Temas Selec Mate I 14

Temas selectos de Matemáticas I

2ª ediciónAgosto 2014

Impreso en México

ISBN: 978-607-743-025-4

Dirección y realización del proyecto�� !� Planeación y coordinación�"��#��$%��&��'(�� Metodología y estrategia didáctica)��)��'��*�+��,��(��.��%��&��'(�� Agradecimientos a: L.E. Pilar del Rosario Dávila Cetina L.E.M. Flory Nayeli Várguez Canché

��/1.��.�;&�1.

Queda prohibida la reproducción o trans-misión total o parcial del texto de la pre-sente obra, bajo cualquier forma electró-nica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Temas selectos de Matemáticas I

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LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser �� permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propues-tos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un pano-��es encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos, reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento, una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc-�� que la población a la que atiende ( jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más ge-neral, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y ha-�� tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del país, han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos con-sisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de me-canismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, ��de los mismos.

Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y exten-didas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace dis-tintos. Lo anterior muestra como la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.

Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti-��programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, �� !�� "��#��$%�

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato ��$&&��'��en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesio-nales básicas.

Temas selectos de matemáticas

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Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar ��*��+��#��en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como par-��'��!��"��/�� %��0��6��"��7��las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes:

Se autodetermina y cuida de sí

1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3) Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica

4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

��

5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia gene-�� #��

Aprende de forma autónoma

7) 7�� /��

��

8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones res-ponsables.

5

Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimien-tos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo �� '��contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas.

Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la '�� /�� de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias %��?��@?��%��A��7��H�-gica, Ética, Filosofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática).

Las competencias disciplinares extendidas dan sustento a las competencias ��/��"��-�� elementos disciplinares correspondientes y en su caso, incrementando la compleji-��7��en los campos de conocimiento del Bachillerato General.

Competencias disciplinares extendidas

1) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2) Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfo-ques.

3) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones rea-les.

4) 7��/��/��-�� -temático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5) 7�� natural para determinar o estimar su comportamiento.

6) &�� magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un pro-ceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

8) J��-��


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ESTRATEGIA DIDÁCTICA

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

%��#��-tende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesio-nes de aprendizaje.

La estrategia consta de siete pasos o etapas, mismas que deberán cono-cerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuación:

K Dinamización

K Contextualización

K Problematización

K O��7��!��&��&��

K Síntesis

K Realimentación

K Evaluación de la competencia

Dinamización

En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y considerar que es a partir de los mismos que se desarrollarán los nuevos, motivando a la cola-boración del estudiante en el mismo proceso.

VI

Contextualización

En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es �� /�� -tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

Problematización

En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un sig-��/�� /�� por tanto la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

Formación, Adquisición, Desarrollo y Construcción de Competencias

Etapa en la cual el facilitador a partir de diversas experiencias de aprendizaje facilita el quehacer del estudiante para lograr las competencias. En esta etapa de la estra-tegia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato.

7

Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experimenta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motiva-do, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación de la 6T7��'��'��competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de enseñanza ��

H�6T7�� '��importantes, la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto impor-��6T7��docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abar-car el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno.

��W��6T7��se presenta de dos formas pre-elaborada e independiente. En el primero, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador y en la segunda los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

Síntesis

7�� /�� de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en procesos de coevaluación.

Realimentación

7� �/�� en cada asignatura, el facilitador y los estudiantes ante la evidencia recopilada en la etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad �� los estudiantes.

��

Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del pro-ceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.


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Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general 10

%��7X%�� lineales y el método de Gauss 13

Ecuación lineal y soluciones de una ecuación lineal 13

Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 13

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante la Regla de Cramer 21

Relación entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el determinante de la matriz asociada 24

Bloque II: Resuelves sistemas de ecuaciones de segundo grado 42

%��7XH�� YZPropiedades de la ecuación cuadrática 51

Ecuaciones de forma cuadrática 55

Ecuaciones con radicales 58

Sesión B: Sistemas de ecuaciones cuadráticos 65

Sistema lineal–cuadrática 68

Sistema cuadrática–cuadrática sin términos lineales ni término xy 71

Sistema cuadrática – cuadrática sin términos lineales pero con término xy 73

Otros sistemas de ecuaciones 75

9

Bloque III: Determinas fracciones parciales 86

%��7XO�� \\Expresiones racionales, fracciones propias e impropias 90

Bloque IV: Aplicas la inducción matemática 106

%��7XJ�� ]^\Inducción matemática 109

Teorema del Binomio 123

Bloque V: Empleas números complejos 132

%��7XA�� y operaciones básicas 135

Operaciones básicas 139

Propiedades de los complejos 142

Sesión B: Representación rectangular y polar. Teorema de De Moivre 150

Representación rectangular 151

Representación polar 155

Potencias y raíces 162

Bibliografía 176

Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general

Desempeños del estudiante:K Resuelve situaciones del contexto mediante la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, por medio del método de Gauss, interpretando y contrastando la solución obtenida con la realidad.

K 7��-pleando el determinante asociado al mismo.

Objetos de aprendizaje:K Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

K Naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

K Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

K Modelado y solución de situaciones que implican un sistema de ecuacio-nes lineales.

10

7��/�� 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mé-

todos establecidos

Atributo

K %��#�� -do como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

� 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Atributo

K 7�� "�-bilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo

Competencias disciplinares extendidas � Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedi-

mientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la compren-sión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

� Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos mate-máticos y los contrasta con modelos establecidos.

� J��

11

B1Temas selectos de matemáticas

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Dinamización Instrucciones: De manera individual y en tu libreta:

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, empleando el método que consideres pertinente:

a)

b)

c)

II) Resuelve el siguiente problema: “La compañía de camiones Turismar, el mar-�� W7��6+�� 7��6�%��256 personas y el jueves 294, ¿cuál es la capacidad de cada tipo de autobús? suponiendo que todas las personas van sentadas y ambos vehículos viajaron con su máxima capacidad”.

Contextualización Instrucciones: Considera el siguiente problema y en binas contesten lo que se les indica.

Margarita compró por $92 dos libretas, tres cartulinas y un lapicero; mientras que Nayeli, por $52 más, una cartulina, dos lapiceros y cuatro libretas; Pilar compró tres lapiceros y una libreta por $82. ¿Cuál es el costo de cada útil escolar?

a) ¿Con los datos que se te presenta puedes determinar cuáles son las incógnitas?

b) ¿Cómo relacionas las incógnitas entre sí?

c) ¿Cómo establecerías algebraicamente la relación entre las incógnitas?

d) ¿Conoces algún método para hallar el valor de las incógnitas?

e) ¿Todos llegaron a las mismas conclusiones?

f) ¿Por qué crees que así fue?

g) ¿Emplearon el mismo procedimiento que tú?

B1

13Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general

%�� 7X %�� lineales y el método de GaussEn primer semestre aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden 2 y 3 mediante distintos métodos, ahora nos interesa aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de cualquier orden, mediante el método de Gauss; para esto será necesario repasar lo visto en cursos anteriores pero con un enfoque un poco más analítico, empecemos recordando algunas cosas.

Ecuación lineal y soluciones de una ecuación linealUna ecuación lineal con dos variables, x y y, es una ecuación de la forma ax+by=c, ��a,b y c��W��+��-ción de tal ecuación es una pareja de valores de x y y para la cual la ecuación lineal se cumple y se acostumbra representar a la solución en forma de vector (x,y). De modo similar se tiene que una ecuación lineal con tres variables, x,y y z, es una ecuación de la forma ax+by+cz=d��a,b,c y d son constantes; una solución de tal ecuación es una terna de valores x,y y z para la cual la ecuación lineal se cum-ple, también suele escribirse a una tal solución en forma de vector (x,y,z). De manera ��n incognitas.

Ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales

Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de un sistema de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales, en donde cada una tiene las mismas variables; en este bloque solo nos dedicaremos a sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número ecuaciones y variables. Una solución de un sistema de ecuaciones es un vector que es simultáneamente una solución de cada una de las ecuaciones del sistema.


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Sistemas consistentes e inconsistentesCuando resolviste sistemas de ecuaciones de orden 2, por ejemplo, probablemente notaste que podía darse uno de los tres casos presentados en los ejemplos:

Ejemplo 1. (El sistema no tiene solución). Consideremos el siguiente sis-tema:

En este caso podemos darnos cuenta a simple vista que el sistema anterior no tiene solución ya que no existen dos números cuya suma sea −2 y 5 a la vez. Un sistema que no tiene solución se llama inconsistente.

Ejemplo 2. (El sistema tiene una única solución). Consideremos el siguien-te sistema:

Resolviendo este sistema por cualquiera de los métodos aprendidos en cur-sos anteriores podemos ver que tiene una única solución dada por (6,−1). Un sistema de ecuaciones que tiene una única solución se llama consistente determinado.

Ejemplo 3:@��|�&��sistema:

Observando ambas ecuaciones del sistema podemos notar que la segunda ecuación es simplemente un múltiplo de la primera, ya que se obtiene al multiplicar la primera ecuación por 2, así cualquier solución de la primera ecuación será también ��+��W��de soluciones. Ejemplos de tales soluciones son las parejas (7,0),(0,-7),(8,1),(-3,-10) y @}~�]Y|��W��consistente indeterminado.

En realidad estos tres casos son los únicos que se pueden presentar al re-solver un sistema de ecuaciones cualquiera, de modo que un sistema de ecuaciones ��W��7�� *� @��-quier número de ecuaciones y variables). Es decir, todo sistema de ecuaciones es inconsistente, consistente indeterminado o consistente determinado.

7�� ]J��X&�� $��

I sobre las ecuaciones lineales con dos variables y su solución por métodos alge-��'��'��

B1


problemáticas y presenten sus soluciones ante el grupo.

I) Determina el valor de las incógnitas para cada uno de los incisos mediante el método que se te solicita.

a) por suma y resta

b) por sustitución

c) por igualación

d) por determinantes

e) ��

II) Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, formula un problema que se resuelva con ellos y expresa la relación del sistema de ecuaciones lineales con tu problemática.

a)

b)

c)

7�� Instrucciones: En binas y en tu cuaderno, realiza lo que se te indica en cada apartado.

I) Determina si los siguientes sistemas son consistentes determinados, consis-tentes indeterminados o inconsistentes. Resuelve en caso de tener solución.

a)

b)


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c)

d)

e)

f)

g)

h)

$��Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utilizan matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ya que su aplica-ción también aparece en el campo de la geometría, estadística, economía, informá-tica, física, etcétera.

��!

Se llama matriz de orden a todo conjunto rectangular de elementos dis-��"��@��|�� @��|��W��una matriz se llama elemento; y cada matriz se denota mediante una letra mayúscula.

Ejemplos:

A

B

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse mediante el uso de una matriz. Veamos el siguiente ejemplo:

A

A

B1


Cada sistema de ecuaciones tiene asociada una matriz formada por los �� aumentada que se obtiene al agregar una última columna formada por los términos independientes de las ecuaciones del sistema.

Tipos de Matrices

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Ejemplo:

A

$��X��]��es de orden 1x n. Ejemplo:

C

$��X�� W��columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n. Ejemplo:

B

Los elementos 2, 1, 9 forman la diagonal principal y los elementos 3, 1, 1 la diagonal secundaria.

Matriz nula: Es aquella en la que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos. Ejemplo:

B


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Matriz unidad o identidad: Es una matriz cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

A

Matriz escalonada o triangular: Es una matriz en las que los elementos que se encuentran por debajo o arriba de la diagonal principal son cero o nulos. Ejemplos:

B

M

DeterminantesUn determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada. En el caso de

una matriz de 2x2, , su determinante, el cual representábamos por

X ��X

��de orden 3, mediante cofactores:

Consideremos la matriz , entonces su determinante vie-ne dado por la expresión:

H� �� /��/��'��4 o más. De la expresión anterior podemos ver que |Y| es la suma de los elementos ��Y, cada uno multiplicado por el determinante de la matriz de ��"��W��podría causarnos un poco de inquietud es el signo “�“delante del segundo término, pero esto se hará claro más adelante. De la misma manera en la que un determinante

B1


de orden 3 se representa como una suma de 3 determinantes de orden 2 un deter-minante de orden 4 puede ser representado como una suma de 4 determinantes de orden 3, un determinante de orden 5 puede ser representado como una suma de 5 determinantes de orden 4 y en general un determinante de orden n puede ser representado como una suma de n determinantes de orden n�]�7��/��'��que es un menor de una matriz.

��" Si A es una matriz de n�n, entonces la matriz de (n-1)�(n-1) que se obtiene de A��i y la columna j la llamaremos menor ij de A y la representaremos como Mij .

Ejemplo 4. Consideremos la matriz

A

de la cual obtenemos que

M M

Es importante que distingas el orden de los subíndices ya que como te habrás dado cuenta M23 y M32 están muy lejos de ser iguales.

7"��de una matriz de orden n.

��" Si A es una matriz de n�n entonces su determinante, de-notado por |A��

donde a1k��y la k-ésima columna.

0��de n�n se obtiene al sumar los n términos obtenidos al multiplicar cada elemento de �� W��W��


20

Ejemplo 5. Consideremos la matriz del ejemplo anterior, su determinante es dado por:

A

7�� /��'��-nantes de orden 3:

A

De modo que |A|=�1665.

7�� Instrucciones: De manera individual y en tu libreta, obtén los menores que se te in-dican, dada la matriz F.

F

a) M

b) M

c) M ��

7�� YInstrucciones: En equipos conformados por el profesor, calcula el valor de los deter-minantes de las siguientes matrices.

a) E

b) R

c) G

B1


d) T

e) F

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante la Regla de Cramer“En una compra, fuimos mi papá, mi hermanita y yo por un par de zapatos de la marca F, un par de sandalias de la marca T y una par de tenis de la marca N y pagué $620; mi padre se compró 2 pares de zapatos de vestir de la marca F y 3 pares de sandalias de la marca T y pagó $1,020 y a mi hermanita le compró 2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pagó $420. Pero debido a mis ��^��/�� el valor de mis tenis; ¿qué cantidad de dinero me debe devolver mi padre?”

Estoy seguro que ya estás pensando la manera en cómo lo vas a resolver y puedo asegurarte que pensaste en el método de reducción para encontrar el valor deseado. Pero yo te quiero rescatar el método de Cramer, y te preguntarás ¿Por qué?, eso es sencillo de comentar, ya que este método emplea ciertos términos y elemen-tos que retomaremos y utilizaremos. Veamos:

Interpretando lo que el problema nos plantea podemos con ello determi-nar 3 ecuaciones lineales y las tres incógnitas que se presentan: Llamemos x al precio de un par de zapatos de la marca F, y al precio de un par de sandalias de la marca T, y z al precio de un par de tenis de la marca N.

No. de la ecuación #�� Escribiendo la ecuación

1“Un par de zapatos de la marca F, un par de sandalias de la marca T y una par de tenis de la marca N y pagué $620”

x + y + z = $620

2 “2 pares de zapatos de vestir de la marca F y 3 pares de sandalias de la marca T y pagó $1,020” 2x + 3y = $1020

3 “2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pagó $420” 2z + y = $420


22

Te recuerdo que para trabajar con el método de Cramer se tiene que veri-��3 3² × , entonces:

!��/��que acabas de formar y formemos la matriz:

7"��'�� por la columna de términos independientes (los números 620, 1020, 420) y tendremos:

7"��"��-ces aplicando el método Cofactores de Cramer que consistía en aumentar las dos pri-�� -ria con los valores de las sumas de las multiplicaciones de las diagonales secundarias.

x

y

z

B1


Encontrando los valores de cada una las incógnitas tendremos:

Lo que nos indica que el valor del par de tenis es $160, cantidad que le ��

7�� ZInstrucciones: En equipos de tres integrantes y en tu cuaderno, realiza lo

��&��$/��!��Regla de Cramer, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

b)

c)

d)

e)

¿Conoces otro método para solucionar sistemas de ecuaciones de 3x3?, ¿cuál es?


24

II) Considera el siguiente problema: “Roger, Mauricio, Valeria y Lizbeth tienen su “friendweekend” durante cuatro semanas, de tal manera que uno paga la cuenta de todos en cada reunión. Registraron sus gastos en una tabla como la que sigue:

Tamales Tortas Refrescos Postres Gasto total

Semana 1 5 0 4 2 $96Semana 2 2 2 5 1 $103Semana 3 1 4 7 0 $135Semana 4 3 3 6 4 $166

a) ¿Cuál es el precio de cada producto?

b) ¿Puedes resolver el problema anterior con alguno de los métodos que hemos estudiando?

c) La regla de Cramer seguro te ayudaría, pero ¿cuántos determinantes ha-brías de calcular?

Sugerencia: Para ayudarte a comprobar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales de orden 3, una herramienta interactiva que puedes encontrar en Internet es: http://www.vadenumeros.es/actividades/sistemas-regla-de-cramer.htm

Relación entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el determinante de la matriz asociada Hemos visto que resolver un sistema de ecuaciones lineales se vuelve una labor más difícil conforme va aumentando el tamaño del sistema, es decir, conforme el sistema tiene más ecuaciones y más variables. Una de las aplicaciones de los determinantes puede ser apreciada a través de una relación muy importante que existe entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el valor del determinante de la matriz de ��"��+��

Si un sistema de ecuaciones tiene a A��-tonces el sistema es consistente determinado (el sistema tienen una única solución) si y sólo si |A��^�

H�� W��distinto de cero; sin embargo, si dicho determinante vale cero entonces no podemos �� puede darse cualquiera de ambos casos. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 6. Consideremos el siguiente sistema

B1


�� A

y con determinante

|A|=��+��-ces el sistema tienen una única solución.

Ejemplo 7. Consideremos el siguiente sistema:

En este caso tenemos que la matriz de c�� B1 11 1

y con

determinante |B|=0, además en el ejemplo 1 vimos que el sistema es inconsistente.

Ejemplo 8. Consideremos el siguiente sistema:

�� C , tienen determinante |C|=0 y

como vimos en el ejemplo 1 el sistema es consistente indeterminado.

Sistemas de ecuaciones equivalentesCompara los siguientes sistemas:

K

K

a) ¿Consideras que ambos sistemas son iguales?

b) ¿Cuál es la solución del primer sistema? y ¿cuál es la solución del segundo?

c) ¿Qué concluyes con respecto a los sistemas y sus soluciones?


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!��!�� ambos tienen el mismo conjunto de soluciones; es decir, si cada solución de uno de esos sistemas es también una solución del otro y viceversa.

Sin embargo, se dan casos especiales; por ejemplo analiza los siguientes sistemas:

K

K

a) ¿Cuál es la solución del primer sistema?

b) ¿Es la misma para el segundo sistema?

c) ¿Consideras que ambos sistemas son equivalentes?

d) ¿La pareja es solución para ambos sistemas?

e) �A��

A�� +��sistema no es equivalente.

Operaciones elementalesPara que obtener un sistema equivalente a otro dado, se emplean tres operaciones, las cuales se denominan operaciones elementales y son:

Operación elemental 1. En un sistema de ecuaciones, al intercambiar el orden de dos ecuaciones obtenemos un sistema de ecuaciones equivalentes.

Ejemplos:

Operación elemental 2. En un sistema de ecuaciones al multiplicar cualquier ecua-ción por una constante distinta de cero obtenemos un sistema de ecuaciones equi-valentes.

Ejemplos:

B1


Solución:

Operación elemental 3. En un sistema de ecuaciones al sumarle a alguna ecuación un múltiplo de otra ecuación del mismo sistema obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente.

Ejemplos:

Observamos que el segundo sistema se obtiene del primero, al sumarle a su primera

ecuación dos veces la segunda:

7�� Instrucciones: En la siguiente tabla, escribe en el espacio en blanco la operación ele-mental que se le aplicó al sistema 1 para obtener el sistema equivalente 2.

Sistema 1 Sistema 2 Operación elemental

Operaciones elementales de renglón&��matriz aumentada; además si tenemos la matriz aumentada de un sistema entonces podemos determinar las ecuaciones que conforman dicho sistema. Por ejemplo la matriz aumentada;


28

1 0 53 1 01 1 1

234

|

corresponde al sistema de ecuaciones lineales

3 3

4

Y también podemos notar que al aplicar operaciones elementales a un ��/��-pendientes, no con las variables. Luego, podemos ahorrar tiempo, espacio y esfuerzo si trabajamos con las matrices aumentadas de cada sistema, en lugar de escribir cada sistema completo. Por tanto adecuamos las operaciones elementales a la notación de matrices, que por tratarse de matrices las llamaremos operaciones elementales de renglón y las enunciamos a continuación:

En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de renglón:

1) Intercambiar dos renglones.2) Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero.

3) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Habrás notado que las operaciones elementales por renglón son las ope-raciones que se pueden aplicar a una matriz aumentada de modo que la matriz aumentada resultante de cada operación corresponde a un sistema equivalente al sistema que le corresponde a la primera matriz aumentada. De manera similar a los sistemas equivalentes diremos que dos matrices son equivalentes si una se puede obtener de la otra mediante la aplicación de operaciones elementales por renglón. Es entonces inmediato que dos sistemas son equivalentes si y sólo si sus matrices aumentadas lo son:

Método de Gauss Primero presentaremos la idea principal del método de Gauss; como mencionamos anteriormente el método de Gauss es en cierto modo la generalización del método de eliminación ya que la idea principal en ambos métodos es la misma; recordemos que aplicar el método de eliminación al sistema

nos produce, a través de operaciones elementales, el sistema equivalente

B1


y

en donde este último sistema es “fácil de resolver” ya que se puede hacer de manera directa despejando y de (5) para obtener y=2 y sustituyendo dicho valor en (4) para que se determine el valor de x el cual es x=1.

Bueno, pues el método de Gauss conserva estas ideas, ya que dado un sistema de ecuaciones se desea obtener otro sistema de ecuaciones que sea equiva-lente pero “fácil de resolver” y el modo en el que se consigue dicho sistema es me-diante la aplicación de operaciones elementales, lo cual garantiza que los sistemas �� 7��'��la forma del sistema de orden 2 obtenido por el método de eliminación. Por ejemplo los sistemas que corresponden a las matrices aumentadas

2 1 19 4 11 5 4

141

1 5 40 1 10 0 1

153

y| |�� '��'��es que el segundo sistema se puede resolver de manera fácil y directa ya que dicho sistema es:

5

z � 3

de la tercera ecuación tenemos que z=3, reemplazando este valor de z en la segunda ecuación obtenemos que y=2 y al reemplazar estos valores en la primera ecuación resulta que x=1, de modo que la solución es (1,2,3). La manera en la que se resolvió el sistema anterior se llama sustitución hacia atrás debido a que empezamos de la última ecuación y la solución de esta ecuación la sustituimos en la ecuación anterior y continuamos de esta manera hasta haber resuelto todas las ecuaciones. De igual modo los sistemas correspondientes a cada una de las siguientes matrices aumentadas

y

se pueden resolver utilizando la sustitución hacia atrás. Por la forma que tienen las matrices anteriores reciben el nombre de matrices escalonadas y podemos ver que si un sistema de ecuaciones tiene asociada una matriz aumentada que sea escalo-nada entonces este sistema se puede resolver empleando la sustitución hacia atrás. 7"��/�� del sistema que se desea resolver y mediante operaciones elementales por renglón


30

��'��"�� correspondiente a esta última matriz empleando la sustitución hacia atrás.

Notemos que al emplear solamente operaciones elementales por renglón garantizamos que las matrices aumentadas son equivalentes de modo que corres-ponden a sistemas equivalentes y por lo tanto realmente estamos obteniendo las soluciones del sistema original.

7"��"��'��'��una matriz en una matriz escalonada. Tal método lo describimos a continuación:

Paso 1. Transformar la matriz en una que tenga como elemento de su pri-mer renglón y primera columna un 1.

Paso 2. Transformar la matriz en una en la que todos los elementos debajo del 1, conseguido en el paso anterior, sean 0

Paso 3. Repetir los pasos 1 y 2 pero con el elemento ubicado en el segundo renglón y segunda columna.

Paso 4. Continuar de esta manera hasta convertir cada elemento de la dia-��]��"��

La manera en la que se acostumbra a realizar cada paso es la siguiente:

Paso 1. Se pueden dar 4 sencillos casos:

Caso 1. Si el elemento ubicado en el primer renglón y primera columna es 1, entonces el paso 1 obviamente es omitido.

Caso 2. Si no se da el caso pero algún elemento de la primera columna es 1 entonces el renglón al que pertenece dicho 1 se intercambia con el primer renglón. (Notemos que ésta es simplemente una operación elemental.) Por ejemplo al inter-cambiar el primer y el tercer renglón de la siguiente matriz:

2 1 19 4 11 5 4

141|

Obtenemos

1 5 49 4 12 1 1

141

|y con esto el paso 1 ha sido realizado.

Caso 3. Si ningún elemento de la primera columna es 1 y el elemento del primer renglón y primera columna no es cero, entonces dividimos el primer renglón entre este elemento. (Notemos que ésta es una operación elemental, ya que dividir entre un número (distinto de cero) es lo mismo que multiplicar por su inverso). Por ejemplo en la matriz:

B1


2 1 19 4 14 2 2

145

|Dividimos el segundo renglón entre 2 y obtenemos

1 1 2 1 29 4 11 5 4

1 241

/ / /|Caso 4. Si ningún elemento de la primera columna es 1 y el elemento del

primer renglón y columna es cero, entonces intercambiamos el primer renglón por alguno que tenga como primer elemento un número distinto de cero, obteniendo de esta manera una matriz que pertenece al caso 3.

Paso 2. Si a es un elemento ubicado debajo del 1 obtenido en el paso anterior que no es 0, es decir, a�^��con el que se trabajó en el paso anterior (el renglón al que pertenece el 1 obtenido en el paso anterior) por a, y restárselo al renglón de a; después de esta operación habremos conseguido que tal elemento se vuelva 0. Debemos repetir este procedi-miento con cada elemento que debamos volver 0. (Notemos que este procedimiento consiste en efectuar una operación elemental, ya que se está sumando un múltiplo de un renglón distinto de cero a otro renglón).

Los demás pasos se efectúan de manera similar, solo que con los elemen-��7��"�� W��elementales de renglón podemos llevar una matriz a una equivalente, es por eso que antes de ir a un ejemplo en el que apliquemos el método de Gauss introduciremos una notación para representar las operaciones elementales de renglón con la inten-ción de ahorrar tiempo y espacio, del mismo modo en que empleamos la notación matricial, tal notación es la siguiente:

�� Ri�Rj indica que los renglones i y j son intercambiados.

�� Ri�kRi indica que el renglón i se multiplica por el número k.

�� Ri�Ri+kRj indica que al renglón i se le suma el múltiplo del renglón j que se obtienen al multiplicarlo por k.

Con la notación recién indicada, procedemos a resolver tres sistemas de ��

Ejemplo 11. (Un sistema consistente determinado.) Resuelva el siguien-te sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss:


32

cuya matriz aumentada es:

2 11 2

1 23 4

3 14 1

1 11 1

11

61

2|7��/��

tenemos la siguiente cadena de matrices equivalentes (en donde cada matriz se ha ��#��"�|X

2 11 2

1 23 4

3 14 1

1 11 1

11

61

1 22 1

3 42| 2R1R 11 2

3 14 1

1 11 1

1161

1 20 5

3 45

2

2R 12R2R| 1103 14 1

1 11 1

156

1

2|1 20 5

3 45 10

0 74 1

10 111 1

1501

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 7

10 1113 15

21507

|3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 2

15

1 20 1

3 41 2

0 70 7

10 1113 15

0

23

7|

1 20 1

3 41 2

0 00 7

3 313 15

23

217

|1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 36 1

23

2114|3R 27R3R 4R 27R4R

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 16 1

714

23|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 7

23728

|1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 1

74

23|1

33R

3R 17

4R4R

4R 36R4R

Hemos obtenido una matriz escalonada correspondiente al siguiente sistema:

7w � 4

y utilizando la sustitución hacia atrás tenemos que w = 4, z = 3, y = 2 y x = 1.

B1


Ejemplo 12. (Un sistema inconsistente.) Consideremos ahora el siguiente sistema

con su correspondiente matriz aumentada dada por:

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

62

2|7�� /��-

ción, tenemos que:

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

62

1 22 1

3 42| 11 2

3 14 2

1 12 4

1162

1 20 5

3 45 1

2| 003 1

4 21 12 4

1562

2|2R1R 2R 12R2R

1 20 5

3 45 10

0 74 2

10 112 4

1502

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 10

10 1110 20

15

010

2|3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 2

15

1 20 1

3 41 2

0 70 10

10 1110 20

010

23|

1 20 1

3 41 2

0 00 10

3 310 20

2110

23|3R 27R3R

1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 30 0

21

23

20|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 0

23

720

|4R 210R4R13 3R3R


34

Es claro que el sistema correspondiente es inconsistente, ya que de la últi-ma matriz se tiene

7�

en donde la última ecuación es absurda, de modo que podemos concluir que no existen números x, y, z, w que cumplan dicho sistema; por tanto, el sistema no tiene solución.

Ejemplo 13. (Un sistema consistente indeterminado.) Por último considere-mos el sistema:

cuya correspondiente matriz aumentada es dada por

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

622

2|7�� /��X

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

622

1 22 1

32| 44

1 23 1

4 21 12 4

11622

1 20 5

3 42| 55 103 1

4 21 12 4

15622

2

|2R1R 2R 12R2R

1 20 5

3 45 10

0 74 2

10 112 4

15022

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 10

10 1110 20

215030

|3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 2

15

1 20 1

3 41 2

0 70 10

10 1110 20

030

23|

1 20 1

3 41 2

0 00 10

3 310 20

2130

23|3R 27R3R

B1


R RR R R

410

313

4 2

1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 30 0

23

210

33

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 0

23

70

Hasta aquí es donde se puede llegar con el algoritmo presentado, de modo que el sistema asociado es:

7

Este sistema es consistente indeterminado, ya que por tener más variables ��+�� -narle cualquier valor a alguna de las variables que aparezcan en todas las ecuaciones del sistema (en este caso tales variables son z y w ); elijamos w y hagamos w=0, de modo que el sistema anterior se reduce al siguiente:

z � 7

3

y cuya solución, que se obtiene fácilmente empleando la sustitución hacia atrás, es z=7,y=-10 y x=�3. De modo que la solución del sistema en este caso es (�3,�10,7,0). En general a cada valor de w corresponde una solución distinta al sistema.

7�� ~I) En los siguientes problemas, utilice el método de Gauss para encontrar, todas

las soluciones, si existen, para los sistemas de ecuaciones dados.

1) 2)

3) 4)

5) 6)


36

II) Resuelve las siguientes situaciones cotidianas donde emplearás los sistemas de ecuaciones y que resolverás utilizando el método de Gauss. Lee con aten-ción para evitar cualquier tipo de confusión.

1) Lucía acaba de regresar de vacaciones de Cancún, Playa del Carmen y Cozumel en donde gastó $30 diarios en Cancún, $20 diarios en Playa del Carmen y $20 diarios en Cozumel en concepto de hospedaje. En comidas gastó $20 diarios en Cancún, $30 diarios en Playa del Carmen y $20 dia-rios en Cozumel. En transporte gastó $5 diarios en Cancún, $10 diarios en Playa del Carmen y $3 diarios en Cozumel. De acuerdo con las notas que Lucía guardaba se dio cuenta que en Cancún gasto en total $3,400, en Playa del Carmen gasto $3,200 y en Cozumel gasto $1,400. Calcule el número de días que paso en cada uno de los puertos señalados.

2) Jorge, Manuel y Carlos compraron rosas, claveles y margaritas para hacer ��#�� \��Z��-veles y 10 margaritas pagando $149. Manuel compró 5 rosas, 2 claveles y 5 margaritas pagando $75. Carlos compro 5 rosas, 10 claveles y 8 marga-��]YZ��&��#��

3) En una tienda de perfumes desean preparar uno de ellos con 3 esencias como se muestra en la tabla siguiente:

Esencias Total

Jazmín Gardenia Rosa 900 ml

4% 8% 6% 5%

4) Si se desea usar dos veces más la esencia de gardenia que la de rosa. ¿Cuántos mililitros se necesitarán de cada esencia?

5) Un estudiante tiene 12 monedas en el bolsillo (de $5, $2 y $1) con las que puede comprarse una botana por $28 en la cafetería. Si una de las monedas de $5 lo fuera de $2, el número de monedas de $1 y el número de monedas de $2 coincidiría. ¿Cuántas monedas tiene de cada clase?

SíntesisI) Instrucciones: Para el siguiente problema, responde lo que se te solicita en

cada inciso.

En una frutería se pone a la venta tres clases de canastas frutales. La canasta 1 contie-ne 2 kg de pera, 5 kg de manzana y 1 kg de uva, la canasta 2 contiene 1 kg de pera, 3 de manzana y 2 de uva; la canasta 3 contiene 3 kg de pera, 2 kg de manzana y 4 kg de uva. Si el precio de las canastas son $263, $221 y $360 respectivamente, encuentra el precio del kg de pera, manzana y uva.

a) Escribe el sistema de ecuaciones lineales que modele el problema.

b) Escribe la matriz asociada al sistema de ecuaciones anterior.

c) Calcula el determinante de la matriz asociada

d) 7��

e) Emplea el método de Gauss, si el sistema es consistente, para resolver la situación.

f) Interpreta tus resultados.

B1


II) Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas empleando el método de Gauss.

a) Un comerciante paga mensualmente en su negocio $2, 275 por concepto de luz, agua y teléfono. El pago del agua y la luz es de $1550; si el pago del teléfono se duplicara excedería en $250 el pago de la luz. ¿Cuál es el pago mensual que hace el comerciante por cada servicio?

b) Una empresa tiene tres fábricas F1, F2, F3, en las que se produce dia-��'��7�6�&��continuación:

Unidades producto A

Unidades producto B

Unidades producto C

%��producción

en pesos

F1 200 40 30 2700F2 20 100 200 8100F3 80 50 40 2600

%�� '��/��que ofrece cada producto.

c) ��X7�6�&��-che, huevos y azúcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:

A��7X��Y��"��]^^��W��Y"��

Postre B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.

Postre C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.

Halla el precio al que se compra el litro de leche, el gramo de azúcar y el precio de ��"�� 7�6�&@��-mente los tres ingredientes) es de $18, $26 y $24 respectivamente.

d) Una bodega de Quesos quiere ofertar tres clases de bandejas de sus pro-��X7�6�&�H��7��Y^��"��]�^�de panela y 80 g de chihuahua; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C contiene 150 g de ��"��\^��\^��"�"��"��7�� 7'��\^^��la bandeja B fue de 27 600 y de la bandeja C fue de 21 900. Determina el número de bandejas de cada tipo que se vendió.

e) H��'��H��&��$��"� ��paso el avance y buen desempeño que tienen esos alumnos después de presentar todas sus actividades de los primeros 15 días del curso escolar. Orgullosa del gran potencial que presentan sus 5 alumnos de la especiali-dad de matemáticas, aprovechando que están en el tema de sistemas de ecuaciones decide ponerles dos retos, que gustosos han aceptado.


38

El primero es descifrar un acertijo, pero para hacerlo más emocionante de-cide dividir el acertijo en 5 partes y es por ello que los llama por separado y les dice:

Luis, dime el valor de 5 números de tal forma que el primero al aumentarle el cuádruple del segundo, disminuirle el triple del tercero, aumentarle el doble del cuarto y disminuirle el triplo del quinto en total obtengo 2.

Carlos, dime el valor de 4 de los 5 números que le mencioné a Luis, de tal forma que el doble del primero, menos el quíntuple del tercero, menos el triple del cuarto y aumentado el doble del quinto en total me da – 2.

Jorge, dime el valor de 4 de los 5 números que le mencioné a Luis, de tal forma que el triple del primero, aumentado en el doble del segundo, aumentado en el séptuplo del tercero, más el cuarto número tienes en total 6.

Manuel, dime el valor de 4 de los 5 números que me mencioné a Luis, de tal modo que el primero, menos el triple del segundo, menos el doble del cuarto más el triple del quinto, tienes en total 1.

Erick, dime el valor de 4 de los 5 números que le mencioné a Luis, de tal modo que el doble del primero, menos el quíntuplo del segundo, más el triple del tercero, menos el quinto, en total obtengo 7.

El segundo es ampliar el método de Gauss y por ello les pide que al momen-to de resolver su problema y sacar la matriz aumentada para resolver un sistema de ecuación, la transformen de tal modo que lleguen a la matriz unitaria, ¿Sabes cuál es?

Manos a la obra.

B1


Rúbrica de las competencias genéricas del Bloque I

Competencia genérica Atributos Indicadores de desempeño

&��logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera ��#��

cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance

de un objetivo.

Comprende las instrucciones que se

le indican.J��

entre los pasos para resolver un

problema.Sigue una secuencia

lógica.

Comprende la relación entre el

procedimiento y el objetivo.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos

diversos.

\��7��constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que

cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Muestra disposición para el trabajo colaborativo.

J��su rol dentro del

equipo de trabajo.7��

integrantes del equipo quién posee el conocimiento y

habilidad para llevar a cabo una tarea

��

Observaciones


40

Rúbrica de las competencias disciplinares correspondientes al Bloque I

Bloque I '��(��

Competencias disciplinares Desempeños Indicadores

&��(�

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

3. Explica e interpreta los resultados

obtenidos mediante procedimientos matemáticos y

los contrasta con modelos establecidos.

7��naturaleza de la solución de un sistema de ecuaciones,

empleando el determinante

asociado al mismo.

J��asociada a un sistema de ecuaciones

lineales.J��

corresponde a una matriz.Calculo el valor del determinante

correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Comprendo el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

7��sistema de ecuaciones lineales a partir

del valor del determinante.1. Construye e

interpreta modelos matemáticos

mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para la comprensión y

análisis de situaciones reales, hipotéticas o

formales.

8. Interpreta tablas, ��

diagramas y textos con símbolos

matemáticos y ��

Resuelve situaciones del

contexto mediante la resolución

de sistemas de ecuaciones lineales,

por medio del método de Gauss,

interpretando y contrastando la

solución obtenida con la realidad.

Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.Describo el método de Gauss para

resolver sistemas de ecuaciones lineales.Resuelvo sistemas de ecuaciones lineales

empleando el método de Gauss.J��

situación real y su relación lineal.Modelo situaciones del contexto a

partir de variables relacionadas a ésta, estableciendo un sistema de ecuaciones

lineales.

Resuelvo los modelos establecidos y contrasto las soluciones obtenidas con

la realidad.

Observaciones:

B1


Notas

Bloque II: Resuelves sistemas de ecuaciones de segundo grado

Desempeños del estudiante:K Resuelve situaciones teóricas y del contexto a través del método que co-

rresponda al sistema planteado.

K 7��/��

Objetos de aprendizaje:K Naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas

K Lugar geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática

K Ecuaciones con radicales

K Sistemas de ecuaciones cuadráticas

K Situaciones que implican un sistema de ecuaciones cuadráticas.

42

7��/�� 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mé-

todos establecidos.

Atributo



Atributo

K 7�� "�-bilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinares extendidas � 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

� 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

� 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos mate-máticos y los contrasta con modelos establecidos.

43


44

Dinamización y motivaciónYa has abundado en la resolución de ecuaciones de primer grado mediante diferen-tes métodos. Es más comprenderás la relación entre dichos métodos o mecanismos que has estudiado, con los métodos de resolución de ecuaciones lineales vistos en el primer semestre de bachillerato.

En esta ocasión comprenderemos un estudio de las ecuaciones cuadráticas así como sus propiedades inherentes a ella y más aún los algoritmos para resolver los sistemas de ecuaciones formados por ecuaciones de este tipo. Como parte de la comprensión del manejo de los elementos algebraicos que realizarás en este bloque también será necesario tener una visualización geométrica de los que estarás obte-niendo.

Las ecuaciones cuadráticas tienen un sinnúmero de utilidades en las cien-cias, ya que muchos modelos matemáticos tienen la característica de tener una forma cuadrática. Ejemplos de tales ecuaciones cuadráticas es la ecuación de tiro parabólico en física y de manera semejante las ecuaciones parabólicas vistas en Matemáticas 4.

Evaluación diagnósticaInstrucciones: De manera individual y en tu libreta.

I) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas con el método que conside-res pertinente.

a) m m

b) y y

c) x x

d) w w

II) Resuelve el siguiente problema: Mauricio compró un terreno rectangular cuya área es de m . Si ocupará en una esquina un área cuadrangular para construir su casa, de tal manera que queden 3 m del ancho y 5 m del largo del terreno, ¿cuánto debe medir el área de la casa?

Un modelo matemático es una

representación en lenguaje matemático, es decir, mediante ex-presiones algebraicas, de una situación real. �)��situación o problema a símbolos matemáticos. Consulta el bloque 1 de la obra cálculo diferencial.

B2

45Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado

%��7XH��ContextualizaciónJ��X��conclusiones al grupo:

“Mamá gallina perdió a sus pollitos, la raíz cuadrada del doble de ellos los encontró en el corral de la vaca, la cuarta parte de la parvada estaban cerca de la casa del perro y a dos pollitos los localizó en el nido durmiendo tranquilamente. ¿Cuántos pollitos tiene mama gallina?”.

a) ¿Con los datos que se te presenta puedes determinar cuál es la incógnita?

b) ¿Cómo plantearías algebraicamente el problema?

c) ¿Conoces algún método para resolver la ecuación?

d) ¿Todos llegaron a la misma solución?

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competencias

��" Una ecuación cuadrática tiene la forma en donde a, b y c son valores constantes ya ≠ 0. Esta forma se llama forma ge-neral ��H��"�� x que representan las raíces.

Las formas de resoluciones básicas, que seguramente has visto en cursos anteriores, son:

Métodos de resoluciónde ecuación cuadrática

Fórmula general GráficoFactorización

No vamos a detallar en estos tres métodos pero sí vamos a considerar un ejemplo sobre su uso al momento de querer resolver una ecuación de tipo cuadrático.

Repasa con detalle estos tres

métodos que has manejado desde los primeros cursos de matemáticas.


46

Ejemplo 1. Resolver la ecuación cuadrática x x por el método:

e) De factorización

f) De fórmula general

g) ��

Solución. En primer lugar es más sencillo tratar a estas ecuaciones si las pasamos a la forma canónica, de manera que tenderemos:

x x xx x xx x

a) En este caso la factorización de la ecuación quedará:

x xx x

Igualando a cero los factores con la incógnita y despejando se tiene en cada caso:

xx

y x

x

Por lo tanto las raíces de la ecuación son -2 y -1/2

b) Es digno de recalcar la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, la cual es

Donde obviamente los valores a, b y c son los que surgen a partir de la for-

ma canónica . Teniendo esto como base observamos que en nuestro caso a=4, b=10 y c=4, con lo que al aplicar la fórmula obtendremos

x

7�� la segunda solución el signo negativo:

x y x

Por lo tanto al igual que en el inciso a, las soluciones son: -2 y -1/2.

B2


c) Para este caso conviene recordar que

Una ecuación cuadrática: ��

��misma posee dos intersecciones con el

eje X.

��/��corta al eje X en un punto.

f (X)

No tiene soluciones en los números ��

corta al eje de las abscisas.

f (X)

X


48

Crearemos una tabla de valores positivos y negativos con la relación que nos da la ecuación, a saber,

�� '��

x y

-2.5 4

-2 0

-1.5 -2

-1 -2

-0.5 0

0 4

0.5 10

�� X

–3.5 –2.5 –1.5 –0.5–3 –2 –1 3.52.51.50.5 32

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

–1

–2

–3

y

y=4x2+10x+4

x

Figura 2.1. Trazo de la función y sus dos raíces.

Observamos que las soluciones a esta ecuación coinciden con las previa-mente obtenidas con los dos métodos señalados.

Representa junto con tus compañe-ros diferentes casos de (*��que cumplan algunos de los puntos dados anteriormente.

B2


Ejemplo 2. Discutir las raíces de la ecuación xx

xx

Solución. La convertimos en primer lugar al modo canónico:

xx

xx

x x x x x xx x

x x x x x xx x

x x

7��'��a=1, b=-3 y c= 4:

x

Resalta el hecho en este ejemplo que la relación anterior no tiene solución en

los números reales ya que no nos es posible calcular en este campo el valor �7 , las formas de resolver estas situaciones las detallaremos en un bloque posterior relativo al campo de los números complejos�!��"��W��A��parábola que no toca al eje X. Compruébalo.

Existe una amplia aplicación de las ecuaciones cuadráticas, tal y como se ��A�� ejemplo relativo a la ecuación cuadrática.

7�� ]J��X&��$��J

sobre las ecuaciones cuadráticas, en equipos conformados por el profesor, resuelvan las siguientes problemáticas y presenten sus soluciones ante el grupo.

I) Determina el valor de la incógnita para cada uno de los siguientes incisos. ��/�� /��-do que consideres pertinente (factorización o fórmula general).

a) x x x

b) y y

c) g g

d) r r

e) x x


50

II) Resuelve las siguientes problemáticas, realiza bosquejos que describan las situaciones para auxiliarte:

a) Mariela, Erik, Laura y Maricruz van a adornar el periódico mural del mes de Octubre y para ello van a construir un rectángulo cuya diagonal mide

. Si saben que el largo excede en 50 cm al ancho, ¿Cuáles son las dimensiones del periódico mural?

b) Ivette, Yajaira y Pablo van a construir un árbol navideño con forma de triángulo, de tal manera que su área verde abarque m ��7H��del triángulo es 35 cm menor que su altura, ¿cuántos metros de cola de gato deben comprar si desean adornar el perímetro de dicho triángulo?

c) H��&T67��%�� en forma hexagonal, de tal manera que cada triángulo contenga un tipo ��#��?��-forma el polígono sea 13.4 cm menor que la base y que el área total del jardín sea de . m , si desean dibujar un círculo para inscribir en él dicho hexágono, ¿cuál es el valor del radio?

d) 7��"��'��-tijo del otro, tendrá que pagar el desayuno de su compañero. De esta ��7��X ��W��consecutivos es 380, ¿cuáles son esos números?”. Y el de Gabriel dice “el producto de dos números naturales pares y consecutivos es 186, ¿cuáles son esos números?”. Con un compañero, adopten los roles de cada uno y veamos quien desayuna gratis.

Ejemplo 3. Un cateto de un triángulo rectángulo es 15 unidades mayor que el otro y se sabe también que la hipotenusa mide 30 unidades. Determina la longitud de los catetos.

Solución. Denotemos al cateto menor con la variable x, de manera que el mayor será x+15. De esta forma por el teorema de Pitágoras se comprende la rela-ción siguiente:

x xx x xx x

Resolviéndola por la fórmula nos da las soluciones

x y x

Pero el valor -27.34 no es válido ya que estamos tratando de distancias positivas, así que la solución de la ecuación es 12.43 con lo que los catetos serán: el menor 12.43 y el mayor (12.43+15)=27.34 unidades.

B2


7�� Instrucciones: En equipos conformados por el profesor, investiguen en

diferentes fuentes de información cinco situaciones o problemáticas reales que se planteen usando ecuaciones cuadráticas así como la obtención de su solución por el método apropiado. Compartan su trabajo con sus compañeros y docente.

Propiedades de la ecuación cuadráticaHasta ahora se han indicado los métodos de solución de una ecuación cuadrática, mas sin embargo las soluciones o raíces tienen la forma

Éstas cumplen ciertas propiedades que se enlistan a continuación, a modo de teoremas:

Teorema 2.1. Sea la ecuación cuadrática , en donde a, b y c son valores constantes reales y a ≠ 0, entonces el discriminante

Indica las características de las soluciones de manera que si:

K D>0 entonces habrán dos raíces reales y diferentes

K D=0 entonces habrán dos raíces reales e iguales

K D<0 entonces no hay solución en los reales (habrán dos raíces ima-ginarias o complejas)

Teorema 2.2. Para la ecuación cuadrática , donde a, b y c son valores constantes reales y a ≠ 0, entonces cumple que:

K La suma de sus raíces es –b/a

K El producto de sus raíces es c/a

Teorema 2.3. Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación cuadrática

entonces se cumple que


52

Veamos algunas aplicaciones de estos teoremas.

Ejemplo 4. Determina la naturaleza de las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones con el uso del discriminante D.

a) 3x2 - 2 x + 5=0

b) x2 – �=0

Solución.

a) Se tiene a=3, b=- 2 y c=5, por lo que DSe tienen dos raíces complejas.

b) Aquí a=1, b=0 y c=-��entonces D = − − = >( ) ( )( )0 4 1 4 0 . Existen dos raíces reales y distintas.

Ejemplo 5. Calcula el valor de k para que las raíces de la ecuación

,

a) sumen 6

b) sean recíprocas

Solución.

a) La suma de las raíces será

k

kk

kk

b) El que sean recíprocas una de la otra indica que al multiplicarlas den la unidad, es decir:

kkk k

k

Ejemplo 6. Si las raíces de una ecuación cuadrática son ¾ y -2 halla la ecuación debida.

Solución. Puesto que las raíces son ¾ y -2 tendremos que la ecuación de donde provienen es:

x x x x x x

Si deseamos quitar los denominadores multiplicamos todo por 4 obtenien-do la ecuación deseada 4x2 +5x - 6=0

B2


7�� Instrucciones: En equipos de trabajo conformados por el profesor, realiza

en tu libreta lo que se indica en cada apartado.

I) Indica las características de las soluciones de las siguientes ecuaciones con base en el valor de sus discriminantes.

a) a a

b) x

x

c) y y

d) k k

II) Determina el valor o los valores de k para que la ecuación tenga raíces iguales.

a)

b)

c)

III) Para las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) x x

b) m m

c) g g

d) y y

e) x x

f) a a

K Determina la suma y el producto de sus raíces con las fórmulas del Teo-rema 2.2.

K £�� método que consideres pertinente.

IV) Encuentra el valor de k de manera que se cumpla la condición dada.


54

a) raíces iguales

b) raíces iguales

c) la suma de las raíces sea 12

d) una de las raíces es el doble de la otra

e) el producto de las raíces es -3

f) una raíz es el recíproco de la otra

7�� YInstrucciones: En equipos de tres integrantes, determina en tu libreta lo que se te indica en cada apartado.

I) Determina la ecuación cuadrática que corresponda a las raíces proporciona-das en cada inciso.

a)

b)

c)

d)

e)

II) Encuentra lo que se te solicita en cada inciso.

a) Si una raíz de la ecuación tiene valor 1, calcula el valor de k y la otra raíz.

b) Si una raíz de la ecuación tiene valor - 4 calcula el valor de k y la otra raíz.

B2


c) Si una raíz de la ecuación tiene valor 3, calcula el valor de k y la otra raíz.

d) Si una raíz de la ecuación tiene valor - 2 calcula el valor de k y la otra raíz.

7�� ZInstrucciones: De manera individual, determina en tu libreta lo que se te solicita en cada apartado.

I) En cada uno de los incisos determina la naturaleza, suma y producto de las raíces, sin resolver la ecuación dada.

a) y y

b) x x

c) q q

d) x x

e) xx

xx

Ecuaciones de forma cuadrática&��

��" Una ecuación de la forma , donde a ≠ 0, se llama ecuación de forma cuadrática.

Cabe señalar que no necesariamente se trata de una ecuación cuadrática, pero tras unos cambios de variable se puede ordenar como si lo fuera. Por ejemplo la

ecuación x x es de forma cuadrática ya que si consideramos la función y=f(x)=x3, entonces se obtiene


56

Lo cual es sin duda una ecuación cuadrática. Del mismo modo la ecua-

ción x

xx

x puede convertirse si hacemos el cambio de variable con

, pues con este cambio obtenemos: yy

+ − =2 1 3 0

De la cual obtenemos la siguiente ecuación cuadrática 3y y− + =2 02

De manera que para resolver estos tipos de ecuaciones en forma cuadrática:

1. Se realiza el cambio de variable necesario

2. Se resuelve la ecuación cuadrática resultante tras el cambio de variable

3. Se obtienen las soluciones con el uso del cambio de variable utilizado

4. Se comprueba de que no existan raíces extrañas (que satisfagan la ecuación original)

7��

Ejemplo 7. Resolver las dos ecuaciones de forma cuadrática dadas ante-riormente.

Solución.

a) Se tiene x x y el cambio de variable fue � 3 , de manera que obtuvimos

y y

Procedemos a resolverlo mediante factorización

y y y y

Las raíces son entonces, y1 1� y y

7"�� x, mediante el uso del cambio de va-

riable � 3 . Para el valor de y1 1� se obtendrá:

��

Para el valor y :

B2


%� �� W��]� � son efectivamente

raíces de x x

b) Para este segundo caso tenemos xx

xx

que con el cambio de

variable se obtuvo la relación cuadrática

y y

Procedemos a resolver ésta también con factorización

y y y y

Cuyas raíces son: y1 1� y y2 2�

Finalmente resolvemos para x con el cambio de variable y cada una de las

soluciones de y. Para y1 1�

Por fórmula general se tienen las soluciones respectivas, � y �

Para el caso y2 2�

Que mediante la fórmula general se tienen las soluciones, � y �

7��@ ��'��|��

Aunque los radicales pueden ser de cualquier tipo, cuadráticos, cúbicos, etc. Solo nos basare-mos en los radicales cuadráticos.


58

xx

xx

son � , � , � y � .

7�� Instrucciones: en binas y en sus libretas, resuelvan las siguientes ecuaciones en forma cuadrática.

a) w w

b) x x

c) p p

d) h h

e) x x

f) t t

g) x x

h) m m

i) x

xx

x

j) g gg g

Ecuaciones con radicalesRelacionado a las ecuaciones cuadráticas tenemos un tipo de ecuaciones que po-��/��

��" Una ecuación que posea al menos un radical contenien-do la incógnita se conoce como ecuación radical.

Ejemplos de estos tipos de ecuaciones pueden ser las expresiones,

x

x x

x x

B2


Para resolver estas ecuaciones se precede como sigue:

1) Se aísla un radical para elevar a la potencia adecuada ambos miem-bros de la ecuación y así eliminar el radical asilado.

2) Se procede a reordenar la ecuación resultante para asilar, si es nece-sario, algún radical que permanezca aún y repetir el paso 1.

3) Resolver la ecuación resultante que esté libre de radicales.

4) £��*��

0��

Ejemplo 8. Hallar la solución de la ecuación radical x x x1 1

Solución. En primer lugar aislamos el radical que aparentemente es más complejo de manera que así podemos elevar al cuadrado ambos términos y así eli-minarlo.

x x x1 1

7��X

x x x

x x x x

Se usó el binomio al cuadrado en el segundo miembro. Ya que aún posee-mos radicales vamos a aislar el más complejo, pero antes hemos de realizar algunos ajustes algebraicos:

x x x x

x x

x x

x x x

Nuevamente procedemos a aislar el radical restante, elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuación resultante

x x x

x x

x xx xx x

x x

x � 0 y x �


60

£��X

K Para x=0

x x x− − − = −

− − − = −

− − =

− − =

1 1

0 1 0 1 0

1 1 0

1 1 0!

Se observa que esto conduce a una falsedad, razón por la que x=0 es una raíz extraña y la eliminamos.

K Para x=16/25

x x x

7�� x=16/25 es la única solución de la ecuación

x x x1 1 .

7�� ~Instrucciones: De manera individual y en tu libreta, resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

a) t t

b) x x

c) k

d) y

B2


e) s s

f) x x

g) x x

h) x x

i) x x x

j) x x

Síntesis7��las competencias de esta sesión.

1) Con cada ecuación cuadrática representada a continuación determínales sus soluciones por los tres métodos vistos en este bloque:

a. x x

b. x x

c. x x x

d. x x

e. xx

x x

f. x x

g. xx

x

h. x xx

2) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas literales:

a. 2 2 22

b. 2 22 2


62

c.

d.

e.

3) En cada inciso determina (sin resolver las ecuaciones) si la ecuación tiene dos, una o ninguna raíz real además de investigar el valor de la suma y producto de sus raíces (si las hay):

a. x x

b. x x

c. x x

d. x x

e. xx

4) En cada inciso determina el valor de k para que la ecuación tenga:

i. raíces iguales

ii. una suma de raíces igual a 1

iii. raíces recíprocas

a.

b.

c. 5) Resuelve las siguientes ecuaciones como ecuación de forma cuadrática:

a. x x

b. x x

c. x x

d. x

xx

x

e. x

xx

x6) Halla las soluciones de las ecuaciones con radicales siguientes:

a. x x

b. x x

B2


c. x x x

d. x x x

e. xx

f. x x

Rúbrica de las competencias genéricas de la %��7


&��logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

5. Desarrolla innovaciones y

propone soluciones a partir de métodos

establecidos.



de un objetivo.

Comprende las instrucciones que se le indican.

J��los pasos para resolver un

problema.

Sigue una secuencia lógica.

Comprende la relación entre el procedimiento y el objetivo.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos

diversos.




J��del equipo de trabajo.

7��del equipo quién posee el conocimiento y habilidad

para llevar a cabo una tarea ��

Observaciones


64

Rúbrica de las competencias disciplinares ��6��JJ�%��7

Bloque II Sesión A

Competencias disciplinares Desempeños

Indicadores

&��(�

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

1. Construye e interpreta modelos

matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para la

comprensión y análisis de situaciones reales,

hipotéticas o formales.

3. Explica e interpreta los resultados

obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos

establecidos.

7��de las soluciones de

ecuaciones cuadráticas, con métodos analíticos y

��

J��naturaleza de las soluciones

de una ecuación cuadrática con

base en su determinante.

Reconozco las variables

asociadas a una situación teórica o

contextual.

Comprendo los distintos métodos

para resolver ecuaciones

cuadráticas y ecuaciones con

radicales.

Resuelvo ecuaciones

cuadráticas y con radicales

mediante el empleo

de métodos adecuados.

Modelo situaciones del

contexto, a partir de las variables

asociadas a ésta.

Observaciones:

B2


Sesión B: Sistemas de ecuaciones cuadráticos

ContextualizaciónUna ecuación lineal de dos incógnitas se puede ver de la forma , con a, b y c ��a o b son diferentes de cero. De manera que ampliando esta ecuación podemos dar la forma de una ecuación cuadrática de dos incógnitas, la cual es:

En donde a, b, c, d, e y f��a, b o c no sea cero. De manera general esta última ecuación ge-nera las ecuaciones de las secciones cónicas vistas en Matemáticas III. Por ello responde las siguientes preguntas con base numérica o algebraica:

1) ��/��'��

2) ��/�� una horizontal?

3) ��/�� horizontal?

4) ��/��"��/��y una horizontal?


66

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasA�� /�� 7�&@��de los términos cuadráticos), los cuales nos indican qué tipo de sección cónica re-presenta la ecuación.

La forma general de una ecuación de segundo grado se representa de la siguiente manera:

Estudiaremos las ecuaciones cuadráticas con B = 0.

Se tienen las siguientes reglas generales para determinar la cónica a partir de los ��7�&�

K %�7�&��

K %�7�&��'��

K %�7�&��/��-senta a una parábola.

K %�7�&��"��/��

��X

Ecuación Lugar geométrico

Circunferencia

Elipse

Prarábola

Hipérbola

Puedes reali-zar una consulta ��(*��preguntas puesto que serán de importancia en el transcurso de esta sesión.

B2


7�� ]J��X!�� /�� términos cuadráticos y escribe la respuesta en el espacio correspondiente.


!��-ta un sistema cuadrático de dos variables.

��" Un sistema de la forma

!�� cuadrático de dos incógnitas.

Los métodos o algoritmos algebraicos para solucionarlos son variados y dependen del tipo de ecuaciones que interactúen, por ejemplo puede tenerse un sis-tema lineal-cuadrático, es decir una de las ecuaciones es lineal y la otra es cuadrática, puede tenerse un sistema cuadrático-cuadrático sin términos xy o puede haber un sistema cuadrático-cuadrático con al menos un término xy. Cada uno de estos casos ��"��/��es lo que estaremos analizando a continuación.


68

Sistema lineal–cuadráticaEstos sistemas tienen la forma:

Entonces si tenemos un sistema lineal–cuadrático hemos de seguir este procedimiento:

1) Despejar una de las variables en la ecuación lineal

2) Sustituir el despeje anterior en la ecuación de segundo grado y re-solverla

3) Obtener las parejas coordenadas que representan las soluciones del sistema

&��"��"��

Ejemplo 9. Resolver el sistema lineal–cuadrático siguiente e interpretar los ��'��X

Solución. Despejemos la variable y de la primera ecuación obteniendo�

7"�� y en la segunda ecuación, de manera que llegaremos a:

x xx xx x xx

Resolviendo esta ecuación para x

xx

Se obtienen así dos valores para x,

x=1 y x=�1

Nos resta determinar los valores de las ordenadas de las coordenadas de solución, esto proviene al sustituir las soluciones de x en el despeje y=x, con lo que obviamente tendremos:

Para x=1 entonces y=1. La coordenada solución (x, y) es (1, 1).

B2


Para x=-1 entonces y=-1. La coordenada solución es (�1, �1).

£��ambas representan las dos soluciones para tal.

O��

x

y

0.2 0.4 0.6

–0.5

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8–0.2–0.4–0.6–0.8–1–1.2–1.4–1.6–1.8

0.5

1

1.5

–1

–1.5

(–1,–1)

(1,1)

2x2-xy+2y2=3

x-y=0

Figura 2.2. Representación del sistema lineal-cuadrático y sus soluciones.

La primera ecuación del sistema se trata de una recta y la segunda de una elipse con una rotación de sus ejes. Este trazo indica que los puntos solución del ��ecuaciones del sistema se intersecan. En este caso en los puntos (1, 1) y (�1, �1).

Nota:

��señala que son las soluciones del sistema. Si solo presenta un punto de tangencia ��caso de que las dos ecuaciones no se intersecten o corten, entonces analíticamente el sistema no tiene solución..


70

7�� Instrucciones: En binas y en tu cuaderno, realiza lo que se te solicita en cada apartado.

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales-cuadráticas y realiza un bosquejo de ambas donde visualices las soluciones:

a)

b)

c)

d)

II) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales-cuadráticas:

a)

b)

c)

d)

B2


Sistema cuadrática–cuadrática sin términos lineales ni término xySe tratan de sistemas con la forma siguiente:

Consideramos el método de resolución de estos sistemas que básicamente se le puede tratar como un sistema de ecuaciones lineales, solo que con las variables x2 y y2.

1) Eliminar una de las variables cuadráticas

2) Resolver la ecuación resultante

3) Obtener las parejas coordenadas que representan las soluciones del sistema

��

Ejemplo 10. Resolver el sistema cuadrático–cuadrático siguiente e inter-��X

Solución. Eliminaremos a la variable cuadrática y al multiplicar por 16 la primera de las ecuaciones y la sumamos a la segunda.

Con estas soluciones de las abscisas obtendremos las ordenadas al susti-tuirlas en cualquiera de las ecuaciones originales, digamos en la primera:

K Para x=3,

De forma que las parejas ordenadas surgidas hasta ahora son (3, 2) y (3, −2)

Para x=-3, es semejante obteniendo las parejas (−3, 2) y (−3,−2). De mane-ra tras comprobar estas parejas se concluye que las cuatro satisfacen el sistema de ecuaciones así que las soluciones son: (−3, 2), (−3,−2), (3, 2) y (3,−2).


72

�� "��/��para la segunda una elipse, como se muestra a continuación.

x

y

–1

–2

–3

–4

–5

–2 –1 1 2 3 4 5–3–5 –4

1

2

3

4

5

(3,2)(–3,2)

(3,–2)(–3,–2)

9x2+16y2=145

x2-y2=5

Figura 2.3. Representación del sistema cuadrático–cuadrático y sus cuatro soluciones.

7��

Instrucciones: En binas y en tu cuaderno, realiza lo que se te solicita.

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas-cuadráticas y grafícalos con auxilio de un software para que visualices las soluciones de cada inciso.

a)

b)

c)

d) ..

e)

B2


Sistema cuadrática – cuadrática sin términos lineales pero con término xySe caracteriza por presentar un modelo como este:

El método de resolución de estos sistemas se basa en la eliminación del �/��7��

1) En caso de haber una ecuación sin término independiente factori-zarla para obtener dos ecuaciones lineales. Por el contario si ambas ecuaciones poseen términos independientes, se han de eliminar és-tos por medio de suma y resta, la ecuación resultante he de ser fac-torizada para obtener dos ecuaciones lineales.

2) Sustituir cada una de las ecuaciones lineales obtenidas en cualquiera ��-nadas de la solución del sistema (como en los sistemas lineal-cua-dráticos)

Se te presenta un ejemplo relacionado a estos sistemas.

Ejemplo 11.?��-tico – cuadrático:

Solución. Eliminaremos los términos independientes al multiplicar por −2 a la primera ecuación de manera que factorizamos la ecuación resultante de la suma y resta.

Las ecuaciones lineales obtenidas serán: −x=0 y x+y=0. Empleamos el mé-todo lineal–cuadrático para cada una de estas ecuaciones lineales con una de las cuadráticas originales, digamos con la primera, que es la más sencilla.

Para la ecuación lineal −x=0, o sea x=0, la sustituimos en x2 + y2 = 8 para obtener:


74

Entonces las posibles soluciones serán y �

Para la ecuación lineal x + y =0, de donde x=−y, la sustituimos en x2 + y2 = 8 para obtener:

Con lo que para y=2, se tiene x=−(2)=−2. Para y=−2, se tiene x=−(−2)=2. Entonces las posibles soluciones serán � y �

£��'��-��'�� -

das, es decir , � , � y � .

La primera ecuación del sistema representa una circunferencia con centro

en el origen de radio 8 y la segunda ecuación es una elipse rotada. Esto se muestra ��

x

y

0.5–0.5–1–1.5–2–2.5–3–3.5–4–4.5 1 2.5 3.5 4 4.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–0.5

–1

–1.5

–2

–3

–2.5

–3.5

3.5

1.5 32

(2,–2)

(–2,2)

x2-xy+2y2=16

x2+y2=8

(0,2√2)

(0,–2√2)

Figura 2.4. Representación del sistema cuadrático–cuadrático y sus cuatro soluciones.

Consideremos un ejemlo aplicativo de los sistemas de ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 12. Encuentra el valor de dos números positivos de manera que al aumentarle a su producto su suma de 34 y al restarle su suma de la suma de sus cuadrados de 42.

B2


Solución. Se considera a los números por x y y. De manera que la primera relación genera la ecuación , la segunda parte se entiende matemá-ticamente por . De forma que el sistema será

Tras resolverlo (realízalo) se llega a que la única solución real es (6, 4).

7�� YInstrucciones: En pequeños grupos conformados por tu profesor, realiza lo que se te solicita.

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas sin términos lineales, pero con términos.

a)

b)

c)

d)

e)

Otros sistemas de ecuacionesTerminamos esta sección y el bloque con algunos de los sistemas que no son pro-piamente cuadráticos pero que pueden resolverse al utilizar una ecuación cuadrática. 7��/��con ellas para obtener una ecuación cuadrática auxiliar, por ejemplo el sistema

Es cuadrático–cúbico, pero podemos obtener una expresión auxiliar tras un manejo algebraico. Esto se deriva de que al dividir los miembros de la ecuación cúbica entre los miembros respectivos de la cuadrática se obtiene la ecuación

4


76

La cual junto con la ecuación cuadrática se puede resolver ya que se obten-drá un sistema lineal–cuadrático

De manera que se puede resolver como ya se ha visto antes. Cabe señalar también que tras el manejo algebraico de estas ecuaciones pueden surgir raíces extrañas razón por lo que está de más recalcar que se revise que las respuestas real-mente satisfagan las ecuaciones originales.

Una ecuación que tras intercambiar las variables x y y no se altera se co-noce como simétrica. Sobre esta misma línea un sistema de ecuaciones compuesta por ecuaciones simétricas se puede resolver mediante un cambio de variable, este es:

�� u y v. Después se regresa a las variables x y y. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 13. Resolver por cambio de variable la ecuación simétrica

Solución. Con los cambios de variable tendremos

Lo resolveremos por suma y resta al eliminar v2 multiplicando por −3 a la primera ecuación.

Para u � se tiene v . También para u se obtiene v . De manera que se llega a las siguientes parejas vistas en una tabla para mayor comprensión.

u 3/2 3/2 −3/2 −3/2

v 1/2 −1/2 1/2 −1/2

2 1 −1 −2

1 2 −2 −1

B2


Con esto se establece, tras su comprobación, que las soluciones de este sistema simétrico son los pares coordenados: (2, 1), (1, 2), (−1, −2) y (−2, −1).

SíntesisFinalmente te proporciono a�� -rrollo de las competencias correspondientes.

1) Resuelve algebraicamente cada uno de los siguientes sistemas de ecua-ciones con el método apropiado y obtén su trazo cuando tu docente lo indique.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

2) Plantea y resuelve las siguientes situaciones con ecuaciones cuadráticas.

a. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números.

b. 7��*��6��7��-tado en el cuadrado de la edad de B es igual a 317 años. Hallar las dos edades.

c. Determina el valor de dos números consecutivos de manera que el cuadrado del mayor es 57 unidades mayor que el triple del menor.

d. H��7�6��]^��*��Obtén las edades.

e. La resta de dos números es 7 y al multiplicar el número menor por la suma de ambos da 184. ¿Qué números son?


78

f. Determina el valor de 3 números consecutivos sabiendo que el co-ciente entre el mayor y el menor es igual a 3/10 del valor interme-dio.

g. Se compran dos cuerdas que suman 20m. El metro de cada pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Se sabe también que una de las piezas costó 9 veces lo que la otra. Halla la longitud de cada una de las piezas de cuerda.

h. El perímetro de un triángulo isósceles es 36 y la altura es 12. Hallar las longitudes de los lados.

Evaluación de la competencia

Rúbrica del bloque��W�� objetivos a considerar durante el mismo.


&��logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e5. Desarrolla innovaciones

y propone soluciones a partir de métodos

establecidos.



de uno bjetivo.

Comprende las instrucciones que

se le indican.

J��entre los pasos para resolver un

problema.


Comprende la relación entre el

procedimiento y el objetivo.

B2



&��logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

8. Participa y colabora de manera efectiva en

equipos diversos.




J��su rol dentro del

equipo de trabajo.

7��integrantes del

equipo quién posee el conocimiento y habilidad para llevar a cabo una ��

Observaciones


80

Rúbrica de las competencias disciplinares correspondientes al Bloque II, Sesión B

BLOQUE II Sesión B


&��logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

2. Formula y resuelve problemas

matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Resuelve situaciones teóricas y del

contexto a través del método que corresponda al

sistema planteado.

J��/��que corresponde a una

ecuación cuadrática, apartir �� términos cuadráticos.

6��corresponde a una ecuación

cuadrática, a partir de sus ��

Conozco el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Determino el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas

��correspondientes.

J��/��solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones

que conforman el sistema en cuestión.

Resuelvo sistemas de ecuaciones cuadráticas

mediante el empleo de los métodos adecuados.

Observaciones:

B2


7�� 6��JJPara resolver los siguientes ejercicios puedes apoyarte de los recursos vistos para cada planteamiento y obtención de la solución. No olvides de escribir todos los pro-��'�¦��

1. Determina la naturaleza de las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) t t

b) w w

c) rr

d) x x2. Resuelve analíticamente cada una de las ecuaciones cuadráticas literales.

a)

b) ��

�

c)

d)

e)

3. En cada inciso determina el valor de k para que la ecuación tenga.

i. raíces iguales

ii. una suma de raíces igual a 1

iii. raíces recíprocas

a.

b.

c. 4. Halla las soluciones de las ecuaciones con radicales siguientes.

a) x x

x


82

b) x x x

c) x x x

5. Resuelve algebraicamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones con el método apropiado y obtén su trazo cuando tu docente lo indique.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

6. Resuelve los problemas con ecuaciones cuadráticas.

a) Un auto recorre 200km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa misma distancia en una hora menos, la velocidad debió haber sido 10km/h más del que tuvo. Determina la velocidad de ese auto.

b) H��7"��*��-��*��&��7�

c) El cociente de dividir 84 entre cierto valor excede en 5 a ese mismo valor. Determina ese valor.

d) Hallar las dimensiones de una sala rectangular si se sabe que la longitud de esta excede en 4m a su ancho y que al aumentar en 4m cada lado el área se duplica.

B2


7. J��/��-��/��la respuesta en el espacio correspondiente.


Rúbrica de las competencias genéricas del Bloque II


&��logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a partir de métodos establecidos.



de un objetivo.

Comprende las instrucciones que se le indican.

J��pasos para resolver un problema.


Comprende la relación entre el procedimiento y el objetivo.

8. Participa y colabora de manera efectiva en

equipos diversos.

\��7��constructiva, congruente con los conocimientos y habilidadescon los que

cuenta dentro dedistintos equipos de trabajo.


J��del equipo de trabajo.

7��del equipo quien posee el

conocimiento y habilidad para ��

Observaciones


84

Rúbrica de las competencias disciplinares del Bloque II

Bloque II '��(��(��


&��(�

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos.

7��naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas,con métodos analíticos ��

J��de las soluciones de una ecuación cuadrática con base en su determinante.

Reconozco las variables asociadas a una situación teórica o contextual.

Comprendo los distintos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y ecuaciones con radicales.

Resuelvo ecuaciones cuadráticas y con radicales mediante el empleo de métodos adecuados.

Modelo situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a ésta.

B2


Bloque II '��(��(��


&��(�

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Resuelve situaciones teóricas y del contexto através del método que corresponda al sistema planteado.

J��geométrico que corresponde a una ecuación cuadrática, ��de los términos cuadráticos.

6��que corresponde a una ecuación cuadrática, a ��cuadráticos.

Conozco el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

Determino el número posible de soluciones de un sistema de ecuaciones cuadráticas a partir de las ��

J��/��solución más adecuado, de acuerdo a las ecuaciones que conforman el sistema en cuestión.

Resuelvo sistemas de ecuaciones cuadráticas mediante el empleo de los métodos adecuados.

Observaciones:

Bloque III: Determinas fracciones parciales

Desempeños del estudianteK Transforma una fracción impropia en propia, en situaciones que lo re-

quieren.

K Emplea el Teorema de Descomposición de Fracciones Parciales, para ob-tener las fracciones simples que correspondan.

Objetos de aprendizajeK Fracciones propias e impropias

K Descomposición de una fracción en sus fracciones parciales simples.

K El Teorema de Descomposición de Fracciones Parciales

86

Atributos de las competencias genéricas

� 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mé-todos establecidos.

Atributo



Atributo

K Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y ha-bilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

&�� Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedi-

mientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la compren-sión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

� Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

87


88

Dinamización y motivación7��-ten algunos temas que debes dominar para comenzar a adquirir los nuevos aprendi-zajes. Te pedimos que resuelvas los siguientes ejercicios.

1) O��

a. �

b. �3}��2¨]��}\

c. 2y2¨��}]\

d. 10m3n3-15m3n5+5m2n5-25

e. x x x� �

f. z z� �

2) ©��

a. @��}\|@��}\|

b. -8(4y-15)(4y+

c. @Z�}]|3

d. (7mn2-3)2

e. x x

f. x x x

3) ©��

a. x x

b. x x x

c. xx

x

d. x

x x��

�4) !� ��

a. x x

x�

b. x

x x�

�

c. x x x

x x

d. x x x

x

B3

89Bloque III: Determinas fracciones parciales

Sesión A: Fracciones parcialesProblematizaciónDurante todos los semestres en los que has cursado matemáticas, te habrás dado cuenta de la importante aplicación de esta ciencia en nuestra vida cotidiana debido a que modela situaciones reales en términos generalmente algebraicos. Dentro de ��W��'��W��'��-��/��

Por ejemplo, en física aprendiste que para hallar la velocidad media de un objeto en movimiento, usarás el siguiente modelo:

2

Y recién aprendiste en cálculo que, si , entonces la derivada se calcula de la siguiente manera:

T�� has trabajado con ellas y con sus aplicaciones en diferentes cursos. Asimismo, recor-��"��-��+�� Puedes revisar las guías didácticas del primer año o investigar en otras fuentes para recordar mejor estos procedimientos que te serán necesarios para adquirir los nue- ��'��

A��

xx

��

Y por diversos motivos, como por la facilidad para realizar operaciones, se ��"��'��más simples, entonces tendremos que


90

xx x x

¿Podrías comprobar este resultado? ¡Claro!

Al sumar las dos fracciones de la derecha con el procedimiento que ya conoces, obtendrás

x xx xx x

xx

Y con lo anterior, se ha demostrado nuestro resultado. Pero la pregunta más importante es, ¿cómo obtuvimos esa suma de fracciones? Durante este bloque, ��'��-ciales que te permitirá resolver diversos problemas. ¿Estás listo? ¡Adelante!

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de competencias��'��e impropiasRec��es u��'��

en donde tanto como son polinomios y además no es ��+��'��'��diremos que una fracción es propia si el grado del numerador es menor que el gra-do del denominador, de otro modo diremos que se trata de una fracción impropia; así, por ejemplo

xx x x

xx x x x

x x xx

son fracciones propias, mientras que

x xx

xx

xx x x x x

x x xx x

son fracciones impropias.

Fracciones parciales!��-nales. Por ejemplo

x xx

x x

B3


En ocasiones tendremos la necesidad de realizar el proceso inverso, esto ��'��H��necesidad la verás surgir en tu curso de cálculo integral con la intención de poder efectuar la operación de integración de ciertas funciones racionales, es por eso que ��en una suma de sus fracciones parciales.

!��/��'��

como una suma de sus fracciones parciales, en donde además los denomi-nadores de estas fracciones parciales se obtienen al factorizar en un producto de factores lineales y cuadráticos, esto siempre es posible debido a un resultado muy importante de álgebra el cual nos garantiza que todo polinomio puede ser fac-torizado como el producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles. Debido a este resultado el estudio del método de las fracciones parciales se divide en cuatro casos, los cuales corresponden a la forma en que se factoriza Q(x), y en cada caso se indicará el método correspondiente; antes de ver estos cuatro casos es importante volver a mencionar que cada uno de los métodos usados en estos casos trabajan con fracciones propias, de modo que si estamos tratando con una fracción impro-�� (cociente de la división) y una fracción propia (residuo de la división) y a este residuo será al que se le aplique el método correspondiente de representación en fracciones parciales. Por ejemplo, consideremos la siguiente fracción impropia:

x xx

la cual, al realizar la división indicada, queda de la siguiente manera:

x xx

xxx

y ha quedado como la suma de un polinomio y una fracción propia. Ahora conside-remos los cuatro casos de representación de fracciones parciales.

Caso I: Factores lineales distintosEl primer caso se debe a las fracciones propias, cuyo denominador se puede facto-rizar como el producto de factores lineales distintos, esto es, factores de la forma

� , donde a y b son constantes. Así, suponga que es una fracción

propia en donde el denominador se factoriza en n factores lineales distintos,

digamos , en este caso a cada factor � le corres-

ponde una fracción propia de la siguiente forma:

�


92

en donde « es una constante que debemos determinar y, además, puede

representarse como la suma de estas fracciones propias.

Es decir, se representa como la suma

��W��"��

representación de en fracciones parciales es determinar los valores de las

constantes � y . Para encontrar los valores de estas constantes notemos

que al despejar de la ecuación 1 obtenemos la siguiente ecuación:

y que al efectuar las operaciones en el miembro derecho de (2) obtenemos un poli-��x en ambos miembros de dicha ecuación podemos conseguir un sistema de ecuaciones lineales

en términos de las n constantes ; así, al resolver tal sistema obtendremos

los valores de y por tanto obtendremos la representación en fracciones

parciales de .

Ejemplo 1. Represente la siguiente fracción:

x xx x x

� �

� �

como una suma de fracciones parciales.

Solución. Podemos ver que se trata de una fracción propia cuyo denomi-

nador x x x� � se factoriza como x x x , los cuales son factores linea-��W��/��X

y al multiplicar la ecuación anterior por el denominador x x x� � obtenemos

B3


Al efectuar las operaciones en el lado derecho de (3) obtenemos

�� x obtenemos el siguiente sistema

c c c

c c c

c

cuya solución es c c c y por tanto la representación es

x xx x x x x x

Además, en este primer caso también se pueden obtener los valores de

las constantes de una manera más sencilla, la cual consiste en evaluar la

��@�|��W�� 1

1 , ,..,� 2

2 y

� , (esto es, evaluar (2) en las

raíces de ), lo cual nos permitirá conseguir dichos valores mediante un simple despeje.

Ejemplo 2. Representa la siguiente fracción:

x xx x x

� �

� �

como una suma de fracciones parciales.

Solución. Al tratarse de la misma fracción del ejemplo 1 sabemos que el denominador se factoriza como el producto de factores lineales distintos, de manera que pasamos directamente a la ecuación (3)

Además de la factorización del denominador:

x x x x x x podemos notar que sus raíces son � y , de modo que al evaluar dichos valores en (3) se tiene que

K Para x �0 : c c

K Para x 1 : c c

K Para x � 3 : c c


94

y así estos valores de c c y c3 coinciden con los encontrados en la primera mane-ra, de modo que la representación en fracciones parciales es la misma.

Observación. Es importante que recuerdes que esta forma de encontrar �� W��'��+��siempre que el denominador tenga al menos un factor lineal se puede utilizar parcialmente el mismo procedimiento (esto es, evaluar en las raíces de ) en los demás casos, que si bien no sirve para determinar todos los valores de las constan-�� lo veremos en ejemplos posteriores.

Actividad de aprendizaje 1Instrucciones: En equipos conformados por el profesor y en tu libreta representa las siguientes fracciones como una suma de fracciones parciales.

a) x

x x

b) x

x x

c) x

x x

d) x

x x�

�

e) x x

x x x

f) x xx x x

g) x xx x x

� �

� �

h) x x

x x x

i) x

x x

j) xx�

�

k) x x

x x x

l) x x

x x x

m) x xx x x

n) xx x

�

� �

o) x x xx x

� � �

�

B3


Caso II: Factores lineales repetidosEl segundo caso trata sobre aquellas fracciones propias cuyo denominador tienen

una factorización en la que todos los factores son lineales y algunos se repiten. Con-

sideremos primero el caso de un solo factor repetido, es decir, supongamos que

es una fracción propia en la que se factoriza en n factores lineales dis-

tintos, digamos , pero que además el factor lineal �

aparece repetido m veces en tal factorización, esto es, se factoriza de la siguien-

te manera

� �

Entonces se dice que � es un factor de multiplicidad m, y en este caso la fracción propia se puede representar de una manera muy similar al caso I, ya

��W��'�� le corresponde una “suma de m fracciones parciales” de la forma

en donde � son constantes. Es decir, la representación de en fracciones parciales se obtienen de (1) al reemplazar la fracción propia, correspon-diente al factor � :

�

por la suma de las m fracciones parciales

Por tanto, en este caso se tiene que

P xQ x

ca x b

ka x b

k

a x b

c

i i

m

i i

m

( )( )

1

1 1

nn

n na x b( )41

�� en corchetes reemplaza al término � , en la ecuación

(1) . Así, solo nos hace falta determinar los valores de los numeradores, tales valores

los determinamos utilizando la primera manera descrita en el caso I, esto es, despe-

jamos de la ecuación (4) :

P x c Q xa x b

k Q xa x b

k Qi

i ii m1

1 11

( ) ( ), ,

(( ) ( ) ( )x

a x bc Q x

a x bi i

m nn n

5


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