Tema 5: Introducción al análisis temporal de sistemas lineales

Tema 5: Introducción al análisis temporal de sistemas lineales

Introducción

2

n En este tema se analizará el comportamiento temporal de sistemas lineales simples ante señales de entrada de prueba, principalmente la entrada en escalón.

n Se analizarán los sistemas de primer y segundo orden. También se harán algunas consideraciones para sistemas de orden superior.

n A partir de modelos de Función de Transferencia se analizará el comportamiento obteniendo la respuesta temporal mediante al cálculo de la antitransformada y analizando el efecto de la posición de los polos con respecto al comportamiento del sistema

...)(

)()()(2

222

21 ++

+++

+==

psa

sssUsGsY

wsaa

...)sen()( 2221 +++= -- tpt eabteaty ws

Respuesta temporal de sistemas de primer orden

sab

dtaybuy

buaydtdy

+==

-=

=+

ò

U(s)Y(s)G(s)

:ncia transferede función deforma en nulas, iniciales scondicione las si o

)( integralforma en o

ldiferencia ec.forma en

n Se puede describir

-+

3

u

R

Cy

sRC

RCsUsY

+= 1

1

)()(

y! ys1

a

bu

tiempo)de unidadesen (medida tiempode Constante :

salida)y entrada de las a conformes (unidades uy estática Ganancia :K

1U(s)Y(s)G(s)

:nulas iniciales scondicionecon

1

t

t

t

tt

¥

¥

DD

+==

=+

ß

=+

sK

uKydtdy

uKydtdy

n Se suele expresar con parámetros con significado físico:

s/1-+

t1

K


4

u

R

Cy

RCK

RCssUsY

==

+=

t111

)()(

-+ y! y

s1

t1

tKu

yy!u

estables) (sistemas tiempode Constante :

modificaNo1

Amplifica1

Atenúa1

uy estática Ganancia :K

positivasiempre

K

K

K

negativaopositivaserpuede

t

=

>

<

DD

¥

¥


5

unitario escalón un )( con1)(

)()(

tus

KsUsYsGsi

t+==


6

n Respuesta a un escalón unitario:

! "#"$%unoporTanto

t

permanenterégimen

envalor

t

eyeKty )1()1()( tt-

¥

--º-=

)(ty

)(ty

1=t

1=K

1=t

2=t

5.0=t

!

99.0)1(598.0)1(495.0)1(386.0)1(263.0)1(

)1()1()(

5

4

3

2

1

=-=

=-=

=-=

=-=

=-=

-º-=

-

-

-

-

-

-

¥

-

etParaetParaetParaetParaetPara

eyeKtyunoporTanto

t

permanenterégimen

envalor

t

t

t

t

t

t

tt"#"$%


7


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

1.051.11.151.2

tiempotiempot

)1( tt

e-

-


8


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

Entrada en escalón Respuesta del sistema

¿Cómo obtener el modelo G(s) del sistema?

9

n Identificación por respuesta a un escalón:n Queremos obtener el modelo de un sisteman Sometemos el sistema a una entrada en escalón y obtenemos la respuesta

experimentalmente


Sistema real

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

Entrada en escalón Respuesta del sistema

Respuesta típica de sistema de primer orden:evolución exponencial con pendiente no nula en el instante de cambio del escalón

10

n Identificación por respuesta a un escalón:


Función de transferencia candidata

sKsGt+

=1

)(

Dos parámetros:¿K?¿ ?t

11



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

K: se obtiene observando el régimen permanente

326

1328

==--

=DD

=uyK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

2=Du

6=Dy

12



13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

6=Dy

t

78.363.0 =D× y


516.6

78,578.3278.3663.063.0%63

=-=

=+=×=D

tFinalmentesegundoslosaesquevalorestealcanzasequeelentiempoelobtenerpermitegráficalaallevadoque

escalóndelantesteníaquevaloralsumadoyessalidaladefinalincrementodelel: se obtiene

observando el régimen transitorio

t


Función de transferencia obtenida:

ssKsG

513

1)(

+=

+=

t

14



RECUERDE: Para definir el modelo se han utilizado variables incrementales, por lo que para obtener los valores reales hay que tener en cuenta el punto de funcionamiento.

Sistema real

ModeloG(s)

)(tu )(ty

21

:entofuncionami de Punto

0

0

==

yu

0)()( utut -=b 0)()( ytyt -=a


n Respuesta a una entrada en rampa

15

0)1()(

ormadaantitransfla calculando

11)()()(

)(0,)(

2

2

³--=

+==

=Þ³=

-

teKKtty

sKs

sUsGsY

sKsUtttu

ttt

tKt

tt

)(ty

tK

16

Sistema de primer orden: entrada senoidal

)(1

)()(

1)(

22)( fwwt

w

t

++

=

=

+=

tsenKy

tsentu

sKsG

trp

17


)(1

)()(

1)(

22)( fwwt

w

t

++

=

=

+=

tsenKy

tsentu

sKsG

trp

Si t tiende a infinito

18


19


20

Sistema de primer orden: filtrado

)(1

)()(22)( fw

wtw +

+== tsenKytsentu trp

n Suele expresarse como

n Parametrización habitual (a2>0)

n Considerando condiciones iniciales nulas:

[rad/s] natural frecuencia:nal][adimensio ión amortiguac de eCoeficient : U]Y/dim [dim estática ganancia :K

2

n

222

2

wd

wwwd uKydtdy

dtyd

nnn =++

ubyadtdya

dtyd

1212

2

=++

21

Respuesta temporal de sistemas de 2º orden

u

R

Cy

L

LR

LC

LC

K

n

12

1

1

1

=

=

=

d

w

uLC

yLCdt

dyLR

dtyd 112

2

=++

22

2

2U(s)Y(s)G(s)

nn

n

ssK

wwdw

++==

1244

02:Polos

2U(s)Y(s)G(s)

2222

2,1

22

22

2

-±-=-

±-=

=++

++==

dwwdwwd

wd

wwd

wwdw

nnnn

n

nn

nn

n

s

ss

ssK

22


n Análisis del sistema:

siempre)0( inestable sistema nula o positiva real partecon polos0 si

1:Polos

n

2

>ÞÞ£

-±-

wd

dwwd nn

23


n Análisis del sistemaCaso 1: Sistema con amortiguamiento negativo o nulo

Re

Im

uadosubamortig entocomportami:

1:Polos

estable sistema negativa real partecon conjugados complejoscon polos10 si

2

aamortiguadnaturalfrecuenciaconjj

d

dnnn

wwwddwwd

d

±-=×-±-

ÞÞ<<

Im

Re

24


n Ánálisis del sistemaCaso 2: Sistema subamortiguado

1:Polos 2 -±- dwwd nn

oamortiguad tecríticamen entocomportami)2(:Polos

estable sistema negativos dobles reales polos1 si

nwd

-ÞÞ=

Re

Im

25


n Análisis del sistemaCaso 3: Sistema críticamente amortiguado


iguadosobreamort entocomportami1:Polos

estable sistema negativos reales polos1 si 2 -±-

ÞÞ>

dwwd

d

nn

Im

Re

26


n Análisis del sistemaCaso 4: Sistema sobreamortiguado


úúû

ù

êêë

é+

--=

-=-==<

-+-=

==

-

-

)(1

1)(

)1cos1(coshacerpuedese1como

))](1

)(cos(1[)(

ormadaantitransf la calculando )()()(s1U(s)

2

22

2

awd

daaadd

wddw

dw

dw

tseneKty

sen

tsenteKty

sUsGsY

d

t

ddt

n

n

27


n Respuesta a un escalón unitarioCaso 2: Sistema subamortiguado 10 << d

dgeneralida de pérdidasin 1 supondrá se adelanteEn =K

)(1

1)( 2

awd

dw

+-

-=-

tsenety d

tn

28

212 es sistema del

oscilación de periodo el

dwp-

=n

PT


n Respuesta a un escalón unitario: Sistema subamortiguado (caso 2)

jnn21:Polos dwwd -±-

)cos(1)](1

)[cos(1)(2

ttsentety nddtn ww

ddwdw -=-

+-= -

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo

jnw

Re

Im

npT w

p2=

29


n Respuesta a un escalón unitario Límite entre los casos 1 y 2 0=d

ormadaantitransf calculando

1)(

1)(

1)(

)()()(s1U(s) 22 sssss

sUsGsYnn

n

n

n ++

-+-

=×+

===ww

www

30


n Respuesta a un escalón unitarioCaso 3: Sistema críticamente amortiguado

tn

netty ww -+-= )(1)(

1=d

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y(t)

1=d

1.0=d

7.0=d

9.0=d

5.0=d

0=d3.0=d

31


n Respuesta a un escalón unitario: Sistemas con amortiguamientos entre 0 y 1

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

---

-+-+=

==

÷øöç

èæ ---÷

øöç

èæ -+-

!!"!!#$!!"!!#$

2

2

1

2

111211)(

ormadaantitransf calculando)()()(s1U(s)

2

1

2

1

2

ylentalExponencia

t

yrápidalExponencia

t nn eety

sUsGsY

ddddd

wddwdd

32


n Respuesta a un escalón unitarioCaso 4: Sistema sobreamortiguado 0>d

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y(t)

y1(t)

y2(t)

1y2paraejemplopor == nwd

lenta

rápida33


n Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado

1y2 == nwd

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo

lenta

exacta

34


n Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado

Tiempo

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.5

1

1.5

Y

35


n Respuesta a un escalón unitario: respuesta de un sistema sobreamortiguado en función del amortiguamiento

2=d 3=d

1=d4=d

36

Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

● Tiempo de subida (ts):Es el tiempo necesario para que la señal de salida pase de un porcentaje inicial a uno final de su valor en régimen permanente. Normalmente se usan del 0 al 100%, 5 al 95% o 10 al 90%● Lo más habitual es (10-90%) o (0-100%) en sistemas subamortiguados

● Tiempo de pico (tp): Intervalo de tiempo hasta que se produce el primer pico en la señal de salida.● No está definido en sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden

sobreamortiguados

§ Tiempo de establecimiento (te): Tiempo que tarda la señal de salida en establecerse en una banda alrededor del valor en régimen permanente. Los valores más usados son ± 2% y ± 5%

§ Sobreoscilación (SO): Amplitud de la primera oscilación en tanto por ciento con respecto al valor de la señal en régimen permanente.

00

Tiempo

y(t)

)()()(

..¥

¥-=

yyty

OS p

)(¥y

etpt

37


100%)(0 -st

Respuesta temporal

t2.2

t

tt

t

2.2

1.0ln9.0ln

1)(

1090

»

+-=-=

-=-

s

s

t

t

ttt

ety

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

1.051.11.151.2

tiempotiempo

nCaracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 1º Orden

t2.2

Respuesta temporal

t2.2

t

t

t

3

)05.0ln(

1)(

»

-=

-=-

e

e

t

t

t

ety

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

1.051.11.151.2

tiempotiempo

nCaracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

Tiempo de establecimiento te (5%) Sistema de 1º Orden

t3

dssdsd

sd

sd

sd

sdsdsd

sdsdt

s

ddt

tttgttgsentsen

t

sitsenttsent

tsentety

tsentetysn

n

wapapwaw

aa

ww

addd

www

ddw

wddw

wddw

dwdw

-=Þ-=Þ-=Þ-=Þ

=-

-=Þ=-

+Þ

Þ=-

+Þïþ

ïý

ü

=-

+-=-

-

)(cos)()cos(

cos1)(

)cos(0)(1

)cos(

0)](1

)[cos(1)(

)](1

)[cos(1)(

22

22

21 dwap

wap

-

-=

-=

ndst

40


Tiempo de subida (0-100%) (ts): Sistema de 2º orden subamortiguado

41


Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 2º orden subamortiguado

Se puede obtener de la gráfica, en la que se representa:

)()9010( dw ftsn =× -

21 dwp

wp

-==

ndpt

dp

ddd

ddd

t

n

t

ttsentsenedttdy

dttdy n

wp

wp

wp

wp

pppwwwd

wdw

=

=

=Þ=Þ=-

=Þ=-

en produce se picoprimer el

...,3,2,0, t

:salida la de derivada la cero hace se donde instantes

...,3,2,,00)(0)(1

)(0)(2

00

Tiempo

y(t)

42


Tiempo de pico (tp): Sistema de 2º orden subamortiguado

ne

ne

tdelfranja

tdelfranja

cionesSimplifica

dw

dw4%2

3%5

:

»Þ

»Þ

)05.01ln(105.01

95.0

11

05.11

1

:que t tal instante elen 1))y( (supuesto final valor del 5% del franja una de dentroquedan senvolvente Las

11 :son señal esta de senvolvente curvas las )(

11)(

2

2

2

2

22

×--=Þ=-

Þ

ïï

þ

ïï

ý

ü

=-

-

=-

+

=¥-

±+-

-=

-

-

-

--

ddwd

d

d

daw

d

dw

dw

dw

dwdw

ne

t

t

t

t

d

t

tee

e

etsenety

n

n

n

nn

Tiempo

y(t)

1

43


Tiempo de establecimiento (te): Sistema de 2º orden subamortiguado

100)()()(

.(%).¥

¥-=

yyty

OS p

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

d44


Sobreoscilación (S.O.)Sistema de 2º orden subamortiguado

2

22

1

12

1p

100.(%).luego

1]1

[cos1)y(t1)y( si

d

pd

d

pddw

pwd

pd

dp

-

-

--

--

×=

+=-

+-==¥

eOS

esene n

n

S.O.(%)

a

Re

Im

s

dw

(95%) 3

)()(acos

s

wpwapada

=

=

-=

==

e

dp

ds

t

t

t

SOSO

a s wd SO ts tp te¯ ¯ ¯ ¯

- - ¯ ¯ ¯dnw

a

Re

Im

s

dw

SO = cte

tp = cte

45

Respuesta temporal

n Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sistema de 2º orden subamortiguado

)(...

...)( nulas) (C.I. ormadaantitransf Calculando

)()(...)()()(...)()(

11

1

110

11

1

1011

1

1

sUasasas

bsbsbsY

tubdttdub

dttudb

dttudbya

dttdya

dttyda

dttyd

nnnn

mmm

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

+++++++

=

++++=++++

--

-

--

-

--

-

46

Sistema de orden superior

n Ecuación diferencial lineal de orden n

En general, los polos de G(s) podrán ser o bien polos reales o bien complejos conjugados, por lo que la respuesta ante una entrada en escalón se puede calcular:

negativa) real partecon polos sus (Todos permanenterégimen un alcanza sistema el si Sólo

ón)continuaci aón demostraci (* )(limestáticaganancialasiendo

)]1cos()1([)(

)2()(

)('1)(

0

22

11

22

11

1

sGK

tctsenbeeaKty

ssps

csk

ssY

s

kkkk

r

k

tt

j

tpj

kkk

r

kj

t

j

i

m

i

kkj

®

=

-

=

-

==

=

=

×-+×-++=

++Õ+Õ

+Õ×=

åå dwdw

wwd

wd

47


*La demostración hace uso del Teorema del valor final:

48

)(lim1)(limK luego

)(lim ademásy 1)(

unitarioescalón un sea u(t) queen caso elen

)()(lim)(lim)(lim

00

00

sGs

sGs

Ktys

sU

sUsGssYsty

ss

t

sst

®®

¥®

®®¥®

=××=

==

××=×=


• En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.

• Esta situación ya se consideró en el estudio del sistema sobreamortiguado (exponencial rápida vs. exponencial lenta)

• Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.

• La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:

reales) (polos iguadosobreamortorden segundo de sistemasen )1(-

)1-(-

complejo) (polo uadosubamortigorden segundo de sistemasen

real) (poloorden primer de sistemasen 1

2

2

ïþ

ïýü

-+

-

-

-

rápido

lento

n

n

n

wdd

wdd

dw

t

49

n Polos dominantes:


• En la práctica, los polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario

Re

Imp1

p’1

p2

p’2

d2

d1

p1,p’ 1 se van a considerar dominantes si d2/d1>5

50

n Polos dominantes:


Re

Im

p1

p2

p’2

d2

d1

p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5

51

n Polos dominantes:


Re

Im

p1p2

d2

d1

p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5

52

n Polos dominantes:


• En la práctica, un sistema de orden superior puede ser reducido despreciando el efecto de los polos no dominantes (polos rápidos).

• IMPORTANTE: al eliminar los polos no dominantes: LA GANANCIA ESTÁTICA DEBE QUEDAR INALTERADA

Ejemplo:)17)(16)(1(

544)(+++

=sss

sG

Re

Im

-1-16-17

-1 es el dominante

53

n Polos dominantes:


12

)17)(16)(1(544

)17)(16)(1(544)(

+=

+»

+++=

ssssssG

Re

Im

-1-16-17

-1 es el dominante.

54

n Polos dominantes:


Tiempo(s)0 1 2 3 4 5 6

0

0.5

1

1.5

2

2.5y(t)

• Se ha pasado de un sistema de orden 3 a uno de orden 1 eliminando los dos polos no dominantes.

• En la figura se representa el error cometido en la respuesta del sistema ante un escalón al simplificar la función de transferencia

55

n Polos dominantes:


221

2 ++ ss

• Ejemplo 2:

610+s

Re

-1+j

-1-j

-6

Im

-1+j y -1-json los dominantes

56

n Polos dominantes:


221

2 ++ ss

• Se elimina el polo no dominante, (se mantiene su ganancia estática)

610

Re

-1+j

-1-j

Im

57

n Polos dominantes:


0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

121481023 +++ sss

226/10

2 ++ ss

• Comparación de las respuestas

58

n Polos dominantes:


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

610+s

121481023 +++ sss

• Comparación de las respuestas

221

2 ++ ss

rápida

Lenta

Sistema completo

59

n Polos dominantes:


• Interpretación física:

Al considerar los polos dominantes se está simplificando el sistema sustituyendo la evolución de la respuesta correspondiente a los polos no dominantes por una evolución “instantánea”.

Ejemplo:

Suponga una habitación que se pretende calentar con un calefactor de resistencias.

Estamos interesados en conocer el tiempo que debemos esperar desde que se conecta el calefactor hasta que se alcanzan unas condiciones estacionarias en la habitación.

Para ello se modelan dos subsistemas:

- El calefactor - entrada: tensión aplicada (V), salida: potencia calorífica aportada (kW)

- El habitáculo - entrada: potencia calorífica recibida del calefactor (kW), salida: incremento de temperatura con respecto al exterior (ºC)

60

n Polos dominantes:


• Se tiene el modelo dado por el siguiente diagrama de bloques:

11501.0+s 12400

7+s

V P q

Dinámica del calefactor

Dinámica del habitáculo

61

n Polos dominantes:


• Las ganancias estáticas determinan los valores de régimen permanente cuando se aplican 220V en la entrada:

11501.0+s 12400

7+s

qV PDinámica del

calefactorDinámica del

habitáculo

CkWPVV

º4.15)(2,2)(220)(

:iasestacionarscondicioneen

=¥=¥=¥

q

62

n Polos dominantes:


• Si la entrada (V) es un escalón de 0 a 220 v., obtenemos:

0 3000 60000

5

10

15

11501.0+s 12400

7+s

qV PDinámica del


habitáculo

)(ºCq

0 3000 60000

5

10

15

0 3000 60000

100

200

V (voltios) P (kW)

63

n Polos dominantes:


11501.0+s 12400

7+s

qV PDinámica del


habitáculo

Dinámica rápidaPolo: -1/15 =-0.0667

Dinámica LentaPolo: -1/2400=-0.00041 Dominante

Re

Im

-0.00041-0.0667

0.0667/0.0041=160 >> 5

64


n Polos dominantes:

0 3000 60000

5

10

15

01.0 124007+s

qV P

Dinámica del Calefactor aproximada

Dinámica del habitáculo

)(ºCq

0 3000 60000

100

200

V (voltios)

0 3000 60000

5

10

15P (kW)

65


n Polos dominantes: Aplicando la dinámica del polo dominante

Time (sec.)0 20000

1

2

01.0

11501.0+s

VP

Dinámica del Calefactor real

0 3000 60000

100

200

V (voltios)

P (kW)

0 20000

1

2

PV P (kW)Dinámica del

Calefactor aproximada

0 3000 60000

100

200

V (voltios)

66


n Polos dominantes: Se ha sustituido la dinámica del polo rápido por una dinámica instantánea

tt eetyssssG

105 18162)()10)(5(

)1(100)(

-- -+=

+++

=

Efecto de los ceros en la respuestan Los ceros afectan al transitorio

0 0.4 0.8 1.20

2

4

6

0 0.4 0.8 1.20

2

4

6

tt eetyss

sG

105 242)()10)(5(

100)(

-- +-=

++=

67

0 1 20

2

4

6yc(t)

dy(t)/dt

y(t))()(1)(será derespuesta La

por dadosistema delrespuesta la es Si

)()11()sea ,una Dada

tydttdy

cty(s)G

G(s)y(t)

sGsc

(sGG(s)

cc

c

+=

+=

tt

ttttc

eeeeeety

105

105105

18162

2020242)(--

----

-+=

=-++-=

68

Efecto de los ceros en la respuestan Ceros de fase mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano izquierdo

-20 -15 -10 -5 0 5

0 1 20

2

4

6

0 1 20

2

4

6

0 1 20

2

4

6

x xo o o o

0 1 20

2

4

6

C>0 à la derivada SUMA. Mientras más lejos esté el cero del eje imaginario, menor será su influencia

69

Efecto de los ceros en la respuesta

n Ceros de fase mínima

-20 -15 -10 -5 0 5

0 1 2-4

-2

0

2

0 1 2-4

-2

0

2

x x o o

C<0 à la derivada RESTA à Respuesta inversa

70

Efecto de los ceros en la respuesta

n Ceros de fase no mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano derecho

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Tema 5: Introducción al análisis temporal de sistemas lineales