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Tema 4: Eleccion intertemporal de consumo y el mercado de credito
Macroeconomıa 2014
Universidad Torcuato di Tella
Constantino Hevia
Hasta ahora consideramos un modelo estatico: Robinson Crusoe nace, trabaja, consume y
muere en el mismo perıodo. En esta nota comenzaremos a analizar un modelo dinamico de dos
perıodos. Supondremos que hay muchas familias/consumidores que reciben un ingreso exogeno
(que no depende de su oferta de trabajo) en cada perıodo, y que deben decidir cuanto consumir
hoy, cuanto ahorrar y cuanto consumir en el futuro. Comenzamos con el caso mas simple de
ingresos exogenos ya que nos permite analizar el impacto de cambios en la tasa de interes y del
perfil temporal de ingresos del consumidor sin tener que analizar simultaneamente la oferta de
trabajo. Dejamos el analisis conjunto de la decision intertemporal de consumo y trabajo para la
proxima nota.
Preferencias
Consideremos el problema de un consumidor que vive por dos perıodos. El consumidor tiene la
siguiente funcion de utilidad por consumo c1 y c2 en los perıodos 1 y 2 respectivamente
U(c1, c2) = u (c1) + βu (c2) (1)
donde u (c) es creciente y concava, y el parametro β > 0 determina el peso que el consumidor le
asigna a la utilidad futura relativo a la utilidad de presente. Usualmente suponemos que β < 1,
lo que significa que el consumidor es impaciente y valora una unidad de utilidad presente mas que
una futura. Al parametro β lo llamamos el factor de descuento.
La Figura 1 muestra las curvas de indiferencia entre consumo en el perıodo 2 y consumo en
el perıodo 1. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, reflejando que c1 y c2 generan
utilidad, y son convexas. Los niveles de utilidad estan ordenado de tal manera que U1 < U2 < U3.
La interpretacion de una curva de indiferencia convexa es que el consumidor prefiere patrones de
consumo “suaves” a traves del tiempo. Por ejemplo, considere dos canastas de consumo (c1, c2)
representados por los puntos A y B que generan el mismo nivel de utilidad U1. El punto C es la
canasta de consumo promedio (1/2 de la canasta A y 1/2 de la canasta B) y representa un patron
de consumo mas estable a traves del tiempo que las canastas A y B. La preferencia por los patrones
estables de consumo se ve reflejada en que la canasta C genera un nivel de utilidad U2 mayor que
U1.
1
Figura 1: Preferencias sobre consumo presente y futuro
Para probar estos resultados analıticamente, consideremos una curva de indiferencia asociada
con el nivel de utilidad U . Sobre la curva de indiferencia interpretamos a c2 como una funcion de
c1, por lo que
U = u(c1) + βu(c2(c2)).
Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a c1 obtenemos
0 = u′(c1) + βu′(c2(c1))dc2dc1
.
Por lo tanto, la pendiente de la curva de indiferencia satisface
dc2dc1
= − u′(c1)
βu′(c2(c1))< 0.
Si derivamos la expresion anterior una vez mas encontramos
d2c2d(c1)2
= −
[u′′(c1)βu
′(c2(c1))− u′(c1)βu′′(c2(c1))dc2dc1
[βu′(c2(c1))]2
].
Dado que dc2dc1
< 0 y u′′(c) < 0, el termino entre corchetes es negativo, lo que implica que la derivada
segunda d2c2/dc21 es positiva. Esto es, la curva de indiferencia es convexa.
Restriccion presupuestaria y dotaciones
Las familias reciben un ingreso exogeno (esto es, que no depende de su esfuerzo laboral) de y1 e
y2 bienes de consumo en los perıodo 1 y 2 respectivamente. Ademas, existe un mercado de credito
donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o activos, a los que llamaremos bt (valores
negativos de bt se interpretan como deuda). Los activos pagan una tasa de interes real rt. Como
en este modelo no existe el dinero, la tasa de interes bruta 1 + rt nos dice cuantas unidades de
2
bienes recibiremos en el perıodo t + 1 si compramos 1 bono en el perıodo t. De este modo, si la
familia demanda bt bonos en el perıodo t, recibira (1 + rt)bt bienes de consumo en el perıodo t+ 1.
Con esta informacion construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones le
ponemos el nombre de “flujo” para diferenciarlas de la restriccion presupuestaria intertemporal que
construiremos mas abajo. La restriccion presupuestaria flujo en el primer perıodo es
c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0.
Del mismo modo, la restriccion presupuestaria flujo en t = 2 es
c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1.
Como el mundo se acaba al final del perıodo 2, vamos a imponer la restriccion de que los consum-
idores no pueden morir endeudados (¿quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a
agregar la restriccion
b2 ≥ 0.
El ahorro en el perıodo t, que llamaremos st, consiste en la parte del ingreso total que no se
consume en el perıodo t:
st = yt + rt−1bt−1︸ ︷︷ ︸ingreso total en t
− ct︸︷︷︸consumo en t
El ingreso total es la suma del ingreso exogeno yt mas el ingreso financiero rt−1bt−1 (el interes sobre
los activos que el consumidor compro en el perıodo anterior). Es importante notar el ahorro st es
una variable flujo y que los activos bt son una variable stock.
Usando la restriccion presupuestaria flujo en un perıodo t arbitrario,
ct + bt = yt + (1 + rt−1)bt−1,
llegamos a la conclusion de que el ahorro es tambien igual al cambio en el stock de activos del
consumidor,
bt = yt + rt−1bt−1 − ct︸ ︷︷ ︸st
+ bt−1,
por lo que
st = bt − bt−1.
Evidentemente, la parte del ingreso total que no me consumo la uso para aumentar mi stock de
activos.
3
El problema del consumidor y la restriccion presupuestaria in-
tertemporal
Volviendo a la eleccion de consumo intertemporal, el problema de la familia es
maxc1,c2,b1,b2
u(c1) + βu(c2)
sujeto a
c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0
c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1
b2 ≥ 0.
Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es
optimo elegir b2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a
maxc1,c2,b1
u(c1) + βu(c2)
sujeto a
c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0
c2 = y2 + (1 + r1)b1.
Para simplificar la exposicion aun mas, supongamos que los consumidores nacen sin activos,
por lo que b0 = 0 (esto no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando
este supuesto). Por lo tanto, el problema del consumidor se reduce a
maxc1,c2,b1
u(c1) + βu(c2)
sujeto a
c1 + b1 = y1 (2)
c2 = y2 + (1 + r1) b1. (3)
Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola re-
striccion presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal, que resume el conjunto de posibilidades
de consumo de la familia de todos los perıodos en una sola restriccion. En particular, usando la
restriccion (2) resolvemos para b1 = y1 − c1 y reemplazamos el resultado en (3) obteniendo
c2 = y1 + (1 + r1)(y1 − c1).
4
Figura 2: Restriccion presupuestaria intertemporal
Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los terminos para llegar a
c1 +c2
1 + r1= y1 +
y21 + r1
. (4)
La ecuacion (4) es la restriccion presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de
endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de interes r1. De hecho, al reemplazar b1
lo que estamos suponiendo es que b1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo.
La restriccion presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando
existen mercados de credito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restriccion pre-
supuestaria. Segundo, bajo esta unica restriccion presupuestaria intertemporal el valor presente del
consumo (el lado izquierdo de (4)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (4)).1
Tercero, la restriccion presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en
el perıodo 2 en terminos de consumo en el primer perıodo es 11+r1
. Y la razon es la siguiente: si
dejo de consumir 11+r1
unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, manana
obtengo 11+r1
× (1 + r1) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de credito me
permitio transformar 11+r1
unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero
eso no es otra cosa que la definicion de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de
inmediato que una suba en la tasa de interes real significa que el consumo futuro se hace mas barato
relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restriccion presupuestaria intertemporal en
los ejes (c1, c2). Note que la restriccion presupuestaria tiene pendiente − (1 + r1) y pasa a traves
del punto de dotacion inicial (y1, y2).
El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la
1Si los activos iniciales b0 no son cero debemos agregar el termino (1 + r0)b0 del lado derecho de (4).
5
restriccion presupuestaria intertemporal (4). El Lagrangiano de este problema es
L = u (c1) + βu (c2)− λ[c1 +
c21 + r1
− y1 −y2
1 + r1
],
donde λ es el multiplicador de Lagrange de la restriccion (4). Las condiciones de primer orden son
∂L
∂c1= 0⇒ u′ (c1) = λ (5)
∂L
∂c2= 0⇒ βu′ (c2) =
λ
1 + r1(6)
∂L
∂λ= 0⇒ c1 +
c21 + r1
= y1 +y2
1 + r1(7)
Sustituyendo (5) en (6) y reorganizando obtenemos
u′ (c1) = (1 + r1)βu′ (c2) . (8)
La condicion (8) es muy importante en macroeconomıa. Se llama la ecuacion de Euler. Distin-
tas versiones de esta ecuacion aparecen constantemente en todos los modelos macroeconomicos
dinamicos que usamos. Por eso es importante entender su intuicion economica. Consideremos
reducir el consumo en el perıodo 1 en una unidad para comprar un bono y ası consumir mas en
el futuro. Recordemos que u′ (c1) es el valor marginal de incrementar el consumo en el perıodo 1
en una unidad. Equivalentemente, una reduccion del consumo en t = 1 tiene un costo marginal de
u′ (c1). Esa unidad de consumo que deje de consumir la invierto en un bono que me paga (1 + r1)
bienes de consumo en t = 2. El valor de un incremento marginal del consumo en el perıodo 2 es
u′ (c2), por lo que el incremento marginal de la utilidad en t = 2 de los (1 + r1) bienes adicionales es
(1 + r1)u′ (c2). Sin embargo, desde el punto de vista del perıodo 1 (que es cuando dejo de consumir
para comprar el bono) el valor marginal de subir c2 a traves de esta estrategia es β (1 + r1)u′ (c2),
ya que el consumidor es impaciente. Un agente actuara de manera optima cuando el costo marginal
de bajar el consumo en t = 1 sea igual al beneficio marginal de incrementar el consumo en t = 2.
Esto es, la condicion (8) se debe cumplir bajo la eleccion optima del consumo.
Con la interpretacion de que 11+r1
es el precio relativo entre c2 y c1, notemos que una forma
alternativa de escribir la ecuacion de Euler (8) es
βu′ (c2)
u′ (c1)=
1
1 + r1.
El lado izquierdo de la ecuacion es la tasa marginal de sustitucion entre c2 y c1, mientras que el
lado derecho de la ecuacion es el precio relativo de c2 en terminos de c1. Por lo tanto, esta tambien
es la ecuacion usual que nos dice que, en el optimo, tasas marginales de sustitucion deben igualarse
a los precios relativos.
Las incognitas del problema del consumidor son c1 y c2. Las condiciones (4) y (8) constituyen un
6
sistema de dos ecuaciones en dos incognitas, c∗1 y c∗2: la eleccion optima debe satisfacer la restriccion
presupuestaria intertemporal y la ecuacion de Euler. Las demandas optimas de consumo presente
y futuro son funciones de la siguiente forma
c∗1 = cd1
(r1, y1 +
y21 + r1
)(9)
c∗2 = cd2
(r1, y1 +
y21 + r1
)(10)
¿Por que las demandas son una funcion del valor presente de los ingresos en vez de una funcion donde
y1 e y2 aparecen como argumentos independientes? La razon matematica es que y1 e y2 siempre
aparecen en la forma y1 + y21+r1
. Ademas de la matematica, este resultado tiene una importante
intuicion economica: el consumo en cada perıodo no es unicamente una funcion del ingreso corriente
de ese perıodo sino una funcion del valor presente de todos los ingresos, corriente y futuros. Este
resultado, que surge de la posibilidad de usar los mercados de credito para cambiar el patron
temporal del consumo de acuerdo a las preferencias del consumidor, es la base de la teorıa moderna
del consumo. Como veremos mas adelante, esta teorıa del consumo difiere fundamentalmente de la
teorıa del consumo keynesiana.
Una vez que encontramos las demandas de consumo en cada perıodo, podemos encontrar la
demanda de activos b1 usando la restriccion presupuestaria flujo en t = 1, b1 = y1 − c1, o bien
b∗1 = bd1 (r1, y1, y2) = y1 − cd1(r1, y1 +
y21 + r1
).
La demanda de bonos no es unicamente una funcion del valor presente del ingreso. La intuicion es
que si el ingreso corriente es muy alto relativo al ingreso futuro, el consumidor tendra incentivos
a ahorrar parte de ese ingreso para transferir parte de su riqueza corriente hacia el futuro. Esto
implica que la demanda de bonos debe ser creciente en y1.
La Figura 3 muestra la eleccion optima de consumo en tres casos diferentes. El grafico de la
izquierda nos muestra una situacion donde el consumidor elige una canasta de consumo que satisface
c1 < y1, por lo que el consumo en el primer perıodo es menor a su ingreso. La diferencia entre
el consumo y el ingreso es la acumulacion de activos b∗1 > 0. El ahorro positivo del consumidor
le permite financiar un consumo futuro c2 mayor a su dotacion futura y2. El grafico del medio
nos muestra la situacion opuesta, donde c1 es mayor que y1. El mercado de credito le permite al
consumidor financiar ese mayor consumo corriente endeudandose en la cantidad b∗1 = y1 − c1 < 0.
En el segundo perıodo el consumo c2 es menor al ingreso y2. La diferencia es el pago del principal
mas los intereses de la deuda tomada en el primer perıodo capturado por el termino b∗1 (1 + r1) < 0.
Finalmente, el grafico de la derecha nos muestra una situacion donde el consumidor no es ni
acreedor ni deudor: elige consumir su dotacion de bienes en cada perıodo. Note que la existencia
de mercados de credito le permite al consumidor obtener un nivel de utilidad mayor a si estuviese
forzado a consumir su ingreso exogeno en cada perıodo.
7
Figura 3: Decision de consumo intertemporal
Ejemplo: funcion de utilidad logarıtmica
Supongamos que la funcion de utilidad es logarıtmica
u(c) = ln(c).
En este caso, u′ (c) = 1/c, por lo que la ecuacion de Euler (8) viene dada por
1
c1= (1 + r1)β
1
c2
o,
c2 = β(1 + r1)c1. (11)
Reemplazando esta condicion en la restriccion presupuestaria intertemporal y resolviendo para c1
encontramos
c1 +c2
1 + r1= y1 +
y21 + r1
c1 +β(1 + r1)c1
1 + r1= y1 +
y21 + r1
(1 + β)c1 = y1 +y2
1 + r1
o bien,
c1 =1
1 + β
[y1 +
y21 + r1
](12)
por lo tanto,
c2 =β
1 + β[y1 (1 + r1) + y2] (13)
8
La demanda de bonos es
bd1 = y1 − c1
= y1 −1
1 + β
[y1 +
y21 + r1
]=
β
1 + βy1 −
1
1 + β
y21 + r1
.
o bien
bd1 =β
1 + β
[y1 −
y2β (1 + r1)
](14)
Como vemos, la demanda de bonos aumenta cuando sube el ingreso corriente y disminuye (o sube
el endeudamiento) cuando sube el ingreso futuro.
Forma equivalente de resolver el problema del consumidor
Arriba mencionamos que habıa dos maneras equivalentes de resolver el problema del consumidor.
La segunda es escribiendo el Lagrangiano con las dos restricciones presupuestarias flujo (2) y (3).
Llamemos λ1 y λ2 a los multiplicadores de Lagrange de esas dos restricciones. Entonces podemos
escribir el siguiente Lagrangiano
L = u (c1) + βu (c2)− λ1 [c1 + b1 − y1]− λ2 [c2 − y2 − (1 + r1) b1]
donde la maximizacion se hace eligiendo consumo presente y futuro, c1 y c2, y la demanda de
activos b1. Las condiciones de primer orden de este problema son
∂L
∂c1= 0⇒ u′ (c1) = λ1 (15)
∂L
∂c2= 0⇒ βu′ (c2) = λ2 (16)
∂L
∂b1= 0⇒ λ1 = λ2 (1 + r1) (17)
∂L
∂λ1= 0⇒ c1 + b1 = y1 (18)
∂L
∂λ2= 0⇒ c2 = y2 + (1 + r1) b1 (19)
Sustituyendo (15) y (16) en (17) encontramos la ecuacion de Euler
u′ (c1) = (1 + r1)βu′ (c2) .
Usando (18) y (19) podemos recuperar la restriccion presupuestaria intertemporal
c1 +c2
1 + r1= y1 +
y21 + r1
,
9
que, junto con la ecuacion de Euler, forman el mismo sistema de dos ecuaciones en las dos incognitas
c1 y c2 que encontramos arriba.
Analisis de cambios en los ingresos y en la tasa de interes
Analizaremos el impacto sobre el patron de consumo intertemporal de los siguientes cambios:
• Cambio temporario del ingreso: sube y1 e y2 no cambia
• Cambio esperado del ingreso futuro: y1 no cambia e y2 sube
• Cambio permanente del ingreso: suben y1 e y2 en la misma cantidad
• Aumento de la tasa de interes real r1
En todos los casos supondremos que antes del cambio la demanda optima de bonos era b∗1 = 0, por
lo que el consumidor no era ni deudor ni acreedor. Tambien supondremos que tanto c1 como c2 son
bienes normales. Esto es, el consumidor decidira demandar mas de ambos bienes ante un cambio
que genere un aumento de su riqueza.
Suba temporaria del ingreso corriente: ↑ y1, y2
La Figura 4 muestra la canasta optima de consumo cuando el ingreso del perıodo 1 sube de y1 a y1
y el ingreso en el segundo perıodo no cambia. La eleccion optima inicial es en el punto A, donde el
consumidor no es deudor ni acreedor. Luego del aumento del ingreso corriente, el punto de dotacion
se mueve de A hacia B. Llamemos ∆y1 = y1 − y1 > 0 al cambio en el ingreso. Si el consumidor
usase todo ese ingreso adicional para aumentar el consumo en el primer perıodo, la canasta de
consumo serıa la del punto B. Sin embargo, como c1 y c2 son bienes normales, el consumidor usara
su mayor riqueza para consumir mas de ambos bienes. La canasta de consumo optima se encuentra
en el punto C, que consiste en incrementar c1 en una cantidad menor a la suba del ingreso ∆y1. La
diferencia entre los cambios del ingreso y del consumo se asigna a acumular activos para financiar
un mayor consumo futuro. En otras palabras, el consumidor ahorra parte de su mayor ingreso para
suavizar su sendero de consumo intertemporal.
Consideremos el ejemplo con utilidad logarıtmica. Usando que ∆y2 = 0 y ∆y1 > 0, las demandas
(12), (13) y (14) implican los siguientes cambios para el consumo y el ahorro
∆c∗1 =1
1 + β
[∆y1 +
∆y21 + r1
]=
∆y11 + β
< ∆y1
∆c∗2 =β
1 + β[∆y1 (1 + r1) + ∆y2] =
β (1 + r1)
1 + β∆y1 > 0
∆b∗1 =β
1 + β
[∆y1 −
∆y2β (1 + r1)
]=β∆y11 + β
> 0.
10
Figura 4: Aumento temporario del ingreso
Naturalmente, si dividimos las ecuaciones anteriores por ∆y1 obtenemos las derivadas parciales de
c1, c2 y b1 con respecto a un cambio en el ingreso corriente y1 manteniendo constante el ingreso
futuro,
∂c∗1∂y1
=1
1 + β< 1
∂b∗1∂y1
=β
1 + β< 1
∂c∗2∂y1
=β (1 + r1)
1 + β> 0
Las primera derivada nos dice que un aumento de una unidad del ingreso corriente lleva a un
aumento en el consumo c1 menor a una unidad. La diferencia β/ (1 + β) se ahorra lo que genera
un ingreso adicional en el segundo perıodo de
β (1 + r1)
1 + β
que se usa para aumentar el consumo futuro.
Suba esperada del ingreso futuro: y1, ↑ y2
Este caso se muestra en la Figura 5. La dotacion de ingresos se mueve del punto A al punto B, con
∆y2 = y2 − y2 > 0 y ∆y1 = 0. Como en el caso anterior, la normalidad de c1 y c2 implica que
la mayor riqueza esperada en el futuro se distribuye en un aumento de los dos consumos c1 y c2,
11
Figura 5: Aumento del ingreso futuro
representado por la canasta del punto C. Como el ingreso en t = 1 no cambio, el consumidor debe
endeudarse (b∗1 < 0) para financiar el mayor consumo corriente. Al tener que repagar la deuda en
el futuro, el consumo c2 sera menor al ingreso futuro y2, siendo la diferencia el pago de la deuda
que tomo en el primer perıodo incluyendo los intereses, b∗1 (1 + r1) .
En el ejemplo con utilidad logarıtmica tenemos
∆c∗1 =1
1 + β
[∆y1 +
∆y21 + r1
]=
1
1 + β
∆y21 + r1
> 0
∆c∗2 =β
1 + β[∆y1 (1 + r1) + ∆y2] =
∆y21 + β
> 0
∆b∗1 =β
1 + β
[∆y1 −
∆y2β (1 + r1)
]=
−∆y2(1 + β) (1 + r1)
< 0.
Suba permanente en el ingreso: ↑ y1, ↑ y2 en la misma cantidad, ∆y1 = ∆y2
Supongamos que el ingreso del consumidor sube de manera permanente: y1 e y2 se incrementan
en la misma cantidad.2 La intuicion que brindamos en los casos anteriores es que el consumidor
busca consumir una canasta de consumo estable a traves del tiempo suavizando su perfil de ingresos
temporales a traves del mercado de credito. Por ejemplo, si hay un aumento unicamente del ingreso
2Si los ingresos aumentasen en la misma proporcion en vez de en la misma cantidad, podemos hacer un argumentosimilar (aunque no identico) al que sigue.
12
Figura 6: Aumento permanente del ingreso ∆y1 = ∆y2 > 0
corriente, el consumo hoy aumenta pero en una cantidad menor a la suba del ingreso. Sin embargo,
cuando la suba del ingreso es permanente, esto es, cuando sube el ingreso corriente y el futuro
en la misma cantidad, ya no hay motivos de cambiar el ahorro pues no cambio el perfil relativo
de los ingresos a traves del tiempo. Entonces, es de esperar que el consumo corriente aumente
en aproximadamente la misma cantidad de lo que subio el ingreso. En efecto, como el ingreso
futuro sube en la misma cantidad que el ingreso presente, no sera necesario cambiar el ahorro para
financiar un mayor consumo futuro. La Figura 6 muestra esta situacion. Al subir el ingreso de
manera permanente, el consumidor podra aumentar su consumo de ambos perıodos en la misma
cantidad. Puesto que el ingreso y consumo corrientes suben aproximadamente en la misma cantidad,
el ahorro en el primer perıodo se mantendra aproximadamente constante (en el grafico se mantiene
en cero). En sımbolos, ∆c1 ≈ ∆y1 y ∆c2 ≈ ∆y2, por lo que ∆b∗1 ≈ 0.
En lo que sigue explicaremos por que usamos la palabra “aproximadamente” para describir los
cambios. Discutiremos bajo que circunstancias el cambio en el consumo es exactamente igual al
cambio en el ingreso cuando la suba del ultimo es permanente y argumentaremos que aun si no son
iguales, seran muy parecidos. Consideremos la ecuacion de Euler del consumo
u′(c1) = β(1 + r1)u′(c2)
Si suponemos que β(1+r1) = 1, la ecuacion anterior se reduce a u′(c1) = u′(c2). Como la funcion de
utilidad es concava, u′(c) es decreciente, por lo que la igualdad de utilidades marginales implica que
c1 = c2. Esto es, cuando β(1 + r1) = 1 es optimo mantener un sendero de consumo completamente
estable a traves del tiempo. Usando este resultado en la restriccion presupuestaria intertemporal
encontramos
c1 +c1
1 + r1= y1 +
y21 + r1
13
o bien
c1 =
(1 + r12 + r1
)(y1 +
y21 + r1
)Supongamos ahora que los ingresos corriente y futuro se incrementan en la misma cantidad δ. Esto
es, y1 = y1 + δ y y2 = y2 + δ. Despues del cambio del ingreso, el consumo del primer perıodo es
c1 =
(1 + r12 + r1
)(y1 +
y21 + r1
)=
(1 + r12 + r1
)(y1 + δ +
y2 + δ
1 + r1
)=
(1 + r12 + r1
)(y1 +
y21 + r1
)+ δ
Pero el primer termino de esa ecuacion es el nivel de consumo antes del cambio permanente en el
ingreso, por lo que
c1 = c1 + δ
Esto muestra que el consumo y el ingreso presente aumentan en la misma cantidad δ. Como el
consumo futuro es igual al presente, el consumo futuro tambien sube en la cantidad δ. Con esto
terminamos la prueba de que si β(1+r1) = 1 , entonces ∆c1 = ∆y1, ∆c2 = ∆y2, y ∆b1 = 0. Si bien
β(1 + r1) = 1 es un supuesto fuerte, estimaciones de la tasa de preferencia temporal β implican
que el termino β(1 + r1) es bastante cercano a 1. Por lo tanto, podemos suponer que cambios
permanentes en el ingreso efectivamente se consumen en su totalidad, mientras que aumentos
temporarios tienden a ahorrarse en gran parte.
Consideremos el ejemplo con funcion de utilidad logaritmica que genera la demanda
c1 =1
1 + β
(y1 +
y21 + r1
)y supongamos un aumento permanente en el ingreso y1 = y1 + δ1 e y2 = y2 + δ2 con δ1 = δ2 = δ.
De este modo
c1 =1
1 + β
(y1 + δ1 +
y2 + δ21 + r1
)(20)
por lo que, definiendo ∆c1 = c1 − c1, y usando δ1 = δ2 = δ
∆c1 =1
1 + β
(δ +
δ
1 + r1
)=
1
1 + β
(2 + r11 + r1
)δ
De este modo, si el ingreso aumenta de manera permanente en 1 peso, δ = 1, tenemos
∆c1 =1
1 + β
(2 + r11 + r1
)Pongamos algunos numeros: supongamos β = 0.98 y una tasa de interes real del 4%, r1 = 0.04.
En este caso ∆c1 = 0.99.
14
Figura 7: Aumento en la tasa de interes r1: Deudor
Por otro lado, supongamos ahora que solo aumenta el ingreso corriente en $1 pero el ingreso
futuro no cambia. La demanda de consumo (20) evaluada en δ1 = 1 y δ2 = 0 implica
∆c1 =1
1 + β≈ 0.5.
Esto es, se ahorra aproximadamente la mitad del ingreso corriente para aumentar el consumo futuro.
Suba en la tasa de interes ↑ r1
El resultado de un aumento en la tasa de interes dependera si, luego del cambio, el consumidor
termina siendo deudor o acreedor. Un aumento en la tasa de interes se refleja en una rotacion de
la restriccion presupuestaria en el sentido de las agujas del reloj sobre la dotacion inicial (y1, y2).
Un cambio en la tasa de interes tiene dos efectos. Por un lado, la suba de r1 implica una caıda del
precio relativo del consumo futuro en terminos de consumo corriente (recordemos que este precio
relativo es 11+r1
). Este cambio en el precio relativo genera un efecto sustitucion que implica una
suba del consumo futuro y una caıda del consumo corriente. El segundo efecto del cambio en la
tasa de interes es el efecto riqueza, cuyo signo dependera de si el consumidor es deudor o acreedor.
Las Figuras 7 y 8 muestran ambos casos.
Consideremos la Figura 7. El punto de dotacion esta marcado con la letra D y la canasta optima
de consumo original esta marcada en el punto A, donde el consumidor es deudor, c∗1 > y∗1. La suba
de la tasa de interes se refleja como una rotacion de la restriccion presupuestaria sobre el punto D
y la canasta optima luego del cambio en r1 esta marcada en el punto F. Para encontrar el efecto
sustitucion desplazamos la nueva restriccion presupuestaria en forma paralela hacia arriba de modo
que sea tangente a la curva de indiferencia original, lo que ocurre en el punto S. En relacion a la
canasta original, sube el consumo futuro cs2 > c∗2 y cae el consumo presente cs1 < c∗1, reflejando la
caıda del precio relativo del primero. Sin embargo, como el consumidor es deudor, sufre un efecto
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riqueza negativo pues sube el costo financiero de su deuda. El efecto riqueza negativo implica una
caıda de c1 y de c2 en relacion a la canasta del efecto sustitucion S. El efecto final es que c1 cae,
pues los efectos sustitucion e ingreso se refuerzan, pero el consumo futuro c2 puede subir o bajar:
el efecto sustitucion implica una suba de c2, mientras que el efecto riqueza implica una disminucion
de c2. En el ejemplo de la Figura 7 domina el efecto sustitucion y c2 sube.
Figura 8: Aumento en la tasa de interes r1: Acreedor
La Figura 8 muestra el caso de un acreedor. Como en el caso anterior, el punto de dotacion
inicial esta en el punto D, la canasta optima inicial esta en el punto A y la canasta de consumo final
es la del punto F. En la posicion final el consumidor es acreedor. La canasta que refleja el efecto
sustitucion se encuentra en el punto S que, al igual que en el caso anterior, implica una suba del
consumo futuro c2 y una disminucion del consumo presente c1. El desplazamiento de la canasta S
a la canasta F refleja el efecto riqueza. Al ser acreedor, la suba en la tasa de interes incrementa
el ingreso financiero del agente. Como los dos bienes son normales, el efecto riqueza implica que
tanto c1 como c2 suben. El efecto final sobre c1 es ambiguo: cae debido al efecto sustitucion pero
sube debido al efecto riqueza. El grafico muestra un ejemplo donde el efecto riqueza domina al
efecto sustitucion. En el caso del consumo futuro, tanto el efecto sustitucion como el efecto riqueza
implican una suba de c2.
La demanda del consumidor representativo de la economıa
El analisis anterior muestra que el efecto final de un aumento en la tasa de interes r1 sobre la
canasta de consumo depende de si el consumidor es acreedor o deudor. Sin embargo, si estamos
considerando una economıa cerrada (que no comercia con el resto del mundo) y nos interesa el
comportamiento agregado de la economıa, entonces podemos ser mas especıficos. En el agregado
tiene que ser cierto que si alguien debe 100 pesos hay otra persona que es acreedora de esos 100
pesos. Por lo tanto, el consumidor “promedio” de la economıa no es ni deudor ni acreedor. Esto
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implica que para el consumidor promedio no existe el efecto riqueza ante cambios en la tasa de
interes y podemos enfocarnos unicamente en el efecto sustitucion. En este caso podemos dibujar una
curva de demanda de consumo corriente como funcion de la tasa de interes como las que aparecen
en la Figura 9. Aumentos temporarios y permanentes del ingreso desplazan la curva de demanda
de bienes hacia la derecha. La diferencia entre los dos casos esta en el tamano del desplazamiento.
Si el aumento del ingreso es temporario, la curva de demanda se desplaza en una cantidad menor
al aumento del ingreso, ∆c1(r) < ∆y1, mientras que si el cambio del ingreso es permanente, la
curva de demanda se desplaza en aproximadamente la misma cantidad que el aumento del ingreso,
∆c1(r) ≈ ∆y1.
Figura 9: Demanda de consumo: consumidor representativo
Finalmente, es importante notar que el consumidor promedio no es deudor ni acreedor solo en
el caso de una economıa cerrada. Cuando analicemos el caso de una economıa abierta a los flujos
de bienes y de capital, el consumidor promedio podra endeudarse o prestar al resto del mundo. En
este caso, el efecto riqueza ante cambios en la tasa de interes puede ser importante.
Comparacion con la teorıa keynesiana tradicional del consumo
La diferencia en la respuesta del consumo ante cambios transitorios versus permanentes del ingreso
es un componente fundamental de nuestra teorıa del consumo. Una manera de medir el cambio del
consumo corriente cuando sube el ingreso corriente es la llamada propension marginal al consumo
que, en terminos matematicos, es la derivada del consumo con respecto al ingreso del mismo perıodo,
PMC =dctdyt
.
A diferencia de la teorıa de consumo que analizamos arriba, Keynes argumento que el consumo
satisface los siguientes patrones de comportamiento:
1. el consumo depende principalmente del ingreso corriente,
2. cuando el ingreso aumenta en $1, el consumo aumenta en menos de $1, y
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3. cuando aumenta su ingreso, el consumidor ahorra una proporcion mayor del mismo.
Una funcion de consumo usual que satisface los tres requisitos anteriores es la siguiente:
ct = A+Byt (21)
donde A > 0 es el componente autonomo del consumo y 0 < B < 1 es la propension marginal
al consumo. Es evidente que los supuestos anteriores sobre A y B implican que la funcion (21)
satisface las primeras dos condiciones que postulo Keynes. Para comprobar que la tercera condicion
tambien se cumple, computemos la tasa de ahorro cuando la funcion de consumo es (21),
styt
=yt − ctyt
=yt −A−Byt
yt= 1−A− B
yt.
Claramente esta expresion es creciente en el ingreso del consumidor, probando ası que el tercer
requisito tambien se cumple.
Usualmente se estima que la PMC de la funcion de consumo keynesiana, B, es alrededor de 0.8.
Esto es, por cada peso que sube el ingreso corriente, el consumidor asigna alrededor de 80 centavos
al consumo, independientemente de si el aumento del ingreso es temporario o permanente. Nuestra
teorıa del consumo nos dice que la PMC ante un cambio permanente del ingreso es cercana a 1,
mientras que la PMC ante un cambio temporario del ingreso es mucho menor. Esta diferencia es
particularmente importante en modelos con mas de dos perıodoss, donde un aumento temporario
del ingreso corriente se distribuye en el consumo de muchos perıodos.
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