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lucio-macho
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Tema IEstudios de los
esfuerzos y deformaciones en la
región elástica
Fuerzas InternasFuerzas Internas
Las fuerzas internas, se pueden considerar como fuerzas de interacción entre las partículas de los materiales . Además se puede imaginar que estas fuerzas quedan expuestas al pasar diferentes planos cortantes a través del cuerpo.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzo resultante y momento Fuerzo resultante y momento resultanteresultante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
EsfuerzoEsfuerzo
Las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de un plano cortante se describen en función de una cantidad llamada “esfuerzo” que representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzas que actúan sobre un punto o Fuerzas que actúan sobre un punto o una porción de área una porción de área referido al plano referido al plano
de cortede corte
P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo PromedioEsfuerzo Promedio
Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzas interiores anteriormente mostrado, se define “esfuerzo promedio” sobre la sección, al cociente de la fuerza F sobre la sección A. Asimismo se debe considerar una porción ΔA sobre la cual actúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio el cociente de ΔF entre ΔA
A
F
A
Fmm
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo en un punto de la sección Esfuerzo en un punto de la sección ΔΔAA
Si P es un punto perteneciente al área ΔA, se define el esfuerzo en este punto como el límite del cociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.
dA
Fd
A
FA
s
0
lim
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo NormalEsfuerzo Normal
La componente vectorial de F sobre la normal a la sección trazada por el centroide se representa por el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo promedio sobre toda la superficie como el cociente de N y A, igualmente se hace para una porción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN que es la componente vectorial de ΔF sobre la normal al plano.
A
N
A
Nnn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal en un puntoEsfuerzo normal en un punto
Sea P un punto perteneciente al área ΔA, el esfuerzo normal en dicho punto se define como:
dA
Nd
A
NA
n
0
lim
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Dirección normal al plano que pasa Dirección normal al plano que pasa por el punto Ppor el punto P
knjmiln
kjin
kznjynixnn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
knjmiln ˆˆˆˆ
cosˆ ssn n
Como se vio anteriormente, la dirección normal al plano se representa de la siguiente manera:
La componente escalar del esfuerzo normal medio sobre toda la superficie se define como:
La componente escalar del esfuerzo normal en un punto se define como:
nmm ˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo normalesfuerzo normal
Donde es el ángulo entre σs y σn
La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy
nnnn ssnn ˆˆˆcosˆ
El esfuerzo normal es a tensión si tiene el mismo sentido de la normal (se considera positivo).
El esfuerzo normal es a compresión si tiene sentido contrario al de la normal (se considera negativo).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo normalesfuerzo normal
Esfuerzo TangencialEsfuerzo Tangencial
La componente vectorial de la fuerza F en dirección de la recta t a la sección trazada por el centroide se representa con el vector T. El esfuerzo tangencial promedio sobre la sección A se define como:
A
Ttm
El esfuerzo tangencial promedio sobre la porción de área ΔA
A
Ttm
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Tangencial en un puntoEsfuerzo Tangencial en un punto
Sea P un punto perteneciente a la porción de área ΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho punto como:
dA
Td
A
TA
t
0
lim
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La dirección tangente viene dada por:
La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por:
sen
nxsxnt
ˆˆˆˆ
tstˆ
nnttt sstt ˆˆˆˆˆ
La componente vectorial del esfuerzo tangencial en dirección de la recta t se define como:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo tangencialesfuerzo tangencial
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes vectoriales del Componentes vectoriales del esfuerzo resultanteesfuerzo resultante
Ángulo entre el vector esfuerzo Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normalresultante y el vector esfuerzo normal
s
n
arccos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes normal y tangencial del Componentes normal y tangencial del esfuerzo esfuerzo σσss
El vector esfuerzo referido a la sección A, a la porción de área ΔA o al punto P tiene dos componentes escalares, una componente normal y otra tangencial. Como las direcciones normal y tangencial son perpendiculares entre si, podemos decir que:
222tns
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares del esfuerzo Componentes escalares del esfuerzo σσss si la sección es un plano si la sección es un plano
coordenadocoordenado
Para determinar las componentes cartesianas del esfuerzo σs, es necesario definir un sistema de ejes cartesianos. De manera que el plano π corresponde a un plano coordenado, la normal a este plano que pasa por el origen es un eje coordenado;
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cortes del elementoCortes del elemento de volumen de volumen paralelos a los planos paralelos a los planos coordenadoscoordenados
Componentes escalares de Componentes escalares de σσ para los para los diferentes planos coordenadosdiferentes planos coordenados
Plano π Ox Oy Oz Identificación
Oyz σxx xy xzLa normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X
Oxz yx σyy yzLa normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje Y
Oxy zx xy σxxLa normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares de Componentes escalares de σσ para los para los diferentes planos coordenadosdiferentes planos coordenados
Para establecer el estado de esfuerzo en un punto se ha de definir nueve cantidades, sin embargo es posible cierta simplificación, para esto se busca una relación entre los esfuerzos tangenciales que actúan en planos perpendiculares entre si colocados en un cuerpo en equilibrio el cual es un paralelepípedo con aristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje con las caras respectivas paralelas a los planos coordenados. A continuación se hace un ejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz, para los demas se sigue el mismo procedimiento
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzoEstado de esfuerzo
Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy y yz ejercen su acción sobre las caras correspondientes del paralelepípedo, sus valores corresponden al producto del esfuerzo por el área de la cara.
F1 = zyΔxΔy F2 = yzΔxΔz igualmente para F3 y F4
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzoestado de esfuerzo
El paralelepípedo es una porción del cuerpo en equilibrio, por lo que la sumatoria de fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser cero.
F1 + F3 = 0 F1 = -F3
F2 + F4 = 0 F2 = - F4
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzoestado de esfuerzo
Las fuerzas F1 y F3 forman un par, igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el paralelepípedo esté en equilibrio los dos pares deben producir momentos iguales y de signo contrario, la suma de ambos debe ser nula:
zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0
de donde zy = yz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzoestado de esfuerzo
Se sigue el mismo procedimiento para los demás esfuerzos cortantes, entonces se afirma lo siguiente
xy = yx xz = zx yz = zy
El estado de esfuerzos para un punto cualquiera de un sólido sometido a cargas se define entonces con seis componentes
σx, σy, σ z, xy, xz, yz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzoestado de esfuerzo
Convención de signosConvención de signos
Planos: Se considera que un plano coordenado es positivo si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta en la dirección positiva de un eje coordenado. En caso contrario el plano será considerado negativo.
Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial es positivo si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. Por el contrario un esfuerzo tangencial será negativo si, actuando en un plano positivo ( o negativo), apunta en la dirección negativa (o positiva) de un eje coordenado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
convención de signosconvención de signos
Estado de esfuerzo en el punto PEstado de esfuerzo en el punto P
Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a los planos coordenados que pasan por un punto interior P en un cuerpo en equilibrio se desea conocer el vector esfuerzo que actúa en ese punto, referido a un plano que es perpendicular a la dirección definida por el vector y que pasa por dicho punto:
222
ˆˆˆ
zyxss
zyxs
SSS
kSjSiS
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo vectorial resultante en el Esfuerzo vectorial resultante en el punto Ppunto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ABC BOC BOA AOC
A A1 A2 A3
Cosenos directores que definen la Cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo línea de acción del esfuerzo resultante sobre el punto Presultante sobre el punto P
s
xss
Slx
,cos
s
zss
Snz
,cos
s
yss
Smy
,cos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si las dimensiones del tetraedro fueran constantes y finitas, además de las fuerzas sobre las caras habría que considerar el peso del material encerrado en su volumen, sin embargo, en el límite, el peso del material es despreciable, por eso no aparece en el siguiente sistema de fuerzas equivalentes
00
00
00
321
321
321
AAAASF
AAAASF
AAAASF
zyzxzzz
yyxyyy
zxyxxxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
A
An
A
Am
A
Al
3
2
1
cos
cos
cos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
a
b
co
e
o a
eα
α
β
β
A1
A2
A
n
Componentes cartesianas del Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto Pesfuerzo resultante en el punto P
nmlS
nmlS
nmlS
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
n
m
l
S
S
S
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
nijs ˆ
Esfuerzos y fuerzas en las caras del Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elementaltetraedro elemental
ABC BOC BOA AOC Dirección
A A1 A2 A3
Sx σxx yx zxOx
Sy xyσyy zy
Oy
Sz xz yzσzz
Oz
SxA - σxxA1 - yxA2 - zxA3Ox
SyA- xyA1
- σyyA2 - zyA3Oy
SzA- xzA1 - yzA2
- σzzA3Oz
Cara
Área
Componentes de esfuerzo
Componentes de fuerza
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de esfuerzos de Cauchy Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)(estado de esfuerzo en el punto P)
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal sobre el punto P Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestiónreferido al plano en cuestión
nSmSlS
knjmilkSjSiSn
zyxn
zyxsn
ˆˆˆˆˆˆˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222
Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de:
nmlS
nmlS
nmlS
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
Obtendríamos:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo tangencial en el punto P Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión referido al plano en cuestión
(vectorial)(vectorial)
kji
knnmlmmnml
ilnml
knSjmSilS
tztytxt
nzyzxznzyyxy
nzxyxxt
nznynxt
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo tangencial en el punto P Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (escalar)referido al plano en cuestión (escalar)
22
222
nst
tztytxtt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2222
222
2 nmnlmlnml
nmlnmlnml
yzxzxyzyx
zzyzxyzyyxxzxyxt
Esfuerzos PrincipalesEsfuerzos Principales
Para cualquier estado de esfuerzos en un punto P de un cuerpo, existen tres planos que pasan por ese punto sobre los cuales los esfuerzos tangenciales o cortantes son nulos y los únicos esfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzos normales. Estos planos son los “planos principales” y los esfuerzos normales a esos planos se les llama “esfuerzos principales”
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principalesesfuerzos principales
El procedimiento es maximizar la ecuación del esfuerzo normal, haciendo uso del método de Lagrange donde la condición es:
Solamente l y m pueden ser consideradas como variables independientes de tal manera que: 1222 nml
221 mlSmSlS zyxn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principalesesfuerzos principales
Los valores extremos sobre los ejes principales se designan como una condición estacionaria y esta dada por:
0
0
n
mSnS
m
n
lSnS
l
zyn
zxn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principalesesfuerzos principales
De lo anterior se obtiene la siguiente relación entre las componentes del esfuerzo resultante y los cosenos directores
n
S
m
S
l
S zyx
La proporcionalidad de la ecuación anterior genera el siguiente postulado: “cuando sobre un plano se tiene un valor extremo o principal del esfuerzo normal, sobre este plano (Plano Principal) el esfuerzo cortante es nulo”.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principalesesfuerzos principales
De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones
nSmSlS iziyix ;;
La condición para que este sistema de ecuaciones lineales homogéneas no presente soluciones triviales, es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero
0
izzyzx
yziyxy
xzxyix
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principalesesfuerzos principales
0322
13 III iii
El desarrollo del determinante proporciona una ecuación característica de tercer grado
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuación característicaEcuación característica
Como los esfuerzos principales son independientes de la orientación del sistema de referencia, los coeficientes de la expresión anterior tienen que ser también independientes de la orientación del sistema de referencia; las expresiones de éste tipo se denominan invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se denominan invariantes de los esfuerzos.
222
3
2222
1
2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx
yzxzxyzxzyyx
zyx
I
I
I
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes de esfuerzosInvariantes de esfuerzos
Invariantes de esfuerzoInvariantes de esfuerzo
El término I3 es el resultado de resolver el determinante del tensor de esfuerzos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
zzyzx
yzyyx
xzxyx
I
3
Según el teorema fundamental del álgebra la ecuación característica se puede escribir como el producto de las diferencias entre la incógnita y las raíces de la ecuación
0321 iii
De lo anterior tendríamos que los invariantes de esfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma
3213
1332212
3211
I
I
I
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que:
σ1 > σ2> σ3
algebraicamente
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Orden de los esfuerzos Orden de los esfuerzos principalesprincipales
Direcciones PrincipalesDirecciones Principales
Una vez determinados los esfuerzos principales se deben determinar los cosenos directores de los ejes principales (1), (2), (3), con respecto a los ejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, las tres direcciones principales se definen por medio de los vectores n1, n2, n3, dirigidos según la normal a cada unos de los planos principales. De esta forma se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (1)Cosenos directores para el eje (1)
kNjMiLn
kjin
kzjyixn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,1cosˆ,1cosˆ,1cosˆ
1111
1111
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (2)Cosenos directores para el eje (2)
kNjMiLn
kjin
kzjyixn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,2cosˆ,2cosˆ,2cosˆ
2222
2222
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (3)Cosenos directores para el eje (3)
kNjMiLn
kjin
kzjyixn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,3cosˆ,3cosˆ,3cosˆ
3333
3333
3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
En resumen tendríamos:
VECTOR EJE X Y Z
n11 L1 M1 N1
n22 L2 M2 N2
n33 L3 M3 N3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Z
X
Y
Cálculo de las direcciones principalesCálculo de las direcciones principales
i
yzxz
iyxy
i
xziz
xyzy
i
izyz
zyiy
i KNML
1222 iii NML
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
yzyz
iyxy
i
xziz
xyzy
iizyz
zyiy
i
C
BA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principalescalculo de las direcciones principales
222
1
iii
i
iiiiiiiii
CBAKdonde
KCNKBMKAL
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principalescalculo de las direcciones principales
222
222222
iii
ii
iii
ii
iii
ii
CBA
CN
CBA
BM
CBA
AL
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principalescalculo de las direcciones principales
ijsiNNMMLL jijiji 0
Se demuestra asimismo que para dos planos principales cualesquiera :
lo cual significa que estos planos son perpendiculares entre si .
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principalescalculo de las direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales referidas al Direcciones principales referidas al sistema coordenado ortogonal 1,2,3sistema coordenado ortogonal 1,2,3
nnnN
nnnM
nnnL
ˆˆcos3,cos
ˆˆcos2,cos
ˆˆcos1,cos
3
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo resultante (vectorial y Esfuerzo resultante (vectorial y escalar) en el punto P en función de escalar) en el punto P en función de
los esfuerzos principaleslos esfuerzos principales
kNjMiL
kSjSiS
s
s
ˆˆˆ
ˆˆˆ
321
321
223
222
221 NMLss
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal (vectorial y escalar) Esfuerzo normal (vectorial y escalar) en el punto P en función de los en el punto P en función de los
esfuerzos principalesesfuerzos principales
23
22
21
ˆˆˆ
NML
kNjMiL
nn
nnnn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo cortante (vectorial y Esfuerzo cortante (vectorial y escalar) en el punto P en función de escalar) en el punto P en función de
los esfuerzos principaleslos esfuerzos principales
22231
22232
22221
2
223
22
21
223
222
221
2
321ˆˆˆ
NLNMML
NMLNML
kNjMiL
t
nnnt
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico y esféricoy esférico
Si σ1, σ2, σ3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3 son únicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial).
Si σ1 = σ2 ≠ σ3, por lo tanto n3 es único y cada dirección perpendicular a n3 es una dirección principal asociado con σ1 = σ2 (estado de esfuerzos cilíndrico).
Si σ1= σ2 = σ3, por lo tanto cada dirección es una dirección principal (estado esférico).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estados de esfuerzos triaxial, Estados de esfuerzos triaxial, cilíndrico y esféricocilíndrico y esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Valores extremos del esfuerzo Valores extremos del esfuerzo cortante o esfuerzos cortantes cortante o esfuerzos cortantes
principalesprincipales
223
22
21
223
222
221
2 NMLNMLt
Poniendo la ecuación anterior en función de L y M solamente se obtiene:
23322
3122
323
22
223
21
22 MLMLt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
El objetivo es maximizar la ecuación anterior, esto se hace diferenciando con respecto a L y M e igualando a cero
02
12
02
12
31322
31232
31322
31231
MLMM
MLLL
t
t
t
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos cortantes principalesesfuerzos cortantes principales
Posibles soluciones del sistema Posibles soluciones del sistema anterioranterior
Caso 1: L=±1 M=0 N=0 Caso 2: L=0 M= ±1 N=0 Caso 3: L=0 M=0 N= ±1 Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0 Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2 Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes máximos para los Esfuerzos cortantes máximos para los casos anteriorescasos anteriores
2:6
2:5
2:4
0:3
0:2
0:1
31
32
21
Caso
Caso
Caso
Caso
Caso
Caso
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes principalesEsfuerzos cortantes principales
22221
331
232
1
Si los cosenos directores de los tres últimos casos son sustituidos por turno en la ecuación
223
22
21
223
222
221
2 NMLNMLt
Se obtienen los valores máximos del esfuerzo de corte
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si los valores de los cosenos directores para los planos sobre los cuales actúan los esfuerzos de corte principales son sustituidos en la ecuación del esfuerzo normal, se obtendrían los valores del esfuerzo normal sobre esos planos:
222
213
312
321
NNN
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La ecuación que se presenta a continuación es muy importante en las teorías de falla, ya que esta muestra que cuando se alcanza la fluencia, el proceso de deformación plástica que prosigue es netamente de cizallamiento.
21
22
232 MNLNLMt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Forma general de las componentes Forma general de las componentes escalares del esfuerzo resultante en escalares del esfuerzo resultante en
un punto P sobre un plano cualquieraun punto P sobre un plano cualquiera
La normal en el punto P a la superficie plana de la sección y los dos ejes perpendiculares entre sí trazados en el plano π, forman un sistema de ejes cartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estos ejes cambian con la posición del punto P y con la inclinación del plano π.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La dirección y sentido de cada eje con relación a los ejes de referencia Ox, Oy, Oz están determinados respectivamente por los vectores unitarios
kzzjyzixzn
kzyjyyixyt
kzxjyxixxt
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
1111
1112
1111
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del esfuerzo Componentes del esfuerzo cortantecortante
O también
knjmiln
knjmilt
knjmilt
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
1
2222
1111
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortantecomponentes del esfuerzo cortante
Componentes del esfuerzo cortanteComponentes del esfuerzo cortante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntos de componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son las componentes con relación al sistema coordenado de referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, σn) son las componentes con relación al sistema variable Px1y1z1. Estas últimas se calculan usando las igualdades siguientes:
ntt snss ˆˆˆ2211
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortantecomponentes del esfuerzo cortante
En función de los elementos del tensor se tendría
mnnllmnml
nmmnnllnmllmnnmmll
nmmnnllnmllmnnmmll
yzxzxyzyxn
yzxzyxzyx
yzxzyxzyx
2222
2222222222
1111111111
22
21 t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortantecomponentes del esfuerzo cortante
Escribiéndolo de forma matricial se tendría:
n
m
l
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
n
111
111
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortantecomponentes del esfuerzo cortante
Transformación de ejesTransformación de ejes
'''
'''
'''
zzCosyzCosxzCos
zyCosyyCosxyCos
zxCosyxCosxxCos
A tt
nn
Tijij
ss
A
A
AA
nAn
A
ˆ'ˆ
ˆ'ˆ
'
ˆ'ˆ
ˆ'ˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
transformación de ejestransformación de ejes
321
321
321
333
222
111
'''
'''
'''
nnn
mmm
lll
nml
nml
nml
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos normales después de la Esfuerzos normales después de la transformación de ejestransformación de ejes
Resolviendo lo anterior podemos encontrar los elementos del tensor para la nueva ubicación de los ejes:
333333
23
23
23
22222222
22
22
11111121
21
21
2'
2'
2'
nmnlmlnml
nmnlmlnml
nmnlmlnml
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes después de la Esfuerzos cortantes después de la transformación de ejestransformación de ejes
'
'
'
'
'
'
1313
13131313313131
3232
32323232323232
2121
21212121212121
zxxz
yzxyzyxxz
zyxz
yzxyzyxyz
yxxz
yzxyzyxxy
nlln
mnnmlmmlnnmmll
nlln
mnnmlmmlnnmmll
nlln
mnnmlmmlnnmmll
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal octaédrico y Esfuerzo normal octaédrico y esfuerzo de corte octaédricoesfuerzo de corte octaédrico
23
22
21
213
232
221
321
3
2
3
1
3
oct
oct
moct
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desviador de esfuerzos y esfuerzo Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostáticohidrostático
El estado de esfuerzo en un punto interior de un cuerpo, se puede dividir en dos componentes, un estado de esfuerzo que produce distorsión o cambio de forma (desviador de esfuerzo) y un estado de esfuerzo que produce variación de volumen (esfuerzo esférico o hidrostático).
m
m
m
m
m
m
3
2
1
3
2
1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del desviador de Componentes del desviador de esfuerzosesfuerzos
3
2
3
2
3
2
2133
''3
3122
''2
3211
''1
m
m
m
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La dirección del esfuerzo principal del desviador de esfuerzos es la misma que la del esfuerzo principal del esfuerzo total, es decir, σ1’’ tiene la misma dirección de σ1. Puesto que un cuerpo isotrópico incompresible no se deforma por la presión hidrostática, la deformación depende solamente del desviador de esfuerzo, sin la contribución del componente esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Dirección del desviador de Dirección del desviador de esfuerzosesfuerzos
Desviadores de esfuerzo principalDesviadores de esfuerzo principal
32131
''3
22
1''
2
''3
''''2
3''
2792127
1
33
1
0
IIIII
III
donde
II
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Circulos de MohrCirculos de Mohr
2
3222
32
22
n
La ecuación del que representa al círculo de Mohr es la ecuación de una circunferencia del tipo:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Centros y radios de los círculos de Centros y radios de los círculos de MohrMohr
22221
331
232
1
CCC
22221
331
232
1
RRR
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Observando las ecuaciones de centros y radios dadas anteriormente podemos afirmar que los centros de los círculos de Mohr equivalen a los esfuerzos normales, y los radios de dichos círculos equivalen a los esfuerzo cortantes.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre radios y centros Relación entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzode Mohr y el estado de esfuerzo
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Círculos de MohrCírculos de Mohr
Pasos para conseguirPasos para conseguir σσnn,,σσss, y , y tt
Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.
Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por σ1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.
Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Se mide el ángulo =arc cos(N) a partir de una vertical trazada por σ3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.
Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son los esfuerzos buscados.
Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Solución gráficaSolución gráfica
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Q2
Q3
S1
S2A
n
t
s
Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio
En esta parte se van a obtener las ecuaciones que deben verificar las fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen en el interior de un cuerpo, de manera que este se encuentre en equilibrio. Para hacer este estudio se deben tomar un punto P y un punto Q ubicados en vértices opuestos del paralelepípedo elemental, como se muestra en la figura.
A
B
C
D
E
FPQ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos sobre las caras que Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto Pconcurren en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos que concurren en el punto Esfuerzos que concurren en el punto QQ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
mzmymx
zz
zyzy
zxzx
yzyx
yy
yxyx
xzyx
xyxy
xx
zzx
yzyyx
yzy
zy
yz
FFF
dxdydzz
dxdydzz
dxdydzz
ODAB
dxdzdyy
dxdzdyy
dxdzdyy
QDFE
dydzdxx
dydzdxx
dydzdxx
OBCE
dxdydxdyPCHF
dxdzdxdzdxdzPADF
dxdzdxdz
dxdydxdzPABC
OZOYOXCARA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
Fzyx
Fzyx
Fzyx
0
0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si un sistema de fuerzas exteriores actúa sobre un cuerpo que está impedido de moverse por las restricciones que imponen las condiciones de borde, o si por un medio físico-químico cualquiera se altera su temperatura, bajo estas circunstancias el cuerpo sufre cambios en su geometría que se llaman comúnmente deformaciones.
Deformaciones en tres dimensionesDeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La teoría que se va a presentar sobre las deformaciones esta basada en un conjunto de suposiciones que caracterizan el modelo físico descrito a partir de los siguientes postulados:
a) El cuerpo tiene una distribución continua de la materia (homogéneo).
b) Cuando aparecen en los cálculos ángulos pequeños expresados en radianes, se pueden sustituir por el seno o la tangente trigonométrica respectiva.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
c) Las deformaciones son pequeñas. Los desarrollos de las relaciones donde intervienen se interrumpen en los términos de primer grado despreciándose todos los demás, desde aquellos en donde aparecen cuadrados o productos de las mismas deformaciones; la teoría basada en estas suposiciones se conoce como la teoría linealizada de la deformación.
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de la deformación quedan como tales después de la misma.
e) La teoría es aplicable únicamente a regiones pequeñas dentro del cuerpo y el análisis de las deformaciones sólo se refiere a las cercanías inmediatas de un punto determinado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Supongamos que A y B son dos puntos en un material cualquiera, la distancia entre ellos es lo, cuando no se han aplicado fuerzas externas al cuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, el mismo tomará una nueva posición (líneas punteadas), en la cual AB se movió a A’B’. La distancia AA’ ha sido el desplazamiento del punto A y similarmente BB’ es el desplazamiento de B.
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si A’B’ es paralela e igual que AB el desplazamiento ha sido solamente de traslación; pero si no es paralela, entonces incluye rotación y traslación.
Si la distancia l entre A’ y B’ no es igual a lo entonces ha existido desplazamiento relativo de B con respecto a A y por lo tanto ha sucedido un estado de deformación.
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La posición de cualquier punto y su desplazamiento pude ser especificada con respecto a cualquier sistema de coordenadas X, Y, Z. Así en tres dimensiones el punto A tiene coordenadas XA, YA, ZA de manera que el desplazamiento de A a A’ puede ser representado por ΔXA, ΔYA, ΔZA, proyectando el desplazamiento sobre los ejes X, Y, Z respectivamente.
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La notación que debe usarse es:
ΔX=u ΔY=v ΔZ=w
De manera que las cantidades u, v y w son usualmente referidas a “desplazamientos”
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Para realizar el estudio de las deformaciones se va a considerar el siguiente elemento diferencial de volumen
deformaciones en tres dimensionesdeformaciones en tres dimensiones
dx
dx
dy dy
Relación entre desplazamientos y Relación entre desplazamientos y deformacionesdeformaciones
Sea u = f(x,y,z) ; v = f’ (x,y,z) ; w = f’’ (x,y,z)
Existe traslación
Existe deformación
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
x
u
dx
dxxu
iniciallongitud
ientorgamala
l
ll
dxx
uuuupuntodelentoDesplazami
xdirecciónlaenupuntodelentoDesplazami
xf
0
0
2
)(1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento del punto 1 y Desplazamiento del punto 1 y el punto 2el punto 2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
y
v
dy
dyyv
iniciallongitud
ientorgamala
dyy
vvvvpuntodelentoDesplazami
ydirecciónlaenvpuntodelentoDesplazami
y
3
)(1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de los puntos Desplazamiento de los puntos 1 y 31 y 3
Análogamente en la tercera dimensión se tiene: z = ∂w/∂z.
Por lo tanto:
z
w
y
v
x
uzyx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones en dirección de Deformaciones en dirección de los ejes coordenadoslos ejes coordenados
Lo que realmente ocurre es:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de la arista 1-2
=(∂v/∂x)dx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de la arista 1-3Desplazamiento de la arista 1-3
(∂u/∂y)dy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
(∂u/∂y)dy
(∂v/∂x)dx
u+(∂u/∂x)dx
dx+(∂u/∂x)dx
v+(∂v/∂y)dy
dy+(∂v/∂y)dy
(∂v/∂x)dx
(∂u/∂y)dy
La deformación de corte xy sobre un punto es definido como el cambio en el valor del ángulo entre los dos elementos originalmente paralelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y 13), de manera que en nuestro caso.
2xy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angularDeformación angular
x
ventonces
x
ucomo
xuxv
dxxu
dx
dxxv
11
1tan
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angularDeformación angular
y
u
x
v
y
uentonces
y
vcomo
yv
yu
dyyv
dy
dyyu
xy
11
1
tan
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
De manera similar se hace para yz y para xz entonces tendríamos:
z
u
x
w
z
v
y
w
y
u
x
v
yz
yzxy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones angularesDeformaciones angulares
El alargamiento Δu en la dirección X se dijo que era igual a (∂u/∂x)dx, pero esto sucede análogamente en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
(∂w/∂x)dx
(∂v/∂x)dx
dx+(∂u/∂x)dx
Haciendo superposición en el plano XY, se tiene:
dzz
vdy
y
vdx
x
vv
dzz
udy
y
udx
x
uu
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Haciendo superposición en las tres dimensiones:
dzz
wdy
y
wdx
x
ww
dzz
vdy
y
vdx
x
vv
dzz
udy
y
udx
x
uu
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matrices
dz
dy
dx
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
w
v
u
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Matriz de los desplazamientos Matriz de los desplazamientos relativosrelativos
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
Dij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Aplicando la identidad matricial:
jt
ijt
ijij dxDDDDD
2
1
2
1
Se obtiene el siguiente resultado
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Z
W
Z
V
Y
W
Z
U
X
W
Y
W
Z
V
Y
V
Y
U
X
V
X
W
Z
U
X
V
Y
U
X
U
Dij
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
Z
V
Y
W
Z
U
X
W
Y
W
Z
V
Y
U
X
V
X
W
Z
U
X
V
Y
U
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
O también:
0
0
0
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
xy
xz
yz
zzzyzyzxzx
yzyzyyyxyx
xzxzxyxyxx
ijD
ijijijD
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el tensor de rotación
Tensor de deformaciónTensor de deformación
Z
W
Z
V
Y
W
Z
U
X
W
Y
W
Z
V
Y
V
Y
U
X
V
X
W
Z
U
X
V
Y
U
X
U
ij
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de deformaciónTensor de deformación
zzyzx
yzy
yx
xzxyx
ij
22
22
22
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
O también
Tensor de rotación Tensor de rotación ωω
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
Z
V
Y
W
Z
U
X
W
Y
W
Z
V
Y
U
X
V
X
W
Z
U
X
V
Y
U
ij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal unitaria en Deformación normal unitaria en cualquier direccióncualquier dirección
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Según Pitágoras, para tres dimensiones tenemos:
2222
2222
dzdydxr
wdzvdyudxdrr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la segunda de la primera) obtenemos:
2222 2222 wwdzvvdyuudxdrrdr
2
2
22
2
22
2
22
2
2222 r
w
r
wdz
r
v
r
vdy
r
u
r
udx
r
dr
r
dr
Dividiendo por 2r
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2
Sabemos que:
rndznr
dz
rmdymr
dy
rldxlr
dx
cos
cos
cos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2
2
22
2
22
2
22
2
2222 r
w
r
wnr
r
v
r
vmr
r
u
r
ulr
r
dr
r
dr
r
wn
r
vm
r
ul
r
dr
Despreciando términos cuadráticos por ser muy pequeños se tiene:
Entonces la ecuación quedaría:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
dzz
wdy
y
wdx
x
w
r
n
dzz
vdy
y
vdx
x
v
r
mdz
z
udy
y
udx
x
u
r
l
r
dr
Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
rnz
w
r
nrm
y
w
r
nrl
x
w
r
n
rnz
v
r
mrm
y
v
r
mrl
x
v
r
m
rnz
u
r
lrm
y
u
r
lrl
x
u
r
l
r
dr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sabiendo que:
z
u
x
w
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
xzyzxy
zyx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normalDeformación normal
nmnlmlnml yzxzxyzyxn 222
Si comparamos esta ecuación con la ecuación del esfuerzo normal
podemos observar la estrecha relación que guardan ambas ecuaciones y por consiguiente se da el siguiente diccionario.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222
2
2
2
yzyzzz
xzxzyy
xyxyxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Correspondencia entre Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesesfuerzos y deformaciones
33
22
11
,,,,2
nmlnml
Correspondencia entre esfuerzos Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesy deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
zzyzx
yzy
yx
xzxyx
22
22
22
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijij
Correspondencia entre esfuerzos Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesy deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de compatibilidad para Ecuaciones de compatibilidad para las deformacioneslas deformaciones
Los desplazamientos de un punto en un cuerpo deformado están dados por las tres componentes u v y w, como funciones continuas de x, y, z y las deformaciones están definidas por seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si se tienen las tres componentes de los desplazamientos, todas las componentes de la deformación pueden ser determinadas mediante el siguiente procedimiento.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Las tres primeras ecuaciones se deducen de la siguiente manera:
Se parte de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz.
Se derivan cada una de ellas dos veces en relación a las variables que aparecen como subíndices.
En los resultados se sustituyen las derivadas ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus respectivas expresiones x, y, z.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesdeformaciones
yxxy
xzzx
zyyz
xyyx
zxxz
yzzy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ecuaciones de compatibilidad para las ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesdeformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Se parte también de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz.
Se deriva cada una de ellas con respecto a la variable que no aparece en el subíndice.
Se suman los resultados obtenidos. A esta suma se resta cada vez el doble de
cada una de las derivadas, obteniéndose tres expresiones en donde aparecen en los segundos miembros las derivadas segundas de las componentes u, v y w.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesdeformaciones
Se deriva cada una de estas tres igualdades respectivamente con respecto a la tercera variable x, y o z que no aparecen en las segundas derivadas.
En los resultados se sustituyen las derivadas ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus expresiones x, y, z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesdeformaciones
yxzzxz
xzyxzy
zyxzyx
zxyzxyy
yzxyzxx
xyzxyzz
2
2
2
2
2
2
ecuaciones de compatibilidad para las ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesdeformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones principalesDeformaciones principales
0
22
22
22
n
m
l
izzy
zyzx
zx
yzyziy
yxyx
xzxz
xyxyix
Para hallar las deformaciones principales se hace el mismo procedimiento que con los esfuerzos principales, esto es debido a la analogía de las ecuaciones.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La condición para que el anterior sistema de ecuaciones lineales homogéneas presente soluciones no triviales es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero, es decir:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones principalesdeformaciones principales
0
22
22
22
izzyzx
yziy
yx
xzxyix
Ecuación característicaEcuación característica
0322
13 JJJ iii
Desarrollar el determinante anterior proporciona una ecuación característica de tercer grado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes del tensor de las Invariantes del tensor de las deformacionesdeformaciones
222
3
2222
1
2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx
yzxzxyzxzyyx
zyx
J
J
J
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes del tensor de las Invariantes del tensor de las deformacionesdeformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
zzyzx
yzy
yx
xzxyx
J
22
22
22
3
El invariante J3 es el determinante del tensor de deformación
222222
4
1
4
1
4
1yzyzxzxzxyxy
4442222
444222
3
222
2
1
xyz
xzy
yzx
yzxzxyzyx
yzxzxyzxzyyx
zyx
J
J
J
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Como
Entonces los invariantes se escriben:
Invariantes de las deformaciones en Invariantes de las deformaciones en función de las deformaciones función de las deformaciones
principales.principales.
3213
3132212
3211
J
J
J
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principalesDirecciones principales
Tomando las dos últimas ecuaciones del sistema lineal homogéneo y resolviendo se pueden hallar los cosenos directores:
22
2
2
22
2
2
yzxz
iyxy
i
xziz
xyzy
i
izyz
zyiy
i NML
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si llamamos:
izyz
zyiy
iA
2
2
2
22
xziz
xyzy
iB
22
2
yzxz
iyxy
iC
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
direcciones principalesdirecciones principales
222
222
222
iii
ii
iii
ii
iii
ii
CBA
CN
CBA
BM
CBA
AL
Entonces los cosenos directores serían:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
direcciones principalesdirecciones principales
Estado de deformación en el punto P Estado de deformación en el punto P referido al sistema coordenado referido al sistema coordenado
ortogonalortogonal
El estado de deformación en el punto P viene dado por:
Deformación resultante. Deformación normal. Deformación angular.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación resultante en el punto P Deformación resultante en el punto P (vectorial y escalar)(vectorial y escalar)
kNjMiL
kSjSiS
s
s
ˆˆˆ
ˆˆˆ
321
321
223
222
221 NMLss
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal en el punto P Deformación normal en el punto P (vectorial y escalar)(vectorial y escalar)
23
22
21
ˆˆˆ
NML
kNjMiL
nn
nnnn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular en el punto P Deformación angular en el punto P (vectorial y escalar)(vectorial y escalar)
22231
22232
22221
2
222
321
2
2
ˆˆˆ2
NLNMML
kNjMiL
t
nst
nnnt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones normales máximasDeformaciones normales máximas
2
22
213
312
321
n
nn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones angulares máximasDeformaciones angulares máximas
22
22222
213
31
max
2321
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Circulo de Mohr para deformacionesCirculo de Mohr para deformaciones
En el circulo de Mohr para el caso de deformaciones, las coordenadas del punto A corresponden a las componentes cartesianas ( , /2) del vector s. Estas componentes estan relacionadas con las deformaciones principales y con los cosenos directores del vector normal.
1222
23
22
21
2223
222
221
NML
NML
NML
n
s
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2313
21
2
2
1232
13
2
2
3121
32
2
2
2
22
N
ML
Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tomando, por ejemplo, la primera ecuación, podemos observar lo siguiente: como L2≥0 y (1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que:
02 32
2
Análogamente se hace para las otras dos ecuaciones, obteniéndose lo siguiente:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2
21
2
21
2
2
31
2
31
2
2
32
2
32
2
222
222
222
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Centros de los círculos de Mohr para Centros de los círculos de Mohr para deformacionesdeformaciones
0,2
0,2
0,2
213
312
321
C
CC
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Radios de los círculos de Mohr para Radios de los círculos de Mohr para deformacionesdeformaciones
2
22
213
312
321
R
RR
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Círculos de Mohr para deformacionesCírculos de Mohr para deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos a seguir para obtener la Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto Aubicación del punto A
Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.
Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.
Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Se mide el ángulo = arc cos(N) a partir de una vertical trazada por 3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ángulo que corta a las círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.
Con centro en C3 se traza el arco S1S2.
Los dos arcos se interceptan en el punto “A” cuyas componentes son las deformaciones buscadas.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos a seguir para obtener la ubicación Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto Adel punto A
Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto común (A).
Pasos a seguir para obtener la ubicación Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto Adel punto A
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Solución gráficaSolución gráfica
Q2
Q3
S1
S2A
n
t
s
Cambio unitario de volumenCambio unitario de volumen
El cambio unitario de volumen en un punto de un cuerpo sometido a un estado de esfuerzo triaxial se puede determinar considerando un elemento de volumen. El volumen original que tiene este elemento es Vo = dxdydz y el volumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfz donde:
)1()1(
)1()1(
)1()1(
0
0
0
zzfz
yyfy
xxfx
dxLL
dxLL
dxLL
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Las anteriores son las longitudes finales de cada arista, de esta forma el volumen final sería:
dxdydzV zyxf 111
dxdydzVVV zyxf 11110
Por lo tanto el cambio de volumen sería:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
cambio unitario de volumencambio unitario de volumen
El cambio unitario de volumen o deformación volumétrica sería:
11110
zyxV
V
10
JV
Vzyx
Despreciando el producto de cantidades pequeñas:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
cambio unitario de volumencambio unitario de volumen
Relación de PoissonRelación de Poisson
Cuando una pieza se somete a un esfuerzo normal de tensión en una dirección dada, en la dirección del esfuerzo se produce un alargamiento y en cada una de las direcciones perpendiculares aparece una contracción. Si la pieza se somete a un esfuerzo de compresión, sucede lo contrario, hay una contracción en dirección del esfuerzo y un alargamiento en cada una de las direcciones perpendiculares.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
A la dirección del esfuerzo se le llama axial, y a las direcciones perpendiculares se les llama transversales. Se le da el nombre de Relación de Poisson () al cociente de la deformación unitaria transversal y la deformación unitaria axial
x
z
x
y
a
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
relación de Poissonrelación de Poisson
Dando a los alargamientos el signo positivo y a las contracciones un signo negativo tendríamos:
Esfuerzo a tracción en la dirección Ox
Esfuerzo a compresión en la dirección Ox
xzxy
xzxy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
relación de Poissonrelación de Poisson
Módulo de ElasticidadMódulo de Elasticidad
La relación entre el esfuerzo y la deformación en la región elástica es una relación lineal. Esta idealización amplia y su generalización aplicable a todos los materiales se conoce como Ley de Hooke (σ = E), que significa simplemente que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, donde la constante de proporcionalidad (E) es el módulo de elasticidad o módulo de Young.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
módulo de elasticidadmódulo de elasticidad
Módulo de RigidezMódulo de Rigidez
Igualmente que para el módulo de elasticidad, se sabe que existe una relación lineal entre el esfuerzo tangencial o de corte y la deformación angular. Se llama Módulo de Rigidez al cociente del esfuerzo de corte y la deformación angular (G = /)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
12
EG
G
módulo de rigidezmódulo de rigidez
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ley de Hooke en tres dimensionesLey de Hooke en tres dimensiones Todo esfuerzo normal actuando en dos caras
opuestas de un elemento cúbico produce una deformación longitudinal proporcional al esfuerzo aplicado y del mismo signo.
Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismo tiempo una deformación transversal de signo opuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitud es una fracción de la deformación longitudinal.
Si en dos caras contiguas de un elemento cúbico y en sus caras opuestas actúan esfuerzos tangenciales en equilibrio, se produce una deformación angular, proporcional al esfuerzo tangencial actuante.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Es decir:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo σx σy σz
Ox σx/E -σy/E -σz/E
Oy -σx/E σy/E -σz/E
Oz -σx/E -σy/E σz/E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
A los alargamientos se les ha dado un signo positivo y al acortamiento un signo negativo, entonces se tiene
Ecuaciones de deformaciones en Ecuaciones de deformaciones en función de esfuerzosfunción de esfuerzos
xzxzyxzz
yzyzzxyy
xyxyzyxx
EE
EE
EE
121
121
121
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2111
2111
2111
zyxzz
zyxyy
zyxxx
EE
EE
EE
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de esfuerzos en Ecuaciones de esfuerzos en función de deformacionesfunción de deformaciones
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
1211
1211
1211
Otra forma de escribirlo sería:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantesEsfuerzos cortantes
12
12
12
yzyzyz
xzxzxz
xyxyxy
EG
EG
EG
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Para hallar los esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales se procede de la siguiente manera
2111
321
EE i
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos principales en función de Esfuerzos principales en función de las deformaciones principaleslas deformaciones principales
Constante de LameConstante de Lame
211
E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos en función de la constante Esfuerzos en función de la constante de Lamede Lame
11
11
11
21
21
21
JGJE
JGJE
JGJE
zzz
yyy
xxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos principales en función de Esfuerzos principales en función de la constante de Lamela constante de Lame
0
21
21
21
13133
12122
11111
yzxzxy
JGJE
JGJE
JGJE
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre esfuerzos y Relación entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohrdeformaciones en el circulo de Mohr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
RosetasRosetas
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
θa
θb
θc
Ecuaciones de rosetasEcuaciones de rosetas
ccxycycxc
bbxybybxb
aaxyayaxa
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
22
22
22
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación