24
IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN 1 1. Halla el dominio de definiciĂłn de las siguientes funciones: a) 1 2 ) ( = x x f funciĂłn polinĂłmica ℜ = → ) ( f Dom b) 8 ) ( 3 - - = x x x f funciĂłn polinĂłmica ℜ = → ) ( f Dom c) 1 ) ( 2 + + = x x x f funciĂłn polinĂłmica ℜ = → ) ( f Dom d) 9 6 ) ( 4 9 + - = x x x f funciĂłn polinĂłmica ℜ = → ) ( f Dom e) 6 2 ) ( 5 + - = x x x f funciĂłn polinĂłmica ℜ = → ) ( f Dom f) 3 ) 1 ( ) ( - = x x f funciĂłn polinĂłmica ℜ = → ) ( f Dom g) x x f 3 7 1 ) ( - = funciĂłn racional - ℜ = = - - ℜ = → 3 7 } 0 3 7 / { ) ( x x f Dom 3 7 7 3 0 3 7 = ⇒ - = - ⇒ = - x x x h) 1 4 1 ) ( 2 - = x x f funciĂłn racional - - ℜ = = - - ℜ = → 2 1 , 2 1 } 0 1 / { ) ( 2 x x f Dom 2 1 ĂČ 2 1 4 1 1 4 0 1 4 2 2 = - = ⇔ ± = ⇔ = ⇔ = - x x x x x i) 3 4 2 ) ( 2 7 - - = x x x x f funciĂłn racional { } 3 , 1 } 0 3 4 / { ) ( 2 - ℜ = = + - - ℜ = → x x x f Dom = = = ± = - ± = ⇔ = + - 1 3 2 2 4 2 12 16 4 0 3 4 2 x x x x x j) 3 1 ) ( x x f = funciĂłn racional { } 0 } 0 / { ) ( 3 - ℜ = = - ℜ = → x x f Dom 0 0 0 3 3 = ⇔ = ⇔ = x x x k) 5 7 ) ( 2 - = x x f funciĂłn racional { } 5 , 5 } 0 5 / { ) ( 2 - - ℜ = = - - ℜ = → x x f Dom 5 5 0 5 2 2 ± = ⇔ = ⇔ = - x x x l) 1 1 ) ( 4 - = x x f funciĂłn racional { } 1 , 1 } 0 1 / { ) ( 4 - - ℜ = = - - ℜ = → x x f Dom 1 1 1 0 1 4 4 4 ± = ⇔ ± = ⇔ = ⇔ = - x x x x m) 1 1 ) ( 3 = x x f funciĂłn racional { } 1 } 0 1 / { ) ( 3 - - ℜ = = + - ℜ = → x x f Dom 1 1 1 0 1 3 3 3 - = ⇔ - = ⇔ - = ⇔ = + x x x x n) 8 9 7 ) ( 3 = x x x f funciĂłn racional { } 2 } 0 8 / { ) ( 3 - - ℜ = = + - ℜ = → x x f Dom 2 8 8 0 8 3 3 3 - = ⇔ - = ⇔ - = ⇔ = + x x x x o) 2 2 3 ) ( x x f - = funciĂłn racional { } 2 , 2 } 0 2 / { ) ( 2 - - ℜ = = - - ℜ = → x x f Dom 2 2 0 2 2 2 ± = ⇔ = ⇔ = - x x x

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

1

1. Halla el dominio de definiciĂłn de las siguientes funciones:

a) 12)( += xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

b) 8)( 3 −−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

c) 1)( 2 ++= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

d) 96)( 49 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

e) 62)( 5 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

f) 3)1()( −= xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

g) x

xf37

1)(

−= función racional

−ℜ==−−ℜ=→

3

7}037/{)( xxfDom

3

773037 =⇒−=−⇒=− xxx

h) 14

1)(

2 −=

xxf funciĂłn racional

−−ℜ==−−ℜ=→

2

1,

2

1}01/{)( 2xxfDom

2

1 ĂČ

2

1

4

114014 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

i) 34

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional { }3,1}034/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom

==

=±=−±=⇔=+−1

3

2

24

2

121640342

x

xxxx

j) 3

1)(

xxf = función racional { }0}0/{)( 3 −ℜ==−ℜ=→ xxfDom

000 33 =⇔=⇔= xxx

k)

5

7)(

2 −=

xxf función racional { }5,5}05/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

5505 22 ±=⇔=⇔=− xxx

l) 1

1)(

4 −=

xxf función racional { }1,1}01/{)( 4 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

11101 444 ±=⇔±=⇔=⇔=− xxxx

m) 1

1)(

3 +=

xxf función racional { }1}01/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

11101 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx

n) 8

97)(

3 ++=

x

xxf función racional { }2}08/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

28808 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx

o) 22

3)(

xxf

−= función racional { }2,2}02/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

2

p) 43

1)(

24 −−−=xx

xxf función racional }043/{)( 24 =−−−ℜ=→ xxxfDom

ïżœ bicuadradaecuaciĂłn 043 24 =−− xx ïżœ 043 variablede Cambio 22 =−−⇒= tttx

⇒−=⇒−=±=⇒=⇒=

=±=+±=⇔=−−realsoluciĂłn tieneno11

244

2

53

2

1693043

2

22

xx

xxtttt

ïżœ Por tanto, { }2,2}043/{)( 24 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom

q) 87

)(36 −−

=xx

xxf función racional }087/{)( 36 =−−−ℜ=→ xxxfDom

ïżœ 087 36 =−− xx ïżœ 087 variablede Cambio 23 =−−⇒= tttx

−=⇒−=⇒−=⇒−=

=⇒==⇒=⇒==±=+±=⇔=−−

1111

22888

2

97

2

32497087

33

332

xxxx

xxxtttt

ïżœ Por tanto, { }2,1}087/{)( 26 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom

r) 99

846)(

23

23

+−−++−=

xxx

xxxxf función racional }099/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

ïżœ 09923 =+−− xxx

9 9 1 1 −− 9 0 1 −+ 0 9 0 1 −

±=⇒=−

=⇒=−⇔=−⋅−⇔=+−−

309

101

0)9()1(0992

223

xx

xx

xxxxx

ïżœ Por tanto, }3,1,3{}099/{)( 23 −−ℜ==+−−−ℜ=→ xxxxfDom

s) 22

3)(

23

2

+−−−=

xxx

xxf función racional }022/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

ïżœ 022 23 =+−− xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+ 0 2 1 1 −−

1

1

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

3

−==

=±=+±=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

1

2

2

31

2

81102

101

0)2()1(022 2223

x

xxxx

xx

xxxxxx

ïżœ }2,1,1{}022/{)( Por tanto, 23 −−ℜ==+−−−ℜ= xxxxfDom

t) xxxx

xxf

33

13)(

234 −−++= función racional }033/{)( 234 =−−+−ℜ=→ xxxxxfDom

ïżœ

=−−+=

⇒=−−+⋅⇒=−−+033

00)33(033

23

23234

xxx

xxxxxxxxx

ïżœ 03323 =−−+ xxx

3 3 1 1 −−+

3 0 1 +− 0 3 0 1 −

±=⇒=−

−=⇒=+⇔=−⋅+⇔=−−+

303

101

0)3()1(0332

223

xx

xx

xxxxx

ïżœ }3,3,1,0{}033/{)( Por tanto, 234 −−−ℜ==−−+−ℜ= xxxxxfDom

u) 43

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional }043/{)( 2 =+−−ℜ=→ xxxfDom

realsoluciĂłn tieneno2

16930432 =−±=⇔=+− xxx

ℜ=)( Por tanto, fDom

v) 4

1)(

2 +−=

x

xxf función racional }04/{)( 2 =+−ℜ=→ xxfDom

realsolución tieneno4404 22 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx ℜ=)( Por tanto, fDom

w) 1681

97)(

4 −+=

x

xxf función racional }01681/{)( 4 =−−ℜ=→ xxfDom

3

2

81

16168101681 444 ±=±=⇔=⇔=− xxx

−−ℜ=

3

2,

3

2)( Por tanto, fDom

1−

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

4

x) 16

97)(

4 ++=

x

xxf función racional }016/{)( 4 =+−ℜ=→ xxfDom

realsolución tieneno1616016 444 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx

ℜ=)( Por tanto, fDom

y) 5)1(

2)(

+−=

x

xxf función racional }1{}0)1/({)( 5 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

1010)1( 5 −=⇔=+⇔=+ xxx

z)

2

3

1

85)(

xx

xxf

++−= función racional }01/{)( 2 =++−ℜ=→ xxxfDom

realsoluciĂłn tieneno2

4110101 22 =−±−=⇔=++⇔=++ xxxxx

ℜ=)( Por tanto, fDom

2. Halla el dominio de definiciĂłn de las siguientes funciones:

a) 826)( +−= xxxf ),0[)()( +∞===→ xyDomfDom

b) xxxf −−+= 32)(

ïżœ ),2[}02/{Dominio2 +∞−=≄+=→+= xxxy

ïżœ ]3,(}03/{Dominio3 −∞=≄−=→−= xxxy Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)( −=−∞∩+∞−=fDom

c) xxf 24)( −= funciĂłn radical con Ă­ndice par ]2,(}024/{)( −∞=≄−ℜ∈=→ xxfDom

22

442024 ≀⇒

−−≀⇒−≄−⇒≄− xxxx

d) 3 24)( xxf −= función radical con índice impar ℜ=−==→ )24()( xyDomfDom

e) x

xf24

1)(

−= función radical con índice par )2,(}024/{)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom

Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.

22

442024 <⇒

−−<⇒−>−⇒>− xxxx

f) 3 24

1)(

xxf

−= función radical con índice impar }2{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 20240243 ≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

g) 4 2 45)( +−= xxxf funciĂłn radical con Ă­ndice par }045/{)( 2 ≄+−ℜ∈=→ xxxfDom

045 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄+− xx

Ceros

==

=±=−±=⇔=+−1

4

2

35

2

162550452

x

xxxx

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

5

),4[]1,()( Por tanto, +∞âˆȘ−∞=fDom

h) 32)( 2 +−= xxxf funciĂłn radical con Ă­ndice par }032/{)( 2 ≄+−ℜ∈=→ xxxfDom

032 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄+− xx

Ceros

realsoluciĂłn tieneno2

12420322 ⇒

−±=⇔=+− xxx

ℜ=)( Por tanto, fDom

i) 352)( 2 −+−= xxxf funciĂłn radical con Ă­ndice par }0352/{)( 2 ≄−+−ℜ∈=→ xxxfDom

0352 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄−+− xx

Ceros

=

==

−±−=

−−±−=⇔=−+−

2

3

1

4

15

4

242550352 2

x

xxxx

=2

3,1)( Por tanto, fDom

j) 43)( 2 +−= xxxf funciĂłn radical con Ă­ndice par }043/{)( 2 ≄+−ℜ∈=→ xxxfDom

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

6

043043 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 22 ≄++−⇒≄+− xxxx

Ceros

=−=

=−

±−=−

+±−=⇔=++−4

1

2

53

2

16930432

x

xxxx

]4,1[)( Por tanto, −=fDom

k) x

xf1

)( = función radical con índice par ),0(}0/{)( +∞=>ℜ∈=→ xxfDom

Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.

l) 3

1)(

xxf = función radical con índice impar }0{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 003 ≠⇔≠⇒ xx

m) 5 2 1)( −= xxf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1()( 2xyDomfDom

n) 5 2 1

1)(

−=

xxf función radical con índice impar }1,1{)( −−ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 10101 25 2 ±≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

o) 4 29

1)(

xxf

−= función radical con índice par }09/{)( 2 >−ℜ∈=→ xxfDom

Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.

ïżœ 0909 22 >+−⇒>− xx Ceros

3909 22 ±=⇔=⇔=+− xxx

ïżœ Por tanto, )3,3(}09/{)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom

p) x

xxf

1)(

−= función radical con índice par

≄−ℜ∈=→ 0

1/)(

x

xxfDom

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

7

01

:inecuaciĂłn laresolver que Tenemos ≄−x

x

Ceros Polos

101 =⇔=− xx 0=x

),1[)0,()( Por tanto, +∞âˆȘ−∞=fDom

q) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }0{1

)( −ℜ=

−==→x

xyDomfDom

r) 2

3)(

−+=

x

xxf funciĂłn radical con Ă­ndice par

≄

−+ℜ∈=→ 0

2

3/)(

x

xxfDom

02

3 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos ≄

−+

x

x

Ceros Polos 303 −=⇔=+ xx 202 =⇔=− xx

),2(]3,()( Por tanto, +∞âˆȘ−−∞=fDom

s) 1

)(2

−=

x

xxf funciĂłn radical con Ă­ndice par

≄−

ℜ∈=→ 01

/)(2

x

xxfDom

01

:inecuaciĂłn laresolver que Tenemos2

≄−x

x

Ceros Polos 002 =⇔= xx 101 =⇔=− xx

),1(}0{)( Por tanto, +∞âˆȘ=fDom

t) 32 23

2)(

+−−=

xx

xxf funciĂłn radical con Ă­ndice impar }2,1{

23

2)(

2−ℜ=

+−−==→

xx

xyDomfDom

==

=±=−±=⇔=+−1

2

2

13

2

8930232

x

xxxx

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

8

u) 23

2)(

2 +−−=

xx

xxf funciĂłn radical con Ă­ndice par

≄

+−−ℜ∈=→ 0

23

2/)(

2 xx

xxfDom

0)1)(2(

)2(0

23

2 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos

2≄

−−−

⇒≄+−

−xx

x

xx

x

Ceros 202 =⇔=− xx

Polos

==

=−±=⇔=+−1

2

2

8930232

x

xxxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞âˆȘ=fDom

v) 33 5

1)(

xxxf

−= función radical con índice impar =

−==→

xxyDomfDom

5

1)(

3

}5,0{}05/{ 3 ±−ℜ==−−ℜ= xxx

±=⇔=−

=⇔=−⋅⇔=−

505

0

0)5(052

23

xx

x

xxxx

w) 32

6

44

15)(

+−+−=

xx

xxxf funciĂłn radical con Ă­ndice impar =

+−+−==→

44

15)(

2

6

xx

xxyDomfDom

}2{}044/{ 2 −ℜ==+−−ℜ= xxx

==

=±=−±=⇔=+−2

2

2

04

2

161640442

x

xxxx

x) 42 65

)7()(

+++=xx

xxxf funciĂłn radical con Ă­ndice par

≄

+++ℜ∈=→ 0

65

)7(/)(

2 xx

xxxfDom

0)3)(2(

)7(0

65

)7( :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos

2≄

+++⇔≄

+++

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

7 ĂČ 00)7( −==⇔=+ xxxx 2 ĂČ 30652 −=−=⇔=++ xxxx

),0[)2,3(]7,()( Por tanto, +∞âˆȘ−−âˆȘ−−∞=fDom

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

9

y) 4

1)(

−+=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

ïżœ ),1[}01/{Dominio1 +∞−=≄+ℜ∈=→+= xxxy

ïżœ ℜ=→−= Dominio4xy

404 ≠⇔≠− xx

),4()4,1[)( Por tanto, +∞âˆȘ−=fDom

z) xx

xxf

2

4)(

2

2

−−=

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

ïżœ ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞âˆȘ−−∞=≄−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄−x

Ceros

2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

ïżœ ℜ=→−= Dominio22 xxy

2y 00)2(022 ≠≠⇔≠−⇔≠− xxxxxx

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

10

),2(]2,()( Por tanto, +∞âˆȘ−−∞=fDom

aa) 1

65)(

4

2

−+−=

x

xxxf

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

ïżœ ℜ=→+−= Dominio652 xxy

ïżœ ),1()1,(}01/{Dominio1 44 +∞âˆȘ−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque el

denominador no puede ser 0)

01 :inecuación laresolver que Tenemos 4 >−x

Ceros

1 ĂČ 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

),1()1,()],1()1,([)( Por tanto, +∞âˆȘ−−∞=+∞âˆȘ−−∞∩ℜ=fDom

bb)27

4)(

3

2

+−=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

ïżœ ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞âˆȘ−−∞=≄−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄−x

Ceros

2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

ïżœ ℜ=→+= Dominio273xy

32727027 333 −≠⇔−≠⇔−≠⇔≠+ xxxx

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

11

),2[]2,3()3,()( Por tanto, +∞âˆȘ−−âˆȘ−−∞=fDom

cc) 3

2

6

4)(

−−=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

ïżœ ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞âˆȘ−−∞=≄−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄−x

Ceros

2 ĂČ 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

ïżœ ℜ=→−= Dominio63 xy

606063 ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),6()6,2[]2,()( Por tanto, +∞âˆȘâˆȘ−−∞=fDom

dd)3 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

12

ïżœ ℜ=→+= Dominio72xy

ïżœ ℜ=→−= Dominio93 xy

rdenominado al anula porque dominio elen está no 9 luego 9093 →≠⇔≠− xx

}9{)( Por tanto, −ℜ=fDom

ee) 6 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h estĂĄn definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

ïżœ ℜ=→+= Dominio72xy

ïżœ )9,(}09/{Dominio96 −∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (mayor estricto porque el radical estĂĄ en el

denominador y, por tanto, no puede anularse)

)9,()( Por tanto, −∞=fDom

3. Halla el dominio de definiciĂłn de las siguientes funciones:

a) )23ln()( +−= xxf { }

∞−=>+−ℜ∈=→3

2,023/)( xxfDom

3

223023 <⇔−>−⇔>+− xxx

b) xxf 3log)( −= { } )0,(03/)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom

03

00303 <⇔

−<⇔>−⇔>− xxxx

c) )5ln()( 2xxf −= { } )5,5(05/)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom

0505 :inecuación laresolver que Tenemos 22 >+−⇒>− xx

Ceros

5505 22 ±=⇔=⇔=+− xxx

d) 3 1ln)( −= xxf ),1(}1/{}01/{}01/{Dominio 3 +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxxxx

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13

e) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{Dominio 2 +∞âˆȘ−∞=>+−ℜ∈=→ xxx

023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >+− xx Ceros

1

2

2

13

2

8930232

==±=−±=⇔=+−

x

xxxx

),2()1,()( Por tanto +∞âˆȘ−∞=fDom f) )3log()( 2 −= xxf ),3()3,(}03/{Dominio 2 +∞âˆȘ−−∞=>−ℜ∈=→ xx

03 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >−x

g)

−+++−=152

2log)(

2

2

xx

xxxf

>−+++−ℜ∈=→ 0152

2/)(

2

2

xx

xxxfDom

0)5)(3(

)2)(1(0

152

2 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos

2

2

>+−−+−⇔>

−+++−

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

2 o 1022 =−=⇔=++− xxxx 5 o 301522 −==⇔=−+ xxxx

)3,2()1,5()( Por tanto, âˆȘ−−=fDom

h) 1ln)( −= xxf ),[}1ln/{}01ln/{Dominio +∞=≄ℜ∈=≄−ℜ∈=→ exxxx

),[1ln 1ln +∞∈⇔≄⇔≄⇔≄ exexeex x

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14

i) 3

ln)(

−=

x

xxf

ïżœ ),0(Dominioln +∞=→= xy

ïżœ ),3(}03/{Dominio3 +∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque al estar el

radical en el denominador no puede ser 0)

El dominio de la funciĂłn es la intersecciĂłn de los dos intervalos anteriores,

Por tanto, ),3()( +∞=fDom

j) )1ln(

)(−

=x

xxf

ïżœ ℜ=→= Dominioxy

ïżœ ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy

2110)1ln( ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞âˆȘ=fDom

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15

k) 29log)( xxf −= )3,3(}09/{}09/{Dominio 22 −=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxx

09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x

Ceros

3 ĂČ 39909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

l) 1

)3ln()(

2 −+=

x

xxf

ïżœ ),3(}03/{Dominio)3ln( +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy

ïżœ ),1()1,(}01/{Dominio1 22 +∞âˆȘ−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque

al estar el radical en el denominador no puede ser 0)

01 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >−x

Ceros

1 ĂČ 11101 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

El dominio de la funciĂłn es la intersecciĂłn de los dos intervalos anteriores,

),1()1,3()( por tanto, +∞âˆȘ−−=fDom

m) x

xxf

)7log()(

+=

ïżœ ),7(}7/{}07/{Dominio)7log( +∞−=−>ℜ∈=>+ℜ∈=→+= xxxxxy

ïżœ }0{Dominio −ℜ=→= xy (eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse)

),0()0,7(})0{(),7()( Por tanto, +∞âˆȘ−=−ℜ∩+∞−=fDom

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16

n)

+=x

xxf

7log)(

>+ℜ∈=→ 0

7/Dominio

x

xx

Ceros Polos

707 −=⇒=+ xx 0=x

),0()7,()( Por tanto, +∞âˆȘ−−∞=fDom

o) 3log

92)(

+−=x

xxf

ïżœ ℜ=→−= Dominio92xy

ïżœ ),3(}03/{Dominio3log +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy

2131303log −≠⇔≠+⇔≠+⇔≠+ xxxx

El dominio de la funciĂłn es el conjunto de nĂșmeros reales que cumplen todas las condiciones anteriores,

),2()2,3(}2{)],3([)( por tanto, +∞−âˆȘ−−=−−+∞−∩ℜ=fDom

p) 25)( −= xxf ℜ=−==→ )2(Dominio xyDom

q) xxf −= 15)( =≄ℜ∈=≄−ℜ∈=−==→ }1/{}01/{)1(Dominio xxxxxyDom

]1,(}1/{ −∞=≀ℜ∈= xx

r) 22)( −= xxf ),0[)()2(Dominio +∞===−==→ xyDomxyDom

s) 22)( −= xxf ),2[}2/{}02/{)2(Dominio +∞=≄ℜ∈=≄−ℜ∈=−==→ xxxxxyDom

t) 132

2

1)(

+−

=xx

xf ℜ=+−==→ )13(Dominio 2 xxyDom

u) xxxf −−= 9)52()(

ïżœ

+∞∈→>⇒>⇒>− ,2

5

2

552052 xxxx

ïżœ ℜ=→−= Dominio9 xy

+∞=ℜ∩

+∞= ,2

5,

2

5)( Por tanto, fDom

v) 24)53()( xxxf −−=

ïżœ

+∞∈→>⇒>⇒>− ,3

5

3

553053 xxxx

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17

ïżœ ]2,2[}04/{Dominio4 22 −=≄−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuaciĂłn laresolver que Tenemos 2 ≄− x

Ceros

2 ĂČ 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

=−∩

+∞= 2,3

5]2,2[,

3

5)( Por tanto, fDom

w) 1

)(+

=x

x

e

exf

ïżœ ℜ=→= Dominioxey

ïżœ ℜ=→+= Dominio1xey ) devalor cualquier para 0(soluciĂłn tieneno101 xeee xxx >⇒−=⇒=+

Por tanto, ℜ=)( fDom

x) 2

)(−

=x

x

e

exf

ïżœïżœïżœïżœ ),0[Dominio +∞=→= xey

ïżœïżœïżœïżœ ℜ=→−= Dominio2xey 2ln2lnlne202 =⇒=⇒=⇒=− xee xxx

Por tanto, ( ) ),2(ln)2ln,0[2ln),0[)( +∞âˆȘ=−ℜ∩+∞=fDom

y) 42

2)(

−=

x

x

xf

ïżœïżœïżœïżœ ℜ=→= Dominio2xy

ïżœïżœïżœïżœ ℜ=→−= Dominio42xy 242042 ≠⇔≠⇔≠− xxx

Por tanto, }2{)( −ℜ=fDom

z) 1)( −= xexf funciĂłn radical con Ă­ndice par ),0[}01/{Dominio +∞=≄−=→ xex

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),0[0101 +∞∈⇔≄⇔≄⇔≄− xxee xx

aa) 3 1)( −= xexf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1(Dominio xeyDom

4. Halla el dominio de definiciĂłn de las siguientes funciones:

a) 32)( −+= xxf ℜ=→ )( fDom

b) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }1,1{

1)( −−ℜ=

−==→

x

xyDomfDom

}1,1{}01/{1

−−ℜ==−−ℜ=

−= xx

x

xyDom

1101 ±=⇔=⇔=− xxx

c) 2

2)(

−=

xxf }2{

2

2)( −ℜ=

−==→

xyDomfDom

d) 2

2)(

−=

xxf }2,2{}02/{)( −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

2202 ±=⇔=⇔=− xxx

e) xx

xxf

−−=

2

1)( }1,0,1{}0/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom

==⇒≄=−

−==⇒<=+⇔=−

1 o 00 si 0

1 o 00 si 0

02

2

2

xxxxx

xxxxx

xx

f) 24

1)(

xx

xxf

−−= }4,0,4{}04/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom

==⇒≄=−

−==⇒<=−−=

≄=−

<=−−⇔=−

4 o 00 si 04

4 o 00 si 04

04 si 04

04 si 04

042

2

2

2

2

xxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xx

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g) 1ln)( −= xxf }1{}01/{Dominio −ℜ=>−ℜ∈=→ xx

h) 1ln

1)(

−=

xxf }2,0,1{}01ln/{}01/{Dominio −ℜ==−−>−ℜ∈=→ xxxx

}1{01 −ℜ∈⇔>− xx

0 ĂČ 21101ln ==⇔=−⇔=− xxxx

i) 1ln

1)(

−=

xxf ),(),0(}{),0(}01ln/{)1ln(Dominio +∞âˆȘ=−+∞==−−−==→ eeexxxyDom

exxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln01ln

j) 1ln)( −= xxf ),0()1ln(Dominio +∞=−==→ xyDom

k) )7()( += xsenxf ℜ=+==→ )7(Dominio xyDom

l)

++=

9

72cos)(

2

3

x

xxf ℜ=

++==→

9

72Dominio

2

3

x

xyDom

realsolución tieneno 909 22 ⇒−=⇔=+ xx

m)

−=

2

2cos)(

2xxf }2{

2

2Dominio

2±−ℜ=

−==→

xyDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx

n) senx

xxf

52)(

−= } ;{}0/{)( Ζ∈−ℜ==−ℜ=→ kksenxxfDom π

o)

−=

xx

xxf

3cos)( }1,0,1{}0/{Dominio 3

3−−ℜ==−−ℜ=

−==→ xxx

xx

xyDom

1 ĂČ 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx

p) xx

xsenxf

−=

3)(

≄

−ℜ∈=

−==→ 0/Dominio

33 xx

xx

xx

xyDom

Ceros Polos

0=x 1 o 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx

Por tanto, ),1()1,()( +∞âˆȘ−−∞=fDom

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20

5. Halla el dominio de definiciĂłn de las siguientes funciones:

a)

≄−<<−

≀=

−

5 1

41 3

1 2

)(

xsi

xsix

xsi

xf

x

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(]1,( Dominio2 fDomy x ∈−∞⇒ℜ=→= −

ïżœ )()4,1( Dominio3 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

ïżœ )(),5[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

),5[)4,()( Por tanto, +∞âˆȘ−∞=fDom

b)

≀<−≀<

<+=

73 2

30 2

0 2

)(

xsix

xsi

xsix

xf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )()0,( Dominio2 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=

ïżœ )(]3,0( Dominio2 fDomy ∈⇒ℜ=→=

ïżœ )(]7,3( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

]7,0()0,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo âˆȘ−∞=fDom

c)

≄−<<+−

−<

=3 2

30 32

3 2

)( 2

xsix

xsixx

xsi

xf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )()3,( Dominio2 fDomy ∈−−∞⇒ℜ=→=

ïżœ )()3,0( Dominio322 fDomxxy ∈⇒ℜ=→+−=

ïżœ )(),3[ Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

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21

),0()3,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo +∞âˆȘ−−∞=fDom

d)

≄+

<<−

≀+

=

6 1

51 2

1

1 13

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(]1,( Dominio13

2

fDomx

y ∈−∞⇒ℜ=→+=

ïżœ )()5,2()2,1( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈âˆȘ⇒−ℜ=→

−=

ïżœ )(),6[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→+=

),6[)5,2()2,()( Por tanto, +∞âˆȘâˆȘ−∞=fDom

e)

>−

≀=

0 2

1

0 1)(

3xsi

xx

xsixf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(]0,( Dominio1 fDomy ∈−∞⇒ℜ=→=

ïżœ )(),2()2,0( }2,2,0{Dominio2

13

fDomxx

y ∈+∞âˆȘ⇒−−ℜ=→−

=

}2{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom

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22

f)

≀<−

≀<−

−<−

=

71 2

1

14 2

4 32

)(

xsix

xsi

xsix

xf x

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )()4,( Dominio32 fDomxy ∈−−∞⇒ℜ=→−=

ïżœ )(]1,4( Dominio2 fDomy x ∈−⇒ℜ=→=

ïżœ )(]7,2()2,1( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈âˆȘ⇒−−ℜ=→

+=

]7,2()2,4()4,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo âˆȘ−âˆȘ−−∞=fDom

g)

≀−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(),0( Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

ïżœ )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=

ℜ=)( Por tanto, fDom

h)

−≀−

−>−=

1 9

1

1 1)(

2xsi

x

xsixxf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(),1( Dominio1 fDomxy ∈+∞−⇒ℜ=→−=

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IES Juan GarcĂ­a Valdemora Tema 8. CaracterĂ­sticas de las funciones. Funciones elementales Departamento de MatemĂĄticas 1Âș Bachillerato de CCNN

23

ïżœ )(]1,3()3,( }3,3{Dominio9

12

fDomx

y ∈−−âˆȘ−−∞⇒−−ℜ=→−

=

}3{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −−ℜ=fDom

i)

≀−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(),0( ),0[Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒+∞=→−=

ïżœ )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=

ℜ=)( Por tanto, fDom

j)

≀<−<<

≀≀−+

=71 2

10 ln

03 2

1

)(

xsix

xsix

xsix

xf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(]0,2()2,3[ }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−âˆȘ−−⇒−−ℜ=→

+=

ïżœ ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()1,0( fDom∈⇒

ïżœ )()7,1( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

]7,1()1,2()2,3[)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo âˆȘ−âˆȘ−−=fDom

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k)

<−

<<−

≀−

=

xsix

xsix

xsixx

xf

6 2

61 )1ln(

1

1 2

1

)(

2

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

ïżœ )(]1,0()0,( }2,0{}02/{Dominio2

1 22

fDomxxxxx

y ∈âˆȘ−∞⇒−ℜ==−ℜ∈−ℜ=→−

=

2 ĂČ 00)2(022 ==⇔=−⋅⇔=− xxxxxx

ïżœ ⇒+∞âˆȘ=−+∞==−−>−ℜ∈=→−

= ),2()2,1(}2{),1(}0)1ln(/{}01/{Dominio)1ln(

1xxxx

xy

)()6,2()2,1( fDom∈âˆȘ⇒

ïżœ )(),6( Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

}6,2,0{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom