Tema 8. Teorema de Pitágoras . SemejanzaMaterial necesario:� Escuadra� Cartabón� Regla� Transportador de ángulos� Compás� Calculadora� Libro de texto nuevo!!!!!!!!!!!!!!

8.1 Teorema de PitágorasPágina 172 Actividades1. Comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos,

comprueba si cada triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.a) 26 cm, 24 cm, 10 cm� lado mayor� 26cm � 262 � 676

� lados menores�10cm

24cm�

102 � 100

242 � 576� 100� 576 � 676

Comparamos: 676 � 676Entonces el triángulo es rectángulo.d) 15 dam, 17 dam, 8 dam� lado mayor� 17 dam� 172 � 289

� lados menores�15 dam

8 dam�

152 � 225

82 � 64� 225� 64 � 289

Comparamos: 289 � 289Entonces el triángulo es rectángulo.g) 33 m, 28 m, 33 m

� lados mayores�33 m

33 m�

332 � 1089

332 � 1089� 1089� 1089� 2178

� lado menor� 28 m� 282 � 784Comparamos 784 � 2178Entonces es un triángulo acutángulo

Tareas 15-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 1

Página 173 Actividades2 Halla la longitud de la hipotenusa.

1

Conocemos los dos catetos y queremos calcular la hipotenusa:1. a � b2 � c2 � 152 � 362 � 225� 1296 � 1521 � 39La hipotenusa mide 39 cm3 Halla la longitud del cateto desconocido.

Conocemos un cateto y la hipotenusa, hemos de calcular el otro cateto.c � a2 � b2 � 372 � 122 � 1369� 144 � 1225 � 35 cmTareas 16-04-2013: 4 y 5 de la página 173

8.2 Aplicaciones del Teorema de PitágorasTareas 16-04-2013: todos los ejercicios de la página 175

8.3 Figuras semejantesEjemploConsideramos los siguientes triángulos rectángulos construidos con el cartabón.

2

Consideramos los siguientes cocientes de los lados respectivos:�

a�a � 7

5� 1. 4

�b�b

� 8.065.83

� 1. 3825� 1.4

�c�c � 4

3� 1. 3333� 1.3

Este número fruto del cociente de los lados de la segunda figura entre los respectivos de laprimera es la razón de semejanza que transforma la primera figura en la segunda.

Calculamos la áreas de nuestro triángulos rectángulos:

� Área triángulo 1� base� altura2

� 5 � 32

� 152

� 7. 5 cm2

� Área triángulo 2� base� altura2

� 7 � 42

� 14 cm2

Como antes hemos dividido grande entre pequeño, ahora hacemos lo mismo:

�147.5

� 1. 8667� 1.9

Calculamos su raíz cuadrada 1.9 � 1. 3784� 1.4Se cumple que la rázon de semejanza de las áreas es el cuadrado de la rázon de semejanza de loslados.

EjemploConsideramos los siguientes prismas de base rectangular.

Vamos a considerar los cocientes de los lados respectivos de los dos prismas (las medidas de los ladospequeños entre los grandes):

3

�aa�

� 2.244.47

� 0.50112

�bb�

� 36

� 0.5

�cc�

� 48

� 0.5

Resulta que la razón de semejanza del primer prisma respecto del segundo es 0.5.Vamos a calcular los volúmenes de los dos prismas:� Volumen prisma pequeño� 2.24� 3 � 4 � 26. 88cm3

� Volumen prisma grande� 4.47� 6 � 8 � 214. 56cm3

Ahora hacemos el cociente del pequeño entre el grande, pensando en volúmenes: 26. 88214. 56

� 0.12528

Por otro lado, calculamos el cubo de la razón de semejanza: 0.53 � 0.125Se cumple que la razón de semejanza de sus volúmenes es el cubo de la razón de semejanza de loslados.Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 177Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 178

8.4 Planos , mapas , maquetas .Ejemplo de la página 179� Distancia Algeciras a Ceuta

� En el mapa� 6 mm� En la realidad� 29 km29 km6 mm

�29000000mm

6 mm� 29000000

6� 4833300

No nos queda 4500000pues no hemos medido muy bien con la regla sobre el mapa.� Distancia entre Ceuta y Melilla

� En el mapa� 5 cm� En la realidad� 225km225km5 cm

�22500000cm

5 cm� 22500000

5� 4. 5� 106 � 4500000

Aquí claramente hemos medido mejor sobre el mapa.

Ejemplo de la página 180� Vamos a calcular la superficie de la cocina.

La cocina es un rectángulo, por lo que su superficie será el largo por el ancho.El largo es 4 m en la realidad.¿El ancho?En el plano el ancho de la cocina es 2.4 cm. En la realidad será 2.4 � 100 � 240.0cm� 2.40mPor lo tanto, la superficie de la cocina será 4 � 2.4 � 9. 6 m2

PÁGINA 180 EJERCICIOS2 En este plano, la distancia real entre los puntos A y B es de 120 m. Obtén la escala a la que

está el plano y las distancias reales entre BC,BD y CA.En el plano la distancia entre los puntos A y B es 5 cm.

La escala saldrá de120m5 cm

�12000cm

5 cm� 12000

5� 2400

La escala es 1 : 2400� Distancia real BC

Distancia en el plano BC� 2 cmDistancia en la realidad es 2 � 2400� 4800cm� 48 m

� Distancia real BDDistancia en el plano BD� 4.3 cmDistancia en la realidad es 4.3 � 2400� 10320.0cm� 103.2m

4

� Distancia real CADistancia en el plano CA� 6.1 cmDistancia en la realidad es 6.1 � 2400� 14640.0cm� 146.4m

Tareas 24-04-2013: 1,3

8.5 Teorema de TalesPágina 181 ActividadesTareas 25-04-2013: todos los ejercicios de la página 181

8.6 Semejanza de triángulosUn criterio de semejanza de triángulos (página 182 triángulos a la izquierda)

Triángulo Grande

ángulo A � 40º

ángulo B � 110º

ángulo C � 30º

lado AB �

lado BC �

lado CA �

Triángulo pequeño

ángulo A� � 40º

ángulo B� � 110º

ángulo C� � 30º

lado A�B� �

lado B�C� �

lado C�A� �

Se comprobará de esa forma que:

ángulo A � ángulo A�

ángulo B � ángulo B�

ángulo C � ángulo C�

Y hemos de calcular las razones:

ABA�B�

�

BCB�C�

�

CAC�A�

�

Entonces la razón de semejanza es r � 0.6

Por lo tanto los tríangulos son semejantes.

Tareas 30-04-2013; todos los ejercicios de la página 182

Ejemplo de semejanza de triángulos rectángulos1º Ejemplo

Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de sus catetos:� uno que tenga de catetos 2 y 3 cm� ABCsiendo el ángulo recto A� otro que tenga de catetos 6 y 9 cm� A�B�C� siendo el ángulo recto A�

5

� Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos.

Medimos triángulo ABC A� 90º C � 35º

triángulo A�B�C� A� � 90º C� � 35º

Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes.

2º Ejemplo

Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de un cateto y la hipotenusa:� uno que tenga de catetos 3 cm y de hipotenusa 5 cm� ABCsiendo el ángulo recto A� uno que tenga de catetos 6 cm y de hipotenusa 10 cm� A�B�C� siendo el ángulo recto A�

Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos.

� Medimos triángulo ABC A� 90º B � 53º

triángulo A�B�C� A� � 90º B� � 53º

Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes.Tareas 30-04-2013: todos los ejercicios de la página 183

8.7 Aplicaciones de la semejanza de triángulosTareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 184

PÁGINA 184 ACTIVIDADES1.

6

Como estamos estudiando las sombras en el mismo momento, tenemos dos triángulosrectángulos que tienen la siguiente relación entre los ángulos respectivos:�  � Â�� Ĉ � Ĉ�

Entonces esos triángulos son semejantes. En particular se cumple que:ABA�B�

� CBC�B�

�

Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 185

8.8 Construcción de una figura semejante a otraEjemplo 1Construimos un cuadrilátero pequeño ABCDen la izquierda de la hoja, no al lado del margen. Pintamosun punto E junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por losvértices del cuadrilátero. Medimos los cuatro segmentos EA,EB,EC,ED para luego marcar puntosG,F,H, I sobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que:

EG � 2EA

EF � 2EB

EH � 2EC

EI � 2ED

En ambos cuadriláteros medimos los lados.

En el cuadrilátero ABCDmedimos los lados:En el cuadrilátero FGHI medimos los lados:

Se cumple que ABFG

� BCGH

� CDHI

� DAIF

� 12

es la razón de semejanza

7

Ejemplo 2Construimos un triángulo grande ABCen la derecha de la hoja, cerca del margen. Pintamos un punto Djunto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices deltriángulo. Medimos los tres segmentos DA,DB,DC para luego marcar puntos E,F,G sobre cada una delas semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que:

DE � DA4

DF � DB4

DG � DC4

En el triángulo ABCmedimos los lados:En el triángulo EFG medimos los lados:

Se cumple que ABA�B�

� BCB�C�

� CAC�A�

� 4 es la razón de semejanza

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1. Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

Como el triángulo ABCes rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir;hipotenusa2 �cateto2 �cateto2

En particular en nuestro caso es: hipotenusa2 � 14� 30 � 44 cm2 es el área del otro cuadrado.Tareas 08-05-2013: 1(figura derecha), 23 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.

a) 15 cm, 10 cm, 11 cm

8

Hay que calcular los cuadrados de los lados:

152 � 225

102 � 100

112 � 121

� 225 � 100� 121 � 221entonces es obtusángulo

b) 35 m, 12 m, 37 mHay que calcular los cuadrados de los lados:

352 � 1225

122 � 144

372 � 1369

� 1369� 1225� 144 � 1369entonces es rectángulo.

Tareas 08-05-2013: 3(c,d,e,f,g)4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo:

Como el triángulo es rectángulo se puede aplicar el Teorema de Pitágoras:b2 � a2 � c2

652 � 162 � c2

4225� 256� c2

c2 � 4225� 256 � 3969c � 3969 � 63 mm

Tareas 08-05-2013: 4(figura izquierda), 57 Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5.8 cm, y uno de sus lados, 4cm.

El triángulo ABC es rectángulo, por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.

9

AC2 � AB2 � BC2

5.82 � AB2 � 42

33.64� AB2 � 16AB2 � 33.64� 16 � 17. 64AB � 17.64 � 4. 2 cmEl perímetro es la suma de todos los lados:4.2 � 2 � 4 � 2 � 8.4� 8 � 16. 4cm

Tareas 09-05-2013: 89 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, el lado oblicuo mide 10

dm. Calcula la altura.

Podemos aplicar en el triángulo rectángulo BEC el Teorema de Pitágoras:BC2 � BE2 � CE2

102 � BE2 � 62

100 � BE2 � 36BE2 � 100� 36 � 64BE � 64 � 8 dm es la altura.

Tareas 09-05-2013: 10,1112 Halla la longitud x en cada uno de las siguientes figuras.

C)

Tenemos el triángulo rectángulo GHB donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: x seríala apotema del hexágono regular (perpendicular desde el centro del polígono a uno de suslados)

10

GB2 � GH2 � HB2

22 � x2 � 12

4 � x2 � 1x2 � 4 � 1 � 3x � 3 � 1. 7321� 1.7 kmAtención: como se trata de un hexágono regular, el radio coincide con el lado. Además, laapotema divide al lado en dos partes iguales.

Tareas 09-05-2013:12(a,b,d)13 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello,

tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,...) . Si noes exacta, hállalo con una cifra decimal.a) Se trata de un trapecio rectángulo.Desconocemos uno de los lados, por lo que tendremos que calcularlo. Para poder aplicar elTeorema de Pitágoras, habremos de construir un triángulo rectángulo.Trazamos el tríangulo rectángulo AED; en el podemos aplicar el teorema de Pitágoras.AD2 � AE2 � DE2

2.92 � 22 � DE2

8.41 � 4 � DE2

DE2 � 8.41� 4 � 4. 41DE � 4.41 � 2. 1 mEntonces el perímetro P � 2.9� 20� 18� 2.1 � 43.0mÁrea �area del triángulo rectángulo� área del rectángulo�

� base� altura2

� base� altura � 2 � 2.12

� 2.1 � 18 � 2.1� 37.8 � 39. 9m2

Tareas 13-05-2013: 13(b), 1415

11

� Área de los cuatro segmentos circulares�área círculo�área cuadrado� 78.5� 50.4 � 28.1 cm2

área círculo� �r2 � � � 52 � 25� � 78. 540� 78.5cm2

área cuadrado� l 2 � 7.12 � 50. 41� 50.4cm2

Como no lo conocemos, hemos de aplicar el Teorema de Pitágoras en un triángulorectángulo.Como estamos trabajando en un cuadrado, el triángulo DCE es rectángulo isósceles(DE � EC�.DC2 � EC2 � DE2

DC2 � 52 � 52 � 25� 25 � 50DC � 50 � 7. 0711� 7.1 cm

� Perímetro segmento circular�Perímetro círculo�Perímetro cuadrado� 31.4� 28.4 � 59. 8cmPerímetro círculo� 2�r � 2�5 � 31. 416� 31.4cmPerímetro cuadrado� 4 � 7.1 � 28. 4cm

Tareas 13-05-2013: 16,17,18Tareas 14-05-2013: 2425 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala el doble de su tamaño

proyectándola desde el punto exterior, E:

Trazamos semi-rectas partiendo de E y pasando por cada uno de los cuatro vértices de la punta deflecha. Medimos las distancias AE,BE,CE,DE. Sobre cada una de las semi-rectasdeterminamos,respectivamente, puntos F,G,H, I de forma que:

12

FE � 2AE

GE � 2BE

HE � 2CE

IE � 2DE

Al unir los cuatro puntos así determinados, nos queda la figura pedida.Tareas 14-05-2013: 2628 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan.

Triángulo grande�falta B�

Triángulo pequeño�falta B� �,Ĉ�,a�,b�En el triángulo grande aplicamos que la suma de los ángulos interiores es 180º :B� � 180� �33� 51� � 180� 84 � 96ºComo los triángulos son semejantes se cumple que los ángulos respectivos son iguales.B� � � B� � 96ºĈ� � Ĉ � 51ºSólo nos falta por calcular los lados del triángulo pequeño.� c�

c�51

� 2040

�producto de medios es igual a producto de extremos� c� � 20 � 5140

� 512

�

25. 5m� b�

b�73

� 2040

�producto de medios es igual a producto de extremos� b� � 20 � 7340

�

732

� 36. 5m

29 Explica por qúe estos dos triángulos isósceles son semejantes:Se dice que un triángulos es isósceles si tiene dos lados iguales; por lo que, también se cumpleque tiene dos ángulos iguales.En los triángulos que nos dan, se cumple que tienen el ángulo desigual que vale 20º. Por lo quela suma de los otros dos será 180� 20 � 160º, por lo que cada uno de ellos mide 160

2� 80º.

Por lo tanto, tenemos dos triángulos que tienen sus tres ángulos respectivos iguales; entoncesesos dos triángulos son semejantes.

Tareas 16-05-2013:3032 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa? ¿Y la del árbol más

alto?� ¿Cuál es la altura de la casa?

En el dibujo la puerta mide 1 cm que en la realidad son 3 m.En el dibujo la casa mide 2.6 cm que en la realidad son 2.6 � 3 � 7. 8 m

� ¿Y la del árbol más alto?En el dibujo el árbol más alto mide 2.5 cm que en la realidad son 2.5 � 3 � 7. 5 m

33 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulosemejante a él mide 12 cm. Halla:a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo.

La razón de semejanza es 1210

� 65

� 1. 2

Atención: se está pasando de una figura pequeña a otra más grande.b) El lado mayor del segundo.Como tenemos la razón de semejanza del pequeño al grande será 15 � 1.2 � 18.0cmc) Las áreas de ambos rectángulos.Área rectángulo pequeño� 10 � 15 � 150cm2

Área rectángulo grande� 12 � 18 � 216cm2

13

Tareas 16-05-2013: 3435 Se cae un poste de 14.5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la

altura a la que lo golpea?Esquemáticamente tenemos el siguiente triángulos rectángulo:

Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto que falta:AC2 � CB2 � AB2

14.52 � CB2 � 102

CB2 � 210.25� 100CB � 110.25 � 10. 5m es la altura a la que golpea el edificio.

36 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de altura en medio de una cuerda de34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A quédistancia del suelo queda la estrella?

14