Tema 8. Ondas progresivas

1. Solución general de la ecuación de ondas

• La solución general puede escribirse como la suma de dos funciones arbitrarias

( ) ( ) ( )1 2,y x t f x Vt f x Vt= + + − La primera función representa una onda progresiva que se propaga con velocidad V hacia la izquierda, y la segunda función representa otra onda progresiva que se propaga hacia la derecha con la misma velocidad. En general, la velocidad de propagación de una onda es la velocidad a la que varía la fase de la onda. Con esto, para determinarla basta la condición

( ) 0d

x Vtdt

± =

y obtenemos las velocidades

( )

( )

para la onda con fase

para la onda con fase

dxV x Vt

dtdx

V x Vtdt

= − +

= −

• Así, la primera fase se propaga hacia la izquierda y la segunda fase hacia la

derecha. La naturaleza de las funciones 1 2,f f es arbitraria. Pueden ser funciones sinusoidales o pueden describir pulsos de ondas. De hecho, las dos funciones siempre pueden escogerse de forma que su suma represente cualquier estado inicial de desplazamiento ( ),0y x y velocidad ( ),0y x& , siendo ( ),y x t& la velocidad de oscilación vertical del punto del medio material que soporta la onda situado en la coordenada x.

2. Soluciones armónicas simples

• La solución más general es de la forma ( ) ( ) ( )

( ) ( ), sen cos

sen cos

y x t A kx t B kx t

C kx t D kx t

ω ω

ω ω

= − + −

+ + + +

para una oscilación de frecuencia ω en el tiempo y de frecuencia k en el espacio. Los períodos de oscilación están dados por

2

2

T

k

πωπ

λ

=

=

El primero corresponde a la oscilación vista en el tiempo t, y el segundo, la longitud de onda, corresponde a la oscilación vista en el espacio x.

• La relación entre la frecuencia de oscilación temporal y la frecuencia de oscilación espacial se llama relación de dispersión

( )kωω = En el caso de la cuerda vibrante, la relación de dispersión es

ρ

ω

TV

Vk

=

=

La relación de dispersión determina la dispersión de la energía entre los distintos modos de vibración, definidos por el vector de onda k. Si la relación de dispersión es lineal en k, como ocurre en la cuerda tensa, todos los modos se propagan con la misma velocidad, y la energía mecánica de la onda se propaga de forma homogénea. Se trata de un medio no dispersivo. Si la relación no es lineal, la velocidad de distintos modos es diferente y la energía no se propaga homogéneamente, sino que se divide en paquetes de energía cada uno propagándose con la velocidad del modo de vibración asociado. La energía se ha visto dispersada y el medio se llama dispersivo.

3. Velocidad de fase, dispersión

• Nos limitamos al caso de ondas progresivas de tipo armónico, con una frecuencia angular bien definida. La velocidad de fase kV ω= es la velocidad a la

que se propaga la fase de la onda, el contorno de la onda. Sólo puede hablarse de esta velocidad cuando la función de onda tenga la misma forma a lo largo de toda su longitud. Si la onda cambia de forma en función del tiempo o de la distancia a lo largo de su dirección de propagación, la medida de la velocidad de fase no daría siempre el mismo resultado. Cuando ( )kVV = en un medio dado, se dice que el medio es dispersivo y que la onda presenta dispersión.

4. Propagación de un grupo de ondas, velocidad de grupo

• Nuestro objetivo ahora es averiguar si existe alguna definición de velocidad

de propagación de ondas que sea útil cuando no se cumplan las condiciones que nos permiten definir la velocidad de fase de forma unívoca. a) Superposición de dos ondas armónicas

• Estudiamos por simplicidad la propagación de dos ondas armónicas en la misma dirección con la misma amplitud pero con frecuencias angulares y vectores de onda ligeramente diferentes. Las conclusiones que se pueden obtener de este modelo simple son aplicables a la propagación de cualquier grupo de ondas. La onda que se propaga en nuestro medio es la superposición de dos ondas armónicas

( ) ( ) ( ) ( )( ), cos cosy x t A kx t A k dk x d tω ω ω= − + + − +

donde los diferenciales se toman como cantidades pequeñas respecto del valor de las variables ,k ω . De la relación trigonométrica suma de dos funciones coseno, obtenemos

( ) ( ), 2 cos cos2 2

dk dy x t A x t kx t

ωω = − −

con la aproximación dk kdω ω

<<<<

• Al representar dicha onda compuesta debemos fijarnos en la frecuencia

espacial y temporal de los dos factores. En el primer factor dichas frecuencias son diferenciales respecto de los valores correspondientes al segundo factor. Esto quiere decir que el primer factor tiene una variación mucho más lenta que el segundo. De otra forma, el primer factor actúa de envolvente del movimiento de frecuencia mayor del segundo factor. Hablamos entonces de una pulsación de amplitud de variación suave

( ), 2 cos 2 2

dk dA x t A x t

ω = −

frente a la variación más rápida de la fase armónica ( )cos kx tω−

Representamos gráficamente esta superposición de ondas en el caso concreto

10kdk = , en el instante inicial 0t = . Esto nos dará suficiente información sobre la

propagación de la onda compuesta. Tenemos entonces

( ) ( )

( )

,0 ,0 cos

,0 2 cos20

y x A x kx

kA x A x

=

=

20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0.5

1

kx

( )A

xy2

0,

x

k

20cos

− x

k

20cos

• Se ve claramente cómo la oscilación se produce en el interior de la envolvente generada por la amplitud ( ,0)A x . Se habla así de la amplitud modulada del grupo de ondas.

• En cuanto a la propagación de la onda, tenemos dos velocidades bien definidas. Una de ellas es la velocidad de fase de la onda armónica ( )cos kx tω− ,

cuyo valor coincide con la velocidad de fase de las ondas primitivas, V kω= . La

otra velocidad, la llamada velocidad de grupo, está asociada con la velocidad de variación no de la fase de la onda sino de la amplitud de la onda. Como la amplitud de la onda también tiene una dependencia armónica en sus argumentos, la velocidad de grupo es directamente

2

2g

d dV

dk dk

ω ω= =

• Para encontrar el significado físico de la velocidad de grupo, basta recordar la

relación entre la energía mecánica de una onda y la amplitud de su movimiento: la energía es proporcional a la amplitud de movimiento al cuadrado. Por tanto, la velocidad de grupo además de ser la velocidad con que varía la amplitud modulada de la onda compuesta es la velocidad con que se propaga la energía transportada por la onda. De esta forma es un concepto más fundamental que la velocidad de fase. En ausencia de superposición de ondas, la velocidad de grupo carece de sentido. Además, las dos velocidades tienen el mismo valor cuando el medio no es dispersivo. b) Caso general

• Cuando un medio pueda transportar ondas progresivas con la relación de dispersión ( )kω ω= , la velocidad de grupo es

( ) ( )g

d kV k

dkω

=

y la velocidad de fase es

( ) ( )kV k

kω

=

siendo k el vector de onda que define la propagación espacial de la onda o grupo de ondas (define la frecuencia espacial, y la dirección de propagación).

Problemas Resueltos 8.1 Determinar la velocidad de grupo y de fase de las ondas que se propagan en una cuerda discreta, con vector de onda k.

• Según vimos en el tema anterior, la cuerda discreta tiene las siguientes frecuencias espacial y temporal para cada modo de vibración

( )1 1,..,

1ss

k s NN a

π= =

+

2 202 1 cos

1ss

Nω ω π

= − +

con lo cual, la relación de dispersión para la propagación de ondas es ( )( )2 2

02 1 cos kaω ω= −

• Por tanto, la velocidad de grupo sería

( ) ( ) 2 20 0sen sen

( )gd k k ka ka

V kdk V k

ω ω ωω

= = =

siendo la velocidad de fase

( )202 1 cos

( )ka

V kk

ω −=

Cuando sen 0ka = , la velocidad de grupo y de fase son nulas, mostrando que para esos valores de k no existe la propagación de la energía ni de la fase armónica. Las únicas ondas que pueden recorrer la cuerda discreta son las ondas estacionarias, correspondientes a los valores ka nπ= . 8.2 El movimiento de la onda de longitud de onda corta en el agua está controlado por la tensión superficial. La velocidad de fase de estas ondas viene dada por

2( )

SV

πλ

λρ=

donde ρ es la densidad del agua, S la tensión superficial y λ la longitud de onda. Determinar la velocidad de grupo para un grupo de ondas con longitudes de onda próximas a λ , y explicar cómo se observa el movimiento de este grupo de ondas en la superficie del agua.

• Podemos utilizar la siguiente relación entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase

( )gd d dV

V kV V kdk dk dkω

= = = +

Como 2k πλ= , tenemos ( )

kSV k

ρ= y de aquí, la velocidad de grupo es

1 32 2gV V V V= + =

• En el movimiento de un grupo de ondas sobre la superficie del agua, las ondas

individuales se mueven con velocidad V mientras que el grupo de ondas lo hace con velocidad 3

2V . Esto quiere decir que el grupo está adelantando constantemente a

las ondas individuales, es decir, se observa como se producen ondas individuales que el grupo absorbe al cabo de un cierto tiempo. Es el fenómeno observado en mar abierto. 8.3 La relación de dispersión en un cierto medio se indica en la siguiente figura. Explicar de forma cualitativa los valores relativos de las velocidades de grupo y de fase, en el intervalo representado.

k

ω

• Para valores pequeños de k, la relación de dispersión es lineal

Vkω = con lo cual, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase, y el medio se comporta como un medio no dispersivo.

• Para valores un poco mayores de k, la recta se va inclinando hacia el eje k, indicando que la potencia en k es menor que uno. Supongamos una relación de la forma , 1nCk nω = < . Entonces,

1n

g

V CkdV

V V k nVdk

−=

= + =

En este caso, la velocidad de grupo es menor que la velocidad de fase. Las ondas individuales adelantan al grupo.

• Para valores más grandes de k, la frecuencia angular tiende a un valor constante. La velocidad de fase y de grupo se hacen cada vez más pequeñas, indicando la existencia de ondas estacionarias para valores grandes de k.

8.4 Se superponen en un medio las dos ondas siguientes: ( )( )

1

2

sen 5 10

sen 4 9

y A x t

y A x t

= −

= −

Determinar la perturbación combinada, la velocidad de grupo y la distancia entre los puntos de amplitud nula.

• Por la relación trigonométrica de la suma de dos funciones seno, la perturbación combinada es

( ) 9 192 cos sen

2 2y A x t x t = − −

El primer factor corresponde a la amplitud modulada, y el segundo a la fase armónica. La velocidad de grupo es la velocidad con la que varía la fase del primer factor. Tenemos

11 ( / )

1gV m s= =

La distancia entre los puntos de amplitud nula es la distancia entre dos nodos consecutivos de la amplitud modulada, e igual a su semilongitud de onda,

( ) 2

mk

λ ππ= =

5. Caso práctico: Ondas de gravedad

• Investigamos las ondas que se producen en la frontera aire-agua bajo la influencia de la gravedad, como una idealización del movimiento superficial que se produce en un lago o en el mar. Nuestro volumen de agua se representa como un canal indefinido en la dirección x y confinado en la dirección vertical y entre dos superficies, el fondo en 0y = , y la superficie libre en y h= . Nos interesan aquí las ondas progresivas que se propagan en la dirección x, y que generan una oscilación vertical en el agua. Nuestro objetivo es encontrar la relación de dispersión, la velocidad de propagación de dichas ondas y el movimiento del agua al pasar la onda.

• En la dirección vertical, las fuerzas que actúan sobre el fluido son la fuerza de gravedad y la fuerza originada por la variación de presión con la profundidad. Para un elemento de volumen dV y masa dm=ρdV, situado entre las posiciones verticales y e y+dy y sección horizontal S, la ecuación de movimiento es

( ) yvy dy ydVg P P S dV

tρ ρ+

∂− − − =

∂

Al ser dV Sdy= , podemos escribirla en la forma

yvPdVg dV dV

y tρ ρ

∂∂− − =

∂ ∂

con lo cual, como dV es arbitrario, la ecuación que debemos resolver es

yvPg

y tρ ρ

∂∂− − =

∂ ∂

• Además, el agua es un fluido incompresible. Esto quiere decir que la cantidad de agua que entra en una región debe ser la misma que la cantidad que sale de ella. En términos de flujo, el flujo neto de agua que atraviesa cualquier superficie cerrada debe ser cero. Matemáticamente,

0S

dSρ ⋅ =∫ v nÑ

donde v es la velocidad del agua y n el vector unitario normal a la superficie S. Por el teorema de la divergencia esto es cierto cuando

0∇ ⋅ =v que constituye nuestra segunda ecuación fundamental para la resolución del problema. En nuestras coordenadas x,y se escribe

yx vv0

x y

∂∂+ =

∂ ∂

• El método de resolución es bastante estándar. Se busca una única función

desconocida φ , que satisfaga simultáneamente

x

y

v

v

x

y

φ

φ

∂= −

∂∂

= −∂

con lo cual la segunda ecuación a resolver se transforma en 2 2

2 2 0x yφ φ∂ ∂

+ =∂ ∂

Buscamos soluciones que sean ondas progresivas que se propaguen en la dirección x, en la forma

( ) ( )cosA y kx tφ ω= − Introduciendo esta suposición en la ecuación anterior, vemos que la función A satisface la ecuación diferencial

22

2 0d A

k Ady

− =

con la solución general ( ) ky kyA y Ce De−= +

Por tanto, nuestra solución al problema está dada por la función

( ) ( )cosky kyCe De kx tφ ω−= + −

• La función φ queda determinada una vez que apliquemos las condiciones

frontera que definen nuestro modelo de propagación. La primera nos dice que la velocidad vertical debe anularse en el fondo. Es decir,

yv 0 en 0yyφ∂

= − = =∂

Evaluando esta derivada encontramos que C D= . Entonces, la solución por ahora puede escribirse en la forma

( )2 cosh cosC ky kx tφ ω= −

• La condición frontera en la superficie libre del agua corresponde a un valor de la presión igual a la presión atmosférica, valor constante en el tiempo. Por tanto, debemos obtener la relación directa entre la función φ y la presión P. De la ecuación de movimiento se obtiene

P gy t

φρ ρ

∂ ∂ − = ∂ ∂

ecuación que integrada en la variable y nos da el valor de la presión

P gy ctetφ

ρ ρ∂

= + +∂

De aquí, la condición de presión constante en el tiempo en la superficie libre se escribe

2

2

0 en

0 en

Py h

ty

g y htt

φρ ρ

∂= =

∂∂ ∂

= + =∂∂

De la definición de la velocidad del fluido, yv yt y

φ∂ ∂= = −∂ ∂ , la segunda

condición frontera para la función φ queda finalmente 2

20 en g y hyt

φ φ∂ ∂= − =

∂∂

• Esta condición se satisface para la función tipo onda progresiva sólo cuando k

y ω sean dependientes, es decir, cuando estén relacionadas por la llamada relación de dispersión. Encontramos

tanhgk khω = y de aquí, la velocidad de la onda es

tanhg

V khk kω

= =

Distinguimos dos tipos de ondas en la superficie del agua

• Ondas en aguas profundas Este caso corresponde a un gran valor de la profundidad h, de forma que

1tanh 1kh

kh>>

≈

La velocidad de la onda es en esta aproximación

2g g

Vk

λπ

= =

Las olas que se observan en mar abierto corresponden a este tipo. La velocidad de grupo en este caso es

12g

dVV V k V

dk= + =

menor que la velocidad de fase, de forma que las crestas de ola que aparecen son capaces de adelantar al grupo, para desaparecer delante de él.

• Ondas en aguas poco profundas En este caso,

1tanhkh

kh kh<<

≈

con lo cual, la velocidad de la onda es V gh=

El agua se comporta como un medio no dispersivo en este caso, y todas las ondas viajan a la misma velocidad. Este tipo de comportamiento se observa en las olas que se acercan a la orilla. Pero no explicaría la existencia de la zona de ruptura de olas en la orilla. Para entender este hecho, vemos que la velocidad de fase depende de la profundidad del fondo. Esto quiere decir que las ondas sumergidas en el agua viajan más despacio que las ondas que se encuentren en la superficie del agua. Esto provoca la típica forma rompiente de una ola al llegar a la orilla. Además, las olas al llegar a la orilla ven reducida globalmente su velocidad (por haber disminuido la profundidad del fondo del mar), pero no así su momento que se conserva constante. Igual momento pero menor velocidad equivale a una mayor cantidad de agua en las olas que llegan a la orilla, y a una mayor fuerza descargada.