie entre corchetes,

12.3 EJERCICIOS

Encontrar los primeros seis términos de cada sucesión geométrica en los ejercicios 1-6


95

En los ejercicios 15-20 se proporcionan algunos de los números n,a1,an,r y sn, encontrara los

números indicados

En los ejercicios 23-30 encontrar la suma de cada sucesión geométrica infinita.

En los ejercicios 31-38 convertir cada decimal a una fracción.


96

RESOLVER.

1. Consumo. Un automóvil nuevo que cuesta 6 400 dólares se deprecia 20% de su valor cada

ano. ¿Cuanto valdrá el automóvil después de seis años?

42. Consumo. Un automóvil nuevo que cuesta 5 800 dólares se deprecia 25% de su valor cada

año. ¿Cuanto valdrá el automóvil después de cinco años?

43. Banca. Lorena Vázquez recibe un préstamo de 2 000.00 dólares al 11 % de interés compuesto

anualmente. Si reembolsa el préstamo en su totalidad al final de cuatro años, ¿cuanto paga?

44. Banca. Rafael Méndez recibe un préstamo de 1000.00 dólares al 14% de interés compuesto

anualmente. Si reembolsa el préstamo en su totalidad al final de cinco anos, ¿cuanto paga?

45. Economía. A Luis le ofrecieron un ejemplo durante el mes de junio (30 días) y le dijeron que le pagarían

1 ¢ al final del primer día, 2¢ el segundo, 4¢ el tercer dia y asi sucesivamente, duplicando el salario de

cada día anterior. Sin embargo, Luis rechazo el empleo pensado que la paga era inferior. ¿Debió haber

aceptado el empleo? ¿Por que?

46. Economía. Héctor Cano recibió 5 000 dólares el día de su nacimiento y en cada fecha de

cumpleaños recibe partes del monto recibido el ano anterior. ¿Aproximadamente cuanto recibirá Héctor

a lo largo de su vida, suponiendo una prolongada existencia?

47. Física. El extremo de un péndulo barre un arco de 20 cm. en su primer balanceo. Si en

cada balaceo subsiguiente la distancia recorrida es de la longitud del balanceo precedente, ¿cual es la

distancia recorrida por el extremo al final del cuarto arco?

48. Física. El extremo de un péndulo oscila de manera que barre un arco de 12 in de longitud

y en cada balanceo subsiguiente la distancia recorrida es de la longitud del balanceo precedente. ¿Cual es

la distancia total recorrida por el extremo del péndulo?

49. Física. Una pelota se deja caer desde una altura de 12.0 ft. Si en cada rebote se eleva a una

altura de la distancia desde la cual cayo, ¿que distancia, hacia arriba y hacia abajo, habrá recorrido

la pelota cuando golpee el suelo por octava vez?

50. Física. Un balón se deja caer desde una altura de 18.0 ft. Si en cada rebote se eleva a una

altura de la distancia desde la cual cayo, ¿que distancia, hacia arriba y hacia abajo, habrá recorrido

el balon cuando golpee el suelo por sexta vez?

4


97

51. Física. Una pelota se deja caer desde una altura de 15 m y siempre rebota de altura de la

caída previa.

¿Que distancia recorre, hacia arriba y hacia abajo, antes de quedar en reposo?

52. Física. Una pelota de tenis de mesa se deja caer desde una altura de 32 ft y siempre rebota de la

distancia de la caída previa. ¿Que distancia rebota la séptima vez?

53. Física. Un balon se deja caer desde una altura de 40 ft y siempre rebota de la longitud de la

caída precedente.

a) ¿Cual es la longitud del quinto rebote?

b) ¿Cual es la distancia total recorrida, hacia arriba y hacia abajo, cuando el balon golpea el suelo

por sexta vez?

c) ¿Cual es la distancia total recorrida, hacia arriba y hacia abajo, si se deja que el balon continué

rebotando hasta que quede en reposo?

d) ¿Como podría aproximarse la distancia total recorrida cuando el balon golpea el suelo por centésima

vez?

54. Recreación. Sobre un columpio, una niña atraviesa un arco de 22 ft. En cada vaivén subsiguiente,

atraviesa un arco que es de la longitud del arco previo. ¿Que distancia recorre antes de quedar en reposo?

55. Demografía. La población de un pueblo aumenta a una tasa del 20% cada ano. Si su población actual

es de 1 250 habitantes, ¿cual será su población dentro de siete años?

56. Geometría. Un cuadrado tiene un área de 64 in2 (cada lado mide 8 in). Un segundo cuadrado se

construye al conectar en orden los puntos medios de los lados del primer cuadrado, un tercer

cuadrado al unir en orden los puntos medios de los lados del segundo cuadrado y así sucesivamente.

Calcular la suma de las áreas de todos estos cuadrados.

Para Repasar

n los ejercicios 57-58 encontrar los primeros cinco términos de la sucesión aritmética.

En los ejercicios 59-60 encontrar la suma de los primeros nueve términos de la sucesión aritmética.

E


98

61. insertar cuatro medidas aritmética entre 12 y-13.

62. Encontrar la suma de los enteros divisibles entre 12 colocados entre 111 y 25.

63. Recreación. Un teatro tiene 50 filas con 15 butacas en la primera fila, 17 en la segunda, 19 en la

tercera y así sucesivamente. ¿Cuantas butacas hay en el teatro?

64. Demografía. La población de un lugar aumenta a una tasa de 700 habitantes por año. Si su población

actual es de 1 250, ¿Cual será su población dentro de siete años?


99

BLOQUE II

"POLINOMIOS DE UNA VARIABLE"

EJEMPLO

SIMPLIFICAR LA SIGUIENTE

SOLUCIONES

El siguiente ejemplo ilustra una aplicación que utiliza una expresión polinomial.

EJEMPLO

uponer que recibe $1000 al ano de un fondo fiduciario durante cada uno de los cuatro anos que

usted asiste a la escuela para obtener el grado de bachillerato. Usted decide invertirlo a un

interés anual del 10%. Si no retira dinero de la cuenta ,cuanto tendrá al final de cuatro anos?

Suponer que recibe el dinero al principio de cada año.

S

ADICCION Y SUSTRACCIÓN DE NUMEROS

ADICCION Y SUSTRACCION DE NUMEROS_____________________________________

100

SOLUCION

eacuérdese que la formula para hallar el interés es P(1 + I)n, donde P es el capitulo, I es el

interés y n es el tiempo.

Al final de cuatro anos tendrá $ 5 105.10

En general, si x es el factor escala 1. 10, entonces la cantidad de dinero al final de cuatro anos es igual a

1 000x4 + 1 000x3 + 1 000x2 + 1 OOOx

Reconocemos esta expresión como un polinomio de grado 4, y evaluando esta expresión para x =

1.10, obtenemos la respuesta a la pregunta del ejemplo 5.

EJERCICIOS 1

-8. a. ¿Cuales de las siguientes expresiones se escriben como un producto? b. Si es un

producto, y es x + 2 un factor?

9-16. Utilice la propiedad distributiva para escribir cada una de las siguientes expresiones como una

suma o una diferencia de términos.

17-23. Utilice la propiedad distributiva para escribir las siguientes sumas o diferencias como el

producto de dos o mas factores.

R

1


101

24-33. Desarrolle las operaciones indicadas y simplifique tanto como sea posible.

II

34-37.desarrolle la siguientes operaciones y simplifique.

37. Reste - (2a - b) de (6a + b) y multiplique el resultado por el reciproco de 6a.

38-40. Demuestre como cada una de las siguientes figuras ilustra la propiedad distributiva, escribiendo

el área como un producto y como una suma.

41.46. a. Diga cual es el grado de los siguientes polinomios.

b. Decida si son monomios, binomios, trinomios o ninguno de estos.

47-50 inserte paréntesis en el mismo miembro del lado izquierdo de la igualdad para hacer cada

proporción verdadera. Por ejemplo


102

51.a. Escriba el numero 12 como un producto con dos factores y con tres factores.

b. Escriba 12 como una suma de dos y tres términos.

c. Escriba 12 como un producto de dos factores que un factor sea la suma de dos términos.

53-56. Escriba en el cuadro un numero que haga cada proposición verdadera.

57-60. Para cada frase escriba dos expresiones, una como un producto y otra como una suma de

términos. EJEMPLO: La cantidad total de dinero en x monedas de 10 centavos y monedas de veinticinco

centavos. SOLUCION: Dinero en centavos:

57. La cantidad total de dinero en centavos en x monedas de 10 centavos y y monedas de cinco centavos.

58. La cantidad de dinero recaudada por la venta de x boletos el lunes, y boletos el martes y z

boletos el miércoles si cada boleto fue vendido a $2.50.

59. El área de un rectángulo cuya anchura es x + 2 y cuya longitud es

60. El numero total de paginas mecanografiadas en dos horas por Maria y Samuel juntos si Maria

mecanografía 20 paginas por hors y Samuel x paginas por hora.

61. En el rectángulo ABCD, halle el área de la parte sombreada si las áreas de los rectángulos más

pequeños son

62. halle una expresión algebraica para el área de la parte sombreada en cada figura. el circulo y el


103

cuadro en cada caso tiene el mismo centro.

63 se indican las formulas para hallar la superficie de varios sólidos. Calcule la superficie para los

valores dados.

64. a) si una esfera y un cilindro tiene el mismo radio ¿cual de los dos tiene menos

superficie mayor?

b) ¿cual de los dos tien mayor volumen? ¿Porque?

c) ¿que sucede si los radios y las alturas son iguales?

65. Una pelota es arrojada dentro de un cilindro. Después se llena con agua el cilindro.

a) ¿Cuanta agua se requiere si el radio de la pelota es igual al radio del cilindro (ajuste perfecto)?

b) Calcule el volumen de agua de la parte a si el radio es igual a 4cm y la altura es 8cm.

a. Si un cono y un cilindro tienen el mismo radio y la altura del cilindro es igual a la altura inclinada

del cono ¿cual de los dos tiene la superficie mayor? ¿Por cuanto?

b. Repita el inciso a utilizando volúmenes.

66. Suponga que en su cumpleaños numero veintiuno usted hereda $2 000 anuales de por vida. Usted

invierte este dinero al 11 %2 % de interés compuesto anualmente. ¿Cuanto dinero tendrá después de

un año?, ¿de dos años?, ¿de tres años?, ¿de cuatro años?, ¿de cinco años?, ¿x años?.


104

67. En el ejemplo 5, 6cuanto dinero habría en la cuenta al final de cuatro anos si la tasa de interés anual

es 14 %2?

68. En el ejemplo 5, ¿cuanto dinero habría en la cuenta si su propiedad pagara $ 2 000 al principio

de cada ano? Suponga que la tasa de interés anual es 10%.

69. Mientras estuvo asistiendo al bachillerato suponga que trabajo cada uno de los cuatro veranos. Al

principio de cada ano usted deposito algunos ahorros en una cuenta que reditúa 13% de interés anual.

Al principio de cada año usted ahorro $5 000, el segundo año $750 el tercer ano $1 100 y el cuarto año

$1 700. Si no retiro dinero ¿cuanto tiene en la cuenta al final del cuarto año?

IV

70. Rompecabezas de la caja: Considere un cuadro 3 X 3.

a. Elija cuatro números digamos 2, 8 6 y 3 y escríbalos en la orilla como sigue:

b. Escriba el producto de los números de la orilla en los cuatro cuadros superiores:

c. Sume las filas y las columnas.


105

1. ¿Cual es la relación entre el numero que esta en el cuadro inferior derecho y los números en las

orillas?

2. Haga nuevamente este rompecabezas eligiendo otra serie de cuatro números para la orilla. ¿Se

mantiene la misma relación que encontró en la parte entre el número inferior derecho y los números en

las orillas?

3. Demuestre por que estas relación se cumple utilizando p, q, r y s para representar a los

números en las orillas.

4. Ahora hagámoslo al revés. Halle los números en las orillas y llene los cuadros de tal forma que la

suma en el cuadro inferior derecho sea 1 983.


106

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

a propiedad distributiva se utiliza para multiplicar polinomios. Al principio de este capitulo

multiplicamos monomios y polinomios por un monomio.

Por ejemplo

Ahora consideramos la multiplicación de dos binomios.

EJEMPLO 1

ultiplicar los siguientes polinomios y simplificar el producto combinando términos semejantes.

II

L

M

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS

MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS________________________________

107

47-50. Ilustre las siguientes multiplicaciones utilizando áreas de rectángulo, ejemplo:

51. El rectángulo ABCD esta dividido en dos rectángulos más pequeños. Se indica el área de cada

rectángulo. La longitud AT de uno de los rectángulos también esta dada.

a. Halle las dimensiones del rectángulo ABCD. b. ¿Cual es el perímetro del rectángulo ABCD?

52. desarrolle cada una de las siguientes expresiones.

III

53-60. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios.

53. Las formulas para hallar la superficie y el volumen se indican a continuación.

Para cada sólido halle la razón de la superficie respecto al volumen. simplifique las razones.


108

54

a. Dados los dos círculos con el mismo centro, halle una expresión algebraica, para el área de la parte

sombreada. simplifique la expresión.

b. Utilice la expresión para hallar el área de la parte sombreada six=10.125

55.a. Demuestre que el área de la parte sombreada es igual a (A-B) .(A+B)

b. Halle el área de la parte sombreada cuando = 15 cm. y B =12.4 cm. utilice

La cantidad de cemento que se necesita para hacer una tubería de concreto que tiene L pies de largo,

un radio interior B y un radio exterior A es

a. factorice la expresión, sugerencias vease el ejercicio 55.

b. halle la cantidad de cemento que se necesita para hacer 1000 metros de tubería (1000 metros de

largo) con un diámetro exterior de 69.5 cm., utilice

57 .Uno de los procedimientos aprobados por el servicio de ingresos internos para depreciar

propiedades comerciales está dada por la formula:


109

Donde v es el valor al final de n anos, C es el costo original y N es el numero total de anos por los cuales

esta siendo depreciada. Si se va a depreciar una maquina de oficina por un periodo de 20 años (N) que

originalmente costo $55 000 ©, ¿Cual sera el valor (v) al final de

a. 5 años?

b. 10 años?

58. En el ejercicio 57, ¿cual es el valor (v) al final de 20 años? ¿Tiene esto sentido? ¿Por club?

59. Al construir una carretera, los ingenieros utilizan las siguientes formulas para calcular la dilatación

debida al cambio en la temperatura que puede permitirse:

Donde I es la dilatación a la temperatura T en grados Fahrenheit (°F), t es la temperatura a la cual fue

construida la carretera (°F), y I es la longitud de la carretera en millas. Lo constante k = 0.00012

por °F se utiliza para carreteras de dos carriles.

a. ¿Cuanta dilatación ocurrirla en un tramo de la carretera de una milla a 95°F si originalmente fue

construida a 65°F?

b. Para la misma carretera, cual es la expansión a 115 °F?

60. Para el ejercicio 59, calcule la dilatación a 0 °F. ¿Tiene esto sentido? ,Por que?

IV

61. Eleve al cuadrado los siguientes números los cuales terminan en 5.

Factorizar y mostrar que cada expresión en los ejercicios 55-56 es un cuadro perfecto.


110


111

opia en una cartulina las siguientes regiones y construye las áreas que se te piden utilizando

las mismas.

a) Elabora un cuadrado utilizando cuatro regiones:

b) Forma una región donde se incremente una de sus dimensiones (la base o la altura) y la otra disminuya

la misma cantidad de unidades.

c) Un cuadrilátero donde disminuyan la misma cantidad las dos dimensiones.

d) Tomando como base un cuadrado disminuye sus dos dimensiones en cantidades diferentes.

e) Un cuadrado donde se incrementen las dos dimensiones en cantidades diferentes.

f) Explica que representa la siguiente construcción, tomando como base el cuadrado marcado como X2:

a) Dibuja un cuadrado de 8cm de lado como base y traza las regiones que se formarían al

incrementar 3cm cada una de sus dimensiones, toma en cuenta este cuadrilátero, al realizar las

siguientes actividades:

C

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION____________________________________

112

5.2 factor común en un polinomio

Obsérvalas siguientes expresión algebraica.

Como recordaras, en la unidad anterior estudiamos que los factores que tienen en cambio los

términos de un polinomio lo podemos tomar como el primer factor de multiplicación cuyo

producto dará como resultado el mismo polinomio, como se muestra en el siguiente ejemplo:

También debes recordar que a estos factores numéricos y/o variables comunes que encontramos en

los términos de un polinomio, los llamamos factor común del polinomio, su obtención y la expresión del

producto que origina al polinomio, implica el use de la ley distributiva y la propiedad de simetría de las

igualdades.

Al proceso de generar un producto para expresar un polinomio, se le llama factorizacion (recuerda que en

toda multiplicación, los elementos que se multiplican se llaman factores).

Ejemplo


113

También mencionamos en la unidad anterior que el factor común de un número de un polinomio puede

ser otro polinomio.

Obbserce el siguiente ejemplo:

El factor común en esta expresión es 2x +3y y su factorización:

Si utilizamos las leyes de los exponentes para la simplificar este producto obtenemos:

Por lo que su factorización es:

Los polinomios como 2x + 3, como ya vimos, reciben el nombre de binomios, en nuestro ejemplo, como

esta elevado a la segunda potencia, le damos el nombre de binomio al cuadrado.

En esta Unidad veremos algunas expresiones algebraicas cuyos productos se pueden obtener

mediante la aplicación de una regla general, sin la aplicaci6n del algoritmo de la multiplicación. Estas

reglas generales las reconocemos con el nombre de productos notables, entre los que analizaremos

estan:


114

5.3 cuadro de un binomio

Calcula el área de cada una de las regiones en las que están divididos los siguientes cuadros, Así como

su área total:

En las cuatro figuras se ha representado geométricamente el cuadrado de la suma de dos cantidades, en

ellas podemos observar que en el mismo cuadrado hay dos regiones rectangulares que tienen la misma

superficie y dos regiones que son también cuadrados.

Este comportamiento lo podemos representar algebraicamente como:


115

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta regla:

Esta regla no solo es útil algebraicamente, la podemos aplicar para facilitar el calculo mental de

cuadrados de números de dos cifras, veamos dos ejemplos:

EJEMPLO 1


116

Tomemos ahora un cuadrado de lado a unidades y hagamos una disminución de b unidades en cada uno

de sus lados. ¿ cuál será el área resultante?

Prueba tu hipótesis en las siguientes construcciones


117

En estos ejemplos, puedes observar que el producto final de un binomio al cuadrado, esta formado

por tres termino (trinomio), en el cual si sus términos están ordenados en forma decreciente, el

primer termino y el tercero son la segunda potencia de cada uno de los términos del binomio dado,

mientras que el segundo se obtiene multiplicando por dos el producto de los dos términos del binomio. Un

trinomio con estas características recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicio 54

1. Escribe únicamente el resultado de elevar cada binomio al cuadrado, sin desarrollar los

productos.

2. Utilizando la regla del cuadrado de un binomio, calcula mentalmente los siguientes cuadrados.


118

3. Escribe el resultado de elevar al cuadrado los siguientes trinomios, para facilitar el procedimiento

puedes utilizar la ley asociativa. Obtén una regla o algoritmo de desarrollo abreviado y escríbela en el

espacio al final del ejercicio.

Trinomio al cuadrado

5.4. FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

actorizar es la forma de expresar un polinomio mediante un producto de dos o mas factores. Los

polinomios factorizables se clasifican para su estudio en casos de acuerdo con sus

características, en los que destacan nueve casos de factorizacion.

La factorizacion de trinomios cuadrados perfectos es uno de estos nueve casos, y la podemos obtener

mediante el use de una regla o desde un punto de vista geométrico, analizando esta expresión

como el área de un cuadrado del cual queremos saber las dimensiones de sus lados. Veamos ahora

como podemos construir un cuadrado del cual conocemos la expresión algebraica que representa su

área.

Ejemplo 1

Cuales son las dimensiones de un cuadrado cuya área es x2 +6x +9?

Dibujemos un cuadro dividido en cuatro regiones como el siguiente:

F

¿


119

Podemos decir que la factorizacion del trinomio cuadrado perfecto de este ejemplo es:

EJEMPLO 2

actoriza mediante un modelo geométrico el trinomio cuadrado perfecto 4y´2+20y +25.

a) construimos un cuadrado dividido en cuatro regiones :

b) distribuimos los términos del trinomio, considerando que las dos cantidades que son expresiones al

cuadrado corresponden a regiones cuadradas, siendo el termino faltante la suma de las dos regiones

rectangulares.

c) expresamos las dimensiones del cuadrado para que se cumpla las cuatro áreas parciales

F


120

d) la factorizacion buscada es.

Los modelos geométricos nos ayudan a mejorar nuestra comprensión sobre los objetos abstractos

con los que trabajamos, pero en ocasiones no son prácticos, por lo que tenemos que recurrir a

otros mecanismos más rápidos:


121

EJEMPLO 1


122

EJEMPLO 3

La descomposición en factores o factorizacion es:

EJERCICIO 55

. factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

2. Construye un modelo geométrico para factorizar lo siguientes trinomios cuadrados perfectos.

1


123

FACTORIZACION PARCIAL DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO

na herramienta algebraica que es de mucha utilidad para definir el valor de una variable

en una expresión algebraica de segundo grado, es la factorizacion de expresiones

completando un trinomio cuadrado perfecto, que como veremos en los siguientes ejemplos,

en algunos casos queda parcialmente factorizada.

Veamos este proceso de factorizacion parcial.

Ejemplo 1

Asociados los tres términos que forman el trinomio cuadrado perfecto y reduciendo los términos

constantes tenemos:

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto obtenemos una expresión equivalente a la dada:

U


124

La expresión (x+3)2- 19 no es una factorización del trinomio original ya que además del binomio al

cuadrado, tiene un término que no esta expresado dentro del producto indicado:

EJEMPLO 2

btener una factorizacion parcial de m2-3m +49 completando un trinomio cuadrado perfecto:

El doble producto de estas raíces debe ser:

14m es la cantidad con la que formaremos ahora un cero para sumar el trinomio dado.

En este caso podemos generar dos trinomios cuadrados perfectos con el fin de factorizar la expresión

dada:

EJEMPLO 3

ompletando un trinomio cuadrado prefecto obtener una factorizacion de

4f2-12f-5.

O

C


125

EJERCICIO 56

. obtener una factorizacion parcial de cada uno de los siguiente polinomio, completando un

trinomio cuadrado perfecto

5.5 CUBO DE UN BINOMIO

tro producto notable que es útil recordar es el cubo de un binomio podemos deducir su regla

de desarrollo si empleamos el algoritmo normal de multiplicación con un binomio simple,

por ejemplo a+b o a-b.

Obtenemos la potencia(a+b)3,por medio de la multiplicación de binomios

1

O


126

EJEMPLO 1

Esta misma regla se obtiene mediante un modelo geométrico, analizando el volumen de u cubo.

si a este cubo le incrementamos un número determinado de unidades en sus tres dimensiones

(a+b),su volumen se incrementaría de la misma forma:

Partiendo de l cubo inicial con este incremento se forman ocho prismas en total. Localizalos en el

siguiente diagrama y calcula el volumen de cada uno de ellos


127

Reduciendo terminos semejantes:

EJERCICIO 57

. Desarrollo cada uno de los siguientes cabos de binomios:

1


128

5.6. FACTORIZACION DE UN CUBO PERFECTO

bserva el siguiente polinomio:

El polinomio ordenado en forma descendente en relación con una de las variables, tiene como

característica que en su primer termino y el ultimo los exponentes de las variables son múltiplos de tres,

por lo que podemos afirmar que esas variables fueron elevadas a la tercera potencia, (an)3 = a3n

donde. Para saber si todo el término representa un cubo, el coeficiente numérico del primer termino

y del último deben tener raíz cúbica exacta.

Para nuestro ejemplo:

Si el polinomio es un cubo perfecto, los términos intermedios deben cumplir con la regla del

cubo de un binomio, por lo que necesitamos hacer una comprobación:

Esta, cosiste en verificar que el segundo termino de la expresión se puede obtener multiplicando

por tres el producto de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del ultimo termino, así como el

tercer termino se obtiene multiplicando por tres el producto de la raíz cúbica del primer termino por el

cuadrado de la raíz cúbica del ultimo termino.

O


129

Si esta comprobación se cumple satisfactoriamente. factorizamos el polinomio con las raíces obtenidas

formando un binomio y elevándolo la tercera potencia.

EJEMPLO 2

Como el polinomio está ordenado, y los términos extremos tienen exponentes múltiplos de tres,

verificamos si tiene raíz y comprobamos los términos intermedios:

Como si se trata de un cubo perfecto factorizamos:

EJERCICIO 58

. verifica si cada uno de los siguientes polinomios es un cubo perfecto y si los es, escribe su

factorizacion.

1


130

5.7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TERMINO COMÚN.

alcula el área de cada una de las regiones en las que están divididos los siguientes

rectángulos, así como su área total.

En las cuatro figuras puedes observar que hay un elemento común en los tres productos con los que

obtenemos las áreas de cada región, con las dimensiones de cada rectángulo podemos formar un binomio

en lo que esta presente un mismo elemento. Este tipo de productos reciben el nombre de binomios

con un término común:

El cálculo de este tipo de productos lo podemos representar algebraicamente como:

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta regla:

C


131

EJEMPLO 1

Esta regla también la podemos aplicar para facilitar el calculo mental de algunos productos de

números de dos cifras, veamos dos ejemplo:

EJERCICIO 59

1. Escribe únicamente el resultado de las siguientes multiplicaciones, sin desarrollar los productos.


132

2. En cada uno de los siguientes incisos, utiliza la regla del producto de binomios con un término

común para calcular la multiplicación indicada.

3. En cada uno de los siguientes incisos construye un rectángulo con las dimensiones necesarias para

que su área corresponda al trinomio de segundo grado indicada:

5.8-FACTORIZACIÓN DE TRINÓMIOS DE SEGUNDO GRADO

ara estudiar la forma de factorizar los trinomios de segundo grado iniciaremos con los

polinomios en una variable de la forma ax2+bx+c, con en los cuales no podemos percatar

más fácilmente de las relaciones que hay entre sus términos, dividiendolos en dos casos:

Para factorizar un trinomio de segundo grado podemos pensar en el producto de dos binomios, pero

como un proceso inverso, recordemos este método:

Caso en que el coeficiente de término cuadrático es 1:

Tomemos como ejemplo la factorización de x2+6x +8.

P


133

Como el primer termino es una variable podemos intuir fácilmente el producto que lo

originax2=(x)(x),así:

Los coeficientes del segundo término y del ultimo son una combinación de dos números, que al

multiplicarse dan como resultado 8 y cuya suma es 6. Estos números son 4 y 2.

Para completar los binomios que se deben multiplicar para dar como resultado el trinomio x2 + 6x + 8

utilizamos los elementos que acabamos de encontrar, colocando el mayor de los dos números en el

primer binomio:

EJEMPLO 2

Descomponer en los factores


134

por lo que:

por lo que


135

EJERCICIO 60

1.factoriza:

2. Encuentra todos los valores posibles de h para cada uno de los siguientes trinomios se pueda

factorizar;

3. supongamos que la distancia que recorre un automóvil por (f2-9f-70)km cuando va a una velocidad

constante de (f+5)km/h.¿en cuanto tiempo cubrirá esta distancia?

4. utilizando los diferentes métodos que hemos estudiado hasta aquí, haz la descripción en tres

factores de los siguientes trinomios:

Caso en que el coeficiente del termino cuadratico es distinto de 1

Para factorizar los trinomios de segundo grado en los que , podemos descomponer en dos factores

tanto el primero como el ultimo termino, de tal forma que al multiplicar esos elementos en forma cruzada

se obtenga por suma el segundo termino:

EJEMPLO 1


136

EJEMPLO 2

Factoriza 20x2+ x-1

EJEMPLO 3

Descomponer en dos factores el trinomio 9y2+37y+4

1. Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:


137

2. Encuentra todos los posibles valores de h para que cada uno de los siguientes trinomios se pueda

factorizar:

5.9 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

Encuentra el área de la región sombreada en la siguiente figura:

Observa atentamente la obtención del siguiente producto:


138

Los dos ejemplos vistos te pueden sugerir una regla para multiplicar la suma de dos cantidades por

su diferencia.

¿cual es esta regla?

Esta producto también es útil en el cálculo mental de multiplicación como:

EJERCICIO 62

1. Encuentra el resultado del producto de los siguientes binomios conjugados.


139

2. Encuentra el resultado del producto de los siguientes trinomios utiliza la propiedad asociativa para

darles La forma de binomios conjugados.

3. Utilizando la regla del producto de la suma de dos números(o terminos) por su

diferencia(binomios conjugados),calcula los siguientes productos.

5.10. FACTORIZACION DE DIFERENCIA DE CUADRADOS

omo vimos en la sección anterior, obtenemos una diferencia de cuadrados al multiplicar

la suma de dos términos por su diferencia, es decir:

C


140

Hay expresiones en las que después de aplicar una determinada forma de factorizar, alguno de los

factores puede ser nuevamente factorizado. Al proceso de seguir factorizando hasta que ya no es

posible hacerlo mas le llamamos factorizacion completa.

EJEMPLO 3

EJERCICIO 63

1. FACTORIZA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES DIFERENCIAS DE CUADRADOS:


141

2. FACTORIZA EN FORMA COMPLETA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS.

3. Escribe un polinomio de tres términos que tenga como factor a (x - 5):

4. Encuentra un binomio de tercer grado que tenga como factor (2f + 3):

5. Encuentra un polinomio de quinto grado que tenga tres factores siendo uno de ellos (2w3 - 3): 5.11

Factorizacion por agrupación de términos

Observa atentamente el siguiente procedimiento de factorizacion, y en cada uno de los pasos escribe

sobre la línea el nombre de la propiedad que se esta utilizando para it transformando el polinomio:

EJEMPLO 1

Observa otro ejemplo de factorización por agrupación de términos.

EJEMPLO 2

En el siguiente ejemplo, se indica la propiedad aplicada en cada paso; completa escribiendo la

transformacion que se obtiene al aplicar dicha propiedad.


142

Completa el siguiente proceso de factorizacion escribiendo la transformación de la expresión algebraica

y/o Ia propiedad que justifica la transformación realizada, según sea el caso.

Los siguientes ejemplos de factorizacion son otra forma muy corm n de descomponer en dos

factores un trinomio de la forma ax2 + bx + c analizala y escribe un pequeño resumen de como se llevo a

cabo.

EJEMPLO1

Factorización 9d2+18d+8


143

En el siguientes líneas resume el método empleado en estos ejemplos:

Resumen del método empleado

Si conoces otra forma de factorizar este tipo de trinomios, diferente a las estudiadas hasta esta parte del

libro, utilizala en el siguiente trinomio y compártela con tus compañeros:

EJERCICIO 64

1. Factoriza cada uno de los siguientes polinomios:

2. Factoriza cada uno de los siguientes trinomio9s aplicando la factoria por agrupación de términos:

3. Esboza un modelo geométrico que representa a cada uno de los siguientes trinomios:


144

5.12 FACTORIZACION DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

omo introducción a la factorizacion de polinomios de este tipo de expresiones algebraicas

realizamos las siguientes divisiones.

1.EJEMPLO

Como sabes, en toda división exacta, el producto del cociente por el divisor da como resultado el

dividendo. Así sucede en nuestro ejemplo:

Ejemplo 2

Siendo el cociente de nuestra división :x4-x3+x2-x+1

un producto que da como resultado X5+1 es entonces:

EJEMPLO 3

C


145

Las tres divisiones que lo presentamos son ejemplos de sumas o diferencias de potencias iguales

que son divisibles entre la suma o diferencia de las bases de las potencies involucradas.

Por simplicidad nos referiremos a "las bases" para indicar que hablamos de las bases de [as potencias

en una suma o diferencia de potencias iguales.

Veamos ahora coma factorizar una suma o diferencia de potencias iguales, aprovechando los

ejemplos desarrollados anteriormente.

EJEMPLO 1

Factorizar y5+1

Y5+1=y5+(1)5 como n es impar, la suma de potencia es divisible por la suma de sus bases que es

y+1.

Dividiendo la suma de potencias entre la suma de sus bases tenemos que:

=Y4-Y3+Y2-Y+1

Por lo que la factorización se busca es:

EJEMPLO 2

FÁTORIZAR 8F6-125Hh3

8f6- 125h3 = (2f2)3 - (5h)3 como n es impar la diferencia de potencias es divisible por la diferencia de sus

bases: Obtenemos como factorizacion:


146

EJEMPLO 3

k6 - 64p12 = k6 - (2p2)6 como n es par la diferencia de potencias es divisible por la suma de sus

bases: Obtenemos como factorizacion:

EJEMPLO 65

1. FACTORIZA CADA UNA DELAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

5.13 MINIMO COMUN MULTIPLO DE DOS O MAS POLINOMIOS

l estudio de este tema, lo iniciaremos recordando como obtener el mcm de dos o mas

números naturales, para poder aplicar este mismo procedimiento a expresiones algebraicas.

Obtener el mcm (24, 64, 160).

Tanto en la Unidad 1, como en la Unidad 2, vimos dos formas alternativas de encontrar el mcm de dos o

más cantidades, ahora emplearemos la factorizacion de cantidades por separado para obtenerlo.

Factoricemos a 24, 64 y a 160 de esta manera.

E


147

Las tres cantidades están descompuestas en sus factores primos, entre los cuales puedes distinguir

elementos de dos tipos, los factores comunes a las tres cantidades y los factores no comunes.

Por lo que el mcm (24,64,160)

Ejemplo 1

Obtener el mcm de 3x-6,x2-4,5x2+10x

Factorizamos los tres polífonos:

¿Cuales son los factores comunes a los tres polinomios?

¿Cuales son los factores no comunes?


148

El mcm es el producto de estos factores, así que:

EJEMPLO 2

Hallar el mcm de 8m2 - 10m - 3, 20m2 + 13m + 2, 10m2 - 11 n - 6 Factorizando cada trinomio

obtenemos sus factores primos:

Factores comunes: no hay factor común en los tres polinomios Factores no comunes: (4m + 1),

(5m + 2) y (2m - 3) Por lo que el mcm que buscamos es:

EJEMPLO 3


149

Factores comunes: (2 - a) el mayor exponente del factor común es 2 Factores no comunes: 4, a,

(2 + a), (4 + 2a + a2)

El mcm que buscamos es:

mcm (12 - 3a2, 16 - 16a + 4a2, 8a - a4) = 4a(2 - a)2(2 + a)(4 + 2a + a2)

EJERCICIO 66

1. Obten el mcm de cada una de las siguientes ternas de polinomios:

i) Encuentra el mcm de los polinomios propuestos en los incisos e, f y g utilizando el algoritmo de

Euclides, desarrolla estos ejercicios en lo cuaderno.

5.14 OTROS TIPOS DE FACTORIZACIONES

ay algunas expresiones algebraicas que para ser factorizadas requieren mas de uno de

los métodos que hemos estudiado; veamos algunos ejemplos:

EJEMPLO 1

Trinomio cuadrado perfecto

Utilizando la propiedad asociativa en la expresión que obtuvimos de factorizar parcialmente el polinomio

original, obtenemos

H


150

Por lo que la factorizacion del polinomio original es:

x2+2xy+y2+x+y-6=(x+y+3)(x+y-2)

EJEMPLO 2

Factoriza el polinomio m3 - n3- m2 + 2mn - n2

Utilizando Ia propiedad asociativa podemos separar la expresión en dos sumandos:

M3- n3 – m2 + 2mn – n2 = (m3 – n3) - (m2 - 2mn + n2)

Indica que tipo de expresión tenemos que factorizar en cada sumando:

m3 - n3 - m2 + 2mn - n2 = (m3 - n3) - (m2 - 2mn + n2)

Factorizando cada sumando:

m3 - n3 - m2 + 2mn - n2 = (m3 - n3) - (m2 - 2mn + n2)

=(m-n)(m2+mn+n2)-(m-n)2

La expresión que acabamos de obtener la podemos factorizar mediante el factor común:

(m - n)(m2 + mn + n2) - (m - n)2 = (m-n)[(m2+mn+n2) - (m - n)]

=(m-n)(m2+mn+n2 -m+n)

Siendo la factorizacion buscada:

m3-n3-m2+2mn-n2=(m-n)(m2+mn+n2 -m+n)

EJEMPLO 3

Factoriza a4 + b4 - 7a2b2

Ordenamos el trinomio:


151

a4 + b4 - 7a2b2 = a4 - 7a2b2 + b4

Las raíces del primer y último término del trinomio están presentes en el segundo término, por lo que

podemos intentar factorizar este trinomio completando un trinomio cuadrado perfecto.

a4 + b4 - 7a2b2 = a4 - 7a2b2 + b4

= a4 - 7a2b2 + b4 + 2a2b2 - 2a2b2

= (a4 + 2a2b2 + b4) + (-7a2b2 - 2a2b2)

= (a2 + b2)2 - 9a2b2

Lo que tenemos ahora como expresión es una diferencia de cuadrados, al factorizarla obtenemos:

(a2 + b2)2 - 9a2b2 = (a2 + b2 + 3ab)(a2 + b2 - 3ab)

La factorizacion buscada es:

a4 + b4 - 7a2b2 = (a2 + 3ab + b2) (a2 - 3ab + b2)

EJEMPLO 4

Factoriza 8 – 8x2+x3-x5

Iniciemos factorizando par agrupación de términos:

8-8X2+ X3- X5 =(8-8X2)+(X3-x5)

= 8(1 - x2) + x3 (1 - x2)

= (1 - X2) (8 + X3)

Factorizamos ahora cada uno de los elementos del último producto obtenido:

(1 –x 8 + x3) = (1 + x)(1 - x)(2 + x)(4 - 2x + x2)

Por lo que la factorizacion de la expresión original es:

8-8 x2 + x3 - x5 = (1 + x)(1 - x)(2 + x)(4 - 2x + x2)

La dificultad de este tipo de factorizaciones radica en el hecho de que debes identificar

correctamente los diferentes tipos que hemos venido estudiando. En esta unidad to

recomendamos que si no los ha hecho, detengas to avance y los repases nuevamente poniendo

atención en sus características.


152

EJERCICIO 67

Factorización en forma completa cada uno de los siguientes polinomios:

5.15 BINOMIO DE NEWTON

ara obtener el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio se pueden utilizar

diferentes métodos como son : la multiplicación directa de binomio por binomio, tantas

veces como lo indique el exponente; los productos notables que ya hemos estudiado para

los cuadrados y cubos; calcular los coeficientes binómicos de cada termino de desarrollo de la

potencia mediante un triangulo aritmético que denominamos Triangulo de Pascal (que como

mencionamos en la reseña histórica de esta Unidad, Zhou Jijie presento este triangulo

aritmético alrededor del ano 1 300 en China, 300 anos antes que Blas Pascal y que esta

formado por los coeficientes de los términos de un binomio elevado a una potencia) y el Binomio de

Newton, que es el método mas general y que puede ser aplicado a exponentes positivos, negativos o

fraccionarios.

En esta sección estudiaremos como desarrollar diferentes potencias de binomios utilizando dos

métodos, el Triangulo de Pascal y el Binomio de Newton.

Para desarrollar eI Triangulo de Pascal tomaremos las potencias sucesivas del binomio (f +

h)n, las desarrollaremos por medio de los productos notables que conocemos y de la multiplicación

directa para las potencias sucesivas y así:

P


153

Hay ciertas propiedades que cumplen los desarrollos de las potencias sucesivas de un binomio,

contesta las siguientes preguntas para it descubriendo estas regularidades:

Formalicemos ahora las observaciones que acabamos de realizar

las caracteristicas del desarrollo de (f+h)n donde nє n son:

Para formar el triangulo aritmetico que llamamos triangulo de Pascal, tomaremos los coeficientes de

los desarrollos de las potencias sucesivas de (f + h) y los vamos a organizar en forma triangular:


154

EJEMPLO 1

Utilicemos el triangulo de Pascal para desarrollar (a + 2b)5.

Para encontrar los coeficientes binomicos desarrollamos el triangulo de Pascal Ilegando una fila mas

ally que la indicada por el exponente del binomio:

Los coeficientes binomios que vamos a utilizar son.1.6,15 y 20,..


155

Estos ejemplos que hemos desarrollado, nos permiten intuir que la forma de calcular potencias de

binomios por medio del triangulo de Pascal, será cada vez mas complicada al it aumentando el valor

del exponente que representa Ia potencia a la que se quiere elevar un binomio, por lo que en estos casos

resulta poco practico.

Para ejemplificar esto desarrolla en to cuaderno (a3-2f)20

Una expresión mas general para desarrollar expresiones binómicos elevadas a una potencia es el

binomio de Newton o Teorema del binomio, que fue demostrado por Isaac Newton en el siglo XVI I I y que

permite además poder encontrar cualquiera de los términos del desarrollo de una potencia.

Para poder estudiar este método necesitamos introducir un concepto nuevo en nuestro estudio que es

necesario para su aplicación, este concepto es el de factorial.

FACTORIAL

Hay procesos en matemáticas en los que es necesario multiplicar los n primeros ni meros enteros

positivos, este tipo de producto recibe el nombre de factorial y representa como n! (que se lee n

factorial).

EJEMPLOS

5! = 5x4x3x2x1 = 120

12! = 12x11 x1 Ox9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 479 001 600 1!=1

Es importante antes de continuar definir que 0! = 1

Otra forma de definir un n factorial es n! = n(n - 1)! que es una forma recursiva de representar

este tipo de producto. Esta forma es de gran utilidad cuando se realizan operaciones con factoriales o se

quiere representar por medio de factoriales otros productos.


156

EJEMPLO 3

Expresar el producto de 8x5 mediante una operación con factoriales.

En este caso podemos multiplicar cada factor de la operación por un uno conveniente expresado por

medio de

factoriales:

Si tomamos estas equivalencias de cada uno de los factores, el producto propuesto en este ejercicio se

puede expresar como:

EJEMPLO 4

RESOLVER L AOPERACIÓN


157

Antes de ver el siguiente ejemplo, completa el siguiente cuadro, en el cual se desarrollan en forma

recursiva algunos factoriales sucesivos:

Para simplificar esta expresión podemos utilizar la forma recursiva de definir(n+2)!,así

Resolviendo el producto del denominador:

Regresemos a analizar nuevamente uno de los binomios que ya desarrollamos, por ejemplo (f +

h)5, cuyo desarrollo es:

Para calcular cualquier coeficiente después del primero, sin desarrollar nuevamente el triangulo de

Pascal podemos utilizar la siguiente formula:

Desarrolla la potencia (f + h)10 y comprueba los coeficientes binómicos, desarrollando el triangulo

de Pascal hasta la decimoprimer fila.

Comprobamos esta formula para calcular tres de los coeficientes del desarrollo de (f + h)5. Calculamos

el coeficiente de fh4, partiendo del termino anterior 10f2h3.


158

Calculamos el coeficiente de f4h, partiendo del termino anterior f5.

Calcula el coeficiente de f2h3, partiendo del termino anterior 10f3h2.

Observa que el calculo de los coeficientes que acabamos de realizar, por medio de la formula

descrita, el numero que se obtiene en el denominador de cada uno de ellos (exponente de h) + 1 es

equivalente a (numero de termino que se quiere calcular) - 1.

Ejemplifiquemos esta afirmacion:

Para 5fh4 que es el 5to. Termino, partiendo de 10f2h3

(exponente de h) + 1 = (numero de termino que se quiere calcular) – 1

Para 5f4h que es el 2do. termino, partiendo de f5


Para 10f2h3 que es el 4to. termino, partiendo de 10f5h2:


Tomando en cuenta las ideas anteriores, obtengamos la expansión de (f + h)' calculando los

coeficientes de cada término:


159

Cada uno de estos coeficientes se puede expresar por medio de operaciones con factoriales;

veamos por ejemplo el calculo del coeficiente del cuarto termino 35f4h3


160

¿Cuanto suman estos dos números sin considerar el símbolo de factorial?

Expresemos el coeficiente del sexto termino 21f2h3 por medio de operaciones con factoriales:

El coeficiente del segundo termino 7f6h por medio de operaciones con factoriales es: Expresa con

factoriales como encontrar el coeficiente del quinto termino de este ejemplo

Como puedes notar, en cada uno de los cálculos que hemos realizado ara encontrar el

coeficiente de un término, si sumamos los elementos numéricos del denominador el resultado es el

exponente de la potencia que estamos desarrollando.

En forma general, el coeficiente de frhn-I en el desarrollo o expansión de (f+ h)n se puede calcular

mediante el cociente de factoriales:

Ejemplifiquemos ahora la utilización de este cociente en el desarrollo de la potencia de un binomio.

EJEMPLO


161

El exponente (r) de m como decreto de término a término de 4 a 0 podemos predecirlo mediante la

relación

R=(n-el numero de término buscado)+1

Esta forma de desarrollar la potencia de un binomio, siempre que n Є N. es la generalizacion del

triangulo de pascal y recibe el nombre de binomio de Newton o teorema del binomio.

EJEMPLO 2.

Desarrollar los cuatro primeros términos de (2x+3y)-6

Para desarrollar los cuatro términos pedidos utilizaremos:

Cuando se eleva un binomio a un exponente negativo hay que considerar que los exponentes del

segundo término del binomio aumentan de uno en uno, por lo que el desarrollo de la potencia

tiene un número de términos ilimitado, así que se desarrollan solamente algunos de los

primeros términos de su expansión o desarrollo.

Donde t representa el numero de termino buscado, (t - 1); el numero de factores que se van a

multiplicar, y n el valor absoluto del exponente del binomio al cual se esta elevando este.


162

EJEMPLO 3

Escriban el quinto termino de (2x + 3y2)10

El término que estamos buscando es el quinto, por lo que el exponente que le corresponde a

2x en este termino es:

r = n - el numero de termino buscado + 1 = 10 - 5 + 1 = 6

Y el quinto termino de (2x + 3y2)10 lo podemos calcular de la siguiente forma:

EJEMPLO 4

Obtén en el termino central de (b3 - 4d)16

Como la potencia de un binomio tiene un termino mas que el exponente al cual se esta elevando el

binomio, podemos decir que el termino central sera el noveno termino del desarrollo, y que el

exponente que en este termino Ie corresponde a b3 es:

R=n-el numero de término buscado+1=16-9+1=8

El noveno termino de (b3-4d)16 lo podemos calcular de la siguiente forma:


163

EJEMPLO 5

Obtener el quinto termino de (2p2 - 5q3)-9

En este caso utilizaremos la formula

El binom. de Newton se acostumbra representar como:


164

EJEMPLO 6


165

EJERCICIO 68

1. Utilizando el triángulo de pascal obtén la expansión de cada ino de los siguientes binomios.

2. Desarrolla y calcula los siguientes factorales.


166

3. Escribe en términos de factoriales:

4.calcula:

5. escribe el desarrollo decada uno de los siguientes binomios de Newton:

6. Encuentra el término indicado en el desarrollo de cada uno de los siguientes binomios:

7.Busca los primeros cinco terminos de cada una de las siguientes raíces:

5.16 COMPRUEBA TU APRENDIZAJE

. Subraya cual de las siguientes operaciones es correcta, detecta el error cometido en las

operaciones incorrectas y escribe la expresión que las haga verdaderas: 1


167

2. Una de las siguientes expresiones contiene un error, detecta cuál es y corregirlo:

3. Dibuja un modelo geométrico para calcular cada uno de los siguientes productos notables:

4. Sólo una de las siguientes factorizaciones es correcta, subraya cual es y corrige las otras

expresiones indicando el error que se cometió:


168

5. Relaciona las dos columnas escribiendo la letra del inicio en la factorización que le corresponde a

cada una de las siguientes expresiones:

6. Desarrolla cada uno de los siguientes binomios:

7. Encuentra el término que se indica en cada uno de los siguientes ejercicios.


169

8. Obtén los primeros cuatro términos de los desarrollos de cada una de las siguientes raíces.


170

BLOQUE III

“ECUACIONES DEL PRIMER GRADO”

. La edad de Pedro es el doble de la edad de Maria. Si en cinco anos mas la suma de

sus edades será 43 anos, que edad tienen actualmente?

En este tipo de problemas es adecuado hacer un cuadro en el tiempo.

En cinco años más susu edades sumarán 43 años:

Resolviendo la ecuación

Actualmente Maria tiene 11 años y Pedro tiene 22 anos.

Los problemas de aplicación por lo general se expresan con palabras, no mediante símbolos

matemáticos.

En la resolución algebraica de tales problemas intervienen dos pasos:

Primero:

Deben traducirse las palabras del problema a símbolos, que luego se usan para escribir una ecuación

algebraica que describa el problema.

Segundo:

1

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES.

APLICACIÓNES DE ECUACIONES LINEALES____________________________________

171

Se resuelve la ecuación resultante.

El valor de la incógnita puede representarse por una variable. A continuación se muestra una

expresión típica y su traducci6n algebraica:

Es probable que esta oración provenga de un problema cómo este:

Maria gana actualmente un salario de 12 600 dólares. Si recibió un aumento del 5% del año pasado,

¿cual era su salario anterior?

Aunque en realidad no hay un método fijo que funcione en todos los problemas de aplicación, su

resolución será mas facil si se siguen estos pasos:

Paso 1. Se lee el problema para determinar que cantidad (o cantidades) se deben encontrar.

Paso 2. Se representa el valor (o valores) de la(s) incógnita(s) simbólicamente con una letra, y se

escribe "sea x = descripción de la incógnita".

Paso 3. Se hace un bosquejo o diagrama cuando sea posible.

Paso 4. Se determina que expresiones son iguales y se escribe una ecuación.

Paso 5. Se resuelve la ecuación, y luego se enuncia la respuesta del problema.

Paso 6. Se comprueba la respuesta, cerciorándose de que se hayan satisfecho las condiciones del

problema original y de que la respuesta parezca razonable.

Con el objeto de ilustrar las técnicas de resolución de problemas, se empezara presentando un

ejemplo básico que comprende números.

EJEMPLO

La suma de tres enteros pares consecutivos es 72. ¿Cuales son estos enteros?

Conviene recordar que los enteros pares consecutivos son enteros pares que aparecen escritos

en forma consecutiva en un orden de conteo regular.


172

EJEMPLO ADMINISTRACION

A cuanto ascendieron las ventas totales en las que Luis recibió una comisión de 692

dólares, si la tasa de comisión era del 8%?

La comisión recibida esta dada por Comisión = (tasa de comisión)(ventas totales).

Sea x = ventas totales de Luis. Por consiguiente, debe resolverse

Así las ventas totales de luis ascendieron ,$8 650.

EJEMPLO GEOMETRIA

l segundo ángulo de un triangulo es seis veces mas grande que el primer ángulo. Si el tercer

ángulo es 45° mas grande que dos veces el primero, ¿cual es la medida de cada ángulo?

Se hace un bosquejo del triangulo como en la figura.

¿

E


173

Considérese ahora el siguiente ejemplo.

Jaime es capaz de hacer cierto trabajo en 3 horas y David puede hacer el mismo trabajo en 7 horas.

¿Cuanto tiempo les tomaría realizar el trabajo silo hicieran juntos?

A este tipo de problema suele llamársele problema de trabajo, y deben recordarse tres principios

importantes:

1. El tiempo requerido para hacer un trabajo cuado dos individuos trabajan untos debe

sermenorque el tiempo requerido por el trabajado mas rápido para completar el trabajo solo. El

tiempo requerido trabajando juntos no es el promedio de los dos tiempos.

2. Si un trabajo puede hacerse en t horas, en 1 hora puede completarse t del trabajo.

Por ejemplo, puesto que Jaime puede hacer el trabajo en 3 horas, en 1 hora el1 podría hacer 1/3 del

trabajo.

3. El trabajo hecho por Jaime en 1 hora mas e/ trabajo hecho por David en 1 hora es igual al

trabajo hecho por ambos en 1 hora. Así, si t es el tiempo requerido para completar el trabajo

trabajando juntos.


174

A las 5 horas el minutero esta en las 12 y el horario en las 5 y el ángulo que forman es de 150° (arco

AB).

Se pide que el arco CD corresponda a un ángulo de 90°.

Si llamamos o al centro del reloj, por cada minuto OA avanza 6° y OB avanza 0.5°; por lo tanto,

por cada minuto el ángulo AOB se achica 5.5°.

Sea x la cantidad de minutos que deben transcurrir para que el arco AB corresponda a un

ángulo de 90°. Entonces podemos decir:


175

Luego, el ángulo formado por los punteros del reloj es de 900 alas 5 horas 10 min.

El ángulo de 90° ocurrirá nuevamente después que el minutero haya pasado sobre el horario. Veamos

primero a que hora el angulo se hard 0°.

MOVIMIENTO

os automóviles salen del mismo punto y viajan en direcciones opuestas. Es segundo auto

viaja 15 Km/hr mas rápido que el primero, y después de 3 horas están apartados 465 km

uno del otro. ¿A que velocidad esta viajando cada automovil?

D


176

La distancia d que un objeto recorre en un tiempo t, dado a una velocidad constante o uniforme r, esta dada

por la siguiente formula.

Distancia = (velocidad)(tiempo)

d=rt

Sea d, = la distancia en km que el primer auto recorre,

r = la velocidad en km/h del primer auto,

d2 = la distancia en km que el segundo auto recorre, y

r + 15 = la velocidad en km/h del segundo auto.

El primer automóvil está viajando a 70km/h, y el segundo a 85 km/h.


177

a ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas.

A toda igualdad de la forma ax +by= c, donde a, b y c son constantes arbitrarias y

tanto a como b son diferentes de cero, se le llama ecuaci6n lineal o de primer grado con dos variables

o incógnitas.

Por ejemplo:

na ecuación de este tipo tiene un número infinito de soluciones; por ejemplo, la ecuación anterior

se verifica para:

Así podríamos encontrar un conjunto infinito de valores para las inc6gnitas que satisfagan la ecuaci6n,

por este motivo decimos que es indeterminada.

Cada una de las soluciones de una ecuaci6n de este tipo se representa mediante un par ordenado de la

forma (x, Y).

Por ejemplo, en la ecuaci6n anterior los pares ordenados (0, 9), (1, 5), (2, 1) y (-3, 21) son soluciones

de ella, pero recuerda que no son las únicas. Asimismo, observa que los pares ordenados (1, 5) y (5, 1)

son diferentes

Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una

ecuación de este tipo se requiere obtener una única solución, la cual, obviamente, no puede

determinarse con una sola ecuación; es decir; se requiere de dos o mas ecuaciones de este tipo, las

cuales en su conjunto constituyen lo que se denomina:

L

U

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES________________________________________

178

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

n sistema de ecuaciones lineales con dos inc6gnitas es un conjunto de dos o mas ecuaciones de

la forma:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Todo par ordenado (x, y) que satisface a ambas ecuaciones se llama solución común del sistema de

ecuaciones, y en caso de que sea una solución común única, esta es el conjunto solución de dicho

sistema de ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar su conjunto solución.

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden presentar los siguientes

tres casos:

1. Que el sistema tenga una solución única; en este caso decimos que el sistema es consistente

independiente.

2. Que el sistema no tenga solución; es decir; que no existe al menor un par de valores, uno para cada

incógnita, que satisfaga a ambas ecuaciones simultáneamente; en este caso decimos que el sistema

es inconsistente.

3. Que el sistema tenga un conjunto infinito de soluciones; en este caso decimos que el sistema

es consistente dependiente.

METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS

INCOGNITAS.

n este capitulo aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

utilizando los siguientes métodos:

1. Método de eliminación (suma y resta).

2. Método de sustitución.

3. Método de igualación.

4. Método por determinantes o regla de Cramer.

5. Metodo grafico.

Veamos a continuación en que consiste cada uno de ellos.

U

E


179

1. METODO DE ELIMINACION (SUMA Y RESTA)

ste método consiste en eliminar una de las incógnitas de tal forma que el sistema de ecuaciones

se reduzca a una sola ecuación con una sola incógnita.

Lo anterior se puede lograr al aplicar la siguiente propiedad de Ia igualdad.

"Si ambos miembros de una igualdad se le suman o restan los de otra igualdad, se obtiene otra

igualdad" Ejemplo 1.

Si tenemos los sistemas:

Al sumar algebraicamente miembro a miembro la ecuación anterior resulta:

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma o resta se requiere que los

coeficientes numéricos de una de las incógnitas tengan el mismo valor absoluto; entonces, en caso de

que se requiera, se debe multiplicar una o cada ecuación por un numero diferente de cero, de tal

forma que al efectuar dichas operaciones resulte un sistema de ecuaciones equivalentes al original con

estas características.

Precisando, el proceso de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por este

método consta de los pasos siguientes:

1. En caso de que se requiera, se escriben ambas ecuaciones en la forma ax + by = c.

2. En caso de que se requiera, multiplicar una o ambas ecuaciones por un número tal que resulten

ecuaciones equivalentes a las originales, que contengan coeficientes con igual valor absoluto en una de

las incógnitas y que al sumarlas o restarlas miembro a miembro resulte una ecuación con una

incógnita.

E


180

3. Resolver la ecuación con una incógnita que resulta de la suma o diferencia de ecuaciones, con lo

que se obtiene el valor de una de las incógnitas.

4. Sustituir el valor determinado en el paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales y

resolver esta ecuación para determinar el valor de la otra incógnita.

5. Comprobar la solución del problema.

EJEMPLO 2.

Resolver los siguientes sistemas de ecuación lineales por el método de eliminado (suma o resta):

Se observa que y+(-y)=0;por lo tanto, si se suman miembros a miembros las ecuaciones resulta:

Sustituyendo este valor en la ecuación 3x+y=10 resulta:

COMPROBACION.

ustituyendo estos valores en la ecuación 2x-y=5 se tiene:

Asimismo, sustituyendo en la otra ecuación 3(3) + 1 = 10; o sea, 10 = 10.

Entonces, la única solución del sistema es: x = 3, y = 1, la cual se suele representar en forma

de un par ordenado de la forma (x, y); es decir, (3 , 1).

Primero se escribirán las ecuaciones en la forma ax+by=c.

S


181

Si se quieren eliminar los términos que contienen la incógnita y, entonces se pueden efectuar las

siguientes operaciones: multiplicar por 5 ambos miembros de la ecuación 7x + 2y = 15 y multiplicar por 2

ambos miembros de la ecuación 6x + 5y = 3 y después restar una de las ecuaciones derivadas de la

otra.

Si se le resta la ecuación 12x+10y=6 de la ecuación 34x+10y=75 resulta:

Sustituyendo este valor en la ecuación 6x+5y=3 se tiene que:

COMPROBACIÓN

ustituyendo estos valores en 7x+2y=15 se tiene:

Por lo tanto el conjunto solucion es (3 , -3).

S


182

En los ejemplos expuestos se han eliminado siempre los términos que contienen la incógnita y. Cabe

aclarar que si es conveniente se pueden eliminar igualmente los términos que contiene la incógnita x.

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta.

METODO DE SUSTITUCION.

ste método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema en

caso de que sea necesario, y después sustituir su expresión equivalente en la otra.

Como resultado de la sustitución se obtiene una ecuación con una incógnita, la cual al resolverla se

halla el valor de la misma.

Por ultimo se sustituye el valor de la incógnita obtenida en la ecuación donde esta despejada la otra

incógnita, y así hallamos el valor de esta última.

EJEMPLO 3.

a) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de sustitucion.

SOLUCION.

espejaremos x en la ecuación 3x + 2y = 5

Nota: Podemos despejarla en la otra ecuación, o y en cualquiera de [as ecuaciones del

sistema.

Sustituyamos la expresión equivalente de x en la otra ecuación:

E

D


183

Multiplicaremos por 3 ambos miembros de la ecuación anterior para obtener otra equivalente a ella

con coeficientes enteros:

Hallemos el valor de la incógnita x sustituyendo el valor obtenido de y en la ecuación donde x está

despejada:


184

La solución del sistema es el par ordenado(3,5).

EJERCICIO 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de sustitución.

METODO DE IGUALACION.

ste método consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema,

después igualar las expresiones equivalentes de ellas y resolver la ecuación obtenida con dicha

igualación.

Al resolver la ecuación que resulta de la igualación de las expresiones equivalentes a la incógnita

despejada, se obtiene el valor de la incógnita, contenida en ella.

Para obtener el de la otra incógnita, se sustituye el valor obtenido de la ecuación anterior en cualquiera

de las expresiones donde esta la incógnita despejada.

EJEMPLO 4.

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación.

Primero despejamos la incógnita x en ambas ecuaciones.

E


185

Igualamos las expresiones equivalentes a la incógnita x.

Multipliquemos ambos miembros de la ecuación anterior por el mínimo común denominador de los

denominadores 7 y 8,o sea 56(7x8=56).

Al multiplicar por-1 ambos miembros de la ecuación anterior resulta:

Hallemos el valor de x:

Verifica que el conjunto solución del sistema es (4,5).


186

EJERCICIO 4.

I. resuelve los siguientes sistemas de ecuación lineales por el método de igualación.

Método por determinantes (regla de Cramer)

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

Utilizando el método de suma t resta hallemos la expresión equivalente a la incógnita x en términos

de las constantes a,b y c del sistema.

Restemos a continuación miembro a miembro la ecuación del sistema anterior que se encuentra en el

renglón de debajo de la que esta en el de arriba.

De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación:

por consiguiente, tenemos que:


187

Análogamente, podemos demostrar que:

Estas expresiones equivalentes a las incógnitas x y y nos servirán de referencia para mostrar en que

consiste el método de determinantes para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas, así que haremos referencia a ellas mas adelante.

DETERMINANTE.

n determinante es un arreglo de números encerrados entre dos barras verticales. Ejemplos:

Un determinante esta constituido por columnas e hileras o renglones. Las columnas están formadas

por los números que están en una misma línea vertical y las hileras o renglones por los que están

colocados en una misma horizontal.

Cuando un determinante tiene el mismo numero de renglones que de columnas decimos

que es un determinante cuadrado, y si un arreglo de este tipo tiene dos renglones y dos columnas

decimos que es de segundo orden; por ejemplo:

Una determinante que tiene tres hileras y tres columnas es de tercer orden; por ejemplo:

U


188

Diagonal principal y secundaria de un determinante de segundo orden.

La diagonal principal de un determinante de segundo orden es la línea de números de la esquina

superior izquierda a la esquina inferior derecha, mientras que la diagonal secundaria es la línea de los

elementos de la esquina inferior izquierda a la superior derecha; por ejemplo:

Evaluación de un determinante de segundo orden.

Un determinante de segundo orden es el número que resulta al restar el producto de los números de la

diagonal secundaria del producto de los de la principal; por ejemplo:

EJEMPLO 5.

Encuentra el valor de los determinantes siguientes:

Veamos nuevamente las expresiones equivalentes de las incógnitas del sistema de ecuaciones

mencionado al principio de este tema.


189

Observa que el denominador de ambas expresiones es el mismo número el cual resulta

al evaluar el determinante

Si al evaluar el determinante D resulta que es igual a cero, la regla de Cramer no se puede

aplicar, ya que la división entre dicho numero no esta definida.

Si al evaluar Dx y Dy resulta que Dx = 0 y Dy = 0 cuando D= 0; entonces el sistema tiene un conjunto

infinito de soluciones y decimos que es dependiente.

Si Dx o Dy no son cero cuando D = 0, el sistema no tiene soluciones y decimos que es

inconsistente. Si D ? 0, entonces se dice que el sistema de ecuaciones es consistente e

independiente.

EJEMPLO 6.


190

Utiliza la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

De acuerdo con la regla de cramer.

Por lo tanto, el conjunto solución del sistema indica es (7.-9)

Ejercicio 4.


191

METODO GRAFICO.

ara poder emprender como resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método grafico

recordemos primero como localizar pares ordenados en un sistema de coordenadas

cartesianas.

Coordenadas rectangulares.

Sistema de coordenadas cartesianas.

onsidérese que en el piano se ha seleccionado un punto fijo 0 (origen de coordenadas) y un

par de rectas perpendiculares que se cortan en 0 (ejes de coordenadas), uno de los

cuales se selecciona como eje de abscisas y el otro como eje de ordenadas (vease la figura

10.1). Las coordenadas cartesianas de un punto P del piano respecto a este sistema de referencia son el

par de números reales (x, y), en el que y representa la distancia dirigida de P al eje de ordenadas.

Para localizar un punto P(x, y) en un sistema de coordenadas cartesianas, se traza, a partir de dicho

punto P, una Línea punteada perpendicular al eje de las x, y el numero que le corresponde al punto

donde interseca dicho eje representa el valor de la abscisa, o sea, el valor de x del punto; de igual

manera, a partir del punto P se traza una línea perpendicular al eje de la y, y el numero que

corresponde a la lectura del punto donde se interseca dicho eje representa la ordenada, o sea, el valor

de y.

P

C


192

EJEMPLO 7.

etermina las coordenadas de los puntos C, D, E, F, G, H e I en el siguiente sistema de coordenadas

cartesianas.

En caso contrario, para marcar un punto cuyas coordenadas se conocen, se siguen los siguientes

pasos:

1. Se marca en primer lugar su abscisa en el eje de las x.

2. Se traza una Línea punteada perpendicular al eje de las x por dicho punto.

3. Se marca su ordenada en el eje y y se traza una Línea perpendicular al eje y; el punto

donde se intersecan estas línea punteadas es la representación geométrica del par ordenado.

Recuerda:

Hablamos de un par ordenado porque, por ejemplo, el punto (4, 7) no representa lo mismo que el punto (7,

4).

Marca los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas. A (5, 3), es decir, x = 5; y =

3.

D


193

Solucion de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método grafico.

La grafica de una ecuación de la forma ax + by = c es una recta; ahora resulta explicable por que se les

llama ecuaciones lineales.

Una recta queda determinada si se conocen dos de sus puntos; por lo tanto, para representar

gráficamente una ecuación lineal con dos variables basta con encontrar dos de sus soluciones y trazar la

recta que pasa por los puntos que las representan..

De acuerdo con lo anterior, si se quiere representar gráficamente una ecuación de la forma ax +

by = c, se despeja, por ejemplo, la variable y, después se sustituye la variable x por dos valores

diferentes y se encontraran dos valores correspondientes a la variable y. A continuación se marcan

en un sistema de coordenadas los pares ordenados (x , y)obtenidos y se traza la recta que pasa

por dichos puntos, y esa es la grafica de dicha ecuación.

La solucion de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de los puntos comunes a las

rectas que representan dichas ecuaciones.

Si dos rectas paralelas, nunca se intersecaran; por lo tanto, el sistema formado por sus ecuaciones

no tiene solucion y entonces forman un sistema de ecuaciones inconsistente.


194

Si dos ecuaciones lineales de la forma ax + by = c, son equivalentes entonces ambas representan una

misma recta, por lo que cada punto (x, y) que forma parte de ella es solucion del sistema. En este

caso el conjunto solucion es infinito y decimos que el sistema formado por sus ecuaciones es un

sistema dependiente consistente.

MOVIMIENTO

a velocidad de la corriente de un rió es 4 mi/h. un bote recorre 48 millas aguas arriba en el mismo

tiempo en que recorre 72 millas aguas abajo. ¿Cual es la velocidad del bote en el agua

tranquila?

L


195

Es transformarla en la ecuación de productos cruzados. Por ejemplo, ecuación de productos

cruzados para

EJEMPLO

i un hombre cuya estatura es de 6 ft, a la luz del sol proyecta una sombra de 14 ft de

largo, mientras que un poste proyecta una sombra de 35 ft de largo, ¿cual es la altura

del poste?

Se hace un bosquejo, como en la figura.

S


196

PRECAUCION.

l resolver problemas de aplicación no es conveniente tomar atajos ni intentar retener en la

memoria demasiada información, acerca del problema. Redactar con claridad y detalle las

descripciones de las variables, como muestran los ejemplos, ahorrara tiempo a largo plazo

y proporcionara organización al trabajo.

EJEMPLO

ECOLOGIA

n guardabosque desea estimar el numero de truchas que hay en un lago. Captura 200 peces, les

marca una aleta y los regresa al lago. Después de un periodo durante el cual los peces

marcados se mezclan con la población total, atrapa otra muestra de 200 peces y descubre

que tres de ellos tienen las marcas. Utilicese una proporción para estimar el numero de truchas que hay

en el lago.

La clave para resolver este problema es la proporción:

sea x=el numero total de truchas en el lago, sustituyendo en la proporción de arriba se tiene:

Así, hay el aproximante 13 333 truchas en el lago.

SOLUCION DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL

METODO GRAFICO.

LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS COMO MODELOS

AMTEMATICOS.

SOLUCION DE UNA ECUACION LINEAL CON THE INCOGNITAS POR EL METODO CRAMER.

A

U


197

Ejercicios

Resolver:

1. Si a cinco veces un numero se le quita siete, el resultado es 10 mas dos veces el numero.

¿Cual es el numero?

2. Si a dos veces la suma de un número y cinco se le agrega dos, el resultado es 26 veces el número.

¿Cual es el número?

3. La suma de tres entero impares consecutivos es cuatro veces el primero menos 29. ¿Cuales son

los enteros?

4. La suma de cuatro enteros consecutivos es ocho mas tres veces el mas grande. ¿Cuales son los

enteros?

5. Educación. Si Jorge Ortiz obtuvo 61, 89 y 86 en tres pruebas, ¿cuanto debe obtener en una cuarta

prueba para tener un promedio de calificaciones de 80?

6. Deportes. Tres de los cuatro delanteros del equipo de fútbol del Estado de Arkansas pesan 256 lb,

240 lb y 242 lb. Si el peso promedio de la línea delantera es de 249,5 lb, ¿cuanto pesa el cuarto

delantero?

7. Edad. Si Samuel tiene el doble de la edad de Humberto y la suma de sus edades mas 28 es cinco veces

la edad de Humberto, ¿cual es la edad de cada uno?

8. Construcción. Una tabla mide 23 pies de largo. Se va a cortar en tres piezas de modo que la segunda

pieza mida el doble que la primera y la tercera mida tres pies mcas que la segunda. 6Cual es la longitud

de cada pieza?

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

. El numerador de una fracción es cinco unidades menor que el denominador. Si se les suman tres

unidades tanto al numerador como al denominador, el resultado es igual a 2/3. ¿Cual era la

fracción original?

10. El denominador de una fracción es seis unidades menor que el numerador. Si al denominador se le

aumenta uno, el resultado es igual a %2. 6Cual era la fracción original?

11. Consumo. Si la tasa de impuesto en West, Texas, es del 4%, 6a cuanto asciende el

impuesto en una compra de 52.50 dólares?

12. Deportes. Un mariscal de campo de fútbol completo 27 pases en 45 intentos. ¿Cual fue su

porcentaje de pases completos?

13. Administración. Si Maria recibió un aumento del 12% y gana ahora 25 760 dólares anuales,

¿cual era su salario antes del aumento?

14. Menudeo. Un minorista compro un aparato estereofónico en 285 dólares y lo puso a la

venta con un margen de ganancia bruta del 70%. ¿Cual fue el precio del aparato?

9


198

15. Economía. El lunes un inversionista compro 100 acciones de capital comercial. El martes, el valor de

las acciones subio 6%, y el miércoles del valor cayo 5%. 4Cuanto pago el inversionista por las 100

acciones el lunes, si las vendió el miércoles a 1460.15 dólares?

16. Demografía. La población de un pueblo aumento 4% durante un ano, y luego disminuyo 7% el ano

siguiente.

¿Cual era la población original si había 2 418 habitantes en el pueblo al final de esos dos anos?

17. Geometría. El primer ángulo de un triangulo es 50 mayor que tres veces el segundo, y el tercer ángulo

es 100 menor que el segundo. ¿Cual es la medida de cada ángulo?

18. Geometría. Si dos Angulo son suplementarios (sus medidas suman 180°), y el segundo es 30°

menor que dos veces el primero, ¿cual es la medida de cada ángulo?

19. Agricultura. El perímetro de un campo de trigo rectangular es 1760 m. El largo mide 40 m

más que el ancho. ,Cuales son las dimensiones del campo?

20. Geometría. Un triangulo isósceles tiene dos lados iguales Llamados catetos y un tercer lado llamado

base. Si cada cateto de un triangulo isósceles es 2 m menor que tres veces la base, y el perímetro es 31

m, ,cual es la longitud de cada cateto y la longitud de la base?

21. Construcción. Jerónimo puede construir un cobertizo en 8 días, y Beltrán puede hacer el mismo

trabajo en 9 días. Con una aproximación de décimas de día, ¿cuanto tiempo les tomaría

construir el cobertizo si trabajaran juntos?

22. Manufactura. Si una maquina construida en 1975 es capaz de producir 100 unidades en 25 horas

mientras que una maquina construida este ano puede producir 100 unidades en 20 horas, con una

aproximación de décimas de día, ¿cuanto tiempo tomaría producir 100 unidades si las maquinas

trabajara juntas?

23. Si Guillermo y Marco trabajan juntos pueden terminar una obra en 18 minutos, y si Guillermo

requiere de 42 minutos trabajando solo, ¿cuanto tiempo le tomaría a Marco hacer el trabajo solo?

24. Deportes. Si Mike Nesbitt, preparador físico de la NAU, puede asegurar con cinta los tobillos de un

equipo en 30 minutos, y con ayuda de un estudiante el trabajo toma 20 minutos, ¿cuanto tiempo

le tomaría al estudiante hacer el trabajo solo?

25. Agricultura. Una Have de cuatro pulgadas (in) puede llenar una represa de riego en 25 días, una Have

de seis pulgadas puede llenarla en 10 días y una Have de nueve pulgadas lo hace en cinco días.

¿Cuanto tiempo tomarla llenar la represa si las tres llaves estuvieran abiertas a la vez? (La

respuesta debe darse y se redondea a un décimo de día).

26. Si Susana es capaz de hacer un trabajo en 12 horas, Lázaro puede hacer el mismo trabajo en 16

horas y Eva requiere de 20 horas para hacerlo, ¿cuanto tiempo les tomaría hacer el trabajo juntos?

(La respuesta debe darse y se redondea a un décimo de hora).

27. Recreación. Una pequeña piscina puede Llenarse mediante una Have de entrada en dos horas. Y

puede vaciarse por medio de una Have de desagüe en 10 horas. Si las dos (laves se abrieran

simultáneamente, ¿en cuanto tiempo se llenarla la piscina vacía?

28. Agricultura. Un transportador de granos puede Llenar un silo en dos días. Si toma tres días vaciar el

silo a carros de ferrocarril, ¿cuanto tiempo tomaría Llenar un silo vació si ambas compuertas

se abrieran simultáneamente?


199

29. Aeronáutica. Dos aviones despegan al mismo tiempo de un aeropuerto; uno viaja hacia el este

y el otro hacia el oeste. Uno vuela 50 mi/h mas rápido que el otro. Después de tres horas están alejados 3

030 millas uno del otro. ¿A que velocidad esta viajando cada avión?

30. Movimiento. Dos familias acuerdan encontrarse en Boise, Idazo, para una reunión. Ambas familias

salen a las 8:00 a.m., una viaja 10 mi/h mas rápido que la otra, y se encuentran en Boise exactamente

al mediodía.

Si la distancia total que recorrieron fue de 480 millas, 6a que velocidad viajo cada familia?

31. Aeronáutica. Un avión vuela 480 mi con el viento a favor y 330 mi con el viento en contra en

el mismo tiempo. Si la velocidad del avión sin viento es de 135 mi/h, ¿cual es la velocidad del viento?

32. Aeronáutica. Un avión vuela 1160 km con el viento a favor y 840 km con el viento en contra en

el mismo tiempo. Si la velocidad del viento es de 40 km/h, ¿cual es la velocidad de un avión en aire sin

viento?

33. Comunicaciones. Dos prensas imprimen 31500 volantes. Si sus tasas de producción difieren en 30

volantes por minuto, ¿cual es la tasa de cada una si ambas trabajan 210 minutos para completar el

trabajo?

34. Manufactura. Una maquina construida en 1970 tiene una tasa de producción de 20 unidades

por hors menos que una maquina hecha en 1985. Si ambas se conectan al mismo tiempo y producen 1

120 unidades en ocho horas, ¿cual es la tasa de producción de cada una?

35. Construcción. Si un rollo de 150 pies de cable eléctrico pesa 45 libras, ¿cuanto pesara un rollo de 270

pies del mismo cable?

36. Química Un químico desea hacer una solucion con ácido clorhídrico concentrado y agua

destilada de modo que la razón del ácido con respecto al agua sea de 7:3. Si comienza con 21

litros de ácido, ¿que volumen de agua debería agregar al ácido?

37. Un muchacho con una estatura de 5 ft proyecta una sombra de 12 ft de largo al mismo tiempo que

una torre proyecta una sombra de 252 ft de largo. ¿Cual es la altura de la torre?

38. Geometría. Dados dos triángulos semejantes, los lados de un miden 6 in, 7 in y 12 in. Si el lado mas

corto del otro mide 18 in, 6cual es la medida de los otros dos lados?

39. ¿Cual es el medio proporcional entre 25 y9?

40. ¿Cual es el medio proporcional entre 36 y 4?

41. Al cuarto termino de una proporción se le llama cuarto proporcional con respecto al primero,

segundo y tercer términos. ¿Cual es el cuarto proporcional con respecto a 20, -12 y -5?

42. ¿Que numero debe sumarse a cada uno de 20, 8, 32 y 14 para dar cuatro números que sean

proporcionales en ese orden?

43. Educación. En una clase de 40 alumnos, la razón de niños con respecto a las niñas quedo en 7:5

¿Cuantos niños desertaron?

44. Geometría. Si se traza una tangente PA y una secante PB en un circulo desde un punto externo, la

longitud de la tangente es la media proporcional entre la longitud de la secante y su segmento externo

PC. ¿Cual es la longitud de la tangente si la secante mide 49 cm. y su segmento externo mide 4cm?


200

45. Música. Las notas musicales en una cuerda mayor tienen frecuencias con la razón de 4 a 5 a

6. Si la primera nota de una cuerda tiene una frecuencia de 264 hertz (Hz), ¿cuales son las

frecuencias de las otras dos notas?

46. Planimetría. Un poste esta clavado en el fondo de un lago. Las razones de la longitud del poste por

encima del agua con respecto a la longitud dentro del agua con respecto a la longitud en la arena del fondo

del lago son de 3 a 4 a 2. Si 40 pies del poste están bajo el agua, ¿que longitud esta fuera del agua y

que longitud esta en la arena?

47. Inversión. Lucia Arnote invirtió 12 000 dólares en una cuenta que paga 12% de interés simple.

¿Cuanto dinero adicional debe invertirse en una cuenta que paga 15% de interés simple para que

le rendimiento promedio de las dos inversiones sea el 13%?

48. Recreación. Con el fin de equilibrar un sube y baja, el peso del primer niño por su distancia de4sde el

fulero (el punto de apoyo de la tabla) debe ser igual al peso del segundo niño por su distancia desde el

fulero. Si un niño que pesa 85 libras esta a 6 ft del fulero, ¿que tan lejos del fulero debe estar el

segundo niño para equilibrar el sube y baja, si pesa 51 libras?

49. Navegación. Un bote pequeño que viaja a 20 nudos (un nudo es igual una milla náutica por hora)

esta a 15 millas náuticas de una isla cuando una lancha guardacostas inicia su persecución en el

mismo curso, viajando a 30 nudos. 6Cuanto tiempo le tomara al guardacostas dar alcance al bote?

50. Geometría. La altura de un triangulo rectángulo apoyado sobre la hipotenusa es la media

proporcional de las longitudes de los dos segmentos en que queda dividida la hipotenusa al trazar

la altura. ¿Cual es la altura del triangulo rectángulo si tales segmentos de la hipotenusa miden 9

pulgadas y 16 pulgadas de longitud?


201

BLOQUE IV

"ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO"

n el capitulo 1 se expuso una propiedad importante del sistema de los números reales que

establece que si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0. Lo inverso de esta propiedad, enunciado en el

siguiente teorema, también es verdadero.

SOLUCION POR FACTORIZACION

a regla del producto nulo puede aplicarse para resolver ecuaciones que, aunque no sean

lineales, pueden reducirse a dos ecuaciones lineales. Por ejemplo, si

Entonces es posible igualar cada factor en el producto a cero, para luego proceder a resolver las

ecuaciones resultantes.

Así las soluciones son 2 y -3.de haberse comenzado con la ecuación

Podría haberse proceder procedido a factorizar el lado izquierdo, obteniendo

E

L

METODO DE FACTORIZACION

METODO DE FACTORIZACION_______________________________________________

202

Y al continuar con el procedimiento apenas expuesto, se habría resuelto una ecuación que puede

escribirse en la forma.

ECUACION CUADRATICA O ECUACION DE SEGUNDO GRADO.

i a = 0, se perdería el termino x2 y se tendría la ecuacion lineal bx + c = 0.

A la expresión axe + bx + c = 0 se le denomina la forma general de la ecuación cuadrática

y, por lo general, conviene escribir toda ecuación cuadrática en esta forma antes de intentar

resolverla.

Los ejemplos siguientes ilustran la técnica de solución de una ecuación cuadrática por el método de

factorización.

EJEMPLO 1

RESOLVER

S


203

a soluciones son 3 y -2.para comprobar se sustituyen en estos valores en la ecuación original.

PRECAUCION.

n el ejemplo 1, no debe dividirse entre x a ambos lados de la ecuación, o se perderá la solucion x =

0 Siempre que una ecuación cuadrática carezca del termino constante (c = 0), una solucion

es 0.

EJEMPLO 2

Resolver.

L

E

ECUACIONES Y DESIGUALDADES


204

Cuando las dos ecuaciones lineales obtenidas al usar la regla del producto nulo tiene la misma

solucion, como ejemplo 2, a la solución se le llama raíz doble o doble raíz de multiplicidad dos.

Solución por extracción de raíces

Si en una ecuación cuadrática b=0,la ecuación no tiene término lineal y adquiere la forma:

Si ambos lados d ela ecuación se resta c y luego se divide entre a (recuerdase que a≠o ),se

obtiene

Puesto que|x|=x si x≥o y|x|=-x si x <o, esta ecuación puede expresarse como dos ecuaciones:

Lo que con frecuencia se escribe de manera más compacta como:

Por consiguiente, las dos soluciones de la ecuación original son

Si d≥ 0, entonces las soluciones son números reales.

Debe observarse que d ≥ 0 siempre que c y a, tengan signos opuestos. A este método, que se

ilustra en el, ejemplo siguiente ,se le llama .Método de raíz cuadrada.


205

EJEMPLO 3.

Resolver:4y2- 5=0

SOLUCION POR COMPLECION DE CUADRADOS

actorizar y sacar raíces son los métodos mas fáciles y mejores para resolver muchas ecuaciones

cuadráticas. Sin embargo, como no es posible resolver algunas ecuaciones cuadráticas

con estas técnicas, deben encontrarse métodos alternativos.

Considerese la ecuacion

si se extiende el método por extracción de raíces y se saca raíz cuadrada a ambos lados,

Esto origina dos soluciones:

Ahora, si suponemos que el termino elevado al cuadrado se escribe en el lado izquierdo de la

ecuación original, entonces ponemos el resultado en la forma general de la ecuación cuadrática:

Si se hubiera empezado con esta ecuación cuadrática, que procedimiento podría seguirse para

llegar a la ecuación considerada previamente, (x + 2)2 = 3, y lego obtener las dos soluciones? El

procedimiento a seguir, Llamado método para completar el cuadrado, se ilustra a continuación.

F


206

Generalizando lo anterior, considérese la ecuación

En la expresión x22dx+d2, el coeficiente de x es 2d,si sólo se tiene x2+2dx, puede completarse el

cuadro tomando la mitad de l coeficiente de, elevándola al cuadrado y sumándola a

x2 +2dx.considérense los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 4

Compárese este resultado con el presentado a continuación.


207

Las soluciones son 3 y -5, las mismas que se obtuvieron al utilizar el método por factorizacion.

Si en una ecuación cuadrática el coeficiente de x2 no es 1, no es posible completar el cuadrado

tomando simplemente la mitad del coeficiente de x y elevándola al cuadrado.

Por ejemplo, (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9.

EJEMPLO 5.


208

SOLUCION POR LA FORMULA CUADRATICA

En vez de continuar resolviendo ecuaciones cuadráticas particulares por el método de completar el

cuadrado, se puede usar esta otra técnica para resolver una ecuación cuadrática general y, en el

proceso, deducir la formula cuadrática. Recuerdese la forma general de una ecuación cuadrática.

axe+bx+c=0

Nótese que 2a es el denominador de la expresión entera

A esta formula se le llama formula cuadrática y debe memorizarse. Para resolver una ecuación

cuadrática, se identifican las constantes a, b y c, se les sustituye en la formula cuadrática y se simplifica la

expresión numérica.

EJEMPLO 6

Resolución de ecuaciones utilizando la formula cuadrática.

x2-6x+8=0


209

La ecuación esta en la forma general mas simple y, por consiguiente a =1, b = - 6 y c = 8.

a)X2-2X=-½

Se escribe la ecuación en la forma general y se elimina la fracción.


210

Los métodos por factorizacion y por extracción de la raíz cuadrada son los más fáciles para resolver

ecuaciones cuadráticas. Siestas técnicas no son apropiadas se prefiere, por lo general, ir directamente a la

formula cuadrática en lugar de completar el cuadrado.

APROXIMACION DE SOLUCIONES

ara aproximar las soluciones para las ecuaciones cuadráticas utilizando una calculadora, se

calcula y se almacena este valor en la memoria. Entonces se suma este valor

a -b y se divide entre 2a para obtener la primera solucion. Luego, se resta este valor a -b y se

divide entre 2a para obtener la segunda solucion.

EJEMPLO 7

Resolver:3.5x2-81.6x+2.8=0

Las soluciones son

1. Secuencia de pasos para calcular

En este punto la pantalla mostrara 81.359449, y este valor tambien tiene que almacenarse en la

memoria. No debe borrarse la pantalla pues el numero se utiliza en el siguiente paso.

2. Secuencia de pasos para calcular la primera solucion:

P


211

3. Secuencia de pasos para calcular la segunda solucion:

Ejercicios

En los ejercicios 1-10 resuelvase cada ecuación por el método por factorizacion.

En los ejercicios11-16 resuelve cada ecuación por el método por extracción de la raíz cuadrada.

¿que cantidad debe sumarse para completar el cuadrado en cada expresión en, los ejercicios 17-20?

En los ejercicios 21-24 resuelve cada ecuación por el método de completar el cuadrado.


212

En los ejercicios 25-30 resuelvase cada ecuación utilizando la formula cuadrática.

Resolver cada ecuación en los ejercicios 31-42. (primero factorización o sacando raíces, y estos

métodos faltan entonces con la formula cuadrática.)

Determinamos los valores de x,y o z en los ejercicios 43-48. supóngase que a y b son constantes

positivas

En los ejercicios 49-52, para encontrar las soluciones aproximadas de las siguientes ecuaciones

cuadráticas, empléese una calculadora. las respuestas han de darse con una exactitud de

centésimas de unidad.

PARA REPASO

Resolver:

3. Educación. Si el promedio de Enrique en cuatro exámenes es de 76, y tres de sus

calificaciones son 82, 63 y 92, ¿cuanto obtuvo en el otro examen?

54. Economía ¿Que cantidad de dinero invertido al 4% de interés simple aumentara a 1 248

dólares después de un año?

55. Movimiento. Maria maneja 12 mi/h mas rápido que su madre. Si Maria recorre 310 mi en el mismo

tiempo que su madre recorre 250 mi, ¿cual es la velocidad de cada una?

56. Si 3/4 de pulgada en una mapa representan 20 millas, ¿a cuantas millas corresponde una distancia de

12 pulgadas?

5


213

57. Recreación. Si la rapidez de una corriente es de 8 Km./h, y un bote puede viajar 105 Km. rió

abajo en el mismo tiempo que recorre 49 Km. rió arriba, 6cual es la velocidad del bote en aguas

tranquilas?

58.¿que número se necesita restar a 12,22,3 y 4 para que los números resultantes sean

proporcionales, que en ese orden?


214

Ecuaciones cuadráticas en forma

on frecuencia, una ecuación no es cuadrática en una variable particular, sino mas bien

cuadrática en una expresión que contiene la variable. A ecuaciones como esta se les

denomina cuadráticas en forma. Por ejemplo,

No es una ecuación cuadrática, sin embargo, si se sustituye a x2 por u,x4-5x2+4=0 se transforma en

La cual es cuadrática en la variable u. la ecuación original es cuadrática en forma, esto es

,cuadrático en la expresión x2,de manera similar,

Se comprueba con 2 (y por supuesto - 2). Se comprueban con 1 (y con -1, también)

Las soluciones son 2, - 2, 1 y - 1.

C

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS

ECUACIONES QUE SE TRANSFORMAN EN ECUACIONES CUADRATICAS_______________

215

PRECAUCION. No debe darse 4 y I como soluciones de la ecuación original porque, si se recuerda, 4 y

1 son soluciones de la ecuación en la variable u pero no con respecto a la variable x. En otras

palabras no debe olvidarse sustituir y encontrar soluciones de la ecuación original al utilizar el método

de sustitución por u.

EJEMPLO 2


216

Ejemplo 3


217

e resolvieron ecuaciones con fracciones que se convirtieron en ecuaciones lineales al

transformar las fracciones. Recuerdese que el proceso de transformación de fracciones

incluye multiplicar por el MCD de todas las fracciones en ambos lados de la ecuación. La

transformación de algunas ecuaciones con fracciones da por resultado ecuaciones cuadráticas, como

se muestra en los dos ejemplos siguientes.

Hay que tener en mente que las soluciones potenciales para una ecuación con fracciones siempre

deben comprobarse en la ecuación original a fin de asegurarse que no hacen que alguno de los

denominadores sea igual a cero.

EJEMPLO 4

Las soluciones son -1 y 4,se comprueban éstas para verificar que ninguna de ellas hace que alguno

de los denominadores originales sea igual a cero.

S

ECUACIONES CON FRACCIONES

ECUACIONES CON FRACCIONES____________________________________________

218

El ejemplo 5 ilustra la razón principal de comprobar todas las soluciones posibles. La

multiplicación por el MCD en ambos lados de la ecuación puede introducir raíces extrañas que no

son soluciones del problema original.

ECUACIONES CON FRACCIONES____________________________________________

219

lgunas ecuaciones con radicales se vuelven ecuaciones cuadráticas al eliminar los radicales

elevando a una potencia en ambos lados de la ecuación. Es necesario comprobar siempre

los resultados ya que el use del teorema sobre potencias puede introducir raíces extrañas.

A

ECUACIONES CON RADICALES

ECUACIONES CON RADICALES______________________________________________

220


221


222

En los ejercicios 43-46 se emplea una calculadora para aproximar las soluciones de las ecuaciones

siguientes las respuestas se darán con una precisión de centésimas de unidad.

PARA REPASO

resolver


223

uchos problemas de aplicación se convierten en ecuaciones cuadráticas.

En este punto conviene revisar los pasos para resolver este tipo de problemas; recordar que las

descripciones de las variables deben escribirse en forma completa y detallada, y cerciorarse

siempre de que las respuestas

sean razonables.

EJEMPLO 1

La cuarta parte del producto de dos enteros pares positivos consecutivos es 56. ¿Cuales son estos

enteros? Sea

Al trabajar con el ejemplo presentado a continuación es preciso recordar el teorema de

Pitágoras, el cual afirma que: La suma de los cuadrados de los catetos de un triangulo rectángulo es

igual al cuadrado de la hipotenusa.

M

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRATICAS_____________________________

224

GEOMETRIA

Una escalera de 13 ft de largo esta recargada contra un muro. Si la base de la escalera se encuentra a 5 ft

de este, ,que distancia tendría que retirase del muro el extremo inferior de la escalera para

que el extremo superior descendiera Ia misma distancia?

La figura 1 muestra la escalera en su posición inicial. Se utiliza el teorema de Pitágoras para

encontrar y, la distancia del suelo a la parte mas alta de la escalera.

Sea x = la distancia que debe retirarse del muro el extremo inferior de la escalera; entonces x es

también la distancia que desciende el extremo superior de la escalera.

La figura 2 muestra la nueva posición de la escalera; la línea punteada muestra la posición inicial. En el

triangulo ABC, AB = 13 (la hipotenusa), AC = x + 5, y BC = 12 - x. Empleando el teorema de

Pitágoras otra vez:


225

Si al base de las escaleras se retira 7ft, el extremo superior desciende la misma distancia.

INVERSION

a cantidad de dinero A que resultara de invertir un principal P a un interés porcentual r, compuesto

anualmente por dos anos, esta dada por A = P(1 + r)2. Utilizando esta formula, ¿cual es la tasa

de interés si 5 000 dólares crece a 6 272 dólares en dos años?

Sea r = la tasa de interés. La sustitución de A por 6 272 y P por 5 000 en la formula del interés da la

ecuación:

CONSUMO

os miembros de un grupo iban a cooperar equitativamente para pagar 210 dólares, el

costo de pintar un edificio. A última hora, dos de ellos decidieron no tomar parte, lo cual elevo

28 dólares la cuota de cada uno de los miembros restantes. ¿Cuantos miembros integraban al

grupo, al principio?

En un problema de costos como este, la identidad fundamental esta dada por: Costo total = (costo por

miembro)(numero de miembros).

L

L


226

Puesto que se desea conocer el número de miembros, es necesaria una ecuación en n. Se procede a

resolver cada una de las ecuaciones de arriba para c y al igualar los resultados.

Al principio el grupo estaba integrado por cinco miembros.

Conviene recordar, que en un problema de trabajo, cuando A y B trabajan juntos para completar una

tarea, la ecuación que se utiliza para resolver el problema es:

(Cantidad hecha por A en 1 unidad de tiempo) + (Cantidad hecha por B en 1 unidad de tiempo) =

(Cantidad hecha por ambos en 1 unidad de tiempo)


227

Cuando cada uno trabaja, solo Samuel puede hacer un trabajo en tres horas menos que Anastasio.

Cuando ambos trabajan juntos, les toma dos horas completar la tarea. 6Cuanto tiempo le toma a

cada uno hacer el trabajo solo?

Debe resolverse la ecuación siguiente:

Pero puesto que t - 3 seria negativo si t = 1, se descarta 1 como solucion posible. Por lo tanto,

Anastasio puede hacer el trabajo en 6 horas y Samuel puede hacerlo en 3 horas.

MOVIMIENTO

os excursionistas salen del mismo campamento a la misma hora, uno camina hacia el norte y

otro hacia el este. Si uno avanza 1 mi/h mas rápido que el otro, y si después de 3 horas hay una

distancia de 15 millas entre ambos.: a que velocidad va caminado cada uno?

Puesto que ambos caminan durante 3 horas,

D


228

Se hace un bosquejo que describe el problema, como en la figura, puesto que se trata de un

triángulo rectángulo, puede emplearse el teorema de Pitágoras para escribir la ecuación que m

contiene a x.

Puede descartarse-4 como solucion ya que la velocidad no puede ser negativa; por lo tanto ,3mi/h y

4 mi/h son las velocidades buscadas.

Otros problemas de movimiento se refieren a la determinación de la altura a la cual se halla un objeto

sobre el nivel del suelo, en un tiempo determinado, después de haberlo dejado caer, lanzado hacia arriba

o hacia abajo. Sea h la altura, medida en ft, de un objeto sobre el nivel del suelo. Sea t el tiempo en

segundos a partir de un tiempo inicial t = 0. Sea vo la velocidad inicial del objeto, medida en ft por

segundo, donde vo es positiva si el objeto sigue una trayectoria ascendente y negativa si sigue una

trayectoria descendente en el tiempo t = 0. Y sea ho la altura inicial del objeto con respecto al suelo en el

tiempo t = 0. Entonces la ecuacion:

Da la altura en términos del tiempo > 0. Nótese que si se conocen las constantes vo y vo, y si esta

dada una altura particular h, se tiene una ecuación cuadrática en la variable t.


229

MOVIMIENTO

na roca se deja caer desde un despeñadero a una altura de 420 ft sobre la superficie

de un rió que se encuentra en la base de dicho despeñadero (vease la figura 7). ¿Cuanto

tiempo le tomaría a la roca Llegar al agua? La respuesta debe darse con una aproximación de

décimas de segundo.

Puesto que t debe ser positiva, se descarta - 5.1. Por lo tanto, la roca llegara al agua en

aproximadamente 5.1 segundos.

NOTA. Con frecuencia la ecuación matemática utilizada como modelo para un problema físico

tendrá mas soluciones de la que en realidad son aplicables. Por ejemplo, aunque t = -5.1 es una solucion

matemática de la ecuación en el ejemplo 7, no es una solucion para el problema de aplicación en

virtud de que el tiempo negativo no tiene sentido en este caso. Siempre hay que comprobar el trabajo y

cerciorarse de que las respuestas tengan sentido.

EJERCICIOS RESOLVER:

1. Un tercio del producto de dos enteros impares positivos consecutivos es 65. 6Cuales son estos

U


230

enteros? 2. El cuadrado de un numero mas 2 es lo mismo que 10 veces ese numero menos 4. ¿Cuales son

todos los números que satisfacen esta condición?

3. La raíz cuadrada principal de un numero mas 4 es lo mismo que el numero menos 8.

¿Cual es este número?

4. Si a un número se le resta 2 es igual a la raíz cuadrada principal de 4 mas el numero. Encontrar el

número.

5. La suma de un numero y su recíproco es 5/2 . ¿que numero es este?

6. ¿Que números tienen la propiedad de que su suma es 15 y su producto 50?

7. Geometría. Si el largo de un rectángulo es 11 pulgadas mayor que el ancho y el área es de 80

pulgadas cuadradas, ¿cuales son sus dimensiones?

8. Geometría. Una ventana tiene forma de triangulo equilátero, y su altura es de 12 ft. ¿Cuanto miden los

lados del triangulo? La respuesta debe darse en décimas de ft.

9. Una escalera de 20 ft de largo esta apoyada contra un muro. Si la base de la escalera se encuentra a

12 ft de este, ¿que distancia tiene que retirarse del muro el extremo inferior de la escalera para que el

extremo superior descienda la misma distancia?

10. Geometría. Si los lados de un cuadrado se alargan 5 yd, el área del cuadrado será de 256 yd

cuadradas. Encontrar el largo de cada lado.

11. Manufactura. A partir de una hoja cuadrada de cartón se va a fabricar una caja con base cuadrada sin

tapa; el procedimiento consiste en recortar un cuadrado de cuatro pulgadas por lado en cada

esquina de la hoja y, luego, doblar los lados. Si la caja debe contener 400 in3, ¿cuanto debe medir cada

lado de la hoja de cartón original? Vease la figura.

12. Agricultura. Se planea que un jardín rectangular, con dimensiones de 18 por 24 yd, tenga una

vereda de anchura uniforme que rodee y delimite por completo al jardín rectangular restante, de modo

que el área del jardín restante sea de 216 yd2. ¿Cuanto mide el acho de la vereda?

13. Una pieza de alambre de 100 in de largo se corta en dos piezas. Si cada pieza se dobla en

forma de cuadrado y el área combinada de los dos cuadrados es de 337 in2, ¿cuanto mide de largo

cada pieza de alambre?

14. Agricultura. Un granjero desea cercar una zona de pastoreo rectangular que limita con un rió, y

decide que tenga una longitud paralela al rió igual al doble del ancho; por su puesto, no es necesario


231

cercar el lado delimitado por el rió. El área encerrada debe tener 39 200 yd2, ¿Cuantas yardas

de cerca son necesarias?

15. Economía. Empleando la formula A = P (1 + r)2 encontrar la tasa de interés necesaria para que

10 000 dólares aumenten a 12 321 dólares en dos anos, si la composición de intereses se realiza

anualmente. 16. Economía. Empléese la misma formula del ejercicio 15 para calcular la tasa de

interés se 8 000 dólares aumentan a 10 305.80 dólares en dos anos.

17. Un grupo de mujeres plantea dividirse por igual el gasto de los 180 dólares necesarios para organizar

una fiesta. A último minuto, tres mujeres deben ausentarse del poblado, lo que eleva 10 dólares la

cooperación de cada una de las mujeres restantes. ¿Cuantas mujeres integraban al grupo al principio?

18. Menudeo. El propietario de un almacén gana 2 000.00 dólares cada semana por concepto de

ventas de un tipo particular de juguete de novedad. El bajarle 2.00 dólares al precio por juguete puede

estimular sus ventas y vender 50 juguetes mas por semana, pero sus ganancias permanecen inalteradas

en 2000.00 dólares. ¿A que precio vendía cada juguete originalmente?

19. Manufactura. Un industrial ha descubierto que el costo mensual total c, por operar su planta,

esta dado por c = 10x2 - 100x - 2 000, donde x es el numero de productos fabricados por mes.

¿Cuantos productos se manufacturaron durante un mes en que los costos totales ascendieron a 10 000

dólares?

20. Manufactura. El costo semanal c de producir x bienes esta dado por la ecuación c = 2x2 + 50x - 30.

6Que cantidad de bienes se produjo en una semana en la que el costo de producción fue de 270

dólares?

21. Economía. El costo indirecto de vender un producto es de 165 dólares por día. Afín de vender x

mercancías en un día, el precio por mercancía debe ajustarse a 26 - x dólares. Para no ganar ni

perder en un día determinado, el propietario del almacén debe vender mercancías suficientes para

pagar sus costos indirectos. ¿Cuales son los puntos de equilibrio en esta situación cuando no gana ni

pierde?

22. Administración. Un mayorista vende suéteres a un club distribuidor a una tasa de 25 dólares por


232

suéter par todas las órdenes de 250 o menos. Si la orden es mayor de 250 (hasta 300), el precio por suéter

se reduce a una tasa de 5 centavos de dólar por el número total ordenado. Si se le expide al club una factura

de 3 080 dólares por una orden, ¿cuantos suéteres se compraron?

23. A Juan le toma nueve horas más que a su padre hacer un trabajo. Si ambos trabajan juntos, la

tarea puede hacerse en 20 horas. 6Cuanto tiempo le tomaría a cada uno hacer dicha tarea si trabajara

solo?

24. Recreación. Cuando de dos válvulas se abre una por separado, la mayor puede llenar una piscina en

tres horas menos que la pequeña. Si se abren simultáneamente, solo toma dos horas llenarla.

¿Cuanto tiempo tarda cada válvula en llenar la piscina cuando la otra esta cerrada?

25. Comunicaciones. Dos prensas pueden imprimir rótulos de sobres para un grupo de ex alumnos

en 10 horas. Si la prensa mas nueva puede hacerlo en cinco horas menos que la mas antigua, ¿cuantas

horas tardaría la prensa mas antigua en imprimir los rótulos si tuviera que mandarse a reparar la mas

nueva? (La respuesta debe redondearse a décimas).

26. Construcción. A Juan le toma ocho días más que a su padre construir una plataforma de

madera de secoya. Si juntos pueden construirla en 14 días, ¿Cuanto tiempo le tomaría al padre de Juan

construirla solo? (La respuesta debe redondearse a décimas).

27. Movimiento. Dos automóviles salen de la misma ciudad al mismo tiempo viajando en ángulo

recto uno con respecto al otro. Si el primero maneja 10 mi/h mas rápido que el segundo, y si después de

dos horas la distancia que los separa es de 100 millas, ¿cual es la velocidad de cada automóvil?

28. Navegación. Dos botes parten de una isla al mediodía, uno viaja hacia el sur y el otro hacia el oeste. Si

ambos navegan a 30 nudos haga una aproximación hasta décimas y diga cuantas millas náuticas

los separaran después de dos horas.

29. Movimiento. Gaspar Ramos manejo 400 millas a determinada velocidad en cierto tiempo.

De haber conducido 10 mi/h, el tiempo del viaje habría sido dos horas mas breve. ¿A que velocidad

viajo?

30. Movimiento. Margarita manejo de Cleveland a Boston, una distancia de 660 millas. Condujo a una

velocidad de 6 mi/h mas rápido en el viaje de regreso, reduciendo una hors el trayecto. ¿A que velocidad

manejo de Boston a Cleveland?

31. Movimiento. Un niño deja caer una moneda desde la parte mas alta de un rascacielos de Nueva

York a una altura de 1 472 ft. Si se hace una aproximación hasta décimas de segundo, ¿cuanto

tiempo le tomara a la moneda llegar al suelo?

32. Movimiento. Un cohete es lanzado hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de

352 ft/s. ¿Cuantos segundo pasaran antes de que regrese al suelo?

33. Movimiento. Un niño parado en un puente a 200 ft sobre el nivel de un No arroja una piedra hacia abajo

con una velocidad inicial de 20 ft/s. 6Cuanto tiempo tardara la piedra en llegar al agua? (La respuesta

debe redondearse a centésimas de segundo).

34. Movimiento. Con una aproximación de centésimas de segundo, 6cuanto tiempo le tomaría a

la piedra llegar al agua si el niño en el puente del ejercicio 33 arrojara la piedra hacia arriba con

una velocidad inicial de 20 ft/s? (¿Parecen razonables las respuestas de los ejercicio 33 y 34?)

35. Movimiento. Un hombre dispara una pistola desde el suelo a un helicoptero que se encuentra a


233

3 000 ft directamente por encima de el. Si la bala sale con una velocidad inicial de 2 400 ft/s,

digs con una aproximación de centésimas de segundo, ¿cuanto tiempo tardara la bala en alcanzar al

helicóptero?

36. Movimiento. Un hombre deja caer un objeto de un globo desde una altura de 256 ft. Si el

globo va en ascenso vertical a una velocidad de 16 ft/s, ¿cuanto tiempo le tomara al objeto

llegar al suelo? (La respuesta debe redondearse a centésimas de segundo).

Bibliografía Básica

Carpintero, V., Eduardo y Sánchez H. Rubén B. 'Álgebra" México, Publicaciones Cultural 2003


Cuellar José A. "Matemáticas para Bachillerato". México McGraw-Hill 2001

Kaseberg Alice. "Álgebra Elemental " México, Ediciones Thomson Internacional, 2001 Smith, Stanley y

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Norena, Francisco. "El develador de las incógnitas" México Pangea Editores, 1992 Peterson, John C.

"Matemáticas Básicas" México, Editorial CECSA, 2001

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