Tema 7.- Matrices simétricas reales y formas … simétricas reales y formas cuadráticas. ... Reducción de una cuádrica girada. 7.4.- Ejercicios. 7.5.- Apéndice: ... trata

Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 7.- Matrices simetricas reales y formas cuadraticas.

7.1.- Matrices simetricas reales.

Diagonalizacion. El teorema espectral.

7.2.- Formas cuadraticas.

Definicion y matriz simtrica asociada.Rango y signo de una forma cuadratica.Reducciones a suma de cuadrados.Ley de inercia de Sylvester. Clasificacion.

7.3.- Conicas y cuadricas (II).

Reduccion de una conica girada.Reduccion de una cuadrica girada.

7.4.- Ejercicios.

7.5.- Apendice: MATLAB.

7.1.- Matrices simetricas reales.

Las matrices simetricas reales constituyen uno de los tipos mas importantes de matricespara las cuales puede garantizarse la diagonalizabilidad. Ademas, dicha diagonalizacion sepuede obtener matrices de paso ortogonales.

10.1.1.- Diagonalizacion.

Teorema. Sea A una matriz real simetrica. Entonces:

(a) Todos los autovalores de A son reales.

(b) Si v1 y v2 son autovectores (reales) de A asociados a autovalores distintos λ1 y λ2,entonces v1 y v2 son ortogonales.

Teorema (espectral para matrices simetricas) Sea A una matriz cuadrada real n× n.Son equivalentes:

(a) A es simetrica.

(b) A es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, es decir, existe una matrizortogonal Q tal que Q−1AQ ≡ QTAQ = D es diagonal.

203

204 Tema 7.- Matrices simetricas reales y formas cuadraticas.

En ese caso, las columnas de la matriz {q1, . . . , qn} de Q son un conjunto de autovectoresde A que forman una Base Ortonormal de R

n y, ademas, tenemos que

A = QDQT =

264 q1 . . . qn

375 266664 λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

377775 26664 qT1

qT2

. . .qTn

37775= λ1q1q

T1 + λ2q2q

T2 + · · ·+ λnqnq

Tn .

Cada matriz qkqTk es la matriz de la proyeccion ortogonal sobre el subespacio generado por

el correspondiente vector {qk} (es una matriz de rango 1). Ası, obtenemos la expresion

A = λ1q1qT1 + λ2q2q

T2 + · · · + λnqnq

Tn ,

que se llama descomposicion espectral de A. Esta expresion nos da la matriz simetricareal A como una combinacion lineal de matrices de proyeccion de rango 1.

A la hora de obtener una diagonalizacion ortogonal de una matriz simetrica real A puedenaparecer dos situaciones distintas:

Todos los autovalores de A son simples. En este caso, los autovectores correspondientestienen que ser ortogonales dos a dos y formaran una base ortogonal de R

n. Norma-lizando dichos autovectores (dividiendo cada uno por su norma) seguiremos teniendoautovectores ortogonales que ademas seran unitarios. Una matriz Q que tenga a dichosautovectores ortonormales como columnas sera una matriz de paso que diagonaliza Aortogonalmente.

La matriz A tiene algun autovalor multiple. En este caso, cuando calculemos los auto-vectores asociados a uno de los autovalores λ multiples, obtendremos una base delespacio propio asociado Nul (A− λI). En general esta base puede no ser una base or-togonal de dicho subespacio. Ortogonalizando primero y normalizando a continuacion,tendremos una base ortonormal de autovectores asociados a dicho autovalor multiple.Haciendo esto con cada uno de los autovalores multiples y normalizando los autovec-tores asociados a autovalores simples tendremos una base ortonormal de R

n formadapor autovectores de A. Basta considerar una matriz Q cuyas columnas sean los vectoresde dicha base para obtener una diagonalizacion ortogonal de A.

7.2.- Formas cuadraticas.

Una forma cuadratica no es otra cosa que la funcion definida por un polinomio realhomogeneo de segundo grado en varias variables. Es decir, una funcion R

n −→ R definidapor un polinomio real de varias variables en el que todos los sumandos no nulos son desegundo grado. Por ejemplo,

Las funciones definidas por 3x2−2xy+yz y por −xy+yz+2xz son formas cuadraticas.

Las funciones definidas por 2x2 − 3x+ y2,−x2 + y2 + 2 son funciones reales, de variasvariables, definidas por polinomios de segundo grado. Pero dichos polinomios no sonhomogeneos puesto que hay sumandos que no son de segundo grado. Por tanto, NO setrata de formas cuadraticas.

Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

7.2.- Formas cuadraticas. 205

las funciones definidas por x2y, x cos(y), x2

y2+1, ... NO son formas cuadraticas puesto que

ni siquiera estan definidas por polinomios.

Una forma cuadratica en dos variables (x, y) sera una funcion de la forma f(x, y) =a11x

2 + 2a12xy + a22y2 donde a11, a12 y a22 son numeros reales.

7.2.1.- Definicion y matriz simetrica asociada.

Definicion.

• Se llama forma cuadratica en (x1, x2, . . . , xn) a todo polinomio real homogeneo de segundogrado en las variables (x1, x2, . . . , xn), es decir a todo polinomio de la forma

ϕ(x1, x2, . . . , xn) = a11x21+2a12x1x2+· · ·+a22x

22+· · ·+annx

2n =

nXk=1

akkx2k+

X1≤i<j≤n

2aijxij

donde los coeficientes akk (1 ≤ k ≤ n) y aij (1 ≤ i < j ≤ n) son reales.

El denotar mediante 2aij al coeficiente de xixj cuando i < j es una cuestion de convenienciaa la hora de asociar a la forma cuadratica una matriz simetrica.

• Se llama matriz asociada a la forma cuadratica a la matriz simetrica

A =

266664 a11 a12 · · · a1n

a12 a22 · · · a2n

......

. . ....

a1n a2n · · · ann

377775 .Es decir, en la matriz simetrica real A,

los elementos diagonales a11, . . . , ann son los coeficientes de los cuadrados x21, x

22, . . . , x

2n,

los elementos no-diagonales aij = aji son los coeficientes de los terminos cruzados xixj

divididos por 2.

De esta forma la matriz simetrica A y la forma cuadratica ϕ estan relacionadas mediante

ϕ(x1, x2, . . . , xn) = [x1 x2 · · · xn] A

266664 x1

x2...xn

377775 = xTAx

siendo x el vector columna de las variables en un orden preestablecido. Notemos que

aii = ϕ(ei) =1

2

∂2ϕ

∂x2i

, aij =1

2

∂2ϕ

∂xi∂xj

.

Matematicas I. 2010-2011


Ejemplos.-

(1) La matriz simetrica A asociada a la forma cuadratica definida por

ϕ(x1, x2, x3) = −x21 + 2x2

2 + 5x23 + x1x2 − 3x1x3 + 6x2x3

es A =

264 −1 12

−32

12

2 3−3

23 5

375 .(2) La forma cuadratica asociada a la matriz simetrica

A =

264 0√

5 3√5 −3 0

3 0 5

375es

ϕ(x1, x2, x3) = 0x21 + 2

√5x1x2 + 6x1x3 − 3x2

2 + 0x2x3 + 5x23

= 2√

5x1x2 + 6x1x3 − 3x22 + 5x2

3.

Observaciones.

(1) Una vez que esta fijado el orden de las variables (x1, · · · , xn), la matriz simetricaA = [aij ] asociada a la forma cuadratica es unica.

(2) Dada una matriz cuadrada real M , la funcion

ϕ : x ∈ Rn −→ ϕ(x) = xTMx ∈ R

es una forma cuadratica, aunque la matriz M no sea simetrica. Por ejemplo,

ϕ(x) = xT

264 1 2 −1−1 −3 13 0 5

375 x =

= x21 + (2 − 1)x1x2 + (−1 + 3)x1x3 − 3x2

2 + (1 + 0)x2x3 + 5x23

es una forma cuadratica cuya matriz simetrica asociada es

A =1

2

�M +MT

�=

264 1 12

112

−3 12

1 12

5

375 .Las propiedades de la forma cuadratica ϕ estan relacionadas con las propiedades de lamatriz simetrica A, no con las de todas las posibles matrices M que permiten obtenerϕ mediante la expresion ϕ(x) = xTMx.



7.2.2.- Rango y signo de una forma cuadratica.

Dada una forma cuadratica ϕ(x) = xTAx, (A matriz simetrica real de orden n), notemosque para cualquier α ∈ R y cualquier x ∈ R

n se verifica que

ϕ(αx) = α2ϕ(x).

Por tanto, el signo de los valores que alcanza ϕ sobre los multiplos no nulos, αx, de unvector prefijado, x 6= 0, es constante. Si, por ejemplo, tenemos que ϕ(x) > 0, entonces, paracualquier α ∈ R, α 6= 0 tenemos que ϕ(αx) = α2ϕ(x) > 0. Ademas, en este caso, puesto queϕ(x) > 0,

lımα→±∞

ϕ(αx) = +∞

y sobre los vectores αx (la recta en Rn que pasa por el origen y tiene a x como vector

direccion) la forma cuadratica puede alcanzar cualquier valor entre 0 = ϕ(0) y +∞ (dehecho cada valor lo alcanza dos veces en dicha recta):

0 < c < +∞ ⇒"

tomando

α = ±q

cϕ(x)

#⇒ ϕ(αx) = c.

Ejemplo.- Consideremos la forma cuadratica ϕ(x1, x2, x3) = 2x21 − 3x2

2 + x23. Tenemos

ϕ(1, 0, 0) = 2 (=⇒ ϕ(α, 0, 0) = 2α2) y ϕ(0, 1, 0) = −3 (=⇒ ϕ(0, β, 0) = −3β2). Por tan-to, una vez que conocemos algun punto en el que la forma cuadratica alcanza un valorde un determinado signo, podemos determinar puntos donde alcanza cualquier otro valordel mismo signo. Por ejemplo, si queremos determinar algun punto donde se verifique queϕ(x1, x2, x3) = 7 bastara buscar puntos de la forma (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) para los cuales

ϕ(α, 0, 0) = 2α2 = 7 ⇐⇒ α = ±Ê

7

2.

Definicion (Signo de una forma cuadratica).Se dice que una forma cuadratica ϕ : x ∈ R

n −→ ϕ(x) = xTAx ∈ R y que la matriz simetricaA asociada es:

(1) Definida positiva si ϕ(x) = xTAx > 0, ∀x 6= 0, x ∈ Rn.

(2) Definida negativa si ϕ(x) = xTAx < 0, ∀x 6= 0, x ∈ Rn. De forma equivalente,

−ϕ(x) = xT (−A)x es definida positiva.

(3) Indefinida si existen vectores en Rn para los que ϕ es positiva y otros para los que es

negativa. Es decir, ∃v1 ∈ Rn y ∃v2 ∈ R

n tales que

ϕ(v1) = vT1 Av1 > 0 y ϕ(v2) = vT

2 Av2 < 0.

(4) Semidefinida positiva si ϕ(x) = xTAx ≥ 0, ∀x ∈ Rn.

(5) Semidefinida negativa si ϕ(x) = xTAx ≤ 0, ∀x ∈ Rn. De forma equivalente,

−ϕ(x) = xT (−A)x es semidefinida positiva.



Nota. Con las definiciones dadas, los casos de formas cuadraticas semidefinidas (positiva o nega-

tiva) incluyen a los casos de formas cuadraticas definidas (positiva o negativa). Para considerar

situaciones disjuntas, en la definicion de forma cuadratica semidefinida suele anadirse que se cumpla

ϕ(v) = 0 para algun vector v 6= 0. En caso de no existir tal vector v, siendo semidefinida (positiva

o negativa) sera definida (positiva o negativa). En lo que sigue consideramos la definicion dada mas

arriba con objeto de simplificar los enunciados.

Observacion.- Dada una forma cuadratica ϕ asociada a una matriz simetrica A,

ϕ(x1, · · · , xn) = a11x21 + · · ·+ 2aijxixj + · · · + annx

2n = xTAx,

los coefiecientes aii de los cuadrados (los elementos diagonales de A) son valores que alcanzala forma cuadratica en los vectores/puntos canonicos

e1 = (1, 0, . . . , 0), · · · , ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1) =⇒ .ϕ(ei) = aii.

Por tanto, dichos valores nos dan alguna informacion sobre el signo de la forma cuadratica.Por ejemplo,

si todos los elementos diagonales son positivos a11, · · · , ann > 0, la forma cuadraticano podra ser ni definida ni semidefinida negativa;

si hay dos elementos digonales de distinto signo, la forma cuadratica es indefinida;

si alguno de los elementos diagonales es nulo, la forma cuadratica no podra ser definidanegativa ni definida positiva;

· · ·

Definicion. El rango de una forma cuadratica en Rn se define como el rango de la matriz

simetrica asociada.

Al hacer, en la forma cuadratica xTAx, un cambio de base x = Py (P matriz realno-singular), se obtiene

xTAx = yT (P TAP )y.

Es decir al expresar la forma cuadratica respecto a la base formada por los vectores columnade P , obtenemos que en las coordenadas y, respecto de dicha base, la forma cuadratica tieneasociada la matriz simetrica B = P TAP . Puesto que P y P T son matrices que tienen inversa,el rango de B is igual que el rango de A.

El estudio del signo y del rango de una forma cuadratica arbitraria lo reduciremos a loscasos mas simples posibles. Dichos casos se dan cuando la forma cuadratica consiste en unasuma de cuadrados o, lo que es lo mismo, la matriz simetrica asociada es diagonal. En dichoscasos la determinacion del rango y del signo es inmediata como se recoge en el siguienteresultado.

Proposicion.- Sea ϕ : Rn −→ R la forma cuadratica

ϕ(x) := α1 x21 + α2 x

22 + · · ·+ αn x

2n = [x1 · · · xn]

266664 α1 0 · · · 00 α2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · αn

377775 2664 x1...xn

3775 .Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica


(1) ϕ es definida positiva ⇐⇒ α1 > 0, α2 > 0, · · · , αn > 0.

(2) ϕ es definida negativa ⇐⇒ α1 < 0, α2 < 0, · · · , αn < 0.

(3) ϕ es indefinida ⇐⇒ ∃ i, j tales que αi > 0 y αj < 0.

(4) ϕ es semidefinida positiva ⇐⇒ α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, · · · , αn ≥ 0.

(5) ϕ es semidefinida negativa ⇐⇒ α1 ≤ 0, α2 ≤ 0, · · · , αn ≤ 0.

El rango de ϕ es el numero de coeficientes αk 6= 0.

7.2.3.- Reducciones a suma de cuadrados.

En esta subseccion estudiamos como reducir a suma de cuadrados una forma cuadraticaarbitraria. Es decir, dada una forma cuadratica

ϕ(x1, · · · , xn) = a11x21 + 2a12x1x2 + · · ·

como obtener un cambio de base x = Py (cambio de variables lineal, P matriz real que tieneinersa) de forma que en las nuevas variables la forma cuadrada se exprese como una suma decuadrados ϕ(x1, · · · , xn) = α1y

21 + α2y

22 + · · ·+ αny

2n. Ası, para cada vector y ∈ R

n tenemosun unico vector x = Py ∈ R

n y viceversa, y = P−1x ∈ Rn.

De esta forma, siendo D la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los coeficientesαk de los cuadrados tenemos que

xTAx = yT (P TAP )y = yTDy

y todos los datos/resultados/... que se obtienen sobre la forma cuadratica a partir de su ex-presion en las variables (y1, · · · , yn) pueden traducirse a las variables (x1, · · · , xn) y viceversa(x = Py, y = P−1x).

Cuando una forma cuadratica esta expresada como suma de cuadrados se dice que esta enforma reducida (o canonica).Definicion.- Se dice que dos matrices A y B (cuadradas reales del mismo orden) son con-gruentes si existe alguna matriz real P no singular tal que B = P TAP .

La reduccion de una forma cuadratica a suma de cuadrados se puede hacer de muchasformas distintas puesto que la unica restriccion que hemos considerado para la matriz Pes que sea no-singular. A continuacion describimos dos metodos para reducir a suma decuadrados. Un metodo es matricial, consiste en obtener una diagonalizacion ortogonal dela matriz A. El otro es polinomico, consiste en ir reducciendo el problema, paso a paso, aformas cuadraticas con una variable menos en cada paso.

Teorema (de los ejes principales). Sea A una matriz real simetrica, entonces existe uncambio de variables ortogonal x = Qy (es decir, con Q matriz ortogonal) que reduce la formacuadratica xTAx a suma de cuadrados

yTDy = λ1y21 + · · ·+ λny

2n

siendo λ1, . . . , λn los autovalores (iguales o distintos) de la matriz A.



En dicho caso las matrices A y D son semejantes (Q−1AQ = D) y congruentes(QTAQ = D) siendo la matriz de paso la misma matriz P cuyas columnas son autovectoresde A que forman una base ortonormal de R

n. Los vectores columna de Q se denominan ejesprincipales de la forma cuadratica.

Ejemplos.

(1) Sea ϕ1 la forma cuadratica en R2 dada por

ϕ1(x) = xTAx =�x1 x2

� � 1 3/23/2 −1

� �x1

x2

�= x2

1 + 3x1x2 − x22.

Si obtenemos una base una base ortonormal de R2 formada por autovectores de la

matriz A llegaremos a

ϕ1(x)

√13

2w2

1 −√

13

2w2

2

puesto que los autovalores de A son ±√

13/2. Por tanto, esta forma cuadratica esindefinida (y tiene rango 2). Toda matriz que represente a ϕ1 en alguna base de R

2

tendra rango 2 y, si la matriz es diagonal, tendra un elemento positivo y uno negativo(y obviamente ninguno nulo).

ϕ1(x) =�x1 x2

� � 1 3/23/2 −1

� �x1

x2

�=�y1 y2

� � 1 00 −13/4

� �y1

y2

�=

�z1 z2

� � 13/4 00 −1

� �z1z2

�=�u1 u2

� � −1 00 13/4

� �u1

u2

�=

�v1 v2

� � −1 00 1

� �v1

v2

�=�w1 w2

� " √13/2 0

0 −√

13/2

# �w1

w2

�= ...



� � 4 −2−2 1

� �x1

x2

�= 4x2

1 − 4x1x2 + x22.

Completando cuadrados en la primera variable obtuvimos, en el Tema 3, la reduccionde esta forma cuadratica a suma de cuadrados como ϕ2(x) = y2

1, mediante el cambiode variables y1 = 2x1 − x2, y2 = x2.

Puesto que los autovalores de A son λ1 = 0 y λ2 = 5, si obtenemos una base ortonormalde autovectores llegamos, por ejemplo, a la expresion ϕ2(x) = 5u2

2.

Esta forma cuadratica es semidefinida positiva (y de rango 1). Toda matriz que repre-sente a ϕ2 en alguna base de R

2 tendra rango 1 y, si la matriz es diagonal, tendra unelemento positivo y otro nulo (y ninguno negativo).



� � 1 −2−2 0

� �x1

x2

�= x2

1 − 4x1x2.

Puesto que los autovalores de A son (1±√

17)/2, podemos obtener, mediante una baseortonormal de R

2 formada por autovectores de A,

ϕ3(x) =1 +

√17

2w2

1 +1 −

√17

2w2

2.





� � 0 22 0

� �x1

x2

�= 4x1x2.

Puesto que los autovalores de A son ±2, podemos obtener la reduccion a suma decuadrados ϕ4(x) = 2w2

1 − 2w22.

(5) Consideremos la forma cuadratica en R3

ϕ5(x) = xTAx =�x1 x2 x3

� 264 3 2 02 2 20 2 1

375 264 x1

x2

x3

375 = 3x21 + 2x2

2 + x23 + 4x1x2 + 4x2x3.

Puesto que los autovalores de A son 5, 2,−1, podemos obtener la reduccion

ϕ5(x) = 5z21 + 2z2

2 − z23 .


ϕ6(x) = xTAx =�x1 x2 x3

� 264 1 2 12 5 31 3 2

375264 x1

x2

x3

375= x2

1 + 5x22 + 2x2

3 + 4x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3.

Puesto que los autovalores de A son 0, 4 ±√

13(dos positivos y uno nulo), podemosobtener la reduccion a suma de cuadrados

ϕ6(x) = (4 +√

13)z22 + (4 −

√13)z2

3 .

Esta forma cuadratica es pues semidefinida positiva (y de rango 2).


ϕ7(x) = xTAx = [x1 x2 x3 x4]

26664 0 3/2 0 03/2 0 0 00 0 0 5/20 0 5/2 0

37775 26664 x1

x2

x3

x4

37775 = 3x1x2 + 5x3x4.

Los autovalores de A son, ±3/2,±5/2 y por tanto mediante una base ortonormal deR

4 formada por autovectores de A podemos obtener

ϕ7(x) =3

2w2

1 −3

2w2

2 +5

2w2

3 −5

2w2

4.

Esta forma cuadratica es, por tanto, indefinida (y de rango 4).



• Metodo de Lagrange. (completar cuadrados)

El metodo polinomico que hemos citado se debe, en parte, a J.L. Lagrange. La idea basica consiste en completar cuadrados apartir del cuadrado perfecto y los terminos cruzados en una delas variables. Cuando esto no sea posible, habra que conseguirun cuadrado perfecto utilizando que

suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

Esencialmente la idea es la misma que utilizabamos a la ho-ra de completar cuadrados en la ecuacion de una conica ouna cuadrica para obtener su ecuacion reducida. Al completarcuadrados en una forma cuadratica habra varias posibilidadesde eleccion sobre como hacerlo.

Joseph Louis Lagrange1736-1813

Antes de describir el metodo en forma generica consideremos algunos ejemplos.

Ejemplos:

(1) Consideremos la forma cuadratica en R2 dada por


� � 1 3/23/2 −1

� �x1

x2

�= x2

1 + 3x1x2 − x22.

Podemos completar el cuadrado en x1 con los terminos en los que aparece,

x21 + 3x1x2 =

�x1 +

3

2x2

�2

−�

3

2

�2

x22.

Tenemos

ϕ1(x) =�x1 +

3

2x2

�2

− 9

4x2

2 − x22 =

�x1 +

3

2x2

�2

− 13

4x2

2.

Es decir, mediante el cambio de variables y1 = x1 + 32x2, y2 = x2 la forma cuadratica

se expresa como

ϕ1(x) = y21 −

13

4y2

2.

Por tanto, la forma cuadratica es indefinida puesto que lo es en las coordenadas (y1, y2)(pueden obtenerse facilmente puntos donde la forma cuadratica toma valores positivosy puntos donde toma valores negativos). Puesto que la relacion entre las variables(x1, x2) e (y1, y2) es uno-a-uno,�

y1

y2

�=

�1 3

2

0 1

� �x1

x2

�⇐⇒

�x1

x2

�=

�1 3

2

0 1

�−1 �y1

y2

�,

podremos obtener las correspondientes coordenadas (x1, x2) para las cuales la formacuadratica toma los valores citados. Por ejemplo tenemos

ϕ1(y1 = 1, y2 = 0) = ϕ1(x1 = 1, x2 = 0) = 1 y ϕ1(y1 = 0, y2 = 1) = −13

4.



Puesto que en ϕ1 tambien aparecen los terminos x22 y x1x2, podrıamos haber optado

por completar el cuadrado en x2:

ϕ1(x) = x21 + 3x1x2 − x2

2 = −�x2

2 − 3x1x2

�+ x2

1

= −�x2 −

3

2x1

�2

+9

4x2

1 + x21 = −

�x2 −

3

2x1

�2

+13

4x2

1

= −z22 +

13

4z21 =

13

4z21 − z2

2 ,

donde al final hemos hecho el cambio z1 = x1, z2 = x2−32x1. Si ahora hacemos el cambio

de Por otra parte, podrıamos considerar el cambio de variables u1 =√

132z1, u2 = z2

obtenemos ϕ1(x) = u21 − u2

2.

Por tanto, hay muchas formas distintas de expresar la forma cuadratica como suma decuadrados. Sin ambargo, siempre que reducimos ϕ1 a una suma de cuadrados, aunquese obtengan coeficientes distintos, aparecen un coeficiente positivo y uno negativo. Estehecho no es casualidad y su expresion para una forma cuadratica generica se denominaley de inercia de Sylvester. La expresion matricial de la forma cuadratica ϕ1 en lasdistintas variables que hemos considerado es

ϕ1(x) =�x1 x2

� � 1 3/23/2 −1

� �x1

x2

�=�y1 y2

� � 1 00 −13/4

� �y1

y2

�=

�z1 z2

� � 13/4 00 −1

� �z1z2

�=�u1 u2

� � 1 00 −1

� �u1

u2

�.



� � 4 −2−2 1

� �x1

x2

�= 4x2

1 − 4x1x2 + x22.

Podemos completar el cuadrado en x2, ϕ2(x) = (x2 − 2x1)2. Haciendo el cambio de

variables y1 = x1, y2 = x2 − 2x1 obtenemos

ϕ2(x) = y22.

Notese que tomamos, por simplicidad, y1 = x1, pero podrıamos elegir y1 = αx1 + βx2

con α, β ∈ R, α+2β 6= 0 (para que tengamos realmente un cambio de variables x = Py,es decir, P sea una matriz no singular), y seguirıamos obteniendo ϕ2(x) = y2

2.

Por tanto, la forma cuadratica ϕ2 es semidefinida positiva por serlo en las variables(y1, y2). Siempre que reduzcamos ϕ2 a una suma de cuadrados obtendremos un coefi-ciente negativo y un coeficiente nulo.



� � 0 22 0

� �x1

x2

�= 4x1x2.

En este caso no podemos completar cuadrados ni en la primera ni en la segundavariable (pues no aparecen ni x2

1 ni x22). Sin embargo, sı que hay termino mixto (x1x2).



En esta situacion recurrimos a la idea de transformar el termino mixto en una suma pordiferencia, que conseguimos, por ejemplo, mediante el cambio x1 = y1+y2, x2 = y1−y2:

ϕ3(x) = 4(y1 + y2)(y1 − y2) = 4y21 − 4y2

2.

De esta forma, ya tenemos una suma de cuadrados en la que aparecen un coeficientepositivo y uno negativo. Por tanto, la forma cuadratica es indefinida. La relacion entrelas variables originales y las variables finales es�

x1

x2

�=

�1 11 −1

� �y1

y2

�⇐⇒

�y1

y2

�=

�1 11 −1

�−1 �x1

x2

�.


ϕ4(x) = xTAx =�x1 x2 x3

� 264 3 2 02 2 20 2 1

375 264 x1

x2

x3

375 = 3x21 + 2x2

2 + x23 + 4x1x2 + 4x2x3.

Completamos cuadrados en la variable x1 puesto que aparecen terminos en x21 y en

x1x2:

ϕ4(x) = 3�x2

1 +4

3x1x2

�+ 2x2

2 + x23 + 4x2x3

= 3�x1 +

2

3x2

�2

− 4

3x2

2 + 2x22 + x2

3 + 4x2x3

= 3�x1 +

2

3x2

�2

+2

3x2

2 + x23 + 4x2x3.

Completamos cuadrados en x2 tenemos

ϕ4(x) = 3�x1 +

2

3x2

�2

+2

3(x2

2 + 6x2x3) + x23

= 3�x1 +

2

3x2

�2

+2

3(x2 + 3x3)

2 − 6x23 + x2

3

= 3�x1 +

2

3x2

�2

+2

3(x2 + 3x3)

2 − 5x23.

Finalmente, el cambio y1 = x1 + 23x2, y2 = x2 + 3x3, y3 = x3 nos lleva a

ϕ4(x) = 3y21 +

2

3y2

2 − 5y23.

Puesto que hemos obtenido dos coeficientes positivos y uno negativo, esta formacuadratica es indefinida.


ϕ5(x) = xTAx = [x1 x2 x3]

264 1 2 12 5 31 3 2

375 264 x1

x2

x3

375 = x21+5x2

2+2x23+4x1x2+2x1x3+6x2x3.



Completamos cuadrados en la variable x1 puesto que aparecen terminos en x21, x1x2 y

x1x3:

ϕ5(x) = (x1 + 2x2 + x3)2 − 4x2

2 − x23 − 4x2x3 + 5x2

2 + 2x23 + 6x2x3

= (x1 + 2x2 + x3)2 + x2

2 + x23 + 2x2x3.

A continuacion completamos cuadrados en la variable x2 (puesto que aparecen terminosen x2

2 y x2x3):ϕ5(x) = (x1 + 2x2 + x3)

2 + (x2 + x3)2 = y2

1 + y22,

donde hemos hecho el cambio y1 = x1 + 2x2 + x3, y2 = x2 + x3, y3 = x3.

Puesto que hemos obtenido dos coeficientes positivos y uno nulo, la forma cuadraticaes semidefinida positiva.


ϕ6(x) = xTAx =�x1 x2 x3 x4

� 26664 0 3/2 0 03/2 0 0 00 0 0 5/20 0 5/2 0

37775 26664 x1

x2

x3

x4

37775 = 3x1x2 + 5x3x4.

Puesto que no hay ningun cuadrado, necesitamos recurrir a suma por diferencia. Lohacemos, por ejemplo, mediante el cambio:

x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, x4 = y4

con lo que ϕ6(x) = 3(y1 + y2)(y1 − y2) + 5y3y4 = 3y21 − 3y2

2 + 5y3y4.

Ya tenemos suma de cuadrados en las dos primeras variables. Nuevamente, como nohay ningun termino al cuadrado en las variables restantes y2

3 e y24, necesitamos recurrir

a suma por diferencia. Lo hacemos, por ejemplo, mediante el cambio:

y1 = z1, y2 = z2, y3 = z3 + z4, y4 = z3 − z4,

y obtenemos ϕ6(x) = 3z21 − 3z2

2 + 5(z3 + z4)(z3 − z4) = 3z21 − 3z2

2 + 5z23 − 5z2

4 .

Notese que ambos cambios de variables, en este caso sencillo, se podrıan haber hechosimultaneamente:

x1 = z1 + z2, x2 = z1 − z2, x3 = z3 + z4, x4 = z3 − z4,

con lo que habrıamos llegado, en un solo paso, al resultado final. Puesto que en laexpresion como suma de cuadrados hemos obtenidos dos coeficientes positivos y dosnegativos (y obviamente ninguno nulo), la forma cuadratica es indefinida.

A modo de resumen de lo que hemos hecho en los ejemplos anteriores. Si en una formacuadratica

ϕ(x1, x2, . . . , xn) = a11x21 + 2a12x1x2 + · · ·+ a22x

22 + · · ·+ annx

2n

el coeficiente de uno de los cuadrados x21, x

22, · · · , x2

n es distinto de cero, dicho cuadrado lopodremos completar, si no esta ya completo, es decir, si aparece en algun otro sumando la



variable correspondiente. Si por ejemplo a11 6= 0 y hay otros sumandos 2a12x1x2 + · · · dondeaparece la variable x1, podemos completar el cuadrado a11x

21 mediante

a11

�x2

1 +2a12

a11x1x2 +

2a13

a11x1x3 + · · ·

�= a11

��x1 +

�a12

a11x2 + · · ·

��2−�a12

a11x2 + · · ·

�2�de forma que si desarrollamos el cuadrado anterior obtenemos todos los sumandos de laforma cuadratica en los que interviene x1 (el cuadrado perfecto y los productos cruzados)mas otros sumandos en las restantes variables x2, x3, . . . , xn.

Es posible que a la hora de completar cuadrados no se disponga de ningun cuadrado (queno este ya completo) y que solo queden productos cruzados. Si por ejemplo tenemos x1x2,este producto cruzado lo transformaremos en una suma×diferencia,

x1x2 = (y1 − y2)(y1 + y2) = y21 − y2

2

y podremos completar alguno de los cuadrados de la diferencia de cuadrados resultante.Este metodo, consistente en ir completando cuadradados haciendo cambios de variable

en los que en cada paso cambia una (o a lo sumo dos) de las variables, puede esquematizarsecomo sigue:

Metodo de Lagrange.

(1) Si para algun ındice i se tiene aii 6= 0, podemos completar cuadrados con todos losterminos que contengan a xi para obtener

Q(x) = aii

�nX

j=1

aij

aii

xj

�2

+ ϕ1(x1, · · · , xi−1, xi+1, · · · , xn)

donde ϕ1 es una nueva forma cuadratica con n − 1 variables a la que se le vuelve aaplicar el proceso. El cambio de variables que se utiliza es8><>: yi =

nXj=1

aij

aii

xj

yj = xj para j 6= i.

(2) Si a11 = a22 = · · · = ann = 0, elegimos un coeficiente aij 6= 0 (si todos fueran cerotendrıamos ϕ(x) ≡ 0 y no habrıa nada que reducir). Haciendo el cambio de variables8><>: xi = yi + yj

xj = yi − yj

xk = yk para k 6= i, j,

obetenemos dos cuadrados que podemos completar pasando de nuevo al caso (1), pues2aijxixj = 2aijy

2i − 2aijy

2j .

7.2.4.- Ley de inercia de Sylvester. Clasificacion.

Cuando se completan cuadrados en una forma cuadratica, la eleccion de los pasos aseguir no es unica. Puede elegirse entre completar cuadrados en una variable o en otra. En



algunos de los Ejemplos (1) a (6) que hemos visto antes, se han completado cuadrados de dosmaneras distintas para una misma forma cuadratica, obteniendo como resultado final unasuma de cuadrados con coeficientes posiblemente distintos. A pesar de que puedan obtenersecoeficientes distintos, las dos expresiones finales como suma de cuadrados tienen en comun lossignos de los coeficientes de los cuadrados. Es decir, si tenemos una forma cuadratica, porejemplo en tres variables, ϕ(x1, x2, x3) y al reducir (de alguna forma) a suma de cuadradosobtenemos, por ejemplo, 2y2

1−5y22+0y2

3, entonces, al reducir a suma de cuadrados de cualquierotra forma obtendremos una expresion del tipo αz2

1 + βz22 + γz2

3 en la que, necesariamente,uno de los coeficientes sera positivo, otro sera negativo y el otro sera nulo. Este hecho deconservacion de los signos en cualquiera de las reducciones a sumas de cuadrados es lo queexpresa la llamada ley de inercia de Sylvester. Ademas dichos signos tienen que coincidircon los signos de los autovalores de la matriz simetica asociada, contando cada uno segun sumultiplicidad.

Teorema. (Ley de inercia de Sylvester) Sea A una matriz simetrica real y ϕ(x) = xTAxla forma cuadratica asociada.

a) Al reducir ϕ a suma de cuadrados se obtienen tantos coefi-cientes positivos, negativos y nulos como autovalores posi-tivos, negativos y nulos, respectivamente, tenga A, contan-do las correspondientes multiplicidades.

b) Si D1 es una matriz diagonal congruente con A (existe unamatriz no-singular P1 tal que P T

1 AP1 = D1), en la diago-nal de D1 hay tantos elementos positivos, negativos y nuloscomo autovalores positivos, negativos y nulos, respectiva-mente, tenga A, contando las correspondientes multiplici-dades. James Joseph Sylvester

1814-1897

Observaciones.

(a) Se suele llamar inercia de una matriz simetrica (real) A y de la forma cuadratica aso-ciada ϕ(x) = xTAx a la terna (pos, neg, nul) de coeficientes positivos (pos), negativos(neg) y nulos (nul) respectivamente que aparecen en una (cualquier) reduccion de ϕ asuma de cuadrados.

(b) Se verifica que• pos + neg + nul = n = orden de A y• pos + neg = rango(A).

La primera igualdad es obvia y la segunda se basa en que cuando una matriz se multi-plica (por la derecha o por la izquierda) por una matriz que tiene inversa el rango nocambia.

(c) En relacion con las formas cuadraticas (y las matrices simetricas reales) tambien sueleusarse el concepto de signatura (que nosotros no utilizaremos)

signatura = pos − neg.

De esta forma, dar la terna (rango, signatura, orden) es equivalente a dar la inercia (deuna se puede deducir la otra).



(d) Para la determinacion del signo puede no ser imprescindible hacer la reduccion a sumade cuadrados. Ya hemos visto que los elementos diagonales de A son valores que al-canza la forma cuadratica y, por tanto, aportan cierta informacion sobre su signo. Masinformacion puede obtenerse cuando en la expresion de ϕ(x1, . . . , xn) anulamos ciertasvariables. Por ejemplo, si tomamos x3 = · · · = xn = 0 tenemos la forma cuadratica endos variables (x1, x2) dada por

ϕ1(x1, x2) = ϕ(x1, x2, 0, · · · , 0).

La informacion que podamos obtener sobre dicha forma cuadratica ϕ1, o sobre variasformas cuadraticas del mismo tipo, permite deducir alguna informacion sobre la formacuadratica original.

Teorema. Sea A = [aij ] una matriz real simetrica de orden n. Son equivalentes:

(1) A es definida positiva. (1’) −A es definida negativa.

(2) Al reducir xTAx a suma de cuadrados, aparecen n coeficientes positivos.

(3) Los autovalores de A son todos positivos.

(4) (Criterio de Sylvester o de los menores principales) Todos los menores principales de Ason positivos, es decir, det (Ak) > 0, k = 1, 2, . . . , n siendo Ak la matriz de orden k

Ak =

2664 a11 · · · a1k

.... . .

...ak1 · · · akk

3775Puesto que una matriz real y simetrica A es definida negativa si, y solo si, −A es definida

positiva, se obtiene el siguiente resultado.

Corolario. Sea A = [aij ] una matriz real simetrica de orden n. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

(1) A es definida negativa. (1’) −A es definida positiva.

(2) Al reducir xTAx a suma de cuadrados, aparecen n coeficientes negativos.

(3) Los autovalores de A son todos negativos.

(4) (Criterio de Sylvester o de los menores principales) Los menores principales de A tienensignos alternos −,+,−,+, . . .

(−1)kdet (Ak) > 0, k = 1, 2, . . . , n.

Las formas cuadraticas semidefinidas (positivas o negativas) se pueden caracterizar deforma analoga en lo referente a la reduccion a suma de cuadrados y a los signos de losautovalores. Por otra parte, pueden darse condiciones suficientes para garantizar que unaforma cuadratica es indefinida:



teniendo en cuenta que los elementos diagonales de A son valores que alcanza la formacuadratica, akk = ϕ(ek) = eT

kAek. Si dos de estos valores son de distinto signo la formacuadratica sera indefinida.

Si alguna submatriz diagonal de orden 2,

�aii aij

aji ajj

�, tiene determinante negativo, la

forma cuadratica es indefinida.

Si det (A) 6= 0, y no se cumplen las condiciones dadas para formas cuadraticas definidaspositivas o definidas negativas, entonces es indefinida.

. . .

Definicion. Clasificar una forma cuadratica consiste en determinar su inercia (el numerode coeficientes positivos, negativos y nulos que aparecen en cualquier reduccion a suma decuadrados) ası como el signo correspondiente.

Se denomina forma canonica/reducida de una forma cuadratica ϕ a cualquier expre-sion de ϕ como suma de cuadrados (en variables independientes).

Para una forma cuadratica en dos variables, tenemos el siguiente teorema que permitedeterminar el signo (en este caso la inercia completa) en funcion de los coeficientes de lamatriz (simetrica) asociada.

Teorema.- Sea ϕ la forma cuadratica siguiente y A la matriz simetrica asociada,

Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 = [x y]

�a bb c

� �xy

�, A =

�a bb c

�.

(a) ϕ es definida positiva si y solo si a > 0 y det (A) = ac− b2 > 0.

(b) ϕ es definida negativa si y solo si a < 0 y det (A) = ac− b2 > 0.

(c) ϕ es indefinida si y solo si det (A) = ac− b2 < 0.

D.− Separemos los casos en los que a 6= 0 y los casos en los que a = 0.• Si a 6= 0, entonces podemos completar el cuadrado en x,

ax2 + 2bxy + cy2 = a

�x2 +

2b

axy

�+ cy2 = a

�x2 + 2

b

axy +

�b

ay

�2

−�

b

ay

�2�+ cy2

= a

�x2 + 2

b

axy +

�b

ay

�2�− a

�b

ay

�2

+ cy2 = a

�x +

b

ay

�2+

�c − b2

a

�y2

= ax′2 +

�−b2

a+ c

�y′2, siendo

¨x′ = x + b

ay,

y′ = y.

Por tanto, en este caso, la forma cuadratica es:

(a) Definida positiva ⇐⇒ a > 0 y − b2

a+ c > 0 ⇐⇒ a > 0 y ac − b2 > 0.

(b) Definida negativa ⇐⇒ a < 0 y − b2

a+ c < 0 ⇐⇒ a < 0 y ac − b2 > 0.

(c) Indefinida ⇐⇒ a�− b2

a+ c�

< 0 ⇐⇒ ac − b2 < 0



• Si a = 0 y c 6= 0, tenemos que ϕ(x, y) = 2bxy + cy2 y podemos completar el cuadrado eny. Estamos en un caso analogo al anterior. Notemos que en los casos en los que ϕ sea definida(positiva o negativa), a y c tienen que tener el mismo signo.

• Si a = c = 0 tenemos ϕ(x, y) = 2bxy. Sea cual sea el signo de b 6= 0, esta forma cuadratica esindefinida puesto que alcanza valores de distinto signo, por ejemplo ϕ(1, 1) = 2b y ϕ(1,−1) =−2b. En lo que se refiere a la reduccion a suma de cuadrados, podemos transformar xy en unasuma×diferencia

ϕ(x, y) = 2b xy =

�siendo

¨x = x′ + y′

y = x′ − y′

�= 2b

�x′2 − y′2

�.

Recopilando todos los casos obtenemos el enunciado.

Ejercicio. Estudia cuando es semidefinida la forma cuadratica ϕ(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2.

Para una forma cuadratica ϕ en n variables (y para la matriz simetrica real A asociada)puede darse un criterio matricial en los casos en los que sea definida (positiva o negativa).

Dada una matriz simetrica A, se llaman submatrices principales de A a las matrices

Ak =

2664 a11 · · · a1k

.... . .

...a1k · · · akk

3775 , k = 1, 2, . . . , n.

Se llaman menores principales de A a los determinantes de dichas submatrices

∆k = det(Ak), k = 1, 2, . . . , n.

Teorema 4.- Criterio de los menores prinipales (o Criterio de Sylvester).

(1) A es definida positiva ⇐⇒ ∆k = det(Ak) > 0, ∀k = 1, 2, . . . , n.

(2) A es definida negativa ⇐⇒ (−1)k∆k = det(−Ak) > 0, ∀k = 1, 2, . . . , n.

7.3.- Conicas y cuadricas (II).

En el Tema 1 se estudiaron las (secciones) conicas y las cuadricas desde el punto de vistametrico ası como los elementos representativos de cada una de ellas. Por otra parte, vimosla determinacion de la posicion, del tipo de conica/cuadrica y como obtener los elementoscaracterısticos cuando esta viene dada por una ecuacion en la que no aparecen productoscruzados. Ahora estudiaremos:

(a1) Que toda ecuacion polinomica de segundo grado en dos variables

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a1x+ 2a2y + a0 = 0

(alguno de los coeficientes a11, a12, a22 es distinto de cero) representa una conica. Entreestas estaran los casos degenerados. Dicha ecuacion podra representar:

• una elipse, una parabola, una hiperbola,• un par de rectas secantes/paralelas/coincidentes,• un punto, nada (elipse imaginaria)


7.3.- Conicas y cuadricas (II). 221

(a2) Que toda ecuacion polinomica de segundo grado en tres variables

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y + 2a3z + a0 = 0,

(alguno de los coeficientes a11, a22, a33, a12, a13, a23 es distinto de cero) representa unacuadrica. Entre estas consideramos los casos degenerados. Dicha ecuacion podra rep-resentar:

• un elipsoide, un paraboloide (elıptico o hiperbolico),• un hiperboloide (de una o de dos hojas), un cono,• un cilindro (elıptico, parabolico o hiperbolico)• un par de planos secantes/paralelos/coincidentes,• una recta, un punto, nada.

(b) Como determinar el tipo de conica/cuadrica y sus elementos representativos cuando enla ecuacion aparecen terminos en productos cruzados. La presencia de estos terminosindica que la conica/cuadrica esta girada respecto a los ejes coordenados. La deter-minacion del correspondiente angulo de giro se hara a partir del calculo de autova-lores y autovectores de la matriz asociada a la parte cuadratica de la ecuacion de laconica/cuadrica. Es decir, se tratara de obtener la posicion, los elementos caracterısticosy la representacion grafica en el sistema de ejes dado.

En cada una de las subsecciones siguientes consideraremos el problema de determinar eltipo de conica/cuadrica y obtener la posicion, los elementos caracterısticos y la representaciongrafica en el sistema de ejes dado. El planteamiento para hacer la reduccion de una cuadricasera el mismo para una conica. Tiene dos partes diferenciadas:

En primer lugar, mediante un cambio de variables ortogonal, hay que conseguir que enla parte cuadratica de la ecuacion:

conica : a11x2 + 2a12xy + a22y

2,cuadrica : a11x

2 + 2a12xy + 2a13xz + a22y2 + 2a23yz + a33z

2,

no aparezcan terminos cruzados. Para ello, tendremos que diagonalizar ortogonalmentela matriz (real simetrica) de la parte cuadratica de la ecuacion. Es decir, siendo A =[aij ] la matriz simetrica de la parte cuadratica de la ecuacion, habra que calcularsus autovalores y una base ortonormal de R

n formada por autovectores de A. Dichabase formada por autovectores nos permitira hacer un cambio de variables ortogonalx = Px′ de forma que en las variables x′ la ecuacion de la conica/cuadrica no tengaterminos cruzados. Esta es la situacion que se estudio en el Tema 2.

Una vez que hemos conseguido una ecuacion de segundo grado, sin terminos cruzados,mediante un cambio de variables dado por una matriz ortogonal (que esencialmenterepresentara un giro en el plano o en el espacio), bastara hacer una traslacion x′′ = x′−cpara obtener la ecuacion reducida de la conica/cuadrica y la grafica en el sistema deejes x′′.

Finalmente, para obtener los elementos caracterısticos y la representacion grafica en el sis-tema de ejes original, necesitaremos deshacer los cambios de variables:

x′ = x′′ + c, x′ = P Tx.



7.3.1.- Reduccion de una conica girada.

Definicion. Una conica es el lugar geometrico de los puntos (x, y) ∈ R2 del plano que

satisfacen una ecuacion general de segundo grado:

f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a1x+ 2a2y + a0 = 0, (1)

donde alguno de los coeficientes a11, a12 o a22 es distinto de cero.La ecuacion anterior, llamada ecuacion de la conica, se puede escribir en notacion vectorial

de la forma:

f(x, y) = [x y]A

�xy

�+ 2 [a1 a2]

�xy

�+ a0 = 0 siendo A =

�a11 a12

a12 a22

�.

Notese que tambien puede escribirse,

f(x, y) = [x y 1]

264 a11 a12 a1

a12 a22 a2

a1 a2 a0

375 264 xy1

375 = 0.

El proceso general para llevar una conica a su ecuacion reducida (sabiendo cuales son loscambios de variables involucrados) puede separarse en dos etapas (si el coeficiente a12 6= 0,si el coeficiente a12 = 0 bastarıa con la segunda etapa):

(a) Determinacion de las direcciones de los ejes de la conica. Esto consiste en diagonalizarortogonalmente la matriz (simetrica A) asociada a la parte cuadratica de la ecuacion

A =

�a11 a12

a12 a22

�.

Sean λ1 y λ2 los autovalores de A y v1 y v2 autovectores ortogonales correspondientes(si λ1 6= λ2 dichos autovectores seran ortogonales necesariamente, y si λ1 = λ2 nece-sariamente A es una matriz diagonal, y no necesitamos hacer nada de esto). Convienetomar los autovectores v1 y v2 de manera que el angulo de v1 a v2 sea de 900 en sentidopositivo (contrario a las agujas del reloj). Sin mas que dividir los vectores v1 y v2 porsu norma, obtenemos una base ortonormal {u1, u2} de R

2 formada por autovectores deA y, por tanto,

P =

264 u1 u2

375⇒ P−1 = P T , P TAP = D =

�λ1 00 λ2

�.

Al sustituir en la ecuacion (en (x, y)) de la conica el cambio de variables tenemos�xy

�= P

�x′

y′

�=⇒ [x′ y′]P TAP

�x′

y′

�+ 2 [a1 a2]P

�x′

y′

�+ a0 = 0.

Es decir, la ecuacion de la conica en las coordenadas (x′, y′) es

λ1x′2 + λ2y

′2 + 2b1x′ + 2b2y

′ + a0 = 0,



ecuacion en la que no aparece el producto cruzado x′y′. Notemos que�xy

�= P

�x′

y′

�=

264 u1 u2

375 � x′y′

�=⇒

�x′

y′

�= P T

�xy

�=

�uT

1

uT2

� �xy

�.

Por tanto, los nuevos ejes son

X ′ → ecuacion y′ = 0 → uT2

�xy

�= 0,

Y ′ → ecuacion x′ = 0 → uT1

�xy

�= 0.

Es decir, los ejes x′ e y′ son las rectas que pasan por el origen de coordenadas ytienen como vectores direccion respectivos los autovectores u1 y u2 de A. De hecho elsistema de ejes OX ′Y ′ se obtiene del sistema OXY girando (con centro el origen decoordenadas) el angulo que determina u1 con el semieje OX+.

(b) Una vez que tenemos la ecuacion

λ1x′2 + λ2y

′2 + 2b1x′ + 2b2y

′ + a0 = 0,

en la que no aparece el producto cruzado x′y′, bastara completar los cuadrados queaparezcan (mediante cambios del tipo x′′ = x′ − α e y′′ = y′ − β) para obtener unaecuacion de uno de los siguientes tipos:

Caso elıptico. λ1λ2 > 0 (es decir λ1 y λ2 son no-nulos y del mismo signo),

a2x′′2 + b2y′′2 = c

en cuyo caso tenemos una elipse (c > 0), un punto (c = 0) o nada (c < 0).

Caso hiperbolico. λ1λ2 < 0 (es decir λ1 y λ2 son no-nulos y de distinto signo),

a2x′′2 − b2y′′2 = c

en cuyo caso tenemos una hiperbola (c 6= 0) o un par de rectas que se cortan(c = 0).

Caso parabolico. λ1λ2 = 0 (es decir uno de los autovalores es nulo, y el otro no).Suponiendo que λ1 6= 0, λ2 = 0 puede obtenerse

a2x′′2 + by′′ = 0 o a2x′′2 + c = 0

Tendremos una parabola (b 6= 0), o bien un par de rectas paralelas (c < 0) ocoincidentes (c = 0) o nada (c > 0).

Para obtener los elementos caracterısticos de la conica y su representacion grafica bastaobtenerlos en las coordenadas (x′′, y′′) y deshacer los cambios de variables que se hayan hecho

(Traslacion)

¨x′′ = x′ − αy′′ = y′ − β

⇒¨x′ = x′′ + αy′ = y′′ + β

(Giro)

�xy

�= P

�x′

y′

�⇒�x′

y′

�= P T

�xy

�.



Ejemplos.

(1) Vamos a obtener la ecuacion canonica (reducida) y la representacion grafica de la conica

3x2 + 3y2 − 2xy + 2x− 4y + 1 = 0.

mediante los cambios de coordenadas adecuados.

Escribimos en forma matricial la parte cuadratica de la ecuacion de la conica:

[x y]

�3 −1−1 3

� �xy

�+ 2x− 4y + 1 = 0.

Puesto que la ecuacion de la conica tiene termino en xy necesitamos hacer un giro paracolocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge losterminos cuadraticos).

Calculamos los autovalores de A,�� 3 − λ −1−1 3 − λ

�� = λ2 − 6λ+ 8 = 0 −→ λ1 = 4, λ2 = 2.

Los autovectores correspondientes son:

λ1 = 4 :

� −1 −1−1 −1

��xy

�=

�00

�−→ x+ y = 0 −→

�xy

�= α

�1−1

�,

λ2 = 2 :

�1 −1−1 1

��xy

�=

�00

�−→ x− y = 0 −→

�xy

�= α

�11

�.

Construimos la matriz de paso ortogonal P (que diagonaliza A) mediante una baseortonormal de autovectores: (√

2

2

�1−1

�,

√2

2

�11

�).

El primer autovector da la direccion y sentido positivo del nuevo eje X ′ (que cor-responde a girar un angulo θ = −45o el eje X, pues del autovector sacamos quetgθ = y/x = −1/1 = −1) y el segundo autovector (que hemos elegido en el sentidoadecuado para que el eje Y ′ se obtenga girando el X ′ un angulo de 90o en sentidopositivo) marca la direccion y sentido del nuevo eje Y ′. El cambio:

x = Px′ −→�xy

�=

" √2

2

√2

2

−√

22

√2

2

# �x′

y′

�eliminara el termino mixto x′y′ dejando la parte cuadratica como λ1x

′2 + λ2y′2, modi-

ficara los coeficientes de los terminos lineales, x′ e y′, y no alterara el termino indepen-diente. Concretamente obtenemos: 4x′2 + 2y′2 + 3

√2x′ −

√2y′ + 1 = 0.



Completando cuadrados hacemos una traslacion:

4

x′2 +

3√

2

4x′!

+ 2

y′2 −

√2

2y′!

+ 1 = 0,

4

x′ +

3√

2

8

!2

− 9

8+ 2

y′ −

√2

4

!2

− 1

4+ 1 = 0,

4

x′ +

3√

2

8

!2

+ 2

y′ −

√2

4

!2

=3

8−→ 4x′′2 + 2y′′2 =

3

8,

donde hemos realizado la traslacion

x′′ = x′ +3√

2

8, y′′ = y′ −

√2

4.

Operando, llegamos a la ecuacion canonica

x′′2

332

+y′′2

316

= 1 −→ x′′2�14

È32

�2 +y′′2�√

34

�2 = 1.

Es decir, al haber tomado λ1 = 4 y λ2 = 2, el semieje mayor de la elipse esta sobre eleje Y ′′ y el menor sobre el X ′′, ya que 1

4

È32<

√3

4.

El centro C de la elipse es el origen en las coordenadas (x′′, y′′). Es decir, (x′′, y′′) =

(0, 0) ⇔ (x′ = −3√

28, y′ =

√2

4). En coordenadas (x, y) obtenemos

x =

√2

2

−3

√2

8+

√2

4

!= −1

8, y =

√2

2

3√

2

8+

√2

4

!=

5

8−→ C =

�−1

8,5

8

�.

Para hacer el dibujo esquematico con una cierta precision, puede sernos util el encontrarlos puntos de corte (si los hay) de la elipse con los ejes coordenados (OX y OY ). Alhacer x = 0 en la ecuacion de la conica se obtiene 3y2 − 4y + 1 = 0 que se verificapara y = 1, 1/3. Mientras que si hacemos y = 0, la ecuacion 3x2 + 2x+ 1 = 0 no tienesolucion (real). Por tanto, la elipse corta al eje OY en los puntos (0, 1) y (0, 1/3) y nocorta al eje OX.

Con toda la informacion que hemos obtenido a lolargo del problema, comenzamos dibujando los ejesX ′ e Y ′ sabiendo que pasan por (x = 0, y = 0) ytienen la direccion y sentido del autovector corres-pondiente a λ1 y λ2, respectivamente. Es decir, eneste caso, con la eleccion que hicimos de autova-lores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ se obtienenrotando un angulo de −45o a los ejes X e Y . Acontinuacion, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′, parale-los respectivamente a los ejes X ′ e Y ′, que resultande trasladar el origen al punto C =

�−1

8, 5

8

�.

X’

Y’

X

●

●

Y’’Y

X’’

1

1/3

C

●



Notese que si hubieramos elegido los autovalores enel otro orden posible, es decir, λ1 = 2 y λ2 = 4 ytomamos como autovectores respectivos (1, 1)T y(−1, 1)T (el primero indica la direccion y sentidodel eje X ′ y el segundo el del Y ′), llegarıamos, trasrealizar el giro (en este caso de 45o) mediante elcambio de coordenadas dado por la nueva matrizP y la traslacion adecuada, a la ecuacion canonica:

x′′2�√3

4

�2 +y′′2�

14

È32

�2 = 1,

que nos llevarıa a la figura adjunta.

X

●

●

Y

1

1/3

C

●

Y’’Y’

X’

X’’


x2 − 2xy + y2 − 2x+ 1 = 0


Puesto que la ecuacion de la conica tiene termino en xy necesitamos hacer un giro paracolocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge losterminos cuadraticos).�

x y� � 1 −1

−1 1

� �xy

�− 2x+ 1 = 0, A =

�1 −1−1 1

�Calculamos pues sus autovalores y despues sus autovectores. En primer lugar:�� 1 − λ −1

−1 1 − λ

�� = λ2 − 2λ = 0 −→ λ1 = 0, λ2 = 2.

Podemos pues calcular los autovectores:

λ1 = 0 :

�1 −1−1 1

� �xy

�=

�00

�−→ x− y = 0 −→

�xy

�= α

�11

�,

λ2 = 2 :

� −1 −1−1 −1

� �xy

�=

�00

�−→ x+ y = 0 −→

�xy

�= α

� −11

�.

Construimos la matriz P mediante la siguiente base ortonormal de autovectores:(√2

2

�11

�,

√2

2

� −11

�),

donde el primer autovector da la direccion y sentido del nuevo eje X ′ (que correspondea girar un angulo θ = 45o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = y/x = 1) yel segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′ seobtenga girando el eje X ′ 90o en sentido positivo o antihorario) marca la direccion ysentido del nuevo eje Y ′. El cambio:

x = Px′ −→�xy

�=

" √2

2−

√2

2√2

2

√2

2

# �x′

y′

�Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica


eliminara el termino mixto x′y′ dejando la parte cuadratica como λ1x′2 + λ2y

′2, modi-ficara los coeficientes de los terminos lineales, x′ e y′, y no alterara el termino indepen-diente. Concretamente obtenemos:

2y′2 −√

2x′ +√

2y′ + 1 = 0.

Completando cuadrados en y′ y haciendo una traslacion tenemos

2

y′2 +

√2

2y′!−√

2x′ + 1 = 0, −→ 2

y′ +

√2

4

!2

− 1

4−

√2x′ + 1 = 0,

2

y′ +

√2

4

!2

−√

2x′ +3

4= 0,

2

y′ +

√2

4

!2

−√

2

x′ − 3

√2

8

!= 0, −→ 2y′′2 −

√2x′′ = 0,


x′′ = x′ − 3√

2

8, y′′ = y′ +

√2

4.

Por tanto, la ecuacion canonica a la que hemos llegado, tras la rotacion y la traslacionllevadas a cabo, es

x′′ =√

2y′′2.

El vertice V de la parabola es el origen en las coordenadas (x′′, y′′). Es decir, (x′′, y′′) =

(0, 0) ⇔ (x′ = 3√

28, y′ = −

√2


x =

√2

2

3√

2

8+

√2

4

!=

5

8, y =

√2

2

3√

2

8−

√2

4

!=

1

8, −→ V =

�5

8,1

8

�.

Para hacer el dibujo esquematico con una cierta precision, puede sernos util el encontrarlos puntos de corte (si los hay) de la parabola con los ejes coordenados (OX y OY ).Al hacer x = 0 en la ecuacion de la conica se obtiene y2 + 1 = 0 que no tiene solucion(real). Mientras que si hacemos y = 0 obtenemos x2 − 2x + 1 = 0 que tiene comosolucion (doble) x = 1. Por tanto, la parabola no corta al eje OY y toca sin cortar(pues es tangente, como se deduce de la raız doble) al eje OX en el punto (1, 0).

Con toda la informacion que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamosdibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por el origen de las coordenadas X-Y yque tienen la direccion y sentido del autovector correspondiente a λ1 y λ2, respectiva-mente.Es decir, en este caso, con la eleccion que hicimosde autovalores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ seobtienen rotando un angulo de 45o a los ejes X eY . A continuacion, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′,paralelos respectivamente a los ejes X ′ e Y ′, queresultan de trasladar el origen al vertice de laparabola V =

�−1

8, 5

8

�. Finalmente, dibujamos

la parabola, que es muy facil de representar enlas coordenadas (x′′, y′′). Teniendo en cuenta lasintersecciones con los ejesX e Y obtenemos puesla figura adjunta.

●V

●

1

X’’

Y’’

Y’

X

X’Y



Notese que si elegimos los autovalores en el mismo orden, λ1 = 0 y λ2 = 2, perotomamos los autovectores opuestos ((−1,−1)T fija el eje X ′ y (1,−1)T marca el Y ′),llegamos, procediendo analogamente, a x′′ = −

√2y′′2. En este situacion, estarıamos en

el caso (a) de la figura siguiente.

Sin embargo, si tomamos λ1 = 2 y λ2 = 0, y como autovectores correspondientes a(1,−1)T (que determina el ejeX ′) y (1, 1)T (que marca el eje Y ′), llegamos, procediendoanalogamente, a y′′ =

√2x′′2. De esta forma, estarıamos en el caso (b) de la figura

siguiente.

Finalmente, la cuarta y ultima posibilidad sera tomar λ1 = 2 y λ2 = 0, pero trabajandocon los autovectores a (−1, 1)T (fija el eje X ′) y (−1,−1)T (marca el Y ′). Entonces, sellega, procediendo analogamente, a y′′ = −

√2x′′2. Estarıamos entonces en el caso (c)

de la figura siguiente.

●V

●

1 X

Y

X’

Y’X’’ Y’’

●V

●

1 X

Y Y’

X’

Y’’

X’’

●V

●

1 X

Y

X’

Y’

X’’

Y’’ (a)

Moraleja: la curva en el plano (X, Y ) es obviamente la misma, aunque al comienzo delproblema tenemos cuatro posibilidades distintas para elegir el eje X ′ (segun que auto-valor elijamos como primero y que autovector de norma unidad elijamos para dichoautovalor). Tras esta eleccion los ejes Y ′ (que queremos obtenerlo girando 90o en sentidoantihorario el eje X ′ ), X ′′ e Y ′′ ya quedan determinados.


2xy − 4x+ 2y − 7 = 0


Puesto que la ecuacion de la conica tiene termino en xy necesitamos hacer un giro paracolocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge losterminos cuadraticos),�

x y� � 0 1

1 0

� �xy

�− 4x+ 2y − 7 = 0, A =

�0 11 0

�.

Calculamos los autovalores,�� −λ 11 −λ

�� = λ2 − 1 = 0 −→ λ1 = 1, λ2 = −1.

Los autovectores correspondientes son:

λ1 = 1 :

� −1 11 −1

� �xy

�=

�00

�−→ x− y = 0 −→

�xy

�= α

�11

�,



λ2 = −1 :

�1 11 1

� �xy

�=

�00

�−→ x+ y = 0 −→

�xy

�= α

� −11

�.


2

�11

�,

√2

2

� −11

�),

donde el primer autovector da la direccion y sentido del nuevo eje X ′ y el segundoautovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′ se obtengagirando el eje X ′ 90o en sentido positivo o antihorario) marca la direccion y sentidodel nuevo eje Y ′. El cambio de variables:

x = Px′ −→�xy

�=

" √2

2−

√2

2√2

2

√2

2

# �x′

y′


′2 + λ2y′2, po-

dra modificar los coeficientes de los terminos lineales, x′ e y′, y no alterara el terminoindependiente. Concretamente obtenemos:

x′2 − y′2 −√

2x′ + 3√

2y′ − 7 = 0.

Completando cuadrados en x′ e y′ y haciendo una traslacion: x′ −

√2

2

!2

− 1

2− y′ − 3

√2

2

!2

+9

2− 7 = 0,

x′ −√

2

2

!2

− y′ − 3

√2

2

!2

− 3 = 0,

x′′2 − y′′2 = 3 −→ x′′2

(√

3)2− y′′2

(√

3)2= 1,


x′′ = x′ −√

2

2, y′′ = y′ − 3

√2

2.

Deducimos que las asıntotas de la hiperbola son las rectas y′′ = ±x′′ (perpendicularesentre sı al ser la hiperbola equilatera). Podemos deshacer los cambios (giro y traslacion)para obtener sus ecuaciones en las coordenadas x-y. Ası,

y′′ = x′′ −→ y′ − 3√

2

2= x′ −

√2

2

y, teniendo en cuenta que x′ = P Tx (pues x = Px′ y P es ortogonal), tenemos

x′ =

√2

2(x+ y), y′ =

√2

2(−x+ y)

llegamos a √2

2(−x+ y) − 3

√2

2=

√2

2(x+ y) −

√2

2−→ x = −1.



Procediendo analogamente, y′′ = −x′′ se convierte en y = 2 (ambas asıntotas son puesparalelas a los ejes Y y X, respectivamente).

El centro C de la hiperbola es el origen en las coordenadas (x′′, y′′). Es decir, (x′′, y′′) =

(0, 0) ⇔ (x′ =√

22, y′ = 3

√2


x =

√2

2

√2

2− 3

√2

2

!= −1, y =

√2

2

√2

2+ 3

√2

2

!= 2 −→ C = (−1, 2) .

Para hacer el dibujo con cierta precision puede ser util calcular los puntos de corte (silos hay) de la hiperbola con los ejes coordenados (OX y OY ). Al hacer x = 0 en laecuacion de la conica se obtiene 2y− 7 = 0 que tiene como solucion y = 7/2. Ademas,si hacemos y = 0 obtenemos −4x−7 = 0 que tiene como solucion x = −7/4. Por tanto,la parabola corta al eje OY en el punto (0, 7/2) y al eje OX en el punto (−7/4, 0).

Con toda la informacion que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamosdibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por el origen de las coordenadas X-Y ytienen la direccion y sentido de los autovectores correspondientes a λ1 y λ2, respecti-vamente.

Es decir, en este caso, con la eleccion que hicimosde autovalores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ seobtienen rotando un angulo de 45o a los ejes X eY . A continuacion, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′,paralelos respectivamente a los ejes X ′ e Y ′, queresultan de trasladar el origen al centro de lahiperbola C = (−1, 2). Finalmente, dibujamosla hiperbola, que es muy facil de representar enlas coordenadas x′′-y′′, teniendo en cuenta susasıntotas y sus cortes con los ejes X e Y , paraobtener un dibujo cualitativo lo mas parecidoposible al real.

●

Y’

Y’’

X’’

Y

C ●

●

2

X’

●−1

−7/4

●7/2

X


−7x2 + 12xy + 2y2 + 2x− 16y + 12 = 0


Puesto que la ecuacion de la conica tiene termino en xy necesitamos hacer un giro paracolocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge losterminos cuadraticos),�

x y� � −7 6

6 2

� �xy

�+ 2x− 16y + 12 = 0, A =

� −7 66 2

�Calculamos los autovalores,�� −7 − λ 6

6 2 − λ

�� = λ2 + 5λ− 50 = 0 −→ λ1 = 5, λ2 = −10.



Y los autovectores correspondientes,

λ1 = 5 :

� −12 66 −3

� �xy

�=

�00

�−→ 2x− y = 0 −→

�xy

�= α

�12

�,

λ2 = −10 :

�3 66 12

� �xy

�=

�00

�−→ x+ 2y = 0 −→

�xy

�= α

� −21

�.


5

�12

�,

√5

5

� −21

�).

El primer autovector da la direccion y sentido del nuevo eje X ′ (que corresponde a girarun angulo θ ≈ 63,4o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = y/x = 2/1 = 2)y el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′

se obtenga girando 90o el eje X ′ en sentido positivo) marca la direccion y sentido delnuevo eje Y ′. El cambio

x = Px′ −→�xy

�=

" √5

5−2

√5

52√

55

√5

5

# �x′

y′


′2 + λ2y′2, po-

dra modificar los coeficientes de los terminos lineales, x′ e y′, y no alterara el terminoindependiente. Concretamente obtenemos:

5x′2 − 10y′2 − 6√

5x′ − 4√

5y′ + 12 = 0.

Completando cuadrados en x′ e y′ y haciendo una traslacion:

5

x′2 − 6

√5

5x′!− 10

y′2 +

2√

5

5y′!

+ 12 = 0,

5

x′ − 3

√5

5

!2

− 9 − 10

y′ +

√5

5

!2

+ 2 + 12 = 0,

5

x′ − 3

√5

5

!2

− 10

y′ +

√5

5

!2

+ 5 = 0,

5x′′2 − 10y′′2 + 5 = 0 −→ x′′2 − 2y′′2 = −1 −→ x′′2

12− y′′2�√

22

�2 = −1,


x′′ = x′ − 3√

5

5, y′′ = y′ +

√5

5.

Deducimos que las asıntotas de la hiperbola son las rectas y′′ = ±√

22x′′ ≈ ±0,707x′′.

Podemos deshacer los cambios (giro y traslacion) para obtener sus ecuaciones en lascoordenadas x-y. Ası,

y′′ =

√2

2x′′ −→ y′ +

√5

5=

√2

2

x′ − 3

√5

5

!Matematicas I. 2010-2011


y, teniendo en cuenta que x′ = P Tx (pues x = Px′ y P es ortogonal), tenemos que

x′ =

√5

5(x+ 2y), y′ =

√5

5(−2x+ y)

llegamos a√

5

5(−2x+y)+

√5

5=

√2

2

√5

5(x+ 2y) − 3

√5

5

!−→

2 +

√2

2

!x+(

√2+1)y = 1+

3√

2

2.

Procediendo analogamente, y′′ = −√

22x′′ se convierte en

2 −√

2

2

!x+ (−

√2 + 1)y = 1 − 3

√2

2.

El centro C de la hiperbola es el origen en las coordenadas (x′′, y′′). Es decir, (x′′, y′′) =

(0, 0) ⇔ (x′ = 3√

55, y′ = −

√5


x =

√5

5

3√

5

5+

2√

5

5

!= 1, y =

√5

5

6√

5

5−

√5

5

!= 1 −→ C = (1, 1) .

Para hacer el dibujo esquematico con una cierta precision, puede sernos util el encontrarlos puntos de corte (si los hay) de la hiperbola con los ejes coordenados (OX y OY ).Al hacer x = 0 en la ecuacion de la conica se obtiene y2 − 8y + 6 = 0 que tiene comosoluciones y = 4 ±

√10, es decir, y ≈ 7,16 e y ≈ 0,84. Mientras que si hacemos y = 0

se obtiene 7x2 − 2x − 12 = 0 que tiene como soluciones y = 1±√

857

, es decir, x ≈ 1,46y x ≈ −1,17. Por tanto, la hiperbola corta al eje OY en los puntos (0, 7,16) y (0, 0,84)y al eje OX en los puntos (1,46, 0) y (−1,17, 0).

Con toda la informacion que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamosdibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por el origen de las coordenadas x-y ytienen la direccion y sentido del autovector correspondiente a λ1 y λ2, respectivamente.Es decir, en este caso, con la eleccion que hicimos de autovalores y autovectores, losejes X ′ e Y ′ se obtienen rotando un angulo de 63,4o (aproximadamente) a los ejesX e Y . A continuacion, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′, paralelos respectivamente a losejes X ′ e Y ′, que resultan de trasladar el origen al centro de la hiperbola C = (1, 1).Finalmente, dibujamos la hiperbola, que es facil de representar en las coordenadas x′′-y′′, teniendo en cuenta sus asıntotas y sus cortes con los ejes X e Y , para obtener undibujo cualitativo lo mas parecido posible al real.

X

Y

●

Y’

Y’’

X’ X’’

1

1 C



7.3.1.- Reduccion de una cuadrica girada.

Definicion. Una cuadrica es el lugar geometrico de los puntos (x, y, z) que satisfacen unaecuacion general de segundo grado de la forma

f(x, y, z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy+ 2a13xz + 2a23yz+ 2a1x+ 2a2y + 2a3z + a0 = 0,

llamada ecuacion de la cuadrica (alguno de los coeficientes aij tiene que ser distinto de cero).Esta ecuacion se puede escribir matricialmente en la forma

f(x, y, z) =�x y z

� 264 a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

375 264 xyz

375+ 2�a1 a2 a3

� 264 xyz

375+ a0 = 0,

y vectorialmente como f(x) = xtAx+2atx+a0 = 0.

Al igual que en el caso de las conicas, el proceso para llevar una cuadrica a su formareducida puede separarse en dos etapas (si el coeficiente de alguno de los productos cruzadoses no-nulo): una primera consistente en determinar las direcciones de los ejes de la cuadricay una segunda consistente en determinar una traslacion.

El termino principal de la ecuacion de la cuadrica es la forma cuadratica, que supondremosdistinta de cero, en 3 variables

xtAx =�x y z

� 264 a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

375 264 xyz

375 .Puesto que la matriz A es real y simetrica puede diagonalizarse mediante una matriz depaso ortogonal P cuyas columnas {u1, u2, u3} seran, por tanto, autovectores de A y baseortonormal de R

3. Conviene tomar {u1, u2, u3} de forma que u1 × u2 = u3. Al hacer elcambio de variables 264 x

yz

375 = P

264 x′

y′

z′

375 ,la ecuacion de la cuadrica queda de la forma�

x′ y′ z′� 264 λ1 0 0

0 λ2 00 0 λ3

375 264 x′

y′

z′

375+ 2�b1 b2 b3

� 264 x′

y′

z′

375 + b0 = 0,

siendo λ1, λ2 y λ3 los autovalores de A (iguales o distintos). A partir de aquı, basta completarlos cuadrados cuyo coeficiente sea distinto de cero y tendremos los siguientes casos:

(1) A tiene todos sus autovalores distintos de cero y del mismo signo:

Elipsoide.

Un punto.

Nada.

(2) A tiene todos sus autovalores distintos de cero pero no del mismo signo:



Hiperboloide de una hoja.

Cono.

Hiperboloide de dos hojas.

(3) A tiene dos autovalores distintos de cero del mismo signo y el tercer autovalor es cero:

Paraboloide elıptico.

Cilindro elıptico.

Una recta.

Nada.

(4) A tiene dos autovalores distintos de cero de distinto signo y el tercer autovalor es cero:

Paraboloide hiperbolico.

Cilindro hiperbolico.

Un par de planos que se cortan.

(5) A tiene dos autovalores iguales a cero:

Cilindro parabolico.

Un par de planos paralelos, confundidos (un solo plano) o nada.


7.4.- Ejercicios. 235

7.4.- Ejercicios.

Ejercicio 1. Diagonaliza las siguientes matrices mediante matrices de paso ortogonales264 1 −2 0−2 2 −20 −2 3

375 , 264 5 2 22 2 −42 −4 2

375 , 264 1 −1 0−1 2 −10 −1 1

375 , 264 1 1 11 1 11 1 1

375 .Ejercicio 2. Reduce a suma de cuadrados las formas cuadraticas definidas por las matrices:264 1 2 2

2 1 −22 −2 1

375 , 264 1 2 32 0 −13 −1 1

375 , 26664 0 1 −1 21 1 0 −1−1 0 −1 12 −1 1 0

37775 , 26664 0 1 2 31 0 1 22 1 0 13 2 1 0

37775 .Ejercicio 3. (1) Toda matriz simetrica real de orden m×m

Tiene m autovalores distintos.

Diagonaliza en una base ortonormal de Rm.

Ninguna de las anteriores.

(2) Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisimetrica (AT = −A). Demuestra quedet(A) = 0.

Ejercicio 4. Consideremos la siguiente matriz, dependiente de un parametro δ ∈ R:

A =

26664 2 1 1 01 2 1 01 1 2 00 0 0 δ

37775 .(a) Clasificar, segun los valores de δ, la forma cuadratica ϕ(x, y, z, t) = [x y z t]A

26664 xyzt

37775 .(b) Diagonalizar ortogonalmente la matriz A para δ = 1. Dar, explıcitamente, la multipli-

cidad geometrica de cada autovalor ası como la matriz de paso P y la matriz diagonalD.

(c) Siendo δ = 1, calcular PAnP T para todo n ∈ N, donde P es la matriz de paso obtenidaen el apartado anterior.

Ejercicio 5. Demuestra que toda matriz real simetrica A = [aij], n × n, definida positivaverifica:



(a) det (A) > 0.

(b) A tiene inversa y su inversa, A−1 tambien es definida positiva.

(c) aii > 0, i = 1, 2, . . . , n.

(d) aii + ajj > 2aij , i 6= j = 1, . . . , n.

(e) aiiajj > (aij)2, i 6= j = 1, . . . , n.

(f) El elemento de mayor magnitud de A esta en la diagonal principal,

max {|aij | : i, j = 1, . . . , n} = max {a11, a22, . . . , ann} .

(g) A se puede factorizar de la forma A = MMT siendo M una matriz cuadrada (real)no-singular.

Ejercicio 6. Determina los valores del parametro real α para los que las siguientes formascuadraticas/matrices son definidas positivas:

A =

264 α 1 11 α 11 1 α− 2

375 , ϕ(x, y, z) = 2x2 − 4xy + 2xz + 3y2 + 2yz + αz2.

Ejercicio 7. Determina los valores del parametro real α para los que la ecuacion

2x2 − 2xy + αy2 = −5

tiene soluciones reales.

Ejercicio 8. Estudiando el signo de una forma cuadratica apropiada, determina si cada unade las siguientes desigualdades es cierta (para cualquier valor de las variables):

(a)√xy ≤ x+y

2, x ≥ 0, y ≥ 0.

(b) x21 + 2x2

2 + 3x23 ≥ 4x1x2 + 4x2x3, ∀x1, x2, x3 ∈ R.

(c) x2 + 2y2 + z2 ≥ 2xy + 2yz, ∀x, y, z ∈ R.

(d) x2 + y2 + z2 ≥ 163

si x+ y + z = 4, x, y, z ∈ R.

Ejercicio 9. Reduce a suma de cuadrados las formas cuadraticas siguientes y clasificarlas:

(1) ϕ(x1, x2, x3) = x21 + 5x2

2 + 2x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3.

(2) ϕ(x1, x2) = 8x1x2 + 4x22.

(3) ϕ(x1, x2, x3) = x21 + 2x1x2 + 4x1x3 + 3x2

2 + x2x3 + 7x23.

(4) ϕ(x1, x2) = x21 + 4x1x2 − 2x2

2.



(5) ϕ(x1, x2, x3) = −x22 − 2x1x3.

(6) ϕ(x1, x2, x3) = 2x21 + 3x2

2.

Ejercicio 10. Calcula, mediante el metodo de Lagrange, una forma canonica para cadauna de las formas cuadraticas siguientes y clasificarlas. A continuacion, aplicando la ley deInercia de Sylvester, escribe tres formas canonicas mas para cada una de ellas.

(1) ϕ(x1, x2) = x21 + 3x1x2 + 5x2

2.

(2) ϕ(x1, x2) = 5x21 + 2x1x2 + x2

2.

(3) ϕ(x1, x2) = −x21 + 2x1x2 − 7x2

2.

(4) ϕ(x1, x2) = 8x1x2 − x22.

(5) ϕ(x1, x2, x3) = 3x21 + 5x2

2 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3.

(6) ϕ(x1, x2, x3) = 8x21 − 4x2

2 − x23 − 4x1x2 − 2x1x3 − 4x2x3.

Ejercicio 11. Indica la respuesta correcta:

(1) Una forma canonica de la forma cuadratica ϕ(x1, x2) = 2x1x2 es:

−√

2y21 − y2

2

35y2

1 − y22

2y21 + 2y2

2

(2) La forma cuadratica −5x2 − y2 + az2 + 4xy − 2xz − 2yz es definida negativa si

a > −10.

a = −10.

a < −10.

Ejercicio 12. (1) Siendo (a1, a2, · · · , an), (b1, b2, · · · , bn) ∈ Rn dos vectores no nulos, reduce

a suma de cuadrados la forma cuadratica ϕ definida por

ϕ(x1, · · · , xn) = (a1x1 + · · · + anxn)(b1x1 + · · · + bnxn).

(2) Determina en funcion de a ∈ R el caracter de la forma cuadratica asociada a la matriz

A =

264 1 2 22 a 22 2 2 − a

375 .Matematicas I. 2010-2011


(3) Determina el signo de la forma cuadratica

ϕ(x1, · · · , xn) = x1x2 + x2x3 + · · ·+ xn−1xn + xnx1

y tres vectores v1, v2 y v3 tales que ϕ(v1) = 1, ϕ(v2) = −5, ϕ(v3) = 0.

Ejercicio 13.

(1a) Sea A una matriz real m× n. Demuestra que la matriz simetrica ATA es semidefinidapositiva o definida positiva. Determina cada caso en funcion del espacio nulo de A.

(1b) Demuestra que si A es una matriz real 10×15, entonces la forma cuadratica ϕ : R15 −→

R definida por ϕ(x) = xTATAx es semidefinida positiva pero no puede ser definidapositiva.

(1c) Demuestra que si A es una matriz real 10×15 de rango 10, entonces la forma cuadraticaψ : R

10 −→ R definida por ψ(x) = xTAATx es definida positiva.

(2) Demuestra que la suma de dos matrices simetricas, una semidefinida positiva y otradefinida positiva, es una matriz definida positiva.

(3) Pon un ejemplo de dos matrices simetricas indefinidas cuya suma sea una matriz definidapositiva.

Ejercicio 14. Reduce, clasifica y representa las siguientes conicas:

(a) 13x2 + 10y2 + 4xy − 26x− 22y + 23 = 0.

(a’) 13x2 + 10y2 + 4xy − 26x− 22y + 2 = 0.

(b) 4x2 + y2 − 4xy − 2y + 1 = 0.

(b’) 4x2 + y2 − 4xy + 4x− 2y + 1 = 0.

(c) 5x2 + 2y2 − 4xy + 12x− 4y = 0.

(c’) 5x2 + 2y2 − 4xy + 12x− 4y + 9 = 0.

(d) x2 + 4y2 − 4xy + 6x− 12y + 9 = 0.

(e) 2xy − 5 = 0.

Ejercicio 15. (a) Determina el valor de α para el que la conica x2−2αxy+2αy2−2x+4αy =0 es una parabola. Reduce y representa dicha parabola.

(b) Determina el valor de α para el que la conica x2 + 2αxy+ y2 = 1 es una elipse. Calculalos semiejes de dicha elipse.



Ejercicio 16. Determina la ecuacion de la conica que pasa por los puntos

(0, 0), (0, 2), (2,−1), (5, 0), (3,−1)

y representa dicha conica.

Ejercicio 17. Reducir, clasificar y representar las siguientes cuadricas:

(a) 3x2 + 2xy − 10y2 = 0.

(b) x2 + y2 − z2 − 2z − 1 = 0.

(c) 2x+ 2y − 2z − 2xy + 4xz + 4yz − 3z2 = 0.

(d) 5x2 + 6y2 + 7z2 − 4xy + 4yz − 10x+ 8y + 14z − 6 = 0.

(e) 4x2 + y2 + 4z2 − 4xy + 8xz − 4yz − 12x− 12y + 6z = 0.



10.4.- Apendice: MATLAB.

A la hora de estudiar una forma cuadratica puede recurrirse a la expresion polinomicao a la expresion matricial. Si lo que queremos es obtener el valor que alcanza una formacuadratica en un determinado punto, podemos utilizar cualquiera de las dos expresiones.

MATLAB no dispone de ningun comando para manipular directamente polinomios devarias variables, aunque se pueden obtener los valores que toma uno de dichos polinomiosdefiniendo la funcion correspondiente mediante inline. Por ejemplo, podemos definir elpolinomio p(x, y, z) = 3x2 − 4xz + y2 + 5yz − 2z2 mediante

>> p=inline(’3*x^2-4*x*z+y^2+5*y*z-2*z^2’)

y a continuacion podemos obtener el valor p(−0.3, 1.7,−2) mediante

>> p(-0.3,1.7,-2)

Tratandose de formas cuadraticas (polinomios homogeneos de segundo grado) tambin pode-mos recurrir a la expresion matricial

p(x) = xTAx siendo A =

264 3 0 −20 1 5/2−2 5/2 −2

375 , x =

264 x1

x2

x3

375 .Utilizando las operaciones matriciales tenemos

>> x=[-0.3 1.7 -2]’;

>> t = x’*A*x

Diagonalizacion ortogonal de una matriz simetrica real. EIG. Sea A una matriz re-al cuadrada. Mediante el comando eig, que ya vimos en el tema anterior, podemosobtener una diagonalizacion ortogonal de A. Es decir, al ejecutar

> [V,D] = eig(A)

se obtiene (siendo A cuadrada, simetrica y real) una matriz V ortogonal y una matrizD diagonal tales que AV = V D con lo cual A = V DV −1 = V DV T (las columnasde V son autovetores de A que forman una base ortonormal de Rn y los elementosdiagonales de D son los autovalores de A).

La descomposicion en valores singulares. SVD. Dada una matriz A,m× n, podemosobtener las matrices que intervienen en su descomposicion en valores singualres medi-ante la orden

> [U,S,V] = SVD(A)

que nos proporciona una matriz diagonal S, de las mismas dimensiones que A, conelementos diagonales no-negativos en orden decreciente, y dos matrices unitarias U,m×m y V, n × n, ortogonales si A es real, tales que A = U ∗ S ∗ V ′. Mediante la orden>s=svd(A) se obtiene el vector s de los valores singulares de A (los elementos diagonalesde la matriz S).


10.4.- Apendice: MATLAB. 241

La pseudo-inversa de una matriz. PINV. Dada una matriz arbitraria A, no necesari-amente cuadrada, la pseudo-inversa (o inversa de Moore-Penrose) de A es una matrizA+ que tiene ciertas propiedades similares a las de la inversa de una matriz cuadrada.Si A es una matriz real m× n, la pseudo-inversa A+ de A verifica:

A+ es una matriz n × m.

A+ verifica las igualdades

AA+A = A, A+AA+ = A+.

AA+ y A+A son matrices simetricas.

Para cualquier vector real b ∈ Rm, el vector A+b es la solucion optima, en el sentido

de los mınimos cuadrados, del sistema de ecuaciones Ax = b. Es decir, si el sistemaAx = b tiene una unica solucion en el sentido de los mınimos cuadrados, entons A+b esdicha solucion y si dicha sistema tiene infinitas soluciones, en el sentido de los mınimoscuadrados, entonces A+b es la que tiene norma mınima.

Si A = USV T es la/una descomposicion en valores singulares de una matriz real A, lapseudo-inversa de A es la matriz

A+ = V S+UT = V

26666664 1σ1

0 . . . 0

0 1σ2

. . . 0...

.... . .

... 00 0 . . . 1

σr

0 0

37777775UT .

Para obtener la pseudo-inversa de una matriz A basta ejecutar

> pinv(A)

y dicha matriz la podemos usar por ejemplo para obtener la solucion optima en mınimoscuadrados de un sistema Ax = b. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones enmınimos cuadrados (el rango de A no coincide con el numero de columnas) la solucionA+b en mınimos cuadrados puede ser utilizada para construir, junto con el comandonull, el conjunto de todas las soluciones en mınimos cuadrados. Notemos que en elcaso considerado, el comando mldivide no nos da ningun resultado.

Ejemplo. Si consideramos una matriz aleatoria B y formamos la matriz

A =

�B BB B

�al considerar un sistema de ecuaciones Ax = b, siendo b un vector aleatorio en la dimen-sion adecuada, lo mas probable es que obtengamos un sistema incompatible. Puestoque las columnas de A no son linealmente independientes, el sistema tendra infinitassoluciones en mınimos cuadrados. Veamos que sucede al aplicar los comandos citados.

Generamos una matriz aleatoria 2 × 2,



>> B=rand(2)

B =

0.9501 0.6068

0.2311 0.4860

Formamos la matriz A, 4 × 4, asociada

>> A=[B B ; B B]

A =

0.9501 0.6068 0.9501 0.6068

0.2311 0.4860 0.2311 0.4860

0.9501 0.6068 0.9501 0.6068

0.2311 0.4860 0.2311 0.4860

Generamos un termino independiente b ∈ R4 aleatorio,

>> b=rand(4,1)

b =

0.8913

0.7621

0.4565

0.0185

Comprobamos que mediante el comando mldivide no obtenemos nada,

>> A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

(Type "warning off MATLAB:singularMatrix" to suppress this warning.)

ans =

Inf

Inf

Inf

Inf

Calculamos la pseudo-inversa de A,

>> SA=pinv(A)

SA =

0.3779 -0.4719 0.3779 -0.4719

-0.1797 0.7389 -0.1797 0.7389

0.3779 -0.4719 0.3779 -0.4719

-0.1797 0.7389 -0.1797 0.7389

Obtenemos la solucion optima de Ax = b,

>> x1=SA*b

x1 =

0.1410

0.3345

0.1410

0.3345


10.4.- Apendice: MATLAB. 243

Obtenemos una base del espacio nulo de A (la solucion general del sistema ho-mogeneo),

>> N = null(A)

N =

-0.1225 -0.6964

0.6964 -0.1225

0.1225 0.6964

-0.6964 0.1225

con lo cual el conjunto de todas las soluciones en mınimos cuadrados

{x1 + c1 ∗N(:, 1) + c2 ∗N(:, 2)} =�x1 +N ∗ c : c ∈ R

2©.


Documents

Tema 7.- Matrices simétricas reales y formas … simétricas reales y formas cuadráticas. ... Reducción de una cuádrica girada. 7.4.- Ejercicios. 7.5.- Apéndice: ... trata